अर्थशास्त्र में गणितीय मॉडलिंग. कोर्सवर्क: अर्थशास्त्र में गणितीय मॉडल

आर्थिक वस्तुओं और प्रक्रियाओं के प्रबंधन में उपयोग के लिए आवश्यक आर्थिक और गणितीय मॉडल के प्रकारों और प्रकारों की एक महत्वपूर्ण विविधता है। आर्थिक और गणितीय मॉडल को विभाजित किया गया है: व्यापक आर्थिक और सूक्ष्म आर्थिक, मॉडल किए गए नियंत्रण वस्तु के स्तर पर निर्भर करता है, गतिशील, जो समय के साथ नियंत्रण वस्तु में परिवर्तन की विशेषता बताता है, और स्थैतिक, जो वस्तु के विभिन्न मापदंडों और संकेतकों के बीच संबंधों का वर्णन करता है। वह विशेष समय. अलग-अलग मॉडल समय में अलग-अलग, निश्चित बिंदुओं पर नियंत्रण वस्तु की स्थिति प्रदर्शित करते हैं। सिमुलेशन मॉडल आर्थिक और गणितीय मॉडल हैं जिनका उपयोग सूचना और कंप्यूटर प्रौद्योगिकी का उपयोग करके नियंत्रित आर्थिक वस्तुओं और प्रक्रियाओं का अनुकरण करने के लिए किया जाता है। मॉडलों में प्रयुक्त गणितीय उपकरण के प्रकार के आधार पर, आर्थिक-सांख्यिकीय मॉडल, रैखिक और गैर-रेखीय प्रोग्रामिंग मॉडल, मैट्रिक्स मॉडल और नेटवर्क मॉडल हैं।

कारक मॉडल. आर्थिक-गणितीय कारक मॉडल के समूह में ऐसे मॉडल शामिल होते हैं, जिनमें एक ओर, आर्थिक कारक शामिल होते हैं जिन पर एक प्रबंधित आर्थिक वस्तु की स्थिति निर्भर करती है, और दूसरी ओर, वस्तु की स्थिति के पैरामीटर जो इन कारकों पर निर्भर करते हैं। यदि कारक ज्ञात हैं, तो मॉडल हमें आवश्यक पैरामीटर निर्धारित करने की अनुमति देता है। कारक मॉडल अक्सर गणितीय रूप से सरल रैखिक या स्थैतिक कार्यों द्वारा प्रदान किए जाते हैं जो कारकों और उन पर निर्भर आर्थिक वस्तु के मापदंडों के बीच संबंध को दर्शाते हैं।

बैलेंस शीट मॉडल. बैलेंस शीट मॉडल, सांख्यिकीय और गतिशील दोनों, व्यापक रूप से आर्थिक और गणितीय मॉडलिंग में उपयोग किए जाते हैं। इन मॉडलों का निर्माण संतुलन विधि पर आधारित है - सामग्री, श्रम और वित्तीय संसाधनों और उनकी जरूरतों की पारस्परिक तुलना की एक विधि। आर्थिक प्रणाली को समग्र रूप से वर्णित करते हुए, इसके संतुलन मॉडल को समीकरणों की एक प्रणाली के रूप में समझा जाता है, जिनमें से प्रत्येक व्यक्तिगत आर्थिक वस्तुओं द्वारा निर्मित उत्पादों की मात्रा और इन उत्पादों की कुल मांग के बीच संतुलन की आवश्यकता को व्यक्त करता है। इस दृष्टिकोण के साथ, आर्थिक प्रणाली में आर्थिक वस्तुएं शामिल होती हैं, जिनमें से प्रत्येक एक निश्चित उत्पाद का उत्पादन करती है। यदि हम "उत्पाद" की अवधारणा के बजाय "संसाधन" की अवधारणा का परिचय देते हैं, तो संतुलन मॉडल को समीकरणों की एक प्रणाली के रूप में समझा जाना चाहिए जो एक निश्चित संसाधन और उसके उपयोग के बीच की आवश्यकताओं को पूरा करता है।

बैलेंस शीट मॉडल के सबसे महत्वपूर्ण प्रकार:

• · संपूर्ण अर्थव्यवस्था और इसके व्यक्तिगत क्षेत्रों के लिए सामग्री, श्रम और वित्तीय संतुलन;
• · अंतर-उद्योग संतुलन;
• · उद्यमों और फर्मों की मैट्रिक्स बैलेंस शीट।

अनुकूलन मॉडल. आर्थिक और गणितीय मॉडल का एक बड़ा वर्ग अनुकूलन मॉडल बनाता है जो आपको सभी समाधानों में से सबसे अच्छा इष्टतम विकल्प चुनने की अनुमति देता है। गणितीय सामग्री में, इष्टतमता को इष्टतमता मानदंड के चरम को प्राप्त करने के रूप में समझा जाता है, जिसे उद्देश्य फ़ंक्शन भी कहा जाता है। अनुकूलन मॉडल का उपयोग अक्सर आर्थिक संसाधनों का उपयोग करने का सबसे अच्छा तरीका खोजने की समस्याओं में किया जाता है, जो अधिकतम लक्ष्य प्रभाव प्राप्त करने की अनुमति देता है। गणितीय प्रोग्रामिंग को प्लाईवुड शीट्स की इष्टतम कटिंग की समस्या को हल करने के आधार पर विकसित किया गया था, जो सामग्री का सबसे पूर्ण उपयोग सुनिश्चित करता है। ऐसी समस्या प्रस्तुत करते हुए, प्रसिद्ध रूसी गणितज्ञ और अर्थशास्त्री शिक्षाविद् एल.वी. कांटोरोविच को अर्थशास्त्र में नोबेल पुरस्कार के योग्य माना गया।

अर्थशास्त्र में गणितीय विधियाँ विश्लेषण के लिए एक महत्वपूर्ण उपकरण हैं। उनका उपयोग सैद्धांतिक मॉडल के निर्माण में किया जाता है जो मौजूदा कनेक्शन को प्रदर्शित करना संभव बनाता है रोजमर्रा की जिंदगी. साथ ही, इन तरीकों का उपयोग करके, देश में व्यावसायिक संस्थाओं के व्यवहार और आर्थिक संकेतकों की गतिशीलता का काफी सटीक अनुमान लगाया जाता है।

मैं आर्थिक वस्तुओं के संकेतकों के पूर्वानुमान पर अधिक विस्तार से ध्यान देना चाहूंगा, जो निर्णय लेने के सिद्धांत का एक उपकरण है। सामाजिक का पूर्वानुमान आर्थिक विकासकिसी भी देश का मूल्यांकन कुछ निश्चित संकेतकों (मुद्रास्फीति की गतिशीलता, सकल घरेलू उत्पाद, आदि) पर आधारित होता है। अपेक्षित संकेतकों का निर्माण प्रतिगमन और सहसंबंध विश्लेषण जैसे लागू सांख्यिकी और अर्थमिति के तरीकों का उपयोग करके किया जाता है।

अनुसंधान का क्षेत्र "अर्थशास्त्र और गणितीय तरीके" इस क्षेत्र के वैज्ञानिकों के लिए हमेशा से काफी दिलचस्प रहा है। इस प्रकार, शिक्षाविद् नेमचिनोव ने योजना और पूर्वानुमान में पांच गणितीय की पहचान की:

तरीका गणितीय मॉडलिंग;

वेक्टर-मैट्रिक्स विधि;

क्रमिक सन्निकटन विधि;

इष्टतम सामाजिक मूल्यांकन की विधि.

एक अन्य शिक्षाविद् कांटोरोविच ने गणितीय विधियों को चार समूहों में विभाजित किया:

आर्थिक इकाइयों के बीच परस्पर क्रिया के मॉडल;

मांग मॉडल और बैलेंस शीट पद्धति सहित व्यापक आर्थिक मॉडल;

अनुकूलन मॉडल;

रैखिक मॉडलिंग.

इस प्रणाली का उपयोग आर्थिक क्षेत्र में प्रभावी और सही निर्णय लेने के लिए किया जाता है। इस मामले में मुख्य रूप से आधुनिक कंप्यूटर तकनीक का उपयोग किया जाता है।

मॉडलिंग प्रक्रिया स्वयं निम्नलिखित क्रम में की जानी चाहिए:

1. समस्या का विवरण. समस्या को स्पष्ट रूप से तैयार करना, हल की जा रही समस्या से संबंधित वस्तुओं और उसके समाधान के परिणामस्वरूप महसूस की गई स्थिति को निर्धारित करना आवश्यक है। इस स्तर पर विषयों, वस्तुओं और उनसे संबंधित स्थितियों का मात्रात्मक विश्लेषण किया जाता है।

2. प्रणाली विश्लेषणकार्य. सभी वस्तुओं को उनके बीच संबंध की परिभाषा के साथ तत्वों में विभाजित किया जाना चाहिए। यह इस स्तर पर है कि अर्थशास्त्र में गणितीय तरीकों का उपयोग करना सबसे अच्छा है, जिसकी मदद से नवगठित तत्वों के गुणों का मात्रात्मक और गुणात्मक विश्लेषण किया जाता है और जिसके परिणामस्वरूप कुछ असमानताएं और समीकरण प्राप्त होते हैं। दूसरे शब्दों में, संकेतकों की एक प्रणाली प्राप्त की जाती है।

3. सिस्टम संश्लेषण एक समस्या का गणितीय सूत्रीकरण है, जिसके संगठन के दौरान किसी वस्तु का गणितीय मॉडल बनता है और समस्या को हल करने के लिए एल्गोरिदम निर्धारित किए जाते हैं। इस स्तर पर, ऐसी संभावना है कि पिछले चरणों के स्वीकृत मॉडल गलत हो सकते हैं, और सही परिणाम प्राप्त करने के लिए आपको एक या दो कदम पीछे जाना होगा।

एक बार गणितीय मॉडल बन जाने के बाद, आप कंप्यूटर पर समस्या को हल करने के लिए एक प्रोग्राम विकसित करने के लिए आगे बढ़ सकते हैं। यदि आपके पास एक काफी जटिल वस्तु है जिसमें शामिल है बड़ी मात्रातत्वों, आपको इसके साथ काम करने के लिए एक डेटाबेस और उपलब्ध टूल बनाने की आवश्यकता होगी।

यदि समस्या एक मानक रूप ले लेती है, तो अर्थशास्त्र में किसी भी उपयुक्त गणितीय विधि का उपयोग किया जाता है और उसे तैयार किया जाता है सॉफ्टवेयर उत्पाद.

अंतिम चरण गठित मॉडल का प्रत्यक्ष संचालन और सही परिणाम प्राप्त करना है।

अर्थशास्त्र में गणितीय तरीकों का उपयोग एक निश्चित क्रम में और आधुनिक सूचना और कंप्यूटिंग प्रौद्योगिकियों के उपयोग के साथ किया जाना चाहिए। केवल इस क्रम में व्यक्तिगत हित और भावनाओं के आधार पर व्यक्तिपरक स्वैच्छिक निर्णयों को बाहर करना संभव हो जाता है।

1. वैज्ञानिक ज्ञान की एक विधि के रूप में मॉडलिंग।

वैज्ञानिक अनुसंधान में मॉडलिंग का उपयोग प्राचीन काल में शुरू हुआ और धीरे-धीरे नए क्षेत्रों में इसका विस्तार हुआ। वैज्ञानिक ज्ञान: तकनीकी डिजाइन, निर्माण और वास्तुकला, खगोल विज्ञान, भौतिकी, रसायन विज्ञान, जीव विज्ञान और अंत में, सामाजिक विज्ञान। लगभग सभी उद्योगों में बड़ी सफलताएँ और मान्यता आधुनिक विज्ञानबीसवीं सदी की मॉडलिंग पद्धति में लाया गया। हालाँकि, मॉडलिंग पद्धति लंबे समय से व्यक्तिगत विज्ञान द्वारा स्वतंत्र रूप से विकसित की गई है। अवधारणाओं की कोई एकीकृत प्रणाली नहीं थी, कोई एकीकृत शब्दावली नहीं थी। धीरे-धीरे ही वैज्ञानिक ज्ञान की सार्वभौमिक पद्धति के रूप में मॉडलिंग की भूमिका का एहसास होने लगा।

"मॉडल" शब्द का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है विभिन्न क्षेत्र मानवीय गतिविधिऔर बहुत सारे हैं अर्थपूर्ण अर्थ. आइए हम केवल ऐसे "मॉडल" पर विचार करें जो ज्ञान प्राप्त करने के उपकरण हैं।

मॉडल एक भौतिक या मानसिक रूप से कल्पित वस्तु है, जो अनुसंधान की प्रक्रिया में मूल वस्तु को प्रतिस्थापित कर देती है ताकि इसका प्रत्यक्ष अध्ययन मूल वस्तु के बारे में नया ज्ञान प्रदान कर सके।

मॉडलिंग से तात्पर्य मॉडलों के निर्माण, अध्ययन और अनुप्रयोग की प्रक्रिया से है। यह अमूर्तता, सादृश्य, परिकल्पना आदि जैसी श्रेणियों से निकटता से संबंधित है। मॉडलिंग प्रक्रिया में आवश्यक रूप से अमूर्तता का निर्माण, सादृश्य द्वारा अनुमान और वैज्ञानिक परिकल्पनाओं का निर्माण शामिल है।

मुख्य विशेषतामॉडलिंग यह है कि यह स्थानापन्न वस्तुओं का उपयोग करके अप्रत्यक्ष अनुभूति की एक विधि है। मॉडल एक प्रकार के अनुभूति उपकरण के रूप में कार्य करता है जिसे शोधकर्ता अपने और वस्तु के बीच रखता है और जिसकी सहायता से वह अपनी रुचि की वस्तु का अध्ययन करता है। यह मॉडलिंग पद्धति की यह विशेषता है जो अमूर्त, उपमाओं, परिकल्पनाओं और अन्य श्रेणियों और अनुभूति के तरीकों का उपयोग करने के विशिष्ट रूपों को निर्धारित करती है।

मॉडलिंग पद्धति का उपयोग करने की आवश्यकता इस तथ्य से निर्धारित होती है कि कई वस्तुओं (या इन वस्तुओं से संबंधित समस्याओं) का सीधे अध्ययन करना या तो असंभव है, या इस शोध के लिए बहुत अधिक समय और धन की आवश्यकता होती है।

मॉडलिंग प्रक्रिया में तीन तत्व शामिल हैं: 1) विषय (शोधकर्ता), 2) अनुसंधान की वस्तु, 3) एक मॉडल जो संज्ञानात्मक विषय और संज्ञेय वस्तु के बीच संबंध में मध्यस्थता करता है।

मान लीजिए कि किसी वस्तु ए को बनाने की आवश्यकता है। हम (भौतिक या मानसिक रूप से) निर्माण करते हैं या वास्तविक दुनिया में एक अन्य वस्तु बी पाते हैं - वस्तु ए का एक मॉडल। एक मॉडल के निर्माण का चरण मूल वस्तु के बारे में कुछ ज्ञान की उपस्थिति को मानता है। . मॉडल की संज्ञानात्मक क्षमताएं इस तथ्य से निर्धारित होती हैं कि मॉडल मूल वस्तु की किसी आवश्यक विशेषता को दर्शाता है। मूल और मॉडल के बीच समानता की आवश्यकता और पर्याप्त डिग्री के प्रश्न के लिए विशिष्ट विश्लेषण की आवश्यकता है। जाहिर है, मॉडल मूल के साथ पहचान के मामले में अपना अर्थ खो देता है (तब यह मूल नहीं रह जाता है), और सभी महत्वपूर्ण मामलों में मूल से अत्यधिक अंतर के मामले में।

इस प्रकार, प्रतिरूपित वस्तु के कुछ पक्षों का अध्ययन अन्य पक्षों को प्रतिबिंबित करने से इनकार करने की कीमत पर किया जाता है। इसलिए, कोई भी मॉडल मूल को केवल एक सीमित अर्थ में ही प्रतिस्थापित करता है। इससे यह पता चलता है कि एक वस्तु के लिए कई "विशेष" मॉडल बनाए जा सकते हैं, जो अध्ययन के तहत वस्तु के कुछ पहलुओं पर ध्यान केंद्रित करते हैं या वस्तु को अलग-अलग डिग्री के विवरण के साथ चित्रित करते हैं।

मॉडलिंग प्रक्रिया के दूसरे चरण में, मॉडल अध्ययन की एक स्वतंत्र वस्तु के रूप में कार्य करता है। इस तरह के शोध का एक रूप "मॉडल" प्रयोगों का संचालन करना है, जिसमें मॉडल की परिचालन स्थितियों को जानबूझकर बदल दिया जाता है और इसके "व्यवहार" पर डेटा को व्यवस्थित किया जाता है। इस चरण का अंतिम परिणाम आर मॉडल के बारे में प्रचुर ज्ञान है।

