Ja 2 paralēlas taisnes šķērso trešdaļa, tad. Divu taisnes paralēlisma pazīmes

Jūsu privātuma saglabāšana mums ir svarīga. Šī iemesla dēļ mēs esam izstrādājuši Privātuma politiku, kurā aprakstīts, kā mēs izmantojam un uzglabājam jūsu informāciju. Lūdzu, pārskatiet mūsu privātuma praksi un informējiet mūs, ja jums ir kādi jautājumi.

Personiskās informācijas vākšana un izmantošana

Personiskā informācija attiecas uz datiem, kurus var izmantot, lai identificētu noteikta persona vai sazināties ar viņu.

Jums var tikt lūgts sniegt savu personisko informāciju jebkurā laikā, kad sazināsieties ar mums.

Tālāk ir sniegti daži piemēri par to, kāda veida personas informāciju mēs varam vākt un kā mēs varam izmantot šādu informāciju.

Kādu personas informāciju mēs apkopojam:

Kad vietnē iesniedzat pieprasījumu, mēs varam savākt dažāda informācija, tostarp jūsu vārds, tālruņa numurs, adrese e-pasts utt.

Kā mēs izmantojam jūsu personisko informāciju:

Mūsu apkopotā personas informācija ļauj mums sazināties ar jums un informēt jūs par unikālus piedāvājumus, akcijas un citi pasākumi un gaidāmie pasākumi.
Laiku pa laikam mēs varam izmantot jūsu personisko informāciju, lai nosūtītu svarīgus paziņojumus un paziņojumus.
Mēs varam izmantot personas informāciju arī iekšējiem mērķiem, piemēram, auditu, datu analīzes un dažādu pētījumu veikšanai, lai uzlabotu mūsu sniegtos pakalpojumus un sniegtu jums ieteikumus par mūsu pakalpojumiem.
Ja jūs piedalāties balvu izlozē, konkursā vai līdzīgā akcijā, mēs varam izmantot jūsu sniegto informāciju šādu programmu administrēšanai.

Informācijas izpaušana trešajām personām

Mēs neizpaužam no jums saņemto informāciju trešajām personām.

Izņēmumi:

Ja nepieciešams, saskaņā ar likumu, tiesas process, tiesvedībā un/vai pamatojoties uz publiskiem pieprasījumiem vai pieprasījumiem no valdības struktūras Krievijas Federācijas teritorijā - atklājiet savu personīgo informāciju. Mēs varam arī izpaust informāciju par jums, ja konstatēsim, ka šāda izpaušana ir nepieciešama vai piemērota drošības, tiesībaizsardzības vai citiem sabiedrībai svarīgiem mērķiem.
Reorganizācijas, apvienošanas vai pārdošanas gadījumā mēs varam nodot mūsu apkopoto personas informāciju attiecīgajai trešajai pusei.

Personiskās informācijas aizsardzība

Mēs veicam piesardzības pasākumus, tostarp administratīvus, tehniskus un fiziskus, lai aizsargātu jūsu personisko informāciju pret pazaudēšanu, zādzību un ļaunprātīgu izmantošanu, kā arī no nesankcionētas piekļuves, izpaušanas, pārveidošanas un iznīcināšanas.

Jūsu privātuma ievērošana uzņēmuma līmenī

Lai nodrošinātu jūsu personiskās informācijas drošību, mēs saviem darbiniekiem paziņojam par privātuma un drošības standartiem un stingri īstenojam privātuma praksi.

III NODAĻA.
PARALĒLI TIEŠAIS

§ 38. ATKARĪBA STARP LEĶIEM,
VEIDO DIVAS PARALĒLAS LĪNIJAS UN SEKUNDĀRĀS.

Mēs zinām, ka divas taisnes ir paralēlas, ja, krustojot trešo taisni, attiecīgie leņķi ir vienādi vai iekšējie vai ārējie leņķi, kas atrodas šķērsām, ir vienādi, vai iekšējo, vai ārējo vienpusējo leņķu summa ir vienāda ar 2 d. Pierādīsim, ka arī apgrieztās teorēmas ir patiesas, proti:

Ja divas paralēlas līnijas šķērso trešā, tad:

1) attiecīgie leņķi ir vienādi;
2) iekšējie šķērsleņķi ir vienādi;
3) ārējie šķērsleņķi ir vienādi;
4) iekšējo vienpusējo leņķu summa ir vienāda ar 2 d ;
5) ārējo vienpusējo leņķu summa ir vienāda ar 2 d .

Pierādīsim, piemēram, ja divas paralēlas taisnes krusto trešā taisne, tad attiecīgie leņķi ir vienādi.

