कौन सा समुच्चय समुच्चयों का संघ है. "सिस्टम सिद्धांत और सिस्टम विश्लेषण

सेट पर एक ऑपरेशन एक नियम है, जिसके परिणामस्वरूप दिए गए सेट से एक नया सेट विशिष्ट रूप से प्राप्त होता है।

आइए हम एक मनमाने संक्रिया को * से निरूपित करें। दिए गए सेट से प्राप्त सेट ए और बी,फॉर्म में लिखा है ए*बी.परिणामी सेट और ऑपरेशन को आमतौर पर एक शब्द कहा जाता है।

टिप्पणी।बुनियादी संख्यात्मक संक्रियाओं के लिए, दो शब्दों का उपयोग किया जाता है: एक संक्रिया को एक क्रिया के रूप में दर्शाता है, दूसरा क्रिया करने के बाद प्राप्त संख्या को दर्शाता है। उदाहरण के लिए, + द्वारा निरूपित संक्रिया को जोड़ कहा जाता है, और जोड़ से उत्पन्न संख्या को संख्याओं का योग कहा जाता है। इसी प्रकार गुणन संक्रिया का चिन्ह और परिणाम ए बी -संख्याओं का गुणनफल ए और बी.हालाँकि, अक्सर इस अंतर को ध्यान में नहीं रखा जाता है और वे कहते हैं "संख्याओं के योग पर विचार करें", जिसका अर्थ कोई विशिष्ट परिणाम नहीं, बल्कि ऑपरेशन ही है।

इंटरसेक्शन ऑपरेशन.सेट ए और बी का प्रतिच्छेदन एजीएलवी, जिसमें सभी वस्तुएं शामिल हैं, जिनमें से प्रत्येक दोनों सेटों से संबंधित है एऔर मेंइसके साथ ही।

दूसरे शब्दों में, एएसवी - all.g का समुच्चय इस प्रकार है हेएऔर हेवी:

मर्ज ऑपरेशन.समुच्चय A और B का मिलनद्वारा निरूपित समुच्चय कहलाता है ए" और बी,सभी वस्तुओं से मिलकर, जिनमें से प्रत्येक कम से कम एक सेट से संबंधित है एया में।

संघ संचालन को कभी-कभी + चिह्न द्वारा दर्शाया जाता है और इसे सेट जोड़ कहा जाता है।

अंतर संचालन.सेट ए और बी के बीच अंतरद्वारा निरूपित समुच्चय कहलाता है अब, जिसमें सभी वस्तुएं शामिल हैं, जिनमें से प्रत्येक में निहित है ए,लेकिन झूठ नहीं बोलता में।

अभिव्यक्ति एपीवीपढ़ना "एके साथ प्रतिच्छेदन में में», ए.के.जे.बी.- “और साथ में बी", एबी - "एबिना में"।

उदाहरण 7.1.1.होने देना ए = {1, 3,4, 5, 8,9}, में = {2,4, 6, 8}.

तब एकेजेबी= (1,2, 3,4, 5, 6, 8, 9), एसीबी=( 4,8}, अब= (1.3, 5, 9), YAL = (2.6)।"

इन ऑपरेशनों के आधार पर दो और महत्वपूर्ण ऑपरेशनों की पहचान की जा सकती है।

अतिरिक्त कार्रवाई.होने देना AqS. फिर फर्क एस.ए.बुलाया सेट A से S जोड़नाऔर नामित किया गया है जैसा।

माना कि विचाराधीन कोई भी समुच्चय किसी समुच्चय का उपसमुच्चय है यूऐसे निश्चित (किसी विशेष समस्या को हल करने के संदर्भ में) सेट के अतिरिक्त यूबस मतलब ए. संकेतन का भी प्रयोग किया जाता है एसए,साथ ए, ए।”

उदाहरण 7.1.2.सभी दशमलव अंकों के समुच्चय (1, 3,4, 5, 8, 9) का पूरक (0, 2, 6, 7) है।

समुच्चय Q को समुच्चय में संपूरित करना आर 1 का एक सेट है.

वर्गों के समुच्चय का आयतों के समुच्चय से पूरक असमान आसन्न भुजाओं वाले सभी आयतों का समुच्चय है।

हम देखते हैं कि समुच्चयों के मिलन, प्रतिच्छेदन और पूरक की संक्रियाएँ विच्छेद, संयोजन और निषेध की तार्किक संक्रियाओं के अनुरूप होती हैं।

सममित अंतर संचालन.समुच्चय A और B का सममित अंतरद्वारा निरूपित समुच्चय कहलाता है ए®बी, जिसमें सभी वस्तुएं शामिल हैं, जिनमें से प्रत्येक सेट में से बिल्कुल एक से संबंधित है ए और बी:

यह देखना आसान है कि सममित अंतर दो सेटों का मिलन है अबऔर वी.ए.यदि हम पहले सेटों को मिला दें तो वही सेट प्राप्त किया जा सकता है एऔर में,और फिर सेट से हटा दें सामान्य तत्व.

