इस वीडियो के साथ मैं समीकरणों की प्रणालियों को समर्पित पाठों की एक श्रृंखला शुरू करता हूं। आज हम रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के बारे में बात करेंगे अतिरिक्त विधि- यह सबसे अधिक में से एक है सरल तरीके, लेकिन साथ ही सबसे प्रभावी में से एक।

जोड़ विधि में शामिल हैं तीन सरलकदम:

1. सिस्टम को देखें और एक ऐसा चर चुनें जिसके प्रत्येक समीकरण में समान (या विपरीत) गुणांक हों;
2. एक दूसरे से समीकरणों का बीजगणितीय घटाव (विपरीत संख्याओं के लिए - जोड़) करें, और फिर समान पद लाएँ;
3. दूसरे चरण के बाद प्राप्त नये समीकरण को हल करें।

यदि सब कुछ सही ढंग से किया जाता है, तो आउटपुट पर हमें एक एकल समीकरण मिलेगा एक चर के साथ- इसे हल करना मुश्किल नहीं होगा। फिर जो कुछ बचता है वह पाया गया मूल को मूल प्रणाली में प्रतिस्थापित करना और अंतिम उत्तर प्राप्त करना है।

हालाँकि, व्यवहार में सब कुछ इतना सरल नहीं है। इसके अनेक कारण हैं:

• जोड़ विधि का उपयोग करके समीकरणों को हल करने का अर्थ है कि सभी पंक्तियों में समान/विपरीत गुणांक वाले चर होने चाहिए। यदि यह आवश्यकता पूरी न हो तो क्या करें?
• हमेशा नहीं, संकेतित तरीके से समीकरणों को जोड़ने/घटाने के बाद, हमें एक सुंदर निर्माण मिलता है जिसे आसानी से हल किया जा सकता है। क्या किसी तरह गणनाओं को सरल बनाना और गणनाओं में तेजी लाना संभव है?

इन प्रश्नों का उत्तर पाने के लिए, और साथ ही कुछ अतिरिक्त बारीकियों को समझने के लिए, जिनमें कई छात्र असफल हो जाते हैं, मेरा वीडियो पाठ देखें:

इस पाठ के साथ हम समीकरणों की प्रणालियों पर समर्पित व्याख्यानों की एक श्रृंखला शुरू करते हैं। और हम उनमें से सबसे सरल से शुरू करेंगे, अर्थात् जिनमें दो समीकरण और दो चर हैं। उनमें से प्रत्येक रैखिक होगा.

सिस्टम 7वीं कक्षा की सामग्री है, लेकिन यह पाठ हाई स्कूल के छात्रों के लिए भी उपयोगी होगा जो इस विषय पर अपने ज्ञान को बढ़ाना चाहते हैं।

सामान्य तौर पर, ऐसी प्रणालियों को हल करने की दो विधियाँ हैं:

1. जोड़ विधि;
2. एक चर को दूसरे के रूप में व्यक्त करने की एक विधि।

आज हम पहली विधि से निपटेंगे - हम घटाव और जोड़ की विधि का उपयोग करेंगे। लेकिन ऐसा करने के लिए, आपको निम्नलिखित तथ्य को समझने की आवश्यकता है: एक बार जब आपके पास दो या दो से अधिक समीकरण हों, तो आप उनमें से कोई भी दो ले सकते हैं और उन्हें एक दूसरे में जोड़ सकते हैं। उन्हें सदस्य-दर-सदस्य जोड़ा जाता है, अर्थात्। "एक्स" को "एक्स" में जोड़ा जाता है और समान दिए जाते हैं, "वाई" के साथ "वाई" फिर से समान होते हैं, और जो समान चिह्न के दाईं ओर है उसे भी एक दूसरे में जोड़ा जाता है, और समान चिह्न भी वहां दिए जाते हैं .

ऐसी साजिशों के नतीजे एक नए समीकरण के रूप में सामने आएंगे, जिनकी जड़ें अगर होंगी तो वे निश्चित रूप से मूल समीकरण की जड़ों में से होंगी। इसलिए, हमारा काम घटाव या जोड़ को इस तरह से करना है कि या तो $x$ या $y$ गायब हो जाए।

इसे कैसे प्राप्त करें और इसके लिए किस टूल का उपयोग करें - हम अब इस बारे में बात करेंगे।

जोड़ का उपयोग करके आसान समस्याओं को हल करना

इसलिए, हम दो सरल अभिव्यक्तियों के उदाहरण का उपयोग करके जोड़ विधि का उपयोग करना सीखते हैं।

कार्य क्रमांक 1

\[\बाएं\( \शुरू(संरेखित)& 5x-4y=22 \\& 7x+4y=2 \\\अंत(संरेखित) \दाएं।\]

ध्यान दें कि पहले समीकरण में $y$ का गुणांक $-4$ है, और दूसरे में $+4$ है। वे परस्पर विपरीत हैं, इसलिए यह मान लेना तर्कसंगत है कि यदि हम उन्हें जोड़ते हैं, तो परिणामी योग में "खेल" पारस्परिक रूप से नष्ट हो जाएंगे। इसे जोड़ें और प्राप्त करें:

आइए सबसे सरल निर्माण को हल करें:

बढ़िया, हमें "x" मिल गया। अब हमें इसका क्या करना चाहिए? हमें इसे किसी भी समीकरण में प्रतिस्थापित करने का अधिकार है। आइए पहले स्थानापन्न करें:

\[-4y=12\बाएं| :\left(-4 \right) \right.\]

उत्तर: $\left(2;-3 \right)$.

