Der er tre muligheder for at løse dette problem. Den første er, hvis det under problemets betingelser er givet, at benene er lige store (faktisk har vi en ret ligebenet trekant). Den anden er, hvis en eller anden vinkel stadig er givet (bortset fra 45%-vinklen, så har vi den samme ligebenede trekant og vender tilbage til den første mulighed). Og den tredje - når et af benene er kendt. Lad os overveje disse muligheder mere detaljeret.

Sådan finder du lige ben med en kendt hypotenuse

• det første ben (lad os betegne det med bogstavet "a") er lig med det andet ben ((lad os betegne det med bogstavet "b"): a=b;

• benstørrelse;

I denne version er løsningen på problemet baseret på brugen af ​​Pythagoras sætning. Den anvendes på retvinklede trekanter, og dens hovedversion lyder som: "Square of the hypotenuse lig med summen kvadrater af benene." Da vores ben er lige store, kan vi betegne begge ben med det samme symbol: a=b, hvilket betyder a=a.

1. Vi erstatter vores symboler ind i teoremet (under hensyntagen til ovenstående):
   c^2=a^2+a^2,
2. Dernæst forenkler vi formlen så meget som muligt:
   с^2=2*(a^2) - gruppe,
   с=√2*а - vi bringer begge sider af ligningen til kvadratroden,
   a=c/√2 - vi udtager det, vi leder efter.
3. Vi erstatter denne værdi af hypotenusen og får løsningen:
   a=x/√2

Hvordan man finder ben, givet en kendt hypotenuse og vinkel

• hypotenusen (lad os betegne den med bogstavet "c") er lig med x cm: c=x;
• vinkel β lig med q: β=q;

• benstørrelse;

For at løse dette problem skal du bruge trigonometriske funktioner. De mest populære to af dem er:

• sinusfunktion - sinus for den ønskede vinkel er lig med forholdet mellem den modsatte side og hypotenusen;
• cosinusfunktion - cosinus af den ønskede vinkel er lig med forholdet mellem det tilstødende ben og hypotenusen;

Du kan bruge en hvilken som helst. Jeg vil give et eksempel ved at bruge det første. Lad benene betegnes med symbolerne "a" (ved siden af ​​hjørnet) og "b" (modsat hjørnet). Derfor ligger vores vinkel mellem benet "a" og hypotenusen.

1. Vi erstatter de valgte symboler i formlen:
   sinβ = b/c
2. Vi udleder benet:
   b=c*sinβ
3. Vi erstatter vores givne, og vi har et ben.
   b=c*sinq

Det andet ben kan findes ved hjælp af den anden trigonometriske funktion, eller gå til den tredje mulighed.

Hvordan finder man den ene side, hvis hypotenusen og den anden side er kendt

• hypotenusen (lad os betegne den med bogstavet "c") er lig med x cm: c=x;
• ben (lad os betegne det med bogstavet "b") er lig med y cm: b=y;

• størrelsen af ​​det andet ben (lad os betegne det med bogstavet "a");

I denne version er løsningen på problemet, som i den første, at bruge Pythagoras sætning.

1. Vi erstatter vores symboler i sætningen:
   c^2=a^2+b^2,
2. Vi tager det nødvendige ben ud:
   a^2=c^2-b^2
3. Lad os tage begge sider af ligningen til kvadratroden:
   a=√(c^2-b^2)
4. Vi erstatter disse værdier, og vi har løsningen:
   a=√(x^2-y^2)

Geometri er ikke en simpel videnskab. Det kan være nyttigt for begge skolepensum, og i det virkelige liv. Kendskab til mange formler og sætninger vil forenkle geometriske beregninger. En af de enkleste figurer i geometri er en trekant. En af varianterne af trekanter, ligesidet, har sine egne karakteristika.

Funktioner af en ligesidet trekant

Per definition er en trekant et polyeder, der har tre vinkler og tre sider. Dette er en flad todimensionel figur, dens egenskaber studeres i gymnasium. Baseret på typen af ​​vinkel er der spidsvinklede, stumpvinklede og retvinklede trekanter. En retvinklet trekant er en geometrisk figur, hvor en af ​​vinklerne er 90º. En sådan trekant har to ben (de skaber en ret vinkel) og en hypotenuse (den er modsat ret vinkel). Afhængigt af hvilke mængder der er kendt, er der tre enkle måder beregne hypotenusen retvinklet trekant.

