Løs et ligningssystem ved hjælp af online substitution. Løsning af ligningssystemer ved hjælp af additionsmetoden

Algebraisk additionsmetode

Du kan løse et ligningssystem med to ubekendte forskellige veje- grafisk metode eller variabel erstatningsmetode.

I denne lektion vil vi stifte bekendtskab med en anden metode til løsning af systemer, som du sikkert vil kunne lide - dette er metoden til algebraisk addition.

Hvor kom ideen om at sætte noget i systemer fra? Ved løsning af systemer hovedproblem er tilstedeværelsen af ​​to variable, fordi vi ikke ved, hvordan man løser ligninger med to variable. Det betyder, at en af ​​dem skal udelukkes på en eller anden lovlig måde. Og sådanne legitime måder er matematiske regler og egenskaber.

En af disse egenskaber er: summen af ​​modsatte tal er nul. Det betyder, at hvis en af ​​variablerne har modsatte koefficienter, så vil deres sum være lig nul, og vi vil være i stand til at udelukke denne variabel fra ligningen. Det er klart, at vi ikke har ret til kun at tilføje termer med den variabel, vi har brug for. Du skal tilføje hele ligningerne, dvs. tilføj lignende udtryk separat i venstre side og derefter til højre. Som et resultat får vi en ny ligning, der kun indeholder én variabel. Lad os se på, hvad der er blevet sagt med specifikke eksempler.

Vi ser, at der i den første ligning er en variabel y, og i den anden er der det modsatte tal -y. Det betyder, at denne ligning kan løses ved addition.

En af ligningerne forbliver som den er. Enhver du bedst kan lide.

Men den anden ligning vil blive opnået ved at tilføje disse to ligninger led for led. De der. Vi tilføjer 3x med 2x, vi tilføjer y med -y, vi tilføjer 8 med 7.

Vi får et ligningssystem

Den anden ligning i dette system er en simpel ligning med én variabel. Fra den finder vi x = 3. Ved at indsætte den fundne værdi i den første ligning finder vi y = -1.

Svar: (3; - 1).

Eksempel design:

Løs et ligningssystem ved hjælp af den algebraiske additionsmetode

Der er ingen variable med modsatte koefficienter i dette system. Men vi ved, at begge sider af ligningen kan ganges med det samme tal. Lad os gange den første ligning i systemet med 2.

Så vil den første ligning have formen:

Nu ser vi, at variablen x har modsatte koefficienter. Det betyder, at vi vil gøre det samme som i det første eksempel: vi vil lade en af ​​ligningerne være uændret. For eksempel, 2y + 2x = 10. Og vi får den anden ved addition.

Nu har vi et ligningssystem:

Vi finder let ud fra den anden ligning y = 1, og derefter fra den første ligning x = 4.

Eksempel design:

Lad os opsummere:

Vi lærte at løse systemer af to lineære ligninger med to ubekendte ved hjælp af den algebraiske additionsmetode. Således kender vi nu tre hovedmetoder til at løse sådanne systemer: grafisk, variabel erstatningsmetode og additionsmetode. Næsten ethvert system kan løses ved hjælp af disse metoder. I mere svære sager En kombination af disse teknikker anvendes.

Liste over brugt litteratur:

1. Mordkovich A.G., Algebra 7. klasse i 2 dele, Del 1, Lærebog for almene uddannelsesinstitutioner / A.G. Mordkovich. – 10. udgave, revideret – Moskva, “Mnemosyne”, 2007.
2. Mordkovich A.G., Algebra 7. klasse i 2 dele, Del 2, Opgavebog for uddannelsesinstitutioner / [A.G. Mordkovich og andre]; redigeret af A.G. Mordkovich - 10. udgave, revideret - Moskva, "Mnemosyne", 2007.
3. HENDE. Tulchinskaya, Algebra 7. klasse. Blitz-undersøgelse: en manual for studerende ved almene uddannelsesinstitutioner, 4. udgave, revideret og udvidet, Moskva, Mnemosyne, 2008.
4. Alexandrova L.A., Algebra 7. klasse. Tematisk testarbejde V ny form for studerende fra almene uddannelsesinstitutioner, redigeret af A.G. Mordkovich, Moskva, "Mnemosyne", 2011.
5. Alexandrova L.A. Algebra 7 klasse. Selvstændigt arbejde for studerende ved almene uddannelsesinstitutioner, redigeret af A.G. Mordkovich - 6. udgave, stereotypisk, Moskva, "Mnemosyne", 2010.

