Hvad er volumen af en kugle? Kuglevolumen

Bolden er geometrisk krop rotation, dannet ved at rotere en cirkel eller halvcirkel omkring dens diameter. En bold er også et rum afgrænset af en sfærisk overflade. Der er mange rigtige sfæriske objekter og relaterede problemer, der kræver at bestemme volumenet af en kugle.

Bold og kugle

Cirklen er den ældste geometriske figur, og gamle videnskabsmænd gav den hellig betydning. Cirklen er et symbol på uendelig tid og rum, et symbol på universet og eksistensen. Ifølge Pythagoras er cirklen den smukkeste af figurer. I det tredimensionelle rum bliver en cirkel til en kugle, lige så ideel, kosmisk og smuk som en cirkel.

Kugle betyder "bold" på oldgræsk. En kugle er en overflade dannet af et uendeligt antal punkter lige langt fra midten af figuren. Rummet afgrænset af en kugle er en kugle. En bold er en ideel geometrisk figur, hvis form mange rigtige genstande tager. For eksempel i det virkelige liv kanonkugler, lejer eller kugler har form som en kugle, i naturen - vanddråber, trækroner eller bær, i rummet - stjerner, meteorer eller planeter.

Kuglevolumen

At bestemme volumenet af en sfærisk figur er en vanskelig opgave, fordi et sådant geometrisk legeme ikke kan opdeles i terninger eller trekantede prismer, hvis volumenformler allerede er kendte. Moderne videnskab giver dig mulighed for at beregne rumfanget af en kugle vha bestemt integral, men hvordan var formlen for volumen i Oldtidens Grækenland når ingen nogensinde havde hørt om integraler? Archimedes beregnede rumfanget af en kugle ved hjælp af en kegle og en cylinder, da formlerne for volumen af disse figurer allerede var blevet bestemt af den antikke græske filosof og matematiker Demokrit.

Archimedes repræsenterede en halv kugle ved hjælp af identiske kegler og cylindre, hvor radius af hver figur er lig med dens højde R = h. Den gamle videnskabsmand forestillede sig keglen og cylinderen opdelt i et uendeligt antal små cylindre. Archimedes indså, at hvis han trækker rumfanget af keglen Vk fra volumenet af cylinderen Vc, opnår han volumenet af en halvkugle Vsh:

0,5 Vsh = Vc − Vk

Rumfanget af en kegle beregnes ved hjælp af en simpel formel:

Vk = 1/3 × Så × h,

men ved at så i dette tilfælde er arealet af cirklen, og h = R, så omdannes formlen til:

Vk = 1/3 × pi × R × R 2 = 1/3 pi × R 3

Rumfanget af cylinderen beregnes ved formlen:

Vc = pi × R 2 × h,

men hvis vi antager, at cylinderens højde er lig med dens radius, får vi:

Vc = pi x R3.

Ved at bruge disse formler opnåede Archimedes:

0,5 Vsh = pi × R 3 - 1/3 pi × R 3 eller Vsh = 4/3 pi × R 3

Den moderne definition af formlen for en kugles volumen er afledt af integralet af arealet af den sfæriske overflade, men resultatet forbliver det samme

Vsh = 4/3 pi × R 3

Det kan være nødvendigt at beregne volumen af en bold både i det virkelige liv og ved løsning af abstrakte problemer. For at beregne volumen af en kugle ved hjælp af en online-beregner skal du kun kende én parameter at vælge imellem: kuglens diameter eller radius. Lad os se på et par eksempler.

Eksempler fra livet

Kanonkugler

Lad os sige, at du vil vide, hvor meget støbejern der skal til for at støbe en kanonkugle af en kaliber på seks fod. Du ved, at diameteren af en sådan kerne er 9,6 centimeter. Indtast dette tal i "Diameter"-cellen på lommeregneren, og du vil modtage svaret som

For at smelte en kanonkugle af en given kaliber skal du således bruge 463 kubikcentimeter eller 0,463 liter støbejern.

