Qual è la posizione relativa della linea e del cerchio? Foglio di lavoro di geometria "Posizione relativa di una linea e di un cerchio"

Sia data una circonferenza e una certa retta su un piano. Lasciamo cadere su questa retta una perpendicolare dal centro del cerchio C; indichiamo con la base di questa perpendicolare. Un punto può occupare tre possibili posizioni rispetto al cerchio: a) trovarsi all'esterno del cerchio, b) sul cerchio, c) all'interno del cerchio. A seconda di ciò, la linea retta occuperà una delle tre possibili posizioni rispetto al cerchio. varie disposizioni descritto di seguito.

a) Sia la base della perpendicolare caduta dal centro C del cerchio ad una retta a giacere all'esterno del cerchio (Fig. 197). Allora la retta non interseca il cerchio; tutti i suoi punti giacciono nella regione esterna. Infatti, nel caso indicato, per condizione, viene allontanato dal centro ad una distanza maggiore del raggio). Inoltre, per ogni punto M su una retta a abbiamo cioè che ogni punto su una data retta si trova all'esterno del cerchio.

b) Lasciare cadere la base della perpendicolare sul cerchio (Fig. 198). Allora la retta a ha esattamente un punto in comune con il cerchio. Infatti, se M è un qualsiasi altro punto della retta, allora (quelli inclinati sono più lunghi della perpendicolare) il punto M si trova nella regione esterna. Tale retta, che ha un unico punto in comune con la circonferenza, in questo punto si dice tangente alla circonferenza. Mostriamo che, viceversa, se una retta ha un solo punto in comune con un cerchio, allora il raggio condotto fino a questo punto è perpendicolare a questa retta. Infatti, lasciamo cadere una perpendicolare dal centro su questa linea. Se la sua base fosse interna al cerchio, allora la retta avrebbe con sé due punti in comune, come mostrato in c). Se fosse fuori dal cerchio, allora in virtù di a) la retta non avrebbe punti in comune con il cerchio.

Pertanto, resta da supporre che la perpendicolare cada nel punto comune della linea e del cerchio, nel punto della loro tangenza. Dimostrato di essere importante

Teorema. Una retta passante per un punto di una circonferenza tocca la circonferenza se e solo se è perpendicolare al raggio condotto in quel punto.

Si noti che la definizione di tangente ad un cerchio qui fornita non si applica ad altre curve. Di più definizione generale la tangente di una linea retta a una linea curva è collegata ai concetti della teoria dei limiti e viene discussa in dettaglio nel corso di matematica superiore. Qui ne parleremo solo concetto generale. Sia dato un cerchio e il punto A su di esso (Fig. 199).

Prendiamo un altro punto A sulla circonferenza e colleghiamo entrambi i punti della retta AA. Sia il punto A, muovendosi lungo una circonferenza, ad occupare una successione di nuove posizioni, avvicinandosi sempre più al punto A. La retta AA, ruotando attorno ad A, assume più posizioni: in questo caso, man mano che il punto in movimento si avvicina al punto A , la retta tende a coincidere con la tangente AT. Possiamo quindi parlare di tangente come della posizione limite di una secante passante questo punto e un punto sulla curva che si avvicina ad esso senza limite. In questa forma, la definizione di tangente è applicabile molto alle curve visione generale(Fig. 200).

c) Infine, lasciamo che il punto si trovi all'interno del cerchio (Fig. 201). Poi . Considereremo cerchi inclinati tracciati lungo la retta a dal centro C, con le basi che si allontanano dal punto in una delle due possibili direzioni. La lunghezza dell'inclinato aumenterà monotonicamente man mano che la sua base si allontana dal punto; questo aumento della lunghezza dell'inclinato avviene gradualmente (“continuamente”) da valori prossimi a valori arbitrariamente grandi, sembra quindi chiaro che ad una certa posizione delle basi inclinate la loro lunghezza sarà esattamente uguale, i punti corrispondenti K e L della linea giacciono sul cerchio.

Posizione relativa di una retta e di un cerchio Scopriamo quanti punti in comune possono avere una retta e un cerchio, a seconda della loro posizione relativa. È chiaro che se una retta passa per il centro di un cerchio, allora interseca il cerchio alle due estremità del diametro su cui giace. questa prima.

Lascia che sia dritto R non passa per il centro del cerchio del raggio R. Disegniamo una perpendicolare LUI ad una linea retta R e denotare con la lettera D la lunghezza di questa perpendicolare, cioè la distanza dal centro di questo cerchio alla retta (Fig. 1 ). Investighiamo la posizione relativa di una linea e di un cerchio a seconda della relazione tra loro D E R. Ci sono tre casi possibili.

