Nevienādību pamatīpašības. Skaitliskās nevienādības un to īpašības

Tālāk norādītās īpašības attiecas uz visām skaitliskām izteiksmēm.

1. īpašums. Ja mēs pievienojam vienu un to pašu patiesas skaitliskās nevienādības abām pusēm skaitliskā izteiksme, tad iegūstam pareizo skaitlisko nevienādību, tas ir, patiesība ir: ; .

Pierādījums. Ja . Izmantojot pievienošanas operācijas komutatīvās, asociatīvās un sadalošās īpašības, mēs iegūstam: .

Tāpēc pēc attiecības definīcijas “lielāks par” .

2. īpašums. Ja no patiesas skaitliskās nevienādības abām pusēm atņemam vienu un to pašu skaitlisko izteiksmi, iegūstam patiesu skaitlisko nevienādību, tas ir, patiesība ir: ;

Pierādījums. Pēc nosacījuma . Izmantojot iepriekšējo īpašību, mēs pievienojam skaitlisko izteiksmi abām šīs nevienlīdzības pusēm un iegūstam: .

Izmantojot saskaitīšanas darbības asociatīvo īpašību, mums ir: , tātad , tātad.

Sekas. Jebkuru terminu var pārnest no vienas skaitliskās nevienādības daļas uz citu ar pretējā zīme.

3. īpašums. Ja mēs saskaitām pareizās skaitliskās nevienādības pēc termiņa, mēs iegūstam pareizo skaitlisko nevienādību, tas ir, patieso:

Pierādījums. Pēc rekvizīta 1 mums ir: un, izmantojot attiecības "vairāk" tranzitivitātes īpašību, mēs iegūstam: .

4. īpašums. Pretējas nozīmes patiesās skaitliskās nevienādības var atņemt pa vārdam, saglabājot nevienlīdzības zīmi, no kuras mēs atņemam, tas ir: ;

Pierādījums. Pēc patieso skaitlisko nevienādību definīcijas . Pēc īpašuma 3, ja . Šīs teorēmas 2. īpašības rezultātā jebkurš termins var tikt pārnests no vienas nevienādības daļas uz citu ar pretēju zīmi. Tāpēc . Tādējādi, ja.

Īpašums tiek pierādīts līdzīgā veidā.

5. īpašums. Ja derīgas skaitliskās nevienādības abas puses tiek reizinātas ar vienu un to pašu skaitlisko izteiksmi, kas ņem pozitīva vērtība, nemainot nevienādības zīmi, iegūstam pareizo skaitlisko nevienādību, tas ir:

Pierādījums. No kā . Mums ir: Tad . Izmantojot reizināšanas darbības sadalījuma raksturu attiecībā pret atņemšanu, mēs iegūstam: .

Tad pēc definīcijas attiecība ir “lielāka par”.

Īpašums tiek pierādīts līdzīgā veidā.

6. īpašums. Ja derīgas skaitliskās nevienādības abas puses tiek reizinātas ar vienu un to pašu skaitlisko izteiksmi, kas ņem negatīva nozīme, mainot nevienlīdzības zīmi pret pretējo, iegūstam pareizo skaitlisko nevienādību, tas ir: ;

7. īpašums. Ja patiesas skaitliskās nevienādības abas puses sadala ar vienu un to pašu skaitlisko izteiksmi, kas iegūst pozitīvu vērtību, nemainot nevienādības zīmi, tad iegūstam patiesu skaitlisko nevienādību, tas ir:

Pierādījums. Mums ir: . Ar 5. īpašumu mēs iegūstam: . Izmantojot reizināšanas darbības asociativitāti, mums ir: tātad.

Īpašums tiek pierādīts līdzīgā veidā.

8. īpašums. Ja abas pareizas skaitliskās nevienādības daļas sadala ar vienu un to pašu skaitlisko izteiksmi, kas iegūst negatīvu vērtību, mainot nevienādības zīmi uz pretējo, tad iegūstam pareizu skaitlisko nevienādību, tas ir: ;

Mēs izlaižam šī īpašuma pierādījumu.

9. īpašums. Ja reizinām ar terminu pa vārdam vienādas nozīmes skaitliskās nevienādības ar negatīvām daļām, mainot nevienādības zīmi uz pretējo, iegūstam pareizu skaitlisko nevienādību, tas ir:

Mēs izlaižam šī īpašuma pierādījumu.

10. īpašums. Ja reizinām ar jēdzienu vienādas nozīmes skaitliskās nevienādības ar pozitīvām daļām, nemainot nevienādības zīmi, iegūstam pareizu skaitlisko nevienādību, tas ir:

Mēs izlaižam šī īpašuma pierādījumu.

Īpašums 11. Ja pretējās nozīmes termina pareizo skaitlisko nevienādību sadalām pa vārdam ar pozitīvajām daļām, saglabājot pirmās nevienādības zīmi, iegūstam pareizu skaitlisko nevienādību, tas ir:

;

Mēs izlaižam šī īpašuma pierādījumu.

1. piemērs. Ir nevienlīdzība Un ekvivalents?

Risinājums. Otro nevienādību iegūst no pirmās nevienādības, abām tās daļām pievienojot vienu un to pašu izteiksmi, kas nav definēta pie . Tas nozīmē, ka skaitlis nevar būt pirmās nevienlīdzības risinājums. Tomēr tas ir risinājums otrajai nevienlīdzībai. Tātad otrajai nevienlīdzībai ir risinājums, kas nav pirmās nevienlīdzības risinājums. Tāpēc šīs nevienlīdzības nav līdzvērtīgas. Otrā nevienlīdzība ir pirmās nevienlīdzības sekas, jo jebkurš pirmās nevienlīdzības risinājums ir otrās nevienlīdzības risinājums.

