Vanlige og desimalbrøker og operasjoner på dem. Desimaler, definisjoner, notasjon, eksempler, operasjoner med desimaler

At hvis de kan serieteorien, så uten den kan ingen metamatiske begreper introduseres. Dessuten tror disse menneskene at alle som ikke bruker det mye er uvitende. La oss overlate synspunktene til disse menneskene til deres samvittighet. La oss bedre forstå hva en uendelig periodisk brøk er og hvordan vi, uutdannede mennesker som ikke kjenner noen grenser, bør håndtere den.

La oss dele 237 på 5. Nei, du trenger ikke å starte kalkulatoren. La oss bedre huske ungdomsskolen (eller til og med barneskolen?) og ganske enkelt dele den inn i en kolonne:

Vel, husket du? Så kan du komme i gang.

Begrepet "brøk" i matematikk har to betydninger:

Ikke-heltall.
Ikke-heltallsform.

Det er to typer brøker - i betydningen to former for å skrive ikke-heltall:

Enkel (eller vertikal) brøker, som 1/2 eller 237/5.
Desimalbrøker, for eksempel 0,5 eller 47,4.

Merk at generelt sett betyr ikke selve bruken av en brøknotasjon at det som skrives er et brøktall, for eksempel 3/3 eller 7,0 - ikke brøker i ordets første betydning, men i den andre, selvfølgelig , brøker.

I matematikk, generelt, har desimaltelling alltid vært akseptert, og derfor desimaler mer praktisk enn enkle, det vil si en brøk med en desimalnevner (Vladimir Dal. Ordbok lever stort russisk språk. "Ti").

Og i så fall vil jeg gjøre hver vertikal brøk til en desimal ("horisontal"). Og for å gjøre dette trenger du bare å dele telleren med nevneren. La oss for eksempel ta brøken 1/3 og prøve å lage en desimal av den.

Selv en helt uutdannet person vil legge merke til: uansett hvor lang tid det tar, vil det ikke skille seg: trillinger vil fortsette å dukke opp i det uendelige. Så la oss skrive det ned: 0,33 ... Vi mener "tallet som oppnås når du deler 1 på 3," eller kort sagt "en tredjedel." Naturligvis er en tredjedel en brøk i ordets første betydning, og "1/3" og "0,33..." er brøker i ordets andre betydning, dvs. påmeldingsskjemaer et tall som ligger på tallinjen i en slik avstand fra null at hvis du legger det til side tre ganger, får du en.

La oss nå prøve å dele 5 på 6:

La oss skrive det ned igjen: 0,833 ... Vi mener "tallet du får når du deler 5 på 6," eller kort sagt "fem sjettedeler." Men det oppstår forvirring her: betyr dette 0,83333 (og så gjentas trillingene), eller 0,833833 (og så gjentas 833). Derfor passer ikke notasjon med en ellipse for oss: det er ikke klart hvor den repeterende delen begynner (det kalles en "periode"). Derfor vil vi sette punktum i parentes, slik: 0,(3); 0,8(3).

0,(3) ikke lett er lik en tredjedel, altså Det er en tredjedel, fordi vi spesielt oppfant denne notasjonen for å representere dette tallet som en desimalbrøk.

Denne oppføringen kalles uendelig periodisk brøk, eller ganske enkelt en periodisk brøk.

Når vi deler ett tall med et annet, hvis vi ikke får en endelig brøk, får vi en uendelig periodisk brøk, det vil si at en dag vil tallsekvensene definitivt begynne å gjenta seg. Hvorfor dette er slik kan forstås rent spekulativt ved å se nøye på kolonnedelingsalgoritmen:

På de stedene som er merket med hake, kan det ikke alltid oppnås forskjellige tallpar (fordi det i prinsippet er et begrenset antall slike par). Og så snart et slikt par dukker opp der, som allerede eksisterte, vil forskjellen også være den samme - og da vil hele prosessen begynne å gjenta seg selv. Det er ikke nødvendig å sjekke dette, fordi det er ganske åpenbart at hvis du gjentar de samme handlingene, vil resultatene være de samme.

Nå som vi forstår godt essens periodisk brøk, la oss prøve å gange en tredjedel med tre. Ja, selvfølgelig, du vil få en, men la oss skrive denne brøken i desimalform og multiplisere den i en kolonne (tvetydighet oppstår ikke her på grunn av ellipsen, siden alle tallene etter desimaltegnet er de samme):

Og igjen legger vi merke til at nire, nire og niere vil vises etter desimaltegn hele tiden. Det vil si at ved å bruke den omvendte parentesnotasjonen får vi 0,(9). Siden vi vet at produktet av en tredjedel og tre er en, så er 0.(9) en så fancy måte å skrive en på. Det er imidlertid upassende å bruke denne formen for opptak, fordi en enhet kan skrives perfekt uten å bruke et punktum, som dette: 1.