1) d R dal punto N mettere da parte due segmenti SU E Nuova Zelanda, lunghezze uguali (Fig. 1) Secondo il teorema di Pitagora OA=,

0 B= Quindi punti UN E IN giacciono sul cerchio e, quindi, sono punti comuni della retta R e il cerchio dato.

Dimostriamo che la retta R e questo cerchio non ha altri punti comuni. Supponiamo che abbiano un altro punto comune C. Quindi la mediana D.O. triangolo isoscele OSA. portato alla base CA,è l'altezza di questo triangolo, quindi DIDP. Segmenti D.O. E LUI non corrispondono

dalla metà D segmento AC non si adatta a un punto N - punto medio del segmento , AB. Abbiamo scoperto che dal punto O sono state tracciate due perpendicolari: LUI E OD- ad una linea retta P, il che è impossibile. COSÌ Se distanza la distanza dal centro del cerchio alla retta è minore del raggio del cerchio(D< р), Quello retta e cerchioCi sono due punti comuni. In questo caso la linea viene chiamata secante rispetto al cerchio.

2) d=R. In questo caso OH=R, cioè punto N giace sul cerchio e, quindi, è il punto comune della linea e del cerchio (Fig. 1, B). Dritto R e il cerchio non hanno altri punti in comune, poiché per ogni punto M diretto R. diverso dal punto N, OM>OH= R(obliquo OM più perpendicolare LUI), e quindi , il punto M non giace sulla circonferenza. Quindi se gareLa distanza dal centro del cerchio alla retta è uguale al raggio, quindi la retta e il cerchio hanno un solo punto in comune.

3) d>R In questo caso -OH> R Ecco perché . per qualsiasi punto M diretto p 0LUN.>R( riso . 1,UN) Pertanto il punto M non giace sulla circonferenza. COSÌ, .se la distanza dal centro del cerchioSe la distanza dalla retta è maggiore del raggio del cerchio, allora la retta e il cerchio non hanno punti in comune.

Abbiamo dimostrato che una linea e un cerchio possono avere uno o due punti in comune e potrebbero non averne alcuno. Una linea retta con un cerchio solo uno il punto comune si chiama tangente alla circonferenza, e il loro il punto comune è chiamato punto di tangenza della retta e del cerchio. Nella Figura 2 c'è una linea retta R- tangente ad una circonferenza di centro O, UN- punto di contatto.

Dimostriamo il teorema sulla proprietà tangente.

Teorema. Una tangente ad una circonferenza è perpendicolare A raggio tracciato fino al punto di contatto.

Prova. Permettere R-tangente ad una circonferenza di centro O. UN- punto di contatto (vedi Fig. 2). Dimostriamolo. qual è la tangente R perpendicolare al raggio OA.

Supponiamo che non sia così. Quindi il raggio: OAè inclinato rispetto ad una retta R. Poiché la perpendicolare tracciata dal punto DI ad una linea retta P, meno propenso OA, poi le distanze dal centro DI cerchio alla linea retta R inferiore al raggio. Quindi, dritto R e il cerchio hanno due punti in comune. Ma questo contraddice la condizione; Dritto R- tangente. Quindi, dritto R perpendicolare al raggio OA. Il teorema è stato dimostrato.

Consideriamo due tangenti ad una circonferenza di centro DI, passando per il punto UN e toccando il cerchio nei punti IN e C (fig. 3). Segmenti AB E AC chiamiamo segmenti tangentinyh, tratto dal punto A. Hanno la seguente proprietà, che segue dal teorema dimostrato:

I segmenti tangenti ad una circonferenza tracciata da un punto sono uguali e formano angoli uguali con una retta passante per questo punto e il centro della circonferenza.

Per dimostrare questa affermazione, passiamo alla Figura 3. Secondo il teorema sulla proprietà della tangente, gli angoli 1 e 2 sono retti, quindi triangoli ABO E ASO rettangolare. Sono uguali perché hanno l'ipotenusa in comune OA e gambe uguali OB E sistema operativo. Quindi, AB=AC e 3=https://pandia.ru/text/78/143/images/image007_40.jpg" larghezza="432 altezza=163" altezza="163">

Riso. 2fig. 3

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Disegnare il diametro attraverso il punto di contatto ME, avremo: ; Ecco perché

Riso. 1 fig. 2

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Dipendenza tra archi, corde e distanze delle corde dal centro.