Den første måde er at finde hypotenusen af ​​en retvinklet trekant. Pythagoras sætning

Pythagoras sætning - den ældste måde Beregn enhver side af en retvinklet trekant. Det lyder sådan: "I en retvinklet trekant er kvadratet af hypotenusen lig med summen af ​​kvadraterne på benene." For at beregne hypotenusen skal man altså udlede kvadratroden af ​​summen af ​​to ben i anden. For klarhedens skyld er der givet formler og et diagram.

Anden vej. Beregning af hypotenusen ved hjælp af 2 kendte størrelser: ben og tilstødende vinkel

En af egenskaberne ved en retvinklet trekant siger, at forholdet mellem benets længde og hypotenusens længde svarer til cosinus af vinklen mellem dette ben og hypotenusen. Lad os kalde den for os kendte vinkel α. Nu, takket være den velkendte definition, kan du nemt formulere en formel til beregning af hypotenusen: Hypotenuse = leg/cos(α)

Tredje vej. Beregning af hypotenusen ved hjælp af 2 kendte størrelser: ben og modsat vinkel

Hvis den modsatte vinkel er kendt, er det muligt igen at bruge egenskaberne for en retvinklet trekant. Forholdet mellem længden af ​​benet og hypotenusen svarer til sinus af den modsatte vinkel. Lad os igen kalde den kendte vinkel α. Nu til beregningerne vil vi bruge en lidt anden formel:
Hypotenuse = ben/synd (α)

Eksempler til at hjælpe dig med at forstå formler

For en dybere forståelse af hver af formlerne bør du overveje illustrative eksempler. Så antag, at du får en retvinklet trekant, hvor der er følgende data:

• Ben – 8 cm.
• Den tilstødende vinkel cosα1 er 0,8.
• Den modsatte vinkel sinα2 er 0,8.

Ifølge Pythagoras sætning: Hypotenus = kvadratrod af (36+64) = 10 cm.
Ifølge benets størrelse og tilstødende vinkel: 8/0,8 = 10 cm.
Efter benets størrelse og den modsatte vinkel: 8/0,8 = 10 cm.

Når du forstår formlen, kan du nemt beregne hypotenusen med alle data.

Video: Pythagoras sætning

Instruktioner

Lad et af benene i en retvinklet trekant være kendt. Antag |BC| = b. Så kan vi bruge Pythagoras sætning, ifølge hypotenusen er lig med summen af ​​kvadraterne af benene: a^2 + b^2 = c^2. Fra denne ligning finder vi den ukendte side |AB| = a = √ (c^2 - b^2).

Lad en af ​​vinklerne i en retvinklet trekant være kendt, antag ∟α. Så kan AB og BC i retvinklet trekant ABC findes ved hjælp af trigonometriske funktioner. Så vi får: sinus ∟α er lig med forholdet mellem den modsatte side sin α = b / c, cosinus ∟α er lig med forholdet mellem den tilstødende side og hypotenusen cos α = a / c. Herfra finder vi de nødvendige sidelængder: |AB| = a = c * cos α, |BC| = b = c * sin α.

Lad forholdet mellem benene k = a / b være kendt. Vi løser også problemet ved hjælp af trigonometriske funktioner. Forholdet a / b er intet andet end cotangensen ∟α: den tilstødende side ctg α = a / b. I dette tilfælde udtrykker vi fra denne lighed a = b * ctg α. Og vi erstatter a^2 + b^2 = c^2 i Pythagoras sætning:

b^2 * cotg^2 α + b^2 = c^2. Tager vi b^2 ud af parentes, får vi b^2 * (ctg^2 α + 1) = c^2. Og herfra får vi let længden af ​​benet b = c / √(ctg^2 α + 1) = c / √(k^2 + 1), hvor k er det givne forhold mellem benene.

Analogt, hvis forholdet mellem ben b/a er kendt, løser vi problemet ved at bruge tangent tan α = b/a. Vi erstatter værdien b = a * tan α i Pythagoras sætning a^2 * tan^2 α + a^2 = c^2. Derfor a = c / √(tg^2 α + 1) = c / √(k^2 + 1), hvor k er det givne forhold mellem benene.

Lad os overveje særlige tilfælde.

