I endelig aritmetisk progression. Hvordan finder man en aritmetisk progression? Eksempler på aritmetisk progression med løsning

Denne formel giver dig mulighed for at finde enhver VED HANS NUMMER " n" .

Du skal selvfølgelig også kende den første term en 1 og progressionsforskel d, godt, uden disse parametre kan du ikke nedskrive en bestemt progression.

At huske (eller skrive) denne formel er ikke nok. Du skal forstå dens essens og anvende formlen i forskellige problemer. Og glem ikke ind rigtige øjeblik, ja...) Hvordan glem ikke- Jeg ved det ikke. Men hvordan man husker Hvis det er nødvendigt, vil jeg helt sikkert rådgive dig. For dem, der fuldfører lektionen til slutningen.)

Så lad os se på formlen for det n'te led i en aritmetisk progression.

Hvad er en formel generelt - vi forestiller os.) Hvad er aritmetisk progression, medlemsnummer, progressionsforskel - tydeligt angivet i forrige lektion. Tag i øvrigt et kig, hvis du ikke har læst den. Alt er enkelt der. Det er tilbage at finde ud af, hvad det er n'te termin.

Progression i generel opfattelse kan skrives som en række tal:

en 1, en 2, en 3, en 4, en 5, .....

en 1- betegner det første led i en aritmetisk progression, en 3- tredje medlem, en 4- den fjerde og så videre. Hvis vi er interesseret i den femte periode, lad os sige, at vi arbejder med en 5, hvis et hundrede og tyvende - s en 120.

Hvordan kan vi definere det i generelle vendinger? enhver led af en aritmetisk progression, med enhver antal? Meget simpelt! Sådan:

en n

Dette er det n. led af en aritmetisk progression. Bogstavet n skjuler alle medlemsnumrene på én gang: 1, 2, 3, 4 og så videre.

Og hvad giver sådan en plade os? Tænk bare, i stedet for et tal skrev de et bogstav ned...

Denne notation giver os et stærkt værktøj til at arbejde med aritmetisk progression. Brug af notationen en n, kan vi hurtigt finde enhver medlem enhver aritmetisk progression. Og løse en masse andre progressionsproblemer. Du vil selv se videre.

I formlen for det n'te led i en aritmetisk progression:

a n = a1 + (n-1)d

en 1- det første led i en aritmetisk progression;

n- medlemsnummer.

Formel binder nøgleparametre enhver progression: a n; a 1; d Og n. Alle progressionsproblemer kredser om disse parametre.

Formlen for n'te led kan også bruges til at skrive en specifik progression. For eksempel kan problemet sige, at progressionen er specificeret af betingelsen:

a n = 5 + (n-1) 2.

Sådan et problem kan være en blindgyde... Der er hverken en serie eller forskel... Men sammenligner man tilstanden med formlen, er det let at forstå, at i denne progression a 1 = 5 og d = 2.

Og det kan være endnu værre!) Hvis vi tager den samme betingelse: a n = 5 + (n-1) 2, Ja, åbne parenteserne og medbringe lignende? Vi får ny formel:

a n = 3 + 2n.

Denne Bare ikke generelt, men for en specifik progression. Det er her faldgruben lurer. Nogle mennesker tror, at den første periode er en treer. Selvom det første led i virkeligheden er fem... Lidt lavere vil vi arbejde med sådan en modificeret formel.

I progressionsproblemer er der en anden notation - a n+1. Dette er, som du gættede, "n plus first"-leddet for progressionen. Dens betydning er enkel og harmløs.) Dette er et medlem af progressionen, hvis antal er større end nummer n gange en. For eksempel, hvis i et eller andet problem, vi tager en n femte periode altså a n+1 bliver det sjette medlem. Og lignende.

Oftest betegnelsen a n+1 findes i gentagelsesformler. Vær ikke bange for dette skræmmende ord!) Dette er blot en måde at udtrykke et medlem af en aritmetisk progression på gennem den forrige. Lad os sige, at vi får en aritmetisk progression i denne form ved at bruge en tilbagevendende formel:

a n+1 = a n+3

a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8

a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11

Den fjerde - gennem den tredje, den femte - gennem den fjerde og så videre. Hvordan kan vi umiddelbart tælle f.eks. det tyvende udtryk? en 20? Men der er ingen måde!) Indtil vi finder ud af den 19. termin, kan vi ikke tælle den 20. Dette er det grundlæggende forskel tilbagevendende formel fra formlen for det n'te led. Tilbagevendende virker kun igennem tidligere led, og formlen for det n'te led er igennem først og tillader med det samme find ethvert medlem ved dets nummer. Uden at beregne hele talrækken i rækkefølge.

I en aritmetisk progression er det let at omdanne en tilbagevendende formel til en regulær. Tæl et par på hinanden følgende led, beregn forskellen d, find om nødvendigt det første led en 1, skriv formlen ind i sædvanlig form og arbejde sammen med hende. Sådanne opgaver støder man ofte på i Statens Videnskabsakademi.

Anvendelse af formlen for det n. led i en aritmetisk progression.

Lad os først se på den direkte anvendelse af formlen. I slutningen af den forrige lektion var der et problem:

Der gives en aritmetisk progression (a n). Find en 121, hvis a 1 =3 og d=1/6.

Dette problem kan løses uden formler, blot baseret på betydningen af en aritmetisk progression. Tilføj og tilføj... En time eller to.)

Og ifølge formlen vil opløsningen tage mindre end et minut. Du kan time det.) Lad os bestemme.

Betingelserne giver alle data til brug af formlen: a1=3, d=1/6. Det er tilbage at finde ud af, hvad der er lige n. Ingen spørgsmål! Vi skal finde en 121. Så vi skriver:

Vær venligst opmærksom! I stedet for et indeks n et bestemt tal dukkede op: 121. Hvilket er ret logisk.) Vi er interesserede i medlemmet af den aritmetiske progression nummer hundrede en og tyve. Dette bliver vores n. Dette er meningen n= 121 vil vi erstatte længere ind i formlen i parentes. Vi erstatter alle tallene i formlen og beregner:

a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

Det er det. Lige så hurtigt kunne man finde det femhundrede og tiende led, og det tusinde og tredje, en hvilken som helst. Vi sætter i stedet for n ønsket nummer i indekset for bogstavet " en" og i parentes, og vi tæller.

Lad mig minde dig om pointen: denne formel giver dig mulighed for at finde enhver aritmetisk progressionsled VED HANS NUMMER " n" .

Lad os løse problemet på en mere snedig måde. Lad os støde på følgende problem:

Find det første led i den aritmetiske progression (a n), hvis a 17 =-2; d = -0,5.

