जैविक प्रक्रियाओं का गणितीय मॉडलिंग।

हम पहले ही कह चुके हैं कि कुछ घटनाओं के अध्ययन के लिए गणितीय दृष्टिकोण असली दुनियाआमतौर पर उपयुक्त के निर्माण से शुरू होता है सामान्य अवधारणाएँ, यानी निर्माण से गणितीय मॉडल, जिनमें वे गुण हैं जो हमारे द्वारा अध्ययन की जाने वाली प्रणालियों और प्रक्रियाओं के लिए आवश्यक हैं। हमने जीव विज्ञान में ऐसे मॉडलों के निर्माण से जुड़ी कठिनाइयों, जैविक प्रणालियों की अत्यधिक जटिलता के कारण होने वाली कठिनाइयों का भी उल्लेख किया है। हालाँकि, इन कठिनाइयों के बावजूद, "मॉडल" दृष्टिकोण जैविक समस्याएँअब सफलतापूर्वक विकसित हो रहा है और पहले ही कुछ परिणाम ला चुका है। हम विभिन्न जैविक प्रक्रियाओं और प्रणालियों से संबंधित कुछ मॉडलों को देखेंगे।

जैविक अनुसंधान में मॉडलों की भूमिका के बारे में बोलते हुए, निम्नलिखित पर ध्यान देना महत्वपूर्ण है। यद्यपि हम "मॉडल" शब्द को एक अमूर्त अर्थ में - एक निश्चित प्रणाली के रूप में समझते हैं तार्किक अवधारणाएँ, और एक वास्तविक भौतिक उपकरण के रूप में नहीं, फिर भी एक मॉडल किसी घटना के सरल विवरण या विशुद्ध गुणात्मक परिकल्पना से कहीं अधिक कुछ है, जिसमें विभिन्न प्रकार की अस्पष्टताओं के लिए अभी भी पर्याप्त जगह है और व्यक्तिपरक राय. आइए हम निम्नलिखित उदाहरण को याद करें, जो सुदूर अतीत का है। एक समय में, हेल्महोल्ट्ज़ ने श्रवण का अध्ययन करते हुए तथाकथित अनुनाद सिद्धांत को सामने रखा, जो विशुद्ध रूप से गुणात्मक दृष्टिकोण से प्रशंसनीय लग रहा था। हालाँकि, बाद में की गई मात्रात्मक गणना, श्रवण प्रणाली को बनाने वाले घटकों के द्रव्यमान, लोच और चिपचिपाहट के वास्तविक मूल्यों को ध्यान में रखते हुए, इस परिकल्पना की असंगति को दर्शाती है। दूसरे शब्दों में, एक विशुद्ध गुणात्मक परिकल्पना को एक सटीक मॉडल में बदलने का प्रयास जो गणितीय तरीकों से इसकी जांच की अनुमति देता है, मूल सिद्धांतों की असंगतता को तुरंत प्रकट करता है। निःसंदेह, यदि हमने एक निश्चित मॉडल बनाया है और यहां तक ​​कि इस मॉडल और संबंधित जैविक प्रयोग के परिणामों के बीच अच्छी सहमति भी प्राप्त कर ली है, तो यह अभी तक हमारे मॉडल की शुद्धता को साबित नहीं करता है। अब, यदि, अपने मॉडल के अध्ययन के आधार पर, हम उस जैविक प्रणाली के बारे में कुछ भविष्यवाणियाँ कर सकते हैं जिसका हम मॉडलिंग कर रहे हैं, और फिर एक वास्तविक प्रयोग के साथ इन भविष्यवाणियों की पुष्टि करते हैं, तो यह शुद्धता के पक्ष में बहुत अधिक मूल्यवान साक्ष्य होगा। आदर्श।

लेकिन आइए विशिष्ट उदाहरणों पर चलते हैं।

2. रक्त संचार

सबसे पहले में से एक, यदि सबसे पहले नहीं, तो जैविक प्रक्रियाओं के गणितीय मॉडलिंग पर काम को लियोनहार्ड यूलर का काम माना जाना चाहिए, जिसमें उन्होंने रक्त परिसंचरण के गणितीय सिद्धांत को विकसित किया, पहले सन्निकटन में संपूर्ण पर विचार करते हुए संचार प्रणालीलोचदार दीवारों, परिधीय प्रतिरोध और एक पंप के साथ एक जलाशय से मिलकर। यूलर के इन विचारों (साथ ही उनके कुछ अन्य कार्यों) को पहले पूरी तरह से भुला दिया गया, और फिर अन्य लेखकों के बाद के कार्यों में पुनर्जीवित किया गया।

3. मेंडल के नियम

एक काफी पुराना और प्रसिद्ध, लेकिन फिर भी जीव विज्ञान में बहुत उल्लेखनीय मॉडल आनुवंशिकता का मेंडेलियन सिद्धांत है। संभाव्यता सैद्धांतिक अवधारणाओं पर आधारित यह मॉडल यह है कि मूल कोशिकाओं के गुणसूत्रों में विशेषताओं के कुछ सेट होते हैं, जो निषेचन के दौरान स्वतंत्र रूप से और यादृच्छिक रूप से संयुक्त होते हैं। इसके बाद, इस मूल विचार में बहुत महत्वपूर्ण स्पष्टीकरण आया; उदाहरण के लिए, यह पता चला कि विभिन्न चिह्न हमेशा एक-दूसरे से स्वतंत्र नहीं होते हैं; यदि वे एक ही गुणसूत्र से जुड़े हैं, तो उन्हें केवल एक निश्चित संयोजन में ही प्रसारित किया जा सकता है। इसके अलावा, यह पता चला कि विभिन्न गुणसूत्र स्वतंत्र रूप से संयोजित नहीं होते हैं, लेकिन गुणसूत्र आत्मीयता नामक एक गुण होता है, जो इस स्वतंत्रता का उल्लंघन करता है, आदि। वर्तमान में, सैद्धांतिक-संभाव्य और सांख्यिकीय तरीकों ने आनुवंशिक अनुसंधान और यहां तक ​​​​कि "गणितीय" शब्द में भी व्यापक रूप से प्रवेश किया है। जेनेटिक्स'' को पूर्ण नागरिकता अधिकार प्राप्त हुआ। वर्तमान में, इस क्षेत्र में गहन कार्य किया जा रहा है; कई परिणाम प्राप्त हुए हैं जो जैविक और विशुद्ध गणितीय दोनों दृष्टिकोण से दिलचस्प हैं। हालाँकि, इन अध्ययनों का आधार वह मॉडल है जो 100 साल से भी पहले मेंडल द्वारा बनाया गया था।

4. मांसपेशी मॉडल

शारीरिक अनुसंधान की सबसे दिलचस्प वस्तुओं में से एक मांसपेशी है। यह वस्तु बहुत सुलभ है, और प्रयोगकर्ता केवल अपेक्षाकृत सरल उपकरण होने पर, स्वयं ही कई अध्ययन कर सकता है। जीवित जीव में मांसपेशी जो कार्य करती है वह भी काफी स्पष्ट और निश्चित होते हैं। इन सबके बावजूद, मांसपेशियों के कार्य का एक संतोषजनक मॉडल बनाने के कई प्रयासों से निश्चित परिणाम नहीं मिले हैं। यह स्पष्ट है कि यद्यपि एक मांसपेशी स्प्रिंग की तरह खिंच और सिकुड़ सकती है, लेकिन उनके गुण पूरी तरह से अलग हैं, और यहां तक ​​कि पहले अनुमान तक, स्प्रिंग को एक मांसपेशी की समानता के रूप में नहीं माना जा सकता है। एक स्प्रिंग के लिए, उसके बढ़ाव और उस पर लागू भार के बीच एक सख्त संबंध होता है। यह मांसपेशी के मामले में नहीं है: एक मांसपेशी तनाव बनाए रखते हुए अपनी लंबाई बदल सकती है, और इसके विपरीत, अपनी लंबाई बदले बिना कर्षण बल को बदल सकती है। सीधे शब्दों में कहें तो एक ही लंबाई में एक मांसपेशी शिथिल या तनावग्रस्त हो सकती है।

मांसपेशियों के संचालन के विभिन्न तरीकों में से, सबसे महत्वपूर्ण हैं तथाकथित आइसोटोनिक संकुचन (यानी, एक संकुचन जिसमें मांसपेशियों का तनाव स्थिर रहता है) और आइसोमेट्रिक तनाव, जिसमें मांसपेशियों की लंबाई नहीं बदलती (दोनों) सिरे निश्चित हैं)। इन तरीकों में एक मांसपेशी का अध्ययन करना इसके संचालन के सिद्धांतों को समझने के लिए महत्वपूर्ण है, हालांकि प्राकृतिक परिस्थितियों में मांसपेशियों की गतिविधि न तो पूरी तरह से आइसोटोनिक है और न ही पूरी तरह से आइसोमेट्रिक है।

आइसोटोनिक मांसपेशी संकुचन की गति और भार के परिमाण के बीच संबंध का वर्णन करने के लिए विभिन्न गणितीय सूत्र प्रस्तावित किए गए हैं। उनमें से सबसे प्रसिद्ध तथाकथित विशेषता हिल समीकरण है। ऐसा लग रहा है

(पी+ए)वी=बी(पी 0 -पी),

- संकुचन की गति, ए, बीऔर पी0- स्थायी।

समान संबंध का वर्णन करने के लिए अन्य प्रसिद्ध सूत्र ओबेर समीकरण हैं

पी = पी 0 ई- वी⁄पी ±एफ

और पोलिसर समीकरण

वी=स्थिरांक (ए 1-पी/पी 0 - बी 1-पी/पी 0).

