Lezione sul tema: "Regole di moltiplicazione e divisione delle potenze con gli stessi e diversi esponenti. Esempi"

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Scopo della lezione: imparare a eseguire operazioni con potenze di numeri.

Innanzitutto ricordiamo il concetto di "potere del numero". Un'espressione nella forma $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$ può essere rappresentata come $a^n$.

È vero anche il contrario: $a^n= \underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$.

Questa uguaglianza si chiama “registrare la laurea come prodotto”. Ci aiuterà a determinare come moltiplicare e dividere i poteri.
Ricordare:
UN– la base della laurea.
N– esponente.
Se n=1, che significa il numero UN ha preso una volta e di conseguenza: $a^n= 1$.
Se n=0, allora $a^0= 1$.

Possiamo scoprire perché ciò accade quando acquisiamo familiarità con le regole della moltiplicazione e della divisione dei poteri.

Regole di moltiplicazione

a) Se si moltiplicano potenze con la stessa base.
Per ottenere $a^n * a^m$, scriviamo i gradi come prodotto: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( a * a * \ldots * a ) _(m)$.
La figura mostra che il numero UN hanno preso n+m volte, allora $a^n * a^m = a^(n + m)$.

Esempio.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.

Questa proprietà è comoda da utilizzare per semplificare il lavoro quando si eleva un numero a una potenza maggiore.
Esempio.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.

b) Se si moltiplicano potenze con basi diverse ma con lo stesso esponente.
Per ottenere $a^n * b^n$, scriviamo i gradi come prodotto: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( b * b * \ldots * b ) _(m)$.
Se scambiamo i fattori e contiamo le coppie risultanti, otteniamo: $\underbrace( (a * b) * (a * b) * \ldots * (a * b) )_(n)$.

Quindi $a^n * b^n= (a * b)^n$.

Esempio.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.

Regole di divisione

a) La base della laurea è la stessa, gli indicatori sono diversi.
Considera la possibilità di dividere una potenza con esponente maggiore dividendo una potenza con esponente minore.

Quindi, abbiamo bisogno $\frac(a^n)(a^m)$, Dove n>m.

Scriviamo i gradi come frazione:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(m))$.

Per comodità scriviamo la divisione come frazione semplice.

Ora riduciamo la frazione.

Risulta: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n-m)= a^(n-m)$.
Significa, $\frac(a^n)(a^m)=a^(n-m)$.

Questa proprietà aiuterà a spiegare la situazione con l'elevazione di un numero a potenza zero. Supponiamolo n=m, allora $a^0= a^(n-n)=\frac(a^n)(a^n) =1$.

Esempi.
$\frac(3^3)(3^2)=3^(3-2)=3^1=3$.

$\frac(2^2)(2^2)=2^(2-2)=2^0=1$.

b) Le basi della laurea sono diverse, gli indicatori sono gli stessi.
Diciamo che abbiamo bisogno di $\frac(a^n)( b^n)$. Scriviamo le potenze dei numeri come frazioni:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( b * b * \ldots * b )_(n))$.

Per comodità, immaginiamo.

Usando la proprietà delle frazioni, dividiamo la frazione grande nel prodotto di quelle piccole, otteniamo.
$\underbrace( \frac(a)(b) * \frac(a)(b) * \ldots * \frac(a)(b) )_(n)$.
Di conseguenza: $\frac(a^n)( b^n)=(\frac(a)(b))^n$.

Esempio.
$\frac(4^3)( 2^3)= (\frac(4)(2))^3=2^3=8$.

Consideriamo l'argomento della trasformazione delle espressioni con poteri, ma prima soffermiamoci su una serie di trasformazioni che possono essere eseguite con qualsiasi espressione, comprese quelle potenti. Impareremo come aprire parentesi, aggiungere termini simili, lavorare con basi ed esponenti e utilizzare le proprietà delle potenze.

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Cosa sono le espressioni di potere?

IN corso scolastico Poche persone usano la frase "espressioni potenti", ma questo termine si trova costantemente nelle raccolte per la preparazione all'Esame di Stato Unificato. Nella maggior parte dei casi, una frase denota espressioni che contengono gradi nelle loro voci. Questo è ciò che rifletteremo nella nostra definizione.

Definizione 1

Espressione del potereè un'espressione che contiene gradi.

Diamo alcuni esempi di espressioni di potenza, iniziando con una potenza con esponente naturale e finendo con una potenza con esponente reale.

Le espressioni di potenza più semplici possono essere considerate potenze di un numero con esponente naturale: 3 2, 7 5 + 1, (2 + 1) 5, (− 0, 1) 4, 2 2 3 3, 3 a 2 − a + un 2, x 3 - 1 , (un 2) 3 . E anche potenze con esponente zero: 5 0, (a + 1) 0, 3 + 5 2 − 3, 2 0. E potenze con potenze intere negative: (0, 5) 2 + (0, 5) - 2 2.

È un po' più difficile lavorare con una laurea che abbia esponenti razionali e irrazionali: 264 1 4 - 3 3 3 1 2, 2 3, 5 2 - 2 2 - 1, 5, 1 a 1 4 a 1 2 - 2 un - 1 6 · b 1 2 , x π · x 1 - π , 2 3 3 + 5 .

L'indicatore può essere la variabile 3 x - 54 - 7 3 x - 58 oppure il logaritmo x2 · lgx − 5 · xlgx.

Abbiamo affrontato la questione di cosa siano le espressioni di potere. Ora iniziamo a convertirli.

Principali tipologie di trasformazioni delle espressioni del potere

Prima di tutto, esamineremo le trasformazioni identitarie di base delle espressioni che possono essere eseguite con le espressioni di potere.

Esempio 1

Calcolare il valore di un'espressione di potenza 2 3 (4 2 - 12).

Soluzione

Effettueremo tutte le trasformazioni rispettando l'ordine delle azioni. In questo caso inizieremo eseguendo le azioni tra parentesi: sostituiremo la laurea con un valore digitale e calcoleremo la differenza di due numeri. Abbiamo 2 3 (4 2 − 12) = 2 3 (16 − 12) = 2 3 4.

Non resta che sostituire la laurea 2 3 il suo significato 8 e calcolare il prodotto 8 4 = 32. Ecco la nostra risposta.

Risposta: 2 3 · (4 2 − 12) = 32 .

