आइए हमें रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली दी जाए अज्ञात:

हम मान लेंगे कि मुख्य मैट्रिक्स गैर पतित. फिर, प्रमेय 3.1 के अनुसार, एक व्युत्क्रम मैट्रिक्स मौजूद है
मैट्रिक्स समीकरण को गुणा करना
मैट्रिक्स के लिए
बाईं ओर, प्रमेय 1.1 की परिभाषा 3.2, साथ ही कथन 8) का उपयोग करते हुए, हम वह सूत्र प्राप्त करते हैं जिस पर रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए मैट्रिक्स विधि आधारित है:

टिप्पणी। ध्यान दें कि गॉस विधि के विपरीत, रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए मैट्रिक्स विधि का अनुप्रयोग सीमित है: यह विधि केवल रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल कर सकती है, जिसके लिए, सबसे पहले, अज्ञात की संख्या समीकरणों की संख्या के बराबर है, और दूसरे, मुख्य मैट्रिक्स गैर-एकवचन है।

उदाहरण। मैट्रिक्स विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें।

तीन अज्ञात के साथ तीन रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली दी गई है
कहाँ

समीकरणों की प्रणाली का मुख्य मैट्रिक्स गैर-एकवचन है, क्योंकि इसका सारणिक गैर-शून्य है:

उलटा मैट्रिक्स
आइए अनुच्छेद 3 में वर्णित विधियों में से किसी एक का उपयोग करके रचना करें।

रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए मैट्रिक्स विधि के सूत्र का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं

5.3. क्रैमर विधि

यह विधि, मैट्रिक्स विधि की तरह, केवल रैखिक समीकरणों की प्रणालियों के लिए लागू होती है जिसमें अज्ञात की संख्या समीकरणों की संख्या के साथ मेल खाती है। क्रैमर की विधि इसी नाम के प्रमेय पर आधारित है:

प्रमेय 5.2. प्रणाली के साथ रैखिक समीकरण अज्ञात

जिसका मुख्य मैट्रिक्स गैर-एकवचन है, उसका एक अनूठा समाधान है जिसे सूत्रों का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है

कहाँ
आधार मैट्रिक्स से प्राप्त मैट्रिक्स का निर्धारक इसे प्रतिस्थापित करके समीकरणों की प्रणाली
मुफ़्त सदस्यों के कॉलम वाला वां कॉलम।

उदाहरण। आइए क्रैमर विधि का उपयोग करके पिछले उदाहरण में विचार किए गए रैखिक समीकरणों की प्रणाली का समाधान खोजें। समीकरणों की प्रणाली का मुख्य मैट्रिक्स गैर-पतित है, क्योंकि
आइए निर्धारकों की गणना करें

प्रमेय 5.2 में प्रस्तुत सूत्रों का उपयोग करके, हम अज्ञात के मूल्यों की गणना करते हैं:

6. रैखिक समीकरणों की प्रणालियों का अध्ययन।

मूल समाधान

रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली का अध्ययन करने का अर्थ है यह निर्धारित करना कि यह प्रणाली संगत है या असंगत, और यदि यह संगत है, तो यह पता लगाना कि यह प्रणाली निश्चित है या अनिश्चित है।

रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली के लिए अनुकूलता की स्थिति निम्नलिखित प्रमेय द्वारा दी गई है

प्रमेय 6.1 (क्रोनकर-कैपेली)।

रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली सुसंगत होती है यदि और केवल तभी जब सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स की रैंक उसके विस्तारित मैट्रिक्स की रैंक के बराबर हो:

रैखिक समीकरणों की एक युगपत प्रणाली के लिए, इसकी निश्चितता या अनिश्चितता का प्रश्न निम्नलिखित प्रमेयों का उपयोग करके हल किया जाता है।

प्रमेय 6.2. यदि किसी संयुक्त प्रणाली के मुख्य मैट्रिक्स की रैंक अज्ञात की संख्या के बराबर है, तो प्रणाली निश्चित है

प्रमेय 6.3. यदि किसी संयुक्त प्रणाली के मुख्य मैट्रिक्स की रैंक अज्ञात की संख्या से कम है, तो प्रणाली अनिश्चित है।

इस प्रकार, तैयार किए गए प्रमेयों से रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणालियों का अध्ययन करने की एक विधि का अनुसरण किया जाता है। होने देना एन- अज्ञात की संख्या,

तब:

परिभाषा 6.1. रैखिक समीकरणों की अनिश्चित प्रणाली का मूल समाधान एक ऐसा समाधान है जिसमें सभी मुक्त अज्ञात शून्य के बराबर होते हैं।

उदाहरण। रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली का अन्वेषण करें। यदि सिस्टम अनिश्चित है, तो इसका मूल समाधान खोजें।

आइए मुख्य की रैंकों की गणना करें और विस्तारित मैट्रिक्स समीकरणों की इस प्रणाली के लिए, जिसके लिए हम सिस्टम के विस्तारित (और साथ ही मुख्य) मैट्रिक्स को चरणबद्ध रूप में लाते हैं:

मैट्रिक्स की दूसरी पंक्ति को उसकी पहली पंक्ति से गुणा करके जोड़ें तीसरी पंक्ति - पहली पंक्ति से गुणा करके
और चौथी पंक्ति - पहली से गुणा की गई हमें एक मैट्रिक्स मिलता है

