विभाजन। तकनीकी पाठ मानचित्र

विषय:विभाजन प्राकृतिक संख्या(5वीं कक्षा) शिक्षक गोलिकोवा तात्याना

जोर्गिएवना

लक्ष्य: भाग, तालिका द्वारा उदाहरणों को हल करने की विधि दोहराएं

गुणन, भाग के गुण, अंक इकाई द्वारा भाग के नियम,

कोणों के प्रकार, "किसी समीकरण को हल करने का क्या मतलब है," अज्ञात खोजना

समीकरण के तत्व;

गणितीय भाषण, चौकसता, दृष्टिकोण विकसित करें,

संज्ञानात्मक गतिविधि, विश्लेषण करने की क्षमता, करना

धारणाएँ, उनका औचित्य सिद्ध करना, उनका वर्गीकरण करना;

कौशल और योग्यताएँ पैदा करना व्यावहारिक अनुप्रयोगअंक शास्त्र,

ड्राइंग कौशल;

विकास तर्कसम्मत सोच, निर्भरता का विश्लेषण करने की क्षमता

मूल्यों के बीच, यूक्रेनी की सकारात्मक धारणा

स्वास्थ्य बनाए रखना, किसी के ज्ञान का मूल्यांकन करने की क्षमता, स्थिति बनाना

सफलता, "मैं कर सकता हूँ", "मैं सब कुछ कर सकता हूँ" की भावना

आत्म-सम्मान बढ़ाना, आंतरिक गतिविधि विकसित करना

भावनाओं और सामग्री की समझ, जीवन में ज्ञान के महत्व के बारे में जागरूकता

व्यक्ति।

पाठ का प्रकार: कौशल और योग्यताओं का अभ्यास करना

तरीके:व्याख्यात्मक - उदाहरणात्मक, गेमिंग, इंटरैक्टिव

फार्म: अनुमानी बातचीत, जोड़ी में काम, आपसी नियंत्रण, छोटे समूहों में काम, "मैं स्वयं - सभी एक साथ", रोल प्ले

उपकरण: इंटरैक्टिव व्हाइटबोर्ड, कार्ड अलग - अलग प्रकार, मार्कर,

A4 की 7 शीट, रंग-कोडित, टेप।

शिक्षण योजना

1. आध्यात्मिक-सौंदर्यपरक 2 मि

2. प्रेरक 3 मिनट

3. होमवर्क जांचना 5 मिनट

5. शारीरिक शिक्षा मिनट 3 मिनट

7. गृहकार्य 2 मिनट

8. प्रतिबिंब 4 मिनट

9.मूल्यांकनात्मक 4 मिनट

1 आध्यात्मिक-सौन्दर्यपरक

सारे बच्चे झट से उठ खड़े हुए।

शुभ दोपहर, कृपया बैठिए

काम के लिए तैयार होने के लिए, मैं गुणन सारणी को दोहराने का सुझाव देता हूं

एक पेंसिल, एक कार्ड उठाएँ और प्रस्तावित उदाहरणों को 1.5 मिनट में हल करें, और फिर शब्दों को संख्याओं के आरोही क्रम में पढ़ें।

प्राकृतिक संख्याओं की श्रृंखला से कौन सी संख्या "बच गई" ज्ञात कीजिए?

आइये एक स्वर में जाँच करें। शिक्षक नंबर पर कॉल करता है, और छात्र शब्द पर कॉल करते हैं।

6:3=2 27:9=3 16:4=4

जहाज़ चलाने के लिए

30:6=5 42:6=7 72:9=8 36:4=9

आसमान में उड़ने के लिए

30:3=10 44:4=11 36:3=12

आपको बहुत कुछ जानने की जरूरत है

26:2=13 42:3=14 150:10=15

जानने के लिए बहुत कुछ है.

इस चौपाई को आज के पाठ का आदर्श वाक्य बनने दें

2. प्रेरक

मैं यूक्रेनी में पहेली को हल करने का प्रस्ताव करता हूं

LEDINE, NILDIK, KASCHAT, TOKBUDO

कितनी देर शब्दार्थ समूहक्या इन अवधारणाओं को अलग किया जा सकता है?

(आपको दो उत्तर विकल्प प्राप्त करने होंगे और उन्हें उचित ठहराना होगा)

आज के पाठ का विषय विभाजन

उन्होंने अपनी नोटबुक खोली और संख्या लिखी, अच्छा काम

3. होमवर्क की जाँच करना। ज्ञान को अद्यतन करना

हमने नोटबुक का आदान-प्रदान किया और "प्रिय साथियों" की जाँच की

क्या कोई ऐसा है जिसने काम पूरा नहीं किया है?

दो से अधिक त्रुटियाँ किसने पाईं?

निरीक्षकों को धन्यवाद, नोटबुक्स अपने पड़ोसियों को लौटा दें।

d/z प्रदर्शन करते समय आपको किस नियम का सामना करना पड़ा?

आप अन्य किन संपत्तियों के नाम बता सकते हैं?

4.1 कार्य 1

मेरा सुझाव है कि आप यात्रा पर जाएं "जानवरों की दुनिया में"

उदाहरण कार्ड लें और उन्हें अपनी नोटबुक में हल करें। कृपया ध्यान दें कि सभी उदाहरण लिखित रूप में हल नहीं किए जाते हैं; अंक इकाई द्वारा विभाजन का सामना करना पड़ता है।

काम के लिए 4-5 मिनट का समय दिया जाता है. पूरा होने के बाद, शिक्षक उत्तरों को स्वीकार करता है, उन्हें संबंधित समूह के साथ जांचता है और शीट पर एक मार्कर के साथ लिखता है। समूह किसी भी क्रम में उत्तर देते हैं। शिक्षक कहानी पाने के लिए शीटों को सही क्रम में व्यवस्थित करने का सुझाव देते हैं (शीटें इंद्रधनुष की तरह क्रमबद्ध हैं)

लाल नारंगी पीला हरा

1) 13000:1000; 1)120000:1000; 1) 300000:10000; 1) 35000:100;

2) 432:24; 2) 476:28; 2) 960:64; 2) 4485:23;

3) 11092:47 3) 6765:123. 3) 7956:234 3) 2790:62.

हल्का नीला नीला बैंगनी

1) 43000:1000; 1) 11000:100; 1) 1400000:100000;

2) 1856:64 ; 2) 1734:34; 2) 5166:63;

3) 9126:234. 3) 3608:164. 3) 3210:214.

गोरिल्ला सोता है 13000:1000= प्रतिदिन 13 घंटे, हर दिन 432:24=दिन में 18 घंटे, और शीतनिद्रा की स्थिति में, एक हेजहोग भोजन के बिना जीवित रह सकता है 11092:47=236 दिन

नारंगी

मछली की गति ही तलवार है 120000:1000120 किमी/घंटा, और पर्च की गति

476:28=17 किमी/घंटा, और शार्क की गति 6765: 12355 किमी/घंटा

घोड़े तक जीवित रहते हैं 300000:10000=30 वर्ष, और कुत्ते तक 960:64=15 साल का है, और कुत्ते का जीवन रिकॉर्ड है 7956:234=34 साल का

वज़न ध्रुवीय भालूपहुँचता है 35000:100=350 किलो, ब्लू व्हेल तक 4485:23=195 टन, और पूर्वी यूरोपीय शेफर्ड का वजन 2790:62=45 किग्रा

इंसानों में सामान्य तापमानशरीर 36.6 0 तक, सभी गर्म खून वाले कबूतरों और बत्तखों में सबसे ऊंचा 43000:1000=43 0 , और सबसे कम एंटीटर में है 1856:64=29 0 , कुत्ते के शरीर का तापमान 9126:234= 39 0 .

अंगूर घोंघारोधी 11000:100=110 0 ठंढ, लेकिन मर जाता है जब 1734:34= 51 0 गर्मी। मनुष्यों के लिए आरामदायक हवा का तापमान 3608:164=22 0

बैंगनी

एक बड़े एनाकोंडा की लंबाई पाई गई दक्षिण अमेरिका, तक पहुँच सकते हैं 1400000:100000=14 मीटर और व्यास में 5166:63= 82 सेमी. और अफ़्रीकी दीमक योद्धाओं की इमारतें ऊंचाई पर पहुंच जाती हैं 3210:214=15

4.2 कार्य 2.

यदि हम किसी प्रश्न का उत्तर नहीं जानते तो कोई बात नहीं। मुख्य बात यह है कि उत्तर खोजना चाहते हैं। हमने आपको पहले ही बताया है कि यदि आप बीमार हैं या किसी भी कारण से कोई पाठ छूट गया है, या कोई चीज़ आपके लिए काम नहीं कर रही है, तो हमारे पास एक अद्भुत पाठ्यपुस्तक सहायक है! अब हम समीकरणों को हल करेंगे; यदि कोई भूल गया है कि समीकरण का कोई अज्ञात तत्व कैसे खोजा जाए, तो पाठ्यपुस्तक के पृष्ठ 124 को पढ़ने में आलस्य न करें।

समीकरण संख्या 470(3,4,6) को हल करें

विंडो नंबर 470(3) पर

मध्यम №470(4)

द्वार क्रमांक 470(6) पर

श्रृंखला के प्रतिनिधि का उपयोग करके, समीकरण हल किए जाते हैं। उन लोगों के लिए एक अतिरिक्त कार्य जिन्होंने जल्दी से समीकरण में महारत हासिल कर ली "मैं बहुत अच्छा हूँ!" »

"मैं बहुत बढ़िया हूं! » (10x-4x)∙21=2268.

№470(3) №470(4) №470(6)

मैं बहुत बढ़िया हूं!

11x+6x=408; 33एम- एम=1024 ; 476:x=14 (10x-4x)∙21=2268.

एक्स=24एम=32 x=34 x=18

समीकरणों की कुंजी

एक्स=204, पी=32, एम=304, !=18; यू=302, ए=34, यू=24, के=3।

सही उत्तर हैं "हुर्रे!"

5. शारीरिक शिक्षा मिनट

हम बैठे-बैठे थक गए हैं,

आपको बस थोड़ा सा पढ़ने की जरूरत है।

हाथ ऊपर, हाथ नीचे,

सुसिडा पर आश्चर्य!

हाथ ऊपर, हाथ कूल्हों पर,

І कुछ स्कोकी कमाएँ।

श्विदको बैठ गया और बैठ गया।

पैर सुस्त हो गए.

एक बार घाटी पर छींटे मारो।

काम के लिए. सब कुछ महान है!

उन्होंने अपनी पीठ सीधी की और अपने हाथ डेस्क पर रख दिए।

ध्यान व्यवस्थित करने के लिए, खेल "कॉर्नर्स"

मुझे दिखाओ तीव्र कोण, सीधा, कुंठित, विस्तारित, 30 0, 70 0, 97 0, 150 0, आदि, रूंब?

समस्या क्रमांक 487

हम पढ़ते हैं, रेखाचित्र बनाते हैं, विश्लेषण करते हैं, समाधान ढूंढते हैं, लिखते हैं।

आइये देखते हैं स्लाइड पर क्या हो रहा है

आइए इसे छात्रों के साथ मंचित करें।

एक टेबल बनाना


			24 किमी कम

1) 58∙4=232(किमी) पहली ट्रेन चली

2) 232+24=256(किमी) दूसरी ट्रेन ने यात्रा की

3) 256:4=64(किमी/घंटा)

उत्तर: दूसरी ट्रेन 64 किमी/घंटा की गति से यात्रा कर रही थी

7. गृहकार्य

क्या आप घर पर यह कार्य संभाल सकते हैं? आइए d/z लिखें।

क्रमांक 488, क्रमांक 471 (द्वितीय कॉलम), समीकरणों को हल करने के नियम दोहराएं, रचनात्मक कार्य (रंब)

8. प्रतिबिम्ब

जानने और जानने का खेल

ज़्नायका ने डन्नो से विभाजन के गुणों, समीकरण के तत्वों को खोजने के नियमों के बारे में पूछा, भागफल कैसे बदल जाएगा यदि...

