Almindelige og decimale brøker og operationer på dem. Decimaler, definitioner, notation, eksempler, operationer med decimaler

At hvis de kender serieteorien, så kan der ikke indføres metamatiske begreber uden den. Desuden tror disse mennesker, at enhver, der ikke bruger det bredt, er uvidende. Lad os overlade disse menneskers synspunkter til deres samvittighed. Lad os bedre forstå, hvad en uendelig periodisk brøk er, og hvordan vi, uuddannede mennesker, der ikke kender nogen grænser, bør håndtere det.

Lad os dividere 237 med 5. Nej, du behøver ikke at starte lommeregneren. Lad os bedre huske gymnasiet (eller endda folkeskolen?) og simpelthen opdele det i en kolonne:

Nå, huskede du? Så kan du komme i gang.

Begrebet "brøk" i matematik har to betydninger:

1. Ikke-heltal tal.
2. Ikke-heltalsform.

Der er to typer brøker - i betydningen to former for skrivning af ikke-heltal:

1. Simpelt (eller lodret) brøker, såsom 1/2 eller 237/5.
2. Decimalbrøker, såsom 0,5 eller 47,4.

Bemærk, at selve brugen af ​​en brøknotation generelt ikke betyder, at det der skrives er et brøktal, for eksempel 3/3 eller 7,0 - ikke brøker i ordets første betydning, men i den anden, selvfølgelig , brøker.

I matematik har decimaltælling generelt altid været accepteret, og derfor decimaler mere praktisk end simple, dvs. en brøk med en decimalnævner (Vladimir Dal. Ordbog lever stort russisk sprog. "Ti").

Og hvis ja, så vil jeg gøre hver lodret brøk til en decimal ("vandret"). Og for at gøre dette skal du blot dividere tælleren med nævneren. Lad os for eksempel tage brøken 1/3 og prøve at lave en decimal ud af den.

Selv en fuldstændig uuddannet person vil bemærke: uanset hvor lang tid det tager, vil det ikke adskilles: trillinger vil fortsætte med at dukke op i det uendelige. Så lad os skrive det ned: 0,33... Vi mener "det tal, der opnås, når du dividerer 1 med 3," eller kort sagt "en tredjedel." Naturligvis er en tredjedel en brøk i ordets første betydning, og "1/3" og "0,33..." er brøker i ordets anden betydning, dvs. tilmeldingsformularer et tal, der er placeret på tallinjen i en sådan afstand fra nul, at hvis du lægger det til side tre gange, får du en.

Lad os nu prøve at dividere 5 med 6:

Lad os skrive det ned igen: 0,833... Vi mener "det tal, du får, når du dividerer 5 med 6," eller kort sagt "fem sjettedele." Men der opstår forvirring her: betyder det 0,83333 (og så gentages tripletterne) eller 0,833833 (og så gentages 833). Derfor passer notation med en ellipse ikke os: det er ikke klart, hvor den gentagne del begynder (det kaldes en "periode"). Derfor vil vi sætte punktum i parentes, således: 0,(3); 0,8(3).

0,(3) ikke let lige med en tredjedel, altså Der er en tredjedel, fordi vi specielt opfandt denne notation til at repræsentere dette tal som en decimalbrøk.

Denne post kaldes uendelig periodisk brøk, eller blot en periodisk brøk.

Hver gang vi dividerer et tal med et andet, hvis vi ikke får en endelig brøk, får vi en uendelig periodisk brøk, det vil sige en dag vil talsekvenserne helt sikkert begynde at gentage sig. Hvorfor det er sådan, kan forstås rent spekulativt ved at se nøje på kolonneopdelingsalgoritmen:

På de steder, der er markeret med flueben, kan forskellige talpar ikke opnås hele tiden (fordi der i princippet er et begrænset antal af sådanne par). Og så snart et sådant par dukker op der, som allerede eksisterede, vil forskellen også være den samme - og så vil hele processen begynde at gentage sig selv. Der er ingen grund til at kontrollere dette, for det er ret indlysende, at hvis du gentager de samme handlinger, vil resultaterne være de samme.

Nu forstår vi det godt essens periodisk brøk, lad os prøve at gange en tredjedel med tre. Ja, selvfølgelig får du en, men lad os skrive denne brøk i decimalform og gange den i en kolonne (tvetydighed opstår ikke her på grund af ellipsen, da alle tallene efter decimaltegnet er de samme):

Og igen bemærker vi, at ni, nire og niere vil dukke op efter decimaltegnet hele tiden. Det vil sige, ved at bruge den omvendte parentesnotation får vi 0,(9). Da vi ved, at produktet af en tredjedel og tre er en, så er 0.(9) sådan en fancy måde at skrive en på. Det er dog uhensigtsmæssigt at bruge denne form for optagelse, fordi en enhed kan skrives perfekt uden at bruge et punktum, som denne: 1.