Som du kan se, er 0,(9) et av de tilfellene der hele tallet er skrevet i brøkform, som 3/3 eller 7.0. Det vil si at 0,(9) er en brøk bare i den andre betydningen av ordet, men ikke i den første.

Så, uten noen begrensninger eller serier, fant vi ut hva 0.(9) er og hvordan vi skal håndtere det.

Men la oss fortsatt huske at vi faktisk er smarte og studerte analyse. Det er faktisk vanskelig å benekte at:

Men, kanskje, ingen vil krangle med det faktum at:

Alt dette er selvfølgelig sant. Faktisk er 0,(9) både summen av den reduserte serien og dobbelsinus til den indikerte vinkelen, og naturlig logaritme Euler-tall.

Men verken det ene, det andre eller det tredje er en definisjon.

Å si at 0,(9) er summen av den uendelige rekken 9/(10 n), med n lik én, er det samme som å si at sinus er summen av den uendelige Taylor-serien:

Dette helt rett, og dette er det viktigste faktum Til beregningsmatematikk, men dette er ikke en definisjon, og viktigst av alt, det bringer ikke en person nærmere forståelse i bunn og grunn sinus Essensen av sinusen til en viss vinkel er at den bare alt forholdet mellom benet motsatt vinkelen og hypotenusen.

Så en periodisk brøk er bare alt en desimalbrøk som oppnås når når du deler med en kolonne det samme settet med tall vil bli gjentatt. Det er ingen spor av analyse her.

Og det er her spørsmålet oppstår: hvor kommer det fra? i det hele tatt tok vi tallet 0,(9)? Hva deler vi med hva med en kolonne for å få det? Faktisk er det ingen tall slik at når de er delt inn i en kolonne, vil vi ha endeløse niere. Men vi klarte å få dette tallet ved å multiplisere 0,(3) med 3 med en kolonne? Ikke egentlig. Tross alt må du multiplisere fra høyre til venstre for å ta riktig hensyn til overføringene av sifre, og vi gjorde dette fra venstre til høyre, og utnyttet snedig det faktum at overføringer ikke skjer noe sted uansett. Derfor avhenger lovligheten av å skrive 0,(9) av om vi anerkjenner lovligheten av en slik multiplikasjon med en kolonne eller ikke.

Derfor kan vi generelt si at notasjonen 0,(9) er feil – og til en viss grad rett. Men siden notasjonen a ,(b ) er akseptert, er det rett og slett stygt å forlate den når b = 9; Det er bedre å bestemme hva en slik oppføring betyr. Så hvis vi generelt aksepterer notasjonen 0,(9), betyr denne notasjonen selvfølgelig nummer én.

Det gjenstår bare å legge til at hvis vi brukte, for eksempel, det ternære tallsystemet, så når vi deler med en kolonne på en (1 3) med tre (10 3), ville vi få 0,1 3 (les "null komma en tredjedel"), og når man deler en og to vil det være 0,(1) 3.

Så periodisiteten til et brøktall er ikke en objektiv karakteristikk av et brøktall, men bare bivirkning ved hjelp av et eller annet tallsystem.

Det er kjent at hvis nevneren P irreduserbar brøk i sin kanoniske ekspansjon har en primfaktor som ikke er lik 2 og 5, så kan ikke denne brøken representeres som en endelig desimalbrøk. Hvis vi i dette tilfellet prøver å skrive ned den opprinnelige irreduserbare brøken som en desimal, og dividere telleren med nevneren, kan ikke divisjonsprosessen avsluttes, fordi hvis den ble fullført etter et begrenset antall trinn, ville vi fått en endelig desimalbrøk, som motsier det tidligere beviste teoremet. Så i dette tilfellet er desimalnotasjonen til et positivt rasjonelt tall EN= ser ut til å være en uendelig brøk.

For eksempel brøk = 0,3636... . Det er lett å legge merke til at restene ved deling av 4 med 11 gjentas med jevne mellomrom, derfor vil desimalene bli gjentatt med jevne mellomrom, dvs. det viser seg uendelig periodisk desimalbrøk, som kan skrives som 0,(36).

Periodisk gjentakelse av tall 3 og 6 danner en periode. Det kan vise seg at det er flere sifre mellom desimaltegnet og begynnelsen av første punktum. Disse tallene danner pre-perioden. For eksempel,

0,1931818... Prosessen med å dele 17 med 88 er uendelig. Tallene 1, 9, 3 danner pre-perioden; 1, 8 – punktum. Eksemplene vi har vurdert gjenspeiler et mønster, dvs. noe positivt rasjonalt tall representeres som enten en endelig eller uendelig periodisk desimalbrøk.

