Kvadrātvienādību atrisināšana grafiski.

Lineārās vai kvadrātiskās nevienādības grafiks tiek konstruēts tāpat kā jebkuras funkcijas (vienādojuma) grafiks. Atšķirība ir tāda, ka nevienlīdzība ietver vairākus risinājumus, tāpēc nevienlīdzības grafiks nav tikai punkts uz skaitļa līnijas vai līnija uz koordinātu plakne. Izmantojot matemātiskās darbības un nevienlīdzības zīmi, jūs varat noteikt daudzus nevienlīdzības risinājumus.

Soļi

Lineārās nevienādības grafisks attēlojums uz skaitļu taisnes

Atrisiniet nevienlīdzību. Lai to izdarītu, izolējiet mainīgo, izmantojot tās pašas algebriskās metodes, kuras izmantojat, lai atrisinātu jebkuru vienādojumu. Atcerieties to, reizinot vai dalot nevienlīdzību ar negatīvs skaitlis(vai termins), apgrieziet nevienlīdzības zīmi.
- Piemēram, ņemot vērā nevienlīdzību 3 g + 9 > 12 (\displaystyle 3 g+9>12). Lai izolētu mainīgo, no abām nevienlīdzības pusēm atņemiet 9 un pēc tam sadaliet abas puses ar 3:
  3 g + 9 > 12 (\displaystyle 3 g+9>12)
  3 g. + 9–9 > 12–9 (\displaystyle 3 g+9-9>12-9)
  3 g > 3 (\displaystyle 3 g>3)
  3 y 3 > 3 3 (\displaystyle (\frac (3y) (3))> (\frac (3) (3)
  y > 1 (\displaystyle y>1)
- Nevienādībai jābūt tikai vienam mainīgajam. Ja nevienādībai ir divi mainīgie, labāk ir attēlot grafiku koordinātu plaknē.
Uzzīmējiet skaitļa līniju. Ciparu rindā atzīmējiet atrasto vērtību (mainīgais var būt mazāks par šo vērtību, lielāks vai vienāds ar šo vērtību). Uzzīmējiet atbilstoša garuma skaitļa līniju (garu vai īsu).
- Piemēram, ja jūs to aprēķinājat y > 1 (\displaystyle y>1), atzīmējiet vērtību 1 skaitļu rindā.
Uzzīmējiet apli, lai attēlotu atrasto vērtību. Ja mainīgais ir mazāks par ( < {\displaystyle <} ) vai vairāk ( > (\displaystyle >)) no šīs vērtības, aplis nav aizpildīts, jo risinājumu kopā šī vērtība nav iekļauta. Ja mainīgais ir mazāks vai vienāds ar ( ≤ (\displaystyle \leq)) vai lielāks vai vienāds ar ( ≥ (\displaystyle \geq)) līdz šai vērtībai, aplis ir aizpildīts, jo risinājumu kopa ietver šo vērtību.
- y > 1 (\displaystyle y>1), uz skaitļu līnijas uzzīmējiet atvērtu apli punktā 1, jo 1 nav atrisinājumu kopā.
Ciparu rindā ēnojiet reģionu, kas nosaka risinājumu kopu. Ja mainīgais ir lielāks par atrasto vērtību, noēnojiet apgabalu pa labi no tā, jo risinājumu kopā ir visas vērtības, kas ir lielākas par atrasto vērtību. Ja mainīgais ir mazāks par atrasto vērtību, noēnojiet apgabalu pa kreisi no tā, jo risinājumu kopā ir visas vērtības, kas ir mazākas par atrasto vērtību.
- Piemēram, ja tiek ņemta vērā nevienlīdzība y > 1 (\displaystyle y>1), uz skaitļu līnijas ēnojiet apgabalu pa labi no 1, jo risinājumu kopā ir visas vērtības, kas lielākas par 1.
Lineārās nevienādības grafisks attēlojums koordinātu plaknē
1. Atrisiniet nevienlīdzību (atrodiet vērtību y (\displaystyle y)). Lai iegūtu lineāru vienādojumu, izolējiet mainīgo kreisajā pusē, izmantojot pazīstamās algebriskās metodes. Labajā pusē jābūt mainīgajam x (\displaystyle x) un varbūt kādu konstantu.
  - Piemēram, ņemot vērā nevienlīdzību 3 g + 9 > 9 x (\displaystyle 3 g+9>9 x). Lai izolētu mainīgo y (\displaystyle y), atņemiet 9 no abām nevienādības pusēm un pēc tam sadaliet abas puses ar 3:
    3 g + 9 > 9 x (\displaystyle 3 g+9>9 x)
    3 g
    3 g. > 9 x–9 (\displaystyle 3 g>9 x 9)
    3 y 3 > 9 x − 9 3 (\displaystyle (\frac (3y) (3))> (\frac (9x-9)(3)
    y > 3 x – 3 (\displaystyle y>3 x-3)
2. Uzzīmējiet grafiku uz koordinātu plaknes lineārais vienādojums. uzzīmējiet grafiku tāpat kā jebkura lineāra vienādojuma grafiku. Uzzīmējiet Y krustpunktu un pēc tam izmantojiet slīpumu, lai attēlotu citus punktus.
  - y > 3 x – 3 (\displaystyle y>3 x-3) grafikā vienādojumu y = 3 x − 3 (\displaystyle y=3x-3). Krustošanās punktam ar Y asi ir koordinātes un slīpums vienāds ar 3 (vai 3 1 (\displaystyle (\frac (3) (1))). Tātad vispirms uzzīmējiet punktu ar koordinātām (0, – 3) (\displaystyle (0,-3)); punktam virs y ass krustošanās punkta ir koordinātas (1 , 0) (\displaystyle (1,0)); punktam zem Y ass krustošanās punkta ir koordinātas (− 1, − 6) (\displaystyle (-1,-6))
3. Uzzīmējiet taisnu līniju. Ja nevienlīdzība ir stingra (ietver zīmi < {\displaystyle <} vai > (\displaystyle >)), uzzīmējiet punktētu līniju, jo risinājumu komplektā nav iekļautas līnijas vērtības. Ja nevienlīdzība nav stingra (ietver zīmi ≤ (\displaystyle \leq) vai ≥ (\displaystyle \geq)), novelciet nepārtrauktu līniju, jo risinājumu komplektā ir vērtības, kas atrodas uz līnijas.
  - Piemēram, nevienlīdzības gadījumā y > 3 x – 3 (\displaystyle y>3 x-3) zīmējiet punktētu līniju, jo risinājumu komplektā nav iekļautas līnijas vērtības.
4. Noēnojiet atbilstošo zonu. Ja nevienādība ir formas y > m x + b (\displaystyle y>mx+b), iekrāsojiet laukumu virs līnijas. Ja nevienādība ir formas y< m x + b {\displaystyle y, noēno zonu zem līnijas.
  - Piemēram, nevienlīdzības gadījumā y > 3 x – 3 (\displaystyle y>3 x-3) noēno zonu virs līnijas.
Kvadrātvienādības grafisks attēlojums koordinātu plaknē
1. Nosakiet, ka šī nevienlīdzība ir kvadrātiska. Kvadrātiskajai nevienlīdzībai ir forma a x 2 + b x + c (\displaystyle ax^(2)+bx+c). Dažreiz nevienlīdzība nesatur pirmās kārtas mainīgo ( x (\displaystyle x)) un/vai brīvs termins (konstants), bet obligāti ietver otrās kārtas mainīgo ( x 2 (\displaystyle x^(2))). Mainīgie x (\displaystyle x) Un y (\displaystyle y) jābūt izolētam dažādas puses nevienlīdzības.
  - Piemēram, jums ir jāatzīmē nevienlīdzība y< x 2 − 10 x + 16 {\displaystyle y.
2. Uzzīmējiet grafiku uz koordinātu plaknes. Lai to izdarītu, pārveidojiet nevienādību vienādojumā un izveidojiet to grafikā tāpat kā jebkuru kvadrātvienādojumu. Atcerieties, ka kvadrātvienādojuma grafiks ir parabola.
  - Piemēram, nevienlīdzības gadījumā y< x 2 − 10 x + 16 {\displaystyle y grafikā kvadrātvienādojumu y = x 2 – 10 x + 16 (\displaystyle y=x^(2)-10x+16). Parabolas virsotne atrodas punktā (5, − 9) (\displaystyle (5,-9)), un parabola punktos krusto X asi (2, 0) (\displaystyle (2,0)) Un (8, 0) (\displaystyle (8,0)).