Esempio 2

Semplificare l'espressione con le potenze 3 un 4 b - 7 - 1 + 2 un 4 b - 7.

Soluzione

L'espressione dataci nella dichiarazione del problema contiene termini simili che possiamo dare: 3 un 4 b - 7 - 1 + 2 un 4 b - 7 = 5 un 4 b - 7 - 1.

Risposta: 3 · un 4 · b - 7 - 1 + 2 · un 4 · b - 7 = 5 · un 4 · b - 7 - 1 .

Esempio 3

Esprimi l'espressione con potenze 9 - b 3 · π - 1 2 come prodotto.

Soluzione

Immaginiamo il numero 9 come una potenza 3 2 e applicare la formula di moltiplicazione abbreviata:

9 - b 3 π - 1 2 = 3 2 - b 3 π - 1 2 = = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1

Risposta: 9 - b 3 · π - 1 2 = 3 - b 3 · π - 1 3 + b 3 · π - 1 .

Passiamo ora all'analisi delle trasformazioni identitarie che possono essere applicate specificatamente alle espressioni del potere.

Lavorare con base ed esponente

Il grado nella base o nell'esponente può avere numeri, variabili e alcune espressioni. Per esempio, (2 + 0, 3 7) 5 − 3, 7 E . Lavorare con tali record è difficile. È molto più semplice sostituire l'espressione nella base del grado o l'espressione nell'esponente con un'espressione identicamente uguale.

Le trasformazioni di grado ed esponente vengono eseguite secondo le regole a noi note separatamente l'una dall'altra. La cosa più importante è che la trasformazione dia come risultato un'espressione identica a quella originale.

Lo scopo delle trasformazioni è semplificare l'espressione originale o ottenere una soluzione al problema. Ad esempio, nell'esempio che abbiamo fornito sopra, (2 + 0, 3 7) 5 − 3, 7 puoi seguire i passaggi per andare al grado 4 , 1 1 , 3 . Aprendo le parentesi possiamo presentare termini simili alla base della potenza (a · (a + 1) − a 2) 2 · (x + 1) e ottenere un'espressione di potere di una forma più semplice un 2 (x + 1).

Utilizzo delle proprietà dei gradi

Le proprietà delle potenze, scritte sotto forma di uguaglianze, sono uno dei principali strumenti per trasformare le espressioni con potenze. Presentiamo qui i principali, tenendo conto di ciò UN E B sono tutti i numeri positivi e R E S- numeri reali arbitrari:

Definizione 2

• un r · un s = un r + s ;
• un r: un s = un r − s ;
• (a · b) r = a r · b r ;
• (a: b) r = a r: b r ;
• (a r) s = a r · s .

Nei casi in cui abbiamo a che fare con esponenti naturali, interi, positivi, le restrizioni sui numeri a e b possono essere molto meno rigide. Quindi, ad esempio, se consideriamo l'uguaglianza un m · un n = un m + n, Dove M E N sono numeri naturali, allora sarà vero per qualsiasi valore di a, sia positivo che negativo, nonché per un = 0.

È possibile applicare le proprietà delle potenze senza restrizioni nei casi in cui le basi delle potenze sono positive o contengono variabili, area valori accettabili che è tale che la base su di esso accetta solo valori positivi. In effetti, dentro curriculum scolastico In matematica, il compito dello studente è scegliere una proprietà appropriata e applicarla correttamente.

Quando ti prepari per entrare nelle università, potresti incontrare problemi in cui l'applicazione imprecisa delle proprietà porterà a un restringimento del DL e ad altre difficoltà di risoluzione. In questa sezione esamineremo solo due di questi casi. Maggiori informazioni sulla domanda si può trovare nell'argomento “Conversione di espressioni utilizzando le proprietà delle potenze”.

Esempio 4

Immagina l'espressione un 2 , 5 (un 2) − 3: un − 5 , 5 sotto forma di potenza con base UN.

Soluzione

Per prima cosa utilizziamo la proprietà dell'elevamento a potenza e trasformiamo il secondo fattore utilizzandola (a2) − 3. Quindi utilizziamo le proprietà di moltiplicazione e divisione delle potenze con la stessa base:

un 2 , 5 · un - 6: un - 5 , 5 = un 2 , 5 - 6: un - 5 , 5 = un - 3 , 5: un - 5 , 5 = un - 3 , 5 - (- 5 , 5) = un2.

Risposta: a 2, 5 · (a 2) − 3: a − 5, 5 = a 2.

La trasformazione delle espressioni di potere secondo la proprietà dei poteri può essere fatta sia da sinistra a destra che nella direzione opposta.

Esempio 5

Trova il valore dell'espressione di potenza 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 .

Soluzione

Se applichiamo l'uguaglianza (a · b) r = a r · b r, da destra a sinistra, otteniamo un prodotto della forma 3 · 7 1 3 · 21 2 3 e poi 21 1 3 · 21 2 3 . Aggiungiamo gli esponenti quando moltiplichiamo le potenze con le stesse basi: 21 1 3 · 21 2 3 = 21 1 3 + 2 3 = 21 1 = 21.

Esiste un altro modo per effettuare la trasformazione:

3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 = 3 1 3 · 7 1 3 · (3 · 7) 2 3 = 3 1 3 · 7 1 3 · 3 2 3 · 7 2 3 = = 3 1 3 · 3 2 3 7 1 3 7 2 3 = 3 1 3 + 2 3 7 1 3 + 2 3 = 3 1 7 1 = 21

Risposta: 3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 7 1 = 21

Esempio 6

Data un'espressione di potere un 1, 5 − un 0, 5 − 6, inserisci una nuova variabile t = a 0,5.

Soluzione

Immaginiamo la laurea un 1, 5 Come uno 0,5 3. Utilizzando la proprietà dei gradi in gradi (a r) s = a r · s da destra a sinistra e otteniamo (a 0, 5) 3: a 1, 5 − a 0, 5 − 6 = (a 0, 5) 3 − a 0, 5 − 6. Puoi facilmente introdurre una nuova variabile nell'espressione risultante t = a 0,5: noi abbiamo t3 − t − 6.

Risposta: t3 - t - 6 .