Hvis du har problemer, vil jeg fortælle dig det første skridt. Skriv formlen ned for det n. led i en aritmetisk progression! Ja, ja. Skriv ned med dine hænder lige i din notesbog:

a n = a1 + (n-1)d

Og nu, når vi ser på formlens bogstaver, forstår vi, hvilke data vi har, og hvad der mangler? Tilgængelig d=-0,5, der er et syttende medlem... Er det det? Hvis du tror, det er det, så løser du ikke problemet, ja...

Vi har stadig et nummer n! I stand a 17 =-2 skjult to parametre. Dette er både værdien af det syttende led (-2) og dets tal (17). Dem. n=17. Denne "bagatel" glider ofte forbi hovedet, og uden den, (uden "bagatel", ikke hovedet!) kan problemet ikke løses. Selvom... og også uden hoved.)

Nu kan vi simpelthen dumt erstatte vores data med formlen:

a 17 = a 1 + (17-1)·(-0,5)

Åh ja, en 17 vi ved det er -2. Okay, lad os erstatte:

-2 = a 1 + (17-1)·(-0,5)

Det er stort set alt. Det er tilbage at udtrykke det første led i den aritmetiske progression fra formlen og beregne det. Svaret vil være: a 1 = 6.

Denne teknik - at skrive en formel ned og blot erstatte kendte data - er en stor hjælp i simple opgaver. Nå, selvfølgelig skal man kunne udtrykke en variabel ud fra en formel, men hvad skal man gøre!? Uden denne færdighed studerer du måske slet ikke matematik...

Et andet populært puslespil:

Find forskellen på den aritmetiske progression (a n), hvis a 1 =2; a 15 = 12.

Hvad laver vi? Du vil blive overrasket, vi skriver formlen!)

a n = a1 + (n-1)d

Lad os overveje, hvad vi ved: a1=2; a15=12; og (jeg vil især fremhæve!) n=15. Du er velkommen til at erstatte dette med formlen:

12=2 + (15-1)d

Vi regner.)

12=2 + 14d

d=10/14 = 5/7

Dette er det rigtige svar.

Altså opgaverne til en n, en 1 Og d besluttet. Det eneste, der er tilbage, er at lære at finde nummeret:

Tallet 99 er et medlem af den aritmetiske progression (a n), hvor a 1 =12; d=3. Find dette medlems nummer.

Vi erstatter de mængder, vi kender til, i formlen for det n'te led:

a n = 12 + (n-1) 3

Ved første øjekast er der to ukendte mængder her: a n og n. Men en n- dette er et medlem af progressionen med et nummer n...Og vi kender dette medlem af progressionen! Det er 99. Vi kender ikke dets nummer. n, Så dette nummer er, hvad du skal finde. Vi erstatter termen for progressionen 99 i formlen:

99 = 12 + (n-1) 3

Vi udtrykker fra formlen n, synes vi. Vi får svaret: n=30.

Og nu et problem om samme emne, men mere kreativt):

Bestem, om tallet 117 er et medlem af den aritmetiske progression (a n):

-3,6; -2,4; -1,2 ...

Lad os skrive formlen igen. Hvad, der er ingen parametre? Hm... Hvorfor får vi øjne?) Ser vi det første led i progressionen? Vi ser. Dette er -3,6. Du kan roligt skrive: a1 = -3,6. Forskel d Kan du fortælle fra serien? Det er nemt, hvis du ved, hvad forskellen på en aritmetisk progression er:

d = -2,4 - (-3,6) = 1,2

Så vi gjorde det enkleste. Det er tilbage at forholde sig til det ukendte nummer n og det uforståelige tal 117. I forrige opgave vidste man i hvert fald, at det var forløbets sigt, der blev givet. Men her ved vi ikke engang... Hvad skal man gøre!? Nå, hvordan skal man være, hvordan være... Tænd for dine kreative evner!)

Vi formode at 117 trods alt er et medlem af vores progression. Med et ukendt nummer n. Og, ligesom i det forrige problem, lad os prøve at finde dette nummer. Dem. vi skriver formlen (ja, ja!)) og erstatter vores tal:

117 = -3,6 + (n-1) 1,2

Igen udtrykker vi fra formlenn, vi tæller og får:

Ups! Nummeret viste sig fraktioneret! Et hundrede og en og en halv. Og brøktal i progressioner sker ikke. Hvilken konklusion kan vi drage? Ja! Nummer 117 er ikke medlem af vores progression. Det er et sted mellem et hundrede og første og hundrede og andet udtryk. Hvis tallet viste sig naturligt, dvs. er et positivt heltal, så ville tallet være et medlem af progressionen med det fundne tal. Og i vores tilfælde vil svaret på problemet være: Ingen.

Opgavebaseret reel mulighed GIA:

Den aritmetiske progression er givet af betingelsen:

a n = -4 + 6,8n

Find det første og tiende led i progressionen.

Her er progressionen sat på en usædvanlig måde. En form for formel... Det sker.) Men denne formel (som jeg skrev ovenfor) - også formlen for det n. led i en aritmetisk progression! Hun tillader også find ethvert medlem af progressionen ved dets nummer.

Vi leder efter det første medlem. Den der tænker. at det første led er minus fire er fatalt fejlagtigt!) Fordi formlen i opgaven er ændret. Det første led i den aritmetiske progression i den skjult. Det er okay, vi finder det nu.)

Ligesom i tidligere problemer erstatter vi n=1 ind i denne formel:

a 1 = -4 + 6,8 1 = 2,8

Her! Det første led er 2,8, ikke -4!

Vi leder efter den tiende periode på samme måde:

a 10 = -4 + 6,8 10 = 64

Det er det.

Og nu, for dem, der har læst til disse linjer, den lovede bonus.)

Antag, at du i en vanskelig kampsituation med statseksamenen eller unified state-eksamenen har glemt den nyttige formel for det n'te led i en aritmetisk progression. Jeg husker noget, men på en eller anden måde usikker... Eller n der, eller n+1, eller n-1... Hvordan skal man være!?

Berolige! Denne formel er let at udlede. Ikke særlig strengt, men for selvtillid og den rigtige beslutning bestemt nok!) For at konkludere er det nok at huske den elementære betydning af en aritmetisk progression og have et par minutters tid. Du skal bare tegne et billede. For klarhedens skyld.

Tegn en tallinje og marker den første på den. anden, tredje osv. medlemmer. Og vi bemærker forskellen d mellem medlemmer. Sådan:

Vi ser på billedet og tænker: hvad er det andet led lig med? Anden en d:

-en 2 =a 1+ 1 d

Hvad er det tredje udtryk? Tredje termin er lig med første termin plus to d.