Balloner

Lad dig være nysgerrig efter, hvor meget luft der skal til for at pumpe varmluftsballon ideel sfærisk form. Du ved, at den valgte bolds radius er 10 cm. Indtast denne værdi i "Radius"-beregnercellen, og du får resultatet

Det betyder, at for at puste en sådan ballon op, skal du bruge 4188 kubikcentimeter eller 4,18 liter luft.

Konklusion

Behovet for at bestemme volumen af en bold kan opstå i en række forskellige situationer: fra abstrakte skoleproblemer til videnskabelig forskning og produktionsproblemer. For at løse spørgsmål af enhver kompleksitet, brug vores online lommeregner, som øjeblikkeligt vil give dig det nøjagtige resultat og de nødvendige matematiske beregninger.

En kugle og en kugle er først og fremmest geometriske figurer, og hvis en kugle er et geometrisk legeme, så er en kugle overfladen af en kugle. Disse tal var af interesse for mange tusinde år siden f.Kr.

Efterfølgende, da det blev opdaget, at Jorden er en kugle, og himlen er himmelsfære, en ny spændende retning inden for geometri har udviklet sig - geometri på en sfære eller sfærisk geometri. For at kunne tale om størrelsen og volumen af en bold, skal du først definere den.

Bold

En kugle med radius R med centrum i punktet O i geometrien er et legeme, der er skabt ved at alle punkter i rummet har almen ejendom. Disse punkter er placeret i en afstand, der ikke overstiger kuglens radius, det vil sige, at de fylder hele rummet mindre end kuglens radius i alle retninger fra dens centrum. Hvis vi kun betragter de punkter, der er lige langt fra midten af bolden, vil vi overveje dens overflade eller boldens skal.

Hvordan får jeg bolden? Vi kan skære en cirkel ud af papir og begynde at rotere den omkring sin egen diameter. Det vil sige, at cirklens diameter vil være rotationsaksen. Den dannede figur vil være en bold. Derfor kaldes bolden også for en revolutionskrop. Fordi den kan dannes ved at dreje en flad figur - en cirkel.

Lad os tage et fly og skære vores bold med det. Ligesom vi skærer en appelsin med en kniv. Det stykke, vi skærer af fra bolden, kaldes et sfærisk segment.

I det antikke Grækenland vidste de, hvordan man ikke kun arbejdede med en bold og en kugle, men også med geometriske former for eksempel at bruge dem i konstruktion, og vidste også, hvordan man beregner overfladearealet af en bold og rumfanget af en bold.

En kugle er et andet navn for overfladen af en bold. En kugle er ikke et legeme - det er overfladen af et revolutionslegeme. Men da både Jorden og mange legemer har en sfærisk form, for eksempel en dråbe vand, er studiet af geometriske sammenhænge inde i kuglen blevet udbredt.

For eksempel, hvis vi forbinder to punkter i en kugle med hinanden med en ret linje, så vil denne rette linje blive kaldt en akkord, og hvis denne akkord passerer gennem midten af kuglen, som falder sammen med midten af bolden, så vil akkorden blive kaldt kuglens diameter.

Hvis vi tegner en ret linje, der rører kuglen i et enkelt punkt, vil denne linje blive kaldt en tangent. Derudover vil denne tangent til kuglen på dette punkt være vinkelret på kuglens radius trukket til kontaktpunktet.

Hvis vi forlænger akkorden til en lige linje i den ene eller den anden retning fra kuglen, vil denne akkord blive kaldt en sekant. Eller vi kan sige det anderledes - sekanten til kuglen indeholder dens akkord.

Kuglevolumen

Formlen til at beregne rumfanget af en bold er:

hvor R er kuglens radius.

Hvis du skal finde volumen af et sfærisk segment, skal du bruge formlen:

V seg =πh 2 (R-h/3), h er højden af det sfæriske segment.

Overfladeareal af en kugle eller kugle

For at beregne arealet af en kugle eller overfladearealet af en kugle (de er det samme):

hvor R er kuglens radius.