Som du kan se, er 0,(9) et af de tilfælde, hvor hele tallet er skrevet i brøkform, som 3/3 eller 7,0. Det vil sige, at 0,(9) kun er en brøk i den anden betydning af ordet, men ikke i den første.

Så uden nogen begrænsninger eller serier fandt vi ud af, hvad 0.(9) er, og hvordan vi skal håndtere det.

Men lad os stadig huske, at vi faktisk er smarte og studerede analyser. Det er faktisk svært at benægte, at:

Men måske vil ingen argumentere med det faktum, at:

Alt dette er selvfølgelig sandt. Faktisk er 0,(9) både summen af ​​den reducerede række og den dobbelte sinus af den angivne vinkel, og naturlig logaritme Euler numre.

Men hverken det ene, det andet eller det tredje er en definition.

At sige, at 0,(9) er summen af ​​den uendelige række 9/(10 n), med n lig med én, er det samme som at sige, at sinus er summen af ​​den uendelige Taylor-række:

Det her fuldstændig ret, og dette er det vigtigste faktum Til beregningsmatematik, men dette er ikke en definition, og vigtigst af alt, det bringer ikke en person nærmere forståelse i det væsentlige bihule Essensen af ​​sinus af en bestemt vinkel er, at den bare alt forholdet mellem benet modsat vinklen og hypotenusen.

Så en periodisk brøk er bare alt en decimalbrøk, der opnås når når man dividerer med en kolonne det samme sæt tal vil blive gentaget. Der er ingen spor af analyse her.

Og det er her spørgsmålet opstår: hvor kommer det fra? overhovedet tog vi tallet 0,(9)? Hvad dividerer vi med med en kolonne for at få det? Der er faktisk ingen tal, så når vi opdeles i en kolonne, ville vi have uendeligt optrædende niere. Men det lykkedes os at få dette tal ved at gange 0,(3) med 3 med en kolonne? Ikke rigtig. Når alt kommer til alt, skal du gange fra højre til venstre for korrekt at tage højde for overførsler af cifre, og vi gjorde dette fra venstre mod højre, idet vi snedigt udnyttede det faktum, at overførsler alligevel ikke forekommer nogen steder. Derfor afhænger lovligheden af ​​at skrive 0,(9) af, om vi anerkender lovligheden af ​​en sådan multiplikation med en kolonne eller ej.

Derfor kan vi generelt sige, at notationen 0,(9) er forkert – og til en vis grad være rigtig. Men da notationen a ,(b ) er accepteret, er det simpelthen grimt at opgive det, når b = 9; Det er bedre at beslutte, hvad en sådan post betyder. Så hvis vi generelt accepterer notationen 0,(9), så betyder denne notation selvfølgelig tallet et.

Det er kun tilbage at tilføje, at hvis vi brugte f.eks. det ternære talsystem, så ville vi, når vi dividerede med en kolonne på én (1 3) med tre (10 3), få ​​0,1 3 (læs "nul komma en tredjedel"), og når man dividerer en efter to ville være 0,(1) 3.

Så periodiciteten af ​​et brøktal er ikke en objektiv karakteristik af et brøktal, men blot bivirkning ved hjælp af et eller andet talsystem.

Det er kendt, at hvis nævneren P irreducerbar brøk i sin kanoniske udvidelse har en primfaktor, der ikke er lig med 2 og 5, så kan denne brøk ikke repræsenteres som en endelig decimalbrøk. Hvis vi i dette tilfælde forsøger at nedskrive den oprindelige irreducible brøk som en decimal, dividere tælleren med nævneren, så kan divisionsprocessen ikke afsluttes, fordi hvis den blev afsluttet efter et begrænset antal trin, ville vi få en endelig decimalbrøk, som modsiger den tidligere beviste sætning. Så i dette tilfælde er decimalnotationen af ​​et positivt rationelt tal EN= ser ud til at være en uendelig brøk.

For eksempel brøk = 0,3636... . Det er let at bemærke, at resten, når man dividerer 4 med 11, gentages periodisk, derfor vil decimalerne blive gentaget med jævne mellemrum, dvs. det viser sig uendelig periodisk decimalbrøk, som kan skrives som 0,(36).

Periodisk gentagelse af tallene 3 og 6 danner en periode. Det kan vise sig, at der er flere cifre mellem decimaltegnet og begyndelsen af ​​den første periode. Disse tal danner præ-perioden. For eksempel,

0,1931818... Processen med at dividere 17 med 88 er uendelig. Tallene 1, 9, 3 danner præ-perioden; 1, 8 – periode. De eksempler, vi har overvejet, afspejler et mønster, dvs. noget positivt rationelt tal repræsenteres som enten en endelig eller uendelig periodisk decimalbrøk.

