I endelig aritmetisk progresjon. Hvordan finne en aritmetisk progresjon? Eksempler på aritmetisk progresjon med løsning

Denne formelen lar deg finne noen VED HANS NUMMER " n" .

Du må selvfølgelig også kunne første termin en 1 og progresjonsforskjell d, vel, uten disse parameterne kan du ikke skrive ned en spesifikk progresjon.

Å memorere (eller skrive) denne formelen er ikke nok. Du må forstå essensen og bruke formelen i forskjellige problemer. Og ikke glem inn rett øyeblikk, men hvordan ikke glem- Jeg vet ikke. Og her hvordan huske Om nødvendig vil jeg definitivt gi deg råd. For de som fullfører leksjonen til slutten.)

Så, la oss se på formelen for det n-te leddet i en aritmetisk progresjon.

Hva er en formel generelt - vi forestiller oss.) Hva er aritmetisk progresjon, medlemsnummer, progresjonsforskjell - tydelig oppgitt i forrige leksjon. Ta forresten en titt hvis du ikke har lest den. Alt er enkelt der. Det gjenstår å finne ut hva det er nte termin.

Progresjon i generelt syn kan skrives som en rekke tall:

en 1, en 2, en 3, en 4, en 5, .....

en 1- betegner det første leddet i en aritmetisk progresjon, en 3- tredje medlem, en 4- den fjerde, og så videre. Hvis vi er interessert i den femte perioden, la oss si at vi jobber med en 5, hvis ett hundre og tjuende - s en 120.

Hvordan kan vi definere det i generelle termer? noen ledd for en aritmetisk progresjon, med noen Antall? Veldig enkelt! Som dette:

en n

Det er det det er n. ledd i en aritmetisk progresjon. Bokstaven n skjuler alle medlemsnumrene på en gang: 1, 2, 3, 4, og så videre.

Og hva gir en slik plate oss? Bare tenk, i stedet for et tall skrev de ned en bokstav...

Denne notasjonen gir oss et kraftig verktøy for å jobbe med aritmetisk progresjon. Bruke notasjonen en n, kan vi raskt finne noen medlem noen aritmetisk progresjon. Og løse en haug med andre progresjonsproblemer. Du vil se selv videre.

I formelen for det n-te leddet i en aritmetisk progresjon:

a n = a 1 + (n-1)d

en 1- det første leddet i en aritmetisk progresjon;

n- medlemsnummer.

Formel binder nøkkelparametere enhver progresjon: a n ; a 1; d Og n. Alle progresjonsproblemer dreier seg om disse parameterne.

Den n-te leddformelen kan også brukes til å skrive en bestemt progresjon. For eksempel kan problemet si at progresjonen er spesifisert av tilstanden:

a n = 5 + (n-1) 2.

Et slikt problem kan være en blindvei... Det er verken en serie eller en forskjell... Men sammenligner man tilstanden med formelen, er det lett å forstå at i denne progresjonen a 1 = 5, og d = 2.

Og det kan bli enda verre!) Hvis vi tar samme betingelse: a n = 5 + (n-1) 2, Ja, åpne parentesen og ta med lignende? Vi får ny formel:

a n = 3 + 2n.

Dette Bare ikke generelt, men for en spesifikk progresjon. Det er her fallgruven lurer. Noen tror at første termin er en treer. Selv om første ledd i realiteten er fem... Litt lavere skal vi jobbe med en slik modifisert formel.

I progresjonsproblemer er det en annen notasjon - en n+1. Dette er, som du gjettet, "n pluss først"-leddet for progresjonen. Betydningen er enkel og harmløs.) Dette er et medlem av progresjonen hvis antall er større enn nummer n med én. For eksempel, hvis i et problem vi tar en n femte termin da en n+1 blir det sjette medlemmet. Etc.

Oftest betegnelsen en n+1 finnes i gjentakelsesformler. Ikke vær redd for dette skumle ordet!) Dette er bare en måte å uttrykke et medlem av en aritmetisk progresjon på gjennom den forrige. La oss si at vi får en aritmetisk progresjon i denne formen, ved å bruke en tilbakevendende formel:

a n+1 = a n+3

a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8

a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11

Den fjerde - gjennom den tredje, den femte - gjennom den fjerde, og så videre. Hvordan kan vi umiddelbart telle for eksempel det tjuende begrepet? en 20? Men det er ingen måte!) Før vi finner ut den 19. termin, kan vi ikke telle den 20.. Det var det grunnleggende forskjell tilbakevendende formel fra formelen til det n-te leddet. Tilbakevendende virker bare gjennom tidligere ledd, og formelen til det n-te leddet er gjennom først og tillater med en gang finn et medlem etter nummeret. Uten å regne ut hele tallrekken i rekkefølge.

I en aritmetisk progresjon er det lett å gjøre en tilbakevendende formel til en vanlig. Tell et par påfølgende ledd, beregn differansen d, finn om nødvendig første ledd en 1, skriv formelen inn i vanlig form, og jobbe med henne. I Statens vitenskapsakademi støter man ofte på slike oppgaver.

Anvendelse av formelen for n'te ledd i en aritmetisk progresjon.

La oss først se på den direkte anvendelsen av formelen. På slutten av forrige leksjon var det et problem:

En aritmetisk progresjon (a n) er gitt. Finn en 121 hvis a 1 =3 og d=1/6.

Dette problemet kan løses uten formler, bare basert på betydningen av en aritmetisk progresjon. Legg til og legg til... En time eller to.)

Og i henhold til formelen vil løsningen ta mindre enn et minutt. Du kan time det.) La oss bestemme.

Betingelsene gir alle data for bruk av formelen: a 1 = 3, d = 1/6. Det gjenstår å finne ut hva som er likt n. Ikke noe problem! Vi må finne en 121. Så vi skriver:

Vær så snill, følg med! I stedet for en indeks n et spesifikt tall dukket opp: 121. Noe som er ganske logisk.) Vi er interessert i medlemmet av den aritmetiske progresjonen nummer hundre og tjueen. Dette blir vårt n. Dette er meningen n= 121 vil vi erstatte videre inn i formelen, i parentes. Vi erstatter alle tallene i formelen og regner ut:

a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

Det er det. Like raskt kunne man finne det fem hundre og tiende leddet, og det tusen og tredje, hvilken som helst. Vi setter i stedet n ønsket nummer i indeksen til bokstaven " en" og i parentes, og vi teller.

La meg minne deg på poenget: denne formelen lar deg finne noen aritmetisk progresjonsledd VED HANS NUMMER " n" .

La oss løse problemet på en mer utspekulert måte. La oss komme over følgende problem:

Finn det første leddet i den aritmetiske progresjonen (a n), hvis a 17 =-2; d=-0,5.

