Kas ir skaitļu nok. LCM mazākais kopīgais reizinājums

Skolēniem matemātikā tiek dots daudz uzdevumu. Starp tiem ļoti bieži ir problēmas ar šādu formulējumu: ir divas nozīmes. Kā atrast doto skaitļu mazāko kopējo daudzkārtni? Ir jāspēj veikt šādus uzdevumus, jo iegūtās prasmes tiek izmantotas darbam ar daļskaitļiem, kad dažādi saucēji. Šajā rakstā apskatīsim, kā atrast LOC un pamatjēdzienus.

Pirms atrodat atbildi uz jautājumu par to, kā atrast LCM, jums ir jādefinē termins daudzkārtējs. Visbiežāk šī jēdziena formulējums izklausās šādi: noteiktas vērtības A daudzkārtnis ir naturāls skaitlis, kas dalās ar A bez atlikuma. Tātad 4 reizinātāji būs 8, 12, 16, 20, un tā tālāk, līdz vajadzīgajai robežai.

Šajā gadījumā dalītāju skaitu konkrētai vērtībai var ierobežot, bet reizinātāju ir bezgalīgi daudz. Tāda pati vērtība ir arī dabas vērtībām. Tas ir rādītājs, kas ir sadalīts tajos bez atlikuma. Sapratuši mazākās vērtības jēdzienu noteiktiem rādītājiem, pāriesim pie tā, kā to atrast.

NOC atrašana

Divu vai vairāku eksponentu mazākais reizinājums ir mazākais dabiskais skaitlis, kas pilnībā dalās ar visiem norādītajiem skaitļiem.

Ir vairāki veidi, kā atrast šādu vērtību, apsveriet šādas metodes:

Ja skaitļi ir mazi, pierakstiet uz līnijas visus ar to dalāmos. Turpiniet to darīt, līdz starp viņiem atrodat kaut ko kopīgu. Rakstiski tos apzīmē ar burtu K. Piemēram, 4 un 3 mazākais daudzkārtnis ir 12.
Ja tie ir lieli vai jums ir jāatrod 3 vai vairāku vērtību reizinājums, izmantojiet citu paņēmienu, kas ietver skaitļu sadalīšanu primārajos faktoros. Vispirms izklājiet lielāko, pēc tam visus pārējos. Katram no tiem ir savs reizinātāju skaits. Piemēram, sadalīsim 20 (2*2*5) un 50 (5*5*2). Mazākajam, pasvītrojiet faktorus un pievienojiet tos lielākajam. Rezultāts būs 100, kas būs iepriekšminēto skaitļu mazākais kopīgais reizinājums.
Meklējot 3 skaitļus (16, 24 un 36), principi ir tādi paši kā pārējiem diviem. Izvērsīsim katru no tiem: 16 = 2*2*2*2, 24=2*2*2*3, 36=2*2*3*3. Tikai divi divi no skaitļa 16 izvērsuma netika iekļauti lielākās izvērsumā. Mēs tos saskaitām un iegūstam 144, kas ir mazākais rezultāts iepriekš norādītajām skaitliskajām vērtībām.

Tagad mēs zinām, ko vispārējā metodoloģija atrast mazāko vērtību divām, trim vai vairākām vērtībām. Tomēr ir arī privātas metodes, palīdzot meklēt NOC, ja iepriekšējie nepalīdz.

Kā atrast GCD un NOC.

Privātas atrašanas metodes

Tāpat kā jebkurā matemātikas sadaļā, ir īpaši LCM atrašanas gadījumi, kas palīdz konkrētās situācijās:

ja viens no skaitļiem dalās ar pārējiem bez atlikuma, tad šo skaitļu mazākais daudzkārtnis ir vienāds ar to (60 un 15 LCM ir 15);
relatīvi pirmskaitļiem nav kopīgu pirmskaitļu. To mazākā vērtība ir vienāda ar šo skaitļu reizinājumu. Tādējādi skaitļiem 7 un 8 tas būs 56;
tas pats noteikums darbojas arī citos gadījumos, arī speciālajos, par kuriem var lasīt specializētajā literatūrā. Tajā jāiekļauj arī salikto skaitļu dekompozīcijas gadījumi, kas ir atsevišķu rakstu un pat kandidātu disertāciju tēma.

