समीकरणों के उदाहरण 5. ऑनलाइन समीकरण

एक अज्ञात के साथ एक समीकरण, जो कोष्ठक खोलने और समान पदों को लाने के बाद, रूप लेता है

कुल्हाड़ी + बी = 0, जहाँ a और b मनमानी संख्याएँ हैं, कहलाती हैं रैखिक समीकरण एक अज्ञात के साथ. आज हम यह पता लगाएंगे कि इन रैखिक समीकरणों को कैसे हल किया जाए।

उदाहरण के लिए, सभी समीकरण:

2x + 3= 7 – 0.5x; 0.3x = 0; x/2 + 3 = 1/2 (x – 2) - रैखिक।

अज्ञात का वह मान जो समीकरण को वास्तविक समानता में बदल देता है, कहलाता है फ़ैसला या समीकरण की जड़ .

उदाहरण के लिए, यदि समीकरण 3x + 7 = 13 में अज्ञात x के स्थान पर हम संख्या 2 रखते हैं, तो हमें सही समानता 3 2 +7 = 13 प्राप्त होती है। इसका मतलब है कि मान x = 2 समाधान या मूल है समीकरण का.

और मान x = 3 समीकरण 3x + 7 = 13 को वास्तविक समानता में नहीं बदलता है, क्योंकि 3 2 +7 ≠ 13. इसका मतलब यह है कि मान x = 3 कोई समाधान या समीकरण का मूल नहीं है।

किसी का समाधान रेखीय समीकरणप्रपत्र के समीकरणों को हल करना कम कर देता है

कुल्हाड़ी + बी = 0.

आइए समीकरण के बाईं ओर से मुक्त पद को दाईं ओर ले जाएं, b के सामने के चिह्न को विपरीत दिशा में बदलते हुए, हमें मिलता है

यदि a ≠ 0, तो x = ‒ b/a .

उदाहरण 1. समीकरण 3x + 2 =11 को हल करें.

आइए 2 को समीकरण के बाईं ओर से दाईं ओर ले जाएं, 2 के सामने के चिह्न को विपरीत दिशा में बदलते हुए, हमें मिलता है
3x = 11 – 2.

तो चलिए घटाव करते हैं
3x = 9.

x ज्ञात करने के लिए, आपको गुणनफल को किसी ज्ञात कारक से विभाजित करना होगा, अर्थात
एक्स = 9:3.

इसका अर्थ यह है कि मान x = 3 समीकरण का हल या मूल है।

उत्तर: एक्स = 3.

यदि a = 0 और b = 0, तो हमें समीकरण 0x = 0 मिलता है। इस समीकरण के अनंत रूप से कई समाधान हैं, क्योंकि जब हम किसी संख्या को 0 से गुणा करते हैं तो हमें 0 मिलता है, लेकिन b भी 0 के बराबर होता है। इस समीकरण का समाधान कोई भी संख्या है।

उदाहरण 2.समीकरण 5(x – 3) + 2 = 3 (x – 4) + 2x ‒ 1 को हल करें।

आइए कोष्ठक का विस्तार करें:
5x – 15 + 2 = 3x – 12 + 2x ‒ 1.

5x – 3x ‒ 2x = – 12 ‒ 1 + 15 ‒ 2.

यहां कुछ समान शब्द दिए गए हैं:
0x = 0.

उत्तर: x - कोई भी संख्या.

यदि a = 0 और b ≠ 0, तो हमें समीकरण 0x = - b प्राप्त होता है। इस समीकरण का कोई हल नहीं है, क्योंकि जब हम किसी संख्या को 0 से गुणा करते हैं तो हमें 0 मिलता है, लेकिन b ≠ 0 मिलता है।

उदाहरण 3.समीकरण x + 8 = x + 5 को हल करें।

आइए बायीं तरफ अज्ञात वाले शब्दों को और दायीं तरफ मुक्त शब्दों को समूहित करें:
एक्स - एक्स = 5 - 8.

यहां कुछ समान शब्द दिए गए हैं:
0х = ‒3.

उत्तर: कोई समाधान नहीं.