∟α = 30°. Derefter |AB| = a = c * cos α = c * √3 / 2; |BC| = b = c * sin α = c / 2.

∟α = 45°. Derefter |AB| = |BC| = a = b = c * √2 / 2.

Video om emnet

Bemærk venligst

Kvadratrødder udvindes fra positivt tegn, fordi længde kan ikke være negativ. Dette virker indlysende, men denne fejl er meget almindelig, hvis du løser problemet automatisk.

Nyttige råd

For at finde benene i en retvinklet trekant er det praktisk at bruge reduktionsformlerne: sin β = sin (90° - α) = cos α; cos β = cos (90° - α) = sin α.

Kilder:

• Bradis-tabeller til at finde værdier af trigonometriske funktioner

Forholdet mellem siderne og vinklerne i en retvinklet trekant diskuteres i den gren af ​​matematik, der kaldes trigonometri. For at finde siderne af en retvinklet trekant er det nok at kende Pythagoras sætning, definitionerne af trigonometriske funktioner og have nogle midler til at finde værdierne af trigonometriske funktioner, for eksempel en lommeregner eller Bradis-tabeller. Lad os nedenfor overveje de vigtigste tilfælde af problemer med at finde siderne i en retvinklet trekant.

Du skal bruge

• Lommeregner, Bradis-tabeller.

Instruktioner

Hvis du bliver spurgt en af skarpe hjørner, for eksempel A og hypotenusen, så kan benene findes ud fra definitionerne af grundlæggende trigonometri:

a= c*sin(A), b= c*cos(A).

Hvis en af ​​de spidse vinkler, for eksempel A, og et af benene, for eksempel a, er givet, så beregnes hypotenusen og det andet ben ud fra relationerne: b=a*tg(A), c= a*sin(A).

Nyttige råd

I tilfælde af at du ikke kender værdien af ​​sinus eller cosinus for nogen af ​​de vinkler, der er nødvendige for at beregne, kan du bruge Bradis-tabellerne, de giver værdierne af trigonometriske funktioner for stort antal hjørner Derudover er de fleste moderne lommeregnere i stand til at beregne sinus og cosinus af vinkler.

Kilder:

• hvordan man beregner siden af ​​en retvinklet trekant i 2019

Tip 3: Sådan finder du en vinkel, hvis du kender siderne i en retvinklet trekant

Tre firkant, hvor en af ​​vinklerne er ret (lig med 90°) kaldes rektangulær. Dens længste side ligger altid modsat den rette vinkel og kaldes hypotenusen, og de to andre sider kaldes ben. Hvis længden af ​​disse tre sider er kendt, så find værdierne af alle vinkler af tre firkant og vil ikke være svært, da du faktisk kun behøver at beregne en af ​​vinklerne. Der er flere måder at gøre dette på.

Instruktioner

Brug til at beregne størrelserne (α, β, γ) definitionerne af trigonometriske funktioner gennem en rektangulær trekant. Sådan for eksempel for sinus af en spids vinkel som forholdet mellem længden af ​​det modsatte ben og længden af ​​hypotenusen. Det betyder, at hvis længderne af benene (A og B) og hypotenusen (C), så kan man f.eks. finde sinus for vinklen α, der ligger modsat ben A, ved at dividere længden sider Og for længden sider C (hypotenus): sin(α)=A/C. Efter at have fundet ud af værdien af ​​sinus af denne vinkel, kan du finde dens værdi i grader ved hjælp af den omvendte funktion af sinus - bue. Det vil sige, a=arcsin(sin(α))=arcsin(A/C). På samme måde kan du finde størrelsen af ​​en spids vinkel i en trekant. firkant Ja, men det er ikke nødvendigt. Da summen af ​​alle vinkler er tre firkant a er 180°, og i tre firkant Hvis en af ​​vinklerne er 90°, så kan værdien af ​​den tredje vinkel beregnes som forskellen mellem 90° og værdien af ​​den fundne vinkel: β=180°-90°-α=90°-α.

I stedet for at definere sinus, kan du bruge definitionen af ​​cosinus af en spids vinkel, som er formuleret som forholdet mellem længden af ​​benet, der støder op til den ønskede vinkel og længden af ​​hypotenusen: cos(α)=B/ C. Og her, brug den omvendte trigonometriske funktion (arccosinus) til at finde vinklen i grader: α=arccos(cos(α))=arccos(B/C). Efter dette, som i det foregående trin, er der kun tilbage at finde værdien af ​​den manglende vinkel: β=90°-α.