Hvis du har noen problemer, vil jeg fortelle deg det første trinnet. Skriv ned formelen for det n. leddet i en aritmetisk progresjon! Ja Ja. Skriv ned med hendene, rett i notatboken:

a n = a 1 + (n-1)d

Og nå, når vi ser på bokstavene i formelen, forstår vi hvilke data vi har og hva som mangler? Tilgjengelig d=-0,5, det er et syttende medlem... Er det det? Hvis du tror det er det, vil du ikke løse problemet, ja...

Vi har fortsatt et nummer n! I stand a 17 =-2 skjult to parametere. Dette er både verdien av det syttende leddet (-2) og tallet (17). De. n=17. Denne "bagatellen" glir ofte forbi hodet, og uten den, (uten "bagatellen", ikke hodet!) kan ikke problemet løses. Skjønt ... og uten hode også.)

Nå kan vi ganske enkelt dumt erstatte dataene våre med formelen:

a 17 = a 1 + (17-1)·(-0,5)

Å ja, en 17 vi vet det er -2. Ok, la oss erstatte:

-2 = a 1 + (17-1)·(-0,5)

Det er i grunnen alt. Det gjenstår å uttrykke det første leddet i den aritmetiske progresjonen fra formelen og beregne den. Svaret vil være: a 1 = 6.

Denne teknikken – å skrive ned en formel og ganske enkelt erstatte kjente data – er til stor hjelp i enkle oppgaver. Vel, selvfølgelig må du kunne uttrykke en variabel fra en formel, men hva skal du gjøre!? Uten denne ferdigheten kan det hende at matematikk ikke studeres i det hele tatt...

Et annet populært puslespill:

Finn forskjellen på den aritmetiske progresjonen (a n), hvis a 1 =2; a 15 = 12.

Hva gjør vi? Du vil bli overrasket, vi skriver formelen!)

a n = a 1 + (n-1)d

La oss vurdere hva vi vet: a1=2; a15=12; og (jeg vil spesielt fremheve!) n=15. Bytt gjerne dette inn i formelen:

12=2 + (15-1)d

Vi regner.)

12=2 + 14d

d=10/14 = 5/7

Dette er det riktige svaret.

Så, oppgavene for en n, en 1 Og d besluttet. Alt som gjenstår er å lære hvordan du finner nummeret:

Tallet 99 er et medlem av den aritmetiske progresjonen (a n), hvor a 1 =12; d=3. Finn dette medlemmets nummer.

Vi erstatter mengdene som er kjent for oss med formelen for det n-te leddet:

a n = 12 + (n-1) 3

Ved første øyekast er det to ukjente mengder her: a n og n. Men en n- dette er et medlem av progresjonen med et nummer n...Og vi kjenner dette medlemmet av progresjonen! Det er 99. Vi vet ikke nummeret. n, Så dette nummeret er det du trenger å finne. Vi erstatter termen for progresjonen 99 med formelen:

99 = 12 + (n-1) 3

Vi uttrykker fra formelen n, vi tror. Vi får svaret: n=30.

Og nå et problem om samme emne, men mer kreativt):

Bestem om tallet 117 er et medlem av den aritmetiske progresjonen (a n):

-3,6; -2,4; -1,2 ...

La oss skrive formelen på nytt. Hva, det er ingen parametere? Hm... Hvorfor får vi øyne?) Ser vi første ledd i progresjonen? Vi ser. Dette er -3,6. Du kan trygt skrive: a 1 = -3,6. Forskjell d Kan du fortelle fra serien? Det er enkelt hvis du vet hva forskjellen på en aritmetisk progresjon er:

d = -2,4 - (-3,6) = 1,2

Så vi gjorde det enkleste. Det gjenstår å forholde seg til det ukjente antallet n og det uforståelige tallet 117. I forrige oppgave var det i hvert fall kjent at det var terminen for progresjonen som ble gitt. Men her vet vi ikke engang ... Hva skal vi gjøre!? Vel, hvordan være, hvordan være... Slå på dine kreative evner!)

Vi anta at 117 tross alt er et medlem av vår progresjon. Med ukjent nummer n. Og, akkurat som i forrige oppgave, la oss prøve å finne dette nummeret. De. vi skriver formelen (ja, ja!)) og erstatter tallene våre:

117 = -3,6 + (n-1) 1,2

Igjen uttrykker vi fra formelenn, vi teller og får:

Oops! Tallet viste seg brøkdel! Hundre og en og en halv. Og brøktall i progresjoner Kan ikke være. Hvilken konklusjon kan vi trekke? Ja! Nummer 117 er ikke medlem av vår progresjon. Det er et sted mellom ett hundre og første og hundre og andre ledd. Dersom antallet viste seg naturlig, dvs. er et positivt heltall, vil tallet være et medlem av progresjonen med tallet funnet. Og i vårt tilfelle vil svaret på problemet være: Nei.

Oppgavebasert reelt alternativ GIA:

En aritmetisk progresjon er gitt av betingelsen:

a n = -4 + 6,8n

Finn første og tiende ledd i progresjonen.

Her er progresjonen satt på en uvanlig måte. En slags formel... Det skjer.) Men denne formelen (som jeg skrev ovenfor) - også formelen for n'te ledd i en aritmetisk progresjon! Hun tillater også finn et medlem av progresjonen etter nummeret.

Vi ser etter det første medlemmet. Den som tenker. at første ledd er minus fire er fatalt feil!) Fordi formelen i oppgaven er modifisert. Det første leddet i den aritmetiske progresjonen i den skjult. Det er greit, vi finner det nå.)

Akkurat som i tidligere problemer, erstatter vi n=1 inn i denne formelen:

a 1 = -4 + 6,8 1 = 2,8

Her! Første ledd er 2,8, ikke -4!

Vi ser etter tiende termin på samme måte:

a 10 = -4 + 6,8 10 = 64

Det er det.

Og nå, for de som har lest til disse linjene, den lovede bonusen.)

Anta at du i en vanskelig kampsituasjon med statseksamen eller enhetlig statseksamen har glemt den nyttige formelen for den n. terminen i en aritmetisk progresjon. Jeg husker noe, men på en eller annen måte usikker... Eller n der, eller n+1, eller n-1... Hvordan være!?

Rolig! Denne formelen er lett å utlede. Ikke veldig strengt, men for selvtillit og riktig avgjørelse definitivt nok!) For å konkludere er det nok å huske den elementære betydningen av en aritmetisk progresjon og ha et par minutter med tid. Du trenger bare å tegne et bilde. For klarhet.

Tegn en talllinje og merk den første på den. andre, tredje osv. medlemmer. Og vi merker forskjellen d mellom medlemmene. Som dette:

Vi ser på bildet og tenker: hva er det andre leddet lik? Sekund en d:

en 2 =a 1 + 1 d

Hva er det tredje begrepet? Tredje termin er lik første termin pluss to d.

en 3 =a 1 + 2 d

Forstår du det? Det er ikke for ingenting at jeg fremhever noen ord med fet skrift. Ok, ett trinn til).

