एक समान रूप से चार्ज की गई प्लेट द्वारा एक समान इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र बनाया जाता है। ओस्ट्रोग्रैडस्की-गॉस प्रमेय का उपयोग करके विद्युत क्षेत्रों की गणना

ज़िडकेविच वी.आई. एक विमान का विद्युत क्षेत्र // भौतिकी: गणना की समस्याएं। - 2009. - नंबर 6. - पी. 19-23।

इलेक्ट्रोस्टैटिक्स में समस्याओं को दो समूहों में विभाजित किया जा सकता है: बिंदु आवेशों के बारे में समस्याएं और आवेशित निकायों के बारे में समस्याएं, जिनके आकार को नजरअंदाज नहीं किया जा सकता है।

विद्युत क्षेत्रों की गणना और बिंदु आवेशों की परस्पर क्रिया की समस्याओं का समाधान कूलम्ब के नियम के अनुप्रयोग पर आधारित है और इससे कोई विशेष कठिनाई नहीं होती है। क्षेत्र की ताकत और परिमित आकार के आवेशित पिंडों की परस्पर क्रिया को निर्धारित करना अधिक कठिन है: गोला, सिलेंडर, विमान। विभिन्न विन्यासों के इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्रों की ताकत की गणना करते समय, सुपरपोजिशन सिद्धांत के महत्व पर जोर दिया जाना चाहिए और इसका उपयोग न केवल बिंदु आवेशों द्वारा बनाए गए क्षेत्रों पर विचार करते समय किया जाना चाहिए, बल्कि सतह और आयतन पर वितरित आवेशों द्वारा भी किया जाना चाहिए। किसी आवेश पर किसी क्षेत्र के प्रभाव पर विचार करते समय, सूत्रएफ=क्यूई सामान्य स्थिति में, यह बिंदु आवेशित पिंडों के लिए मान्य है और केवल एक समान क्षेत्र में किसी भी आकार और आकार के पिंडों के लिए लागू होता है जो आवेश वहन करते हैंक्यू।

संधारित्र का विद्युत क्षेत्र प्रत्येक प्लेट द्वारा निर्मित दो क्षेत्रों के सुपरपोजिशन से उत्पन्न होता है।

एक फ्लैट कैपेसिटर में, एक प्लेट को चार्ज वाली बॉडी के रूप में माना जा सकता हैप्रश्न 1तीव्रता के विद्युत क्षेत्र में रखा गयाई 2, किसी अन्य प्लेट द्वारा निर्मित.

आइए कई समस्याओं पर विचार करें.

1. अनंत तल आवेशित है सतह का घनत्व σ >0. क्षेत्र की ताकत का पता लगाएं इऔर क्षमता ϕ विमान के दोनों किनारों पर, विमान की क्षमता को शून्य के बराबर मानते हुए। निर्भरता ग्राफ बनाएंपूर्व), ϕ (एक्स)। एक्स अक्ष विमान के लंबवत, बिंदु x=0 विमान पर स्थित है।

समाधान। किसी अनंत तल का विद्युत क्षेत्र समतल के संबंध में एक समान और सममित होता है। उसकाके बीच तनाव एक समान इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र के दो बिंदुओं के बीच की तीव्रता और संभावित अंतर सूत्र द्वारा व्यक्त किया जाता हैकहां एक्स - बिंदुओं के बीच की दूरी, फ़ील्ड लाइन के साथ मापी गई।तब ϕ 2 = ϕ 1 -पूर्व. एक्स पर<0 при х>0 निर्भरताएँ E(x) और ϕ (x) चित्र 1 में प्रस्तुत किए गए हैं।

2. थोड़ी-थोड़ी दूरी पर स्थित दो समतल-समानांतर पतली प्लेटेंडी एक दूसरे से, सतह घनत्व चार्ज के साथ समान रूप से चार्ज किया जाता हैσ 1 और σ 2. प्लेटों के बीच और बाहर स्थित बिंदुओं पर क्षेत्र की ताकत का पता लगाएं। तनाव का ग्राफ खींचिएई(एक्स) और क्षमता ϕ (एक्स), गिनती ϕ (0)=0. उन मामलों पर विचार करें जहां: ए)σ 1 = -σ 2 ; बी) σ 1 = σ 2; ग) σ 1 =3 σ 2 -

समाधान।चूंकि प्लेटों के बीच की दूरी कम है, इसलिए उन्हें अनंत समतल माना जा सकता है।

धनावेशित विमान की क्षेत्र शक्ति बराबर होती हैऔर निर्देशित किया उसके पास से; ऋणावेशित तल की क्षेत्र शक्ति उसकी ओर निर्देशित होती है।

सुपरपोजिशन के सिद्धांत के अनुसार, विचाराधीन किसी भी बिंदु पर क्षेत्र प्रत्येक चार्ज द्वारा अलग से बनाया जाएगा।

a) समान और विपरीत चिह्न (फ्लैट कैपेसिटर) के आवेशों से आवेशित दो विमानों के क्षेत्र, विमानों के बीच के क्षेत्र में जुड़ते हैं और बाहरी क्षेत्रों में एक दूसरे को रद्द कर देते हैं (चित्र 2,ए)।

पर एक्स<0 इ= 0, ϕ =0; 0 पर डी ई= 0, ग्राफ़ दूरी पर तनाव और क्षमता की निर्भरताएक्स चित्र 2 में दिखाया गया है,बी, सी.

यदि तल परिमित आयामों के हैं, तो तलों के बीच का क्षेत्र पूरी तरह से एक समान नहीं होगा, और तलों के बाहर का क्षेत्र बिल्कुल शून्य नहीं होगा।

बी) परिमाण और चिह्न में समान आवेशों से आवेशित विमानों के क्षेत्र (σ 1 = σ 2 ), तलों के बीच के स्थान में एक-दूसरे की भरपाई करें और बाहरी क्षेत्रों में जोड़ें (चित्र 3,ए)। एक्स पर<0 при 0डी

ग्राफ़ का उपयोग करनापूर्व) (चित्र 3, बी), आइए निर्भरता का एक गुणात्मक ग्राफ बनाएं ϕ (एक्स) (चित्र 3, सी)।

ग) यदि σ 1 = σ 2, फिर, फ़ील्ड की दिशाओं को ध्यान में रखते हुए और दाईं ओर की दिशा को सकारात्मक के रूप में चुनते हुए, हम पाते हैं:

दूरी पर तनाव E की निर्भरता चित्र 4 में दिखाई गई है।

3. क्षमता वाले एक फ्लैट संधारित्र की प्लेटों में से एक परसाथ एक आरोप हैप्रश्न 1=+3क्यू, और दूसरे पर प्रश्न 2 =+ क्यू। संधारित्र प्लेटों के बीच संभावित अंतर निर्धारित करें।

समाधान।पहली विधि. संधारित्र प्लेट का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिएएस, और उनके बीच की दूरीडी। संधारित्र के अंदर का क्षेत्र एक समान है, इसलिए संधारित्र के पार संभावित अंतर (वोल्टेज) सूत्र द्वारा निर्धारित किया जा सकता हैयू=ई*डी, जहां ई - संधारित्र के अंदर क्षेत्र की ताकत।

जहां ई 1, ई 2 - संधारित्र प्लेटों द्वारा निर्मित क्षेत्र शक्ति।

तब

दूसरी विधि. प्रत्येक प्लेट में एक चार्ज जोड़ेंफिर प्लेटों को संघनित किया जाता है सटोरा पर लगेंगे आरोप + क्यूऔर -क्यू. संधारित्र के अंदर प्लेटों के समान आवेश के क्षेत्र एक दूसरे को रद्द कर देते हैं। जोड़े गए चार्जों ने प्लेटों के बीच के क्षेत्र को नहीं बदला, और इसलिए संभावित अंतरसंधारित्र उ= क्यू/सी .