Īpaši gadījumi ir retāk sastopami nekā standarta piemēri. Bet, pateicoties viņiem, jūs varat iemācīties strādāt ar dažādas sarežģītības pakāpes frakcijām. Tas jo īpaši attiecas uz frakcijām, kur ir nevienlīdzīgi saucēji.

Daži piemēri

Apskatīsim dažus piemērus, kas palīdzēs izprast mazāko vairāku atrašanas principu:

Atrodiet LOC (35; 40). Vispirms mēs sadalām 35 = 5 * 7, pēc tam 40 = 5 * 8. Pievienojiet 8 mazākajam skaitlim un iegūstiet LOC 280.
NOC (45; 54). Mēs sadalām katru no tiem: 45 = 3 * 3 * 5 un 54 = 3 * 3 * 6. Mēs pievienojam skaitli 6 līdz 45. Mēs iegūstam LCM, kas vienāds ar 270.
Nu, pēdējais piemērs. Ir 5 un 4. Tiem nav pirmreizēju, tāpēc mazākais kopīgais reizinājums šajā gadījumā būs to reizinājums, kas ir vienāds ar 20.

Pateicoties piemēriem, jūs varat saprast, kā NOC atrodas, kādas ir nianses un kāda ir šādu manipulāciju nozīme.

NOC atrašana ir daudz vienkāršāka, nekā sākotnēji varētu šķist. Lai to izdarītu, tiek izmantota gan vienkārša paplašināšana, gan reizināšana vienkāršas vērtības viens otram virsū. Spēja strādāt ar šo matemātikas sadaļu palīdz turpināt matemātikas tēmu, īpaši daļskaitļu, izpēti dažādas pakāpes sarežģītība.

Neaizmirstiet periodiski atrisināt piemērus dažādas metodes, tas attīsta loģisko aparātu un ļauj atcerēties daudzus terminus. Uzziniet, kā atrast šādu eksponentu, un jūs varēsiet labi veikt pārējās matemātikas sadaļas. Priecīgu matemātikas apguvi!

Video

Šis video palīdzēs jums saprast un atcerēties, kā atrast vismazāko kopskaitu.

5. klasē tiek apgūta tēma “Vairāki”. vidusskola. Tās mērķis ir pilnveidot rakstiskās un mutiskās matemātisko aprēķinu prasmes. Šajā nodarbībā tiek ieviesti jauni jēdzieni - “vairāki skaitļi” un “dalītāji”, tiek praktizēta naturāla skaitļa dalītāju un reizinātāju atrašanas tehnika un spēja dažādos veidos atrast LCM.

Šī tēma ir ļoti svarīga. Zināšanas par to var pielietot, risinot piemērus ar daļskaitļiem. Lai to izdarītu, jums ir jāatrod kopsaucējs, aprēķinot mazāko kopējo daudzkārtni (LCM).

A daudzkārtnis ir vesels skaitlis, kas dalās ar A bez atlikuma.

Katram naturālajam skaitlim ir bezgalīgs skaits tā daudzkārtņu. Tas pats par sevi tiek uzskatīts par mazāko. Daudzkārtējs nevar būt mazāks par pašu skaitli.

Jums jāpierāda, ka skaitlis 125 ir reizināts ar 5. Lai to izdarītu, pirmais skaitlis ir jāsadala ar otro. Ja 125 dalās ar 5 bez atlikuma, tad atbilde ir jā.

Šī metode ir piemērota maziem skaitļiem.

Aprēķinot LOC, ir īpaši gadījumi.

