Settet med alle primitiver. Antiderivativ funksjon og ubestemt integral

Mål:

Dannelse av begrepet antiderivat.
Forberedelse for oppfatningen av integralet.
Dannelse av dataferdigheter.
Å dyrke en følelse av skjønnhet (evnen til å se skjønnhet i det uvanlige).

Matematisk analyse er et sett med grener av matematikk viet til studiet av funksjoner og deres generaliseringer ved bruk av metodene for differensial- og integralregning.

Til nå har vi studert en gren av matematisk analyse kalt differensialregning, hvis essens er studiet av en funksjon i det "små".

De. studie av en funksjon i tilstrekkelig små nabolag av hvert definisjonspunkt. En av operasjonene til differensiering er å finne den deriverte (differensial) og bruke den til studiet av funksjoner.

Det omvendte problemet er ikke mindre viktig. Hvis oppførselen til en funksjon i nærheten av hvert punkt i dens definisjon er kjent, hvordan kan man da rekonstruere funksjonen som en helhet, dvs. gjennom hele omfanget av definisjonen. Denne oppgaven er gjenstand for studier av den såkalte integralregningen.

Integrasjon er den omvendte handlingen av differensiering. Eller gjenopprette funksjonen f(x) fra en gitt derivert f`(x). latinsk ord"Integro" betyr restaurering.

Eksempel nr. 1.

La (x)`=3x2.
La oss finne f(x).

Løsning:

Basert på differensieringsregelen er det ikke vanskelig å gjette at f(x) = x 3, fordi (x 3)` = 3x 2
Du kan imidlertid lett legge merke til at f(x) ikke finnes unikt.
Som f(x) kan vi ta
f(x)= x 3 +1
f(x)= x 3 +2
f(x)= x 3 -3 osv.

Fordi den deriverte av hver av dem er lik 3x2. (Den deriverte av en konstant er 0). Alle disse funksjonene skiller seg fra hverandre med et konstant ledd. Det er derfor generell løsning oppgaven kan skrives på formen f(x)= x 3 +C, hvor C er et hvilket som helst konstant reelt tall.

Enhver av de funne funksjonene f(x) kalles PRIMODIUM for funksjonen F`(x)= 3x 2

Definisjon. En funksjon F(x) kalles antiderivert for en funksjon f(x) på et gitt intervall J hvis for alle x fra dette intervallet F`(x)= f(x). Så funksjonen F(x)=x 3 er antiderivert for f(x)=3x 2 på (- ∞ ; ∞).
Siden for alle x ~R er likheten sann: F`(x)=(x 3)`=3x 2

Som vi allerede har lagt merke til, har denne funksjonen et uendelig antall antiderivater (se eksempel nr. 1).

Eksempel nr. 2. Funksjonen F(x)=x er antiderivert for alle f(x)= 1/x i intervallet (0; +), fordi for alle x fra dette intervallet gjelder likhet.
F`(x)= (x 1/2)`=1/2x -1/2 =1/2x

Eksempel nr. 3. Funksjonen F(x)=tg3x er en antiderivert for f(x)=3/cos3x på intervallet (-n/ 2; p/ 2),
fordi F`(x)=(tg3x)`= 3/cos 2 3x

Eksempel nr. 4. Funksjonen F(x)=3sin4x+1/x-2 er antiderivert for f(x)=12cos4x-1/x 2 på intervallet (0;∞)
fordi F`(x)=(3sin4x)+1/x-2)`= 4cos4x-1/x 2

Forelesning 2.

Emne: Antiderivat. Hovedegenskapen til en antiderivatfunksjon.

Når vi studerer antiderivatet, vil vi stole på følgende uttalelse. Tegn på konstans for en funksjon: Hvis på intervallet J den deriverte Ψ(x) av funksjonen er lik 0, så er funksjonen Ψ(x) konstant på dette intervallet.

Dette utsagnet kan demonstreres geometrisk.