समस्या क्रमांक 2

\[\बाएं\( \शुरू(संरेखित)& -6x+y=21 \\& 6x-11y=-51 \\\end(संरेखित) \दाएं।\]

यहां स्थिति पूरी तरह से समान है, केवल "एक्स" के साथ। आइए उन्हें जोड़ें:

हमारे पास सबसे सरल रैखिक समीकरण है, आइए इसे हल करें:

आइए अब $x$ खोजें:

उत्तर: $\left(-3;3 \right)$.

महत्वपूर्ण बिंदु

इसलिए, हमने जोड़ विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की दो सरल प्रणालियों को हल किया है। मुख्य बिंदु फिर से:

1. यदि किसी एक चर के लिए विपरीत गुणांक हैं, तो समीकरण में सभी चर को जोड़ना आवश्यक है। इस मामले में, उनमें से एक को नष्ट कर दिया जाएगा.
2. हम दूसरे चर को खोजने के लिए किसी भी सिस्टम समीकरण में पाए गए चर को प्रतिस्थापित करते हैं।
3. अंतिम प्रतिक्रिया रिकॉर्ड विभिन्न तरीकों से प्रस्तुत किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, इस तरह - $x=...,y=...$, या बिंदुओं के निर्देशांक के रूप में - $\left(...;... \right)$. दूसरा विकल्प बेहतर है. याद रखने वाली मुख्य बात यह है कि पहला निर्देशांक $x$ है, और दूसरा $y$ है।
4. उत्तर को बिंदु निर्देशांक के रूप में लिखने का नियम हमेशा लागू नहीं होता है। उदाहरण के लिए, इसका उपयोग तब नहीं किया जा सकता जब चर $x$ और $y$ नहीं हैं, बल्कि, उदाहरण के लिए, $a$ और $b$ हैं।

निम्नलिखित समस्याओं में हम घटाने की तकनीक पर विचार करेंगे जब गुणांक विपरीत न हों।

घटाव विधि का उपयोग करके आसान समस्याओं को हल करना

कार्य क्रमांक 1

\[\बाएं\( \शुरू(संरेखित)& 10x-3y=5 \\& -6x-3y=-27 \\\अंत(संरेखित) \दाएं।\]

ध्यान दें कि यहां कोई विपरीत गुणांक नहीं हैं, बल्कि समान हैं। इसलिए, हम पहले समीकरण से दूसरे को घटाते हैं:

अब हम किसी भी सिस्टम समीकरण में मान $x$ को प्रतिस्थापित करते हैं। आइए पहले चलते हैं:

उत्तर: $\left(2;5\right)$.

समस्या क्रमांक 2

\[\बाएं\( \शुरू(संरेखित)& 5x+4y=-22 \\& 5x-2y=-4 \\\end(संरेखित) \दाएं।\]

हम पहले और दूसरे समीकरण में फिर से $x$ के लिए $5$ का समान गुणांक देखते हैं। इसलिए, यह मान लेना तर्कसंगत है कि आपको पहले समीकरण से दूसरे को घटाना होगा:

हमने एक वेरिएबल की गणना की है। आइए अब दूसरा खोजें, उदाहरण के लिए, दूसरे निर्माण में $y$ का मान प्रतिस्थापित करके:

उत्तर: $\left(-3;-2 \right)$.

समाधान की बारीकियां

तो हम क्या देखते हैं? मूलतः, यह योजना पिछली प्रणालियों के समाधान से भिन्न नहीं है। फर्क सिर्फ इतना है कि हम समीकरण जोड़ते नहीं, बल्कि घटाते हैं। हम बीजगणितीय घटाव कर रहे हैं.