तीसरे चरण में, ज्ञान को मॉडल से मूल में स्थानांतरित किया जाता है - वस्तु के बारे में ज्ञान एस के एक सेट का गठन। यह ज्ञान हस्तांतरण प्रक्रिया किसके द्वारा की जाती है निश्चित नियम. मॉडल के बारे में ज्ञान को मूल वस्तु के उन गुणों को ध्यान में रखते हुए समायोजित किया जाना चाहिए जो मॉडल के निर्माण के दौरान प्रतिबिंबित नहीं हुए थे या बदले गए थे। हम पर्याप्त कारण के साथ किसी भी परिणाम को मॉडल से मूल में स्थानांतरित कर सकते हैं यदि यह परिणाम आवश्यक रूप से मूल और मॉडल के बीच समानता के संकेतों से जुड़ा हो। यदि किसी मॉडल अध्ययन का एक निश्चित परिणाम मॉडल और मूल के बीच अंतर से जुड़ा है, तो इस परिणाम को स्थानांतरित करना गैरकानूनी है।

चौथा चरण मॉडलों की सहायता से प्राप्त ज्ञान का व्यावहारिक सत्यापन और वस्तु के सामान्य सिद्धांत, उसके परिवर्तन या नियंत्रण के निर्माण के लिए उनका उपयोग है।

मॉडलिंग के सार को समझने के लिए, इस तथ्य को नजरअंदाज नहीं करना महत्वपूर्ण है कि मॉडलिंग किसी वस्तु के बारे में ज्ञान का एकमात्र स्रोत नहीं है। मॉडलिंग प्रक्रिया अनुभूति की अधिक सामान्य प्रक्रिया में "डूब" जाती है। इस परिस्थिति को न केवल मॉडल के निर्माण के चरण में, बल्कि अंतिम चरण में भी ध्यान में रखा जाता है, जब अनुभूति के विविध साधनों के आधार पर प्राप्त शोध परिणामों का संयोजन और सामान्यीकरण होता है।

मॉडलिंग एक चक्रीय प्रक्रिया है. इसका मतलब यह है कि पहले चार-चरणीय चक्र के बाद दूसरा, तीसरा आदि हो सकता है। साथ ही, अध्ययन के तहत वस्तु के बारे में ज्ञान का विस्तार और परिष्कृत किया जाता है, और प्रारंभिक मॉडल में धीरे-धीरे सुधार किया जाता है। पहले मॉडलिंग चक्र के बाद वस्तु के खराब ज्ञान और मॉडल निर्माण में त्रुटियों के कारण पाई गई कमियों को बाद के चक्रों में ठीक किया जा सकता है। इस प्रकार, मॉडलिंग पद्धति में आत्म-विकास के महान अवसर शामिल हैं।

2. अर्थशास्त्र में गणितीय मॉडलिंग पद्धति के अनुप्रयोग की विशेषताएं।

अर्थशास्त्र में गणित के प्रवेश में महत्वपूर्ण कठिनाइयों पर काबू पाना शामिल है। गणित, जो मुख्य रूप से भौतिकी और प्रौद्योगिकी की जरूरतों के संबंध में कई शताब्दियों में विकसित हुआ, इसके लिए आंशिक रूप से दोषी था। लेकिन मुख्य कारण अभी भी आर्थिक प्रक्रियाओं की प्रकृति, आर्थिक विज्ञान की बारीकियों में निहित हैं।

आर्थिक विज्ञान द्वारा अध्ययन की गई अधिकांश वस्तुओं को एक जटिल प्रणाली की साइबरनेटिक अवधारणा द्वारा चित्रित किया जा सकता है।

किसी प्रणाली की सबसे आम समझ तत्वों के एक समूह के रूप में होती है जो परस्पर क्रिया करते हैं और एक निश्चित अखंडता, एकता का निर्माण करते हैं। एक महत्वपूर्ण गुणकिसी भी प्रणाली का उद्भव होता है - उन गुणों की उपस्थिति जो सिस्टम में शामिल किसी भी तत्व में निहित नहीं हैं। इसलिए, प्रणालियों का अध्ययन करते समय, उन्हें तत्वों में विभाजित करने और फिर इन तत्वों का अलग-अलग अध्ययन करने की विधि का उपयोग करना पर्याप्त नहीं है। आर्थिक अनुसंधान की कठिनाइयों में से एक यह है कि लगभग कोई भी आर्थिक वस्तु नहीं है जिसे अलग (गैर-प्रणालीगत) तत्वों के रूप में माना जा सके।

किसी सिस्टम की जटिलता उसमें शामिल तत्वों की संख्या, इन तत्वों के बीच संबंध, साथ ही सिस्टम और पर्यावरण के बीच संबंध से निर्धारित होती है। देश की अर्थव्यवस्था बहुत अच्छी होने के पूरे संकेत मिल रहे हैं जटिल सिस्टम. यह बड़ी संख्या में तत्वों को एकजुट करता है और विभिन्न प्रकार के आंतरिक कनेक्शन और अन्य प्रणालियों के साथ कनेक्शन द्वारा प्रतिष्ठित है ( प्रकृतिक वातावरण, अन्य देशों की अर्थव्यवस्था, आदि)। राष्ट्रीय अर्थव्यवस्था में, प्राकृतिक, तकनीकी, सामाजिक प्रक्रियाएं, वस्तुनिष्ठ और व्यक्तिपरक कारक परस्पर क्रिया करते हैं।

अर्थव्यवस्था की जटिलता को कभी-कभी इसे मॉडलिंग करने और गणित का उपयोग करके इसका अध्ययन करने की असंभवता के औचित्य के रूप में देखा जाता था। लेकिन यह दृष्टिकोण मौलिक रूप से गलत है। आप किसी भी प्रकृति और किसी भी जटिलता की वस्तु का मॉडल बना सकते हैं। और यह बिल्कुल जटिल वस्तुएं हैं जो मॉडलिंग के लिए सबसे अधिक रुचि रखती हैं; यह वह जगह है जहां मॉडलिंग ऐसे परिणाम प्रदान कर सकती है जो अन्य शोध विधियों द्वारा प्राप्त नहीं किए जा सकते।

किसी भी आर्थिक वस्तु और प्रक्रिया के गणितीय मॉडलिंग की संभावित संभावना का मतलब, निश्चित रूप से, आर्थिक और गणितीय ज्ञान, उपलब्ध विशिष्ट जानकारी और कंप्यूटर प्रौद्योगिकी के दिए गए स्तर के साथ इसकी सफल व्यवहार्यता नहीं है। और यद्यपि आर्थिक समस्याओं की गणितीय औपचारिकता की पूर्ण सीमाओं को इंगित करना असंभव है, फिर भी अनौपचारिक समस्याएं हमेशा बनी रहेंगी, साथ ही ऐसी स्थितियाँ भी होंगी जहाँ गणितीय मॉडलिंग पर्याप्त प्रभावी नहीं है।

3. आर्थिक अवलोकनों और मापों की विशेषताएं।

पहले से लंबे समय तकअर्थशास्त्र में गणितीय मॉडलिंग के व्यावहारिक अनुप्रयोग में मुख्य बाधा विकसित मॉडलों को विशिष्ट और उच्च गुणवत्ता वाली जानकारी से भरना है। प्राथमिक जानकारी की सटीकता और पूर्णता, इसके संग्रह और प्रसंस्करण की वास्तविक संभावनाएं काफी हद तक लागू मॉडल के प्रकारों की पसंद निर्धारित करती हैं। दूसरी ओर, आर्थिक मॉडलिंग अध्ययन ने सूचना प्रणाली के लिए नई आवश्यकताओं को सामने रखा है।

मॉडलिंग की जा रही वस्तुओं और मॉडलों के उद्देश्य के आधार पर, उनमें उपयोग की गई प्रारंभिक जानकारी की प्रकृति और उत्पत्ति काफी भिन्न होती है। इसे दो श्रेणियों में विभाजित किया जा सकता है: वस्तुओं के पिछले विकास और वर्तमान स्थिति (आर्थिक अवलोकन और उनके प्रसंस्करण) के बारे में और वस्तुओं के भविष्य के विकास के बारे में, जिसमें उनके आंतरिक मापदंडों में अपेक्षित परिवर्तनों पर डेटा शामिल है और बाहरी स्थितियाँ(पूर्वानुमान). जानकारी की दूसरी श्रेणी स्वतंत्र शोध का परिणाम है, जिसे सिमुलेशन के माध्यम से भी निष्पादित किया जा सकता है।

आर्थिक अवलोकनों के तरीके और इन अवलोकनों के परिणामों के उपयोग को आर्थिक सांख्यिकी द्वारा विकसित किया जाता है। इसलिए, यह केवल आर्थिक प्रक्रियाओं के मॉडलिंग से जुड़ी आर्थिक टिप्पणियों की विशिष्ट समस्याओं पर ध्यान देने योग्य है।

अर्थशास्त्र में, कई प्रक्रियाएँ बड़े पैमाने पर होती हैं; वे ऐसे पैटर्न की विशेषता रखते हैं जो केवल एक या कुछ अवलोकनों से स्पष्ट नहीं होते हैं। इसलिए, अर्थशास्त्र में मॉडलिंग को बड़े पैमाने पर टिप्पणियों पर निर्भर रहना चाहिए।

एक अन्य समस्या आर्थिक प्रक्रियाओं की गतिशीलता, उनके मापदंडों और संरचनात्मक संबंधों की परिवर्तनशीलता से उत्पन्न होती है। परिणामस्वरूप, आर्थिक प्रक्रियाओं की लगातार निगरानी की जानी चाहिए, और नए डेटा का निरंतर प्रवाह होना आवश्यक है। चूँकि आर्थिक प्रक्रियाओं के अवलोकन और अनुभवजन्य डेटा के प्रसंस्करण में आमतौर पर काफी समय लगता है, अर्थव्यवस्था के गणितीय मॉडल का निर्माण करते समय प्रारंभिक जानकारी को इसकी देरी को ध्यान में रखते हुए समायोजित करना आवश्यक है।

आर्थिक प्रक्रियाओं और घटनाओं के मात्रात्मक संबंधों का ज्ञान आर्थिक माप पर आधारित है। माप की सटीकता काफी हद तक सिमुलेशन के माध्यम से मात्रात्मक विश्लेषण के अंतिम परिणामों की सटीकता निर्धारित करती है। इसीलिए एक आवश्यक शर्तगणितीय मॉडलिंग का एक प्रभावी उपयोग आर्थिक संकेतकों में सुधार करना है। गणितीय मॉडलिंग के उपयोग ने सामाजिक-आर्थिक विकास के विभिन्न पहलुओं और घटनाओं के माप और मात्रात्मक तुलना, प्राप्त आंकड़ों की विश्वसनीयता और पूर्णता, और जानबूझकर और तकनीकी विकृतियों से उनकी सुरक्षा की समस्या को तेज कर दिया है।

मॉडलिंग प्रक्रिया के दौरान, "प्राथमिक" और "माध्यमिक" आर्थिक संकेतकों के बीच परस्पर क्रिया उत्पन्न होती है। राष्ट्रीय अर्थव्यवस्था का कोई भी मॉडल आर्थिक उपायों (उत्पादों, संसाधनों, तत्वों, आदि) की एक निश्चित प्रणाली पर आधारित होता है। साथ ही, राष्ट्रीय आर्थिक मॉडलिंग के महत्वपूर्ण परिणामों में से एक नए (माध्यमिक) आर्थिक संकेतक प्राप्त करना है - विभिन्न उद्योगों में उत्पादों के लिए आर्थिक रूप से उचित कीमतें, विभिन्न गुणवत्ता वाले प्राकृतिक संसाधनों की दक्षता का आकलन, और सामाजिक संकेतक उत्पादों की उपयोगिता. हालाँकि, ये उपाय अपर्याप्त रूप से प्रमाणित प्राथमिक उपायों से प्रभावित हो सकते हैं, जो व्यवसाय मॉडल के लिए प्राथमिक उपायों को समायोजित करने के लिए एक विशेष पद्धति के विकास को मजबूर करता है।

आर्थिक मॉडलिंग के "हितों" के दृष्टिकोण से, वर्तमान में आर्थिक संकेतकों में सुधार की सबसे गंभीर समस्याएं हैं: बौद्धिक गतिविधि के परिणामों का आकलन करना (विशेषकर वैज्ञानिक और तकनीकी विकास के क्षेत्र में, कंप्यूटर विज्ञान उद्योग), सामान्य निर्माण सामाजिक-आर्थिक विकास के संकेतक, फीडबैक प्रभावों को मापना (उत्पादन दक्षता पर आर्थिक और सामाजिक तंत्र को प्रभावित करना)।

4. आर्थिक विकास में अनियमितता एवं अनिश्चितता।

आर्थिक नियोजन पद्धति के लिए आर्थिक विकास की अनिश्चितता की अवधारणा महत्वपूर्ण है। आर्थिक पूर्वानुमान और योजना पर अध्ययन में, दो प्रकार की अनिश्चितता को प्रतिष्ठित किया जाता है: "सत्य", आर्थिक प्रक्रियाओं के गुणों के कारण, और "जानकारी", इन प्रक्रियाओं के बारे में उपलब्ध जानकारी की अपूर्णता और अशुद्धि से जुड़ी। सच्ची अनिश्चितता को आर्थिक विकास के लिए विभिन्न विकल्पों के वस्तुनिष्ठ अस्तित्व और उनमें से सचेत रूप से प्रभावी विकल्प चुनने की संभावना के साथ भ्रमित नहीं किया जा सकता है। हम किसी एकल (इष्टतम) विकल्प को सटीक रूप से चुनने की मूलभूत असंभवता के बारे में बात कर रहे हैं।

आर्थिक विकास में अनिश्चितता दो मुख्य कारणों से होती है। सबसे पहले, नियोजित और नियंत्रित प्रक्रियाओं के पाठ्यक्रम के साथ-साथ इन प्रक्रियाओं पर बाहरी प्रभावों का, यादृच्छिक कारकों की कार्रवाई और प्रत्येक क्षण मानव अनुभूति की सीमाओं के कारण सटीक अनुमान नहीं लगाया जा सकता है। यह विशेष रूप से वैज्ञानिक और तकनीकी प्रगति, समाज की जरूरतों और आर्थिक व्यवहार की भविष्यवाणी के लिए विशिष्ट है। दूसरे, सामान्य राज्य योजना और प्रबंधन न केवल व्यापक नहीं है, बल्कि सर्वशक्तिमान भी नहीं है, और विशेष हितों वाली कई स्वतंत्र आर्थिक संस्थाओं की उपस्थिति हमें उनकी बातचीत के परिणामों की सटीक भविष्यवाणी करने की अनुमति नहीं देती है। वस्तुनिष्ठ प्रक्रियाओं और आर्थिक व्यवहार के बारे में अधूरी और गलत जानकारी सच्ची अनिश्चितता को बढ़ाती है।

आर्थिक मॉडलिंग पर अनुसंधान के पहले चरण में, नियतात्मक प्रकार के मॉडल का मुख्य रूप से उपयोग किया गया था। इन मॉडलों में, सभी मापदंडों को बिल्कुल ज्ञात माना जाता है। हालाँकि, नियतात्मक मॉडल को यांत्रिक अर्थ में गलत समझा जाता है और उन मॉडलों के साथ पहचाना जाता है जो सभी "पसंद की डिग्री" (पसंद के अवसर) से रहित होते हैं और जिनके पास एक ही व्यवहार्य समाधान होता है। कड़ाई से नियतात्मक मॉडल का एक क्लासिक प्रतिनिधि राष्ट्रीय अर्थव्यवस्था का अनुकूलन मॉडल है, जिसका उपयोग निर्धारित करने के लिए किया जाता है सर्वोत्तम विकल्पकई संभावित विकल्पों में से आर्थिक विकास।

कड़ाई से नियतात्मक मॉडल के उपयोग में अनुभव के संचय के परिणामस्वरूप, आर्थिक प्रक्रियाओं के मॉडलिंग के लिए अधिक उन्नत पद्धति के सफल उपयोग के लिए वास्तविक अवसर पैदा हुए हैं जो स्टोकेस्टिसिटी और अनिश्चितता को ध्यान में रखते हैं। यहां अनुसंधान के दो मुख्य क्षेत्रों को प्रतिष्ठित किया जा सकता है। सबसे पहले, कड़ाई से नियतात्मक मॉडल का उपयोग करने की पद्धति में सुधार किया जाएगा: मॉडल डिज़ाइन और उसके प्रारंभिक डेटा में भिन्नता के साथ बहुभिन्नरूपी गणना और मॉडल प्रयोग करना; परिणामी समाधानों की स्थिरता और विश्वसनीयता का अध्ययन करना, अनिश्चितता के क्षेत्र की पहचान करना; मॉडल में भंडार को शामिल करना, ऐसी तकनीकों का उपयोग जो संभावित और अप्रत्याशित स्थितियों के लिए आर्थिक निर्णयों की अनुकूलन क्षमता को बढ़ाता है। दूसरे, ऐसे मॉडल व्यापक होते जा रहे हैं जो सीधे तौर पर आर्थिक प्रक्रियाओं की स्टोकेस्टिकिटी और अनिश्चितता को दर्शाते हैं और उपयुक्त गणितीय उपकरण का उपयोग करते हैं: संभाव्यता सिद्धांत और गणितीय आँकड़े, खेल और सांख्यिकीय निर्णयों का सिद्धांत, कतारबद्ध सिद्धांत, स्टोकेस्टिक प्रोग्रामिंग और यादृच्छिक प्रक्रियाओं का सिद्धांत।