उदाहरण 7.1.3. वास्तविक संख्याएँ दी जाएँ a फिर संगत संख्यात्मक अंतराल के लिए हमारे पास है:

ध्यान दें कि खंड के बाद से [ए; बी]एक संख्या शामिल है सी>और अंतराल (सी; डी)बिंदु साथइसमें वां नंबर शामिल नहीं है साथअंतर में निहित है [ए; बी]बिना [के साथ; सी एफलेकिन अंतर, उदाहरण के लिए, (2;5), में संख्या 3 शामिल नहीं है, क्योंकि यह खंड में स्थित है। हमारे पास (2;5)=(2;3) है।

असंयुक्त समुच्चय दिये जायें एऔर में।चूँकि n प्रतिच्छेदन संक्रिया का चिन्ह है, तो प्रविष्टि ए(बी.बी.)गलत. यह कहना भी ग़लत है कि सेटों का कोई प्रतिच्छेदन नहीं होता। हमेशा एक प्रतिच्छेदन होता है; इसे किसी भी सेट के लिए परिभाषित किया जाता है। तथ्य यह है कि सेट प्रतिच्छेद नहीं करते हैं, इसका मतलब है कि उनका प्रतिच्छेदन खाली है (अर्थात, संकेतित ऑपरेशन करने पर, हमें एक खाली सेट प्राप्त होता है)। यदि समुच्चय प्रतिच्छेद करते हैं, तो उनका प्रतिच्छेद रिक्त नहीं होता है। हम निष्कर्ष निकालते हैं:

आइए हम उस मामले में प्रतिच्छेदन संघ के संचालन को सामान्यीकृत करें जब दो से अधिक सेट हों।

व्यवस्था दी जाए कोसेट. किसी दिए गए सिस्टम के सेटों का प्रतिच्छेदन सभी तत्वों का सेट है, जिनमें से प्रत्येक उनके सभी सेटों में निहित है को।

किसी दिए गए सिस्टम के सेटों का संघ सभी तत्वों का सेट होता है, जिनमें से प्रत्येक कम से कम एक सेट में निहित होता है को।

चलो सिस्टम के सेट कोकुछ सूचकांक परिवार के तत्वों द्वारा क्रमांकित /। फिर कोई भी सेट कोनामित किया जा सकता है ए,-,कहाँ आईईएल.यदि समुच्चय परिमित है, तो पहले समुच्चय का उपयोग / के रूप में किया जाता है प्राकृतिक संख्या(1,2,...,और). सामान्य तौर पर, / अनंत हो सकता है।

फिर सामान्य स्थिति में समुच्चयों का मिलन एसभी के लिए आईईएलनिरूपित करें (जे ए( , और चौराहा - च]ए मैं .

चलो समग्रता कोफिर अंतिम क=इस मामले में

लिखना अयजा 2 वी...केजेए„और AG4 2 (^---G4p-

उदाहरण 7.1.4. आइए संख्या रेखा А| के अंतरालों पर विचार करें = [-ऊ;2], एल 2 =एच°; 3], एल 3 = ?

समाधान।

आइए संख्या सेट ए और बी की ज्यामितीय छवियां बनाएं:

दिए गए सेटों के सीमा बिंदु संख्या रेखा को निम्नलिखित सेटों में विभाजित करते हैं: (−∞, −4) , (−4) , (−4, −2) , (−2) , (−2, 1) , ( 1) , (1 , 3) ​​, (3) , (3, 5) , (5) , (5, +∞) .

यह देखना आसान है कि संख्यात्मक सेट ए को (−2) , (1, 3) , (3) और (3, 5) को मिलाकर लिखे गए सेट से "इकट्ठा" किया जा सकता है। सेट ए और बी के प्रतिच्छेदन को खोजने के लिए, यह जांचना पर्याप्त है कि बाद वाले सेट सेट बी में शामिल हैं या नहीं। उनमें से जो बी में शामिल हैं वे वांछित चौराहे का गठन करेंगे। आइए उचित जाँच करें।

जाहिर है, (−2) सेट बी में शामिल है (चूंकि निर्देशांक −2 वाला बिंदु खंड [−4, 3] का एक आंतरिक बिंदु है)। अंतराल (1,3) भी बी में शामिल है (इसके ऊपर एक हैच है)। सेट (3) भी बी में शामिल है (निर्देशांक 3 वाला बिंदु सेट बी का एक सीमा और गैर-छिद्रित बिंदु है)। और अंतराल (3,5) को संख्यात्मक सेट बी में शामिल नहीं किया गया है (इसके ऊपर कोई छायांकन नहीं है)। ड्राइंग पर निकाले गए निष्कर्षों को अंकित करने के बाद यह यह रूप लेगा

इस प्रकार, दो मूल संख्यात्मक सेट ए और बी का वांछित प्रतिच्छेदन निम्नलिखित सेटों (−2) , (1, 3) , (3) का मिलन है, जिसे (−2)∪(1, 3) के रूप में लिखा जा सकता है .

उत्तर:

{−2}∪(1, 3] .

जो कुछ बचा है वह इस बात पर चर्चा करना है कि तीन और के प्रतिच्छेदन और मिलन को कैसे खोजा जाए अधिकसंख्या सेट. इस समस्या को क्रमिक रूप से दो सेटों के प्रतिच्छेदन और मिलन को खोजने के लिए कम किया जा सकता है: पहले पहले को दूसरे के साथ, फिर प्राप्त परिणाम को तीसरे के साथ, फिर प्राप्त परिणाम को चौथे के साथ, और इसी तरह। या आप पहले से घोषित एल्गोरिदम के समान एल्गोरिदम का उपयोग कर सकते हैं। इसका एकमात्र अंतर यह है कि अलग-अलग संख्याओं से युक्त अंतरालों और सेटों की घटना की जाँच दो से नहीं, बल्कि सभी प्रारंभिक सेटों से की जानी चाहिए। आइए तीन समुच्चयों का प्रतिच्छेदन और मिलन ज्ञात करने के एक उदाहरण पर विचार करें।

उदाहरण।

तीन संख्या समुच्चयों का प्रतिच्छेदन और मिलन ज्ञात कीजिए A=(−∞, 12] , B=(−3, 25] , D=(−∞, 25)∪(40) .