Sætning 1. Lad den almindelige brøk være irreducerbar i den kanoniske udvidelse af nævneren n er en primfaktor forskellig fra 2 og 5. Så kan fællesbrøken repræsenteres som en uendelig periodisk decimalbrøk.

Bevis. Vi ved allerede, at processen med at dividere et naturligt tal m til et naturligt tal n vil være uendelig. Lad os vise, at det vil være periodisk. Faktisk når man deler m på n de resulterende saldi vil være mindre n, de der. tal på formen 1, 2, ..., ( n– 1), hvorfra det er klart, at antallet af forskellige rester er endeligt, og derfor vil der, fra et bestemt trin, en rest vil blive gentaget, hvilket vil medføre gentagelse af decimalerne i kvotienten og den uendelige decimalbrøk bliver periodisk.

Yderligere to teoremer holder.

Sætning 2. Hvis udvidelsen af ​​nævneren af ​​en irreducerbar brøk til primfaktorer ikke inkluderer tallene 2 og 5, så vil når denne brøk omregnes til en uendelig decimalbrøk, fås en ren periodisk brøk, dvs. en brøk, hvis periode begynder umiddelbart efter decimalkommaet.

Sætning 3. Hvis udvidelsen af ​​nævneren inkluderer faktorer 2 (eller 5) eller begge, så vil den uendelige periodiske brøk blive blandet, dvs. mellem decimaltegnet og begyndelsen af ​​perioden vil der være flere cifre (førperiode), nemlig lige så mange som den største af eksponenterne for faktorerne 2 og 5.

Sætning 2 og 3 foreslås bevist af læseren uafhængigt.

28. Metoder til overgang fra uendelig periodisk
decimalbrøker til almindelige brøker

Lad en periodisk brøk opgives EN= 0,(4), dvs. 0,4444... .

Lad os formere os EN ved 10, får vi

10EN= 4.444…4…Þ 10 EN = 4 + 0,444….

De der. 10 EN = 4 + EN, fik vi en ligning for EN, efter at have løst det, får vi: 9 EN= 4 Þ EN = .

Vi bemærker, at 4 både er tælleren for den resulterende brøk og perioden for brøken 0,(4).

Herske omregning af en ren periodisk brøk til en almindelig brøk er formuleret således: Brøkens tæller er lig med perioden, og nævneren består af det samme antal ni, som der er cifre i brøkens periode.

Lad os nu bevise denne regel for en brøk, hvis periode består af P

EN= . Lad os formere os EN den 10 n, vi får:

10n × EN = = + 0, ;

10n × EN = + -en;

(10n – 1) EN = Þ a = =.

Så den tidligere formulerede regel er blevet bevist for enhver ren periodisk fraktion.

Lad os nu få en brøkdel EN= 0,605(43) – blandet periodisk. Lad os formere os EN med 10 med samme indikator, hvor mange cifre er der i førperioden, dvs. ved 10 3, får vi

10 3 × EN= 605 + 0,(43) Þ 10 3 × EN = 605 + = 605 + = = ,

de der. 10 3 × EN= .

Herske konvertering af en blandet periodisk brøk til en almindelig brøk er formuleret som følger: brøkens tæller er lig med forskellen mellem tallet skrevet med cifre før begyndelsen af ​​anden periode og tallet skrevet med cifre før begyndelsen af ​​første punktum , nævneren består af antallet af ni svarende til antallet af cifre i perioden og et sådant antal nuller, hvor mange cifre der er før starten af ​​den første periode.

Lad os nu bevise denne regel for en brøk, hvis forperiode består af P tal, og perioden er fra Til tal Lad en periodisk brøk opgives

Lad os betegne V= ; r= ,

Med= ; Derefter Med=i × 10k + r.

Lad os formere os EN med 10 med sådan en eksponent hvor mange cifre der er i forperioden, dvs. den 10 n, vi får:

EN× 10 n = + .

Under hensyntagen til notationerne introduceret ovenfor, skriver vi:

a× 10n= V+ .

Så reglen formuleret ovenfor er blevet bevist for enhver blandet periodisk fraktion.

Hver uendelig periodisk decimalbrøk er en form for at skrive et eller andet rationelt tal.

Af hensyn til sammenhængen betragtes nogle gange en endelig decimal også som en uendelig periodisk decimal med punktum "nul". For eksempel, 0,27 = 0,27000...; 10,567 = 10,567000...; 3 = 3.000... .

Nu bliver følgende udsagn sand: hvert rationelt tal kan (og på en unik måde) udtrykkes med en uendelig periodisk decimalbrøk, og hver uendelig periodisk decimalbrøk udtrykker præcis ét rationelt tal (periodiske decimalbrøker med en periode på 9 betragtes ikke ).