5. मॉडलों की पर्याप्तता की जाँच करना।

ऊपर उल्लिखित आर्थिक प्रक्रियाओं और घटनाओं की जटिलता और आर्थिक प्रणालियों की अन्य विशेषताएं न केवल गणितीय मॉडल का निर्माण करना मुश्किल बनाती हैं, बल्कि उनकी पर्याप्तता और प्राप्त परिणामों की सच्चाई को सत्यापित करना भी मुश्किल बनाती हैं।

प्राकृतिक विज्ञान में, मॉडलिंग और ज्ञान के किसी भी अन्य रूप के परिणामों की सच्चाई के लिए एक पर्याप्त शर्त अवलोकन किए गए तथ्यों के साथ शोध परिणामों का संयोग है। यहां "अभ्यास" श्रेणी "वास्तविकता" श्रेणी से मेल खाती है। अर्थशास्त्र एवं अन्य सामाजिक विज्ञानों में "अभ्यास ही सत्य की कसौटी है" के सिद्धांत को इस प्रकार समझा जाता है अधिक हद तकवास्तविकता के निष्क्रिय विवरण और स्पष्टीकरण (पिछले विकास का विश्लेषण, अनियंत्रित आर्थिक प्रक्रियाओं का अल्पकालिक पूर्वानुमान, आदि) के लिए उपयोग किए जाने वाले सरल वर्णनात्मक मॉडल पर लागू होता है।

हालाँकि, अर्थशास्त्र का मुख्य कार्य रचनात्मक है: विकास करना वैज्ञानिक तरीकेआर्थिक योजना और प्रबंधन. इसलिए, अर्थव्यवस्था के एक सामान्य प्रकार के गणितीय मॉडल आर्थिक वास्तविकता को बदलने के लिए उपयोग की जाने वाली नियंत्रित और विनियमित आर्थिक प्रक्रियाओं के मॉडल हैं। ऐसे मॉडलों को मानक कहा जाता है। यदि मानक मॉडल केवल वास्तविकता की पुष्टि करने की ओर उन्मुख हैं, तो वे गुणात्मक रूप से नई सामाजिक-आर्थिक समस्याओं को हल करने के लिए एक उपकरण के रूप में काम नहीं कर पाएंगे।

मानक आर्थिक मॉडल के सत्यापन की विशिष्टता यह है कि वे, एक नियम के रूप में, अन्य योजना और प्रबंधन विधियों के साथ "प्रतिस्पर्धा" करते हैं जो पहले से ही व्यावहारिक अनुप्रयोग पा चुके हैं। साथ ही, मॉडल को सत्यापित करने के लिए मॉडल ऑब्जेक्ट पर अन्य नियंत्रण क्रियाओं के प्रभाव को समाप्त करने के लिए एक शुद्ध प्रयोग करना हमेशा संभव नहीं होता है।

स्थिति तब और भी जटिल हो जाती है जब दीर्घकालिक पूर्वानुमान और योजना मॉडल (वर्णनात्मक और मानक दोनों) के सत्यापन का प्रश्न उठाया जाता है। आख़िरकार, आप मॉडल के परिसर की शुद्धता की जांच करने के लिए घटनाओं के घटित होने के लिए निष्क्रिय रूप से 10-15 साल या उससे अधिक का इंतज़ार नहीं कर सकते।

उल्लेखनीय जटिल परिस्थितियों के बावजूद, मॉडल का वास्तविक दुनिया के तथ्यों और रुझानों के साथ अनुपालन आर्थिक जीवनमॉडलों में सुधार की दिशा निर्धारित करने वाला सबसे महत्वपूर्ण मानदंड बना हुआ है। वास्तविकता और मॉडल के बीच पहचानी गई विसंगतियों का व्यापक विश्लेषण, अन्य तरीकों से प्राप्त परिणामों के साथ मॉडल के परिणामों की तुलना मॉडल को सही करने के तरीकों को विकसित करने में मदद करती है।

मॉडल चेकिंग में अहम भूमिका इसी की है तार्किक विश्लेषण, जिसमें गणितीय मॉडलिंग के माध्यम से भी शामिल है। मॉडल सत्यापन के ऐसे औपचारिक तरीके जैसे कि मॉडल में समाधान के अस्तित्व को साबित करना, मॉडल के मापदंडों और चर के बीच संबंधों के बारे में सांख्यिकीय परिकल्पनाओं की सच्चाई की जांच करना, मात्राओं के आयामों की तुलना करना आदि, इसे सीमित करना संभव बनाते हैं। संभावित "सही" मॉडलों का वर्ग।

मॉडल के परिसर की आंतरिक स्थिरता की जाँच इसकी सहायता से प्राप्त परिणामों की एक दूसरे के साथ तुलना करके, साथ ही "प्रतिस्पर्धी" मॉडल के परिणामों से भी की जाती है।

का मूल्यांकन वर्तमान स्थितिअर्थशास्त्र के लिए गणितीय मॉडल की पर्याप्तता की समस्याएं, यह माना जाना चाहिए कि मॉडल सत्यापन के लिए एक रचनात्मक व्यापक पद्धति का निर्माण, मॉडलिंग की जा रही वस्तुओं की वस्तुनिष्ठ विशेषताओं और उनके संज्ञान की विशेषताओं दोनों को ध्यान में रखते हुए, अभी भी इनमें से एक है आर्थिक और गणितीय अनुसंधान के सबसे जरूरी कार्य।

6. आर्थिक और गणितीय मॉडल का वर्गीकरण।

आर्थिक प्रक्रियाओं और घटनाओं के गणितीय मॉडल को अधिक संक्षेप में आर्थिक-गणितीय मॉडल कहा जा सकता है। इन मॉडलों को वर्गीकृत करने के लिए विभिन्न आधारों का उपयोग किया जाता है।

उनके इच्छित उद्देश्य के अनुसार, आर्थिक और गणितीय मॉडल को सैद्धांतिक और विश्लेषणात्मक में विभाजित किया जाता है, जिसका उपयोग आर्थिक प्रक्रियाओं के सामान्य गुणों और पैटर्न के अध्ययन में किया जाता है, और लागू किया जाता है, विशिष्ट आर्थिक समस्याओं (आर्थिक विश्लेषण, पूर्वानुमान, प्रबंधन के मॉडल) को हल करने में उपयोग किया जाता है।

आर्थिक और गणितीय मॉडल का उद्देश्य राष्ट्रीय अर्थव्यवस्था के विभिन्न पहलुओं (विशेष रूप से, इसके उत्पादन, तकनीकी, सामाजिक, क्षेत्रीय संरचना) और इसके व्यक्तिगत भागों का अध्ययन करना हो सकता है। आर्थिक प्रक्रियाओं और अध्ययन के तहत महत्वपूर्ण मुद्दों के अनुसार मॉडलों को वर्गीकृत करते समय, कोई समग्र रूप से राष्ट्रीय अर्थव्यवस्था के मॉडल और उसके उप-प्रणालियों - उद्योगों, क्षेत्रों, आदि, उत्पादन, उपभोग, उत्पादन और आय के वितरण के मॉडल के परिसरों को अलग कर सकता है। श्रम संसाधन, मूल्य निर्धारण, वित्तीय संबंध, आदि।

आइए हम आर्थिक और गणितीय मॉडल के ऐसे वर्गों की विशेषताओं पर अधिक विस्तार से ध्यान दें सबसे बड़ी विशेषताएँमॉडलिंग के तरीके और तकनीकें।

गणितीय मॉडल के सामान्य वर्गीकरण के अनुसार, उन्हें कार्यात्मक और संरचनात्मक में विभाजित किया गया है, और इसमें मध्यवर्ती रूप (संरचनात्मक-कार्यात्मक) भी शामिल हैं। राष्ट्रीय आर्थिक स्तर पर अध्ययनों में, योजना और प्रबंधन के लिए संरचनात्मक मॉडल का अधिक बार उपयोग किया जाता है बड़ा मूल्यवानउपप्रणालियों के बीच अंतर्संबंध हैं। विशिष्ट संरचनात्मक मॉडल अंतरक्षेत्रीय लिंक के मॉडल हैं। आर्थिक विनियमन में कार्यात्मक मॉडल का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, जब किसी वस्तु का व्यवहार ("आउटपुट") "इनपुट" को बदलने से प्रभावित होता है। एक उदाहरण कमोडिटी-मनी संबंधों की स्थितियों में उपभोक्ता व्यवहार का मॉडल है। एक ही वस्तु को संरचना और कार्यात्मक मॉडल दोनों द्वारा एक साथ वर्णित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, एक अलग उद्योग प्रणाली की योजना बनाने के लिए, एक संरचनात्मक मॉडल का उपयोग किया जाता है, और राष्ट्रीय आर्थिक स्तर पर, प्रत्येक उद्योग को एक कार्यात्मक मॉडल द्वारा दर्शाया जा सकता है।

वर्णनात्मक और मानक मॉडल के बीच अंतर पहले ही ऊपर दिखाया जा चुका है। वर्णनात्मक मॉडल प्रश्न का उत्तर देते हैं: यह कैसे होता है? या यह संभवतः आगे कैसे विकसित हो सकता है?, यानी। वे केवल देखे गए तथ्यों की व्याख्या करते हैं या एक विश्वसनीय भविष्यवाणी प्रदान करते हैं। मानक मॉडल इस प्रश्न का उत्तर देते हैं: यह कैसे होना चाहिए?, अर्थात्। उद्देश्यपूर्ण गतिविधि शामिल करें. मानक मॉडल का एक विशिष्ट उदाहरण इष्टतम नियोजन मॉडल हैं, जो किसी न किसी तरह से आर्थिक विकास के लक्ष्यों, अवसरों और उन्हें प्राप्त करने के साधनों को औपचारिक रूप देते हैं।

आर्थिक मॉडलिंग में एक वर्णनात्मक दृष्टिकोण के उपयोग को अर्थव्यवस्था में विभिन्न निर्भरताओं को अनुभवजन्य रूप से पहचानने और आर्थिक व्यवहार के सांख्यिकीय पैटर्न स्थापित करने की आवश्यकता से समझाया गया है। सामाजिक समूहों, अपरिवर्तित परिस्थितियों में या बाहरी प्रभावों के बिना होने वाली किसी भी प्रक्रिया के विकास के संभावित पथों का अध्ययन करना। वर्णनात्मक मॉडल के उदाहरण सांख्यिकीय डेटा प्रोसेसिंग के आधार पर निर्मित उत्पादन कार्य और उपभोक्ता मांग कार्य हैं।

कोई आर्थिक-गणितीय मॉडल वर्णनात्मक है या मानक, यह न केवल इसकी गणितीय संरचना पर निर्भर करता है, बल्कि इस मॉडल के उपयोग की प्रकृति पर भी निर्भर करता है। उदाहरण के लिए, इनपुट-आउटपुट मॉडल वर्णनात्मक है यदि इसका उपयोग पिछली अवधि के अनुपात का विश्लेषण करने के लिए किया जाता है। लेकिन यही गणितीय मॉडल तब मानक बन जाता है जब इसका उपयोग राष्ट्रीय अर्थव्यवस्था के विकास के लिए संतुलित विकल्पों की गणना करने के लिए किया जाता है जो नियोजित उत्पादन लागत मानकों पर समाज की अंतिम जरूरतों को पूरा करते हैं।

कई आर्थिक और गणितीय मॉडल वर्णनात्मक और मानक मॉडल की विशेषताओं को जोड़ते हैं। एक विशिष्ट स्थिति तब होती है जब एक जटिल संरचना का एक मानक मॉडल अलग-अलग ब्लॉकों को जोड़ता है, जो निजी वर्णनात्मक मॉडल होते हैं। उदाहरण के लिए, एक क्रॉस-इंडस्ट्री मॉडल में उपभोक्ता मांग फ़ंक्शन शामिल हो सकते हैं जो उपभोक्ता व्यवहार को आय परिवर्तन के रूप में वर्णित करते हैं। ऐसे उदाहरण आर्थिक प्रक्रियाओं के मॉडलिंग के लिए वर्णनात्मक और मानक दृष्टिकोण को प्रभावी ढंग से संयोजित करने की प्रवृत्ति को दर्शाते हैं। सिमुलेशन मॉडलिंग में वर्णनात्मक दृष्टिकोण का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

कारण-और-प्रभाव संबंधों के प्रतिबिंब की प्रकृति के आधार पर, कड़ाई से नियतात्मक मॉडल और मॉडल के बीच अंतर किया जाता है जो यादृच्छिकता और अनिश्चितता को ध्यान में रखते हैं। संभाव्य कानूनों द्वारा वर्णित अनिश्चितता और उस अनिश्चितता के बीच अंतर करना आवश्यक है जिसके वर्णन के लिए संभाव्यता सिद्धांत के नियम लागू नहीं होते हैं। दूसरे प्रकार की अनिश्चितता का मॉडल बनाना अधिक कठिन है।

समय कारक को प्रतिबिंबित करने के तरीकों के अनुसार, आर्थिक और गणितीय मॉडल को स्थिर और गतिशील में विभाजित किया गया है। स्थैतिक मॉडल में, सभी निर्भरताएँ एक क्षण या समय अवधि से संबंधित होती हैं। गतिशील मॉडल समय के साथ आर्थिक प्रक्रियाओं में बदलाव की विशेषता बताते हैं। विचाराधीन समय अवधि की अवधि के आधार पर, अल्पकालिक (एक वर्ष तक), मध्यम अवधि (5 वर्ष तक), दीर्घकालिक (10-15 या अधिक वर्ष) पूर्वानुमान और योजना के मॉडल भिन्न होते हैं। आर्थिक और गणितीय मॉडल में समय स्वयं लगातार या अलग-अलग रूप से बदल सकता है।

आर्थिक प्रक्रियाओं के मॉडल गणितीय निर्भरता के रूप में बेहद विविध हैं। रैखिक मॉडलों के उस वर्ग को उजागर करना विशेष रूप से महत्वपूर्ण है जो विश्लेषण और गणना के लिए सबसे सुविधाजनक हैं और परिणामस्वरूप, व्यापक हो गए हैं। रैखिक और गैर-रेखीय मॉडल के बीच अंतर न केवल गणितीय दृष्टिकोण से, बल्कि सैद्धांतिक और आर्थिक दृष्टिकोण से भी महत्वपूर्ण हैं, क्योंकि अर्थव्यवस्था में कई निर्भरताएँ मूल रूप से प्रकृति में गैर-रेखीय हैं: बढ़े हुए उत्पादन के साथ संसाधन उपयोग की दक्षता, परिवर्तन उत्पादन में वृद्धि के साथ जनसंख्या की मांग और खपत में, बढ़ती आय के साथ जनसंख्या की मांग और खपत में परिवर्तन, आदि। लिखित " रैखिक अर्थव्यवस्था" "नॉनलाइनर इकोनॉमी" के सिद्धांत से काफी भिन्न है। केंद्रीकृत योजना और आर्थिक उपप्रणालियों की आर्थिक स्वतंत्रता के संयोजन की संभावना के बारे में निष्कर्ष इस बात पर काफी निर्भर करते हैं कि क्या उपप्रणालियों (उद्योगों, उद्यमों) की उत्पादन क्षमताओं के सेट को उत्तल माना जाता है या गैर- उत्तल.