Det er kjent at Ψ`(x)=tgα, γde α er helningsvinkelen til tangenten til grafen til funksjonen Ψ(x) i punktet med abscisse x 0. Hvis Ψ`(υ)=0 på et hvilket som helst punkt i intervallet J, så er tanα=0 δ for enhver tangent til grafen til funksjonen Ψ(x). Dette betyr at tangenten til grafen til funksjonen på et hvilket som helst punkt er parallell med abscisseaksen. Derfor, på det angitte intervallet, faller grafen til funksjonen Ψ(x) sammen med det rette linjestykket y=C.

Så funksjonen f(x)=c er konstant på intervallet J hvis f`(x)=0 på dette intervallet.

Faktisk, for en vilkårlig x 1 og x 2 fra intervallet J, ved å bruke teoremet om middelverdien til en funksjon, kan vi skrive:
f(x 2) - f(x 1) = f`(c) (x 2 - x 1), fordi f`(c)=0, deretter f(x 2)= f(x 1)

Teorem: (Hovedegenskapen til den antiderivative funksjonen)

Hvis F(x) er en av antiderivertene for funksjonen f(x) på intervallet J, så har settet av alle antiderivertene av denne funksjonen formen: F(x)+C, hvor C er et hvilket som helst reelt tall.

Bevis:

La F`(x) = f (x), deretter (F(x)+C)`= F`(x)+C`= f (x), for x Є J.
Anta at det finnes Φ(x) - et annet antiderivat for f (x) på intervallet J, dvs. Φ`(x) = f (x),
deretter (Φ(x) - F(x))` = f (x) – f (x) = 0, for x Є J.
Dette betyr at Φ(x) - F(x) er konstant på intervallet J.
Derfor er Φ(x) - F(x) = C.
Fra hvor Φ(x)= F(x)+C.
Dette betyr at hvis F(x) er en antiderivert for en funksjon f (x) på intervallet J, så har settet av alle antideriverte av denne funksjonen formen: F(x)+C, hvor C er et hvilket som helst reelt tall.
Følgelig skiller to antiderivater av en gitt funksjon seg fra hverandre med et konstant ledd.

Eksempel: Finn settet med antideriverte av funksjonen f (x) = cos x. Tegn grafer av de tre første.

Løsning: Sin x er en av antiderivatene for funksjonen f (x) = cos x
F(x) = Sin x+C – settet av alle antiderivater.

F 1 (x) = Sin x-1
F 2 (x) = Sin x
F 3 (x) = Sin x+1

Geometrisk illustrasjon: Grafen til ethvert antiderivat F(x)+C kan fås fra grafen til antiderivatet F(x) ved bruk av parallelloverføring r (0;c).

Eksempel: For funksjonen f (x) = 2x, finn en antiderivert hvis graf går gjennom t.M (1;4)

Løsning: F(x)=x 2 +C – settet av alle antiderivater, F(1)=4 – i henhold til betingelsene for problemet.
Derfor er 4 = 1 2 +C
C = 3
F(x) = x 2 +3

En av operasjonene til differensiering er å finne den deriverte (differensial) og bruke den til studiet av funksjoner.

Integrasjon er den omvendte handlingen av differensiering. Eller gjenopprette funksjonen f(x) fra en gitt derivert f`(x). Det latinske ordet "integro" betyr restaurering.

Eksempel nr. 1.

La (f(x))' = 3x 2. La oss finne f(x).

Løsning:

Ut fra differensieringsregelen er det ikke vanskelig å gjette at f(x) = x 3, fordi

(x 3)’ = 3x 2 Du kan imidlertid lett legge merke til at f(x) ikke finnes unikt. Som f(x) kan du ta f(x)= x 3 +1 f(x)= x 3 +2 f(x)= x 3 -3, osv.

Fordi den deriverte av hver av dem er 3x2. (Den deriverte av en konstant er 0). Alle disse funksjonene skiller seg fra hverandre med et konstant ledd. Derfor kan den generelle løsningen på problemet skrives som f(x) = x 3 + C, der C er et hvilket som helst konstant reelt tall.

Enhver av de funne funksjonene f(x) kalles antiderivat for funksjonen F`(x)= 3x 2

Definisjon.