हिल का समीकरण शरीर विज्ञान में व्यापक हो गया है; यह विभिन्न प्रकार के जानवरों की मांसपेशियों के लिए प्रयोग के साथ काफी अच्छा समझौता देता है, हालांकि वास्तव में यह किसी मॉडल से अनुमान के बजाय "फिट" के परिणाम का प्रतिनिधित्व करता है। दो अन्य समीकरण, जो हिल समीकरण के रूप में भार की एक विस्तृत श्रृंखला पर लगभग समान निर्भरता देते हैं, उनके लेखकों द्वारा मांसपेशियों के संकुचन के भौतिक-रासायनिक तंत्र के बारे में कुछ विचारों से प्राप्त किए गए थे। मांसपेशियों के काम का एक मॉडल बनाने के लिए कई प्रयास किए गए हैं, बाद वाले को लोचदार और चिपचिपे तत्वों के कुछ संयोजन के रूप में माना जाता है। हालाँकि, अभी भी कोई पर्याप्त संतोषजनक मॉडल नहीं है जो विभिन्न तरीकों से मांसपेशियों के काम की सभी मुख्य विशेषताओं को दर्शाता हो।

5. न्यूरॉन मॉडल, तंत्रिका नेटवर्क

तंत्रिका कोशिकाएँ, या न्यूरॉन्स, "कार्यशील इकाइयाँ" हैं जो तंत्रिका तंत्र का निर्माण करती हैं और जिनमें पशु या मानव शरीर की बाहरी संकेतों को समझने और शरीर के विभिन्न भागों को नियंत्रित करने की सभी क्षमताएँ होती हैं। तंत्रिका कोशिकाओं की एक विशिष्ट विशेषता यह है कि ऐसी कोशिका दो अवस्थाओं में हो सकती है - आराम और उत्तेजना। इसमें तंत्रिका कोशिकाएं रेडियो ट्यूब या सेमीकंडक्टर ट्रिगर्स जैसे तत्वों के समान होती हैं, जिनसे कंप्यूटर के तार्किक सर्किट इकट्ठे होते हैं। पिछले 15-20 वर्षों में, गतिविधियों को मॉडल बनाने के कई प्रयास किए गए हैं तंत्रिका तंत्र, उन्हीं सिद्धांतों पर आधारित है जिन पर यूनिवर्सल कंप्यूटर का काम आधारित है। 40 के दशक में, अमेरिकी शोधकर्ताओं मैककुलोच और पिट्स ने एक "औपचारिक न्यूरॉन" की अवधारणा पेश की, इसे एक तत्व के रूप में परिभाषित किया (जिसकी भौतिक प्रकृति कोई फर्क नहीं पड़ता) एक निश्चित संख्या में "उत्तेजक" और एक निश्चित संख्या में " निरोधात्मक" इनपुट। यह तत्व स्वयं दो अवस्थाओं में हो सकता है - "विश्राम" या "उत्साह"। उत्तेजित अवस्था तब होती है जब न्यूरॉन को पर्याप्त संख्या में उत्तेजक संकेत प्राप्त होते हैं और कोई निरोधात्मक संकेत नहीं होते हैं। मैककुलोच और पिट्स ने दिखाया कि ऐसे तत्वों से बने सर्किट की मदद से, जीवित जीव में होने वाली किसी भी प्रकार की सूचना प्रसंस्करण को लागू करना, सिद्धांत रूप में, संभव है। हालाँकि, इसका मतलब यह बिल्कुल नहीं है कि हमने तंत्रिका तंत्र के वास्तविक सिद्धांतों को सीख लिया है। सबसे पहले, हालांकि तंत्रिका कोशिकाओं को "सभी या कुछ भी नहीं" सिद्धांत की विशेषता होती है, यानी दो स्पष्ट रूप से परिभाषित राज्यों की उपस्थिति - आराम और उत्तेजना, यह बिल्कुल भी पालन नहीं करता है कि हमारा तंत्रिका तंत्र, एक सार्वभौमिक कंप्यूटर की तरह, बाइनरी का उपयोग करता है शून्य और एक से युक्त डिजिटल कोड। उदाहरण के लिए, तंत्रिका तंत्र में, आवृत्ति मॉड्यूलेशन स्पष्ट रूप से एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है, अर्थात, आवेगों के बीच समय अंतराल की लंबाई का उपयोग करके सूचना का संचरण। सामान्य तौर पर, तंत्रिका तंत्र में, जाहिरा तौर पर, "डिजिटल" असतत) और "एनालॉग" (निरंतर) में सूचना एन्कोडिंग विधियों का ऐसा कोई विभाजन नहीं है, जो आधुनिक कंप्यूटर प्रौद्योगिकी में उपलब्ध है।

न्यूरॉन्स की एक प्रणाली के समग्र रूप से काम करने के लिए, यह आवश्यक है कि इन न्यूरॉन्स के बीच कुछ निश्चित संबंध हों: एक न्यूरॉन द्वारा उत्पन्न आवेगों को अन्य न्यूरॉन्स के इनपुट तक पहुंचना चाहिए। इन कनेक्शनों की एक सही, नियमित संरचना हो सकती है, या वे केवल सांख्यिकीय पैटर्न द्वारा निर्धारित किए जा सकते हैं और कुछ यादृच्छिक परिवर्तनों के अधीन हो सकते हैं। वर्तमान में मौजूदा कंप्यूटिंग उपकरणों में, तत्वों के बीच कनेक्शन में किसी भी यादृच्छिकता की अनुमति नहीं है, हालांकि, सिद्धांतों के आधार पर कंप्यूटिंग उपकरणों के निर्माण की संभावना पर कई सैद्धांतिक अध्ययन हैं यादृच्छिक कनेक्शनतत्वों के बीच. इस तथ्य के पक्ष में काफी गंभीर तर्क हैं कि तंत्रिका तंत्र में वास्तविक न्यूरॉन्स के बीच संबंध भी काफी हद तक सांख्यिकीय हैं, और सख्ती से नियमित नहीं हैं। हालाँकि, इस मामले पर राय अलग-अलग है।

सामान्य तौर पर, तंत्रिका तंत्र के मॉडलिंग की समस्या के बारे में निम्नलिखित कहा जा सकता है। हम पहले से ही न्यूरॉन्स के काम की ख़ासियतों के बारे में काफी कुछ जानते हैं, यानी वे तत्व जो तंत्रिका तंत्र बनाते हैं। इसके अलावा, औपचारिक न्यूरॉन्स की प्रणालियों (मैककुलोच और पिट्स या किसी अन्य अर्थ में समझा जाता है) की मदद से, वास्तविक तंत्रिका कोशिकाओं के मूल गुणों का अनुकरण करके, जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, प्रसंस्करण के बहुत विविध तरीकों का अनुकरण करना संभव है। जानकारी। फिर भी, हम अभी भी तंत्रिका तंत्र और उसके व्यक्तिगत भागों के कामकाज के बुनियादी सिद्धांतों की स्पष्ट समझ से काफी दूर हैं, और परिणामस्वरूप, इसका संतोषजनक मॉडल * बनाने से काफी दूर हैं।

* (यदि हम किसी प्रकार की प्रणाली बना सकते हैं जो किसी अन्य प्रणाली की तरह ही समस्याओं को हल कर सकती है, तो इसका मतलब यह नहीं है कि दोनों प्रणालियाँ समान सिद्धांतों के अनुसार काम करती हैं। उदाहरण के लिए, आप किसी डिजिटल कंप्यूटर पर उचित प्रोग्राम देकर किसी अंतर समीकरण को संख्यात्मक रूप से हल कर सकते हैं, या आप उसी समीकरण को एनालॉग कंप्यूटर पर हल कर सकते हैं। हमें समान या लगभग समान परिणाम मिलेंगे, लेकिन इन दो प्रकार की मशीनों में सूचना प्रसंस्करण के सिद्धांत पूरी तरह से अलग हैं।)