Conversione di frazioni contenenti potenze

Di solito abbiamo a che fare con due versioni delle espressioni di potenza con frazioni: l'espressione rappresenta una frazione con una potenza o contiene tale frazione. Tutte le trasformazioni di base delle frazioni sono applicabili a tali espressioni senza restrizioni. Possono essere ridotti, portati a un nuovo denominatore o lavorati separatamente con numeratore e denominatore. Illustriamolo con degli esempi.

Esempio 7

Semplifica l'espressione della potenza 3 · 5 2 3 · 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 · x 2 - 3 - 3 · x 2 .

Soluzione

Abbiamo a che fare con una frazione, quindi effettueremo trasformazioni sia al numeratore che al denominatore:

3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = 3 5 2 3 5 1 3 - 3 5 2 3 5 - 2 3 - 2 - x 2 = = 3 5 2 3 + 1 3 - 3 5 2 3 + - 2 3 - 2 - x 2 = 3 5 1 - 3 5 0 - 2 - x 2

Metti un segno meno davanti alla frazione per cambiare il segno del denominatore: 12 - 2 - x 2 = - 12 2 + x 2

Risposta: 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = - 12 2 + x 2

Le frazioni contenenti potenze vengono ridotte a un nuovo denominatore allo stesso modo delle frazioni razionali. Per fare ciò, devi trovare un fattore aggiuntivo e moltiplicare per esso il numeratore e il denominatore della frazione. È necessario selezionare un fattore aggiuntivo in modo tale che non vada a zero per nessun valore delle variabili delle variabili ODZ per l'espressione originale.

Esempio 8

Riduci le frazioni a un nuovo denominatore: a) a + 1 a 0, 7 al denominatore UN, b) 1 x 2 3 - 2 · x 1 3 · y 1 6 + 4 · y 1 3 al denominatore x + 8 · y 1 2 .

Soluzione

a) Selezioniamo un fattore che ci permetterà di ridurre a un nuovo denominatore. a 0, 7 a 0, 3 = a 0, 7 + 0, 3 = a, pertanto, prenderemo come fattore aggiuntivo uno 0, 3. L'intervallo di valori consentiti della variabile a comprende l'insieme di tutti i numeri reali positivi. Laurea in questo campo uno 0, 3 non va a zero.

Moltiplichiamo il numeratore e il denominatore di una frazione per uno 0, 3:

a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a 0, 7 a 0, 3 = a + 1 a 0, 3 a

b) Prestiamo attenzione al denominatore:

x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 2 - x 1 3 2 y 1 6 + 2 y 1 6 2

Moltiplichiamo questa espressione per x 1 3 + 2 · y 1 6, otteniamo la somma dei cubi x 1 3 e 2 · y 1 6, cioè x + 8 · y 1 2 . Questo è il nostro nuovo denominatore al quale dobbiamo ridurre la frazione originale.

È così che abbiamo trovato il fattore addizionale x 1 3 + 2 · y 1 6 . Sulla gamma di valori consentiti delle variabili X E sì l'espressione x 1 3 + 2 · y 1 6 non si annulla, quindi possiamo moltiplicare per essa il numeratore e il denominatore della frazione:
1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 + 2 y 1 6 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 3 + 2 y 1 6 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2

Risposta: a) a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 · y 1 2 .

Esempio 9

Riduci la frazione: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3, b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2.

Soluzione

a) Usiamo il massimo comune denominatore (MCD), con il quale possiamo ridurre il numeratore e il denominatore. Per i numeri 30 e 45 è 15. Possiamo anche effettuare una riduzione di x0,5+1 e su x + 2 · x 1 1 3 - 5 3 .

Noi abbiamo:

30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 x 3 3 (x 0, 5 + 1)

b) Qui la presenza di fattori identici non è ovvia. Dovrai eseguire alcune trasformazioni per ottenere gli stessi fattori al numeratore e al denominatore. Per fare ciò, espandiamo il denominatore utilizzando la formula della differenza dei quadrati:

a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 2 - b 1 2 2 = = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 + b 1 4 a 1 4 -b14 = 1a14 + b14

Risposta: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 · x 3 3 · (x 0 , 5 + 1) , b) un 1 4 - b 1 4 un 1 2 - b 1 2 = 1 un 1 4 + b 1 4 .

Le operazioni di base con le frazioni includono la conversione delle frazioni in un nuovo denominatore e la riduzione delle frazioni. Entrambe le azioni vengono eseguite nel rispetto di una serie di regole. Quando si aggiungono e sottraggono frazioni, prima le frazioni vengono ridotte a un denominatore comune, dopodiché vengono eseguite le operazioni (addizione o sottrazione) con i numeratori. Il denominatore rimane lo stesso. Il risultato delle nostre azioni è una nuova frazione, il cui numeratore è il prodotto dei numeratori e il denominatore è il prodotto dei denominatori.

Esempio 10

Esegui i passaggi x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 .

Soluzione

Iniziamo sottraendo le frazioni tra parentesi. Portiamoli ad un denominatore comune:

x12 - 1x12 + 1

Sottraiamo i numeratori:

x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 2 - x 1 2 - 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 2 + 2 x 1 2 + 1 - x 1 2 2 - 2 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2

Ora moltiplichiamo le frazioni:

4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2

Riduciamo di una potenza x12, otteniamo 4 x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1 .

Inoltre, puoi semplificare l'espressione della potenza nel denominatore utilizzando la formula della differenza dei quadrati: quadrati: 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 = 4 x 1 2 2 - 1 2 = 4 x - 1 .

Risposta: x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = 4 x - 1

Esempio 11

Semplifica l'espressione della legge di potenza x 3 4 x 2, 7 + 1 2 x - 5 8 x 2, 7 + 1 3.
Soluzione

Possiamo ridurre la frazione di (x 2 , 7 + 1) 2. Otteniamo la frazione x 3 4 x - 5 8 x 2, 7 + 1.

Continuiamo trasformando le potenze di x x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2, 7 + 1. Ora puoi sfruttare la proprietà di dividere le potenze con le stesse basi: x 3 4 x - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 3 4 - - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 1 1 8 1 x 2, 7+1.

Partiamo da ultimo lavoro alla frazione x 1 3 8 x 2, 7 + 1.

Risposta: x 3 4 x 2, 7 + 1 2 x - 5 8 x 2, 7 + 1 3 = x 1 3 8 x 2, 7 + 1.