Du kan bruge en lignende tangent - den udtrykkes ved forholdet mellem længden af ​​benet modsat den ønskede vinkel og længden af ​​det tilstødende ben: tan(α)=A/B. Bestem igen vinklen i grader ved hjælp af den inverse trigonometriske funktion -: α=arctg(tg(α))=arctg(A/B). Formlen for den manglende vinkel forbliver uændret: β=90°-α.

Video om emnet

Tip 4: Sådan finder du sidelængden af ​​en retvinklet trekant

En trekant anses for at være retvinklet, hvis en af ​​dens vinkler er retvinklet. Side trekant placeret modsat den rette vinkel kaldes hypotenusen, og de to andre sider- ben. For at finde længderne af siderne af en rektangulær trekant, kan du bruge flere metoder.

Instruktioner

Du kan finde ud af den tredje sider, ved at kende længden af ​​de to andre sider trekant. Dette kan gøres ved hjælp af Pythagoras sætning, som siger, at et kvadrat af en rektangulær trekant summen af ​​kvadraterne af dens ben. (a² = b²+ c²). Herfra kan vi udtrykke længderne af alle sider af en rektangulær trekant:
b² = a² - c²;
c² = a² - b²
For eksempel for en rektangulær trekant længden af ​​hypotenusen a (18 cm) og et af benene, for eksempel c (14 cm), er kendt. Til længde en anden side skal du udføre 2 algebraiske operationer:
c² = 18² - 14² = 324 - 196 = 128 cm
c = √128 cm
Svar: Benlængden er √128 cm eller cirka 11,3 cm

Du kan ty til, hvis du kender længden af ​​hypotenusen og størrelsen af ​​et af de akutte punkter i en given rektangulær trekant. Lad længden være c og en af ​​de spidse vinkler være lig α. I dette tilfælde skal du finde 2 andre sider rektangulær trekant det vil være muligt at bruge følgende formler:
a = с*sinα;
b = с*cosα.
Du kan give: længden af ​​hypotenusen er 15 cm, en af ​​de spidse vinkler er 30 grader. For at finde længden af ​​de to andre sider skal du udføre 2 trin:
a = 15*sin30 = 15*0,5 = 7,5 cm
b = 15*cos30 = (15*√3)/2 = 13 cm (ca.)

Den mest ikke-trivielle måde at finde længde sider rektangulær trekant- er at udtrykke det fra omkredsen af ​​en given figur:
P = a + b + c, hvor P er omkredsen af ​​det rektangulære trekant. Ud fra dette udtryk er det let at udtrykke længde enhver side af en rektangulær trekant.

Tip 5: Sådan finder du vinklen på en retvinklet trekant ved at kende alle siderne

Kendskab til alle tre sider direkte kul trekant er mere end nok til at beregne nogen af ​​dens vinkler. Der er så meget information, at du oven i købet har mulighed for at vælge, hvilke partier du skal bruge i beregningerne for at bruge den trigonometriske funktion, der passer dig bedst.

Instruktioner

Hvis du foretrækker at beskæftige dig med arcsine, skal du bruge længden af ​​hypotenusen (C) - den længste sider- og det ben (A), der ligger modsat den ønskede vinkel (α). At dividere længden af ​​dette ben med længden af ​​hypotenusen vil give værdien af ​​sinus af den ønskede vinkel, og den omvendte funktion af sinus - bue - fra den resulterende værdi vil genoprette værdien af ​​vinklen i . Brug derfor følgende i dine beregninger: α = arcsin(A/C).

For at erstatte arcsine med arccosine, brug i beregninger længderne af de sider, der danner den ønskede vinkel (α). En af dem vil være hypotenusen (C), og den anden vil være benet (B). Per definition er cosinus længden af ​​benet, der støder op til vinklen til længden af ​​hypotenusen, og vinklen fra cosinusværdien er buecosinusfunktionen. Brug følgende beregningsformel: α = arccos(B/C).