समाधान।

सबसे पहले, हमेशा की तरह, हम चित्रित करते हैं संख्या सेटसमन्वय रेखाओं पर, और उनके बाईं ओर हम चौराहे को इंगित करने वाला एक घुंघराले ब्रैकेट और संघ के लिए एक वर्ग ब्रैकेट रखते हैं, और नीचे हम स्ट्रोक के साथ चिह्नित संख्यात्मक सेटों के सीमा बिंदुओं के साथ समन्वय रेखाओं को दर्शाते हैं:

तो निर्देशांक रेखा को संख्यात्मक सेट (−∞, −3) , (−3) , (−3, 12) , (12) , (12, 25) , (25) , (25, 40) द्वारा दर्शाया जाता है ) , (40) , (40, ∞) .

हम प्रतिच्छेदन की खोज शुरू करते हैं; ऐसा करने के लिए, हम बारी-बारी से देखते हैं कि रिकॉर्ड किए गए सेट प्रत्येक सेट ए, बी और डी में शामिल हैं या नहीं। सभी तीन प्रारंभिक संख्यात्मक सेटों में अंतराल (−3, 12) और सेट (12) शामिल हैं। वे सेट ए, बी और डी के वांछित प्रतिच्छेदन का गठन करते हैं। हमारे पास A∩B∩D=(−3, 12] है।

बदले में, वांछित संघ में सेट शामिल होंगे (−∞, −3) (ए में शामिल), (−3) (ए में शामिल), (−3, 12) (ए में शामिल), (12) ( ए में शामिल), (12, 25) (बी में शामिल), (25) (बी में शामिल) और (40) (डी में शामिल)। इस प्रकार, A∪B∪D=(−∞, 25]∪(40) ।

उत्तर:

A∩B∩D=(−3, 12] , A∪B∪D=(−∞, 25]∪(40) .

निष्कर्ष में, ध्यान दें कि संख्या सेटों का प्रतिच्छेदन अक्सर खाली सेट होता है। यह उन मामलों से मेल खाता है जब मूल सेट में ऐसे तत्व नहीं होते हैं जो एक साथ उन सभी से संबंधित होते हैं।

(10, 27) , (27) , (27, +∞) . कोई भी लिखित सेट एक साथ चार मूल सेटों में शामिल नहीं है, जिसका अर्थ है कि सेट ए, बी, डी और ई का प्रतिच्छेदन खाली सेट है।

उत्तर:

A∩B∩D∩E=∅.

सन्दर्भ.

• बीजगणित:पाठयपुस्तक आठवीं कक्षा के लिए. सामान्य शिक्षा संस्थान / [यू. एन. मकार्यचेव, एन. जी. माइंड्युक, के. आई. नेशकोव, एस. बी. सुवोरोवा]; द्वारा संपादित एस. ए. तेल्यकोवस्की। - 16वाँ संस्करण। - एम.: शिक्षा, 2008. - 271 पी। : बीमार। - आईएसबीएन 978-5-09-019243-9।
• मोर्दकोविच ए.जी.बीजगणित. 9वीं कक्षा. 2 घंटे में। भाग 1. सामान्य शिक्षा संस्थानों के छात्रों के लिए पाठ्यपुस्तक / ए.जी. मोर्दकोविच, पी.वी.सेमेनोव। - 13वां संस्करण, मिटाया गया। - एम.: मेनेमोसिन, 2011. - 222 पी.: बीमार। आईएसबीएन 978-5-346-01752-3।

गणित में, समुच्चय की अवधारणा मुख्य, मौलिक अवधारणाओं में से एक है, लेकिन समुच्चय की कोई एक परिभाषा नहीं है। सेट की सबसे अच्छी तरह से स्थापित परिभाषाओं में से एक निम्नलिखित है: एक सेट परिभाषित और विशिष्ट वस्तुओं का कोई संग्रह है जिसे एक संपूर्ण के रूप में सोचा जा सकता है। सेट सिद्धांत के निर्माता, जर्मन गणितज्ञ जॉर्ज कैंटर (1845-1918) ने यह कहा: "एक सेट कई चीजें हैं जिनके बारे में हम समग्र रूप से सोचते हैं।"

डेटा प्रकार के रूप में सेट जटिल जीवन स्थितियों की प्रोग्रामिंग के लिए बहुत सुविधाजनक साबित हुए हैं, क्योंकि उनका उपयोग वास्तविक दुनिया की वस्तुओं को सटीक रूप से मॉडल करने और जटिल तार्किक संबंधों को कॉम्पैक्ट रूप से प्रदर्शित करने के लिए किया जा सकता है। सेट का उपयोग पास्कल प्रोग्रामिंग भाषा में किया जाता है, और हम नीचे समाधान का एक उदाहरण देखेंगे। इसके अलावा, सेट सिद्धांत के आधार पर, रिलेशनल डेटाबेस की अवधारणा बनाई गई, और सेट पर संचालन के आधार पर - संबंधपरक बीजगणित और इसके संचालन- डेटाबेस क्वेरी भाषाओं में उपयोग किया जाता है, विशेष रूप से SQL में।

उदाहरण 0 (पास्कल)।शहर में कई दुकानों में बेचे जाने वाले उत्पादों का चयन होता है। निर्धारित करें: शहर के सभी स्टोरों में कौन से उत्पाद उपलब्ध हैं; शहर में उत्पादों की पूरी श्रृंखला।