1. Ja jums ir jāatrod 2 skaitļu kopīgs daudzkārtnis (piemēram, 80 un 20), kur viens no tiem (80) dalās ar otru (20), tad šis skaitlis (80) ir mazākais skaitļu reizinājums. divi cipari.

LCM(80, 20) = 80.

2. Ja diviem nav kopīga dalītāja, tad varam teikt, ka to LCM ir šo divu skaitļu reizinājums.

LCM(6, 7) = 42.

Apskatīsim pēdējo piemēru. 6 un 7 attiecībā pret 42 ir dalītāji. Viņi dala skaitļa daudzkārtni bez atlikuma.

Šajā piemērā 6 un 7 ir pārī savienoti faktori. Viņu reizinājums ir vienāds ar lielāko skaitli (42).

Skaitli sauc par pirmskaitļu, ja tas dalās tikai ar sevi vai ar 1 (3:1=3; 3:3=1). Pārējos sauc par saliktiem.

Vēl viens piemērs ietver noteikšanu, vai 9 ir 42 dalītājs.

42:9=4 (atlikušais 6)

Atbilde: 9 nav 42 dalītājs, jo atbildē ir atlikums.

Dalītājs atšķiras no daudzskaitļa ar to, ka dalītājs ir skaitlis, ar kuru tiek dalīti naturālie skaitļi, un pats reizinātājs tiek dalīts ar šo skaitli.

Lielākais kopējais skaitļu dalītājs a Un b, reizināts ar to mazāko reizinājumu, iegūs pašu skaitļu reizinājumu a Un b.

Proti: gcd (a, b) x gcd (a, b) = a x b.

Sarežģītāku skaitļu kopējie reizinātāji ir atrodami šādi.

Piemēram, atrodiet LCM 168, 180, 3024.

Mēs iedalām šos skaitļus vienkāršos faktoros un ierakstām tos kā jaudu reizinājumu:

168=2³x3¹x7¹

2⁴х3³х5¹х7¹=15120

LCM(168, 180, 3024) = 15120.

Daudzkārtējs ir skaitlis, kas dalās ar noteiktu skaitli bez atlikuma. Ciparu grupas mazākais kopīgais daudzkārtnis (LCM) ir mazākais skaitlis, kas dalās ar katru skaitļu grupā, neatstājot atlikumu. Lai atrastu mazāko kopējo reizinājumu, jāatrod doto skaitļu pirmfaktori. LCM var aprēķināt arī, izmantojot vairākas citas metodes, kas attiecas uz divu vai vairāku skaitļu grupām.

Soļi

Vairāku sērija

Apskatiet šos skaitļus.Šeit aprakstīto metodi vislabāk izmantot, ja tiek doti divi skaitļi, no kuriem katrs ir mazāks par 10. Ja norādīti lielāki skaitļi, izmantojiet citu metodi.

Piemēram, atrodiet 5 un 8 mazāko kopējo reizinātāju. Tie ir mazi skaitļi, tāpēc varat izmantot šo metodi.