En funksjon F(x) kalles antiderivert for en funksjon f(x) på et gitt intervall J hvis for alle x fra dette intervallet F`(x)= f(x). Så funksjonen F(x)=x 3 er antiderivert for f(x)=3x 2 på (- ∞ ; ∞). Siden for alle x ~R er likheten sann: F`(x)=(x 3)`=3x 2

Som vi allerede har lagt merke til, har denne funksjonen et uendelig antall antiderivater.

Eksempel nr. 2.

Funksjonen er antiderivert for alle på intervallet (0; +∞), fordi for alle h fra dette intervallet, gjelder likhet.

Problemet med integrering er å gitt funksjon finne alle antiderivatene. Når du løser dette problemet, spiller følgende utsagn en viktig rolle:

Et tegn på konstant funksjon. Hvis F"(x) = 0 på et intervall I, så er funksjonen F konstant på dette intervallet.

Bevis.

La oss fikse noen x 0 fra intervallet I. Så for et hvilket som helst tall x fra et slikt intervall, i kraft av Lagrange-formelen, kan vi indikere et tall c inneholdt mellom x og x 0 slik at

F(x) - F(x 0) = F"(c)(x-x 0).

Ved betingelse er F’ (c) = 0, siden c ∈1, derfor,

F(x) - F(x 0) = 0.

Så for alle x fra intervallet I

det vil si at funksjonen F opprettholder en konstant verdi.

Alle antideriverte funksjoner f kan skrives ved hjelp av én formel, som kalles generell form for antiderivater for funksjonen f. Følgende teorem er sant ( hovedegenskapen til antiderivater):

Teorem. Enhver antideriverte for en funksjon f på intervallet I kan skrives i formen

F(x) + C, (1) hvor F (x) er en av antiderivatene for funksjonen f (x) på intervallet I, og C er en vilkårlig konstant.

La oss forklare denne uttalelsen, der to egenskaper til antiderivatet er kort formulert:

Uansett hvilket tall vi setter i uttrykk (1) i stedet for C, får vi antideriverten for f på intervallet I;
uansett hvilken antideriverte Ф for f på intervallet I tas, er det mulig å velge et tall C slik at for alle x fra intervallet I er likheten

Bevis.

Ved betingelse er funksjonen F antiderivert for f på intervallet I. Derfor er F"(x)= f (x) for enhver x∈1, derfor (F(x) + C)" = F"(x) + C"= f(x)+0=f(x), dvs. F(x) + C er antideriverten for funksjonen f.
La Ф (x) være en av antiderivertene for funksjonen f på samme intervall I, dvs. Ф "(x) = f (х) for alle x∈I.

Deretter (Ф(x) - F (x))" = Ф"(x)-F' (x) = f(x)-f(x)=0.

Herfra følger ca. kraften til funksjonens konstanttegnet, at forskjellen Ф(х) - F(х) er en funksjon som tar en konstant verdi C på intervallet I.

For alle x fra intervallet I er altså likheten Ф(x) - F(x)=С sann, som er det som måtte bevises. Hovedegenskapen til antiderivatet kan gis en geometrisk betydning: grafer av to antiderivater for funksjonen f oppnås fra hverandre ved parallell translasjon langs Oy-aksen

Spørsmål til notater

Funksjonen F(x) er en antiderivert av funksjonen f(x). Finn F(1) hvis f(x)=9x2 - 6x + 1 og F(-1) = 2.

Finn alle antiderivater for funksjonen

For funksjonen (x) = cos2 * sin2x, finn antideriverten til F(x) hvis F(0) = 0.

For en funksjon, finn en antiderivert hvis graf går gjennom punktet

Leksjon og presentasjon om emnet: "En antiderivativ funksjon. Graf over en funksjon"

Ytterligere materialer
Kjære brukere, ikke glem å legge igjen kommentarer, anmeldelser, ønsker! Alt materiale er sjekket av et antivirusprogram.