skatiet arī Lineārās programmēšanas problēmas risināšana grafiski, Lineārās programmēšanas uzdevumu kanoniskā forma

Šādas problēmas ierobežojumu sistēma sastāv no nevienlīdzībām divos mainīgajos:
un mērķa funkcijai ir forma F = C 1 x + C 2 y kas ir jāpalielina.

Atbildēsim uz jautājumu: kādi skaitļu pāri ( x; y) vai nevienādību sistēmas risinājumi, tas ir, vai tie apmierina katru no nevienādībām vienlaicīgi? Citiem vārdiem sakot, ko nozīmē grafiski atrisināt sistēmu?
Vispirms jums ir jāsaprot, kāds ir vienas lineāras nevienādības ar diviem nezināmiem risinājums.
Lineāras nevienlīdzības atrisināšana ar diviem nezināmiem nozīmē noteikt visus nezināmo vērtību pārus, kuriem šī nevienlīdzība ir spēkā.
Piemēram, nevienlīdzība 3 x – 5y≥ 42 apmierinoši pāri ( x , y) : (100, 2); (3, –10) utt. Uzdevums ir atrast visus šādus pārus.
Apskatīsim divas nevienlīdzības: cirvis + autors≤ c, cirvis + autors≥ c. Taisni cirvis + autors = c sadala plakni divās pusplaknēs tā, lai vienas no tām punktu koordinātas atbilstu nevienādībai cirvis + autors >c, un otra nevienlīdzība cirvis + +autors <c.
Patiešām, ņemsim punktu ar koordinātu x = x 0 ; tad punkts, kas atrodas uz līnijas un kam ir abscisa x 0, ir ordināta

Ļaujiet skaidrībai a< 0, b>0, c>0. Visi punkti ar abscisu x 0 guļ augstāk P(piemēram, punkts M), ir y M>y 0 , un visi punkti zem punkta P, ar abscisu x 0, ir y N<y 0 . Jo x 0 ir patvaļīgs punkts, tad vienā līnijas pusē vienmēr būs punkti, kuriem cirvis+ autors > c, veidojot pusplakni, un otrā pusē - punkti, kuriem cirvis + autors< c.

1. attēls

Nevienlīdzības zīme pusplaknē ir atkarīga no skaitļiem a, b , c.
Tas noved pie šādas sistēmu grafiskās risināšanas metodes lineārās nevienādības no diviem mainīgajiem. Lai atrisinātu sistēmu, jums ir nepieciešams:

Katrai nevienādībai uzrakstiet šai nevienādībai atbilstošu vienādojumu.
Izveidojiet taisnas līnijas, kas ir vienādojumos norādīto funkciju grafiki.
Katrai līnijai nosakiet pusplakni, ko dod nevienādība. Lai to izdarītu, ņemiet patvaļīgu punktu, kas neatrodas uz taisnes, un aizstājiet tā koordinātas ar nevienlīdzību. ja nevienādība ir patiesa, tad pusplakne, kas satur izvēlēto punktu, ir sākotnējās nevienādības atrisinājums. Ja nevienlīdzība ir nepatiesa, tad pusplakne taisnes otrā pusē ir šīs nevienlīdzības atrisinājumu kopa.
Lai atrisinātu nevienādību sistēmu, ir jāatrod visu pusplakņu krustošanās laukums, kas ir katras sistēmas nevienādības risinājums.

Šī joma var izrādīties tukša, tad nevienlīdzību sistēmai nav risinājumu un tā ir nekonsekventa. Pretējā gadījumā sistēma tiek uzskatīta par konsekventu.
Var būt ierobežots skaits vai bezgalīgs atrisinājumu skaits. Apgabals var būt slēgts daudzstūris vai neierobežots.

Apskatīsim trīs atbilstošus piemērus.

1. piemērs. Atrisiniet sistēmu grafiski:
x + y – 1 ≤ 0;
–2x – 2y + 5 ≤ 0.

aplūkosim nevienādībām atbilstošos vienādojumus x+y–1=0 un –2x–2y+5=0;
Konstruēsim taisnas līnijas, ko dod šie vienādojumi.

2. attēls

Definēsim ar nevienādībām definētās pusplaknes. Ņemsim patvaļīgu punktu, pieņemsim (0; 0). Apsvērsim x+ y– 1 0, aizstājiet punktu (0; 0): 0 + 0 – 1 ≤ 0. Tas nozīmē, ka pusplaknē, kurā atrodas punkts (0; 0), x + y – 1 ≤ 0, t.i. pusplakne, kas atrodas zem līnijas, ir pirmās nevienlīdzības risinājums. Aizvietojot šo punktu (0; 0) ar otro, iegūstam: –2 ∙ 0 – 2 ∙ 0 + 5 ≤ 0, t.i. pusplaknē, kurā atrodas punkts (0; 0), –2 x – 2y+ 5≥ 0, un mums jautāja, kur –2 x – 2y+ 5 ≤ 0, tāpēc otrā pusplaknē - virs taisnes.
Atradīsim šo divu pusplakņu krustpunktu. Taisnes ir paralēlas, tāpēc plaknes nekur nekrustojas, kas nozīmē, ka šo nevienādību sistēmai nav atrisinājumu un tā ir nekonsekventa.

2. piemērs. Atrodiet grafiskus risinājumus nevienādību sistēmai:

3. attēls
1. Izrakstīsim nevienādībām atbilstošos vienādojumus un konstruēsim taisnes.
x + 2y– 2 = 0

x	2	0
y	0	1

y – x – 1 = 0

x	0	2
y	1	3

y + 2 = 0;
y = –2.
2. Izvēloties punktu (0; 0), nosaka nevienādību zīmes pusplaknēs:
0 + 2 ∙ 0 – 2 ≤ 0, t.i. x + 2y– 2 ≤ 0 pusplaknē zem taisnes;
0 – 0 – 1 ≤ 0, t.i. y –x– 1 ≤ 0 pusplaknē zem taisnes;
0 + 2 =2 ≥ 0, t.i. y+ 2 ≥ 0 pusplaknē virs taisnes.
3. Šo trīs pusplakņu krustpunkts būs apgabals, kas ir trīsstūris. Nav grūti atrast apgabala virsotnes kā atbilstošo līniju krustošanās punktus

Tādējādi A(–3; –2), IN(0; 1), AR(6; –2).

