Zelta attiecība. jauns izskats

Cilvēks atšķir sev apkārt esošos objektus pēc to formas. Interesi par objekta formu var diktēt vitāla nepieciešamība, vai arī to var izraisīt formas skaistums. Forma, kuras uzbūves pamatā ir simetrijas un zelta griezuma kombinācija, veicina vislabāko vizuālo uztveri un skaistuma un harmonijas sajūtas parādīšanos. Veselums vienmēr sastāv no daļām, dažāda izmēra daļas ir noteiktās attiecībās viena ar otru un pret veselumu. Zelta griezuma princips ir augstākā veseluma un tā daļu strukturālās un funkcionālās pilnības izpausme mākslā, zinātnē, tehnoloģijā un dabā.

Zelta attiecība - harmoniskā proporcija

Matemātikā proporcija(lat. proportio) sauc par divu attiecību vienādību: a : b = c : d.

Taisns segments AB var sadalīt divās daļās šādos veidos:

divās vienādās daļās - AB : AC = AB : Sv;

divās nevienādās daļās (šādas daļas neveido proporcijas);

tātad, kad AB : AC = AC : Sv.

Pēdējais ir zelta dalījums vai segmenta sadalījums galējā un vidējā attiecībā.

Zelta griezums ir tāds proporcionāls segmenta dalījums nevienlīdzīgās daļās, kurā viss segments ir saistīts ar lielāko daļu, jo pati lielākā daļa ir saistīta ar mazāko; vai citiem vārdiem sakot, mazākais segments ir lielāks, jo lielākais ir veselums

a : b = b : c vai Ar : b = b : A.

Rīsi. 1. Zelta griezuma ģeometriskais attēls

Praktiskā iepazīšanās ar zelta griezumu sākas ar taisnas līnijas segmenta sadalīšanu zelta proporcijā, izmantojot kompasu un lineālu.

Rīsi. 2. Taisnas līnijas segmenta sadalīšana, izmantojot zelta griezumu. B.C. = 1/2 AB; CD = B.C.

No punkta IN tiek atjaunots perpendikuls, kas vienāds ar pusi AB. Saņemts punkts AR savienota ar līniju ar punktu A. Uz iegūtās līnijas tiek uzzīmēts segments Sv beidzas ar punktu D. Segments AD pārcelts uz tiešo AB. Iegūtais punkts E sadala segmentu AB zelta griezumā.

Zelta griezuma segmenti tiek izteikti kā bezgalīga iracionāla daļa A.E.= 0,618..., ja AB uztvert kā vienu BE= 0,382... Praktiskiem nolūkiem bieži tiek izmantotas aptuvenās vērtības 0,62 un 0,38. Ja segments ABņem kā 100 daļas, tad lielākā segmenta daļa ir vienāda ar 62, bet mazākā daļa ir 38 daļas.

Zelta griezuma īpašības raksturo vienādojums:

x 2 - x - 1 = 0.

Šī vienādojuma risinājums:

Zelta griezuma īpašības ap šo skaitli ir radījušas romantisku noslēpumainības un gandrīz mistiskas pielūgsmes auru.

Otrā zelta attiecība

Bulgārijas žurnāls "Tēvzeme" (1983. g. 10.) publicēja Cvetana Tsekova-Karandaša rakstu "Par otro zelta griezumu", kas izriet no galvenās sadaļas un dod vēl vienu attiecību 44:56.

Šī proporcija ir sastopama arhitektūrā, un tā rodas arī, veidojot iegarena horizontāla formāta attēlu kompozīcijas.

Rīsi. 3. Otrās zelta griezuma uzbūve

Sadalīšana tiek veikta šādi (sk. 3. att.). Segments AB sadalīts pēc zelta griezuma. No punkta AR tiek atjaunots perpendikuls CD. Rādiuss AB ir punkts D, kas ir savienota ar līniju ar punktu A. Taisns leņķis ACD ir sadalīts uz pusēm. No punkta AR līnija tiek novilkta, līdz tā krustojas ar līniju AD. Punkts E sadala segmentu AD attiecībā pret 56:44.

Rīsi. 4. Taisnstūra sadalīšana ar otrās zelta griezuma līniju

Attēlā 4. attēlā parādīta otrās zelta griezuma līnijas pozīcija. Tas atrodas pa vidu starp zelta griezuma līniju un taisnstūra vidējo līniju.

Zelta trīsstūris

Lai atrastu augošās un dilstošās sērijas zelta proporcijas segmentus, varat izmantot pentagramma.

Rīsi. 5. Parasta piecstūra un pentagrammas uzbūve

Lai izveidotu pentagrammu, jums ir jāizveido parasts piecstūris. Tās konstruēšanas metodi izstrādājis vācu gleznotājs un grafiķis Albrehts Durers (1471...1528). Ļaujiet O- apļa centrs, A- punkts uz apļa un E- segmenta vidusdaļa OA. Perpendikulāri rādiusam OA, atjaunota punktā PAR, šķērso apli punktā D. Izmantojot kompasu, uzzīmējiet segmentu diametrā C.E. = ED. Aplī ierakstīta regulāra piecstūra malas garums ir DC. Izklājiet segmentus uz apļa DC un mēs iegūstam piecus punktus, lai uzzīmētu parastu piecstūri. Mēs savienojam piecstūra stūrus vienu caur otru ar diagonālēm un iegūstam pentagrammu. Visas piecstūra diagonāles sadala viena otru segmentos, kas savienoti ar zelta griezumu.

Katrs piecstūra zvaigznes gals apzīmē zelta trīsstūri. Tās malas veido 36° leņķi virsotnē, un pamatne, kas uzlikta uz sāniem, sadala to zelta griezuma proporcijā.

Rīsi. 6. Zelta trīsstūra uzbūve

Mēs veicam tiešo AB. No punkta A trīs reizes uzlieciet uz tā segmentu PAR patvaļīga vērtība, izmantojot iegūto punktu R uzzīmējiet perpendikulu līnijai AB, perpendikulā pa labi un pa kreisi no punkta R atlieciet segmentus malā PAR. Saņemti punkti d Un d 1 savienojiet ar taisnām līnijām ar punktu A. Segments dd ielieciet 1 uz līnijas Reklāma 1, iegūstot punktu AR. Viņa sadalīja līniju Reklāma 1 proporcionāli zelta griezumam. Līnijas Reklāma 1 un dd 1 tiek izmantots, lai izveidotu “zelta” taisnstūri.

Zelta griezuma vēsture

Ir vispāratzīts, ka zelta dalījuma jēdzienu zinātniskā lietošanā ieviesa Pitagors, sengrieķu filozofs un matemātiķis (VI gadsimts pirms mūsu ēras). Pastāv pieņēmums, ka Pitagors zināšanas par zelta sadalījumu aizguva no ēģiptiešiem un babiloniešiem. Patiešām, Heopsa piramīdas, tempļu, bareljefu, sadzīves priekšmetu un rotaslietu proporcijas no Tutanhamona kapa liecina, ka ēģiptiešu amatnieki, veidojot tos, izmantojuši zelta dalījuma attiecības. Franču arhitekts Lekorbizjē konstatēja, ka reljefā no faraona Seti I tempļa Abidosā un reljefā, kurā attēlots faraons Ramzess, figūru proporcijas atbilst zelta dalījuma vērtībām. Arhitekts Khesira, kas attēlots uz koka dēļa reljefa no viņa vārdā nosauktā kapa, tur rokās mērinstrumentus, kuros fiksētas zelta dalījuma proporcijas.

Grieķi bija prasmīgi ģeometri. Viņi pat mācīja aritmētiku saviem bērniem ar palīdzību ģeometriskās formas. Pitagora kvadrāts un šī kvadrāta diagonāle bija pamats dinamisku taisnstūru uzbūvei.

Rīsi. 7. Dinamiski taisnstūri

Senās Grieķijas Partenona tempļa fasādei ir zelta proporcijas. Tās izrakumos tika atklāti kompasi, kurus izmantoja antīkās pasaules arhitekti un tēlnieki. Pompejas kompass (muzejs Neapolē) satur arī zelta dalījuma proporcijas.

Rīsi. 8. Antīks zelta griezuma kompass

Senajā literatūrā, kas nonākusi līdz mums, zelta dalījums pirmo reizi tika minēts Eiklida elementos. 2. grāmatā “Principi” ir dota zelta dalījuma ģeometriskā konstrukcija. Pēc Eiklida zelta dalījuma izpēti veica Hipsikls (II gadsimts pirms mūsu ēras), Pappuss (III gs. p.m.ē.) un citi. viduslaiku Eiropa Ar zelta dalījumu iepazināmies no Eiklida elementu tulkojumiem arābu valodā. Komentārus par tulkojumu sniedza tulkotājs J. Kampano no Navarras (III gs.). Zelta divīzijas noslēpumi tika greizsirdīgi sargāti un turēti stingrā noslēpumā. Viņi bija zināmi tikai iesvētītajiem.

Renesanses laikā interese par zelta dalījumu pieauga zinātnieku un mākslinieku vidū, jo to izmantoja gan ģeometrijā, gan mākslā, īpaši arhitektūrā, to redzēja mākslinieks un zinātnieks Leonardo da Vinči Itāļu mākslinieki ir daudz empīriskās pieredzes, bet maz zināšanu. Viņš kļuva stāvoklī un sāka rakstīt grāmatu par ģeometriju, bet tajā laikā parādījās mūka Luka Pacioli grāmata, un Leonardo atteicās no savas idejas. Pēc laikabiedru un zinātnes vēsturnieku domām, Luka Pacioli bija īsts spīdeklis, lielākais Itālijas matemātiķis laika posmā starp Fibonači un Galileo. Luka Pacioli bija mākslinieka Pjero della Frančeski skolnieks, kurš uzrakstīja divas grāmatas, no kurām viena saucās “Par perspektīvu glezniecībā”. Viņš tiek uzskatīts par aprakstošās ģeometrijas radītāju.

Luka Pacioli lieliski saprata zinātnes nozīmi mākslā. 1496. gadā pēc Moro hercoga uzaicinājuma viņš ieradās Milānā, kur lasīja lekcijas par matemātiku. Leonardo da Vinči tajā laikā strādāja arī Milānā Moro galmā. 1509. gadā Venēcijā tika izdota Luka Pačioli grāmata “Dievišķā proporcija” ar izcili izpildītām ilustrācijām, tāpēc tiek uzskatīts, ka tās veidojis Leonardo da Vinči. Grāmata bija entuziasma himna zelta griezumam. Starp daudzajām zelta proporcijas priekšrocībām mūks Luka Pacioli nevilcinājās nosaukt tās “dievišķo būtību” kā dievišķās trīsvienības izpausmi – Dievs dēls, Dievs tēvs un Dievs svētais gars (bija domāts, ka mazais segments ir Dieva dēla personifikācija, lielākais segments - Dievs tēvs un viss segments - Svētā Gara Dievs).

Leonardo da Vinči lielu uzmanību pievērsa arī zelta divīzijas izpētei. Viņš veidoja sekcijas no stereometriska ķermeņa, ko veidoja regulāri piecstūri, un katru reizi ieguva taisnstūrus ar malu attiecībām zelta sadalījumā. Tāpēc viņš šai nodaļai deva nosaukumu zelta griezums. Tāpēc tas joprojām ir populārākais.