6. दृश्य छवियों की धारणा. रंग दृष्टि

दृष्टि उन मुख्य माध्यमों में से एक है जिसके माध्यम से हम बाहरी दुनिया के बारे में जानकारी प्राप्त करते हैं। प्रसिद्ध अभिव्यक्ति- सौ बार सुनने की तुलना में एक बार देखना बेहतर है - यह भी सच है, वैसे, विशुद्ध रूप से सूचनात्मक दृष्टिकोण से: दृष्टि के माध्यम से हम जो जानकारी देखते हैं वह अन्य इंद्रियों द्वारा समझी जाने वाली जानकारी की तुलना में अतुलनीय रूप से अधिक है। एक जीवित जीव के लिए दृश्य प्रणाली का यह महत्व, अन्य विचारों (कार्यों की विशिष्टता, सिस्टम को किसी भी नुकसान के बिना विभिन्न अध्ययन करने की संभावना, आदि) के साथ-साथ इसके अध्ययन को प्रेरित करता है और, विशेष रूप से, एक मॉडल दृष्टिकोण पर प्रयास करता है। इस समस्या।

आंख एक ऐसा अंग है जो ऑप्टिकल सिस्टम और सूचना प्रसंस्करण उपकरण दोनों के रूप में कार्य करता है। दोनों दृष्टिकोणों से, इस प्रणाली में अनेक हैं अद्भुत गुण. प्रकाश की तीव्रता की एक बहुत विस्तृत श्रृंखला के अनुकूल होने और सभी रंगों को सही ढंग से समझने की आंख की क्षमता उल्लेखनीय है। उदाहरण के लिए, एक मंद रोशनी वाले कमरे में चाक का एक टुकड़ा एक उज्ज्वल कमरे में रखे कोयले के टुकड़े की तुलना में कम प्रकाश को प्रतिबिंबित करता है। सूरज की रोशनी, फिर भी, इनमें से प्रत्येक मामले में हम संबंधित वस्तुओं के रंगों को सही ढंग से समझते हैं। आँख रोशनी की तीव्रता में सापेक्ष अंतर को अच्छी तरह से बताती है और यहां तक ​​कि उन्हें कुछ हद तक "अतिरंजित" भी करती है। इस प्रकार, चमकदार सफेद पृष्ठभूमि पर एक भूरे रंग की रेखा हमें उसी के एक ठोस क्षेत्र की तुलना में अधिक गहरी लगती है स्लेटी. रोशनी में विरोधाभासों पर जोर देने की आंख की यह क्षमता इस तथ्य के कारण है कि दृश्य न्यूरॉन्स का एक दूसरे पर निरोधात्मक प्रभाव पड़ता है: यदि दो पड़ोसी न्यूरॉन्स में से पहला दूसरे की तुलना में अधिक मजबूत संकेत प्राप्त करता है, तो इसका उस पर तीव्र निरोधात्मक प्रभाव पड़ता है। दूसरा, और इन न्यूरॉन्स के आउटपुट में अंतर यह है कि तीव्रता इनपुट संकेतों की तीव्रता के अंतर से अधिक है। उत्तेजक और निरोधात्मक दोनों कनेक्शनों से जुड़े औपचारिक न्यूरॉन्स वाले मॉडल ने शरीर विज्ञानियों और गणितज्ञों दोनों का ध्यान आकर्षित किया है। वे भी हैं दिलचस्प परिणामऔर अनसुलझे मुद्दे।

सबसे दिलचस्प वह तंत्र है जिसके द्वारा आंखें विभिन्न रंगों को देखती हैं। जैसा कि आप जानते हैं, हमारी आँखों द्वारा देखे गए रंगों के सभी रंगों को तीन प्राथमिक रंगों के संयोजन के रूप में दर्शाया जा सकता है। आमतौर पर ये प्राथमिक रंग लाल, नीला और होते हैं पीले रंग, तरंग दैर्ध्य 700, 540 और 450 Å के अनुरूप, लेकिन यह विकल्प स्पष्ट नहीं है।

हमारी दृष्टि की "तीन-रंग" प्रकृति इस तथ्य के कारण है कि मानव आंख में तीन प्रकार के रिसेप्टर्स होते हैं, जिनमें क्रमशः पीले, नीले और लाल क्षेत्रों में अधिकतम संवेदनशीलता होती है। सवाल यह है कि हम इन तीन रिसेप्टर्स के बीच अंतर कैसे करें? एक बड़ी संख्या कीरंग शेड्स, बहुत सरल नहीं है. उदाहरण के लिए, यह अभी तक स्पष्ट नहीं है कि वास्तव में यह या वह रंग हमारी आंख में क्या एन्कोड किया गया है: तंत्रिका आवेगों की आवृत्ति, न्यूरॉन का स्थानीयकरण जो मुख्य रूप से रंग की दी गई छाया पर प्रतिक्रिया करता है, या कुछ और। रंगों की धारणा की इस प्रक्रिया के बारे में कुछ मॉडल विचार हैं, लेकिन वे अभी भी काफी प्रारंभिक हैं। हालाँकि, इसमें कोई संदेह नहीं है कि यहाँ भी, उत्तेजक और निरोधात्मक दोनों कनेक्शनों द्वारा एक दूसरे से जुड़े न्यूरॉन्स की प्रणालियों को एक महत्वपूर्ण भूमिका निभानी चाहिए।

अंत में, आँख एक गतिज प्रणाली के रूप में भी बहुत दिलचस्प है। सरल प्रयोगों की एक श्रृंखला (उनमें से कई मॉस्को में सूचना प्रसारण की समस्याओं के संस्थान की दृष्टि फिजियोलॉजी की प्रयोगशाला में किए गए थे) ने पहली नज़र में निम्नलिखित स्थापित किया अप्रत्याशित तथ्य: यदि कोई छवि आंख के सापेक्ष गतिहीन है, तो आंख उसे नहीं देख पाती है। हमारी आंख, किसी वस्तु की जांच करते समय, वस्तुतः उसे "महसूस" करती है (इन आंखों की गतिविधियों को उचित उपकरण का उपयोग करके सटीक रूप से रिकॉर्ड किया जा सकता है)। आंख के मोटर उपकरण का अध्ययन और संबंधित मॉडल अभ्यावेदन का विकास अपने आप में और हमारे दृश्य प्रणाली के अन्य (ऑप्टिकल, सूचनात्मक, आदि) गुणों के संबंध में काफी दिलचस्प है।

संक्षेप में, हम कह सकते हैं कि हम अभी भी दृश्य प्रणाली के पूरी तरह से संतोषजनक मॉडल बनाने से दूर हैं जो इसके सभी बुनियादी गुणों का अच्छी तरह से वर्णन करते हैं। हालाँकि, इसके संचालन के कई महत्वपूर्ण पहलू और सिद्धांत पहले से ही काफी स्पष्ट हैं और इन्हें कंप्यूटर के लिए कंप्यूटर प्रोग्राम के रूप में या यहां तक ​​कि तकनीकी उपकरणों के रूप में भी तैयार किया जा सकता है।

7. सक्रिय माध्यम मॉडल. उत्तेजना का फैलाव

उन्हीं में से एक विशिष्ट गुणकई जीवित ऊतकों, मुख्य रूप से तंत्रिका ऊतक, में उत्तेजना पैदा करने और उत्तेजना को एक क्षेत्र से दूसरे क्षेत्र में स्थानांतरित करने की उनकी क्षमता होती है। लगभग प्रति सेकंड एक बार, उत्तेजना की लहर हमारे हृदय की मांसपेशियों में दौड़ती है, जिससे यह सिकुड़ती है और पूरे शरीर में रक्त प्रवाहित होती है। तंत्रिका तंतुओं के साथ उत्तेजना, परिधि (संवेदी अंगों) से रीढ़ की हड्डी और मस्तिष्क तक फैलती है, हमें बाहरी दुनिया के बारे में सूचित करती है, और विपरीत दिशा में उत्तेजना आदेश होते हैं जो मांसपेशियों को कुछ क्रियाएं निर्धारित करते हैं।

एक तंत्रिका कोशिका में उत्तेजना अपने आप हो सकती है (जैसा कि वे कहते हैं, "सहज"), किसी उत्तेजित पड़ोसी कोशिका के प्रभाव में, या किसी बाहरी संकेत के प्रभाव में, मान लीजिए, किसी वर्तमान स्रोत से आने वाली विद्युत उत्तेजना। उत्तेजित अवस्था में जाने के बाद, कोशिका कुछ समय तक उसमें रहती है, और फिर उत्तेजना गायब हो जाती है, जिसके बाद नई उत्तेजनाओं के प्रति कोशिका प्रतिरक्षा की एक निश्चित अवधि शुरू होती है - तथाकथित दुर्दम्य अवधि। इस अवधि के दौरान, कोशिका प्राप्त संकेतों पर प्रतिक्रिया नहीं देती है। फिर कोशिका अपनी मूल स्थिति में लौट आती है, जहाँ से उत्तेजना की स्थिति में संक्रमण संभव है। इस प्रकार, तंत्रिका कोशिकाओं के उत्तेजना में कई स्पष्ट रूप से परिभाषित गुण होते हैं, जिनके आधार पर इस घटना का एक स्वयंसिद्ध मॉडल बनाना संभव है। इसके अलावा, इस मॉडल का अध्ययन करने के लिए, शुद्ध गणितीय तरीके.