और पता नहीं जवाब!

हमारी मेज पर कुछ अप्रयुक्त पत्तियाँ थीं। वे बिंदु दिखाते हैं. यह किस प्रकार का कार्य है? (ग्राफिक श्रुतलेख)

कागज के टुकड़े पर कितने बिंदु होते हैं? कितने प्रश्न होंगे? मैं आपको उत्तर याद दिलाता हूं

"हाँ" ; "नहीं" ; निश्चित नहीं

· · · · · · · ·

1. संख्याएँ विभाजित होने पर लाभांश, भाजक, भागफल कहलाती हैं

2. मुझे एहसास हुआ कि विभाजन बिल्कुल भी मुश्किल नहीं है

3. ढूँढ़ना अज्ञात भाजक, आपको लाभांश को भागफल से विभाजित करना होगा

4. किसी अज्ञात कारक को खोजने के लिए, आपको उत्पाद को ज्ञात कारक से विभाजित करना होगा

5. आज क्लास में मेरी रुचि थी.

6. मैंने कक्षा में कर्तव्यनिष्ठा से काम किया।

7. मुझे खुद पर गर्व है.

सहायक एक पंक्ति में कार्ड एकत्र करते हैं, और शिक्षक अंकों की घोषणा करते हैं।

1) 13000:1000;

2) 432:24;

3) 11092:47.

1) 13000:1000;

2) 432:24;

3) 11092:47.

1) 13000:1000;

2) 432:24;

3) 11092:47.

1) 13000:1000;

2) 432:24;

3) 11092:47.

1)120000:1000;

2) 476:28;

3) 6765:123.

1)120000:1000;

2) 476:28;

3) 6765:123.

1)120000:1000;

2) 476:28;

3) 6765:123.

1)120000:1000;

2) 476:28;

3) 6765:123.

1) 300000:10000;

2) 960:64;

3) 7956:234.

1) 300000:10000;

2) 960:64;

3) 7956:234.

1) 300000:10000;

2) 960:64;

3) 7956:234.

1) 300000:10000;

2) 960:64;

3) 7956:234.

1) 35000:100;

2) 4485:23;

3) 2790:62.

1) 35000:100;

2) 4485:23;

3) 2790:62.

1) 35000:100;

2) 4485:23;

3) 2790:62.

1) 35000:100;

2) 4485:23;

3) 2790:62.

1) 43000:1000;

2) 1856:64;

3) 9126:234.

1) 43000:1000;

2) 1856:64;

3) 9126:234.

1) 43000:1000;

2) 1856:64;

3) 9126:234.

1) 43000:1000;

2) 1856:64;

3) 9126:234.

1) 11000:100;

2) 1734:34;

.3) 3608:164.

1) 11000:100;

2) 1734:34;

.3) 3608:164.

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2) 1734:34;

.3) 3608:164.

1) 11000:100;

2) 1734:34;

.3) 3608:164.

1) 1400000:100000;

2) 5166:63;

3) 3210:214.

1) 1400000:100000;

2) 5166:63;

3) 3210:214.

1) 1400000:100000;

2) 5166:63;

3) 3210:214.

1) 1400000:100000;

2) 5166:63;

3) 3210:214.

1) 13000:1000;

2) 432:24;

3) 11092:47.

1)120000:1000;

2) 476:28;

3) 6765:123.

1) 300000:10000;

2) 960:64;

3) 7956:234.

1) 35000:100;

2) 4485:23;

3) 2790:62.

1) 1400000:100000;

2) 5166:63;

3) 3210:214.

1) 11000:100;

2) 1734:34;

.3) 3608:164.

1) 43000:1000;

2) 1856:64;

3) 9126:234.

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इस लेख में हम प्राकृतिक संख्याओं को विभाजित करने के नियमों और एल्गोरिदम को देखेंगे। आइए तुरंत ध्यान दें कि यहां हम केवल संपूर्ण विभाजन को देख रहे हैं, यानी बिना किसी शेषफल के। हमारी अलग सामग्री में प्राकृत संख्याओं को शेषफल से विभाजित करने के बारे में पढ़ें।

प्राकृतिक संख्याओं को विभाजित करने का नियम बनाने से पहले, आपको विभाजन और गुणन के बीच संबंध को समझना होगा। इस संबंध को स्थापित करने के बाद, हम क्रमिक रूप से सबसे सरल मामलों पर विचार करेंगे: एक प्राकृतिक संख्या को स्वयं और एक से विभाजित करना। इसके बाद, हम गुणन सारणी का उपयोग करके विभाजन, क्रमिक घटाव द्वारा विभाजन, 10 के गुणज संख्याओं द्वारा विभाजन, 10 की विभिन्न घातों का विश्लेषण करेंगे।

प्रत्येक मामले के लिए, हम उदाहरण देंगे और विस्तार से विचार करेंगे। लेख के अंत में हम बताएंगे कि डिवीजन रिजल्ट कैसे चेक करें।

भाग और गुणन के बीच संबंध

विभाजन और गुणन के बीच संबंध का पता लगाने के लिए, याद रखें कि विभाजन को मूल विभाज्य सेट को कई समान सेटों में विभाजित करने के रूप में दर्शाया जाता है। गुणन में कई समान सेटों को एक में जोड़ना शामिल है।

भाग करना गुणन की विपरीत क्रिया है। इसका मतलब क्या है? आइए एक सादृश्य दें. आइए कल्पना करें कि हमारे पास b सेट हैं, जिनमें से प्रत्येक में c ऑब्जेक्ट हैं। कुल मात्रासभी सेटों में ऑब्जेक्ट एक के बराबर है। गुणन सभी समुच्चयों को एक में मिलाना है। गणितीय रूप से इसे इस प्रकार लिखा जाएगा:

परिणामी सामान्य सेट को प्रत्येक में वस्तुओं के साथ बी सेट में विभाजित करने की विपरीत प्रक्रिया विभाजन से मेल खाती है:

जो कहा गया है उसके आधार पर, हम निम्नलिखित कथन पर आगे बढ़ सकते हैं:

यदि प्राकृत संख्याओं c और b का गुणनफल a के बराबर है, तो a और b का भागफल c के बराबर है। आइए इसे अक्षर रूप में पुनः लिखें।

यदि b c = a, तो a ÷ b = c

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके, हम लिख सकते हैं:

इससे यह भी पता चलता है कि a ÷ c = b.

उपरोक्त के आधार पर हम सूत्रीकरण कर सकते हैं सामान्य निष्कर्ष. यदि संख्या c और b का गुणनफल a के बराबर है, तो भागफल a ÷ b और a ÷ c क्रमशः c और b के बराबर हैं।

आइए उपरोक्त सभी को संक्षेप में प्रस्तुत करें और प्राकृतिक संख्याओं के विभाजन की परिभाषा दें।

प्राकृतिक संख्याओं का विभाजन

विभाजन - द्वारा किसी अज्ञात कारक का पता लगाना प्रसिद्ध कार्यऔर एक अन्य ज्ञात गुणक।

यह परिभाषा वह आधार बनेगी जिस पर हम प्राकृतिक संख्याओं को विभाजित करने के नियम और तरीके बनाएंगे।

अनुक्रमिक घटाव द्वारा विभाजन

हमने अभी गुणा के संदर्भ में विभाजन के बारे में बात की। इस ज्ञान के आधार पर विभाजन की कार्रवाई को अंजाम दिया जा सकता है। हालाँकि, एक और दृष्टिकोण है जो काफी सरल और ध्यान देने योग्य है - अनुक्रमिक घटाव द्वारा विभाजन। यह विधि सहज है, तो आइए सैद्धांतिक गणना दिए बिना, इसे एक उदाहरण का उपयोग करके देखें।

शीर्षक

12 को 4 से विभाजित करने पर क्या होता है?

दूसरे शब्दों में, इस समस्या को इस प्रकार तैयार किया जा सकता है: 12 वस्तुएं हैं (उदाहरण के लिए, संतरे), और उन्हें 4 वस्तुओं के बराबर समूहों में विभाजित करने की आवश्यकता है (4 टुकड़ों के बक्से में रखें)। ऐसे कितने समूह या डिब्बे होंगे जिनमें से प्रत्येक में चार-चार संतरे होंगे?

चरण दर चरण हम मूल मात्रा में से 4 संतरे घटाएंगे और 4 के समूह बनाएंगे जब तक कि संतरे खत्म न हो जाएं। हमें जितने कदम उठाने होंगे वही मूल प्रश्न का उत्तर होगा।

12 संतरों में से पहले चार को एक डिब्बे में रख लें। इसके बाद संतरे के मूल ढेर में 12 - 4 = 8 खट्टे फल रह जाते हैं. इन आठ में से, हम 4 और को दूसरे बॉक्स में ले जाते हैं। अब संतरे के मूल ढेर में 8 - 4 = 4 संतरे बचे हैं। इन चार टुकड़ों से आप बस एक और, अलग तीसरा डिब्बा बना सकते हैं, जिसके बाद मूल ढेर में 4 - 4 = 0 संतरे रह जाएंगे।

तो, हमें 3 बक्से, प्रत्येक में 4 आइटम प्राप्त हुए। दूसरे शब्दों में, हमने 12 को 4 से विभाजित किया, और परिणाम 3 था।

संख्याओं के साथ काम करते समय, आपको हर बार वस्तुओं के साथ सादृश्य बनाने की आवश्यकता नहीं होती है। हमने लाभांश और भाजक के साथ क्या किया? हमने लाभांश से भाजक को तब तक घटाया जब तक हमें शून्य शेष नहीं मिला।

महत्वपूर्ण!

अनुक्रमिक घटाव विधि से विभाजित करते समय, शून्य शेष प्राप्त होने तक घटाव संक्रियाओं की संख्या विभाजन का भागफल होती है।

इसे सुदृढ़ करने के लिए, आइए एक और अधिक जटिल उदाहरण देखें।

उदाहरण 1: क्रमिक घटाव द्वारा विभाजन

आइए अनुक्रमिक घटाव विधि का उपयोग करके संख्या 108 को 27 से विभाजित करने के परिणाम की गणना करें।

पहली क्रिया: 108 - 27 = 81.

दूसरी क्रिया: 81 - 27 = 54.

तीसरी क्रिया: 54 - 27 = 27.

चौथी क्रिया: 27 - 27 = 0.

अब किसी कार्रवाई की आवश्यकता नहीं। हमें उत्तर मिला:

ध्यान दें कि यह विधि केवल उन मामलों में सुविधाजनक है जहां क्रमिक घटाव की आवश्यक संख्या छोटी है। अन्य मामलों में, विभाजन नियमों को लागू करने की सलाह दी जाती है, जिस पर हम नीचे विचार करेंगे।

समान प्राकृतिक संख्याओं का विभाजन

प्राकृत संख्याओं के गुणों के अनुसार हम बराबर प्राकृत संख्याओं को विभाजित करने का नियम बनाते हैं।

समान प्राकृतिक संख्याओं का विभाजन

किसी प्राकृत संख्या का भागफल उसकी समान प्राकृत संख्या से विभाजित करने पर एक के बराबर होता है!