-en 3 =a 1+ 2 d

Forstår du det? Det er ikke for ingenting, at jeg fremhæver nogle ord med fed skrift. Okay, et skridt mere).

Hvad er den fjerde periode? Fjerde termin er lig med første termin plus tre d.

-en 4 =a 1+ 3 d

Det er på tide at indse, at antallet af huller, dvs. d, Altid en mindre end antallet af det medlem, du leder efter n. Altså til antallet n, antal mellemrum vilje n-1. Derfor vil formlen være (uden variationer!):

a n = a1 + (n-1)d

Generelt er visuelle billeder meget nyttige til at løse mange problemer i matematik. Forsøm ikke billederne. Men hvis det er svært at tegne et billede, så ... kun en formel!) Derudover giver formlen for det n'te udtryk dig mulighed for at forbinde hele det magtfulde arsenal af matematik til løsningen - ligninger, uligheder, systemer osv. Du kan ikke indsætte et billede i ligningen...

Opgaver til selvstændig løsning.

For at varme op:

1. I aritmetisk progression (a n) a 2 =3; a 5 = 5,1. Find en 3.

Tip: ifølge billedet kan problemet løses på 20 sekunder... Ifølge formlen viser det sig sværere. Men for at mestre formlen er det mere nyttigt.) I afsnit 555 er dette problem løst ved hjælp af både billedet og formlen. Mærk forskellen!)

Og dette er ikke længere en opvarmning.)

2. I aritmetisk progression (a n) a 85 =19,1; a 236 =49, 3. Find en 3 .

Hvad, du vil ikke tegne et billede?) Selvfølgelig! Bedre ifølge formlen, ja...

3. Den aritmetiske progression er givet af betingelsen:a1 = -5,5; a n+1 = an+0,5. Find det hundrede og femogtyvende led i denne progression.

I denne opgave specificeres progressionen på en tilbagevendende måde. Men når man tæller til det hundrede og femogtyvende led... Ikke alle er i stand til sådan en bedrift.) Men formlen for det n. led er inden for enhvers magt!

4. Givet en aritmetisk progression (a n):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

Find tallet på det mindste positive led i progressionen.

5. I henhold til betingelserne for opgave 4, find summen af de mindste positive og største negative led i progressionen.

6. Produktet af det femte og tolvte led af en stigende aritmetisk progression er lig med -2,5, og summen af det tredje og ellevte led er lig med nul. Find en 14.

Ikke den nemmeste opgave, ja...) "Fingerspids"-metoden virker ikke her. Du skal skrive formler og løse ligninger.

Svar (i uorden):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

Virkede det? Det er dejligt!)

Ikke alt fungerer? sker. Der er i øvrigt en subtil pointe i den sidste opgave. Forsigtighed vil være påkrævet, når du læser problemet. Og logik.

Løsningen på alle disse problemer diskuteres detaljeret i afsnit 555. Og fantasielementet for det fjerde, og det subtile punkt for det sjette, og generelle tilgange til løsning af problemer, der involverer formlen for det n'te udtryk - alt er beskrevet. Jeg anbefaler det.

Hvis du kan lide denne side...

Forresten har jeg et par flere interessante sider til dig.)

Du kan øve dig i at løse eksempler og finde ud af dit niveau. Test med øjeblikkelig verifikation. Lad os lære - med interesse!)

Du kan stifte bekendtskab med funktioner og afledte.

Inden vi begynder at beslutte os aritmetiske progressionsproblemer, lad os overveje, hvad en talrække er, da en aritmetisk progression er særligt tilfælde talrække.

Nummerrækken er nummersæt, som hvert element har sit eget serienummer . Elementerne i dette sæt kaldes medlemmer af sekvensen. Serienummeret på et sekvenselement er angivet med et indeks:

Det første element i sekvensen;

Femte element i sekvensen;

- det "nte" element i sekvensen, dvs. element "stående i kø" ved nummer n.

Der er en sammenhæng mellem værdien af et sekvenselement og dets sekvensnummer. Derfor kan vi betragte en sekvens som en funktion, hvis argument er ordenstallet for elementet i sekvensen. Det kan vi med andre ord sige rækkefølgen er en funktion af det naturlige argument:

Rækkefølgen kan indstilles på tre måder:

1 . Rækkefølgen kan angives ved hjælp af en tabel. I dette tilfælde indstiller vi blot værdien af hvert medlem af sekvensen.

For eksempel besluttede nogen at tage personlig tidsstyring og til at begynde med tælle, hvor meget tid han bruger på VKontakte i løbet af ugen. Ved at registrere tiden i tabellen vil han modtage en sekvens bestående af syv elementer:

Den første linje i tabellen angiver nummeret på ugedagen, den anden - tiden i minutter. Vi ser det, det vil sige om mandagen, nogen brugte 125 minutter på VKontakte, det vil sige torsdag - 248 minutter, og det vil sige fredag kun 15.

2 . Sekvensen kan specificeres ved hjælp af den n'te ledformel.

I dette tilfælde udtrykkes afhængigheden af værdien af et sekvenselement på dets nummer direkte i form af en formel.

For eksempel, hvis , så

For at finde værdien af et sekvenselement med et givet tal, erstatter vi elementnummeret i formlen for det n'te led.

Vi gør det samme, hvis vi skal finde værdien af en funktion, hvis værdien af argumentet er kendt. Vi erstatter værdien af argumentet i funktionsligningen:

Hvis der f.eks. , Det

Lad mig endnu en gang bemærke, at i en sekvens, i modsætning til en vilkårlig numerisk funktion, kan argumentet kun være et naturligt tal.

3 . Sekvensen kan specificeres ved hjælp af en formel, der udtrykker afhængigheden af værdien af sekvensmedlemsnummeret n af værdierne af de tidligere medlemmer.

I dette tilfælde er det ikke nok for os kun at kende nummeret på sekvensmedlemmet for at finde dets værdi. Vi skal angive det første medlem eller de første par medlemmer af sekvensen. ,

Overvej f.eks. rækkefølgen Vi kan finde værdierne for sekvensmedlemmer en efter en

, startende fra den tredje: Det vil sige, at hver gang, for at finde værdien af det n'te led i sekvensen, vender vi tilbage til de to foregående. Denne metode til at specificere en sekvens kaldes tilbagevendende , fra latinske ord recurro

- kom tilbage.

