Hva er den relative plasseringen av linjen og sirkelen. Geometri arbeidsark "Relativ plassering av en linje og en sirkel"

La en sirkel og en rett linje gis på et plan. La oss slippe en perpendikulær fra sentrum av sirkel C på denne rette linjen; la oss betegne med basis av denne perpendikulæren. Et punkt kan innta tre mulige posisjoner i forhold til sirkelen: a) ligge utenfor sirkelen, b) på sirkelen, c) innenfor sirkelen. Avhengig av dette vil den rette linjen innta en av tre mulige posisjoner i forhold til sirkelen. ulike bestemmelser beskrevet nedenfor.

a) La bunnen av perpendikulæren falle fra sentrum C av sirkelen til rett linje en ligge utenfor sirkelen (fig. 197). Da krysser ikke den rette linjen sirkelen, alle punktene ligger i det ytre området. Faktisk, i det angitte tilfellet, etter betingelse, fjernes det fra sentrum i en avstand større enn radius). Dessuten, for ethvert punkt M på en rett linje a vi har, det vil si at hvert punkt på en gitt rett linje ligger utenfor sirkelen.

b) La bunnen av perpendikulæren falle på sirkelen (fig. 198). Da har rett linje a nøyaktig ett felles punkt med sirkelen. Faktisk, hvis M er et annet punkt på linjen, så (de skråstilte er lengre enn vinkelrett) ligger punktet M i det ytre området. En slik linje, som har et enkelt felles punkt med sirkelen, kalles tangent til sirkelen på dette punktet. La oss vise at omvendt, hvis en rett linje har et enkelt felles punkt med en sirkel, så er radiusen trukket til dette punktet vinkelrett på denne rette linjen. Faktisk, la oss slippe en perpendikulær fra midten på denne linjen. Hvis basen lå innenfor sirkelen, ville den rette linjen ha to felles punkter med seg, som vist i c). Hvis den lå utenfor sirkelen, ville den rette linjen i kraft av a) ikke ha felles punkter med sirkelen.

Derfor gjenstår det å anta at perpendikulæren faller på det vanlige punktet på linjen og sirkelen - på punktet for deres tangens. Bevist å være viktig

Teorem. En rett linje som går gjennom et punkt på en sirkel berører sirkelen hvis og bare hvis den er vinkelrett på radiusen trukket til det punktet.

Merk at definisjonen av en tangent til en sirkel gitt her ikke overføres til andre kurver. Mer generell definisjon tangensen til en rett linje til en buet linje er forbundet med konseptene til grenseteorien og diskuteres i detalj i løpet av høyere matematikk. Her skal vi bare snakke om det generelt konsept. La en sirkel og punkt A på den gis (fig. 199).

La oss ta et annet punkt A på sirkelen og koble sammen begge punktene på den rette linjen AA. La punkt A, som beveger seg langs en sirkel, innta en rekke nye posisjoner, og nærmer seg mer og mer til punkt A. Rett linje AA, som roterer rundt A, inntar en rekke posisjoner: i dette tilfellet, når det bevegelige punktet nærmer seg punkt A , har den rette linjen en tendens til å falle sammen med tangenten AT. Derfor kan vi snakke om en tangent som grenseposisjonen til en sekant som passerer gjennom dette punktet og et punkt på kurven som nærmer seg den uten grenser. I denne formen er definisjonen av en tangent gjeldende for kurver veldig generelt syn(Fig. 200).

c) La til slutt punktet ligge innenfor sirkelen (fig. 201). Deretter . Vi vil vurdere skrå sirkler tegnet til rett linje a fra sentrum C, med baser som beveger seg bort fra punktet i en av to mulige retninger. Lengden på den skråstilte vil øke monotont når basen beveger seg bort fra punktet, denne økningen i lengden på den skrånende skjer gradvis (“kontinuerlig”) fra verdier som er nær vilkårlig store, derfor synes det klart at; ved en viss posisjon av de skrånende basene vil lengden deres være nøyaktig lik de tilsvarende punktene K og L på linjen vil ligge på sirkelen.

Relativ plassering av en rett linje og en sirkel La oss finne ut hvor mange felles punkter en rett linje og en sirkel kan ha, avhengig av deres relative plassering. Det er klart at hvis en rett linje går gjennom midten av en sirkel, så skjærer den sirkelen i de to endene av diameteren som ligger på. denne prima.