Lai taisnes AB un CD ir paralēlas, un MN ir to sekants (202. att.) Pierādīsim, ka attiecīgie leņķi 1 un 2 ir vienādi.

Pieņemsim, ka / 1 un / 2 nav vienādi. Tad punktā O mēs varam konstruēt / SOK, atbilstošs un vienāds / 2 (203. zīmējums).

Bet ja / MOQ = / 2, tad taisne OK būs paralēla CD (§ 35).

Mēs atklājām, ka divas taisnes AB un OK tika novilktas caur punktu O, paralēli taisnei CD. Bet tā nevar būt (37.§).

Mēs nonācām pie pretrunas, jo mēs tā pieņēmām / 1 un / 2 nav vienādi. Tāpēc mūsu pieņēmums ir nepareizs un / 1 jābūt vienādam / 2, t.i., attiecīgie leņķi ir vienādi.

Nosakīsim attiecības starp atlikušajiem leņķiem. Lai taisnes AB un CD ir paralēlas, un MN ir to sekants (204. att.).

Mēs tikko pierādījām, ka šajā gadījumā attiecīgie leņķi ir vienādi. Pieņemsim, ka jebkurām divām no tām ir 119°. Aprēķināsim katra no pārējiem sešiem leņķiem lielumu. Pamatojoties uz blakus esošo un vertikālo leņķu īpašībām, mēs atklājam, ka četriem no astoņiem leņķiem katram būs 119°, bet pārējiem katram būs 61°.

Izrādījās, ka gan iekšējie, gan ārējie šķērsleņķi ir vienādi pa pāriem, un iekšējo vai ārējo vienpusējo leņķu summa ir vienāda ar 180° (vai 2 d).

Tas pats notiks ar jebkuru citu vienādu atbilstošo leņķu vērtību.

Secinājums 1. Ja katra no divām taisnēm AB un CD ir paralēla vienai un tai pašai trešajai taisnei MN, tad pirmās divas taisnes ir paralēlas viena otrai (205. zīmējums).

Faktiski, uzzīmējot sekantu EF (206. att.), mēs iegūstam:
A) / 1 = / 3, kopš AB || MN; b) / 2 = / 3, kopš CO || MN.

nozīmē, / 1 = / 2, un tie ir leņķi, kas atbilst taisnēm AB un CD un sekantam EF, tāpēc taisnes AB un CD ir paralēlas.

Secinājums 2. Ja taisne ir perpendikulāra vienai no divām paralēlām taisnēm, tad tā ir perpendikulāra arī otrai (207. zīmējums).

Patiešām, ja EF _|_ AB, tad / 1 = d; ja AB || CD, tad / 1 = / 2.

Tāpēc / 2 = d t.i., EF _|_ CD .

Ja divas paralēlas līnijas šķērso trešā, tad:

1. atbilstošie leņķi ir vienādi;
2. iekšējie šķērsleņķi ir vienādi;
3. ārējie šķērsleņķi ir vienādi;
4. iekšējo vienpusējo leņķu summa ir 2d;
5. ārējo vienpusējo leņķu summa ir 2d.

Pierādīsim, piemēram, ja divas paralēlas taisnes krusto trešā taisne, tad attiecīgie leņķi ir vienādi.

Lai taisnes AB un CD ir paralēlas, un MN ir to sekants (att.). Pierādīsim, ka attiecīgie leņķi 1 un 2 ir vienādi viens ar otru.

Pieņemsim, ka ∠1 un ∠2 nav vienādi. Tad punktā O ir iespējams konstruēt ∠MOK, kas atbilst un vienāds ar ∠2 (Zīm.).

Bet, ja ∠MOK = ∠2, tad taisne OK būs paralēla CD.

Mēs atklājām, ka divas taisnes AB un OK tika novilktas caur punktu O, paralēli taisnei CD. Bet tā nevar būt.

Mēs nonācām pie pretrunas, jo pieņēmām, ka ∠1 un ∠2 nav vienādi. Tāpēc mūsu pieņēmums ir nepareizs un ∠1 jābūt vienādam ar ∠2, t.i., attiecīgie leņķi ir vienādi.

Noskaidrosim attiecības starp atlikušajiem leņķiem. Lai taisnes AB un CD ir paralēlas, un MN ir to sekante (Zīm.).

Izrādījās, ka gan iekšējie, gan ārējie šķērsleņķi ir vienādi pa pāriem, un iekšējo vai ārējo vienpusējo leņķu summa ir vienāda ar 180° (vai 2d).

Tas pats notiks ar jebkuru citu vienādu atbilstošo leņķu vērtību.

Secinājums 1. Ja katra no divām taisnēm AB un CD ir paralēla vienai un tai pašai trešajai taisnei MN, tad pirmās divas taisnes ir paralēlas viena otrai .