Teorem 1. La den vanlige brøken være irreduserbar i den kanoniske utvidelsen av nevneren n er en primfaktor forskjellig fra 2 og 5. Da kan fellesbrøken representeres som en uendelig periodisk desimalbrøk.

Bevis. Vi vet allerede at prosessen med å dele et naturlig tall m til et naturlig tall n vil være uendelig. La oss vise at det vil være periodisk. Faktisk når man deler m på n de resulterende saldoene vil bli mindre n, de. tall på formen 1, 2, ..., ( n– 1), hvorfra det er klart at antallet forskjellige rester er begrenset, og derfor, fra et visst trinn, vil noe av resten bli gjentatt, noe som vil medføre repetisjon av desimalplassene til kvotienten, og den uendelige desimalbrøken blir periodisk.

Ytterligere to teoremer holder.

Teorem 2. Hvis utvidelsen av nevneren til en irreduserbar brøk til primfaktorer ikke inkluderer tallene 2 og 5, så når denne brøken konverteres til en uendelig desimalbrøk, vil en ren periodisk brøk fås, dvs. en brøk hvis periode begynner umiddelbart etter desimaltegnet.

Teorem 3. Hvis utvidelsen av nevneren inkluderer faktorene 2 (eller 5) eller begge deler, vil den uendelige periodiske brøken blandes, dvs. mellom desimaltegnet og begynnelsen av perioden vil det være flere sifre (pre-periode), nemlig like mange som den største av eksponentene for faktorene 2 og 5.

Teoremer 2 og 3 er foreslått for leseren for å bevise uavhengig.

28. Metoder for overgang fra uendelig periodisk
desimalbrøker til vanlige brøker

La det gis en periodisk brøk EN= 0,(4), dvs. 0,4444... .

La oss multiplisere EN innen 10, får vi

10EN= 4,444…4…Þ 10 EN = 4 + 0,444….

De. 10 EN = 4 + EN, fikk vi en ligning for EN, løser det, får vi: 9 EN= 4 Þ EN = .

Vi legger merke til at 4 er både telleren for den resulterende brøken og perioden for brøken 0,(4).

Regelå konvertere en ren periodisk brøk til en vanlig brøk er formulert som følger: telleren til brøken er lik perioden, og nevneren består av samme antall ni som det er sifre i perioden til brøken.

La oss nå bevise denne regelen for en brøk hvis periode består av P

EN= . La oss multiplisere EN på 10 n, vi får:

10n × EN = = + 0, ;

10n × EN = + en;

(10n – 1) EN = Þ a = = .

Så den tidligere formulerte regelen har blitt bevist for enhver ren periodisk brøkdel.

La oss nå gi en brøkdel EN= 0,605(43) – blandet periodisk. La oss multiplisere EN med 10 med samme indikator, hvor mange sifre som er i førperioden, dvs. innen 10 3, får vi

10 3 × EN= 605 + 0,(43) Þ 10 3 × EN = 605 + = 605 + = = ,

de. 10 3 × EN= .

Regelå konvertere en blandet periodisk brøk til en vanlig brøk er formulert som følger: telleren for brøken er lik differansen mellom tallet skrevet i sifre før begynnelsen av den andre perioden og tallet skrevet med sifre før begynnelsen av den første perioden , nevneren består av antall ni lik antall sifre i perioden og slikt antall nuller hvor mange sifre det er før starten av den første perioden.

La oss nå bevise denne regelen for en brøk hvis forperiode består av P tall, og perioden er fra Til tall La det gis en periodisk brøk

La oss betegne V= ; r= ,

Med= ; Deretter Med=i × 10k + r.

La oss multiplisere EN med 10 med en slik eksponent hvor mange sifre som er i forperioden, dvs. på 10 n, vi får:

EN×10 n = + .

Med tanke på notasjonene introdusert ovenfor, skriver vi:

a× 10n= V+ .

Så regelen formulert ovenfor har blitt bevist for enhver blandet periodisk brøk.

Hver uendelig periodisk desimalbrøk er en form for å skrive et rasjonelt tall.

Av hensyn til konsistensen blir noen ganger en endelig desimal også betraktet som en uendelig periodisk desimal med punktum "null". For eksempel, 0,27 = 0,27000...; 10,567 = 10,567000...; 3 = 3000... .

Nå blir følgende utsagn sann: hvert rasjonelt tall kan (og på en unik måte) uttrykkes som en uendelig periodisk desimalbrøk, og hver uendelig periodisk desimalbrøk uttrykker nøyaktig ett rasjonelt tall (periodiske desimalbrøker med en periode på 9 regnes ikke som ).