Lad os analysere to typer af løsninger til ligningssystemer:

1. Løsning af systemet ved hjælp af substitutionsmetoden.
2. Løsning af systemet ved led-for-led addition (subtraktion) af systemligningerne.

For at løse ligningssystemet efter substitutionsmetode du skal følge en simpel algoritme:
1. Express. Fra enhver ligning udtrykker vi én variabel.
2. Stedfortræder. Vi erstatter den resulterende værdi i en anden ligning i stedet for den udtrykte variabel.
3. Løs den resulterende ligning med én variabel. Vi finder en løsning på systemet.

At løse system ved term-for-term addition (subtraktion) metode behøver:
1. Vælg en variabel, som vi vil lave identiske koefficienter for.
2. Vi adderer eller subtraherer ligninger, hvilket resulterer i en ligning med én variabel.
3. Løs den resulterende lineære ligning. Vi finder en løsning på systemet.

Løsningen på systemet er funktionsgrafernes skæringspunkter.

Lad os overveje detaljeret løsningen af ​​systemer ved hjælp af eksempler.

Eksempel #1:

Lad os løse med substitutionsmetoden

Løsning af et ligningssystem ved hjælp af substitutionsmetoden

2x+5y=1 (1 ligning)
x-10y=3 (2. ligning)

1. Express
Det kan ses, at der i den anden ligning er en variabel x med koefficienten 1, hvilket betyder, at det er lettest at udtrykke variablen x fra den anden ligning.
x=3+10y

2.Når vi har udtrykt det, indsætter vi 3+10y i den første ligning i stedet for variablen x.
2(3+10y)+5y=1

3. Løs den resulterende ligning med én variabel.
2(3+10y)+5y=1 (åbn parenteserne)
6+20år+5år=1
25 år=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2

Løsningen til ligningssystemet er grafernes skæringspunkter, derfor skal vi finde x og y, fordi skæringspunktet består af x og y Lad os finde x, i det første punkt, hvor vi udtrykte det, erstatter vi y der .
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1

Det er sædvanligt at skrive point i første omgang skriver vi variablen x, og for det andet variablen y.
Svar: (1; -0,2)

Eksempel #2:

Lad os løse ved hjælp af term-for-term addition (subtraktion) metoden.

Løsning af et ligningssystem ved hjælp af additionsmetoden

3x-2y=1 (1 ligning)
2x-3y=-10 (2. ligning)

1. Vi vælger en variabel, lad os sige, at vi vælger x. I den første ligning har variablen x en koefficient på 3, i den anden - 2. Vi skal lave koefficienterne ens, for dette har vi ret til at gange ligningerne eller dividere med et hvilket som helst tal. Vi ganger den første ligning med 2 og den anden med 3 og får en total koefficient på 6.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. Træk den anden fra den første ligning for at slippe af med variablen x Løs den lineære ligning.
__6x-4y=2

5y=32 | :5
y=6,4

3. Find x. Vi erstatter det fundne y i enhver af ligningerne, lad os sige i den første ligning.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6

Skæringspunktet vil være x=4,6; y=6,4
Svar: (4.6; 6.4)

Vil du forberede dig til eksamen gratis? Underviser online gratis. Det siger du ikke.

Ved hjælp af additionsmetoden tilføjes et systems ligninger led for led, og en eller begge (flere) ligninger kan ganges med et hvilket som helst tal. Som følge heraf kommer de til en ækvivalent SLE, hvor der i en af ​​ligningerne kun er én variabel.

At løse systemet metode til term-for-term addition (subtraktion) følg disse trin:

1. Vælg en variabel, som de samme koefficienter vil blive lavet for.

2. Nu skal du tilføje eller trække ligningerne fra og få en ligning med én variabel.

Systemløsning- disse er skæringspunkterne for funktionsgraferne.