Daudzkārtējs ir skaitlis, kas dalās ar noteiktu skaitli bez atlikuma. Vairākus var atrast reizināšanas tabulā.
- Piemēram, skaitļi, kas reizināti ar 5, ir: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.
Pierakstiet skaitļu sēriju, kas ir pirmā skaitļa reizinājums. Dariet to zem pirmā skaitļa reizinātājiem, lai salīdzinātu divas skaitļu kopas.
- Piemēram, skaitļi, kas reizinās ar 8, ir: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 un 64.
Atrodiet mazāko skaitli, kas ir abās daudzkārtņu kopās. Var nākties rakstīt garas rindas atrast daudzkārtņus kopējais skaits. Mazākais skaitlis, kas atrodas abās reizinātāju kopās, ir mazākais kopīgais daudzkārtnis.
- Piemēram, mazākais skaitlis, kas atrodas 5 un 8 reizinātāju virknē, ir skaitlis 40. Tāpēc 40 ir 5 un 8 mazākais kopīgais reizinājums.
Galvenā faktorizācija
1. Apskatiet šos skaitļus.Šeit aprakstīto metodi vislabāk izmantot, ja tiek doti divi skaitļi, no kuriem katrs ir lielāks par 10. Ja norādīti mazāki skaitļi, izmantojiet citu metodi.
  - Piemēram, atrodiet skaitļu 20 un 84 mazāko kopējo daudzkārtni. Katrs no skaitļiem ir lielāks par 10, tāpēc varat izmantot šo metodi.
2. Sakārtojiet pirmo skaitli galvenajos faktoros. Tas ir, jums ir jāatrod tādi pirmskaitļi, kurus reizinot, tiks iegūts noteikts skaitlis. Kad esat atradis galvenos faktorus, ierakstiet tos kā vienādības.
  - Piemēram, 2 × 10 = 20 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 10=20) Un 2 × 5 = 10 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times (\mathbf (5) ) = 10). Tādējādi skaitļa 20 pirmfaktori ir skaitļi 2, 2 un 5. Uzrakstiet tos kā izteiksmi: .
3. Otro skaitli veidojiet primārajos faktoros. Dariet to tāpat, kā aprēķina pirmo skaitli, tas ir, atrodiet tādus pirmskaitļus, kurus reizinot, tiks iegūts dotais skaitlis.
  - Piemēram, 2 × 42 = 84 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 42=84), 7 × 6 = 42 (\displaystyle (\mathbf (7) )\times 6=42) Un 3 × 2 = 6 (\displaystyle (\mathbf (3) )\times (\mathbf (2) = 6). Tādējādi skaitļa 84 pirmfaktori ir skaitļi 2, 7, 3 un 2. Uzrakstiet tos kā izteiksmi: .
4. Pierakstiet abus skaitļus kopīgos faktorus. Uzrakstiet tādus faktorus kā reizināšanas darbību. Rakstot katru faktoru, izsvītrojiet to abās izteiksmēs (izteiksmēs, kas apraksta skaitļu faktorizāciju pirmfaktoros).
  - Piemēram, abiem skaitļiem ir kopīgs koeficients 2, tāpēc rakstiet 2 × (\displaystyle 2\times ) un izsvītrojiet 2 abos izteicienos.
  - Abiem skaitļiem kopīgs ir vēl viens koeficients 2, tāpēc rakstiet 2 × 2 (\displaystyle 2\times 2) un izsvītrojiet otros 2 abos izteicienos.
5. Pievienojiet atlikušos faktorus reizināšanas darbībai. Tie ir faktori, kas nav izsvītroti abās izteiksmēs, tas ir, faktori, kas nav kopīgi abiem skaitļiem.
  - Piemēram, izteiksmē 20 = 2 × 2 × 5 (\displaystyle 20=2\reizes 2\reizes 5) Abi divi (2) ir izsvītroti, jo tie ir kopīgi faktori. Koeficients 5 nav izsvītrots, tāpēc ierakstiet reizināšanas darbību šādi: 2 × 2 × 5 (\displeja stils 2\reizes 2\reizes 5)
  - Izteiksmē 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\displaystyle 84=2\reizes 7\reizes 3\reizes 2) abi divi (2) arī ir izsvītroti. Koeficienti 7 un 3 nav izsvītroti, tāpēc ierakstiet reizināšanas darbību šādi: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\displeja stils 2\reizes 2\reizes 5\reizes 7\reizes 3).