इस मैट्रिक्स की तीसरी पंक्ति में हम दूसरी पंक्ति को गुणा करके जोड़ते हैं
और चौथी पंक्ति तक - पहली, से गुणा
परिणामस्वरूप, हमें मैट्रिक्स मिलता है

तीसरी और चौथी पंक्तियों को हटाना जिससे हमें एक स्टेप मैट्रिक्स मिलता है

इस प्रकार,

नतीजतन, रैखिक समीकरणों की यह प्रणाली सुसंगत है, और चूंकि रैंक मान अज्ञात की संख्या से कम है, इसलिए प्रणाली अनिश्चित है, प्राथमिक परिवर्तनों के परिणामस्वरूप प्राप्त चरण मैट्रिक्स समीकरणों की प्रणाली से मेल खाता है

अज्ञात और मुख्य हैं, और अज्ञात हैं और
मुक्त। मुक्त अज्ञात को शून्य मान निर्दिष्ट करके, हम रैखिक समीकरणों की इस प्रणाली का एक मूल समाधान प्राप्त करते हैं।

n अज्ञात के साथ m रैखिक समीकरणों की एक प्रणालीप्रपत्र की एक प्रणाली कहलाती है

कहाँ एक आई.जेऔर बी मैं (मैं=1,…,एम; बी=1,…,एन) कुछ ज्ञात संख्याएँ हैं, और एक्स 1 ,…,एक्स एन- अज्ञात। गुणांकों के पदनाम में एक आई.जेपहला सूचकांक मैंसमीकरण संख्या को दर्शाता है, और दूसरा जे- अज्ञात की संख्या जिस पर यह गुणांक खड़ा है।

हम अज्ञात के लिए गुणांकों को एक मैट्रिक्स के रूप में लिखेंगे , जिसे हम कहेंगे सिस्टम का मैट्रिक्स.

समीकरण के दाईं ओर संख्याएँ हैं बी 1 ,…,बी एमकहा जाता है मुफ़्त सदस्य.

समग्रता एननंबर सी 1 ,…,सी एनबुलाया फ़ैसलाकिसी दिए गए सिस्टम का, यदि सिस्टम का प्रत्येक समीकरण इसमें संख्याओं को प्रतिस्थापित करने के बाद एक समानता बन जाता है सी 1 ,…,सी एनसंगत अज्ञात के बजाय एक्स 1 ,…,एक्स एन.

हमारा काम सिस्टम का समाधान ढूंढना होगा. इस स्थिति में, तीन स्थितियाँ उत्पन्न हो सकती हैं:

रैखिक समीकरणों की वह प्रणाली जिसमें कम से कम एक समाधान हो, कहलाती है संयुक्त. अन्यथा, यानी यदि सिस्टम के पास कोई समाधान नहीं है, तो इसे कहा जाता है गैर संयुक्त.

आइए सिस्टम का समाधान खोजने के तरीकों पर विचार करें।

रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करने के लिए मैट्रिक्स विधि

मैट्रिक्स रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को संक्षेप में लिखना संभव बनाता है। मान लीजिए तीन अज्ञातों के साथ 3 समीकरणों की एक प्रणाली दी गई है:

सिस्टम मैट्रिक्स पर विचार करें और अज्ञात और मुक्त पदों के मैट्रिक्स कॉलम

चलिए काम ढूंढते हैं

वे। उत्पाद के परिणामस्वरूप, हमें इस प्रणाली के समीकरणों के बाएँ पक्ष प्राप्त होते हैं। फिर, मैट्रिक्स समानता की परिभाषा का उपयोग करके, इस प्रणाली को इस रूप में लिखा जा सकता है

या छोटा ए∙एक्स=बी.

यहाँ मैट्रिक्स हैं एऔर बीज्ञात हैं, और मैट्रिक्स एक्सअज्ञात। इसे ढूंढना जरूरी है, क्योंकि... इसके तत्व इस प्रणाली का समाधान हैं। इस समीकरण को कहा जाता है मैट्रिक्स समीकरण.

मान लीजिए मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य से भिन्न है | ए| ≠ 0. फिर मैट्रिक्स समीकरण को निम्नानुसार हल किया जाता है। बायीं ओर समीकरण के दोनों पक्षों को मैट्रिक्स से गुणा करें एक-1, मैट्रिक्स का उलटा ए: . क्योंकि ए -1 ए = ईऔर ई∙एक्स = एक्स, तो हमें फॉर्म में मैट्रिक्स समीकरण का समाधान प्राप्त होता है एक्स = ए -1 बी .

ध्यान दें कि चूंकि व्युत्क्रम मैट्रिक्स केवल वर्ग मैट्रिक्स के लिए पाया जा सकता है, मैट्रिक्स विधि केवल उन प्रणालियों को हल कर सकती है जिनमें समीकरणों की संख्या अज्ञातों की संख्या से मेल खाती है. हालाँकि, सिस्टम की मैट्रिक्स रिकॉर्डिंग उस स्थिति में भी संभव है जब समीकरणों की संख्या अज्ञात की संख्या के बराबर नहीं है, तो मैट्रिक्स एवर्गाकार नहीं होगा और इसलिए फॉर्म में सिस्टम का समाधान ढूंढना असंभव है एक्स = ए -1 बी.