Kan bruges i beregninger. For at gøre dette skal du bruge længderne af de to korte sider - benene. Tangent af en spids vinkel (α) i en ret linje kul trekant bestemmes af forholdet mellem længden af ​​benet (A), der ligger over for det, og længden af ​​det tilstødende ben (B). Analogt med de ovenfor beskrevne muligheder skal du bruge følgende formel: α = arctan(A/B).

Formel

Hvilken trekant kaldes en retvinklet trekant?

Der er flere typer trekanter. Nogle har alle spidse vinkler, andre har en stump og to spidse, og andre har to spidse og en lige. Ifølge denne funktion, hver type af disse geometriske former og fik navnet: spidsvinklet, stumpvinklet og rektangulært. Det vil sige, at en trekant, hvor en af ​​vinklerne er 90°, kaldes en retvinklet trekant. Der er en anden ting, der ligner den første. En trekant, hvis to sider er vinkelrette, kaldes en retvinklet trekant.

Hypotenus og ben

Den spidsvinklede og stumpe trekanter segmenterne, der forbinder vinklernes toppunkter, kaldes simpelthen sider. Siden har også andre navne. Dem, der støder op til den rigtige vinkel, kaldes ben. Siden modsat den rette vinkel kaldes hypotenusen. Oversat fra græsk betyder ordet "hypotenuse" "stram", og "cathetus" betyder "vinkelret".

Forholdet mellem hypotenusen og benene

Siderne i en retvinklet trekant er forbundet med visse forhold, som i høj grad letter beregninger. For eksempel ved at kende dimensionerne af benene, kan du beregne længden af ​​hypotenusen. Dette forhold, opkaldt efter den person, der opdagede det, kaldes Pythagoras sætning, og det ser sådan ud:

c2=a2+b2, hvor c er hypotenusen, a og b er benene. Det vil sige, at hypotenusen vil være lig med kvadratrod fra summen af ​​kvadraterne af benene. For at finde nogen af ​​benene er det nok at trække kvadratet af det andet ben fra kvadratet af hypotenusen og tage kvadratroden fra den resulterende forskel.

Tilstødende og modsatte ben

Tegn en retvinklet trekant DIA. Bogstavet C betegner normalt toppunktet af en ret vinkel, A og B - toppunkterne for spidse vinkler. Det er praktisk at kalde siderne modsat hver vinkel a, b og c efter navnene på vinklerne modsat dem. Overvej vinkel A. Side a vil være modsat for den, side b vil være tilstødende. Forholdet mellem den modsatte side og hypotenusen kaldes. Denne trigonometriske funktion kan beregnes ved hjælp af formlen: sinA=a/c. Forholdet mellem det tilstødende ben og hypotenusen kaldes cosinus. Det beregnes ved hjælp af formlen: cosA=b/c.

Når du kender vinklen og en af ​​siderne, kan du bruge disse formler til at beregne den anden side. Begge sider er også forbundet med trigonometriske relationer. Forholdet mellem det modsatte og det tilstødende kaldes tangent, og forholdet mellem det modsatte og det modsatte kaldes cotangens. Disse sammenhænge kan udtrykkes med formlerne tgA=a/b eller ctgA=b/a.

"Og de fortæller os, at benet er kortere end hypotenusen..." Disse linjer er fra en berømt sang, der lød i spillefilm The Adventures of Electronics er faktisk tro mod Euklids geometri. Ben er trods alt to sider, der danner en vinkel, gradsmål hvilket er lig med 90 grader. Og hypotenusen er den længste "strakte" side, der forbinder to ben vinkelret på hinanden og ligger modsat den rette vinkel. Derfor er det muligt kun at finde hypotenusen ved ben i en retvinklet trekant, og hvis benet var længere end hypotenusen, ville en sådan trekant ikke eksistere.

Hvordan finder man hypotenusen ved hjælp af Pythagoras sætning, hvis begge sider er kendt

Sætningen siger, at kvadratet af hypotenusen ikke er andet end summen af ​​kvadraterne af benene: x^2+y^2=z^2, hvor:

• x – første ben;
• y - andet ben;
• z – hypotenusen.

Men du skal bare finde hypotenusen og ikke dens firkant. For at gøre dette skal du udtrække roden.

Algoritme til at finde hypotenusen ved hjælp af to velkendte sider:

• Angiv selv, hvor benene er, og hvor hypotenusen er.
• Firkant det første ben.
• Firkant det andet ben.
• Læg de resulterende værdier sammen.
• Udtræk roden af ​​tallet opnået i trin 4.