La det være rett R går ikke gjennom midten av radiusirkelen r. La oss tegne en vinkelrett HAN til en rett linje R og angi med bokstaven d lengden på denne perpendikulæren, dvs. avstanden fra sentrum av denne sirkelen til den rette linjen (fig. 1 ). Vi undersøker den relative posisjonen til en rett linje og en sirkel avhengig av forholdet mellom d Og r. Det er tre mulige tilfeller.

1) d R fra punkt N legg til side to segmenter PÅ Og NV, lengder som er like (Fig. 1) I følge Pythagoras teorem OA=,

0 B= Derfor poeng EN Og I ligge på sirkelen og er derfor vanlige punkter på linjen R og den gitte sirkelen.

La oss bevise at linjen R og denne sirkelen har ingen andre felles poeng. Anta at de har ett mer felles punkt C. Deretter medianen O.D. likebent trekant OAS. båret til basen AC, er høyden på denne trekanten, altså OMDs. Segmenter O.D. Og HAN samsvarer ikke

siden midten D segmentet AC passer ikke med en prikk N - midtpunktet av segmentet , AB. Vi fant at to perpendikulære ble trukket fra punkt O: HAN Og OD- til en rett linje R, som er umulig. Så Hvis avstand avstanden fra sentrum av sirkelen til den rette linjen er mindre enn radiusen til sirkelen (d< р), At rett linje og sirkelDet er to felles punkter. I dette tilfellet kalles linjen sekant i forhold til sirkelen.

2) d=r. I dette tilfellet HAN=r, dvs. punkt N ligger på sirkelen og er derfor fellespunktet for linjen og sirkelen (fig. 1, b). Rett R og sirkelen har ingen andre punkter til felles, siden for noe punkt M rett R. forskjellig fra poenget N, OM>OH= r(skrå OM mer vinkelrett HAN), og derfor , punktet M ligger ikke på sirkelen. Så hvis løpAvstanden fra sentrum av sirkelen til den rette linjen er lik radiusen, da har den rette linjen og sirkelen bare ett felles punkt.

3) d>r I dette tilfellet -ÅH> r Derfor . for ethvert punkt M rett p 0MON.>r( ris . 1,EN) Derfor ligger ikke punktet M på sirkelen. Så, .hvis avstanden fra sentrum av sirkelenHvis avstanden til den rette linjen er større enn radiusen til sirkelen, har den rette linjen og sirkelen ingen felles punkter.

Vi har bevist at en linje og en sirkel kan ha ett eller to felles punkter og kanskje ikke ha noen felles punkter. En rett linje med en sirkel bare en fellespunktet kalles tangenten til sirkelen, og deres fellespunktet kalles tangenspunktet til linjen og sirkelen. I figur 2 er det en rett linje R- tangent til en sirkel med sentrum O, EN- kontaktpunkt.

La oss bevise teoremet om tangentegenskapen.

Teorem. En tangent til en sirkel er vinkelrett Til radius trukket til kontaktpunktet.

Bevis. La R- tangent til en sirkel med sentrum O. EN- kontaktpunkt (se fig. 2). La oss bevise det. hva er tangenten R vinkelrett på radiusen OA.

La oss anta at dette ikke er tilfelle. Deretter radiusen: OA er tilbøyelig til en rett linje R. Siden vinkelrett trukket fra punktet OM til en rett linje R, mindre tilbøyelig OA, deretter avstandene fra sentrum OM sirkel til rett linje R mindre enn radiusen. Derfor rett R og sirkelen har to felles punkter. Men dette strider mot betingelsen; rett R- tangent. Altså rett R vinkelrett på radiusen OA. Teoremet er bevist.

Tenk på to tangenter til en sirkel med sentrum OM, passerer gjennom punktet EN og berøre sirkelen på punkter I og C (fig. 3). Segmenter AB Og AC la oss ringe tangentsegmenternyh, hentet fra punkt A. De har følgende egenskap, som følger av det beviste teoremet:

Segmenter av tangenter til en sirkel tegnet fra ett punkt er like og danner like vinkler med en rett linje som går gjennom dette punktet og sentrum av sirkelen.