उदाहरण.समीकरणों की प्रणालियों को हल करें.

क्रैमर का नियम

तीन अज्ञातों के साथ 3 रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली पर विचार करें:

सिस्टम मैट्रिक्स के अनुरूप तीसरे क्रम का निर्धारक, यानी। अज्ञात के लिए गुणांकों से बना,

बुलाया प्रणाली के निर्धारक.

आइए निम्नानुसार तीन और निर्धारक बनाएं: निर्धारक डी में क्रमिक रूप से 1, 2 और 3 कॉलम को मुक्त पदों के कॉलम से बदलें।

तब हम निम्नलिखित परिणाम सिद्ध कर सकते हैं।

प्रमेय (क्रैमर का नियम)।यदि सिस्टम का निर्धारक Δ ≠ 0 है, तो विचाराधीन सिस्टम का एक और केवल एक ही समाधान है, और

सबूत. तो, आइए तीन अज्ञात वाले 3 समीकरणों की एक प्रणाली पर विचार करें। आइए सिस्टम के पहले समीकरण को बीजगणितीय पूरक से गुणा करें ए 11तत्व एक 11, दूसरा समीकरण - चालू ए 21और तीसरा - पर ए 31:

आइए इन समीकरणों को जोड़ें:

आइए इस समीकरण के प्रत्येक कोष्ठक और दाएँ पक्ष को देखें। प्रथम स्तंभ के तत्वों में सारणिक के विस्तार पर प्रमेय द्वारा

इसी तरह, यह दिखाया जा सकता है कि और।

अंततः, इसे नोटिस करना आसान है

इस प्रकार, हम समानता प्राप्त करते हैं:।

इस तरह, ।

समानताएँ और समान रूप से व्युत्पन्न होती हैं, जिससे प्रमेय का कथन अनुसरण करता है।

इस प्रकार, हम ध्यान दें कि यदि सिस्टम का निर्धारक Δ ≠ 0 है, तो सिस्टम का एक अद्वितीय समाधान है और इसके विपरीत। यदि सिस्टम का निर्धारक शून्य के बराबर है, तो सिस्टम में या तो अनंत संख्या में समाधान हैं या कोई समाधान नहीं है, यानी। असंगत.

उदाहरण.समीकरणों की प्रणाली को हल करें

गॉस विधि

पहले चर्चा की गई विधियों का उपयोग केवल उन प्रणालियों को हल करने के लिए किया जा सकता है जिनमें समीकरणों की संख्या अज्ञात की संख्या के साथ मेल खाती है, और प्रणाली का निर्धारक शून्य से भिन्न होना चाहिए। गॉस विधि अधिक सार्वभौमिक है और किसी भी संख्या में समीकरण वाले सिस्टम के लिए उपयुक्त है। इसमें सिस्टम के समीकरणों से अज्ञात को क्रमिक रूप से हटाना शामिल है।

तीन अज्ञात वाले तीन समीकरणों की एक प्रणाली पर फिर से विचार करें:

.

हम पहले समीकरण को अपरिवर्तित छोड़ देंगे, और दूसरे और तीसरे से हम युक्त पदों को बाहर कर देंगे एक्स 1. ऐसा करने के लिए, दूसरे समीकरण को इससे विभाजित करें ए 21 और गुणा करें - ए 11, और फिर इसे पहले समीकरण में जोड़ें। इसी प्रकार, हम तीसरे समीकरण को इससे विभाजित करते हैं ए 31 और गुणा करें - ए 11, और फिर इसे पहले वाले के साथ जोड़ें। परिणामस्वरूप, मूल प्रणाली यह रूप ले लेगी:

अब अंतिम समीकरण से हम युक्त पद को हटा देते हैं एक्स 2. ऐसा करने के लिए, तीसरे समीकरण को इससे विभाजित करें, गुणा करें और दूसरे के साथ जोड़ें। तब हमारे पास समीकरणों की एक प्रणाली होगी:

यहां से, पिछले समीकरण से इसे ढूंढना आसान है एक्स 3, फिर दूसरे समीकरण से एक्स 2और अंत में, 1 से - एक्स 1.

गाऊसी पद्धति का उपयोग करते समय, यदि आवश्यक हो तो समीकरणों की अदला-बदली की जा सकती है।

अक्सर, समीकरणों की एक नई प्रणाली लिखने के बजाय, वे खुद को सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स को लिखने तक ही सीमित रखते हैं:

और फिर प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करके इसे त्रिकोणीय या विकर्ण रूप में लाएं।

को प्राथमिक परिवर्तनमैट्रिक्स में निम्नलिखित परिवर्तन शामिल हैं:

1. पंक्तियों या स्तंभों को पुनर्व्यवस्थित करना;
2. किसी स्ट्रिंग को शून्य के अलावा किसी अन्य संख्या से गुणा करना;
3. एक पंक्ति में अन्य पंक्तियाँ जोड़ना।

उदाहरण:गॉस विधि का उपयोग करके समीकरणों की प्रणालियों को हल करें।

इस प्रकार, सिस्टम में अनंत संख्या में समाधान हैं।

6.4. डॉट उत्पाद के कुछ अनुप्रयोग

11. कारकों के निर्देशांक के माध्यम से एक वेक्टर के अदिश उत्पाद की अभिव्यक्ति। प्रमेय.