Faktiski, uzzīmējot sekantu EF (att.), mēs iegūstam:

a) ∠1 = ∠3, jo AB || MN; b) ∠ 2 = ∠3, jo CO || MN.

Tas nozīmē, ka ∠1 = ∠2, un tie ir attiecīgie leņķi pie taisnēm AB un CD un sekanta EF, tāpēc taisnes AB un CD ir paralēlas.

Secinājums 2. Ja taisne ir perpendikulāra vienai no divām paralēlām taisnēm, tad tā ir perpendikulāra arī otrai .

Patiešām, ja EF ⊥ AB, tad ∠1 = d; ja AB || CD, tad ∠1 = ∠2.

Tāpēc ∠ 2 = d t.i., EF ⊥ CD.

Šis raksts ir par paralēlām līnijām un paralēlām līnijām. Pirmkārt, ir dota paralēlo līniju definīcija plaknē un telpā, tiek ieviesti apzīmējumi, sniegti paralēlu līniju piemēri un grafiskās ilustrācijas. Tālāk tiek apskatītas līniju paralēlisma pazīmes un nosacījumi. Noslēgumā parādīti tipisku taisnes paralēlisma pierādīšanas problēmu risinājumi, kas doti ar noteiktiem taisnes vienādojumiem taisnstūra koordinātu sistēmā plaknē un trīsdimensiju telpā.

Lapas navigācija.

Paralēlas līnijas - pamatinformācija.

Definīcija.

Tiek izsauktas divas plaknes līnijas paralēli, ja tiem nav kopīgu punktu.

Definīcija.

Tiek sauktas divas līnijas trīsdimensiju telpā paralēli, ja tie atrodas vienā plaknē un tiem nav kopīgu punktu.

Lūdzu, ņemiet vērā, ka klauzula “ja tās atrodas vienā plaknē” paralēlo līniju definīcijā telpā ir ļoti svarīga. Precizēsim šo punktu: divas taisnes trīsdimensiju telpā, kurām nav kopīgu punktu un neatrodas vienā plaknē, nav paralēlas, bet krustojas.

Šeit ir daži paralēlu līniju piemēri. Pretējās malas piezīmju grāmatiņas lapa gulēt uz paralēlām līnijām. Taisnās līnijas, pa kurām mājas sienas plakne krustojas ar griestu un grīdas plaknēm, ir paralēlas. Dzelzceļa sliedes uz līdzenas zemes var uzskatīt arī par paralēlām līnijām.

Lai apzīmētu paralēlas līnijas, izmantojiet simbolu “”. Tas ir, ja taisnes a un b ir paralēlas, tad mēs varam īsi uzrakstīt b.

Lūdzu, ņemiet vērā: ja taisnes a un b ir paralēlas, tad mēs varam teikt, ka taisne a ir paralēla taisnei b, kā arī taisne b ir paralēla taisnei a.

Izrunāsim apgalvojumu, kam ir svarīga loma paralēlu taisnu izpētē plaknē: caur punktu, kas neatrodas uz noteiktas taisnes, iet vienīgā taisne, kas ir paralēla dotajai. Šis apgalvojums tiek pieņemts kā fakts (to nevar pierādīt, pamatojoties uz zināmajām planimetrijas aksiomām), un to sauc par paralēlo līniju aksiomu.

Telpas gadījumam ir spēkā teorēma: caur jebkuru telpas punktu, kas neatrodas uz noteiktas taisnes, iet viena taisne, kas ir paralēla dotajai. Šo teorēmu ir viegli pierādīt, izmantojot iepriekš minēto paralēlo līniju aksiomu (tās pierādījumu varat atrast ģeometrijas mācību grāmatā 10.-11. klasei, kas ir norādīta raksta beigās literatūras sarakstā).

Telpas gadījumam ir spēkā teorēma: caur jebkuru telpas punktu, kas neatrodas uz noteiktas taisnes, iet viena taisne, kas ir paralēla dotajai. Šo teorēmu var viegli pierādīt, izmantojot iepriekš minēto paralēlās līnijas aksiomu.

Līniju paralēlisms - paralēlisma pazīmes un nosacījumi.

Līniju paralēlisma zīme ir pietiekams nosacījums, lai taisnes būtu paralēlas, tas ir, nosacījums, kura izpilde garantē līniju paralēlumu. Citiem vārdiem sakot, šī nosacījuma izpilde ir pietiekama, lai konstatētu, ka līnijas ir paralēlas.

Ir arī nepieciešami un pietiekami nosacījumi līniju paralēlismam plaknē un trīsdimensiju telpā.