Det faktum, at mange kvadratrødder er irrationelle tal, slet ikke forringer deres betydning, især tallet $\sqrt2$ bruges meget ofte i forskellige tekniske og videnskabelige beregninger. Dette tal kan beregnes med den nøjagtighed, der kræves i hvert enkelt tilfælde. Du kan få dette tal til lige så mange decimaler, som du har tålmodighed til.

For eksempel kan tallet $\sqrt2$ bestemmes med en nøjagtighed på seks decimaler: $\sqrt2=1,414214$. Denne værdi er ikke meget forskellig fra den sande værdi, da $1,414214 \time 1,414214=2,000001237796$. Dette svar adskiller sig fra 2 med knap mere end en milliontedel. Derfor anses værdien af ​​$\sqrt2$ svarende til $1,414214$ for ganske acceptabel til at løse de fleste praktiske problemer. I de tilfælde, hvor der kræves større nøjagtighed, er det ikke svært at opnå så meget signifikante tal efter decimaltegnet, efter behov i dette tilfælde.

Men hvis du viser sjælden stædighed og forsøger at udvinde Kvadrat rod fra tallet $\sqrt2$, indtil du opnår det nøjagtige resultat, vil du aldrig afslutte dit arbejde. Det er en uendelig proces. Uanset hvor mange decimaler du får, vil der altid være et par flere tilbage.

Denne kendsgerning kan overraske dig lige så meget som at omdanne $\frac13$ til en uendelig decimal $0,333333333...$ og så videre i det uendelige, eller at gøre $\frac17$ til $0,142857142857142857...$ og så videre i det uendelige. Ved første øjekast kan det se ud til, at disse uendelige og irrationelle kvadratrødder er fænomener af samme orden, men det er slet ikke tilfældet. Disse uendelige brøker har jo en brøkækvivalent, mens $\sqrt2$ ikke har en sådan ækvivalent. Hvorfor præcis? Faktum er, at decimalækvivalenten af ​​$\frac13$ og $\frac17$, såvel som et uendeligt antal andre brøker, er periodiske uendelige brøker.

Samtidig er decimalækvivalenten af ​​$\sqrt2$ en ikke-periodisk brøk. Dette udsagn gælder også for ethvert irrationelt tal.

Problemet er, at enhver decimal, der er en tilnærmelse af kvadratroden af ​​2, er ikke-periodisk fraktion. Uanset hvor langt vi går i vores beregninger, vil enhver brøk, vi får, være ikke-periodisk.

Forestil dig en brøk med et stort antal ikke-periodiske cifre efter decimalkommaet. Hvis pludselig efter det millionte ciffer hele sekvensen af ​​decimaler gentages, betyder det decimal- periodisk og der er en ækvivalent for det i form af et forhold mellem heltal. Hvis en brøk med et stort antal (milliarder eller millioner) af ikke-periodiske decimaler på et tidspunkt har en endeløs række af gentagne cifre, for eksempel $...55555555555...$, betyder det også, at denne brøk er periodisk og der er en ækvivalent i form af et forhold mellem heltal tal.

Men i tilfælde af, at deres decimalækvivalenter er fuldstændig ikke-periodiske og kan ikke blive periodiske.

Selvfølgelig kan du stille følgende spørgsmål: "Hvem kan vide og sige med sikkerhed, hvad der sker med en brøkdel, f.eks. efter trillionstegnet? Hvem kan garantere, at en brøkdel ikke bliver periodisk?” Der er måder at endegyldigt bevise, at irrationelle tal er ikke-periodiske, men sådanne beviser kræver kompleks matematik. Men hvis det pludselig viste sig, at det irrationelle tal bliver periodisk fraktion, ville dette betyde et fuldstændigt sammenbrud af grundlaget for matematiske videnskaber. Og det er faktisk næppe muligt. Det er ikke nemt for dig at smide det fra side til side på dine knoer, der er en kompleks matematisk teori her.

Husk, hvordan jeg i den allerførste lektion om decimaler sagde, at der er numeriske brøker, der ikke kan repræsenteres som decimaler (se lektion "Decimaler")? Vi lærte også, hvordan man faktoriserer nævnerne af brøker for at se, om der var andre tal end 2 og 5.

Så: Jeg løj. Og i dag vil vi lære, hvordan man konverterer absolut enhver numerisk brøk til en decimal. Samtidig vil vi stifte bekendtskab med en hel klasse af brøker med en uendelig betydelig del.

En periodisk decimal er enhver decimal, der:

1. Den betydelige del består af et uendeligt antal cifre;
2. Med visse intervaller gentages tallene i den signifikante del.

Det sæt af gentagne cifre, der udgør den signifikante del, kaldes den periodiske del af en brøk, og antallet af cifre i dette sæt kaldes perioden for brøken. Det resterende segment af den signifikante del, som ikke gentages, kaldes den ikke-periodiske del.