12. एक सदिश की लंबाई, एक खंड की लंबाई, सदिशों के बीच का कोण, सदिशों की लंबवतता की स्थिति।

13. सदिशों का सदिश गुणनफल, उसके गुण। समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल.

14. सदिशों का मिश्रित गुणनफल, उसके गुण। वेक्टर समतलीयता के लिए शर्त. समांतर चतुर्भुज का आयतन. पिरामिड का आयतन.

15. समतल पर एक सीधी रेखा को परिभाषित करने की विधियाँ।

16. समतल पर एक रेखा का सामान्य समीकरण (व्युत्पत्ति)। गुणांकों का ज्यामितीय अर्थ.

17. खंडों (व्युत्पत्ति) में एक विमान पर एक सीधी रेखा का समीकरण।

समतल के सामान्य समीकरण को खंडों में समतल के समीकरण में घटाना।

18. कोणीय गुणांक (व्युत्पत्ति) वाले समतल पर एक सीधी रेखा का समीकरण।

19. दो बिंदुओं से गुजरने वाले समतल पर एक सीधी रेखा का समीकरण (व्युत्पत्ति)।

20. समतल पर सीधी रेखाओं के बीच का कोण (आउटपुट)।

21. समतल पर एक बिंदु से सीधी रेखा की दूरी (आउटपुट)।

22. एक समतल पर रेखाओं की समांतरता और लंबता के लिए शर्तें (व्युत्पत्ति)।

23. समतल का समीकरण. सामान्य समतल समीकरण (व्युत्पत्ति)। गुणांकों का ज्यामितीय अर्थ.

24. खंडों में समतल का समीकरण (व्युत्पत्ति)।

25. तीन बिंदुओं से गुजरने वाले समतल का समीकरण (व्युत्पत्ति)।

26. समतलों के बीच का कोण (आउटपुट)।

27. एक बिंदु से एक समतल तक की दूरी (आउटपुट)।

28. समतलों की समांतरता और लंबता के लिए शर्तें (निष्कर्ष)।

29. r3 में एक रेखा के समीकरण। दो निश्चित बिंदुओं से गुजरने वाली रेखा के समीकरण (व्युत्पत्ति)।

30. अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा के विहित समीकरण (व्युत्पत्ति)।

अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा के विहित समीकरण बनाना।

अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा के विहित समीकरणों के विशेष मामले।

अंतरिक्ष में दो दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाली एक रेखा के विहित समीकरण।

अंतरिक्ष में एक रेखा के विहित समीकरणों से एक रेखा के अन्य प्रकार के समीकरणों में संक्रमण।

31. सीधी रेखाओं के बीच का कोण (आउटपुट)।

32. समतल पर एक बिंदु से सीधी रेखा की दूरी (आउटपुट)।

समतल पर एक बिंदु से सीधी रेखा की दूरी - सिद्धांत, उदाहरण, समाधान।

किसी समतल पर किसी दिए गए बिंदु से दी गई सीधी रेखा की दूरी ज्ञात करने का पहला तरीका।

दूसरी विधि आपको किसी समतल पर किसी दिए गए बिंदु से दी गई सीधी रेखा तक की दूरी ज्ञात करने की अनुमति देती है।

किसी समतल पर किसी दिए गए बिंदु से दी गई सीधी रेखा की दूरी ज्ञात करने की समस्याओं का समाधान करना।

अंतरिक्ष में एक बिंदु से एक रेखा की दूरी - सिद्धांत, उदाहरण, समाधान।

अंतरिक्ष में एक बिंदु से एक रेखा तक की दूरी ज्ञात करने का पहला तरीका।

दूसरी विधि आपको अंतरिक्ष में एक बिंदु से एक रेखा तक की दूरी ज्ञात करने की अनुमति देती है।

33. अंतरिक्ष में रेखाओं की समांतरता और लंबवतता के लिए शर्तें।

34. अंतरिक्ष में रेखाओं की सापेक्ष स्थिति और समतल के साथ एक रेखा।

35. शास्त्रीय दीर्घवृत्त समीकरण (व्युत्पत्ति) और इसकी रचना। दीर्घवृत्त के विहित समीकरण का रूप वह होता है जहां सकारात्मक वास्तविक संख्याएं होती हैं, और दीर्घवृत्त का निर्माण कैसे करें?

36. क्लासिक हाइपरबोला समीकरण (व्युत्पत्ति) और इसकी रचना। स्पर्शोन्मुख।

37. विहित परवलय समीकरण (व्युत्पत्ति) और निर्माण।

38. कार्य. बुनियादी परिभाषाएँ. बुनियादी प्राथमिक कार्यों के रेखांकन.

39. संख्या क्रम. संख्या क्रम की सीमा.

40. अपरिमित रूप से छोटी और अपरिमित रूप से बड़ी मात्राएँ। उनके बीच संबंध के बारे में प्रमेय, गुण.

41. परिमित सीमा वाले चरों पर क्रियाओं पर प्रमेय।

42. संख्या ई.