Hva er fjerde termin? Fjerde termin er lik første termin pluss tre d.

en 4 =a 1 + 3 d

Det er på tide å innse at antall hull, dvs. d, Alltid ett mindre enn antallet til medlemmet du leter etter n. Altså til tallet n, antall mellomrom vil n-1. Derfor vil formelen være (uten variasjoner!):

a n = a 1 + (n-1)d

Generelt er visuelle bilder svært nyttige for å løse mange problemer i matematikk. Ikke overse bildene. Men hvis det er vanskelig å tegne et bilde, så ... bare en formel!) I tillegg lar formelen til det n-te begrepet deg koble hele det kraftige arsenalet av matematikk til løsningen - likninger, ulikheter, systemer, etc. Du kan ikke sette inn et bilde i ligningen...

Oppgaver for selvstendig løsning.

Å varme opp:

1. I aritmetisk progresjon (a n) a 2 =3; a 5 = 5,1. Finn en 3.

Hint: ifølge bildet kan problemet løses på 20 sekunder... Ifølge formelen viser det seg vanskeligere. Men for å mestre formelen er den mer nyttig.) I seksjon 555 er dette problemet løst ved å bruke både bildet og formelen. Føl forskjellen!)

Og dette er ikke lenger en oppvarming.)

2. I aritmetisk progresjon (a n) a 85 =19,1; a 236 =49, 3. Finn en 3 .

Hva, du vil ikke tegne et bilde?) Selvfølgelig! Bedre ifølge formelen, ja...

3. Den aritmetiske progresjonen er gitt av betingelsen:a1 = -5,5; a n+1 = a n +0,5. Finn det hundre og tjuefemte leddet i denne progresjonen.

I denne oppgaven spesifiseres progresjonen på en tilbakevendende måte. Men å telle til det hundre og tjuefemte leddet... Ikke alle kan gjøre en slik bragd.) Men formelen for den n'te terminen er innenfor makten til alle!

4. Gitt en aritmetisk progresjon (a n):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

Finn tallet på det minste positive leddet i progresjonen.

5. I henhold til betingelsene i oppgave 4, finn summen av de minste positive og største negative leddene i progresjonen.

6. Produktet av femte og tolvte ledd av en økende aritmetisk progresjon er lik -2,5, og summen av tredje og ellevte ledd er lik null. Finn en 14.

Ikke den enkleste oppgaven, ja...) "fingerspissen"-metoden vil ikke fungere her. Du må skrive formler og løse ligninger.

Svar (i uorden):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

Skjedd? Det er fint!)

Ikke alt ordner seg? Skjer. Det er forresten ett subtilt poeng i den siste oppgaven. Forsiktighet vil være nødvendig når du leser problemet. Og logikk.

Løsningen på alle disse problemene er diskutert i detalj i seksjon 555. Og fantasielementet for det fjerde, og det subtile punktet for det sjette, og generelle tilnærminger for å løse eventuelle problemer som involverer formelen til det n-te begrepet - alt er beskrevet. Jeg anbefaler.

Hvis du liker denne siden...

Forresten, jeg har et par flere interessante nettsteder for deg.)

Du kan trene på å løse eksempler og finne ut nivået ditt. Testing med umiddelbar verifisering. La oss lære - med interesse!)

Du kan bli kjent med funksjoner og derivater.

Før vi begynner å bestemme oss aritmetiske progresjonsproblemer, la oss vurdere hva en tallsekvens er, siden en aritmetisk progresjon er spesielt tilfelle nummerrekkefølge.

Tallrekkefølgen er nummer satt, som hvert element har sitt eget serienummer . Elementene i dette settet kalles medlemmer av sekvensen. Serienummeret til et sekvenselement er angitt med en indeks:

Det første elementet i sekvensen;

Det femte elementet i sekvensen;

- det "nte" elementet i sekvensen, dvs. element "står i kø" ved nummer n.

Det er en sammenheng mellom verdien av et sekvenselement og dets sekvensnummer. Derfor kan vi betrakte en sekvens som en funksjon hvis argument er ordenstallet til elementet i sekvensen. Det kan vi med andre ord si sekvensen er en funksjon av det naturlige argumentet:

Rekkefølgen kan stilles inn på tre måter:

1 . Rekkefølgen kan spesifiseres ved hjelp av en tabell. I dette tilfellet setter vi ganske enkelt verdien til hvert medlem av sekvensen.

For eksempel bestemte noen seg for å ta opp personlig tidsstyring, og til å begynne med telle hvor mye tid han bruker på VKontakte i løpet av uken. Ved å registrere tiden i tabellen vil han motta en sekvens som består av syv elementer:

Den første linjen i tabellen indikerer nummeret på ukedagen, den andre - tiden i minutter. Vi ser det, det vil si på mandag Noen brukte 125 minutter på VKontakte, det vil si på torsdag - 248 minutter, og det vil si på fredag bare 15.

2 . Sekvensen kan spesifiseres ved å bruke den n-te leddformelen.

I dette tilfellet uttrykkes avhengigheten av verdien til et sekvenselement på nummeret direkte i form av en formel.

For eksempel hvis , da

For å finne verdien av et sekvenselement med et gitt tall, erstatter vi elementnummeret i formelen til det n-te leddet.

Vi gjør det samme hvis vi trenger å finne verdien av en funksjon hvis verdien av argumentet er kjent. Vi erstatter verdien av argumentet i funksjonslikningen:

Hvis f.eks. , Det

La meg merke igjen at i en sekvens, i motsetning til en vilkårlig numerisk funksjon, kan argumentet bare være et naturlig tall.

3 . Sekvensen kan spesifiseres ved hjelp av en formel som uttrykker avhengigheten av verdien til sekvensmedlemsnummeret n av verdiene til de tidligere medlemmene.

I dette tilfellet er det ikke nok for oss å bare vite nummeret til sekvensmedlemmet for å finne verdien. Vi må spesifisere det første medlemmet eller de første medlemmene av sekvensen. ,

Tenk for eksempel på sekvensen Vi kan finne verdiene til sekvensmedlemmer i rekkefølge

, fra og med den tredje: Det vil si at hver gang, for å finne verdien av det n'te leddet i sekvensen, går vi tilbake til de to foregående. Denne metoden for å spesifisere en sekvens kalles tilbakevendende , fra latinsk ord gjentakelse

- kom tilbake.

Nå kan vi definere en aritmetisk progresjon. En aritmetisk progresjon er et enkelt spesialtilfelle av en tallsekvens. Aritmetisk progresjon

er en numerisk sekvens, hvor hvert medlem, fra det andre, er lik den forrige lagt til det samme tallet. Nummeret ringes opp forskjell i aritmetisk progresjon

. Forskjellen til en aritmetisk progresjon kan være positiv, negativ eller lik null.">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} If title="d>0.

