I matematik kendes flere typer firkanter: kvadrat, rektangel, rombe, parallelogram. Blandt dem er en trapez - en type konveks firkant, hvor to sider er parallelle og de to andre ikke. De parallelle modstående sider kaldes baserne, og de to andre kaldes trapezets laterale sider. Det segment, der forbinder sidernes midtpunkter, kaldes midtlinjen. Der er flere typer trapezoider: ligebenede, rektangulære, buede. For hver type trapez er der formler til at finde arealet.

Område med trapez

For at finde arealet af en trapezoid skal du kende længden af ​​dens baser og højde. Højden af ​​et trapez er et segment vinkelret på baserne. Lad den øverste base være a, den nederste base være b, og højden være h. Derefter kan du beregne arealet S ved hjælp af formlen:

S = ½ * (a+b) * h

dem. tag halvdelen af ​​summen af ​​baserne ganget med højden.

Det vil også være muligt at beregne arealet af trapezet, hvis højden og midterlinjen er kendt. Lad os betegne den midterste linje - m. Så

Lad os løse et mere kompliceret problem: længden af ​​de fire sider af trapezoidet er kendt - a, b, c, d. Derefter vil området blive fundet ved hjælp af formlen:

Hvis længden af ​​diagonalerne og vinklen mellem dem er kendt, søges området på følgende måde:

S = ½ * d1 * d2 * sin α

hvor d med indeks 1 og 2 er diagonaler. I denne formel er vinklens sinus givet i beregningen.

Givet de kendte længder af baserne a og b og to vinkler ved den nederste base, beregnes arealet som følger:

S = ½ * (b2 - a2) * (sin α * sin β / sin(α + β))

Arealet af en ligebenet trapez

En ligebenet trapez er særligt tilfælde trapez. Dens forskel er, at en sådan trapez er en konveks firkant med en symmetriakse, der går gennem midtpunkterne på to modsatte sider. Dens sider er lige store.

Der er flere måder at finde arealet af en ligebenet trapez.

• Gennem længderne af tre sider. I dette tilfælde vil længderne af siderne falde sammen, derfor er de betegnet med en værdi - c, og a og b - længderne af baserne:

• Hvis længden af ​​den øverste base, siden og vinklen ved den nederste base er kendt, beregnes arealet som følger:

S = c * sin α * (a + c * cos α)

hvor a er den øverste base, c er siden.

• Hvis længden af ​​den nederste i stedet for den øverste base er kendt - b, beregnes arealet ved hjælp af formlen:

S = c * sin α * (b – c * cos α)

• Hvis, når to baser og vinklen ved den nederste base er kendt, beregnes arealet gennem vinklens tangens:

S = ½ * (b2 – a2) * tan α

• Arealet beregnes også gennem diagonalerne og vinklen mellem dem. I dette tilfælde er diagonalerne lige lange, så vi betegner hver med bogstavet d uden sænkning:

S = ½ * d2 * sin α

• Lad os beregne arealet af trapezet, ved at kende længden af ​​siden, midterlinjen og vinklen ved den nederste base.

Lad siden være c, midterlinjen være m, og vinklen være a, så:

S = m * c * sin α

Nogle gange kan du indskrive en cirkel i en ligesidet trapez, hvis radius vil være r.

Det er kendt, at en cirkel kan indskrives i enhver trapez, hvis summen af ​​længderne af baserne er lig med summen af ​​længderne af dens sider. Derefter kan området findes gennem radius af den indskrevne cirkel og vinklen ved den nederste base:

S = 4r2 / sin α

Den samme beregning er lavet ved hjælp af diameteren D af den indskrevne cirkel (forresten falder den sammen med højden af ​​trapez):

Ved at kende basen og vinklen beregnes arealet af en ligebenet trapez som følger:

S = a * b / sin α

(denne og efterfølgende formler er kun gyldige for trapezoider med en indskrevet cirkel).

Ved at bruge baserne og radius af cirklen findes arealet som følger:

Hvis kun baserne er kendt, beregnes arealet ved hjælp af formlen:

Gennem baserne og sidelinjen beregnes arealet af trapezoidet med den indskrevne cirkel og gennem baserne og midterlinjen - m som følger:

Arealet af en rektangulær trapez

Et trapez kaldes rektangulært, hvis en af ​​dets sider er vinkelret på bunden. I dette tilfælde falder længden af ​​siden sammen med højden af ​​trapez.