ऐसे मॉडल के बारे में विचार कई साल पहले आई.एम. गेलफैंड और एम.एल. त्सेटलिन के कार्यों में विकसित किए गए थे, जिन्हें बाद में कई अन्य लेखकों ने जारी रखा। आइए हम विचाराधीन मॉडल का एक स्वयंसिद्ध विवरण तैयार करें।

"उत्तेजक माध्यम" से हमारा तात्पर्य एक निश्चित सेट से है एक्सनिम्नलिखित गुण वाले तत्व ("कोशिकाएँ"):

1.प्रत्येक तत्व तीन अवस्थाओं में से एक में हो सकता है: आराम, उत्तेजना और दुर्दम्यता;

2. प्रत्येक उत्तेजित तत्व से, उत्तेजना एक निश्चित गति से आराम कर रहे कई तत्वों में फैलती है वी;

3.यदि वस्तु एक्सकुछ विशिष्ट समय से उत्साहित नहीं है टी(एक्स), फिर इस समय के बाद वह अनायास ही उत्तेजित अवस्था में चला जाता है। समय टी(एक्स)तत्व की सहज सक्रियता का काल कहलाता है एक्स. यह उस मामले को बाहर नहीं करता जब टी(एक्स)= ∞, यानी जब सहज गतिविधि वास्तव में अनुपस्थित है;

4. उत्तेजना की स्थिति कुछ समय तक बनी रहती है τ (जो पर निर्भर हो सकता है एक्स), फिर तत्व थोड़ी देर के लिए चलता है आर(एक्स)एक दुर्दम्य अवस्था में, जिसके बाद आराम की अवस्था आ जाती है।

समान गणितीय मॉडल पूरी तरह से अन्य क्षेत्रों में उत्पन्न होते हैं, उदाहरण के लिए, दहन के सिद्धांत में, या एक अमानवीय माध्यम में प्रकाश के प्रसार की समस्याओं में। हालाँकि, "दुर्दम्य अवधि" की उपस्थिति जैविक प्रक्रियाओं की एक विशिष्ट विशेषता है।

वर्णित मॉडल का अध्ययन या तो विश्लेषणात्मक तरीकों से या इसे कंप्यूटर पर लागू करके किया जा सकता है। बाद के मामले में, हम, निश्चित रूप से, यह मानने के लिए मजबूर हैं कि सेट एक्स(उत्तेजक माध्यम) में तत्वों की एक निश्चित सीमित संख्या होती है (मौजूदा कंप्यूटर प्रौद्योगिकी की क्षमताओं के अनुसार - कई हजार के क्रम में)। विश्लेषणात्मक शोध के लिए यह मानना ​​स्वाभाविक है एक्सकुछ निरंतर विविधता (उदाहरण के लिए, उस पर विचार करें एक्स- यह विमान का एक टुकड़ा है)। यदि हम लें तो ऐसे मॉडल का सबसे सरल मामला प्राप्त होता है एक्सकुछ खंड (तंत्रिका फाइबर का एक प्रोटोटाइप) और मान लें कि वह समय जिसके दौरान प्रत्येक तत्व उत्तेजित अवस्था में होता है, बहुत कम होता है। फिर ऐसे "तंत्रिका फाइबर" के साथ आवेगों के अनुक्रमिक प्रसार की प्रक्रिया को सामान्य प्रथम-क्रम अंतर समीकरणों की एक श्रृंखला द्वारा वर्णित किया जा सकता है। पहले से ही इस सरलीकृत मॉडल में, प्रसार प्रक्रिया की कई विशेषताएं जो वास्तविक जैविक प्रयोगों में भी पाई जाती हैं, पुन: प्रस्तुत की जाती हैं।

ऐसे मॉडल सक्रिय माध्यम में तथाकथित फाइब्रिलेशन की घटना के लिए स्थितियों का प्रश्न सैद्धांतिक और व्यावहारिक चिकित्सा दोनों दृष्टिकोण से बहुत दिलचस्प है। प्रयोगात्मक रूप से देखी गई यह घटना, उदाहरण के लिए हृदय की मांसपेशी में, इस तथ्य में शामिल है कि हृदय में लयबद्ध समन्वित संकुचन के बजाय, यादृच्छिक स्थानीय उत्तेजनाएं दिखाई देती हैं, जो आवधिकता से रहित होती हैं और इसके कामकाज को बाधित करती हैं। इस समस्या का पहला सैद्धांतिक अध्ययन 50 के दशक में एन. वीनर और ए. रोसेनब्लथ के काम में किया गया था। वर्तमान में, हमारे देश में इस दिशा में गहनता से काम किया जा रहा है और इसके कई दिलचस्प परिणाम सामने आ चुके हैं।

पुस्तक में जैविक प्रक्रियाओं के गणितीय मॉडलिंग पर व्याख्यान शामिल हैं और यह मॉस्को स्टेट यूनिवर्सिटी के जीव विज्ञान संकाय में पढ़ाए जाने वाले पाठ्यक्रमों की सामग्री के आधार पर लिखी गई है। एम. वी. लोमोनोसोव।
24 व्याख्यान जीवित प्रणालियों के मॉडलिंग के वर्गीकरण और विशेषताओं, जीव विज्ञान में गतिशील मॉडल बनाने के लिए उपयोग किए जाने वाले गणितीय उपकरण की मूल बातें, जनसंख्या वृद्धि और प्रजातियों की बातचीत के बुनियादी मॉडल, जीव विज्ञान में मल्टीस्टेशनरी, ऑसिलेटरी और क्वासिस्टोचैस्टिक प्रक्रियाओं के मॉडल की रूपरेखा तैयार करते हैं। जैविक प्रणालियों के स्पेटियोटेम्पोरल व्यवहार का अध्ययन करने के तरीकों, ऑटोवेव जैव रासायनिक प्रतिक्रियाओं के मॉडल, तंत्रिका आवेग के प्रसार, जानवरों की खाल को रंगने के मॉडल और अन्य पर विचार किया जाता है। समय के पदानुक्रम की अवधारणा पर विशेष ध्यान दिया जाता है, जो जीव विज्ञान में मॉडलिंग और फ्रैक्टल और गतिशील अराजकता की आधुनिक अवधारणाओं के लिए महत्वपूर्ण है। अंतिम व्याख्यान समर्पित हैं आधुनिक तरीकेप्रकाश संश्लेषण प्रक्रियाओं का गणितीय और कंप्यूटर मॉडलिंग। व्याख्यान स्नातक, स्नातक छात्रों और विशेषज्ञों के लिए हैं जो जीव विज्ञान में गणितीय मॉडलिंग की आधुनिक नींव से परिचित होना चाहते हैं।

आणविक गतिशीलता.
पश्चिमी विज्ञान के पूरे इतिहास में, यह सवाल उठता रहा है कि क्या सभी परमाणुओं के निर्देशांक और उनकी परस्पर क्रिया के नियमों को जानकर, ब्रह्मांड में होने वाली सभी प्रक्रियाओं का वर्णन करना संभव है। प्रश्न को इसका स्पष्ट उत्तर नहीं मिला है। क्वांटम यांत्रिकी ने सूक्ष्म स्तर पर अनिश्चितता की अवधारणा स्थापित की। व्याख्यान 10-12 में हम देखेंगे कि नियतात्मक प्रणालियों में अर्ध-स्टोकेस्टिक प्रकार के व्यवहार का अस्तित्व वृहद स्तर पर कुछ नियतात्मक प्रणालियों के व्यवहार की भविष्यवाणी करना लगभग असंभव बना देता है।

पहले प्रश्न का परिणाम दूसरा है: "रिड्यूसिबिलिटी" का प्रश्न। क्या यह संभव है, भौतिकी के नियमों को जानकर, यानी, जैविक प्रणालियों को बनाने वाले सभी परमाणुओं की गति के नियमों और उनकी बातचीत के नियमों को जानकर, जीवित प्रणालियों के व्यवहार का वर्णन किया जा सके। सिद्धांत रूप में, इस प्रश्न का उत्तर एक सिमुलेशन मॉडल का उपयोग करके दिया जा सकता है, जिसमें किसी भी जीवित प्रणाली के सभी परमाणुओं की गति के निर्देशांक और वेग और उनकी बातचीत के नियम शामिल हैं। किसी भी जीवित प्रणाली के लिए, ऐसे मॉडल में बड़ी संख्या में चर और पैरामीटर होने चाहिए। इस दृष्टिकोण का उपयोग करके जीवित प्रणालियों के तत्वों - बायोमैक्रोमोलेक्यूल्स - की कार्यप्रणाली को मॉडल करने का प्रयास 70 के दशक से किया जा रहा है।