Nella maggior parte dei casi, è più conveniente trasferire i fattori con esponente negativo dal numeratore al denominatore e viceversa, cambiando il segno dell'esponente. Questa azione consente di semplificare l'ulteriore decisione. Facciamo un esempio: l'espressione della potenza (x + 1) - 0, 2 3 · x - 1 può essere sostituita da x 3 · (x + 1) 0, 2.

Conversione di espressioni con radici e potenze

Nei problemi ci sono espressioni di potenza che contengono non solo potenze con esponenti frazionari, ma anche radici. È opportuno ridurre tali espressioni solo alle radici o solo alle potenze. È preferibile optare per una laurea in quanto è più facile lavorare con essa. Questa transizione è particolarmente preferibile quando l'ODZ delle variabili per l'espressione originale consente di sostituire le radici con potenze senza la necessità di accedere al modulo o dividere l'ODZ in più intervalli.

Esempio 12

Esprimi l'espressione x 1 9 · x · x 3 6 come una potenza.

Soluzione

Intervallo di valori variabili consentiti Xè definita da due disuguaglianze x≥ 0 e x x 3 ≥ 0, che definiscono l'insieme [ 0 , + ∞) .

Su questo set abbiamo il diritto di passare dalle radici ai poteri:

x 1 9 · x · x 3 6 = x 1 9 · x · x 1 3 1 6

Utilizzando le proprietà delle potenze, semplifichiamo l'espressione della potenza risultante.

x 1 9 · x · x 1 3 1 6 = x 1 9 · x 1 6 · x 1 3 1 6 = x 1 9 · x 1 6 · x 1 · 1 3 · 6 = = x 1 9 · x 1 6 x118 = x19 + 16 + 118 = x13

Risposta: x 1 9 · x · x 3 6 = x 1 3 .

Conversione di potenze con variabili nell'esponente

Queste trasformazioni sono abbastanza facili da realizzare se si utilizzano correttamente le proprietà della laurea. Per esempio, 5 2 x + 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x − 1 = 0.

Possiamo sostituire con il prodotto di potenze, i cui esponenti sono la somma di una variabile e di un numero. Sul lato sinistro, ciò può essere fatto con il primo e l'ultimo termine del lato sinistro dell'espressione:

5 2 x 5 1 - 3 5 x 7 x - 14 7 2 x 7 - 1 = 0, 5 5 2 x - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x = 0 .

Ora dividiamo entrambi i lati dell'uguaglianza per 7 2 volte. Questa espressione per la variabile x assume solo valori positivi:

5 5 - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 7 2 x , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 2 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0

Riduciamo le frazioni con potenze, otteniamo: 5 · 5 2 · x 7 2 · x - 3 · 5 x 7 x - 2 = 0.

Infine, il rapporto tra potenze con gli stessi esponenti viene sostituito da potenze di rapporti, risultando nell'equazione 5 5 7 2 x - 3 5 7 x - 2 = 0, che equivale a 5 5 7 x 2 - 3 5 7 x -2 = 0.

Introduciamo una nuova variabile t = 5 7 x, che riduce la soluzione dell'equazione esponenziale originale alla soluzione dell'equazione quadratica 5 · t 2 − 3 · t − 2 = 0.

Conversione di espressioni con potenze e logaritmi

Nei problemi si trovano anche espressioni contenenti potenze e logaritmi. Un esempio di tali espressioni è: 1 4 1 - 5 · log 2 3 o log 3 27 9 + 5 (1 - log 3 5) · log 5 3. La trasformazione di tali espressioni viene effettuata utilizzando gli approcci e le proprietà dei logaritmi discussi sopra, di cui abbiamo discusso in dettaglio nell'argomento "Trasformazione delle espressioni logaritmiche".

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È ovvio che i numeri dotati di potenze possono essere sommati come le altre quantità , sommandoli uno dopo l'altro con i relativi segni.

Quindi la somma di a 3 e b 2 è a 3 + b 2.
La somma di a 3 - b n e h 5 - d 4 è a 3 - b n + h 5 - d 4.

Probabilità potenze uguali di variabili identiche possono essere aggiunti o sottratti.

Quindi, la somma di 2a 2 e 3a 2 è uguale a 5a 2.

È anche ovvio che se prendi due quadrati a, o tre quadrati a, o cinque quadrati a.

Ma gradi varie variabili E vari gradi variabili identiche, devono essere composti sommandoli con i relativi segni.

Quindi la somma di a 2 e a 3 è la somma di a 2 + a 3.

È ovvio che il quadrato di a, e il cubo di a, non sono pari al doppio del quadrato di a, ma al doppio del cubo di a.

La somma di a 3 b n e 3a 5 b 6 è a 3 b n + 3a 5 b 6.

Sottrazione le potenze si eseguono allo stesso modo dell'addizione, tranne che i segni dei sottraendo devono essere cambiati di conseguenza.

O:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Moltiplicare i poteri

I numeri dotati di potenze possono essere moltiplicati, come le altre quantità, scrivendoli uno dopo l'altro, con o senza segno di moltiplicazione tra di loro.

Pertanto, il risultato della moltiplicazione di a 3 per b 2 è a 3 b 2 o aaabb.

O:
x -3 ⋅ un m = un m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Il risultato nell'ultimo esempio può essere ordinato aggiungendo variabili identiche.
L'espressione assumerà la forma: a 5 b 5 y 3.

Confrontando diversi numeri (variabili) con potenze, possiamo vedere che se ne moltiplicano due qualsiasi, il risultato è un numero (variabile) con una potenza pari a quantità gradi di termini.

Quindi, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Qui 5 è la potenza del risultato della moltiplicazione, pari a 2+3, la somma delle potenze dei termini.

Quindi, a n.a m = a m+n.

Per a n , a viene preso come fattore tante volte quanto la potenza di n;

E a m si prende come fattore tante volte quanto è uguale il grado m;

Ecco perché, le potenze con le stesse basi possono essere moltiplicate sommando gli esponenti delle potenze.

Quindi, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . E x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

O:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b2 y3 ⋅ b4 y = b6 y4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Moltiplica (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Risposta: x 4 - y 4.
Moltiplica (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Questa regola vale anche per i numeri i cui esponenti sono negativo.

1. Quindi, a -2 .a -3 = a -5 . Questo può essere scritto come (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y -n .y -m = y -n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Se si moltiplicano a + b per a - b, il risultato sarà a 2 - b 2: cioè

Il risultato della moltiplicazione della somma o della differenza di due numeri pari alla somma o la differenza dei loro quadrati.