Apskatīsim vēl vienu piemēru, kurā iegūtais sistēmas risinājuma domēns nav ierobežots.

Viena no ērtākajām kvadrātvienādību risināšanas metodēm ir grafiskā metode. Šajā rakstā mēs aplūkosim, kā kvadrātiskās nevienādības tiek atrisinātas grafiski. Vispirms apspriedīsim, kāda ir šīs metodes būtība. Tālāk mēs iepazīstināsim ar algoritmu un aplūkosim kvadrātisko nevienādību grafiskās atrisināšanas piemērus.

Lapas navigācija.

Grafiskās metodes būtība

Vispār grafiskā metode nevienādību risināšanai ar vienu mainīgo tiek izmantots ne tikai kvadrātvienādību, bet arī cita veida nevienādību risināšanai. Nevienādību risināšanas grafiskās metodes būtība nākamais: apsveriet funkcijas y=f(x) un y=g(x), kas atbilst nevienādības kreisajai un labajai pusei, izveidojiet to grafikus vienā taisnstūra koordinātu sistēmā un noskaidrojiet, ar kādiem intervāliem grafiks veido vienu no tie ir zemāki vai augstāki par otru. Tie intervāli, kur

funkcijas f grafiks virs funkcijas g grafika ir atrisinājumi nevienādībai f(x)>g(x) ;
funkcijas f grafiks, kas nav zemāks par funkcijas g grafiku, ir nevienādības f(x)≥g(x) atrisinājumi;
f grafiks zem g grafika ir nevienādības f(x) risinājumi
funkcijas f grafiks, kas nav augstāks par funkcijas g grafiku, ir nevienādības f(x)≤g(x) atrisinājumi.

Tāpat teiksim, ka funkciju f un g grafiku krustošanās punktu abscises ir vienādojuma f(x)=g(x) atrisinājumi.

Pārnesim šos rezultātus uz mūsu gadījumu - lai atrisinātu kvadrātvienādību a x 2 +b x+c<0 (≤, >, ≥).

Mēs ieviešam divas funkcijas: pirmo y=a x 2 +b x+c (ar f(x)=a x 2 +b x+c) atbilst kvadrātvienādības kreisajai pusei, otro y=0 (ar g ( x)=0 ) atbilst nevienādības labajai pusei. Grafiks kvadrātiskā funkcija f ir parabola un grafiks pastāvīga funkcija g – taisne, kas sakrīt ar abscisu asi Ox.

Tālāk, saskaņā ar grafisko nevienādību risināšanas metodi, ir jāanalizē, kādos intervālos vienas funkcijas grafiks atrodas virs vai zem citas, kas ļaus pierakstīt vēlamo kvadrātvienādības risinājumu. Mūsu gadījumā mums jāanalizē parabolas stāvoklis attiecībā pret Vērša asi.

Atkarībā no koeficientu a, b un c vērtībām ir iespējamas šādas sešas iespējas (mūsu vajadzībām pietiek ar shematisku attēlojumu, un mums nav jāattēlo Oy ass, jo tās novietojums neietekmē nevienlīdzības risinājumi):

Šajā zīmējumā redzama parabola, kuras zari ir vērsti uz augšu un kas krustojas ar Vērša asi divos punktos, kuru abscises ir x 1 un x 2. Šis zīmējums atbilst opcijai, kad koeficients a ir pozitīvs (tas ir atbildīgs par parabolu zaru virzienu uz augšu) un kad vērtība ir pozitīva kvadrātiskā trinoma diskriminants a x 2 +b x+c (šajā gadījumā trinomam ir divas saknes, kuras mēs apzīmējām kā x 1 un x 2, un mēs pieņēmām, ka x 1 0 , D=b 2 −4·a·c=(−1) 2 −4·1·(−6)=25>0, x 1 = −2 , x 2 =3 .

Skaidrības labad sarkanā krāsā attēlosim parabolas daļas, kas atrodas virs x ass, un ar zilu – tās, kas atrodas zem x ass.

Tagad noskaidrosim, kuri intervāli atbilst šīm daļām. Šāds zīmējums palīdzēs jums tos identificēt (turpmāk mēs garīgi veiksim līdzīgas atlases taisnstūru veidā):

Tātad uz abscisu ass divi intervāli (-∞, x 1) un (x 2 , +∞) tika iezīmēti sarkanā krāsā, uz tiem parabola atrodas virs Ox ass, tie veido kvadrātiskās nevienādības a x 2 +b x atrisinājumu. +c>0 , un intervāls (x 1 , x 2) ir iezīmēts zilā krāsā, zem Ox ass ir parabola, kas attēlo nevienādības a x 2 + b x + c atrisinājumu.<0 . Решениями нестрогих квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c≥0 и a·x 2 +b·x+c≤0 будут те же промежутки, но в них следует включить числа x 1 и x 2 , отвечающие равенству a·x 2 +b·x+c=0 .

Un tagad īsumā: a>0 un D=b 2 −4 a c>0 (vai D"=D/4>0 pāra koeficientam b)

kvadrātvienādības a x 2 +b x+c>0 atrisinājums ir (−∞, x 1)∪(x 2 , +∞) vai citā apzīmējumā x x2;
kvadrātiskās nevienādības a x 2 +b x+c≥0 atrisinājums ir (−∞, x 1 ]∪ vai citā apzīmējumā x 1 ≤x≤x 2 ,

kur x 1 un x 2 ir kvadrātveida trinoma a x 2 +b x+c un x 1 saknes

Šeit mēs redzam parabolu, kuras zari ir vērsti uz augšu un kas skar abscisu asi, tas ir, tai ir viens kopīgs punkts, mēs apzīmējam šī punkta abscisu kā x 0. Uzrādītais gadījums atbilst a>0 (zari ir vērsti uz augšu) un D=0 (kvadrātveida trinominam ir viena sakne x 0). Piemēram, var ņemt kvadrātfunkciju y=x 2 −4·x+4, šeit a=1>0, D=(−4) 2 −4·1·4=0 un x 0 =2.

Zīmējums skaidri parāda, ka parabola atrodas virs Ox ass visur, izņemot saskares punktu, tas ir, intervālos (-∞, x 0), (x 0, ∞). Skaidrības labad iezīmēsim apgabalus zīmējumā pēc analoģijas ar iepriekšējo rindkopu.

Izdarām secinājumus: pie a>0 un D=0

kvadrātiskās nevienādības a·x 2 +b·x+c>0 atrisinājums ir (−∞, x 0)∪(x 0, +∞) vai citā apzīmējumā x≠x 0;
kvadrātvienādības a·x 2 +b·x+c≥0 atrisinājums ir (−∞, +∞) vai citā apzīmējumā x∈R ;
kvadrātvienādība a x 2 +b x+c<0 не имеет решений (нет интервалов, на которых парабола расположена ниже оси Ox );
kvadrātvienādībai a x 2 +b x+c≤0 ir unikāls risinājums x=x 0 (to dod pieskares punkts),

kur x 0 ir kvadrātveida trinoma a x 2 + b x + c sakne.