Da der er mange definitioner, er det værd at overveje flere af disse fraktioner i detaljer:

Denne fraktion optræder oftest i problemer. Ikke-periodisk del: 0; periodisk del: 3; periodelængde: 1.

Ikke-periodisk del: 0,58; periodisk del: 3; periodelængde: igen 1.

Ikke-periodisk del: 1; periodisk del: 54; periodelængde: 2.

Ikke-periodisk del: 0; periodisk del: 641025; periodelængde: 6. For nemheds skyld er gentagne dele adskilt fra hinanden med et mellemrum - dette er ikke nødvendigt i denne løsning.

Ikke-periodisk del: 3066; periodisk del: 6; periodelængde: 1.

Som du kan se, er definitionen af ​​en periodisk brøk baseret på konceptet væsentlig del af et antal. Derfor, hvis du har glemt, hvad det er, anbefaler jeg at gentage det - se lektionen "".

Overgang til periodisk decimalbrøk

Betragt en almindelig brøkdel af formen a /b. Lad os faktorisere dens nævner til primfaktorer. Der er to muligheder:

1. Udvidelsen indeholder kun faktor 2 og 5. Disse brøker konverteres nemt til decimaler - se lektionen "Decimaler". Vi er ikke interesserede i sådanne mennesker;
2. Der er noget andet i udvidelsen end 2 og 5. I dette tilfælde kan brøken ikke repræsenteres som en decimal, men den kan konverteres til en periodisk decimal.

For at definere en periodisk decimalbrøk skal du finde dens periodiske og ikke-periodiske dele. Hvordan? Konverter brøken til en uegen brøk, og divider derefter tælleren med nævneren ved hjælp af et hjørne.

Følgende vil ske:

1. Deles først hele delen , hvis det findes;
2. Der kan være flere tal efter decimalkommaet;
3. Efter et stykke tid begynder tallene gentage.

Det er alt! Gentagende tal efter decimaltegnet er angivet med den periodiske del, og dem foran er angivet med den ikke-periodiske del.

Opgave. Konverter almindelige brøker til periodiske decimaler:

Alle brøker uden en heltal, så vi dividerer simpelthen tælleren med nævneren med et "hjørne":

Som du kan se, gentages resten. Lad os skrive brøken i den “korrekte” form: 1,733 ... = 1,7(3).

Resultatet er en brøk: 0,5833 ... = 0,58(3).

Vi skriver det i normal form: 4,0909 ... = 4,(09).

Vi får brøken: 0,4141 ... = 0,(41).

Overgang fra periodisk decimalbrøk til almindelig brøk

Betragt den periodiske decimalbrøk X = abc (a 1 b 1 c 1). Det er påkrævet at konvertere det til en klassisk "to-etagers". For at gøre dette skal du følge fire enkle trin:

1. Find perioden for brøken, dvs. tæl hvor mange cifre der er i den periodiske del. Lad dette være tallet k;
2. Find værdien af ​​udtrykket X · 10 k. Dette svarer til at flytte decimaltegnet til højre en hel periode - se lektionen "Multiplikere og dividere decimaler";
3. Det oprindelige udtryk skal trækkes fra det resulterende tal. I dette tilfælde er den periodiske del "brændt" og forbliver almindelig brøk;
4. Find X i den resulterende ligning. Vi konverterer alle decimalbrøker til almindelige brøker.

Opgave. Konverter tallet til en almindelig uægte brøk:

• 9,(6);
• 32,(39);
• 0,30(5);
• 0,(2475).

Vi arbejder med den første brøk: X = 9,(6) = 9,666 ...

Parenteserne indeholder kun et ciffer, så perioden er k = 1. Dernæst gange vi denne brøk med 10 k = 10 1 = 10. Vi har:

10X = 10 9,6666... ​​​​= 96,666...

Træk den oprindelige brøk fra og løs ligningen:

10X - X = 96,666 ... - 9,666 ... = 96 - 9 = 87;
9X = 87;
X = 87/9 = 29/3.

Lad os nu se på den anden fraktion. Så X = 32,(39) = 32,393939...

Periode k = 2, så gang alt med 10 k = 10 2 = 100:

100X = 100 · 32,393939 ... = 3239,3939 ...

Træk den oprindelige brøk fra igen og løs ligningen:

100X − X = 3239,3939 ... − 32,3939 ... = 3239 − 32 = 3207;
99X = 3207;
X = 3207/99 = 1069/33.

Lad os gå videre til den tredje brøk: X = 0,30(5) = 0,30555... Diagrammet er det samme, så jeg vil bare give beregningerne:

Periode k = 1 ⇒ gang alt med 10 k = 10 1 = 10;

10X = 10 0,30555... = 3,05555...
10X - X = 3,0555 ... - 0,305555 ... = 2,75 = 11/4;
9X = 11/4;
X = (11/4): 9 = 11/36.