6. Aprēķiniet mazāko kopējo reizni. Lai to izdarītu, rakstiskajā reizināšanas darbībā reiziniet skaitļus.
  - Piemēram, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\displeja stils 2\reizes 2\reizes 5\reizes 7\reizes 3 = 420). Tātad 20 un 84 mazākais kopīgais reizinājums ir 420.
Kopīgu faktoru atrašana
1. Uzzīmējiet režģi, piemēram, tic-tac-toe spēlei.Šāds režģis sastāv no divām paralēlām līnijām, kas krustojas (taisnā leņķī) ar citām divām paralēlām līnijām. Tādējādi jūs iegūsit trīs rindas un trīs kolonnas (režģis ļoti līdzinās ikonai #). Ierakstiet pirmo numuru pirmajā rindā un otrajā kolonnā. Pirmajā rindā un trešajā kolonnā ierakstiet otro numuru.
  - Piemēram, atrodiet skaitļu 18 un 30 mazāko kopējo daudzkārtni. Pirmajā rindā un otrajā kolonnā ierakstiet skaitli 18, bet pirmajā rindā un trešajā kolonnā ierakstiet skaitli 30.
2. Atrodiet abiem skaitļiem kopīgo dalītāju. Pierakstiet to pirmajā rindā un pirmajā kolonnā. Labāk ir meklēt galvenos faktorus, taču tā nav obligāta prasība.
  - Piemēram, 18 un 30 ir pāra skaitļi, tāpēc viņu kopīgs dalītājs skaitlis būs 2. Tātad pirmajā rindā un pirmajā kolonnā ierakstiet 2.
3. Sadaliet katru skaitli ar pirmo dalītāju. Ierakstiet katru koeficientu zem atbilstošā skaitļa. Koeficients ir divu skaitļu dalīšanas rezultāts.
  - Piemēram, 18 ÷ 2 = 9 (\displaystyle 18\div 2=9), tāpēc rakstiet 9 līdz 18.
  - 30 ÷ 2 = 15 (\displaystyle 30\div 2=15), tāpēc pierakstiet 15 zem 30.
4. Atrodiet dalītāju, kas kopīgs abiem koeficientiem. Ja šāda dalītāja nav, izlaidiet divus nākamie soļi. Pretējā gadījumā ierakstiet dalītāju otrajā rindā un pirmajā kolonnā.
  - Piemēram, 9 un 15 dalās ar 3, tāpēc otrajā rindā un pirmajā kolonnā ierakstiet 3.
5. Sadaliet katru koeficientu ar tā otro dalītāju. Katra dalījuma rezultātu ierakstiet zem atbilstošā koeficienta.
  - Piemēram, 9 ÷ 3 = 3 (\displaystyle 9\div 3=3), tāpēc zem 9 rakstiet 3.
  - 15 ÷ 3 = 5 (\displaystyle 15\div 3=5), tāpēc rakstiet 5 līdz 15.
6. Ja nepieciešams, pievienojiet režģim papildu šūnas. Atkārtojiet aprakstītās darbības, līdz koeficientiem ir kopīgs dalītājs.
7. Apvelciet skaitļus režģa pirmajā kolonnā un pēdējā rindā. Pēc tam ierakstiet atlasītos skaitļus kā reizināšanas darbību.
  - Piemēram, skaitļi 2 un 3 atrodas pirmajā kolonnā, bet skaitļi 3 un 5 atrodas pēdējā rindā, tāpēc ierakstiet reizināšanas darbību šādi: 2 × 3 × 3 × 5 (\displeja stils 2\reizes 3\reizes 3\reizes 5).
8. Atrodiet skaitļu reizināšanas rezultātu. Tādējādi tiks aprēķināts divu norādīto skaitļu mazākais kopējais reizinājums.
  - Piemēram, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\displeja stils 2\reizes 3\reizes 3\reizes 5 = 90). Tātad skaitļu 18 un 30 mazākais kopīgais reizinājums ir 90.
Eiklida algoritms
1. Atcerieties terminoloģiju, kas saistīta ar sadalīšanas darbību. Dividende ir skaitlis, kas tiek dalīts. Dalītājs ir skaitlis, ar kuru tiek dalīts. Koeficients ir divu skaitļu dalīšanas rezultāts. Atlikums ir skaitlis, kas paliek, sadalot divus skaitļus.
  - Piemēram, izteiksmē 15 ÷ 6 = 2 (\displaystyle 15\div 6=2) ost. 3:
    15 ir dividende
    6 ir dalītājs
    2 ir koeficients
    3 ir atlikums.