Šajā gadījumā parabolas zari ir vērsti uz augšu, un tai nav kopīgu punktu ar abscisu asi. Šeit mums ir nosacījumi a> 0 (zari ir vērsti uz augšu) un D<0 (квадратный трехчлен не имеет действительных корней). Для примера можно построить график функции y=2·x 2 +1 , здесь a=2>0 , D=0 2 −4·2·1=−8<0 .

Acīmredzot parabola atrodas virs Vērša ass visā tās garumā (nav intervālu, kuros tā atrodas zem Vērša ass, nav pieskares punkta).

Tādējādi a> 0 un D<0 решением квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c>0 un a x 2 +b x+c≥0 ir visu reālo skaitļu kopa un nevienādības a x 2 +b x+c<0 и a·x 2 +b·x+c≤0 не имеют решений.

Un paliek trīs iespējas parabolas atrašanās vietai ar zariem, kas vērsti uz leju, nevis uz augšu, attiecībā pret Vērša asi. Principā tie nav jāņem vērā, jo, reizinot abas nevienlīdzības puses ar −1, mēs varam nonākt līdz ekvivalentai nevienādībai ar pozitīvu koeficientu x 2. Bet joprojām nav par ļaunu iegūt priekšstatu par šiem gadījumiem. Pamatojums šeit ir līdzīgs, tāpēc mēs pierakstīsim tikai galvenos rezultātus.

Risinājuma algoritms

Visu iepriekšējo aprēķinu rezultāts ir algoritms kvadrātvienādību grafiskai atrisināšanai:

Uz koordinātu plaknes tiek izveidots shematisks zīmējums, kurā attēlota Ox ass (Oy asi nav jāattēlo) un kvadrātfunkcijai y=a·x 2 +b·x+c atbilstošās parabolas skice. Lai uzzīmētu parabolas skici, pietiek noskaidrot divus punktus:

Pirmkārt, pēc koeficienta a vērtības nosaka, kur tā atzari ir vērsti (a>0 - uz augšu, par a<0 – вниз).
Un, otrkārt, pēc kvadrāttrīnoma a x 2 + b x + c diskriminanta vērtības nosaka, vai parabola krusto abscisu asi divos punktos (ja D>0), pieskaras tai vienā punktā (ja D=0) , vai tam nav kopīgu punktu ar Vērša asi (pie D<0 ). Для удобства на чертеже указываются координаты точек пересечения или координата точки касания (при наличии этих точек), а сами точки изображаются выколотыми при решении строгих неравенств, или обычными при решении нестрогих неравенств.

Kad zīmējums ir gatavs, izmantojiet to algoritma otrajā darbībā
- risinot kvadrātvienādību a·x 2 +b·x+c>0, nosaka intervālus, kuros parabola atrodas virs abscisas;
- risinot nevienādību a·x 2 +b·x+c≥0, nosaka intervālus, kuros parabola atrodas virs abscisu ass un pieskaita krustpunktu abscises (vai pieskares punkta abscisu). viņiem;
- risinot nevienādību a x 2 +b x+c<0 находятся промежутки, на которых парабола ниже оси Ox ;
- visbeidzot, risinot kvadrātisko nevienādību formā a·x 2 +b·x+c≤0, tiek atrasti intervāli, kuros parabola atrodas zem Ox ass un krustošanās punktu abscisu (vai pieskares punkta abscisu). ) tiek pievienots tiem;
tie veido vēlamo kvadrātiskās nevienādības risinājumu, un, ja šādu intervālu un pieskares punktu nav, tad sākotnējai kvadrātvienādībai nav atrisinājumu.

Atliek tikai atrisināt dažas kvadrātvienādības, izmantojot šo algoritmu.

Piemēri ar risinājumiem

Piemērs.

Atrisiniet nevienlīdzību .

Risinājums.

Mums jāatrisina kvadrātiskā nevienādība, izmantosim iepriekšējās rindkopas algoritmu. Pirmajā solī mums ir jāieskicē kvadrātiskās funkcijas grafiks . Koeficients x 2 ir vienāds ar 2, tas ir pozitīvs, tāpēc parabolas zari ir vērsti uz augšu. Noskaidrosim arī, vai parabolai ir kopīgi punkti ar x asi, lai to izdarītu, mēs aprēķināsim kvadrātiskā trinoma diskriminantu . Mums ir . Diskriminants izrādījās lielāks par nulli, tāpēc trinomam ir divas reālas saknes: Un , tas ir, x 1 = −3 un x 2 = 1/3.

No tā ir skaidrs, ka parabola divos punktos krusto Vērša asi ar abscisēm −3 un 1/3. Šos punktus zīmējumā attēlosim kā parastus punktus, jo mēs atrisinām nevienlīdzību. Pamatojoties uz precizētajiem datiem, mēs iegūstam šādu zīmējumu (tas atbilst pirmajai veidnei no raksta pirmās rindkopas):

Pāriesim pie algoritma otrā posma. Tā kā mēs risinām nestingru kvadrātisko nevienādību ar zīmi ≤, mums ir jānosaka intervāli, kuros parabola atrodas zem abscisas, un jāpievieno tiem krustošanās punktu abscises.

No zīmējuma ir skaidrs, ka parabola atrodas zem x ass intervālā (-3, 1/3), un tai pievienojam krustošanās punktu abscises, tas ir, skaitļus -3 un 1/3. Rezultātā mēs nonākam pie skaitliskā intervāla [−3, 1/3] . Šis ir risinājums, ko mēs meklējam. To var uzrakstīt kā dubultu nevienādību −3≤x≤1/3.

Atbilde:

[−3, 1/3] vai −3≤x≤1/3.

Piemērs.

Atrodiet atrisinājumu kvadrātvienādībai −x 2 +16 x −63<0 .

Risinājums.

Kā parasti, mēs sākam ar zīmējumu. Skaitliskais koeficients mainīgā kvadrātam ir negatīvs, −1, tāpēc parabolas zari ir vērsti uz leju. Aprēķināsim diskriminantu vai, vēl labāk, tā ceturto daļu: D"=8 2 −(−1)·(−63)=64−63=1. Tā vērtība ir pozitīva, aprēķināsim kvadrātveida trinoma saknes: Un , x 1 =7 un x 2 =9. Tātad parabola krusto Vērša asi divos punktos ar abscisēm 7 un 9 (sākotnējā nevienlīdzība ir stingra, tāpēc mēs attēlosim šos punktus ar tukšu centru. Tagad mēs varam izveidot shematisku zīmējumu:

Tā kā mēs risinām stingru kvadrātisko nevienādību ar zīmi<, то нас интересуют промежутки, на которых парабола расположена ниже оси абсцисс:

Zīmējumā redzams, ka sākotnējās kvadrātvienādības atrisinājumi ir divi intervāli (−∞, 7) , (9, +∞) .

Atbilde:

(−∞, 7)∪(9, +∞) vai citā apzīmējumā x<7 , x>9 .

Risinot kvadrātvienādības, kad kvadrātiskā trinoma diskriminants tā kreisajā pusē ir nulle, jums jābūt uzmanīgiem, iekļaujot vai izslēdzot atbildē pieskares punkta abscisu. Tas ir atkarīgs no nevienlīdzības zīmes: ja nevienlīdzība ir stingra, tad tas nav nevienlīdzības risinājums, bet, ja tā nav stingra, tad tā ir.