Se moltiplichi la somma e la differenza di due numeri elevati a piazza, il risultato sarà uguale alla somma o alla differenza di questi numeri in il quarto gradi.

Quindi, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2.
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4.
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8.

Divisione dei gradi

I numeri con potenze possono essere divisi come gli altri numeri, sottraendo dal dividendo o trasformandoli in frazioni.

Quindi a 3 b 2 diviso b 2 è uguale a a 3.

O:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

Scrivere un 5 diviso per 3 assomiglia a $\frac(a^5)(a^3)$. Ma questo è uguale a 2 . In una serie di numeri
un +4, un +3, un +2, un +1, un 0, un -1, un -2, un -3, un -4.
qualsiasi numero può essere diviso per un altro e l'esponente sarà uguale a differenza indicatori dei numeri divisibili.

Quando si dividono i gradi con la stessa base, i loro esponenti vengono sottratti..

Quindi, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1. Cioè $\frac(yyy)(yy) = y$.

E a n+1:a = a n+1-1 = a n . Cioè $\frac(aa^n)(a) = a^n$.

O:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3

La regola vale anche per i numeri con negativo valori dei gradi.
Il risultato della divisione -5 per -3 è -2.
Inoltre, $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 oppure $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

È necessario padroneggiare molto bene la moltiplicazione e la divisione dei poteri, poiché tali operazioni sono molto utilizzate in algebra.

Esempi di risoluzione di esempi con frazioni contenenti numeri con potenze

1. Riduci gli esponenti di $\frac(5a^4)(3a^2)$ Risposta: $\frac(5a^2)(3)$.

2. Diminuire gli esponenti di $\frac(6x^6)(3x^5)$. Risposta: $\frac(2x)(1)$ o 2x.

3. Riduci gli esponenti a 2 /a 3 e a -3 /a -4 e portali a un denominatore comune.
a 2 .a -4 è a -2 il primo numeratore.
a 3 .a -3 è a 0 = 1, il secondo numeratore.
a 3 .a -4 è a -1 , il numeratore comune.
Dopo la semplificazione: a -2 /a -1 e 1/a -1 .

4. Riduci gli esponenti 2a 4 /5a 3 e 2 /a 4 e portali a un denominatore comune.
Risposta: 2a 3 /5a 7 e 5a 5 /5a 7 oppure 2a 3 /5a 2 e 5/5a 2.

5. Moltiplica (a 3 + b)/b 4 per (a - b)/3.

6. Moltiplica (a 5 + 1)/x 2 per (b 2 - 1)/(x + a).

7. Moltiplica b 4 /a -2 per h -3 /x e a n /y -3 .

8. Dividere a 4 /y 3 per a 3 /y 2 . Risposta: a/a.

9. Dividere (h 3 - 1)/d 4 per (d n + 1)/h.

Espressioni, conversione di espressioni

Espressioni di potere (espressioni con poteri) e loro trasformazione

In questo articolo parleremo della conversione delle espressioni con poteri. Innanzitutto, ci concentreremo sulle trasformazioni eseguite con espressioni di qualsiasi tipo, comprese le espressioni di potere, come l'apertura di parentesi e l'inserimento di termini simili. E poi analizzeremo le trasformazioni inerenti specificamente alle espressioni con gradi: lavorare con la base e l'esponente, utilizzare le proprietà dei gradi, ecc.

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Cosa sono le espressioni di potere?

Il termine “espressioni di potere” praticamente non compare nei libri di testo scolastici di matematica, ma appare abbastanza spesso nelle raccolte di problemi, in particolare in quelle destinate alla preparazione all'Esame di Stato Unificato e all'Esame di Stato Unificato, per esempio. Dopo aver analizzato i compiti in cui è necessario eseguire azioni con espressioni di potere, diventa chiaro che le espressioni di potere sono intese come espressioni contenenti poteri nelle loro voci. Pertanto, puoi accettare tu stesso la seguente definizione:

Definizione.

Espressioni di potere sono espressioni contenenti poteri.

Diamo esempi di espressioni di potere. Inoltre le presenteremo secondo come avviene lo sviluppo delle opinioni da un grado con esponente naturale a un grado con esponente reale.

Come è noto, in questa fase si conoscono prima le potenze di un numero con esponente naturale, le prime espressioni di potenze più semplici del tipo 3 2, 7 5 +1, (2+1) 5, (−0,1) 4, 3 a 2 appaiono −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 ecc.

Un po' più tardi, viene studiata la potenza di un numero con esponente intero, il che porta alla comparsa di espressioni di potenza con potenze intere negative, come le seguenti: 3 −2, , un −2 +2 b −3 +c 2 .

Al liceo tornano ai gradi. Viene introdotto un grado con esponente razionale, che comporta la comparsa delle corrispondenti espressioni di potenza: , , e così via. Vengono infine considerati i gradi con esponenti irrazionali e le espressioni che li contengono: , .

La questione non si limita alle espressioni di potenza elencate: inoltre la variabile penetra nell'esponente e, ad esempio, sorgono le seguenti espressioni: 2 x 2 +1 o . E dopo aver preso confidenza con , iniziano ad apparire espressioni con potenze e logaritmi, ad esempio x 2·lgx −5·x lgx.

Quindi, abbiamo affrontato la questione di cosa rappresentano le espressioni di potere. Successivamente impareremo a trasformarli.

Principali tipologie di trasformazioni delle espressioni del potere

Con le espressioni di potere è possibile eseguire qualsiasi trasformazione di identità di base delle espressioni. Ad esempio, puoi espandere le parentesi, sostituire espressioni numeriche i loro valori, fornire termini simili, ecc. Naturalmente, in questo caso è necessario seguire la procedura accettata per eseguire le azioni. Facciamo degli esempi.

Esempio.

Calcolare il valore dell'espressione di potenza 2 3 ·(4 2 −12) .

Soluzione.

Secondo l'ordine di esecuzione delle azioni, esegui prima le azioni tra parentesi. Lì, in primo luogo, sostituiamo la potenza 4 2 con il suo valore 16 (se necessario, vedi), e in secondo luogo, calcoliamo la differenza 16−12=4. Abbiamo 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4.

Nell'espressione risultante sostituiamo la potenza 2 3 con il suo valore 8, dopodiché calcoliamo il prodotto 8·4=32. Questo è il valore desiderato.