सामग्री

निर्धारण के तरीके

गुण

कहानी

अनुमान

43. किसी फलन की सीमा का निर्धारण. अनिश्चितताओं को उजागर करना.

44. उल्लेखनीय सीमाएँ, उनका निष्कर्ष। समतुल्य अपरिमित मात्राएँ।

सामग्री

पहली अद्भुत सीमा

दूसरी अद्भुत सीमा

45. एकतरफ़ा सीमा. कार्य की निरंतरता और असंततता. एकतरफ़ा सीमा

किसी फ़ंक्शन की बाएँ और दाएँ सीमाएँ

प्रथम प्रकार का असंततता बिंदु

दूसरे प्रकार का असंततता बिंदु

हटाने योग्य ब्रेक प्वाइंट

46. ​​​व्युत्पन्न की परिभाषा. ज्यामितीय अर्थ, व्युत्पत्ति का यांत्रिक अर्थ। एक वक्र और एक बिंदु के लिए स्पर्शरेखा और सामान्य समीकरण।

47. व्युत्क्रम, जटिल फलनों के व्युत्पन्न पर प्रमेय।

48. सरलतम प्रारंभिक कार्यों के व्युत्पन्न।

49. पैरामीट्रिक, अंतर्निहित और शक्ति-घातांकीय कार्यों का विभेदन।

21. अंतर्निहित और पैरामीट्रिक रूप से परिभाषित कार्यों का अंतर

21.1. निहित कार्य

21.2. पैरामीट्रिक रूप से परिभाषित फ़ंक्शन

50. उच्च क्रम डेरिवेटिव. टेलर का सूत्र.

51. विभेदक। अनुमानित गणनाओं के लिए अंतर का अनुप्रयोग।

52. रोले, लैग्रेंज, कॉची के प्रमेय। एल हॉस्पिटल का नियम.

53. किसी फ़ंक्शन की एकरसता के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्तों पर प्रमेय।

54. किसी फलन की अधिकतम एवं न्यूनतम सीमा का निर्धारण। किसी फ़ंक्शन के चरम के अस्तित्व के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्तों पर प्रमेय।

प्रमेय (चरम के लिए आवश्यक शर्त)

55. वक्रों की उत्तलता एवं अवतलता। विभक्ति बिंदु. विभक्ति बिंदुओं के अस्तित्व के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्तों पर प्रमेय।

सबूत

57. nवें क्रम के निर्धारक, उनके गुण।

58. मैट्रिक्स और उन पर क्रियाएँ। मैट्रिक्स रैंक.

परिभाषा

संबंधित परिभाषाएँ

गुण

रैखिक परिवर्तन और मैट्रिक्स रैंक

59. व्युत्क्रम मैट्रिक्स. व्युत्क्रम मैट्रिक्स के अस्तित्व पर प्रमेय।

60. रैखिक समीकरणों की प्रणाली। रैखिक समीकरणों की प्रणालियों का मैट्रिक्स समाधान। क्रैमर का नियम. गॉस विधि. क्रोनकर-कैपेली प्रमेय।

रैखिक बीजगणितीय समीकरणों को हल करने की प्रणालियाँ, समाधान विधियाँ, उदाहरण।

परिभाषाएँ, अवधारणाएँ, पदनाम।

रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्राथमिक प्रणालियों को हल करना।

क्रैमर विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करना।

मैट्रिक्स विधि (व्युत्क्रम मैट्रिक्स का उपयोग करके) का उपयोग करके रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणालियों को हल करना।

गॉस विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करना।

सामान्य रूप के रैखिक बीजगणितीय समीकरणों को हल करने की प्रणालियाँ।

क्रोनकर-कैपेली प्रमेय।

सामान्य रूप के रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए गॉस विधि।

समाधानों की मौलिक प्रणाली के सदिशों का उपयोग करके सजातीय और अमानवीय रैखिक बीजगणितीय प्रणालियों के लिए एक सामान्य समाधान लिखना।

समीकरणों की ऐसी प्रणालियों को हल करना जो धीमी हो जाती हैं।

समस्याओं के उदाहरण जो रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणालियों को हल करने तक सीमित हैं।

मैट्रिक्स विधि (व्युत्क्रम मैट्रिक्स का उपयोग करके) का उपयोग करके रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणालियों को हल करना।

मान लीजिए कि रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणाली मैट्रिक्स रूप में दी गई है, जहां मैट्रिक्स एआयाम है एनपर एनऔर इसका सारणिक अशून्य है।

चूँकि, तब मैट्रिक्स ए- व्युत्क्रमणीय है, अर्थात व्युत्क्रम मैट्रिक्स है। यदि हम समानता के दोनों पक्षों को बाईं ओर से गुणा करते हैं, तो हमें अज्ञात चरों का मैट्रिक्स-कॉलम खोजने के लिए एक सूत्र प्राप्त होता है। इस प्रकार हमने मैट्रिक्स विधि का उपयोग करके रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली का समाधान प्राप्त किया।

मैट्रिक्स विधि.

आइए समीकरणों की प्रणाली को मैट्रिक्स रूप में फिर से लिखें:

क्योंकि तब SLAE को मैट्रिक्स विधि का उपयोग करके हल किया जा सकता है। व्युत्क्रम मैट्रिक्स का उपयोग करके, इस प्रणाली का समाधान इस प्रकार पाया जा सकता है .