Nu kan vi definere en aritmetisk progression. En aritmetisk progression er et simpelt specialtilfælde af en talrække. Aritmetisk progression

er en numerisk sekvens, hvor hvert medlem, startende fra det andet, er lig med det foregående tilføjet til det samme tal. Nummeret ringes op forskel i aritmetisk progression

. Forskellen på en aritmetisk progression kan være positiv, negativ eller lig med nul.">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} Hvis title="d>0.

stigende

For eksempel, 2; 5; 8; 11;... Hvis , så er hvert led i en aritmetisk progression mindre end den foregående, og progressionen er.

faldende

For eksempel, 2; -1; -4; -7;... Hvis , så er alle led i progressionen lig med det samme tal, og progressionen er.

stationær

For eksempel, 2;2;2;2;...

Hovedegenskaben ved en aritmetisk progression:

Lad os se på tegningen.

Det ser vi

, og på samme tid

Tilføjer vi disse to ligheder får vi:

Lad os dividere begge sider af ligheden med 2:

Så hvert medlem af den aritmetiske progression, startende fra den anden, er lig med det aritmetiske middelværdi af de to tilstødende:

Det ser vi

Desuden siden

, Det

, og derfor">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

Hvert led i en aritmetisk progression, startende med title="k>l

Udtrykkets formel.

Vi ser, at vilkårene for den aritmetiske progression opfylder følgende relationer:

og endelig Vi fik

formel for det n'te led. Ethvert medlem af en aritmetisk progression kan udtrykkes gennem og. Når du kender det første led og forskellen på en aritmetisk progression, kan du finde et hvilket som helst af dets udtryk.

Summen af n led af en aritmetisk progression.

I en vilkårlig aritmetisk progression er summen af termer med lige stor afstand fra de ekstreme lig med hinanden:

Overvej en aritmetisk progression med n led. Lad summen af n vilkår af denne progression være lig med .

Lad os arrangere vilkårene for progressionen først i stigende rækkefølge af tal og derefter i faldende rækkefølge:

Lad os tilføje i par:

Summen i hver parentes er , antallet af par er n.

Vi får:

Så, summen af n led af en aritmetisk progression kan findes ved hjælp af formlerne:

Lad os overveje løsning af aritmetiske progressionsproblemer.

1 . Rækkefølgen er givet ved formlen for det n'te led: . Bevis, at denne sekvens er en aritmetisk progression.

Lad os bevise, at forskellen mellem to tilstødende led i sekvensen er lig med det samme tal.

Vi fandt ud af, at forskellen mellem to tilstødende medlemmer af sekvensen ikke afhænger af deres antal og er en konstant. Derfor er denne sekvens per definition en aritmetisk progression.

2 . Givet en aritmetisk progression -31; -27;...

a) Find 31 led i progressionen.

b) Bestem, om tallet 41 er inkluderet i denne progression.

EN) Det ser vi;

Lad os nedskrive formlen for det n'te led for vores progression.

Generelt

I vores tilfælde , Det er derfor

Vi får:

b) Antag, at tallet 41 er et medlem af rækkefølgen. Lad os finde hans nummer. For at gøre dette, lad os løse ligningen:

Vi fik den naturlige værdi af n, derfor, ja, tallet 41 er medlem af progressionen. Hvis den fundne værdi af n ikke ville være naturligt tal, så ville vi svare, at tallet 41 IKKE er medlem af progressionen.

3 . a) Indsæt 4 tal mellem tallene 2 og 8, så de sammen med disse tal danner en aritmetisk progression.

b) Find summen af vilkårene for den resulterende progression.

EN) Lad os indsætte fire tal mellem tallene 2 og 8:

Vi fik en aritmetisk progression med 6 led.

Lad os finde forskellen på denne progression. For at gøre dette bruger vi formlen for det n'te led:

Nu er det nemt at finde betydningen af tallene:

3,2; 4,4; 5,6; 6,8

Svar: a) ja; b) 30

4. Lastbilen transporterer et læs knust sten, der vejer 240 tons, hvilket øger transporthastigheden med det samme antal tons hver dag. Det er kendt, at der blev transporteret 2 tons knust sten den første dag. Bestem, hvor mange tons knust sten, der blev transporteret på den tolvte dag, hvis alt arbejdet blev afsluttet på 15 dage.

Alt efter problemets tilstand stiger mængden af knust sten, som lastbilen transporterer, med det samme antal hver dag. Derfor har vi at gøre med en aritmetisk progression.

Lad os formulere dette problem i form af en aritmetisk progression.

I løbet af det første døgn blev der transporteret 2 tons knust sten: a_1=2.

Alt arbejde blev afsluttet på 15 dage: .

Lastbilen transporterer et parti knust sten, der vejer 240 tons:

Vi skal finde.

Lad os først finde progressionsforskellen. Lad os bruge formlen for summen af n led i en progression.

I vores tilfælde:

Nogle mennesker behandler ordet "progression" med forsigtighed, som et meget komplekst udtryk fra grene af højere matematik. I mellemtiden er den enkleste aritmetiske progression taxameterets arbejde (hvor de stadig findes). Og at forstå essensen (og i matematik er der intet vigtigere end at "få essensen") af en aritmetisk sekvens er ikke så svært, efter at have analyseret nogle få elementære begreber.

Matematisk talrækkefølge

En numerisk rækkefølge kaldes normalt en række tal, som hver har sit eget tal.

a 1 er det første medlem af sekvensen;

og 2 er det andet led i sekvensen;

a 7 er det syvende medlem af sekvensen;

og n er det n'te medlem af sekvensen;

Men ikke noget vilkårligt sæt af tal og tal interesserer os. Vi vil fokusere vores opmærksomhed på en numerisk rækkefølge, hvor værdien af det n. led er relateret til dets ordenstal ved en sammenhæng, der kan formuleres klart matematisk. Med andre ord: den numeriske værdi af det n'te tal er en funktion af n.

a er værdien af et medlem af en numerisk sekvens;

n er dens serienummer;

f(n) er en funktion, hvor ordenstallet i den numeriske rækkefølge n er argumentet.

Definition

En aritmetisk progression kaldes normalt en numerisk sekvens, hvor hvert efterfølgende led er større (mindre) end det foregående med samme tal. Formlen for det n'te led i en aritmetisk sekvens er som følger:

a n - værdien af det aktuelle medlem af den aritmetiske progression;

en n+1 - formel for det næste tal;

d - forskel (bestemt antal).

Det er let at bestemme, at hvis forskellen er positiv (d>0), så vil hvert efterfølgende medlem af den betragtede serie være større end den foregående, og en sådan aritmetisk progression vil være stigende.

I grafen nedenfor er det let at se, hvorfor talrækken kaldes "stigende".

