Så lim. Bank af færdige opgaver

Der er sådan noget i matematik som grænsen for en funktion. For at forstå, hvordan man finder grænser, skal du huske definitionen af grænsen for en funktion: en funktion f (x) har en grænse L i et punkt x = a if for hver række af værdier af x, der konvergerer til punkt a, rækkefølgen af værdier af y nærmer sig:

L lim f(x) = L

Begreb og egenskaber af grænser

Hvad en grænse er, kan forstås ud fra et eksempel. Antag at vi har funktionen y=1/x. Hvis vi konsekvent øger værdien af x og ser på hvad y er lig med, vil vi få stadigt mere faldende værdier: ved x=10000 y=1/10000; ved x=1000000 y=1/1000000. De der. jo mere x, jo mindre y. Hvis x=∞, vil y være så lille, at den kan betragtes som lig med 0. Således er grænsen for funktionen y=1/x, da x har tendens til ∞, lig med 0. Det skrives således:

lim1/х=0

Grænsen for en funktion har flere egenskaber, som du skal huske: dette vil i høj grad lette løsningen af problemer med at finde grænser:

Beløbsgrænse lig med summen grænser: lim(x+y)=lim x+lim y
Produktgrænse lig med produktet grænser: lim(xy)=lim x*lim y
Grænsen for kvotienten er lig med kvotienten af grænserne: lim(x/y)=lim x/lim y
Den konstante faktor tages ud af grænsetegnet: lim(Cx)=C lim x

Funktionen y=1/x, hvor x →∞, har en grænse lig med nul for x→0, grænsen er lig med ∞.

lim (sin x)/x=1 x→0

Vi fandt ud af de grundlæggende elementære funktioner.

Når du flytter til funktioner mere kompleks type vi vil helt sikkert støde på udseendet af udtryk, hvis betydning ikke er defineret. Sådanne udtryk kaldes usikkerheder.

Lad os liste alt hovedtyper af usikkerheder: nul divideret med nul (0 med 0), uendeligt divideret med uendeligt, nul ganget med uendeligt, uendeligt minus uendeligt, en i uendelig potens, nul i nul, uendelig i nul.

ALLE ANDRE UDTALELSER FOR USIKKERHED ER IKKE OG TAR EN HELT SPECIFIK ENDELIG ELLER UENDELIG VÆRDI.

Afdække usikkerhed tillader:

forenkling af en funktions form (omdannelse af et udtryk ved hjælp af forkortede multiplikationsformler, trigonometriske formler, multiplikation med konjugerede udtryk efterfulgt af reduktion osv.);
brug af bemærkelsesværdige grænser;
anvendelse af L'Hopitals regel;
ved at erstatte et infinitesimalt udtryk med dets ækvivalent (ved at bruge en tabel med ækvivalente infinitesimaler).

Lad os gruppere usikkerheden i usikkerhedstabel. For hver type usikkerhed knytter vi en metode til dens offentliggørelse (metode til at finde grænsen).

Denne tabel vil sammen med tabellen over grænser for grundlæggende elementære funktioner være dine vigtigste værktøjer til at finde eventuelle grænser.

Lad os give et par eksempler, når alt fungerer umiddelbart efter at have erstattet værdien, og der ikke opstår usikkerhed.

Eksempel.

Beregn grænse

Løsning.

Erstat værdien:

Og vi fik straks svar.

Svar:

Eksempel.

Beregn grænse

Løsning.

Vi erstatter værdien x=0 i basis af vores eksponentielle potensfunktion:

Det vil sige, at grænsen kan omskrives som

Lad os nu tage et kig på indikatoren. Dette er en power-funktion. Lad os henvise til tabellen over grænser for magt funktioner med en negativ indikator. Derfra har vi Og derfor kan vi skrive .

Baseret på dette vil vores grænse blive skrevet som:

Vi vender os igen til bordet med grænser, men for eksponentielle funktioner med en base større end én, hvorfra vi har:

Svar:

Lad os se på eksempler med detaljerede løsninger afdækning af usikkerheder ved at transformere udtryk.

Meget ofte skal udtrykket under grænsetegnet omdannes lidt for at slippe af med usikkerheder.

Eksempel.

Beregn grænse

Løsning.