Teoremi. In un cerchio o V cerchi uguali :

1) se gli archi sono uguali, allora gli accordi che li sottendono sono uguali ed ugualmente distanti dal centro;

2) se due archi minori di un semicerchio non sono uguali, allora il maggiore è sotteso dalla corda maggiore e di entrambe le corde quella maggiore si trova più vicina al centro .

1) Lasciamo l'arco AB uguale all'arco CD(Fig. 1), è necessario dimostrare che gli accordi AB e CD uguale e anche uguale e perpendicolare OE E DI, abbassato dal centro verso gli accordi.

Ruotiamo il settore OAJB intorno al centro DI nella direzione indicata dalla freccia tanto che il raggio DI coinciso con sistema operativo. Quindi arco VA. andrà in un arco CD e a causa della loro uguaglianza, questi archi si sovrapporranno. Ciò significa che l'accordo AS coincide con l'accordo CD e perpendicolare OE coinciderà con DI(da un punto si può abbassare su una retta solo una perpendicolare), cioè AB=CD E OE=DI.

2) Lasciamo l'arco AB(Fig. 2) meno arco CD, e inoltre entrambi gli archi sono più piccoli di un semicerchio; è necessario dimostrare che l'accordo AB meno accordo CD, e perpendicolare OE più perpendicolare DI. Mettiamolo sull'arco CD arco SK, uguale a AB, e disegna un accordo ausiliario SK, che, secondo quanto dimostrato, è uguale all'accordo AB ed ugualmente distanti dal centro. Ai triangoli MERLUZZO. E SUCCO due lati dell'uno sono uguali a due lati dell'altro (come i raggi), ma gli angoli compresi tra questi lati non sono uguali; in questo caso, come sappiamo, contro il maggiore degli angoli, cioè lCOD, il lato più grande deve trovarsi, il che significa CD>CK, e quindi CD>AB.

Per dimostrarlo OE>DI, condurremo OLXCK e tenere conto che, secondo quanto dimostrato, OE=OL; quindi ci basta fare un confronto DI Con OL. In un triangolo rettangolo 0 FM(coperto nella figura con trattini) ipotenusa OM più gamba DI; Ma OL>OM; ciò significa ancora di più OL>DI. e quindi OE>DI.

Il teorema che abbiamo dimostrato per un cerchio rimane vero per cerchi uguali, perché tali cerchi differiscono tra loro solo per la posizione.

Teoremi inversi. Poiché nel paragrafo precedente sono stati considerati tutti i tipi di casi mutuamente esclusivi riguardanti la dimensione comparativa di due archi dello stesso raggio, e sono state ottenute conclusioni mutuamente esclusive riguardo alla dimensione comparativa delle corde e alle loro distanze dal centro, allora le proposizioni inverse devono essere vero, c. esattamente:

IN un cerchio o cerchi uguali:

1) gli accordi uguali sono equidistanti dal centro e sottendono archi uguali;

2) corde equidistanti dal centro sono uguali e sottendono archi uguali;

3) di due corde disuguali, quella maggiore è più vicina al centro e sottende l'arco maggiore;

4) di due accordi disegualmente distanti dal centro, che è più vicino al centro è più grande e sottende un arco più grande.

Queste proposizioni possono essere facilmente dimostrate per contraddizione. Ad esempio, per dimostrare il primo di essi, ragioniamo così: se questi accordi sottintendessero archi disuguali, allora, secondo il teorema diretto, non sarebbero uguali, il che contraddice la condizione; ciò significa che accordi uguali devono sottendere archi uguali; e se gli archi sono uguali, allora, secondo il teorema diretto, le corde che li sottendono sono ugualmente distanti dal centro.

Teorema. Il diametro è il più grande degli accordi .

Se ci colleghiamo al centro DI le estremità di un accordo che non passa per il centro, ad esempio un accordo AB(Fig. 3) quindi otteniamo un triangolo AOB, in cui un lato è questa corda, e gli altri due sono raggi, ma in un triangolo ogni lato è minore della somma degli altri due lati; quindi l'accordo AB inferiore alla somma di due raggi; mentre ogni diametro CD uguale alla somma di due raggi. Ciò significa che il diametro è maggiore di qualsiasi corda che non passa per il centro. Ma poiché anche il diametro è una corda, si può dire che il diametro è la maggiore delle corde.

Riso. 1 fig. 2

Teorema della tangente.

Come già accennato, i segmenti tangenti tracciati ad una circonferenza da un punto hanno la stessa lunghezza. Questa lunghezza è chiamata distanza tangente da un punto ad una circonferenza.