Nodarbība un prezentācija par tēmu: "Ciparu nevienādību pamatīpašības un to risināšanas metodes."

Papildu materiāli
Cienījamie lietotāji, neaizmirstiet atstāt savus komentārus, atsauksmes, vēlmes! Visi materiāli ir pārbaudīti ar pretvīrusu programmu.

Mācību līdzekļi un simulatori Interneta veikalā Integral 8. klasei
Kombinatorika un varbūtību teorija Vienādojumi un nevienādības

Ievads skaitliskajās nevienādībās

Puiši, mēs jau esam saskārušies ar nevienlīdzību, piemēram, kad sākām iepazīties ar kvadrātsaknes jēdzienu. Intuitīvi mēs varam izmantot nevienādības, lai novērtētu, kurš no dotajiem skaitļiem ir lielāks vai mazāks. Matemātiskam aprakstam pietiek pievienot īpašu simbolu, kas nozīmēs vai nu vairāk, vai mazāk.

Rakstot izteiksmi $a>b$ uz matemātiskā valoda nozīmē, ka skaitlis $a$ vairāk numuru$b$. Savukārt tas nozīmē, ka $a-b$ ir pozitīvs skaitlis.
Rakstot izteiksmi $a negatīvs skaitlis.

Tāpat kā gandrīz visiem matemātiskajiem objektiem, nevienādībām ir noteiktas īpašības. Šajā nodarbībā mēs pētīsim šīs īpašības.

1. īpašums.
Ja $a>b$ un $b>c$, tad $a>c$.

Pierādījums.
Acīmredzot, $10>5$, un $5>2$, un, protams, $10>2$. Bet matemātika mīl stingrus pierādījumus vispārīgākajiem gadījumiem.
Ja $a>b$, tad $a-b$ ir pozitīvs skaitlis. Ja $b>c$, tad $b-c$ ir pozitīvs skaitlis. Saskaitīsim divus iegūtos pozitīvos skaitļus.
$a-b+b-c=a-c$.
Divu pozitīvu skaitļu summa ir pozitīvs skaitlis, bet tad arī $a-c$ ir pozitīvs skaitlis. No kā izriet, ka $a>c$. Īpašums ir pierādīts.

Šo īpašību var skaidrāk parādīt, izmantojot skaitļa līniju. Ja $a>b$, tad skaitlis $a$ skaitļu rindā atradīsies pa labi no $b$. Attiecīgi, ja $b>c$, tad skaitlis $b$ atradīsies pa labi no skaitļa $c$.
Kā redzams attēlā, mūsu gadījumā atrodas punkts $a$ pa labi no punkta$c$, kas nozīmē, ka $a>c$.

2. īpašums.
Ja $a>b$, tad $a+c>b+c$.
Citiem vārdiem sakot, ja skaitlis $a$ ir lielāks par skaitli $b$, tad neatkarīgi no tā, kādu skaitli mēs pievienosim (pozitīvu vai negatīvu) šiem skaitļiem, arī nevienlīdzības zīme tiks saglabāta. Šo īpašumu ir ļoti viegli pierādīt. Jums ir jāveic atņemšana. Pievienotais mainīgais pazudīs, un sākotnējā nevienlīdzība būs pareiza.

3. īpašums.
a) Ja abas nevienādības puses reizina ar pozitīvu skaitli, tad nevienlīdzības zīme tiek saglabāta.
Ja $a>b$ un $c>0$, tad $ac>bc$.
b) Ja abas nevienādības puses reizina ar negatīvu skaitli, tad nevienādības zīme ir jāapgriež.
Ja $a>b$ un $c Ja $a bc$.
Dalot, jārīkojas tāpat (dalīt ar pozitīvu skaitli - zīme paliek nemainīga, dalīt ar negatīvu skaitli - zīme mainās).

4. īpašums.
Ja $a>b$ un $c>d$, tad $a+c>b+d$.

Pierādījums.
No nosacījuma: $a-b$ ir pozitīvs skaitlis un $c-d$ ir pozitīvs skaitlis.
Tad arī summa $(a-b)+(c-d)$ ir pozitīvs skaitlis.
Apmainīsim dažus terminus $(a+c)-(b+d)$.
Noteikumu vietu maiņa nemaina summu.
Tas nozīmē, ka $(a+c)-(b+d)$ ir pozitīvs skaitlis un $a+c>b+d$.
Īpašums ir pierādīts.

5. īpašums.
Ja $a, b ,c, d$ - pozitīvi skaitļi un $a>b$, $c>d$, pēc tam $ac>bd$.

Pierādījums.
Tā kā $a>b$ un $c>0$, tad, izmantojot rekvizītu 3, mums ir $ac>bc$.
Tā kā $c>d$ un $b>0$, tad, izmantojot rekvizītu 3, mums ir $cb>bd$.
Tātad, $ac>bc$ un $bc>bd$.
Pēc tam, izmantojot rekvizītu 1, mēs iegūstam $ac>bd$. Q.E.D.

Definīcija.
Formu $a>b$ un $c>d$ nevienādības ($a Formu $a>b$ un $c nevienādības d$) sauc par pretējas nozīmes nevienādībām.