Lad os se på eksempler.

Eksempel 1.

Givet system:

Efter at have analyseret dette system, kan du bemærke, at koefficienterne for variablen er lige store og forskellige i fortegn (-1 og 1). I dette tilfælde kan ligningerne nemt tilføjes led for led:

Vi udfører handlingerne cirklet med rødt i vores sind.

Resultatet af term-for-term addition var forsvinden af ​​variablen y. Det er netop meningen med metoden - at slippe af med en af ​​variablerne.

-4 - y + 5 = 0 → y = 1,

I systemform ser løsningen nogenlunde sådan ud:

Svar: x = -4 , y = 1.

Eksempel 2.

Givet system:

I dette eksempel kan du bruge "skole"-metoden, men det har en ret stor ulempe - når du udtrykker en variabel fra en ligning, får du en løsning i almindelige brøker. Men at løse brøker tager meget tid, og sandsynligheden for at lave fejl stiger.

Derfor er det bedre at bruge led-for-led addition (subtraktion) af ligninger. Lad os analysere koefficienterne for de tilsvarende variable:

Du skal finde et tal, der kan divideres med 3 og på 4 , og det er nødvendigt, at dette antal er det mindst mulige. Det her mindste fælles multiplum. Hvis det er svært for dig at vælge passende antal, så kan du gange koefficienterne: .

Næste skridt:

Vi gange den 1. ligning med ,

Vi ganger den 3. ligning med ,

Med denne video begynder jeg en række lektioner dedikeret til ligningssystemer. I dag vil vi tale om løsning af systemer af lineære ligninger additionsmetode- dette er en af ​​de mest enkle måder, men samtidig en af ​​de mest effektive.

Tilsætningsmetoden består af tre enkle trin:

1. Se på systemet og vælg en variabel, der har identiske (eller modsatte) koefficienter i hver ligning;
2. Udfør algebraisk subtraktion (for modsatte tal - addition) af ligninger fra hinanden, og bring derefter lignende udtryk;
3. Løs den nye ligning opnået efter andet trin.

Hvis alt er gjort korrekt, vil vi ved udgangen få en enkelt ligning med én variabel- det bliver ikke svært at løse det. Så er der kun tilbage at erstatte den fundne rod i det originale system og få det endelige svar.

Men i praksis er alt ikke så enkelt. Det er der flere grunde til:

• Løsning af ligninger ved hjælp af additionsmetoden indebærer, at alle linjer skal indeholde variable med lige store/modsatte koefficienter. Hvad skal man gøre, hvis dette krav ikke er opfyldt?
• Ikke altid, efter at have lagt til/fratrukket ligninger på den angivne måde, får vi en smuk konstruktion, der let kan løses. Er det muligt på en eller anden måde at forenkle beregningerne og fremskynde beregningerne?

For at få svaret på disse spørgsmål og samtidig forstå et par ekstra finesser, som mange elever fejler, kan du se min videolektion:

Med denne lektion begynder vi en række forelæsninger om ligningssystemer. Og vi vil tage udgangspunkt i den enkleste af dem, nemlig dem, der indeholder to ligninger og to variable. Hver af dem vil være lineære.

Systemer er 7. klasses materiale, men denne lektion vil også være nyttig for gymnasieelever, der ønsker at opfriske deres viden om dette emne.

Generelt er der to metoder til at løse sådanne systemer:

1. Tilføjelsesmetode;
2. En metode til at udtrykke en variabel i form af en anden.

I dag vil vi beskæftige os med den første metode - vi vil bruge metoden til subtraktion og addition. Men for at gøre dette skal du forstå følgende kendsgerning: Når du har to eller flere ligninger, kan du tage to af dem og tilføje dem til hinanden. De tilføjes medlem for medlem, dvs. "X'er" føjes til "X'er" og lignende angives, "Y'er" med "Y'er" ligner igen, og det, der er til højre for lighedstegnet, føjes også til hinanden, og lignende er også givet der .