दूसरे शब्दों में, जैसे ही आप दो अज्ञात में दो समीकरणों से युक्त एक प्रणाली देखते हैं, सबसे पहली चीज जो आपको देखने की जरूरत है वह है गुणांक। यदि वे कहीं भी समान हैं, तो समीकरण घटा दिए जाते हैं, और यदि वे विपरीत हैं, तो जोड़ विधि का उपयोग किया जाता है। ऐसा हमेशा इसलिए किया जाता है ताकि उनमें से एक गायब हो जाए और अंतिम समीकरण में, जो घटाने के बाद बचता है, केवल एक चर रह जाए।

निःसंदेह, इतना ही नहीं। अब हम उन प्रणालियों पर विचार करेंगे जिनमें समीकरण आम तौर पर असंगत होते हैं। वे। उनमें कोई भी वेरिएबल नहीं है जो समान या विपरीत हो। इस मामले में, ऐसी प्रणालियों को हल करने के लिए, एक अतिरिक्त तकनीक का उपयोग किया जाता है, अर्थात् प्रत्येक समीकरण को एक विशेष गुणांक से गुणा करना। इसे कैसे खोजा जाए और सामान्य तौर पर ऐसी प्रणालियों को कैसे हल किया जाए, हम अब इस बारे में बात करेंगे।

किसी गुणांक से गुणा करके समस्याओं का समाधान करना

उदाहरण क्रमांक 1

\[\बाएं\( \शुरू(संरेखित)& 5x-9y=38 \\& 3x+2y=8 \\\अंत(संरेखित) \दाएं।\]

हम देखते हैं कि न तो $x$ के लिए और न ही $y$ के लिए गुणांक न केवल परस्पर विपरीत हैं, बल्कि किसी भी तरह से अन्य समीकरण से संबंधित नहीं हैं। ये गुणांक किसी भी तरह से गायब नहीं होंगे, भले ही हम समीकरणों को एक-दूसरे से जोड़ या घटा दें। अतः गुणन लगाना आवश्यक है। आइए $y$ वेरिएबल से छुटकारा पाने का प्रयास करें। ऐसा करने के लिए, हम पहले समीकरण को दूसरे समीकरण से $y$ के गुणांक से गुणा करते हैं, और दूसरे समीकरण को पहले समीकरण से $y$ के गुणांक से गुणा करते हैं, बिना चिह्न को छुए। हम गुणा करते हैं और एक नई प्रणाली प्राप्त करते हैं:

\[\बाएं\( \शुरू(संरेखित)&10x-18y=76 \\& 27x+18y=72 \\\अंत(संरेखित) \दाएं।\]

आइए इसे देखें: $y$ पर गुणांक विपरीत हैं। ऐसी स्थिति में योग विधि का प्रयोग आवश्यक है। आइए जोड़ें:

अब हमें $y$ ढूंढने की जरूरत है। ऐसा करने के लिए, पहली अभिव्यक्ति में $x$ प्रतिस्थापित करें:

\[-9y=18\बाएँ| :\left(-9 \right) \right.\]

उत्तर: $\left(4;-2 \right)$.

उदाहरण क्रमांक 2

\[\बाएं\( \शुरू(संरेखित)& 11x+4y=-18 \\& 13x-6y=-32 \\\end(संरेखित) \दाएं।\]

फिर, किसी भी चर के लिए गुणांक सुसंगत नहीं हैं। आइए $y$ के गुणांकों से गुणा करें:

\[\बाएं\( \शुरू(संरेखित करें)& 11x+4y=-18\बाएं| 6 \दाएं। \\& 13x-6y=-32\बाएं| 4 \दाएं। \\\अंत(संरेखित) \दाएं .\]

\[\बाएं\( \शुरू(संरेखित)&66x+24y=-108 \\& 52x-24y=-128 \\\अंत(संरेखित) \दाएं।\]

हमारा नई प्रणालीपिछले वाले के बराबर है, हालाँकि, $y$ के गुणांक परस्पर विपरीत हैं, और इसलिए यहाँ जोड़ विधि को लागू करना आसान है:

आइए अब पहले समीकरण में $x$ को प्रतिस्थापित करके $y$ खोजें:

उत्तर: $\left(-2;1 \right)$.

समाधान की बारीकियां

यहां मुख्य नियम निम्नलिखित है: हम हमेशा से ही गुणा करते हैं सकारात्मक संख्या- यह आपको बदलते संकेतों से जुड़ी मूर्खतापूर्ण और आक्रामक गलतियों से बचाएगा। सामान्य तौर पर, समाधान योजना काफी सरल है:

1. हम सिस्टम को देखते हैं और प्रत्येक समीकरण का विश्लेषण करते हैं।
2. यदि हम देखते हैं कि न तो $y$ और न ही $x$ गुणांक सुसंगत हैं, अर्थात। वे न तो बराबर हैं और न ही विपरीत हैं, फिर हम निम्नलिखित करते हैं: हम उस चर का चयन करते हैं जिससे हमें छुटकारा पाना है, और फिर हम इन समीकरणों के गुणांकों को देखते हैं। यदि हम पहले समीकरण को दूसरे के गुणांक से गुणा करते हैं, और दूसरे को, तदनुसार, पहले के गुणांक से गुणा करते हैं, तो अंत में हमें एक प्रणाली मिलेगी जो पूरी तरह से पिछले एक के बराबर है, और $ के गुणांक y$ सुसंगत रहेगा। हमारे सभी कार्यों या परिवर्तनों का उद्देश्य केवल एक समीकरण में एक चर प्राप्त करना है।
3. हमें एक चर मिलता है।
4. हम पाए गए चर को सिस्टम के दो समीकरणों में से एक में प्रतिस्थापित करते हैं और दूसरा पाते हैं।
5. यदि हमारे पास चर $x$ और $y$ हैं तो हम उत्तर को बिंदुओं के निर्देशांक के रूप में लिखते हैं।