पर चित्र 1 एक रैखिक समीकरण को हल करने के लिए एक आरेख दिखाता है

आइए एक चर वाले समीकरणों को हल करने के लिए एक सामान्य योजना बनाएं। आइए उदाहरण 4 के समाधान पर विचार करें।

उदाहरण 4. मान लीजिए हमें समीकरण हल करना है

1) समीकरण के सभी पदों को 12 के बराबर हर के लघुत्तम समापवर्त्य से गुणा करें।

2) कटौती के बाद हमें मिलता है
4 (x – 4) + 3 2 (x + 1) ‒ 12 = 6 5 (x – 3) + 24x – 2 (11x + 43)

3) अज्ञात और मुक्त पदों वाले शब्दों को अलग करने के लिए, कोष्ठक खोलें:
4x – 16 + 6x + 6 – 12 = 30x – 90 + 24x – 22x – 86.

4) आइए हम एक भाग में अज्ञात वाले पदों को समूहित करें, और दूसरे भाग में मुक्त पदों को समूहित करें:
4x + 6x – 30x – 24x + 22x = ‒ 90 – 86 + 16 – 6 + 12.

5) आइए हम समान शब्द प्रस्तुत करें:
- 22x = - 154.

6) – 22 से भाग देने पर हमें प्राप्त होता है
एक्स = 7.

जैसा कि आप देख सकते हैं, समीकरण का मूल सात है।

आम तौर पर ऐसे निम्नलिखित योजना का उपयोग करके समीकरणों को हल किया जा सकता है:

ए) समीकरण को उसके पूर्णांक रूप में लाएँ;

बी) कोष्ठक खोलें;

ग) समीकरण के एक भाग में अज्ञात और दूसरे भाग में मुक्त पदों वाले पदों को समूहित करें;

घ) समान सदस्य लाएँ;

ई) aх = b के रूप का एक समीकरण हल करें, जो समान पदों को लाने के बाद प्राप्त किया गया था।

हालाँकि, यह योजना हर समीकरण के लिए आवश्यक नहीं है। कई सरल समीकरणों को हल करते समय, आपको पहले से नहीं, बल्कि दूसरे से शुरुआत करनी होगी ( उदाहरण। 2), तीसरा ( उदाहरण। 1, 3) और यहां तक ​​कि पांचवें चरण से भी, जैसा कि उदाहरण 5 में है।

उदाहरण 5.समीकरण 2x = 1/4 को हल करें।

अज्ञात ज्ञात कीजिए x = 1/4: 2,
एक्स = 1/8 .

आइए मुख्य राज्य परीक्षा में पाए गए कुछ रैखिक समीकरणों को हल करने पर नज़र डालें।

उदाहरण 6.समीकरण 2 (x + 3) = 5 - 6x को हल करें।

2x + 6 = 5 – 6x

2x + 6x = 5 – 6

उत्तर:- 0.125

उदाहरण 7.समीकरण हल करें - 6 (5 - 3x) = 8x - 7.

– 30 + 18x = 8x – 7

18x – 8x = – 7 +30

उत्तर: 2.3

उदाहरण 8. प्रश्न हल करें

3(3x – 4) = 4 7x + 24

9x – 12 = 28x + 24

9x – 28x = 24 + 12

उदाहरण 9.यदि f (x + 2) = 3 7 है तो f(6) ज्ञात कीजिए

समाधान

चूँकि हमें f(6) खोजने की आवश्यकता है, और हम f (x + 2) जानते हैं,
तो x + 2 = 6.

हम रैखिक समीकरण x + 2 = 6 को हल करते हैं,
हमें x = 6 – 2, x = 4 मिलता है।

यदि x = 4 है तो
एफ(6) = 3 7-4 = 3 3 = 27

उत्तर: 27.

यदि आपके पास अभी भी प्रश्न हैं या आप समीकरणों को हल करने को अधिक अच्छी तरह से समझना चाहते हैं, तो अनुसूची में मेरे पाठों के लिए साइन अप करें। मुझे आपकी मदद करने में खुशी होगी!

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जब सबसे महत्वपूर्ण कौशलों में से एक 5वीं कक्षा में प्रवेशसरल समीकरणों को हल करने की क्षमता है. चूंकि 5वीं कक्षा अभी ज्यादा दूर नहीं है प्राथमिक स्कूल, तो इतने प्रकार के समीकरण नहीं हैं जिन्हें एक छात्र हल कर सके। हम आपको सभी बुनियादी प्रकार के समीकरणों से परिचित कराएंगे जिन्हें यदि आप चाहें तो हल करने में सक्षम होना आवश्यक है एक भौतिकी और गणित स्कूल में प्रवेश लें.

