Uzdevumi priekš kauliņu varbūtība ne mazāk populāri kā monētu mešanas problēmas. Šādas problēmas nosacījums parasti izklausās šādi: metot vienu vai vairākus kauliņus (2 vai 3), kāda ir varbūtība, ka punktu summa būs vienāda ar 10 vai punktu skaits būs 4, vai punktu skaita reizinājums vai punktu skaita reizinājums, dalīts ar 2 utt.

Klasiskās varbūtības formulas pielietošana ir galvenā šāda veida problēmu risināšanas metode.

Viens mirst, varbūtība.

Ar vienu tikt galā ir pavisam vienkārši kauliņi. nosaka pēc formulas: P=m/n, kur m ir notikumam labvēlīgo iznākumu skaits, un n ir visu elementāro iznākumu skaits iespējamie rezultāti eksperimentējiet ar kauliņa vai kauliņa mešanu.

1. uzdevums. Kauliņš tiek izmests vienu reizi. Kāda ir varbūtība iegūt pāra punktu skaitu?

Tā kā kauliņš ir kubs (vai to sauc arī par parasto kauliņu, kauliņš piezemēsies uz visām pusēm ar vienādu varbūtību, jo tas ir līdzsvarots), kauliņam ir 6 malas (punktu skaits no 1 līdz 6, kas ir parasti apzīmē ar punktiem), tas nozīmē, kas ir problēma kopējais skaits rezultāti: n=6. Notikumam labvēlīgi ir tikai iznākumi, kuros parādās puse ar pāra punktiem 2,4 un 6, kauliņam ir šādas malas: m=3; Tagad varam noteikt vēlamo kauliņu varbūtību: P=3/6=1/2=0,5.

Uzdevums 2. Kauliņš tiek mests vienu reizi. Kāda ir varbūtība, ka iegūsi vismaz 5 punktus?

Šī problēma tiek atrisināta pēc analoģijas ar iepriekš sniegto piemēru. Metot kauliņu, kopējais vienādi iespējamo iznākumu skaits ir: n=6, un tikai 2 iznākumi apmierina problēmas nosacījumu (vismaz 5 punkti izripināti, tas ir, 5 vai 6 punkti), kas nozīmē m =2. Tālāk atrodam nepieciešamo varbūtību: P=2/6=1/3=0,333.

Divi kauliņi, varbūtība.

Risinot uzdevumus, kas saistīti ar 2 kauliņu mešanu, ir ļoti ērti izmantot īpašu punktu tabulu. Uz tā horizontāli tiek attēlots uz pirmā kauliņa kritušo punktu skaits, bet vertikāli – uz otrā kauliņa kritušo punktu skaits. Apstrādājamā detaļa izskatās šādi:

Taču rodas jautājums, kas būs tukšajās tabulas šūnās? Tas ir atkarīgs no problēmas, kas ir jāatrisina. Ja problēmā mēs runājam par par punktu summu, tad tur raksta summu, un ja par starpību, tad starpību pieraksta utt.

3. uzdevums. Vienlaicīgi tiek izmesti 2 kauliņi. Kāda ir varbūtība iegūt mazāk par 5 punktiem?

Pirmkārt, jums ir jāizdomā, kāds būs kopējais eksperimenta rezultātu skaits. Metot vienu kauliņu, viss bija acīmredzams, 6 kauliņa puses - 6 eksperimenta rezultāti. Bet, kad jau ir divi kauliņi, iespējamos rezultātus var attēlot kā sakārtotus skaitļu pārus formā (x, y), kur x parāda, cik punktu tika izmests ar pirmo kauliņu (no 1 līdz 6), un y - cik punktu tika izmests ar otro kauliņu (no 1 līdz 6). Kopā būs šādi skaitļu pāri: n=6*6=36 (rezultātu tabulā tie precīzi atbilst 36 šūnām).