Hvordan finder man hypotenusen gennem sinus, hvis benet og den spidse vinkel modsat er kendt

Forholdet mellem et kendt ben og en spids vinkel, der ligger over for det, er lig med værdien af ​​hypotenusen: a/sin A = c. Dette er en konsekvens af definitionen af ​​sinus:

Forholdet mellem den modsatte side og hypotenusen: sin A = a/c, hvor:

• a – første ben;
• A – spids vinkel modsat benet;
• c- hypotenusen.

Algoritme til at finde hypotenusen ved hjælp af sinussætningen:

• Angiv selv et kendt ben og den modsatte vinkel.
• Del benet i det modsatte hjørne.
• Få hypotenusen.

Hvordan finder man hypotenusen gennem cosinus, hvis benet og den spidse vinkel ved siden af ​​det er kendt

Forholdet mellem det kendte ben og den spidse tilstødende vinkel er lig med værdien af ​​hypotenusen a/cos B = c. Dette er en konsekvens af definitionen af ​​cosinus: forholdet mellem det tilstødende ben og hypotenusen: cos B= a/c, hvor:

• a – andet ben;
• B - spids vinkel støder op til det andet ben;
• c- hypotenusen.

Algoritme til at finde hypotenusen ved hjælp af cosinussætningen:

• Angiv selv et kendt ben og en tilstødende vinkel.
• Del benet med den tilstødende vinkel.
• Få hypotenusen.

Sådan finder du hypotenusen ved hjælp af den egyptiske trekant

Den "egyptiske trekant" er en trio af tal, ved at vide, hvilke du kan spare tid ved at finde hypotenusen eller endda et andet ukendt ben. Trekanten har dette navn, fordi nogle tal i Egypten symboliserede guderne og var grundlaget for konstruktionen af ​​pyramider og andre forskellige strukturer.

• De første tre tal: 3-4-5. Benene her er lig med 3 og 4. Så vil hypotenusen helt sikkert være lig med 5. Tjek: (9+16=25).
• Anden tripel af tal: 5-12-13. Også her er benene lig med 5 og 12. Derfor vil hypotenusen være lig med 13. Tjek: (25+144=169).

Sådanne tal hjælper, selv når de divideres eller ganges med et hvilket som helst tal. Hvis benene er 3 og 4, så vil hypotenusen være lig med 5. Hvis du gange disse tal med 2, så vil hypotenusen også blive ganget med 2. For eksempel vil trippelen af ​​tallene 6-8-10 også passe Pythagoras sætning, og du behøver ikke at beregne hypotenusen, hvis du husker disse tripler af tal.



Der er således 4 måder at finde hypotenusen ved hjælp af de kendte ben. Den bedste mulighed er Pythagoras sætning, men det ville heller ikke skade at huske de trillinger af tal, der udgør den "egyptiske trekant", fordi du kan spare meget tid, hvis du støder på sådanne værdier.

Der er mange typer trekanter: positive, ligebenede, akutte og så videre. Alle har de egenskaber, der kun er klassiske for dem, og hver har sine egne regler for at finde mængder, det være sig en side eller en vinkel ved bunden. Men fra hver sort af disse geometriske figurer i separat gruppe Du kan vælge en trekant med en ret vinkel.

Du skal bruge

• Blankt ark, blyant og lineal til en skematisk fremstilling af en trekant.

Instruktioner

1. En trekant kaldes rektangulær, hvis en af ​​dens vinkler er 90 grader. Den består af 2 ben og en hypotenuse. Hypotenusen er den største side af denne trekant. Det ligger i modsætning til den rigtige vinkel. Benene kaldes derfor dets mindre sider. De kan enten være ens med hinanden eller have forskellige størrelser. Ligestilling af benene betyder, at du arbejder med en ligebenet retvinklet trekant. Dens skønhed er, at den kombinerer egenskaberne af 2 former: rektangulær og ligebenet trekant. Hvis benene ikke er ens, så er trekanten vilkårlig og adlyder grundloven: Jo større vinklen er, jo større ruller den, der ligger over for den.