4. चार्ज + वाली एक पतली धातु की प्लेट को एक अनावेशित फ्लैट संधारित्र की प्लेटों के बीच की जगह में डाला जाता है। क्यू. संधारित्र प्लेटों के बीच संभावित अंतर निर्धारित करें।

समाधान।चूँकि संधारित्र आवेशित नहीं होता है, विद्युत क्षेत्र केवल आवेश वाली प्लेट द्वारा निर्मित होता हैक्यू (चित्र 5)। यह क्षेत्र प्लेट और इसकी तीव्रता के सापेक्ष एक समान, सममित हैमाना कि धातु की प्लेट का विभव है ϕ . फिर प्लेटों की क्षमता एऔरमें कैपेसिटर बराबर होंगे ϕ- ϕ ए = ϕ एल 1; ϕ ए = ϕ-एल 1 ; ϕ- ϕ बी = ϕ-एल 2 ; ϕ बी = ϕ-एल 2 .

संधारित्र प्लेटों के बीच संभावित अंतरयदि प्लेट संधारित्र की प्लेटों से समान दूरी पर है, तो प्लेटों के बीच संभावित अंतर शून्य है।

5. तीव्रता के एक समान विद्युत क्षेत्र मेंई 0 एक आवेशित धातु की प्लेट को प्लेट के प्रत्येक पक्ष की सतह पर आवेश घनत्व के साथ बल की रेखाओं के लंबवत रखा जाता है σ (चित्र 6)। क्षेत्र की ताकत निर्धारित करें इ"प्लेट के अंदर और बाहर और सतह चार्ज घनत्वσ 1 और σ 2 , जो प्लेट के बायीं और दायीं ओर दिखाई देगा।

समाधान।प्लेट के अंदर का क्षेत्र शून्य है और तीन क्षेत्रों का सुपरपोजिशन है: बाहरी क्षेत्रई0, प्लेट के बाईं ओर आवेशों द्वारा निर्मित क्षेत्र, और प्लेट के दाईं ओर आवेशों द्वारा निर्मित क्षेत्र। इस तरह,जहां σ 1 और σ 2 - प्लेट के बाईं और दाईं ओर सतह चार्ज घनत्व, जो प्लेट को क्षेत्र में पेश किए जाने के बाद दिखाई देता हैई 0. प्लेट पर कुल चार्ज नहीं बदलेगा, इसलिएσ 1 + σ 2 =2 σ, जहाँ से σ 1 = σ- ε 0 ई 0 , σ 2 = σ + ε 0 ई 0 . प्लेट के बाहर का क्षेत्र क्षेत्र का सुपरपोजिशन हैई 0 और चार्ज प्लेट फ़ील्ड इ. की बाईं ओरप्लेटें थाली का अधिकार

6. एक सपाट वायु संधारित्र में, क्षेत्र की ताकत E = 10 4 V/m है। प्लेटों के बीच की दूरीघ= 2 सेमी मोटाई की एक धातु की शीट प्लेटों के बीच समानान्तर रखी जाए तो विभवान्तर कितना होगा?डी 0=0.5 सेमी (चित्र 7)?

समाधान।चूँकि प्लेटों के बीच विद्युत क्षेत्र एकसमान होता हैयू=एड, यू=200 वी.

यदि आप प्लेटों के बीच एक धातु की शीट को चिह्नित करते हैं, तो आपको प्लेटों के बीच की दूरी के साथ दो श्रृंखला-जुड़े कैपेसिटर की एक प्रणाली मिलती हैघ 1और d2. इन कैपेसिटर की क्षमताउनकी कुल क्षमता

चूँकि संधारित्र को वर्तमान स्रोत से काट दिया जाता है, धातु की शीट जोड़ने पर संधारित्र का चार्ज नहीं बदलता है: q"=CU=С"U 1 ; कंडेनसर क्षमता कहां है इसमें धातु की शीट जोड़ने से पहले सैटर। हम पाते हैं:

यू 1= 150 वी.

7. प्लेटों परए और C, कुछ दूरी पर समानांतर स्थित हैघ= 8 सेमी की दूरी पर, क्षमताएँ बनी रहीं ϕ 1= 60 वी और ϕ 2 =- क्रमशः 60 वी. उनके बीच एक जमी हुई प्लेट रखी गई थी D, प्लेट A से d 1 = 2 सेमी की दूरी पर है। सेक्शन एडी और में फील्ड स्ट्रेंथ में कितना बदलाव आया हैसीडी? निर्भरता ग्राफ बनाएं ϕ (एक्स) और ई(एक्स)।

उदाहरण 1। एक पतले, अनंत लंबे धागे को रैखिक चार्ज घनत्व के साथ समान रूप से चार्ज किया जाता है λ . इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र की ताकत ज्ञात करें इ(आर) एक मनमानी दूरी पर आरधागे से.

आइए एक चित्र बनाएं:

विश्लेषण:

क्योंकि थ्रेड में कोई पॉइंट चार्ज नहीं होता है; डीआई विधि लागू होती है। आइए हम कंडक्टर की लंबाई का एक अत्यंत छोटा तत्व चुनें डेली, जिसमें चार्ज शामिल होगा डीक्यू=dlλ. आइए हम धागे से दूरी पर स्थित एक मनमाना बिंदु ए पर कंडक्टर के प्रत्येक तत्व द्वारा बनाई गई क्षेत्र की ताकत की गणना करें ए. वेक्टर को बिंदु आवेश को अवलोकन बिंदु से जोड़ने वाली सीधी रेखा के साथ निर्देशित किया जाएगा। हम परिणामी फ़ील्ड को x अक्ष के अनुदिश धागे के अभिलंब के अनुदिश प्राप्त करते हैं। मूल्य ज्ञात करना आवश्यक है डीई एक्स: डीई एक्स =डे cosα. .

ए-प्राथमिकता:

.

परिमाण डेली, आर, तत्व की स्थिति बदलने पर लगातार परिवर्तन होता है डेली. आइए हम उन्हें मान α के माध्यम से व्यक्त करें:

कहाँ dα- धागे के साथ चलते समय बिंदु ए के सापेक्ष त्रिज्या वेक्टर के घूर्णन के परिणामस्वरूप कोण α की अनंत वृद्धि डेली. तब डीएल=आर 2 dα/ ए. चलते समय डेलीबिंदु O से कोण 0 0 से π/2 में बदल जाता है।

इस तरह .

आयाम जांच: [ई]=वी/एम=केजीएम/एमएफएम=केएलवी/केएलएम=वी/एम;

उत्तर:.

विधि 2.

चार्ज वितरण की अक्षीय समरूपता के कारण, धागे से समान दूरी पर स्थित सभी बिंदु समतुल्य हैं और उनमें क्षेत्र की ताकत समान है, अर्थात। इ(आर)=स्थिरांक, कहाँ आर- अवलोकन बिंदु से धागे तक की दूरी। दिशा इइन बिंदुओं पर हमेशा धागे के अभिलंब की दिशा से मेल खाता है। गॉस के प्रमेय द्वारा; कहाँ क्यू-सतह द्वारा कवर किया गया चार्ज - एस' जिसके माध्यम से फ्लक्स की गणना की जाती है, हम त्रिज्या ए के साथ एक सिलेंडर और धागे के साथ एक जेनरेटर के रूप में चुनते हैं। इस बात को ध्यान में रखते हुए कि यह सिलेंडर की पार्श्व सतह के लिए सामान्य है, हम प्रवाह के लिए प्राप्त करते हैं:

क्योंकि इ= स्थिरांक.

एसओर = पर 2π .

दूसरी ओर इ 2πаН=Q/ε 0 ,

कहाँ λН=q.

उत्तर:इ=λ /4πε 0 ए.

उदाहरण 2. सतह आवेश घनत्व के साथ एक समान रूप से आवेशित अनंत तल के तनाव की गणना करें σ .