Tad rekvizītu 5 var pārfrāzēt. Reizinot vienas nozīmes nevienādības, kuru labā un kreisā puse ir pozitīvas, iegūst tādas pašas nozīmes nevienādību.

6. īpašums.
Ja $a>b$ ($a>0$, $b>0$), tad $a^n>b^n$, kur $n$ ir jebkurš naturāls skaitlis.
Ja abas nevienādības puses ir pozitīvi skaitļi un tās tiek paaugstinātas vienā un tajā pašā dabiskajā pakāpē, tad tiks iegūta nevienādība ar tādu pašu nozīmi.
Piezīme: ja $n$ – nepāra skaitlis, tad jebkuras zīmes skaitļiem $a$ un $b$ 6. rekvizīts ir izpildīts.

7. īpašums.
Ja $a>b$ ($a>0$, $b>0$), tad $\frac(1)(a)

Pierādījums.
Lai pierādītu šo īpašību, ir jāatņem $\frac(1)(a)-\frac(1)(b)$, lai iegūtu negatīvu skaitli.
$\frac(1)(a)-\frac(1)(b)=\frac(b-a)(ab)=\frac(-(a-b))(ab)$.

Mēs zinām, ka $a-b$ ir pozitīvs skaitlis, un divu pozitīvu skaitļu reizinājums arī ir pozitīvs skaitlis, t.i. $ab>0$.
Tad $\frac(-(a-b))(ab)$ ir negatīvs skaitlis. Īpašums ir pierādīts.

8. īpašums.
Ja $a>0$, tad spēkā ir nevienādība: $a+\frac(1)(a)≥2$.

Pierādījums.
Apsvērsim atšķirību.
$a+\frac(1)(a)-2=\frac(a^2-2a+1)(a)=\frac((a-1)^2)(a)$ ir nenegatīvs skaitlis.
Īpašums ir pierādīts.

9. īpašums. Košī nevienādība (vidējais aritmētiskais ir lielāks vai vienāds ar ģeometrisko vidējo).
Ja $a$ un $b$ ir nenegatīvi skaitļi, tad spēkā ir nevienādība: $\frac(a+b)(2)≥\sqrt(ab)$.

Pierādījums.
Apsvērsim atšķirību:
$\frac(a+b)(2)-\sqrt(ab)=\frac(a-2\sqrt(ab)+b)(2)=\frac((\sqrt(a)-\sqrt(b) ))^2)(2)$ ir nenegatīvs skaitlis.
Īpašums ir pierādīts.

Nevienādību risināšanas piemēri

1. piemērs.
Ir zināms, ka $-1,5 a) $3a$.
b) $-2b$.
c) $a+b$.
d) $a-b$.
e) $b^2$.
e) $a^3$.
g) $\frac(1)(b)$.

Risinājums.
a) Izmantosim īpašību 3. Reiziniet ar pozitīvu skaitli, kas nozīmē, ka nevienlīdzības zīme nemainās.
$-1.5*3 $-4.5<3a<6.3$.

B) Izmantosim īpašību 3. Reiziniet ar negatīvu skaitli, kas nozīmē, ka mainās nevienlīdzības zīme.
$-2*3.1>-2*b>-2*5.3$.
$-10.3
c) Saskaitot vienādas nozīmes nevienādības, iegūstam tādas pašas nozīmes nevienādību.
$-1.5+3.1 $1.6

D) Reiziniet visas nevienlīdzības daļas $3,1 $-5.3<-b<-3.1$.
Tagad veiksim pievienošanas darbību.
$-1.5-5.3 $-6.8

D) Visas nevienādības daļas ir pozitīvas, sadalot tās kvadrātā, iegūstam tādas pašas nozīmes nevienādību.
${3.1}^2 $9.61

E) Nevienlīdzības pakāpe ir nepāra, tad jūs varat droši paaugstināt to līdz pakāpei un nemainīt zīmi.
${(-1.5)}^3 $-3.375

G) Izmantosim rekvizītu 7.
$\frac(1)(5.3)<\frac{1}{b}<\frac{1}{3.1}$.
$\frac(10)(53)<\frac{1}{b}<\frac{10}{31}$.

2. piemērs.
Salīdziniet skaitļus:
a) $\sqrt(5)+\sqrt(7)$ un $2+\sqrt(8)$.
b) $π+\sqrt(8)$ un $4+\sqrt(10)$.

Risinājums.
a) Salīdzināsim katru skaitli kvadrātā.
$(\sqrt(5)+\sqrt(7))^2=5+2\sqrt(35)+7=12+\sqrt(140)$.
$(2+\sqrt(8))^2=4+4\sqrt(8)+8=12+\sqrt(128)$.
Aprēķināsim starpību starp šo kvadrātu kvadrātiem.
$(\sqrt(5)+\sqrt(7))^2-(2+\sqrt(8))^2=12+\sqrt(140)-12-\sqrt(128)=\sqrt(140) -\sqrt(128)$.
Acīmredzot mēs saņēmām pozitīvu skaitli, kas nozīmē:
$(\sqrt(5)+\sqrt(7))^2>(2+\sqrt(8))^2$.
Tā kā abi skaitļi ir pozitīvi, tad:
$\sqrt(5)+\sqrt(7)>2+\sqrt(8)$.