उदाहरण के लिए:

1 ÷ 1 = 1 ; 141 ÷ 141 = 1; 2589 2589 = 1; 100000000 ÷ 100000000 = 1.

एक से विभाजन

प्राकृत संख्याओं के गुणों के आधार पर हम किसी प्राकृत संख्या को एक से विभाजित करने का नियम भी बना सकते हैं।

किसी प्राकृत संख्या को एक से विभाजित करना

किसी भी प्राकृत संख्या को एक से विभाजित करने पर भागफल विभाजित होने वाली संख्या के बराबर होता है।

उदाहरण के लिए:

1 ÷ 1 = 1 ; 141 ÷ 1 = 141 ; 2589 ÷ 1 = 2589 ; 100000000 ÷ 1 = 100000000.

गुणन तालिका एक सुविधाजनक उपकरण है जो आपको एकल-अंकीय प्राकृतिक संख्याओं के उत्पाद खोजने की अनुमति देता है। हालाँकि, इसका उपयोग विभाजन के लिए भी किया जा सकता है।

गुणन तालिका आपको न केवल कारकों के उत्पाद का परिणाम खोजने की अनुमति देती है, बल्कि किसी ज्ञात उत्पाद और अन्य कारक से एक कारक भी प्राप्त करती है। जैसा कि हमने पहले पाया, विभाजन एक ज्ञात उत्पाद और दूसरे कारक से एक अज्ञात कारक को ढूंढना है।

गुणन तालिका का उपयोग करके, आप पीले रंग की पृष्ठभूमि पर किसी भी संख्या को किसी एकल-अंकीय प्राकृतिक संख्या से विभाजित कर सकते हैं। हम आपको दिखाएंगे कि यह कैसे करना है. दो विधियाँ हैं, जिनके उपयोग पर हम उदाहरण सहित विचार करेंगे।

48 को 6 से भाग दें.

विधि एक.

उस कॉलम में जिसके शीर्ष सेल में विभाजक 6 है, हम लाभांश 48 पाते हैं। विभाजन का परिणाम लाभांश वाली पंक्ति के सबसे बाएं सेल में है। यह नीले रंग से घिरा हुआ है।

विधि दो.

सबसे पहले, भाजक 6 की पंक्ति में, हम लाभांश 48 पाते हैं। विभाजन का परिणाम लाभांश वाले कॉलम के सबसे ऊपरी कक्ष में होता है। यह नीले रंग से घिरा हुआ है।

इसलिए हमने 48 को 6 से विभाजित किया और 8 प्राप्त किया। गुणन सारणी का उपयोग करके परिणाम दो तरीकों से पाया गया। दोनों विधियां बिल्कुल समान हैं।

इसे सुदृढ़ करने के लिए, आइए एक और उदाहरण देखें। 7 को 1 से विभाजित करें. यहां विभाजन प्रक्रिया को दर्शाने वाली कुछ तस्वीरें दी गई हैं।

जैसा कि आपने अनुमान लगाया, संख्या 7 को 1 से विभाजित करने के परिणामस्वरूप, संख्या 7 प्राप्त होती है। गुणन सारणी का उपयोग करके विभाजन करते समय, इस सारणी को याद रखना बहुत महत्वपूर्ण है, क्योंकि इसे हमेशा हाथ में रखना संभव नहीं होता है।

10, 100, 1000, आदि से विभाजन।

आइए हम तुरंत प्राकृत संख्याओं को 10, 100, 1000 आदि से विभाजित करने का नियम बनाएं। आइए हम तुरंत मान लें कि बिना शेषफल के विभाजन संभव है।

10, 100, 1000, आदि से विभाजन।

किसी प्राकृत संख्या को 10, 100, 1000 आदि से विभाजित करने का परिणाम। एक प्राकृतिक संख्या है जिसका अंकन लाभांश के अंकन से प्राप्त होता है यदि 1, 2, 3, आदि को इसके दाईं ओर छोड़ दिया जाए। शून्य.

भाजक प्रविष्टि में जितने शून्य होते हैं उतने ही शून्य हटा दिए जाते हैं!

उदाहरण के लिए, 30 ÷ 10 = 3. हमने संख्या 30 में से एक शून्य हटा दिया।

120000 ÷ 1000 का भागफल 120 के बराबर है - संख्या 120000 से हम दाहिनी ओर तीन शून्य हटाते हैं, अर्थात भाजक में कितने समाहित हैं।

नियम का औचित्य किसी प्राकृत संख्या को 10, 100, 1000 आदि से गुणा करने के नियम पर आधारित है। चलिए एक उदाहरण देते हैं. मान लीजिए कि हमें 10200 को 100 से विभाजित करना है।

10200 = 102 100

10200 ÷ 100 = 102 100 100 = 102.

एक उत्पाद के रूप में लाभांश का प्रतिनिधित्व

प्राकृतिक संख्याओं को विभाजित करते समय, दो संख्याओं के गुणनफल को एक प्राकृतिक संख्या से विभाजित करने के गुण के बारे में न भूलें। कभी-कभी लाभांश को एक उत्पाद के रूप में दर्शाया जा सकता है, जिसमें से एक कारक भाजक द्वारा विभाजित होता है।

आइए सामान्य मामलों पर नजर डालें।

उदाहरण 2. लाभांश को उत्पाद के रूप में प्रस्तुत करना

30 को 3 से भाग दें.

लाभांश 30 को उत्पाद 30 = 3 10 के रूप में दर्शाया जा सकता है।

हमारे पास है: 30 ÷ 3 = 3 10 ÷ 3

दो संख्याओं के गुणनफल को विभाजित करने के गुण का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं:

3 10 ÷ 3 = 3 ÷ 3 10 = 1 10 = 10

आइये ऐसे ही कुछ और उदाहरण देते हैं।

उदाहरण 3. लाभांश को उत्पाद के रूप में प्रस्तुत करना

आइए भागफल 7200 ÷ 72 की गणना करें।

हम लाभांश को 7200 = 72 100 के रूप में दर्शाते हैं। इस स्थिति में, विभाजन का परिणाम इस प्रकार होगा:

7200 ÷ 72 = 72 100 ÷ 72 = 72 ÷ 72 ÷ 100 = 100

उदाहरण 4. एक उत्पाद के रूप में लाभांश का प्रतिनिधित्व

आइए भागफल की गणना करें: 1600000 ÷ 160।

1600000 = 160 10000

1600000 ÷ 160 = 160 10000 ÷ 160 = 160 ÷ 160 10000 = 10000

अधिक में जटिल उदाहरणगुणन सारणी का उपयोग करना सुविधाजनक है। आइए इसे स्पष्ट करें।

उदाहरण 5. लाभांश को उत्पाद के रूप में प्रस्तुत करना

5400 को 9 से भाग दें.

गुणन तालिका हमें बताती है कि 54, 9 से विभाज्य है, इसलिए लाभांश को उत्पाद के रूप में प्रस्तुत करना उचित है:

5400 = 54 100.

आइए अब विभाजन समाप्त करें:

5400 ÷ 9 = 54 100 ÷ 9 = 54 ÷ 9 100 = 6 100 = 600

सुरक्षित करने के लिए इस सामग्री काआइए विस्तृत मौखिक स्पष्टीकरण के बिना, एक और उदाहरण देखें।

उदाहरण 6. एक उत्पाद के रूप में लाभांश का प्रतिनिधित्व

आइए गणना करें कि 120 को 4 से विभाजित करने पर कितना अंक आता है।

120 ÷ 4 = 12 10 ÷ 4 = 12 ÷ 4 10 = 3 10 = 30

शून्य पर समाप्त होने वाली प्राकृतिक संख्याओं को विभाजित करना

0 पर समाप्त होने वाली संख्याओं को विभाजित करते समय, किसी प्राकृतिक संख्या को दो संख्याओं के गुणनफल से विभाजित करने के गुण को याद रखना उपयोगी होता है। इस मामले में, भाजक को दो कारकों के उत्पाद के रूप में दर्शाया जाता है, जिसके बाद इस संपत्ति का उपयोग गुणन तालिका के साथ संयोजन में किया जाता है।

हमेशा की तरह, हम इसे उदाहरणों से समझाएंगे।

उदाहरण 7. 0 पर समाप्त होने वाली प्राकृत संख्याओं को विभाजित करना

490 को 70 से विभाजित करें.

आइए 70 को इस प्रकार लिखें:

किसी प्राकृत संख्या को किसी गुणनफल से विभाजित करने के गुण का उपयोग करके, हम लिख सकते हैं:

490 ÷ 70 = 490 ÷ 7 10 = 490 ÷ 10 ÷ 7.

हम पिछले पैराग्राफ में पहले ही 10 से विभाजन पर चर्चा कर चुके हैं।

490 ÷ 10 ÷ 7 = 49 ÷ 7 = 7

इसे सुदृढ़ करने के लिए, आइए एक और अधिक जटिल उदाहरण देखें।

उदाहरण 8: 0 पर समाप्त होने वाली प्राकृत संख्याओं को विभाजित करना

आइए संख्याएँ 54000 और 5400 लें और उन्हें विभाजित करें।

54000 ÷ 5400 = ?

आइए 5400 को 54 100 के रूप में निरूपित करें और लिखें:

54000 ÷ 5400 = 54000 ÷ 54 100 = 54000 ÷ 100 ÷ 54 = 540 ÷ 54.

अब हम लाभांश 540 को 5410 के रूप में दर्शाते हैं और लिखते हैं:

540 ÷ 54 = 54 10 ÷ 54 = 54 ÷ 54 10 = 10

54000 ÷ 5400 = 10.

आइए संक्षेप में बताएं कि इस अनुच्छेद में क्या कहा गया है।

महत्वपूर्ण!

यदि लाभांश और भाजक की प्रविष्टियों में दाईं ओर शून्य है, तो आपको लाभांश और भाजक दोनों में समान संख्या में शून्य से छुटकारा पाना होगा। इसके बाद प्राप्त संख्याओं को भाग दें।

उदाहरण के लिए, संख्या 64000 और 8000 को विभाजित करने पर संख्या 64 और 8 को विभाजित करना कम हो जाएगा।

निजी चयन विधि

विभाजन की इस पद्धति पर विचार करने से पहले, हम कुछ शर्तें पेश करते हैं।

मान लीजिए कि संख्याएँ a और b एक दूसरे से विभाज्य हैं, और गुणनफल b · 10 a से बड़ी संख्या देता है। इस मामले में, भागफल a ÷ b एक एकल-मूल्यवान प्राकृतिक संख्या है। दूसरे शब्दों में, यह 1 से 9 तक की संख्या है। यह एक सामान्य स्थिति है जब भागफल चयन विधि सुविधाजनक और लागू होती है। भाजक को क्रमिक रूप से 1, 2, 3, से गुणा करना। . , 9 और लाभांश के साथ परिणाम की तुलना करके, आप भागफल पा सकते हैं।

आइए एक उदाहरण देखें.

उदाहरण 9. निजी का चयन

108 को 27 से विभाजित करें.

यह देखना आसान है कि 27 · 10 = 270 ; 270 > 108 .

