Lektion om emnet: "Regler for multiplikation og division af potenser med samme og forskellige eksponenter. Eksempler"

Yderligere materialer
Kære brugere, glem ikke at efterlade dine kommentarer, anmeldelser, ønsker. Alt materiale er blevet kontrolleret af et antivirusprogram.

Læremidler og simulatorer i Integral-onlinebutikken til 7. klasse
Manual til lærebogen Yu.N. Makarycheva Manual til lærebogen af ​​A.G. Mordkovich

Formål med lektionen: Lær at udføre operationer med talpotenser.

Lad os først huske begrebet "talmagt". Et udtryk med formen $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$ kan repræsenteres som $a^n$.

Det omvendte er også sandt: $a^n= \underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$.

Denne lighed kaldes "at registrere graden som et produkt." Det vil hjælpe os med at bestemme, hvordan man multiplicerer og dividerer potenser.
Huske:
-en– gradens grundlag.
n– eksponent.
Hvis n=1, hvilket betyder nummeret EN tog en gang og følgelig: $a^n= 1$.
Hvis n= 0, derefter $a^0= 1$.

Vi kan finde ud af, hvorfor det sker, når vi bliver fortrolige med reglerne for multiplikation og magtdeling.

Multiplikationsregler

a) Hvis potenser med samme grundtal ganges.
For at få $a^n * a^m$ skriver vi graderne som et produkt: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( a * a * \ldots * a ) _(m )$.
Figuren viser, at antallet EN tog n+m gange, derefter $a^n * a^m = a^(n + m)$.

Eksempel.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.

Denne egenskab er praktisk at bruge til at forenkle arbejdet, når du hæver et tal til en højere magt.
Eksempel.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.

b) Hvis grader med forskellige grundtal, men samme eksponent ganges.
For at få $a^n * b^n$ skriver vi graderne som et produkt: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( b * b * \ldots * b ) _(m )$.
Hvis vi bytter faktorerne og tæller de resulterende par, får vi: $\underbrace( (a * b) * (a * b) * \ldots * (a * b) )_(n)$.

Så $a^n * b^n= (a * b)^n$.

Eksempel.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.

Inddelingsregler

a) Grundlaget for graden er det samme, indikatorerne er forskellige.
Overvej at dividere en potens med en større eksponent ved at dividere en potens med en mindre eksponent.

Så vi har brug for $\frac(a^n)(a^m)$, Hvor n>m.

Lad os skrive graderne som en brøk:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(m))$.

For nemheds skyld skriver vi divisionen som en simpel brøk.

Lad os nu reducere fraktionen.

Det viser sig: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n-m)= a^(n-m)$.
Betyder, $\frac(a^n)(a^m)=a^(n-m)$.

Denne egenskab hjælper med at forklare situationen med at hæve et tal til nulpotensen. Lad os antage det n=m, derefter $a^0= a^(n-n)=\frac(a^n)(a^n) =1$.

Eksempler.
$\frac(3^3)(3^2)=3^(3-2)=3^1=3$.

$\frac(2^2)(2^2)=2^(2-2)=2^0=1$.

b) Grundlaget for graden er forskellige, indikatorerne er de samme.
Lad os sige, at vi har brug for $\frac(a^n)( b^n)$. Lad os skrive potenser af tal som brøker:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( b * b * \ldots * b )_(n))$.

For nemheds skyld, lad os forestille os.

Ved at bruge egenskaben til brøker opdeler vi den store brøk i produktet af små, vi får.
$\underbrace( \frac(a)(b) * \frac(a)(b) * \ldots * \frac(a)(b) )_(n)$.
Følgelig: $\frac(a^n)( b^n)=(\frac(a)(b))^n$.

Eksempel.
$\frac(4^3)( 2^3)= (\frac(4)(2))^3=2^3=8$.

Lad os overveje emnet transformation af udtryk med kræfter, men lad os først dvæle ved en række transformationer, der kan udføres med alle udtryk, inklusive magt. Vi vil lære at åbne parenteser, tilføje lignende udtryk, arbejde med baser og eksponenter og bruge potensernes egenskaber.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Hvad er magtudtryk?

I skoleforløb Få mennesker bruger udtrykket "kraftfulde udtryk", men dette udtryk findes konstant i samlinger til forberedelse til Unified State Exam. I de fleste tilfælde betegner en sætning udtryk, der indeholder grader i deres indtastninger. Det er det, vi vil afspejle i vores definition.

Definition 1

Magt udtryk er et udtryk, der indeholder grader.

Lad os give flere eksempler på magtudtryk, startende med en potens med en naturlig eksponent og slutter med en potens med en reel eksponent.

De enkleste potensudtryk kan betragtes som potenser af et tal med en naturlig eksponent: 3 2, 7 5 + 1, (2 + 1) 5, (− 0, 1) 4, 2 2 3 3, 3 a 2 − a + a 2, x 3 − 1 , (a 2) 3 . Og også potenser med nul eksponent: 5 0, (a + 1) 0, 3 + 5 2 − 3, 2 0. Og potenser med negative heltalspotenser: (0, 5) 2 + (0, 5) - 2 2.

Det er lidt sværere at arbejde med en grad, der har rationelle og irrationelle eksponenter: 264 1 4 - 3 3 3 1 2, 2 3, 5 2 - 2 2 - 1, 5, 1 a 1 4 a 1 2 - 2 a - 1 6 · b 1 2 , x π · x 1 - π , 2 3 3 + 5 .

Indikatoren kan være variablen 3 x - 54 - 7 3 x - 58 eller logaritmen x 2 · l g x − 5 · x l g x.

Vi har beskæftiget os med spørgsmålet om, hvad magtudtryk er. Lad os nu begynde at konvertere dem.

Hovedtyper af transformationer af magtudtryk

Først og fremmest vil vi se på de grundlæggende identitetstransformationer af udtryk, der kan udføres med magtudtryk.

Eksempel 1

Beregn værdien af ​​et magtudtryk 2 3 (4 2 - 12).