COSÌ, 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4=8·4=32.

Risposta:

2 3 ·(4 2 −12)=32.

Esempio.

Semplificare le espressioni con le potenze 3 un 4 b −7 −1+2 un 4 b −7.

Soluzione.

Ovviamente questa espressione contiene termini simili 3·a 4 ·b −7 e 2·a 4 ·b −7 , e possiamo presentarli: .

Risposta:

3 un 4 b −7 −1+2 un 4 b −7 =5 un 4 b −7 −1.

Esempio.

Esprimere un'espressione con poteri come prodotto.

Soluzione.

Puoi affrontare il compito rappresentando il numero 9 come potenza di 3 2 e quindi utilizzando la formula per la moltiplicazione abbreviata - differenza dei quadrati:

Risposta:

Ci sono anche una serie di trasformazioni identiche inerenti specificamente alle espressioni di potere. Li analizzeremo ulteriormente.

Lavorare con base ed esponente

Ci sono potenze la cui base e/o esponente non sono solo numeri o variabili, ma alcune espressioni. Ad esempio, diamo gli elementi (2+0.3·7) 5−3.7 e (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) .

Quando si lavora con tali espressioni, è possibile sostituire sia l'espressione nella base del grado che l'espressione nell'esponente con un'espressione identicamente uguale nell'ODZ delle sue variabili. In altre parole, secondo le regole a noi note, possiamo trasformare separatamente la base del grado e separatamente l'esponente. È chiaro che come risultato di questa trasformazione si otterrà un'espressione identicamente uguale a quella originale.

Tali trasformazioni ci consentono di semplificare le espressioni con poteri o raggiungere altri obiettivi di cui abbiamo bisogno. Ad esempio, nell'espressione di potenza menzionata sopra (2+0,3 7) 5−3,7, puoi eseguire operazioni con i numeri in base ed esponente, che ti permetteranno di passare alla potenza 4,1 1,3. E dopo aver aperto le parentesi e portato termini simili alla base del grado (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1), otteniamo un'espressione di potenza della forma più semplice a 2·(x+ 1).

Utilizzo delle proprietà dei gradi

Uno dei principali strumenti per trasformare le espressioni con poteri sono le uguaglianze che riflettono. Ricordiamo i principali. Per ogni numeri positivi a e b e numeri reali arbitrari r e s, valgono le seguenti proprietà delle potenze:

• a r ·a s =a r+s ;
• a r:a s =a r−s ;
• (a·b) r =a r ·b r ;
• (a:b) r =a r:b r ;
• (a r) s =a r·s .

Si noti che per gli esponenti naturali, interi e positivi le restrizioni sui numeri a e b potrebbero non essere così rigide. Ad esempio, per numeri naturali m e n l'uguaglianza a m ·a n =a m+n è vera non solo per a positivo, ma anche per a negativo e per a=0.

A scuola, quando si trasformano le espressioni del potere, l'attenzione principale è posta sulla capacità di scegliere la proprietà appropriata e di applicarla correttamente. In questo caso, le basi dei gradi sono generalmente positive, il che consente di utilizzare le proprietà dei gradi senza restrizioni. Lo stesso vale per la trasformazione di espressioni contenenti variabili nelle basi delle potenze: l'intervallo dei valori consentiti delle variabili è solitamente tale che le basi assumono solo valori positivi, il che consente di utilizzare liberamente le proprietà delle potenze . In generale, è necessario chiedersi costantemente se in questo caso sia possibile utilizzare qualsiasi proprietà dei titoli di studio, poiché un uso impreciso delle proprietà può portare a una riduzione del valore educativo e ad altri problemi. Questi punti sono discussi in dettaglio e con esempi nell'articolo trasformazione di espressioni utilizzando le proprietà dei gradi. Qui ci limiteremo a considerare alcuni semplici esempi.

Esempio.

Esprimere l'espressione a 2.5 ·(a 2) −3:a −5.5 come potenza di base a.

Soluzione.

Per prima cosa trasformiamo il secondo fattore (a 2) −3 sfruttando la proprietà di elevare una potenza a potenza: (a2)−3 =a2·(−3) =a−6. L'espressione di potenza originaria assumerà la forma a 2.5 ·a −6:a −5.5. Ovviamente resta da utilizzare le proprietà di moltiplicazione e divisione delle potenze con la stessa base che abbiamo
un 2,5 ·un −6:un −5,5 =
un 2,5−6:un −5,5 =un −3,5:un −5,5 =
un −3,5−(−5,5) =un 2 .

Risposta:

a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 =a 2.

Le proprietà dei poteri durante la trasformazione delle espressioni di potere vengono utilizzate sia da sinistra a destra che da destra a sinistra.

Esempio.

Trova il valore dell'espressione di potenza.

Soluzione.

L'uguaglianza (a·b) r =a r ·b r, applicata da destra a sinistra, permette di passare dall'espressione originaria ad un prodotto della forma e oltre. E quando si moltiplicano le potenze con le stesse basi, gli esponenti si sommano: .

Era possibile trasformare l'espressione originale in altro modo:

Risposta:

.

Esempio.

Data l’espressione di potenza a 1.5 −a 0.5 −6, introdurre una nuova variabile t=a 0.5.

Soluzione.

La potenza a 1.5 può essere rappresentata come a 0.5 3 e poi, in base alla proprietà del grado alla potenza (a r) s =a r s, applicata da destra a sinistra, trasformarla nella forma (a 0.5) 3. Così, a 1,5 −a 0,5 −6=(a 0,5) 3 −a 0,5 −6. Ora è facile introdurre una nuova variabile t=a 0.5, otteniamo t 3 −t−6.

Risposta:

t3 −t−6 .

Conversione di frazioni contenenti potenze

Le espressioni di potenza possono contenere o rappresentare frazioni con potenze. Qualsiasi trasformazione di base delle frazioni inerente alle frazioni di qualsiasi tipo è pienamente applicabile a tali frazioni. Cioè, le frazioni che contengono potenze possono essere ridotte, ridotte a un nuovo denominatore, lavorate separatamente con il loro numeratore e separatamente con il denominatore, ecc. Per illustrare queste parole, considera le soluzioni di diversi esempi.

Esempio.

Semplifica l'espressione del potere .

Soluzione.