Resultaterne af sådanne manipulationer vil være en ny ligning, som, hvis den har rødder, helt sikkert vil være blandt rødderne til den oprindelige ligning. Derfor er vores opgave at foretage subtraktionen eller additionen på en sådan måde, at enten $x$ eller $y$ forsvinder.

Hvordan man opnår dette, og hvilket værktøj der skal bruges til dette - vi taler om dette nu.

Løsning af nemme problemer ved hjælp af addition

Så vi lærer at bruge additionsmetoden ved at bruge eksemplet med to simple udtryk.

Opgave nr. 1

\[\venstre\( \begin(align)& 5x-4y=22 \\& 7x+4y=2 \\\end(align) \right.\]

Bemærk, at $y$ har en koefficient på $-4$ i den første ligning og $+4$ i den anden. De er indbyrdes modsatte, så det er logisk at antage, at hvis vi lægger dem sammen, så vil "spillene" i den resulterende sum blive gensidigt ødelagt. Tilføj det og få:

Lad os løse den enkleste konstruktion:

Fantastisk, vi fandt "x". Hvad skal vi gøre med det nu? Vi har ret til at erstatte det i enhver af ligningerne. Lad os erstatte i det første:

\[-4y=12\venstre| :\left(-4 \right) \right.\]

Svar: $\left(2;-3 \right)$.

Opgave nr. 2

\[\venstre\( \begin(align)& -6x+y=21 \\& 6x-11y=-51 \\\end(align) \right.\]

Situationen her er fuldstændig ens, kun med "X'er". Lad os lægge dem sammen:

Vi har den enkleste lineære ligning, lad os løse den:

Lad os nu finde $x$:

Svar: $\left(-3;3 \right)$.

Vigtige punkter

Så vi har netop løst to simple systemer af lineære ligninger ved hjælp af additionsmetoden. Nøglepunkter igen:

1. Hvis der er modsatte koefficienter for en af ​​variablerne, så er det nødvendigt at tilføje alle variablerne i ligningen. I dette tilfælde vil en af ​​dem blive ødelagt.
2. Vi erstatter den fundne variabel i en af ​​systemligningerne for at finde den anden.
3. Den endelige svarpost kan præsenteres på forskellige måder. For eksempel sådan - $x=...,y=...$, eller i form af koordinater af punkter - $\left(...;... \right)$. Den anden mulighed er at foretrække. Det vigtigste at huske er, at den første koordinat er $x$, og den anden er $y$.
4. Reglen om at skrive svaret i form af punktkoordinater er ikke altid gældende. For eksempel kan den ikke bruges, når variablerne ikke er $x$ og $y$, men for eksempel $a$ og $b$.

I de følgende opgaver vil vi overveje subtraktionsteknikken, når koefficienterne ikke er modsatte.

Løsning af lette problemer ved hjælp af subtraktionsmetoden

Opgave nr. 1

\[\venstre\( \begin(align)& 10x-3y=5 \\& -6x-3y=-27 \\\end(align) \right.\]

Bemærk, at der ikke er nogen modsatte koefficienter her, men der er identiske. Derfor trækker vi den anden fra den første ligning:

Nu erstatter vi værdien $x$ i en hvilken som helst af systemligningerne. Lad os gå først:

Svar: $\left(2;5\right)$.

Opgave nr. 2

\[\venstre\( \begin(align)& 5x+4y=-22 \\& 5x-2y=-4 \\\end(align) \right.\]

Vi ser igen den samme koefficient på $5$ for $x$ i første og anden ligning. Derfor er det logisk at antage, at du skal trække den anden fra den første ligning:

Vi har beregnet én variabel. Lad os nu finde den anden, for eksempel ved at erstatte værdien $y$ i den anden konstruktion:

Svar: $\left(-3;-2 \right)$.

Nuancer af løsningen

Så hvad ser vi? Grundlæggende er ordningen ikke forskellig fra løsningen af ​​tidligere systemer. Den eneste forskel er, at vi ikke tilføjer ligninger, men trækker dem fra. Vi laver algebraisk subtraktion.