Løsning

Vi vil udføre alle transformationer i overensstemmelse med rækkefølgen af ​​handlinger. I dette tilfælde starter vi med at udføre handlingerne i parentes: vi erstatter graden med en digital værdi og beregner forskellen på to tal. Det har vi 2 3 (4 2 − 12) = 2 3 (16 − 12) = 2 3 4.

Det eneste, vi skal gøre, er at udskifte graden 2 3 dens betydning 8 og beregne produktet 8 4 = 32. Her er vores svar.

Svar: 2 3 · (4 2 - 12) = 32 .

Eksempel 2

Forenkle udtrykket med kræfter 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7.

Løsning

Udtrykket givet til os i problemformuleringen indeholder lignende udtryk, som vi kan give: 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7 = 5 a 4 b − 7 − 1.

Svar: 3 · a 4 · b − 7 − 1 + 2 · a 4 · b − 7 = 5 · a 4 · b − 7 − 1 .

Eksempel 3

Udtryk udtrykket med potenserne 9 - b 3 · π - 1 2 som et produkt.

Løsning

Lad os forestille os tallet 9 som en magt 3 2 og anvende den forkortede multiplikationsformel:

9 - b 3 π - 1 2 = 3 2 - b 3 π - 1 2 = = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1

Svar: 9 - b 3 · π - 1 2 = 3 - b 3 · π - 1 3 + b 3 · π - 1 .

Lad os nu gå videre til analysen af ​​identitetstransformationer, der kan anvendes specifikt til magtudtryk.

Arbejde med base og eksponent

Graden i grundtallet eller eksponenten kan have tal, variable og nogle udtryk. f.eks. (2 + 0, 3 7) 5 - 3, 7 Og . Det er svært at arbejde med sådanne optegnelser. Det er meget nemmere at erstatte udtrykket i gradens basis eller udtrykket i eksponenten med et identisk ens udtryk.

Transformationer af grad og eksponent udføres i henhold til de regler, vi kender adskilt fra hinanden. Det vigtigste er, at transformationen resulterer i et udtryk, der er identisk med det oprindelige.

Formålet med transformationer er at forenkle det oprindelige udtryk eller få en løsning på problemet. For eksempel, i eksemplet, vi gav ovenfor, (2 + 0, 3 7) 5 − 3, 7 kan du følge trinene for at flytte til graden 4 , 1 1 , 3 . Ved at åbne parenteserne kan vi præsentere lignende udtryk til bunden af ​​potensen (a · (a + 1) − a 2) 2 · (x + 1) og opnå et kraftudtryk af en enklere form a 2 (x + 1).

Brug af gradsegenskaber

Beføjelsers egenskaber, skrevet i form af ligheder, er et af de vigtigste værktøjer til at transformere udtryk med beføjelser. Vi præsenterer her de vigtigste under hensyntagen til det -en Og b er eventuelle positive tal, og r Og s- vilkårlige reelle tal:

Definition 2

• a r · a s = a r + s;
• a r: a s = a r − s;
• (a · b) r = a r · b r;
• (a: b) r = a r: b r;
• (a r) s = a r · s .

I tilfælde, hvor vi har at gøre med naturlige, heltal, positive eksponenter, kan begrænsningerne for tallene a og b være meget mindre strenge. Altså for eksempel hvis vi tænker på ligestillingen a m · a n = a m + n, Hvor m Og n er naturlige tal, så vil det være sandt for alle værdier af a, både positive og negative, såvel som for a = 0.

Du kan anvende egenskaberne for potenser uden begrænsninger i tilfælde, hvor potensgrundlaget er positivt eller indeholder variabler, areal acceptable værdier som er sådan, at grundlaget på det kun accepterer positive værdier. Faktisk indeni skolepensum I matematik er det elevens opgave at vælge en passende egenskab og anvende den korrekt.

Når du forbereder dig på at komme ind på universiteter, kan du støde på problemer, hvor unøjagtig anvendelse af egenskaber vil føre til en indsnævring af DL og andre vanskeligheder med at løse. I dette afsnit vil vi kun undersøge to sådanne tilfælde. Mere information på spørgsmålet kan findes i emnet "Konvertering af udtryk ved hjælp af egenskaber af potenser".

Eksempel 4

Forestil dig udtrykket a 2 , 5 (a 2) − 3: a − 5 , 5 i form af en potens med en base -en.

Løsning

Først bruger vi egenskaben eksponentiering og transformerer den anden faktor ved hjælp af den (a 2) − 3. Så bruger vi egenskaberne for multiplikation og division af potenser med samme grundtal:

a 2 , 5 · a − 6: a − 5 , 5 = a 2 , 5 − 6: a − 5 , 5 = a − 3 , 5: a − 5 , 5 = a − 3 , 5 − (− 5 , 5) = a2.

Svar: a 2, 5 · (a 2) − 3: a − 5, 5 = a 2.

Transformation af magtudtryk efter magtens egenskab kan ske både fra venstre mod højre og i modsat retning.

Eksempel 5

Find værdien af ​​potensudtrykket 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 .

Løsning

Hvis vi anvender ligestilling (a · b) r = a r · b r, fra højre mod venstre får vi et produkt af formen 3 · 7 1 3 · 21 2 3 og derefter 21 1 3 · 21 2 3 . Lad os lægge eksponenterne sammen, når potenser ganges med de samme grundtal: 21 1 3 · 21 2 3 = 21 1 3 + 2 3 = 21 1 = 21.

Der er en anden måde at udføre transformationen på:

3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 = 3 1 3 · 7 1 3 · (3 · 7) 2 3 = 3 1 3 · 7 1 3 · 3 2 3 · 7 2 3 = = 3 1 3 · 3 2 3 7 1 3 7 2 3 = 3 1 3 + 2 3 7 1 3 + 2 3 = 3 1 7 1 = 21

Svar: 3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 7 1 = 21

Eksempel 6

Givet et magtudtryk a 1, 5 − a 0, 5 − 6, indtast en ny variabel t = a 0,5.

Løsning

Lad os forestille os graden en 1, 5 Hvordan en 0,5 3. Brug af egenskaben grader til grader (a r) s = a r · s fra højre mod venstre og vi får (a 0 , 5) 3: a 1 , 5 − a 0 , 5 − 6 = (a 0 , 5) 3 − a 0 , 5 − 6 . Du kan nemt indføre en ny variabel i det resulterende udtryk t = a 0,5: vi får t 3 − t − 6.