Det faktum at mange kvadratrøtter er irrasjonelle tall, forringer ikke betydningen deres spesielt, tallet $\sqrt2$ brukes veldig ofte i forskjellige tekniske og vitenskapelige beregninger. Dette tallet kan beregnes med den nøyaktigheten som kreves i hvert enkelt tilfelle. Du kan få dette tallet til så mange desimaler som du har tålmodighet til.

For eksempel kan tallet $\sqrt2$ bestemmes med en nøyaktighet på seks desimaler: $\sqrt2=1.414214$. Denne verdien er ikke veldig forskjellig fra den sanne verdien, siden $1,414214 \times 1,414214=2,000001237796$. Dette svaret skiller seg fra 2 med knapt mer enn en milliondel. Derfor anses verdien av $\sqrt2$ lik $1,414214$ som ganske akseptabelt for å løse de fleste praktiske problemer. I tilfeller hvor det kreves større nøyaktighet, er det ikke vanskelig å få til så mye betydelige tall etter desimaltegn, etter behov i dette tilfellet.

Men hvis du viser sjelden stahet og prøver å trekke ut Kvadratrot fra tallet $\sqrt2$ til du oppnår det nøyaktige resultatet, vil du aldri fullføre arbeidet ditt. Det er en uendelig prosess. Uansett hvor mange desimaler du får, vil det alltid være noen flere igjen.

Dette faktum kan overraske deg like mye som å gjøre $\frac13$ til en uendelig desimal $0,333333333...$ og så videre i det uendelige, eller gjøre $\frac17$ til $0,142857142857142857...$ og så videre i det uendelige. Ved første øyekast kan det virke som om disse uendelige og irrasjonelle kvadratrøttene er fenomener av samme rekkefølge, men dette er slett ikke tilfelle. Tross alt har disse uendelige brøkene en brøkekvivalent, mens $\sqrt2$ ikke har en slik ekvivalent. Hvorfor akkurat? Faktum er at desimalekvivalenten til $\frac13$ og $\frac17$, samt et uendelig antall andre brøker, er periodiske uendelige brøker.

Samtidig er desimalekvivalenten til $\sqrt2$ en ikke-periodisk brøk. Dette utsagnet gjelder også for ethvert irrasjonelt tall.

Problemet er at enhver desimal som er en tilnærming av kvadratroten av 2 er ikke-periodisk brøk. Uansett hvor langt vi går i våre beregninger, vil enhver brøk vi får være ikke-periodisk.

Se for deg en brøkdel med et stort antall ikke-periodiske sifre etter desimaltegn. Hvis plutselig etter det millionte sifferet hele sekvensen av desimaler gjentas, betyr det desimal- periodisk og det er en ekvivalent for det i form av et forhold mellom heltall. Hvis en brøkdel med et stort antall (milliarder eller millioner) ikke-periodiske desimaler på et tidspunkt har en endeløs serie med repeterende sifre, for eksempel $...55555555555...$, betyr dette også at denne brøken er periodisk og det er en ekvivalent i form av et forhold mellom heltall.

Imidlertid er deres desimalekvivalenter helt ikke-periodiske og kan ikke bli periodiske.

Selvfølgelig kan du stille følgende spørsmål: «Hvem kan vite og si sikkert hva som skjer med en brøkdel, for eksempel, etter trillionstegnet? Hvem kan garantere at en brøkdel ikke blir periodisk?» Det finnes måter å konkludert bevise at irrasjonelle tall er ikke-periodiske, men slike bevis krever kompleks matematikk. Men hvis det plutselig viste seg at det irrasjonelle tallet blir periodisk brøk, ville dette bety en fullstendig kollaps av grunnlaget for matematiske vitenskaper. Og faktisk er dette knapt mulig. Det er ikke lett for deg å kaste det fra side til side på knokene, det er en kompleks matematisk teori her.

Husker du hvordan jeg i den aller første leksjonen om desimaler sa at det er numeriske brøker som ikke kan representeres som desimaler (se leksjonen “Desimaler”)? Vi lærte også å faktorisere nevnerne til brøker for å se om det fantes andre tall enn 2 og 5.

Så: Jeg løy. Og i dag vil vi lære hvordan du konverterer absolutt enhver numerisk brøk til en desimal. Samtidig vil vi bli kjent med en hel klasse brøker med en uendelig betydelig del.

En periodisk desimal er enhver desimal som:

Den signifikante delen består av et uendelig antall sifre;

Ved visse intervaller gjentas tallene i den betydelige delen.

Settet med repeterende sifre som utgjør den signifikante delen kalles den periodiske delen av en brøk, og antall sifre i dette settet kalles perioden for brøken. Det gjenværende segmentet av den betydelige delen, som ikke gjentas, kalles den ikke-periodiske delen.

Siden det er mange definisjoner, er det verdt å vurdere i detalj flere av disse brøkene:

Denne brøken vises oftest i problemer. Ikke-periodisk del: 0; periodisk del: 3; periodelengde: 1.