मॉडल में शामिल बहिर्जात और अंतर्जात चर के अनुपात के अनुसार, उन्हें खुले और बंद में विभाजित किया जा सकता है। पूरी तरह से खुले मॉडल नहीं हैं; मॉडल में कम से कम एक अंतर्जात चर होना चाहिए। पूरी तरह से बंद आर्थिक और गणितीय मॉडल, यानी। बहिर्जात चर शामिल नहीं, अत्यंत दुर्लभ हैं; उनके निर्माण के लिए "पर्यावरण" से पूर्ण अमूर्तता की आवश्यकता होती है, अर्थात। वास्तविक आर्थिक प्रणालियों का गंभीर रूप से कठोर होना, जिनका हमेशा बाहरी संबंध होता है। अधिकांश आर्थिक और गणितीय मॉडल एक मध्यवर्ती स्थिति पर कब्जा कर लेते हैं और खुलेपन (बंदपन) की डिग्री में भिन्न होते हैं।

राष्ट्रीय आर्थिक स्तर पर मॉडलों के लिए, समग्र और विस्तृत में विभाजन महत्वपूर्ण है।

इस पर निर्भर करते हुए कि राष्ट्रीय आर्थिक मॉडल में स्थानिक कारक और स्थितियाँ शामिल हैं या नहीं, स्थानिक और बिंदु मॉडल के बीच अंतर किया जाता है।

इस प्रकार, आर्थिक और गणितीय मॉडल के सामान्य वर्गीकरण में दस से अधिक मुख्य विशेषताएं शामिल हैं। आर्थिक और गणितीय अनुसंधान के विकास के साथ, उपयोग किए गए मॉडलों को वर्गीकृत करने की समस्या और अधिक जटिल हो जाती है। नए प्रकार के मॉडलों के उद्भव के साथ-साथ (विशेषकर मिश्रित प्रकार) और उनके वर्गीकरण की नई विशेषताएं, विभिन्न प्रकार के मॉडल को अधिक जटिल मॉडल संरचनाओं में एकीकृत करने की प्रक्रिया को अंजाम दिया जाता है।

7. आर्थिक और गणितीय मॉडलिंग के चरण।

मॉडलिंग प्रक्रिया के मुख्य चरणों की चर्चा पहले ही ऊपर की जा चुकी है। अर्थशास्त्र सहित ज्ञान की विभिन्न शाखाओं में, वे अपनी विशिष्ट विशेषताएं प्राप्त करते हैं। आइए हम आर्थिक और गणितीय मॉडलिंग के एक चक्र के चरणों के अनुक्रम और सामग्री का विश्लेषण करें।

1. आर्थिक समस्या का विवरण एवं उसका गुणात्मक विश्लेषण। यहां मुख्य बात समस्या के सार, बनाई गई धारणाओं और उन प्रश्नों को स्पष्ट रूप से तैयार करना है जिनके उत्तर की आवश्यकता है। इस चरण में मॉडल किए गए ऑब्जेक्ट की सबसे महत्वपूर्ण विशेषताओं और गुणों की पहचान करना और छोटी विशेषताओं को अलग करना शामिल है; किसी वस्तु की संरचना और उसके तत्वों को जोड़ने वाली बुनियादी निर्भरता का अध्ययन करना; वस्तु के व्यवहार और विकास की व्याख्या करने वाली परिकल्पनाएँ तैयार करना (कम से कम प्रारंभिक)।

2. निर्माण गणितीय मॉडल. यह एक आर्थिक समस्या को औपचारिक बनाने, उसे विशिष्ट गणितीय निर्भरताओं और संबंधों (कार्यों, समीकरणों, असमानताओं, आदि) के रूप में व्यक्त करने का चरण है। आमतौर पर, गणितीय मॉडल का मुख्य डिज़ाइन (प्रकार) पहले निर्धारित किया जाता है, और फिर इस डिज़ाइन का विवरण निर्दिष्ट किया जाता है (चर और मापदंडों की एक विशिष्ट सूची, कनेक्शन का रूप)। इस प्रकार, मॉडल का निर्माण बदले में कई चरणों में विभाजित है।

यह मानना ​​गलत है कि कोई मॉडल जितने अधिक तथ्यों को ध्यान में रखता है, वह उतना ही बेहतर "काम" करता है और बेहतर परिणाम देता है। मॉडल की जटिलता की ऐसी विशेषताओं के बारे में भी यही कहा जा सकता है जैसे कि गणितीय निर्भरता के रूपों का उपयोग किया जाता है (रैखिक और गैर-रेखीय), यादृच्छिकता और अनिश्चितता आदि के कारकों को ध्यान में रखते हुए। मॉडल की अत्यधिक जटिलता और बोझिलता अनुसंधान प्रक्रिया को जटिल बनाती है। न केवल सूचना और गणितीय समर्थन की वास्तविक क्षमताओं को ध्यान में रखना आवश्यक है, बल्कि परिणामी प्रभाव के साथ मॉडलिंग की लागतों की तुलना करना भी आवश्यक है (जैसे-जैसे मॉडल की जटिलता बढ़ती है, लागत में वृद्धि प्रभाव में वृद्धि से अधिक हो सकती है) .

में से एक महत्वपूर्ण विशेषताएंगणितीय मॉडल - विभिन्न गुणवत्ता की समस्याओं को हल करने के लिए उनका उपयोग करने की संभावित संभावना। इसलिए, किसी नई आर्थिक समस्या का सामना करने पर भी, मॉडल का "आविष्कार" करने का प्रयास करने की कोई आवश्यकता नहीं है; सबसे पहले, आपको इस समस्या को हल करने के लिए पहले से ज्ञात मॉडल लागू करने का प्रयास करना होगा।

एक मॉडल बनाने की प्रक्रिया में, वैज्ञानिक ज्ञान की दो प्रणालियों - आर्थिक और गणितीय - के बीच तुलना की जाती है। ऐसे मॉडल को प्राप्त करने का प्रयास करना स्वाभाविक है जो गणितीय समस्याओं के अच्छी तरह से अध्ययन किए गए वर्ग से संबंधित है। अक्सर यह मॉडल की प्रारंभिक मान्यताओं को कुछ हद तक सरल बनाकर, मॉडल किए गए ऑब्जेक्ट की आवश्यक विशेषताओं को विकृत किए बिना किया जा सकता है। हालाँकि, ऐसी स्थिति भी संभव है जब किसी आर्थिक समस्या का औपचारिकीकरण पहले से अज्ञात गणितीय संरचना की ओर ले जाता है। बीसवीं सदी के मध्य में आर्थिक विज्ञान और अभ्यास की आवश्यकताएँ। गणितीय प्रोग्रामिंग, गेम थ्योरी, कार्यात्मक विश्लेषण और कम्प्यूटेशनल गणित के विकास में योगदान दिया। यह संभावना है कि भविष्य में आर्थिक विज्ञान का विकास गणित की नई शाखाओं के निर्माण के लिए एक महत्वपूर्ण प्रोत्साहन बन जाएगा।

3. मॉडल का गणितीय विश्लेषण। इस चरण का उद्देश्य मॉडल के सामान्य गुणों को स्पष्ट करना है। यहां विशुद्ध रूप से गणितीय अनुसंधान विधियों का उपयोग किया जाता है। सबसे महत्वपूर्ण बिंदु तैयार मॉडल (अस्तित्व प्रमेय) में समाधान के अस्तित्व का प्रमाण है। यदि यह सिद्ध किया जा सके गणित की समस्याकोई समाधान नहीं है, तो मॉडल के मूल संस्करण पर आगे काम करने की कोई आवश्यकता नहीं है; या तो आर्थिक समस्या का निरूपण या उसके गणितीय औपचारिकीकरण के तरीकों को समायोजित किया जाना चाहिए। मॉडल के विश्लेषणात्मक अध्ययन के दौरान, प्रश्नों को स्पष्ट किया जाता है, जैसे, उदाहरण के लिए, क्या कोई अद्वितीय समाधान है, समाधान में कौन से चर (अज्ञात) शामिल किए जा सकते हैं, उनके बीच क्या संबंध होंगे, किस हद तक और किस पर निर्भर करता है वे कौन सी आरंभिक स्थितियाँ बदलते हैं, उनके परिवर्तन की प्रवृत्तियाँ क्या हैं इत्यादि। अनुभवजन्य (संख्यात्मक) की तुलना में किसी मॉडल के विश्लेषणात्मक अध्ययन का यह फायदा है कि प्राप्त निष्कर्ष मॉडल के बाहरी और आंतरिक मापदंडों के विभिन्न विशिष्ट मूल्यों के लिए मान्य रहते हैं।

किसी मॉडल के सामान्य गुणों को जानना बहुत महत्वपूर्ण है, अक्सर ऐसे गुणों को साबित करने के लिए, शोधकर्ता जानबूझकर मूल मॉडल को आदर्श बनाते हैं। और फिर भी, जटिल आर्थिक वस्तुओं के मॉडल का विश्लेषणात्मक अध्ययन करना बहुत कठिन है। ऐसे मामलों में जहां विश्लेषणात्मक विधियां मॉडल के सामान्य गुणों को निर्धारित करने में विफल हो जाती हैं, और मॉडल के सरलीकरण से अस्वीकार्य परिणाम मिलते हैं, वे संख्यात्मक अनुसंधान विधियों की ओर बढ़ते हैं।

4. पृष्ठभूमि की जानकारी तैयार करना. मॉडलिंग सूचना प्रणाली पर कड़ी मांग रखती है। साथ ही, सूचना प्राप्त करने की वास्तविक संभावनाएँ व्यावहारिक उपयोग के लिए इच्छित मॉडलों की पसंद को सीमित कर देती हैं। इस मामले में, न केवल जानकारी तैयार करने की मूलभूत संभावना (एक निश्चित समय सीमा के भीतर) को ध्यान में रखा जाता है, बल्कि संबंधित सूचना सरणियों को तैयार करने की लागत भी ध्यान में रखी जाती है। ये लागत अतिरिक्त जानकारी के उपयोग के प्रभाव से अधिक नहीं होनी चाहिए।

सूचना तैयार करने की प्रक्रिया में संभाव्यता सिद्धांत, सैद्धांतिक और गणितीय सांख्यिकी के तरीकों का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। सिस्टम आर्थिक और गणितीय मॉडलिंग में, कुछ मॉडलों में उपयोग की जाने वाली प्रारंभिक जानकारी अन्य मॉडलों के कामकाज का परिणाम है।

5. संख्यात्मक समाधान. इस चरण में समस्या के संख्यात्मक समाधान के लिए एल्गोरिदम का विकास, कंप्यूटर प्रोग्राम का संकलन और प्रत्यक्ष गणना शामिल है। इस चरण की कठिनाइयाँ मुख्य रूप से आर्थिक समस्याओं के बड़े आकार और महत्वपूर्ण मात्रा में जानकारी को संसाधित करने की आवश्यकता के कारण हैं।

आमतौर पर, आर्थिक-गणितीय मॉडल का उपयोग करके गणना प्रकृति में बहुभिन्नरूपी होती है। आधुनिक कंप्यूटरों की उच्च गति के लिए धन्यवाद, कुछ शर्तों में विभिन्न परिवर्तनों के तहत मॉडल के "व्यवहार" का अध्ययन करते हुए, कई "मॉडल" प्रयोग करना संभव है। संख्यात्मक तरीकों से किया गया अनुसंधान विश्लेषणात्मक अनुसंधान के परिणामों को महत्वपूर्ण रूप से पूरक कर सकता है, और कई मॉडलों के लिए यह एकमात्र व्यवहार्य है। संख्यात्मक तरीकों से हल की जा सकने वाली आर्थिक समस्याओं का वर्ग विश्लेषणात्मक अनुसंधान के लिए सुलभ समस्याओं के वर्ग की तुलना में बहुत व्यापक है।

6. संख्यात्मक परिणामों का विश्लेषण और उनका अनुप्रयोग। चक्र के इस अंतिम चरण में, मॉडलिंग परिणामों की शुद्धता और पूर्णता, बाद की व्यावहारिक प्रयोज्यता की डिग्री के बारे में सवाल उठता है।

गणितीय सत्यापन विधियां गलत मॉडल निर्माण की पहचान कर सकती हैं और इस तरह संभावित रूप से सही मॉडल की श्रेणी को सीमित कर सकती हैं। मॉडल के माध्यम से प्राप्त सैद्धांतिक निष्कर्षों और संख्यात्मक परिणामों का अनौपचारिक विश्लेषण, उन्हें मौजूदा ज्ञान और वास्तविकता के तथ्यों के साथ तुलना करने से आर्थिक समस्या के निर्माण, निर्मित गणितीय मॉडल और इसकी जानकारी और गणितीय समर्थन में कमियों का पता लगाना भी संभव हो जाता है।

चरणों के बीच संबंध. चित्र 1 आर्थिक और गणितीय मॉडलिंग के एक चक्र के चरणों के बीच संबंध दिखाता है।

आइए हम उन चरणों के पारस्परिक संबंधों पर ध्यान दें जो इस तथ्य के कारण उत्पन्न होते हैं कि अनुसंधान की प्रक्रिया में मॉडलिंग के पिछले चरणों की कमियों का पता चलता है।

पहले से ही एक मॉडल के निर्माण के चरण में, यह स्पष्ट हो सकता है कि समस्या का सूत्रीकरण विरोधाभासी है या अत्यधिक जटिल गणितीय मॉडल की ओर ले जाता है। इसके अनुसार, समस्या का मूल सूत्रीकरण समायोजित किया जाता है। इसके अलावा, मॉडल का गणितीय विश्लेषण (चरण 3) दिखा सकता है कि समस्या कथन का थोड़ा सा संशोधन या इसकी औपचारिकता एक दिलचस्प विश्लेषणात्मक परिणाम देती है।

अक्सर, प्रारंभिक जानकारी (चरण 4) तैयार करते समय मॉडलिंग के पिछले चरणों में लौटने की आवश्यकता उत्पन्न होती है। आपको लग सकता है कि आवश्यक जानकारी गायब है या इसे तैयार करने की लागत बहुत अधिक है। फिर हमें समस्या के निरूपण और उसके औपचारिकीकरण की ओर लौटना होगा, उन्हें बदलना होगा ताकि उपलब्ध जानकारी के अनुकूल बनाया जा सके।

चूँकि आर्थिक और गणितीय समस्याएँ संरचना में जटिल और बड़े आयाम वाली हो सकती हैं, इसलिए अक्सर ऐसा होता है कि ज्ञात एल्गोरिदम और कंप्यूटर प्रोग्राम समस्या को उसके मूल रूप में हल करने की अनुमति नहीं देते हैं। यदि यह संभव नहीं है लघु अवधिनए एल्गोरिदम और प्रोग्राम विकसित करें, मूल समस्या कथन और मॉडल को सरल बनाएं: स्थितियों को हटाएं और संयोजित करें, कारकों की संख्या कम करें, गैर-रेखीय संबंधों को रैखिक संबंधों से बदलें, मॉडल की नियतिवाद को बढ़ाएं, आदि।

जिन कमियों को मॉडलिंग के मध्यवर्ती चरणों में ठीक नहीं किया जा सकता, उन्हें बाद के चक्रों में समाप्त कर दिया जाता है। परंतु प्रत्येक चक्र के परिणामों का भी पूर्णतः स्वतंत्र अर्थ होता है। एक सरल मॉडल बनाकर अपना शोध शुरू करके, आप जल्दी से उपयोगी परिणाम प्राप्त कर सकते हैं, और फिर परिष्कृत गणितीय निर्भरताओं सहित नई स्थितियों के साथ पूरक एक अधिक उन्नत मॉडल बनाने के लिए आगे बढ़ सकते हैं।

जैसे-जैसे आर्थिक और गणितीय मॉडलिंग विकसित होती है और अधिक जटिल हो जाती है, इसके व्यक्तिगत चरणों को अनुसंधान के विशेष क्षेत्रों में अलग कर दिया जाता है, सैद्धांतिक-विश्लेषणात्मक और व्यावहारिक मॉडल के बीच अंतर तेज हो जाता है, और मॉडल को अमूर्तता और आदर्शीकरण के स्तर के अनुसार विभेदित किया जाता है।

आर्थिक मॉडलों के गणितीय विश्लेषण का सिद्धांत आधुनिक गणित की एक विशेष शाखा - गणितीय अर्थशास्त्र में विकसित हुआ है। मॉडलों का भीतर अध्ययन किया गया गणितीय अर्थशास्त्र, आर्थिक वास्तविकता से सीधा संबंध खोना; वे विशेष रूप से आदर्शीकृत आर्थिक वस्तुओं और स्थितियों से निपटते हैं। ऐसे मॉडलों का निर्माण करते समय, मुख्य सिद्धांत वास्तविकता के करीब जाना नहीं है, बल्कि गणितीय प्रमाणों के माध्यम से विश्लेषणात्मक परिणामों की सबसे बड़ी संख्या प्राप्त करना है। इन मॉडलों का मूल्य आर्थिक सिद्धांतऔर अभ्यास यह है कि वे लागू मॉडलों के लिए सैद्धांतिक आधार के रूप में कार्य करते हैं।

अनुसंधान के काफी स्वतंत्र क्षेत्र आर्थिक जानकारी की तैयारी और प्रसंस्करण और आर्थिक समस्याओं के लिए गणितीय समर्थन का विकास (डेटाबेस और सूचना बैंकों का निर्माण, उपयोगकर्ता अर्थशास्त्रियों के लिए मॉडल और सॉफ्टवेयर सेवाओं के स्वचालित निर्माण के लिए कार्यक्रम) हैं। मॉडलों के व्यावहारिक उपयोग के चरण में, आर्थिक विश्लेषण, योजना और प्रबंधन के संबंधित क्षेत्र में विशेषज्ञों द्वारा अग्रणी भूमिका निभाई जानी चाहिए। अर्थशास्त्रियों और गणितज्ञों के लिए कार्य का मुख्य क्षेत्र आर्थिक समस्याओं का निर्माण और औपचारिकीकरण और आर्थिक और गणितीय मॉडलिंग की प्रक्रिया का संश्लेषण है।