आइए एक निजी का चयन करना शुरू करें।

27 1 = 27 27 2 = 54 27 3 = 81 27 4 = 108

बिंगो! चयन विधि का उपयोग करके भागफल पाया गया:

ध्यान दें कि ऐसे मामलों में जहां b · 10 > a अनुक्रमिक घटाव की विधि द्वारा भागफल ज्ञात करना भी सुविधाजनक है।

लाभांश को योग के रूप में प्रदर्शित करना

एक अन्य तरीका जो भागफल खोजने में मदद कर सकता है वह है लाभांश को कई प्राकृतिक संख्याओं के योग के रूप में प्रस्तुत करना, जिनमें से प्रत्येक विभाजक द्वारा आसानी से विभाज्य है। इसके बाद हमें प्राकृत संख्याओं के योग को एक संख्या से विभाजित करने के गुण की आवश्यकता होगी। एक उदाहरण के साथ, हम एल्गोरिदम पर विचार करेंगे और प्रश्न का उत्तर देंगे: हमें लाभांश को किन शब्दों के रूप में प्रस्तुत करना चाहिए?

माना लाभांश 8551 और भाजक 17 है।

आइए गणना करें कि भाजक के अंकन की तुलना में लाभांश के अंकन में कितने अधिक चिह्न हैं। हमारे मामले में, भाजक में दो चिह्न होते हैं, और भाज्य में चार चिह्न होते हैं। इसका मतलब है कि लाभांश में दो और दशमलव स्थान हैं। नंबर 2 याद रखें.
भाजक के दाईं ओर दो शून्य जोड़ें। दो क्यों? पिछले पैराग्राफ में हमने यह संख्या निर्धारित की थी। हालाँकि, यदि परिणामी संख्या भाजक से अधिक हो जाती है, तो आपको पिछले पैराग्राफ में प्राप्त संख्या से 1 घटाना होगा। हमारे उदाहरण में, भाजक में शून्य जोड़ने पर, हमें संख्या 1700 प्राप्त हुई< 8551 . Таким образом, отнимать единицу из двойки, полученной в первом пункте, не нужно. В памяти так же оставляем число 2 .
दाईं ओर संख्या 1 पर हम पिछले पैराग्राफ की संख्या द्वारा निर्धारित राशि में शून्य निर्दिष्ट करते हैं। इस प्रकार, हमें डिस्चार्ज की एक कार्यशील इकाई प्राप्त होती है, जिसके साथ हम आगे काम करेंगे। हमारे मामले में, एक को दो शून्य दिए गए हैं। कार्य श्रेणी - सैकड़ों।
हम विभाजक को क्रमिक रूप से 1, 2, 3, आदि से गुणा करते हैं। कार्यशील अंक की इकाइयाँ जब तक हमें लाभांश से अधिक संख्या न मिल जाए। 17 100 = 1700; 17 · 200 = 3400 ; 17 · 300 = 5100 ; 17 · 400 = 6400 ; 17 · 500 = 8500 ; 17 · 600 = 10200 हम अंतिम परिणाम में रुचि रखते हैं, क्योंकि इसके बाद उत्पाद का अगला परिणाम लाभांश से अधिक होता है। संख्या 8500, जो गुणन के अंतिम चरण में प्राप्त हुई थी, पहला जोड़ है। उस समानता को याद रखें जिसका हम आगे उपयोग करेंगे: 8500 = 17 500।
हम लाभांश और प्राप्त पद के बीच अंतर की गणना करते हैं। यदि यह शून्य के बराबर नहीं है, तो हम पहले बिंदु पर लौटते हैं और लाभांश के बजाय पहले से प्राप्त अंतर का उपयोग करके दूसरे पद की खोज शुरू करते हैं। हम चरणों को तब तक दोहराते हैं जब तक परिणाम शून्य न हो जाए। हमारे उदाहरण में, अंतर 8551 - 8500 = 51 है। 51 ≠ 0, इसलिए, बिंदु 1 पर जाएँ।

हम एल्गोरिथ्म दोहराते हैं:

हम नए लाभांश 51 और भाजक 17 में अंकों की संख्या की तुलना करते हैं। दोनों प्रविष्टियों में दो अंक हैं, वर्णों की संख्या में अंतर शून्य है। संख्या 0 याद रखें.
चूँकि हमें संख्या 0 याद है, इसलिए भाजक में अतिरिक्त शून्य जोड़ने की कोई आवश्यकता नहीं है।
हम एक में शून्य भी नहीं जोड़ेंगे. दोबारा, क्योंकि पहले पैराग्राफ में हमें संख्या 0 याद थी। इस प्रकार, हमारा कार्य अंक इकाई है
हम क्रमिक रूप से 17 को 1, 2, 3, से गुणा करते हैं। . वगैरह। हमें मिलता है: 17 · 1 = 17 ; 17 · 2 = 34 ; 17 3 = 51.
जाहिर है, तीसरे चरण में हमें भाजक के बराबर एक संख्या मिली। यह दूसरा कार्यकाल है. चूँकि 51 - 51 = 0, इस स्तर पर हम शब्दों की खोज बंद कर देते हैं - यह पूरा हो गया है।

अब जो कुछ बचा है वह भागफल ज्ञात करना है। हमने लाभांश 8551 को योग 8500 + 51 के रूप में प्रस्तुत किया। आइए लिखें:

8500 + 51 ÷ 17 = 8500 ÷ 17 + 51 ÷ 17.

कोष्ठक में विभाजन का परिणाम हमें पिछले कार्यों से ज्ञात होता है।

8500 + 51 ÷ 17 = 8500 ÷ 17 + 51 ÷ 17 = 500 + 3 = 503.

विभाजन का परिणाम: 8551 ÷ 17 = 503.

आइए प्रत्येक कार्रवाई पर इतने विस्तार से टिप्पणी किए बिना, कुछ और उदाहरण देखें।

उदाहरण 10. प्राकृत संख्याओं को विभाजित करना

आइए भागफल ज्ञात करें: 64 ÷ 2.

1. लाभांश में भाजक से एक चिन्ह अधिक होता है। नंबर 1 याद रखें.

2. हम भाजक के दाईं ओर एक शून्य निर्दिष्ट करते हैं।

3. हम संख्या 1 में एक शून्य जोड़ते हैं और कार्य अंक की इकाई प्राप्त करते हैं - 10. इस प्रकार कामकाजी श्रेणी दसियों है।

4. हम कार्यशील अंक की इकाइयों द्वारा विभाजक का क्रमिक गुणन शुरू करते हैं। 2 · 10 = 20 ; 2 20 = 40 ; 2 · 30 = 60 ; 2 · 40 = 80 ; 80 > 64 .

पाया गया पहला पद संख्या 60 है।

समानता 60 ÷ 2 = 30 भविष्य में हमारे काम आएगी।

5. हम दूसरे कार्यकाल की तलाश में हैं. ऐसा करने के लिए, अंतर 64 - 60 = 4 की गणना करें। संख्या 4 बिना किसी शेषफल के 2 से विभाज्य है, जाहिर है यह दूसरा पद है।

अब हम भागफल ज्ञात करते हैं:

64 ÷ 2 = 60 + 4 ÷ 2 = 60 ÷ 2 + 4 ÷ 2 = 30 + 2 = 32.

उदाहरण 11. प्राकृत संख्याओं का विभाजन

आइए हल करें: 1178 ÷ 31 = ?

1. हम देखते हैं कि लाभांश में भाजक से दो अंक अधिक होते हैं। नंबर 2 याद रखें.

2. दाहिनी ओर भाजक में दो शून्य जोड़ें। हमें 3100 नंबर मिलता है.

3100 > 1178, इसलिए पहले बिंदु से याद की गई संख्या 2 को एक से कम करने की आवश्यकता है।

3. हम दाहिनी ओर वाले में एक शून्य जोड़ते हैं और कार्यशील अंक - दहाई प्राप्त करते हैं।

4. 31 को 10, 20, 30 से गुणा करें। . वगैरह।

31 · 10 = 310 ; 31 · 20 = 620 ; 31 · 30 = 930 ; 31 40 = 1240

1240 > 1178, इसलिए, पहला पद संख्या 930 है।

5. अंतर 1178 - 930 = 248 की गणना करें। लाभांश के स्थान पर संख्या 248 के साथ, हम दूसरे कार्यकाल की तलाश शुरू करते हैं।

1. संख्या 248 में संख्या 31 से एक अंक अधिक है। नंबर 1 याद रखें.

2. 31 में हम दाईं ओर एक शून्य जोड़ते हैं। 310 > 248 के बाद से, हम पिछले पैराग्राफ में प्राप्त इकाई को कम करते हैं, और परिणामस्वरूप हमारे पास संख्या 0 होती है।

3. चूँकि हमें संख्या 0 याद है, इसलिए इकाई में अतिरिक्त शून्य जोड़ने की कोई आवश्यकता नहीं है, और इकाई का अंक ही कार्यशील अंक है।

4. लगातार 31 को 1, 2, 3 से गुणा करें। . आदि, लाभांश के साथ परिणाम की तुलना करना।

31 · 1 = 31 ; 31 · 2 = 62 ; 31 · 3 = 93 ; 31 · 4 = 124 ; 31 · 5 = 155 ; 31 · 6 = 186 ; 31 · 7 = 217 ; 31 8 = 248

इस प्रकार, यह संख्या 248 है जो दूसरा पद है, जो 31 से विभाज्य है।

5. 248-248 का अंतर शून्य है। हम पदों की खोज समाप्त करते हैं, अनुपात 248 ÷ 31 = 8 को याद करते हैं और भागफल ज्ञात करते हैं।

1178 ÷ 31 = 930 + 248 ÷ 31 = 930 ÷ 31 + 248 ÷ 31 = 30 + 8 = 38.

हम धीरे-धीरे उदाहरणों की जटिलता बढ़ाते हैं।

उदाहरण 12. प्राकृत संख्याओं का विभाजन

13984 को 32 से विभाजित करें.

इस मामले में, ऊपर वर्णित एल्गोरिदम को तीन बार लागू करने की आवश्यकता होगी। हम सभी गणनाएँ नहीं देंगे, हम केवल यह संकेत देंगे कि भाजक को किन पदों द्वारा दर्शाया जाएगा। आप स्वयं का परीक्षण कर सकते हैं और गणना स्वयं कर सकते हैं।

पहला पद 12800 के बराबर है।

12800 ÷ 32 = 400.

दूसरा पद 960 के बराबर है।

960 ÷ 32 = 30.

तीसरा पद 224 के बराबर है।

परिणाम:

13984 ÷ 32 = 12800 + 960 + 224 ÷ 32 = 12800 ÷ 32 + 960 ÷ 32 + 224 ÷ 32 = 400 + 30 + 7 = 437.

ऐसा प्रतीत होता है कि हमने लगभग हर चीज़ पर विचार कर लिया है संभावित तरीकेप्राकृतिक संख्याओं का विभाजन. इस बिंदु पर, विषय को समाप्त माना जा सकता है। हालाँकि, एक ऐसी विधि है जो कुछ मामलों में विभाजन को तेजी से और अधिक तर्कसंगत रूप से पूरा करने की अनुमति देती है।

आइए इसे आखिरी बार देखें।

प्राकृतिक संख्याओं के अंतर के रूप में लाभांश का प्रतिनिधित्व

कभी-कभी लाभांश को योग के बजाय अंतर के रूप में प्रस्तुत करना आसान और अधिक सुविधाजनक होता है। इससे विभाजन प्रक्रिया में काफी तेजी आ सकती है और सुविधा हो सकती है। बिल्कुल कैसे? चलिए इसे एक उदाहरण से दिखाते हैं.

उदाहरण 13. प्राकृत संख्याओं का विभाजन

594 को 6 से विभाजित करें.