For å bevise denne påstanden, la oss gå til figur 3. I følge teoremet om tangentegenskapen er vinkel 1 og 2 rette vinkler, derfor trekanter ABO Og ASO rektangulær. De er like fordi de har en felles hypotenuse OA og like bein OB Og OS. Derfor, AB=AC og 3=https://pandia.ru/text/78/143/images/image007_40.jpg" width="432 height=163" height="163">

Ris. 2 Fig. 3

https://pandia.ru/text/78/143/images/image010_57.gif" width="101" height="19 src=">.

Tegn diameteren gjennom kontaktpunktet MEG, vil ha: ; Derfor

Ris. 1 Fig. 2

https://pandia.ru/text/78/143/images/image014_12.jpg" width="191 height=177" height="177">.jpg" width="227 height=197" height="197" >

Avhengighet mellom buer, akkorder og avstander til akkorder fra sentrum.

Teoremer. I en sirkel eller V like sirkler :

1) hvis buene er like, så er akkordene som undertrykker dem like og like langt fra midten;

2) hvis to buer mindre enn en halvsirkel ikke er like, blir den største av dem dekket av den større akkorden og av begge akkordene er den største plassert nærmere midten .

1) La buen AB lik bue CD(Fig. 1), kreves det å bevise at akkordene AB og CD lik og også lik og vinkelrett OE Og AV, senkes fra midten til akkordene.

La oss rotere sektoren OAJB rundt sentrum OM i retningen angitt av pilen så mye at radius OM falt sammen med OS. Deretter bue VA. vil gå i en bue CD og på grunn av deres likestilling vil disse buene overlappe hverandre. Dette betyr at akkorden AS faller sammen med akkorden CD og vinkelrett OE vil falle sammen med AV(fra ett punkt kan kun én perpendikulær senkes ned på en rett linje), dvs. AB=CD Og OE=AV.

2) La buen AB(Fig. 2) mindre bue CD, og dessuten er begge buene mindre enn en halvsirkel; det kreves for å bevise at akkorden AB mindre akkord CD, og vinkelrett OE mer vinkelrett AV. La oss sette det på buen CD bue SK, lik AB, og tegne en hjelpeakkord SK, som etter det som er bevist er lik akkorden AB og like langt fra sentrum. Ved trekanter TORSK. Og JUICE to sider av den ene er lik to sider av den andre (som radier), men vinklene som er innelukket mellom disse sidene er ikke like; i dette tilfellet, som vi vet, mot den største av vinklene, dvs. lCOD, den større siden må ligge, som betyr CD>CK, og det er derfor CD>AB.

For å bevise det OE>AV, vi skal gjennomføre OLXCK og ta i betraktning at, i henhold til det som er bevist, OE=OL; derfor er det nok for oss å sammenligne AV Med OL. I en rettvinklet trekant 0 FM(dekket i figuren med streker) hypotenusa OM mer ben AV; Men OL>OM; det betyr enda mer OL>AV. og det er derfor OE>AV.

Teoremet vi beviste for en sirkel forblir sant for like sirkler, fordi slike sirkler skiller seg fra hverandre bare i posisjon.

Omvendte teoremer. Siden i forrige avsnitt ble alle slags gjensidig utelukkende tilfeller angående den komparative størrelsen av to buer med samme radius vurdert, og gjensidig utelukkende konklusjoner ble oppnådd angående den komparative størrelsen på akkorder og deres avstander fra sentrum, så må de omvendte proposisjonene være sant, c. nøyaktig:

I én sirkel eller like sirkler:

1) like akkorder er like langt fra midten og dekker like buer;

2) akkorder like langt fra sentrum er like og dekker like buer;

3) av to ulike akkorder, den største er nærmere midten og demper den større buen;

4) av to akkorder ulikt langt fra midten, som er nærmere sentrum er større og dekker en større bue.

Disse påstandene kan lett bevises ved selvmotsigelse. For eksempel, for å bevise den første av dem, resonnerer vi som følger: hvis disse akkordene dekket ulike buer, så ville de ifølge den direkte teoremet ikke være like, noe som motsier betingelsen; Dette betyr at like akkorder må dekke like buer; og hvis buene er like, i henhold til den direkte teoremet, er akkordene som undertrykker dem like langt fra sentrum.

Teorem. Diameteren er den største av akkordene .

Hvis vi kobler til senteret OM endene av en akkord som ikke går gjennom midten, for eksempel en akkord AB(Fig. 3) så får vi en trekant AOB, i hvilken en side er denne akkorden, og de to andre er radier, men i en trekant er hver side mindre enn summen av de to andre sidene; derfor akkorden AB mindre enn summen av to radier; mens hver diameter CD lik summen av to radier. Dette betyr at diameteren er større enn noen korde som ikke går gjennom midten. Men siden diameteren også er en akkord, kan vi si at diameteren er den største av akkordene.