økende

For eksempel, 2; 5; 8; elleve;... Hvis , så er hvert ledd i en aritmetisk progresjon mindre enn den forrige, og progresjonen er.

minkende

For eksempel, 2; -1; -4; -7;... Hvis , så er alle ledd i progresjonen like med samme tall, og progresjonen er.

stasjonær

For eksempel, 2;2;2;2;...

Hovedegenskapen til en aritmetisk progresjon:

La oss se på tegningen.

Det ser vi

, og samtidig

Ved å legge til disse to likhetene får vi:

La oss dele begge sider av likheten med 2:

Så hvert medlem av den aritmetiske progresjonen, fra den andre, er lik det aritmetiske gjennomsnittet av de to naboene:

Det ser vi

Dessuten siden

, Det

, og derfor">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

Hvert ledd i en aritmetisk progresjon, starter med title="k>l

Formel for begrepet.

Vi ser at vilkårene for den aritmetiske progresjonen tilfredsstiller følgende relasjoner:

og endelig Vi fikk

formel for det n-te leddet. Ethvert medlem av en aritmetisk progresjon kan uttrykkes gjennom og. Når du kjenner det første leddet og forskjellen på en aritmetisk progresjon, kan du finne hvilken som helst av termene.

Summen av n ledd av en aritmetisk progresjon.

I en vilkårlig aritmetisk progresjon er summene av termer like langt fra de ekstreme lik hverandre:

Tenk på en aritmetisk progresjon med n ledd. La summen av n ledd av denne progresjonen være lik .

La oss ordne vilkårene for progresjonen først i stigende rekkefølge av tall, og deretter i synkende rekkefølge:

La oss legge til i par:

Summen i hver parentes er , antall par er n.

Vi får:

Så, summen av n ledd av en aritmetisk progresjon kan bli funnet ved å bruke formlene:

La oss vurdere løse aritmetiske progresjonsproblemer.

1 . Sekvensen er gitt av formelen til det n-te leddet: . Bevis at denne sekvensen er en aritmetisk progresjon.

La oss bevise at forskjellen mellom to tilstøtende ledd i sekvensen er lik samme tall.

Vi fant at forskjellen mellom to tilstøtende medlemmer av sekvensen ikke avhenger av antallet og er en konstant. Derfor er denne sekvensen per definisjon en aritmetisk progresjon.

2 . Gitt en aritmetisk progresjon -31; -27;...

a) Finn 31 ledd i progresjonen.

b) Bestem om tallet 41 er inkludert i denne progresjonen.

EN) Vi ser det;

La oss skrive ned formelen for det n-te leddet for progresjonen vår.

Generelt

I vårt tilfelle , Derfor

Vi får:

b) Anta at tallet 41 er et medlem av sekvensen. La oss finne nummeret hans. For å gjøre dette, la oss løse ligningen:

Vi fikk naturverdien av n, derfor, ja, tallet 41 er medlem av progresjonen. Hvis den funnet verdien av n ikke ville være naturlig tall, så vil vi svare at tallet 41 IKKE er medlem av progresjonen.

3 . a) Mellom tallene 2 og 8 setter du inn 4 tall slik at de sammen med disse tallene danner en aritmetisk progresjon.

b) Finn summen av leddene til den resulterende progresjonen.

EN) La oss sette inn fire tall mellom tallene 2 og 8:

Vi fikk en aritmetisk progresjon med 6 medlemmer.

La oss finne forskjellen på denne progresjonen. For å gjøre dette bruker vi formelen for det n-te leddet:

Nå er det enkelt å finne betydningen av tallene:

3,2; 4,4; 5,6; 6,8

Svar: a) ja; b) 30

4. Lastebilen frakter en last med pukk som veier 240 tonn, og øker transporthastigheten med samme antall tonn hver dag. Det er kjent at 2 tonn pukk ble fraktet den første dagen. Bestem hvor mange tonn pukk som ble fraktet på den tolvte dagen hvis alt arbeidet ble fullført på 15 dager.

I henhold til tilstanden til problemet øker mengden pukk som lastebilen frakter med samme antall hver dag. Derfor har vi å gjøre med en aritmetisk progresjon.

La oss formulere dette problemet i form av en aritmetisk progresjon.

I løpet av det første døgnet ble det fraktet 2 tonn pukk: a_1=2.

Alt arbeid ble fullført på 15 dager: .

Lastebilen frakter et parti pukk som veier 240 tonn:

Vi må finne.

La oss først finne progresjonsforskjellen. La oss bruke formelen for summen av n ledd i en progresjon.

I vårt tilfelle:

Noen mennesker behandler ordet "progresjon" med forsiktighet, som et veldig komplekst begrep fra grenene av høyere matematikk. I mellomtiden er den enkleste aritmetiske progresjonen arbeidet til taksameteret (hvor de fortsatt eksisterer). Og å forstå essensen (og i matematikk er det ingenting viktigere enn å "forstå essensen") av en aritmetisk sekvens er ikke så vanskelig, etter å ha analysert noen få elementære konsepter.

Matematisk tallrekkefølge

En numerisk sekvens kalles vanligvis en serie med tall, som hver har sitt eget nummer.

a 1 er det første medlemmet av sekvensen;

og 2 er det andre leddet i sekvensen;

og 7 er det syvende medlem av sekvensen;

og n er det n'te medlem av sekvensen;

Imidlertid er det ikke noe vilkårlig sett med tall og tall som interesserer oss. Vi vil fokusere vår oppmerksomhet på en numerisk sekvens der verdien av det n-te leddet er relatert til dets ordenstall ved en sammenheng som kan formuleres klart matematisk. Med andre ord: den numeriske verdien av det n-te tallet er en funksjon av n.

a er verdien av et medlem av en numerisk sekvens;

n er serienummeret;

f(n) er en funksjon, der ordenstallet i den numeriske rekkefølgen n er argumentet.

Definisjon

En aritmetisk progresjon kalles vanligvis en numerisk sekvens der hvert påfølgende ledd er større (mindre) enn den forrige med samme tall. Formelen for det n-te leddet i en aritmetisk sekvens er som følger:

a n - verdien av gjeldende medlem av den aritmetiske progresjonen;

en n+1 - formel for neste tall;

d - forskjell (bestemt antall).

Det er lett å fastslå at hvis forskjellen er positiv (d>0), så vil hvert påfølgende medlem av serien som vurderes være større enn den forrige, og en slik aritmetisk progresjon vil øke.

I grafen nedenfor er det lett å se hvorfor tallsekvensen kalles «økende».