लेकिन ऐसे सरल एल्गोरिदम की भी अपनी सूक्ष्मताएं होती हैं, उदाहरण के लिए, $x$ या $y$ के गुणांक भिन्न और अन्य "बदसूरत" संख्याएं हो सकते हैं। अब हम इन मामलों पर अलग से विचार करेंगे, क्योंकि उनमें आप मानक एल्गोरिदम के अनुसार कुछ अलग तरीके से कार्य कर सकते हैं।

भिन्नों से संबंधित समस्याओं का समाधान

उदाहरण क्रमांक 1

\[\बाएं\( \begin(संरेखित)& 4m-3n=32 \\& 0.8m+2.5n=-6 \\\end(संरेखित) \दाएं।\]

सबसे पहले, ध्यान दें कि दूसरे समीकरण में भिन्न शामिल हैं। लेकिन ध्यान रखें कि आप $4$ को $0.8$ से विभाजित कर सकते हैं। हमें $5$ मिलेंगे. आइए दूसरे समीकरण को $5$ से गुणा करें:

\[\बाएं\( \begin(संरेखित)& 4m-3n=32 \\& 4m+12.5m=-30 \\\end(संरेखित) \दाएं।\]

हम समीकरणों को एक दूसरे से घटाते हैं:

हमें $n$ मिला, अब $m$ की गिनती करते हैं:

उत्तर: $n=-4;m=5$

उदाहरण क्रमांक 2

\[\बाएं\( \शुरू(संरेखित)& 2.5p+1.5k=-13\बाएं| 4 \दाएं। \\& 2p-5k=2\बाएं| 5 \दाएं। \\\अंत(संरेखित )\ सही।\]

यहां, पिछली प्रणाली की तरह, भिन्नात्मक गुणांक हैं, लेकिन किसी भी चर के लिए गुणांक एक-दूसरे में पूर्णांक संख्या में फिट नहीं होते हैं। इसलिए, हम मानक एल्गोरिदम का उपयोग करते हैं। $p$ से छुटकारा पाएं:

\[\बाएं\( \शुरू(संरेखित)& 5p+3k=-26 \\& 5p-12.5k=5 \\\end(संरेखित) \दाएं।\]

हम घटाव विधि का उपयोग करते हैं:

आइए दूसरी रचना में $k$ को प्रतिस्थापित करके $p$ खोजें:

उत्तर: $p=-4;k=-2$.

समाधान की बारीकियां

वह सब अनुकूलन है. पहले समीकरण में, हमने किसी भी चीज़ से गुणा नहीं किया, लेकिन दूसरे समीकरण को $5$ से गुणा किया। परिणामस्वरूप, हमें पहले चर के लिए एक सुसंगत और समान समीकरण प्राप्त हुआ। दूसरी प्रणाली में हमने एक मानक एल्गोरिदम का पालन किया।

लेकिन आप उन संख्याओं को कैसे खोजते हैं जिनसे समीकरणों को गुणा किया जा सके? आख़िरकार, यदि हम भिन्नों से गुणा करते हैं, तो हमें नए भिन्न प्राप्त होते हैं। इसलिए, भिन्नों को एक संख्या से गुणा किया जाना चाहिए जो एक नया पूर्णांक देगा, और उसके बाद मानक एल्गोरिदम का पालन करते हुए चर को गुणांकों से गुणा किया जाना चाहिए।

अंत में, मैं आपका ध्यान प्रतिक्रिया रिकॉर्ड करने के प्रारूप की ओर आकर्षित करना चाहूंगा। जैसा कि मैंने पहले ही कहा, चूँकि यहाँ हमारे पास $x$ और $y$ नहीं, बल्कि अन्य मान हैं, हम फॉर्म के एक गैर-मानक नोटेशन का उपयोग करते हैं:

समीकरणों की जटिल प्रणालियों को हल करना

आज के वीडियो ट्यूटोरियल के अंतिम नोट के रूप में, आइए वास्तव में कुछ पर नजर डालें जटिल प्रणालियाँ. उनकी जटिलता इस तथ्य में समाहित होगी कि उनमें बाएँ और दाएँ दोनों तरफ चर होंगे। इसलिए, उन्हें हल करने के लिए हमें प्रीप्रोसेसिंग लागू करना होगा।

सिस्टम नंबर 1

\[\left\( \begin(संरेखित)& 3\left(2x-y \right)+5=-2\left(x+3y ​​​ \right)+4 \\& 6\left(y+1 \दाएं )-1=5\बाएं(2x-1 \दाएं)+8 \\\अंत(संरेखित) \दाएं।\]

प्रत्येक समीकरण में एक निश्चित जटिलता होती है। इसलिए, आइए प्रत्येक अभिव्यक्ति को एक नियमित रैखिक निर्माण के रूप में मानें।