Archimedes var meget glad for bolden og kuglen, han bad endda om at efterlade en tegning på sin grav, hvor en kugle var indskrevet i en cylinder. Archimedes mente, at rumfanget af en kugle og dens overflade er lig med to tredjedele af volumenet og overfladen af cylinderen, hvori kuglen er indskrevet."

Før du begynder at studere begrebet en bold, hvad volumenet af en bold er, og overveje formler til beregning af dens parametre, skal du huske begrebet en cirkel, studeret tidligere i geometrikurset. De fleste handlinger i tredimensionelt rum ligner eller følger af todimensionel geometri, justeret for udseendet af den tredje koordinat og tredje grad.

Hvad er en cirkel?

En cirkel er en figur på et kartesisk plan (vist i figur 1); oftest lyder definitionen som "den geometriske placering af alle punkter på planet, afstanden fra hvilken til givet point(center) ikke overstiger et bestemt ikke-negativt tal kaldet radius."

Som vi kan se på figuren, er punkt O figurens centrum, og mængden af absolut alle punkter, der fylder cirklen, for eksempel A, B, C, K, E, er ikke placeret længere end en given radius (gå ikke ud over cirklen vist i fig. .2).

Hvis radius er nul, bliver cirklen til et punkt.

Problemer med forståelse

Studerende forveksler ofte disse begreber. Det er nemt at huske med en analogi. Bøjlen, som børn spinder i idrætstimerne, er en cirkel. Ved at forstå dette eller huske, at de første bogstaver i begge ord er "O", vil børn hukommelsesmæssigt forstå forskellen.

Introduktion af begrebet "bold"

En kugle er et legeme (fig. 3) afgrænset af en bestemt sfærisk overflade. Hvilken slags "sfærisk overflade" det er, vil fremgå af dens definition: dette er det geometriske sted for alle punkter på overfladen, hvorfra afstanden til et givet punkt (midtpunkt) ikke overstiger et vist ikke-negativt tal kaldet radius. Som du kan se, er begreberne for en cirkel og en sfærisk overflade ens, kun de rum, hvor de er placeret, er forskellige. Hvis vi afbilder en kugle i todimensionelt rum, får vi en cirkel, hvis grænse er en cirkel (grænsen for en kugle er en sfærisk overflade). På figuren ser vi en sfærisk overflade med radius OA = OB.

Bolden lukket og åben

I vektor- og metriske rum betragtes to begreber relateret til den sfæriske overflade også. Hvis bolden inkluderer denne kugle, så kaldes den lukket, men hvis ikke, så er kuglen åben. Disse er mere "avancerede" begreber, de studeres på institutter, når man introducerer analyse. For en simpel en, endda husholdningsbrug Formlerne, der studeres i stereometrikurset for klasse 10-11, vil være tilstrækkelige. Det er dem, der er tilgængelige for næsten enhver gennemsnitlig person. uddannet person begreber vil blive diskuteret yderligere.

Begreber du skal kende til følgende beregninger

Radius og diameter.

En kugles radius og dens diameter bestemmes på samme måde som for en cirkel.

Radius er et segment, der forbinder ethvert punkt på boldens grænse og det punkt, der er midten af bolden.

Diameter er et segment, der forbinder to punkter på grænsen af en bold og passerer gennem dens centrum. Figur 5a viser tydeligt, hvilke segmenter der er kuglens radier, og figur 5b viser kuglens diametre (segmenter, der passerer gennem punktet O).

Sektioner i en kugle (kugle)

Enhver sektion af en kugle er en cirkel. Hvis det passerer gennem midten af bolden, kaldes det en stor cirkel (cirkel med diameter AB), de resterende sektioner kaldes små cirkler (cirkel med diameter DC).