सामग्री
दूसरे संस्करण की प्रस्तावना
प्रथम संस्करण की प्रस्तावना
व्याख्यान 1. परिचय. जीवविज्ञान में गणितीय मॉडल
व्याख्यान 2. एक प्रथम-क्रम विभेदक समीकरण द्वारा वर्णित जैविक प्रणालियों के मॉडल
व्याख्यान 3. जनसंख्या वृद्धि मॉडल
व्याख्यान 4. दो स्वायत्त अंतर समीकरणों की प्रणालियों द्वारा वर्णित मॉडल
व्याख्यान 5. दूसरे क्रम के अरेखीय प्रणालियों की स्थिर अवस्थाओं की स्थिरता का अध्ययन
व्याख्यान 6. तेज़ और धीमी चर की समस्या। तिखोनोव का प्रमेय. द्विभाजन के प्रकार. आपदाओं
व्याख्यान 7. मल्टीस्टेशनरी सिस्टम
व्याख्यान 8. जैविक प्रणालियों में दोलन
व्याख्यान 9. दो प्रकार की बातचीत के मॉडल
व्याख्यान 10. गतिशील अराजकता। जैविक समुदायों के मॉडल
फ्रैक्टल सेट के उदाहरण
व्याख्यान 11. माइक्रोबियल आबादी का मॉडलिंग
व्याख्यान 12. कमजोरों के प्रभाव का मॉडल विद्युत क्षेत्रट्रांसमेम्ब्रेन आयन परिवहन की एक अरेखीय प्रणाली पर
व्याख्यान 13. वितरित जैविक प्रणालियाँ। प्रतिक्रिया-प्रसार समीकरण
व्याख्यान 14. प्रसार समीकरण को हल करना। सजातीय स्थिर अवस्थाओं की स्थिरता
व्याख्यान 15. प्रसार के साथ प्रणालियों में एक एकाग्रता तरंग का प्रसार
व्याख्यान 16. प्रतिक्रिया-प्रसार प्रकार के दो समीकरणों की प्रणाली के सजातीय स्थिर समाधानों की स्थिरता। विघटनकारी संरचनाएँ
व्याख्यान 17. बेलौसोव-ज़ाबोटिंस्की प्रतिक्रिया
व्याख्यान 18. तंत्रिका आवेगों के प्रसार के मॉडल। ऑटोवेव प्रक्रियाएं और कार्डियक अतालता
व्याख्यान 19. वितरित ट्रिगर और मोर्फोजेनेसिस। जानवरों की त्वचा के रंग के पैटर्न
व्याख्यान 20. प्रजातियों की परस्पर क्रिया के स्पैटिओटेम्पोरल मॉडल
व्याख्यान 21. पीएच मान और विद्युत क्षमता के दोलन और आवधिक स्थानिक वितरण कोशिका झिल्लीविशाल शैवाल चरा कोरलिना
व्याख्यान 22. प्रकाश संश्लेषक इलेक्ट्रॉन परिवहन के मॉडल। मल्टीएंजाइम कॉम्प्लेक्स में इलेक्ट्रॉन स्थानांतरण
व्याख्यान 23. प्रकाश संश्लेषक इलेक्ट्रॉन परिवहन प्रक्रियाओं के गतिज मॉडल
व्याख्यान 24. प्रत्यक्ष कंप्यूटर मॉडलप्रकाश संश्लेषक झिल्ली में प्रक्रियाएँ
अरेखीय प्राकृतिक वैज्ञानिक सोच और पर्यावरण चेतना
जटिल प्रणालियों के विकास के चरण।

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एक जटिल जैविक प्रणाली का कामकाज, जिसमें शामिल हैं कार्डियो-वैस्कुलर सिस्टम के, इसके घटक तत्वों और इसमें होने वाली प्रक्रियाओं की परस्पर क्रिया का परिणाम है। यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि आंदोलन के प्रकारों (यांत्रिक - भौतिक - रासायनिक - जैविक - सामाजिक) के आरोही पदानुक्रम के सामान्य सिद्धांत के अनुसार, आंदोलन के जैविक रूप को पूरी तरह से यांत्रिक, भौतिक या रासायनिक रूप में कम नहीं किया जा सकता है। गति, और जैविक प्रणालियों को गति के इन रूपों में से किसी एक के दृष्टिकोण से पूरी तरह से वर्णित नहीं किया जा सकता है। आंदोलन के ये रूप मॉडल के रूप में काम कर सकते हैं जैविक रूपगति, अर्थात् इसकी सरलीकृत छवियां।

पहले सिस्टम के यांत्रिक, भौतिक या रासायनिक मॉडल का निर्माण करके और फिर उनके गणितीय मॉडल का निर्माण करके, यानी इन मॉडलों का वर्णन करने वाले गणितीय कार्यों को ढूंढकर एक जटिल जैविक प्रणाली की प्रक्रियाओं को विनियमित करने के बुनियादी सिद्धांतों का पता लगाना संभव है। , समीकरणों सहित (गणितीय मॉडल बनाना)। पदानुक्रम स्तर जितना कम होगा, उतना सरल मॉडल, वास्तविक प्रणाली के अधिक कारकों को विचार से बाहर रखा गया है।

मॉडलिंग एक ऐसी विधि है जिसमें किसी जटिल वस्तु (प्रक्रिया, घटना) के अध्ययन को उसके सरलीकृत एनालॉग - एक मॉडल के अध्ययन से बदल दिया जाता है। बायोफिज़िक्स, जीव विज्ञान और चिकित्सा में, भौतिक, रासायनिक, जैविक और गणितीय मॉडल का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, वाहिकाओं के माध्यम से रक्त का प्रवाह पाइपों (भौतिक मॉडल) के माध्यम से तरल पदार्थ की गति से निर्धारित होता है। एक जैविक मॉडल प्रायोगिक अनुसंधान के लिए सुविधाजनक सरल जैविक वस्तुएं हैं, जिन पर वास्तविक, अधिक जटिल जैविक प्रणालियों के गुणों का अध्ययन किया जाता है। उदाहरण के लिए, तंत्रिका तंतुओं के साथ क्रिया क्षमता की घटना और प्रसार के पैटर्न का अध्ययन एक जैविक मॉडल - विशाल स्क्विड एक्सॉन का उपयोग करके किया गया था।

गणितीय मॉडल गणितीय वस्तुओं और उनके बीच संबंधों का एक समूह है, जो किसी वास्तविक वस्तु के गुणों और विशेषताओं को दर्शाता है जो शोधकर्ता के लिए रुचिकर हैं। एक पर्याप्त गणितीय मॉडल केवल जटिल प्रक्रियाओं के तंत्र के बारे में विशिष्ट डेटा और विचारों का उपयोग करके बनाया जा सकता है। निर्माण के बाद, गणितीय मॉडल अपने आंतरिक कानूनों के अनुसार "जीवित" रहता है, जिसका ज्ञान हमें पहचानने की अनुमति देता है चरित्र लक्षणअध्ययनाधीन प्रणाली (चित्र 1.1 में चित्र देखें)। सिमुलेशन परिणाम किसी भी प्रकृति की प्रक्रियाओं के प्रबंधन का आधार बनते हैं।

वास्तव में, जैविक प्रणालियाँ अत्यंत जटिल संरचनात्मक और कार्यात्मक इकाइयाँ हैं।

अक्सर, जैविक प्रक्रियाओं के गणितीय मॉडल को अंतर या अंतर समीकरणों के रूप में निर्दिष्ट किया जाता है, लेकिन अन्य प्रकार के मॉडल प्रतिनिधित्व भी संभव हैं। मॉडल के निर्माण के बाद, कार्य को गणितीय कटौती के तरीकों या मशीन मॉडलिंग के माध्यम से इसके गुणों का अध्ययन करने के लिए कम कर दिया गया है।

किसी जटिल घटना का अध्ययन करते समय, आमतौर पर कई वैकल्पिक मॉडल प्रस्तावित किए जाते हैं। वस्तु के साथ इन मॉडलों की गुणात्मक अनुरूपता की जाँच की जाती है। उदाहरण के लिए, वे मॉडल में स्थिर स्थिर अवस्थाओं की उपस्थिति और दोलन मोड के अस्तित्व को स्थापित करते हैं। नमूना, सबसे अच्छा तरीकाअध्ययनाधीन प्रणाली के अनुरूप को मुख्य के रूप में चुना जाता है। चयनित मॉडल अध्ययनाधीन विशिष्ट प्रणाली के संबंध में निर्दिष्ट है। प्रयोगात्मक डेटा के आधार पर मापदंडों के संख्यात्मक मान निर्धारित किए जाते हैं।

किसी जटिल घटना के गणितीय मॉडल की खोज की प्रक्रिया को चरणों में विभाजित किया जा सकता है, जिसका अनुक्रम और अंतर्संबंध चित्र में चित्र में परिलक्षित होता है। 1.2.