Med andre ord, så snart du ser et system bestående af to ligninger i to ubekendte, er det første du skal se på koefficienterne. Hvis de er ens overalt, trækkes ligningerne fra, og hvis de er modsatte, bruges additionsmetoden. Dette gøres altid, så en af ​​dem forsvinder, og i den endelige ligning, som bliver tilbage efter subtraktion, er der kun én variabel tilbage.

Det er selvfølgelig ikke alt. Nu vil vi overveje systemer, hvor ligningerne generelt er inkonsistente. De der. Der er ingen variable i dem, der enten er ens eller modsatte. I dette tilfælde, for at løse sådanne systemer, bruges en yderligere teknik, nemlig at multiplicere hver af ligningerne med en speciel koefficient. Hvordan man finder det, og hvordan man løser sådanne systemer generelt, vi vil tale om dette nu.

Løsning af problemer ved at gange med en koefficient

Eksempel #1

\[\venstre\( \begin(align)& 5x-9y=38 \\& 3x+2y=8 \\\end(align) \right.\]

Vi ser, at hverken for $x$ eller for $y$ er koefficienterne ikke kun indbyrdes modsatte, men heller ikke på nogen måde korrelerede med den anden ligning. Disse koefficienter vil ikke forsvinde på nogen måde, selvom vi adderer eller trækker ligningerne fra hinanden. Derfor er det nødvendigt at anvende multiplikation. Lad os prøve at slippe af med variablen $y$. For at gøre dette multiplicerer vi den første ligning med koefficienten $y$ fra den anden ligning, og den anden ligning med koefficienten $y$ fra den første ligning uden at røre tegnet. Vi formerer os og får et nyt system:

\[\venstre\( \begin(align)& 10x-18y=76 \\& 27x+18y=72 \\\end(align) \right.\]

Lad os se på det: ved $y$ er koefficienterne modsatte. I en sådan situation er det nødvendigt at bruge additionsmetoden. Lad os tilføje:

Nu skal vi finde $y$. For at gøre dette skal du erstatte $x$ i det første udtryk:

\[-9y=18\venstre| :\left(-9 \right) \right.\]

Svar: $\left(4;-2 \right)$.

Eksempel nr. 2

\[\venstre\( \begin(align)& 11x+4y=-18 \\& 13x-6y=-32 \\\end(align) \right.\]

Igen er koefficienterne for ingen af ​​variablerne konsistente. Lad os gange med koefficienterne for $y$:

\[\left\( \begin(align)& 11x+4y=-18\left| 6 \right. \\& 13x-6y=-32\left| 4 \right. \\\end(align) \right .\]

\[\venstre\( \begin(align)& 66x+24y=-108 \\& 52x-24y=-128 \\\end(align) \right.\]

Vores nyt system er ækvivalent med den foregående, men koefficienterne for $y$ er indbyrdes modsatte, og derfor er det let at anvende additionsmetoden her:

Lad os nu finde $y$ ved at erstatte $x$ i den første ligning:

Svar: $\left(-2;1 \right)$.

Nuancer af løsningen

Nøglereglen her er følgende: vi gange altid kun med positive tal- dette vil spare dig for dumme og stødende fejl i forbindelse med at skifte skilte. Generelt er løsningsskemaet ret simpelt:

1. Vi ser på systemet og analyserer hver ligning.
2. Hvis vi ser, at hverken $y$ eller $x$ er koefficienterne konsistente, dvs. de er hverken ens eller modsatte, så gør vi følgende: vi vælger den variabel, som vi skal af med, og så ser vi på koefficienterne for disse ligninger. Hvis vi multiplicerer den første ligning med koefficienten fra den anden, og den anden tilsvarende gange med koefficienten fra den første, så får vi i sidste ende et system, der er fuldstændig ækvivalent med det foregående, og koefficienterne for $ y$ vil være konsekvent. Alle vores handlinger eller transformationer er kun rettet mod at få én variabel i én ligning.
3. Vi finder én variabel.
4. Vi erstatter den fundne variabel i en af ​​systemets to ligninger og finder den anden.
5. Vi skriver svaret i form af koordinater af punkter, hvis vi har variable $x$ og $y$.