यदि हम पिछले पैराग्राफ से एल्गोरिदम का उपयोग करते हैं, तो हमें परिणाम मिलेगा:

594 ÷ 6 = 540 + 54 ÷ 6 = 540 ÷ 6 + 54 ÷ 6 = 90 + 9 = 99.

हालाँकि, यदि संख्या 594 को अंतर 600 - 6 के रूप में दर्शाया जाता है, तो सब कुछ अधिक स्पष्ट हो जाता है। दोनों संख्याएँ 600 और 6) 6 से विभाज्य हैं। प्राकृत संख्याओं के अंतर को विभाजित करने के गुण से हमें प्राप्त होता है:

594 ÷ 6 = 600 - 6 ÷ 6 = 600 ÷ 6 - 6 ÷ 6 = 100 - 1 = 99

परिणाम वही है, लेकिन कार्य वस्तुनिष्ठ रूप से आसान और सरल हैं।

आइए उसी विधि का उपयोग करके एक और उदाहरण हल करें। ध्यान दें कि विभाजन को आसानी से पूरा करने के लिए संख्याओं के साथ क्या हेरफेर करना है, इसे सही ढंग से नोटिस करने में सक्षम होना महत्वपूर्ण है। मान लीजिए कि इसमें कला का कुछ अंश है।

उदाहरण 14. प्राकृत संख्याओं का विभाजन

आइए गुणन सारणी को याद करें और समझें: संख्या 483 को आसानी से 483 = 490 - 7 के रूप में दर्शाया जा सकता है।

490 ÷ 7 = 70 7 ÷ 7 = 1

हम विभाजन करते हैं:

483 ÷ 7 = (490 - 7) ÷ 7 = 490 ÷ 7 - 7 ÷ 7 = 70 - 1 = 69.

प्रभाग परिणाम की जाँच करना

जाँच करना कभी भी अतिश्योक्तिपूर्ण नहीं होता, खासकर यदि हमने साझा किया हो बड़ी संख्या. कैसे जांचें कि प्राकृत संख्याएँ सही ढंग से विभाजित हैं या नहीं? गुणन का उपयोग करना!

यह जांचने के लिए कि विभाजन सही ढंग से किया गया है या नहीं, आपको भागफल को भाजक से गुणा करना होगा। परिणाम लाभांश होना चाहिए.

इस क्रिया का अर्थ बहुत सरल है. उदाहरण के लिए, हमारे पास एक वस्तुएं थीं, और हमने इन वस्तुओं को बी ढेरों में विभाजित किया। प्रत्येक ढेर में वस्तुएँ थीं। गणितीय रूप से यह इस प्रकार दिखता है:

अब आइए c वस्तुओं के सभी b ढेरों को वापस संयोजित करें। परिणाम वस्तुओं का एक ही सेट होना चाहिए।

आइए दो उदाहरणों का उपयोग करके परीक्षण को देखें।

उदाहरण 15. प्राकृत संख्याओं को विभाजित करने के परिणाम की जाँच करना

संख्या 475 को 19 से विभाजित किया गया है। नतीजा 25 रहा. क्या विभाजन सही ढंग से किया गया है?

आइए 25 के भागफल को 19 के भाजक से गुणा करें और पता करें कि संख्याएँ सही ढंग से विभाजित हुई हैं या नहीं।

25 19 = 475.

संख्या 475 लाभांश के बराबर है, जिसका अर्थ है कि विभाजन सही ढंग से किया गया था।

उदाहरण 16. प्राकृत संख्याओं को विभाजित करने के परिणाम की जाँच करना

परिणाम को विभाजित करें और जांचें:

हम लाभांश को शर्तों के योग के रूप में प्रस्तुत करेंगे और विभाजन करेंगे।

1024 ÷ 32 = 960 + 64 ÷ 32 = 960 ÷ 32 + 64 ÷ 32 = 30 + 2 = 32.

आइए परिणाम देखें:

32 32 = 1024.

निष्कर्ष: विभाजन सही ढंग से किया गया था.

संख्याओं को भाग से विभाजित करने के परिणाम की जाँच करना

ऊपर चर्चा की गई सत्यापन विधि गुणन पर आधारित है। एक डिवीजन टेस्ट भी होता है. इसे कैसे निभायें?

प्रभाग परिणाम की जाँच करना

यह जांचने के लिए कि भागफल सही पाया गया है या नहीं, आपको लाभांश को परिणामी भागफल से विभाजित करना होगा। परिणाम भाजक होना चाहिए.

यदि यह अलग तरह से सामने आता है, तो हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि कहीं न कहीं कोई त्रुटि रह गई है।

यह नियम लाभांश, भाजक और भागफल के बीच पिछले पैराग्राफ के नियम के समान संबंध पर आधारित है।

आइए उदाहरण देखें.

उदाहरण 17. प्राकृत संख्याओं को विभाजित करने के परिणाम की जाँच करना

क्या समानता सत्य है:

आइए लाभांश को भागफल से विभाजित करें:

104 ÷ 8 = 80 + 24 ÷ 8 = 80 ÷ 8 + 24 ÷ 8 = 10 + 3 = 13.

परिणाम एक भाजक है, जिसका अर्थ है कि विभाजन सही ढंग से किया गया है।

उदाहरण 18. प्राकृत संख्याओं को विभाजित करने के परिणाम की जाँच करना

आइए गणना करें और जांचें: 240 ÷ 15 = ?

लाभांश को योग के रूप में प्रदर्शित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

240 ÷ 15 = 150 + 90 ÷ 15 = 150 ÷ 15 + 90 ÷ 15 = 10 + 6 = 16.

आइए परिणाम देखें:

240 ÷ 16 = 160 + 80 ÷ 16 = 160 ÷ 16 + 80 ÷ 16 = 10 + 5 = 15.

बंटवारा सही ढंग से हुआ है.

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हालाँकि गणित अधिकांश लोगों को कठिन लगता है, लेकिन यह सच से बहुत दूर है। कई गणितीय संक्रियाओं को समझना काफी आसान है, खासकर यदि आप नियम और सूत्र जानते हैं। इसलिए, गुणन सारणी को जानकर, आप अपने दिमाग में तेजी से गुणा कर सकते हैं। मुख्य बात यह है कि लगातार प्रशिक्षण लें और गुणन के नियमों को न भूलें। विभाजन के बारे में भी यही कहा जा सकता है।

आइए पूर्णांकों, भिन्नों और ऋणात्मकों के विभाजन को देखें। आइए बुनियादी नियमों, तकनीकों और विधियों को याद रखें।

प्रभाग संचालन

आइए, शायद, इस ऑपरेशन में भाग लेने वाली संख्याओं की परिभाषा और नाम से शुरुआत करें। इससे सूचना की आगे की प्रस्तुति और धारणा में काफी सुविधा होगी।

विभाजन चार बुनियादी गणितीय संक्रियाओं में से एक है। इसका अध्ययन प्रारम्भ होता है प्राथमिक स्कूल. इसके बाद बच्चों को एक संख्या को एक संख्या से विभाजित करने का पहला उदाहरण दिखाया जाता है और नियम समझाए जाते हैं।

ऑपरेशन में दो संख्याएँ शामिल हैं: लाभांश और भाजक। पहली वह संख्या है जिससे विभाजित किया जा रहा है, दूसरी वह संख्या है जिससे विभाजित किया जा रहा है। विभाजन का परिणाम भागफल है।

इस ऑपरेशन को लिखने के लिए कई नोटेशन हैं: ":", "/" और एक क्षैतिज पट्टी - एक अंश के रूप में लिखना, जब लाभांश शीर्ष पर होता है, और भाजक नीचे, रेखा के नीचे होता है।

नियम

किसी विशेष गणितीय संक्रिया का अध्ययन करते समय, शिक्षक छात्रों को उन बुनियादी नियमों से परिचित कराने के लिए बाध्य होता है जिन्हें उन्हें जानना चाहिए। सच है, उन्हें हमेशा उतना याद नहीं रखा जाता जितना हम चाहते हैं। इसीलिए हमने चार मूलभूत नियमों के बारे में आपकी याददाश्त को थोड़ा ताज़ा करने का निर्णय लिया है।

संख्याओं को विभाजित करने के बुनियादी नियम जिन्हें आपको हमेशा याद रखना चाहिए:

1. आप शून्य से भाग नहीं दे सकते. इस नियम को सबसे पहले याद रखना चाहिए.

2. आप शून्य को किसी भी संख्या से विभाजित कर सकते हैं, लेकिन परिणाम हमेशा शून्य ही होगा।

3. यदि किसी संख्या को एक से विभाजित किया जाए तो हमें वही संख्या प्राप्त होती है।

4. यदि किसी संख्या को उसी से विभाजित किया जाए तो हमें एक प्राप्त होता है।

जैसा कि आप देख सकते हैं, नियम काफी सरल और याद रखने में आसान हैं। हालाँकि कुछ लोग असंभवता जैसे सरल नियम को भूल सकते हैं या शून्य को किसी संख्या से विभाजित करने को लेकर भ्रमित हो सकते हैं।

प्रति संख्या

सबसे ज्यादा उपयोगी नियम- एक चिन्ह जिसके द्वारा एक प्राकृत संख्या को बिना किसी शेषफल के दूसरी प्राकृत संख्या से विभाजित करने की संभावना निर्धारित की जाती है। इस प्रकार, 2, 3, 5, 6, 9, 10 से विभाज्यता के चिह्न प्रतिष्ठित हैं आइए उन पर अधिक विस्तार से विचार करें। वे संख्याओं पर परिचालन करना बहुत आसान बनाते हैं। हम किसी संख्या को किसी संख्या से विभाजित करने के प्रत्येक नियम का एक उदाहरण भी देते हैं।

ये नियम-चिह्न गणितज्ञों द्वारा काफी व्यापक रूप से उपयोग किये जाते हैं।

2 से विभाज्यता का परीक्षण करें

याद रखने का सबसे आसान संकेत. एक संख्या जो सम अंक (2, 4, 6, 8) या 0 पर समाप्त होती है वह हमेशा दो से विभाज्य होती है। याद रखना और उपयोग करना काफी आसान है। तो, संख्या 236 एक सम अंक में समाप्त होती है, जिसका अर्थ है कि यह दो से विभाज्य है।

आइए जाँच करें: 236:2 = 118। वास्तव में, 236 बिना किसी शेषफल के 2 से विभाज्य है।

यह नियम न केवल वयस्कों, बल्कि बच्चों को भी अच्छी तरह से पता है।

3 से विभाज्यता का परीक्षण करें

संख्याओं को 3 से सही ढंग से कैसे विभाजित करें? निम्नलिखित नियम याद रखें.