Questa espressione di potere è una frazione. Lavoriamo con il suo numeratore e denominatore. Al numeratore apriamo le parentesi e semplifichiamo l'espressione risultante utilizzando le proprietà delle potenze, e al denominatore presentiamo termini simili:

E cambiamo anche il segno del denominatore ponendo un meno davanti alla frazione: .

Risposta:

.

La riduzione delle frazioni contenenti potenze a un nuovo denominatore viene eseguita in modo simile alla riduzione delle frazioni razionali a un nuovo denominatore. In questo caso viene trovato anche un fattore aggiuntivo e per esso vengono moltiplicati il ​​numeratore e il denominatore della frazione. Quando si esegue questa azione, vale la pena ricordare che la riduzione a un nuovo denominatore può portare a un restringimento del VA. Per evitare che ciò accada è necessario che il fattore aggiuntivo non vada a zero per nessun valore delle variabili delle variabili ODZ dell'espressione originale.

Esempio.

Riduci le frazioni a un nuovo denominatore: a) al denominatore a, b) al denominatore.

Soluzione.

a) In questo caso è abbastanza semplice capire quale moltiplicatore aggiuntivo aiuta a raggiungere il risultato desiderato. Questo è un moltiplicatore di a 0,3, poiché a 0,7 ·a 0,3 =a 0,7+0,3 =a. Si noti che nell'intervallo dei valori consentiti della variabile a (questo è l'insieme di tutti i numeri reali positivi), la potenza di a 0,3 non svanisce, quindi abbiamo il diritto di moltiplicare il numeratore e il denominatore di un dato frazione per questo fattore aggiuntivo:

b) Osservando più da vicino il denominatore, lo troverai

e moltiplicando questa espressione per si otterrà la somma di cubi e , cioè . E questo è il nuovo denominatore a cui dobbiamo ridurre la frazione originaria.

È così che abbiamo trovato un ulteriore fattore. Nell'intervallo dei valori consentiti delle variabili x e y, l'espressione non svanisce, quindi possiamo moltiplicare per essa il numeratore e il denominatore della frazione:

Risposta:

UN) , B) .

Non c'è nulla di nuovo nemmeno nella riduzione delle frazioni contenenti potenze: il numeratore e il denominatore sono rappresentati come un numero di fattori, e gli stessi fattori del numeratore e del denominatore vengono ridotti.

Esempio.

Ridurre la frazione: a) , B) .

Soluzione.

a) Innanzitutto, il numeratore e il denominatore possono essere ridotti dei numeri 30 e 45, che è uguale a 15. Ovviamente è anche possibile effettuare una riduzione di x 0,5 +1 e di . Ecco cosa abbiamo:

b) In questo caso, fattori identici nel numeratore e nel denominatore non sono immediatamente visibili. Per ottenerli dovrai eseguire delle trasformazioni preliminari. In questo caso, consistono nel fattorizzare il denominatore utilizzando la formula della differenza dei quadrati:

Risposta:

UN)

B) .

La conversione delle frazioni in un nuovo denominatore e la riduzione delle frazioni vengono utilizzate principalmente per fare cose con le frazioni. Le azioni vengono eseguite secondo regole conosciute. Quando si aggiungono (sottraggono) le frazioni, vengono ridotte a un denominatore comune, dopo di che i numeratori vengono aggiunti (sottratti), ma il denominatore rimane lo stesso. Il risultato è una frazione il cui numeratore è il prodotto dei numeratori e il denominatore è il prodotto dei denominatori. La divisione per una frazione è la moltiplicazione per il suo inverso.

Esempio.

Segui i passi .

Soluzione.

Per prima cosa sottraiamo le frazioni tra parentesi. Per fare questo, li portiamo a un denominatore comune, ovvero , dopodiché sottraiamo i numeratori:

Ora moltiplichiamo le frazioni:

Ovviamente è possibile ridurre di una potenza di x 1/2, dopodiché abbiamo .

Puoi anche semplificare l'espressione della potenza al denominatore utilizzando la formula della differenza dei quadrati: .

Risposta:

Esempio.

Semplifica l'espressione del potere .

Soluzione.

Ovviamente, questa frazione può essere ridotta di (x 2,7 +1) 2, questo dà la frazione . È chiaro che occorre fare qualcos'altro con i poteri di X. Per fare ciò, trasformiamo la frazione risultante in un prodotto. Questo ci dà l’opportunità di sfruttare la proprietà di dividere le potenze con le stesse basi: . E alla fine del processo si passa dall'ultimo prodotto alla frazione.

Risposta:

.

E aggiungiamo anche che è possibile, e in molti casi auspicabile, trasferire fattori con esponente negativo dal numeratore al denominatore o dal denominatore al numeratore, cambiando il segno dell'esponente. Tali trasformazioni spesso semplificano ulteriori azioni. Ad esempio, un'espressione di potenza può essere sostituita da .

Conversione di espressioni con radici e potenze

Spesso, nelle espressioni in cui sono richieste alcune trasformazioni, insieme alle potenze sono presenti anche radici con esponenti frazionari. Per convertire tale espressione in il tipo giusto, nella maggior parte dei casi è sufficiente andare solo alle radici o solo alle potenze. Ma poiché è più conveniente lavorare con i poteri, di solito si passa dalle radici ai poteri. Tuttavia, è consigliabile effettuare tale transizione quando l'ODZ delle variabili dell'espressione originale consente di sostituire le radici con potenze senza la necessità di fare riferimento al modulo o dividere l'ODZ in più intervalli (ne abbiamo parlato in dettaglio in l'articolo transizione dalle radici alle potenze e ritorno Dopo aver conosciuto il grado con esponente razionale viene introdotto il grado con esponente irrazionale, che ci permette di parlare di un grado con esponente reale arbitrario. In questa fase comincia ad esistere studiato a scuola. funzione esponenziale , che è analiticamente dato da una potenza, la cui base è un numero e l'esponente è una variabile. Quindi ci troviamo di fronte a espressioni di potenza contenenti numeri nella base della potenza e nell'esponente - espressioni con variabili, e naturalmente sorge la necessità di eseguire trasformazioni di tali espressioni.