8. अनुप्रयुक्त आर्थिक और गणितीय अनुसंधान की भूमिका।

हम व्यावहारिक समस्याओं को हल करने में गणितीय तरीकों के उपयोग के कम से कम चार पहलुओं को अलग कर सकते हैं।

1. आर्थिक सूचना प्रणाली में सुधार. गणितीय विधियाँ आर्थिक जानकारी की प्रणाली को व्यवस्थित करना, उपलब्ध जानकारी में कमियों की पहचान करना और तैयारी के लिए आवश्यकताओं को विकसित करना संभव बनाती हैं नई जानकारीया इसका समायोजन. आर्थिक और गणितीय मॉडल का विकास और अनुप्रयोग योजना और प्रबंधन समस्याओं की एक विशिष्ट प्रणाली को हल करने के उद्देश्य से आर्थिक जानकारी को बेहतर बनाने के तरीकों का संकेत देता है। योजना और प्रबंधन के लिए सूचना समर्थन में प्रगति कंप्यूटर विज्ञान के तेजी से विकसित हो रहे हार्डवेयर और सॉफ्टवेयर टूल पर आधारित है।

2. आर्थिक गणना की सटीकता में गहनता एवं वृद्धि। आर्थिक समस्याओं के औपचारिकीकरण और कंप्यूटर के उपयोग से मानक, बड़े पैमाने पर गणना में तेजी आती है, सटीकता बढ़ती है और श्रम तीव्रता कम होती है, और जटिल गतिविधियों के लिए बहुभिन्नरूपी आर्थिक औचित्य को पूरा करना संभव हो जाता है जो "मैनुअल" प्रौद्योगिकी के प्रभुत्व के तहत पहुंच योग्य नहीं हैं।

3. आर्थिक समस्याओं के मात्रात्मक विश्लेषण को गहरा करना। मॉडलिंग पद्धति के अनुप्रयोग के लिए धन्यवाद, विशिष्ट मात्रात्मक विश्लेषण की क्षमताओं में काफी वृद्धि हुई है; आर्थिक प्रक्रियाओं को प्रभावित करने वाले कई कारकों का अध्ययन, आर्थिक वस्तुओं के विकास की स्थितियों में परिवर्तन के परिणामों का मात्रात्मक मूल्यांकन आदि।

4. मौलिक रूप से नई आर्थिक समस्याओं का समाधान। गणितीय मॉडलिंग के माध्यम से, उन आर्थिक समस्याओं को हल करना संभव है जिन्हें अन्य तरीकों से हल करना व्यावहारिक रूप से असंभव है, उदाहरण के लिए: राष्ट्रीय आर्थिक योजना का इष्टतम संस्करण ढूंढना, राष्ट्रीय आर्थिक गतिविधियों का अनुकरण करना, जटिल आर्थिक वस्तुओं के कामकाज पर नियंत्रण को स्वचालित करना।

मॉडलिंग पद्धति के व्यावहारिक अनुप्रयोग का दायरा आर्थिक समस्याओं और स्थितियों को औपचारिक बनाने की क्षमताओं और प्रभावशीलता के साथ-साथ उपयोग किए गए मॉडलों की सूचना, गणितीय और तकनीकी सहायता की स्थिति से सीमित है। किसी भी कीमत पर गणितीय मॉडल लागू करने की इच्छा कम से कम कुछ आवश्यक शर्तों की कमी के कारण अच्छे परिणाम नहीं दे सकती है।

आधुनिक के अनुरूप वैज्ञानिक विचारव्यावसायिक निर्णय लेने और विकसित करने के लिए प्रणालियों में औपचारिक और अनौपचारिक तरीकों का संयोजन होना चाहिए, जो परस्पर सुदृढ़ हों और एक-दूसरे के पूरक हों। औपचारिक विधियाँ मुख्य रूप से प्रबंधन प्रक्रियाओं में मानवीय कार्यों के लिए वैज्ञानिक रूप से आधारित सामग्री तैयार करने का एक साधन हैं। इससे किसी व्यक्ति के अनुभव और अंतर्ज्ञान, खराब औपचारिक समस्याओं को हल करने की उसकी क्षमता का उत्पादक रूप से उपयोग करना संभव हो जाता है।

आर्थिक मॉडल का निर्माण करते समय, आवश्यक कारकों की पहचान की जाती है और उन विवरणों को हटा दिया जाता है जो समस्या को हल करने के लिए आवश्यक नहीं हैं।

आर्थिक मॉडल में निम्नलिखित मॉडल शामिल हो सकते हैं:

• आर्थिक विकास
• उपभोक्ता की पसंद
• वित्तीय और कमोडिटी बाजारों में संतुलन और कई अन्य।

नमूनाघटकों और कार्यों का एक तार्किक या गणितीय विवरण है जो मॉडल की गई वस्तु या प्रक्रिया के आवश्यक गुणों को दर्शाता है।

मॉडल का उपयोग एक पारंपरिक छवि के रूप में किया जाता है, जिसे किसी वस्तु या प्रक्रिया के अध्ययन को सरल बनाने के लिए डिज़ाइन किया गया है।

मॉडलों की प्रकृति भिन्न हो सकती है. मॉडलों को विभाजित किया गया है: वास्तविक, प्रतीकात्मक, मौखिक और सारणीबद्ध विवरण, आदि।

आर्थिक और गणितीय मॉडल

व्यावसायिक प्रक्रियाओं के प्रबंधन में, सबसे पहले, सबसे बड़ा महत्व है, आर्थिक और गणितीय मॉडल, अक्सर मॉडल सिस्टम में संयोजित किया जाता है।

आर्थिक और गणितीय मॉडल(ईएमएम) किसी आर्थिक वस्तु या प्रक्रिया का अध्ययन और प्रबंधन करने के उद्देश्य से किया गया गणितीय विवरण है। यह हल हो रही आर्थिक समस्या का गणितीय संकेतन है।

मुख्य प्रकार के मॉडल

• एक्सट्रपलेशन मॉडल
• कारक अर्थमितीय मॉडल
• अनुकूलन मॉडल
• संतुलन मॉडल, अंतर-उद्योग संतुलन (आईओबी) मॉडल
• विशेषज्ञ आकलन
• खेल सिद्धांत
• नेटवर्क मॉडल
• कतारबद्ध प्रणालियों के मॉडल

आर्थिक विश्लेषण में प्रयुक्त आर्थिक और गणितीय मॉडल और विधियाँ

आर ए = पीई / वीए + ओए,

सामान्यीकृत रूप में, मिश्रित मॉडल को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दर्शाया जा सकता है:

इसलिए, सबसे पहले आपको एक आर्थिक और गणितीय मॉडल बनाना चाहिए जो संगठन की गतिविधियों के सामान्य आर्थिक संकेतकों पर व्यक्तिगत कारकों के प्रभाव का वर्णन करता है। बड़े पैमाने परविश्लेषण में आर्थिक गतिविधिप्राप्त बहुकारक गुणक मॉडल, क्योंकि वे सामान्य संकेतकों पर महत्वपूर्ण संख्या में कारकों के प्रभाव का अध्ययन करना संभव बनाते हैं और इस प्रकार विश्लेषण की अधिक गहराई और सटीकता प्राप्त करते हैं।

इसके बाद आपको इस मॉडल को हल करने का तरीका चुनना होगा। पारंपरिक तरीके : श्रृंखला प्रतिस्थापन की विधि, निरपेक्ष और सापेक्ष अंतर की विधि, संतुलन विधि, सूचकांक विधि, साथ ही सहसंबंध-प्रतिगमन, क्लस्टर, फैलाव विश्लेषण आदि के तरीके। इन विधियों और विधियों के साथ, विशेष रूप से गणितीय तरीकों और विधियों का उपयोग किया जाता है आर्थिक विश्लेषण.

आर्थिक विश्लेषण की अभिन्न विधि

इनमें से एक विधि (तरीके) अभिन्न है। इसका उपयोग गुणक, एकाधिक और मिश्रित (एकाधिक-योगात्मक) मॉडल का उपयोग करके व्यक्तिगत कारकों के प्रभाव को निर्धारित करने में किया जाता है।

अभिन्न विधि का उपयोग करते समय, श्रृंखला प्रतिस्थापन विधि और इसके वेरिएंट का उपयोग करने की तुलना में व्यक्तिगत कारकों के प्रभाव की गणना के लिए अधिक प्रमाणित परिणाम प्राप्त करना संभव है। श्रृंखला प्रतिस्थापन विधि और इसके वेरिएंट, साथ ही सूचकांक विधि में महत्वपूर्ण नुकसान हैं: 1) कारकों के प्रभाव की गणना के परिणाम वास्तविक कारकों के साथ व्यक्तिगत कारकों के मूल मूल्यों को बदलने के स्वीकृत अनुक्रम पर निर्भर करते हैं; 2) कारकों की परस्पर क्रिया के कारण सामान्य संकेतक में एक अविभाज्य शेष के रूप में होने वाली अतिरिक्त वृद्धि को अंतिम कारक के प्रभाव के योग में जोड़ा जाता है। अभिन्न विधि का उपयोग करते समय, यह वृद्धि सभी कारकों के बीच समान रूप से विभाजित होती है।

इंटीग्रल विधि विभिन्न प्रकार के मॉडल को हल करने के लिए एक सामान्य दृष्टिकोण स्थापित करती है, चाहे किसी दिए गए मॉडल में शामिल तत्वों की संख्या कुछ भी हो, साथ ही इन तत्वों के बीच संबंध के रूप की परवाह किए बिना।

तथ्यात्मक आर्थिक विश्लेषण की अभिन्न विधि एक फ़ंक्शन की वृद्धि के योग पर आधारित है, जिसे अनंत अंतराल पर तर्क की वृद्धि से गुणा किए गए आंशिक व्युत्पन्न के रूप में परिभाषित किया गया है।

अभिन्न पद्धति को लागू करने की प्रक्रिया में, कई शर्तों को पूरा करना होगा। सबसे पहले, फ़ंक्शन की निरंतर भिन्नता की स्थिति को पूरा किया जाना चाहिए, जहां किसी भी आर्थिक संकेतक को तर्क के रूप में लिया जाता है। दूसरे, प्रारंभिक अवधि के आरंभ और समाप्ति बिंदुओं के बीच का कार्य एक सीधी रेखा में भिन्न होना चाहिए जी ई. अंत में, तीसरा, कारकों के मूल्यों में परिवर्तन की दरों के अनुपात में एक स्थिरता होनी चाहिए

डी वाई / डी एक्स = स्थिरांक

अभिन्न विधि, कैलकुलस का उपयोग करते समय निश्चित अभिन्नकिसी दिए गए इंटीग्रैंड और दिए गए एकीकरण अंतराल के लिए आधुनिक कंप्यूटर प्रौद्योगिकी का उपयोग करके मौजूदा मानक प्रोग्राम का उपयोग किया जाता है।

यदि हम एक गुणक मॉडल को हल करते हैं, तो सामान्य आर्थिक संकेतक पर व्यक्तिगत कारकों के प्रभाव की गणना करने के लिए, हम निम्नलिखित सूत्रों का उपयोग कर सकते हैं:

ΔZ(x) = y 0 * Δ एक्स + 1/2Δ एक्स*Δ य

जेड(य)=एक्स 0 * Δ य +1/2 Δ एक्स* Δ य

कारकों के प्रभाव की गणना के लिए एकाधिक मॉडल को हल करते समय, हम निम्नलिखित सूत्रों का उपयोग करते हैं:

Z=x/y;

Δ जेड(एक्स)= Δ एक्स/Δ वाई एल.एनy1/y0

Δ Z(y)=Δ जेड- Δ जेड(एक्स)

अभिन्न पद्धति का उपयोग करके दो मुख्य प्रकार की समस्याएं हल की जाती हैं: स्थिर और गतिशील। पहले प्रकार में, किसी निश्चित अवधि के दौरान विश्लेषण किए गए कारकों में परिवर्तन के बारे में कोई जानकारी नहीं होती है। ऐसे कार्यों के उदाहरणों में व्यावसायिक योजनाओं के कार्यान्वयन का विश्लेषण करना या पिछली अवधि की तुलना में आर्थिक संकेतकों में परिवर्तन का विश्लेषण करना शामिल है। किसी निश्चित अवधि के दौरान विश्लेषण किए गए कारकों में परिवर्तन के बारे में जानकारी की उपस्थिति में गतिशील प्रकार के कार्य होते हैं। इस प्रकार के कार्य में आर्थिक संकेतकों की समय श्रृंखला के अध्ययन से संबंधित गणना शामिल है।

ये कारक आर्थिक विश्लेषण की अभिन्न पद्धति की सबसे महत्वपूर्ण विशेषताएं हैं।

लघुगणक विधि

इस विधि के अतिरिक्त विश्लेषण में लघुगणक विधि (विधि) का भी प्रयोग किया जाता है। इसका उपयोग गुणक मॉडल को हल करते समय कारक विश्लेषण में किया जाता है। विचाराधीन विधि का सार यह है कि जब इसका उपयोग किया जाता है, तो बाद वाले के बीच कारकों की संयुक्त कार्रवाई की परिमाण का लघुगणकीय रूप से आनुपातिक वितरण होता है, यानी, यह मान प्रभाव के हिस्से के अनुपात में कारकों के बीच वितरित किया जाता है सामान्यीकरण सूचक के योग पर प्रत्येक व्यक्तिगत कारक का। अभिन्न विधि के साथ, उल्लिखित मूल्य कारकों के बीच समान रूप से वितरित किया जाता है। इसलिए, लघुगणक विधि अभिन्न विधि की तुलना में कारकों के प्रभाव की गणना को अधिक उचित बनाती है।

लघुगणकीकरण की प्रक्रिया में, आर्थिक संकेतकों में वृद्धि के पूर्ण मूल्यों का उपयोग नहीं किया जाता है, जैसा कि अभिन्न पद्धति के मामले में होता है, लेकिन सापेक्ष मूल्यों का, यानी इन संकेतकों में परिवर्तन के सूचकांकों का उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, एक सामान्य आर्थिक संकेतक को तीन कारकों - कारकों के उत्पाद के रूप में परिभाषित किया गया है एफ = एक्स वाई जेड.

आइए सामान्य आर्थिक संकेतक पर इनमें से प्रत्येक कारक का प्रभाव जानें। इस प्रकार, पहले कारक का प्रभाव निम्नलिखित सूत्र द्वारा निर्धारित किया जा सकता है:

Δf x = Δf लॉग(x 1 / x 0) / लॉग(f 1 / f 0)

अगले कारक का प्रभाव क्या था? इसका प्रभाव जानने के लिए हम निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करते हैं:

Δf y = Δf लॉग(y 1 / y 0) / लॉग(f 1 / f 0)

अंत में, तीसरे कारक के प्रभाव की गणना करने के लिए, हम सूत्र लागू करते हैं:

Δf z = Δf लॉग(z 1 / z 0)/ लॉग(f 1 / f 0)

इस प्रकार, सामान्यीकरण सूचक में परिवर्तन की कुल मात्रा को व्यक्तिगत कारक सूचकांकों के लघुगणक के सामान्यीकरण सूचक के लघुगणक के अनुपात के अनुपात के अनुसार व्यक्तिगत कारकों के बीच विभाजित किया जाता है।

विचाराधीन विधि को लागू करते समय, किसी भी प्रकार के लघुगणक का उपयोग किया जा सकता है - प्राकृतिक और दशमलव दोनों।

विभेदक कलन विधि

कारक विश्लेषण करते समय विभेदक कलन विधि का भी उपयोग किया जाता है। उत्तरार्द्ध मानता है कि फ़ंक्शन में समग्र परिवर्तन, अर्थात, सामान्यीकरण संकेतक, को अलग-अलग शब्दों में विभाजित किया गया है, जिनमें से प्रत्येक के मूल्य की गणना एक निश्चित आंशिक व्युत्पन्न के उत्पाद और उस चर की वृद्धि के रूप में की जाती है जिसके द्वारा यह व्युत्पन्न होता है निर्धारित है. आइए उदाहरण के तौर पर दो चरों के एक फ़ंक्शन का उपयोग करके सामान्य संकेतक पर व्यक्तिगत कारकों के प्रभाव को निर्धारित करें।

फ़ंक्शन निर्दिष्ट जेड = एफ(एक्स,वाई). यदि यह फ़ंक्शन अवकलनीय है, तो इसका परिवर्तन निम्नलिखित सूत्र द्वारा व्यक्त किया जा सकता है:

आइए हम इस सूत्र के अलग-अलग तत्वों की व्याख्या करें:

ΔZ = (जेड 1 - जेड 0)- कार्य में परिवर्तन का परिमाण;

Δx = (x 1 - x 0)- एक कारक में परिवर्तन का परिमाण;

Δ वाई = (वाई 1 - वाई 0)-किसी अन्य कारक में परिवर्तन का परिमाण;

- उच्चतर क्रम की एक अतिसूक्ष्म मात्रा

में इस उदाहरण मेंव्यक्तिगत कारकों का प्रभाव एक्सऔर यफ़ंक्शन बदलने के लिए जेड(सामान्य संकेतक) की गणना निम्नानुसार की जाती है:

ΔZ x = δZ / δx · Δx; ΔZ y = δZ / δy · Δy.