Piemērs.

Vai kvadrātvienādībai 10 x 2 −14 x+4,9≤0 ir vismaz viens atrisinājums?

Risinājums.

Uzzīmēsim funkciju y=10 x 2 −14 x+4,9. Tā zari ir vērsti uz augšu, jo koeficients x 2 ir pozitīvs, un tas skar abscisu asi punktā ar abscisu 0,7, jo D"=(−7) 2 −10 4,9=0, no kurienes vai 0,7 formā no decimāldaļskaitļa shematiski izskatās šādi:

Tā kā mēs risinām kvadrātisko nevienādību ar zīmi ≤, tās risinājums būs intervāli, kuros parabola atrodas zem Ox ass, kā arī pieskares punkta abscisa. No zīmējuma ir skaidrs, ka nav nevienas spraugas, kur parabola atrastos zem Vērša ass, tāpēc tās risinājums būs tikai pieskares punkta abscisa, tas ir, 0,7.

Atbilde:

šai nevienādībai ir unikāls risinājums 0.7.

Piemērs.

Atrisiniet kvadrātvienādību –x 2 +8 x−16<0 .

Risinājums.

Mēs sekojam kvadrātvienādību risināšanas algoritmam un sākam ar grafika konstruēšanu. Parabolas zari ir vērsti uz leju, jo koeficients x 2 ir negatīvs, −1. Atradīsim kvadrāta trinoma diskriminantu –x 2 +8 x−16, mums ir D’=4 2 −(−1)·(−16)=16−16=0 un tad x 0 =−4/(−1) , x 0 =4 . Tātad parabola pieskaras Vērša asij abscisu punktā 4. Izveidosim zīmējumu:

Mēs skatāmies uz sākotnējās nevienlīdzības zīmi, tā ir tur<. Согласно алгоритму, решение неравенства в этом случае составляют все промежутки, на которых парабола расположена строго ниже оси абсцисс.

Mūsu gadījumā tie ir atvērtie stari (−∞, 4) , (4, +∞) . Atsevišķi mēs atzīmējam, ka 4 - saskares punkta abscisa - nav risinājums, jo saskares punktā parabola nav zemāka par Vērša asi.

Atbilde:

(−∞, 4)∪(4, +∞) vai citā apzīmējumā x≠4 .

Pievērsiet īpašu uzmanību gadījumiem, kad kvadrātiskā trinoma diskriminants kvadrātvienādības kreisajā pusē ir mazāks par nulli. Šeit nav jāsteidzas un jāsaka, ka nevienlīdzībai nav atrisinājumu (šādu secinājumu esam pieraduši izdarīt kvadrātvienādojumiem ar negatīvu diskriminantu). Lieta ir tāda, ka kvadrātiskā nevienlīdzība D<0 может иметь решение, которым является множество всех действительных чисел.

Piemērs.

Atrodiet kvadrātvienādības 3 x 2 +1>0 atrisinājumu.

Risinājums.

Kā parasti, mēs sākam ar zīmējumu. Koeficients a ir 3, tas ir pozitīvs, tāpēc parabolas zari ir vērsti uz augšu. Aprēķinām diskriminantu: D=0 2 −4·3·1=−12 . Tā kā diskriminants ir negatīvs, parabolai nav kopīgu punktu ar Vērša asi. Iegūtā informācija ir pietiekama shematiskam grafikam:

Stingru kvadrātvienādību atrisinām ar > zīmi. Tās risinājums būs visi intervāli, kuros parabola atrodas virs Vērša ass. Mūsu gadījumā parabola atrodas virs x ass visā garumā, tāpēc vēlamais risinājums būs visu reālo skaitļu kopa.

Vērsis , un tiem jāpievieno arī krustošanās punktu abscisa vai pieskares abscisa. Bet no zīmējuma skaidri redzams, ka tādu intervālu nav (jo parabola ir visur zem abscisu ass), tāpat kā nav krustošanās punktu, tāpat kā nav pieskares punktu. Tāpēc sākotnējai kvadrātvienādībai nav risinājumu.

Atbilde:

nav risinājumu vai citā ierakstā ∅.

Atsauces.

Algebra: mācību grāmata 8. klasei. vispārējā izglītība iestādes / [Yu. N. Makaričevs, N. G. Mindjuks, K. I. Neškovs, S. B. Suvorova]; rediģēja S. A. Teļakovskis. - 16. izd. - M.: Izglītība, 2008. - 271 lpp. : slim. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Algebra: 9. klase: izglītojoša. vispārējai izglītībai iestādes / [Yu. N. Makaričevs, N. G. Mindjuks, K. I. Neškovs, S. B. Suvorova]; rediģēja S. A. Teļakovskis. - 16. izd. - M.: Izglītība, 2009. - 271 lpp. : slim. - ISBN 978-5-09-021134-5.
Mordkovičs A.G. Algebra. 8. klase. 2 stundās 1. daļa. Mācību grāmata vispārējās izglītības iestāžu audzēkņiem / A. G. Mordkovičs. - 11. izd., dzēsts. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 lpp.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
Mordkovičs A.G. Algebra. 9. klase. 2 stundās 1. daļa. Mācību grāmata vispārējās izglītības iestāžu audzēkņiem / A. G. Mordkovičs, P. V. Semenovs. - 13. izd., dzēsts. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 lpp.: ill. ISBN 978-5-346-01752-3.
Mordkovičs A.G. Algebra un matemātiskās analīzes pirmsākumi. 11. klase. 2 stundās 1. daļa. Mācību grāmata vispārējās izglītības iestāžu audzēkņiem (profila līmenis) / A. G. Mordkovičs, P. V. Semenovs. - 2. izdevums, dzēsts. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 lpp.: ill. ISBN 978-5-346-01027-2.

Ļaujiet f(x,y) Un g(x, y)- divas izteiksmes ar mainīgajiem X Un plkst un darbības jomu X. Tad formas nevienādības f(x, y) > g(x, y) vai f(x, y) < g(x, y) sauca nevienādība ar diviem mainīgajiem .

Mainīgo nozīme x, y no daudziem X, kurā nevienlīdzība kļūst patiesa skaitliskā nevienlīdzība, to sauc lēmumu un ir norādīts (x, y). Atrisiniet nevienlīdzību - tas nozīmē atrast daudzus šādus pārus.

Ja katrs skaitļu pāris (x, y) no risinājumu kopas līdz nevienādībai, saskaņojiet punktu M(x, y), mēs iegūstam punktu kopu plaknē, ko nosaka šī nevienādība. Viņi viņu sauc šīs nevienlīdzības grafiks . Nevienādības grafiks parasti ir plaknes laukums.

Attēlot nevienlīdzības risinājumu kopu f(x, y) > g(x, y), rīkojieties šādi. Vispirms nomainiet nevienlīdzības zīmi ar vienādības zīmi un atrodiet līniju, kurā ir vienādojums f(x,y) = g(x,y). Šī līnija sadala plakni vairākās daļās. Pēc tam pietiek paņemt vienu punktu katrā daļā un pārbaudīt, vai šajā punktā ir izpildīta nevienlīdzība f(x, y) > g(x, y). Ja tas tiek izpildīts šajā punktā, tas tiks izpildīts visā daļā, kurā atrodas šis punkts. Apvienojot šādas detaļas, mēs iegūstam daudz risinājumu.