Læremidler og simulatorer i Integral nettbutikk for 11. klasse
Algebraiske problemer med parametere, klassetrinn 9–11
"Interaktive oppgaver om å bygge i rom for klasse 10 og 11"

Antiderivativ funksjon. Introduksjon

Gutter, du vet hvordan du finner avledede funksjoner ved å bruke forskjellige formler og regler. I dag skal vi studere den inverse operasjonen for å beregne den deriverte. Begrepet derivat brukes ofte i det virkelige liv. La meg minne deg på: den deriverte er endringshastigheten til en funksjon på et spesifikt punkt. Prosesser som involverer bevegelse og hastighet er godt beskrevet i disse begrepene.

La oss se på dette problemet: “Hastigheten til et objekt som beveger seg i en rett linje er beskrevet av formelen $V=gt$ Vi trenger å gjenopprette bevegelsesloven.
Løsning.
Vi kjenner formelen godt: $S"=v(t)$, der S er bevegelsesloven.
Vår oppgave går ut på å finne en funksjon $S=S(t)$ hvis deriverte er lik $gt$. Når du ser nøye etter, kan du gjette at $S(t)=\frac(g*t^2)(2)$.
La oss sjekke riktigheten av løsningen på dette problemet: $S"(t)=(\frac(g*t^2)(2))"=\frac(g)(2)*2t=g*t$.
Når vi kjente den deriverte av funksjonen, fant vi selve funksjonen, det vil si at vi utførte den inverse operasjonen.
Men det er verdt å ta hensyn til dette øyeblikket. Løsningen på problemet vårt krever avklaring hvis vi legger til et hvilket som helst tall (konstant) til funnfunksjonen, vil verdien av den deriverte ikke endres: $S(t)=\frac(g*t^2)(2)+; c,c=konst$.
$S"(t)=(\frac(g*t^2)(2))"+c"=g*t+0=g*t$.

Gutter, vær oppmerksom: problemet vårt har et uendelig antall løsninger!
Hvis problemet ikke spesifiserer en initial eller en annen tilstand, ikke glem å legge til en konstant til løsningen. For eksempel kan oppgaven vår spesifisere posisjonen til kroppen vår helt i begynnelsen av bevegelsen. Da er det ikke vanskelig å beregne konstanten ved å erstatte null i den resulterende ligningen, får vi verdien av konstanten.

Hva kalles denne operasjonen?
Den inverse operasjonen av differensiering kalles integrasjon.
Finne en funksjon fra en gitt derivert – integrasjon.
Selve funksjonen vil bli kalt et antiderivat, det vil si bildet som den deriverte av funksjonen ble hentet fra.
Det er vanlig å skrive antiderivatet stor bokstav$y=F"(x)=f(x)$.

Definisjon. Funksjonen $y=F(x)$ kalles antideriverten til funksjonen $у=f(x)$ på intervallet X hvis likheten $F'(x)=f(x)$ gjelder for noen $хϵХ$ .

La oss lage en tabell over antiderivater for ulike funksjoner. Den skal skrives ut som en påminnelse og huskes.

Det er ingen i tabellen vår innledende forhold ble ikke spurt. Dette betyr at en konstant skal legges til hvert uttrykk på høyre side av tabellen. Vi vil avklare denne regelen senere.

Regler for å finne antiderivater

La oss skrive ned noen regler som vil hjelpe oss med å finne antiderivater. De ligner alle på differensieringsreglene.

Regel 1. Antiderivaten til en sum er lik summen av antiderivatene. $F(x+y)=F(x)+F(y)$.

Eksempel.
Finn antideriverten for funksjonen $y=4x^3+cos(x)$.
Løsning.
Antideriverten av summen er lik summen av antiderivatene, da må vi finne antideriverten for hver av de presenterte funksjonene.
$f(x)=4x^3$ => $F(x)=x^4$.
$f(x)=cos(x)$ => $F(x)=sin(x)$.
Da vil antideriverten til den opprinnelige funksjonen være: $y=x^4+sin(x)$ eller en hvilken som helst funksjon av formen $y=x^4+sin(x)+C$.

Regel 2. Hvis $F(x)$ er en antiderivert for $f(x)$, så er $k*F(x)$ en antiderivert for funksjonen $k*f(x)$.(Vi kan enkelt ta koeffisienten som en funksjon).