समाधान। हम एक बुनियादी डेटा प्रकार खाद्य (उत्पाद) को परिभाषित करते हैं, यह उत्पादों के नाम (उदाहरण के लिए, एचएलईबी) के अनुरूप मान ले सकता है। हम एक सेट प्रकार घोषित करते हैं; यह आधार प्रकार, यानी भोजन के मूल्यों के संयोजन से बने सभी उपसमूहों को परिभाषित करता है। और हम उपसमुच्चय बनाते हैं: स्टोर "सोल्निशको", "वेटरोक", "ओगनीओक", साथ ही व्युत्पन्न उपसमुच्चय: मिनफूड (उत्पाद जो सभी दुकानों में उपलब्ध हैं), मैक्सफूड (शहर में उत्पादों की एक पूरी श्रृंखला)। इसके बाद, हम व्युत्पन्न उपसमुच्चय प्राप्त करने के लिए संक्रियाएँ निर्धारित करते हैं। मिनफ़ूड उपसमुच्चय सोल्निशको, वेटेरोक और ओगनीओक उपसमुच्चय के प्रतिच्छेदन के परिणामस्वरूप प्राप्त होता है और इसमें इन उपसमुच्चयों के वे और केवल वे तत्व शामिल होते हैं जो इनमें से प्रत्येक उपसमुच्चय में शामिल होते हैं (पास्कल में, सेटों के प्रतिच्छेदन के संचालन को दर्शाया गया है) तारांकन द्वारा: ए * बी * सी, सेटों के प्रतिच्छेदन के लिए गणितीय पदनाम नीचे दिया गया है)। मैक्सफूड उपसमुच्चय समान उपसमुच्चय को मिलाकर प्राप्त किया जाता है और इसमें ऐसे तत्व शामिल होते हैं जो सभी उपसमुच्चय में शामिल होते हैं (पास्कल में, संयोजन सेट के संचालन को प्लस चिह्न द्वारा दर्शाया जाता है: ए + बी + सी, संयोजन सेट के लिए गणितीय पदनाम नीचे दिया गया है) ).

कोड पास्कल

कार्यक्रम की दुकानें;

भोजन का प्रकार=(हलेब, मोलोको, मायसो, सीर, सोल, चीनी, मसलो, रायबा);

दुकान = भोजन का सेट;

वर सोल्निशको, वेटेरोक, ओगनीओक, मिनफूड, मैक्सफूड: दुकान;

सोल्निशको शुरू करें:=;

वेटरोक:=;

ओगनीओक:=;

... मिनफ़ूड:=सोल्निशको * वेटेरोक * ओगनीओक;

मैक्सफूड:=सोल्निशको + वेटेरोक + ओगनीओक; अंत।वह समुच्चय जो परिमित नहीं है अनंत कहलाता है। उदाहरण के लिए, सभी प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय एक अनंत समुच्चय है।

अगर एम- बहुत, और ए- इसका तत्व, फिर वे लिखते हैं: ए∈एम, मतलब " एसेट का है एम".

कुछ दुकानों में उपलब्ध उत्पादों के साथ पास्कल में पहले (शून्य) उदाहरण से:

hleb∈वेटरोक ,

जिसका अर्थ है: तत्व "एचलेब" कई उत्पादों से संबंधित है जो "वेटरोक" स्टोर में उपलब्ध हैं।

सेट को परिभाषित करने के दो मुख्य तरीके हैं: गणना और विवरण।

किसी समुच्चय को उसके सभी तत्वों को सूचीबद्ध करके परिभाषित किया जा सकता है, उदाहरण के लिए:

वेटरोक = {hleb, सर, मक्खन} ,

ए = {7 , 14 , 28 } .

एक गणना केवल एक सीमित सेट को परिभाषित कर सकती है। हालाँकि आप इसे विवरण के साथ कर सकते हैं। लेकिन अनंत समुच्चयों को केवल विवरण द्वारा ही परिभाषित किया जा सकता है।

सेट का वर्णन करने के लिए निम्नलिखित विधि का उपयोग किया जाता है। होने देना पी(एक्स) - कुछ कथन जो एक चर के गुणों का वर्णन करते हैं एक्स, जिसकी सीमा सेट है एम. फिर के माध्यम से एम = {एक्स | पी(एक्स)} उन सभी और केवल उन तत्वों से युक्त सेट को दर्शाता है जिनके लिए कथन है पी(एक्स) क्या सच है। यह अभिव्यक्ति इस प्रकार है: "बहुत सारे एम, ऐसे सभी से मिलकर एक्स, क्या पी(एक्स) ".

उदाहरण के लिए, रिकार्ड

एम = {एक्स | एक्स² - 3 एक्स + 2 = 0}

उदाहरण 6.खट्टे फल खरीदने वाले 100 बाजार खरीदारों के एक सर्वेक्षण के अनुसार, संतरे 29 खरीदारों द्वारा खरीदे गए, नींबू - 30 खरीदारों, कीनू - 9, केवल कीनू - 1, संतरे और नींबू - 10, नींबू और कीनू - 4, तीनों प्रकार के फल - 3 खरीदार. कितने ग्राहकों ने यहां सूचीबद्ध कोई भी खट्टे फल नहीं खरीदे हैं? कितने ग्राहकों ने केवल नींबू खरीदे?

सेटों के कार्टेशियन उत्पाद का संचालन

सेट पर एक और महत्वपूर्ण ऑपरेशन को परिभाषित करने के लिए - सेट का कार्टेशियन उत्पादआइए लंबाई के क्रमबद्ध सेट की अवधारणा का परिचय दें एन.

सेट की लंबाई संख्या है एनइसका घटक. ठीक इसी क्रम में लिए गए तत्वों से बना एक सेट निरूपित किया जाता है . एक ही समय पर मैं i() सेट घटक है।

अब एक सख्त परिभाषा का पालन किया जाएगा, जो तुरंत स्पष्ट नहीं हो सकती है, लेकिन इस परिभाषा के बाद एक तस्वीर होगी जिससे यह स्पष्ट हो जाएगा कि सेट का कार्टेशियन उत्पाद कैसे प्राप्त किया जाए।

सेट का कार्टेशियन (प्रत्यक्ष) उत्पादद्वारा निरूपित समुच्चय कहलाता है और लंबाई के उन सभी और केवल उन सेटों से मिलकर बना है एन, मैं-वाँ घटक किसका है .