कुल मिलाकर, हमें अंतिम प्रणाली मिलती है, जो मूल के बराबर है:

\[\बाएं\( \शुरू(संरेखित)& 8x+3y=-1 \\& -10x+6y=-2 \\\अंत(संरेखित) \दाएं।\]

आइए $y$ के गुणांकों को देखें: $3$ $6$ में दो बार फिट बैठता है, तो आइए पहले समीकरण को $2$ से गुणा करें:

\[\बाएं\( \शुरू(संरेखित)& 16x+6y=-2 \\& -10+6y=-2 \\\अंत(संरेखित) \दाएं।\]

$y$ के गुणांक अब बराबर हैं, इसलिए हम पहले समीकरण से दूसरे को घटाते हैं: $$

आइए अब $y$ खोजें:

उत्तर: $\left(0;-\frac(1)(3) \right)$

सिस्टम नंबर 2

\[\left\( \begin(ign)& 4\left(a-3b \right)-2a=3\left(b+4 \right)-11 \\& -3\left(b-2a \right) )-12=2\बाएँ(a-5 \दाएँ)+b \\\end(संरेखित) \दाएँ।\]

आइए पहली अभिव्यक्ति को रूपांतरित करें:

आइए दूसरे से निपटें:

\[-3\left(b-2a \right)-12=2\left(a-5 \right)+b\]

\[-3b+6a-12=2a-10+b\]

\[-3b+6a-2a-b=-10+12\]

कुल मिलाकर, हमारी प्रारंभिक प्रणाली निम्नलिखित रूप लेगी:

\[\बाएँ\( \begin(संरेखित)& 2a-15b=1 \\& 4a-4b=2 \\\end(संरेखित) \दाएँ।\]

$a$ के गुणांकों को देखते हुए, हम देखते हैं कि पहले समीकरण को $2$ से गुणा करने की आवश्यकता है:

\[\बाएँ\( \begin(संरेखित)& 4a-30=2 \\& 4a-4b=2 \\\end(संरेखित) \दाएँ।\]

पहली रचना से दूसरी घटाएँ:

आइए अब $a$ खोजें:

उत्तर: $\left(a=\frac(1)(2);b=0 \right)$.

इतना ही। मुझे आशा है कि यह वीडियो ट्यूटोरियल आपको इस कठिन विषय, अर्थात् सरल रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने, को समझने में मदद करेगा। इस विषय पर और भी कई पाठ होंगे: हम और अधिक देखेंगे जटिल उदाहरण, जहां अधिक चर होंगे, और समीकरण स्वयं पहले से ही अरेखीय होंगे। फिर मिलेंगे!

दो अज्ञात वाले रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली दो या दो से अधिक रैखिक समीकरण हैं जिनके लिए उन सभी को खोजना आवश्यक है सामान्य समाधान. हम दो अज्ञात में दो रैखिक समीकरणों की प्रणालियों पर विचार करेंगे। सामान्य रूप से देखेंदो अज्ञात के साथ दो रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली नीचे दिए गए चित्र में प्रस्तुत की गई है:

( a1*x + b1*y = c1,
( a2*x + b2*y = c2

यहाँ x और y अज्ञात चर हैं, a1, a2, b1, b2, c1, c2 कुछ वास्तविक संख्याएँ हैं। दो अज्ञात में दो रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली का समाधान संख्याओं (x,y) की एक जोड़ी है, जैसे कि यदि हम इन संख्याओं को प्रणाली के समीकरणों में प्रतिस्थापित करते हैं, तो प्रणाली का प्रत्येक समीकरण वास्तविक समानता में बदल जाता है। रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करने के कई तरीके हैं। आइए रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करने के तरीकों में से एक पर विचार करें, अर्थात् जोड़ विधि।

जोड़ विधि द्वारा हल करने के लिए एल्गोरिदम

जोड़ विधि का उपयोग करके दो अज्ञात के साथ रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने के लिए एक एल्गोरिदम।

1. यदि आवश्यक हो, तो दोनों समीकरणों में अज्ञात चर में से किसी एक के गुणांक को बराबर करने के लिए समतुल्य परिवर्तनों का उपयोग करें।

2. परिणामी समीकरणों को जोड़कर या घटाकर, एक अज्ञात के साथ एक रैखिक समीकरण प्राप्त करें

3. एक अज्ञात के साथ परिणामी समीकरण को हल करें और एक चर खोजें।

4. परिणामी अभिव्यक्ति को सिस्टम के दो समीकरणों में से किसी एक में रखें और इस समीकरण को हल करें, इस प्रकार दूसरा चर प्राप्त करें।

5. समाधान की जाँच करें.