Problēmas, kas jārisina patstāvīgi

1. Zināms, ka $-2,2 Atrodiet skaitļu aplēses.
a) $4a$.
b) $-3b$.
c) $a+b$.
d) $a-b$.
e) $b^4$.
e) $a^3$.
g) $\frac(1)(b)$.
2. Salīdziniet skaitļus:
a) $\sqrt(6)+\sqrt(10)$ un $3+\sqrt(7)$.
b) $π+\sqrt(5)$ un $2+\sqrt(3)$.

Reālo skaitļu laukam ir sakārtotības īpašība (6. sadaļa, 35. lpp.): jebkuriem skaitļiem a, b ir spēkā viena un tikai viena no trim relācijām: vai . Šajā gadījumā ieraksts a > b nozīmē, ka starpība ir pozitīva, bet ieraksta starpība ir negatīva. Atšķirībā no reālo skaitļu lauka komplekso skaitļu lauks nav sakārtots: kompleksajiem skaitļiem jēdzieni “vairāk” un “mazāk” nav definēti; Tāpēc šajā nodaļā ir aplūkoti tikai reālie skaitļi.

Attiecības saucam par nevienādībām, skaitļi a un b ir nevienādības vārdi (vai daļas), zīmes > (lielākas par) un nevienādības a > b un c > d sauc par vienas un tās pašas (vai vienas un tās pašas) nevienādībām. nozīme; nevienādības a > b un c No nevienlīdzības definīcijas uzreiz izriet, ka

1) jebkurš pozitīvs skaitlis, kas lielāks par nulli;

2) jebkurš negatīvs skaitlis ir mazāks par nulli;

3) jebkurš pozitīvs skaitlis ir lielāks par jebkuru negatīvu skaitli;

4) no diviem negatīviem skaitļiem tas, kura absolūtā vērtība ir mazāka, ir lielāks.

Visi šie apgalvojumi pieļauj vienkāršu ģeometrisku interpretāciju. Ļaujiet skaitļa ass pozitīvajam virzienam iet pa labi no sākuma punkta; tad neatkarīgi no skaitļu zīmēm lielākais no tiem tiek attēlots ar punktu, kas atrodas pa labi no punkta, kas apzīmē mazāko skaitli.

Nevienādībām ir šādas pamata īpašības.

1. Asimetrija (neatgriezeniskums): ja , tad , un otrādi.

Patiešām, ja starpība ir pozitīva, tad atšķirība ir negatīva. Viņi saka, ka, pārkārtojot nevienlīdzības terminus, nevienlīdzības nozīme ir jāmaina uz pretējo.

2. Transitivitāte: ja , tad . Patiešām, no atšķirību pozitivitātes izriet, ka

Papildus nevienlīdzības zīmēm tiek izmantotas arī nevienlīdzības zīmes un tās tiek definētas šādi: ieraksts nozīmē, ka vai nu Tāpēc, piemēram, varat rakstīt, un arī. Parasti nevienādības, kas uzrakstītas, izmantojot zīmes, sauc par stingru nevienādību, un tās, kas uzrakstītas, izmantojot zīmes, sauc par nevienlīdzībām. Attiecīgi pašas zīmes sauc par stingras vai nevienlīdzīgas nevienlīdzības pazīmēm. Iepriekš apskatītās 1. un 2. īpašības attiecas arī uz nevienlīdzību, kas nav strikta.

Tagad apskatīsim darbības, kuras var veikt ar vienu vai vairākām nevienlīdzībām.

3. Viena un tā paša skaitļa pievienošana nevienlīdzības terminiem nemaina nevienlīdzības nozīmi.

Pierādījums. Dota nevienādība un patvaļīgs skaitlis. Pēc definīcijas atšķirība ir pozitīva. Šim skaitlim pievienosim divus pretējus skaitļus, kas to nemainīs, t.i.

Šo vienlīdzību var pārrakstīt šādi:

No tā izriet, ka atšķirība ir pozitīva, t.i., ka

un tas bija tas, kas bija jāpierāda.

Tas ir pamats iespējai jebkuram nevienlīdzības dalībniekam tikt šķībam no vienas daļas uz otru ar pretēju zīmi. Piemēram, no nevienlīdzības

tam seko

4. Reizinot nevienādības nosacījumus ar tādu pašu pozitīvo skaitli, nevienādības nozīme nemainās; Ja nevienlīdzības nosacījumus reizina ar to pašu negatīvo skaitli, nevienlīdzības nozīme mainās uz pretējo.

Pierādījums. Ļaujiet, ja tad, jo pozitīvo skaitļu reizinājums ir pozitīvs. Atverot iekavas pēdējās nevienādības kreisajā pusē, iegūstam , t.i. Lieta tiek izskatīta līdzīgi.

Tieši tādu pašu secinājumu var izdarīt arī par nevienādības daļu dalīšanu ar jebkuru skaitli, kas nav nulle, jo dalīšana ar skaitli ir līdzvērtīga reizināšanai ar skaitli un skaitļiem ir vienādas zīmes.

5. Lai nevienlīdzības nosacījumi būtu pozitīvi. Tad, kad tās termini tiek paaugstināti līdz tādam pašam pozitīvajam spēkam, nevienlīdzības nozīme nemainās.

Pierādījums. Ļaujiet šajā gadījumā ar tranzitivitātes īpašību un . Tad, pateicoties monotoniskajam jaudas funkcijas pieaugumam par un pozitīvo, mums būs

Jo īpaši, ja kur ir naturāls skaitlis, tad mēs iegūstam

tas ir, izvelkot sakni no abām nevienlīdzības pusēm ar pozitīviem terminiem, nevienlīdzības nozīme nemainās.