Svar: t 3 − t − 6 .

Omregning af brøker indeholdende potenser

Vi beskæftiger os normalt med to versioner af potensudtryk med brøker: Udtrykket repræsenterer en brøk med en potens eller indeholder en sådan brøk. Alle grundlæggende transformationer af fraktioner kan anvendes på sådanne udtryk uden begrænsninger. De kan reduceres, bringes til en ny nævner eller arbejdes separat med tæller og nævner. Lad os illustrere dette med eksempler.

Eksempel 7

Forenkle magtudtrykket 3 · 5 2 3 · 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 · x 2 - 3 - 3 · x 2 .

Løsning

Vi har at gøre med en brøk, så vi vil udføre transformationer i både tælleren og nævneren:

3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = 3 5 2 3 5 1 3 - 3 5 2 3 5 - 2 3 - 2 - x 2 = = 3 5 2 3 + 1 3 - 3 5 2 3 + - 2 3 - 2 - x 2 = 3 5 1 - 3 5 0 - 2 - x 2

Placer et minustegn foran brøken for at ændre fortegn for nævneren: 12 - 2 - x 2 = - 12 2 + x 2

Svar: 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = - 12 2 + x 2

Brøker indeholdende potenser reduceres til en ny nævner på samme måde som rationelle brøker. For at gøre dette skal du finde en ekstra faktor og gange brøkens tæller og nævner med den. Det er nødvendigt at vælge en ekstra faktor på en sådan måde, at den ikke går til nul for nogen værdier af variabler fra ODZ-variablerne for det oprindelige udtryk.

Eksempel 8

Reducer brøkerne til en ny nævner: a) a + 1 a 0, 7 til nævneren -en, b) 1 x 2 3 - 2 · x 1 3 · y 1 6 + 4 · y 1 3 til nævneren x + 8 · y 1 2 .

Løsning

a) Lad os vælge en faktor, der gør det muligt for os at reducere til en ny nævner. a 0, 7 a 0, 3 = a 0, 7 + 0, 3 = a, derfor vil vi som en ekstra faktor tage en 0, 3. Rækken af ​​tilladte værdier for variablen a inkluderer sættet af alle positive reelle tal. Grad inden for dette felt en 0, 3 går ikke i nul.

Lad os gange tælleren og nævneren af ​​en brøk med en 0, 3:

a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a 0, 7 a 0, 3 = a + 1 a 0, 3 a

b) Lad os være opmærksomme på nævneren:

x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 2 - x 1 3 2 y 1 6 + 2 y 1 6 2

Lad os gange dette udtryk med x 1 3 + 2 · y 1 6, vi får summen af ​​terningerne x 1 3 og 2 · y 1 6, dvs. x + 8 · y 1 2 . Dette er vores nye nævner, som vi skal reducere den oprindelige fraktion til.

Sådan fandt vi den ekstra faktor x 1 3 + 2 · y 1 6 . Om intervallet af tilladte værdier af variabler x Og y udtrykket x 1 3 + 2 y 1 6 forsvinder ikke, derfor kan vi gange brøkens tæller og nævner med det:
1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 + 2 y 1 6 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 3 + 2 y 1 6 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2

Svar: a) a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 · y 1 2 .

Eksempel 9

Reducer brøken: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3, b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2.

Løsning

a) Vi bruger den største fællesnævner (GCD), hvormed vi kan reducere tælleren og nævneren. For nummer 30 og 45 er det 15. Vi kan også lave en reduktion pr x0,5+1 og på x + 2 · x 1 1 3 - 5 3 .

Vi får:

30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 x 3 3 (x 0, 5 + 1)

b) Her er tilstedeværelsen af ​​identiske faktorer ikke indlysende. Du bliver nødt til at udføre nogle transformationer for at få de samme faktorer i tæller og nævner. For at gøre dette udvider vi nævneren ved hjælp af kvadratforskellens formel:

a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 2 - b 1 2 2 = = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 + b 1 4 a 1 4 - b 1 4 = 1 a 1 4 + b 1 4

Svar: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 · x 3 3 · (x 0, 5 + 1), b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = 1 a 1 4 + b 1 4.

Grundlæggende operationer med brøker omfatter konvertering af brøker til en ny nævner og reduktion af brøker. Begge handlinger udføres i overensstemmelse med en række regler. Ved addering og subtraktion af brøker reduceres først brøkerne til en fællesnævner, hvorefter operationer (addition eller subtraktion) udføres med tællere. Nævneren forbliver den samme. Resultatet af vores handlinger er en ny brøk, hvis tæller er produktet af tællere, og nævneren er produktet af nævnerne.

Eksempel 10

Udfør trinene x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2.

Løsning

Lad os starte med at trække de brøker, der står i parentes. Lad os bringe dem til en fællesnævner:

x 1 2 - 1 x 1 2 + 1

Lad os trække tællerne fra:

x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 2 - x 1 2 - 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 2 + 2 x 1 2 + 1 - x 1 2 2 - 2 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2

Nu gange vi brøkerne:

4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2

Lad os reducere med en magt x 1 2, får vi 4 x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1 .

Derudover kan du forenkle potensudtrykket i nævneren ved at bruge kvadratforskellens formel: kvadrater: 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 = 4 x 1 2 2 - 1 2 = 4 x - 1 .

Svar: x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = 4 x - 1

Eksempel 11

Forenkle magtlovens udtryk x 3 4 x 2, 7 + 1 2 x - 5 8 x 2, 7 + 1 3.
Løsning

Vi kan reducere fraktionen med (x 2, 7 + 1) 2. Vi får brøken x 3 4 x - 5 8 x 2, 7 + 1.

Lad os fortsætte med at transformere potenserne af x x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2, 7 + 1. Nu kan du bruge egenskaben til at dividere potenser med samme grundtal: x 3 4 x - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 3 4 - - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 1 1 8 1 x 2, 7 + 1.

Vi flytter fra sidste arbejde til brøken x 1 3 8 x 2, 7 + 1.