जोड़ विधि का उपयोग करके समाधान का एक उदाहरण

अधिक स्पष्टता के लिए, आइए जोड़ विधि का उपयोग करके दो अज्ञात के साथ रैखिक समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली को हल करें:

(3*x + 2*y = 10;
(5*x + 3*y = 12;

चूँकि किसी भी चर के गुणांक समान नहीं हैं, हम चर y के गुणांकों को बराबर करते हैं। ऐसा करने के लिए, पहले समीकरण को तीन से और दूसरे समीकरण को दो से गुणा करें।

(3*x+2*y=10 |*3
(5*x + 3*y = 12 |*2

हम पाते हैं समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली:

(9*x+6*y = 30;
(10*x+6*y=24;

अब हम दूसरे समीकरण से पहले को घटाते हैं। हम समान पद प्रस्तुत करते हैं और परिणामी रैखिक समीकरण को हल करते हैं।

10*x+6*y - (9*x+6*y) = 24-30; x=-6;

हम परिणामी मान को अपनी मूल प्रणाली के पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं और परिणामी समीकरण को हल करते हैं।

(3*(-6) + 2*y =10;
(2*y=28; y =14;

परिणाम संख्याओं x=6 और y=14 की एक जोड़ी है। हम जांच कर रहे हैं. आइए एक प्रतिस्थापन करें.

(3*x + 2*y = 10;
(5*x + 3*y = 12;

{3*(-6) + 2*(14) = 10;
{5*(-6) + 3*(14) = 12;

{10 = 10;
{12=12;

जैसा कि आप देख सकते हैं, हमें दो सही समानताएँ मिलीं, इसलिए, हमें सही समाधान मिला।

समीकरणों का उपयोग हमारे जीवन में व्यापक है। इनका उपयोग कई गणनाओं, संरचनाओं के निर्माण और यहां तक ​​कि खेलों में भी किया जाता है। प्राचीन काल में मनुष्य ने समीकरणों का प्रयोग किया और तब से इनका प्रयोग बढ़ता ही गया। केवल अपने लिए निर्णय लेकर अलग-अलग जटिलता कासमीकरणों की प्रणालियों में, आप किसी भी प्रणाली को हल करने के तरीकों को शीघ्रता से निर्धारित करना सीखेंगे। कभी-कभी सिस्टम को हल करना काफी कठिन हो सकता है द्विघातीय समीकरण.

हालाँकि, इन समीकरणों को हल करने के लिए सबसे अधिक इस्तेमाल की जाने वाली विधि प्रतिस्थापन/जोड़ विधि है।

मान लीजिए हमें समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली दी गई है:

\[\left\(\begin(matrix) x^2-xy = 3, \\ y^2-xy = -2 \end(matrix)\right.\]

आइए सिस्टम के समीकरण जोड़ें:

\[\left\(\begin(matrix) x^2 - xy = 3, \\ x^2 - 2xy + y = 1. \end(matrix)\right.\]

आइए परिणामी प्रणाली को हल करें:

\[\left\(\begin(matrix) x(x -y) = 3, \\ (x - y)^2= 1; \end(matrix)\right.\]

\[(x - y) = -1 \] या \[(x - y) = 1\] - हम समीकरण 2 से प्राप्त करते हैं

आइए 1 या -1 को 1 में प्रतिस्थापित करें:

\ या \

\[-3 - y= -1\] या \

आइए 1 या -1 को 1 में प्रतिस्थापित करें:

उत्तर: \[(-3; -2); (3; 4)\]

यदि आपको 2 डिग्री और 1 रैखिक की प्रणाली को हल करने की आवश्यकता है, तो आप रैखिक से 1 चर को व्यक्त कर सकते हैं और इस समीकरण को द्विघात में प्रतिस्थापित कर सकते हैं।

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आइए हम समीकरणों की प्रणालियों के दो प्रकार के समाधानों का विश्लेषण करें:

1. प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करके सिस्टम को हल करना।
2. सिस्टम समीकरणों के टर्म-दर-टर्म जोड़ (घटाव) द्वारा सिस्टम को हल करना।

समीकरणों की प्रणाली को हल करने के लिए प्रतिस्थापन विधि द्वाराआपको एक सरल एल्गोरिदम का पालन करना होगा:
1. एक्सप्रेस. किसी भी समीकरण से हम एक चर व्यक्त करते हैं।
2. स्थानापन्न. हम परिणामी मान को व्यक्त चर के स्थान पर दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं।
3. परिणामी समीकरण को एक चर के साथ हल करें। हम सिस्टम का समाधान ढूंढते हैं।

ठान ले पद-दर-पद जोड़ (घटाव) विधि द्वारा प्रणालीकरने की जरूरत है:
1. एक वेरिएबल का चयन करें जिसके लिए हम समान गुणांक बनाएंगे।
2. हम समीकरण जोड़ते या घटाते हैं, जिसके परिणामस्वरूप एक चर वाला समीकरण बनता है।
3. परिणामी रैखिक समीकरण को हल करें। हम सिस्टम का समाधान ढूंढते हैं।

सिस्टम का समाधान फ़ंक्शन ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं।

आइए उदाहरणों का उपयोग करके सिस्टम के समाधान पर विस्तार से विचार करें।

उदाहरण #1:

आइए प्रतिस्थापन विधि से हल करें

प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करके समीकरणों की प्रणाली को हल करना

2x+5y=1 (1 समीकरण)
x-10y=3 (दूसरा समीकरण)

1. एक्सप्रेस
यह देखा जा सकता है कि दूसरे समीकरण में 1 के गुणांक के साथ एक चर x है, जिसका अर्थ है कि दूसरे समीकरण से चर x को व्यक्त करना सबसे आसान है।
x=3+10y

2.इसे व्यक्त करने के बाद, हम पहले समीकरण में वेरिएबल x के स्थान पर 3+10y प्रतिस्थापित करते हैं।
2(3+10y)+5y=1

3. परिणामी समीकरण को एक चर के साथ हल करें।
2(3+10y)+5y=1 (कोष्ठक खोलें)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0.2

समीकरण प्रणाली का समाधान ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं, इसलिए हमें x और y को खोजने की आवश्यकता है, क्योंकि प्रतिच्छेदन बिंदु में x और y शामिल हैं। आइए x खोजें, पहले बिंदु में जहां हमने इसे व्यक्त किया था, हम वहां y को प्रतिस्थापित करते हैं .
x=3+10y
x=3+10*(-0.2)=1

अंक लिखने की प्रथा है, पहले स्थान पर हम वेरिएबल x लिखते हैं, और दूसरे स्थान पर वेरिएबल y लिखते हैं।
उत्तर: (1; -0.2)

उदाहरण #2:

आइए पद-दर-पद जोड़ (घटाव) विधि का उपयोग करके हल करें।

जोड़ विधि का उपयोग करके समीकरणों की प्रणाली को हल करना

3x-2y=1 (1 समीकरण)
2x-3y=-10 (दूसरा समीकरण)

1. हम एक वेरिएबल चुनते हैं, मान लीजिए कि हम x चुनते हैं। पहले समीकरण में, चर x का गुणांक 3 है, दूसरे में - 2. हमें गुणांकों को समान बनाने की आवश्यकता है, इसके लिए हमें समीकरणों को गुणा करने या किसी भी संख्या से विभाजित करने का अधिकार है। हम पहले समीकरण को 2 से गुणा करते हैं, और दूसरे को 3 से गुणा करते हैं और कुल गुणांक 6 प्राप्त करते हैं।

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. चर x से छुटकारा पाने के लिए पहले समीकरण से दूसरे को घटाएँ।
__6x-4y=2

5y=32 | :5
y=6.4

3. एक्स खोजें। हम पाए गए y को किसी भी समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं, मान लीजिए कि पहले समीकरण में।
3x-2y=1
3x-2*6.4=1
3x-12.8=1
3x=1+12.8
3x=13.8 |:3
एक्स=4.6

प्रतिच्छेदन बिंदु x=4.6 होगा; y=6.4
उत्तर: (4.6; 6.4)

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इसका उपयोग कर रहे हैं गणित कार्यक्रमआप प्रतिस्थापन विधि और जोड़ विधि का उपयोग करके दो चर वाले दो रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल कर सकते हैं।

कार्यक्रम न केवल समस्या का उत्तर देता है, बल्कि देता भी है विस्तृत समाधानसमाधान चरणों की दो तरीकों से व्याख्या के साथ: प्रतिस्थापन विधि और जोड़ विधि।

यह कार्यक्रम हाई स्कूल के विद्यार्थियों के लिए उपयोगी हो सकता है माध्यमिक स्कूलोंतैयारी के लिए परीक्षणऔर परीक्षा, जब माता-पिता के लिए गणित और बीजगणित में कई समस्याओं के समाधान को नियंत्रित करने के लिए एकीकृत राज्य परीक्षा से पहले ज्ञान का परीक्षण किया जाता है। या हो सकता है कि आपके लिए ट्यूटर नियुक्त करना या नई पाठ्यपुस्तकें खरीदना बहुत महंगा हो? या क्या आप इसे यथाशीघ्र पूरा करना चाहते हैं?गृहकार्य

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समीकरण दर्ज करने के नियम
कोई भी लैटिन अक्षर एक चर के रूप में कार्य कर सकता है।

उदाहरण के लिए: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), आदि। समीकरण दर्ज करते समयआप कोष्ठक का उपयोग कर सकते हैं
. इस मामले में, समीकरणों को पहले सरलीकृत किया जाता है।

सरलीकरण के बाद समीकरण रैखिक होने चाहिए, अर्थात तत्वों के क्रम की सटीकता के साथ फॉर्म ax+by+c=0 का।

उदाहरण के लिए: 6x+1 = 5(x+y)+2
समीकरणों में, आप न केवल पूर्ण संख्याओं का उपयोग कर सकते हैं, बल्कि दशमलव और साधारण भिन्न के रूप में भिन्नों का भी उपयोग कर सकते हैं। दशमलव भिन्न दर्ज करने के नियम.पूर्णांक और भिन्नात्मक भाग
उदाहरण के लिए: 2.1n + 3.5m = 55