Et rektangulært trapez består af en firkant og en trekant. Når du har fundet arealet af hver af figurerne, skal du sammenlægge resultaterne og få samlede areal tal.

Også generelle formler til beregning af arealet af et trapez er velegnede til at beregne arealet af et rektangulært trapez.

• Hvis længderne af baserne og højden (eller den vinkelrette side) er kendt, beregnes arealet ved hjælp af formlen:

S = (a + b) * h / 2

Sidesiden c kan fungere som h (højde). Så ser formlen sådan ud:

S = (a + b) * c / 2

• En anden måde at beregne arealet på er at gange længden af ​​midterlinjen med højden:

eller ved længden af ​​den laterale vinkelrette side:

• Den næste måde at beregne er gennem halvdelen af ​​produktet af diagonalerne og sinus af vinklen mellem dem:

S = ½ * d1 * d2 * sin α

Hvis diagonalerne er vinkelrette, så forenkles formlen til:

S = ½ * d1 * d2

• En anden måde at beregne er gennem halvperimeteren (summen af ​​længderne af to modstående sider) og radius af den indskrevne cirkel.

Denne formel er gyldig for baser. Hvis vi tager længderne af siderne, så vil en af ​​dem være lig med to gange radius. Formlen vil se sådan ud:

S = (2r + c) * r

• Hvis en cirkel er indskrevet i en trapez, beregnes arealet på samme måde:

hvor m er længden af ​​midterlinjen.

Arealet af en buet trapez

Et krumt trapez er en flad figur afgrænset af grafen for en ikke-negativ kontinuerlig funktion y = f(x), defineret på segmentet, x-aksen og de rette linjer x = a, x = b. I det væsentlige er to af dens sider parallelle med hinanden (baserne), den tredje side er vinkelret på baserne, og den fjerde er en kurve, der svarer til grafen for funktionen.

Firkant buet trapez søg gennem integralet ved hjælp af Newton-Leibniz formlen:

Sådan beregnes arealer forskellige typer trapez. Men ud over sidernes egenskaber har trapezoider de samme egenskaber for vinkler. Som alle eksisterende firkanter er summen af ​​de indre vinkler af en trapez 360 grader. Og summen af ​​vinklerne ved siden af ​​siden er 180 grader.

Et trapez er en relieffirkant, hvor to modstående sider er parallelle, og de to andre er ikke-parallelle. Hvis alle modsatte sider af en firkant er parallelle i par, så er det et parallelogram.

Du skal bruge

• – alle sider af trapezoidet (AB, BC, CD, DA).

Instruktioner

1. Ikke-parallel sider trapez kaldes laterale sider, og parallelle sider kaldes baser. Linjen mellem baserne, vinkelret på dem - højde trapez. Hvis lateral sider trapez er lige store, så kaldes det ligebenet. Lad os først se på løsningen for trapez, som ikke er ligebenet.

2. Tegn linjestykke BE fra punkt B til den nederste base AD parallelt med siden trapez CD. Fordi BE og CD er parallelle og tegnet mellem parallelle baser trapez BC og DA, så er BCDE et parallelogram, og dets modsætning sider BE og CD er lige store. BE=CD.

3. Se på trekanten ABE. Beregn side AE. AE=AD-ED. Grunde trapez BC og AD er kendt, og i et parallelogram er BCDE modsatte sider ED og BC er lige store. ED=BC, så AE=AD-BC.

4. Find nu ud af arealet af trekanten ABE ved hjælp af Herons formel ved at beregne halvperimeteren. S=rod(p*(p-AB)*(p-BE)*(p-AE)). I denne formel er p halvperimeteren af ​​trekanten ABE. p=1/2*(AB+BE+AE). For at beregne arealet kender du alle de nødvendige data: AB, BE=CD, AE=AD-BC.

6. Udtryk fra denne formel højden af ​​trekanten, som også er højden trapez. BH=2*S/AE. Beregn det.

7. Hvis trapezet er ligebenet, kan løsningen udføres anderledes. Se på trekanten ABH. Det er rektangulært, fordi et af hjørnerne, BHA, er rigtigt.