Arealet af disse cirkler beregnes ved hjælp af følgende formler:

Her er S betegnelsen for areal, R for radius, D for diameter. Der er også en konstant lig med 3,14. Men vær ikke forvirret over, at for at beregne arealet af en stor cirkel bruges radius eller diameter af selve kuglen (kuglen), og for at bestemme området kræves dimensionerne af den lille cirkels radius.

Et uendeligt antal af sådanne sektioner, der passerer gennem to punkter med samme diameter, der ligger på boldens grænse, kan tegnes. Som et eksempel, vores planet: to punkter på nord og Sydpolerne, som er enderne af jordens akse, og ind geometrisk sans- enderne af diameteren og meridianerne, der passerer gennem disse to punkter (figur 7). Det vil sige, at antallet af store cirkler på en kugle har en tendens til uendeligt.

Kugledele

Hvis du afskærer et "stykke" fra kuglen ved hjælp af et bestemt plan (Figur 8), vil det blive kaldt et sfærisk eller sfærisk segment. Det vil have en højde - en vinkelret fra midten af skæreplanet til den sfæriske overflade O 1 K. Punkt K på den sfæriske overflade, hvor højden kommer, kaldes toppunktet for det sfæriske segment. Og en lille cirkel med en radius på O 1 T (i dette tilfælde, ifølge figuren, passerede flyet ikke gennem midten af kuglen, men hvis sektionen passerer gennem midten, vil tværsnitscirklen være store), dannet ved at skære det sfæriske segment af, vil blive kaldt bunden af vores stykke kugle - sfærisk segment.

Hvis vi forbinder hvert basispunkt i et sfærisk segment til midten af sfæren, får vi en figur kaldet en "sfærisk sektor".

Hvis to planer passerer gennem en kugle og er parallelle med hinanden, så kaldes den del af kuglen, der er indesluttet mellem dem, et kugleformet lag (Figur 9, som viser en kugle med to planer og et separat kugleformet lag).

Overfladen (fremhævet del i figur 9 til højre) af denne del af kuglen kaldes et bælte (igen, for bedre forståelse, kan der tegnes en analogi med kloden, nemlig med sit klimazoner- arktisk, tropisk, tempereret osv.), og tværsnitscirklerne vil være baserne i det sfæriske lag. Højden af laget er en del af diameteren tegnet vinkelret på skæreplanerne fra midten af baserne. Der er også begrebet en sfærisk sfære. Det dannes, når fly, der er parallelle med hinanden, ikke skærer kuglen, men rører den på et punkt hver.

Formler til beregning af rumfanget af en bold og dens overfladeareal

Bolden dannes ved at rotere omkring den faste diameter af en halvcirkel eller cirkel. For at beregne forskellige parametre for et givet objekt er der ikke brug for meget data.

Rumfanget af en kugle, formlen for beregning, som er givet ovenfor, udledes gennem integration. Lad os finde ud af det punkt for punkt.

Vi betragter en cirkel i et todimensionelt plan, fordi det, som nævnt ovenfor, er cirklen, der ligger til grund for konstruktionen af bolden. Vi bruger kun dens fjerde del (Figur 10).

Vi tager en cirkel med enhedsradius og centrum ved origo. Ligningen for en sådan cirkel er som følger: X 2 + Y 2 = R 2. Vi udtrykker Y herfra: Y 2 = R 2 - X 2.

Vær sikker på at bemærke, at den resulterende funktion er ikke-negativ, kontinuerlig og aftagende på segmentet X (0; R), fordi værdien af X i det tilfælde, hvor vi betragter en fjerdedel af en cirkel, ligger fra nul til værdien af radius, altså til en.

Det næste, vi gør, er at rotere vores kvartcirkel rundt om x-aksen. Som et resultat får vi en halvkugle. For at bestemme dens volumen vil vi ty til integrationsmetoder.

Da dette kun er volumen af en halvkugle, fordobler vi resultatet, hvorfra vi finder ud af, at kuglens rumfang er lig med:

Små nuancer

Hvis du har brug for at beregne rumfanget af en kugle gennem dens diameter, skal du huske, at radius er halvdelen af diameteren, og erstatte denne værdi med ovenstående formel.