एक संख्या 3 से विभाज्य होती है यदि उसके अंकों का योग तीन का गुणज हो। उदाहरण के लिए, आइए संख्या 381 लें। सभी अंकों का योग 12 होगा। यह तीन है, जिसका अर्थ है कि यह बिना किसी शेषफल के 3 से विभाज्य है।

आइए इस उदाहरण को भी देखें. 381:3 = 127, तो सब कुछ सही है।

संख्याओं के लिए 5 से विभाज्यता परीक्षण

यहां भी सब कुछ सरल है. आप केवल उन संख्याओं को बिना किसी शेषफल के 5 से विभाजित कर सकते हैं जो 5 या 0 पर समाप्त होती हैं। उदाहरण के लिए, आइए 705 या 800 जैसी संख्याएँ लें। पहला 5 पर समाप्त होता है, दूसरा शून्य पर, इसलिए वे दोनों 5 से विभाज्य हैं। यह सबसे सरल नियमों में से एक है जो आपको एकल-अंकीय संख्या 5 से शीघ्रता से विभाजित करने की अनुमति देता है।

आइए निम्नलिखित उदाहरणों का उपयोग करके इस चिह्न की जाँच करें: 405:5 = 81; 600:5 = 120. जैसा कि आप देख सकते हैं, संकेत काम करता है।

6 से विभाज्यता

यदि आप यह पता लगाना चाहते हैं कि क्या कोई संख्या 6 से विभाज्य है, तो आपको पहले यह पता लगाना होगा कि क्या वह 2 से विभाज्य है, और फिर 3 से। यदि ऐसा है, तो संख्या को बिना किसी शेषफल के 6 से विभाजित किया जा सकता है , संख्या 216 2 से विभाज्य है, क्योंकि यह एक सम अंक पर समाप्त होती है, और 3 पर, क्योंकि अंकों का योग 9 है।

आइए जाँच करें: 216:6 = 36। उदाहरण से पता चलता है कि यह चिह्न वैध है।

9 से विभाज्यता

आइए यह भी बात करें कि संख्याओं को 9 से कैसे विभाजित किया जाए। 9 से विभाज्य अंकों का योग 3 से विभाजित करने के नियम के समान है। उदाहरण के लिए, संख्या 918। आइए सभी अंकों को जोड़ें और 18 प्राप्त करें। - एक संख्या जो 9 का गुणज है। इसलिए, यह बिना किसी शेषफल के 9 से विभाज्य है।

आइए जांचने के लिए इस उदाहरण को हल करें: 918:9 = 102।

10 से विभाज्यता

जानने के लिए एक आखिरी संकेत. केवल वे संख्याएँ जो 0 पर समाप्त होती हैं, 10 से विभाज्य होती हैं। यह पैटर्न काफी सरल और याद रखने में आसान है। तो, 500:10 = 50।

ये सभी मुख्य लक्षण हैं। इन्हें याद करके आप अपना जीवन आसान बना सकते हैं। बेशक, ऐसी अन्य संख्याएँ भी हैं जिनके लिए विभाज्यता के संकेत हैं, लेकिन हमने केवल मुख्य संख्याओं पर प्रकाश डाला है।

प्रभाग तालिका

गणित में न केवल गुणन सारणी होती है, बल्कि विभाजन सारणी भी होती है। एक बार जब आप इसे सीख लेते हैं, तो आप आसानी से ऑपरेशन कर सकते हैं। मूलतः, एक विभाजन सारणी विपरीत गुणन सारणी होती है। इसे स्वयं संकलित करना कठिन नहीं है। ऐसा करने के लिए, आपको गुणन तालिका से प्रत्येक पंक्ति को इस प्रकार फिर से लिखना चाहिए:

1. संख्या के गुणनफल को पहले स्थान पर रखें।

2. विभाजन चिह्न लगाएं और तालिका से दूसरा गुणनखंड लिखें।

3. समान चिह्न के बाद प्रथम गुणनखंड लिखिए।

उदाहरण के लिए, गुणन तालिका से निम्नलिखित पंक्ति लें: 2*3= 6. अब हम इसे एल्गोरिथम के अनुसार फिर से लिखते हैं और प्राप्त करते हैं: 6 ÷ 3 = 2.

अक्सर, बच्चों को स्वयं एक टेबल बनाने के लिए कहा जाता है, जिससे उनकी याददाश्त और ध्यान विकसित होता है।

यदि आपके पास इसे लिखने का समय नहीं है, तो आप लेख में प्रस्तुत एक का उपयोग कर सकते हैं।

विभाजन के प्रकार

आइए विभाजन के प्रकारों के बारे में थोड़ी बात करें।

आइए इस तथ्य से शुरू करें कि हम पूर्णांकों और भिन्नों के विभाजन के बीच अंतर कर सकते हैं। इसके अलावा, पहले मामले में हम पूर्णांकों के साथ संक्रियाओं के बारे में बात कर सकते हैं दशमलव, और दूसरे में - केवल भिन्नात्मक संख्याओं के बारे में। इस मामले में, एक अंश या तो लाभांश या भाजक, या एक ही समय में दोनों हो सकता है। यह इस तथ्य के कारण है कि भिन्नों पर संक्रियाएँ पूर्णांकों पर संक्रियाओं से भिन्न होती हैं।

ऑपरेशन में भाग लेने वाली संख्याओं के आधार पर, दो प्रकार के विभाजन को प्रतिष्ठित किया जा सकता है: एकल-अंकीय संख्याओं में और बहु-अंकीय संख्याओं में। सबसे सरल है एक अंक वाली संख्या से विभाजन। यहां आपको बोझिल कैलकुलेशन करने की जरूरत नहीं पड़ेगी. इसके अलावा, एक डिवीजन टेबल एक अच्छी मदद हो सकती है। दूसरों में विभाजित करें - दो -, तीन अंकों की संख्या- भारी.

आइए इस प्रकार के विभाजन के उदाहरण देखें:

14:7 = 2 (एक अंकीय संख्या से विभाजन)।

240:12 = 20 (दो अंकों की संख्या से विभाजन)।

45387: 123 = 369 (तीन अंकों की संख्या से विभाजन)।

अंतिम को विभाजन द्वारा अलग किया जा सकता है, जिसमें सकारात्मक और नकारात्मक संख्याएं शामिल होती हैं। बाद वाले के साथ काम करते समय, आपको उन नियमों को जानना चाहिए जिनके द्वारा किसी परिणाम को सकारात्मक या नकारात्मक मान दिया जाता है।

संख्याओं को विभाजित करते समय विभिन्न संकेत(लाभांश एक धनात्मक संख्या है, भाजक ऋणात्मक है, या इसके विपरीत) हमें मिलता है ऋणात्मक संख्या. जब संख्याओं को एक ही चिह्न से विभाजित किया जाता है (लाभांश और भाजक दोनों धनात्मक होते हैं या इसके विपरीत), तो हमें एक धनात्मक संख्या प्राप्त होती है।

स्पष्टता के लिए, निम्नलिखित उदाहरणों पर विचार करें:

भिन्नों का विभाजन

तो, हमने बुनियादी नियमों को देखा है, एक संख्या को एक संख्या से विभाजित करने का एक उदाहरण दिया है, अब बात करते हैं कि भिन्नों के साथ समान संक्रियाओं को सही ढंग से कैसे किया जाए।

हालाँकि भिन्नों को विभाजित करना पहली बार में बहुत काम जैसा लग सकता है, लेकिन वास्तव में उनके साथ काम करना उतना मुश्किल नहीं है। भिन्न को विभाजित करना गुणा करने के समान ही किया जाता है, लेकिन एक अंतर के साथ।

किसी भिन्न को विभाजित करने के लिए, आपको पहले लाभांश के अंश को भाजक के हर से गुणा करना होगा और परिणामी परिणाम को भागफल के अंश के रूप में रिकॉर्ड करना होगा। फिर लाभांश के हर को भाजक के अंश से गुणा करें और परिणाम को भागफल के हर के रूप में लिखें।

इसे और भी सरलता से किया जा सकता है. हर के साथ अंश की अदला-बदली करके भाजक अंश को फिर से लिखें, और फिर परिणामी संख्याओं को गुणा करें।

उदाहरण के लिए, आइए दो भिन्नों को विभाजित करें: 4/5:3/9। सबसे पहले, आइए भाजक को पलटें और 9/3 प्राप्त करें। आइए अब भिन्नों को गुणा करें: 4/5 * 9/3 = 36/15।

जैसा कि आप देख सकते हैं, सब कुछ काफी आसान है और एकल-अंकीय संख्या से भाग देने से अधिक कठिन नहीं है। यदि आप इस नियम को नहीं भूलते हैं तो उदाहरणों को हल करना आसान नहीं है।

निष्कर्ष

विभाजन गणितीय संक्रियाओं में से एक है जिसे प्रत्येक बच्चा प्राथमिक विद्यालय में सीखता है। खाओ निश्चित नियम, जो आपको पता होना चाहिए, ऐसी तकनीकें जो इस ऑपरेशन को आसान बनाती हैं। विभाजन शेषफल के साथ या उसके बिना हो सकता है, ऋणात्मक और भिन्नात्मक संख्याओं का विभाजन हो सकता है।

इस गणितीय संक्रिया की विशेषताओं को याद रखना काफी आसान है। हमने सबसे सुलझा लिया है महत्वपूर्ण बिंदु, हमने किसी संख्या को किसी संख्या से विभाजित करने के एक से अधिक उदाहरण देखे, हमने यह भी बात की कि भिन्नात्मक संख्याओं के साथ कैसे काम किया जाए।

यदि आप गणित के बारे में अपना ज्ञान बढ़ाना चाहते हैं, तो हम आपको इन सरल नियमों को याद रखने की सलाह देते हैं। इसके अलावा, हम आपको गणितीय श्रुतलेख करके या केवल मौखिक रूप से दो यादृच्छिक संख्याओं के भागफल की गणना करने का प्रयास करके स्मृति और मानसिक अंकगणितीय कौशल विकसित करने की सलाह दे सकते हैं। मेरा विश्वास करो, ये कौशल कभी भी अतिश्योक्तिपूर्ण नहीं होंगे।

आइए समस्या में विभाजन की अवधारणा पर विचार करें:
टोकरी में 12 सेब थे। छह बच्चों ने सेब छांटे। प्रत्येक बच्चे को समान संख्या में सेब मिले। प्रत्येक बच्चे के पास कितने सेब हैं?

समाधान:
हमें छह बच्चों में बांटने के लिए 12 सेब चाहिए। आइए समस्या 12:6 को गणितीय रूप से लिखें।
या आप इसे अलग तरीके से कह सकते हैं. संख्या 12 प्राप्त करने के लिए संख्या 6 को किस संख्या से गुणा करना होगा? आइए समस्या को समीकरण के रूप में लिखें। हम सेबों की संख्या नहीं जानते हैं, तो आइए उन्हें वेरिएबल x के रूप में निरूपित करें।

अज्ञात x को खोजने के लिए हमें 12:6=2 की आवश्यकता है
उत्तर: प्रत्येक बच्चे के लिए 2 सेब।

आइए उदाहरण 12:6=2 पर करीब से नज़र डालें:

12 नंबर कहा जाता है भाज्य. यह वह संख्या है जिसका विभाजन किया जा रहा है.
संख्या 6 कहलाती है डिवाइडर. यह वह संख्या है जिससे विभाजित किया जाता है.
और संख्या को विभाजित करने का परिणाम 2 कहलाता है निजी. भागफल दर्शाता है कि लाभांश, भाजक से कितनी गुना अधिक है।

शाब्दिक रूप में, विभाजन इस प्रकार दिखता है:
ए:बी=सी
ए– विभाज्य,
बी-विभाजक,
सी- निजी।

तो विभाजन क्या है?

विभाजन- यह एक कारक की व्युत्क्रम क्रिया है, हम दूसरा कारक ढूंढ सकते हैं।

भाग की जाँच गुणन द्वारा की जाती है, अर्थात:
ए: बी= सी, साथ जांचें⋅बी= ए
18:9=2, 2⋅9=18 जांचें

अज्ञात गुणक.

आइए समस्या पर विचार करें:
प्रत्येक पैकेज में क्रिसमस गेंदों के 3 टुकड़े होते हैं। क्रिसमस ट्री को सजाने के लिए हमें 30 गेंदों की आवश्यकता होगी। हमें क्रिसमस गेंदों के कितने पैकेज चाहिए?