Ikke-periodisk del: 0,58; periodisk del: 3; periodelengde: igjen 1.

Ikke-periodisk del: 1; periodisk del: 54; periodelengde: 2.

Ikke-periodisk del: 0; periodisk del: 641025; periodelengde: 6. For enkelhets skyld er repeterende deler atskilt fra hverandre med et mellomrom - dette er ikke nødvendig i denne løsningen.

Ikke-periodisk del: 3066; periodisk del: 6; periodelengde: 1.

Som du kan se, er definisjonen av en periodisk brøk basert på konseptet betydelig del av et tall. Derfor, hvis du har glemt hva det er, anbefaler jeg å gjenta det - se leksjonen "".

Overgang til periodisk desimalbrøk

Betrakt en vanlig brøkdel av formen a /b. La oss faktorisere nevneren til primfaktorer. Det er to alternativer:

Utvidelsen inneholder kun faktor 2 og 5. Disse brøkene konverteres enkelt til desimaler - se leksjonen "Desimaler". Vi er ikke interessert i slike mennesker;
Det er noe annet i utvidelsen enn 2 og 5. I dette tilfellet kan ikke brøken representeres som en desimal, men den kan konverteres til en periodisk desimal.

For å definere en periodisk desimalbrøk, må du finne dens periodiske og ikke-periodiske deler. Hvordan? Konverter brøken til en uekte brøk, og del deretter telleren med nevneren ved å bruke et hjørne.

Følgende vil skje:

Deles først hele delen , hvis det finnes;
Det kan være flere tall etter desimaltegn;
Etter en stund begynner tallene gjenta.

Det er alt! Gjentatte tall etter desimaltegnet er merket med den periodiske delen, og de foran er merket med den ikke-periodiske delen.

Oppgave. Konverter vanlige brøker til periodiske desimaler:

Alle brøker uten en heltallsdel, så vi deler ganske enkelt telleren med nevneren med et "hjørne":

Som du kan se, gjentas resten. La oss skrive brøken i "riktig" form: 1,733 ... = 1,7(3).

Resultatet er en brøk: 0,5833 ... = 0,58(3).

Vi skriver det i normal form: 4,0909 ... = 4,(09).

Vi får brøken: 0,4141 ... = 0,(41).

Overgang fra periodisk desimalbrøk til vanlig brøk

Tenk på den periodiske desimalbrøken X = abc (a 1 b 1 c 1). Det er nødvendig å konvertere den til en klassisk "to-etasjers". For å gjøre dette, følg fire enkle trinn:

Finn perioden til brøken, dvs. tell hvor mange sifre som er i den periodiske delen. La dette være tallet k;
Finn verdien av uttrykket X · 10 k. Dette tilsvarer å flytte desimaltegnet til høyre en hel periode - se leksjonen "Multipisere og dele desimaler";
Det opprinnelige uttrykket må trekkes fra det resulterende tallet. I dette tilfellet blir den periodiske delen "brent" og forblir vanlig brøk;
Finn X i den resulterende ligningen. Vi konverterer alle desimalbrøker til vanlige brøker.

Oppgave. Konverter tallet til en vanlig uekte brøk:

9,(6);
32,(39);
0,30(5);
0,(2475).

Vi jobber med den første brøken: X = 9,(6) = 9,666 ...

Parentesen inneholder kun ett siffer, så perioden er k = 1. Deretter multipliserer vi denne brøken med 10 k = 10 1 = 10. Vi har:

10X = 10 9,6666... = 96,666...

Trekk fra den opprinnelige brøken og løs likningen:

10X − X = 96,666 ... − 9,666 ... = 96 − 9 = 87;
9X = 87;
X = 87/9 = 29/3.

La oss nå se på den andre brøken. Så X = 32,(39) = 32,393939...

Periode k = 2, så multipliser alt med 10 k = 10 2 = 100:

100X = 100 · 32,393939 ... = 3239,3939 ...

Trekk fra den opprinnelige brøken igjen og løs likningen:

100X − X = 3239,3939 ... − 32,3939 ... = 3239 − 32 = 3207;
99X = 3207;
X = 3207/99 = 1069/33.

La oss gå videre til den tredje brøken: X = 0,30(5) = 0,30555... Diagrammet er det samme, så jeg vil bare gi beregningene:

Periode k = 1 ⇒ multipliser alt med 10 k = 10 1 = 10;

10X = 10 0,30555... = 3,05555...
10X − X = 3,0555 ... − 0,305555 ... = 2,75 = 11/4;
9X = 11/4;
X = (11/4): 9 = 11/36.