Uzdevums. y > x.

Risinājums. Pirmkārt, mēs aizvietojam nevienlīdzības zīmi ar vienādības zīmi un taisnstūra koordinātu sistēmā izveidojam līniju, kurai ir vienādojums y = x.

Šī līnija sadala plakni divās daļās. Pēc tam katrā daļā paņemiet vienu punktu un pārbaudiet, vai šajā punktā ir izpildīta nevienlīdzība y > x.

Uzdevums. Grafiski atrisiniet nevienādību
X 2 + plkst 2 25 £.

Rīsi. 18.

Risinājums. Vispirms nomainiet nevienlīdzības zīmi ar vienādības zīmi un novelciet līniju X 2 + plkst 2 = 25. Šis ir aplis, kura centrs ir sākuma punktā un rādiuss ir 5. Iegūtais aplis sadala plakni divās daļās. Nevienlīdzības apmierināmības pārbaude X 2 + plkst 2 £ 25 katrā daļā, mēs atklājam, ka grafiks ir apļa punktu kopa un plaknes daļas apļa iekšpusē.

Dotas divas nevienādības f 1(x, y) > g 1(x, y) Un f 2(x, y) > g 2(x, y).

Nevienādību kopu sistēmas ar diviem mainīgajiem

Nevienlīdzību sistēma pārstāv sevi šo nevienlīdzību savienojums. Sistēmas risinājums ir katra nozīme (x, y), kas katru no nevienādībām pārvērš patiesā skaitliskā nevienādībā. Daudzi risinājumi sistēmas nevienādības ir nevienādību risinājumu kopu krustpunkts, kas veido noteiktu sistēmu.

Nevienādību kopa pārstāv sevi šo atdalīšana nevienlīdzības Ar kopuma risinājumu ir katra nozīme (x, y), kas vismaz vienu no nevienādību kopas pārvērš patiesā skaitliskā nevienādībā. Daudzi risinājumi kopums ir nevienādību risinājumu kopu savienība, kas veido kopu.

Uzdevums. Grafiski atrisiniet nevienādību sistēmu

Risinājums. y = x Un X 2 + plkst 2 = 25. Atrisinām katru sistēmas nevienādību.

Sistēmas grafiks būs plaknes punktu kopa, kas ir pirmās un otrās nevienādības atrisinājumu kopu krustpunkts (dubultā izšķilšanās).

Uzdevums. Grafiski atrisiniet nevienādību kopu

Risinājums. Pirmkārt, mēs aizvietojam nevienlīdzības zīmi ar vienādības zīmi un novelkam līnijas tajā pašā koordinātu sistēmā y = x+ 4 un X 2 + plkst 2 = 16. Atrisiniet katru populācijas nevienādību. Populācijas grafiks būs plaknes punktu kopa, kas ir pirmās un otrās nevienādības atrisinājumu kopu savienība.

Vingrinājumi patstāvīgam darbam

1. Grafiski atrisiniet nevienādības: a) plkst> 2x; b) plkst< 2x + 3;

V) x 2+ y 2 > 9; G) x 2+ y 2 £4.

2. Grafiski atrisiniet nevienādību sistēmas:

a) b)

Nodarbības veids:

Nodarbības veids: Lekcija, problēmu risināšanas nodarbība.

Ilgums: 2 stundas.

Mērķi: 1) Apgūstiet grafisko metodi.

2) Parādiet programmas Maple izmantošanu nevienādību sistēmu risināšanā ar grafisko metodi.

3) Attīstīt uztveri un domāšanu par šo tēmu.

Nodarbības plāns:

Nodarbības gaita.

1. posms: grafiskā metode sastāv no PLP iespējamu risinājumu kopas izveidošanas un šajā kopā atrašanas punkta, kas atbilst max/min mērķa funkcijai.

Sakarā ar invaliditāti vizuālam grafiskam attēlojumam šo metodi izmanto tikai lineāro nevienādību sistēmām ar diviem nezināmiem un sistēmām, kuras var reducēt līdz šādai formai.

Lai skaidri parādītu grafisko metodi, atrisināsim šādu problēmu:

1. Pirmajā posmā ir nepieciešams izveidot iespējamo risinājumu reģionu. Par šis piemērs Visērtāk ir izvēlēties X2 abscisai un X1 ordinātai un rakstīt nevienādības šādā formā:

Tā kā gan grafiki, gan iespējamo risinājumu laukums ir pirmajā ceturksnī. Lai atrastu robežpunktus, mēs atrisinām vienādojumus (1)=(2), (1)=(3) un (2)=(3).

Kā redzams attēlā, daudzskaldnis ABCDE veido iespējamo risinājumu reģionu.

Ja iespējamo risinājumu apgabals nav slēgts, tad vai nu max(f)=+ ?, vai min(f)= -?.

2. Tagad mēs varam tieši atrast funkcijas f maksimumu.

Pārmaiņus aizstājot daudzskaldņa virsotņu koordinātas ar funkciju f un salīdzinot vērtības, mēs atklājam, ka f(C)=f(4;1)=19 ir funkcijas maksimums.

Šī pieeja ir diezgan izdevīga ar nelielu virsotņu skaitu. Bet šī procedūra var aizņemt ilgu laiku, ja virsotņu ir diezgan daudz.

Šajā gadījumā ērtāk ir ņemt vērā līmeņa līniju formā f=a. Ar monotonu skaita pieaugumu a no -? uz +? taisnes f=a ir nobīdītas pa normālo vektoru Normālajam vektoram ir koordinātes (C1;C2), kur C1 un C2 ir nezināmo koeficienti mērķa funkcijā f=C1?X1+C2?X2+C0.. Ja. ar šādu līmeņa līnijas kustību ir noteikts punkts X ir iespējamu risinājumu domēna (daudzskaldnis ABCDE) pirmais kopīgais punkts un līmeņa līnija, tad f(X) ir f minimums uz kopas ABCDE. Ja X ir pēdējais līmeņa līnijas un ABCDE kopas krustpunkts, tad f(X) ir iespējamais risinājumu kopas maksimums. Ja par a>-? taisne f=a šķērso iespējamo risinājumu kopu, tad min(f)= -?. Ja tas notiek ar a>+?, tad max(f)=+?.

Mūsu piemērā taisne f=a šķērso reģionu ABCDE punktā C(4;1). Tā kā šis ir pēdējais krustošanās punkts, max(f)=f(C)=f(4;1)=19.

Grafiski atrisiniet nevienādību sistēmu. Atrodiet stūra risinājumus.

x1>= 0, x2>=0

> with(gabali);

> with(plotools);

> S1:=atrisināt((f1x = X6, f2x = X6), );

Atbilde: Visi punkti Si, kur i=1..10, kuriem x un y ir pozitīvi.

Apgabals, ko ierobežo šie punkti: (54/11.2/11) (5/7.60/7) (0.5) (10/3, 10/3)

3. posms. Katram skolēnam tiek dota viena no 20 iespējām, kurās skolēnam tiek lūgts patstāvīgi atrisināt nevienlīdzību ar grafisko metodi, bet pārējie piemēri tiek doti kā mājasdarbs.