तनाव रेखाएँ लंबवत होती हैं और समतल से दोनों दिशाओं में निर्देशित होती हैं। एक बंद सतह के रूप में, हम एक सिलेंडर की सतह चुनते हैं, जिसके आधार विमान के समानांतर होते हैं, और सिलेंडर की धुरी विमान के लंबवत होती है। क्योंकि सिलेंडर के जनरेटर तनाव की रेखाओं के समानांतर हैं (α=0, cos α=1 ), तो पार्श्व सतह के माध्यम से तनाव वेक्टर का प्रवाह शून्य है, और एक बंद बेलनाकार सतह के माध्यम से कुल प्रवाह इसके आधार के माध्यम से प्रवाह के योग के बराबर है। एक बंद सतह के अंदर निहित आवेश σ के बराबर होता है एसबुनियादी , तब:

एफ ई =2 इएसमुख्य या Ф ई = = , तो ई = =

उत्तर:ई =, सिलेंडर की लंबाई पर निर्भर नहीं करता है और विमान से किसी भी दूरी पर निरपेक्ष मूल्य में समान है। एक समान रूप से आवेशित विमान का क्षेत्र एक समान होता है।

उदाहरण 3. क्रमशः सतह घनत्व +σ और -σ वाले दो असीम रूप से चार्ज किए गए विमानों के क्षेत्र की गणना करें।

ई = ई = 0 ; ई = ई + + ई - = .

उत्तर:विमानों के बीच के क्षेत्र में परिणामी क्षेत्र की ताकत E = के बराबर है, और विमानों द्वारा सीमित मात्रा के बाहर यह शून्य के बराबर है।

उदाहरण 4. सतह आवेश घनत्व +σ के साथ त्रिज्या की एक समान रूप से आवेशित गोलाकार सतह की क्षेत्र शक्ति की गणना करें आर.

वह, और,

यदि आर< R , то внутри замкнутой поверхности нет зарядов и электростатическое поле отсутствует (Е=0).

उत्तर:.

उदाहरण 5. आयतन घनत्व के साथ आयतन आवेश तीव्रता की गणना करें ρ , गेंद त्रिज्या आर.

आइए एक गोले को एक बंद सतह के रूप में लें।

अगर आर ≥आर, तो = 4πr 2 ई; ई=

यदि आर< R , то сфера радиусом आर, एक आवेश q" को q"= के बराबर कवर करता है (चूंकि आवेश आयतन के रूप में और आयतन त्रिज्या के घन के रूप में संबंधित होते हैं)

फिर, गॉस की बात के अनुसार

उत्तर:; एक समान रूप से चार्ज की गई गेंद के अंदर, वोल्टेज दूरी के साथ रैखिक रूप से बढ़ता है आरइसके केंद्र से, और बाहर - विपरीत अनुपात में घटता है आर 2 .

उदाहरण संख्या 6. रैखिक आवेश घनत्व से आवेशित एक अनंत, गोलाकार सिलेंडर की क्षेत्र शक्ति की गणना करें λ , त्रिज्या आर.

सिलेंडर के सिरों के माध्यम से तनाव वेक्टर का प्रवाह 0 है, और साइड सतह के माध्यम से:

क्योंकि , या ,

तब (यदि आर > आर)

यदि λ > 0, E > 0, वेक्टर Ē सिलेंडर से दूर निर्देशित है,

यदि λ< 0, Е < 0 , вектор Ē направлен к цилиндру.

यदि आर< R, то замкнутая поверхность зарядов внутри не содержит, поэтому в этой области Е = 0

उत्तर:(आर > आर); ई = 0 (आर>आर). सतह पर समान रूप से चार्ज किए गए अनंत, गोल सिलेंडर के अंदर कोई क्षेत्र नहीं है।

उदाहरण 7. विद्युत क्षेत्र 2 एनसी/एम 2 और 4 एनसी/एम 2 के सतह चार्ज विमानों के साथ दो अनंत लंबे समानांतर विमानों द्वारा बनाया गया है। क्षेत्र I, II, III में क्षेत्र की ताकत निर्धारित करें। एक निर्भरता ग्राफ बनाएं Ē (आर) .

विमान अंतरिक्ष को 3 क्षेत्रों में विभाजित करते हैं

परिणामी क्षेत्र की दिशा Ē एक बड़े क्षेत्र की ओर है।

पर प्रक्षेपण में आर:

; «–»; ;

; «–»; ;

; «+»; .

अनुसूची Ē (आर)

पैमाने का चयन: इ 2 =2 इ 1

ई 1 = 1; ई 2 =2

उत्तर:इमैं = -345 वी/एम; इІ मैं = -172 वी/एम; इ I II = 345 V/m.

उदाहरण संख्या 8. त्रिज्या सहित आबनूस की ठोस गेंद आर= 5 सेमी आयतन घनत्व के साथ समान रूप से वितरित आवेश वहन करता है ρ =10 एनसी/एम3. बिंदुओं पर विद्युत क्षेत्र की ताकत निर्धारित करें: 1) दूरी पर आरगोले के केंद्र से 1 = 3 सेमी; 2) गोले की सतह पर; 3) कुछ दूरी पर आरगोले के केंद्र से 2 = 10 सेमी.

सतह चार्ज घनत्व के साथ चार्ज किया गया एक अनंत विमान: एक अनंत विमान द्वारा निर्मित विद्युत क्षेत्र की ताकत की गणना करने के लिए, हम अंतरिक्ष में एक सिलेंडर का चयन करते हैं, जिसकी धुरी चार्ज किए गए विमान के लंबवत है, और आधार इसके समानांतर हैं, और एक आधारों का क्षेत्र हमारी रुचि के बिंदु से होकर गुजरता है। गॉस के प्रमेय के अनुसार, एक बंद सतह के माध्यम से विद्युत क्षेत्र शक्ति वेक्टर का प्रवाह बराबर है:

Ф=, दूसरी ओर यह भी है: Ф=E

आइए समीकरणों के दाहिने पक्षों की बराबरी करें:

आइए हम = - को सतह आवेश घनत्व के माध्यम से व्यक्त करें और विद्युत क्षेत्र की ताकत ज्ञात करें:

आइए हम समान सतह घनत्व वाली विपरीत आवेशित प्लेटों के बीच विद्युत क्षेत्र की ताकत का पता लगाएं:

(3)

आइए प्लेटों के बाहर का क्षेत्र खोजें:

; ; (4)

आवेशित गोले की क्षेत्र शक्ति

(1)

Ф= (2) गॉसियन बिंदु

आर के लिए< R

; , क्योंकि (गोले के अंदर कोई चार्ज नहीं है)

आर = आर के लिए

( ; ; )

आर > आर के लिए

पूरे आयतन में समान रूप से चार्ज की गई गेंद द्वारा बनाई गई फ़ील्ड ताकत

वॉल्यूम चार्ज घनत्व,

गेंद पर वितरित:

आर के लिए< R

( ; Ф= )

आर = आर के लिए

आर > आर के लिए

किसी चार्ज को स्थानांतरित करने के लिए इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र का कार्य

इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र- ईमेल एक स्थिर आवेश का क्षेत्र.
फ़ेल, आवेश पर कार्य करते हुए, उसे स्थानांतरित करता है, कार्य करता है।
एक समान विद्युत क्षेत्र में Fel = qE एक स्थिर मान है

कार्य क्षेत्र (एल. बल) निर्भर नहीं करताप्रक्षेप पथ के आकार पर और बंद प्रक्षेप पथ पर = शून्य.