Eksempel.
Finn antiderivater av funksjoner:
a) $y=8sin(x)$.
b) $y=-\frac(2)(3)cos(x)$.
c) $y=(3x)^2+4x+5$.
Løsning.
a) Antiderivatet til $sin(x)$ er minus $cos(x)$. Da vil antideriverten til den opprinnelige funksjonen ha formen: $y=-8cos(x)$.

B) Antideriverten til $cos(x)$ er $sin(x)$. Da vil antideriverten til den opprinnelige funksjonen ha formen: $y=-\frac(2)(3)sin(x)$.

C) Antideriverten for $x^2$ er $\frac(x^3)(3)$. Antideriverten til x er $\frac(x^2)(2)$. Antiderivatet av 1 er x. Da vil antideriverten til den opprinnelige funksjonen ha formen: $y=3*\frac(x^3)(3)+4*\frac(x^2)(2)+5*x=x^3+2x ^2+5x$ .

Regel 3. Hvis $у=F(x)$ er en antideriverte for funksjonen $y=f(x)$, så er antideriverten for funksjonen $y=f(kx+m)$ funksjonen $y=\frac(1) )(k)* F(kx+m)$.

Eksempel.
Finn antiderivater av følgende funksjoner:
a) $y=cos(7x)$.
b) $y=sin(\frac(x)(2))$.
c) $y=(-2x+3)^3$.
d) $y=e^(\frac(2x+1)(5))$.
Løsning.
a) Antideriverten til $cos(x)$ er $sin(x)$. Da vil antideriverten for funksjonen $y=cos(7x)$ være funksjonen $y=\frac(1)(7)*sin(7x)=\frac(sin(7x))(7)$.

B) Antideriverten til $sin(x)$ er minus $cos(x)$. Da vil antideriverten for funksjonen $y=sin(\frac(x)(2))$ være funksjonen $y=-\frac(1)(\frac(1)(2))cos(\frac(x) )(2) )=-2cos(\frac(x)(2))$.

C) Antideriverten for $x^3$ er $\frac(x^4)(4)$, deretter antideriverten til den opprinnelige funksjonen $y=-\frac(1)(2)*\frac(((- 2x+3) )^4)(4)=-\frac(((-2x+3))^4)(8)$.

D) Forenkle uttrykket litt til potensen $\frac(2x+1)(5)=\frac(2)(5)x+\frac(1)(5)$.
Antideriverten til eksponentialfunksjonen er seg selv eksponentiell funksjon. Antideriverten til den opprinnelige funksjonen vil være $y=\frac(1)(\frac(2)(5))e^(\frac(2)(5)x+\frac(1)(5))=\frac (5)( 2)*e^(\frac(2x+1)(5))$.

Teorem. Hvis $y=F(x)$ er en antiderivert for funksjonen $y=f(x)$ i intervallet X, så har funksjonen $y=f(x)$ uendelig mange antideriverte, og alle har form $y=F( x)+С$.

Hvis det i alle eksemplene vurdert ovenfor var nødvendig å finne settet med alle antiderivater, bør konstanten C legges til overalt.
For funksjonen $y=cos(7x)$ har alle antiderivater formen: $y=\frac(sin(7x))(7)+C$.
For funksjonen $y=(-2x+3)^3$ har alle antiderivater formen: $y=-\frac(((-2x+3))^4)(8)+C$.

Eksempel.
I henhold til den gitte loven om endring i et legemes hastighet over tid $v=-3sin(4t)$, finn bevegelsesloven $S=S(t)$ hvis kroppen i det første øyeblikket hadde en koordinat lik 1,75.
Løsning.
Siden $v=S’(t)$, må vi finne antideriverten for en gitt hastighet.
$S=-3*\frac(1)(4)(-cos(4t))+C=\frac(3)(4)cos(4t)+C$.
I dette problemet er en tilleggsbetingelse gitt - det første øyeblikket. Dette betyr at $t=0$.
$S(0)=\frac(3)(4)cos(4*0)+C=\frac(7)(4)$.
$\frac(3)(4)cos(0)+C=\frac(7)(4)$.
$\frac(3)(4)*1+C=\frac(7)(4)$.
$C=1$.
Da beskrives bevegelsesloven med formelen: $S=\frac(3)(4)cos(4t)+1$.