Svar: x 3 4 x 2, 7 + 1 2 x - 5 8 x 2, 7 + 1 3 = x 1 3 8 x 2, 7 + 1.

I de fleste tilfælde er det mere bekvemt at overføre faktorer med negative eksponenter fra tælleren til nævneren og tilbage, hvilket ændrer eksponentens fortegn. Denne handling giver dig mulighed for at forenkle den videre beslutning. Lad os give et eksempel: potensudtrykket (x + 1) - 0, 2 3 · x - 1 kan erstattes af x 3 · (x + 1) 0, 2.

Konvertering af udtryk med rødder og kræfter

I problemer er der potensudtryk, der ikke kun indeholder potenser med brøkeksponenter, men også rødder. Det er tilrådeligt kun at reducere sådanne udtryk til rødder eller kun til magter. At gå efter grader er at foretrække, da de er nemmere at arbejde med. Denne overgang er især at foretrække, når ODZ af variabler for det oprindelige udtryk giver dig mulighed for at erstatte rødderne med potenser uden behov for at få adgang til modulet eller opdele ODZ i flere intervaller.

Eksempel 12

Udtryk udtrykket x 1 9 · x · x 3 6 som en potens.

Løsning

Område af tilladte variabelværdier x er defineret af to uligheder x ≥ 0 og x x 3 ≥ 0, som definerer mængden [ 0 , + ∞) .

På dette sæt har vi ret til at flytte fra rødder til magter:

x 1 9 · x · x 3 6 = x 1 9 · x · x 1 3 1 6

Ved at bruge magtens egenskaber forenkler vi det resulterende magtudtryk.

x 1 9 x x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 1 3 6 = = x 1 9 x 1 6 x 1 18 = x 1 9 + 1 6 + 1 18 = x 1 3

Svar: x 1 9 · x · x 3 6 = x 1 3 .

Konvertering af potenser med variable i eksponenten

Disse transformationer er ret nemme at lave, hvis man bruger gradens egenskaber korrekt. f.eks. 5 2 x + 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x − 1 = 0.

Vi kan erstatte med produktet af potenser, hvis eksponenter er summen af ​​en variabel og et tal. På venstre side kan dette gøres med det første og sidste led i venstre side af udtrykket:

5 2 x 5 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x 7 − 1 = 0 , 5 5 2 x − 3 5 x 7 x − 2 7 2 x = 0 .

Lad os nu dividere begge sider af ligheden med 7 2 x. Dette udtryk for variablen x tager kun positive værdier:

5 5 - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 7 2 x , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 2 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0, 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0

Lad os reducere brøker med potenser, vi får: 5 · 5 2 · x 7 2 · x - 3 · 5 x 7 x - 2 = 0.

Endelig er forholdet mellem potenser med de samme eksponenter erstattet af potenser af forhold, hvilket resulterer i ligningen 5 5 7 2 x - 3 5 7 x - 2 = 0, hvilket svarer til 5 5 7 x 2 - 3 5 7 x - 2 = 0 .

Lad os introducere en ny variabel t = 5 7 x, som reducerer løsningen af ​​den oprindelige eksponentialligning til løsningen af ​​andengradsligningen 5 · t 2 − 3 · t − 2 = 0.

Konvertering af udtryk med potenser og logaritmer

Udtryk, der indeholder potenser og logaritmer, findes også i opgaver. Et eksempel på sådanne udtryk er: 1 4 1 - 5 · log 2 3 eller log 3 27 9 + 5 (1 - log 3 5) · log 5 3. Transformationen af ​​sådanne udtryk udføres ved hjælp af tilgange og egenskaber ved logaritmer diskuteret ovenfor, som vi diskuterede detaljeret i emnet "Transformation af logaritmiske udtryk".

Hvis du bemærker en fejl i teksten, skal du markere den og trykke på Ctrl+Enter

Det er indlysende, at tal med potenser kan tilføjes ligesom andre størrelser , ved at tilføje dem en efter en med deres tegn.

Så summen af ​​a 3 og b 2 er a 3 + b 2.
Summen af ​​a 3 - b n og h 5 -d 4 er a 3 - b n + h 5 - d 4.

Odds samme magt af identiske variabler kan lægges til eller trækkes fra.

Så summen af ​​2a 2 og 3a 2 er lig med 5a 2.

Det er også indlysende, at hvis du tager to felter a, eller tre felter a, eller fem felter a.

Men grader forskellige variabler Og forskellige grader identiske variabler, skal sammensættes ved at tilføje dem med deres tegn.

Så summen af ​​en 2'er og en 3'er er summen af ​​en 2'er + en 3'er.

Det er indlysende, at kvadratet af a, og terningen af ​​a, ikke er lig med to gange kvadratet af a, men to gange terningen af ​​a.

Summen af ​​a 3 b n og 3a 5 b 6 er a 3 b n + 3a 5 b 6.

Subtraktion beføjelser udføres på samme måde som addition, bortset fra at subtrahendernes fortegn skal ændres tilsvarende.

Eller:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Multiplikation af magter

Tal med potenser kan ganges, ligesom andre størrelser, ved at skrive dem efter hinanden, med eller uden et multiplikationstegn mellem dem.

Resultatet af at gange a 3 med b 2 er således a 3 b 2 eller aaabb.

Eller:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Resultatet i det sidste eksempel kan bestilles ved at tilføje identiske variabler.
Udtrykket vil have formen: a 5 b 5 y 3.

Ved at sammenligne flere tal (variable) med potenser, kan vi se, at hvis to af dem ganges, så er resultatet et tal (variabel) med en potens lig med beløb grader af vilkår.

Så a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Her er 5 potensen af ​​resultatet af multiplikationen, lig med 2 + 3, summen af ​​potenserne af led.

Så a n.am = a m+n.

For a n tages a som en faktor lige så mange gange som potensen af ​​n;

Og en m tages som en faktor lige så mange gange som graden m er lig med;

det er derfor, potenser med samme grundtal kan ganges ved at lægge potensernes eksponenter sammen.

Så a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Og x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Eller:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Multiplicer (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Svar: x 4 - y 4.
Multiplicer (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Denne regel gælder også for tal, hvis eksponenter er negativ.