उदाहरण के लिए, यदि , , ,

- (सेट का योग) सेट सिद्धांत की अवधारणा; समुच्चयों का संघ एक समुच्चय है जिसमें वे सभी तत्व शामिल होते हैं जिनमें से प्रत्येक दिए गए समुच्चयों में से कम से कम एक से संबंधित होता है। समुच्चय A और B के मिलन को AUB या A+B द्वारा दर्शाया जाता है...

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- (सेट का योग), सेट सिद्धांत की अवधारणा; ओ. एम. एक सेट जिसमें वे तत्व शामिल हैं, जिनमें से प्रत्येक दिए गए सेट में से कम से कम एक से संबंधित है। ओ. एम ए और बी ए यूबी या ए + बी को नामित करते हैं ... प्राकृतिक विज्ञान. विश्वकोश शब्दकोश

ए और बी का मिलन समुच्चय सिद्धांत में समुच्चयों का मिलन (योग या संबंध भी) एक ऐसा समुच्चय है जिसमें मूल समुच्चयों के सभी तत्व शामिल होते हैं। आमतौर पर दो समुच्चयों A और B के मिलन को दर्शाया जाता है, लेकिन कभी-कभी आप इसे... विकिपीडिया के रूप में लिखा हुआ पा सकते हैं

गणित की वह शाखा जिसमें वे अध्ययन करते हैं सामान्य गुणसेट, अधिकतर अनंत। सेट की अवधारणा सबसे सरल गणितीय अवधारणा है, इसे परिभाषित नहीं किया गया है, बल्कि केवल उदाहरणों की सहायता से समझाया गया है: एक शेल्फ पर बहुत सारी किताबें, बहुत सारे बिंदु... बड़ा विश्वकोश शब्दकोश

गणित की एक शाखा जो समुच्चयों, विशेषकर अनंत समुच्चयों के सामान्य गुणों का अध्ययन करती है। सेट की अवधारणा सबसे सरल गणितीय अवधारणा है, इसे परिभाषित नहीं किया गया है, बल्कि केवल उदाहरणों की सहायता से समझाया गया है: एक शेल्फ पर कई किताबें, कई... ... विश्वकोश शब्दकोश

एक गणितीय सिद्धांत जो सटीक तरीकों से अनंत की समस्या का अध्ययन करता है। विषय एम. एल. सेट के गुण (संग्रह, वर्ग, पहनावा), ch. गिरफ्तार. अंतहीन. एक सेट ए परिभाषित और अलग-अलग वस्तुओं का कोई संग्रह है... तर्क शर्तों का शब्दकोश

एसोसिएशन: विक्षनरी में एक लेख है "एसोसिएशन" एसोसिएशन एक प्रकार का संगठन है...विकिपीडिया

समुच्चय सिद्धांत गणित की एक शाखा है जो समुच्चयों के सामान्य गुणों का अध्ययन करती है। सेट सिद्धांत अधिकांश गणितीय विषयों का आधार है; इसका गणित विषय की समझ पर गहरा प्रभाव पड़ा। सामग्री 1 सिद्धांत ... ...विकिपीडिया

एसोसिएशन एक बहुअर्थी शब्द है जो जटिल शब्दों का हिस्सा है। विक्षनरी में "एसोसिएशन" के लिए एक प्रविष्टि है। एसोसिएशन एक प्रकार का संगठन है। संगठन साधारण नामबड़ी सैन्य संरचनाएँ ... विकिपीडिया

किताबें

• 20 तक गिनती। 6-7 वर्ष के बच्चों के लिए कार्यपुस्तिका। शिक्षा के संघीय राज्य शैक्षिक मानक, शेवेलेव कॉन्स्टेंटिन वेलेरिविच। वर्कबुक 6-7 वर्ष के बच्चों के साथ काम करने के लिए डिज़ाइन किया गया। प्राथमिक गठन करके अनुभूति ब्लॉक के लक्ष्यों की प्राप्ति में योगदान देता है गणितीय निरूपण. पद्धतिगत...

पाठ मकसद:

• शैक्षिक: समुच्चय और उपसमुच्चय की पहचान करने की क्षमता विकसित करना; छवियों में प्रतिच्छेदन क्षेत्र और सेटों के मिलन को खोजने और इस क्षेत्र से तत्वों का नामकरण करने, समस्याओं को हल करने में कौशल विकसित करना;
• विकास: विकास संज्ञानात्मक रुचिछात्र; व्यक्ति के बौद्धिक क्षेत्र का विकास, तुलना और सामान्यीकरण करने के कौशल का विकास।
• शैक्षिक: निर्णय लेते समय सटीकता और सावधानी पैदा करना।

पाठ की प्रगति.

1. संगठनात्मक क्षण.