Men selv en sådan simpel algoritme har sine egne finesser, for eksempel kan koefficienterne for $x$ eller $y$ være brøker og andre "grimme" tal. Vi vil nu overveje disse sager separat, for i dem kan du handle noget anderledes end efter standardalgoritmen.

Løsning af problemer med brøker

Eksempel #1

\[\venstre\( \begin(align)& 4m-3n=32 \\& 0,8m+2,5n=-6 \\\end(align) \right.\]

Læg først mærke til, at den anden ligning indeholder brøker. Men bemærk, at du kan dividere $4$ med $0,8$. Vi modtager $5$. Lad os gange den anden ligning med $5$:

\[\venstre\( \begin(align)& 4m-3n=32 \\& 4m+12,5m=-30 \\\end(align) \right.\]

Vi trækker ligningerne fra hinanden:

Vi fandt $n$, lad os nu tælle $m$:

Svar: $n=-4;m=5$

Eksempel nr. 2

\[\left\( \begin(align)& 2,5p+1,5k=-13\left| 4 \right. \\& 2p-5k=2\left| 5 \right. \\\end(align )\ højre.\]

Her er der som i det tidligere system brøkkoefficienter, men for ingen af ​​variablerne passer koefficienterne et helt antal gange ind i hinanden. Derfor bruger vi standardalgoritmen. Slip af med $p$:

\[\venstre\( \begin(align)& 5p+3k=-26 \\& 5p-12.5k=5 \\\end(align) \right.\]

Vi bruger subtraktionsmetoden:

Lad os finde $p$ ved at erstatte $k$ i den anden konstruktion:

Svar: $p=-4;k=-2$.

Nuancer af løsningen

Det er alt sammen optimering. I den første ligning gangede vi ikke med noget som helst, men gangede den anden ligning med $5$. Som et resultat modtog vi en konsistent og endda identisk ligning for den første variabel. I det andet system fulgte vi en standardalgoritme.

Men hvordan finder man de tal, man multiplicerer ligninger med? Når alt kommer til alt, hvis vi ganger med brøker, får vi nye brøker. Derfor skal brøkerne ganges med et tal, der ville give et nyt heltal, og derefter skal variablerne ganges med koefficienter, efter standardalgoritmen.

Afslutningsvis vil jeg gerne henlede din opmærksomhed på formatet for registrering af svaret. Som jeg allerede har sagt, da vi her ikke har $x$ og $y$, men andre værdier, bruger vi en ikke-standard notation af formen:

Løsning af komplekse ligningssystemer

Som en sidste bemærkning til dagens video tutorial, lad os se på et par virkelig komplekse systemer. Deres kompleksitet vil bestå i, at de vil have variabler til både venstre og højre. Derfor bliver vi nødt til at anvende forbehandling for at løse dem.

System nr. 1

\[\venstre\( \begin(align)& 3\left(2x-y \right)+5=-2\left(x+3y \right)+4 \\& 6\left(y+1 \right )-1=5\left(2x-1 \right)+8 \\\end(align) \right.\]

Hver ligning har en vis kompleksitet. Lad os derfor behandle hvert udtryk som med en regulær lineær konstruktion.

I alt får vi det endelige system, som svarer til det originale:

\[\venstre\( \begin(align)& 8x+3y=-1 \\& -10x+6y=-2 \\\end(align) \right.\]

Lad os se på koefficienterne for $y$: $3$ passer ind i $6$ to gange, så lad os gange den første ligning med $2$:

\[\venstre\( \begin(align)& 16x+6y=-2 \\& -10+6y=-2 \\\end(align) \right.\]

Koefficienterne for $y$ er nu ens, så vi trækker den anden fra den første ligning: $$

Lad os nu finde $y$:

Svar: $\left(0;-\frac(1)(3) \right)$

System nr. 2

\[\venstre\( \begin(align)& 4\left(a-3b \right)-2a=3\left(b+4 \right)-11 \\& -3\left(b-2a \right )-12=2\venstre(a-5 \right)+b \\\end(align) \right.\]