1. Altså a -2 .a -3 = a -5 . Dette kan skrives som (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y-n.y-m = y-n-m.

3. a -n .a m = a m-n.

Hvis a + b ganges med a - b, bliver resultatet a 2 - b 2: dvs

Resultatet af at gange summen eller forskellen af ​​to tal lig med summen eller forskellen på deres firkanter.

Hvis summen og forskellen af ​​to tal hæves til firkant, vil resultatet være lig med summen eller forskellen af ​​disse tal i fjerde grader.

Altså (a - y).(a + y) = a 2 - y 2.
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4.
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8.

Inddeling af grader

Tal med potenser kan divideres som andre tal, ved at trække fra udbyttet eller ved at placere dem i brøkform.

Således er a 3 b 2 divideret med b 2 lig med a 3.

Eller:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

At skrive en 5 divideret med en 3 ligner $\frac(a^5)(a^3)$. Men dette er lig med en 2'er. I en række tal
a +4, a +3, a +2, a +1, a 0, a -1, a -2, a -3, a -4.
ethvert tal kan divideres med et andet, og eksponenten vil være lig med forskel indikatorer for delelige tal.

Når man dividerer grader med samme grundtal, trækkes deres eksponenter fra..

Så y 3:y 2 = y 3-2 = y 1. Det vil sige $\frac(yyy)(yy) = y$.

Og a n+1:a = a n+1-1 = a n . Det vil sige $\frac(aa^n)(a) = a^n$.

Eller:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3

Reglen gælder også for tal med negativ værdier af grader.
Resultatet af at dividere en -5 med en -3 er en -2.
Også $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 eller $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

Det er nødvendigt at mestre multiplikation og division af potenser meget godt, da sådanne operationer er meget udbredt i algebra.

Eksempler på løsning af eksempler med brøker indeholdende tal med potenser

1. Reducer eksponenterne med $\frac(5a^4)(3a^2)$ Svar: $\frac(5a^2)(3)$.

2. Formindsk eksponenterne med $\frac(6x^6)(3x^5)$. Svar: $\frac(2x)(1)$ eller 2x.

3. Reducer eksponenterne a 2 /a 3 og a -3 /a -4 og bring dem til en fællesnævner.
a 2 .a -4 er a -2 den første tæller.
a 3 .a -3 er a 0 = 1, den anden tæller.
a 3 .a -4 er a -1 , den fælles tæller.
Efter forenkling: a -2 /a -1 og 1/a -1 .

4. Reducer eksponenterne 2a 4 /5a 3 og 2 /a 4 og bring dem til en fællesnævner.
Svar: 2a 3 /5a 7 og 5a 5 /5a 7 eller 2a 3 /5a 2 og 5/5a 2.

5. Gang (a 3 + b)/b 4 med (a - b)/3.

6. Gang (a 5 + 1)/x 2 med (b 2 - 1)/(x + a).

7. Gang b4/a-2 med h-3/x og a n/y-3.

8. Divider a 4 /y 3 med a 3 /y 2 . Svar: a/y.

9. Divider (h 3 - 1)/d 4 med (d n + 1)/h.

Udtryk, udtrykskonvertering

Magtudtryk (udtryk med magter) og deres transformation

I denne artikel vil vi tale om at konvertere udtryk med magt. Først vil vi fokusere på transformationer, der udføres med udtryk af enhver art, herunder magtudtryk, såsom at åbne parenteser og bringe lignende udtryk. Og så vil vi analysere de transformationer, der er iboende specifikt i udtryk med grader: arbejde med basen og eksponenten, ved hjælp af egenskaberne for grader osv.

Sidenavigation.

Hvad er magtudtryk?

Begrebet "magtudtryk" forekommer praktisk talt ikke i skolematematiklærebøger, men det optræder ret ofte i opgavesamlinger, især dem, der er beregnet til forberedelse til Unified State Exam og Unified State Exam, for eksempel. Efter at have analyseret de opgaver, hvor det er nødvendigt at udføre eventuelle handlinger med magtudtryk, bliver det klart, at magtudtryk forstås som udtryk, der indeholder magter i deres indtastninger. Derfor kan du acceptere følgende definition for dig selv:

Definition.

Magt udtryk er udtryk, der indeholder beføjelser.

Lad os give eksempler på magtudtryk. Desuden vil vi præsentere dem efter, hvordan udviklingen af ​​synspunkter på fra en grad med en naturlig eksponent til en grad med en reel eksponent sker.

Som bekendt stifter man først bekendtskab med potensen af ​​et tal med en naturlig eksponent på dette stadium, de første simpleste potensudtryk af typen 3 2, 7 5 +1, (2+1) 5, (−0,1) 4, 3 a 2 vises −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 osv.

Lidt senere studeres potensen af ​​et tal med en heltalseksponent, hvilket fører til fremkomsten af ​​potensudtryk med negative heltalspotenser, som følgende: 3 −2, a -2 +2 b -3 + c2.

I gymnasiet vender de tilbage til grader. Der introduceres en grad med en rationel eksponent, som indebærer fremkomsten af ​​de tilsvarende magtudtryk: , , osv. Til sidst betragtes grader med irrationelle eksponenter og udtryk, der indeholder dem: , .

Sagen er ikke begrænset til de anførte potensudtryk: yderligere trænger variablen ind i eksponenten, og f.eks. opstår følgende udtryk: 2 x 2 +1 eller . Og efter at have stiftet bekendtskab med , begynder udtryk med potenser og logaritmer at dukke op, for eksempel x 2·lgx −5·x lgx.

Så vi har beskæftiget os med spørgsmålet om, hvad magtudtryk repræsenterer. Dernæst vil vi lære at konvertere dem.

Hovedtyper af transformationer af magtudtryk

Med magtudtryk kan du udføre enhver af de grundlæggende identitetstransformationer af udtryk. For eksempel kan du udvide beslagene, udskifte numeriske udtryk deres værdier, give lignende udtryk osv. Naturligvis er det i dette tilfælde nødvendigt at følge den accepterede procedure for at udføre handlinger. Lad os give eksempler.

Eksempel.