Ris. 1 Fig. 2

Tangentteorem.

Som allerede nevnt har tangentsegmenter trukket til en sirkel fra ett punkt samme lengde. Denne lengden kalles tangentavstand fra et punkt til en sirkel.

Uten tangentsetningen er det umulig å løse mer enn ett problem om innskrevne sirkler, med andre ord om sirkler som berører sidene av en polygon.

Tangentavstander i en trekant.

Finn lengdene på segmentene som sidene av trekanten for ABC er delt med tangenspunkter med en sirkel innskrevet i den (fig. 1,a), for eksempel tangentavstand tа fra punkt EN til sirkelen. La oss legge til sidene b Og c, og trekk deretter siden fra summen EN. Tar vi i betraktning likheten mellom tangenter trukket fra ett toppunkt, får vi 2 tа. Så,

ta=(b+c-en)/ 2=p-en,

Hvor p=(a+b+c)/ 2 – semi-perimeter gitt trekant. Lengden på sidesegmentene ved siden av hjørnene I Og MED, er like hhv p-b Og p-c.

Tilsvarende, for eksirkelen til en trekant som tangerer (utenfor) siden EN(Fig. 1, b), tangentavstander fra I Og MED er like hhv p-c Og p-b, og fra toppen EN- Bare s.

Merk at disse formlene også kan brukes i motsatt retning.

La det gå til hjørnet DU en sirkel er innskrevet, og tangentavstanden fra vinkelens toppunkt til sirkelen er liks ellerp- en, Hvors– halvomkretsen av en trekant ABC, A a=BC. Så berører sirkelen linjen Sol(henholdsvis utenfor eller innenfor trekanten).

La faktisk for eksempel tangentavstanden være lik p-en. Deretter berører sirklene våre sidene av vinkelen i de samme punktene som trekantens insirkel ABC, som betyr at den faller sammen med den. Derfor berører det linjen Sol.

Omskrevet firkant. Fra teoremet om tangenslikhet følger det umiddelbart (fig. 2a) at

Hvis en sirkel kan skrives inn i en firkant, er summen av dens motsatte sider like:

AD+ BC= AB+ CD

Merk at den beskrevne firkanten nødvendigvis er konveks. Det motsatte er også sant:

Hvis firkanten er konveks og summene av dens motsatte sider er like, kan en sirkel skrives inn i den.

La oss bevise dette for en annen firkant enn et parallellogram. La noen to motsatte sider av en firkant, for eksempel AB Og DC, når de fortsetter, vil de krysse hverandre på et punkt E(Fig. 2,b). La oss skrive inn en sirkel i en trekant ADE. Dens tangentavstand te til punktet E uttrykt med formelen

te=½ (AE+ED-AD).

Men i henhold til betingelsen er summene av de motsatte sidene av en firkant like, som betyr AD+BC=AB+CD, eller AD=AB+CD-B.C.. Bytter denne verdien inn i uttrykket for te, vi får

te=½ ((AE-AB)+(ED-CD)+BC)= ½ (BE+EC+f.Kr.),

og dette er halvomkretsen til trekanten B.C.E.. Av tangency-tilstanden påvist ovenfor følger det at vår sirkel berører B.C..

https://pandia.ru/text/78/143/images/image020_13.jpg" width="336" height="198 src=">

To tangenter trukket til en sirkel fra et punkt utenfor den er like og danner like vinkler med den rette linjen som forbinder dette punktet med sentrum, som følger av likheten rette trekanter AOB og AOB1

Sirkel - geometrisk figur, bestående av alle punkter i planet som ligger i en gitt avstand fra et gitt punkt.