I tilfælde, hvor forskellen er negativ (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Angivet medlemsværdi

Nogle gange er det nødvendigt at bestemme værdien af et hvilket som helst vilkårligt led a n af en aritmetisk progression. Dette kan gøres ved sekventielt at beregne værdierne for alle medlemmer af den aritmetiske progression, startende fra den første til den ønskede. Denne vej er dog ikke altid acceptabel, hvis det for eksempel er nødvendigt at finde værdien af femtusindedel eller ottemilliontedel. Traditionelle beregninger vil tage meget tid. En specifik aritmetisk progression kan dog studeres ved hjælp af visse formler. Der er også en formel for det n'te led: værdien af ethvert led i en aritmetisk progression kan bestemmes som summen af det første led i progressionen med forskellen på progressionen multipliceret med tallet på det ønskede led reduceret med en.

Formlen er universel til at øge og mindske progression.

Et eksempel på beregning af værdien af et givet udtryk

Lad os løse følgende problem med at finde værdien af det n'te led i en aritmetisk progression.

Betingelse: der er en aritmetisk progression med parametre:

Det første led i sekvensen er 3;

Forskellen i talrækken er 1,2.

Opgave: du skal finde værdien af 214 led

Løsning: For at bestemme værdien af et givet udtryk bruger vi formlen:

a(n) = a1 + d(n-1)

Ved at erstatte dataene fra problemformuleringen i udtrykket har vi:

a(214) = a1 + d(n-1)

a(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6

Svar: Det 214. led i sekvensen er lig med 258,6.

Fordelene ved denne beregningsmetode er indlysende - hele løsningen tager ikke mere end 2 linjer.

Summen af et givet antal led

Meget ofte, i en given aritmetisk serie, er det nødvendigt at bestemme summen af værdierne af nogle af dens segmenter. For at gøre dette er der heller ikke behov for at beregne værdierne for hvert led og derefter lægge dem sammen. Denne metode er anvendelig, hvis antallet af termer, hvis sum skal findes, er lille. I andre tilfælde er det mere bekvemt at bruge følgende formel.

Summen af led i en aritmetisk progression fra 1 til n er lig med summen af det første og n'te led, ganget med tallet på led n og divideret med to. Hvis værdien af det n'te led i formlen erstattes af udtrykket fra det foregående afsnit i artiklen, får vi:

Regneeksempel

Lad os for eksempel løse et problem med følgende betingelser:

Det første led i sekvensen er nul;

Forskellen er 0,5.

Problemet kræver at bestemme summen af rækkens vilkår fra 56 til 101.

Løsning. Lad os bruge formlen til at bestemme mængden af progression:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

Først bestemmer vi summen af værdierne af 101 vilkår for progressionen ved at erstatte de givne betingelser for vores problem i formlen:

s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2.525

For at finde ud af summen af vilkårene for progressionen fra den 56. til den 101. er det naturligvis nødvendigt at trække S 55 fra S 101.

s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5

Således er summen af den aritmetiske progression for dette eksempel:

s 101 - s 55 = 2.525 - 742,5 = 1.782,5

Eksempel på praktisk anvendelse af aritmetisk progression

I slutningen af artiklen, lad os vende tilbage til eksemplet med en aritmetisk sekvens givet i første afsnit - et taxameter (taxa bilmåler). Lad os overveje dette eksempel.

At gå ombord på en taxa (som inkluderer 3 km rejse) koster 50 rubler. Hver efterfølgende kilometer betales med en sats på 22 rubler/km. Rejseafstanden er 30 km. Beregn rejsens pris.

1. Lad os kassere de første 3 km, hvis pris er inkluderet i prisen for landing.

30 - 3 = 27 km.

2. Yderligere beregning er ikke andet end at analysere en aritmetisk talrække.

Medlemsnummer - antal kørte kilometer (minus de tre første).

Medlemmets værdi er summen.

Det første led i dette problem vil være lig med en 1 = 50 rubler.

Progressionsforskel d = 22 r.

det tal, vi er interesseret i, er værdien af (27+1) led i den aritmetiske progression - målerstanden i slutningen af den 27. kilometer er 27.999... = 28 km.

a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644

Kalenderdataberegninger for en vilkårligt lang periode er baseret på formler, der beskriver visse numeriske sekvenser. I astronomi er længden af kredsløbet geometrisk afhængig af himmellegemets afstand til stjernen. Derudover er forskellige talserier med succes brugt i statistik og andre anvendte områder af matematik.

En anden type talrække er geometrisk

Geometrisk progression er karakteriseret ved større ændringshastigheder sammenlignet med aritmetisk progression. Det er ikke tilfældigt, at man i politik, sociologi og medicin siger, at processen udvikler sig i geometrisk progression for at vise den høje spredningshastighed af et bestemt fænomen, for eksempel en sygdom under en epidemi.

Det N'te led i den geometriske talrække adskiller sig fra det foregående ved, at det ganges med et eller andet konstant tal - nævneren, for eksempel, det første led er 1, nævneren er tilsvarende lig med 2, så:

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n=3: 4 ∙ 2 = 8

n=4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - værdien af den aktuelle term for den geometriske progression;

b n+1 - formel for det næste led i den geometriske progression;

q er nævneren for den geometriske progression (et konstant tal).

Hvis grafen for en aritmetisk progression er en ret linje, så tegner en geometrisk progression et lidt anderledes billede:

Som i tilfældet med aritmetik har geometrisk progression en formel for værdien af et vilkårligt led. Ethvert n'te led i en geometrisk progression er lig med produktet af det første led og nævneren af progressionen i n potens reduceret med én:

Eksempel. Vi har en geometrisk progression med det første led lig med 3 og nævneren for progressionen lig med 1,5. Lad os finde det 5. led i progressionen

b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1,5 4 = 15.1875

Summen af et givet antal led beregnes også ved hjælp af en speciel formel. Summen af de første n led af en geometrisk progression er lig med forskellen mellem produktet af det n. led af progressionen og dens nævner og det første led i progressionen, divideret med nævneren reduceret med én:

Hvis b n erstattes ved hjælp af formlen diskuteret ovenfor, vil værdien af summen af de første n led i den talserie, der tages i betragtning, antage formen:

Eksempel. Den geometriske progression starter med det første led lig med 1. Nævneren er sat til 3. Lad os finde summen af de første otte led.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

Instruktioner

En aritmetisk progression er en sekvens af formen a1, a1+d, a1+2d..., a1+(n-1)d. Nummer d trin progression.Det er indlysende, at den generelle af en vilkårlig n-te led af aritmetikken progression har formen: An = A1+(n-1)d. Så kender man et af medlemmerne progression, medlem progression og trin progression, kan du, det vil sige nummeret på fremskridtsmedlemmet. Det vil naturligvis blive bestemt af formlen n = (An-A1+d)/d.