यदि किसी बिंदु आवेश Q के स्थिरवैद्युत क्षेत्र में कोई अन्य बिंदु आवेश Q 0 किसी प्रक्षेपवक्र के अनुदिश बिंदु 1 से बिंदु 2 की ओर गति करता है (चित्र 1), तो आवेश पर लगाया गया बल कुछ कार्य करता है। प्राथमिक विस्थापन dl पर बल F द्वारा किया गया कार्य चूँकि d के बराबर होता है एल/cosα=dr, फिर आवेश Q 0 को बिंदु 1 से बिंदु 2 (1) तक ले जाने पर कार्य गति के प्रक्षेपवक्र पर निर्भर नहीं करता है, बल्कि केवल प्रारंभिक 1 और अंतिम 2 बिंदुओं की स्थिति से निर्धारित होता है। इसका मतलब है कि एक बिंदु आवेश का इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र संभावित है, और इलेक्ट्रोस्टैटिक बल रूढ़िवादी हैं। सूत्र (1) से यह स्पष्ट है कि जब कोई विद्युत आवेश एक मनमाना बंद पथ एल के साथ बाहरी इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र में चलता है तो वह कार्य होता है। शून्य के बराबर है, अर्थात (2) यदि हम एक एकल बिंदु धनात्मक आवेश को एक आवेश के रूप में लेते हैं जो इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र में स्थानांतरित होता है, तो पथ dl के साथ क्षेत्र बलों का प्रारंभिक कार्य Edl = E के बराबर होता है एलडी एल, जहां ई एल= Ecosα - प्राथमिक विस्थापन की दिशा पर वेक्टर E का प्रक्षेपण। तब सूत्र (2) को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है (3) अभिन्न तनाव वेक्टर का परिसंचरण कहलाता है। इसका मतलब यह है कि किसी भी बंद समोच्च के साथ इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र शक्ति वेक्टर का परिसंचरण शून्य है। एक बल क्षेत्र जिसमें गुण (3) होता है, विभव कहलाता है। इस तथ्य से कि वेक्टर ई का परिसंचरण शून्य के बराबर है, यह इस प्रकार है कि इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र की ताकत की रेखाओं को बंद नहीं किया जा सकता है, वे आवश्यक रूप से चार्ज (सकारात्मक या नकारात्मक) पर शुरू और समाप्त होते हैं या अनंत तक जाते हैं; सूत्र (3) केवल स्थिरवैद्युत क्षेत्र के लिए मान्य है। इसके बाद, यह दिखाया जाएगा कि गतिमान आवेशों के क्षेत्र के मामले में, स्थिति (3) सत्य नहीं है (इसके लिए, तीव्रता वेक्टर का संचलन गैर-शून्य है)।

इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र के लिए परिसंचरण प्रमेय।

चूँकि इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र केंद्रीय है, ऐसे क्षेत्र में आवेश पर कार्य करने वाले बल रूढ़िवादी होते हैं। चूँकि यह प्राथमिक कार्य का प्रतिनिधित्व करता है जो क्षेत्र बल एक इकाई आवेश पर उत्पन्न करते हैं, एक बंद लूप पर रूढ़िवादी बलों का कार्य बराबर होता है

संभावना

"चार्ज - इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र" या "चार्ज - चार्ज" प्रणाली में संभावित ऊर्जा होती है, जैसे "गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र - शरीर" प्रणाली में संभावित ऊर्जा होती है।

क्षेत्र की ऊर्जा स्थिति को दर्शाने वाली भौतिक अदिश राशि कहलाती है संभावनाक्षेत्र में एक दिया गया बिंदु. एक आवेश q को एक क्षेत्र में रखा गया है, इसकी स्थितिज ऊर्जा W है। विभव एक इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र की विशेषता है।

आइए यांत्रिकी में स्थितिज ऊर्जा को याद करें। जब पिंड जमीन पर होता है तो संभावित ऊर्जा शून्य होती है। और जब किसी पिंड को एक निश्चित ऊंचाई तक उठाया जाता है, तो कहा जाता है कि उस पिंड में स्थितिज ऊर्जा है।

बिजली में संभावित ऊर्जा के संबंध में, संभावित ऊर्जा का कोई शून्य स्तर नहीं है। इसे यादृच्छिक रूप से चुना जाता है. इसलिए, क्षमता एक सापेक्ष भौतिक मात्रा है।

संभावित क्षेत्र ऊर्जा इलेक्ट्रोस्टैटिक बल द्वारा किया गया कार्य है जब किसी चार्ज को क्षेत्र में किसी दिए गए बिंदु से शून्य क्षमता वाले बिंदु तक ले जाया जाता है।

आइए उस विशेष मामले पर विचार करें जब एक इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र विद्युत आवेश Q द्वारा निर्मित होता है। ऐसे क्षेत्र की क्षमता का अध्ययन करने के लिए, इसमें आवेश q डालने की कोई आवश्यकता नहीं है। आप आवेश Q से दूरी r पर स्थित ऐसे क्षेत्र में किसी भी बिंदु की क्षमता की गणना कर सकते हैं।

माध्यम के ढांकता हुआ स्थिरांक का एक ज्ञात मान (सारणीबद्ध) होता है और यह उस माध्यम की विशेषता बताता है जिसमें क्षेत्र मौजूद है। वायु के लिए यह एकता के बराबर है।

संभावित अंतर

किसी क्षेत्र द्वारा किसी आवेश को एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक ले जाने के लिए किया गया कार्य संभावित अंतर कहलाता है

इस सूत्र को दूसरे रूप में प्रस्तुत किया जा सकता है

सुपरपोजिशन सिद्धांत

कई आवेशों द्वारा निर्मित एक क्षेत्र की क्षमता अलग-अलग प्रत्येक क्षेत्र के क्षेत्रों की संभावनाओं के बीजगणितीय (संभावना के संकेत को ध्यान में रखते हुए) योग के बराबर होती है

यह स्थिर बिंदु आवेशों की एक प्रणाली की ऊर्जा, एक अकेले आवेशित कंडक्टर की ऊर्जा और एक आवेशित संधारित्र की ऊर्जा है।

यदि दो आवेशित कंडक्टरों (संधारित्र) की एक प्रणाली है, तो सिस्टम की कुल ऊर्जा कंडक्टरों की अपनी संभावित ऊर्जा और उनकी परस्पर क्रिया की ऊर्जा के योग के बराबर है:

इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र ऊर्जाबिंदु आवेशों की प्रणाली इसके बराबर है:

समान रूप से चार्ज किया गया विमान.
सतह आवेश घनत्व से आवेशित एक अनंत विमान द्वारा निर्मित विद्युत क्षेत्र की ताकत की गणना गॉस के प्रमेय का उपयोग करके की जा सकती है।

समरूपता स्थितियों से यह पता चलता है कि वेक्टर इहर जगह विमान के लंबवत। इसके अलावा, विमान के सापेक्ष सममित बिंदुओं पर, वेक्टर इआकार में समान और दिशा में विपरीत होगा।
एक बंद सतह के रूप में, हम एक सिलेंडर चुनते हैं जिसका अक्ष विमान के लंबवत है, और जिसका आधार विमान के सममित रूप से सापेक्ष स्थित है, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है।
चूँकि तनाव की रेखाएँ सिलेंडर की पार्श्व सतह के जेनरेटर के समानांतर होती हैं, पार्श्व सतह से प्रवाह शून्य होता है। इसलिए वेक्टर प्रवाह इसिलेंडर की सतह के माध्यम से

,

सिलेंडर के आधार का क्षेत्रफल कहां है. सिलेंडर विमान से चार्ज को काट देता है। यदि विमान सापेक्ष ढांकता हुआ स्थिरांक के साथ एक सजातीय आइसोट्रोपिक माध्यम में है, तो

जब क्षेत्र की ताकत विमानों के बीच की दूरी पर निर्भर नहीं करती है, तो ऐसे क्षेत्र को एकसमान क्षेत्र कहा जाता है। निर्भरता ग्राफ इ (एक्स) एक विमान के लिए.