आइए मैट्रिक्स तत्वों के बीजगणितीय पूरकों से एक मैट्रिक्स का उपयोग करके एक व्युत्क्रम मैट्रिक्स का निर्माण करें ए(यदि आवश्यक हो, तो व्युत्क्रम मैट्रिक्स खोजने के लिए लेख विधियाँ देखें):

यह व्युत्क्रम मैट्रिक्स को गुणा करके अज्ञात चर के मैट्रिक्स की गणना करने के लिए बनी हुई है मुक्त सदस्यों के मैट्रिक्स-कॉलम में (यदि आवश्यक हो, तो मैट्रिक्स पर लेख संचालन देखें):

या किसी अन्य पोस्ट में एक्स 1 = 4, एक्स 2 = 0, एक्स 3 = -1 .

मैट्रिक्स विधि का उपयोग करके रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणालियों का समाधान खोजने में मुख्य समस्या व्युत्क्रम मैट्रिक्स को खोजने की जटिलता है, विशेष रूप से तीसरे से अधिक क्रम के वर्ग मैट्रिक्स के लिए।

सिद्धांत और अतिरिक्त उदाहरणों के अधिक विस्तृत विवरण के लिए, रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए मैट्रिक्स विधि लेख देखें।

पृष्ठ के शीर्ष पर

गॉस विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करना।

मान लीजिए हमें सिस्टम का कोई समाधान ढूंढना है एनके साथ रैखिक समीकरण एनअज्ञात चर जिसके मुख्य मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य से भिन्न है।

गॉस विधि का सारइसमें अज्ञात चरों को क्रमिक रूप से हटाना शामिल है: पहले हटाना एक्स 1 सिस्टम के सभी समीकरणों से, दूसरे से शुरू करके, आगे भी बाहर रखा गया है एक्स 2 सभी समीकरणों से, तीसरे से शुरू करके, और इसी तरह, जब तक कि अंतिम समीकरण में केवल अज्ञात चर न रह जाए एक्स एन. अज्ञात चरों को क्रमिक रूप से समाप्त करने के लिए सिस्टम समीकरणों को बदलने की इस प्रक्रिया को कहा जाता है प्रत्यक्ष गाऊसी विधि. गॉसियन विधि की आगे की प्रगति को पूरा करने के बाद, अंतिम समीकरण से हम पाते हैं एक्स एन, अंतिम समीकरण से इस मान का उपयोग करके हम गणना करते हैं एक्स एन-1, और इसी तरह, पहले समीकरण से हम पाते हैं एक्स 1 . सिस्टम के अंतिम समीकरण से पहले तक जाने पर अज्ञात चर की गणना करने की प्रक्रिया को कहा जाता है गाऊसी पद्धति का उलटा.

आइए हम अज्ञात चर को खत्म करने के लिए एल्गोरिदम का संक्षेप में वर्णन करें।

हम यह मान लेंगे, क्योंकि हम सिस्टम के समीकरणों को पुनर्व्यवस्थित करके इसे हमेशा प्राप्त कर सकते हैं। अज्ञात चर को हटा दें एक्स 1 सिस्टम के सभी समीकरणों से, दूसरे से शुरू करके। ऐसा करने के लिए, सिस्टम के दूसरे समीकरण में हम पहले को इससे गुणा करके जोड़ते हैं, तीसरे समीकरण में हम पहले को इससे गुणा करके जोड़ते हैं और इसी तरह आगे भी जोड़ते हैं। n वेंसमीकरण में हम पहले वाले को इससे गुणा करके जोड़ते हैं। ऐसे परिवर्तनों के बाद समीकरणों की प्रणाली का रूप ले लेगी और कहां .

यदि हमने व्यक्त किया तो हम उसी परिणाम पर पहुंचेंगे एक्स 1 सिस्टम के पहले समीकरण में अन्य अज्ञात चर के माध्यम से और परिणामी अभिव्यक्ति को अन्य सभी समीकरणों में प्रतिस्थापित किया गया था। तो परिवर्तनशील एक्स 1 दूसरे से शुरू करके, सभी समीकरणों से बाहर रखा गया।

आगे, हम इसी तरह आगे बढ़ते हैं, लेकिन केवल परिणामी प्रणाली के हिस्से के साथ, जो चित्र में चिह्नित है

ऐसा करने के लिए, सिस्टम के तीसरे समीकरण में हम दूसरा जोड़ते हैं, गुणा करके, चौथे समीकरण में हम दूसरा जोड़ते हैं, गुणा करते हैं, और इसी तरह, n वेंसमीकरण में हम दूसरा, गुणा करके जोड़ते हैं। ऐसे परिवर्तनों के बाद समीकरणों की प्रणाली का रूप ले लेगी और कहां . तो परिवर्तनशील एक्स 2 तीसरे से शुरू होने वाले सभी समीकरणों से बाहर रखा गया।

आगे हम अज्ञात को ख़त्म करने के लिए आगे बढ़ते हैं एक्स 3 , इस मामले में हम चित्र में चिह्नित सिस्टम के भाग के साथ समान रूप से कार्य करते हैं

इसलिए हम गॉसियन पद्धति की सीधी प्रगति तब तक जारी रखते हैं जब तक कि सिस्टम आकार नहीं ले लेता

इस क्षण से हम गाऊसी पद्धति का उलटा प्रारंभ करते हैं: हम गणना करते हैं एक्स एनप्राप्त मान का उपयोग करते हुए, अंतिम समीकरण से एक्स एनहम देखतें है एक्स एन-1अंतिम समीकरण से, इत्यादि, हम पाते हैं एक्स 1 पहले समीकरण से.

रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करें गॉस विधि.

अज्ञात चर को हटा दें एक्स 1 सिस्टम के दूसरे और तीसरे समीकरण से. ऐसा करने के लिए, दूसरे और तीसरे समीकरण के दोनों पक्षों में हम पहले समीकरण के संगत भागों को क्रमशः गुणा करके जोड़ते हैं:

अब तीसरे समीकरण से बाहर कर देते हैं एक्स 2 , इसके बाएँ और दाएँ पक्षों को दूसरे समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्षों को जोड़कर गुणा किया जाता है:

यह गॉस विधि का फॉरवर्ड स्ट्रोक पूरा करता है; हम रिवर्स स्ट्रोक शुरू करते हैं।

समीकरणों की परिणामी प्रणाली के अंतिम समीकरण से हम पाते हैं एक्स 3 :

दूसरे समीकरण से हमें प्राप्त होता है।

पहले समीकरण से हम शेष अज्ञात चर पाते हैं और इस प्रकार गॉस विधि का उलटा पूरा करते हैं।

एक्स 1 = 4, एक्स 2 = 0, एक्स 3 = -1 .

अधिक विस्तृत जानकारी और अतिरिक्त उदाहरणों के लिए, गॉस विधि का उपयोग करके रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्राथमिक प्रणालियों को हल करने पर अनुभाग देखें।

पृष्ठ के शीर्ष पर

यह ऑनलाइन कैलकुलेटर मैट्रिक्स विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करता है। बहुत विस्तृत समाधान दिया गया है. रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने के लिए, चरों की संख्या का चयन करें। व्युत्क्रम मैट्रिक्स की गणना के लिए एक विधि चुनें. फिर कोशिकाओं में डेटा दर्ज करें और "गणना करें" बटन पर क्लिक करें।

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चेतावनी

सभी कक्ष साफ़ करें?

साफ़ बंद करें

डाटा प्रविष्टि निर्देश.संख्याएँ पूर्णांक (उदाहरण: 487, 5, -7623, आदि), दशमलव (उदा. 67., 102.54, आदि) या भिन्न के रूप में दर्ज की जाती हैं। अंश को ए/बी के रूप में दर्ज किया जाना चाहिए, जहां ए और बी पूर्णांक या दशमलव हैं। उदाहरण 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7, आदि।

रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए मैट्रिक्स विधि

रैखिक समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली पर विचार करें:

व्युत्क्रम मैट्रिक्स की परिभाषा को देखते हुए, हमारे पास है ए −1 ए=ई, कहाँ ई- शिनाख्त सांचा। इसलिए (4) को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

इस प्रकार, रैखिक समीकरणों (1) (या (2)) की प्रणाली को हल करने के लिए, इसके व्युत्क्रम को गुणा करना पर्याप्त है एप्रति बाधा वेक्टर मैट्रिक्स बी.

मैट्रिक्स विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करने के उदाहरण

उदाहरण 1. मैट्रिक्स विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली को हल करें:

आइए जॉर्डन-गॉस विधि का उपयोग करके मैट्रिक्स ए का व्युत्क्रम ज्ञात करें। मैट्रिक्स के दाईं ओर एआइए पहचान मैट्रिक्स लिखें:

आइए मुख्य विकर्ण के नीचे मैट्रिक्स के पहले कॉलम के तत्वों को बाहर करें। ऐसा करने के लिए, पंक्ति 2,3 को पंक्ति 1 के साथ जोड़ें, क्रमशः -1/3, -1/3 से गुणा करें:

आइए मुख्य विकर्ण के नीचे मैट्रिक्स के दूसरे कॉलम के तत्वों को बाहर करें। ऐसा करने के लिए, पंक्ति 2 को -24/51 से गुणा करके पंक्ति 3 जोड़ें:

आइए मुख्य विकर्ण के ऊपर मैट्रिक्स के दूसरे कॉलम के तत्वों को बाहर करें। ऐसा करने के लिए, पंक्ति 2 को -3/17 से गुणा करके पंक्ति 1 जोड़ें:

मैट्रिक्स के दाएँ पक्ष को अलग करें. परिणामी मैट्रिक्स का व्युत्क्रम मैट्रिक्स है ए :

रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली लिखने का मैट्रिक्स रूप: कुल्हाड़ी=बी, कहाँ

आइए मैट्रिक्स के सभी बीजगणितीय पूरकों की गणना करें ए:

,

,

,

,

,

कहाँ ए ij - एक मैट्रिक्स तत्व का बीजगणितीय पूरक ए, चौराहे पर स्थित है मैं-वीं पंक्ति और जे-वां कॉलम, और Δ मैट्रिक्स का निर्धारक है ए.