Problemer å løse selvstendig

1. Finn antiderivater av funksjoner:
a) $y=-10sin(x)$.
b) $y=\frac(5)(6)cos(x)$.
c) $y=(4x)^5+(3x)^2+5x$.
2. Finn antiderivater av følgende funksjoner:
a) $y=cos(\frac(3)(4)x)$.
b) $y=sin(8x)$.
c) $y=((7x+4))^4$.
d) $y=e^(\frac(3x+1)(6))$.
3. I henhold til den gitte loven om endring i et legemes hastighet over tid $v=4cos(6t)$, finn bevegelsesloven $S=S(t)$ hvis kroppen i det første øyeblikket hadde en koordinat lik 2.

Ubestemt integral

Hovedoppgaven til differensialregning var å beregne den deriverte eller differensialen til en gitt funksjon. Integralregning, som vi går videre til studiet av, løser det inverse problemet, nemlig å finne selve funksjonen fra dens deriverte eller differensial. Det vil si å ha dF(x)= f(x)d (7.1) eller F ′(x)= f(x),

Hvor f(x)- kjent funksjon, må finne funksjonen F(x).

Definisjon:Funksjonen F(x) kalles antiderivat funksjon f(x) på segmentet hvis likheten gjelder på alle punkter i dette segmentet: F′(x) = f(x) eller dF(x)= f(x)d.

For eksempel, en av antiderivatfunksjonene for funksjonen f(x)=3x2 vilje F(x)= x 3, fordi ( x 3)′=3x 2. Men en prototype for funksjonen f(x)=3x2 det vil også være funksjoner og siden .

Så denne funksjonen f(x)=3x2 har et uendelig antall primitiver, som hver skiller seg bare med et konstant ledd. La oss vise at dette resultatet også gjelder i det generelle tilfellet.

Teorem To forskjellige antiderivater av samme funksjon definert i et visst intervall skiller seg fra hverandre på dette intervallet med en konstant term.

Bevis

La funksjonen f(x) definert på intervallet (a¸b) Og F 1 (x) Og F 2 (x) - antiderivater, dvs. F 1 ′(x)= f(x) og F 2 ′(x)= f(x).

Da F 1 ′(x)=F 2 ′(x)Þ F 1 ′(x) - F 2 ′(x) = (F 1 ′(x) - F 2 (x))′= 0. Þ F 1 (x) - F 2 (x) = C

Herfra, F 2 (x) = F 1 (x) + C

Hvor MED - konstant (en følge fra Lagranges teorem brukes her).

Teoremet er dermed bevist.

Geometrisk illustrasjon. Hvis på = F 1 (x) Og på = F 2 (x) – antiderivater med samme funksjon f(x), deretter tangenten til grafene deres i punkter med felles abscisse X parallelle med hverandre (fig. 7.1).

I dette tilfellet, avstanden mellom disse kurvene langs aksen Åh forblir konstant F 2 (x) - F 1 (x) = C , altså disse kurvene inn litt forståelse"parallelle" med hverandre.

Konsekvens .

Legger til noen antiderivater F(x) for denne funksjonen f(x), definert på intervallet X, alle mulige konstanter MED, får vi alle mulige antiderivater for funksjonen f(x).

Så uttrykket F(x)+C , hvor , og F(x) – et eller annet antiderivat av en funksjon f(x) inkluderer alle mulige antiderivater for f(x).

Eksempel 1. Sjekk om funksjoner er det antiderivater av funksjonen

Løsning:

Svare: antiderivater for en funksjon det vil være funksjoner Og

Definisjon: Hvis funksjonen F(x) er en antiderivert av funksjonen f(x), kalles settet med alle antideriverte F(x)+ C ubestemt integral av f(x) og angi:

∫f(х)dх.

Per definisjon:

f(x) - integrandfunksjon,

f(х)dх - integrand

Det følger av dette at ubestemt integral er en funksjon generelt syn, hvis differensial er lik integranden, og den deriverte med hensyn til variabelen X er lik integranden på alle punkter.