Beregn værdien af ​​potensudtrykket 2 3 ·(4 2 −12) .

Løsning.

I henhold til rækkefølgen for udførelse af handlinger skal du først udføre handlingerne i parentes. Der erstatter vi for det første potensen 4 2 med dens værdi 16 (hvis det er nødvendigt, se), og for det andet beregner vi forskellen 16−12=4. Det har vi 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4.

I det resulterende udtryk erstatter vi potensen 2 3 med dens værdi 8, hvorefter vi beregner produktet 8·4=32. Dette er den ønskede værdi.

Så, 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4=8·4=32.

Svar:

2 3 ·(4 2 -12)=32.

Eksempel.

Forenkle udtryk med kræfter 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.

Løsning.

Det er klart, at dette udtryk indeholder lignende udtryk 3·a 4 ·b −7 og 2·a 4 ·b −7 , og vi kan præsentere dem: .

Svar:

3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.

Eksempel.

Udtryk et udtryk med kræfter som et produkt.

Løsning.

Du kan klare opgaven ved at repræsentere tallet 9 som en potens af 3 2 og derefter bruge formlen for forkortet multiplikation - kvadratforskel:

Svar:

Der er også en række identiske transformationer iboende specifikt i magtudtryk. Vi vil analysere dem yderligere.

Arbejde med base og eksponent

Der er potenser, hvis grundtal og/eller eksponent ikke kun er tal eller variable, men nogle udtryk. Som eksempel giver vi indtastningerne (2+0,3·7) 5−3,7 og (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) .

Når du arbejder med sådanne udtryk, kan du erstatte både udtrykket i bunden af ​​graden og udtrykket i eksponenten med et identisk ens udtryk i ODZ af dens variable. Med andre ord, ifølge de regler, vi kender, kan vi separat transformere gradens basis og eksponenten separat. Det er klart, at der som et resultat af denne transformation vil blive opnået et udtryk, der er identisk med det oprindelige.

Sådanne transformationer giver os mulighed for at forenkle udtryk med kræfter eller opnå andre mål, vi har brug for. For eksempel, i potensudtrykket nævnt ovenfor (2+0,3 7) 5−3,7, kan du udføre operationer med tallene i grundtallet og eksponenten, hvilket giver dig mulighed for at flytte til potensen 4,1 1,3. Og efter at have åbnet parenteserne og bragt lignende udtryk til gradens basis (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1), får vi et potensudtryk af en enklere form a 2·(x+ 1).

Brug af gradsegenskaber

Et af de vigtigste værktøjer til at transformere udtryk med kræfter er ligheder, der afspejler. Lad os huske de vigtigste. For evt positive tal a og b og vilkårlige reelle tal r og s, gælder følgende egenskaber for potenser:

• a r ·a s =a r+s;
• a r:a s =a r−s;
• (a·b) r =a r · br;
• (a:b) r =a r:b r;
• (a r) s =a r·s.

Bemærk, at for naturlige, heltal og positive eksponenter er begrænsningerne for tallene a og b muligvis ikke så strenge. For eksempel for naturlige tal m og n er ligheden a m ·a n =a m+n sand ikke kun for positiv a, men også for negativ a, og for a=0.

I skolen, når man transformerer magtudtryk, er hovedfokus på evnen til at vælge den passende egenskab og anvende den korrekt. I dette tilfælde er gradernes basis normalt positive, hvilket gør det muligt at bruge gradernes egenskaber uden begrænsninger. Det samme gælder for transformation af udtryk, der indeholder variable i potensgrundlag - intervallet af tilladte værdier af variable er normalt sådan, at baserne kun tager positive værdier på det, hvilket giver dig mulighed for frit at bruge magtens egenskaber . Generelt skal du konstant spørge dig selv, om det er muligt at bruge en hvilken som helst egenskab af grader i dette tilfælde, fordi unøjagtig brug af egenskaber kan føre til en indsnævring af den uddannelsesmæssige værdi og andre problemer. Disse punkter diskuteres i detaljer og med eksempler i artiklen transformation af udtryk ved hjælp af egenskaber ved grader. Her vil vi begrænse os til at overveje nogle få simple eksempler.

Eksempel.

Udtryk udtrykket a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 som en potens med grundtal a.

Løsning.

Først transformerer vi den anden faktor (a 2) −3 ved at bruge egenskaben til at hæve en potens til en potens: (a 2) −3 =a 2·(−3) =a −6. Det oprindelige potensudtryk vil have formen a 2,5 ·a −6:a −5,5. Det er klart, at det er tilbage at bruge egenskaberne multiplikation og division af potenser med den samme base, vi har
a 2,5 ·a −6:a −5,5 =
a 2,5−6:a −5,5 =a −3,5:a −5,5 =
a −3,5−(−5,5) =a 2 .

Svar:

a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 =a 2.

Potens egenskaber ved transformation af magtudtryk bruges både fra venstre mod højre og fra højre mod venstre.

Eksempel.

Find værdien af ​​magtudtrykket.

Løsning.

Ligheden (a·b) r =a r ·b r, anvendt fra højre mod venstre, giver os mulighed for at bevæge os fra det oprindelige udtryk til et produkt af formen og videre. Og når man multiplicerer potenser med de samme grundtal, summeres eksponenterne: .

Det var muligt at transformere det oprindelige udtryk på en anden måde:

Svar:

.

Eksempel.

Givet potensudtrykket a 1,5 −a 0,5 −6, indfør en ny variabel t=a 0,5.

Løsning.

Graden a 1,5 kan repræsenteres som en 0,5 3 og derefter, baseret på egenskaben af ​​graden til graden (a r) s =a r s, anvendt fra højre mod venstre, transformer den til formen (a 0,5) 3. Således, a 1,5 −a 0,5 −6=(a 0,5) 3 −a 0,5 −6. Nu er det nemt at introducere en ny variabel t=a 0,5, vi får t 3 −t−6.

Svar:

t 3 −t−6 .