Erstat værdien:

Vi er nået frem til usikkerhed. Vi ser på usikkerhedstabellen for at vælge en løsningsmetode. Lad os prøve at forenkle udtrykket.

Svar:

Eksempel.

Beregn grænse

Løsning.

Erstat værdien:

Vi kom til usikkerhed (0 til 0). Vi ser på usikkerhedstabellen for at vælge en løsningsmetode og forsøger at forenkle udtrykket. Lad os gange både tælleren og nævneren med udtrykket konjugeret med nævneren.

For nævneren vil det konjugerede udtryk være

Vi gangede nævneren, så vi kunne anvende den forkortede multiplikationsformel - kvadratforskellen og derefter reducere det resulterende udtryk.

Efter en række transformationer forsvandt usikkerheden.

Svar:

KOMMENTAR: For grænser af denne type er metoden til multiplikation med konjugerede udtryk typisk, så brug den gerne.

Eksempel.

Beregn grænse

Løsning.

Erstat værdien:

Vi er nået frem til usikkerhed. Vi ser på usikkerhedstabellen for at vælge en løsningsmetode og forsøger at forenkle udtrykket. Da både tælleren og nævneren forsvinder ved x = 1, så hvis disse udtryk kan reduceres (x-1), vil usikkerheden forsvinde.

Lad os faktorisere tælleren:

Lad os faktorisere nævneren:

Vores grænse vil tage formen:

Efter transformationen blev usikkerheden afsløret.

Svar:

Lad os betragte grænser ved uendelighed fra magtudtryk. Hvis eksponenterne for potensudtrykket er positive, så er grænsen ved uendelig uendelig. Desuden er den største grad af primær betydning, resten kan kasseres.

Eksempel.

Hvis udtrykket under grænsetegnet er en brøk, og både tælleren og nævneren er potensudtryk (m er tællerens potens, og n er nævnerens potens), så når en usikkerhed på formen uendeligt til uendeligt opstår i dette tilfælde usikkerhed afsløres dividere både tæller og nævner med

Eksempel.

Beregn grænse

Denne online matematikberegner vil hjælpe dig, hvis du har brug for det beregne grænsen for en funktion. Program løsningsgrænser giver ikke kun svaret på problemet, det fører detaljeret løsning med forklaringer, dvs. viser grænseberegningsprocessen.

Dette program kan være nyttigt for gymnasieelever gymnasier som forberedelse til tests og eksamener, når de tester viden før Unified State-eksamenen, for forældre til at kontrollere løsningen af mange problemer i matematik og algebra. Eller måske er det for dyrt for dig at hyre en vejleder eller købe nye lærebøger? Eller vil du bare gerne have det gjort så hurtigt som muligt? lektier i matematik eller algebra? I dette tilfælde kan du også bruge vores programmer med detaljerede løsninger.

På denne måde kan du gennemføre din egen træning og/eller din egen træning. yngre brødre eller søstre, mens uddannelsesniveauet inden for problemløsningsområdet stiger.

Indtast et funktionsudtryk
Beregn grænse

Det blev opdaget, at nogle scripts, der er nødvendige for at løse dette problem, ikke blev indlæst, og programmet virker muligvis ikke.
Du har muligvis AdBlock aktiveret.
I dette tilfælde skal du deaktivere den og opdatere siden.

JavaScript er deaktiveret i din browser.
For at løsningen vises, skal du aktivere JavaScript.
Her er instruktioner til, hvordan du aktiverer JavaScript i din browser.

Fordi Der er mange mennesker, der er villige til at løse problemet, din anmodning er blevet sat i kø.
Om få sekunder vises løsningen nedenfor.
Vent venligst sek...

hvis du bemærket en fejl i løsningen, så kan du skrive om dette i Feedbackformularen.
Glem ikke angive hvilken opgave du bestemmer hvad indtast i felterne.

Vores spil, puslespil, emulatorer:

Lidt teori.

Funktionens grænse ved x->x 0

Lad funktionen f(x) være defineret på et sæt X og lad punktet $x_0 \i X$ eller $x_0 \ikke i X$

Lad os tage fra X en række af punkter forskellig fra x 0:
x 1 , x 2 , x 3 , ..., x n , ... (1)
konvergerer til x*. Funktionsværdierne i punkterne i denne sekvens danner også en numerisk sekvens
f(x 1), f(x 2), f(x 3), ..., f(x n), ... (2)
og man kan rejse spørgsmålet om eksistensen af dens grænse.