दूरी पर स्थित दो बिंदुओं के बीच संभावित अंतर आर 1 और आरआवेशित तल से 2 के बराबर है

उदाहरण 2. दो समान रूप से आवेशित विमान।
आइए दो अनंत विमानों द्वारा निर्मित विद्युत क्षेत्र की ताकत की गणना करें। विद्युत आवेश को सतह घनत्व के साथ समान रूप से वितरित किया जाता है। हम क्षेत्र की ताकत को प्रत्येक विमान की क्षेत्र की ताकत के सुपरपोजिशन के रूप में पाते हैं। केवल समतलों के बीच के स्थान में विद्युत क्षेत्र शून्येतर होता है और के बराबर होता है।

विमानों के बीच संभावित अंतर , कहाँ डी-विमानों के बीच की दूरी.
प्राप्त परिणामों का उपयोग परिमित आयामों की सपाट प्लेटों द्वारा बनाए गए क्षेत्रों की अनुमानित गणना के लिए किया जा सकता है यदि उनके बीच की दूरी उनके रैखिक आयामों से बहुत कम है। प्लेटों के किनारों के पास के क्षेत्रों पर विचार करते समय ऐसी गणनाओं में ध्यान देने योग्य त्रुटियाँ दिखाई देती हैं। निर्भरता ग्राफ इ (एक्स) दो विमानों के लिए।

उदाहरण 3. पतली आवेशित छड़।
रैखिक आवेश घनत्व से आवेशित एक बहुत लंबी छड़ द्वारा निर्मित विद्युत क्षेत्र की ताकत की गणना करने के लिए, हम गॉस के प्रमेय का उपयोग करते हैं।
छड़ के सिरों से पर्याप्त बड़ी दूरी पर, विद्युत क्षेत्र की तीव्रता रेखाएं छड़ की धुरी से रेडियल रूप से निर्देशित होती हैं और इस धुरी के लंबवत विमानों में स्थित होती हैं। छड़ की धुरी से समदूरस्थ सभी बिंदुओं पर, तनाव के संख्यात्मक मान समान होते हैं यदि छड़ एक सापेक्ष ढांकता हुआ के साथ एक सजातीय आइसोट्रोपिक माध्यम में है
भेद्यता

दूरी पर स्थित एक मनमाने बिंदु पर क्षेत्र की ताकत की गणना करना आरछड़ की धुरी से, इस बिंदु के माध्यम से एक बेलनाकार सतह खींचें
(तस्वीर देखने)। इस बेलन की त्रिज्या है आर, और इसकी ऊंचाई एच.
सिलेंडर के ऊपरी और निचले आधारों के माध्यम से तनाव वेक्टर का प्रवाह शून्य के बराबर होगा, क्योंकि बल की रेखाओं में इन आधारों की सतहों के लिए सामान्य घटक नहीं होते हैं। सिलेंडर की पार्श्व सतह पर सभी बिंदुओं पर
इ= स्थिरांक.
इसलिए, वेक्टर का कुल प्रवाह इसिलेंडर की सतह के माध्यम से बराबर होगा

,

गॉस के प्रमेय के अनुसार, वेक्टर का प्रवाह इसतह के अंदर स्थित विद्युत आवेशों के बीजगणितीय योग के बराबर (इस मामले में एक सिलेंडर) विद्युत स्थिरांक और माध्यम के सापेक्ष ढांकता हुआ स्थिरांक के उत्पाद से विभाजित होता है

छड़ के उस भाग का आवेश कहाँ है जो सिलेंडर के अंदर है। इसलिए, विद्युत क्षेत्र की ताकत

दूरी पर स्थित दो बिंदुओं के बीच विद्युत क्षेत्र संभावित अंतर आर 1 और आर 2 छड़ की धुरी से, हम विद्युत क्षेत्र की तीव्रता और क्षमता के बीच संबंध का उपयोग करके पाते हैं। चूँकि क्षेत्र की ताकत केवल रेडियल दिशा में बदलती है

उदाहरण 4. आवेशित गोलाकार सतह।
एक गोलाकार सतह द्वारा निर्मित विद्युत क्षेत्र जिस पर सतह घनत्व के साथ एक विद्युत आवेश समान रूप से वितरित होता है, में एक केंद्रीय सममित चरित्र होता है।

तनाव रेखाएँ गोले के केंद्र से त्रिज्या और वेक्टर के परिमाण के अनुदिश निर्देशित होती हैं इकेवल दूरी पर निर्भर करता है आरगोले के केंद्र से. क्षेत्र की गणना करने के लिए, हम त्रिज्या की एक बंद गोलाकार सतह का चयन करते हैं आर.
जब आर ओ इ = 0.
क्षेत्र की ताकत शून्य है, क्योंकि गोले के अंदर कोई आवेश नहीं है।
गॉस के प्रमेय के अनुसार, r > R (गोले के बाहर) के लिए

,

गोले के चारों ओर के माध्यम का सापेक्ष ढांकता हुआ स्थिरांक कहां है।

.

तीव्रता किसी बिंदु आवेश की क्षेत्र शक्ति के समान नियम के अनुसार घटती है, अर्थात्।
जब आर ओ .
r > R के लिए (गोले के बाहर) .
निर्भरता ग्राफ इ (आर) एक गोले के लिए.

उदाहरण 5. एक आयतन-आवेशित ढांकता हुआ गेंद।
यदि गेंद की त्रिज्या है आरसापेक्ष पारगम्यता के साथ एक सजातीय आइसोट्रोपिक ढांकता हुआ से बना घनत्व के साथ पूरे आयतन में समान रूप से चार्ज किया जाता है, फिर यह जो विद्युत क्षेत्र बनाता है वह भी केंद्रीय रूप से सममित होता है।
पिछले मामले की तरह, हम वेक्टर फ्लक्स की गणना के लिए एक बंद सतह चुनते हैं इएक संकेंद्रित गोले के रूप में, जिसकी त्रिज्या आर 0 से भिन्न हो सकता है।
पर आर < आरवेक्टर प्रवाह इइस सतह के माध्यम से चार्ज निर्धारित किया जाएगा

इसलिए

पर आर < आर(गेंद के अंदर) .
गेंद के अंदर, तनाव गेंद के केंद्र से दूरी के सीधे अनुपात में बढ़ता है। गेंद के बाहर (पर.) आर > आर) ढांकता हुआ स्थिरांक, फ्लक्स वेक्टर वाले माध्यम में इसतह के माध्यम से चार्ज निर्धारित किया जाएगा.
जब r o >R o (गेंद के बाहर) .
"गेंद-पर्यावरण" सीमा पर, विद्युत क्षेत्र की ताकत अचानक बदल जाती है, जिसका परिमाण गेंद और पर्यावरण के ढांकता हुआ स्थिरांक के अनुपात पर निर्भर करता है। निर्भरता ग्राफ इ (आर) गेंद के लिए ()।

गेंद के बाहर ( आर > आर) विद्युत क्षेत्र की क्षमता कानून के अनुसार बदलती है

.

गेंद के अंदर ( आर < आर) क्षमता का वर्णन अभिव्यक्ति द्वारा किया गया है

अंत में, हम विभिन्न आकृतियों के आवेशित पिंडों की क्षेत्र शक्तियों की गणना के लिए अभिव्यक्तियाँ प्रस्तुत करते हैं

संभावित अंतर
वोल्टेज- प्रक्षेपवक्र के प्रारंभिक और अंतिम बिंदुओं पर संभावित मूल्यों में अंतर। वोल्टेजसंख्यात्मक रूप से इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र के कार्य के बराबर होता है जब एक इकाई सकारात्मक चार्ज इस क्षेत्र की बल रेखाओं के साथ चलता है। संभावित अंतर (वोल्टेज) चयन से स्वतंत्र है सिस्टम संयोजित करें!
संभावित अंतर की इकाई वोल्टेज 1 V है, यदि 1 C के धनात्मक आवेश को बल की रेखाओं के साथ ले जाने पर, क्षेत्र 1 J कार्य करता है।

कंडक्टर- यह एक ठोस पिंड है जिसके शरीर के भीतर "मुक्त इलेक्ट्रॉन" घूम रहे हैं।

धातु के कंडक्टर आम तौर पर तटस्थ होते हैं: उनमें समान मात्रा में नकारात्मक और सकारात्मक चार्ज होते हैं। क्रिस्टल जाली के नोड्स में सकारात्मक रूप से चार्ज किए गए आयन होते हैं, नकारात्मक रूप से कंडक्टर के साथ स्वतंत्र रूप से घूमने वाले इलेक्ट्रॉन होते हैं। जब किसी चालक को अधिक मात्रा में इलेक्ट्रॉन दिए जाते हैं, तो वह ऋणात्मक रूप से आवेशित हो जाता है, लेकिन यदि चालक से एक निश्चित संख्या में इलेक्ट्रॉन "ले लिए" जाते हैं, तो वह धनात्मक रूप से आवेशित हो जाता है।