Tajā pašā laikā Eiropas ziemeļos, Vācijā, Albrehts Dīrers strādāja pie tām pašām problēmām. Viņš ieskicē ievadu traktāta par proporcijām pirmajai versijai. Dīrers raksta. “Ir nepieciešams, lai kāds, kurš zina, kā kaut ko darīt, to mācītu citiem, kam tas ir vajadzīgs. Tas ir tas, ko es nolēmu darīt."

Spriežot pēc vienas no Dīrera vēstulēm, viņš satikās ar Luku Pacioli, atrodoties Itālijā. Albrehts Durers sīki izstrādā cilvēka ķermeņa proporciju teoriju. Dīrers piešķīra nozīmīgu vietu savā attiecību sistēmā zelta griezumam. Cilvēka augumu zelta proporcijās dala jostas līnija, kā arī līnija, kas novilkta cauri nolaisto roku vidējo pirkstu galiem, sejas apakšdaļa pie mutes u.c. Direra proporcionālais kompass ir labi zināms.

Lielais 16. gadsimta astronoms. Johanness Keplers zelta griezumu nosauca par vienu no ģeometrijas dārgumiem. Viņš bija pirmais, kurš pievērsa uzmanību zelta proporcijas nozīmei botānikā (augu augšanai un to struktūrai).

Keplers nosauca zelta proporciju par pašturpinošu: “Tā ir strukturēta tā, ka šīs nebeidzamās proporcijas divi zemākie termini kopā veido trešo termiņu un jebkuri divi pēdējie termini, ja tos saskaita kopā. , dodiet nākamo termiņu, un tā pati proporcija paliek līdz bezgalībai."

Zelta proporcijas segmentu sērijas konstruēšanu var veikt gan pieauguma virzienā (augošās sērijas), gan samazināšanās virzienā (dilstoša sērija).

Ja atrodas taisnā līnijā ar patvaļīgu garumu, novietojiet segmentu malā m, novietojiet segmentu blakus tam M. Pamatojoties uz šiem diviem segmentiem, mēs veidojam augošās un dilstošās sērijas zelta proporcijas segmentu skalu.

Rīsi. 9. Zelta proporciju segmentu skalas uzbūve

Turpmākajos gadsimtos zelta proporcijas noteikums pārvērtās par akadēmisku kanonu, un, kad laika gaitā mākslā sākās cīņa pret akadēmisko rutīnu, cīņas karstumā viņi "izmeta mazuli ar vannas ūdeni". Zelta griezums atkal tika “atklāts” 19. gadsimta vidū. 1855. gadā vācu zelta griezuma pētnieks profesors Zeisings publicēja savu darbu “Estētikas studijas”. Tas, kas notika ar Zeisingu, bija tieši tas, kam neizbēgami jānotiek ar pētnieku, kurš fenomenu uzskata par tādu, bez saiknes ar citām parādībām. Viņš absolutizēja zelta griezuma proporciju, pasludinot to par universālu visām dabas un mākslas parādībām. Zeisingam bija daudz sekotāju, taču bija arī pretinieki, kas viņa proporciju doktrīnu pasludināja par “matemātisko estētiku”.

Rīsi. 10. Zelta proporcijas cilvēka ķermeņa daļās

Zeisings paveica milzīgu darbu. Viņš izmērīja aptuveni divus tūkstošus cilvēku ķermeņu un nonāca pie secinājuma, ka zelta griezums izsaka vidējo statistikas likumu. Ķermeņa dalījums pēc nabas punkta ir vissvarīgākais zelta griezuma rādītājs. Proporcijas vīrieša ķermenis svārstās vidējās attiecības 13:8 = 1,625 robežās un ir nedaudz tuvāk zelta griezumam nekā sievietes ķermeņa proporcijas, attiecībā pret kurām proporcijas vidējā vērtība ir izteikta attiecībā 8: 5 = 1,6. Jaundzimušajam proporcija ir 1:1, līdz 13 gadu vecumam tā ir 1,6, un līdz 21 gada vecumam tā ir vienāda ar vīrieti. Zelta griezuma proporcijas parādās arī attiecībā pret citām ķermeņa daļām – pleca garumu, apakšdelmu un plaukstu, roku un pirkstiem utt.

Rīsi. 11. Zelta proporcijas cilvēka figūrā

Zeisings pārbaudīja savas teorijas pamatotību uz grieķu statujām. Viņš vissīkāk izstrādāja Apollo Belvederes proporcijas. Tika pētītas grieķu vāzes, dažādu laikmetu arhitektūras struktūras, augi, dzīvnieki, putnu olas, mūzikas toņi, poētiskie metri. Zeizings sniedza zelta griezuma definīciju un parādīja, kā tā tiek izteikta taisnu līniju segmentos un skaitļos. Kad tika iegūti skaitļi, kas izsaka segmentu garumus, Zeisings redzēja, ka tie veido Fibonači sēriju, kuru var turpināt bezgalīgi vienā vai otrā virzienā. Viņa nākamā grāmata bija ar nosaukumu “Zelta dalījums kā morfoloģiskais pamatlikums dabā un mākslā”. 1876. gadā Krievijā tika izdota neliela grāmata, gandrīz brošūra, kurā izklāstīts šis Zeisinga darbs. Autors patvērās zem iniciāļiem Yu.F.V. Šajā publikācijā nav minēts neviens glezniecības darbs.

IN XIX beigas- 20. gadsimta sākums Par zelta griezuma izmantošanu mākslas un arhitektūras darbos parādījās daudzas tīri formālistiskas teorijas. Attīstoties dizainam un tehniskajai estētikai, zelta griezuma likums attiecās arī uz automašīnu, mēbeļu u.c. dizainu.

Fibonači sērija

Itāļu matemātiķa mūka Leonardo no Pizas, plašāk pazīstama kā Fibonači (Bonači dēls), vārds ir netieši saistīts ar zelta griezuma vēsturi. Viņš daudz ceļoja pa Austrumiem, iepazīstināja Eiropu ar Indijas (arābu) cipariem. 1202. gadā tika izdots viņa matemātiskais darbs “Abaka grāmata” (skaitīšanas dēlis), kurā apkopotas visas tajā laikā zināmās problēmas. Viena no problēmām skanēja “Cik trušu pāru piedzims no viena pāra vienā gadā”. Pārdomājot šo tēmu, Fibonači izveidoja šādu skaitļu sēriju:

Ciparu virkne 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 utt. pazīstama kā Fibonači sērija. Ciparu secības īpatnība ir tāda, ka katrs tās dalībnieks, sākot no trešā, vienāds ar summu divi iepriekšējie 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34 utt., un blakus esošo skaitļu attiecība sērijā tuvojas zelta dalījuma attiecībai. Tātad 21: 34 = 0,617 un 34: 55 = 0,618. Šīs attiecības tiek apzīmētas ar simbolu F. Tikai šī attiecība - 0,618: 0,382 - dod nepārtrauktu taisnas līnijas segmenta dalījumu zelta proporcijā, palielinot vai samazinot to līdz bezgalībai, kad mazākais segments ir saistīts ar lielāko, jo lielākais ir ar veselumu.

Fibonači pievērsās arī tirdzniecības praktiskajām vajadzībām: kāds ir mazākais atsvaru skaits, ko var izmantot produkta svēršanai? Fibonači pierāda, ka optimālā svaru sistēma ir: 1, 2, 4, 8, 16...

Vispārējā zelta attiecība

Fibonači sērija varēja palikt tikai matemātisks atgadījums, ja ne tas, ka visi zelta dalījuma pētnieki augu un dzīvnieku pasaulē, nemaz nerunājot par mākslu, vienmēr nonāca šajā sērijā kā zelta likuma aritmētiskā izteiksme. nodaļa.

Zinātnieki turpināja aktīvi attīstīt Fibonači skaitļu teoriju un zelta griezumu. Ju Matijasevičs atrisina Hilberta 10. uzdevumu, izmantojot Fibonači skaitļus. Parādās elegantas metodes vairāku kibernētisko problēmu risināšanai (meklēšanas teorija, spēles, programmēšana), izmantojot Fibonači skaitļus un zelta griezumu. ASV tiek veidota pat Mathematical Fibonacci asociācija, kas kopš 1963. gada izdod īpašu žurnālu.

Viens no sasniegumiem šajā jomā ir vispārināto Fibonači skaitļu un vispārināto zelta attiecību atklāšana.

Fibonači sērija (1, 1, 2, 3, 5, 8) un viņa atklātā “binārā” svaru sērija 1, 2, 4, 8, 16... no pirmā acu uzmetiena ir pilnīgi atšķirīgas. Bet to veidošanas algoritmi ir ļoti līdzīgi viens otram: pirmajā gadījumā katrs skaitlis ir iepriekšējā skaitļa summa ar sevi 2 = 1 + 1; 4 = 2 + 2..., otrajā tā ir divu iepriekšējo skaitļu summa 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, 5 = 3 + 2.... Vai ir iespējams atrast vispārīgu matemātisko formula, no kuras iegūstam un “ binārās sērijas un Fibonači sērijas? Vai varbūt šī formula mums dos jaunu numuru komplekti, kam ir dažas jaunas unikālas īpašības?

Patiešām, jautāsim skaitliskais parametrs S, kas var iegūt jebkuras vērtības: 0, 1, 2, 3, 4, 5... Apsveriet skaitļu sēriju, S+ 1 no pirmajiem vārdiem ir vienības, un katrs no nākamajiem ir vienāds ar divu iepriekšējā terminu summu un atdalīts no iepriekšējā ar S soļi. Ja nŠīs sērijas th terminu apzīmējam ar φ S ( n), tad mēs saņemam vispārējā formulaφ S ( n) = φ S ( n- 1) + φ S ( n - S - 1).

Ir skaidrs, kad S= 0 no šīs formulas iegūstam “bināro” sēriju ar S= 1 — Fibonači sērija, ar S= 2, 3, 4. jaunas skaitļu sērijas, kuras sauc S-Fibonači skaitļi.

IN vispārējs skats zeltaini S-proporcija ir zelta vienādojuma pozitīvā sakne S-sekcijas x S+1 - x S - 1 = 0.

To ir viegli parādīt, kad S= 0, segments ir sadalīts uz pusēm, un kad S= 1 - pazīstamā klasiskā zelta attiecība.

Attiecības starp kaimiņiem S- Fibonači skaitļi sakrīt ar absolūtu matemātisko precizitāti limitā ar zeltu S- proporcijas! Matemātiķi šādos gadījumos saka, ka zelts S-sadaļas ir skaitliski invarianti S-Fibonači skaitļi.

Fakti, kas apstiprina zelta esamību S-sekcijas dabā, citē baltkrievu zinātnieks E.M. Soroko grāmatā “Sistēmu strukturālā harmonija” (Minska, “Zinātne un tehnoloģija”, 1984). Izrādās, piemēram, labi izpētītiem binārajiem sakausējumiem ir īpašas, izteiktas funkcionālās īpašības (termiski stabilas, cietas, nodilumizturīgas, izturīgas pret oksidēšanos u.c.) tikai tad, ja oriģinālo komponentu īpatnējie smagumi ir saistīti viens ar otru. ar vienu no zelta S- proporcijas. Tas autoram ļāva izvirzīt hipotēzi, ka zelts S-sekcijas ir pašorganizējošu sistēmu skaitliski invarianti. Kad šī hipotēze ir apstiprināta eksperimentāli, tai var būt fundamentāla nozīme sinerģētikas attīstībā - jaunai zinātnes nozarei, kas pēta procesus pašorganizējošās sistēmās.