Paskaidrosim, ko nozīmē frāze "nepieciešams un pietiekams nosacījums paralēlām līnijām".

Mēs jau esam izskatījuši pietiekamu nosacījumu paralēlām līnijām. Un kas ir " nepieciešamais nosacījums līniju paralēlisms"? No nosaukuma “nepieciešams” ir skaidrs, ka šī nosacījuma izpilde ir nepieciešama paralēlām līnijām. Citiem vārdiem sakot, ja nav izpildīts nepieciešamais nosacījums paralēlām līnijām, tad līnijas nav paralēlas. Tādējādi nepieciešams un pietiekams nosacījums paralēlām līnijām ir nosacījums, kura izpilde paralēlām taisnēm ir gan nepieciešama, gan pietiekama. Tas ir, no vienas puses, tā ir līniju paralēlisma pazīme, un, no otras puses, šī ir īpašība, kas piemīt paralēlām līnijām.

Pirms formulēt vajadzīgu un pietiekamu līniju paralēlisma nosacījumu, ieteicams atgādināt vairākas palīgdefinīcijas.

Sekanta līnija ir taisne, kas krusto katru no divām noteiktām nesakrītošām taisnēm.

Kad divas taisnes krustojas ar šķērsvirzienu, veidojas astoņas neattīstītas. Līniju paralēlisma vajadzīgā un pietiekamā nosacījuma formulējumā t.s guļ šķērsām, atbilst Un vienpusēji leņķi. Parādīsim tos zīmējumā.

Teorēma.

Ja plaknē divas taisnes krustojas ar šķērsvirzienu, tad, lai tās būtu paralēlas, ir nepieciešams un pietiek, ka krustošanās leņķi ir vienādi vai attiecīgie leņķi ir vienādi, vai vienpusējo leņķu summa ir vienāda ar 180 grādiem .

Parādīsim grafisku šī vajadzīgā un pietiekamā nosacījuma līniju paralēlismam plaknē.

Pierādījumus šiem taisnu paralēlisma nosacījumiem varat atrast ģeometrijas mācību grāmatās 7.-9.klasei.

Ņemiet vērā, ka šos nosacījumus var izmantot arī trīsdimensiju telpā - galvenais, lai abas līnijas un sekants atrodas vienā plaknē.

Šeit ir vēl dažas teorēmas, kuras bieži izmanto, lai pierādītu līniju paralēlismu.

Teorēma.

Ja plaknē divas taisnes ir paralēlas trešajai taisnei, tad tās ir paralēlas. Šīs īpašības pierādījums izriet no paralēlo līniju aksiomas.

Līdzīgs nosacījums ir paralēlām līnijām trīsdimensiju telpā.

Teorēma.

Ja divas līnijas telpā ir paralēlas trešajai taisnei, tad tās ir paralēlas. Šī kritērija pierādījums tiek apspriests ģeometrijas stundās 10. klasē.

Ilustrēsim izvirzītās teorēmas.

Iesniegsim vēl vienu teorēmu, kas ļauj pierādīt taisnes paralēlismu plaknē.

Teorēma.

Ja plaknē divas taisnes ir perpendikulāras trešajai taisnei, tad tās ir paralēlas.

Līdzīga teorēma ir arī līnijām telpā.

Teorēma.

Ja divas taisnes trīsdimensiju telpā ir perpendikulāras vienai un tai pašai plaknei, tad tās ir paralēlas.

Uzzīmēsim šīm teorēmām atbilstošus attēlus.

Visas augstāk formulētās teorēmas, kritēriji un nepieciešamie un pietiekamie nosacījumi ir lieliski piemēroti līniju paralēlisma pierādīšanai ar ģeometrijas metodēm. Tas ir, lai pierādītu divu doto līniju paralēlismu, jums jāparāda, ka tās ir paralēlas trešajai līnijai, vai jāparāda šķērsām novietoto leņķu vienādība utt. Daudzas līdzīgas problēmas tiek atrisinātas ģeometrijas stundās vidusskola. Tomēr jāņem vērā, ka daudzos gadījumos ir ērti izmantot koordinātu metodi, lai pierādītu līniju paralēlismu plaknē vai trīsdimensiju telpā. Formulēsim nepieciešamos un pietiekamos nosacījumus taisnstūrveida koordinātu sistēmā norādīto taisnes paralēlismam.

Līniju paralēlisms taisnstūra koordinātu sistēmā.

Šajā raksta punktā mēs formulēsim nepieciešamie un pietiekamie nosacījumi paralēlām līnijām taisnstūra koordinātu sistēmā atkarībā no vienādojumu veida, kas nosaka šīs taisnes, un mēs arī piedāvājam detalizēti risinājumi raksturīgie uzdevumi.