Lai nevienlīdzības nosacījumi būtu negatīvi. Tad nav grūti pierādīt, ka, paceļot tās nosacījumus līdz nepāra dabiskajam pakāpēm, nevienlīdzības jēga nemainās, bet, paceļot līdz pat dabiskajam pakāpēm, tā mainās uz pretējo. No nevienādībām ar negatīviem vārdiem var iegūt arī nepāra pakāpes sakni.

Turklāt nevienlīdzības terminiem ir dažādas zīmes. Tad, paceļot to nepāra pakāpē, nevienādības jēga nemainās, bet, paaugstinot to līdz pāra pakāpei, vispārīgā gadījumā neko konkrētu par iegūtās nevienlīdzības nozīmi nevar pateikt. Faktiski, kad skaitlis tiek palielināts līdz nepāra pakāpei, skaitļa zīme tiek saglabāta, un tāpēc nevienlīdzības nozīme nemainās. Paaugstinot nevienlīdzību līdz vienmērīgai pakāpei, veidojas nevienlīdzība ar pozitīviem terminiem, un tās nozīme būs atkarīga no sākotnējās nevienlīdzības terminu absolūtajām vērtībām, nevienlīdzības ar tādu pašu nozīmi kā sākotnējā, nevienlīdzība pretējas nozīmes, un var iegūt pat vienlīdzību!

Ir lietderīgi pārbaudīt visu, kas ir teikts par pilnvaru nevienlīdzības paaugstināšanu, izmantojot šādu piemēru.

Piemērs 1. Paaugstiniet šādas nevienādības līdz norādītajai pakāpei, nepieciešamības gadījumā mainot nevienlīdzības zīmi pret pretējo vai vienādības zīmi.

a) 3 > 2 ar pakāpi 4; b) līdz 3. pakāpei;

c) līdz 3. pakāpei; d) līdz 2. pakāpei;

e) ar pakāpi 5; e) līdz 4. pakāpei;

g) 2 > -3 ar pakāpju 2; h) ar pakāpi 2,

6. No nevienlīdzības varam pāriet uz nevienādību starp ja nevienlīdzības nosacījumi ir abi pozitīvi vai abi negatīvi, tad starp to reciprokāliem ir pretējas nozīmes nevienādība:

Pierādījums. Ja a un b ir vienādas zīmes, tad to reizinājums ir pozitīvs. Sadaliet ar nevienlīdzību

i., kas bija jāiegūst.

Ja nevienādības jēdzieniem ir pretējas zīmes, tad nevienādībai starp to reciprokiem ir tāda pati nozīme, jo apgriezto vērtību zīmes ir tādas pašas kā pašu lielumu zīmes.

2. piemērs. Pārbaudiet pēdējo īpašību 6, izmantojot šādas nevienādības:

7. Nevienādību logaritmu var veikt tikai tādā gadījumā, ja nevienādību vārdi ir pozitīvi (negatīviem skaitļiem un nulles logaritmiem nav).

Ļaujiet . Tad būs

un kad būs

Šo apgalvojumu pareizība ir balstīta uz logaritmiskās funkcijas monotonitāti, kas palielinās, ja bāze, un samazinās ar

Tātad, pārņemot nevienādības, kas sastāv no pozitīviem vārdiem, logaritmu uz bāzi, kas ir lielāka par vienu, veidojas nevienādība ar tādu pašu nozīmi kā dotajai, un, ņemot logaritmu uz pozitīvu bāzi, kas ir mazāka par vienu, rodas nevienādība veidojas pretēja nozīme.

8. Ja, tad ja, bet, tad.

Tas uzreiz izriet no eksponenciālās funkcijas monotonitātes īpašībām (42. sadaļa), kas palielinās gadījumā un samazinās, ja

Saskaitot vienas nozīmes terminu nevienādības, veidojas tādas pašas nozīmes nevienādība kā datiem.

Pierādījums. Pierādīsim šo apgalvojumu divām nevienādībām, lai gan tas ir patiess jebkuram pievienoto nevienādību skaitam. Ļaujiet nevienlīdzībām būt dotas

Pēc definīcijas skaitļi būs pozitīvi; tad arī to summa izrādās pozitīva, t.i.

Grupējot terminus atšķirīgi, mēs iegūstam

un tāpēc

un tas bija tas, kas bija jāpierāda.

Par nevienādības, kas iegūta, saskaitot divas vai vairākas dažādas nozīmes nevienādības, nozīmi vispārīgā gadījumā nav iespējams pateikt.

10. Ja no vienas nevienādības atņemam pa vārdam citu pretējas nozīmes nevienādību, tad veidojas tādas pašas nozīmes nevienādība kā pirmajai.

Pierādījums. Dotas divas nevienādības ar dažādu nozīmi. Otro no tiem, atbilstoši neatgriezeniskuma īpašībai, var pārrakstīt šādi: d > c. Tagad pievienosim divas vienas un tās pašas nozīmes nevienādības un iegūsim nevienādību

tāda pati nozīme. No pēdējās mēs atrodam

un tas bija tas, kas bija jāpierāda.

Par nevienādības nozīmi, kas iegūta, no vienas nevienlīdzības atņemot citu tādas pašas nozīmes nevienādību, vispārīgā gadījumā nevar pateikt neko konkrētu.

Skaitliskās nevienādības un to īpašības

Prezentācijā detalizēti aprakstīts tēmu SKAITĻU NEvienlīdzību un SKAITĻU NEvienlīdzību ĪPAŠĪBAS saturs, kā arī sniegti piemēri skaitlisko nevienādību pierādīšanai. (Algebra 8. klase, autors Makarychev Yu.N.)