Nodarbība Nr.4 Lineārās programmēšanas uzdevuma grafiskais risinājums

Nodarbības veids: jauna materiāla apguves nodarbība.

Nodarbības veids: Lekcija + problēmu risināšanas nodarbība.

Ilgums: 2 stundas.

Mērķi: 1) Izpētīt lineārās programmēšanas problēmas grafisko risinājumu.

2) Iemācīties lietot Maple programmu, risinot lineārās programmēšanas uzdevumu.

2) Attīstīt uztveri un domāšanu.

Nodarbības plāns: 1. posms: jauna materiāla apguve.

2. posms: darbs pie jauna materiāla Maple matemātiskajā paketē.

3. posms: apgūtā materiāla un mājas darbu pārbaude.

Nodarbības gaita.

Grafiskā metode ir diezgan vienkārša un intuitīva, lai atrisinātu lineāras programmēšanas problēmas ar diviem mainīgajiem. Tas ir balstīts uz ģeometrisks iespējamo risinājumu un problēmas TF prezentācija.

Katra no lineārās programmēšanas uzdevuma nevienādībām (1.2) definē noteiktu pusplakni uz koordinātu plaknes (2.1. att.), un nevienādību sistēma kopumā definē atbilstošo plakņu krustpunktu. Šo pusplakņu krustošanās punktu kopu sauc iespējamo risinājumu joma(ODR). ODR vienmēr pārstāv izliekts figūra, t.i. kam ir šāda īpašība: ja šim skaitlim pieder divi punkti A un B, tad tam pieder viss segments AB. ODR var grafiski attēlot ar izliektu daudzstūri, neierobežotu izliektu daudzstūra laukumu, segmentu, staru vai vienu punktu. Ja ierobežojumu sistēma uzdevumā (1.2) ir nekonsekventa, ODS ir tukša kopa.

Viss iepriekš minētais attiecas arī uz gadījumu, kad ierobežojumu sistēma (1.2) ietver vienādības, jo jebkura vienlīdzība

var attēlot kā divu nevienādību sistēmu (skat. 2.1. att.)

Digitālais filtrs ar fiksētu vērtību nosaka taisnu līniju plaknē. Mainot L vērtības, mēs iegūstam paralēlu līniju saimi, ko sauc līmeņa līnijas.

Tas ir saistīts ar faktu, ka L vērtības maiņa radīs izmaiņas tikai segmenta garumā, ko nogriež līmeņa līnija uz ass (sākotnējā ordināta), un taisnes leņķiskais koeficients paliks nemainīgs (sk. 2.1. att.). Tāpēc, lai to atrisinātu, pietiks izveidot vienu no līmeņa līnijām, patvaļīgi izvēloties L vērtību.

Vektors ar koordinātām no CF koeficientiem pie un ir perpendikulārs katrai no līmeņa līnijām (skat. 2.1. att.). Vektora virziens sakrīt ar virzienu pieaug CF, kas ir svarīgs punkts lai atrisinātu problēmas. Virziens lejupejoša CF ir pretējs vektora virzienam.

Grafiskās metodes būtība ir šāda. ODR vektora virzienā (pret virzienu) tiek meklēts optimālais punkts. Optimālais punkts ir punkts, caur kuru iet līmeņa līnija, kas atbilst lielākajai (mazākajai) funkcijas vērtībai. Optimālais risinājums vienmēr atrodas uz ODD robežas, piemēram, ODD daudzstūra pēdējā virsotnē, caur kuru iet mērķa līnija, vai visā tās malā.

Meklējot optimālu risinājumu lineārās programmēšanas problēmām, ir iespējamas šādas situācijas: ir unikāls problēmas risinājums; ir bezgalīgi daudz risinājumu (alternatīva); TF nav ierobežots; iespējamo risinājumu apgabals ir viens punkts; problēmai nav risinājumu.

2.1. attēls. Problēmas ierobežojumu un CF ģeometriskā interpretācija.

LP uzdevumu risināšanas tehnika, izmantojot grafisko metodi

I. Problēmas (1.2.) ierobežojumos nevienlīdzības zīmes aizstāj ar precīzām vienādības zīmēm un izveido atbilstošās taisnes.

II. Atrodiet un noēnojiet pusplaknes, ko pieļauj katrs uzdevuma (1.2) nevienlīdzības ierobežojums. Lai to izdarītu, jums ir jāaizstāj punkta koordinātas [piemēram, (0;0)] ar noteiktu nevienādību un jāpārbauda iegūtās nevienādības patiesums.

Ja nevienlīdzība ir patiesa,

Tas ir nepieciešams noēnot pusplakni, kas satur šo punktu;

citādi(nevienādība ir nepatiesa) jāieēno pusplakne, kas nesatur doto punktu.

Tā kā un jābūt nenegatīviem, to pieļaujamās vērtības vienmēr būs virs ass un pa labi no ass, t.i. pirmajā kvadrantā.

Vienlīdzības ierobežojumi pieļauj tikai tos punktus, kas atrodas uz atbilstošās līnijas. Tāpēc ir nepieciešams izcelt šādas taisnas līnijas grafikā.

III. Definējiet ODR kā plaknes daļu, kas vienlaikus pieder visiem atļautajiem apgabaliem, un atlasiet to. Ja nav ODD, problēmai nav risinājumu.

IV. Ja ODR nav tukša kopa, tad jākonstruē mērķa līnija, t.i. jebkura no līmeņa līnijām (kur L ir patvaļīgs skaitlis, piemēram, daudzkārtējs un, t.i., ērts aprēķiniem). Konstrukcijas metode ir līdzīga tiešu ierobežojumu konstrukcijai.

V. Konstruējiet vektoru, kas sākas punktā (0;0) un beidzas punktā. Ja mērķa līnija un vektors ir konstruēti pareizi, tad tie tiks veikti perpendikulāri.

VI. Meklējot maksimālo CF, ir jāpārvieto mērķa līnija virzienā vektors, meklējot minimālo CF - pret virzienu vektors. Pēdējā ODR augšdaļa kustības virzienā būs CF maksimuma vai minimuma punkts. Ja šāda(-u) punkta(-u) nav, tad mēs to varam secināt neierobežots TF daudzos plānos no augšas (meklējot maksimumu) vai no apakšas (meklējot minimumu).

VII. Noteikt digitālā filtra punkta max (min) koordinātas un aprēķināt digitālā filtra vērtību. Lai aprēķinātu optimālā punkta koordinātas, ir jāatrisina to līniju vienādojumu sistēma, kuru krustpunktā tas atrodas.

Atrisiniet lineārās programmēšanas uzdevumu

1. f(x)=2x1+x2 ->papild

x1>= 0, x2>=0

> plots((a+b<=3,a+3*b<=5,5*a-b<=5,a+b>=0,a>=0,b>=0), a=-2..5, b=-2..5, iespējamas iespējas=(krāsa=sarkana),

Optionsopen = (krāsa = zila, biezums = 2),

opcijas slēgtas = (krāsa = zaļa, biezums = 3),

opcijas izslēgtas=(krāsa=dzeltens));

> ar(vienkāršs):

> C:=( x+y<=3, x+3*y <=5, 5*x-y <=5,x+y >=0};

> dp:=setup(( x+y<=3, x+3*y <=5, 5*x-y <=5,x+y >=0});

> n:=bāze(dp);

Sh displejs (C,);

> L:=cterm(C);

Sh X:=dual(f,C,p);

Sh f_max:=subs(R,f);

Sh R1:=minimizēt(f,C ,NONEGATĪVS);

f_min:=subs(R1,f);

ATBILDE: Kad x 1 =5/4 x 2 =5/4 f_max=15/4; Plkst x 1 =0 x 2 =0 f_min=0;

Nodarbība Nr.5. Matricas spēļu risināšana, izmantojot lineārās programmēšanas metodes un simplekso metodi

Nodarbības veids: nodarbību kontrole + stunda apgūstot jaunu materiālu. Nodarbības veids: Lekcija.