Sāksim ar divu taisnu līniju paralēlisma nosacījumu uz plaknes taisnstūra koordinātu sistēmā Oxy. Viņa pierādījums ir balstīts uz līnijas virziena vektora definīciju un taisnes normālā vektora definīciju plaknē.

Teorēma.

Lai divas nesakrītošas taisnes būtu paralēlas plaknē, ir nepieciešams un pietiekami, lai šo taisnu virziena vektori būtu kolineāri vai šo taisnes normālvektori ir kolineāri, vai vienas taisnes virziena vektors būtu perpendikulārs normālajai. otrās rindas vektors.

Acīmredzot divu līniju paralēlisma nosacījums plaknē tiek samazināts līdz (līniju virziena vektori vai līniju normālie vektori) vai (vienas līnijas virziena vektors un otrās līnijas normāls vektors). Tādējādi, ja un ir taisnes a un b virziena vektori, un Un ir attiecīgi taisnes a un b normālie vektori, tad nepieciešamais un pietiekams nosacījums taisnes a un b paralēlismam tiks uzrakstīts kā , vai , vai , kur t ir kāds reāls skaitlis. Savukārt taisnes a un b vadotņu un (vai) normālvektoru koordinātes atrod ar zināmie vienādojumi taisni

Jo īpaši, ja taisnstūra a taisnstūra koordinātu sistēmā Oxy plaknē definē vispārīgu formas taisnes vienādojumu , un taisna līnija b - , tad šo taisnu normālvektoriem ir attiecīgi koordinātes un, un nosacījums taisnēm a un b paralēlismam tiks uzrakstīts kā .

Ja taisne a atbilst vienādojumam taisnei ar formas leņķa koeficientu un taisnei b-, tad šo taisnes normālvektoriem ir koordinātes un , un šo taisnes paralēlisma nosacījums iegūst formu . Līdz ar to, ja taisnstūra koordinātu sistēmas plaknē taisnes ir paralēlas un tās var norādīt ar taisnu vienādojumiem ar leņķa koeficientiem, tad nogāzes taisnas līnijas būs vienādas. Un otrādi: ja taisnstūra koordinātu sistēmas plaknē nesakrītošas līnijas var norādīt ar taisnes vienādojumiem ar vienādiem leņķa koeficientiem, tad šādas taisnes ir paralēlas.

Ja taisnstūra koordinātu sistēmā taisnstūra a un taisne b nosaka ar kanoniskajiem taisnes vienādojumiem formas plaknē Un , vai taisnes parametru vienādojumi formas plaknē Un attiecīgi šo līniju virziena vektoriem ir koordinātes un , un taisnu a un b paralēlisma nosacījums ir uzrakstīts kā .

Apskatīsim risinājumus vairākiem piemēriem.

Piemērs.

Vai līnijas ir paralēlas? Un ?

Risinājums.

Pārrakstīsim līnijas vienādojumu segmentos vispārējā līnijas vienādojuma formā: . Tagad mēs varam redzēt, ka tas ir normālais līnijas vektors , a ir taisnes normālais vektors. Šie vektori nav kolineāri, jo nav reāla skaitļa t, kuram vienādība ( ). Līdz ar to nav izpildīts nepieciešamais un pietiekams nosacījums taisnes paralēlismam plaknē, līdz ar to dotās taisnes nav paralēlas.

Atbilde:

Nē, līnijas nav paralēlas.

Piemērs.

Vai taisnas līnijas ir paralēlas?

Risinājums.

Reducēsim taisnes kanonisko vienādojumu līdz taisnes vienādojumam ar leņķa koeficientu: . Acīmredzot līniju un vienādojumi nav vienādi (šajā gadījumā dotās taisnes būtu vienādas) un līniju leņķiskie koeficienti ir vienādi, tāpēc sākotnējās līnijas ir paralēlas.

Šajā rakstā mēs runāsim par paralēlām līnijām, sniegsim definīcijas un ieskicēsim paralēlisma pazīmes un nosacījumus. Lai teorētiskais materiāls būtu skaidrāks, izmantosim ilustrācijas un tipisku piemēru risinājumus.

Yandex.RTB R-A-339285-1 1. definīcija

Paralēlas līnijas plaknē– divas plaknes taisnes, kurām nav kopīgu punktu.

2. definīcija

Paralēlas līnijas trīsdimensiju telpā– divas taisnas līnijas trīsdimensiju telpā, kas atrodas vienā plaknē un kurām nav kopīgu punktu.