टाइप 1: "बल्बस"
ये ऐसे समीकरण हैं जिनसे आपका सामना होने की लगभग संभावना है किसी भी स्कूल में प्रवेशया एक अलग कार्य के रूप में 5वीं कक्षा का क्लब। उन्हें दूसरों से अलग करना आसान है: उनमें चर केवल एक बार मौजूद होता है। उदाहरण के लिए, या.
उन्हें बहुत सरलता से हल किया जाता है: आपको बस अज्ञात तक "पहुंचने" की जरूरत है, धीरे-धीरे उसके चारों ओर मौजूद सभी अनावश्यक चीजों को "हटाने" की जरूरत है - जैसे कि एक प्याज छील रहा हो - इसलिए नाम। इसे हल करने के लिए, बस दूसरी कक्षा के कुछ नियमों को याद रखें। आइए उन सभी को सूचीबद्ध करें:

जोड़ना

1. पद 1 + पद 2 = योग
2. पद 1 = योग - पद 2
3. पद2 = योग - पद1

घटाव

1. मीनूएंड - सबट्रेंड = अंतर
2. मीनुएंड = सबट्रेंड + अंतर
3. सबट्रैहेंड = मीनूएंड - अंतर

गुणा

1. फ़ैक्टर1 * फ़ैक्टर2 = उत्पाद
2. फ़ैक्टर1 = उत्पाद: फ़ैक्टर2
3. फ़ैक्टर2 = उत्पाद: फ़ैक्टर1

विभाजन

1. लाभांश: भाजक = भागफल
2. लाभांश = भाजक * भागफल
3. भाजक = लाभांश: भागफल

आइए इन नियमों को कैसे लागू करें इसका एक उदाहरण देखें।

ध्यान दें कि हम विभाजित कर रहे हैं पर और हम प्राप्त करते हैं। इस स्थिति में, हम भाजक और भागफल को जानते हैं। लाभांश ज्ञात करने के लिए, आपको भाजक को भागफल से गुणा करना होगा:

हम अपने आप से थोड़ा करीब हो गए हैं. अब हम इसे देखते हैं जोड़ा जाता है और यह बन जाता है। इसका मतलब यह है कि किसी एक पद को खोजने के लिए, आपको ज्ञात पद को योग से घटाना होगा:

और अज्ञात से एक और "परत" हटा दी गई है! अब हम स्थिति को देखते हैं ज्ञात मूल्यउत्पाद () और एक ज्ञात कारक ()।

अब स्थिति यह है कि "न्यूएंड-सबट्रेंड=अंतर"

और अंतिम चरण - प्रसिद्ध कार्य() और गुणकों में से एक ()

प्रकार 2: कोष्ठक वाले समीकरण
इस प्रकार के समीकरण अक्सर समस्याओं में पाए जाते हैं - सभी समस्याओं का 90% 5वीं कक्षा में प्रवेश. भिन्न "प्याज समीकरण"यहां चर कई बार प्रकट हो सकता है, इसलिए पिछले पैराग्राफ के तरीकों का उपयोग करके इसे हल करना असंभव है। विशिष्ट समीकरण: या
मुख्य कठिनाई कोष्ठकों को सही ढंग से खोलना है। जब आप इसे सही ढंग से करने में कामयाब हो जाते हैं, तो आपको समान पदों (संख्याओं को संख्याओं, चर को चर) में घटाना चाहिए, और उसके बाद हमें सबसे सरल मिलता है "प्याज समीकरण"जिसे हम सुलझा सकते हैं. लेकिन सबसे पहले चीज़ें.

कोष्ठकों का विस्तार. हम कई नियम देंगे जिनका इस मामले में उपयोग किया जाना चाहिए। लेकिन, जैसा कि अभ्यास से पता चलता है, छात्र 70-80 पूर्ण समस्याओं के बाद ही कोष्ठक को सही ढंग से खोलना शुरू करता है। मूल नियम यह है: कोष्ठक के बाहर के किसी भी कारक को कोष्ठक के अंदर प्रत्येक पद से गुणा किया जाना चाहिए। और कोष्ठक के सामने ऋण चिह्न अंदर के सभी भावों का चिह्न बदल देता है। तो, प्रकटीकरण के बुनियादी नियम:

समान लाना. यहां सब कुछ बहुत आसान है: आपको शर्तों को समान चिह्न के माध्यम से स्थानांतरित करके, यह सुनिश्चित करने की आवश्यकता है कि एक तरफ केवल अज्ञात के साथ शर्तें हैं, और दूसरी तरफ - केवल संख्याएं हैं। मूल नियम यह है: प्रत्येक स्थानांतरित शब्द अपना संकेत बदलता है - यदि यह साथ था, तो यह साथ हो जाएगा, और इसके विपरीत। एक सफल स्थानांतरण के बाद, अज्ञातों की कुल संख्या, चर की तुलना में समानता के दूसरी तरफ की कुल संख्या की गणना करना और एक सरल हल करना आवश्यक है "प्याज समीकरण".