Til sidst den sidste brøk: X = 0,(2475) = 0,2475 2475... Igen er de periodiske dele for nemheds skyld adskilt fra hinanden med mellemrum. Vi har:

k = 4 ⇒ 10 k = 104 = 10.000;
10.000X = 10.000 0,2475 2475 = 2475,2475 ...
10.000X − X = 2475,2475 ... − 0,2475 2475 ... = 2475;
9999X = 2475;
X = 2475: 9999 = 25/101.

Denne artikel handler om decimaler. Her vil vi forstå decimalnotationen af ​​brøktal, introducere begrebet decimalbrøk og give eksempler på decimalbrøker. Dernæst vil vi tale om cifrene i decimalbrøker og give navnene på cifrene. Efter dette vil vi fokusere på uendelige decimalbrøker, lad os tale om periodiske og ikke-periodiske brøker. Dernæst lister vi de grundlæggende operationer med decimalbrøker. Afslutningsvis, lad os bestemme placeringen af ​​decimalbrøker på koordinatstrålen.

Sidenavigation.

Decimalnotation af et brøktal

Læsning af decimaler

Lad os sige et par ord om reglerne for læsning af decimalbrøker.

Decimalbrøker, som svarer til egentlige almindelige brøker, læses på samme måde som disse almindelige brøker, kun "nul heltal" tilføjes først. For eksempel svarer decimalbrøken 0,12 til den almindelige brøk 12/100 (læs "tolv hundrededele"), derfor læses 0,12 som "nul komma tolv hundrededele".

Decimalbrøker, der svarer til blandede tal, læses nøjagtigt det samme som disse blandede tal. For eksempel svarer decimalbrøken 56,002 til blandet antal, derfor læses decimalbrøken 56,002 som "seksoghalvtreds komma to tusindedele."

Pladser i decimaler

Ved at skrive decimalbrøker, såvel som på skrift naturlige tal, betydningen af ​​hvert ciffer afhænger af dets position. Faktisk betyder tallet 3 i decimalbrøken 0,3 tre tiendedele, i decimalbrøken 0,0003 - tre ti tusindedele, og i decimalbrøken 30.000,152 - tre titusinder. Så vi kan tale om decimaler, samt om cifrene i naturlige tal.

Navnene på cifrene i decimalbrøken op til decimalkommaet falder fuldstændig sammen med cifrenes navne i naturlige tal. Og navnene på decimalerne efter decimaltegnet kan ses fra følgende tabel.

For eksempel i decimalbrøken 37,051 er cifferet 3 på tierpladsen, 7 er på enhedspladsen, 0 er på tiendedelepladsen, 5 er på hundrededelepladsen, og 1 er på tusindedelepladsen.

Steder i decimalbrøker er også forskellige i forrang. Hvis vi ved at skrive en decimalbrøk flytter fra ciffer til ciffer fra venstre mod højre, så flytter vi fra seniorer Til junior rækker. For eksempel er hundredepladsen ældre end tiendedelepladsen, og millionpladsen er lavere end hundrededelspladsen. I en given sidste decimalbrøk kan vi tale om de store og små cifre. For eksempel i decimalbrøk 604,9387 senior (højest) stedet er hundredvis sted, og junior (laveste)- ti tusindedele ciffer.

For decimalbrøker sker ekspansion til cifre. Det svarer til ekspansion med cifre i naturlige tal. For eksempel er udvidelsen til decimaler på 45,6072 som følger: 45,6072=40+5+0,6+0,007+0,0002. Og egenskaberne ved addition fra dekomponeringen af ​​en decimalbrøk til cifre giver dig mulighed for at gå videre til andre repræsentationer af denne decimalbrøk, for eksempel 45,6072=45+0,6072, eller 45,6072=40,6+5,007+0,0002, eller 45,45700= 45,6072=45+0,6072. 0,6.

Slutdecimaler

Indtil nu har vi kun talt om decimalbrøker, i hvis notation der er et endeligt antal cifre efter decimaltegnet. Sådanne brøker kaldes endelige decimaler.

Definition.

Slutdecimaler- Det er decimalbrøker, hvis poster indeholder et begrænset antal tegn (cifre).

Her er nogle eksempler på endelige decimalbrøker: 0,317, 3,5, 51,1020304958, 230,032,45.

Imidlertid kan ikke hver brøk repræsenteres som en sidste decimal. For eksempel kan brøken 5/13 ikke erstattes af en lige brøk med en af ​​nævnerne 10, 100, ..., og kan derfor ikke konverteres til en endelig decimalbrøk. Vi vil tale mere om dette i teoriafsnittet, omregning af almindelige brøker til decimaler.

Uendelige decimaler: Periodiske brøker og ikke-periodiske brøker

Ved at skrive en decimalbrøk efter decimaltegnet kan man antage muligheden for et uendeligt antal cifre. I dette tilfælde vil vi komme til at overveje de såkaldte uendelige decimalbrøker.