समाधान:
x - गेंदों के पैकेजों की अज्ञात संख्या।
गुब्बारे के एक पैकेज में 3 टुकड़े।
30 - कुल गेंदें।

x⋅3=30 हमें कुल 30 प्राप्त करने के लिए 3 को कई बार लेने की आवश्यकता है। x एक अज्ञात कारक है। वह है, अज्ञात को खोजने के लिए आपको उत्पाद को ज्ञात कारक से विभाजित करना होगा।
x=30:3
एक्स=10.

उत्तर: गुब्बारों के 10 पैक।

अज्ञात लाभांश.

आइए समस्या पर विचार करें:
प्रत्येक पैकेज में 6 रंगीन पेंसिलें हैं। कुल 3 पैक हैं. पैकेजों में रखे जाने से पहले कुल कितनी पेंसिलें थीं?

समाधान:
x – कुल पेंसिलें,
प्रत्येक पैकेज में 6 पेंसिलें,
3 - पेंसिल के पैक.

आइए समस्या के समीकरण को विभाजन रूप में लिखें।
एक्स:6=3
x अज्ञात लाभांश है। अज्ञात लाभांश ज्ञात करने के लिए, आपको भागफल को भाजक से गुणा करना होगा।
x=3⋅6
एक्स=18

उत्तर: 18 पेंसिलें।

अज्ञात भाजक.

आइए समस्या पर नजर डालें:
दुकान में 15 गेंदें थीं। दिन के दौरान, 5 ग्राहक स्टोर पर आए। खरीददारों ने बराबर संख्या में गेंदें खरीदीं। प्रत्येक ग्राहक ने कितने गुब्बारे खरीदे?

समाधान:
x - एक खरीदार द्वारा खरीदी गई गेंदों की संख्या,
5 – खरीददारों की संख्या,
15 - गेंदों की संख्या.
आइए समस्या के समीकरण को विभाजन रूप में लिखें:
15:x=5
x – इस समीकरण में एक अज्ञात भाजक है. अज्ञात भाजक ज्ञात करने के लिए, हम लाभांश को भागफल से विभाजित करते हैं।
x=15:5
एक्स=3

उत्तर: प्रत्येक खरीदार के लिए 3 गेंदें।

किसी प्राकृत संख्या को एक से विभाजित करने के गुण।

विभाजन नियम:
किसी भी संख्या को 1 से विभाजित करने पर वही संख्या प्राप्त होती है।

7:1=7
ए:1= ए

किसी प्राकृत संख्या को शून्य से विभाजित करने के गुण।

आइए एक उदाहरण देखें: 6:2=3, आप 2⋅3=6 को गुणा करके जांच सकते हैं कि हमने सही ढंग से विभाजित किया है या नहीं।
यदि हम 3:0 हैं, तो हम जाँच नहीं कर पाएंगे, क्योंकि किसी भी संख्या को शून्य से गुणा करने पर शून्य ही आएगा। इसलिए, 3:0 रिकॉर्ड करने का कोई मतलब नहीं है।
विभाजन नियम:
आप शून्य से भाग नहीं दे सकते.

शून्य को किसी प्राकृत संख्या से विभाजित करने के गुण।

0:3=0 यह प्रविष्टि समझ में आती है। यदि हम किसी भी चीज़ को तीन भागों में बाँटें तो हमें कुछ नहीं मिलता।
0: ए=0
विभाजन नियम:
शून्य के बराबर न होने वाली किसी प्राकृतिक संख्या से 0 को विभाजित करने पर परिणाम हमेशा 0 ही होगा।

समान संख्याओं को विभाजित करने का गुण.

3:3=1
ए: ए=1
विभाजन नियम:
किसी भी संख्या को, जो शून्य के बराबर नहीं है, विभाजित करने पर परिणाम 1 होगा।

"डिवीजन" विषय पर प्रश्न:

प्रविष्टि a:b=c में, यहाँ भागफल क्या है?
उत्तर: ए:बी और सी।

निजी क्या है?
उत्तर: भागफल दर्शाता है कि लाभांश भाजक से कितनी गुना अधिक है।

m के किस मान पर प्रविष्टि 0⋅m=5 है?
उत्तर: जब शून्य से गुणा किया जाता है, तो उत्तर हमेशा 0 होगा। प्रविष्टि का कोई मतलब नहीं है।

क्या ऐसा कोई n है कि 0⋅n=0?
उत्तर: हाँ, प्रविष्टि समझ में आती है। जब किसी संख्या को 0 से गुणा किया जाता है, तो वह 0 होगी, इसलिए n कोई संख्या है।

उदाहरण #1:
व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: a) 0:41 b) 41:41 c) 41:1
उत्तर: ए) 0:41=0 बी) 41:41=1 सी) 41:1=41

उदाहरण #2:
चर के किन मानों के लिए समानता सत्य है: a) x:6=8 b) 54:x=9

a) x - इस उदाहरण में विभाज्य है। लाभांश ज्ञात करने के लिए, आपको भागफल को भाजक से गुणा करना होगा।
एक्स - अज्ञात लाभांश,
6 - भाजक,
8 - भागफल.
x=8⋅6
एक्स=48

बी) 54 - लाभांश,
x एक भाजक है,
9 - भागफल.
अज्ञात भाजक खोजने के लिए, आपको लाभांश को भागफल से विभाजित करना होगा।
x=54:9
एक्स=6

कार्य #1:
साशा के 15 अंक हैं और मिशा के 45 अंक हैं। मीशा के पास साशा से कितने गुना अधिक टिकटें हैं?
समाधान:
समस्या को दो तरीकों से हल किया जा सकता है। पहला तरीका:
15+15+15=45
45 प्राप्त करने के लिए 3 अंक 15 लगते हैं, इसलिए, मिशा के पास साशा से 3 गुना अधिक अंक हैं।
दूसरा तरीका:
45:15=3

उत्तर: मीशा के पास साशा से 3 गुना अधिक टिकटें हैं।

एकल-अंकीय प्राकृतिक संख्याओं को आपके दिमाग में विभाजित करना आसान है। लेकिन बहु-अंकीय संख्याओं को कैसे विभाजित किया जाए? यदि किसी संख्या में पहले से ही दो से अधिक अंक हैं, तो मानसिक गणना में बहुत समय लग सकता है, और बहु-अंकीय संख्याओं के साथ संचालन करते समय त्रुटियों की संभावना बढ़ जाती है।

स्तंभ विभाजन एक सुविधाजनक तरीका है जिसका उपयोग अक्सर बहु-अंकीय प्राकृतिक संख्याओं को विभाजित करने के लिए किया जाता है। यह वह विधि है जिसके लिए यह लेख समर्पित है। नीचे हम देखेंगे कि दीर्घ विभाजन कैसे करें। सबसे पहले, आइए एक बहु-अंकीय संख्या को एक-अंकीय संख्या से एक कॉलम में विभाजित करने के लिए एल्गोरिदम को देखें, और फिर - बहु-अंकीय संख्या को बहु-अंकीय संख्या से विभाजित करने के लिए एल्गोरिदम को देखें। सिद्धांत के अलावा, लेख लंबे विभाजन के व्यावहारिक उदाहरण प्रदान करता है।

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चौकोर कागज पर नोट रखना सबसे सुविधाजनक है, क्योंकि गणना करते समय रेखाएं आपको अंकों में भ्रमित होने से बचाएंगी। सबसे पहले, लाभांश और भाजक को एक पंक्ति में बाएँ से दाएँ लिखा जाता है, और फिर अलग किया जाता है विशेष चिन्हएक कॉलम में विभाजित करना जो इस प्रकार दिखता है:

मान लीजिए कि हमें 6105 को 55 से विभाजित करना है, आइए लिखें:

हम लाभांश के नीचे मध्यवर्ती गणना लिखेंगे, और परिणाम भाजक के नीचे लिखा जाएगा। सामान्य तौर पर, स्तंभ विभाजन योजना इस तरह दिखती है:

कृपया याद रखें कि गणना के लिए पृष्ठ पर खाली स्थान की आवश्यकता होगी। इसके अलावा, से अधिक अंतरलाभांश और भाजक अंकों में, जितनी अधिक गणनाएँ होंगी।

उदाहरण के लिए, संख्या 614,808 और 51,234 को विभाजित करने पर संख्या 8,058 को 4 से विभाजित करने की तुलना में कम जगह की आवश्यकता होगी। हालांकि दूसरे मामले में संख्याएं छोटी हैं, अंकों की संख्या में अंतर बड़ा है, और गणना अधिक बोझिल होगी। आइए इसे स्पष्ट करें:

इस पर व्यावहारिक कौशल का अभ्यास करना सबसे सुविधाजनक है सरल उदाहरण. इसलिए, आइए संख्या 8 और 2 को एक कॉलम में विभाजित करें। बेशक, यह ऑपरेशन आपके दिमाग में या गुणन सारणी का उपयोग करके करना आसान है, लेकिन इसे अंजाम देना आसान है विस्तृत विश्लेषणयह स्पष्टता के लिए उपयोगी होगा, हालाँकि हम पहले से ही जानते हैं कि 8 ÷ 2 = 4।

तो, सबसे पहले हम कॉलम विभाजन विधि के अनुसार लाभांश और भाजक लिखते हैं।

अगला कदम यह पता लगाना है कि लाभांश में कितने विभाजक हैं। यह कैसे करें? हम विभाजक को क्रमिक रूप से 0, 1, 2, 3 से गुणा करते हैं। . हम ऐसा तब तक करते हैं जब तक परिणाम लाभांश के बराबर या उससे अधिक संख्या में न आ जाए। यदि परिणाम तुरंत लाभांश के बराबर संख्या में आता है, तो भाजक के नीचे हम वह संख्या लिखते हैं जिससे भाजक को गुणा किया गया था।

अन्यथा, जब हमें लाभांश से अधिक संख्या मिलती है, तो भाजक के नीचे हम अंतिम चरण में गणना की गई संख्या लिखते हैं। अपूर्ण भागफल के स्थान पर हम वह संख्या लिखते हैं जिससे अंतिम चरण में भाजक को गुणा किया गया था।

आइए उदाहरण पर वापस जाएं।

2 · 0 = 0 ; 2 · 1 = 2 ; 2 · 2 = 4 ; 2 · 3 = 6 ; 2 4 = 8

तो, हमें तुरंत लाभांश के बराबर नंबर मिल गया। हम इसे लाभांश के अंतर्गत लिखते हैं, और संख्या 4, जिससे हमने भाजक को गुणा किया था, को भागफल के स्थान पर लिखते हैं।

अब जो कुछ बचा है वह भाजक के अंतर्गत संख्याओं को घटाना है (कॉलम विधि का उपयोग करके भी)। हमारे मामले में, 8 - 8 = 0.