MED geometrisk punkt syn et ubestemt integral er en familie av kurver, som hver oppnås ved å forskyve en av kurvene parallelt med seg selv opp eller ned, det vil si langs aksen Åh(Fig. 7.2).

Operasjonen med å beregne det ubestemte integralet til en viss funksjon kalles integrering denne funksjonen.

Merk at hvis den deriverte av en elementær funksjon alltid er en elementær funksjon, kan det hende at antideriverten til en elementær funksjon ikke er representert av et begrenset antall elementære funksjoner.

La oss nå vurdere egenskapene til det ubestemte integralet.

Fra definisjon 2 følger det:

1. Den deriverte av det ubestemte integralet er lik integranden, det vil si hvis F′(x) = f(x) , Det

2. Differensialen til det ubestemte integralet er lik integranden

. (7.4)

Fra definisjonen av differensial og eiendom (7.3)

3. Det ubestemte integralet av differensialen til en funksjon er lik denne funksjonen opp til et konstant ledd, dvs. (7.5)

Antiderivat.

Antiderivatet er lett å forstå med et eksempel.

La oss ta funksjonen y = x 3. Som vi vet fra de foregående avsnittene, er den deriverte av X 3 er 3 X 2:

(X 3)" = 3X 2 .

Derfor, fra funksjonen y = x 3 får vi ny funksjon: på = 3X 2 .
Figurativt sett funksjonen på = X 3 produsert funksjon på = 3X 2 og er dens "forelder". I matematikk er det ikke noe ord "foreldre", men det er et beslektet konsept: antiderivativ.

Det vil si: funksjon y = x 3 er et antiderivat av funksjonen på = 3X 2 .

Definisjon av antiderivat:

I vårt eksempel ( X 3)" = 3X 2 derfor y = x 3 – antiderivat for på = 3X 2 .

Integrering.

Som du vet, kalles prosessen med å finne den deriverte av en gitt funksjon differensiering. Og den inverse operasjonen kalles integrasjon.

Eksempel-forklaring:

på = 3X 2 + synd x.

Løsning:

Vi vet at antiderivatet for 3 X 2 er X 3 .

Antiderivat for synd x er –cos x.

Vi legger til to antiderivater og får antiderivatet for den gitte funksjonen:

y = x 3 + (–cos x),

y = x 3 - cos x.

Svar:
for funksjon på = 3X 2 + synd x y = x 3 - cos x.

Eksempel-forklaring:

La oss finne et antiderivat for funksjonen på= 2 synd x.

Løsning:

Vi legger merke til at k = 2. Antiderivatet for synd x er –cos x.

Derfor for funksjonen på= 2 synd x antiderivatet er funksjonen på= –2cos x.
Koeffisient 2 i funksjonen y = 2 sin x tilsvarer koeffisienten til antiderivatet som denne funksjonen ble dannet fra.

Eksempel-forklaring:

La oss finne et antiderivat for funksjonen y= synd 2 x.

Løsning:

Det merker vi k= 2. Antiderivat for synd x er –cos x.

Vi bruker formelen vår for å finne antiderivatet til funksjonen y= cos 2 x:

1
y= - · (–cos 2 x),
2

cos 2 x
y = – ----
2

cos 2 x
Svar: for en funksjon y= synd 2 x antiderivatet er funksjonen y = – ----
2

(4)

Eksempel-forklaring.

La oss ta funksjonen fra forrige eksempel: y= synd 2 x.

For denne funksjonen har alle antiderivater formen:

cos 2 x
y = – ---- + C.
2

Forklaring.

La oss ta den første linjen. Den lyder slik: hvis funksjonen y = f( x) er 0, så er antiderivatet 1. Hvorfor? Fordi den deriverte av enhet er null: 1" = 0.

De resterende linjene leses i samme rekkefølge.

Hvordan skrive data fra en tabell? La oss ta linje åtte:

(-cos x)" = synd x

Vi skriver den andre delen med det deriverte tegnet, deretter likhetstegnet og den deriverte.

Vi leser: antiderivat for funksjoner synd x er -cos-funksjonen x.

Eller: funksjon -cos x er antiderivat for funksjonen sin x.