इन दोनों कारकों के प्रभाव का योग किसी दिए गए कारक की वृद्धि के सापेक्ष मुख्य, रैखिक, विभेदक कार्य की वृद्धि का हिस्सा है, यानी सामान्यीकरण संकेतक है।

इक्विटी विधि

एडिटिव, साथ ही मल्टीपल-एडिटिव मॉडल को हल करने के संदर्भ में, सामान्य संकेतक में परिवर्तन पर व्यक्तिगत कारकों के प्रभाव की गणना करने के लिए इक्विटी पद्धति का भी उपयोग किया जाता है। इसका सार इस तथ्य में निहित है कि उनके परिवर्तनों की कुल मात्रा में प्रत्येक कारक का हिस्सा पहले निर्धारित किया जाता है। फिर इस अनुपात को सारांश संकेतक में कुल परिवर्तन से गुणा किया जाता है।

मान लीजिए हम तीन कारकों का प्रभाव निर्धारित करते हैं - ए,बीऔर साथएक सामान्य सूचक के लिए य. फिर कारक के लिए, और उसके हिस्से का निर्धारण करना और उसे सामान्यीकरण संकेतक में परिवर्तन की कुल मात्रा से गुणा करना निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके किया जा सकता है:

Δy a = Δa/Δa + Δb + Δc*Δy

कारक बी के लिए, विचाराधीन सूत्र का निम्नलिखित रूप होगा:

Δy b =Δb/Δa + Δb +Δc*Δy

अंत में, कारक c के लिए हमारे पास है:

Δy c =Δc/Δa +Δb +Δc*Δy

यह कारक विश्लेषण के प्रयोजनों के लिए उपयोग की जाने वाली इक्विटी पद्धति का सार है।

रैखिक प्रोग्रामिंग विधि

आगे देखें:

कतार सिद्धांत

आगे देखें:

खेल सिद्धांत

गेम थ्योरी का भी उपयोग किया जाता है। कतारबद्ध सिद्धांत की तरह, गेम थ्योरी व्यावहारिक गणित की शाखाओं में से एक है। गेम थ्योरी गेमिंग स्थितियों में संभावित इष्टतम समाधानों का अध्ययन करती है। इसमें वे स्थितियाँ शामिल हैं जिनमें इष्टतम को चुनना शामिल है प्रबंधन निर्णय, अन्य संगठनों आदि के साथ संबंधों के लिए सबसे उपयुक्त विकल्पों के चुनाव के साथ।

गेम थ्योरी में ऐसी समस्याओं को हल करने के लिए बीजगणितीय विधियों का उपयोग किया जाता है, जो सिस्टम पर आधारित होते हैं रेखीय समीकरणऔर असमानताएँ, पुनरावृत्तीय विधियाँ, साथ ही किसी दी गई समस्या को विभेदक समीकरणों की एक विशिष्ट प्रणाली में कम करने की विधियाँ।

संगठनों की आर्थिक गतिविधियों के विश्लेषण में उपयोग की जाने वाली आर्थिक और गणितीय विधियों में से एक तथाकथित संवेदनशीलता विश्लेषण है। इस पद्धति का उपयोग अक्सर निवेश परियोजनाओं के विश्लेषण की प्रक्रिया में किया जाता है, साथ ही किसी दिए गए संगठन के निपटान में शेष लाभ की मात्रा की भविष्यवाणी करने के उद्देश्य से भी किया जाता है।

किसी संगठन की गतिविधियों की इष्टतम योजना बनाने और पूर्वानुमान लगाने के लिए, विश्लेषण किए गए आर्थिक संकेतकों के साथ भविष्य में होने वाले परिवर्तनों के लिए अग्रिम जानकारी प्रदान करना आवश्यक है।

उदाहरण के लिए, किसी को उन कारकों के मूल्यों में परिवर्तन की पहले से भविष्यवाणी करनी चाहिए जो लाभ मार्जिन को प्रभावित करते हैं: खरीदे गए भौतिक संसाधनों के लिए खरीद मूल्य का स्तर, किसी दिए गए संगठन के उत्पादों के लिए बिक्री मूल्य का स्तर, ग्राहक की मांग में परिवर्तन इन उत्पादों के लिए.

संवेदनशीलता विश्लेषण में एक सामान्य आर्थिक संकेतक के भविष्य के मूल्य को निर्धारित करना शामिल है, बशर्ते कि इस सूचक को प्रभावित करने वाले एक या अधिक कारकों का मूल्य बदल जाए।

उदाहरण के लिए, वे यह स्थापित करते हैं कि प्रति यूनिट बेचे जाने वाले उत्पादों की मात्रा में परिवर्तन के अधीन, भविष्य में लाभ में कितनी मात्रा में परिवर्तन होगा। ऐसा करके, हम इसे प्रभावित करने वाले कारकों में से एक में बदलाव के प्रति शुद्ध लाभ की संवेदनशीलता का विश्लेषण करते हैं, यानी, इस मामले में, बिक्री मात्रा कारक। लाभ की मात्रा को प्रभावित करने वाले शेष कारक अपरिवर्तित रहते हैं। यदि भविष्य में कई कारकों का प्रभाव एक साथ बदलता है तो लाभ की मात्रा निर्धारित करना भी संभव है। इस प्रकार, संवेदनशीलता विश्लेषण इस सूचक को प्रभावित करने वाले व्यक्तिगत कारकों में परिवर्तन के लिए सामान्य आर्थिक सूचक की प्रतिक्रिया की ताकत स्थापित करना संभव बनाता है।

मैट्रिक्स विधि

उपरोक्त आर्थिक एवं गणितीय विधियों के साथ-साथ इनका उपयोग आर्थिक गतिविधियों के विश्लेषण में भी किया जाता है। ये विधियाँ रैखिक और वेक्टर-मैट्रिक्स बीजगणित पर आधारित हैं।

नेटवर्क नियोजन विधि

आगे देखें:

एक्सट्रपलेशन विश्लेषण

चर्चा की गई विधियों के अलावा, एक्सट्रपलेशन विश्लेषण का भी उपयोग किया जाता है। इसमें विश्लेषण की गई प्रणाली की स्थिति में बदलाव और एक्सट्रपलेशन पर विचार शामिल है, यानी भविष्य की अवधि के लिए इस प्रणाली की मौजूदा विशेषताओं का विस्तार। इस प्रकार के विश्लेषण को लागू करने की प्रक्रिया में, निम्नलिखित मुख्य चरणों को प्रतिष्ठित किया जा सकता है: उपलब्ध डेटा की प्रारंभिक श्रृंखला का प्राथमिक प्रसंस्करण और परिवर्तन; अनुभवजन्य कार्यों का प्रकार चुनना; इन कार्यों के मुख्य मापदंडों का निर्धारण; बहिर्वेशन; किए गए विश्लेषण की विश्वसनीयता की डिग्री स्थापित करना।

आर्थिक विश्लेषण भी प्रमुख घटक पद्धति का उपयोग करता है। इनका उपयोग व्यक्ति के तुलनात्मक विश्लेषण के उद्देश्य से किया जाता है अवयव, अर्थात्, संगठन की गतिविधियों के विश्लेषण के पैरामीटर। मुख्य घटक हैं सबसे महत्वपूर्ण विशेषताएँघटकों के रैखिक संयोजन, यानी, विश्लेषण के पैरामीटर जिनमें सबसे महत्वपूर्ण फैलाव मूल्य हैं, अर्थात्, औसत मूल्यों से सबसे बड़ा पूर्ण विचलन।

रेल मंत्रालय रूसी संघ

यूराल स्टेट यूनिवर्सिटीसंचार पथ

रेलवे का चेल्याबिंस्क संस्थान

पाठ्यक्रम कार्य

पाठ्यक्रम: "आर्थिक और गणितीय मॉडलिंग"

विषय: "अर्थशास्त्र में गणितीय मॉडल"

पुरा होना:

सिफर:

पता:

जाँच की गई:

चेल्याबिंस्क 200_ ग्राम.

परिचय

रिपोर्ट बनाना और सहेजना

कंप्यूटर पर किसी समस्या का समाधान करना

साहित्य

परिचय

वैज्ञानिक अनुसंधान में मॉडलिंग का उपयोग प्राचीन काल में शुरू हुआ और धीरे-धीरे वैज्ञानिक ज्ञान के नए क्षेत्रों पर कब्जा कर लिया: तकनीकी डिजाइन, निर्माण और वास्तुकला, खगोल विज्ञान, भौतिकी, रसायन विज्ञान, जीव विज्ञान और अंत में, सामाजिक विज्ञान। 20वीं सदी की मॉडलिंग पद्धति ने आधुनिक विज्ञान की लगभग सभी शाखाओं में बड़ी सफलता और मान्यता दिलाई। हालाँकि, मॉडलिंग पद्धति लंबे समय से व्यक्तिगत विज्ञान द्वारा स्वतंत्र रूप से विकसित की गई है। अवधारणाओं की कोई एकीकृत प्रणाली नहीं थी, कोई एकीकृत शब्दावली नहीं थी। धीरे-धीरे ही वैज्ञानिक ज्ञान की सार्वभौमिक पद्धति के रूप में मॉडलिंग की भूमिका का एहसास होने लगा।

"मॉडल" शब्द का व्यापक रूप से मानव गतिविधि के विभिन्न क्षेत्रों में उपयोग किया जाता है और इसके कई अर्थ हैं। आइए हम केवल ऐसे "मॉडल" पर विचार करें जो ज्ञान प्राप्त करने के उपकरण हैं।

मॉडल एक भौतिक या मानसिक रूप से कल्पित वस्तु है, जो अनुसंधान की प्रक्रिया में मूल वस्तु को प्रतिस्थापित कर देती है ताकि इसका प्रत्यक्ष अध्ययन मूल वस्तु के बारे में नया ज्ञान प्रदान करे।

मॉडलिंग से तात्पर्य मॉडलों के निर्माण, अध्ययन और अनुप्रयोग की प्रक्रिया से है। यह अमूर्तता, सादृश्य, परिकल्पना आदि जैसी श्रेणियों से निकटता से संबंधित है। मॉडलिंग प्रक्रिया में आवश्यक रूप से अमूर्तता का निर्माण, सादृश्य द्वारा अनुमान और वैज्ञानिक परिकल्पनाओं का निर्माण शामिल है।

मॉडलिंग की मुख्य विशेषता यह है कि यह प्रॉक्सी ऑब्जेक्ट का उपयोग करके अप्रत्यक्ष अनुभूति की एक विधि है। मॉडल एक प्रकार के अनुभूति उपकरण के रूप में कार्य करता है जिसे शोधकर्ता अपने और वस्तु के बीच रखता है और जिसकी सहायता से वह अपनी रुचि की वस्तु का अध्ययन करता है। यह मॉडलिंग पद्धति की यह विशेषता है जो अमूर्त, उपमाओं, परिकल्पनाओं और अन्य श्रेणियों और अनुभूति के तरीकों का उपयोग करने के विशिष्ट रूपों को निर्धारित करती है।

मॉडलिंग पद्धति का उपयोग करने की आवश्यकता इस तथ्य से निर्धारित होती है कि कई वस्तुओं (या इन वस्तुओं से संबंधित समस्याओं) का सीधे अध्ययन करना या तो असंभव है, या इस शोध के लिए बहुत अधिक समय और धन की आवश्यकता होती है।

मॉडलिंग एक चक्रीय प्रक्रिया है. इसका मतलब यह है कि पहले चार-चरणीय चक्र के बाद दूसरा, तीसरा आदि हो सकता है। साथ ही, अध्ययन के तहत वस्तु के बारे में ज्ञान का विस्तार और परिष्कृत किया जाता है, और प्रारंभिक मॉडल में धीरे-धीरे सुधार किया जाता है। पहले मॉडलिंग चक्र के बाद वस्तु के खराब ज्ञान और मॉडल निर्माण में त्रुटियों के कारण पाई गई कमियों को बाद के चक्रों में ठीक किया जा सकता है। इस प्रकार, मॉडलिंग पद्धति में आत्म-विकास के महान अवसर शामिल हैं।

आर्थिक प्रणालियों के गणितीय मॉडलिंग का उद्देश्य, एक नियम के रूप में, आधुनिक कंप्यूटर प्रौद्योगिकी का उपयोग करके, अर्थशास्त्र के क्षेत्र में उत्पन्न होने वाली समस्याओं को सबसे प्रभावी ढंग से हल करने के लिए गणितीय तरीकों का उपयोग करना है।

आर्थिक समस्याओं को हल करने की प्रक्रिया कई चरणों में की जाती है:

समस्या का पर्याप्त (आर्थिक) निरूपण। सबसे पहले आपको कार्य को समझने और उसे स्पष्ट रूप से तैयार करने की आवश्यकता है। साथ ही, हल की जा रही समस्या से संबंधित वस्तुएं भी निर्धारित की जाती हैं, साथ ही वह स्थिति भी निर्धारित की जाती है जिसे इसके समाधान के परिणामस्वरूप महसूस किया जाना चाहिए। यह समस्या के सार्थक निरूपण का चरण है। किसी समस्या को मात्रात्मक रूप से वर्णित करने और उसे हल करने में कंप्यूटर प्रौद्योगिकी का उपयोग करने के लिए, उच्च-गुणवत्ता का उत्पादन करना आवश्यक है और मात्रात्मक विश्लेषणउससे संबंधित वस्तुएँ और परिस्थितियाँ। इस मामले में, जटिल वस्तुओं को भागों (तत्वों) में विभाजित किया जाता है, इन तत्वों के संबंध, उनके गुण, गुणों के मात्रात्मक और गुणात्मक मूल्य, उनके बीच मात्रात्मक और तार्किक संबंध, समीकरणों, असमानताओं आदि के रूप में व्यक्त किए जाते हैं। निर्धारित हैं. यह समस्या के सिस्टम विश्लेषण का चरण है, जिसके परिणामस्वरूप वस्तु को सिस्टम के रूप में प्रस्तुत किया जाता है।

अगला चरण समस्या का गणितीय सूत्रीकरण है, जिसके दौरान वस्तु का गणितीय मॉडल बनाया जाता है और समस्या का समाधान प्राप्त करने के लिए तरीके (एल्गोरिदम) निर्धारित किए जाते हैं। यह समस्या के सिस्टम संश्लेषण (गणितीय सूत्रीकरण) का चरण है। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि इस स्तर पर यह पता चल सकता है कि पहले किए गए सिस्टम विश्लेषण से तत्वों, गुणों और संबंधों का एक सेट सामने आया है जिसके लिए समस्या को हल करने के लिए कोई स्वीकार्य तरीका नहीं है, परिणामस्वरूप हमें वापस लौटना होगा सिस्टम विश्लेषण चरण. एक नियम के रूप में, आर्थिक अभ्यास में हल की गई समस्याओं को मानकीकृत किया जाता है, सिस्टम विश्लेषण एक प्रसिद्ध गणितीय मॉडल और इसे हल करने के लिए एक एल्गोरिदम के आधार पर किया जाता है, समस्या केवल एक उपयुक्त विधि चुनने में है।

अगला कदम कंप्यूटर पर समस्या को हल करने के लिए एक प्रोग्राम विकसित करना है। जटिल वस्तुओं से मिलकर के लिए बड़ी संख्यातत्वों वाले एक लंबी संख्यागुण, एक डेटाबेस और उसके साथ काम करने के लिए उपकरण, गणना के लिए आवश्यक डेटा पुनर्प्राप्त करने के तरीकों को संकलित करना आवश्यक हो सकता है। मानक कार्यों के लिए, विकास नहीं किया जाता है, बल्कि उपयुक्त एप्लिकेशन पैकेज और डेटाबेस प्रबंधन प्रणाली का चयन किया जाता है।

अंतिम चरण में, मॉडल संचालित किया जाता है और परिणाम प्राप्त किए जाते हैं।

इस प्रकार, समस्या के समाधान में निम्नलिखित चरण शामिल हैं:

2. सिस्टम विश्लेषण.

3. सिस्टम संश्लेषण (समस्या का गणितीय सूत्रीकरण)

4. सॉफ्टवेयर का विकास या चयन.

5. समस्या का समाधान.