2. शिक्षक पाठ के विषय की घोषणा करता है और छात्रों के साथ मिलकर लक्ष्य और उद्देश्य तैयार करता है।

3. शिक्षक, छात्रों के साथ मिलकर, 7वीं कक्षा में "सेट्स" विषय पर पढ़ी गई सामग्री को याद करते हैं, समस्याओं को हल करने के लिए नई अवधारणाओं और परिभाषाओं, सूत्रों का परिचय देते हैं।

"अनेक ऐसी अनेक चीज़ें हैं जिन्हें हम एक मानते हैं" (सेट सिद्धांत के संस्थापक - जॉर्ज कैंटर)। जॉर्ज कैंटोर (1845-1918) - जर्मन गणितज्ञ, तर्कशास्त्री, धर्मशास्त्री, ट्रांसफ़िनिट (अनंत) सेट के सिद्धांत के निर्माता, जिसका 19वीं और 20वीं शताब्दी के अंत में गणितीय विज्ञान के विकास पर निर्णायक प्रभाव पड़ा।

सेट आधुनिक गणित की बुनियादी अवधारणाओं में से एक है, जिसका उपयोग इसके लगभग सभी अनुभागों में किया जाता है।

दुर्भाग्य से, सिद्धांत की मूल अवधारणा - सेट की अवधारणा - को एक सख्त परिभाषा नहीं दी जा सकती है। बेशक, हम कह सकते हैं कि एक सेट एक "सेट", "संग्रह", "पहनावा", "संग्रह", "परिवार", "सिस्टम", "वर्ग" आदि है। हालाँकि, यह सब गणितीय नहीं होगा परिभाषा, बल्कि रूसी भाषा की शब्दावली संपदा का दुरुपयोग।

किसी भी अवधारणा को परिभाषित करने के लिए, सबसे पहले, यह इंगित करना आवश्यक है कि कौन सा विशेष मामला अधिक है सामान्य सिद्धांत, यह है, एक सेट की अवधारणा के लिए ऐसा करना असंभव है, क्योंकि गणित में सेट से अधिक सामान्य अवधारणा नहीं है।

अक्सर हमें किसी न किसी विशेषता से जुड़ी कई चीजों के बारे में बात करनी पड़ती है। तो, हम कमरे में सभी कुर्सियों के सेट, सभी कोशिकाओं के सेट के बारे में बात कर सकते हैं मानव शरीर, किसी दिए गए थैले में सभी आलूओं के सेट के बारे में, समुद्र में सभी मछलियों के सेट के बारे में, किसी समतल पर सभी वर्गों के सेट के बारे में, किसी दिए गए वृत्त पर सभी बिंदुओं के सेट के बारे में, आदि।

वे वस्तुएँ जो किसी दिए गए समुच्चय को बनाती हैं, उसके तत्व कहलाती हैं।

उदाहरण के लिए, सप्ताह के कई दिनों में तत्व शामिल हैं: सोमवार, मंगलवार, बुधवार, गुरुवार, शुक्रवार, शनिवार, रविवार।

कई महीने - तत्वों से: जनवरी, फरवरी, मार्च, अप्रैल, मई, जून, जुलाई, अगस्त, सितंबर, अक्टूबर, नवंबर, दिसंबर।

अनेक अंकगणितीय परिचालन- तत्वों से: जोड़, घटाव, गुणा, भाग।

उदाहरण के लिए, यदि A का अर्थ सभी प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय है, तो 6 A का है, लेकिन 3 A का नहीं है।

यदि A वर्ष के सभी महीनों का समुच्चय है, तो मई A का है, लेकिन बुधवार A का नहीं है।

यदि किसी समुच्चय में तत्वों की संख्या सीमित है, तो उसे परिमित कहा जाता है, और यदि उसमें अपरिमित रूप से अनेक तत्व हैं, तो उसे अनंत कहा जाता है। इसलिए जंगल में पेड़ों का समुच्चय सीमित है, लेकिन वृत्त पर बिंदुओं का समुच्चय अनंत है।

तर्क में विरोधाभास- यह एक विरोधाभास है जो तार्किक रूप से सही निष्कर्ष की स्थिति रखता है और साथ ही, परस्पर अनन्य निष्कर्षों की ओर ले जाने वाले तर्क का प्रतिनिधित्व करता है।

जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, समुच्चय की अवधारणा गणित के मूल में है। सरलतम सेटों और विभिन्न गणितीय निर्माणों का उपयोग करके, आप लगभग किसी भी गणितीय वस्तु का निर्माण कर सकते हैं। सेट सिद्धांत के आधार पर सभी गणित के निर्माण के विचार को जी. कैंटर द्वारा सक्रिय रूप से बढ़ावा दिया गया था। हालाँकि, अपनी सभी सरलता के बावजूद, सेट की अवधारणा विरोधाभासों या, जैसा कि वे भी कहते हैं, विरोधाभासों के खतरे से भरी है। विरोधाभासों का उद्भव इस तथ्य के कारण है कि सभी निर्माणों और सभी सेटों पर विचार नहीं किया जा सकता है।

सबसे सरल विरोधाभास है " नाई विरोधाभास".

एक सिपाही को आदेश दिया गया कि वह अपनी पलटन के केवल उन्हीं सिपाहियों को मुंडवाए जो अपनी मुंडन नहीं कराते थे। सेना में आदेशों का पालन करने में विफलता, जैसा कि ज्ञात है, जघन्य अपराध. हालांकि सवाल ये उठा कि क्या इस सिपाही को खुद को शेव करना चाहिए. यदि वह दाढ़ी बनाता है, तो उसे उन सैनिकों में से एक माना जाना चाहिए जो खुद दाढ़ी बनाते हैं, और उसे ऐसे लोगों की दाढ़ी बनाने का कोई अधिकार नहीं है। यदि वह खुद को शेव नहीं करता है, तो वह उन कई सैनिकों में से एक बन जाएगा जो खुद को शेव नहीं करते हैं, और आदेश के अनुसार वह ऐसे सैनिकों को शेव करने के लिए बाध्य है। विरोधाभास.

सेट पर, कई अन्य गणितीय वस्तुओं की तरह, आप विभिन्न ऑपरेशन कर सकते हैं, जिन्हें कभी-कभी सेट-सैद्धांतिक ऑपरेशन या सेट ऑपरेशन कहा जाता है। संचालन के परिणामस्वरूप, मूल सेट से नए सेट प्राप्त होते हैं। सेट को बड़े अक्षरों द्वारा निर्दिष्ट किया गया है लैटिन अक्षरों में, और उनके तत्व लोअरकेस हैं। अभिलेख ए आरइसका मतलब है कि तत्व एसेट का है आर, वह है ए आर. नहीं तो कब एसेट से संबंधित नहीं है आर, वे लिखते हैं ए आर .