Definition. Tallet A kaldes grænsen for funktionen f(x) i punktet x = x 0 (eller ved x -> x 0), hvis for en hvilken som helst sekvens (1) af værdier af argumentet x forskellig fra x 0 konvergerer til x 0, konvergerer den tilsvarende sekvens (2) af værdifunktion til nummer A.

$$ \lim_(x\to x_0)( f(x)) = A $$

Funktionen f(x) kan kun have én grænse ved punktet x 0. Dette følger af, at rækkefølgen
(f(x n)) har kun én grænse.

Der er en anden definition af grænsen for en funktion.

Definition Tallet A kaldes grænsen for funktionen f(x) i punktet x = x 0, hvis der for et hvilket som helst tal $\varepsilon > 0$ er et tal $\delta > 0$, således at for alle \ (x \i X, \; x \neq x_0 \), der opfylder uligheden $|x-x_0| Ved hjælp af logiske symboler kan denne definition skrives som
\((\foral \varepsilon > 0) (\eksisterer \delta > 0) (\foral x \i X, \; x \neq x_0, \; |x-x_0| Bemærk, at ulighederne \(x \neq x_0 , \; |x-x_0| \(\varepsilon - \delta $".
Disse to definitioner af grænsen for en funktion er ækvivalente, og du kan bruge en af dem afhængigt af, hvilken der er mere praktisk til at løse et bestemt problem.

Bemærk, at definitionen af grænsen for en funktion "i sekvenssproget" også kaldes definitionen af grænsen for en funktion ifølge Heine, og definitionen af grænsen for en funktion "i sproget $\varepsilon - \delta $” kaldes også definitionen af grænsen for en funktion ifølge Cauchy.

Funktionens grænse ved x->x 0 - og ved x->x 0 +

I det følgende vil vi bruge begreberne om ensidige grænser for en funktion, som er defineret som følger.

Definition Tallet A kaldes den højre (venstre) grænse for funktionen f(x) i punktet x 0, hvis for en sekvens (1), der konvergerer til x 0, hvis elementer x n er større (mindre end) x 0, tilsvarende sekvens (2) konvergerer til A.

Symbolsk er det skrevet sådan:
$$ \lim_(x \to x_0+) f(x) = A \; \left(\lim_(x \to x_0-) f(x) = A \right) $$

Vi kan give en tilsvarende definition af ensidige grænser for en funktion "i sproget $\varepsilon - \delta $":

Definition et tal A kaldes den højre (venstre) grænse for funktionen f(x) i punktet x 0, hvis der for nogen $\varepsilon > 0$ eksisterer $\delta > 0$, således at for alle x opfylder ulighederne \(x_0 Symbolske indgange:

\((\foralt \varepsilon > 0) (\eksisterer \delta > 0) (\forall x, \; x_0

Grænse for en funktion ved uendelig:
|f(x) - a|< ε при |x| >N

Bestemmelse af Cauchy-grænsen
Lad funktionen f (x) er defineret i et bestemt område af punktet ved uendelig, med |x| > Tallet a kaldes grænsen for funktionen f (x) med x tilbøjelig til uendelig (), hvis nogen, uanset hvor lille positivt tal ε > 0 , er der et tal N ε >K, afhængig af ε, som for alle x, |x| > N ε, funktionsværdierne tilhører ε-kvarteret til punkt a:
|f (x) - a|< ε .
Grænsen for en funktion ved uendelig er angivet som følger:
.
Eller kl.

Følgende notation bruges også ofte:
.

Lad os skrive denne definition ved hjælp af de logiske symboler på eksistens og universalitet:
.
Dette forudsætter, at værdierne tilhører funktionens domæne.

Ensidige grænser

Venstre grænse for en funktion ved uendelig:
|f(x) - a|< ε при x < -N

Der er ofte tilfælde, hvor en funktion kun er defineret for positiv eller negative værdier variabel x (mere præcist i nærheden af punktet eller ). Også grænserne ved uendelig for positive og negative værdier af x kan have forskellige betydninger. Derefter bruges ensidige grænser.

Venstre grænse ved uendelig eller grænsen som x har en tendens til minus uendelig () er defineret som følger:
.
Højre grænse i det uendelige eller grænsen som x har en tendens til plus uendelig ():
.
Ensidige grænser ved uendelig betegnes ofte som følger:
; .