Til slutt, den siste brøken: X = 0,(2475) = 0,2475 2475... Igjen, for enkelhets skyld er de periodiske delene atskilt fra hverandre med mellomrom. Vi har:

k = 4 ⇒ 10 k = 10 4 = 10 000;
10 000X = 10 000 0,2475 2475 = 2475,2475 ...
10 000X − X = 2475,2475 ... − 0,2475 2475 ... = 2475;
9999X = 2475;
X = 2475: 9999 = 25/101.

Denne artikkelen handler om desimaler. Her skal vi forstå desimalnotasjonen av brøktall, introdusere begrepet en desimalbrøk og gi eksempler på desimalbrøker. Deretter skal vi snakke om sifrene til desimalbrøker og gi navnene på sifrene. Etter dette vil vi fokusere på uendelige desimalbrøker, la oss snakke om periodiske og ikke-periodiske brøker. Deretter viser vi de grunnleggende operasjonene med desimalbrøker. Avslutningsvis, la oss bestemme posisjonen til desimalbrøkene på koordinatbjelken.

Sidenavigering.

Desimalnotasjon av et brøktall

Leser desimaler

La oss si noen ord om reglene for lesing av desimalbrøker.

Desimalbrøker, som tilsvarer egentlige ordinære brøker, leses på samme måte som disse ordinære brøkene, kun "null heltall" legges først til. For eksempel tilsvarer desimalbrøken 0,12 den vanlige brøken 12/100 (les "tolv hundredeler"), derfor leses 0,12 som "null komma tolv hundredeler".

Desimalbrøker som tilsvarer blandede tall leses nøyaktig likt som disse blandede tallene. For eksempel tilsvarer desimalbrøken 56,002 blandet tall, derfor leses desimalbrøken 56,002 som "femtiseks komma to tusendeler."

Plasser i desimaler

Skrive desimalbrøker, så vel som skriftlig naturlige tall, betydningen av hvert siffer avhenger av dets posisjon. Faktisk betyr tallet 3 i desimalbrøken 0,3 tre tideler, i desimalbrøken 0,0003 - tre ti tusendeler, og i desimalbrøken 30 000,152 - tre titusener. Så vi kan snakke om desimaler, samt om sifrene i naturlige tall.

Navnene på sifrene i desimalbrøken opp til desimaltegnet er fullstendig sammenfallende med navnene på sifrene i naturlige tall. Og navnene på desimalplassene etter desimaltegnet kan sees fra følgende tabell.

For eksempel, i desimalbrøken 37.051, er sifferet 3 på tierplassen, 7 er på enerplassen, 0 er på tiendedelsplassen, 5 er på hundredelersplassen og 1 er på tusendelsplassen.

Plasser i desimalbrøker er også forskjellige i forrang. Hvis vi ved å skrive en desimalbrøk flytter fra siffer til siffer fra venstre til høyre, så flytter vi fra seniorer Til junior rekker. For eksempel er hundredelsplassen eldre enn tiendedelsplassen, og millionplassen er lavere enn hundredelsplassen. I en gitt siste desimalbrøk kan vi snakke om de store og små sifrene. For eksempel i desimalbrøk 604,9387 senior (høyest) stedet er hundreplassen, og junior (laveste)- siffer på ti tusendeler.

For desimalbrøker skjer ekspansjon til sifre. Det ligner på ekspansjon med sifre i naturlige tall. For eksempel er utvidelsen til desimaler på 45,6072 som følger: 45,6072=40+5+0,6+0,007+0,0002. Og egenskapene til addisjon fra dekomponeringen av en desimalbrøk til sifre lar deg gå videre til andre representasjoner av denne desimalbrøken, for eksempel 45,6072=45+0,6072, eller 45,6072=40,6+5,007+0,0002, eller 45,45700=7,45720. 0,6.

Sluttdesimaler

Frem til dette punktet har vi bare snakket om desimalbrøker, i notasjonen som det er et endelig antall sifre etter desimaltegnet. Slike brøker kalles endelige desimaler.

Definisjon.

Sluttdesimaler- Dette er desimalbrøker, hvor postene inneholder et begrenset antall tegn (siffer).

Her er noen eksempler på endelige desimalbrøker: 0,317, 3,5, 51,1020304958, 230 032,45.

Imidlertid kan ikke hver brøk representeres som en siste desimal. For eksempel kan ikke brøken 5/13 erstattes med en lik brøk med en av nevnerne 10, 100, ..., og kan derfor ikke konverteres til en endelig desimalbrøk. Vi vil snakke mer om dette i teoridelen, å konvertere vanlige brøker til desimaler.

Uendelige desimaler: Periodiske brøker og ikke-periodiske brøker

Når du skriver en desimalbrøk etter desimaltegnet, kan du anta muligheten for et uendelig antall sifre. I dette tilfellet vil vi komme til å vurdere de såkalte uendelige desimalbrøkene.