Senza il teorema della tangente è impossibile risolvere più di un problema sui cerchi inscritti, cioè sui cerchi che toccano i lati di un poligono.

Distanze tangenti in un triangolo.

Trova le lunghezze dei segmenti per i quali sono i lati del triangolo ABC sono divisi da punti di tangenza con un cerchio inscritto in esso (Fig. 1,a), ad esempio, distanza tangente sì dal punto UN al cerchio. Aggiungiamo i lati B E C, quindi sottrai il lato dalla somma UN. Tenendo conto dell'uguaglianza delle tangenti tracciate da un vertice, otteniamo 2 sì. COSÌ,

ta=(b+C-UN)/ 2=P-UN,

Dove p=(a+b+C)/ 2 – semiperimetro dato triangolo. Lunghezza dei segmenti laterali adiacenti ai vertici IN E CON, sono rispettivamente uguali P-B E P-C.

Allo stesso modo, per la circonferenza di un triangolo tangente al lato (esterno). UN(Fig. 1, b), distanze tangenti da IN E CON sono uguali rispettivamente P-C E P-B e dall'alto UN- Appena P.

Tieni presente che queste formule possono essere utilizzate anche nella direzione opposta.

Lascialo andare all'angolo VOIè inscritta una circonferenza e la distanza tangente dal vertice dell'angolo alla circonferenza è uguale aP OP- UN, DoveP– semiperimetro di un triangolo ABC, UN a=a.C. Quindi il cerchio tocca la linea Sole(rispettivamente all'esterno o all'interno del triangolo).

Infatti, supponiamo, ad esempio, che la distanza tangente sia uguale P-UN. Quindi i nostri cerchi toccano i lati dell'angolo negli stessi punti del cerchio interno del triangolo ABC, il che significa che coincide con esso. Pertanto, tocca la linea Sole.

Quadrilatero circoscritto. Dal teorema sull'uguaglianza delle tangenti segue immediatamente (Fig. 2a) che

Se un cerchio può essere inscritto in un quadrilatero, allora le somme dei suoi lati opposti sono uguali:

d.C.+ a.C.= AB+ CD

Si noti che il quadrilatero descritto è necessariamente convesso. È vero anche il contrario:

Se il quadrilatero è convesso e le somme dei lati opposti sono uguali, in esso è inscritto un cerchio.

Dimostriamolo per un quadrilatero diverso da un parallelogramma. Consideriamo ad esempio due lati opposti di un quadrilatero AB E DC, se proseguiti si intersecheranno in un punto E(Fig. 2,b). Inscriviamo un cerchio in un triangolo ADE. La sua distanza tangente te al punto E espresso dalla formula

te=½ (AE+ED-A.D).

Ma secondo la condizione, le somme dei lati opposti di un quadrilatero sono uguali, il che significa d.C.+a.C.=AB+CD, O d.C.=AB+CD-a.C.. Sostituendo questo valore nell'espressione for te, otteniamo

te=½ ((AE-AB)+(ED-CD)+a.C.)= ½ (ESSERE+EC+A.C),

e questo è il semiperimetro del triangolo a.C.. Dalla condizione di tangenza dimostrata sopra ne consegue che la nostra circonferenza si tocca a.C..

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Due tangenti condotte alla circonferenza da un punto esterno ad essa sono uguali e formano angoli uguali con la retta che collega questo punto con il centro, che segue dall'uguaglianza triangoli rettangoli AOB e AOB1

Cerchio - figura geometrica, costituito da tutti i punti del piano situati ad una data distanza da un dato punto.

Questo punto (O) si chiama centro del cerchio.
Raggio del cerchio- questo è un segmento che collega il centro con qualsiasi punto del cerchio. Tutti i raggi hanno la stessa lunghezza (per definizione).
Accordo- un segmento che collega due punti su un cerchio. Si chiama corda passante per il centro di una circonferenza diametro. Il centro di un cerchio è il punto medio di qualsiasi diametro.
Due punti qualsiasi su un cerchio lo dividono in due parti. Ognuna di queste parti è chiamata arco di cerchio. L'arco si chiama semicerchio, se il segmento che ne collega gli estremi è un diametro.
La lunghezza di un semicerchio unitario è indicata con π .
La somma delle misure in gradi di due archi di cerchio con estremi in comune è uguale a 360º.
Si chiama la parte del piano delimitata da un cerchio tutto intorno.
Settore circolare- una parte di un cerchio delimitata da un arco e due raggi che collegano le estremità dell'arco al centro del cerchio. L'arco che delimita il settore si chiama arco del settore.
Si chiamano due circonferenze aventi un centro comune concentrico.
Si chiamano due cerchi che si intersecano ad angolo retto ortogonale.