Formlen for rumfanget af en bold kan også nås gennem området af dens grænseoverflade - kuglen. Lad os huske på, at arealet af en kugle beregnes med formlen S = 4πr 2, der integrerer, hvilket vi også når frem til ovenstående formel for rumfanget af en kugle. Ud fra de samme formler kan du udtrykke radius, hvis problemformuleringen indeholder en volumenværdi.

Radius af en kugle (betegnet som r eller R) er det segment, der forbinder midten af kuglen med ethvert punkt på dens overflade. Som med en cirkel er en kugles radius en vigtig størrelse, der er nødvendig for at finde kuglens diameter, omkreds, overfladeareal og/eller volumen. Men kuglens radius kan også findes ud fra en given værdi af diameter, omkreds og anden mængde. Brug en formel, som du kan erstatte disse værdier i.

Trin

Formler til beregning af radius

Beregn radius ud fra diameteren. Radius er lig med halvdelen af diameteren, så brug formlen g = D/2. Dette er den samme formel, som bruges til at beregne radius og diameter af en cirkel.

For eksempel givet en kugle med en diameter på 16 cm Radius af denne kugle: r = 16/2 = 8 cm. Hvis diameteren er 42 cm, så er radius 21 cm (42/2=21).

Beregn radius fra omkredsen. Brug formlen: r = C/2π. Da omkredsen af en cirkel er C = πD = 2πr, skal du dividere formlen til beregning af omkredsen med 2π og få formlen til at finde radius.
- For eksempel, givet en bold med en omkreds på 20 cm. Radius af denne bold er: r = 20/2π = 3,183 cm.
- Den samme formel bruges til at beregne radius og omkreds af en cirkel.
Beregn radius ud fra kuglens rumfang. Brug formlen: r = ((V/π)(3/4)) 1/3. Kuglens rumfang beregnes med formlen V = (4/3)πr 3. Ved at isolere r på den ene side af ligningen får du formlen ((V/π)(3/4)) 3 = r, det vil sige, for at beregne radius skal du dividere kuglens rumfang med π, gange resultatet med 3/4, og hæv det resulterende resultat til en potens 1/3 (eller tag terningroden).
- For eksempel givet en bold med et volumen på 100 cm 3 . Radius af denne kugle beregnes som følger:
  - ((V/π)(3/4)) 1/3 = r
  - ((100/π)(3/4)) 1/3 = r
  - ((31,83)(3/4)) 1/3 = r
  - (23,87) 1/3 = r
  - 2,88 cm= r
Beregn radius fra overfladearealet. Brug formlen: g = √(A/(4 π)). Boldens overfladeareal beregnes med formlen A = 4πr 2. Ved at isolere r på den ene side af ligningen får du formlen √(A/(4π)) = r, det vil sige at for at beregne radius skal du udtrække kvadratrod fra overfladearealet divideret med 4π. I stedet for at tage roden kan udtrykket (A/(4π)) hæves til 1/2.
- For eksempel givet en kugle med et overfladeareal på 1200 cm 3 . Radius af denne kugle beregnes som følger:
  - √(A/(4π)) = r
  - √(1200/(4π)) = r
  - √(300/(π)) = r
  - √(95,49) = r
  - 9,77 cm= r
Bestemmelse af grundmængder
1. Husk de grundlæggende størrelser, der er relevante for at beregne radius af en bold. En bolds radius er det segment, der forbinder boldens centrum med ethvert punkt på dens overflade. Radius af en bold kan beregnes ud fra givne værdier af diameter, omkreds, volumen eller overfladeareal.
  