8. Tegn højden CF fra toppunktet C.

9. Undersøg HBCF-figuren. HBCF rektangel, fordi der er to af det sider er højder, og de to andre er baser trapez, det vil sige, at vinklerne er rigtige, og det modsatte sider parallel. Det betyder, at BC=HF.

10. Se på de rigtige trekanter ABH og FCD. Vinklerne i højderne BHA og CFD er rigtige, og vinklerne på siden sider x BAH og CDF er ens, fordi trapezoidet ABCD er ligebenet, hvilket betyder, at trekanterne ligner hinanden. Fordi højderne BH og CF er lige store eller laterale sider ligebenet trapez AB og CD er kongruente, så er lignende trekanter kongruente. Så de sider AH og FD er også lige.

11. Opdag AH. AH+FD=AD-HF. Fordi fra et parallelogram HF=BC, og fra trekanter AH=FD, så AH=(AD-BC)*1/2.

Trapez - geometrisk figur, som er en firkant, hvor to sider, kaldet baser, er parallelle, og de to andre ikke er parallelle. De kaldes sider trapez. Det segment, der trækkes gennem midtpunkterne på sidesiderne, kaldes midtlinjen trapez. Et trapez kan have forskellige sidelængder eller identiske, i så fald kaldes det ligebenet. Hvis en af ​​siderne er vinkelret på basen, vil trapezet være rektangulært. Men det er meget mere praktisk at vide, hvordan man opdager firkant trapez .

Du skal bruge

• Lineal med millimeterinddelinger

Instruktioner

1. Mål alle sider trapez: AB, BC, CD og DA. Registrer dine mål.

2. På segment AB markeres midtpunktet K. På segment DA markeres punkt L, som også er placeret i midten af ​​segment AD. Kombiner punkterne K og L, det resulterende segment KL vil være midterlinjen trapez ABCD. Mål segmentet KL.

3. Fra toppen trapez– kast C, sænk vinkelret på dets base AD på segmentet CE. Det bliver højden trapez ABCD. Mål segmentet CE.

4. Lad os kalde segmentet KL bogstavet m, og segmentet CE bogstavet h, så firkant S trapez ABCD beregnes ved hjælp af formlen: S=m*h, hvor m er midterlinjen trapez ABCD, h – højde trapez ABCD.

5. Der er en anden formel, der giver dig mulighed for at beregne firkant trapez ABCD. Nederste bund trapez– Lad os kalde AD bogstavet b, og den øverste base BC bogstavet a. Arealet bestemmes af formlen S=1/2*(a+b)*h, hvor a og b er baserne trapez, h – højde trapez .

Video om emnet

Tip 3: Sådan finder du højden af ​​en trapez, hvis området er kendt

Et trapez er en firkant, hvor to af dens fire sider er parallelle med hinanden. Parallelle sider er grundlaget for dette trapez, de to andre er de laterale sider af denne trapez. Opdage højde trapez, hvis du kender dens område, vil det være meget nemt.

Instruktioner

1. Vi skal finde ud af, hvordan man beregner arealet af initialen trapez. Der er flere formler for dette, afhængig af startdata: S = ((a+b)*h)/2, hvor a og b er længderne af baserne trapez, og h er dens højde (Højde trapez– vinkelret, sænket fra én base trapez til en anden);S = m*h, hvor m er midterlinjen trapez(Den midterste linje er et segment parallelt med baserne trapez og forbinder midtpunkterne af dens sider).

2. Nu kender du formlerne til beregning af areal trapez, er det tilladt at udlede nye fra dem for at finde højden trapez:h = (2*S)/(a+b);h = S/m.