चरण 1 अध्ययन की जा रही वस्तु के बारे में अध्ययन की शुरुआत में उपलब्ध डेटा के संग्रह से मेल खाता है।

चरण 2 में, गुणात्मक विशेषताओं के आधार पर संभावित वैकल्पिक मॉडलों में से एक बुनियादी मॉडल (समीकरणों की प्रणाली) का चयन किया जाता है।

चरण 3 में, प्रायोगिक डेटा से मॉडल मापदंडों की पहचान की जाती है।

चरण 4 में, स्वतंत्र प्रयोगात्मक डेटा का उपयोग करके मॉडल के व्यवहार को सत्यापित किया जाता है। ऐसा करने के लिए, अक्सर अतिरिक्त प्रयोग करना आवश्यक होता है।

यदि मॉडल को सत्यापित करने के लिए लिया गया प्रायोगिक डेटा मॉडल में "फिट नहीं बैठता" है, तो स्थिति का विश्लेषण करना और अन्य मॉडलों को सामने रखना, इन नए मॉडलों के गुणों का अध्ययन करना और फिर ऐसे प्रयोग करना आवश्यक है जो किसी को यह निष्कर्ष निकालने की अनुमति देते हैं। उनमें से बेहतर है (चरण 5)।

गणितीय मॉडल के निर्माण का चरण (चरण 2, चित्र 1.2) गणितीय मॉडलिंग में सबसे महत्वपूर्ण चरण है। तंत्र और कानूनों के बारे में विचार जो सिस्टम में संचालित होते हैं और जो गणितीय मॉडल में अंतर्निहित होते हैं, मॉडलिंग परिणामों की रूपरेखा निर्धारित करते हैं। इस प्रकार, जब यांत्रिकी के दृष्टिकोण से हृदय के कार्य के बारे में विचारों के आधार पर हृदय प्रणाली के कामकाज का मॉडलिंग किया जाता है, तो हम एक यांत्रिक-गणितीय मॉडल बना सकते हैं।

जब हम भौतिक नियमों पर आधारित एक जटिल जैविक प्रणाली की गतिशीलता के गणितीय मॉडलिंग के बारे में बात करते हैं, तो हम जटिल प्रणालियों के गणितीय बायोफिज़िक्स के क्षेत्र में प्रवेश कर रहे हैं। यह तीन विज्ञानों के जंक्शन पर था: गणित, भौतिकी और जीव विज्ञान, जहां पिछले पांच दशकों में किसी भी प्रणाली (भौतिक, जैविक, आर्थिक) के व्यवहार के गणितीय विवरण में गुणात्मक छलांग लगी है।

समय के फलन के रूप में शारीरिक मात्राओं को मापना आम बात है। ऐसी समय निर्भरता को चिह्नित करने के लिए, चार बुनियादी गणितीय अवधारणाएँ हैं: स्थिर अवस्थाएँ, दोलन, अराजकता और शोर। गणित में स्थिर स्थिति शरीर विज्ञान में होमोस्टैसिस की अवधारणा से संबंधित हो सकती है, उदाहरण के लिए, औसत धमनी दबावमनुष्यों में इसे स्थिर बनाए रखा जाता है। शारीरिक गतिविधि के दौरान दबाव बढ़ जाता है और शारीरिक गतिविधि बंद करने के बाद कुछ ही मिनटों में दबाव स्थिर स्तर पर लौट आता है। मानव शरीर में दोलन प्रक्रियाओं के उदाहरणों में शामिल हैं: दिल की धड़कन की लय, श्वसन और कोशिका प्रजनन, नींद और जागने के चक्र, इंसुलिन स्राव, आंतों और मूत्रवाहिनी में क्रमाकुंचन तरंगें, सेरेब्रल कॉर्टेक्स और स्वायत्त तंत्रिका तंत्र की विद्युत गतिविधि, आदि। यह ज्ञात है कि किसी भौतिक या शारीरिक मात्रा का सावधानीपूर्वक माप भी कभी भी बिल्कुल स्थिर या सख्ती से आवधिक समय संबंध उत्पन्न नहीं करता है। किसी निश्चित स्तर या दोलन की अवधि के आसपास हमेशा उतार-चढ़ाव (विचलन) होते रहेंगे। इसके अलावा, ऐसी प्रणालियाँ इतनी अनियमित हैं कि अंतर्निहित स्थिर या आवधिक प्रक्रिया को खोजना मुश्किल है। ऐसी प्रक्रियाओं को गणित में या तो शोर (उतार-चढ़ाव से संबंधित) या अराजकता (आदेश की "उच्चतम डिग्री", एक नियतात्मक प्रणाली में देखी गई अनियमितता) के रूप में माना जाता है। वातावरण में शोर की पूर्ण अनुपस्थिति में भी अराजकता देखी जा सकती है।

गणितीय मॉडल का आधार गणितीय समीकरणों की एक प्रणाली है (सूत्र 1.1)। एक गतिशील गणितीय मॉडल समय के साथ एक प्रणाली के व्यवहार को दर्शाता है, जिसे गति और त्वरण जैसी भौतिक अवधारणाओं का उपयोग करके वर्णित किया जा सकता है। गतिशील मॉडलों का वर्णन विभेदक समीकरणों की प्रणालियों द्वारा किया जाता है, जो स्वीकृत मात्राओं के भौतिक या शारीरिक अर्थ से उत्पन्न होने वाले प्रतिबंधों के अधीन हैं:

जहां एफ 1 ,…, एफ एन -कुछ कार्य , एक्स 1 ,…, एक्स एन- स्वतंत्र प्रभावित करने वाली वस्तुएँ, पी -चरण स्थान का आयाम, ए,…, ई, आदि - अंतर समीकरणों के पैरामीटर।

स्थिर स्थिर अवस्थाएँ सिस्टम 1.1 के समीकरणों के निरंतर समाधानों के अनुरूप हैं (चित्र 1.3, ए)। जैविक या के स्थिर कंपन भौतिक मात्रासमीकरणों की प्रणाली के आवधिक समाधान के अनुरूप (चित्र 1.3, बी)। समीकरणों के अनियमित (आवधिक) समय समाधान शोर या अराजकता के अनुरूप होते हैं (चित्र 1.3, बी)।

कुछ पैरामीटर मानों के लिए, कई समाधान प्राप्त करना संभव है, अर्थात, सिस्टम कई स्थिर अवस्थाओं में हो सकता है (उदाहरण के लिए, दो अवस्थाओं में)। किसी प्रणाली का संक्रमण, जिसके परिणामस्वरूप वह स्वयं को संभावित अवस्थाओं में से एक में पा सकता है, द्विभाजन कहलाता है। आमतौर पर, कुछ अवस्थाएँ स्थिर होती हैं, अन्य अस्थिर होती हैं। यदि दो स्थिर अवस्थाएँ संभव हैं, तो सिस्टम उतार-चढ़ाव सहित थोड़े से बाहरी प्रभाव के साथ एक अवस्था से दूसरी अवस्था में जा सकता है। इस घटना को अस्थिरता कहा जाता है।

एक आवधिक जैविक प्रक्रिया के मॉडल के निर्माण के एक उदाहरण के रूप में, आइए वोल्टेरा के "शिकारी-शिकार" गणितीय मॉडल पर विचार करें।

वोल्टेयर का मॉडल

खरगोशों और लिनेक्स को किसी बंद क्षेत्र में रहने दें। खरगोश पौधों का भोजन खाते हैं, जो हमेशा पर्याप्त मात्रा में उपलब्ध होते हैं। लिंक्स (शिकारी) केवल खरगोश (शिकार) को खाते हैं। आइए इस क्षेत्र में खरगोशों की संख्या को N 1 से और लिंक्स की संख्या को N 2 से निरूपित करें। एन 1 और एन 2 समय के फलन हैं।

चूँकि खरगोशों के लिए भोजन की मात्रा सीमित नहीं है, हम यह मान सकते हैं कि शिकारियों की अनुपस्थिति में, समय के साथ उनकी संख्या उपलब्ध व्यक्तियों की संख्या के सीधे अनुपात में बढ़ जाएगी:

कहाँ एक मैं– आनुपातिकता गुणांक.