संचालन अनुसंधान विधियों के लगातार उपयोग और आधुनिक सूचना और कंप्यूटिंग प्रौद्योगिकी पर उनके कार्यान्वयन से व्यक्तिपरकता पर काबू पाना और वस्तुनिष्ठ परिस्थितियों के सख्त और सटीक विवरण के आधार पर नहीं, बल्कि प्रबंधकों की यादृच्छिक भावनाओं और व्यक्तिगत रुचि के आधार पर तथाकथित स्वैच्छिक निर्णयों को खत्म करना संभव हो जाता है। विभिन्न स्तर, जो, इसके अलावा, इन स्वैच्छिक निर्णयों का समन्वय नहीं कर सकते हैं।

सिस्टम विश्लेषण आपको व्यक्तिपरक, दक्षता मानदंड के बजाय किसी उद्देश्य के दृष्टिकोण से किए गए निर्णयों का समन्वय करने के लिए, प्रबंधित वस्तु के बारे में सभी उपलब्ध जानकारी को ध्यान में रखने और प्रबंधन में उपयोग करने की अनुमति देता है। नियंत्रण करते समय गणना पर बचत करना फायरिंग करते समय लक्ष्य पर बचत करने के समान है। हालाँकि, एक कंप्यूटर न केवल आपको सभी सूचनाओं को ध्यान में रखने की अनुमति देता है, बल्कि प्रबंधक को अनावश्यक जानकारी से भी मुक्त करता है, और सभी आवश्यक सूचनाओं को दरकिनार कर देता है, उसे केवल सबसे सामान्यीकृत जानकारी, सर्वोत्कृष्टता प्रस्तुत करता है। अर्थशास्त्र में सिस्टम दृष्टिकोण, कंप्यूटर के उपयोग के बिना, एक शोध पद्धति के रूप में अपने आप में प्रभावी है, और यह पहले से खोजे गए आर्थिक कानूनों को नहीं बदलता है, बल्कि केवल यह सिखाता है कि उनका सर्वोत्तम उपयोग कैसे किया जाए।

अर्थव्यवस्था में प्रक्रियाओं की जटिलता के कारण निर्णय लेने वाले को अत्यधिक योग्य होना आवश्यक है महान अनुभव. हालाँकि, यह त्रुटियों की गारंटी नहीं देता है; गणितीय मॉडलिंग आपको पूछे गए प्रश्न का त्वरित उत्तर देने या ऐसे प्रयोगात्मक अध्ययन करने की अनुमति देता है जो असंभव हैं या किसी वास्तविक वस्तु पर बड़ी लागत और समय की आवश्यकता होती है।

गणितीय मॉडलिंग हमें इष्टतम को स्वीकार करने की अनुमति देती है, अर्थात, सर्वोत्तम समाधान. यह सही से थोड़ा भिन्न हो सकता है निर्णय लिया गयागणितीय मॉडलिंग के उपयोग के बिना (लगभग 3%)। हालाँकि, बड़ी उत्पादन मात्रा के साथ, ऐसी "मामूली" त्रुटि से भारी नुकसान हो सकता है।

गणितीय मॉडल का विश्लेषण करने और स्वीकार करने के लिए गणितीय विधियों का उपयोग किया जाता है इष्टतम समाधान, बहुत जटिल हैं और कंप्यूटर के उपयोग के बिना उनका कार्यान्वयन कठिन है। कार्यक्रमों के भाग के रूप में एक्सेल और MathCAD ऐसे उपकरण हैं जो आपको गणितीय विश्लेषण करने और इष्टतम समाधान खोजने की अनुमति देते हैं।

भाग संख्या 1 "गणितीय मॉडल का अध्ययन"

समस्या का विधान।

कंपनी 4 तरह के उत्पाद तैयार करने की क्षमता रखती है। प्रत्येक प्रकार के उत्पाद की एक इकाई का उत्पादन करने के लिए, एक निश्चित मात्रा में श्रम, वित्तीय और कच्चे माल संसाधनों को खर्च करना आवश्यक है। स्टॉक में सीमित मात्राप्रत्येक संसाधन. उत्पादन की एक इकाई की बिक्री से लाभ होता है। पैरामीटर मान तालिका 1 में दिए गए हैं। अतिरिक्त शर्त: उत्पाद नंबर 2 और नंबर 4 के उत्पादन के लिए वित्तीय लागत 50 रूबल से अधिक नहीं होनी चाहिए। (प्रत्येक प्रकार)।

साधनों द्वारा गणितीय मॉडलिंग पर आधारित एक्सेल यह निर्धारित करें कि सबसे बड़ा लाभ प्राप्त करने के दृष्टिकोण से कौन से उत्पाद और किस मात्रा में उत्पादन करना उचित है, परिणामों का विश्लेषण करें, प्रश्नों का उत्तर दें, निष्कर्ष निकालें।

तालिका नंबर एक।

एक गणितीय मॉडल तैयार करना

उद्देश्य समारोह (टीएफ)।

वस्तुनिष्ठ फलन यह दर्शाता है कि किस अर्थ में समस्या का समाधान सर्वोत्तम (इष्टतम) होना चाहिए। हमारे कार्य TF में:

लाभ → अधिकतम.

लाभ का मूल्य सूत्र द्वारा निर्धारित किया जा सकता है:

लाभ = गिनती 1 ∙ पीआर 1 + गिनती 2 ∙ पीआर 2 + गिनती 3 ∙ पीआर 3 + गिनती 4 ∙ पीआर 4,कहाँ गिनती 1,…, गिनती 4 –

उत्पादित प्रत्येक प्रकार के उत्पाद की मात्रा;

पीआर 1,…, पीआर 4 -प्रत्येक प्रकार के उत्पाद की एक इकाई की बिक्री से प्राप्त लाभ। मूल्यों को प्रतिस्थापित करना पीआर 1,…, पीआर 4 (तालिका 1 से) हमें मिलता है:

टीएफ: 1.7 ∙ गिनती 1 + 2.3 ∙ गिनती 2 + 2 ∙ गिनती 3 + 5 ∙ गिनती 4 → अधिकतम (1)

प्रतिबंध (जीजीआर)।

बाधाएँ चरों के बीच निर्भरता स्थापित करती हैं। हमारी समस्या में संसाधनों के उपयोग पर प्रतिबंध लगाया जाता है, जिनकी मात्रा सीमित होती है। सभी उत्पादों के उत्पादन के लिए आवश्यक कच्चे माल की मात्रा की गणना सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है:

कच्चा माल = 1 ∙ मात्रा 1 + 2 से ∙ मात्रा 2 + 3 से ∙ मात्रा 3 + 4 से ∙ मात्रा 4,कहाँ 1 से,…, 4 से –

प्रत्येक प्रकार के उत्पाद की एक इकाई का उत्पादन करने के लिए आवश्यक कच्चे माल की मात्रा। कुल मात्राप्रयुक्त कच्चे माल की मात्रा उपलब्ध संसाधन से अधिक नहीं हो सकती। तालिका 1 से मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें पहली सीमा मिलती है - कच्चे माल के लिए:

1.8 ∙ गिनती 1 + 1.4 ∙ गिनती 2 + 1 ∙ गिनती 3 + 0.15 ∙ गिनती 4 ≤ 800 (2)

आइए इसी तरह वित्त और श्रम लागत पर प्रतिबंधों को लिखें:

0.63 ∙ गिनती 1 + 0.1 ∙ गिनती 2 + 1 ∙ गिनती 3 + 1.7 ∙ गिनती 4 ≤ 400 (3)

1.1 ∙ गिनती 1 + 2.3 ∙ गिनती 2 + 1.6 ∙ गिनती 3 + 1.8 ∙ गिनती 4 ≤ 1000 (4)

सीमा की स्थिति (जीआरयू)।

सीमा स्थितियाँ दर्शाती हैं कि वांछित चर किस सीमा के भीतर बदल सकते हैं। हमारी समस्या में, शर्त के अनुसार उत्पाद संख्या 2 और संख्या 4 के उत्पादन के लिए ये वित्तीय लागत हैं:

0.1 ∙ गिनती 2 ≤ 50 रूबल; 1.7 ∙ गिनती 4 ≤ 50 रगड़। ( 5)

दूसरी ओर, हमें यह परिचय देना होगा कि उत्पादन की मात्रा शून्य से अधिक या उसके बराबर होनी चाहिए। यह हमारे लिए एक स्पष्ट शर्त है, लेकिन कंप्यूटर के लिए एक आवश्यक शर्त है:

गिनती 1 ≥ 0; गिनती 2 ≥ 0; गिनती 3 ≥ 0; गिनें 4 ≥ 0. ( 6)

चूंकि सभी मांगे गए चर ( गिनती 1,…, गिनती 4) पहली शक्ति के अनुपात 1-7 में शामिल हैं और उन पर केवल निरंतर गुणांक द्वारा योग और गुणा की क्रियाएं की जाती हैं, तो मॉडल रैखिक है।

कंप्यूटर पर किसी समस्या का समाधान करना.

कम्प्यूटर को चालू करें। नेटवर्क में प्रवेश करने से पहले, पासवर्ड ए के साथ उपयोगकर्ता नाम ZA सेट करें। प्रोग्राम डाउनलोड करें एक्सेल. फ़ाइल को नाम के अंतर्गत सहेजें लिडोवित्स्की कुलिक। एक्स रास. फ़ोल्डर एक/के 31(2) में। एक हेडर बनाएं: बाईं ओर तारीख है, केंद्र में फ़ाइल का नाम है, दाईं ओर शीट का नाम है।

हम हेडर और स्रोत डेटा तालिका (तालिका 1) बनाते और प्रारूपित करते हैं। हम समस्या के प्रकार के अनुसार तालिका में डेटा दर्ज करते हैं।

हम गणना के लिए तालिका बनाते और प्रारूपित करते हैं। "मात्रा" कक्षों में प्रारंभिक मान दर्ज करें। हम उन्हें अपेक्षित परिणाम के करीब चुनते हैं। हमारे पास प्रारंभिक जानकारी नहीं है और इसलिए हम उन्हें 1 के बराबर चुनेंगे। इससे दर्ज किए गए सूत्रों को नियंत्रित करना आसान हो जाएगा।

"श्रम इनपुट" पंक्ति में हम सूत्र (4) की शर्तों को दर्ज करते हैं - आउटपुट की एक इकाई का उत्पादन करने के लिए आवश्यक श्रम इनपुट की मात्रा द्वारा उत्पादों की मात्रा का उत्पाद:

उत्पाद क्रमांक 1 (=C15*C8) के लिए;

उत्पाद संख्या 2 (=D15*D8);

उत्पाद क्रमांक 3 (=E15*E8);

उत्पाद क्रमांक 4 (=F15*F8).

"कुल" कॉलम में हम ऑटो-योग बटन Σ का उपयोग करके इन कोशिकाओं की सामग्री का योग पाते हैं। "शेष" कॉलम में हम तालिका 1 की "संसाधन-श्रम लागत" कोशिकाओं की सामग्री और "कुल-श्रम लागत" (=G8-G17) के बीच अंतर पाते हैं, इसी तरह, "वित्त" (=G9) भरें -G18) और "कच्चा माल" (=G10- G19).

"लाभ" सेल में हम सूत्र (1) के बाईं ओर का उपयोग करके लाभ की गणना करते हैं। इस मामले में, हम फ़ंक्शन =SUMPRODUCT (C15: F15; C11: F11) का उपयोग करेंगे।

हम क्रमशः कुल लाभ, वित्तीय, श्रम और कच्चे माल की लागत, साथ ही उत्पाद की मात्रा, नाम वाले सेल निर्दिष्ट करते हैं: "लाभ", "वित्त", "श्रम", "कच्चा माल", "पीआर1", "पीआर2" ”, “Pr3” , “Pr4”। एक्सेलइन नामों को रिपोर्ट में शामिल करेंगे।

डायलॉग बॉक्स को कॉल करना समाधान ढूँढनाटीमें समाधान के लिए सेवा-खोज…

वस्तुनिष्ठ कार्य का उद्देश्य.

कर्सर को विंडो में रखें लक्ष्य सेल सेट करेंऔर “Profit” सेल पर क्लिक करके उसमें उसका पता दर्ज करें। हम उद्देश्य फ़ंक्शन की दिशा का परिचय देते हैं: अधिकतम मूल्य.

विंडो में 1-4 उत्पादों की मात्रा वाले आवश्यक चर के पते दर्ज करें कोशिकाएँ बदलना .

प्रवेश प्रतिबंध.

बटन पर क्लिक करें जोड़ना. एक डायलॉग बॉक्स प्रकट होता है प्रतिबंध जोड़ना. कर्सर को विंडो में रखें सेल संदर्भऔर वहां "श्रम लागत" सेल का पता दर्ज करें। शर्तों की सूची खोलें और चुनें<=, в поле परिसीमन"संसाधन-श्रम" सेल का पता दर्ज करें। बटन पर क्लिक करें जोड़ना. एक नई विंडो के लिए प्रतिबंध जोड़नाइसी तरह, हम एक वित्तीय प्रतिबंध लागू करते हैं। बटन पर क्लिक करें जोड़ना, हम कच्चे माल पर प्रतिबंध लगाते हैं। पर क्लिक करें ठीक है. प्रतिबंध लगाए गए हैं. विंडो फिर से स्क्रीन पर दिखाई देती है समाधान ढूँढना, क्षेत्र में प्रतिबंधलगाए गए प्रतिबंधों की एक सूची दिखाई दे रही है।

सीमा शर्तों में प्रवेश.

जीआरयू में प्रवेश करना प्रवेश प्रतिबंधों से अलग नहीं है। खिड़की में प्रतिबंध जोड़नाक्षेत्र में सेल संदर्भमाउस का उपयोग करके, "Fin2" सेल का पता दर्ज करें। एक चिन्ह चुनना<=. В поле परिसीमन 50 लिखें. पर क्लिक करें जोड़ना. माउस का उपयोग करके, "Fin4" सेल का पता दर्ज करें। एक चिन्ह चुनना<=. В поле परिसीमन 50 लिखें. पर क्लिक करें ठीक है. चलो खिड़की पर वापस चलते हैं समाधान ढूँढना. क्षेत्र में प्रतिबंधदर्ज किए गए ओजीआर और जीआरयू की पूरी सूची दिखाई देती है (चित्र 1)।

चित्र 1.

पैरामीटर दर्ज करना.

बटन पर क्लिक करें विकल्प.एक विंडो प्रकट होती है समाधान खोज विकल्प. क्षेत्र में रैखिक मॉडलबॉक्स को चेक करें. हम शेष मापदंडों को अपरिवर्तित छोड़ देते हैं। पर क्लिक करें ठीक है(अंक 2)।

चित्र 2.

समाधान।

खिड़की में समाधान ढूँढनाबटन पर क्लिक करें निष्पादित करना. स्क्रीन पर एक विंडो दिखाई देती है समाधान खोज परिणाम. इसमें कहा गया है, "समाधान ढूंढ लिया गया है। सभी बाधाएं और इष्टतमता की शर्तें पूरी हो गई हैं।"

रिपोर्ट बनाना और सहेजना

कार्य के प्रश्नों का उत्तर देने के लिए हमें रिपोर्ट की आवश्यकता होगी। क्षेत्र में आख्या की प्रकारसभी प्रकारों का चयन करने के लिए माउस का उपयोग करें: "परिणाम", "स्थिरता" और "सीमाएँ"।

फ़ील्ड में एक बिंदु लगाएं पाए गए समाधान को सहेजेंऔर क्लिक करें ठीक है. (चित्र 3)। एक्सेलअनुरोधित रिपोर्ट तैयार करता है और उन्हें अलग शीट पर रखता है। गणना के साथ मूल शीट खुलती है। "मात्रा" कॉलम में - प्रत्येक प्रकार के उत्पाद के लिए पाए गए मान।

चित्र तीन।

हम एक सारांश रिपोर्ट तैयार करते हैं। हम प्राप्त रिपोर्टों को कॉपी करके कागज की एक शीट पर रख देते हैं। हम उन्हें संपादित करते हैं ताकि सब कुछ एक पृष्ठ पर हो।

हम समाधान परिणामों को ग्राफिक रूप से प्रस्तुत करते हैं। हम "उत्पादन की मात्रा" और "संसाधनों का वितरण" आरेख बनाते हैं।

"उत्पादों की मात्रा" चार्ट बनाने के लिए, चार्ट विज़ार्ड खोलें और पहला कदम नियमित हिस्टोग्राम के वॉल्यूमेट्रिक संस्करण का चयन करना है। स्रोत डेटा विंडो में दूसरा चरण डेटा श्रेणी = लिडोविट्स्की का चयन करना है! $C$14: $F$15. चार्ट पैरामीटर्स में तीसरा चरण चार्ट का नाम "उत्पादों की मात्रा" सेट करना है। चौथा चरण आरेख को मौजूदा शीट पर रखना है। एक बटन दबाकर तैयारहम आरेख का निर्माण समाप्त करते हैं।

"संसाधन वितरण" आरेख बनाने के लिए, आरेख विज़ार्ड खोलें और पहला चरण त्रि-आयामी हिस्टोग्राम का चयन करना है। स्रोत डेटा विंडो में दूसरा चरण श्रेणी का चयन करना है: लिडोविट्स्की! $A$17: $F$19; लिडोवित्स्की! $सी$14: $एफ$14। चार्ट पैरामीटर्स में तीसरा चरण चार्ट का नाम "संसाधन आवंटन" सेट करना है। चौथा चरण आरेख को मौजूदा शीट पर रखना है। एक बटन दबाकर तैयारहम आरेख का निर्माण समाप्त करते हैं (चित्र 4)।

चित्र 4.