3. For at gøre det tydeligere, hvordan man løser lignende problemer, kan du se på eksempler: Eksempel 1: Givet en trapez, hvis areal er 68 cm?, hvis midterlinje er 8 cm, skal du finde højde givet trapez. For at løse dette problem skal du bruge den tidligere afledte formel: h = 68/8 = 8,5 cm Svar: højden af ​​denne trapez er 8,5 cmEksempel 2: Lad y trapez areal er 120 cm?, længden af ​​baserne er angivet trapez er lig med henholdsvis 8 cm og 12 cm, er det nødvendigt at detektere højde denne trapez. For at gøre dette skal du anvende en af ​​de afledte formler: h = (2*120)/(8+12) = 240/20 = 12 cmSvar: højden af ​​den givne trapez lig med 12 cm

Video om emnet

Vær opmærksom!
Ethvert trapez har en række egenskaber: - midterlinjen af ​​en trapez er lig med halvdelen af ​​dens baser - segmentet, der forbinder trapezets diagonaler, er lig med halvdelen af ​​forskellen på dens baser; tegnes gennem grundpunkternes midtpunkter, så vil den skære skæringspunktet for trapezets diagonaler - Du kan indskrive en cirkel i en trapezform, hvis summen af ​​grundlængderne i en given trapezform er lig med summen af ​​dens; sider Brug disse egenskaber, når du løser problemer.

Tip 4: Sådan finder du højden af ​​en trekant givet punkternes koordinater

Højden i en trekant er det lige linjestykke, der forbinder figurens toppunkt til den modsatte side. Dette segment skal nødvendigvis være vinkelret på siden, derfor er det kun tilladt at tegne en højde. Fordi der er tre hjørner i denne figur, er der det samme antal højder. Hvis en trekant er givet ved koordinaterne af dens hjørner, kan længden af ​​hver af højderne beregnes, f.eks. ved at bruge formlen til at finde arealet og beregne længderne af siderne.

Instruktioner

1. Gå videre i dine beregninger fra det faktum, at området trekant er lig med halvdelen af ​​produktet af længden af ​​hver af dens sider med længden af ​​højden sænket ned på denne side. Af denne definition følger det, at for at finde højden skal du kende området af figuren og længden af ​​siden.

2. Start med at beregne længderne af siderne trekant. Angiv koordinaterne for hjørnerne af figuren som følger: A(X?,Y?,Z?), B(X?,Y?,Z?) og C(X?,Y?,Z?). Derefter kan du beregne længden af ​​side AB ved hjælp af formlen AB = ?((X?-X?)? + (Y?-Y?)? + (Z?-Z?)?). For de andre 2 sider vil disse formler se sådan ud: BC = ?((X?-X?)? + (Y?-Y?)? + (Z?-Z?)?) og AC = ?(( Xa-Xa) + (Ya-Ya) + (Za-Za)? Lad os sige for trekant med koordinaterne A(3,5,7), B(16,14,19) og C(1,2,13) ​​vil længden af ​​siden AB være?((3-16)? + (5-14) )a + (7 -19)?) = ?(-13? + (-9?) + (-12?)) = ?(169 + 81 + 144) = a394 ? 19,85. Længderne af siderne BC og AC, beregnet efter samme metode, vil være lig?(15? + 12? + 6?) = ?405? 20,12 og a(2a + 3a + (-6a)) = 49 = 7.

3. At kende længderne af 3 sider opnået i det foregående trin er nok til at beregne arealet trekant(S) ifølge Herons formel: S = ? * ?((AB+BC+CA) * (BC+CA-AB) * (AB+CA-BC) * (AB+BC-CA)). Lad os sige, efter at have erstattet værdierne fra koordinaterne i denne formel trekant-eksempel fra det forrige trin, vil denne formel give følgende værdi: S = ?*?((19.85+20.12+7) * (20.12+7-19.85) * (19.85+7-20 .12) * (19.85+ 20,12-7)) = ?*?(46,97 * 7,27 * 6,73 * 32,97) ? ??*?75768,55 ? ?*275,26 = 68,815.

4. Baseret på areal trekant, beregnet i det foregående trin, og længderne af siderne opnået i det andet trin, beregn højderne for hver af siderne. Fordi arealet er lig med halvdelen af ​​produktet af højden og længden af ​​den side, som det er tegnet til, skal du for at finde højden dividere det fordoblede område med længden af ​​den påkrævede side: H = 2*S/a. For det anvendte eksempel ovenfor vil højden sænket til side AB være 2*68.815/16.09? 8.55, vil højden til BC-siden have en længde på 2*68.815/20.12? 6,84, og for AC-siden vil denne værdi være lig med 2*68,815/7? 19,66.