Jāatzīmē, ka, lai noteiktu paralēlas līnijas telpā, ir ārkārtīgi svarīgs precizējums “atrodas vienā plaknē”: divas līnijas trīsdimensiju telpā, kurām nav kopīgu punktu un neatrodas vienā plaknē, nav paralēlas. , bet krustojas.

Lai norādītu paralēlas līnijas, parasti tiek izmantots simbols ∥. Tas ir, ja dotās līnijas a un b ir paralēlas, šis nosacījums īsi jāuzraksta šādi: a ‖ b. Verbāli līniju paralēlisms tiek apzīmēts šādi: taisnes a un b ir paralēlas vai taisne a ir paralēla taisnei b, vai taisne b ir paralēla taisnei a.

Formulēsim apgalvojumu, kam ir svarīga loma pētāmajā tēmā.

Aksioma

Caur punktu, kas nepieder noteiktai taisnei, iet vienīgā taisne, kas ir paralēla dotajai taisnei. Šo apgalvojumu nevar pierādīt, pamatojoties uz zināmajām planimetrijas aksiomām.

Gadījumā mēs runājam par par telpu, teorēma ir patiesa:

1. teorēma

Caur jebkuru telpas punktu, kas nepieder noteiktai taisnei, būs viena taisne, kas ir paralēla dotajai līnijai.

Šo teorēmu ir viegli pierādīt, pamatojoties uz iepriekš minēto aksiomu (ģeometrijas programma 10. - 11. klasei).

Paralēlitātes kritērijs ir pietiekams nosacījums, kura izpilde garantē līniju paralēlismu. Citiem vārdiem sakot, šī nosacījuma izpilde ir pietiekama, lai apstiprinātu paralēlisma faktu.

Jo īpaši ir nepieciešami un pietiekami nosacījumi līniju paralēlismam plaknē un telpā. Paskaidrosim: nepieciešams nozīmē nosacījumu, kura izpilde ir nepieciešama, lai taisnes būtu paralēlas; ja tas nav izpildīts, līnijas nav paralēlas.

Rezumējot, nepieciešams un pietiekams līniju paralēlisma nosacījums ir nosacījums, kura ievērošana ir nepieciešama un pietiekama, lai taisnes būtu paralēlas viena otrai. No vienas puses, tā ir paralēlisma pazīme, no otras puses, tā ir īpašība, kas raksturīga paralēlām līnijām.

Pirms sniegt precīzu nepieciešamā un pietiekama nosacījuma formulējumu, atcerēsimies dažus papildu jēdzienus.

3. definīcija

Sekanta līnija– taisne, kas krusto katru no divām noteiktām nesakrītošām taisnēm.

Krustojoties divām taisnēm, šķērsvirziena veido astoņus neattīstītus leņķus. Lai formulētu vajadzīgu un pietiekamu nosacījumu, izmantosim tādus leņķu veidus kā krustots, atbilstošs un vienpusējs. Parādīsim tos ilustrācijā:

2. teorēma

Ja plaknē divas taisnes krustojas ar šķērsvirzienu, tad, lai dotās taisnes būtu paralēlas, ir nepieciešams un pietiekami, lai krustošanās leņķi būtu vienādi vai attiecīgie leņķi būtu vienādi, vai vienpusējo leņķu summa būtu vienāda ar 180 grādi.

Grafiski ilustrēsim nepieciešamo un pietiekamo nosacījumu līniju paralēlumam plaknē:

Šo nosacījumu pierādījums ir ģeometrijas programmā 7. - 9. klasei.

Kopumā šie nosacījumi attiecas arī uz trīsdimensiju telpu, ja divas līnijas un sekants pieder vienai plaknei.

Norādīsim vēl dažas teorēmas, kuras bieži izmanto, lai pierādītu, ka taisnes ir paralēlas.

3. teorēma

Plaknē divas taisnes, kas ir paralēlas trešajai, ir paralēlas viena otrai. Šī pazīme ir pierādīta, pamatojoties uz iepriekš norādīto paralēlisma aksiomu.

4. teorēma

Trīsdimensiju telpā divas līnijas, kas ir paralēlas trešajai, ir paralēlas viena otrai.

Zīmes pierādījums tiek apgūts 10. klases ģeometrijas mācību programmā.

Sniegsim šo teorēmu ilustrāciju:

Norādīsim vēl vienu teorēmu pāri, kas pierāda līniju paralēlismu.

5. teorēma

Plaknē divas taisnes, kas ir perpendikulāras trešajai daļai, ir paralēlas viena otrai.

Noformulēsim līdzīgu lietu trīsdimensiju telpai.

6. teorēma

Trīsdimensiju telpā divas taisnes, kas ir perpendikulāras trešajai daļai, ir paralēlas viena otrai.