Skatīt dokumenta saturu
"Ciparu nevienādības un to īpašības"

Skaitliskās nevienādības

un to īpašības

matemātikas skolotājs pašvaldības izglītības iestādē "Upšinskas vidusskola"

Marijas Republikas Oršas apgabals

(Uz mācību grāmatu Yu.A.Makaričeva Algebra 8

Skaitliskās nevienādības

Divu vai vairāku skaitļu salīdzināšanas rezultāts tiek uzrakstīts nevienādību veidā, izmantojot zīmes  ,  , =

Mēs salīdzinām skaitļus, izmantojot dažādi noteikumi (metodes). Ir ērti, ja ir vispārināts salīdzināšanas metode, kas aptver visus gadījumus.

Definīcija:

Numurs A ir lielāka par b, ja starpība ( a – b) ir pozitīvs skaitlis.

Numurs A ir mazāks par b, ja starpība ( a – b) ir negatīvs skaitlis.

Numurs A ir vienāds ar skaitli b, ja starpība ( a – b) – vienāds ar nulli

Vispārīgs skaitļu salīdzināšanas veids

1. piemērs.

Vispārinātas skaitļu salīdzināšanas metodes pielietošana nevienādību pierādīšanai

Piemērs 2. Pierādīt, ka divu pozitīvu skaitļu vidējais aritmētiskais nav mazāks par šo skaitļu ģeometrisko vidējo.

Ja abas patiesās nevienlīdzības puses tiek reizinātas vai dalītas ar vienu un to pašu pozitīvo skaitli, jūs iegūstat patiesu nevienlīdzību.

Ja abas patiesās nevienlīdzības puses tiek reizinātas vai dalītas ar vienu un to pašu negatīvo skaitli un nevienlīdzības zīme ir apgriezta, jūs iegūstat patiesu nevienlīdzību.

P = 3a

Reiziniet ar 3 katras nevienādības abas puses

54,2 ∙ 3 a ∙ 3

162,6

Skaitlisko nevienādību īpašību pielietošana

Par nevienlīdzību mācījāmies skolā, kur izmantojam skaitliskās nevienādības. Šajā rakstā mēs aplūkosim skaitlisko nevienādību īpašības, no kurām tiek veidoti darba ar tām principi.

Nevienādību īpašības ir līdzīgas skaitlisko nevienādību īpašībām. Tiks apskatīti īpašumi, to pamatojums un sniegti piemēri.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Skaitliskās nevienādības: definīcija, piemēri

Ieviešot nevienlīdzību jēdzienu, mēs redzam, ka to definīciju nosaka ieraksta veids. Ir algebriskas izteiksmes, kurām ir zīmes ≠,< , >, ≤ , ≥ . Sniegsim definīciju.

1. definīcija

Skaitliskā nevienlīdzība sauc par nevienādību, kurā abām pusēm ir skaitļi un skaitliskās izteiksmes.

Mēs ņemam vērā skaitliskās nevienlīdzības skolā pēc naturālo skaitļu izpētes. Šādas salīdzināšanas darbības tiek pētītas soli pa solim. Sākotnējie izskatās kā 1< 5 , 5 + 7 >3. Pēc tam noteikumi tiek papildināti, un nevienādības kļūst sarežģītākas, tad iegūstam formas 5 2 3 > 5, 1 (2), ln 0 nevienādības. 73-17 2< 0 .

Skaitlisko nevienādību īpašības

Lai pareizi strādātu ar nevienādībām, jāizmanto skaitlisko nevienādību īpašības. Tie nāk no nevienlīdzības jēdziena. Šis jēdziens ir definēts, izmantojot paziņojumu, kas tiek apzīmēts kā “vairāk” vai “mazāk”.

2. definīcija

skaitlis a ir lielāks par b, ja starpība a - b ir pozitīvs skaitlis;
skaitlis a ir mazāks par b, ja starpība a - b ir negatīvs skaitlis;
skaitlis a ir vienāds ar b, ja starpība a - b ir nulle.

Definīcija tiek izmantota, risinot nevienlīdzības ar attiecībām “mazāks vai vienāds ar”, “lielāks par vai vienāds ar”. Mēs to saņemam

3. definīcija

a ir lielāks vai vienāds ar b, ja a - b ir nenegatīvs skaitlis;
a ir mazāks vai vienāds ar b, ja a - b ir nepozitīvs skaitlis.

Definīcijas tiks izmantotas, lai pierādītu skaitlisko nevienādību īpašības.

Pamatīpašības

Apskatīsim 3 galvenās nevienlīdzības. Zīmju izmantošana< и >raksturīgas šādas īpašības:

4. definīcija

antirefleksivitāte, kas saka, ka jebkurš skaitlis a no nevienādībām a< a и a >a tiek uzskatīts par nepareizu. Ir zināms, ka jebkuram a ir spēkā vienādība a − a = 0, tāpēc mēs iegūstam, ka a = a. Tātad a< a и a >a ir nepareizs. Piemēram, 3< 3 и - 4 14 15 >- 4 14 15 ir nepareizi.
asimetrija. Kad skaitļi a un b ir tādi, ka aa, un ja a > b, tad b< a . Используя определение отношений «больше», «меньше» обоснуем его. Так как в первой части имеем, что a a. Līdzīgā veidā tiek pierādīta tā otrā daļa.