ये चित्र अधिकतम लाभ प्राप्त करने और संसाधनों के तदनुरूपी आवंटन के दृष्टिकोण से सर्वोत्तम उत्पाद मिश्रण को दर्शाते हैं।

हम स्रोत डेटा की तालिकाओं के साथ एक शीट, आरेख और गणना परिणामों के साथ, और कागज पर सारांश रिपोर्ट के साथ एक शीट प्रिंट करते हैं।

पाए गए समाधान का विश्लेषण. प्रश्नों के उत्तर

परिणाम रिपोर्ट के अनुसार.

कार्य की सभी शर्तें पूरी होने पर प्राप्त होने वाला अधिकतम लाभ 1292.95 रूबल है।

ऐसा करने के लिए, 50 रूबल से अधिक की वित्तीय लागत के साथ उत्पाद संख्या 2 - 172.75 और संख्या 4 - 29.41 इकाइयों की अधिकतम संभव मात्रा का उत्पादन करना आवश्यक है। प्रत्येक प्रकार के लिए, और उत्पाद संख्या 1 - 188.9 और संख्या 3 - 213.72। इस मामले में, श्रम लागत, वित्त और कच्चे माल के संसाधन पूरी तरह से उपयोग किए जाएंगे।

स्थिरता रिपोर्ट के अनुसार.

इनपुट डेटा में से किसी एक को बदलने से पाए गए समाधान की एक अलग संरचना नहीं बनेगी, यानी। अधिकतम लाभ प्राप्त करने के लिए आवश्यक किसी अन्य उत्पाद श्रेणी के लिए, यदि: उत्पाद संख्या 1 की इकाई की बिक्री से लाभ 1.45 से अधिक नहीं बढ़ता है और 0.35 से अधिक नहीं घटता है। इस प्रकार:

(1,7 - 0,35) = 1,35 < Прибыль 1 < 3,15 = (1,7 + 1,45)

उत्पाद संख्या 2 की इकाई की बिक्री से लाभ 0.56 से अधिक नहीं बढ़ेगा और 1.61 से अधिक नहीं घटेगा। इस प्रकार:

(2,3 - 1,61) = 0,69 < Прибыль 2 < 2,86 = (2,3 + 0,56)

उत्पाद संख्या 3 की इकाई की बिक्री से लाभ 0.56 से अधिक नहीं बढ़ेगा और 0.39 से अधिक नहीं घटेगा। इस प्रकार:

(2 - 0,39) = 1,61 < Прибыль 3 < 2,56 = (2 + 0,56)

उत्पाद संख्या 4 की इकाई की बिक्री से लाभ 2.81 से अधिक नहीं घट सकता है, अर्थात। 56.2% और असीमित वृद्धि। इस प्रकार: लाभ 4 > 2.19 = (5 - 2.81) कच्चे माल के लिए संसाधन 380.54 तक बढ़ाया जा सकता है, यानी। 47.57% तक और 210.46 तक कम, यानी। 26.31% तक। इस प्रकार: 589.54< С < 1180,54 ресурс по финансам может быть увеличен на 231,38, т.е. на 57,84% и уменьшен на 195,98, т.е. на 48,99%. Таким образом: 204,02 < Ф < 631,38 ресурс по трудозатратам может быть увеличен на 346,45, т.е. на 34,64% и уменьшен на 352,02, т.е. на 35, 20%. Таким образом: 647,98 < ТЗ < 1346,45

सीमा रिपोर्ट के अनुसार:

एक प्रकार के आउटपुट की मात्रा 0 से लेकर पाए गए इष्टतम मूल्य तक भिन्न हो सकती है; इससे अधिकतम लाभ प्राप्त करने के लिए आवश्यक उत्पादों की श्रेणी में कोई बदलाव नहीं आएगा। उसी समय, यदि आप उत्पाद संख्या 1 का उत्पादन करते हैं, तो लाभ 971.81 रूबल, उत्पाद संख्या 2 - 895.63 रूबल, उत्पाद संख्या 3 - 865.51 रूबल, उत्पाद संख्या 4 - 1145.89 रूबल होगा।

निष्कर्ष

गणितीय मॉडल का अध्ययन और उसके बाद का विश्लेषण हमें निम्नलिखित निष्कर्ष निकालने की अनुमति देता है:

अधिकतम संभव लाभ, 1292.95 रूबल की राशि, यदि सभी निर्दिष्ट शर्तों और प्रतिबंधों को पूरा किया जाता है, तो प्राप्त किया जा सकता है यदि आप उत्पाद संख्या 1 - 188.9 इकाइयों, उत्पाद संख्या 2 - 172.75 इकाइयों, उत्पाद संख्या 3 - 213.72 इकाइयों, उत्पादों का उत्पादन करते हैं। नंबर 4 - 29.41 इकाइयाँ।

उत्पादन जारी होने के बाद, सभी संसाधन पूरी तरह से खर्च किए जाएंगे।

पाए गए समाधान की संरचना सबसे अधिक दृढ़ता से उत्पादन संख्या 1 और संख्या 3 की इकाइयों की बिक्री के साथ-साथ सभी उपलब्ध संसाधनों में कमी या वृद्धि पर निर्भर करती है।

भाग संख्या 2 "इनपुट-आउटपुट संतुलन के आर्थिक-गणितीय मॉडल की गणना

सैद्धांतिक प्रावधान.

बैलेंस शीट विधि- वित्तीय, सामग्री और श्रम संसाधनों और उनकी जरूरतों की पारस्परिक तुलना की एक विधि। किसी आर्थिक प्रणाली का संतुलन मॉडल समीकरणों की एक प्रणाली है जो किसी संसाधन की उपलब्धता और उसके उपयोग के मिलान की आवश्यकताओं को पूरा करती है।

अंतरक्षेत्रीय संतुलनउद्योग द्वारा उत्पाद के उत्पादन और वितरण, अंतरक्षेत्रीय उत्पादन संबंधों, सामग्री और श्रम संसाधनों के उपयोग, राष्ट्रीय आय के निर्माण और वितरण को दर्शाता है।

अंतर-उद्योग संतुलन की योजना।

बैलेंस शीट पर प्रत्येक उद्योग उपभोग और उत्पादन दोनों कर रहा है। आर्थिक सामग्री वाले 4 बैलेंस शीट क्षेत्र (चतुर्थांश) हैं:

अंतर-उद्योग सामग्री कनेक्शन की तालिका, यहां एक्स आईजे - अंतर-उद्योग उत्पाद प्रवाह के मूल्य, यानी। i उद्योग में उत्पादित उत्पादन के साधनों की लागत और j उद्योग में सामग्री लागत के रूप में आवश्यक।

अंतिम उत्पाद वे उत्पाद हैं जो उत्पादन के क्षेत्र को उपभोग, संचय, निर्यात आदि के क्षेत्र में छोड़ देते हैं।

सशर्त रूप से शुद्ध उत्पादन Zj मूल्यह्रास Cj और शुद्ध उत्पादन (Uj + mj) का योग है।

राष्ट्रीय आय के अंतिम वितरण और उपयोग को दर्शाता है। सकल आउटपुट कॉलम और पंक्ति का उपयोग संतुलन की जांच करने और एक आर्थिक और गणितीय मॉडल तैयार करने के लिए किया जाता है।

किसी भी उपभोक्ता उद्योग की सामग्री लागत और उसके सशर्त शुद्ध उत्पादन का कुल योग इस उद्योग के सकल उत्पादन के बराबर है:

(1)

प्रत्येक उद्योग का सकल उत्पादन उसके उत्पादों का उपभोग करने वाले उद्योगों की सामग्री लागत और इस उद्योग के अंतिम उत्पादों के योग के बराबर है।

(2)

आइए समीकरण 1 की सभी शाखाओं का योग करें:

इसी प्रकार समीकरण 2 के लिए:

बाईं ओर सकल उत्पाद है, फिर हम दाईं ओर की बराबरी करते हैं:

(3)

समस्या का विधान।

चार शाखाओं वाली आर्थिक व्यवस्था है। डेटा के आधार पर कुल सामग्री लागत के गुणांक निर्धारित करें: प्रत्यक्ष सामग्री लागत के गुणांक का मैट्रिक्स और सकल उत्पादन का वेक्टर (तालिका 2)।

तालिका 2.

एक बैलेंस शीट मॉडल तैयार करना।

इनपुट-आउटपुट संतुलन के आर्थिक-गणितीय मॉडल का आधार प्रत्यक्ष सामग्री लागत के गुणांक का मैट्रिक्स है:

प्रत्यक्ष सामग्री लागत का गुणांक दर्शाता है कि उद्योग के कितने उत्पाद की आवश्यकता है, यदि हम उद्योग के उत्पाद की एक इकाई के उत्पादन के लिए केवल प्रत्यक्ष लागत को ध्यान में रखते हैं।

दी गई अभिव्यक्ति 4, अभिव्यक्ति 2 को फिर से लिखा जा सकता है:

(5)

सकल आउटपुट वेक्टर.

अंतिम उत्पाद वेक्टर.

आइए हम प्रत्यक्ष सामग्री लागत के गुणांकों के मैट्रिक्स को निरूपित करें:

फिर मैट्रिक्स रूप में समीकरण 5 की प्रणाली:

(6)

अंतिम अभिव्यक्ति इनपुट-आउटपुट बैलेंस मॉडल या लेओन्टिफ़ मॉडल है। मॉडल का उपयोग करके आप यह कर सकते हैं:

सकल उत्पादन X के मान निर्दिष्ट करने के बाद, अंतिम उत्पाद Y की मात्रा निर्धारित करें:

(7)

जहाँ E पहचान मैट्रिक्स है।

अंतिम उत्पाद Y का मूल्य निर्दिष्ट करने के बाद, सकल उत्पाद X का मूल्य निर्धारित करें:

(8)

आइए हम मान (ई-ए) - 1 को बी से निरूपित करें, अर्थात।

,

तो मैट्रिक्स बी के तत्व होंगे।

प्रत्येक I उद्योग के लिए:

ये कुल सामग्री लागत के गुणांक हैं; वे दिखाते हैं कि इन उत्पादों की प्रत्यक्ष और अप्रत्यक्ष लागत को ध्यान में रखते हुए, उद्योग के अंतिम उत्पाद की एक इकाई प्राप्त करने के लिए उद्योग के कितने उत्पाद का उत्पादन करने की आवश्यकता है।

दिए गए मानों को ध्यान में रखते हुए, इनपुट-आउटपुट संतुलन के आर्थिक-गणितीय मॉडल की गणना करने के लिए:

प्रत्यक्ष सामग्री लागत गुणांक के मैट्रिक्स:

सकल उत्पादन के क्षेत्र:

आइए हम मैट्रिक्स ए के अनुरूप पहचान मैट्रिक्स लें:

कुल सामग्री लागत के गुणांक की गणना करने के लिए, हम सूत्र का उपयोग करते हैं:

सभी उद्योगों के लिए सकल उत्पादन निर्धारित करने के लिए, सूत्र का उपयोग करें:

अंतरक्षेत्रीय उत्पाद प्रवाह (मैट्रिक्स x) का मान निर्धारित करने के लिए, हम सूत्र का उपयोग करके मैट्रिक्स x के तत्वों को निर्धारित करते हैं:

,

जहां मैं = 1…एन; जे = 1…एन;

n वर्ग मैट्रिक्स A की पंक्तियों और स्तंभों की संख्या है।

सशर्त रूप से शुद्ध उत्पादन Z के वेक्टर को निर्धारित करने के लिए, वेक्टर के तत्वों की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

कंप्यूटर पर किसी समस्या का समाधान करना

प्रोग्राम डाउनलोड करें MathCAD .

नाम के अंतर्गत एक फ़ाइल बनाएँ लिडोविट्स्की- कुलिक . एमसीडी.फ़ोल्डर एक/के 31(2) में।

प्रारंभिक सेटिंग्स (टेम्पलेट) के आधार पर, हम शीर्षक बनाते हैं और प्रारूपित करते हैं।

उचित टिप्पणियों के साथ दर्ज करें ( उत्पत्ति=1) प्रत्यक्ष सामग्री लागत ए और सकल आउटपुट एक्स के वेक्टर के गुणांक का मैट्रिक्स दिया गया है (सभी शिलालेख और पदनाम लैटिन फ़ॉन्ट में दर्ज किए गए हैं, निर्दिष्ट सूत्र और टिप्पणियां या तो गणना मूल्यों के स्तर पर या उससे ऊपर स्थित होनी चाहिए)।

हम कुल सामग्री लागत बी के गुणांक के मैट्रिक्स की गणना करते हैं। ऐसा करने के लिए, हम मैट्रिक्स ए के अनुरूप इकाई मैट्रिक्स की गणना करते हैं। ऐसा करने के लिए, हम फ़ंक्शन का उपयोग करते हैं पहचान ( कोल्स ( ए))।

हम सूत्र का उपयोग करके मैट्रिक्स बी की गणना करते हैं:

हम सूत्र का उपयोग करके सभी उद्योगों Y के लिए सकल उत्पादन की मात्रा निर्धारित करते हैं:

मैट्रिक्स को परिभाषित करना एक्सअंतरक्षेत्रीय उत्पाद प्रवाह के मूल्य। ऐसा करने के लिए, हम टिप्पणियाँ निर्दिष्ट करके मैट्रिक्स के तत्वों को परिभाषित करते हैं:

मैं=1. पंक्तियाँ (ए) जे=1. कॉलम (ए) एक्स आई,जे =ए आई,जे ·एक्स जे

इसके बाद हम मैट्रिक्स ढूंढते हैं एक्स .

हम इसके लिए सूत्र निर्धारित करके सशर्त रूप से शुद्ध उत्पादन Z के वेक्टर की गणना करते हैं:

चूंकि संतुलन में Z एक पंक्ति वेक्टर है, हम ट्रांसपोज़्ड वेक्टर Z T पाते हैं।

आइए कुल योग ज्ञात करें:

9.11.1 सशर्त रूप से शुद्ध उत्पाद:

9.11.2 अंतिम उत्पाद:

9.11.3 सकल उत्पादन:

हम समाधान के परिणाम कागज पर प्रिंट करते हैं।

उत्पादों के उत्पादन और वितरण का अंतर-उद्योग संतुलन

प्राप्त आंकड़ों के आधार पर, हम संसाधनों के उत्पादन और वितरण का एक अंतरक्षेत्रीय संतुलन तैयार करेंगे।

निष्कर्ष

प्रत्यक्ष सामग्री लागत के गुणांक और सकल उत्पादन के वेक्टर के मैट्रिक्स के आधार पर, कुल सामग्री लागत के गुणांक निर्धारित किए गए थे और उत्पादन और संसाधन वितरण का एक अंतर-उद्योग संतुलन संकलित किया गया था।

निर्धारित सामग्री कनेक्शन या अंतरक्षेत्रीय उत्पाद प्रवाह के मूल्य (मैट्रिक्स)। एक्स), यानी उत्पादक उद्योग में उत्पादित उत्पादन के साधनों की लागत और उपभोक्ता उद्योग में सामग्री लागत के रूप में आवश्यक।

हमने अंतिम उत्पाद (Y) निर्धारित किया, अर्थात। उत्पाद उत्पादक उद्योग को छोड़कर उपभोक्ता उद्योग में चले जाते हैं।

हमने उद्योग द्वारा सशर्त शुद्ध उत्पादन का मूल्य निर्धारित किया (Zj; Z T)।

सकल उत्पादन (एक्स) का अंतिम वितरण निर्धारित किया गया था। सकल उत्पादन के कॉलम और पंक्ति का उपयोग करके, हमने शेष राशि (138+697+282+218) =1335 की जाँच की।

संकलित बैलेंस शीट के आधार पर निम्नलिखित निष्कर्ष निकाले जा सकते हैं:

किसी भी उपभोक्ता उद्योग की सामग्री लागत और उसके सशर्त शुद्ध उत्पादन का कुल योग इस उद्योग के सकल उत्पादन के बराबर है।

प्रत्येक उद्योग का सकल उत्पादन उसके उत्पादों का उपभोग करने वाले उद्योगों की सामग्री लागत और इस उद्योग के अंतिम उत्पादों के योग के बराबर है।

साहित्य

1. " अर्थशास्त्र में गणितीय मॉडल।" पत्राचार शिक्षा की आर्थिक विशिष्टताओं के छात्रों के लिए प्रयोगशाला और परीक्षण कार्य करने के लिए दिशानिर्देश। ज़ुकोवस्की ए.ए. चिप्स UrGUPS। चेल्याबिंस्क। 2001।

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