Izmantojot zelta kodus S-proporcijas var izteikt ar jebkuru reālu skaitli kā zelta pakāpju summu S-proporcijas ar veselu skaitļu koeficientiem.

Galvenā atšķirība starp šo skaitļu kodēšanas metodi ir tā, ka jauno kodu pamati, kas ir zeltaini S-proporcijas, ar S> 0 izrādās neracionāli skaitļi. Tādējādi šķiet, ka jaunas skaitļu sistēmas ar iracionālām bāzēm noliek vēsturiski izveidoto attiecību hierarhiju starp racionālajiem un iracionālajiem skaitļiem “no galvas līdz kājām”. Fakts ir tāds, ka naturālie skaitļi vispirms tika “atklāti”; tad to attiecības ir racionāli skaitļi. Un tikai vēlāk - pēc tam, kad pitagorieši atklāja nesalīdzināmus segmentus - radās iracionāli skaitļi. Piemēram, decimālajās, kvinārajās, binārajās un citās klasiskajās pozicionālo skaitļu sistēmās naturālie skaitļi tika izvēlēti kā sava veida pamatprincips - 10, 5, 2, no kuriem noteikti noteikumi tika konstruēti visi pārējie naturālie skaitļi, kā arī racionālie un iracionālie skaitļi.

Sava veida alternatīva esošajām apzīmējumu metodēm ir jauna, iracionāla sistēma kā pamatprincips, kuras sākums ir iracionālais skaitlis (kas, atceramies, ir zelta griezuma vienādojuma sakne); caur to jau ir izteikti citi reālie skaitļi.

Šādā skaitļu sistēmā jebkurš dabiskais skaitlis vienmēr attēlojams kā ierobežots - un nevis bezgalīgs, kā tika uzskatīts iepriekš! - jebkura zelta grādu summa S- proporcijas. Tas ir viens no iemesliem, kāpēc šķiet, ka “neracionālā” aritmētika, kurai piemīt pārsteidzoša matemātiskā vienkāršība un elegance labākās īpašības klasiskā binārā un Fibonači aritmētika.

Veidošanās principi dabā

Viss, kas ieguva kādu formu, veidojās, auga, tiecās ieņemt vietu telpā un saglabāt sevi. Šī vēlme tiek realizēta galvenokārt divos variantos - augot uz augšu vai izplatoties pa zemes virsmu un griežoties spirālē.

Apvalks ir savīti spirālē. Atlokot to, jūs iegūstat garumu, kas ir nedaudz īsāks par čūskas garumu. Nelielam desmit centimetru apvalkam ir 35 cm gara spirāle. Spirāles dabā ir ļoti izplatītas. Ideja par zelta griezumu būs nepilnīga, nerunājot par spirāli.

Rīsi. 12. Arhimēda spirāle

Arhimēda uzmanību piesaistīja spirāliski krokojušās čaulas forma. Viņš to pētīja un izdomāja spirāles vienādojumu. Spirāli, kas novilkta saskaņā ar šo vienādojumu, sauc viņa vārdā. Viņas soļa pieaugums vienmēr ir vienmērīgs. Pašlaik Arhimēda spirāle tiek plaši izmantota tehnoloģijā.

Gēte uzsvēra arī dabas tendenci uz spirālismu. Lapu spirālveida un spirālveida izvietojums uz koku zariem tika pamanīts jau sen. Spirāle bija redzama saulespuķu sēklu, priežu čiekuru, ananāsu, kaktusu u.c. Sadarbība Botāniķi un matemātiķi atklāj šīs apbrīnojamās dabas parādības. Izrādījās, ka Fibonači sērija izpaužas lapu izvietojumā uz zara (filotaksi), saulespuķu sēklām un priežu čiekuriem, un tāpēc izpaužas zelta griezuma likums. Zirneklis auž savu tīklu spirālveida veidā. Viesuļvētra griežas kā spirāle. Izbijies ganāmpulks ziemeļbrieži spirāles prom. DNS molekula ir savīti dubultā spirālē. Gēte spirāli nosauca par “dzīves līkni”.

Starp ceļmalas garšaugiem aug neievērojams augs - cigoriņi. Apskatīsim to tuvāk. No galvenā stumbra izveidojies dzinums. Pirmā lapa atradās tieši tur.

Rīsi. 13. Cigoriņi

Dzinums veic spēcīgu izmešanu kosmosā, apstājas, izlaiž lapu, bet šoreiz tā ir īsāka par pirmo, atkal izmet kosmosā, bet ar mazāku spēku, izlaiž vēl mazāka izmēra lapu un atkal tiek izmesta. . Ja pirmo emisiju ņem par 100 vienībām, tad otrā ir vienāda ar 62 vienībām, trešā - 38, ceturtā - 24 utt. Arī ziedlapu garums ir pakļauts zelta proporcijai. Augot un iekarojot telpu, augs saglabāja noteiktas proporcijas. Tā izaugsmes impulsi pakāpeniski samazinājās proporcionāli zelta griezumam.

Rīsi. 14. Viviparous ķirzaka

No pirmā acu uzmetiena ķirzakai ir mūsu acīm tīkamas proporcijas – tās astes garums ir saistīts ar pārējās ķermeņa garumu no 62 līdz 38.

Gan augu, gan dzīvnieku pasaulē neatlaidīgi laužas cauri dabas veidojošā tendence - simetrija attiecībā uz augšanas un kustības virzienu. Šeit zelta griezums parādās daļu proporcijās, kas ir perpendikulāras augšanas virzienam.

Daba ir veikusi sadalīšanu simetriskās daļās un zelta proporcijās. Daļas atklāj veseluma struktūras atkārtošanos.

Rīsi. 15. putnu ola

Lielais Gēte, dzejnieks, dabaszinātnieks un mākslinieks (zīmēja un gleznoja akvareļos), sapņoja izveidot vienotu mācību par organisko ķermeņu formu, veidošanos un transformāciju. Tieši viņš zinātniskajā lietojumā ieviesa terminu morfoloģija.

Pjērs Kirī šī gadsimta sākumā formulēja vairākas dziļas idejas par simetriju. Viņš apgalvoja, ka neviena ķermeņa simetriju nevar uzskatīt, neņemot vērā vides simetriju.

“Zelta” simetrijas modeļi izpaužas enerģijas pārejās elementārdaļiņas, dažu struktūrā ķīmiskie savienojumi, planētu un kosmosa sistēmas, dzīvo organismu gēnu struktūrās. Šie modeļi, kā norādīts iepriekš, pastāv atsevišķu cilvēka orgānu struktūrā un ķermenī kopumā, kā arī izpaužas smadzeņu bioritmos un funkcionēšanā un vizuālajā uztverē.

Zelta attiecība un simetrija

Zelta griezumu nevar aplūkot atsevišķi, bez saiknes ar simetriju. Lielais krievu kristalogrāfs G.V. Vulfs (1863...1925) uzskatīja zelta griezumu par vienu no simetrijas izpausmēm.

Zelta dalījums nav asimetrijas izpausme, kaut kas pretējs simetrijai Saskaņā ar mūsdienu priekšstatiem zelta dalījums ir asimetriska simetrija. Simetrijas zinātne ietver tādus jēdzienus kā statisks Un dinamiskā simetrija. Statiskā simetrija raksturo mieru un līdzsvaru, savukārt dinamiskā simetrija raksturo kustību un izaugsmi. Tādējādi dabā statisko simetriju attēlo kristālu struktūra, un mākslā tā raksturo mieru, līdzsvaru un nekustīgumu. Dinamiskā simetrija izsaka aktivitāti, raksturo kustību, attīstību, ritmu, tā ir dzīvības liecība. Statisko simetriju raksturo vienādi segmenti un vienādas vērtības. Dinamisko simetriju raksturo segmentu pieaugums vai to samazināšanās, un to izsaka pieaugošas vai samazinošas sērijas zelta griezuma vērtībās.

Zelta griezuma principu droši vien labi zina ikviens cilvēks, kurš vismaz netieši ir saskāries ar telpisko objektu ģeometriju interjera dizainā un arhitektūrā. Vēl nesen, pirms vairākiem gadu desmitiem, zelta griezuma popularitāte bija tik augsta, ka daudzi mistisko teoriju un pasaules uzbūves piekritēji to sauc par universālo harmonikas likumu.

Universālās proporcijas būtība

Pārsteidzoši atšķirīgs. Iemesls neobjektīvai, gandrīz mistiskajai attieksmei pret tik vienkāršu skaitlisko atkarību bija vairākas neparastas īpašības:

Lielam skaitam objektu dzīvajā pasaulē, no vīrusiem līdz cilvēkiem, ķermeņa vai ekstremitāšu pamatproporcijas ir ļoti tuvas zelta griezuma vērtībai;
Atkarība 0,63 vai 1,62 ir raksturīga tikai bioloģiskām radībām, un dažiem nedzīvu objektu veidiem, sākot no minerāliem līdz ainavas elementiem, zelta griezuma ģeometrija ir ārkārtīgi reti;
Zelta proporcijas ķermeņa struktūrā izrādījās visoptimālākās reālu bioloģisko objektu izdzīvošanai.

Mūsdienās zelta griezums ir atrodams dzīvnieku ķermeņa struktūrā, gliemju čaumalās un čaumalās, lapu, zaru, stumbru proporcijās un sakņu sistēmās. liels skaits krūmi un garšaugi.

Daudzi zelta griezuma universāluma teorijas piekritēji vairākkārt ir mēģinājuši pierādīt, ka tās proporcijas ir visoptimālākās. bioloģiskie organismi to pastāvēšanas apstākļos.

Kā piemēru parasti min Astreae Heliotropium, viena no jūras moluskiem, čaumalas struktūru. Apvalks ir satīts kalcīta apvalks ar ģeometriju, kas praktiski sakrīt ar zelta griezuma proporcijām.

Saprotamāks un acīmredzamāks piemērs ir parasta vistas ola.

Zelta griezumam atbildīs arī galveno parametru attiecība, proti, lielais un mazais fokuss jeb attālumi no vienādiem virsmas punktiem līdz smaguma centram. Tajā pašā laikā putna olu čaumalas forma ir visoptimālākā putna kā bioloģiskas sugas izdzīvošanai. Šajā gadījumā čaulas stiprumam nav lielas nozīmes.

Jūsu informācijai!

Zelta griezums, ko sauc arī par universālo ģeometrijas proporciju, tika iegūts, veicot milzīgus praktiskus mērījumus un reālu augu, putnu un dzīvnieku izmēru salīdzinājumus.

Universālās proporcijas izcelsme Senie grieķu matemātiķi Eiklīds un Pitagors zināja par griezuma zelta attiecību. Vienā no pieminekļiem senā arhitektūra

- Heopsa piramīdai ir sānu un pamatnes attiecība, atsevišķi elementi un sienas bareljefi ir izgatavoti saskaņā ar universālo proporciju.

Zelta griezuma tehniku viduslaikos plaši izmantoja mākslinieki un arhitekti, savukārt universālās proporcijas būtība tika uzskatīta par vienu no Visuma noslēpumiem un tika rūpīgi slēpta no parastajiem cilvēkiem. Daudzu gleznu, skulptūru un ēku kompozīcija tika veidota stingri saskaņā ar zelta griezuma proporcijām.