Omregning af brøker indeholdende potenser

Potensudtryk kan indeholde eller repræsentere brøker med potenser. Enhver af de grundlæggende transformationer af fraktioner, der er iboende i fraktioner af enhver art, er fuldt anvendelige for sådanne fraktioner. Det vil sige, at brøker, der indeholder potenser, kan reduceres, reduceres til en ny nævner, arbejdes separat med deres tæller og separat med nævneren osv. For at illustrere disse ord, overvej løsninger til flere eksempler.

Eksempel.

Forenkle kraftudtryk .

Løsning.

Dette magtudtryk er en brøkdel. Lad os arbejde med dens tæller og nævner. I tælleren åbner vi parenteserne og forenkler det resulterende udtryk ved hjælp af potensernes egenskaber, og i nævneren præsenterer vi lignende udtryk:

Og lad os også ændre nævnerens fortegn ved at placere et minus foran brøken: .

Svar:

.

Reduktion af brøker indeholdende potenser til en ny nævner udføres på samme måde som at reducere rationelle brøker til en ny nævner. I dette tilfælde findes der også en ekstra faktor, og brøkens tæller og nævner ganges med den. Når du udfører denne handling, er det værd at huske, at reduktion til en ny nævner kan føre til en indsnævring af VA. For at forhindre dette i at ske, er det nødvendigt, at den ekstra faktor ikke går til nul for nogen værdier af variablerne fra ODZ-variablerne for det oprindelige udtryk.

Eksempel.

Reducer brøkerne til en ny nævner: a) til nævner a, b) til nævneren.

Løsning.

a) I dette tilfælde er det ret nemt at finde ud af, hvilken ekstra multiplikator der hjælper med at opnå det ønskede resultat. Dette er en multiplikator på 0,3, da a 0,7 ·a 0,3 =a 0,7+0,3 =a. Bemærk, at i intervallet af tilladte værdier af variablen a (dette er mængden af ​​alle positive reelle tal), forsvinder styrken af ​​en 0,3 ikke, derfor har vi ret til at gange tælleren og nævneren for en given given brøk med denne yderligere faktor:

b) Hvis du ser nærmere på nævneren, kan du finde ud af det

og gange dette udtryk med vil give summen af ​​terninger og , det vil sige . Og dette er den nye nævner, som vi skal reducere den oprindelige brøk til.

Sådan fandt vi en ekstra faktor. I intervallet af tilladte værdier af variablerne x og y forsvinder udtrykket ikke, derfor kan vi gange tælleren og nævneren af ​​brøken med det:

Svar:

EN) , b) .

Der er heller ikke noget nyt i at reducere brøker, der indeholder potenser: tælleren og nævneren er repræsenteret som en række faktorer, og de samme faktorer af tælleren og nævneren reduceres.

Eksempel.

Reducer brøken: a) , b) .

Løsning.

a) For det første kan tælleren og nævneren reduceres med tallene 30 og 45, hvilket er lig med 15. Det er naturligvis også muligt at udføre en reduktion med x 0,5 +1 og med . Her er hvad vi har:

b) I dette tilfælde er identiske faktorer i tæller og nævner ikke umiddelbart synlige. For at opnå dem skal du udføre foreløbige transformationer. I dette tilfælde består de i at faktorisere nævneren ved hjælp af kvadratforskellens formel:

Svar:

EN)

b) .

Konvertering af brøker til en ny nævner og reducerende brøker bruges hovedsageligt til at gøre ting med brøker. Handlinger udføres iflg kendte regler. Ved addering (fratræk) af brøker reduceres de til en fællesnævner, hvorefter tællerne adderes (fratrækkes), men nævneren forbliver den samme. Resultatet er en brøk, hvis tæller er produktet af tællerne, og nævneren er produktet af nævnerne. Division med en brøk er multiplikation med dens inverse.

Eksempel.

Følg trinene .

Løsning.

Først trækker vi brøkerne i parentes fra. For at gøre dette bringer vi dem til en fællesnævner, som er , hvorefter vi trækker tællerne fra:

Nu gange vi brøkerne:

Det er klart, at det er muligt at reducere med en potens på x 1/2, hvorefter vi har .

Du kan også forenkle potensudtrykket i nævneren ved at bruge kvadratforskellens formel: .

Svar:

Eksempel.

Forenkle Power-udtrykket .

Løsning.

Denne brøk kan naturligvis reduceres med (x 2,7 +1) 2, dette giver brøken . Det er klart, at der skal gøres noget andet med X-kræfterne. For at gøre dette omdanner vi den resulterende fraktion til et produkt. Dette giver os muligheden for at drage fordel af egenskaben ved at dele magter med samme grundlag: . Og i slutningen af ​​processen går vi fra det sidste produkt til fraktionen.

Svar:

.

Og lad os også tilføje, at det er muligt, og i mange tilfælde ønskeligt, at overføre faktorer med negative eksponenter fra tælleren til nævneren eller fra nævneren til tælleren, hvorved eksponentens fortegn ændres. Sådanne transformationer forenkler ofte yderligere handlinger. For eksempel kan et potensudtryk erstattes af .

Konvertering af udtryk med rødder og kræfter

Ofte, i udtryk, hvor nogle transformationer er påkrævet, er rødder med brøkeksponenter også til stede sammen med potenser. At konvertere sådan et udtryk til den rigtige type, i de fleste tilfælde er det nok kun at gå til rødder eller kun til magter. Men da det er mere bekvemt at arbejde med magter, bevæger de sig normalt fra rødder til magter. Det er dog tilrådeligt at udføre en sådan overgang, når ODZ af variabler for det oprindelige udtryk giver dig mulighed for at erstatte rødderne med potenser uden at skulle henvise til modulet eller opdele ODZ i flere intervaller (vi diskuterede dette i detaljer i artiklens overgang fra rødder til potenser og tilbage Efter at have stiftet bekendtskab med graden med en rationel eksponent introduceres en grad med en irrationel eksponent, som giver os mulighed for at tale om en grad med en vilkårlig reel eksponent studerede i skolen. eksponentiel funktion , som er analytisk givet ved en potens, hvis basis er et tal, og eksponenten er en variabel. Så vi står over for potensudtryk, der indeholder tal i potensens basis, og i eksponenten - udtryk med variable, og naturligvis opstår behovet for at udføre transformationer af sådanne udtryk.