Tagad jūs varat aizpildīt tabulu, lai to izdarītu, katrā šūnā tiek ievadīts punktu skaits, kas nokrita uz pirmo un otro kauliņu. Aizpildītā tabula izskatās šādi:

Izmantojot tabulu, mēs noteiksim to iznākumu skaitu, kas ir labvēlīgi notikumam "kopā parādīsies mazāk par 5 punktiem". Saskaitīsim šūnu skaitu, kurās summas vērtība būs mazāka par skaitli 5 (tie ir 2, 3 un 4). Ērtības labad mēs pārkrāsojam šādas šūnas, būs m=6:

Ņemot vērā tabulas datus, kauliņu varbūtība vienāds: P=6/36=1/6.

4. uzdevums. Tika izmesti divi kauliņi. Nosakiet varbūtību, ka punktu skaita reizinājums dalīsies ar 3.

Lai atrisinātu uzdevumu, sastādīsim tabulu ar to punktu reizinājumiem, kuri krita uz pirmā un otrā kauliņa. Tajā mēs nekavējoties izceļam skaitļus, kas ir 3 reizes:

Mēs pierakstām kopējo eksperimenta iznākumu skaitu n=36 (pamatojums tāds pats kā iepriekšējā uzdevumā) un labvēlīgo iznākumu skaitu (tabulā ieēnoto šūnu skaitu) m=20. Notikuma iespējamība ir: P=20/36=5/9.

5. uzdevums. Kauliņi tiek izmesti divreiz. Kāda ir varbūtība, ka punktu skaita starpība uz pirmā un otrā kauliņa būs no 2 līdz 5?

Lai noteiktu kauliņu varbūtība Pierakstīsim punktu atšķirību tabulu un atlasīsim tajā tās šūnas, kuru starpības vērtība būs no 2 līdz 5:

Labvēlīgo iznākumu skaits (tabulā iekrāsoto šūnu skaits) ir m=10, kopējais tikpat iespējamo elementāro iznākumu skaits būs n=36. Nosaka notikuma varbūtību: P=10/36=5/18.

Vienkārša notikuma gadījumā un, metot 2 kauliņus, jums ir jāizveido tabula, pēc tam jāizvēlas tajā nepieciešamās šūnas un jāsadala to skaits ar 36, tas tiks uzskatīts par iespējamību.

Manā emuārā tulkots nākamās kursa “Spēļu līdzsvara principi” lekcija, ko izstrādājis spēļu dizainers Jans Šreibers, kurš strādāja pie tādiem projektiem kā Marvel Trading Card Game un Playboy: the Mansion.

Līdz šim gandrīz viss, par ko mēs runājām, ir bijis deterministisks un pagājušajā nedēļā Mēs rūpīgi apskatījām transitīvo mehāniku, aplūkojot to tik detalizēti, cik es varu izskaidrot. Taču līdz šim mēs neesam pievērsuši uzmanību citam daudzu spēļu aspektam, proti, nedeterministiskajiem aspektiem - citiem vārdiem sakot, nejaušībai.

Izpratne par nejaušības būtību ir ļoti svarīga spēļu dizaineriem. Mēs veidojam sistēmas, kas ietekmē lietotāja pieredzi konkrētajā spēlē, tāpēc mums ir jāzina, kā šīs sistēmas darbojas. Ja sistēmā ir nejaušība, mums ir jāsaprot šīs nejaušības būtība un jāzina, kā to mainīt, lai iegūtu vajadzīgos rezultātus.

Kauliņi

Sāksim ar ko vienkāršu – kauliņu ripināšanu. Kad lielākā daļa cilvēku domā par kauliņiem, viņi domā par sešpusēju kauliņu, kas pazīstams kā d6. Bet lielākā daļa spēlētāju ir redzējuši daudzus citus kauliņus: tetraedrisus (d4), astoņstūrainus (d8), divpadsmit kauliņus (d12), divdesmit malus (d20). Ja esat īsts dīķis, jums kaut kur var būt 30 vai 100 malu kauliņi.

Ja neesat pazīstams ar terminoloģiju, d apzīmē die, un skaitlis aiz tā ir tā malu skaits. Ja skaitlis parādās pirms d, tad tas norāda metamo kauliņu skaitu. Piemēram, spēlē Monopols tu met 2d6.