समीकरण एक समानता है जिसमें एक अज्ञात पद - x होता है। इसका अर्थ खोजना होगा.

अज्ञात मात्रा को समीकरण का मूल कहा जाता है। किसी समीकरण को हल करने का अर्थ है उसका मूल खोजना, और ऐसा करने के लिए आपको समीकरणों के गुणों को जानना होगा। ग्रेड 5 के समीकरण कठिन नहीं हैं, लेकिन यदि आप उन्हें सही ढंग से हल करना सीख जाते हैं, तो आपको भविष्य में उनसे कोई समस्या नहीं होगी।

समीकरणों की मुख्य संपत्ति

जब किसी समीकरण के दोनों पक्ष समान मात्रा में बदलते हैं, तो वह समान मूल के साथ वही समीकरण बना रहता है। आइए इस नियम को बेहतर ढंग से समझने के लिए कुछ उदाहरण हल करें।

समीकरण कैसे हल करें: जोड़ या घटाव

मान लीजिए हमारे पास इस रूप का एक समीकरण है:

• a + x = b - यहाँ a और b संख्याएँ हैं, और x समीकरण का अज्ञात पद है।

यदि हम समीकरण के दोनों पक्षों में मान c जोड़ते हैं (या उनमें से घटाते हैं), तो यह नहीं बदलेगा:

• ए + एक्स + सी = बी + सी
• ए + एक्स - सी = बी - सी.

उदाहरण 1

आइए समीकरण को हल करने के लिए इस गुण का उपयोग करें:

• 37+x=51

दोनों ओर से संख्या 37 घटाएँ:

• 37+x-37=51-37

हम पाते हैं:

• x=51-37.

समीकरण का मूल x=14 है.

यदि हम अंतिम समीकरण को ध्यान से देखें तो हम देख सकते हैं कि यह पहले समीकरण के समान ही है। हमने बस पद 37 को समीकरण के एक तरफ से दूसरे तरफ ले जाया, प्लस को माइनस से बदल दिया।

इससे पता चलता है कि किसी भी संख्या को समीकरण के एक भाग से दूसरे भाग में विपरीत चिह्न के साथ स्थानांतरित किया जा सकता है।

उदाहरण 2

• 37+x=37+22

आइए वही क्रिया करें, संख्या 37 को समीकरण के बाईं ओर से दाईं ओर ले जाएँ:

• x=37-37+22

चूँकि 37-37=0, हम बस इसे घटाते हैं और प्राप्त करते हैं:

• एक्स =22.

समान चिह्न वाले समीकरण के समान पद, में स्थित होते हैं अलग-अलग हिस्सेसमीकरणों को छोटा (छोटा) किया जा सकता है।

समीकरणों को गुणा और भाग करना

समानता के दोनों पक्षों को एक ही संख्या से गुणा या विभाजित भी किया जा सकता है:

यदि समानता a = b को c से विभाजित या गुणा किया जाता है, तो यह नहीं बदलता है:

• ए/सी = बी/सी,
• एसी = बी.एस.यू.

उदाहरण 3

• 5x = 20

आइए समीकरण के दोनों पक्षों को 5 से विभाजित करें:

• 5x/5 = 20/5.

चूँकि 5/5 = 1, हम समीकरण के बाईं ओर इन गुणक और भाजक को कम करते हैं और प्राप्त करते हैं:

• x = 20/5, x=4

उदाहरण 4

• 5x = 5ए

यदि समीकरण के दोनों पक्षों को 5 से विभाजित किया जाए, तो हमें प्राप्त होता है:

• 5x/5 = 5a/5.

बाएँ और दाएँ पक्षों के अंश और हर में 5 रद्द कर दिया जाता है, जिसके परिणामस्वरूप x = a होता है। इसका मतलब यह है कि समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्षों पर समान कारक रद्द हो जाते हैं।

आइए एक और उदाहरण हल करें:

• 13 + 2x = 21

हम समीकरण के बाईं ओर से विपरीत चिह्न के साथ पद 13 को दाईं ओर ले जाते हैं:

• 2x = 21 - 13
• 2x = 8.

समीकरण के दोनों पक्षों को 2 से विभाजित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

• एक्स = 4.