I tilfeller der forskjellen er negativ (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Spesifisert medlemsverdi

Noen ganger er det nødvendig å bestemme verdien av et hvilket som helst vilkårlig ledd a n av en aritmetisk progresjon. Dette kan gjøres ved å sekvensielt beregne verdiene til alle medlemmer av den aritmetiske progresjonen, fra den første til den ønskede. Denne veien er imidlertid ikke alltid akseptabel hvis det for eksempel er nødvendig å finne verdien av femtusendel eller åttemilliontedel. Tradisjonelle beregninger vil ta mye tid. Imidlertid kan en spesifikk aritmetisk progresjon studeres ved hjelp av visse formler. Det er også en formel for det n-te leddet: verdien av et hvilket som helst ledd i en aritmetisk progresjon kan bestemmes som summen av det første leddet i progresjonen med forskjellen av progresjonen, multiplisert med tallet på ønsket ledd, redusert med en.

Formelen er universell for å øke og redusere progresjon.

Et eksempel på beregning av verdien av et gitt begrep

La oss løse følgende problem med å finne verdien av det n'te leddet i en aritmetisk progresjon.

Tilstand: det er en aritmetisk progresjon med parametere:

Det første leddet i sekvensen er 3;

Forskjellen i tallserien er 1,2.

Oppgave: du må finne verdien av 214 ledd

Løsning: For å bestemme verdien av et gitt begrep bruker vi formelen:

a(n) = a1 + d(n-1)

Ved å erstatte dataene fra problemformuleringen med uttrykket har vi:

a(214) = a1 + d(n-1)

a(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6

Svar: Det 214. leddet i sekvensen er lik 258,6.

Fordelene med denne beregningsmetoden er åpenbare - hele løsningen tar ikke mer enn 2 linjer.

Summen av et gitt antall ledd

Svært ofte, i en gitt aritmetisk serie, er det nødvendig å bestemme summen av verdiene til noen av segmentene. For å gjøre dette er det heller ikke nødvendig å beregne verdiene for hvert begrep og deretter legge dem sammen. Denne metoden er anvendelig hvis antallet termer som må finne summen er lite. I andre tilfeller er det mer praktisk å bruke følgende formel.

Summen av leddene til en aritmetisk progresjon fra 1 til n er lik summen av første og n-te ledd, multiplisert med tallet på leddet n og delt på to. Hvis verdien av det n-te leddet i formelen erstattes av uttrykket fra forrige avsnitt i artikkelen, får vi:

Regneeksempel

La oss for eksempel løse et problem med følgende forhold:

Det første leddet i sekvensen er null;

Forskjellen er 0,5.

Problemet krever å bestemme summen av vilkårene i serien fra 56 til 101.

Løsning. La oss bruke formelen for å bestemme mengden av progresjon:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

Først bestemmer vi summen av verdiene av 101 vilkår for progresjonen ved å erstatte de gitte betingelsene for problemet vårt i formelen:

s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2525

Åpenbart, for å finne ut summen av betingelsene for progresjonen fra 56. til 101., er det nødvendig å trekke S 55 fra S 101.

s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5

Dermed er summen av den aritmetiske progresjonen for dette eksemplet:

s 101 - s 55 = 2 525 - 742,5 = 1 782,5

Eksempel på praktisk anvendelse av aritmetisk progresjon

På slutten av artikkelen, la oss gå tilbake til eksemplet på en aritmetisk sekvens gitt i første ledd - et taksameter (taxibilmåler). La oss vurdere dette eksemplet.

Å gå ombord på en taxi (som inkluderer 3 km reise) koster 50 rubler. Hver påfølgende kilometer betales med en hastighet på 22 rubler/km. Reiseavstanden er 30 km. Beregn kostnadene for reisen.

1. La oss forkaste de første 3 km, hvis pris er inkludert i landingskostnadene.

30 - 3 = 27 km.

2. Videre beregning er ikke annet enn å analysere en aritmetisk tallserie.

Medlemsnummer - antall tilbakelagte kilometer (minus de tre første).

Verdien av medlemmet er summen.

Det første leddet i dette problemet vil være lik en 1 = 50 rubler.

Progresjonsforskjell d = 22 r.

tallet vi er interessert i er verdien av (27+1) ledd i den aritmetiske progresjonen - målerstanden på slutten av den 27. kilometeren er 27.999... = 28 km.

a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644

Kalenderdataberegninger for en vilkårlig lang periode er basert på formler som beskriver visse numeriske sekvenser. I astronomi er lengden på banen geometrisk avhengig av avstanden mellom himmellegemet og stjernen. I tillegg brukes forskjellige tallserier med hell i statistikk og andre anvendte matematikkområder.

En annen type tallsekvens er geometrisk

Geometrisk progresjon er preget av større endringshastigheter sammenlignet med aritmetisk progresjon. Det er ingen tilfeldighet at i politikk, sosiologi og medisin, for å vise den høye spredningshastigheten til et bestemt fenomen, for eksempel en sykdom under en epidemi, sier de at prosessen utvikler seg i geometrisk progresjon.

Det N-te leddet i den geometriske tallserien skiller seg fra det forrige ved at det multipliseres med et konstant tall - nevneren, for eksempel, den første ledd er 1, nevneren er tilsvarende lik 2, deretter:

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n=3: 4 ∙ 2 = 8

n=4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - verdien av gjeldende term for den geometriske progresjonen;

b n+1 - formel for neste ledd i den geometriske progresjonen;

q er nevneren for den geometriske progresjonen (et konstant tall).

Hvis grafen til en aritmetisk progresjon er en rett linje, maler en geometrisk progresjon et litt annet bilde:

Som i tilfellet med aritmetikk, har geometrisk progresjon en formel for verdien av et vilkårlig ledd. Ethvert n'te ledd i en geometrisk progresjon er lik produktet av det første leddet og nevneren for progresjonen i potensen n redusert med én:

Eksempel. Vi har en geometrisk progresjon med det første leddet lik 3 og nevneren for progresjonen lik 1,5. La oss finne 5. ledd i progresjonen

b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1,5 4 = 15.1875

Summen av et gitt antall ledd beregnes også ved hjelp av en spesiell formel. Summen av de første n leddene i en geometrisk progresjon er lik differansen mellom produktet av progresjonens n. ledd og dens nevner og den første leddet av progresjonen, delt på nevneren redusert med én:

Hvis b n erstattes ved hjelp av formelen diskutert ovenfor, vil verdien av summen av de første n leddene i tallserien under vurdering ha formen:

Eksempel. Den geometriske progresjonen starter med det første leddet lik 1. Nevneren settes til 3. La oss finne summen av de åtte første leddene.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

Bruksanvisning

En aritmetisk progresjon er en sekvens av formen a1, a1+d, a1+2d..., a1+(n-1)d. Nummer d trinn progresjon.Det er åpenbart at den generelle av en vilkårlig n-te ledd i aritmetikken progresjon har formen: An = A1+(n-1)d. Da kjenner man et av medlemmene progresjon, medlem progresjon og trinn progresjon, kan du, det vil si nummeret til fremdriftsmedlemmet. Det vil selvsagt bli bestemt av formelen n = (An-A1+d)/d.