La posizione relativa di una linea retta e di un cerchio

Se la distanza dal centro del cerchio alla retta è inferiore al raggio del cerchio ( d), allora la retta e il cerchio hanno due punti in comune. In questo caso la linea viene chiamata secante rispetto al cerchio.
Se la distanza dal centro del cerchio alla retta è uguale al raggio del cerchio, allora la retta e il cerchio hanno un solo punto in comune. Questa linea si chiama tangente al cerchio, e il loro punto comune è chiamato punto di tangenza tra una linea e un cerchio.
Se la distanza dal centro del cerchio alla retta è maggiore del raggio del cerchio, allora la retta e il cerchio non hanno punti comuni

Angoli centrali e inscritti

Angolo centraleè un angolo con il vertice al centro della circonferenza.
Angolo inscritto- un angolo il cui vertice giace su una circonferenza e i cui lati intersecano la circonferenza.

Teorema dell'angolo inscritto

Un angolo inscritto è misurato dalla metà dell'arco a cui sottende.

Corollario 1.
Gli angoli inscritti che sottendono uno stesso arco sono uguali.

Corollario 2.
Un angolo inscritto sotteso da un semicerchio è un angolo retto.

Teorema sul prodotto di segmenti di corde che si intersecano.

Se due corde di una circonferenza si intersecano, il prodotto dei segmenti di una corda è uguale al prodotto dei segmenti dell'altra corda.

Formule di base

Circonferenza:

C = 2∙π∙R

Lunghezza arco circolare:

R = С/(2∙π) = D/2

Diametro:

D = C/π = 2∙R

Lunghezza arco circolare:

l = (π∙R) / 180∙α,
Dove α - misura di laurea lunghezza dell'arco di cerchio)

Area del cerchio:

S = π∙R2

Area del settore circolare:

S = ((π∙R 2) / 360)∙α

Equazione di una circonferenza

In un sistema di coordinate rettangolari, l'equazione di un cerchio con raggio è R centrato in un punto C(x o;y o) ha la forma:

(x - x o) 2 + (y - yo) 2 = r 2

L'equazione di una circonferenza di raggio r con centro nell'origine ha la forma:

x2 + y2 = r2

Compilato da un insegnante di matematica

Scuola secondaria MBOU n. 18, Krasnoyarsk

Andreeva Inga Viktorovna

La posizione relativa di una linea retta e di un cerchio

DI R - raggio

CON D - diametro

AB- accordo

Cerchio con centro in un punto DI raggio R
Una retta che non passa per il centro DI
Indichiamo con la lettera la distanza dal centro del cerchio alla linea retta S

Sono possibili tre casi:

1) S

meno raggio del cerchio, quindi la retta e il cerchio hanno due punti comuni .

Viene chiamato AB diretto secante rispetto al cerchio.

Sono possibili tre casi:

2 ) S = R

Se la distanza dal centro del cerchio alla linea retta è uguale raggio del cerchio, quindi la retta e il cerchio hanno un solo punto comune .

S = R

r Se la distanza dal centro del cerchio alla retta è maggiore del raggio del cerchio, allora la retta e il cerchio non hanno punti in comune. sr r O" larghezza="640"

Sono possibili tre casi:

3 ) sr

Se la distanza dal centro del cerchio alla linea retta Di più raggio di un cerchio, poi una retta e un cerchio non hanno punti comuni .

Tangente ad una circonferenza

Definizione: P una linea che ha un solo punto in comune con un cerchio è detta tangente al cerchio, e il loro punto in comune è chiamato punto tangente della linea e del cerchio.

S = R

retta - secante
retta - secante
nessun punto comune
retta - secante
retta - tangente

r = 15 cm, s = 11 cm
r = 6 cm, s = 5,2 cm
r = 3,2 m, s = 4,7 m
r = 7 cm, s = 0,5 dm
r = 4 cm, s = 4 0 mm

Risolvi il numero 633.

OABC- quadrato
AB = 6 cm
Cerchio di centro O di raggio 5 cm

secanti dalle rette OA, AB, BC, AC

Proprietà tangente: Una tangente ad una circonferenza è perpendicolare al raggio tracciato fino al punto di tangenza.

M– tangente ad una circonferenza con centro DI

M– punto di contatto

OM- raggio

Segno della tangente: Se una retta passa per l'estremità di un raggio giacente su una circonferenza ed è perpendicolare al raggio, allora è una asativo.

cerchio con centro DI

raggio OM

M- una retta che passa per un punto M

M – tangente