Definition.

Uendelige decimaler- Det er decimalbrøker, som indeholder et uendeligt antal cifre.

Det er tydeligt, at vi ikke kan nedskrive uendelige decimalbrøker i fuld form, så i deres registrering begrænser vi os til kun et bestemt endeligt antal cifre efter decimaltegnet og sætter en ellipse, der angiver en uendeligt fortsættende talrække. Her er nogle eksempler på uendelige decimalbrøker: 0,143940932…, 3,1415935432…, 153,02003004005…, 2,111111111…, 69,74152152152….

Hvis du ser nøje på de sidste to uendelige decimalbrøker, så i brøken 2.111111111... er det endeløst gentagende tal 1 tydeligt synligt, og i brøken 69.74152152152..., startende fra tredje decimal, en gentagende gruppe af tal 1, 5 og 2 er tydeligt synlige. Sådanne uendelige decimalbrøker kaldes periodiske.

Definition.

Periodiske decimaler(eller simpelthen periodiske brøker) er endeløse decimalbrøker, i hvis optagelse, startende fra en bestemt decimal, et eller andet antal eller gruppe af tal gentages uendeligt, hvilket kaldes periode af brøken.

For eksempel er perioden for den periodiske brøk 2.111111111... cifferet 1, og perioden for brøken 69.74152152152... er en gruppe af cifre med formen 152.

For uendelige periodiske decimalbrøker anvendes en særlig form for notation. For kortheds skyld blev vi enige om at skrive perioden ned én gang, og sætte den i parentes. For eksempel skrives den periodiske brøk 2.111111111... som 2,(1) , og den periodiske brøk 69.74152152152... skrives som 69.74(152) .

Det er værd at bemærke, at forskellige perioder kan angives for den samme periodiske decimalbrøk. For eksempel kan den periodiske decimalbrøk 0,73333... betragtes som en brøk 0,7(3) med en periode på 3, og også som en brøk 0,7(33) med en periode på 33, og så videre 0,7(333), 0,7 (3333), ... Du kan også se på den periodiske brøk 0,73333 ... sådan her: 0,733(3), eller sådan her 0,73(333) osv. Her, for at undgå tvetydighed og uoverensstemmelser, er vi enige om at betragte som perioden af ​​en decimalbrøk den korteste af alle mulige sekvenser af gentagne cifre og begynde fra den nærmeste position til decimalkommaet. Det vil sige, at perioden for decimalbrøken 0,73333... vil blive betragtet som en sekvens af et ciffer 3, og periodiciteten starter fra den anden position efter decimalkommaet, det vil sige 0,73333...=0,7(3). Et andet eksempel: den periodiske brøk 4,7412121212... har en periode på 12, periodiciteten starter fra det tredje ciffer efter decimalkommaet, det vil sige 4,7412121212...=4,74(12).

Uendelige decimale periodiske brøker opnås ved at konvertere almindelige brøker, hvis nævnere indeholder andre primfaktorer end 2 og 5, til decimalbrøker.

Her er det værd at nævne periodiske brøker med en periode på 9. Lad os give eksempler på sådanne brøker: 6.43(9) , 27,(9) . Disse brøker er en anden notation for periodiske brøker med periode 0, og de erstattes normalt af periodiske brøker med periode 0. For at gøre dette erstattes periode 9 med periode 0, og værdien af ​​det næsthøjeste ciffer øges med én. For eksempel erstattes en brøk med periode 9 af formen 7.24(9) med en periodisk brøk med periode 0 af formen 7.25(0) eller en lige stor sidste decimalbrøk 7.25. Et andet eksempel: 4,(9)=5,(0)=5. Ligheden af ​​en brøk med periode 9 og dens tilsvarende brøk med periode 0 kan let etableres efter at have erstattet disse decimalbrøker med lige store brøker.

Lad os endelig se nærmere på uendelige decimalbrøker, som ikke indeholder en endeløst gentagende sekvens af cifre. De kaldes ikke-periodiske.

Definition.

Ikke tilbagevendende decimaler(eller simpelthen ikke-periodiske brøker) er uendelige decimalbrøker, der ikke har nogen punktum.

Nogle gange har ikke-periodiske brøker en form, der ligner den for periodiske brøker, for eksempel er 8.02002000200002... en ikke-periodisk brøk. I disse tilfælde skal du være særlig opmærksom på at bemærke forskellen.

Bemærk, at ikke-periodiske brøker ikke konverteres til almindelige brøker, der repræsenterer irrationelle tal.

Operationer med decimaler

En af operationerne med decimalbrøker er sammenligning, og de fire grundlæggende aritmetiske funktioner er også defineret operationer med decimaler: addition, subtraktion, multiplikation og division. Lad os overveje hver af handlingerne separat med decimalbrøker.