  Brug værdierne af disse mængder til at finde radius. Radius kan beregnes ud fra givne værdier af diameter, omkreds, volumen og overfladeareal. Desuden kan de angivne værdier findes fra en given radiusværdi. For at beregne radius skal du blot konvertere formlerne for at finde de viste værdier. Nedenfor er formlerne (som inkluderer radius) til beregning af diameter, omkreds, volumen og overfladeareal.
Find radius fra afstanden mellem to punkter
1. Find koordinaterne (x,y,z) for kuglens centrum. Kuglens radius lig med afstanden mellem dens centrum og ethvert punkt, der ligger på boldens overflade. Hvis koordinaterne for boldens centrum og ethvert punkt, der ligger på dens overflade, er kendt, kan du finde kuglens radius ved hjælp af en speciel formel ved at beregne afstanden mellem to punkter. Find først koordinaterne for boldens centrum. Husk på, at da bolden er en tredimensionel figur, vil punktet have tre koordinater (x, y, z) i stedet for to (x, y).
  - Lad os se på et eksempel. Givet en bold med centerkoordinater (4,-1,12) . Brug disse koordinater til at finde kuglens radius.
2. Find koordinaterne for et punkt, der ligger på boldens overflade. Nu skal vi finde koordinaterne (x,y,z) enhver punkt liggende på boldens overflade. Da alle punkter, der ligger på boldens overflade, er placeret i samme afstand fra midten af bolden, kan du vælge et hvilket som helst punkt for at beregne kuglens radius.
  - Lad os i vores eksempel antage, at et punkt, der ligger på boldens overflade, har koordinater (3,3,0) . Ved at beregne afstanden mellem dette punkt og kuglens centrum, finder du radius.
3. Beregn radius ved hjælp af formlen d = √((x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2). Efter at have fundet ud af koordinaterne for boldens centrum og et punkt, der ligger på dens overflade, kan du finde afstanden mellem dem, som er lig med kuglens radius. Afstanden mellem to punkter udregnes ved formlen d = √((x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2), hvor d er afstanden mellem punkterne , (x 1, y 1 ,z 1) – koordinater for boldens centrum, (x 2 , y 2 , z 2) – koordinater for et punkt, der ligger på boldens overflade.
  - I det undersøgte eksempel skal du i stedet for (x 1 ,y 1 ,z 1) erstatte (4,-1,12) og i stedet for (x 2 ,y 2 ,z 2) erstatte (3,3,0):
    - d = √((x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2)
    - d = √((3 - 4) 2 + (3 - -1) 2 + (0 - 12) 2)
    - d = √((-1) 2 + (4) 2 + (-12) 2)
    - d = √(1 + 16 + 144)
    - d = √(161)
    - d = 12,69. Dette er den ønskede radius af bolden.
4. Husk, at i generelle tilfælde er r = √((x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2). Alle punkter, der ligger på boldens overflade, er placeret i samme afstand fra midten af bolden. Hvis i formlen for at finde afstanden mellem to punkter "d" erstattes af "r", får du en formel til at beregne kuglens radius ud fra de kendte koordinater (x 1,y 1,z 1) for boldens centrum og koordinaterne (x 2,y 2,z 2 ) ethvert punkt, der ligger på boldens overflade.
  - Kvadret begge sider af denne ligning, og du får r 2 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2. Bemærk, at denne ligning svarer til ligningen for en kugle r 2 = x 2 + y 2 + z 2 med centrum ved koordinaterne (0,0,0).
- Glem ikke rækkefølgen for at udføre matematiske operationer. Hvis du ikke kan huske denne rækkefølge, og din lommeregner kan arbejde med parenteser, så brug dem.
- Denne artikel taler om at beregne radius af en bold. Men hvis du har problemer med at lære geometri, er det bedst at starte med at beregne de mængder, der er forbundet med en bold vha. kendt værdi radius.
- π (Pi) er bogstavet græsk alfabet, som betegner en konstant lig med forholdet mellem diameteren af en cirkel og længden af dens omkreds. Pi er et irrationelt tal, der ikke er skrevet som et forhold mellem reelle tal. Der er mange tilnærmelser, for eksempel vil forholdet 333/106 tillade dig at finde Pi med fire decimaler. Som regel bruger de den omtrentlige værdi af Pi, som er 3,14.