Der er mange måder at finde arealet af en trapez. Normalt kender en matematikvejleder flere metoder til at beregne det, lad os se på dem mere detaljeret:
1) , hvor AD og BC er baserne, og BH er højden af ​​trapez. Bevis: tegn diagonalen BD og udtryk arealerne af trekanter ABD og CDB gennem halvproduktet af deres baser og højder:

, hvor DP er den udvendige højde i

Lad os tilføje disse ligheder termin for termin, og under hensyntagen til, at højderne BH og DP er ens, opnår vi:

Lad os sætte det uden for parentes

Q.E.D.

En konsekvens af formlen for arealet af en trapez:
Da den halve sum af baserne er lig med MN - midtlinjen af ​​trapezoidet, altså

2) Anvendelse generel formel areal af en firkant.
Arealet af en firkant er lig med halvdelen af ​​produktet af diagonalerne ganget med sinus af vinklen mellem dem
For at bevise det er det nok at opdele trapezoidet i 4 trekanter, udtrykke arealet af hver gennem "halvdelen af ​​produktet af diagonalerne og sinus af vinklen mellem dem" (taget som vinklen, tilføj de resulterende udtryk, tag dem ud af parentesen og faktor denne parentes ved hjælp af grupperingsmetoden for at opnå dens lighed med udtrykket

3) Diagonalforskydningsmetode
Dette er mit navn. En matematikvejleder vil ikke støde på sådan en overskrift i skolebøgerne. En beskrivelse af teknikken kan kun findes i tillæg lærebøger som eksempel på løsning af et problem. Jeg bemærker, at de fleste af de interessante og nyttige fakta planimetri matematik vejledere afslører for studerende i færd med at udføre praktisk arbejde. Dette er ekstremt suboptimalt, fordi eleven skal isolere dem i separate teoremer og kalde dem " store navne" En af disse er "diagonalforskydning". Om hvad vi taler om?Lad os tegne en linje parallel med AC gennem toppunkt B, indtil den skærer den nederste base i punktet E. I dette tilfælde vil firkantet EBCA være et parallelogram (per definition) og derfor BC=EA og EB=AC. Den første ligestilling er vigtig for os nu. Vi har:

Bemærk, at trekanten BED, hvis areal er lig med arealet af trapezoidet, har flere mere bemærkelsesværdige egenskaber:
1) Dens areal er lig med arealet af trapez
2) Dens ligebenede forekommer samtidig med selve trapezets ligebenede
3) Dens øvre vinkel ved toppunkt B er lig med vinklen mellem diagonalerne på trapezoidet (som meget ofte bruges i opgaver)
4) Dens median BK er lig med afstanden QS mellem midtpunkterne af trapezets baser. Jeg stødte for nylig på brugen af ​​denne egenskab, da jeg forberedte en studerende til mekanik og matematik ved Moscow State University ved hjælp af Tkachuks lærebog, 1973-version (problemet er angivet nederst på siden).

Særlige teknikker for en matematikvejleder.

Nogle gange foreslår jeg problemer ved at bruge en meget vanskelig måde at finde området af en trapez. Jeg klassificerer det som en speciel teknik, fordi vejlederen i praksis bruger dem ekstremt sjældent. Hvis du kun har brug for forberedelse til Unified State-eksamen i matematik i del B, behøver du ikke læse om dem. For andre vil jeg fortælle dig yderligere. Det viser sig, at arealet af trapezoidet er fordoblet mere område en trekant med spidser i enderne af den ene side og midten af ​​den anden, det vil sige ABS-trekanten i figuren:
Bevis: tegn højderne SM og SN i trekanter BCS og ADS og udtryk summen af ​​arealerne af disse trekanter:

Da punkt S er midtpunktet af CD, så (bevis det selv).

Da denne sum viste sig at være lig med halvdelen af ​​trapezets areal, så dens anden halvdel. Osv.

I vejlederens samling af specielle teknikker vil jeg inkludere formen til at beregne arealet af et ligebenet trapez langs dets sider: hvor p er halvperimeteren af ​​trapezet. Jeg vil ikke give bevis. Ellers står din matematikvejleder uden job :). Kom til undervisningen!

Problemer på arealet af en trapez:

Matematikvejleders notat: Listen nedenfor er ikke et metodisk akkompagnement til emnet, det er kun et lille udvalg af interessante opgaver baseret på de teknikker, der er diskuteret ovenfor.