2. Der er flere metoder til at finde hypotenusen ved ben og vinkel. Men før du bruger en af ​​dem, bør du bestemme, hvilket ben og hvilken vinkel der er kendt. Hvis der er givet en vinkel og et ben, der støder op til den, er hypotenusen lettere at opdage ved at se på vinklens cosinus. Cosinus for en spids vinkel (cos a) i en retvinklet trekant er forholdet mellem det tilstødende ben og hypotenusen. Det følger heraf, at hypotenusen (c) vil være lig med forholdet mellem det tilstødende ben (b) og cosinus af vinklen a (cos a). Dette kan skrives således: cos a=b/c => c=b/cos a.

3. Hvis der er givet en vinkel og et modsat ben, så skal du arbejde med sinus. Sinus for en spids vinkel (sin a) i en retvinklet trekant er forholdet mellem den modsatte side (a) og hypotenusen (c). Specialet fungerer her som i det foregående eksempel, kun i stedet for cosinusfunktionen tages en sinus. sin a=a/c => c=a/sin a.

4. Du kan også bruge en trigonometrisk funktion såsom tangent. Men det bliver lidt sværere at finde den ønskede værdi. Tangensen af ​​en spids vinkel (tg a) i en retvinklet trekant er forholdet mellem det modsatte ben (a) og det tilstødende ben (b). Når du har opdaget begge ben, skal du anvende Pythagoras sætning (hypotenusens kvadrat er lig med summen af ​​kvadraterne på benene), og trekantens enorme side vil blive opdaget.

Hypotenusen er den side i en retvinklet trekant, der er modsat 90 graders vinkel. For at beregne dens længde er det nok at kende længden af ​​et af benene og størrelsen af ​​en af ​​trekantens spidse vinkler.

Instruktioner

1. Med et forreste ben og en spids vinkel i en retvinklet trekant kan størrelsen af ​​hypotenusen være lig med forholdet mellem benet og cosinus/sinus for denne vinkel, hvis denne vinkel er modsat/tilstødende den: h = C1 ( eller C2)/sin?; h = C1 (eller C2 )/cos?.Eksempel: Lad en retvinklet trekant AB og en ret vinkel C være 60 grader og vinkel A 30 grader længden af ​​benet BC er 8 cm Vi skal finde længden af ​​hypotenusen AB. For at gøre dette kan du bruge en af ​​metoderne foreslået ovenfor: AB = BC/cos60 = 8 cm AB = BC/sin30 = 8 cm.

Ordet " ben"kommer fra de græske ord "vinkelret" eller "lod" - dette forklarer, hvorfor begge sider af en retvinklet trekant, der udgør dens 90 graders vinkel, blev navngivet på denne måde. Find længden af ​​hver ben Det er ikke svært, hvis du kender værdien af ​​vinklen ved siden af ​​den og en anden parameter, for i dette tilfælde vil værdierne af alle 3 vinkler faktisk blive kendt.

Instruktioner

1. Hvis, ud over værdien af ​​den tilstødende vinkel (β), længden af ​​den anden ben a (b), derefter længden ben og (a) kan defineres som kvotienten af ​​længden af ​​den berømte ben og for tangenten af ​​den ønskede vinkel: a=b/tg(β). Dette følger af definitionen af ​​denne trigonometriske funktion. Du kan undvære tangenten, hvis du bruger sinussætningen. Det følger af det, at forholdet mellem længden af ​​den ønskede side og sinus af den modsatte vinkel er lig med forholdet mellem længden af ​​den ønskede side ben og til sinus af den berømte vinkel. Modsat hvad der ønskes ben y spids vinkel kan udtrykkes gennem den berømte vinkel som 180°-90°-β = 90°-β, fordi summen af ​​alle vinkler i enhver trekant skal være 180°, og ved definitionen af ​​en retvinklet trekant, en af ​​dens vinkler er lig med 90°. Det betyder den ønskede længde ben og kan beregnes ved hjælp af formlen a=sin(90°-β)∗b/sin(β).

2. Hvis værdien af ​​den tilstødende vinkel (β) og længden af ​​hypotenusen (c) er kendt, så er længden ben og (a) kan beregnes som produktet af længden af ​​hypotenusen og cosinus af den berømte vinkel: a=c∗cos(β). Dette følger af definitionen af ​​cosinus som en trigonometrisk funktion. Men du kan bruge, som i det foregående trin, sinussætningen og derefter længden af ​​den ønskede ben a vil være lig med produktet af sinusen af ​​forskellen mellem 90° og referencevinklen og forholdet mellem hypotenusens længde og sinus af den rette vinkel. Og da sinus for 90° er lig med én, kan formlen skrives som følger: a=sin(90°-β)∗c.