Det skal siges, at transformationen af ​​udtryk af den angivne type normalt skal udføres ved løsning eksponentielle ligninger Og eksponentielle uligheder , og disse konverteringer er ret simple. I langt de fleste tilfælde er de baseret på gradens egenskaber og sigter for det meste på at indføre en ny variabel i fremtiden. Ligningen vil give os mulighed for at demonstrere dem 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

For det første erstattes potenser, i hvis eksponenter er summen af ​​en bestemt variabel (eller udtryk med variable) og et tal, med produkter. Dette gælder for det første og sidste led i udtrykket i venstre side:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

Dernæst divideres begge sider af ligheden med udtrykket 7 2 x, som på ODZ af variablen x for den oprindelige ligning kun tager positive værdier (dette er en standardteknik til at løse ligninger af denne type, vi er ikke taler om det nu, så fokuser på efterfølgende transformationer af udtryk med kræfter ):

Nu kan vi annullere brøker med potenser, hvilket giver .

Endelig er forholdet mellem potenser med de samme eksponenter erstattet af potenser af relationer, hvilket resulterer i ligningen , hvilket svarer til . De foretagne transformationer giver os mulighed for at introducere en ny variabel, som reducerer løsningen af ​​den oprindelige eksponentialligning til løsningen af ​​en andengradsligning

I. V. Boykov, L. D. Romanova Indsamling af opgaver til forberedelse til Unified State Exam. Del 1. Penza 2003.

Gå til youtube-kanalen på vores hjemmeside for at holde dig opdateret med alle de nye videolektioner.

Lad os først huske de grundlæggende formler for magter og deres egenskaber.

Produkt af et nummer -en forekommer på sig selv n gange, kan vi skrive dette udtryk som a … a=a n

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n / a m = a n - m

Strøm eller eksponentielle ligninger – det er ligninger, hvor variablerne er i potenser (eller eksponenter), og grundfladen er et tal.

Eksempler på eksponentialligninger:

I i dette eksempel tallet 6 er basen, det er altid nederst og variablen x grad eller indikator.

Lad os give flere eksempler på eksponentialligninger.
2 x *5=10
16 x - 4 x - 6=0

Lad os nu se på, hvordan eksponentielle ligninger løses?

Lad os tage en simpel ligning:

2 x = 2 3

Dette eksempel kan løses selv i dit hoved. Det kan ses, at x=3. Når alt kommer til alt, for at venstre og højre side skal være ens, skal du sætte tallet 3 i stedet for x.
Lad os nu se, hvordan man formaliserer denne beslutning:

2 x = 2 3
x = 3

For at løse sådan en ligning fjernede vi identiske grunde(altså toere) og skrev ned hvad der var tilbage, det er grader. Vi fik det svar, vi ledte efter.

Lad os nu opsummere vores beslutning.

Algoritme til løsning af eksponentialligningen:
1. Skal tjekkes identisk om ligningen har baser til højre og venstre. Hvis årsagerne ikke er de samme, leder vi efter muligheder for at løse dette eksempel.
2. Efter at baserne er blevet de samme, sidestille grader og løs den resulterende nye ligning.

Lad os nu se på et par eksempler:

Lad os starte med noget simpelt.

Baserne på venstre og højre side er lig med tallet 2, hvilket betyder, at vi kan kassere basen og sidestille deres potenser.

x+2=4 Den enkleste ligning opnås.
x=4 – 2
x=2
Svar: x=2

I det følgende eksempel kan du se, at baserne er forskellige: 3 og 9.

3 3x - 9 x+8 = 0

Flyt først de ni til højre, så får vi:

Nu skal du lave de samme bunde. Vi ved, at 9=3 2. Lad os bruge potensformlen (a n) m = a nm.

3 3x = (3 2) x+8

Vi får 9 x+8 =(3 2) x+8 =3 2x+16

3 3x = 3 2x+16 Nu er det klart, at på venstre og højre side er baserne ens og lig med tre, hvilket betyder, at vi kan kassere dem og sidestille graderne.

3x=2x+16 får vi den enkleste ligning
3x - 2x=16
x=16
Svar: x=16.

Lad os se på følgende eksempel:

2 2x+4 - 10 4 x = 2 4

Først og fremmest ser vi på baserne, base to og fire. Og vi har brug for, at de er de samme. Vi transformerer de fire ved at bruge formlen (a n) m = a nm.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Og vi bruger også en formel a n a m = a n + m:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Tilføj til ligningen:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Vi gav et eksempel af samme årsager. Men andre tal 10 og 24 generer os. Hvad skal vi gøre med dem? Hvis du ser godt efter kan du se, at vi i venstre side har 2 2x gentaget, her er svaret - vi kan sætte 2 2x ud af parentes:

2 2x (2 4 - 10) = 24

Lad os beregne udtrykket i parentes:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Vi dividerer hele ligningen med 6:

Lad os forestille os 4=2 2:

2 2x = 2 2 baser er ens, vi kasserer dem og sætter lighedstegn mellem graderne.
2x = 2 er den enkleste ligning. Divider det med 2 og vi får
x = 1
Svar: x = 1.

Lad os løse ligningen:

9 x – 12*3 x +27= 0

Lad os transformere:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Vi får ligningen:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

Vores baser er de samme, lig med tre. I dette eksempel kan du se, at de tre første har en grad to gange (2x) end den anden (kun x). I dette tilfælde kan du løse udskiftningsmetode. Vi erstatter tallet med den mindste grad:

Så 3 2x = (3 x) 2 = t 2

Vi erstatter alle x potenser i ligningen med t:

t2 - 12t+27 = 0
Vi får andengradsligning. Løser vi gennem diskriminanten, får vi:
D=144-108=36
t 1 = 9
t2 = 3

Vender tilbage til variablen x.

Tag t 1:
t1 = 9 = 3 x

Derfor,

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

En rod blev fundet. Vi leder efter den anden fra t 2:
t2 = 3 = 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Svar: x 1 = 2; x 2 = 1.

På hjemmesiden kan du stille alle de spørgsmål, du måtte have i sektionen HJÆLP BESLUT, vi vil helt sikkert svare dig.

Deltag i gruppen