La nå det månedlige begrepet bli kjent progresjon og et annet medlem progresjon- nth, men n , som i forrige tilfelle, men det er kjent at n og m ikke faller sammen progresjon kan beregnes ved hjelp av formelen: d = (An-Am)/(n-m). Da er n = (An-Am+md)/d.

Hvis summen av flere elementer i en aritmetisk ligning er kjent progresjon, så vel som dens første og siste, så kan antallet av disse elementene også bestemmes progresjon vil være lik: S = ((A1+An)/2)n. Da er n = 2S/(A1+An) - chdenov progresjon. Ved å bruke det faktum at An = A1+(n-1)d, kan denne formelen skrives om til: n = 2S/(2A1+(n-1)d). Fra dette kan vi uttrykke n ved å løse en andregradsligning.

En aritmetisk sekvens er et ordnet sett med tall, hvor hvert medlem, bortsett fra det første, er like mye forskjellig fra det forrige. Denne konstante verdien kalles forskjellen av progresjonen eller trinnet og kan beregnes fra de kjente termene for den aritmetiske progresjonen.

Bruksanvisning

Hvis verdiene til det første og andre eller et hvilket som helst annet par av tilstøtende termer er kjent fra betingelsene for problemet, for å beregne forskjellen (d), trekker du ganske enkelt den forrige fra den påfølgende termen. Den resulterende verdien kan enten være et positivt eller et negativt tall - det avhenger av om progresjonen øker. I generell form, skriv løsningen for et vilkårlig par (aᵢ og aᵢ₊₁) av naboledd for progresjonen som følger: d = aᵢ₊₁ - aᵢ.

For et par termer i en slik progresjon, hvorav den ene er den første (a₁), og den andre er en hvilken som helst annen vilkårlig valgt, er det også mulig å lage en formel for å finne forskjellen (d). I dette tilfellet må imidlertid serienummeret (i) til et vilkårlig valgt medlem av sekvensen være kjent. For å beregne differansen legger du til begge tallene og deler det resulterende resultatet med ordinærtallet til et vilkårlig ledd redusert med én. Generelt, skriv denne formelen som følger: d = (a₁+ aᵢ)/(i-1).

Hvis det i tillegg til et vilkårlig medlem av en aritmetisk progresjon med ordenstall i, er et annet medlem med ordenstall u kjent, endre formelen fra forrige trinn tilsvarende. I dette tilfellet vil forskjellen (d) av progresjonen være summen av disse to leddene dividert med forskjellen av ordenstallene deres: d = (aᵢ+aᵥ)/(i-v).

Formelen for å beregne differansen (d) blir noe mer komplisert hvis problembetingelsene gir verdien av dens første ledd (a₁) og summen (Sᵢ) av et gitt tall (i) av de første leddene i den aritmetiske sekvensen. For å oppnå ønsket verdi, del summen på antall ledd som utgjør den, trekk fra verdien av det første tallet i sekvensen og doble resultatet. Del den resulterende verdien med antall ledd som utgjør summen, redusert med én. Generelt, skriv formelen for å beregne diskriminanten som følger: d = 2*(Sᵢ/i-a₁)/(i-1).

Merk følgende!
Det er flere
materialer i spesialseksjon 555.
For de som er veldig "ikke veldig..."
Og for de som "veldig mye...")

En aritmetisk progresjon er en serie med tall der hvert tall er like mye større (eller mindre) enn det forrige.

Dette temaet virker ofte sammensatt og uforståelig. Indeksene til bokstavene, det n'te leddet i progresjonen, forskjellen i progresjonen - alt dette er på en eller annen måte forvirrende, ja... La oss finne ut betydningen av den aritmetiske progresjonen og alt vil bli bedre med en gang.)

Begrepet aritmetisk progresjon.

Aritmetisk progresjon er et veldig enkelt og tydelig konsept. Er du i tvil? Forgjeves.) Se selv.

Jeg skal skrive en uferdig serie med tall:

1, 2, 3, 4, 5, ...

Kan du utvide denne serien? Hvilke tall kommer neste, etter de fem? Alle... eh..., kort sagt, alle vil innse at tallene 6, 7, 8, 9 osv. kommer etterpå.

La oss komplisere oppgaven. Jeg gir deg en uferdig serie med tall:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Du vil kunne fange mønsteret, utvide serien og gi navn syvende radnummer?

Hvis du innså at dette tallet er 20, gratulerer! Ikke bare følte du nøkkelpunkter for aritmetisk progresjon, men også vellykket brukt dem i virksomheten! Hvis du ikke har funnet ut av det, les videre.

La oss nå oversette nøkkelpunktene fra sensasjoner til matematikk.)

Første nøkkelpunkt.

Aritmetisk progresjon omhandler serier av tall. Dette er forvirrende i begynnelsen. Vi er vant til å løse likninger, tegne grafer og alt det der... Men her utvider vi serien, finner nummeret på serien...

Det er greit. Det er bare at progresjoner er det første bekjentskapet med en ny gren av matematikk. Seksjonen heter «Serie» og jobber spesifikt med serier av tall og uttrykk. Bli vant til det.)

Andre nøkkelpunkt.

I en aritmetisk progresjon er ethvert tall forskjellig fra det forrige med samme beløp.

I det første eksemplet er denne forskjellen én. Uansett hvilket nummer du tar, er det ett mer enn det forrige. I den andre - tre. Et hvilket som helst tall er tre mer enn det forrige. Faktisk er det dette øyeblikket som gir oss muligheten til å forstå mønsteret og beregne påfølgende tall.

Tredje nøkkelpunkt.

Dette øyeblikket er ikke slående, ja... Men det er veldig, veldig viktig. Her er han: Hvert progresjonsnummer er på sin plass. Det er det første tallet, det er det syvende, det er det førtifemte osv. Hvis du blander dem tilfeldig, vil mønsteret forsvinne. Aritmetisk progresjon vil også forsvinne. Det som er igjen er bare en rekke tall.

Det er hele poenget.

Selvfølgelig dukker det opp nye termer og betegnelser i et nytt emne. Du må kjenne dem. Ellers vil du ikke forstå oppgaven. For eksempel må du bestemme noe som:

Skriv ned de seks første leddene i den aritmetiske progresjonen (a n), hvis a 2 = 5, d = -2,5.

Inspirerende?) Bokstaver, noen indekser... Og oppgaven kunne forresten ikke vært enklere. Du trenger bare å forstå betydningen av begrepene og betegnelsene. Nå skal vi mestre denne saken og gå tilbake til oppgaven.

Vilkår og betegnelser.

Aritmetisk progresjon er en serie med tall der hvert tall er forskjellig fra det forrige med samme beløp.

Denne mengden kalles . La oss se på dette konseptet mer detaljert.

Aritmetisk progresjonsforskjell.