अतिरिक्त आवेश केवल चालक की बाहरी सतह पर वितरित होता है।

1 . चालक के अंदर किसी भी बिंदु पर क्षेत्र की ताकत शून्य है।

2 . कंडक्टर की सतह पर वेक्टर कंडक्टर की सतह पर प्रत्येक बिंदु के लंबवत निर्देशित होता है।

इस तथ्य से कि कंडक्टर की सतह समविभव है, यह निष्कर्ष निकलता है कि सीधे इस सतह पर प्रत्येक बिंदु पर क्षेत्र इसके सामान्य दिशा में निर्देशित होता है (स्थिति) 2 ). यदि ऐसा नहीं होता, तो स्पर्शरेखीय घटक की क्रिया के तहत आवेश चालक की सतह के साथ चलना शुरू कर देते। वे। किसी चालक पर आवेश का संतुलन असंभव होगा।

से 1 तब से यह इस प्रकार है

कंडक्टर के अंदर कोई अतिरिक्त चार्ज नहीं है.

आवेश केवल एक निश्चित घनत्व वाले चालक की सतह पर वितरित होते हैं एसऔर बहुत पतली सतह परत में स्थित होते हैं (इसकी मोटाई लगभग एक या दो अंतरपरमाण्विक दूरी के बराबर होती है)।

चार्ज का घनत्व- यह प्रति इकाई लंबाई, क्षेत्रफल या आयतन पर चार्ज की मात्रा है, इस प्रकार रैखिक, सतह और वॉल्यूमेट्रिक चार्ज घनत्व का निर्धारण होता है, जिसे एसआई प्रणाली में मापा जाता है: कूलम्ब प्रति मीटर [सी/एम] में, कूलम्ब प्रति वर्ग मीटर में [ C/m² ] और कूलम्ब प्रति घन मीटर में क्रमशः [C/m³]। पदार्थ के घनत्व के विपरीत, चार्ज घनत्व में सकारात्मक और नकारात्मक दोनों मान हो सकते हैं, यह इस तथ्य के कारण है कि सकारात्मक और नकारात्मक चार्ज होते हैं।

इलेक्ट्रोस्टैटिक्स की सामान्य समस्या

तनाव वेक्टर,

गॉस के प्रमेय द्वारा

- पॉइसन का समीकरण.

ऐसे मामले में जहां कंडक्टरों के बीच कोई चार्ज नहीं है, हमें मिलता है

- लाप्लास का समीकरण.

कंडक्टरों की सतहों पर सीमा की स्थिति ज्ञात होने दें: मान ; तो इस समस्या का एक अनोखा समाधान है विशिष्टता प्रमेय.

समस्या को हल करते समय, मान निर्धारित किया जाता है और फिर कंडक्टरों के बीच का क्षेत्र कंडक्टरों पर आवेशों के वितरण (सतह पर वोल्टेज वेक्टर के अनुसार) द्वारा निर्धारित किया जाता है।

आइए एक उदाहरण देखें. आइए कंडक्टर की खाली गुहा में वोल्टेज ढूंढें।

गुहा में क्षमता लाप्लास के समीकरण को संतुष्ट करती है;

कंडक्टर की दीवारों पर क्षमता.

इस मामले में लाप्लास के समीकरण का समाधान तुच्छ है, और विशिष्टता प्रमेय के अनुसार कोई अन्य समाधान नहीं है

, अर्थात। चालक गुहा में कोई क्षेत्र नहीं है।

पॉइसन का समीकरणएक अण्डाकार आंशिक अवकल समीकरण है, जो अन्य बातों के अलावा, वर्णन करता है

· इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र,

· स्थिर तापमान क्षेत्र,

· दबाव क्षेत्र,

· हाइड्रोडायनामिक्स में वेग संभावित क्षेत्र।

इसका नाम प्रसिद्ध फ्रांसीसी भौतिक विज्ञानी और गणितज्ञ शिमोन डेनिस पॉइसन के नाम पर रखा गया है।

यह समीकरण इस प्रकार दिखता है:

लाप्लास ऑपरेटर या लाप्लासियन कहां है, और कुछ मैनिफोल्ड पर एक वास्तविक या जटिल कार्य है।

त्रि-आयामी कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में, समीकरण इस प्रकार होता है:

कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में, लाप्लास ऑपरेटर को फॉर्म में लिखा जाता है और पॉइसन समीकरण फॉर्म लेता है:

अगर एफशून्य हो जाता है, फिर पॉइसन समीकरण लाप्लास समीकरण में बदल जाता है (लाप्लास समीकरण पॉइसन समीकरण का एक विशेष मामला है):

पॉइसन के समीकरण को ग्रीन फ़ंक्शन का उपयोग करके हल किया जा सकता है; उदाहरण के लिए, स्क्रीन्ड पॉइसन समीकरण लेख देखें। संख्यात्मक समाधान प्राप्त करने की विभिन्न विधियाँ हैं। उदाहरण के लिए, एक पुनरावृत्त एल्गोरिदम का उपयोग किया जाता है - "विश्राम विधि"।

हम एक अकेले कंडक्टर पर विचार करेंगे, यानी एक कंडक्टर जो अन्य कंडक्टरों, निकायों और आवेशों से काफी दूर है। इसकी क्षमता, जैसा कि ज्ञात है, कंडक्टर के चार्ज के सीधे आनुपातिक है। अनुभव से ज्ञात हुआ है कि समान रूप से आवेशित होते हुए भी अलग-अलग कंडक्टरों की क्षमताएं अलग-अलग होती हैं। इसलिए, एक अकेले कंडक्टर के लिए हम मात्रा (1) लिख सकते हैं जिसे एक अकेले कंडक्टर की विद्युत क्षमता (या बस कैपेसिटेंस) कहा जाता है। एक पृथक कंडक्टर की धारिता चार्ज द्वारा निर्धारित की जाती है, जिसके कंडक्टर से संचार से इसकी क्षमता एक से बदल जाती है। एक अकेले कंडक्टर की धारिता उसके आकार और आकार पर निर्भर करती है, लेकिन कंडक्टर के अंदर गुहाओं की सामग्री, आकार और आकार के साथ-साथ इसके एकत्रीकरण की स्थिति पर निर्भर नहीं करती है। इसका कारण यह है कि चालक की बाहरी सतह पर अतिरिक्त आवेश वितरित हो जाते हैं। धारिता चालक के आवेश या उसकी क्षमता पर भी निर्भर नहीं करती है। विद्युत क्षमता की इकाई फैराड (एफ) है: 1 एफ ऐसे पृथक कंडक्टर की क्षमता है, जिसकी क्षमता 1 सी का चार्ज देने पर 1 वी से बदल जाती है। एक बिंदु आवेश की क्षमता के सूत्र के अनुसार, त्रिज्या R की एक अकेली गेंद की क्षमता, जो ढांकता हुआ स्थिरांक ε के साथ एक सजातीय माध्यम में स्थित है, सूत्र (1) को लागू करने के बराबर है, हम पाते हैं कि की क्षमता गेंद (2) इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि एक अकेली गेंद की क्षमता 1 F होगी, जो निर्वात में स्थित होगी और उसकी त्रिज्या R=C/(4πε 0)≈9 10 6 किमी होगी, जो कि लगभग 1400 गुना अधिक है पृथ्वी की त्रिज्या (पृथ्वी की विद्युत क्षमता C≈0.7 mF)। नतीजतन, एक फैराड एक बड़ा मूल्य है, इसलिए व्यवहार में सबमल्टीपल इकाइयों का उपयोग किया जाता है - मिलिफ़राड (एमएफ), माइक्रोफ़ारड (μF), नैनोफ़ारड (एनएफ), पिकोफ़ारड (पीएफ)। सूत्र (2) से यह भी पता चलता है कि विद्युत स्थिरांक ε 0 की इकाई फैराड प्रति मीटर (एफ/एम) है (देखें (78.3))।