दो सेट एऔर मेंकहा जाता है बराबर (ए =में), यदि उनमें समान तत्व शामिल हैं, यानी सेट का प्रत्येक तत्व एसेट का एक तत्व है मेंऔर इसके विपरीत, सेट का प्रत्येक तत्व मेंसेट का एक तत्व है ए .

सेटों की तुलना.

एक सेट A, सेट B में समाहित होता है (एक सेट B में एक सेट A शामिल होता है) यदि A का प्रत्येक तत्व B का एक तत्व है:

वे कहते हैं कि बहुत सारे हैं एअनेक में समाहित है मेंया अनेक एहै उपसमुच्चय सेट में(इस मामले में वे लिखते हैं ए में), यदि सेट का प्रत्येक तत्व एएक ही समय में सेट का एक तत्व है में. सेटों के बीच इस निर्भरता को कहा जाता है पर मोड़ . किसी भी सेट के लिए एसमावेशन होते हैं: Ø एऔर ए ए

इस मामले में एबुलाया उपसमुच्चय बी, बी - सुपरसेटउ. यदि , तो एबुलाया अपना उपसमुच्चय में. ध्यान दें कि ,

परिभाषा से,

दो सेट कहलाते हैं बराबर, यदि वे एक दूसरे के उपसमुच्चय हैं

संचालन सेट करें

चौराहा.

संगठन।

गुण।

1. समुच्चयों के संयोजन की संक्रिया क्रमविनिमेय है

2. समुच्चयों के संयोजन की क्रिया सकर्मक होती है

3. खाली सेट एक्स, सेट यूनियन ऑपरेशन का एक तटस्थ तत्व है

1. माना A = (1,2,3,4),B = (3,4,5,6,7). तब

2. ए = (2,4,6,8,10), बी = (3,6,9,12)। आइए इन समुच्चयों का मिलन और प्रतिच्छेदन ज्ञात करें:

{2,4,6,8, 10,3,6,9,12}, = {6}.

3. बच्चों का समूह संपूर्ण जनसंख्या का एक उपसमूह है

4. पूर्णांकों के समुच्चय का समुच्चय के साथ प्रतिच्छेदन सकारात्मक संख्याप्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय है.

5. सेट को मिलाकर भिन्नात्मक संख्याएंअपरिमेय संख्याओं के समुच्चय के साथ धनात्मक संख्याओं का समुच्चय होता है।

6.शून्य गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों के समुच्चय के सापेक्ष प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय का पूरक है।

वेन डायग्राम(वेन डायग्राम) - विज्ञान और गणित के विभिन्न क्षेत्रों में व्यापक रूप से उपयोग की जाने वाली कई विज़ुअलाइज़ेशन विधियों और ग्राफिक चित्रण के तरीकों का सामान्य नाम: सेट सिद्धांत, वास्तव में "वेन आरेख"किसी निश्चित परिवार के सेटों या घटनाओं के बीच सभी संभावित संबंधों को दर्शाता है; किस्मों वेन आरेखपरोसें: यूलर आरेख,

चार सेटों का वेन आरेख।

वास्तव में "वेन आरेख"किसी निश्चित परिवार के सेटों या घटनाओं के बीच सभी संभावित संबंधों को दर्शाता है। एक विशिष्ट वेन आरेख में तीन सेट होते हैं। वेन ने स्वयं खोजने का प्रयास किया सममित आकृतियों के साथ सुंदर तरीका, आरेख में दर्शा रहा है बड़ी संख्यासेट, लेकिन वह दीर्घवृत्त का उपयोग करके केवल चार सेटों (दाईं ओर चित्र देखें) के लिए ऐसा करने में सक्षम था।

यूलर आरेख

यूलर आरेख वेन आरेख के समान हैं, सेट-सैद्धांतिक पहचान की संभाव्यता का मूल्यांकन करने के लिए यूलर आरेख का उपयोग किया जा सकता है।

कार्य 1.कक्षा में 30 लोग हैं, जिनमें से प्रत्येक गाता या नृत्य करता है। यह ज्ञात है कि 17 लोग गाते हैं और 19 लोग नृत्य कर सकते हैं। एक ही समय में कितने लोग गाते और नृत्य करते हैं?

समाधान:सबसे पहले, आइए ध्यान दें कि 30 लोगों में से 30 - 17 = 13 लोग गा नहीं सकते।

वे सभी नृत्य करना जानते हैं, क्योंकि... शर्त के अनुसार कक्षा में प्रत्येक छात्र गाता या नृत्य करता है। कुल मिलाकर, 19 लोग नृत्य कर सकते हैं, उनमें से 13 लोग गा नहीं सकते, जिसका अर्थ है कि 19-13 = 6 लोग एक ही समय में नृत्य और गायन कर सकते हैं।