Va detto che la trasformazione delle espressioni del tipo indicato di solito deve essere eseguita durante la risoluzione equazioni esponenziali E disuguaglianze esponenziali e queste conversioni sono abbastanza semplici. Nella stragrande maggioranza dei casi si basano sulle proprietà del titolo di studio e mirano, nella maggior parte dei casi, a introdurre una nuova variabile in futuro. L'equazione ci permetterà di dimostrarli 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

In primo luogo, le potenze, nei cui esponenti è la somma di una determinata variabile (o espressione con variabili) e un numero, vengono sostituite dai prodotti. Questo vale per il primo e l'ultimo termine dell'espressione a sinistra:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

Successivamente, entrambi i lati dell'uguaglianza vengono divisi per l'espressione 7 2 x, che sull'ODZ della variabile x per l'equazione originale assume solo valori positivi (questa è una tecnica standard per risolvere equazioni di questo tipo, non lo siamo ne parliamo adesso, quindi concentriamoci sulle successive trasformazioni delle espressioni con poteri):

Ora possiamo cancellare le frazioni con le potenze, il che dà .

Infine, il rapporto tra potenze con gli stessi esponenti viene sostituito da potenze di relazioni, risultando nell'equazione , che è equivalente . Le trasformazioni effettuate permettono di introdurre una nuova variabile, che riduce la soluzione dell'equazione esponenziale originaria alla soluzione di un'equazione quadratica

I. V. Boykov, L. D. Romanova Raccolta di compiti per la preparazione all'Esame di Stato Unificato. Parte 1. Penza 2003.

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Innanzitutto, ricordiamo le formule di base dei poteri e le loro proprietà.

Prodotto di un numero UN ricorre su se stesso n volte, possiamo scrivere questa espressione come a a … a=a n

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. un n un m = un n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. un n / un m = un n - m

Potenza o equazioni esponenziali – si tratta di equazioni in cui le variabili sono espresse in potenze (o esponenti) e la base è un numero.

Esempi di equazioni esponenziali:

IN in questo esempio il numero 6 è la base, è sempre in basso, e la variabile X grado o indicatore.

Diamo altri esempi di equazioni esponenziali.
2x*5=10
16 x - 4 x - 6=0

Ora diamo un'occhiata a come vengono risolte le equazioni esponenziali?

Prendiamo una semplice equazione:

2 x = 2 3

Questo esempio può essere risolto anche nella tua testa. Si può vedere che x=3. Dopotutto, affinché i lati sinistro e destro siano uguali, devi inserire il numero 3 invece di x.
Vediamo ora come formalizzare questa decisione:

2 x = 2 3
x = 3

Per risolvere tale equazione, abbiamo rimosso motivi identici(cioè due) e ho scritto ciò che restava, questi sono i gradi. Abbiamo ottenuto la risposta che cercavamo.

Ora riassumiamo la nostra decisione.

Algoritmo per risolvere l'equazione esponenziale:
1. È necessario controllare lo stesso se l'equazione ha basi a destra e a sinistra. Se i motivi non sono gli stessi, stiamo cercando opzioni per risolvere questo esempio.
2. Dopo che le basi diventano le stesse, equiparare gradi e risolvere la nuova equazione risultante.

Ora diamo un'occhiata ad alcuni esempi:

Cominciamo con qualcosa di semplice.

Le basi sui lati sinistro e destro sono uguali al numero 2, il che significa che possiamo scartare la base e uguagliare i loro gradi.

x+2=4 Si ottiene l'equazione più semplice.
x=4 – 2
x=2
Risposta: x=2

Nell'esempio seguente puoi vedere che le basi sono diverse: 3 e 9.

3 3x - 9x+8 = 0

Per prima cosa, spostiamo i nove sul lato destro, otteniamo:

Ora devi creare le stesse basi. Sappiamo che 9=3 2. Usiamo la formula della potenza (a n) m = a nm.

3 3x = (3 2) x+8

Otteniamo 9 x+8 =(3 2) x+8 =3 2x+16

3 3x = 3 2x+16 Ora è chiaro che sui lati sinistro e destro le basi sono uguali e uguali a tre, il che significa che possiamo scartarle e uguagliare i gradi.

3x=2x+16 otteniamo l'equazione più semplice
3x - 2x=16
x=16
Risposta: x=16.

Diamo un'occhiata al seguente esempio:

2 2x+4 - 10 4 x = 2 4

Prima di tutto, guardiamo le basi, basi due e quattro. E abbiamo bisogno che siano uguali. Trasformiamo i quattro usando la formula (a n) m = a nm.

4 x = (2 2) x = 2 2x

E usiamo anche una formula a n a m = a n + m:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Aggiungi all'equazione:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Abbiamo fatto un esempio per gli stessi motivi. Ma gli altri numeri 10 e 24 ci danno fastidio. Cosa farne? Se guardi da vicino puoi vedere che sul lato sinistro abbiamo 2 2x ripetuti, ecco la risposta: possiamo mettere 2 2x tra parentesi:

2 2x (2 4 - 10) = 24

Calcoliamo l'espressione tra parentesi:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Dividiamo l'intera equazione per 6:

Immaginiamo 4=2 2:

2 2x = 2 2 basi sono uguali, le scartiamo e uguagliamo i gradi.
2x = 2 è l'equazione più semplice. Dividilo per 2 e otteniamo
x = 1
Risposta: x = 1.

Risolviamo l'equazione:

9 x – 12*3 x +27= 0

Trasformiamo:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Otteniamo l'equazione:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

Le nostre basi sono uguali, pari a tre. In questo esempio puoi vedere che le prime tre hanno un grado doppio (2x) della seconda (solo x). In questo caso puoi risolvere metodo di sostituzione. Sostituiamo il numero con il grado più piccolo:

Allora 3 2x = (3 x) 2 = t 2

Sostituiamo tutte le potenze x nell'equazione con t:

t2 - 12t+27 = 0
Noi abbiamo equazione quadrata. Risolvendo attraverso il discriminante otteniamo:
D=144-108=36
t1 = 9
t2 = 3

Ritornando alla variabile X.

Prendi t1:
t1 = 9 = 3x

Questo è,

3 x = 9
3 x = 3 2
x1 = 2

È stata trovata una radice. Cerchiamo il secondo da t 2:
t2 = 3 = 3x
3 x = 3 1
x2 = 1
Risposta: x1 = 2; x2 = 1.

Sul sito puoi porre domande di tuo interesse nella sezione AIUTA A DECIDERE, ti risponderemo sicuramente.

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