संधारित्र(अक्षांश से. घनीभूत होना- "कॉम्पैक्ट", "मोटा होना") - एक निश्चित कैपेसिटेंस मान और कम ओमिक चालकता वाला दो-टर्मिनल नेटवर्क; विद्युत क्षेत्र का आवेश और ऊर्जा संचय करने का एक उपकरण। कैपेसिटर एक निष्क्रिय इलेक्ट्रॉनिक घटक है। आमतौर पर इसमें दो प्लेट के आकार के इलेक्ट्रोड होते हैं (जिन्हें कहा जाता है)। लाइनिंग्स), एक ढांकता हुआ द्वारा अलग किया जाता है जिसकी मोटाई प्लेटों के आकार की तुलना में छोटी होती है।

क्षमता

कैपेसिटर की मुख्य विशेषता इसकी होती है क्षमता, संधारित्र की विद्युत आवेश संचय करने की क्षमता को दर्शाता है। संधारित्र का पदनाम नाममात्र समाई के मूल्य को इंगित करता है, जबकि वास्तविक समाई कई कारकों के आधार पर काफी भिन्न हो सकती है। किसी संधारित्र की वास्तविक धारिता उसके विद्युत गुणों को निर्धारित करती है। इस प्रकार, धारिता की परिभाषा के अनुसार, प्लेट पर चार्ज प्लेटों के बीच वोल्टेज के समानुपाती होता है ( क्यू = सीयू). विशिष्ट समाई मान पिकोफ़ारड की इकाइयों से लेकर हजारों माइक्रोफ़ारड तक होते हैं। हालाँकि, दसियों फैराड तक की क्षमता वाले कैपेसिटर (आयोनिस्टर) हैं।

एक समानांतर प्लेट संधारित्र की धारिता जिसमें एक क्षेत्रफल वाली दो समानांतर धातु प्लेटें होती हैं एसप्रत्येक दूरी पर स्थित है डीएक दूसरे से, एसआई प्रणाली में सूत्र द्वारा व्यक्त किया जाता है: प्लेटों के बीच की जगह को भरने वाले माध्यम का सापेक्ष ढांकता हुआ स्थिरांक (एकता के बराबर निर्वात में), विद्युत स्थिरांक है, संख्यात्मक रूप से 8.854187817·10 के बराबर है −12 एफ/एम. यह फार्मूला तभी मान्य है जब डीप्लेटों के रैखिक आयामों से बहुत छोटा।

बड़ी क्षमता प्राप्त करने के लिए कैपेसिटर को समानांतर में जोड़ा जाता है। इस स्थिति में, सभी कैपेसिटर की प्लेटों के बीच वोल्टेज समान होता है। कुल बैटरी क्षमता समानांतरकनेक्टेड कैपेसिटर की संख्या बैटरी में शामिल सभी कैपेसिटर की कैपेसिटेंस के योग के बराबर है।

यदि सभी समानांतर-जुड़े कैपेसिटर में प्लेटों के बीच समान दूरी और समान ढांकता हुआ गुण होते हैं, तो इन कैपेसिटर को एक बड़े कैपेसिटर के रूप में दर्शाया जा सकता है, जो एक छोटे क्षेत्र के टुकड़ों में विभाजित होता है।

जब कैपेसिटर श्रृंखला में जुड़े होते हैं, तो सभी कैपेसिटर के चार्ज समान होते हैं, क्योंकि उन्हें बिजली स्रोत से केवल बाहरी इलेक्ट्रोड तक आपूर्ति की जाती है, और आंतरिक इलेक्ट्रोड पर वे केवल चार्ज के पृथक्करण के कारण प्राप्त होते हैं जो पहले एक दूसरे को बेअसर करते थे . कुल बैटरी क्षमता क्रमिक रूप सेकनेक्टेड कैपेसिटर के बराबर है

या

यह क्षमता हमेशा बैटरी में शामिल कैपेसिटर की न्यूनतम क्षमता से कम होती है। हालाँकि, श्रृंखला कनेक्शन के साथ, कैपेसिटर के टूटने की संभावना कम हो जाती है, क्योंकि प्रत्येक कैपेसिटर वोल्टेज स्रोत के संभावित अंतर का केवल एक हिस्सा खाता है।

यदि श्रृंखला में जुड़े सभी कैपेसिटर की प्लेटों का क्षेत्रफल समान है, तो इन कैपेसिटर को एक बड़े कैपेसिटर के रूप में दर्शाया जा सकता है, जिनकी प्लेटों के बीच इसे बनाने वाले सभी कैपेसिटर की ढांकता हुआ प्लेटों का ढेर होता है।

[संपादित करें] विशिष्ट क्षमता

कैपेसिटर को विशिष्ट कैपेसिटेंस की भी विशेषता होती है - ढांकता हुआ की मात्रा (या द्रव्यमान) के लिए कैपेसिटेंस का अनुपात। विशिष्ट धारिता का अधिकतम मान ढांकता हुआ की न्यूनतम मोटाई के साथ प्राप्त किया जाता है, लेकिन साथ ही इसका ब्रेकडाउन वोल्टेज कम हो जाता है।

विभिन्न प्रकार के विद्युत परिपथों का उपयोग किया जाता है कैपेसिटर को जोड़ने के तरीके. कैपेसिटर का कनेक्शनउत्पादित किया जा सकता है: क्रमिक रूप से, समानांतरऔर श्रृंखला समानांतर(बाद वाले को कभी-कभी कैपेसिटर का मिश्रित कनेक्शन कहा जाता है)। मौजूदा प्रकार के कैपेसिटर कनेक्शन चित्र 1 में दिखाए गए हैं।

चित्र 1. कैपेसिटर को जोड़ने के तरीके।

8. एक समान रूप से आवेशित अनंत तल द्वारा एक इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र बनाया जाता है। दिखाएँ कि यह क्षेत्र सजातीय है।

माना सतह आवेश घनत्व s है। यह स्पष्ट है कि वेक्टर E केवल आवेशित तल के लंबवत हो सकता है। इसके अलावा, यह स्पष्ट है कि इस विमान के संबंध में सममित बिंदुओं पर, वेक्टर ई परिमाण में समान और दिशा में विपरीत है। यह फ़ील्ड कॉन्फ़िगरेशन सुझाव देता है कि एक सीधे सिलेंडर को एक बंद सतह के रूप में चुना जाना चाहिए, जहां यह माना जाता है कि s शून्य से अधिक है। इस सिलेंडर की पार्श्व सतह के माध्यम से प्रवाह शून्य है, और इसलिए सिलेंडर की पूरी सतह के माध्यम से कुल प्रवाह 2*E*DS के बराबर होगा, जहां DS प्रत्येक छोर का क्षेत्र है। गॉस के प्रमेय के अनुसार

जहां s*DS सिलेंडर के अंदर मौजूद चार्ज है।

अधिक सटीक रूप से, इस अभिव्यक्ति को इस प्रकार लिखा जाना चाहिए:

जहां En आवेशित तल के सामान्य n पर सदिश E का प्रक्षेपण है, और सदिश n इस तल से निर्देशित है।

तथ्य यह है कि ई विमान की दूरी से स्वतंत्र है इसका मतलब है कि संबंधित विद्युत क्षेत्र एक समान है।

9. 56 सेमी त्रिज्या वाला एक चौथाई वृत्त तांबे के तार से बना है। 0.36 nC/m के रैखिक घनत्व वाला एक चार्ज तार के साथ समान रूप से वितरित किया जाता है। वृत्त के केंद्र पर विभव ज्ञात कीजिए।

चूँकि आवेश तार के अनुदिश रैखिक रूप से वितरित होता है, केंद्र पर विभव ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र का उपयोग करते हैं:

जहाँ s रैखिक आवेश घनत्व है, dL तार तत्व है।

10. एक बिंदु आवेश Q द्वारा निर्मित विद्युत क्षेत्र में, एक ऋणात्मक आवेश -q, आवेश Q से दूरी r 1 पर स्थित एक बिंदु से बल की रेखा के साथ दूरी r 2 पर स्थित बिंदु तक चलता है। इस विस्थापन पर आवेश -q की स्थितिज ऊर्जा में वृद्धि ज्ञात कीजिए।

परिभाषा के अनुसार, क्षमता एक मात्रा है जो संख्यात्मक रूप से क्षेत्र में किसी दिए गए बिंदु पर एक इकाई सकारात्मक चार्ज की संभावित ऊर्जा के बराबर होती है। इसलिए, आवेश q 2 की स्थितिज ऊर्जा:

11. ईएमएफ वाले दो समान तत्व। 1.2 V और 0.5 ओम का आंतरिक प्रतिरोध समानांतर में जुड़े हुए हैं। परिणामी बैटरी 3.5 ओम के बाहरी प्रतिरोध के लिए बंद है। बाह्य परिपथ में धारा ज्ञात कीजिए।

संपूर्ण सर्किट के लिए ओम के नियम के अनुसार, बाहरी सर्किट में वर्तमान ताकत है:

जहां E` तत्वों की बैटरी का ईएमएफ है,

r` बैटरी का आंतरिक प्रतिरोध है, जो इसके बराबर है:

बैटरी का ईएमएफ तीन श्रृंखला से जुड़े तत्वों के ईएमएफ के योग के बराबर है:

इस तरह:

12 एक विद्युत परिपथ में श्रृंखला में समान लंबाई और व्यास के तांबे और स्टील के तार होते हैं। इन तारों में निकलने वाली ऊष्मा की मात्रा का अनुपात ज्ञात कीजिए।

लंबाई L और व्यास d के एक तार पर विचार करें, जो प्रतिरोधकता p वाले पदार्थ से बना है। सूत्र का उपयोग करके तार प्रतिरोध R पाया जा सकता है

जहाँ s= तार का अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है। वर्तमान ताकत I पर, समय t के दौरान, कंडक्टर में गर्मी Q की मात्रा जारी होती है:

इस मामले में, तार पर वोल्टेज ड्रॉप बराबर है:

तांबे की प्रतिरोधकता:

p1=0.017 μOhm*m=1.7*10 -8 ओम*m

इस्पात प्रतिरोधकता:

p2=10 -7 ओम*मीटर

चूँकि तार श्रृंखला में जुड़े हुए हैं, उनमें धारा की शक्ति समान होती है और समय t के दौरान उनमें ऊष्मा Q1 और Q2 की मात्रा निकलती है:

12. एक समान चुंबकीय क्षेत्र में विद्युत धारा वाली एक वृत्ताकार कुंडली है। कुंडली का तल क्षेत्र रेखाओं के लंबवत है। सिद्ध कीजिए कि चुंबकीय क्षेत्र से परिपथ पर लगने वाला परिणामी बल शून्य है।

चूंकि विद्युत धारा वाली गोलाकार कुंडली एक समान चुंबकीय क्षेत्र में है, इसलिए इस पर एम्पीयर बल कार्य करता है। सूत्र dF=I के अनुसार, धारा प्रवाहित कुंडली पर कार्य करने वाला परिणामी एम्पीयर बल निम्न द्वारा निर्धारित होता है:

जहां एकीकरण वर्तमान I के साथ दिए गए समोच्च के साथ किया जाता है। चूंकि चुंबकीय क्षेत्र एक समान है, वेक्टर बी को इंटीग्रल के नीचे से बाहर निकाला जा सकता है और वेक्टर इंटीग्रल की गणना करने के लिए कार्य कम हो जाएगा। यह अभिन्न अंग प्राथमिक वैक्टर डीएल की एक बंद श्रृंखला का प्रतिनिधित्व करता है, इसलिए यह शून्य के बराबर है। इसका मतलब है F=0, यानी एक समान चुंबकीय क्षेत्र में परिणामी एम्पीयर बल शून्य है।

13. 3 सेमी व्यास वाली 90 फेरों वाली एक छोटी कुंडली में विद्युत धारा प्रवाहित होती है। कुण्डली के अक्ष से 3 सेमी की दूरी पर धारा द्वारा निर्मित चुंबकीय क्षेत्र की शक्ति 40 A/m है। कुण्डली में धारा ज्ञात कीजिए।

यह मानते हुए कि बिंदु A पर चुंबकीय प्रेरण कुंडल के प्रत्येक मोड़ द्वारा अलग-अलग बनाए गए चुंबकीय प्रेरणों का एक सुपरपोजिशन है:

बी मोड़ को खोजने के लिए, हम बायोट-सावर्ट-लाप्लास कानून का उपयोग करते हैं।

जहां, डीबीटर्न त्रिज्या वेक्टर आर द्वारा निर्धारित बिंदु पर वर्तमान तत्व आईडीएल द्वारा बनाए गए क्षेत्र का चुंबकीय प्रेरण है। आइए हम अंत में तत्व डीएल का चयन करें और इससे बिंदु ए तक त्रिज्या वेक्टर आर खींचें। हम gimlet नियम के अनुसार dBturn वेक्टर को निर्देशित करेंगे।

सुपरपोज़िशन के सिद्धांत के अनुसार:

जहां dLturn के सभी तत्वों पर एकीकरण किया जाता है। आइए dBturn को दो घटकों dBturn(II) में विघटित करें - रिंग के तल के समानांतर और dBturn(I) - रिंग के तल के लंबवत। तब

उस पर गौर कर रहा हूँ समरूपता के कारणों से और वेक्टर dBturn(I) कोड-दिशात्मक हैं, हम वेक्टर एकीकरण को एक अदिश एकीकरण से प्रतिस्थापित करते हैं:

जहां dBturn(I) =dBturn*cosb और

चूँकि dl, r पर लंबवत है

आइए 2p कम करें और cosb को R/r1 से बदलें

आइए हम यहां से I को व्यक्त करें, यह जानते हुए कि R=D/2

चुंबकीय प्रेरण और चुंबकीय क्षेत्र की ताकत को जोड़ने वाले सूत्र के अनुसार:

फिर चित्र से पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:

14. एक इलेक्ट्रॉन 10۰10 6 m/s की गति के साथ बल की रेखाओं के लंबवत दिशा में एक समान चुंबकीय क्षेत्र में उड़ता है और 2.1 सेमी की त्रिज्या के साथ एक गोलाकार चाप के साथ चलता है चुंबकीय क्षेत्र प्रेरण का पता लगाएं।

एक समान चुंबकीय क्षेत्र में घूम रहे एक इलेक्ट्रॉन पर इलेक्ट्रॉन की गति के लंबवत लोरेंत्ज़ बल द्वारा कार्य किया जाएगा और इसलिए इसे वृत्त के केंद्र की ओर निर्देशित किया जाएगा:

चूँकि v और I के बीच का कोण 90 0 है:

चूँकि बल Fl वृत्त के केंद्र की ओर निर्देशित है, और इलेक्ट्रॉन इस बल के प्रभाव में वृत्त के चारों ओर घूमता है, तो

आइए हम चुंबकीय प्रेरण को व्यक्त करें:

15. तांबे के तार से बना 12 सेमी भुजा वाला एक चौकोर फ्रेम एक चुंबकीय क्षेत्र में रखा गया है, जिसका चुंबकीय प्रेरण कानून बी = बी 0 · सिन (ωt) के अनुसार भिन्न होता है, जहां बी 0 = 0.01 टी , ω = 2 · π/ T और T=0.02 s. फ़्रेम का तल चुंबकीय क्षेत्र की दिशा के लंबवत है। उच्चतम ईएमएफ मान ज्ञात कीजिए। फ्रेम में होने वाला इंडक्शन।

वर्गाकार फ्रेम का क्षेत्रफल S=a 2. चुंबकीय प्रवाह dj में परिवर्तन, जब फ्रेम का तल लंबवत dj=SdB है

प्रेरित ईएमएफ निर्धारित है

E, cos(wt)=1 पर अधिकतम होगा