Uendelig grænse for en funktion ved uendelig

Uendelig grænse for en funktion ved uendelig:
|f(x)| > M for |x| > N

Definition af den uendelige grænse ifølge Cauchy
Lad funktionen f (x) er defineret i et bestemt område af punktet ved uendelig, med |x| > K, hvor K er et positivt tal. Funktionsgrænse f (x) da x har en tendens til uendelig (), er lig med uendelig, hvis for nogen, vilkårligt stort antal M > 0 , der er sådan et nummer N M >K, afhængig af M, som for alle x, |x| > N M , funktionsværdierne hører til området for punktet ved uendelig:
|f (x) | >M.
Den uendelige grænse, da x har en tendens til uendelig, betegnes som følger:
.
Eller kl.

Ved at bruge de logiske symboler på eksistens og universalitet kan definitionen af en funktions uendelige grænse skrives som følger:
.

På samme måde introduceres definitioner af uendelige grænser for visse tegn, der er lig med og:
.
.

Definitioner af ensidige grænser i det uendelige.
Venstre grænser.
.
.
.
Retlige grænser.
.
.
.

Bestemmelse af grænsen for en funktion ifølge Heine

Lad funktionen f (x) defineret hos nogle naboskab til et punkt i det uendelige x 0 , hvor eller eller .
Tallet a (endeligt eller uendeligt) kaldes grænsen for funktionen f (x) i punkt x 0 :
,
hvis for enhver sekvens (xn), konvergerende til x 0 : ,
hvis elementer hører til kvarteret, sekvens (f(xn)) konvergerer til en:
.

Hvis vi tager som et kvarter naboskabet til et usigneret punkt ved uendelig: , så får vi definitionen af grænsen for en funktion, da x har en tendens til uendelig, . Hvis vi tager et venstre- eller højresidet naboskab af punktet x ved uendelig 0 : eller , så får vi definitionen af grænsen, da x har en tendens til henholdsvis minus uendeligt og plus uendeligt.

Definitioner af grænsen ifølge Heine og Cauchy tilsvarende.

Eksempler

Eksempel 1

Bruger Cauchys definition til at vise det
.

Lad os introducere følgende notation:
.
Lad os finde definitionsdomænet for funktionen. Da brøkens tæller og nævner er polynomier, er funktionen defineret for alle x undtagen de punkter, hvor nævneren forsvinder. Lad os finde disse punkter. Lad os bestemme andengradsligning. ;
.
Ligningens rødder:
; .
Siden , dengang og .
Derfor er funktionen defineret ved . Det vil vi bruge senere.

Lad os nedskrive definitionen af den endelige grænse for en funktion ved uendelig ifølge Cauchy:
.
Lad os forvandle forskellen:
.
Divider tæller og nævner med og gang med -1 :
.

Lad .
Derefter
;
;
;
.

Så vi fandt ud af, at når,
.
.
Den følger det
kl , og .

Da du altid kan øge det, lad os tage . Så for enhver,
kl.
Det betyder at .

Eksempel 2

Lad .
Brug Cauchy-definitionen af en grænse, og vis, at:
1) ;
2) .

1) Løsning som x har en tendens til minus uendelig

Da er funktionen defineret for alle x.
Lad os nedskrive definitionen af grænsen for en funktion lig med minus uendeligt:
.

Lad .
;
.

Så vi fandt ud af, at når,
.
Derefter
.
Indtast positive tal og :
.

Det følger heraf, at for ethvert positivt tal M er der et tal, så for ,

Det betyder at .

2) Løsning som x har en tendens til plus uendelig
.
Lad os omdanne den oprindelige funktion. Multiplicer brøkens tæller og nævner med og anvend kvadratforskellens formel:

.
Vi har:
.

Lad os nedskrive definitionen af funktionens højre grænse ved:
Lad os forvandle forskellen:
.
Lad os introducere notationen:.
.

Gang tælleren og nævneren med:
.
Derefter
;
.

Så vi fandt ud af, at når,
.
Derefter
.
Den følger det
Lade

kl og .
.

Da dette gælder for ethvert positivt tal, altså
Referencer: CM. Nikolsky. Godt matematisk analyse