यदि केवल लिनेक्स ही इस क्षेत्र में रहते, तो वे भोजन की कमी के कारण मर जाते।

पिछले दशकों में, इसमें महत्वपूर्ण प्रगति हुई है मात्रात्मक (गणितीय) विवरणजीवन संगठन के विभिन्न स्तरों पर विभिन्न जैव प्रणालियों के कार्य: आणविक, सेलुलर, अंग, जीव, जनसंख्या, बायोजियोसेनोलॉजिकल (पारिस्थितिकी तंत्र)। जीवन इन बायोसिस्टम्स की कई अलग-अलग विशेषताओं और सिस्टम संगठन के उचित स्तरों पर होने वाली प्रक्रियाओं द्वारा निर्धारित होता है और सिस्टम के कामकाज के दौरान एक पूरे में एकीकृत होता है। सिस्टम कार्यप्रणाली के सिद्धांतों के बारे में आवश्यक अभिधारणाओं पर आधारित मॉडल, जो घटनाओं की एक विस्तृत श्रृंखला का वर्णन और व्याख्या करते हैं और ज्ञान को एक संक्षिप्त, औपचारिक रूप में व्यक्त करते हैं, के बारे में बात की जा सकती है जैवप्रणाली सिद्धांत. गणितीय मॉडल का निर्माणप्रयोगकर्ताओं के असाधारण गहन विश्लेषणात्मक कार्य के कारण जैविक प्रणालियों के (सिद्धांत) संभव हो गए: मॉर्फोलॉजिस्ट, बायोकेमिस्ट, फिजियोलॉजिस्ट, विशेषज्ञ आणविक जीव विज्ञानआदि। इस कार्य के परिणामस्वरूप, विभिन्न कोशिकाओं के रूपात्मक-कार्यात्मक आरेखों को क्रिस्टलीकृत किया गया, जिसके भीतर विभिन्न भौतिक रासायनिक और जैव रासायनिक प्रक्रियाएं अंतरिक्ष और समय में एक व्यवस्थित तरीके से होती हैं, जिससे बहुत जटिल अंतर्संबंध बनते हैं।

दूसरी अत्यंत महत्वपूर्ण परिस्थिति, जो जीव विज्ञान में गणितीय तंत्र की भागीदारी में योगदान देता है, कई इंट्रासेल्युलर प्रतिक्रियाओं की दर स्थिरांक का सावधानीपूर्वक प्रयोगात्मक निर्धारण है जो कोशिका और संबंधित बायोसिस्टम के कार्यों को निर्धारित करता है। ऐसे स्थिरांकों के ज्ञान के बिना, इंट्रासेल्युलर प्रक्रियाओं का औपचारिक गणितीय विवरण असंभव है।

और अंत में, तीसरी शर्तजीव विज्ञान में गणितीय मॉडलिंग की सफलता का निर्धारण पर्सनल कंप्यूटर, सुपर कंप्यूटर और सूचना प्रौद्योगिकी के रूप में शक्तिशाली कंप्यूटिंग उपकरणों के विकास से हुआ। यह इस तथ्य के कारण है कि आमतौर पर कोशिकाओं या अंगों के एक या दूसरे कार्य को नियंत्रित करने वाली प्रक्रियाएं असंख्य होती हैं, जो प्रत्यक्ष और के लूपों से ढकी होती हैं। प्रतिक्रियाऔर इसलिए वर्णित हैं जटिल प्रणालियाँअरेखीय समीकरणबड़ी संख्या में अज्ञात लोगों के साथ. ऐसे समीकरणों को विश्लेषणात्मक रूप से हल नहीं किया जा सकता है, लेकिन कंप्यूटर का उपयोग करके संख्यात्मक रूप से हल किया जा सकता है।

कोशिकाओं, अंगों और शरीर में विभिन्न प्रकार की घटनाओं को पुन: प्रस्तुत करने में सक्षम मॉडलों पर संख्यात्मक प्रयोग हमें मॉडलों का निर्माण करते समय की गई धारणाओं की शुद्धता का मूल्यांकन करने की अनुमति देते हैं। यद्यपि प्रायोगिक तथ्यों का उपयोग मॉडल अभिधारणाओं के रूप में किया जाता है, कुछ धारणाओं और धारणाओं की आवश्यकतामॉडलिंग का एक महत्वपूर्ण सैद्धांतिक घटक है। ये धारणाएं और धारणाएं हैं परिकल्पना, जिसे प्रायोगिक सत्यापन के अधीन किया जा सकता है। इस प्रकार, मॉडल परिकल्पनाओं के स्रोत बन जाते हैं,इसके अलावा, प्रयोगात्मक रूप से सत्यापन योग्य। किसी दी गई परिकल्पना का परीक्षण करने के उद्देश्य से किया गया प्रयोग इसका खंडन या पुष्टि कर सकता है और इस तरह मॉडल को परिष्कृत करने में मदद कर सकता है।

मॉडलिंग और प्रयोग के बीच यह अंतःक्रिया लगातार होती रहती है, जिससे घटना की गहरी और अधिक सटीक समझ बनती है:

• प्रयोग मॉडल को परिष्कृत करता है,
• नया मॉडल नई परिकल्पनाएँ सामने रखता है,
• प्रयोग स्पष्ट करता है नए मॉडलवगैरह।

वर्तमान में जीवित प्रणालियों के गणितीय मॉडलिंग का क्षेत्रकई अलग-अलग और पहले से ही स्थापित पारंपरिक और अधिक आधुनिक विषयों को एकजुट करता है, जिनके नाम काफी सामान्य लगते हैं, ताकि उनके विशिष्ट उपयोग के क्षेत्रों को सख्ती से सीमित करना मुश्किल हो। वर्तमान में, जीवित प्रणालियों के गणितीय मॉडलिंग के अनुप्रयोग के विशेष क्षेत्र विशेष रूप से तेजी से विकसित हो रहे हैं - गणितीय शरीर विज्ञान, गणितीय प्रतिरक्षा विज्ञान, गणितीय महामारी विज्ञान, जिसका उद्देश्य विकास करना है गणितीय सिद्धांतऔर प्रासंगिक प्रणालियों और प्रक्रियाओं के कंप्यूटर मॉडल।

किसी भी वैज्ञानिक अनुशासन की तरह, गणितीय (सैद्धांतिक) जीव विज्ञान का अपना विषय, तरीके, तरीके और अनुसंधान की प्रक्रियाएं हैं। जैसा शोध का विषयजैविक प्रक्रियाओं के गणितीय (कंप्यूटर) मॉडल हैं, जो एक ही समय में अनुसंधान की वस्तु और जैविक वस्तुओं के अध्ययन के लिए एक उपकरण दोनों का प्रतिनिधित्व करते हैं। बायोमैथमैटिकल मॉडल के इस दोहरे सार के संबंध में, वे संकेत देते हैं गणितीय प्रणालियों के विश्लेषण के लिए मौजूदा तरीकों का उपयोग और नए तरीकों का विकास(गणित की प्रासंगिक शाखाओं के सिद्धांत और तरीके) एक गणितीय वस्तु के रूप में मॉडल के गुणों का अध्ययन करने के लिए, साथ ही जैविक प्रयोगों में प्राप्त प्रयोगात्मक डेटा को पुन: पेश करने और विश्लेषण करने के लिए मॉडल का उपयोग करते हैं। साथ ही, गणितीय मॉडल (और सामान्य रूप से सैद्धांतिक जीवविज्ञान) के सबसे महत्वपूर्ण उद्देश्यों में से एक कुछ शर्तों के तहत बायोसिस्टम के व्यवहार के लिए जैविक घटनाओं और परिदृश्यों की भविष्यवाणी करने और संबंधित जैविक प्रयोगों का संचालन करने से पहले उनके सैद्धांतिक औचित्य की भविष्यवाणी करने की क्षमता है।

मुख्य शोध विधिऔर जैविक प्रणालियों के जटिल मॉडलों का उपयोग होता है कम्प्यूटेशनल कंप्यूटर प्रयोग,जिसके लिए संबंधित गणितीय प्रणालियों, गणना एल्गोरिदम, विकास और कार्यान्वयन प्रौद्योगिकियों के लिए पर्याप्त गणना विधियों के उपयोग की आवश्यकता होती है कंप्यूटर प्रोग्राम, कंप्यूटर मॉडलिंग परिणामों का भंडारण और प्रसंस्करण।

अंत में, जैविक प्रणालियों के कामकाज के नियमों को समझने के लिए बायोमैथमैटिकल मॉडल का उपयोग करने के मुख्य लक्ष्य के संबंध में, गणितीय मॉडल के विकास और उपयोग के सभी चरणों पर अनिवार्य निर्भरता की आवश्यकता होती है सिद्धांत और अभ्यास जैविक विज्ञान, और मुख्य रूप से पूर्ण पैमाने के प्रयोगों के परिणामों पर।

पर्याप्त गणितीय उपकरण का उपयोग करके जैविक प्रणालियों का वर्णन करने की एक विधि। गणित की परिभाषा. उपकरण जो जैविक प्रणालियों के संचालन को पर्याप्त रूप से दर्शाता है, उनके वर्गीकरण से जुड़ा एक कठिन कार्य है। जटिलता के आधार पर जैविक प्रणालियों का वर्गीकरण (राज्यों की संख्या का लघुगणक) उदाहरण के लिए, एक पैमाने का उपयोग करके किया जा सकता है जिस पर सरल प्रणालियाँएक हजार से अधिक राज्यों वाली प्रणालियों को जटिल के रूप में वर्गीकृत किया जाता है - एक हजार से दस लाख तक और बहुत जटिल - दस लाख से अधिक राज्यों तक। दूसरा सबसे महत्वपूर्ण विशेषताजैविक प्रणाली राज्यों के संभाव्यता वितरण के नियम द्वारा व्यक्त एक पैटर्न है। इस कानून के अनुसार, के. शैनन के अनुसार उसके कार्य की अनिश्चितता का निर्धारण और संबंधित संगठन का आकलन संभव है। इस प्रकार, बायोल. सिस्टम को जटिलता (अधिकतम विविधता या अधिकतम संभव अनिश्चितता) और सापेक्ष संगठन, यानी संगठन की डिग्री (जैविक सिस्टम संगठन देखें) के आधार पर वर्गीकृत किया जा सकता है।