Definisjon.

Uendelige desimaler– Dette er desimalbrøker, som inneholder et uendelig antall sifre.

Det er klart at vi ikke kan skrive ned uendelige desimalbrøker i full form, så i deres registrering begrenser vi oss til bare et visst begrenset antall sifre etter desimaltegnet og setter en ellipse som indikerer en uendelig kontinuerlig sekvens av sifre. Her er noen eksempler på uendelige desimalbrøker: 0,143940932…, 3,1415935432…, 153,02003004005…, 2,111111111…, 69,74152152152….

Hvis du ser nøye på de to siste uendelige desimalbrøkene, så i brøken 2.111111111... er det endeløst gjentakende tallet 1 godt synlig, og i brøken 69.74152152152..., med utgangspunkt i tredje desimal, en gjentatt gruppe tall 1, 5 og 2 er godt synlige. Slike uendelige desimalbrøker kalles periodiske.

Definisjon.

Periodiske desimaler(eller rett og slett periodiske brøker) er endeløse desimalbrøker, i registreringen av hvilke, fra en viss desimal, gjentas et eller annet tall eller gruppe av tall uendelig, som kalles periode av brøken.

For eksempel er perioden for den periodiske brøken 2.111111111... sifferet 1, og perioden for brøken 69.74152152152... er en gruppe sifre med formen 152.

For uendelige periodiske desimalbrøker brukes en spesiell form for notasjon. For korthets skyld ble vi enige om å skrive ned perioden én gang, og sette den i parentes. For eksempel skrives den periodiske brøken 2.111111111... som 2,(1) , og den periodiske brøken 69.74152152152... skrives som 69.74(152) .

Det er verdt å merke seg at ulike perioder kan angis for samme periodiske desimalbrøk. For eksempel kan den periodiske desimalbrøken 0,73333... betraktes som en brøk 0,7(3) med en periode på 3, og også som en brøk 0,7(33) med en periode på 33, og så videre 0,7(333), 0,7 (3333), ... Du kan også se på den periodiske brøken 0,73333 ... slik: 0,733(3), eller slik 0,73(333), osv. Her, for å unngå tvetydighet og uoverensstemmelser, er vi enige om å betrakte som perioden av en desimalbrøk den korteste av alle mulige sekvenser av repeterende sifre, og starte fra nærmeste posisjon til desimaltegnet. Det vil si at perioden for desimalbrøken 0,73333... vil bli betraktet som en sekvens av ett siffer 3, og periodisiteten starter fra den andre posisjonen etter desimalpunktet, det vil si 0,73333...=0,7(3). Et annet eksempel: den periodiske brøken 4,7412121212... har en periode på 12, periodisiteten starter fra det tredje sifferet etter desimaltegnet, det vil si 4,7412121212...=4,74(12).

Uendelige periodiske desimalbrøker oppnås ved å konvertere vanlige brøker med nevnere som inneholder andre primfaktorer enn 2 og 5 til desimalbrøker.

Her er det verdt å nevne periodiske brøker med en periode på 9. La oss gi eksempler på slike brøker: 6.43(9) , 27,(9) . Disse brøkene er en annen notasjon for periodiske brøker med periode 0, og de erstattes vanligvis med periodiske brøker med periode 0. For å gjøre dette erstattes periode 9 med periode 0, og verdien av det nest høyeste sifferet økes med én. For eksempel erstattes en brøk med periode 9 på formen 7.24(9) med en periodebrøk med periode 0 på formen 7.25(0) eller en lik siste desimalbrøk 7.25. Et annet eksempel: 4,(9)=5,(0)=5. Likheten til en brøk med periode 9 og dens tilsvarende brøk med periode 0 er lett å etablere etter å ha erstattet disse desimalbrøkene med like vanlige brøker.

Til slutt, la oss se nærmere på uendelige desimalbrøker, som ikke inneholder en uendelig repeterende sekvens av sifre. De kalles ikke-periodiske.

Definisjon.

Engangsdesimaler(eller rett og slett ikke-periodiske brøker) er uendelige desimalbrøker som ikke har noen punktum.

Noen ganger har ikke-periodiske brøker en form som ligner på periodiske brøker, for eksempel er 8.02002000200002... en ikke-periodisk brøk. I disse tilfellene bør du være spesielt forsiktig med å merke forskjellen.

Merk at ikke-periodiske brøker ikke konverteres til vanlige brøker.

Operasjoner med desimaler

En av operasjonene med desimalbrøker er sammenligning, og de fire grunnleggende aritmetiske funksjonene er også definert operasjoner med desimaler: addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og divisjon. La oss vurdere separat hver av handlingene med desimalbrøker.