Ilustrēsim:

Visas iepriekš minētās teorēmas, zīmes un nosacījumi ļauj ērti pierādīt līniju paralēlismu, izmantojot ģeometrijas metodes. Tas ir, lai pierādītu taisnes paralēlismu, var parādīt, ka attiecīgie leņķi ir vienādi, vai parādīt faktu, ka divas dotās taisnes ir perpendikulāras trešajai utt. Bet ņemiet vērā, ka bieži vien ērtāk ir izmantot koordinātu metodi, lai pierādītu līniju paralēlismu plaknē vai trīsdimensiju telpā.

Līniju paralēlisms taisnstūra koordinātu sistēmā

Dotajā taisnstūrveida koordinātu sistēmā taisni nosaka taisnes vienādojums plaknē viena no iespējamajiem veidiem. Tāpat taisne, kas definēta taisnstūra koordinātu sistēmā trīsdimensiju telpā, atbilst dažiem vienādojumiem taisnei telpā.

Pierakstīsim nepieciešamos un pietiekamos nosacījumus taisnstūra paralēlismam taisnstūra koordinātu sistēmā atkarībā no vienādojuma veida, kas apraksta dotās taisnes.

Sāksim ar nosacījumu par līniju paralēli plaknē. Tas ir balstīts uz līnijas virziena vektora un līnijas normālā vektora definīcijām plaknē.

7. teorēma

Lai divas nesakrītošas taisnes būtu paralēlas plaknē, ir nepieciešams un pietiekami, lai doto taisnes virziena vektori būtu kolineāri vai doto taisnes normālvektori ir kolineāri, vai vienas taisnes virziena vektors būtu perpendikulārs otras līnijas normālais vektors.

Kļūst acīmredzams, ka plaknes taisnes paralēlisma nosacījums ir balstīts uz vektoru kolinearitātes nosacījumu vai divu vektoru perpendikularitātes nosacījumu. Tas ir, ja a → = (a x , a y) un b → = (b x , b y) ir taisnes a un b virziena vektori;

un n b → = (n b x , n b y) ir taisnes a un b normālie vektori, tad augstāk minēto nepieciešamo un pietiekamo nosacījumu rakstām šādi: a → = t · b → ⇔ a x = t · b x a y = t · b y vai n a → = t · n b → ⇔ n a x = t · n b x n a y = t · n b y vai a → , n b → = 0 ⇔ a x · n b x + a y · n b y = 0 , kur t ir kāds reāls skaitlis. Vadlīniju jeb taisnu vektoru koordinātas nosaka dotie taisnes vienādojumi. Apskatīsim galvenos piemērus.

Ir definēta taisne a taisnstūra koordinātu sistēmā vispārējais vienādojums taisna līnija: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0; taisna līnija b - A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. Tad doto līniju normālvektoriem būs attiecīgi koordinātes (A 1, B 1) un (A 2, B 2). Paralēlitātes nosacījumu rakstām šādi:

A 1 = t A 2 B 1 = t B 2

Taisni a apraksta ar vienādojumu taisnei ar slīpumu y = k 1 x + b 1 . Taisne b - y = k 2 x + b 2. Tad doto līniju normāliem vektoriem būs attiecīgi koordinātes (k 1, - 1) un (k 2, - 1), un paralēlisma nosacījumu rakstīsim šādi:

k 1 = t k 2 - 1 = t (- 1) ⇔ k 1 = t k 2 t = 1 ⇔ k 1 = k 2

Tātad, ja paralēlas taisnes uz plaknes taisnstūrveida koordinātu sistēmā ir dotas ar vienādojumiem ar leņķa koeficientiem, tad doto līniju leņķiskie koeficienti būs vienādi. Un patiess ir pretējais apgalvojums: ja taisnstūra koordinātu sistēmā plaknē nesakrītošas taisnes nosaka taisnes vienādojumi ar identiskiem leņķa koeficientiem, tad šīs dotās taisnes ir paralēlas.

Taisniņas a un b taisnstūra koordinātu sistēmā nosaka ar plaknes taisnes kanoniskajiem vienādojumiem: x - x 1 a x = y - y 1 a y un x - x 2 b x = y - y 2 b y vai ar parametru vienādojumiem taisne plaknē: x = x 1 + λ · a x y = y 1 + λ · a y un x = x 2 + λ · b x y = y 2 + λ · b y .

Tad doto līniju virziena vektori būs attiecīgi: a x, a y un b x, b y, un paralēlisma nosacījumu rakstīsim šādi:

a x = t b x a y = t b y

Apskatīsim piemērus.

1. piemērs

Ir dotas divas rindas: 2 x - 3 y + 1 = 0 un x 1 2 + y 5 = 1. Ir nepieciešams noteikt, vai tie ir paralēli.