Ilgums: 2 stundas.

Mērķi: 1) Pārbaudiet un nostipriniet zināšanas par iepriekšējo materiālu iepriekšējās nodarbībās.

2) Apgūstiet jaunu metodi matricu spēļu risināšanai.

3) attīstīt atmiņu, matemātisko domāšanu un uzmanību.

1. posms: pārbaudiet mājasdarbu kā patstāvīgu darbu.

2. posms: sniedziet īsu zigzaga metodes aprakstu

3. posms: konsolidēt jaunu materiālu un uzdot mājasdarbus.

Nodarbības gaita.

Lineārās programmēšanas metodes ir skaitliskas metodes optimizācijas problēmu risināšanai, kuras var reducēt līdz formāliem lineārās programmēšanas modeļiem.

Kā zināms, jebkuru lineārās programmēšanas problēmu var reducēt līdz kanoniskam modelim lineāras mērķa funkcijas minimizēšanai ar lineārās vienlīdzības tipa ierobežojumiem. Tā kā lineārās programmēšanas uzdevumā mainīgo skaits ir lielāks par ierobežojumu skaitu (n > m), tad risinājumu iespējams iegūt, uzstādot (n - m) mainīgos, t.s. bezmaksas. Atlikušie m mainīgie, ko sauc pamata, var viegli noteikt no vienlīdzības ierobežojumu sistēmas, izmantojot parastās lineārās algebras metodes. Ja risinājums pastāv, tad to sauc pamata. Ja pamatrisinājums ir pieļaujams, tad to sauc pamata pieļaujamā. Ģeometriski iespējamie pamata risinājumi atbilst izliekta daudzskaldņa virsotnēm (galējiem punktiem), kas ierobežo iespējamo risinājumu kopu. Ja lineārās programmēšanas problēmai ir optimāli risinājumi, tad vismaz viens no tiem ir pamata.

Iepriekš minētie apsvērumi nozīmē, ka, meklējot optimālu risinājumu lineārās programmēšanas problēmai, pietiek aprobežoties ar galveno iespējamo risinājumu uzskaitīšanu. Pamatrisinājumu skaits ir vienāds ar n mainīgo kombināciju skaitu m:

C = mn! / n m! * (n - m)!

un var būt pietiekami liels, lai tos uzskaitītu tiešā meklēšanā reālā laikā. Tas, ka ne visi pamata risinājumi ir pieļaujami, nemaina problēmas būtību, jo, lai novērtētu pamatrisinājuma pieļaujamību, tas ir jāiegūst.

Lineārās programmēšanas problēmas bāzes risinājumu racionālas uzskaitīšanas problēmu pirmais atrisināja J. Dancigs. Viņa piedāvātā vienkāršā metode joprojām ir visizplatītākā vispārējā lineārā programmēšanas metode. Simpleksā metode īsteno virzītu pieļaujamo pamatrisinājumu meklēšanu pa atbilstošajiem pieļaujamo risinājumu izliektā daudzskaldņa galējiem punktiem iteratīva procesa veidā, kur katrā solī mērķfunkcijas vērtības stingri samazinās. Pāreja starp galējiem punktiem tiek veikta gar pieļaujamo risinājumu izliekta daudzskaldņa malām saskaņā ar vienkāršām ierobežojumu sistēmas lineārām algebriskām transformācijām. Kopš numura ekstrēmi punkti protams, un mērķa funkcija ir lineāra, tad virzoties pa galējiem punktiem mērķa funkcijas samazināšanas virzienā, simpleksa metode konverģē uz globālo minimumu ierobežotā soļu skaitā.

Prakse ir parādījusi, ka lielākajai daļai izmantoto lineārās programmēšanas problēmu vienkāršā metode ļauj atrast optimāls risinājums salīdzinoši nelielā soļu skaitā salīdzinājumā ar kopējais skaits pieļaujamā daudzskaldņa galējie punkti. Tajā pašā laikā ir zināms, ka dažām lineārās programmēšanas problēmām ar īpaši izvēlētu pieļaujamā apgabala formu vienkāršās metodes izmantošana noved pie pilnīgas galējo punktu uzskaitīšanas. Šis fakts zināmā mērā rosināja meklēt jaunu efektīvas metodes Lineārās programmēšanas uzdevumu risinājumi, kas balstīti uz idejām, kas nav vienkāršā metode, kas ļauj atrisināt jebkuru lineārās programmēšanas uzdevumu ierobežotā soļu skaitā, ievērojami mazāk nekā ekstrēmo punktu skaits.

Starp polinomu lineārās programmēšanas metodēm, kas ir invariantas domēna konfigurācijai pieņemamām vērtībām, visizplatītākā ir L.G. Khachiyan. Tomēr, lai gan šai metodei ir polinoma sarežģītības novērtējums atkarībā no problēmas dimensijas, tā tomēr izrādās nekonkurētspējīga salīdzinājumā ar simplekso metodi. Iemesls tam ir tāds, ka vienkāršās metodes iterāciju skaita atkarība no problēmas dimensijas lielākajai daļai praktisko problēmu tiek izteikta ar trešās kārtas polinomu, savukārt Hačijana metodē šīs atkarības pakāpe vienmēr ir ap. vismaz ceturtā kārtība. Šim faktam ir izšķiroša nozīme praksē, kur pielietotās problēmas, kas ir sarežģītas simpleksajai metodei, ir ārkārtīgi reti.

Tāpat jāatzīmē, ka lietišķām lineārās programmēšanas problēmām, kas ir svarīgas praktiskā nozīmē, ir izstrādātas īpašas metodes, kas ņem vērā problēmas ierobežojumu specifiku. Jo īpaši viendabīgai transporta problēmai tiek izmantoti speciāli sākotnējās bāzes izvēles algoritmi, no kuriem slavenākie ir ziemeļrietumu stūra metode un aptuvenā Vogela metode, un pašas simpleksās metodes algoritmiskā realizācija ir tuva specifikai. problēma. Lineārās piešķiršanas problēmas (atlases uzdevuma) risināšanai simpleksās metodes vietā parasti tiek izmantots vai nu ungāru algoritms, kura pamatā ir problēmas interpretācija grafu teorijā kā maksimālā svara ideālas atbilstības atrašanas problēma divpusējā formā. grafu vai Maka metodi.

Atrisiniet 3x3 matricas spēli

f(x)=x 1 +x 2 +x 3

x1>= 0, x2>=0, x3>=0

> ar(vienkāršs):

> C:=( 0*x+3*y+2*z<=1, 2*x+0*y+1*z <=1, 3*x+0*y+0*z <=1};

Sh displejs (C,);