1. piemērs

Piemēram, ņemot vērā nevienlīdzību 5< 11 имеем, что 11 >5, kas nozīmē, ka tā skaitliskā nevienādība − 0, 27 > − 1, 3 tiks pārrakstīta kā − 1, 3< − 0 , 27 .

Pirms pāriet uz nākamo īpašumu, ņemiet vērā, ka ar asimetrijas palīdzību jūs varat nolasīt nevienlīdzību no labās puses uz kreiso un otrādi. Tādā veidā skaitliskās nevienādības var modificēt un apmainīt.

5. definīcija

tranzitivitāte. Kad skaitļi a, b, c atbilst nosacījumam ab un b > c , tad a > c .

Pierādījumi 1

Pirmo apgalvojumu var pierādīt. Stāvoklis a< b и b < c означает, что a − b и b − c являются отрицательными, а разность а - с представляется в виде (a − b) + (b − c) , что является отрицательным числом, потому как имеем сумму двух отрицательных a − b и b − c . Отсюда получаем, что а - с является отрицательным числом, а значит, что a < c . Что и требовалось доказать.

Līdzīgā veidā tiek pierādīta arī otrā daļa ar tranzitivitātes īpašību.

2. piemērs

Mēs aplūkojam analizēto īpašību, izmantojot nevienādību piemēru − 1< 5 и 5 < 8 . Отсюда имеем, что − 1 < 8 . Аналогичным образом из неравенств 1 2 >1 8 un 1 8 > 1 32, no tā izriet, ka 1 2 > 1 32.

Skaitliskām nevienādībām, kuras rakstītas, izmantojot vājas nevienādības zīmes, ir refleksivitātes īpašība, jo a ≤ a un a ≥ a var būt vienādības a = a gadījumā. Tiem ir raksturīga asimetrija un tranzitivitāte.

6. definīcija

Nevienādībām, kuru rakstībā ir zīmes ≤ un ≥, ir šādas īpašības:

refleksivitāti a ≥ a un a ≤ a uzskata par patiesām nevienādībām;
antisimetrija, kad a ≤ b, tad b ≥ a, un ja a ≥ b, tad b ≤ a.
tranzitivitāte, kad a ≤ b un b ≤ c, tad a ≤ c, kā arī, ja a ≥ b un b ≥ c, tad a ≥ c.

Pierādīšana tiek veikta līdzīgi.

Citas svarīgas skaitlisko nevienādību īpašības

Lai papildinātu nevienādību pamatīpašības, tiek izmantoti rezultāti, kuriem ir praktiska nozīme. Metodes princips tiek izmantots, lai novērtētu izteiksmju vērtības, uz kurām balstās nevienādību risināšanas principi.

Šis punkts atklāj nevienlīdzību īpašības vienai stingras nevienlīdzības pazīmei. Tas pats tiek darīts ar tiem, kas nav stingri. Apskatīsim piemēru, formulējot nevienlīdzību, ja a< b и c являются любыми числами, то a + c < b + c . Справедливыми окажутся свойства:

ja a > b, tad a + c > b + c;
ja a ≤ b, tad a + c ≤ b + c;
ja a ≥ b, tad a + c ≥ b + c.

Ērtai prezentācijai sniedzam atbilstošo paziņojumu, kas tiek pierakstīts un sniegti pierādījumi, parādīti lietošanas piemēri.

7. definīcija

Skaitļa pievienošana vai aprēķināšana abām pusēm. Citiem vārdiem sakot, kad a un b atbilst nevienādībai a< b , тогда для любого такого числа имеет смысл неравенство вида a + c < b + c .

Pierādījumi 2

Lai to pierādītu, vienādojumam ir jāizpilda nosacījums a< b . Тогда (a + c) − (b + c) = a + c − b − c = a − b . Из условия a < b получим, что a − b < 0 . Значит, (a + c) − (b + c) < 0 , откуда a + c < b + c . Множество действительных числе могут быть изменены с помощью прибавления противоположного числа – с.

3. piemērs

Piemēram, ja mēs palielinām abas nevienādības 7 > 3 puses par 15, tad mēs iegūstam 7 + 15 > 3 + 15. Tas ir vienāds ar 22 > 18.

8. definīcija

Ja abas nevienādības puses reizina vai dala ar vienu un to pašu skaitli c, mēs iegūstam patiesu nevienādību. Ja ņemat negatīvu skaitli, zīme mainīsies uz pretējo. Citādi tas izskatās šādi: a un b nevienādība ir spēkā, kad ab·c.

Pierādījumi 3

Ja ir gadījums c > 0, ir jākonstruē starpība starp nevienādības kreiso un labo pusi. Tad mēs iegūstam, ka a · c − b · c = (a − b) · c . No nosacījuma a0, tad reizinājums (a − b) c būs negatīvs. No tā izriet, ka a · c − b · c< 0 , где a · c < b · c . Другая часть доказывается аналогичным образом.

Pierādot, dalīšanu ar veselu skaitli var aizstāt ar reizināšanu ar dotā apgriezto vērtību, tas ir, 1 c. Apskatīsim īpašuma piemēru noteiktiem skaitļiem.

4. piemērs

Ir atļautas abas 4. nevienlīdzības puses< 6 умножаем на положительное 0 , 5 , тогда получим неравенство вида − 4 · 0 , 5 < 6 · 0 , 5 , где − 2 < 3 . Когда обе части делим на - 4 , то необходимо изменить знак неравенства на противоположный. отсюда имеем, что неравенство примет вид − 8: (− 4) ≥ 12: (− 4) , где 2 ≥ − 3 .