Tātad šajā gadījumā frāze "kauliņi" ir simbols. Ir milzīgs skaits citu nejaušo skaitļu ģeneratoru, kas neizskatās pēc plastmasas figūrām, bet veic to pašu funkciju - ģenerē nejaušu skaitli no 1 līdz n. Parasta monēta var attēlot arī kā divskaldņu die d2.

Es redzēju divus septiņu malu kauliņu dizainus: viens no tiem izskatījās pēc kauliņa, bet otrs vairāk izskatījās pēc septiņu malu koka zīmuļa. Tetraedrisks dreidels, pazīstams arī kā titotum, ir līdzīgs tetraedriskam kaulam. Rotējošais bultu dēlis programmā Chutes & Ladders, kur rezultāti var svārstīties no 1 līdz 6, atbilst sešu malu kauliņam.

Datora nejaušo skaitļu ģenerators var izveidot jebkuru skaitli no 1 līdz 19, ja dizainers to ir norādījis, lai gan datoram nav 19 malu formas (vispārīgi es runāšu vairāk par varbūtību, ka skaitļi parādīsies uz dators nākamnedēļ). Visi šie priekšmeti izskatās atšķirīgi, taču patiesībā tie ir līdzvērtīgi: jums ir vienādas iespējas uz katru no vairākiem iespējamiem rezultātiem.

Kauliņiem ir daži interesantas īpašības par ko mums jāzina. Pirmkārt, varbūtība nosēsties uz abām sejām ir vienāda (es pieņemu, ka jūs metat regulāras formas kauliņu). Ja vēlaties uzzināt metiena vidējo vērtību (tiem, kas nodarbojas ar varbūtību teoriju, to sauc par paredzamo vērtību), saskaitiet vērtības visās malās un izdaliet šo skaitli ar malu skaitu.

Visu malu vērtību summa standarta sešpusīgam kauliņam ir 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21. Sadaliet 21 ar malu skaitu un iegūstiet metiena vidējo vērtību: 21 / 6 = 3,5. Šis īpašs gadījums, jo mēs pieņemam, ka visi rezultāti ir vienādi iespējami.

Ko darīt, ja jums ir īpaši kauliņi? Piemēram, es redzēju sešpusēju kauliņu spēli ar īpašām uzlīmēm uz sāniem: 1, 1, 1, 2, 2, 3, tāpēc tā uzvedas kā dīvaina trīspusēja kauliņa, kas, visticamāk, metīs 1, nevis 2. un visticamāk metīs 2, nevis 3. Kāds ir vidējais šī kauliņa metiens? Tātad, 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 3 = 10, dalīts ar 6 - izrādās 5/3 jeb aptuveni 1,66. Tātad, ja jums ir īpašs kauliņš un spēlētāji met trīs kauliņus un pēc tam saskaita rezultātus, jūs zināt, ka viņu metiens kopā veidos aptuveni 5, un jūs varat līdzsvarot spēli, pamatojoties uz šo pieņēmumu.

Kauliņi un neatkarība

Kā jau teicu, mēs izejam no pieņēmuma, ka katrai pusei ir vienāda iespēja izkrist. Nav nozīmes tam, cik kauliņus tu met. Katrs kauliņu metiens ir neatkarīgs, kas nozīmē, ka iepriekšējie metieni neietekmē nākamo metienu rezultātus. Ņemot vērā pietiekami daudz mēģinājumu, jūs noteikti ievērosiet skaitļu modeli, piemēram, lielākoties augstākas vai zemākas vērtības, vai citas pazīmes, taču tas nenozīmē, ka kauliņi ir "karsti" vai "auksti". Mēs par to runāsim vēlāk.

Ja metat standarta sešpusējo kauliņu un skaitlis 6 parādās divas reizes pēc kārtas, varbūtība, ka nākamajā metienā būs 6, varbūtība nepalielinās, jo kauliņš ir “uzkarsis”. . Tajā pašā laikā varbūtība nesamazinās: ir nepareizi spriest, ka skaitlis 6 jau ir parādījies divas reizes pēc kārtas, kas nozīmē, ka tagad vajadzētu parādīties citai pusei.