Universālās proporcijas būtību 1509. gadā pirmo reizi dokumentēja franciskāņu mūks Luka Pacioli, kuram bija izcilas matemātiskās spējas. Taču īsta atpazīšana notika pēc tam, kad vācu zinātnieks Zeisings veica visaptverošu izpēti par cilvēka ķermeņa proporcijām un ģeometriju, senajām skulptūrām, mākslas darbiem, dzīvniekiem un augiem. Lielākajā daļā dzīvo objektu daži ķermeņa izmēri ir pakļauti vienādām proporcijām. 1855. gadā zinātnieki secināja, ka zelta griezuma proporcijas ir sava veida ķermeņa un formas harmonijas standarts. Runa ir par

, pirmkārt, par dzīvām būtnēm, par mirušo dabu zelta griezums ir daudz retāk sastopams.

Kā iegūt zelta griezumu Zelta griezumu visvieglāk attēlot kā viena objekta divu daļu attiecību dažādi garumi

, atdalīts ar punktu.

Praksē zelta griezums ir tikai proporcija, noteikta garuma segmentu, taisnstūra malu vai citu ģeometrisku formu, saistīto vai konjugētu reālu objektu izmēru raksturlielumu attiecība.

Sākotnēji zelta proporcijas tika iegūtas empīriski, izmantojot ģeometriskas konstrukcijas. Ir vairāki veidi, kā izveidot vai iegūt harmonisku proporciju:

Jūsu informācijai!

Atšķirībā no klasiskās zelta griezuma, arhitektūras versija paredz malu attiecību 44:56.

Ja zelta griezuma standarta variants dzīvām būtnēm, gleznām, grafikām, skulptūrām un senajām celtnēm tika aprēķināts 37:63, tad arhitektūrā no 17. gadsimta beigām arvien vairāk sāka izmantot zelta griezumu 44:56. Vairums ekspertu izmaiņas par labu “kvadrātiskām” proporcijām uzskata par augstceltnes izplatību.

Galvenais zelta griezuma noslēpums

Ja universālā griezuma dabiskās izpausmes dzīvnieku un cilvēku ķermeņu proporcijās, augu stublāju pamatnē joprojām skaidrojamas ar evolūciju un spēju pielāgoties ārējās vides ietekmei, tad zelta griezuma atklāšanu konstrukcijā. 12.-19.gadsimta māju skaits bija zināms pārsteigums. Turklāt slavenais sengrieķu Partenons tika būvēts, ievērojot universālas proporcijas, daudzas turīgu muižnieku un turīgu cilvēku mājas un pilis viduslaikos tika apzināti celtas ar parametriem, kas bija ļoti tuvu zelta griezumam.

Zelta attiecība arhitektūrā

Daudzas līdz mūsdienām saglabājušās ēkas liecina, ka viduslaiku arhitekti zināja par zelta griezuma eksistenci, un, protams, māju būvējot vadījušies pēc saviem primitīvajiem aprēķiniem un atkarībām, ar palīdzību. no kuriem viņi centās sasniegt maksimālu spēku. Vēlme būvēt skaistākās un harmoniskākās mājas īpaši izpaudās valdošo personu rezidenču ēkās, baznīcās, rātsnamos un sabiedrībā īpašas sociālas nozīmes ēkās.

Piemēram, slavenajā Parīzes Dievmātes katedrālē ir daudz sekciju un izmēru ķēdes savās proporcijās, kas atbilst zelta griezumam.

Protams, mājas ir celtas, stingri ievērojot zelta griezuma likumu. Ir vērts pieminēt Nerlas Aizlūgšanas baznīcas seno arhitektūras pieminekli, kas parādīts diagrammā.

Tos visus vieno ne tikai harmoniska formu kombinācija un augstas kvalitātes celtniecība, bet arī, pirmkārt, zelta griezuma klātbūtne ēkas proporcijās. Ēkas apbrīnojamais skaistums kļūst vēl noslēpumaināks, ja ņemam vērā tās vecumu. Aizlūgšanas baznīcas ēka datēta ar 13. gadsimtu, bet savu moderno arhitektonisko izskatu ēka ieguvusi 17. gadsimta mijā. restaurācijas un rekonstrukcijas rezultāts.

Zelta griezuma iezīmes cilvēkiem

Senā viduslaiku ēku un māju arhitektūra joprojām ir pievilcīga un interesanta mūsdienu cilvēks daudzu iemeslu dēļ:

Individuāls mākslinieciskais stils fasāžu dizainā izvairās no modernām klišejām un truluma, katra ēka ir mākslas darbs;
Plaša izmantošana statuju, skulptūru, apmetuma līstes, neparastu dažādu laikmetu būvrisinājumu kombināciju dekorēšanai un dekorēšanai;
Ēkas proporcijas un kompozīcija pievērš uzmanību svarīgākajiem ēkas elementiem.

Svarīgi! Projektējot māju un attīstot izskats viduslaiku arhitekti pielietoja zelta griezuma likumu, neapzināti izmantojot cilvēka zemapziņas uztveres īpatnības.

Mūsdienu psihologi ir eksperimentāli pierādījuši, ka zelta griezums ir cilvēka neapzinātas vēlmes vai reakcijas izpausme uz harmonisku izmēru, formu un pat krāsu kombināciju vai proporciju. Tika veikts eksperiments, kurā cilvēku grupai, kas nepazīst viens otru, nebija kopīgu interešu, dažādas profesijas un vecuma kategorijas, tika piedāvāta virkne testu, starp kuriem bija uzdevums izlocīt papīra loksni pēc iespējas labāk. optimāla sānu proporcija. Pamatojoties uz testēšanas rezultātiem, tika konstatēts, ka 85 gadījumos no 100 subjekti loksni saliekuši gandrīz precīzi atbilstoši zelta griezumam.

Tieši tāpēc mūsdienu zinātne uzskata, ka universālās proporcijas fenomens ir psiholoģiska parādība, nevis kādu metafizisku spēku darbība.

Universālā sekcijas faktora izmantošana mūsdienu dizainā un arhitektūrā

Zelta proporcijas izmantošanas principi pēdējos gados kļuvuši ārkārtīgi populāri privātmāju būvniecībā. Ekoloģijas un drošības vietā celtniecības materiāli radās dizaina harmonija un pareiza enerģijas sadale mājas iekšienē.

Mūsdienu universālās harmonijas noteikuma interpretācija jau sen ir izplatījusies ārpus parastās objekta ģeometrijas un formas. Mūsdienās noteikums ir pakļauts ne tikai portika un frontona garuma ķēdēm, atsevišķiem fasādes elementiem un ēkas augstumam, bet arī telpu platībai, logu un durvju ailēm un pat telpas interjera krāsu shēma.

Vienkāršākais veids, kā uzbūvēt harmonisku māju, ir moduļu sistēma. Šajā gadījumā lielākā daļa nodaļu un telpu tiek veidotas neatkarīgu bloku vai moduļu veidā, kas veidoti saskaņā ar zelta griezuma noteikumu. Uzbūvēt ēku harmonisku moduļu komplekta veidā ir daudz vienkāršāk, nekā uzbūvēt vienu kasti, kurā lielākajai daļai fasādes un interjera ir jābūt stingrā zelta griezuma proporciju ietvaros.

Daudzas būvniecības kompānijas, kas projektē privātās mājsaimniecības, izmanto zelta griezuma principus un koncepcijas, lai palielinātu izmaksu tāmi un radītu klientiem iespaidu, ka mājas projekts ir rūpīgi izstrādāts. Parasti šāda māja tiek pasludināta par ļoti ērtu un harmonisku lietošanā. Pareizi izvēlēta telpu platību attiecība garantē garīgo komfortu un lielisku īpašnieku veselību.

Ja māja celta, neņemot vērā zelta griezuma optimālās attiecības, varat pārplānot telpas tā, lai telpas proporcijas atbilstu sienu attiecībai proporcijā 1:1,61. Lai to izdarītu, var pārvietot mēbeles vai uzstādīt papildu starpsienas telpās. Tādā pašā veidā tiek mainīti logu un durvju aiļu izmēri, lai ailes platums būtu 1,61 reizi mazāks par durvju vērtnes augstumu. Mēbeļu plānošana tiek veikta tādā pašā veidā, sadzīves tehnika, sienu un grīdu apdare.

Grūtāk ir izvēlēties krāsu shēmu. Šajā gadījumā ierastās attiecības 63:37 vietā zelta likuma sekotāji pieņēma vienkāršotu interpretāciju - 2/3. Tas ir, galvenajam krāsu fonam vajadzētu aizņemt 60% no telpas platības, ne vairāk kā 30% jāatvēl ēnojuma krāsai, bet pārējais tiek piešķirts dažādiem saistītiem toņiem, kas paredzēti, lai uzlabotu krāsu shēmas uztveri. .

Telpas iekšējās sienas ir sadalītas ar horizontālu jostu vai apmali 70 cm augstumā, uzstādītām mēbelēm jābūt samērīgām ar griestu augstumu atbilstoši zelta griezumam. Tas pats noteikums attiecas uz garumu sadalījumu, piemēram, dīvāna izmērs nedrīkst pārsniegt 2/3 no starpsienas garuma, un kopējā platība mēbeļu aizņemtais apjoms attiecas uz telpas platību 1:1,61.

Zelta proporciju ir grūti pielietot praksē plašā mērogā tikai vienas šķērsgriezuma vērtības dēļ, tāpēc, projektējot harmoniskas ēkas, bieži tiek izmantota Fibonači skaitļu virkne. Tas ļauj paplašināt iespējamo mājas galveno elementu proporciju un ģeometrisko formu iespēju skaitu. Šajā gadījumā Fibonači skaitļu sēriju, kas savstarpēji savienota ar skaidru matemātisku sakarību, sauc par harmonisku vai zeltainu.

Mūsdienu mājokļu projektēšanas metodē, kuras pamatā ir zelta griezuma princips, papildus Fibonači sērijai plaši tiek izmantots arī slavenā franču arhitekta Lekorbizjē piedāvātais princips. Šajā gadījumā par sākuma mērvienību tiek izvēlēts topošā īpašnieka augums vai cilvēka vidējais augums, pēc kura tiek aprēķināti visi ēkas un interjera parametri. Šī pieeja ļauj izveidot māju, kas ir ne tikai harmoniska, bet arī patiesi individuāla.

Secinājums

Praksē, saskaņā ar atsauksmēm no tiem, kuri nolēma būvēt māju saskaņā ar zelta griezuma likumu, labi uzbūvēta ēka patiesībā izrādās diezgan ērta dzīvošanai. Bet ēkas izmaksas individuāla dizaina un nestandarta izmēru būvmateriālu izmantošanas dēļ palielinās par 60-70%. Un šajā pieejā nav nekā jauna, jo lielākā daļa pagājušā gadsimta ēku tika uzceltas īpaši zem tā individuālās īpašības nākamie īpašnieki.

Zelta griezums – matemātika

Zelta attiecība - harmoniskā proporcija

Matemātikā proporcija (lat. proportio) ir divu attiecību vienādība: a: b = c: d.
Taisnes segmentu AB var sadalīt divās daļās šādos veidos:
divās vienādās daļās – AB: AC = AB: BC;
divās nevienādās daļās (šādas daļas neveido proporcijas);
tātad, kad AB: AC = AC: BC.
Pēdējais ir zelta dalījums vai segmenta sadalījums galējā un vidējā attiecībā.
Zelta griezums ir tāds proporcionāls segmenta dalījums nevienlīdzīgās daļās, kurā viss segments ir saistīts ar lielāko daļu, jo pati lielākā daļa ir saistīta ar mazāko; vai citiem vārdiem sakot, mazākais segments ir lielāks, jo lielākais ir veselums

a: b = b: c vai c: b = b: a.