Lad os transformere det første udtryk:

Lad os beskæftige os med den anden:

\[-3\venstre(b-2a \højre)-12=2\venstre(a-5 \højre)+b\]

\[-3b+6a-12=2a-10+b\]

\[-3b+6a-2a-b=-10+12\]

I alt vil vores indledende system have følgende form:

\[\venstre\( \begin(align)& 2a-15b=1 \\& 4a-4b=2 \\\end(align) \right.\]

Ser vi på koefficienterne for $a$, ser vi, at den første ligning skal ganges med $2$:

\[\venstre\( \begin(align)& 4a-30b=2 \\& 4a-4b=2 \\\end(align) \right.\]

Træk den anden fra den første konstruktion:

Lad os nu finde $a$:

Svar: $\left(a=\frac(1)(2);b=0 \right)$.

Det er alt. Jeg håber, at denne videovejledning vil hjælpe dig med at forstå dette vanskelige emne, nemlig at løse systemer med simple lineære ligninger. Der vil være mange flere lektioner om dette emne: vi vil se på flere komplekse eksempler, hvor der vil være flere variable, og ligningerne selv vil allerede være ikke-lineære. Vi ses!

Et system af lineære ligninger med to ukendte er to eller flere lineære ligninger, for hvilke det er nødvendigt at finde dem alle generelle løsninger. Vi vil betragte systemer med to lineære ligninger i to ubekendte. Generel form et system af to lineære ligninger med to ubekendte er præsenteret i figuren nedenfor:

(a1*x + b1*y = c1,
(a2*x + b2*y = c2

Her er x og y ukendte variable, a1, a2, b1, b2, c1, c2 er nogle reelle tal. En løsning til et system med to lineære ligninger i to ubekendte er et talpar (x,y), sådan at hvis vi erstatter disse tal i systemets ligninger, så bliver hver af systemets ligninger til en sand lighed. Der er flere måder at løse et system af lineære ligninger på. Lad os overveje en af ​​måderne at løse et system af lineære ligninger på, nemlig additionsmetoden.

Algoritme til løsning ved addition

En algoritme til løsning af et system af lineære ligninger med to ubekendte ved hjælp af additionsmetoden.

1. Udlign om nødvendigt koefficienterne for en af ​​de ukendte variable i begge ligninger ved hjælp af ækvivalente transformationer.

2. Ved at addere eller trække de resulterende ligninger, fås en lineær ligning med en ukendt

3. Løs den resulterende ligning med en ukendt og find en af ​​variablerne.

4. Erstat det resulterende udtryk i en af ​​systemets to ligninger og løs denne ligning, og opnå den anden variabel.

5. Tjek løsningen.

Et eksempel på en løsning, der bruger tilsætningsmetoden

For større klarhed, lad os løse følgende system af lineære ligninger med to ubekendte ved hjælp af additionsmetoden:

(3*x + 2*y = 10;
(5*x + 3*y = 12;

Da ingen af ​​variablerne har identiske koefficienter, udligner vi koefficienterne for variablen y. For at gøre dette skal du gange den første ligning med tre og den anden ligning med to.

(3*x+2*y=10 |*3
(5*x + 3*y = 12 |*2

Vi får følgende ligningssystem:

(9*x+6*y = 30;
(10*x+6*y=24;

Nu trækker vi den første fra den anden ligning. Vi præsenterer lignende udtryk og løser den resulterende lineære ligning.

10*x+6*y - (9*x+6*y) = 24-30; x=-6;

Vi erstatter den resulterende værdi i den første ligning fra vores oprindelige system og løser den resulterende ligning.

(3*(-6) + 2*y=10;
(2*y=28; y=14;

Resultatet er et talpar x=6 og y=14. Vi tjekker. Lad os lave en udskiftning.

(3*x + 2*y = 10;
(5*x + 3*y = 12;

{3*(-6) + 2*(14) = 10;
{5*(-6) + 3*(14) = 12;

{10 = 10;
{12=12;

Som du kan se, fik vi to korrekte ligheder, derfor fandt vi den rigtige løsning.