Tagad formulēsim šādus divus rezultātus, kas tiek izmantoti nevienādību risināšanā:

Secinājums 1. Mainot skaitliskās nevienādības daļu zīmes, pati nevienlīdzības zīme mainās uz pretējo, kā− b. Tas atbilst noteikumam abas puses reizināt ar -1. Tas ir piemērojams pārejai. Piemēram, – 6< − 2 , то 6 > 2 .
Secinājums 2. Nomainot savstarpējie skaitļi skaitliskās nevienādības daļas pretējai, mainās arī tās zīme, un nevienlīdzība paliek patiesa. No tā mēs secinām, ka a un b ir pozitīvi skaitļi, a1b .

Sadalot abas nevienlīdzības puses a 3 2 ir patiesa, mums ir, ka 1 5< 2 3 . При отрицательных a и b c условием, что a 1b var būt nepareizs.

5. piemērs

Piemēram, -2< 3 , однако, - 1 2 >1 3 ir nepareizs vienādojums.

Visus punktus vieno fakts, ka darbības ar nevienlīdzības daļām dod pareizu nevienlīdzību iznākumā. Apskatīsim īpašības, kurās sākotnēji ir vairākas skaitliskās nevienādības, un tās rezultāts tiek iegūts, saskaitot vai reizinot tās daļas.

9. definīcija

Kad skaitļi a, b, c, d ir derīgi nevienādībām a< b и c < d , тогда верным считается a + c < b + d . Свойство можно формировать таким образом: почленно складывать числа частей неравенства.

4. pierādījums

Pierādīsim, ka (a + c) − (b + d) ir negatīvs skaitlis, tad iegūstam, ka a + c< b + d . Из условия имеем, что a < b и c < d . Выше доказанное свойство позволяет прибавлять к обеим частям одинаковое число. Тогда увеличим неравенство a < b на число b , при c < d , получим неравенства вида a + c < b + c и b + c < b + d . Полученное неравенство говорит о том, что ему присуще свойство транзитивности.

Īpašums tiek izmantots trīs, četru vai vairāku skaitlisku nevienādību pa vienam saskaitīšanai. Skaitļi a 1 , a 2 , … , a n un b 1 , b 2 , … , b n apmierina nevienādības a 1< b 1 , a 2 < b 2 , … , a n < b n , можно доказать метод математической индукции, получив a 1 + a 2 + … + a n < b 1 + b 2 + … + b n .

6. piemērs

Piemēram, dotas trīs vienas un tās pašas zīmes skaitliskās nevienādības − 5< − 2 , − 1 < 12 и 3 < 4 . Свойство позволяет определять то, что − 5 + (− 1) + 3 < − 2 + 12 + 4 является верным.

10. definīcija

Termiski reizinot abas puses, tiek iegūts pozitīvs skaitlis. Kad< b и c < d , где a , b , c и d являются положительными числами, тогда неравенство вида a · c < b · d считается справедливым.

Pierādījumi 5

Lai to pierādītu, mums ir vajadzīgas abas nevienlīdzības puses a< b умножить на число с, а обе части c < d на b . В итоге получим, что неравенства a · c < b · c и b · c < b · d верные, откуда получим свойство транизитивности a · c < b · d .

Šī īpašība tiek uzskatīta par derīgu skaitļu skaitam, ar kuriem jāreizina abas nevienādības puses. Tad a 1 , a 2 , … , a n Un b 1, b 2, …, b n ir pozitīvi skaitļi, kur 1< b 1 , a 2 < b 2 , … , a n < b n , то a 1 · a 2 · … · a n< b 1 · b 2 · … · b n .

Ņemiet vērā, ka, rakstot nevienādības, ir nepozitīvi skaitļi, tad to reizināšana pa jēdzieniem noved pie nepareizām nevienādībām.

7. piemērs

Piemēram, nevienlīdzība 1< 3 и − 5 < − 4 являются верными, а почленное их умножение даст результат в виде 1 · (− 5) < 3 · (− 4) , считается, что − 5 < − 12 это является неверным неравенством.

Sekas: Termiski nevienādību reizināšana a< b с положительными с a и b , причем получается a n < b n .

Skaitlisko nevienādību īpašības

Apskatīsim šādas skaitlisko nevienādību īpašības.

a< a , a >a - nepareizas nevienlīdzības,
a ≤ a, a ≥ a ir patiesās nevienādības.
Jaa - antisimetrija.
Ja< b и b < c то a < c - транзитивность.
Ja< b и c - любоое число, то a + b < b + c .
Jab·c.

Secinājums 1: ja-b.

Secinājums 2: ja a un b ir pozitīvi skaitļi un a1b .

Ja 1< b 1 , a 2 < b 2 , . . . , a n < b n , то a 1 + a 2 + . . . + a n < b 1 + b 2 + . . . + b n .
Ja 1 , 2 , . . . , a n , b 1 , b 2 , . . . , b n ir pozitīvi skaitļi un a 1< b 1 , a 2 < b 2 , . . . , a n < b n , то a 1 · a 2 · . . . · a n < b 1 · b 2 · . . . b n .

Secinājums 1: Ja a< b , a Un b ir pozitīvi skaitļi, tad n< b n .

Ja pamanāt tekstā kļūdu, lūdzu, iezīmējiet to un nospiediet Ctrl+Enter