Sammenligning af decimaler hovedsageligt baseret på sammenligning af almindelige brøker svarende til de decimalbrøker, der sammenlignes. At konvertere decimalbrøker til almindelige brøker er dog en ret arbejdskrævende proces, og uendelige ikke-periodiske brøker kan ikke repræsenteres som en almindelig brøk, så det er praktisk at bruge en stedsmæssig sammenligning af decimalbrøker. Stedsmæssig sammenligning af decimalbrøker svarer til sammenligning af naturlige tal. For mere detaljeret information anbefaler vi at studere artiklen: sammenligning af decimalbrøker, regler, eksempler, løsninger.

Lad os gå videre til næste trin - gange decimaler. Multiplikation af endelige decimalbrøker udføres på samme måde som subtraktion af decimalbrøker, regler, eksempler, løsninger til multiplikation med en kolonne af naturlige tal. Ved periodiske brøker kan multiplikation reduceres til multiplikation af almindelige brøker. Til gengæld reduceres multiplikationen af ​​uendelige ikke-periodiske decimalbrøker efter deres afrunding til multiplikationen af ​​endelige decimalbrøker. Vi anbefaler til yderligere undersøgelse af materialet i artiklen: multiplikation af decimalbrøker, regler, eksempler, løsninger.

Decimaler på en koordinatstråle

Der er en en-til-en overensstemmelse mellem point og decimaler.

Lad os finde ud af, hvordan punkter på koordinatstrålen er konstrueret, der svarer til en given decimalbrøk.

Vi kan erstatte endelige decimalbrøker og uendelige periodiske decimalbrøker med lige store brøker og så konstruere de tilsvarende almindelige brøker på koordinatstrålen. For eksempel svarer decimalbrøken 1,4 til den almindelige brøk 14/10, så punktet med koordinat 1,4 fjernes fra origo i positiv retning med 14 segmenter svarende til en tiendedel af et enhedssegment.

Decimalbrøker kan markeres på en koordinatstråle, startende fra dekomponeringen af ​​en given decimalbrøk til cifre. Lad os f.eks. bygge et punkt med koordinat 16.3007, da 16.3007=16+0.3+0.0007, derefter i dette punkt du kan komme dertil ved sekventielt at fjerne 16 enhedssegmenter fra oprindelsen, 3 segmenter, hvis længde er lig med en tiendedel af et enhedssegment, og 7 segmenter, hvis længde er lig med en ti tusindedel af et enhedssegment.

Denne måde at bygge på decimaltal på koordinatstrålen giver dig mulighed for at komme så tæt som du vil på det punkt, der svarer til den uendelige decimalbrøk.

Nogle gange er det muligt nøjagtigt at plotte det punkt, der svarer til en uendelig decimalbrøk. For eksempel, , så svarer denne uendelige decimalbrøk 1,41421... til et punkt koordinatstråle, fjernet fra origo med længden af ​​diagonalen af ​​en firkant med en side af 1 enhedssegment.

Den omvendte proces med at få decimalbrøken svarende til et givet punkt på en koordinatstråle er den såkaldte decimalmåling af et segment. Lad os finde ud af, hvordan det gøres.

Lad vores opgave være at komme fra origo til et givet punkt på koordinatlinjen (eller uendeligt nærme os det, hvis vi ikke kan komme til det). Med decimalmåling af et segment kan vi sekventielt fjerne et hvilket som helst antal enhedssegmenter fra oprindelsen, derefter segmenter, hvis længde er lig med en tiendedel af en enhed, derefter segmenter, hvis længde er lig med en hundrededel af en enhed, osv. Ved at registrere antallet af segmenter af hver aflagt længde får vi den decimalbrøk, der svarer til et givet punkt på koordinatstrålen.

For at komme til punkt M i ovenstående figur skal du for eksempel afsætte 1 enhedssegment og 4 segmenter, hvis længde er lig med en tiendedel af en enhed. Punkt M svarer således til decimalbrøken 1,4.

Det er tydeligt, at koordinatstrålens punkter, som ikke kan nås i processen med decimalmåling, svarer til uendelige decimalbrøker.

Bibliografi.

• Matematik: lærebog for 5. klasse. almen uddannelse institutioner / N. Ya Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21. udg., slettet. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 s.: ill. ISBN 5-346-00699-0.
• Matematik. 6. klasse: pædagogisk. til almen uddannelse institutioner / [N. Ja. Vilenkin og andre]. - 22. udg., rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 s.: ill. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Algebra: lærebog for 8. klasse. almen uddannelse institutioner / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; udg. S. A. Telyakovsky. - 16. udg. - M.: Uddannelse, 2008. - 271 s. : syg. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematik (en manual for ansøgere til tekniske skoler): Proc. godtgørelse.- M.; Højere skole, 1984.-351 s., ill.