Dette punktet (O) kalles sentrum av sirkelen.
Sirkelradius- dette er et segment som forbinder sentrum med et hvilket som helst punkt på sirkelen. Alle radier har samme lengde (per definisjon).
Akkord- et segment som forbinder to punkter på en sirkel. En akkord som går gjennom midten av en sirkel kalles diameter. Sentrum av en sirkel er midtpunktet av en hvilken som helst diameter.
Hvilke som helst to punkter på en sirkel deler den i to deler. Hver av disse delene kalles sirkelbue. Buen kalles halvsirkel, hvis segmentet som forbinder endene er en diameter.
Lengden på en enhetshalvsirkel er angitt med π .
Summen av gradmålene til to sirkelbuer med felles ender er lik 360º.
Den delen av planet som er avgrenset av en sirkel kalles over alt.
Sirkulær sektor- en del av en sirkel avgrenset av en bue og to radier som forbinder enden av buen med sirkelens sentrum. Buen som begrenser sektoren kalles sektorens bue.
To sirkler som har felles sentrum kalles konsentrisk.
To sirkler som krysser hverandre i rette vinkler kalles ortogonal.

Den relative plasseringen av en rett linje og en sirkel

Hvis avstanden fra sentrum av sirkelen til den rette linjen er mindre enn radiusen til sirkelen ( d), så har den rette linjen og sirkelen to felles punkter. I dette tilfellet kalles linjen sekant i forhold til sirkelen.
Hvis avstanden fra sentrum av sirkelen til den rette linjen er lik sirkelens radius, har den rette linjen og sirkelen bare ett felles punkt. Denne linjen kalles tangent til sirkelen, og deres felles punkt kalles tangeringspunkt mellom en linje og en sirkel.
Hvis avstanden fra sentrum av sirkelen til den rette linjen er større enn radiusen til sirkelen, så er den rette linjen og sirkelen har ingen felles poeng

Sentrale og innskrevne vinkler

Sentral vinkel er en vinkel med toppunktet i sentrum av sirkelen.
Innskrevet vinkel- en vinkel hvis toppunkt ligger på en sirkel og hvis sider krysser sirkelen.

Innskrevet vinkelteorem

En innskrevet vinkel måles ved halvparten av buen som den strekker seg over.

Konsekvens 1.
Innskrevne vinkler som strekker den samme buen er like.

Konsekvens 2.
En innskrevet vinkel dekket av en halvsirkel er en rett vinkel.

Teorem om produktet av segmenter av kryssende akkorder.

Hvis to akkorder i en sirkel krysser hverandre, er produktet av segmentene til en akkord lik produktet av segmentene i den andre akkorden.

Grunnleggende formler

Omkrets:

C = 2∙π∙R

Sirkulær buelengde:

R = С/(2∙π) = D/2

Diameter:

D = C/π = 2∙R

Sirkulær buelengde:

l = (π∙R) / 180∙α,
Hvor α - gradsmål lengden på sirkelbuen)

Arealet av en sirkel:

S = π∙R 2

Område for den sirkulære sektoren:

S = ((π∙R 2) / 360)∙α

Likning av en sirkel

I et rektangulært koordinatsystem er ligningen til en sirkel med radius r med sentrum i punktet C(x o;y o) har formen:

(x - x o) 2 + (y - y o) 2 = r 2

Ligningen til en sirkel med radius r med sentrum i origo har formen:

x 2 + y 2 = r 2

Satt sammen av en mattelærer

MBOU ungdomsskole nr. 18, Krasnoyarsk

Andreeva Inga Viktorovna

Den relative plasseringen av en rett linje og en sirkel

OM R – radius

MED D – diameter

AB- akkord

Sirkel med sentrum i et punkt OM radius r
En rett linje som ikke går gjennom sentrum OM
La oss angi avstanden fra sentrum av sirkelen til den rette linjen med bokstaven s

Tre tilfeller er mulige:

1) s

mindre radius av sirkelen, så har den rette linjen og sirkelen to felles punkter .

Direkte AB kalles sekant i forhold til sirkelen.

Tre tilfeller er mulige:

2 ) s = r

Hvis avstanden fra sentrum av sirkelen til den rette linjen er lik radius av sirkelen, så har den rette linjen og sirkelen bare ett felles poeng .

s = r

r Hvis avstanden fra sentrum av sirkelen til den rette linjen er større enn radiusen til sirkelen, har ikke den rette linjen og sirkelen felles punkter. sr r O" width="640"

Tre tilfeller er mulige:

3 ) sr

Hvis avstanden fra sentrum av sirkelen til den rette linjen mer radius av en sirkel, deretter en rett linje og en sirkel har ingen felles poeng .

Tangent til en sirkel

Definisjon: P en linje som bare har ett felles punkt med en sirkel kalles en tangent til sirkelen, og deres felles punkt kalles tangentpunktet til linjen og sirkelen.

s = r