Rīsi. 1. Zelta griezuma ģeometriskais attēls

Praktiskā iepazīšanās ar zelta griezumu sākas ar taisnas līnijas segmenta sadalīšanu zelta proporcijā, izmantojot kompasu un lineālu.

Rīsi. 2. Taisnas līnijas segmenta sadalīšana pēc zelta griezuma. BC = 1/2 AB; CD = BC

No punkta B tiek atjaunots perpendikuls, kas vienāds ar pusi AB. Iegūtais punkts C ir savienots ar līniju ar punktu A. Uz iegūtās taisnes tiek uzlikts posms BC, kas beidzas ar punktu D. Nogrieznis AD tiek pārnests uz taisni AB. Iegūtais punkts E sadala segmentu AB zelta proporcijā.

Zelta proporcijas segmentus izsaka ar bezgalīgu iracionālo daļu AE = 0,618..., ja AB ņemts par vienu, BE = 0,382... Praktiskiem nolūkiem bieži tiek izmantotas aptuvenās vērtības 0,62 un 0,38. Ja segmentu AB pieņem par 100 daļām, tad segmenta lielākā daļa ir 62, bet mazākā daļa ir 38 daļas.

Zelta griezuma īpašības raksturo vienādojums:
x2 – x – 1 = 0.

Šī vienādojuma risinājums:

Zelta griezuma īpašības ap šo skaitli ir radījušas romantisku noslēpumainības un gandrīz mistiskas pielūgsmes auru.

Otrā zelta attiecība

Bulgārijas žurnāls "Tēvzeme" (1983. g. 10.) publicēja Cvetana Tsekova-Karandaša rakstu "Par otro zelta griezumu", kas izriet no galvenās sadaļas un dod vēl vienu attiecību 44:56.
Šī proporcija ir sastopama arhitektūrā, un tā rodas arī, veidojot iegarena horizontāla formāta attēlu kompozīcijas.

Sadalīšana tiek veikta šādi. Segments AB tiek sadalīts pēc zelta griezuma. No punkta C tiek atjaunots perpendikulārs CD. Rādiuss AB ir punkts D, kas ar līniju savienots ar punktu A. Taisnā leņķa ACD dala uz pusēm. No punkta C līdz krustojumam ar līniju AD tiek novilkta līnija. Punkts sadala segmentu AD attiecībā 56:44.

Rīsi. 3. Otrās zelta griezuma uzbūve

Rīsi. 4. Taisnstūra sadalīšana ar otrās zelta griezuma līniju

Attēlā parādīta otrās zelta griezuma līnijas pozīcija. Tas atrodas pa vidu starp zelta griezuma līniju un taisnstūra vidējo līniju.

Zelta trīsstūris

Lai atrastu augošās un dilstošās sērijas zelta proporcijas segmentus, varat izmantot pentagrammu.

Rīsi. 5. Regulāra piecstūra un pentagrammas uzbūve

Lai izveidotu pentagrammu, jums ir jāizveido parasts piecstūris. Tās konstruēšanas metodi izstrādājis vācu gleznotājs un grafiķis Albrehts Durers (1471...1528). Lai O ir apļa centrs, A ir apļa punkts un E ir nogriežņa OA viduspunkts. Perpendikuls rādiusam OA, kas atjaunots punktā O, šķērso apli punktā D. Izmantojot kompasu, uzzīmējiet nogriezni CE = ED uz diametra. Parasta piecstūra, kas ierakstīts aplī, malas garums ir vienāds ar līdzstrāvu. Uzzīmējam uz apļa segmentus DC un iegūstam piecus punktus, lai uzzīmētu regulāru piecstūri. Mēs savienojam piecstūra stūrus vienu caur otru ar diagonālēm un iegūstam pentagrammu. Visas piecstūra diagonāles sadala viena otru segmentos, kas savienoti ar zelta griezumu.
Katrs piecstūra zvaigznes gals apzīmē zelta trīsstūri. Tās malas veido 36° leņķi virsotnē, un pamatne, kas uzlikta uz sāniem, sadala to zelta griezuma proporcijā.

Zīmējam taisni AB. No punkta A trīs reizes uzliekam patvaļīga izmēra segmentu, caur iegūto punktu P novelkam perpendikulu taisnei AB, uz perpendikula pa labi un pa kreisi no punkta P uzliekam segmentus O. Savienojam iegūtos punktus d un d1 ar taisnēm uz punktu A. Nogriezni dd1 novietojam uz līnijas Ad1 , iegūstot punktu C. Viņa sadalīja līniju Ad1 proporcionāli zelta griezumam. Līnijas Ad1 un dd1 tiek izmantotas, lai izveidotu “zelta” taisnstūri.

Rīsi. 6. Zelta trīsstūra uzbūve

Zelta griezuma vēsture

Rīsi. 7. Dinamiskie taisnstūri

Par zelta sadalīšanu zināja arī Platons (427...347.g.pmē.). Viņa dialogs “Timejs” ir veltīts Pitagora skolas matemātiskajiem un estētiskajiem uzskatiem un jo īpaši zelta dalījuma jautājumiem.
Senās Grieķijas Partenona tempļa fasādei ir zelta proporcijas. Tās izrakumos tika atklāti kompasi, kurus izmantoja antīkās pasaules arhitekti un tēlnieki. Pompejas kompass (muzejs Neapolē) satur arī zelta dalījuma proporcijas.

Rīsi. 8.Antīks zelta griezuma kompass

Senajā literatūrā, kas nonākusi līdz mums, zelta dalījums pirmo reizi tika minēts Eiklida elementos. 2. grāmatā “Principi” ir dota zelta dalījuma ģeometriskā konstrukcija Pēc Eiklida zelta dalījuma izpēti veica Hipsikls (II gadsimts pirms mūsu ēras), Pappuss (III gs. p.m.ē.) un citi viduslaiku Eiropa ar zelta sadalījumu Mēs tikāmies ar Eiklida elementu tulkojumiem arābu valodā. Komentārus par tulkojumu sniedza tulkotājs J. Kampano no Navarras (III gs.). Zelta divīzijas noslēpumi tika greizsirdīgi sargāti un turēti stingrā noslēpumā. Viņi bija zināmi tikai iesvētītajiem.
Renesanses laikā interese par zelta dalījumu pieauga zinātnieku un mākslinieku vidū, jo to izmantoja gan ģeometrijā, gan mākslā, īpaši arhitektūrā, mākslinieks un zinātnieks Leonardo da Vinči redzēja, ka itāļu māksliniekiem ir liela empīriskā pieredze, bet maz zināšanas. Viņš kļuva stāvoklī un sāka rakstīt grāmatu par ģeometriju, bet tajā laikā parādījās mūka Luka Pacioli grāmata, un Leonardo atteicās no savas idejas. Pēc laikabiedru un zinātnes vēsturnieku domām, Luka Pacioli bija īsts spīdeklis, lielākais Itālijas matemātiķis laika posmā starp Fibonači un Galileo. Luka Pacioli bija mākslinieka Pjero della Frančeski skolnieks, kurš uzrakstīja divas grāmatas, no kurām viena saucās “Par perspektīvu glezniecībā”. Viņš tiek uzskatīts par aprakstošās ģeometrijas radītāju.
Luka Pacioli lieliski saprata zinātnes nozīmi mākslā. 1496. gadā pēc Moro hercoga uzaicinājuma viņš ieradās Milānā, kur lasīja lekcijas par matemātiku. Leonardo da Vinči tajā laikā strādāja arī Milānā Moro galmā. 1509. gadā Venēcijā tika izdota Luka Pačioli grāmata “Dievišķā proporcija” ar izcili izpildītām ilustrācijām, tāpēc tiek uzskatīts, ka tās veidojis Leonardo da Vinči. Grāmata bija entuziasma himna zelta griezumam. Starp daudzajām zelta proporcijas priekšrocībām mūks Luka Pacioli nevilcinājās nosaukt tās “dievišķo būtību” kā dievišķās trīsvienības izpausmi – Dievs Dēls, Dievs Tēvs un Dievs Svētais Gars (bija domāts, ka mazais segments ir Dieva Dēla personifikācija, lielākais segments ir Tēva Dievs un viss segments - Svētā Gara Dievs).
Leonardo da Vinči lielu uzmanību pievērsa arī zelta divīzijas izpētei. Viņš veidoja sekcijas no stereometriska ķermeņa, ko veidoja regulāri piecstūri, un katru reizi ieguva taisnstūrus ar malu attiecībām zelta sadalījumā. Tāpēc viņš šim sadalījumam deva nosaukumu zelta griezums. Tāpēc tas joprojām ir populārākais.
Tajā pašā laikā Eiropas ziemeļos, Vācijā, Albrehts Dīrers strādāja pie tām pašām problēmām. Viņš ieskicē ievadu traktāta par proporcijām pirmajai versijai. Dīrers raksta. “Ir nepieciešams, lai kāds, kurš zina, kā kaut ko darīt, to mācītu citiem, kam tas ir vajadzīgs. Tas ir tas, ko es nolēmu darīt."
Spriežot pēc vienas no Dīrera vēstulēm, viņš satikās ar Luku Pacioli, atrodoties Itālijā. Albrehts Durers sīki izstrādā cilvēka ķermeņa proporciju teoriju. Dīrers piešķīra nozīmīgu vietu savā attiecību sistēmā zelta griezumam. Cilvēka augumu zelta proporcijās dala jostas līnija, kā arī līnija, kas novilkta cauri nolaisto roku vidējo pirkstu galiem, sejas apakšdaļa pie mutes utt. Direra proporcionālais kompass ir labi zināms.
Lielais 16. gadsimta astronoms. Johanness Keplers zelta griezumu nosauca par vienu no ģeometrijas dārgumiem. Viņš bija pirmais, kurš pievērsa uzmanību zelta proporcijas nozīmei botānikā (augu augšanai un to struktūrai).
Keplers nosauca zelta proporciju par pašturpinošu: “Tā ir strukturēta tā, ka šīs nebeidzamās proporcijas divi zemākie termini kopā veido trešo termiņu un jebkuri divi pēdējie termini, ja tos saskaita kopā. , dodiet nākamo termiņu, un tā pati proporcija paliek līdz bezgalībai."
Zelta proporcijas segmentu sērijas konstruēšanu var veikt gan pieauguma virzienā (augošās sērijas), gan samazināšanās virzienā (dilstoša sērija).
Ja mēs noliekam malā segmentu m uz patvaļīga garuma taisnes, mēs noliekam segmentu M blakus, pamatojoties uz šiem diviem segmentiem, mēs veidojam augošās un dilstošās sērijas zelta proporcijas segmentu skalu.