1) Den nederste base af en ligebenet trapez er 13, og den øvre er 5. Find arealet af trapezet, hvis dens diagonal er vinkelret på siden.
2) Find arealet af en trapez, hvis dens baser er 2 cm og 5 cm, og dens sider er 2 cm og 3 cm.
3) I en ligebenet trapez er den største base 11, siden er 5, og diagonalen er Find arealet af trapez.
4) Diagonalen af ​​en ligebenet trapez er 5 og midterlinjen er 4. Find arealet.
5) I en ligebenet trapez er baserne 12 og 20, og diagonalerne er indbyrdes vinkelrette. Beregn arealet af en trapez
6) Diagonalen af ​​en ligebenet trapez danner en vinkel med sin nederste base. Find arealet af trapezet, hvis dets højde er 6 cm.
7) Arealet af trapezet er 20, og en af ​​siderne er 4 cm. Find afstanden til det fra midten af ​​den modsatte side.
8) Diagonalen af ​​en ligebenet trapez opdeler den i trekanter med arealer på 6 og 14. Find højden, hvis sidesiden er 4.
9) I et trapez er diagonalerne lig med 3 og 5, og segmentet, der forbinder basernes midtpunkter, er lig med 2. Find arealet af trapezet (Mekhmat MSU, 1970).

Jeg valgte ikke de sværeste problemer (vær ikke bange for maskinteknik!) med forventning om, at jeg ville være i stand til at løse dem selvstændigt. Beslut dig for dit helbred! Hvis du har brug for forberedelse til Unified State Exam i matematik, kan der uden deltagelse i denne proces opstå formler for arealet af en trapezoid alvorlige problemer selv med problem B6 og endnu mere med C4. Start ikke emnet, og spørg om hjælp i tilfælde af problemer. En matematikvejleder hjælper dig altid gerne.

Kolpakov A.N.
Matematiklærer i Moskva, forberedelse til Unified State eksamen i Strogino.

Et trapez er en firkant, hvis to sider er parallelle (disse er baserne af trapezet, angivet i figur a og b), og de to andre er ikke (i figur AD og CB). Højden af ​​et trapez er et segment h tegnet vinkelret på baserne.

Hvordan finder man højden af ​​en trapez, givet de kendte værdier for arealet af trapez og længderne af baserne?

For at beregne arealet S af trapezet ABCD bruger vi formlen:

S = ((a+b) x h)/2.

Her er segmenterne a og b basis for trapezet, h er højden af ​​trapezet.

Ved at transformere denne formel kan vi skrive:

Ved hjælp af denne formel får vi værdien af ​​h, hvis arealet S og længderne af baserne a og b er kendt.

Eksempel

Hvis det er kendt, at arealet af trapezet S er 50 cm², længden af ​​basen a er 4 cm, og længden af ​​basen b er 6 cm, så for at finde højden h, bruger vi formlen:

Vi erstatter kendte mængder i formlen.

h = (2 × 50)/(4+6) = 100/10 = 10 cm

Svar: Højden af ​​trapez er 10 cm.

Hvordan finder man højden af ​​et trapez, hvis arealet af trapezet og længden af ​​midterlinjen er givet?

Lad os bruge formlen til at beregne arealet af en trapez:

Her er m midterlinjen, h er højden af ​​trapez.

Hvis spørgsmålet opstår om, hvordan man finder højden af ​​en trapez, er formlen:

h = S/m vil være svaret.

Således kan vi finde højden af ​​trapezoidet h, givet de kendte værdier af området S og midterlinjesegmentet m.

Eksempel

Længden af ​​midterlinjen af ​​trapezformen m, som er 20 cm, og arealet S, som er 200 cm², er kendt. Lad os finde værdien af ​​højden af ​​trapezformen h.

Ved at erstatte værdierne af S og m får vi:

h = 200/20 = 10 cm

Svar: højden af ​​trapez er 10 cm

Hvordan finder man højden af ​​en rektangulær trapez?

Hvis et trapez er en firkant med to parallelle sider (baser) af trapezet. Så er en diagonal et segment, der forbinder to modsatte hjørner af hjørnerne af en trapez (segment AC på figuren). Hvis trapezet er rektangulært, ved hjælp af diagonalen, finder vi højden af ​​trapezet h.