3. De faktiske beregninger kan f.eks. foretages ved hjælp af softwareberegneren, der er inkluderet i Windows OS. For at starte det, kan du vælge "Kør"-elementet i hovedmenuen på "Start"-knappen, skriv calc-kommandoen og klik på "OK"-knappen. I den enkleste version af grænsefladen til dette program, der åbnes som standard, er trigonometriske funktioner ikke tilvejebragt, efter at du har startet det, skal du klikke på sektionen "Vis" i menuen og vælge linjen "Scientist" eller "Ingeniør"; (afhængigt af versionen af ​​det anvendte operativsystem).

Video om emnet

Ordet "kathet" kom på russisk fra græsk. I nøjagtig oversættelse betyder det en lodlinje, det vil sige vinkelret på jordens overflade. I matematik er ben de sider, der danner en ret vinkel i en retvinklet trekant. Siden modsat denne vinkel kaldes hypotenusen. Udtrykket "kathet" bruges også i arkitektur og specialteknologi svejsearbejde.

Tegn en retvinklet trekant DIA. Mærk dens ben som a og b, og dens hypotenuse som c. Alle sider og vinkler i en retvinklet trekant er relateret til hinanden ved bestemte forhold. Forholdet mellem benet modsat en af ​​de spidse vinkler og hypotenusen kaldes denne vinkels sinus. I denne trekant sinCAB=a/c. Cosinus er forholdet til hypotenusen af ​​det tilstødende ben, det vil sige cosCAB=b/c. De omvendte forhold kaldes sekant og cosekant Sekanten af ​​en given vinkel fås ved at dividere hypotenusen med det tilstødende ben, det vil sige secCAB = c/b. Resultatet er den reciproke af cosinus, det vil sige, den kan udtrykkes ved hjælp af formlen secCAB=1/cosSAB. Cosecanten er lig med kvotienten af ​​hypotenusen divideret med den modsatte side og er den reciproke af sinus. Det kan beregnes ved hjælp af formlen cosecCAB = 1/sinCAB Begge ben er relateret til hinanden ved tangent og cotangens. I dette tilfælde vil tangenten være forholdet mellem side a og side b, det vil sige den modsatte side til den tilstødende side. Dette forhold kan udtrykkes med formlen tgCAB=a/b. Følgelig vil det omvendte forhold være cotangensen: ctgCAB=b/a. Forholdet mellem størrelserne af hypotenusen og begge ben blev bestemt af den antikke græske matematiker Pythagoras. Sætningen opkaldt efter ham bruges stadig af mennesker den dag i dag. Den siger, at kvadratet på hypotenusen er lig med summen af ​​kvadraterne på benene, det vil sige c2 = a2 + b2. Følgelig vil hvert ben være lig kvadratroden af ​​forskellen mellem kvadraterne af hypotenusen og det andet ben. Denne formel kan skrives som b=?(c2-a2). Benets længde kan også udtrykkes gennem de velkendte relationer. Ifølge sætningerne for sinus og cosinus, benet lig med produktet hypotenusen til en af ​​disse funktioner. Det kan også udtrykkes gennem tangent eller cotangens. Ben a kan f.eks. findes ved at bruge formlen a = b*tan CAB. På samme måde, afhængigt af den givne tangent eller cotangens, bestemmes 2. ben I arkitekturen bruges også udtrykket "ben". Det bruges i forhold til en ionisk kapital og betegner et lod gennem midten af ​​ryggen. Det vil sige, i dette tilfælde betegner dette udtryk en vinkelret på en given linje. I speciel svejseteknologi er der konceptet "filetsvejseben". Som i andre tilfælde er dette den korteste afstand. Her vi taler om omkring intervallet mellem en af ​​delene, der svejses til grænsen af ​​sømmen placeret på overfladen af ​​en anden del.

Video om emnet

Vær opmærksom!
Når du arbejder med Pythagoras sætning, skal du huske, at du har med en grad at gøre. Efter at have opdaget summen af ​​kvadraterne af benene, for at opnå det endelige resultat, skal man udtrække kvadratroden.