Protams, ja jūs divdesmit reizes metāt kauliņu un katru reizi saņemat 6, iespēja, ka divdesmit pirmo reizi metot kauli, ir diezgan liela: iespējams, jums vienkārši ir nepareizs kauliņš. Bet, ja kauliņš ir godīgs, katrai pusei ir vienāda piezemēšanās iespējamība neatkarīgi no citu metienu rezultātiem. Varat arī iedomāties, ka mēs katru reizi nomainām kauliņu: ja skaitlis 6 tiek izmests divas reizes pēc kārtas, izņemiet no spēles “karsto” kauliņu un nomainiet to ar jaunu. Es atvainojos, ja kāds no jums jau zināja par to, bet man tas bija jānoskaidro, pirms turpināt.

Kā likt kauliņiem ripot vairāk vai mazāk nejauši

Parunāsim par to, kā iegūt dažādus rezultātus uz dažādiem kauliņiem. Neatkarīgi no tā, vai metīsit kauliņu tikai vienu vai vairākas reizes, spēle būs nejaušāka, ja kauliņam ir vairāk malu. Jo biežāk jāmet kauliņš un jo vairāk kauliņu met, jo vairāk rezultāti tuvojas vidējam rādītājam.

Piemēram, 1d6 + 4 gadījumā (tas ir, ja jūs vienreiz metat standarta sešpusēju kauliņu un rezultātam pievienojat 4), vidējais rādītājs būtu skaitlis no 5 līdz 10. Ja metāt 5d2, vidējais rādītājs būtu arī skaitlis no 5 līdz 10. Ritināšanas 5d2 rezultāti galvenokārt būs skaitļi 7 un 8, retāk citas vērtības. Tāda pati sērija, pat tāda pati vidējā vērtība (7,5 abos gadījumos), taču nejaušības raksturs ir atšķirīgs.

Uzgaidi minūti. Vai es tikko neteicu, ka kauliņi "nesilda" un "nevēsina"? Tagad saku: ja metīsi daudz kauliņu, metienu rezultāti tuvosies vidējam rādītājam. Kāpēc?

Ļauj man paskaidrot. Ja jūs metat vienu kauliņu, katrai pusei ir vienāda nolaišanās iespējamība. Tas nozīmē, ka, ja laika gaitā metīsit daudz kauliņu, katra puse parādīsies apmēram tikpat reižu. Jo vairāk kauliņu metīsiet, jo vairāk kopējais rezultāts tuvosies vidējam rādītājam.

Tas nav tāpēc, ka izlozētais skaitlis "piespiež" izlozēt citu skaitli, kas vēl nav izlozēts. Bet tāpēc, ka neliela skaitļa 6 (vai 20, vai cita skaitļa) izripošana beigās tik ļoti neietekmēs rezultātu, ja metīsiet kauliņus vēl desmit tūkstošus reižu un lielākoties sanāks vidējais skaitlis. Tagad jūs iegūsit vairākus lieli skaitļi, un vēlāk vairāki mazi - un laika gaitā tie tuvosies vidējai vērtībai.

Tas nenotiek tāpēc, ka iepriekšējie metieni ietekmē kauliņus (ja nopietni, kauliņi ir izgatavoti no plastmasas, tam nav pietiekami daudz smadzeņu, lai domātu: "Ak, ir pagājis laiks, kopš jūs metāt 2"), bet gan tāpēc, ka šis ir kas parasti notiek ar daudziem kauliņiem

Tādējādi ir diezgan viegli veikt aprēķinus vienam nejaušam kauliņa metienam - vismaz aprēķināt metiena vidējo vērtību. Ir arī veidi, kā aprēķināt "cik nejauši" kaut kas ir un pateikt, ka ripināšanas 1d6+4 rezultāti būs "nejaušāki" nekā 5d2. 5d2 ruļļi tiks sadalīti vienmērīgāk. Lai to izdarītu, jums jāaprēķina standarta novirze: jo lielāka vērtība, jo nejaušāki būs rezultāti. Es negribētu šodien sniegt tik daudz aprēķinu, es paskaidrošu šo tēmu vēlāk.