Rīsi. 9. Zelta griezuma segmentu skalas konstruēšana

Rīsi. 10. Zelta proporcijas cilvēka ķermeņa daļās

Zeisings paveica milzīgu darbu. Viņš izmērīja aptuveni divus tūkstošus cilvēku ķermeņu un nonāca pie secinājuma, ka zelta griezums izsaka vidējo statistikas likumu. Ķermeņa dalījums pēc nabas punkta ir vissvarīgākais zelta griezuma rādītājs. Vīrieša ķermeņa proporcijas svārstās vidējās attiecības 13:8 = 1,625 robežās un ir nedaudz tuvākas zelta griezumam nekā sievietes ķermeņa proporcijas, attiecībā pret kurām proporcijas vidējā vērtība tiek izteikta attiecībā 8: 5 = 1,6. Jaundzimušajam proporcija ir 1:1, līdz 13 gadu vecumam tā ir 1,6, un līdz 21 gada vecumam tā ir vienāda ar vīrieti. Zelta griezuma proporcijas parādās arī attiecībā pret citām ķermeņa daļām – pleca garumu, apakšdelmu un plaukstu, roku un pirkstiem utt.

Rīsi. 11. Zelta proporcijas cilvēka figūrā

19. gadsimta beigās – 20. gadsimta sākumā. Par zelta griezuma izmantošanu mākslas un arhitektūras darbos parādījās daudzas tīri formālistiskas teorijas. Attīstoties dizainam un tehniskajai estētikai, zelta griezuma likums attiecās arī uz automašīnu, mēbeļu u.c. dizainu.

Fibonači sērija

Ciparu virkne 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 utt. pazīstama kā Fibonači sērija. Skaitļu secības īpatnība ir tāda, ka katrs tās dalībnieks, sākot no trešā, ir vienāds ar iepriekšējo divu summu 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34 utt., un blakus esošo skaitļu attiecība sērijā tuvojas zelta dalījuma attiecībai. Tātad 21: 34 = 0,617 un 34: 55 = 0,618. Šo attiecību apzīmē ar simbolu F. Tikai šī attiecība - 0,618: 0,382 - dod nepārtrauktu taisnas līnijas segmenta dalījumu zelta proporcijā, to palielinot vai samazinot līdz bezgalībai, kad mazākais segments ir saistīts ar lielāko kā lielākais ir visam.

Vispārējā zelta attiecība

Viens no sasniegumiem šajā jomā ir vispārināto Fibonači skaitļu un vispārināto zelta attiecību atklāšana.

Fibonači sērija (1, 1, 2, 3, 5, 8) un viņa atklātā “binārā” svaru sērija 1, 2, 4, 8, 16... no pirmā acu uzmetiena ir pilnīgi atšķirīgas. Bet to veidošanas algoritmi ir ļoti līdzīgi viens otram: pirmajā gadījumā katrs skaitlis ir iepriekšējā skaitļa summa ar sevi 2 = 1 + 1; 4 = 2 + 2…, otrajā tā ir divu iepriekšējo skaitļu summa 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, 5 = 3 + 2…. Vai ir iespējams atrast vispārēju matemātisko formulu, no kuras iegūtas gan “binārās”, gan Fibonači sērijas? Vai varbūt šī formula sniegs mums jaunas skaitļu kopas, kurām ir dažas jaunas unikālas īpašības?

Patiešām, iestatīsim skaitlisko parametru S, kas var iegūt jebkuras vērtības: 0, 1, 2, 3, 4, 5... Apsveriet skaitļu sēriju, S+ 1 no pirmajiem vārdiem ir vienības, un katrs no nākamajiem ir vienāds ar divu iepriekšējā terminu summu un atdalīts no iepriekšējā ar S soļi. Ja nŠīs sērijas th terminu apzīmējam ar φ S (n), tad iegūstam vispārīgo formulu φ S ( n) = φ S ( n– 1) + φ S (n – S – 1).

Ir skaidrs, kad S= 0 no šīs formulas iegūstam “bināro” sēriju ar S= 1 – Fibonači sērija, ar S= 2, 3, 4. jaunas skaitļu sērijas, kuras sauc S-Fibonači skaitļi.

Kopumā zeltaini S-proporcija ir zelta vienādojuma pozitīvā sakne S- sadaļas x S+1 – x S – 1 = 0.

Ir viegli parādīt, ka pie S = 0 segments tiek dalīts uz pusēm, un pie S = 1 rodas pazīstamā klasiskā zelta attiecība.

Blakus esošo Fibonači S skaitļu attiecības sakrīt ar absolūtu matemātisko precizitāti robežās ar zelta S proporcijām! Matemātiķi šādos gadījumos saka, ka zelta S koeficienti ir Fibonači S skaitļu skaitliski invarianti.

Faktus, kas apstiprina zelta S-griezumu esamību dabā, sniedz baltkrievu zinātnieks E.M. Soroko grāmatā “Sistēmu strukturālā harmonija” (Minska, “Zinātne un tehnoloģija”, 1984). Izrādās, piemēram, labi izpētītiem binārajiem sakausējumiem ir īpašas, izteiktas funkcionālās īpašības (termiski stabilas, cietas, nodilumizturīgas, izturīgas pret oksidēšanos u.c.) tikai tad, ja oriģinālo komponentu īpatnējie smagumi ir saistīti viens ar otru. ar vienu no zelta S proporcijām. Tas ļāva autoram izvirzīt hipotēzi, ka zelta S-sekcijas ir pašorganizējošu sistēmu skaitliski invarianti. Kad šī hipotēze ir apstiprināta eksperimentāli, tai var būt būtiska nozīme sinerģētikas attīstībā, kas ir jauna zinātnes nozare, kas pēta procesus pašorganizējošās sistēmās.

Izmantojot zelta S proporciju kodus, jūs varat izteikt jebkuru reālu skaitli kā zelta S proporciju pakāpju summu ar veseliem skaitļiem.

Būtiskā atšķirība starp šo skaitļu kodēšanas metodi ir tā, ka jauno kodu bāzes, kas ir zelta S proporcijas, izrādās iracionāli skaitļi, ja S> 0. Tādējādi šķiet, ka jaunas skaitļu sistēmas ar iracionālām bāzēm noliek vēsturiski izveidoto attiecību hierarhiju starp racionālajiem un iracionālajiem skaitļiem “no galvas līdz kājām”. Fakts ir tāds, ka naturālie skaitļi vispirms tika “atklāti”; tad to attiecības ir racionāli skaitļi. Un tikai vēlāk – pēc tam, kad pitagorieši atklāja nesalīdzināmus segmentus – radās iracionāli skaitļi. Piemēram, decimālajās, kvinārajās, binārajās un citās klasiskajās pozicionālo skaitļu sistēmās naturālie skaitļi tika izvēlēti kā sava veida pamatprincips - 10, 5, 2 -, no kuriem saskaņā ar noteiktiem noteikumiem visi pārējie naturālie skaitļi, kā arī racionālie skaitļi un iracionālie skaitļi, tika konstruēti.

Šādā skaitļu sistēmā jebkuru naturālu skaitli vienmēr var attēlot kā galīgu – nevis bezgalīgu, kā tika uzskatīts iepriekš! – jebkuras zelta S proporcijas spēku summa. Tas ir viens no iemesliem, kāpēc “irracionālā” aritmētika ar apbrīnojamu matemātisku vienkāršību un eleganci, šķiet, ir absorbējusi labākās klasiskās binārās un “Fibonači” aritmētikas īpašības.

Veidošanās principi dabā

Rīsi. 12. Arhimēda spirāle

Gēte uzsvēra arī dabas tendenci uz spirālismu. Lapu spirālveida un spirālveida izvietojums uz koku zariem tika pamanīts jau sen. Spirāle bija redzama saulespuķu sēklu, priežu čiekuru, ananāsu, kaktusu u.c. Botāniķu un matemātiķu kopīgais darbs ir atklājis šīs pārsteidzošās dabas parādības. Izrādījās, ka Fibonači sērija izpaužas lapu izvietojumā uz zara (filotaksi), saulespuķu sēklām un priežu čiekuriem, un tāpēc izpaužas zelta griezuma likums. Zirneklis auž savu tīklu spirālveida veidā. Viesuļvētra griežas kā spirāle. Izbijies ziemeļbriežu bars izklīst pa spirāli. DNS molekula ir savīti dubultā spirālē. Gēte spirāli nosauca par “dzīves līkni”.

Starp ceļmalas garšaugiem aug neievērojams augs - cigoriņi. Apskatīsim to tuvāk. No galvenā stumbra izveidojies dzinums. Pirmā lapa atradās tieši tur.

Rīsi. 13.Cigoriņi

Dzinums veic spēcīgu izmešanu kosmosā, apstājas, izlaiž lapu, bet šoreiz tā ir īsāka par pirmo, atkal izmet kosmosā, bet ar mazāku spēku, izlaiž vēl mazāka izmēra lapu un atkal tiek izmesta. . Ja pirmo emisiju pieņem kā 100 vienības, tad otrā ir vienāda ar 62 vienībām, trešā ir 38, ceturtā ir 24 utt. Arī ziedlapu garums ir pakļauts zelta proporcijai. Augot un iekarojot telpu, augs saglabāja noteiktas proporcijas. Tā izaugsmes impulsi pakāpeniski samazinājās proporcionāli zelta griezumam.

Rīsi. 15.Putna ola

Pjērs Kirī šī gadsimta sākumā formulēja vairākas dziļas idejas par simetriju. Viņš apgalvoja, ka neviena ķermeņa simetriju nevar uzskatīt, neņemot vērā vides simetriju.

“Zelta” simetrijas likumi izpaužas elementārdaļiņu enerģijas pārejās, dažu ķīmisko savienojumu struktūrā, planētu un kosmiskajās sistēmās, dzīvo organismu gēnu struktūrās. Šie modeļi, kā norādīts iepriekš, pastāv atsevišķu cilvēka orgānu struktūrā un ķermenī kopumā, kā arī izpaužas smadzeņu bioritmos un funkcionēšanā un vizuālajā uztverē.

Zelta attiecība un simetrija

Zelta griezumu nevar aplūkot atsevišķi, bez saiknes ar simetriju. Lielais krievu kristalogrāfs G.V. Vilks (1863...1925) uzskatīja zelta griezumu par vienu no simetrijas izpausmēm.

Zelta dalījums nav asimetrijas izpausme, kaut kas pretējs simetrijai Saskaņā ar mūsdienu priekšstatiem zelta dalījums ir asimetriska simetrija. Simetrijas zinātne ietver tādus jēdzienus kā statiskā un dinamiskā simetrija. Statiskā simetrija raksturo mieru un līdzsvaru, savukārt dinamiskā simetrija raksturo kustību un izaugsmi. Tādējādi dabā statisko simetriju attēlo kristālu struktūra, un mākslā tā raksturo mieru, līdzsvaru un nekustīgumu. Dinamiskā simetrija izsaka aktivitāti, raksturo kustību, attīstību, ritmu, tā ir dzīvības liecība. Statisko simetriju raksturo vienādi segmenti un vienādas vērtības. Dinamisko simetriju raksturo segmentu pieaugums vai to samazināšanās, un to izsaka pieaugošas vai samazinošas sērijas zelta griezuma vērtībās.

18.04.2011. A. F. Afanasjevs Atjaunināts 16.06.2012.

Izmēri un proporcijas ir viens no galvenajiem uzdevumiem jebkura plastiskās mākslas darba mākslinieciskā tēla meklējumos. Skaidrs, ka lieluma jautājums tiek izlemts, ņemot vērā telpu, kurā tā atradīsies, un objektus, kas to ieskauj.