Et rektangulært trapez er et trapez, hvor en af ​​siderne er vinkelret på baserne. I dette tilfælde falder dens længde (AD) sammen med højden h.

Så overvej en rektangulær trapezoid ABCD, hvor AD er højden, DC er basen, AC er diagonalen. Lad os bruge Pythagoras sætning. Hypotenus kvadrat AC retvinklet trekant ADC lig med summen kvadraterne på dens ben AB og BC.

Så kan vi skrive:

AC² = AD² + DC².

AD er trekantens ben, den laterale side af trapezoidet og på samme tid dens højde. Segmentet AD er jo vinkelret på baserne. Dens længde vil være:

AD = √(AC² - DC²)

Så vi har en formel til at beregne højden af ​​et trapez h = AD

Eksempel

Hvis længden af ​​bunden af ​​en rektangulær trapez (DC) er 14 cm, og diagonalen (AC) er 15 cm, bruger vi Pythagoras sætning til at få værdien af ​​højden (AD - side).

Lad x være det ukendte ben i en retvinklet trekant (AD), så

AC² = AD² + DC² kan skrives

15² = 14² + x²,

x = √(15²-14²) = √(225-196) = √29 cm

Svar: Højden af ​​en rektangulær trapez (AB) vil være √29 cm, hvilket er cirka 5,385 cm

Hvordan finder man højden af ​​en ligebenet trapez?

Et ligebenet trapez er et trapez, hvis sidelængder er lig med hinanden. Den rette linje trukket gennem midtpunkterne af baserne af en sådan trapezoid vil være symmetriaksen. Et særligt tilfælde er en trapez, hvis diagonaler er vinkelrette på hinanden, så vil højden h være lig med halvdelen af ​​summen af ​​baserne.

Lad os overveje sagen, hvis diagonalerne ikke er vinkelrette på hinanden. I en ligesidet (ligebenet) trapez er vinklerne ved baserne ens og længderne af diagonalerne ens. Det er også kendt, at alle hjørner af et ligebenet trapez rører linjen i en cirkel tegnet rundt om denne trapez.

Lad os se på tegningen. ABCD er et ligebenet trapez. Man ved, at basene i trapezoidet er parallelle, hvilket betyder at BC = b er parallel med AD = a, side AB = CD = c, hvilket betyder at vinklerne ved baserne er tilsvarende ens, vi kan skrive vinklen BAQ = CDS = α, og vinklen ABC = BCD = β. Således konkluderer vi, at trekant ABQ er lig med trekant SCD, hvilket betyder segmentet

AQ = SD = (AD - BC)/2 = (a - b)/2.

Efter at have, i henhold til betingelserne for problemet, værdierne af baserne a og b og længden af ​​sidesiden c, finder vi højden af ​​trapezformen h, lig med segmentet BQ.

Overvej retvinklet ABQ. VO er højden af ​​trapezoidet, vinkelret på basis AD, og ​​derfor på segmentet AQ. Vi finder siden AQ af trekant ABQ ved at bruge formlen, vi udledte tidligere:

Med værdierne af to ben i en retvinklet trekant finder vi hypotenusen BQ = h. Vi bruger Pythagoras sætning.

AB²= AQ² + BQ²

Lad os erstatte disse opgaver:

c² = AQ² + h².

Vi får en formel til at finde højden af ​​et ligebenet trapez:

h = √(c²-AQ²).

Eksempel

Givet en ligebenet trapezoid ABCD, hvor base AD = a = 10 cm, base BC = b = 4 cm, og side AB = c = 12 cm. Lad os under sådanne forhold se på et eksempel på, hvordan man finder højden af ​​en trapez, en ligebenet trapezoid ABCD.

Lad os finde side AQ af trekant ABQ ved at erstatte de kendte data:

AQ = (a - b)/2 = (10-4)/2=3 cm.

Lad os nu erstatte værdierne af trekantens sider med formlen for Pythagoras sætning.

h = √(c²- AQ²) = √(12²- 3²) = √135 = 11,6 cm.

Svar. Højden h af den ligebenede trapezoid ABCD er 11,6 cm.