Aritmetisk progresjonsforskjell er beløpet som et progresjonstall med mer den forrige.

Et viktig poeng. Vær oppmerksom på ordet "mer". Matematisk betyr dette at hvert progresjonstall er ved å legge til forskjellen mellom aritmetisk progresjon til forrige tall.

For å beregne, la oss si sekund seriens tall, må du først Antall Legg til denne forskjellen i en aritmetisk progresjon. For beregning femte- forskjellen er nødvendig Legg til Til fjerde, vel osv.

Aritmetisk progresjonsforskjell Kan være positiv, da vil hvert tall i serien vise seg å være ekte mer enn den forrige. Denne progresjonen kalles økende. For eksempel:

8; 13; 18; 23; 28; .....

Her fås hvert tall ved å legge til positivt tall, +5 til det forrige.

Forskjellen kan være negativ, da vil hvert tall i serien være mindre enn den forrige. Denne progresjonen kalles (du vil ikke tro det!) minkende.

For eksempel:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Her får man også hvert tall ved å legge til til den forrige, men allerede et negativt tall, -5.

Forresten, når du jobber med progresjon, er det veldig nyttig å umiddelbart bestemme dens natur - om den øker eller minker. Dette hjelper mye med å navigere i beslutningen, oppdage feilene dine og rette dem før det er for sent.

Aritmetisk progresjonsforskjell vanligvis betegnet med bokstaven d.

Hvordan finne d? Veldig enkelt. Det er nødvendig å trekke fra et hvilket som helst tall i serien tidligere Antall. Trekke fra. Forresten, resultatet av subtraksjon kalles "forskjell".)

La oss definere for eksempel d for å øke aritmetisk progresjon:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Vi tar et hvilket som helst tall i serien som vi ønsker, for eksempel 11. Vi trekker fra det forrige nummer de. 8:

Dette er det riktige svaret. For denne aritmetiske progresjonen er forskjellen tre.

Du kan ta det et hvilket som helst progresjonsnummer, fordi for en bestemt progresjon d-alltid det samme. I hvert fall et sted i begynnelsen av raden, i hvert fall i midten, i hvert fall hvor som helst. Du kan ikke ta bare det aller første tallet. Rett og slett fordi det aller første tallet ingen tidligere.)

Forresten, å vite det d=3, er det veldig enkelt å finne det syvende tallet i denne progresjonen. La oss legge til 3 til det femte tallet - vi får det sjette, det blir 17. La oss legge til tre til det sjette tallet, vi får det syvende tallet - tjue.

La oss definere d for synkende aritmetisk progresjon:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Jeg minner deg om at, uavhengig av tegn, å bestemme d trenger fra et hvilket som helst nummer ta bort den forrige. Velg et hvilket som helst progresjonstall, for eksempel -7. Hans forrige tall er -2. Deretter:

d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5

Forskjellen til en aritmetisk progresjon kan være et hvilket som helst tall: heltall, brøk, irrasjonelt, hvilket som helst tall.

Andre begreper og betegnelser.

Hvert tall i serien kalles medlem av en aritmetisk progresjon.

Hvert medlem av progresjonen har sitt eget nummer. Tallene er strengt tatt i orden, uten noen triks. Første, andre, tredje, fjerde osv. For eksempel, i progresjonen 2, 5, 8, 11, 14, ... to er det første leddet, fem er det andre, elleve er det fjerde, vel, du forstår...) Vennligst forstå tydelig - selve tallene kan være absolutt hva som helst, hel, brøkdel, negativ, hva som helst, men nummerering av tall- strengt tatt i orden!

Hvordan skrive en progresjon i generell form? Ikke noe problem! Hvert tall i en serie skrives som en bokstav. For å betegne en aritmetisk progresjon, brukes vanligvis bokstaven en. Medlemsnummeret er angitt med en indeks nederst til høyre. Vi skriver termer atskilt med komma (eller semikolon), slik:

en 1, en 2, en 3, en 4, en 5, .....

en 1- dette er det første tallet, en 3- tredje osv. Ikke noe spesielt. Denne serien kan kort skrives slik: (en n).

Progresjoner skjer endelig og uendelig.

Ultimat progresjonen har et begrenset antall medlemmer. Fem, trettiåtte, uansett. Men det er et begrenset antall.

Uendelig progresjon - har et uendelig antall medlemmer, som du kanskje gjetter.)

Du kan skrive den endelige progresjonen gjennom en serie som denne, alle ledd og en prikk på slutten:

en 1, en 2, en 3, en 4, en 5.

Eller som dette, hvis det er mange medlemmer:

en 1, en 2, ... en 14, en 15.

I den korte oppføringen må du i tillegg angi antall medlemmer. For eksempel (for tjue medlemmer), slik:

(a n), n = 20

En uendelig progresjon kan gjenkjennes av ellipsen på slutten av raden, som i eksemplene i denne leksjonen.

Nå kan du løse oppgavene. Oppgavene er enkle, utelukkende for å forstå betydningen av en aritmetisk progresjon.

Eksempler på oppgaver om aritmetisk progresjon.

La oss se på oppgaven ovenfor i detalj:

1. Skriv ut de seks første leddene i den aritmetiske progresjonen (a n), hvis a 2 = 5, d = -2,5.

Vi oversetter oppgaven til et forståelig språk. En uendelig aritmetisk progresjon er gitt. Det andre tallet i denne progresjonen er kjent: a 2 = 5. Progresjonsforskjellen er kjent: d = -2,5. Vi må finne det første, tredje, fjerde, femte og sjette leddet i denne progresjonen.

For klarhetens skyld vil jeg skrive ned en serie i henhold til betingelsene for problemet. De første seks terminene, hvor den andre terminen er fem:

en 1, 5, en 3, en 4, en 5, en 6,....

en 3 = en 2 + d

Erstatter til uttrykk a 2 = 5 Og d = -2,5. Ikke glem minus!

en 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

Den tredje perioden viste seg å være mindre enn den andre. Alt er logisk. Hvis tallet er større enn det forrige negativ verdi, som betyr at selve tallet vil være mindre enn det forrige. Progresjonen avtar. Ok, la oss ta det med i betraktningen.) Vi teller den fjerde termen i serien vår:

en 4 = en 3 + d

en 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

en 5 = en 4 + d

en 5=0+(-2,5)= - 2,5

en 6 = en 5 + d

en 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

Så termer fra den tredje til den sjette ble beregnet. Resultatet er følgende serie:

a 1, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ....

Det gjenstår å finne den første termen en 1 ifølge den velkjente andre. Dette er et skritt i den andre retningen, til venstre.) Altså forskjellen på den aritmetiske progresjonen d skal ikke legges til en 2, A ta bort:

en 1 = en 2 - d

en 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

Det er det. Oppgavesvar:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

I forbifarten vil jeg bemerke at vi løste denne oppgaven Det vil si at hver gang, for å finne verdien av det n'te leddet i sekvensen, går vi tilbake til de to foregående. Denne metoden for å spesifisere en sekvens kalles vei. Dette forferdelige ordet betyr bare søket etter et medlem av progresjonen i henhold til forrige (tilstøtende) nummer. Vi skal se på andre måter å jobbe med progresjon nedenfor.