यह उदाहरण- शेषफल के बिना संख्याओं का विभाजन। घटाने के बाद प्राप्त संख्या भाग का शेषफल होती है। यदि यह शून्य के बराबर है, तो संख्याएँ बिना किसी शेषफल के विभाजित हो जाती हैं।

आइए अब एक उदाहरण देखें जहां संख्याओं को शेषफल से विभाजित किया जाता है। प्राकृत संख्या 7 को प्राकृत संख्या 3 से विभाजित करें।

इस मामले में, क्रमिक रूप से तीन को 0, 1, 2, 3 से गुणा करना। . परिणामस्वरूप हमें यह मिलता है:

3 0 = 0< 7 ; 3 · 1 = 3 < 7 ; 3 · 2 = 6 < 7 ; 3 · 3 = 9 > 7

लाभांश के अंतर्गत हम अंतिम चरण में प्राप्त संख्या को लिखते हैं। भाजक का उपयोग करके हम संख्या 2 लिखते हैं - अंतिम चरण में प्राप्त अपूर्ण भागफल। जब हमें 6 प्राप्त हुआ तो हमने भाजक को दो से गुणा किया।

ऑपरेशन पूरा करने के लिए, 7 में से 6 घटाएं और प्राप्त करें:

यह उदाहरण संख्याओं को शेषफल से विभाजित कर रहा है। आंशिक भागफल 2 है और शेषफल 1 है।

अब, प्रारंभिक उदाहरणों पर विचार करने के बाद, आइए बहु-अंकीय प्राकृतिक संख्याओं को एकल-अंकीय संख्याओं में विभाजित करने की ओर बढ़ें।

हम बहु-अंकीय संख्या 140288 को संख्या 4 से विभाजित करने के उदाहरण का उपयोग करके स्तंभ विभाजन एल्गोरिथ्म पर विचार करेंगे। आइए तुरंत कहें कि व्यावहारिक उदाहरणों का उपयोग करके विधि के सार को समझना बहुत आसान है, और यह उदाहरण संयोग से नहीं चुना गया था, क्योंकि यह एक कॉलम में प्राकृतिक संख्याओं को विभाजित करने की सभी संभावित बारीकियों को दर्शाता है।

1. संख्याओं को विभाजन चिह्न सहित एक कॉलम में लिखें। अब लाभांश अंकन में बाईं ओर पहला अंक देखें। दो स्थितियाँ संभव हैं: इस अंक द्वारा परिभाषित संख्या भाजक से अधिक है, और इसके विपरीत। पहले मामले में, हम इस संख्या के साथ काम करते हैं, दूसरे में, हम अतिरिक्त रूप से लाभांश रिकॉर्ड में अगला अंक लेते हैं और संबंधित के साथ काम करते हैं दोहरे अंक वाली संख्या. इस बिंदु के अनुसार, आइए उदाहरण रिकॉर्ड में उस संख्या पर प्रकाश डालें जिसके साथ हम प्रारंभ में काम करेंगे। यह संख्या 14 है क्योंकि लाभांश 1 का पहला अंक भाजक 4 से कम है।

2. निर्धारित करें कि परिणामी संख्या में अंश कितनी बार समाहित है। आइए इस संख्या को x = 14 के रूप में निरूपित करें। हम प्राकृतिक संख्याओं की श्रृंखला के प्रत्येक सदस्य द्वारा विभाजक 4 को क्रमिक रूप से गुणा करते हैं, जिसमें शून्य भी शामिल है: 0, 1, 2, 3 इत्यादि। हम ऐसा तब तक करते हैं जब तक हमें परिणामस्वरूप x या x से बड़ी कोई संख्या नहीं मिल जाती। जब गुणन का परिणाम संख्या 14 हो तो हम इसे एक कॉलम में घटाव लिखने के नियमों के अनुसार हाइलाइट की गई संख्या के नीचे लिखते हैं। जिस गुणनखंड से भाजक को गुणा किया गया था वह भाजक के नीचे लिखा जाता है। यदि गुणन का परिणाम x से बड़ी संख्या है, तो हाइलाइट की गई संख्या के नीचे हम अंतिम चरण में प्राप्त संख्या लिखते हैं, और अपूर्ण भागफल के स्थान पर (भाजक के नीचे) हम वह कारक लिखते हैं जिसके द्वारा गुणन किया गया था अंतिम चरण पर.

एल्गोरिथम के अनुसार हमारे पास:

4 0 = 0< 14 ; 4 · 1 = 4 < 14 ; 4 · 2 = 8 < 14 ; 4 · 3 = 12 < 14 ; 4 · 4 = 16 > 14 .

हाइलाइट की गई संख्या के अंतर्गत हम अंतिम चरण में प्राप्त संख्या 12 लिखते हैं। भागफल के स्थान पर हम गुणनखंड 3 लिखते हैं।

3. एक कॉलम का उपयोग करके 14 में से 12 घटाएं, और परिणाम को क्षैतिज रेखा के नीचे लिखें। पहले बिंदु के अनुरूप, हम परिणामी संख्या की तुलना भाजक से करते हैं।

4. नंबर 2 कम संख्या 4, इसलिए हम दोनों के बाद क्षैतिज रेखा के नीचे लाभांश के अगले अंक में स्थित संख्या लिखते हैं। यदि लाभांश में अधिक अंक न हों तो विभाजन संक्रिया समाप्त हो जाती है। हमारे उदाहरण में, पिछले पैराग्राफ में प्राप्त संख्या 2 के बाद, हम लाभांश का अगला अंक - 0 लिखते हैं। परिणामस्वरूप, हम कुछ नया मनाते हैं कार्य संख्या - 20 .

महत्वपूर्ण!

अंक 2 - 4 को एक स्तंभ द्वारा प्राकृतिक संख्याओं को विभाजित करने की प्रक्रिया के अंत तक चक्रीय रूप से दोहराया जाता है।

2. आइए फिर से गिनें कि संख्या 20 में कितने भाजक समाहित हैं। 4 को 0, 1, 2, 3 से गुणा करना. . हम पाते हैं:

चूँकि परिणामस्वरूप हमें 20 के बराबर एक संख्या प्राप्त हुई, हम इसे अंकित संख्या के नीचे लिखते हैं, और भागफल के स्थान पर, अगले अंक में, हम 5 लिखते हैं - वह कारक जिसके द्वारा गुणन किया गया था।

3. हम एक कॉलम में घटाव करते हैं। चूँकि संख्याएँ समान हैं, परिणाम शून्य संख्या है: 20 - 20 = 0.

4. हम संख्या शून्य नहीं लिखेंगे, क्योंकि यह चरण विभाजन का अंत नहीं है। आइए बस उस स्थान को याद रखें जहां हम इसे लिख सकते हैं और इसके आगे लाभांश के अगले अंक की संख्या लिख सकते हैं। हमारे मामले में, संख्या 2 है.

हम इस संख्या को एक कार्यशील संख्या के रूप में लेते हैं और फिर से एल्गोरिदम के चरणों को पूरा करते हैं।

2. भाजक को 0, 1, 2, 3 से गुणा करें। . और परिणाम की तुलना अंकित संख्या से करें।

4 0 = 0< 2 ; 4 · 1 = 4 > 2

तदनुसार, अंकित संख्या के नीचे हम संख्या 0 लिखते हैं, और भागफल के अगले अंक में भाजक के नीचे भी हम 0 लिखते हैं।

3. घटाव संक्रिया करें और परिणाम को पंक्ति के नीचे लिखें।

4. रेखा के नीचे दाईं ओर संख्या 8 जोड़ें, क्योंकि यह विभाजित होने वाली संख्या का अगला अंक है।

इस प्रकार, हमें एक नया कामकाजी नंबर मिलता है - 28। हम एल्गोरिदम के बिंदुओं को दोबारा दोहराते हैं।

सब कुछ नियमों के अनुसार करने पर हमें परिणाम मिलता है:

हम लाभांश के अंतिम अंक को रेखा - 8 के नीचे ले जाते हैं। में पिछली बारहम एल्गोरिथम बिंदु 2 - 4 दोहराते हैं और प्राप्त करते हैं:

सबसे निचली पंक्ति में हम संख्या 0 लिखते हैं। यह संख्या विभाजन के अंतिम चरण में ही लिखी जाती है, जब ऑपरेशन पूरा हो जाता है।

इस प्रकार, संख्या 140228 को 4 से विभाजित करने पर प्राप्त परिणाम संख्या 35072 है। इस उदाहरण का बहुत विस्तार से विश्लेषण किया गया है, और व्यावहारिक कार्यों को हल करते समय सभी क्रियाओं का इतनी गहनता से वर्णन करने की आवश्यकता नहीं है।

हम संख्याओं को एक कॉलम में विभाजित करने के अन्य उदाहरण और समाधान लिखने के उदाहरण देंगे।

उदाहरण 1. प्राकृत संख्याओं का स्तम्भ विभाजन

प्राकृत संख्या 7136 को प्राकृत संख्या 9 से भाग दें।

एल्गोरिथम के दूसरे, तीसरे और चौथे चरण के बाद, रिकॉर्ड यह रूप लेगा:

आइए चक्र को दोहराएं:

अंतिम पास, और हम परिणाम पढ़ते हैं:

उत्तर: 7136 और 9 का आंशिक भागफल 792 है और शेषफल 8 है।

व्यावहारिक उदाहरणों को हल करते समय, मौखिक टिप्पणियों के रूप में स्पष्टीकरण का बिल्कुल भी उपयोग नहीं करना आदर्श है।

उदाहरण 2. प्राकृतिक संख्याओं को एक कॉलम में विभाजित करना

संख्या 7042035 को 7 से विभाजित करें।

उत्तर: 1006005

बहु-अंकीय संख्याओं को एक कॉलम में विभाजित करने के लिए एल्गोरिदम एक बहु-अंकीय संख्या को एकल-अंकीय संख्या से विभाजित करने के लिए पहले चर्चा किए गए एल्गोरिदम के समान है। अधिक सटीक होने के लिए, परिवर्तन केवल पहले बिंदु की चिंता करते हैं, जबकि बिंदु 2 - 4 अपरिवर्तित रहते हैं।
यदि, एकल-अंकीय संख्या से विभाजित करते समय, हमने केवल लाभांश के पहले अंक को देखा, तो अब हम उतने ही अंकों को देखेंगे, जितने भाजक में हैं, जब इन अंकों द्वारा निर्धारित संख्या भाजक से अधिक होती है। हम इसे कार्यशील संख्या के रूप में लेते हैं। अन्यथा, हम लाभांश के अगले अंक से एक और अंक जोड़ते हैं। फिर हम ऊपर वर्णित एल्गोरिदम के चरणों का पालन करते हैं।

आइए एक उदाहरण का उपयोग करके बहु-अंकीय संख्याओं को विभाजित करने के लिए एल्गोरिदम के अनुप्रयोग पर विचार करें।

उदाहरण 3. प्राकृतिक संख्याओं को एक कॉलम में विभाजित करना

आइए 5562 को 206 से विभाजित करें।

भाजक में तीन चिह्न होते हैं, तो चलिए तुरंत लाभांश में संख्या 556 का चयन करें।
556 > 206, इसलिए हम इस संख्या को एक कार्यशील संख्या के रूप में लेते हैं और एग्लोरिटम के बिंदु 2 पर आगे बढ़ते हैं।
206 को 0, 1, 2, 3 से गुणा करें। . और हमें मिलता है:

206 0 = 0< 556 ; 206 · 1 = 206 < 556 ; 206 · 2 = 412 < 556 ; 206 · 3 = 618 > 556

618 > 556, इसलिए भाजक के नीचे हम अंतिम क्रिया का परिणाम लिखते हैं, और लाभांश के नीचे हम कारक 2 लिखते हैं

स्तंभ घटाव करें

घटाने के परिणामस्वरूप हमें संख्या 144 प्राप्त होती है। परिणाम के दाईं ओर, रेखा के नीचे, हम लाभांश के संबंधित अंक से संख्या लिखते हैं और एक नया कार्यशील नंबर प्राप्त करते हैं - 1442।