Lad nu det månedlige udtryk være kendt progression og et andet medlem progression- nth, men n , som i det foregående tilfælde, men det er kendt, at n og m ikke falder sammen Trin progression kan beregnes ved hjælp af formlen: d = (An-Am)/(n-m). Så er n = (An-Am+md)/d.

Hvis summen af flere elementer i en aritmetisk ligning er kendt progression, såvel som dens første og sidste, så kan antallet af disse elementer også bestemmes progression vil være lig med: S = ((A1+An)/2)n. Så er n = 2S/(A1+An) - chdenov progression. Ved at bruge det faktum, at An = A1+(n-1)d, kan denne formel omskrives som: n = 2S/(2A1+(n-1)d). Ud fra dette kan vi udtrykke n ved at løse en andengradsligning.

En aritmetisk rækkefølge er et ordnet sæt tal, hvor hvert medlem, undtagen det første, adskiller sig fra det foregående med samme mængde. Denne konstante værdi kaldes forskellen på progressionen eller dens trin og kan beregnes ud fra de kendte termer for den aritmetiske progression.

Instruktioner

Hvis værdierne af det første og andet eller et hvilket som helst andet par af tilstødende udtryk er kendt fra betingelserne for problemet, for at beregne forskellen (d) skal du blot trække det forrige fra det efterfølgende udtryk. Den resulterende værdi kan være enten et positivt eller et negativt tal - det afhænger af, om progressionen er stigende. I generel form skal du skrive løsningen for et vilkårligt par (aᵢ og aᵢ₊₁) af naboled af progressionen som følger: d = aᵢ₊₁ - aᵢ.

For et par termer i en sådan progression, hvoraf den ene er den første (a₁), og den anden er en hvilken som helst anden vilkårligt valgt, er det også muligt at oprette en formel til at finde forskellen (d). Men i dette tilfælde skal serienummeret (i) på et vilkårligt udvalgt medlem af sekvensen være kendt. For at beregne forskellen skal du tilføje begge tal og dividere det resulterende resultat med ordenstallet for et vilkårligt led reduceret med én. Generelt skal du skrive denne formel som følger: d = (a₁+ aᵢ)/(i-1).

Hvis der ud over et vilkårligt medlem af en aritmetisk progression med ordenstal i kendes et andet led med ordenstal u, skal du ændre formlen fra det foregående trin tilsvarende. I dette tilfælde vil forskellen (d) af progressionen være summen af disse to led divideret med forskellen mellem deres ordenstal: d = (aᵢ+aᵥ)/(i-v).

Formlen til beregning af forskellen (d) bliver noget mere kompliceret, hvis problembetingelserne giver værdien af dets første led (a₁) og summen (Sᵢ) af et givet tal (i) af de første led i den aritmetiske rækkefølge. For at opnå den ønskede værdi skal du dividere summen med antallet af led, der udgør den, trække værdien af det første tal i rækkefølgen fra og fordoble resultatet. Divider den resulterende værdi med antallet af led, der udgør summen, reduceret med én. Generelt skal du skrive formlen til beregning af diskriminanten som følger: d = 2*(Sᵢ/i-a₁)/(i-1).

Opmærksomhed!
Der er yderligere
materialer i specialafsnit 555.
For dem, der er meget "ikke meget..."
Og for dem, der "meget...")

En aritmetisk progression er en række tal, hvor hvert tal er større (eller mindre) end det foregående med samme mængde.

Dette emne virker ofte komplekst og uforståeligt. Indekserne for bogstaverne, det n'te led af progressionen, forskellen på progressionen - alt dette er på en eller anden måde forvirrende, ja... Lad os finde ud af betydningen af den aritmetiske progression, og alt vil blive bedre med det samme.)

Begrebet aritmetisk progression.

Aritmetisk progression er et meget enkelt og klart koncept. Er du i tvivl? Forgæves.) Se selv.

Jeg vil skrive en ufærdig række tal:

1, 2, 3, 4, 5, ...

Kan du forlænge denne serie? Hvilke tal kommer dernæst efter de fem? Alle... øh..., kort sagt, alle vil indse, at tallene 6, 7, 8, 9 osv. kommer næste gang.

Lad os komplicere opgaven. Jeg giver dig en ufærdig række af tal:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Du vil være i stand til at fange mønsteret, udvide serien og navngive syvende rækkenummer?

Hvis du indså, at dette tal er 20, tillykke! Ikke kun følte du nøglepunkter i aritmetisk progression, men også med succes brugt dem i erhvervslivet! Hvis du ikke har fundet ud af det, så læs videre.

Lad os nu oversætte nøglepunkterne fra sansninger til matematik.)

Første nøglepunkt.

Aritmetisk progression omhandler talrækker. Dette er forvirrende i starten. Vi er vant til at løse ligninger, tegne grafer og alt det der... Men her forlænger vi rækken, finder rækkens nummer...

Det er okay. Det er bare, at progressioner er det første bekendtskab med en ny gren af matematik. Afsnittet hedder "Serie" og arbejder specifikt med rækker af tal og udtryk. Væn dig til det.)

Andet nøglepunkt.

I en aritmetisk progression er ethvert tal anderledes end det foregående med samme beløb.

I det første eksempel er denne forskel én. Uanset hvilket nummer du tager, er det et mere end det forrige. I den anden - tre. Ethvert tal er tre mere end det foregående. Faktisk er det dette øjeblik, der giver os mulighed for at forstå mønsteret og beregne efterfølgende tal.

Tredje nøglepunkt.

Dette øjeblik er ikke slående, ja... Men det er meget, meget vigtigt. Her er det: Hvert progressionsnummer er på sin plads. Der er det første tal, der er det syvende, der er det femogfyrre osv. Hvis du blander dem tilfældigt, forsvinder mønsteret. Aritmetisk progression vil også forsvinde. Det, der er tilbage, er kun en række tal.

Det er hele pointen.

Naturligvis dukker der nye termer og betegnelser op i et nyt emne. Du skal kende dem. Ellers forstår du ikke opgaven. For eksempel bliver du nødt til at beslutte noget som:

Skriv de første seks led ned i den aritmetiske progression (a n), hvis a 2 = 5, d = -2,5.

Inspirerende?) Breve, nogle indekser... Og opgaven kunne i øvrigt ikke være enklere. Du skal blot forstå betydningen af begreberne og betegnelserne. Nu vil vi mestre denne sag og vende tilbage til opgaven.

Vilkår og betegnelser.

Aritmetisk progression er en række tal, hvor hvert tal er forskelligt fra det foregående med samme beløb.

Denne mængde kaldes . Lad os se på dette koncept mere detaljeret.