Risinājums

Uzrakstīsim taisnas līnijas vienādojumu segmentos vispārējā vienādojuma veidā:

x 1 2 + y 5 = 1 ⇔ 2 x + 1 5 y - 1 = 0

Mēs redzam, ka n a → = (2, - 3) ir taisnes 2 x - 3 y + 1 = 0 normālvektors, un n b → = 2, 1 5 ir taisnes x 1 2 + y 5 normālvektors. = 1.

Iegūtie vektori nav kolineāri, jo nav tādas tat vērtības, kurā vienādība būtu patiesa:

2 = t 2 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = 1 5

Tādējādi nav izpildīts nepieciešamais un pietiekams nosacījums līniju paralēlumam plaknē, kas nozīmē, ka dotās taisnes nav paralēlas.

Atbilde: dotās taisnes nav paralēlas.

2. piemērs

Ir dotas rindas y = 2 x + 1 un x 1 = y - 4 2. Vai tie ir paralēli?

Risinājums

Pārveidosim taisnes x 1 = y - 4 2 kanonisko vienādojumu par taisnes ar slīpumu vienādojumu:

x 1 = y - 4 2 ⇔ 1 · (y - 4) = 2 x ⇔ y = 2 x + 4

Mēs redzam, ka taisnu vienādojumi y = 2 x + 1 un y = 2 x + 4 nav vienādi (ja tas būtu citādi, taisnes sakristu) un līniju leņķiskie koeficienti ir vienādi, kas nozīmē dotās līnijas ir paralēlas.

Mēģināsim atrisināt problēmu savādāk. Vispirms pārbaudīsim, vai dotās rindas sakrīt. Mēs izmantojam jebkuru punktu uz līnijas y = 2 x + 1, piemēram, (0, 1), šī punkta koordinātas neatbilst taisnes vienādojumam x 1 = y - 4 2, kas nozīmē, ka līnijas atbilst vienādojumam. nesakrīt.

Nākamais solis ir noteikt, vai ir izpildīts doto līniju paralēlisma nosacījums.

Taisnes y = 2 x + 1 normālvektors ir vektors n a → = (2 , - 1) , un otrās dotās taisnes virziena vektors ir b → = (1 , 2) . Šo vektoru skalārais reizinājums ir vienāds ar nulli:

n a → , b → = 2 1 + (- 1) 2 = 0

Tādējādi vektori ir perpendikulāri: tas mums parāda vajadzīgā un pietiekamā sākotnējās līnijas paralēlisma nosacījuma izpildi. Tie. dotās taisnes ir paralēlas.

Atbilde:šīs līnijas ir paralēlas.

Lai pierādītu līniju paralēlismu trīsdimensiju telpas taisnstūra koordinātu sistēmā, tiek izmantots šāds nepieciešamais un pietiekams nosacījums.

8. teorēma

Lai divas nesakrītošas taisnes trīsdimensiju telpā būtu paralēlas, ir nepieciešams un pietiekami, lai šo līniju virziena vektori būtu kolineāri.

Tie. ņemot vērā līniju vienādojumus trīsdimensiju telpā, atbildi uz jautājumu: vai tās ir paralēlas vai nē, atrod, nosakot doto līniju virziena vektoru koordinātas, kā arī pārbaudot to kolinearitātes nosacījumu. Citiem vārdiem sakot, ja a → = (a x, a y, a z) un b → = (b x, b y, b z) ir attiecīgi taisnes a un b virziena vektori, tad, lai tās būtu paralēlas, pastāv ir nepieciešams šāds reāls skaitlis t, lai vienādība būtu spēkā:

a → = t b → ⇔ a x = t b x a y = t b y a z = t b z

3. piemērs

Ir dotas rindas x 1 = y - 2 0 = z + 1 - 3 un x = 2 + 2 λ y = 1 z = - 3 - 6 λ. Ir jāpierāda šo līniju paralēlisms.

Risinājums

Problēmas nosacījumi ir doti kanoniskie vienādojumi viena taisne telpā un citas taisnes parametriskie vienādojumi telpā. Vadošie vektori a → un b → dotajām līnijām ir koordinātas: (1, 0, - 3) un (2, 0, - 6).

1 = t · 2 0 = t · 0 - 3 = t · - 6 ⇔ t = 1 2, tad a → = 1 2 · b → .

Līdz ar to ir izpildīts nepieciešamais un pietiekams nosacījums līniju paralēlismam telpā.

Atbilde: ir pierādīts doto līniju paralēlisms.

Ja pamanāt tekstā kļūdu, lūdzu, iezīmējiet to un nospiediet Ctrl+Enter