साधारण भिन्न दर्ज करने के नियम.
केवल एक पूर्ण संख्या ही भिन्न के अंश, हर और पूर्णांक भाग के रूप में कार्य कर सकती है।
हर ऋणात्मक नहीं हो सकता.
एक संख्यात्मक भिन्न दर्ज करते समय, अंश को हर से एक विभाजन चिह्न द्वारा अलग किया जाता है: /
संपूर्ण भागएम्परसेंड द्वारा भिन्न से अलग किया गया: &

उदाहरण.
-1&2/3y + 5/3x = 55
2.1पी + 55 = -2/7(3.5पी - 2&1/8क्यू)

समीकरणों की प्रणाली को हल करें

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थोड़ा सिद्धांत.

रैखिक समीकरणों को हल करने की प्रणालियाँ। प्रतिस्थापन विधि

प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करते समय क्रियाओं का क्रम:
1) सिस्टम के कुछ समीकरण से एक चर को दूसरे के संदर्भ में व्यक्त करें;
2) परिणामी अभिव्यक्ति को इस चर के बजाय सिस्टम के किसी अन्य समीकरण में प्रतिस्थापित करें;

$$ \left\( \begin(array)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end(array) \right. $$

आइए पहले समीकरण से y को x के संदर्भ में व्यक्त करें: y = 7-3x। दूसरे समीकरण में y के स्थान पर व्यंजक 7-3x को प्रतिस्थापित करने पर, हमें सिस्टम प्राप्त होता है:
$$ \left\( \begin(array)(l) y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end(array) \right. $$

यह दिखाना आसान है कि पहली और दूसरी प्रणाली के समाधान समान हैं। दूसरी प्रणाली में, दूसरे समीकरण में केवल एक चर होता है। आइए इस समीकरण को हल करें:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \दायाँ तीर -5x+14-6x=3 \दायाँ तीर -11x=-11 \दायाँ तीर x=1 $$

समानता y=7-3x में x के बजाय 1 प्रतिस्थापित करने पर, हम y का संगत मान पाते हैं:
$$ y=7-3 \cdot 1 \दायाँ तीर y=4 $$

जोड़ी (1;4) - सिस्टम का समाधान

दो चरों वाले समीकरणों के निकाय जिनका समाधान समान हो, कहलाते हैं समकक्ष. जिन प्रणालियों में समाधान नहीं है उन्हें भी समतुल्य माना जाता है।

जोड़ द्वारा रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करना

आइए रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के दूसरे तरीके पर विचार करें - जोड़ विधि। इस तरह से सिस्टम को हल करते समय, साथ ही प्रतिस्थापन द्वारा हल करते समय, हम इस सिस्टम से दूसरे, समकक्ष सिस्टम में जाते हैं, जिसमें समीकरणों में से एक में केवल एक चर होता है।

जोड़ विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करते समय क्रियाओं का क्रम:
1) सिस्टम के समीकरणों को पद दर पद गुणा करें, कारकों का चयन करें ताकि किसी एक चर के गुणांक विपरीत संख्याएं बन जाएं;
2) सिस्टम समीकरणों के बाएँ और दाएँ पक्षों को शब्द दर शब्द जोड़ें;
3) परिणामी समीकरण को एक चर के साथ हल करें;
4) दूसरे वेरिएबल का संगत मान ज्ञात करें।

उदाहरण। आइए समीकरणों की प्रणाली को हल करें:
$$ \left\( \begin(array)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$

इस प्रणाली के समीकरणों में, y के गुणांक विपरीत संख्याएँ हैं। समीकरणों के बाएँ और दाएँ पक्षों को पद दर पद जोड़ने पर, हमें एक चर 3x=33 वाला एक समीकरण प्राप्त होता है। आइए सिस्टम के समीकरणों में से एक को, उदाहरण के लिए पहले समीकरण को, समीकरण 3x=33 से बदलें। आइए सिस्टम प्राप्त करें
$$ \left\( \begin(array)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$

समीकरण 3x=33 से हम पाते हैं कि x=11. इस x मान को समीकरण \(x-3y=38\) में प्रतिस्थापित करने पर हमें चर y: \(11-3y=38\) वाला एक समीकरण मिलता है। आइए इस समीकरण को हल करें:
\(-3y=27 \दायां तीर y=-9 \)

इस प्रकार, हमने जोड़ द्वारा समीकरणों की प्रणाली का समाधान पाया: \(x=11; y=-9\) या \((11;-9)\)

इस तथ्य का लाभ उठाते हुए कि सिस्टम के समीकरणों में y के गुणांक विपरीत संख्याएँ हैं, हमने इसके समाधान को एक समतुल्य सिस्टम के समाधान में बदल दिया (मूल सिस्टम के प्रत्येक समीकरण के दोनों पक्षों को जोड़कर), जिसमें एक समीकरणों में केवल एक चर होता है।

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