Aritmetisk progressionsforskel.

Aritmetisk progressionsforskel er det beløb, som ethvert progressionsnummer med mere forrige.

En vigtig pointe. Vær venligst opmærksom på ordet "mere". Matematisk betyder det, at hvert progressionsnummer er ved at tilføje forskellen i aritmetisk progression til det foregående tal.

For at beregne, lad os sige anden numre i serien, skal du først antal tilføje netop denne forskel på en aritmetisk progression. Til beregning femte- forskellen er nødvendig tilføje Til fjerde, godt osv.

Aritmetisk progressionsforskel Kan være positiv, så vil hvert tal i serien vise sig at være ægte mere end den forrige. Denne progression kaldes stigende. For eksempel:

8; 13; 18; 23; 28; .....

Her fås hvert nummer ved at tilføje positivt tal, +5 til det forrige.

Forskellen kan være negativ, så vil hvert tal i serien være mindre end den forrige. Denne progression kaldes (du vil ikke tro det!) faldende.

For eksempel:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Her fås også hvert nummer ved at tilføje til den forrige, men allerede et negativt tal, -5.

Forresten, når man arbejder med progression, er det meget nyttigt straks at bestemme dens karakter - om det er stigende eller faldende. Dette hjælper meget med at navigere i beslutningen, opdage dine fejl og rette dem, før det er for sent.

Aritmetisk progressionsforskel normalt angivet med bogstavet d.

Sådan finder du d? Meget simpelt. Det er nødvendigt at trække fra ethvert tal i serien tidligere antal. Trække fra. Forresten kaldes resultatet af subtraktion "forskel".)

Lad os definere f.eks. d for at øge aritmetisk progression:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Vi tager et hvilket som helst tal i rækken, som vi ønsker, for eksempel 11. Vi trækker fra det tidligere nummer dem. 8:

Dette er det rigtige svar. For denne aritmetiske progression er forskellen tre.

Du kan tage det ethvert progressionsnummer, fordi for en bestemt progression d-altid det samme. I hvert fald et sted i begyndelsen af rækken, i hvert fald i midten, i hvert fald hvor som helst. Du kan ikke kun tage det allerførste tal. Simpelthen fordi det allerførste nummer ingen tidligere.)

Forresten, ved det d=3, at finde det syvende tal i denne progression er meget simpelt. Lad os lægge 3 til det femte tal - vi får det sjette tal, det bliver 17. Lad os lægge tre til det sjette tal, vi får det syvende tal - tyve.

Lad os definere d for faldende aritmetisk progression:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Jeg minder dig om, at uanset tegnene, at bestemme d behov fra ethvert nummer fjerne den forrige. Vælg et hvilket som helst progressionsnummer, for eksempel -7. Hans tidligere tal er -2. Så:

d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5

Forskellen på en aritmetisk progression kan være et hvilket som helst tal: heltal, brøk, irrationel, et hvilket som helst tal.

Andre udtryk og betegnelser.

Hvert tal i serien kaldes medlem af en aritmetisk progression.

Hvert medlem af progressionen har sit eget nummer. Tallene er strengt i orden, uden nogen tricks. Første, anden, tredje, fjerde osv. For eksempel, i forløbet 2, 5, 8, 11, 14, ... to er det første led, fem er det andet, elleve er det fjerde, ja, du forstår...) Forstå venligst tydeligt - selve tallene kan være absolut hvad som helst, hel, brøkdel, negativ, hvad som helst, men nummerering af numre- strengt taget i orden!

Hvordan skriver man en progression i generel form? Ingen spørgsmål! Hvert tal i en serie skrives som et bogstav. For at betegne en aritmetisk progression bruges bogstavet normalt -en. Medlemsnummeret er angivet med et indeks nederst til højre. Vi skriver termer adskilt af kommaer (eller semikolon), som dette:

en 1, en 2, en 3, en 4, en 5, .....

en 1- dette er det første nummer, en 3- tredje osv. Ikke noget fancy. Denne serie kan kort skrives sådan: (en n).

Der sker fremskridt endelig og uendelig.

Ultimativt progressionen har et begrænset antal medlemmer. Fem, otteogtredive, hvad som helst. Men det er et begrænset antal.

Uendelig progression - har et uendeligt antal medlemmer, som du måske kan gætte.)

Du kan skrive den endelige progression gennem en serie som denne, alle udtryk og en prik til sidst:

en 1, en 2, en 3, en 4, en 5.

Eller sådan her, hvis der er mange medlemmer:

en 1, en 2, ... en 14, en 15.

I den korte post skal du desuden angive antallet af medlemmer. For eksempel (for tyve medlemmer), sådan her:

(a n), n = 20

En uendelig progression kan genkendes af ellipsen i slutningen af rækken, som i eksemplerne i denne lektion.

Nu kan du løse opgaverne. Opgaverne er enkle, udelukkende for at forstå betydningen af en aritmetisk progression.

Eksempler på opgaver om aritmetisk progression.

Lad os se nærmere på opgaven ovenfor:

1. Skriv de første seks led af den aritmetiske progression (a n), hvis a 2 = 5, d = -2,5.

Vi oversætter opgaven til et forståeligt sprog. Der er givet en uendelig aritmetisk progression. Det andet nummer af denne progression er kendt: a 2 = 5. Progressionsforskellen er kendt: d = -2,5. Vi skal finde det første, tredje, fjerde, femte og sjette led i denne progression.

For klarhedens skyld vil jeg skrive en serie ned i henhold til problemets betingelser. De første seks termer, hvor den anden term er fem:

en 1, 5, en 3, en 4, en 5, en 6,....

en 3 = en 2 + d

Erstatning til udtryk a 2 = 5 Og d = -2,5. Glem ikke minus!

en 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

Den tredje periode viste sig at være mindre end den anden. Alt er logisk. Hvis tallet er større end det foregående negativ værdi, hvilket betyder, at selve tallet vil være mindre end det foregående. Progressionen er aftagende. Okay, lad os tage det i betragtning.) Vi tæller den fjerde term i vores serie:

en 4 = en 3 + d

en 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

en 5 = en 4 + d

en 5=0+(-2,5)= - 2,5

en 6 = en 5 + d

en 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

Så termer fra tredje til sjette blev beregnet. Resultatet er følgende serie:

a 1, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ....

Det er tilbage at finde det første udtryk en 1 ifølge den velkendte anden. Dette er et skridt i den anden retning, til venstre.) Altså forskellen i den aritmetiske progression d skal ikke tilføjes en 2, A take away:

en 1 = en 2 - d

en 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

Det er det. Opgavebesvarelse:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

I forbifarten vil jeg bemærke, at vi løste denne opgave Det vil sige, at hver gang, for at finde værdien af det n'te led i sekvensen, vender vi tilbage til de to foregående. Denne metode til at specificere en sekvens kaldes vej. Dette forfærdelige ord betyder kun søgningen efter et medlem af progressionen ifølge det foregående (tilstødende) nummer. Vi vil se på andre måder at arbejde med progression nedenfor.