En viktig konklusjon kan trekkes fra denne enkle oppgaven.

Huske:

Hvis vi kjenner minst ett ledd og forskjellen på en aritmetisk progresjon, kan vi finne et hvilket som helst ledd for denne progresjonen.

Husker du? Denne enkle konklusjonen lar deg løse de fleste problemene på skolekurset om dette emnet. Alle oppgaver dreier seg om tre hovedparametere: medlem av en aritmetisk progresjon, forskjell på en progresjon, nummer på et medlem av progresjonen. Alle.

Selvfølgelig er ikke all tidligere algebra kansellert.) Ulikheter, ligninger og andre ting er knyttet til progresjon. Men i henhold til selve progresjonen– alt dreier seg om tre parametere.

Som et eksempel, la oss se på noen populære oppgaver om dette emnet.

2. Skriv den endelige aritmetiske progresjonen som en serie hvis n=5, d = 0,4 og a 1 = 3,6.

Alt er enkelt her. Alt er allerede gitt. Du må huske hvordan medlemmene i en aritmetisk progresjon telles, telle dem og skrive dem ned. Det er tilrådelig å ikke gå glipp av ordene i oppgavebetingelsene: "endelig" og " n=5". For ikke å telle før du er helt blå i ansiktet.) Det er bare 5 (fem) medlemmer i denne progresjonen:

a 2 = a 1 + d = 3,6 + 0,4 = 4

a 3 = a 2 + d = 4 + 0,4 = 4,4

en 4 = en 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8

en 5 = en 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2

Det gjenstår å skrive ned svaret:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

En annen oppgave:

3. Bestem om tallet 7 vil være et medlem av den aritmetiske progresjonen (a n), hvis a1 = 4,1; d = 1,2.

Hmm... Hvem vet? Hvordan bestemme noe?

Hvordan-hvordan... Skriv ned progresjonen i form av en serie og se om det blir en sjuer der eller ikke! Vi teller:

a 2 = a 1 + d = 4,1 + 1,2 = 5,3

a 3 = a 2 + d = 5,3 + 1,2 = 6,5

en 4 = en 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

Nå er det godt synlig at vi bare er syv gled gjennom mellom 6,5 og 7,7! Syv falt ikke inn i vår tallserie, og derfor vil ikke syv være medlem av den gitte progresjonen.

Svar: nei.

Og her er et problem basert på en ekte versjon av GIA:

4. Flere påfølgende ledd i den aritmetiske progresjonen skrives ut:

...; 15; X; 9; 6; ...

Her er en serie skrevet uten slutt og begynnelse. Ingen medlemsnummer, ingen forskjell d. Det er greit. For å løse problemet er det nok å forstå betydningen av en aritmetisk progresjon. La oss se og se hva som er mulig å vite fra denne serien? Hva er de tre hovedparametrene?

Medlemsnummer? Det er ikke et eneste tall her.

Men det er tre tall og - oppmerksomhet! - ord "konsistent" i stand. Det betyr at tallene er strengt tatt i orden, uten hull. Er det to på denne rekken? nabolandet kjente tall? Ja jeg har! Disse er 9 og 6. Derfor kan vi beregne forskjellen på den aritmetiske progresjonen! Trekk fra seks tidligere nummer, dvs. ni:

Det er bare småtterier igjen. Hvilket tall blir det forrige for X? Femten. Dette betyr at X lett kan finnes ved enkel addisjon. Legg til forskjellen mellom den aritmetiske progresjonen til 15:

Det er alt. Svar: x=12

Vi løser følgende problemer selv. Merk: disse problemene er ikke basert på formler. Rent for å forstå betydningen av en aritmetisk progresjon.) Vi skriver bare ned en rekke tall og bokstaver, ser og finner ut av det.

5. Finn det første positive leddet i den aritmetiske progresjonen hvis a 5 = -3; d = 1,1.

6. Det er kjent at tallet 5,5 er et medlem av den aritmetiske progresjonen (a n), hvor a 1 = 1,6; d = 1,3. Bestem tallet n for dette medlemmet.

7. Det er kjent at i aritmetisk progresjon a 2 = 4; a 5 = 15,1. Finn en 3.

8. Flere påfølgende ledd i den aritmetiske progresjonen skrives ut:

...; 15,6; X; 3,4; ...

Finn leddet for progresjonen angitt med bokstaven x.

9. Toget begynte å bevege seg fra stasjonen, og økte hastigheten jevnt med 30 meter per minutt. Hva blir hastigheten på toget om fem minutter? Gi svaret i km/time.

10. Det er kjent at i aritmetisk progresjon a 2 = 5; a 6 = -5. Finn en 1.

Svar (i uorden): 7,7; 7,5; 9,5; 9; 0,3; 4.

Alt ordnet seg? Fantastisk! Du kan mestre aritmetisk progresjon på et høyere nivå i de følgende leksjonene.

Har ikke alt ordnet seg? Ikke noe problem. I Spesialseksjon 555 er alle disse problemene sortert ut stykke for stykke.) Og selvfølgelig beskrives en enkel praktisk teknikk som umiddelbart fremhever løsningen på slike oppgaver klart, tydelig, med et øyeblikk!

I togpuslespillet er det forresten to problemer som folk ofte snubler over. Den ene er rent når det gjelder progresjon, og den andre er generell for alle problemer i matematikk og fysikk også. Dette er en oversettelse av dimensjoner fra en til en annen. Den viser hvordan disse problemene bør løses.

I denne leksjonen så vi på den elementære betydningen av en aritmetisk progresjon og dens hovedparametre. Dette er nok til å løse nesten alle problemer om dette emnet. Legg til d til tallene, skriv en serie, alt vil løse seg.

Fingerløsningen fungerer bra for veldig korte stykker av en rad, som i eksemplene i denne leksjonen. Hvis serien er lengre, blir beregningene mer kompliserte. For eksempel, hvis vi i oppgave 9 i spørsmålet erstatter "fem minutter" på "trettifem minutter" problemet vil bli betydelig verre.)

Og det er også oppgaver som i hovedsak er enkle, men absurde når det gjelder beregninger, for eksempel:

En aritmetisk progresjon (a n) er gitt. Finn en 121 hvis a 1 =3 og d=1/6.

Så hva, skal vi legge til 1/6 mange, mange ganger?! Du kan drepe deg selv!?

Det kan du.) Hvis du ikke kan en enkel formel som du kan bruke til å løse slike oppgaver på et minutt. Denne formelen vil være i neste leksjon. Og dette problemet er løst der. Om et øyeblikk.)