Runājot par proporcijām (dimensiju vērtību attiecību), mēs tās ņemam vērā plakana attēla formātā (glezna, intarsija), tilpuma objekta kopējo izmēru (garums, augstums, platums) attiecībās, viena ansambļa divu augstuma vai garuma priekšmetu attiecība, viena un tā paša objekta divu skaidri saskatāmu daļu izmēru attiecība utt.

Tēlotājmākslas klasikā daudzus gadsimtus ir izsekota proporciju veidošanas tehnika, ko sauc par zelta griezumu vai zelta skaitli (šo terminu ieviesa Leonardo da Vinči). Zelta griezuma jeb dinamiskās simetrijas princips ir tāds, ka “attiecība starp divām viena veseluma daļām ir vienāda ar tās lielākās daļas attiecību pret veselumu” (vai, attiecīgi, veselumu pret lielāko daļu). Matemātiski tas ir

skaitlis tiek izteikts kā - 1 ± 2?5 - kas dod 1,6180339... vai 0,6180339... Mākslā 1,62 tiek pieņemts kā zelta skaitlis, t.i., aptuvens lielākas vērtības attiecības izteiksme proporcionāli tās mazākajai vērtībai. vērtība .
No aptuvenas uz precīzāku šo attiecību var izteikt: utt., kur: 5+3=8, 8+5=13 utt. Vai: 2,2:3,3:5,5:8 ,8 utt. ., kur 2,2+3,3-5,5 utt.

Grafiski zelta griezumu var izteikt ar dažādu konstrukciju iegūto segmentu attiecību. Ērtāka, mūsuprāt, ir attēlā redzamā konstrukcija. 169: ja pievienojat tā īso malu puskvadrāta diagonālei, iegūstat vērtību zelta skaitļa attiecībā pret tā garo malu.

Rīsi. 169. Taisnstūra ģeometriskā konstrukcija zelta griezumā 1,62: 1. Zelta skaitlis 1,62 attiecībā pret segmentiem (a un b)

Rīsi. 170. Zelta griezuma funkcijas 1.12:1 grafiskā konstrukcija

Divu zelta attiecību proporcija

rada vizuālu harmonijas un līdzsvara sajūtu. Ir vēl viena harmoniska divu blakus esošo lielumu attiecība, kas izteikta ar skaitli 1,12. Tā ir zelta skaitļa funkcija: ja ņemat starpību starp divām zelta griezuma vērtībām, sadalot to arī zelta griezumā un pievienojot katru daļu mazākajai sākotnējās zelta griezuma vērtībai, iegūstat attiecību 1.12 (170. att.). Šajā attiecībā, piemēram, vidējais elements (plaukts) ir zīmēts ar burtiem H, R, Z utt atsevišķos fontos, platajiem burtiem ņemtas augstuma un platuma proporcijas, šī sakarība sastopama arī dabā.

Zelta skaitlis vērojams harmoniski attīstīta cilvēka proporcijās (171. att.): galvas garums dala attālumu no vidukļa līdz vainagam zelta griezumā; ceļgala vāciņš arī sadala attālumu no vidukļa līdz pēdu zolei; izstieptas rokas vidējā pirksta gals sadala visu cilvēka augumu zelta proporcijā; Arī pirkstu falangu attiecība ir zelta skaitlis. Tāda pati parādība vērojama arī citās dabas struktūrās: gliemju spirālēs, ziedu vainagos u.c.

Rīsi. 172. Izgrebtas ģerānijas (pelargonija) lapas zelta proporcijas. Konstrukcija: 1) Izmantojot mēroga grafiku (skat. 171. att.) mēs veidojam? ABC,	Rīsi. 173. Piecu un trīs ziedlapu vīnogu lapas. Garuma un platuma attiecība ir 1,12. Zelta griezums ir izteikts

Attēlā 172. un 173. attēlota ģerānijas (pelargonija) lapas un vīnogu lapas raksta konstrukcija zelta skaitļu 1,62 un 1,12 proporcijās. Ģerānijas lapā konstrukcijas pamatu veido divi trīsstūri: ABC un CEF, kur katra augstuma un pamatnes attiecību izsaka ar skaitļiem 0,62 un 1,62 un attālumus starp trim attālāko punktu pāriem. lapas ir vienādas: AB=CE=SF. Konstrukcija ir norādīta zīmējumā. Šādas lapas dizains ir raksturīgs ģerānijām, kurām ir līdzīgas cirsts lapas.

Vispārinātajai platānas lapai (173. att.) ir tādas pašas proporcijas kā vīnogu lapai, proporcijā 1,12, bet lielākais vīnogu lapas īpatsvars ir tās garums, bet platānas lapai - platums. Platana lapai ir trīs proporcionāli izmēri proporcijā 1,62. Šādu atbilstību arhitektūrā sauc par triādi (četrām proporcijām - tetrāde un tālāk: pektāde, heksode).

Attēlā 174 parādīta metode kļavas lapas konstruēšanai zelta griezuma proporcijās. Ar platuma un garuma attiecību 1,12, tai ir vairākas proporcijas ar skaitli 1,62. Konstrukcijas pamatā ir divas trapeces, kurās pamatnes augstuma un garuma attiecība izteikta ar zelta skaitli. Konstrukcija ir parādīta zīmējumā, un ir dotas arī kļavas lapas formas iespējas.

Tēlotājmākslas darbos mākslinieks vai tēlnieks apzināti vai neapzināti, uzticoties savai trenētajai acij, izmēru attiecību nereti piemēro zelta griezumā. Tādējādi, strādājot pie Kristus galvas kopijas (pēc Mikelandželo domām), šīs grāmatas autors pamanīja, ka blakus esošās matu cirtas savā izmērā atspoguļo zelta griezuma attiecību, bet pēc formas - Arhimēda spirāli. , evolūcija. Lasītājs pats var pārliecināties, ka vairākās klasisko mākslinieku gleznās centrālā figūra atrodas no formāta malām attālumos, veidojot zelta griezuma proporciju (piemēram, galvas novietojums gan vertikāli, gan horizontāli V. Borovikovska M. I. Lopuhinas portrets gar galvas vertikālo centru A. S. Puškina portretā O. Kiprenskis un citi). Tas pats dažkārt redzams arī ar horizonta līnijas izvietojumu (F. Vasiļjevs: “Slapja pļava”, I. Levitāns: “Marts”, “Vakara zvani”).

Protams, šis noteikums ne vienmēr ir kompozīcijas problēmas risinājums, un tam nevajadzētu aizstāt ritma un proporciju intuīciju mākslinieka darbā. Zināms, piemēram, daži mākslinieki savām kompozīcijām izmantoja “mūzikas skaitļu” attiecības: trešdaļas, ceturtās, kvintes (2:3, 3:4 utt.). Mākslas vēsturnieki ne velti atzīmē, ka jebkura klasiska arhitektūras pieminekļa vai skulptūras dizainu, ja vēlas, var pielāgot jebkurai skaitļu attiecībai. Mūsu uzdevums šajā gadījumā un jo īpaši iesācēju mākslinieka vai kokgriezēja uzdevums ir iemācīties veidot sava darba apzinātu kompozīciju nevis pēc nejaušām attiecībām, bet gan pēc harmoniskām, praksē pierādītām proporcijām. Šīs harmoniskās proporcijas ir jāspēj identificēt un uzsvērt pēc izstrādājuma dizaina un formas.

Kā piemēru harmoniskas proporcijas atrašanai apsveriet iespēju noteikt rāmja izmēru darbam, kas parādīts attēlā. 175. Tajā ievietotā attēla formāts noteikts zelta griezuma proporcijā. Rāmja ārējie izmēri ar vienādu sānu platumu nedos zelta proporciju. Tāpēc tā garuma un platuma attiecība (ЗЗ0X220) tiek pieņemta nedaudz mazāka par zelta skaitli, t.i., vienāda ar 1,5, un šķērsenisko saišu platums ir attiecīgi palielināts, salīdzinot ar sānu malām. Tas ļāva nonākt pie rāmja izmēriem gaismā (gleznai), piešķirot zelta griezuma proporcijas. Rāmja apakšējās sviras platuma attiecība pret tās augšējās saites platumu tiek pielāgota citam zelta skaitlim, t.i., 1,12. Arī apakšējās saites platuma attiecība pret sānu saites platumu (94:63) ir tuvu 1,5 (attēlā - opcija kreisajā pusē).

Tagad veiksim eksperimentu: mēs palielināsim rāmja garo malu līdz 366 mm, pateicoties apakšējās saites platumam (tas būs 130 mm) (attēlā - opcija labajā pusē), kas dos ne tikai attiecība tuvāk, bet arī zeltam
skaitlis 1,62, nevis 1,12. Rezultāts ir jauns sastāvs, ko var izmantot kādā citā produktā, bet rāmim ir vēlme to padarīt īsāku. Nosedziet tā apakšējo daļu ar lineālu tik daudz, lai acs "pieņem" iegūto proporciju, un mēs iegūsim tās garumu 330 mm, t.i., mēs tuvosimies oriģinālajai versijai.

Tātad, analizējot dažādas iespējas(var būt arī citi bez abiem apspriestajiem), meistars apstājas pie vienīgā iespējamā risinājuma no sava viedokļa.

Vislabāk ir piemērot zelta griezuma principu, meklējot vēlamo kompozīciju, izmantojot vienkāršu ierīci, kuras pamata dizaina shēma ir parādīta attēlā. 176. Divi šīs ierīces lineāli, griežoties ap viru B, var izveidot patvaļīgu leņķi. Ja jebkuram leņķa risinājumam sadalām attālumu AC zelta griezumā ar punktu K un uzstādām vēl divus lineālus: KM\\BC un KE\\AB ar eņģēm punktos K, E un M, tad jebkuram risinājumam AC šis attālums tiks dalīts ar punktu K attiecībā pret zelta griezumu.

Šī harmonija ir pārsteidzoša savā mērogā...

Sveiki draugi!

Vai esat kaut ko dzirdējuši par Dievišķo Harmoniju vai Zelta attiecību? Vai esat kādreiz domājuši par to, kāpēc mums kaut kas šķiet ideāls un skaists, bet kaut kas mūs atgrūž?

Ja nē, tad jūs esat veiksmīgi nonācis pie šī raksta, jo tajā mēs apspriedīsim zelta griezumu, uzzināsim, kas tas ir, kā tas izskatās dabā un cilvēkos. Parunāsim par tās principiem, uzzināsim, kas ir Fibonači sērija un daudz ko citu, ieskaitot zelta taisnstūra un zelta spirāles koncepciju.

Jā, rakstā ir daudz attēlu, formulu, galu galā zelta griezums arī ir matemātika. Bet viss ir pietiekami aprakstīts vienkāršā valodā, skaidri. Un raksta beigās jūs uzzināsiet, kāpēc visi tik ļoti mīl kaķus =)

Kas ir zelta griezums?

Vienkārši sakot, zelta griezums ir noteikts proporcijas noteikums, kas rada harmoniju?. Tas ir, ja mēs nepārkāpjam šo proporciju noteikumus, mēs iegūstam ļoti harmonisku kompozīciju.

Visplašākā zelta griezuma definīcija nosaka, ka mazākā daļa ir saistīta ar lielāko, jo lielākā daļa ir saistīta ar veselumu.

Bet bez tam zelta griezums ir matemātika: tai ir noteikta formula un konkrēts skaitlis. Daudzi matemātiķi kopumā to uzskata par dievišķās harmonijas formulu un sauc par “asimetrisko simetriju”.