व्युत्क्रम मैट्रिक्स सूत्र का उपयोग करके, हम पाते हैं:

क्रैमर के सूत्रों के अनुसार;

गॉस विधि;

समाधान: क्रोनेकर-कैपेली प्रमेय। एक प्रणाली सुसंगत है यदि और केवल तभी जब इस प्रणाली के मैट्रिक्स की रैंक उसके विस्तारित मैट्रिक्स की रैंक के बराबर हो, यानी। आर(ए)=आर(ए 1), कहाँ

सिस्टम का विस्तारित मैट्रिक्स इस प्रकार दिखता है:

पहली पंक्ति को (से गुणा करें) –3 ), और दूसरा ( 2 ); इसके बाद पहली पंक्ति के तत्वों को दूसरी पंक्ति के संगत तत्वों में जोड़ें; दूसरी पंक्ति से तीसरी घटाएँ। परिणामी मैट्रिक्स में, हम पहली पंक्ति को अपरिवर्तित छोड़ देते हैं।

6 ) और दूसरी और तीसरी पंक्तियों को स्वैप करें:

दूसरी पंक्ति को (से गुणा करें) –11 ) और तीसरी पंक्ति के संबंधित तत्वों को जोड़ें।

तीसरी पंक्ति के तत्वों को (से विभाजित करें) 10 ).

आइए मैट्रिक्स का निर्धारक ज्ञात करें ए.

इस तरह, आर(ए)=3 . विस्तारित मैट्रिक्स रैंक आर(ए 1) भी बराबर है 3 , यानी

आर(ए)=आर(ए 1)=3 Þ व्यवस्था सहयोगी है.

1) स्थिरता के लिए सिस्टम की जांच करते समय, विस्तारित मैट्रिक्स को गाऊसी विधि का उपयोग करके बदल दिया गया था।

गाऊसी विधि इस प्रकार है:

1. मैट्रिक्स को त्रिकोणीय रूप में कम करना, यानी, मुख्य विकर्ण (सीधी गति) के नीचे शून्य होना चाहिए।

2. अंतिम समीकरण से हम पाते हैं एक्स 3और इसे दूसरे में प्रतिस्थापित करें, हम पाते हैं एक्स 2, और जानना एक्स 3, एक्स 2हम उन्हें पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं, हम पाते हैं एक्स 1(रिवर्स)।

आइए हम गॉसियन-रूपांतरित विस्तारित मैट्रिक्स लिखें

तीन समीकरणों की एक प्रणाली के रूप में:

Þ एक्स 3 =1

एक्स 2 = एक्स 3Þ एक्स 3 =1

2x 1 =4+x 2 +x 3Þ 2x 1 =4+1+1Þ

Þ 2x 1 =6 Þ एक्स 1 =3

.

2) आइए क्रैमर के सूत्रों का उपयोग करके सिस्टम को हल करें: यदि समीकरणों की प्रणाली का निर्धारक शून्य से भिन्न है, तो सिस्टम में एक अद्वितीय समाधान होता है, जो सूत्रों का उपयोग करके पाया जाता है

आइए हम सिस्टम के निर्धारक की गणना करें Δ:

क्योंकि यदि सिस्टम का निर्धारक शून्य से भिन्न है, तो क्रैमर के नियम के अनुसार, सिस्टम का एक अद्वितीय समाधान होता है। आइए निर्धारकों की गणना करें Δ 1 , Δ 2 , Δ 3 . वे सिस्टम के निर्धारक से संबंधित कॉलम को मुक्त गुणांक के कॉलम के साथ प्रतिस्थापित करके प्राप्त किए जाते हैं।

हम सूत्रों का उपयोग करके अज्ञात पाते हैं:

उत्तर: x 1 =3, x 2 =1, x 3 =1 .

3) आइए मैट्रिक्स कैलकुलस का उपयोग करके सिस्टम को हल करें, यानी व्युत्क्रम मैट्रिक्स का उपयोग करें।

ए×एक्स=बी Þ एक्स=ए -1 × बी, कहाँ ए -1– व्युत्क्रम मैट्रिक्स से ए,

निःशुल्क सदस्यों का स्तम्भ,

अज्ञात का मैट्रिक्स-कॉलम।

व्युत्क्रम मैट्रिक्स की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

कहाँ डी- मैट्रिक्स निर्धारक ए, ए आईजे- तत्व ए के बीजगणितीय पूरक आईजेमैट्रिक्स ए. डी= 60 (पिछले पैराग्राफ से)। सारणिक शून्येतर है, इसलिए, मैट्रिक्स ए व्युत्क्रमणीय है, और इसका व्युत्क्रम मैट्रिक्स सूत्र (*) का उपयोग करके पाया जा सकता है। आइए सूत्र का उपयोग करके मैट्रिक्स ए के सभी तत्वों के लिए बीजगणितीय पूरक खोजें:

और आईजे =(-1 )आई+जे एम आईजे।

x 1, x 2, x 3 ने प्रत्येक समीकरण को एक पहचान में बदल दिया, फिर वे सही पाए गए।

उदाहरण 6. गॉसियन विधि का उपयोग करके सिस्टम को हल करें और सिस्टम के कुछ दो बुनियादी समाधान खोजें।