Sammenligning av desimaler i hovedsak basert på sammenligning av vanlige brøker som tilsvarer desimalbrøkene som sammenlignes. Å konvertere desimalbrøker til vanlige brøker er imidlertid en ganske arbeidskrevende prosess, og uendelige ikke-periodiske brøker kan ikke representeres som en ordinær brøk, så det er praktisk å bruke en sted-for-siffer sammenligning av desimalbrøker. Stedsvis sammenligning av desimalbrøker ligner på sammenligning av naturlige tall. For mer detaljert informasjon anbefaler vi å studere materialet i artikkelen: sammenligning av desimalbrøker, regler, eksempler, løsninger.

La oss gå videre til neste trinn - multiplisere desimaler. Multiplikasjon av endelige desimalbrøker utføres på samme måte som subtraksjon av desimalbrøker, regler, eksempler, løsninger på multiplikasjon med en kolonne med naturlige tall. Ved periodiske brøker kan multiplikasjon reduseres til multiplikasjon av vanlige brøker. I sin tur reduseres multiplikasjonen av uendelige ikke-periodiske desimalbrøker etter deres avrunding til multiplikasjonen av endelige desimalbrøker. Vi anbefaler for videre studier av materialet i artikkelen: multiplikasjon av desimalbrøker, regler, eksempler, løsninger.

Desimaler på en koordinatstråle

Det er en en-til-en samsvar mellom poeng og desimaler.

La oss finne ut hvordan punkter på koordinatstrålen er konstruert som tilsvarer en gitt desimalbrøk.

Vi kan erstatte endelige desimalbrøker og uendelige periodiske desimalbrøker med like vanlige brøker, og så konstruere de tilsvarende ordinære brøkene på koordinatstrålen. For eksempel tilsvarer desimalbrøken 1.4 fellesbrøken 14/10, så punktet med koordinat 1.4 fjernes fra origo i positiv retning med 14 segmenter lik en tiendedel av et enhetssegment.

Desimalbrøker kan merkes på en koordinatstråle, med utgangspunkt i dekomponeringen av en gitt desimalbrøk til sifre. La oss for eksempel bygge et punkt med koordinat 16.3007, siden 16.3007=16+0.3+0.0007, deretter i dette punktet du kan komme dit ved å sekvensielt legge ut 16 enhetssegmenter fra origo, 3 segmenter hvis lengde er lik en tiendedel av et enhetssegment, og 7 segmenter hvis lengde er lik en ti tusendel av et enhetssegment.

Denne måten å bygge på desimaltall på koordinatstrålen lar deg komme så nært du vil punktet som tilsvarer den uendelige desimalbrøken.

Noen ganger er det mulig å plotte nøyaktig punktet som tilsvarer en uendelig desimalbrøk. For eksempel, , så tilsvarer denne uendelige desimalbrøken 1,41421... et punkt koordinatstråle, fjernet fra origo med lengden på diagonalen til en firkant med en side av 1 enhetssegment.

Den omvendte prosessen med å få desimalbrøken som tilsvarer et gitt punkt på en koordinatstråle er den s.k. desimalmåling av et segment. La oss finne ut hvordan det er gjort.

La vår oppgave være å komme fra origo til et gitt punkt på koordinatlinjen (eller å nærme seg det uendelig hvis vi ikke kan komme til det). Med desimalmåling av et segment, kan vi sekvensielt fjerne et hvilket som helst antall enhetssegmenter fra origo, deretter segmenter hvis lengde er lik en tiendedel av en enhet, deretter segmenter hvis lengde er lik en hundredel av en enhet, osv. Ved å registrere antall segmenter av hver lengde som legges til side, får vi desimalbrøken som tilsvarer et gitt punkt på koordinatstrålen.

For å komme til punkt M i figuren ovenfor, må du for eksempel sette til side 1 enhetssegment og 4 segmenter, hvis lengde er lik en tiendedel av en enhet. Dermed tilsvarer punkt M desimalbrøken 1,4.

Det er klart at punktene til koordinatstrålen, som ikke kan nås i prosessen med desimalmåling, tilsvarer uendelige desimalbrøker.

Bibliografi.

Matematikk: lærebok for 5. klasse. allmennutdanning institusjoner / N. Ya Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21. utg., slettet. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 s.: ill. ISBN 5-346-00699-0.
Matematikk. 6. klasse: lærerikt. for allmennutdanning institusjoner / [N. Ja. Vilenkin og andre]. - 22. utgave, rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 s.: ill. ISBN 978-5-346-00897-2.
Algebra: lærebok for 8. klasse. allmennutdanning institusjoner / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; redigert av S. A. Telyakovsky. - 16. utg. - M.: Utdanning, 2008. - 271 s. : jeg vil. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematikk (en manual for de som går inn på tekniske skoler): Proc. godtgjørelse.- M.; Høyere skole, 1984.-351 s., ill.