En vigtig konklusion kan drages af denne enkle opgave.

Huske:

Hvis vi kender mindst et led og forskellen på en aritmetisk progression, kan vi finde et hvilket som helst led i denne progression.

Kan du huske? Denne enkle konklusion giver dig mulighed for at løse de fleste problemer i skoleforløbet om dette emne. Alle opgaver kredser om tre hovedparametre: medlem af en aritmetisk progression, forskel på en progression, nummer på et medlem af progressionen. Alle.

Selvfølgelig er al tidligere algebra ikke annulleret.) Uligheder, ligninger og andre ting er knyttet til progression. Men i henhold til selve progressionen- alt drejer sig om tre parametre.

Lad os som et eksempel se på nogle populære opgaver om dette emne.

2. Skriv den endelige aritmetiske progression som en række, hvis n=5, d = 0,4 og a 1 = 3,6.

Alt er enkelt her. Alt er allerede givet. Du skal huske, hvordan medlemmerne af en aritmetisk progression tælles, tælle dem og skrive dem ned. Det er tilrådeligt ikke at gå glip af ordene i opgavebetingelserne: "endelig" og " n=5". For ikke at tælle før du er helt blå i ansigtet.) Der er kun 5 (fem) medlemmer i denne progression:

a 2 = a 1 + d = 3,6 + 0,4 = 4

a 3 = a 2 + d = 4 + 0,4 = 4,4

en 4 = en 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8

en 5 = en 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2

Det er tilbage at skrive svaret ned:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

En anden opgave:

3. Bestem, om tallet 7 vil være et medlem af den aritmetiske progression (a n), hvis a1 = 4,1; d = 1,2.

Hmm... Hvem ved? Hvordan bestemmer man noget?

Hvordan-hvordan... Skriv forløbet ned i form af en serie og se, om der kommer en syv der eller ej! Vi tæller:

a 2 = a 1 + d = 4,1 + 1,2 = 5,3

a 3 = a 2 + d = 5,3 + 1,2 = 6,5

en 4 = en 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

Nu er det tydeligt at se, at vi kun er syv slap igennem mellem 6,5 og 7,7! Syv faldt ikke ind i vores talrække, og derfor vil syv ikke være medlem af den givne progression.

Svar: nej.

Og her er et problem baseret på en rigtig version af GIA:

4. Flere på hinanden følgende led i den aritmetiske progression er skrevet ud:

...; 15; X; 9; 6; ...

Her er en serie skrevet uden ende og begyndelse. Ingen medlemsnumre, ingen forskel d. Det er okay. For at løse problemet er det nok at forstå betydningen af en aritmetisk progression. Lad os se og se, hvad der er muligt at vide fra denne serie? Hvad er de tre hovedparametre?

Medlemstal? Der er ikke et eneste tal her.

Men der er tre tal og - opmærksomhed! - ord "konsekvent" i stand. Det betyder, at tallene er strengt i orden, uden huller. Er der to i denne række? nabo kendte tal? Ja, det har jeg! Disse er 9 og 6. Derfor kan vi beregne forskellen på den aritmetiske progression! Træk fra seks tidligere nummer, dvs. ni:

Der er kun småting tilbage. Hvilket tal vil være det forrige for X? Femten. Det betyder, at X let kan findes ved simpel addition. Tilføj forskellen mellem den aritmetiske progression til 15:

Det er det. Svar: x=12

Vi løser selv følgende problemer. Bemærk: disse problemer er ikke baseret på formler. Rent for at forstå betydningen af en aritmetisk progression.) Vi skriver bare en række tal og bogstaver ned, ser og finder ud af det.

5. Find det første positive led i den aritmetiske progression, hvis a 5 = -3; d = 1,1.

6. Det er kendt, at tallet 5,5 er et medlem af den aritmetiske progression (a n), hvor a 1 = 1,6; d = 1,3. Bestem tallet n for dette led.

7. Det er kendt, at i aritmetisk progression a 2 = 4; a 5 = 15,1. Find en 3.

8. Flere på hinanden følgende led i den aritmetiske progression er skrevet ud:

...; 15,6; X; 3,4; ...

Find leddet for progressionen angivet med bogstavet x.

9. Toget begyndte at bevæge sig fra stationen og øgede ensartet hastigheden med 30 meter i minuttet. Hvad bliver togets hastighed om fem minutter? Giv dit svar i km/time.

10. Det er kendt, at i aritmetisk progression a 2 = 5; a 6 = -5. Find en 1.

Svar (i uorden): 7,7; 7,5; 9,5; 9; 0,3; 4.

Gik alting? Forbløffende! Du kan mestre aritmetisk progression på et højere niveau i de følgende lektioner.

Gik alting ikke? Intet problem. I specialafsnit 555 er alle disse problemer sorteret fra stykke for stykke.) Og selvfølgelig beskrives en simpel praktisk teknik, der straks fremhæver løsningen på sådanne opgaver klart, klart, med et blik!

I togpuslespillet er der i øvrigt to problemer, som folk ofte snubler over. Den ene er udelukkende med hensyn til progression, og den anden er generel for alle problemer i matematik og fysik også. Dette er en oversættelse af dimensioner fra den ene til den anden. Det viser, hvordan disse problemer skal løses.

I denne lektion så vi på den elementære betydning af en aritmetisk progression og dens hovedparametre. Dette er nok til at løse næsten alle problemer om dette emne. Tilføje d til tallene, skriv en serie, alt vil blive løst.

Fingeropløsningen fungerer godt til meget korte stykker af en række, som i eksemplerne i denne lektion. Hvis serien er længere, bliver beregningerne mere komplicerede. For eksempel, hvis vi i opgave 9 i spørgsmålet erstatter "fem minutter" på "femogtredive minutter" problemet vil blive væsentligt værre.)

Og der er også opgaver, der i bund og grund er enkle, men absurde i form af beregninger, for eksempel:

Der gives en aritmetisk progression (a n). Find en 121, hvis a 1 =3 og d=1/6.

Så hvad, skal vi tilføje 1/6 mange, mange gange?! Kan du slå dig selv ihjel!?

Det kan du.) Hvis du ikke kender en simpel formel, hvormed du kan løse sådanne opgaver på et minut. Denne formel vil være i næste lektion. Og dette problem er løst der. Om et minut.)