Lai saprastu, kā aprēķināt LCM, vispirms ir jānosaka termina "vairāki" nozīme.

A daudzkārtnis ir naturāls skaitlis, kas dalās ar A bez atlikuma. Tādējādi skaitļus, kas ir 5 reizes, var uzskatīt par 15, 20, 25 utt.

Var būt noteikta skaitļa dalītāji ierobežots daudzums, taču ir bezgalīgi daudz reizinājumu.

Kopējais daudzkārtnis naturālie skaitļi- skaitlis, kas dalās ar tiem bez atlikuma.

Kā atrast skaitļu mazāko kopējo daudzkārtni

Vismazākais skaitļu daudzkārtnis (LCM) (divi, trīs vai vairāk) ir mazākais dabiskais skaitlis, kas dalās ar visiem šiem skaitļiem.

Lai atrastu LOC, varat izmantot vairākas metodes.

Maziem skaitļiem ir ērti pierakstīt visus šo skaitļu reizinājumus rindā, līdz atrodat kaut ko kopīgu starp tiem. Vairāki tiek apzīmēti ar lielo burtu K.

Piemēram, skaitļa 4 reizinājumus var uzrakstīt šādi:

K (4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)

K (6) = (12, 18, 24, ...)

Tādējādi var redzēt, ka skaitļu 4 un 6 mazākais kopīgais reizinājums ir skaitlis 24. Šo apzīmējumu veic šādi:

LCM(4, 6) = 24

Ja skaitļi ir lieli, atrodiet trīs vai vairāku skaitļu kopējo daudzkārtni, tad labāk ir izmantot citu LCM aprēķināšanas metodi.

Lai izpildītu uzdevumu, dotie skaitļi ir jāiekļauj pirmfaktoros.

Vispirms jums jāpieraksta lielākā skaitļa sadalījums rindā, bet zem tā - pārējais.

Katra numura paplašināšanā var būt atšķirīgs daudzums reizinātāji.

Piemēram, ieskaitīsim skaitļus 50 un 20 primārajos faktoros.

Paplašinot mazāko skaitu, ir jāuzsver faktori, kuru nav, paplašinot pirmo. liels skaits, un pēc tam pievienojiet tos tai. Parādītajā piemērā trūkst divi.

Tagad varat aprēķināt 20 un 50 mazāko kopīgo reizinātāju.

LCM(20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

Tātad primāro faktoru reizinājums vairāk un otrā skaitļa faktori, kas netika iekļauti lielākā skaitļa izvēršanā, būs mazākais kopskaitlis.

Lai atrastu trīs vai vairāku skaitļu LCM, tie visi jāieskaita primārajos faktoros, tāpat kā iepriekšējā gadījumā.

Piemēram, jūs varat atrast skaitļu 16, 24, 36 mazāko kopējo daudzkārtni.

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

Tādējādi tikai divi divnieki no sešpadsmitnieka paplašināšanas netika iekļauti lielāka skaitļa faktorizācijā (viens ir divdesmit četru paplašināšanā).

Tādējādi tie ir jāpievieno lielāka skaita paplašināšanai.

LCM(12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

Ir īpaši gadījumi, kā noteikt mazāko kopējo daudzkārtni. Tātad, ja vienu no skaitļiem bez atlikuma var dalīt ar citu, tad lielākais no šiem skaitļiem būs mazākais kopīgais reizinājums.

Piemēram, divpadsmit un divdesmit četru LCM ir divdesmit četri.

Ja jums ir jāatrod viens otra mazākais kopīgais reizinājums pirmskaitļi, kuriem nav identisku dalītāju, tad to LCM būs vienāds ar to reizinājumu.

Piemēram, LCM (10, 11) = 110.