बायोसिस्टम्स का वर्गीकरण आरेख:

सरल प्रणालियाँ;

जटिल प्रणालियाँ;

बहुत जटिल प्रणालियाँ;

संभाव्य प्रणाली;

संभाव्य-नियतात्मक प्रणालियाँ;

नियतिवादी प्रणालियाँ।

चित्र में. बायोसिस्टम का एक वर्गीकरण आरेख अधिकतम संभव अनिश्चितता के अक्षों पर दिखाया गया है जो सिस्टम के राज्यों की संख्या को दर्शाता है और राज्यों की संख्या के लघुगणक द्वारा निर्धारित होता है, और सापेक्ष संगठन का स्तर - सिस्टम के संगठन की डिग्री को दर्शाता है। आरेख संबंधित बैंड के नाम देता है, उदाहरण के लिए, संख्या 8 के अंतर्गत क्षेत्र का अर्थ है "बहुत जटिल संभाव्य रूप से निर्धारित बायोसिस्टम।" बायोसिस्टम्स के अध्ययन में अनुभव से पता चलता है कि यदि गणितीय अपेक्षा से अध्ययन किए गए संकेतक के विचलन के वितरण के हिस्टोग्राम से गणना की जाती है, तो यह 1.0 से 0.3 की सीमा में है, तो हम मान सकते हैं कि यह एक नियतात्मक बायोसिस्टम है। ऐसी प्रणालियों में आंतरिक नियंत्रण प्रणालियाँ शामिल हैं। अंग, मुख्य रूप से हार्मोनल (हास्य) नियंत्रण प्रणालियाँ। न्यूरॉन, आंतरिक अंग क्षेत्रों, कुछ मापदंडों के अनुसार चयापचय प्रणालियों को नियतात्मक बायोसिस्टम्स के रूप में भी वर्गीकृत किया जा सकता है। गणित। ऐसी प्रणालियों के मॉडल भौतिक-रासायनिक के आधार पर बनाए जाते हैं। सिस्टम के तत्वों या अंगों के बीच संबंध। इस मामले में, इनपुट, मध्यवर्ती और आउटपुट संकेतकों में परिवर्तन की गतिशीलता मॉडलिंग के अधीन है। उदाहरण के लिए, ये तंत्रिका कोशिका, हृदय प्रणाली, रक्त शर्करा नियंत्रण प्रणाली और अन्य के बायोफिजिकल मॉडल हैं। गणित। वह उपकरण जो ऐसे नियतात्मक बायोसिस्टम के व्यवहार का पर्याप्त रूप से वर्णन करता है, अंतर का सिद्धांत है। और अभिन्न समीकरण. गणित पर आधारित. बायोसिस्टम्स के मॉडल, स्वचालित नियंत्रण सिद्धांत के तरीकों का उपयोग करके, अंतर समस्याओं को सफलतापूर्वक हल करना संभव है। निदान और उपचार अनुकूलन. मॉडलिंग नियतात्मक बायोसिस्टम्स का क्षेत्र पूरी तरह से विकसित है।

यदि अध्ययन किए गए संकेतक (या संकेतकों की प्रणाली) के संबंध में बायोसिस्टम का संगठन 0.3 - 0.1 की सीमा में है, तो सिस्टम को संभाव्य रूप से निर्धारित माना जा सकता है। इनमें आंतरिक नियंत्रण प्रणालियाँ शामिल हैं। तंत्रिका विनियमन के स्पष्ट रूप से व्यक्त घटक वाले अंग (उदाहरण के लिए, पल्स दर नियंत्रण प्रणाली), साथ ही पैथोलॉजी के मामले में हार्मोनल विनियमन प्रणाली। एक पर्याप्त गणित के रूप में. यह उपकरण भिन्न संकेतकों में परिवर्तन की गतिशीलता के प्रतिनिधित्व के रूप में कार्य कर सकता है। ऐसे गुणांक वाले समीकरण जो कुछ वितरण कानूनों का पालन करते हैं। ऐसे बायोसिस्टम्स की मॉडलिंग अपेक्षाकृत कम विकसित है, हालांकि यह मेडिकल साइबरनेटिक्स के उद्देश्यों के लिए महत्वपूर्ण रुचि का विषय है।

संभाव्य बायोसिस्टम्स को 0.1 से 0 तक के संगठन मान आर की विशेषता होती है। इनमें ऐसे सिस्टम शामिल हैं जो विश्लेषकों और व्यवहारिक प्रतिक्रियाओं की बातचीत को निर्धारित करते हैं, जिसमें सरल वातानुकूलित रिफ्लेक्स कृत्यों के दौरान सीखने की प्रक्रिया और संकेतों के बीच जटिल संबंध शामिल हैं। पर्यावरणऔर शरीर की प्रतिक्रियाएँ। पर्याप्त गणित. उपकरण

ऐसे बायोसिस्टम के मॉडलिंग के लिए नियतात्मक और यादृच्छिक वातावरण के साथ बातचीत करने वाले नियतात्मक और यादृच्छिक ऑटोमेटा का सिद्धांत, यादृच्छिक प्रक्रियाओं का सिद्धांत है।

गणित। बायोसिस्टम्स के मॉडलिंग में प्रायोगिक परिणामों की प्रारंभिक सांख्यिकीय प्रसंस्करण (जैविक अनुसंधान, गणितीय तरीके देखें), बायोसिस्टम्स की जटिलता और संगठन का अध्ययन, पर्याप्त गणित का चयन शामिल है। मॉडल और परिभाषा संख्यात्मक मूल्यपैरामीटर गणित. प्रायोगिक डेटा पर आधारित मॉडल (जैविक साइबरनेटिक्स देखें)। आखिरी समस्या आम तौर पर बहुत कठिन होती है। नियतात्मक जैविक प्रणालियों के लिए, जिनके मॉडल को रैखिक अंतर द्वारा दर्शाया जा सकता है। समीकरणों में, मॉडल के सर्वोत्तम मापदंडों (अंतर समीकरण के गुणांक) का निर्धारण वर्ग त्रुटि के अभिन्न अंग द्वारा अनुमानित मॉडल मापदंडों के स्थान में वंश विधि (ग्रेडिएंट विधि देखें) द्वारा किया जा सकता है। इस मामले में, कार्यक्षमता को कम करने के लिए पैरामीटर डिसेंट प्रक्रिया को लागू करना आवश्यक है

जहां टी अवधि है, संकेतक के लिए विशेषता समय, वाई बायोसिस्टम के संकेतक में परिवर्तन का प्रयोगात्मक वक्र है, वाई गणित का समाधान है। मॉडल। यदि सर्वोत्तम (वर्ग त्रुटि के समाकलन के अर्थ में) सन्निकटन गणित प्राप्त करना आवश्यक है। बायोसिस्टम की विभिन्न आंतरिक अवस्थाओं या विभिन्न विशेषताओं के लिए कई संकेतकों के अनुसार बायोसिस्टम के संचालन के लिए मॉडल बाहरी प्रभाव, तो आंशिक कार्यात्मकताओं के योग को कम करने के लिए, मॉडल पैरामीटर के स्थान में वंश विधि का उपयोग करना संभव है। मापदंडों के चयन के लिए इस प्रक्रिया का उपयोग करते समय, गणित। मॉडल, आप गुणांकों का एक सेट प्राप्त करने की संभावना बढ़ा सकते हैं। मॉडल जो अपनाई गई संरचना के अनुरूप हैं। बी.एस. की मदद से. एम.एम. न केवल प्राप्त करना वांछनीय है मात्रात्मक विशेषताएँबायोसिस्टम्स का कार्य, उसके तत्व और तत्वों के संबंध की विशेषताएं, बल्कि बायोसिस्टम्स के संचालन के मानदंडों की पहचान करना, कुछ निश्चित स्थापित करना सामान्य सिद्धांतोंउनकी कार्यप्रणाली. लिट.: ग्लुशकोव वी.एम. साइबरनेटिक्स का परिचय। के., 1964 [ग्रंथ सूची। साथ। 319-322]; जीव विज्ञान और चिकित्सा में मॉडलिंग, में। 1-3. के., 1965-68; बुश आर., मोस्टेलर एफ. सीखने की क्षमता के स्टोकेस्टिक मॉडल। प्रति. अंग्रेज़ी से एम., 1962. यू. जी. एंटोमोनोव।