समुच्चयों के प्रतिच्छेदन और मिलन से जुड़ी समस्याएं।

1. दिए गए सेट A = (3.5, 0, 11, 12, 19), B = (2.4, 8, 12, 18.0)।
   समुच्चय AU B ज्ञात कीजिए,
2. कम से कम सात शब्द बनाइए जिनके अक्षर समुच्चय का उपसमुच्चय बनाते हैं
   ए - (के, ए, पी, वाई, एस, ई, एल, बी)।
3. मान लीजिए कि A, 2 से विभाज्य प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय है, और B, 4 से विभाज्य प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय है। इन समुच्चयों के संबंध में क्या निष्कर्ष निकाला जा सकता है?
4. कंपनी में 67 लोग कार्यरत हैं। इनमें से 47 को पता है अंग्रेजी भाषा, 35 जर्मन हैं, और 23 दोनों भाषाएँ हैं। कंपनी में कितने लोग अंग्रेजी नहीं जानते जर्मन भाषाएँ?
5. हमारी कक्षा के 40 छात्रों में से 32 को दूध पसंद है, 21 को नींबू पानी पसंद है, और 15 को दूध और नींबू पानी दोनों पसंद हैं। हमारी कक्षा में कितने बच्चों को दूध या नींबू पानी पसंद नहीं है?
6. मेरे 12 सहपाठियों को जासूसी कहानियाँ पढ़ना पसंद है, 18 को विज्ञान कथाएँ पसंद हैं, तीन को दोनों पढ़ना पसंद है, और एक कुछ भी नहीं पढ़ता है। हमारी कक्षा में कितने छात्र हैं?
7. मेरे उन 18 सहपाठियों में से जो थ्रिलर देखना पसंद करते हैं, केवल 12 को कार्टून देखने से कोई गुरेज नहीं है। मेरे कितने सहपाठी केवल "कार्टून" देखते हैं, यदि हमारी कक्षा में कुल मिलाकर 25 छात्र हैं, जिनमें से प्रत्येक या तो थ्रिलर, या कार्टून, या दोनों देखना पसंद करते हैं?
8. हमारे यार्ड के 29 लड़कों में से केवल दो ही खेल नहीं खेलते हैं, और बाकी फुटबॉल या टेनिस अनुभाग, या यहां तक ​​कि दोनों में भाग लेते हैं। 17 लड़के फुटबॉल खेलते हैं, और 19 लड़के टेनिस खेलते हैं। कितने फुटबॉल खिलाड़ी टेनिस खेलते हैं? कितने टेनिस खिलाड़ी फुटबॉल खेलते हैं?
9. दादी के 65% खरगोशों को गाजर पसंद है, 10% को गाजर और पत्तागोभी दोनों पसंद हैं। कितने प्रतिशत खरगोश पत्तागोभी खाना पसंद करेंगे?
10. एक कक्षा में 25 छात्र हैं। इनमें से 7 को नाशपाती पसंद है, 11 को चेरी पसंद है। दो को नाशपाती और चेरी पसंद हैं; 6 - नाशपाती और सेब; 5 - सेब और चेरी. लेकिन कक्षा में दो छात्र ऐसे हैं जिन्हें सब कुछ पसंद है और चार ऐसे हैं जिन्हें फल बिल्कुल पसंद नहीं है। इस कक्षा में कितने विद्यार्थियों को सेब पसंद हैं?
11. सौंदर्य प्रतियोगिता में 22 लड़कियों ने हिस्सा लिया. इनमें से 10 सुंदर, 12 चतुर और 9 दयालु थे। केवल 2 लड़कियाँ सुंदर और स्मार्ट दोनों थीं; छह लड़कियाँ एक ही समय में चतुर और दयालु थीं। निर्धारित करें कि वहाँ कितनी सुंदर और एक ही समय में दयालु लड़कियाँ थीं यदि मैं आपको बताऊँ कि प्रतिभागियों में से एक भी स्मार्ट, दयालु और एक ही समय में नहीं थी सुंदर लड़की?
12. हमारी कक्षा में 35 छात्र हैं। पहली तिमाही के दौरान, 14 छात्रों को रूसी में ए ग्रेड प्राप्त हुआ; गणित में - 12; इतिहास में - 23. रूसी और गणित में - 4; गणित और इतिहास में - 9; रूसी भाषा और इतिहास में - 5. कितने छात्रों के पास तीनों विषयों में ए है यदि कक्षा में एक भी छात्र ऐसा नहीं है जिसके पास इनमें से कम से कम एक विषय में ए नहीं है?
13. 100 व्यक्तियों में से 85 अंग्रेजी जानते हैं, 80 स्पेनिश बोलते हैं, 75 जर्मन जानते हैं। हर कोई कम से कम एक विदेशी भाषा बोलता है। इनमें दो विदेशी भाषाएं जानने वाले नहीं बल्कि तीन भाषाएं बोलने वाले लोग शामिल हैं। इन 100 लोगों में से कितने लोग तीन भाषाएँ बोलते हैं?
14. कंपनी के कर्मचारियों में से 16 ने फ्रांस, 10 ने इटली, 6 ने इंग्लैंड का दौरा किया; इंग्लैंड और इटली में - 5; इंग्लैंड और फ्रांस में - 6; तीनों देशों में - 5 कर्मचारी। यदि कंपनी में कुल 19 लोग काम करते हैं, और उनमें से प्रत्येक ने इनमें से कम से कम एक देश का दौरा किया, तो कितने लोगों ने इटली और फ्रांस दोनों का दौरा किया?

5. पाठ का सारांश।

6. प्रतिबिम्ब.

• मैं सबसे सफल था...
• यह मेरे लिए एक खोज थी कि...
• आप किस चीज़ के लिए अपनी प्रशंसा कर सकते हैं?
• आपको क्या लगता है क्या काम नहीं किया? क्यों? भविष्य के लिए क्या विचार करें?
• पाठ में मेरी उपलब्धियाँ।

7. गृहकार्य.

1. मकर्यचेव। खण्ड 13. क्रमांक 263, क्रमांक 264, क्रमांक 265, क्रमांक 266, क्रमांक 271, क्रमांक 272.
2. सेट सिद्धांत का उपयोग करके समस्याएँ बनाएँ।
3. समूहों में, "सेट" विषय पर प्रस्तुतियाँ तैयार करें।