Zelta griezums ir sasniedzis mūsu laikabiedrus kopš laikiem Senā Grieķija Tomēr pastāv viedoklis, ka grieķi paši jau bija pamanījuši zelta griezumu ēģiptiešu vidū. Tā kā daudzi Senās Ēģiptes mākslas darbi ir skaidri būvēti saskaņā ar šīs proporcijas kanoniem.

Tiek uzskatīts, ka Pitagors bija pirmais, kurš ieviesa zelta griezuma jēdzienu. Eiklida darbi ir saglabājušies līdz mūsdienām (viņš izmantoja zelta griezumu, veidojot regulārus piecstūrus, tāpēc šādu piecstūri sauc par “zeltu”), un zelta griezuma numurs ir nosaukts sengrieķu arhitekta Fidija vārdā. Tas ir, tas ir mūsu skaitlis “phi” (apzīmēts grieķu burtsφ), un tas ir vienāds ar 1,6180339887498948482... Protams, šī vērtība ir noapaļota: φ = 1,618 vai φ = 1,62, un procentuālā izteiksmē zelta griezums izskatās kā 62% un 38%.

Kas ir unikāls šajā proporcijā (un ticiet man, tā pastāv)? Vispirms mēģināsim to izdomāt, izmantojot segmenta piemēru. Tātad, mēs ņemam segmentu un sadalām to nevienlīdzīgās daļās tā, lai tā mazākā daļa būtu saistīta ar lielāko, jo lielākā daļa attiecas uz visu. Es saprotu, vēl nav īsti skaidrs, kas ir kas, es mēģināšu to ilustrēt skaidrāk, izmantojot segmentu piemēru:

Tātad, mēs ņemam segmentu un sadalām to divos citos, lai mazākais segments a attiecas uz lielāko segmentu b, tāpat kā segments b attiecas uz visu, tas ir, visu līniju (a + b). Matemātiski tas izskatās šādi:

Šis noteikums darbojas bezgalīgi, jūs varat sadalīt segmentus tik ilgi, cik vēlaties. Un redziet, cik tas ir vienkārši. Galvenais vienreiz saprast un viss.

Bet tagad apskatīsim sarežģītāku piemēru, kas sastopams ļoti bieži, jo zelta griezums ir attēlots arī zelta taisnstūra formā (kura malu attiecība ir φ = 1,62). Šis ir ļoti interesants taisnstūris: ja mēs no tā “nogriezīsim” kvadrātu, mēs atkal iegūsim zelta taisnstūri. Un tā bezgalīgi. Skatīt:

Bet matemātika nebūtu matemātika, ja tai nebūtu formulu. Tātad, draugi, tagad tas nedaudz “sāpēs”. Zelta griezuma risinājumu es paslēpu zem spoilera, ir daudz formulu, bet es nevēlos atstāt rakstu bez tām.

Fibonači sērija un zelta griezums

Turpinām radīt un vērot matemātikas un zelta griezuma burvību. Viduslaikos bija tāds biedrs - Fibonači (vai Fibonači, visur raksta savādāk). Viņam patika matemātika un problēmas, viņam bija arī interesanta problēma ar trušu pavairošanu =) Bet ne par to ir runa. Viņš atklāja skaitļu virkni, tajā esošos skaitļus sauc par “Fibonači skaitļiem”.

Pati secība izskatās šādi:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233... un tā tālāk bezgalīgi.

Citiem vārdiem sakot, Fibonači secība ir skaitļu virkne, kurā katrs nākamais skaitlis ir vienāds ar iepriekšējo divu summu.

Kāds sakars zelta griezumam? Jūs tagad redzēsiet.

Fibonači spirāle

Lai redzētu un sajustu visu saikni starp Fibonači skaitļu virkni un zelta griezumu, vēlreiz jāaplūko formulas.

Citiem vārdiem sakot, no Fibonači secības 9. termina mēs sākam iegūt zelta griezuma vērtības. Un, ja mēs vizualizēsim visu šo attēlu, mēs redzēsim, kā Fibonači secība veido taisnstūrus arvien tuvāk zelta taisnstūrim. Šis ir savienojums.

Tagad parunāsim par Fibonači spirāli, to sauc arī par “zelta spirāli”.

Zelta spirāle ir logaritmiska spirāle, kuras augšanas koeficients ir φ4, kur φ ir zelta attiecība.

Kopumā no matemātiskā viedokļa zelta griezums ir ideāla proporcija. Bet tas ir tikai viņas brīnumu sākums. Gandrīz visa pasaule ir pakļauta zelta griezuma principiem, ko radīja pati daba. Pat ezotēriķi tajā saskata skaitlisko spēku. Bet mēs noteikti par to nerunāsim šajā rakstā, tāpēc, lai neko nepalaistu garām, varat abonēt vietnes atjauninājumus.

Zelta griezums dabā, cilvēkā, mākslā

Pirms sākam, es vēlos precizēt vairākas neprecizitātes. Pirmkārt, pati zelta griezuma definīcija šajā kontekstā nav gluži pareiza. Fakts ir tāds, ka pats jēdziens “sekcijas” ir ģeometrisks termins, kas vienmēr apzīmē plakni, bet ne Fibonači skaitļu secību.

Un, otrkārt, skaitļu rindas un viena attiecība pret otru, protams, ir pārvērstas par tādu kā trafaretu, ko var pielietot visam, kas šķiet aizdomīgs, un var būt ļoti priecīgs, kad ir sakritības, bet tomēr , veselo saprātu nevajadzētu zaudēt.

Tomēr “mūsu valstībā viss bija sajaukts”, un viens kļuva par sinonīmu otram. Tātad kopumā jēga no tā nezaudē. Tagad ķersimies pie lietas.

Jūs būsiet pārsteigts, bet zelta griezums, vai drīzāk tai maksimāli pietuvinātās proporcijas, ir redzamas gandrīz visur, pat spogulī. Netici man? Sāksim ar šo.

Ziniet, kad es mācījos zīmēt, viņi mums paskaidroja, cik vieglāk ir veidot cilvēka seju, ķermeni utt. Viss ir jāaprēķina attiecībā pret kaut ko citu.

Viss, pilnīgi viss ir proporcionāls: kauli, mūsu pirksti, plaukstas, attālumi uz sejas, izstiepto roku attālums attiecībā pret ķermeni utt. Bet pat tas vēl nav viss iekšējā struktūra mūsu ķermeņa, pat tā, ir vienāda vai gandrīz vienāda ar zelta griezuma formulu. Šeit ir norādīti attālumi un proporcijas:

no pleciem līdz vainagam līdz galvas izmēram = 1:1,618

no nabas līdz vainagam līdz segmentam no pleciem līdz vainagam = 1:1,618

no nabas līdz ceļiem un no ceļiem līdz pēdām = 1:1,618

no zoda līdz galējais punkts augšlūpa un no tā līdz degunam = 1:1,618

Vai tas nav pārsteidzoši!? Harmonija iekšā tīrā formā, gan iekšpusē, gan ārpusē. Un tāpēc kaut kādā zemapziņas līmenī daži cilvēki mums nešķiet skaisti, pat ja viņiem ir spēcīgs, tonizēts ķermenis, samtaina āda, skaisti mati, acis un lietas, un viss pārējais. Bet tomēr mazākais ķermeņa proporciju pārkāpums un izskats jau nedaudz “sāp acīs”.

Īsāk sakot, jo skaistāks mums šķiet cilvēks, jo viņa proporcijas ir tuvākas ideālam. Un tas, starp citu, ir paredzēts ne tikai cilvēka ķermenis var attiecināt.

Zelta griezums dabā un tās parādībās

Klasisks zelta griezuma piemērs dabā ir mīkstmiešu Nautilus pompilius čaula un amonīts. Bet tas vēl nav viss, ir vēl daudz piemēru:

cilvēka auss cirtās varam saskatīt zelta spirāli;

tā pati (vai tuvu tai) spirālēs, pa kurām griežas galaktikas;

un DNS molekulā;

Pēc Fibonači sērijas ir sakārtots saulespuķes centrs, aug čiekuri, ziedu vidus, ananāss un daudzi citi augļi.

Draugi, ir tik daudz piemēru, ka es vienkārši atstāšu video šeit (tas ir tieši zemāk), lai nepārslogotu rakstu ar tekstu. Jo, iedziļinoties šajā tēmā, var iedziļināties tādos džungļos: pat senie grieķi pierādīja, ka Visums un vispār visa telpa ir plānota pēc zelta griezuma principa.

Jūs būsiet pārsteigts, taču šos noteikumus var atrast pat skaņā. Skatīt:

Augstākais skaņas punkts, kas izraisa sāpes un diskomfortu mūsu ausīs, ir 130 decibeli.

Sadalām proporciju 130 ar zelta griezuma skaitli φ = 1,62 un iegūstam 80 decibelus – cilvēka kliedziena skaņu.

Mēs turpinām dalīt proporcionāli un iegūstam, teiksim, normālu cilvēka runas skaļumu: 80 / φ = 50 decibeli.

Pēdējā skaņa, ko iegūstam, pateicoties formulai, ir patīkama čukstoša skaņa = 2,618.

Izmantojot šo principu, ir iespējams noteikt optimālo-ērto, minimālo un maksimālo temperatūras, spiediena un mitruma skaitļus. Es to neesmu pārbaudījis, un es nezinu, cik patiesa ir šī teorija, taču jums jāpiekrīt, tā izklausās iespaidīgi.

Visaugstāko skaistumu un harmoniju var nolasīt pilnīgi visā dzīvajā un nedzīvajā.

Galvenais ir neaizrauties ar šo, jo, ja mēs vēlamies kaut ko redzēt, mēs to redzēsim, pat ja tā nav. Piemēram, es pievērsu uzmanību PS4 dizainam un tur ieraudzīju zelta griezumu =) Tomēr šī konsole ir tik forša, ka es nebrīnītos, ja dizainers tur tiešām būtu izdarījis ko gudru.

Zelta griezums mākslā

Šī ir arī ļoti apjomīga un apjomīga tēma, kuru ir vērts izskatīt atsevišķi. Šeit es atzīmēšu tikai dažus pamata punktus. Ievērojamākais ir tas, ka daudzi mākslas darbi un senatnes (un ne tikai) arhitektūras šedevri tapuši pēc zelta griezuma principiem.

Ēģiptes un maiju piramīdas, Parīzes Dievmātes katedrāle, grieķu Partenons un tā tālāk.

Mocarta, Šopēna, Šūberta, Baha u.c.

Glezniecībā (tas ir skaidri redzams): visas slaveno mākslinieku slavenākās gleznas ir izgatavotas, ņemot vērā zelta griezuma noteikumus.

Šie principi ir atrodami Puškina dzejoļos un skaistās Nefertiti bistē.

Arī tagad zelta griezuma likumi tiek izmantoti, piemēram, fotogrāfijā. Nu, un, protams, visās citās mākslās, tostarp kinematogrāfijā un dizainā.

Zelta Fibonači kaķi

Un visbeidzot par kaķiem! Vai esat kādreiz domājuši, kāpēc visi tik ļoti mīl kaķus? Viņi ir pārņēmuši internetu! Kaķi ir visur, un tas ir brīnišķīgi =)

Un visa būtība ir tāda, ka kaķi ir ideāli! Netici man? Tagad es jums to pierādīšu matemātiski!