Vienīgais, ko es lūgšu atcerēties, ir tas, ka parasti, jo mazāk kauliņu metīsit, jo lielāka ir nejaušība. Un jo vairāk kauliņam ir malu, jo lielāka ir nejaušība, jo vairāk iespējamie varianti nozīmes.

Kā aprēķināt varbūtību, izmantojot skaitīšanu

Jums var rasties jautājums: kā mēs varam aprēķināt precīzu varbūtību iegūt noteiktu rezultātu? Patiesībā tas ir diezgan svarīgi daudzām spēlēm: ja jūs sākotnēji metat kauliņus - visticamāk, ir kāds optimāls rezultāts. Mana atbilde ir: mums ir jāaprēķina divas vērtības. Pirmkārt, kopējais iznākumu skaits, metot kauliņu, un, otrkārt, labvēlīgo iznākumu skaits. Dalot otro vērtību ar pirmo, jūs iegūsit vēlamo varbūtību. Lai iegūtu procentus, rezultātu reiziniet ar 100.

Piemēri

Šeit ir ļoti vienkāršs piemērs. Jūs vēlaties, lai skaitlis 4 vai lielāks, lai vienu reizi izmestu sešpusējo kauliņu. Maksimālais rezultātu skaits ir 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6). No tiem 3 rezultāti (4, 5, 6) ir labvēlīgi. Tas nozīmē, ka, lai aprēķinātu varbūtību, mēs dalām 3 ar 6 un iegūstam 0,5 vai 50%.

Šeit ir nedaudz sarežģītāks piemērs. Jūs vēlaties izmest 2d6 pāra skaitlis. Maksimālais iznākumu skaits ir 36 (6 iespējas katram kauliņam, viens kauliņš neietekmē otru, tāpēc reiziniet 6 ar 6 un iegūstiet 36). Šāda veida jautājumu sarežģītība ir tāda, ka to ir viegli saskaitīt divreiz. Piemēram, metot 2d6, ir divi iespējamie 3 rezultāti: 1+2 un 2+1. Tie izskatās vienādi, taču atšķirība ir tāda, kurš skaitlis ir parādīts pirmajā kauliņā un kurš numurs ir parādīts otrajā.

Varat arī iedomāties, ka kauliņš dažādas krāsas: Tā, piemēram, šajā gadījumā viens kauliņš ir sarkans, otrs zils. Pēc tam saskaitiet pāra skaitļa ripināšanas iespēju skaitu:

• 2 (1+1);
• 4 (1+3);
• 4 (2+2);
• 4 (3+1);
• 6 (1+5);
• 6 (2+4);
• 6 (3+3);
• 6 (4+2);
• 6 (5+1);
• 8 (2+6);
• 8 (3+5);
• 8 (4+4);
• 8 (5+3);
• 8 (6+2);
• 10 (4+6);
• 10 (5+5);
• 10 (6+4);
• 12 (6+6).

Izrādās, ka ir 18 varianti labvēlīgam iznākumam no 36 - tāpat kā iepriekšējā gadījumā, varbūtība ir 0,5 vai 50%. Varbūt negaidīti, bet diezgan precīzi.

Montekarlo simulācija

Ko darīt, ja jums ir pārāk daudz kauliņu šim aprēķinam? Piemēram, jūs vēlaties uzzināt, kāda ir varbūtība, ka, metot 8d6, kopā tiks iegūts 15 vai vairāk. Astoņiem kauliņiem ir milzīga dažādība dažādi rezultāti, un to manuāla skaitīšana prasīs ļoti ilgu laiku - pat ja mēs tos atradīsim labs lēmums grupēt dažādas kauliņu metienu sērijas.

Šajā gadījumā vienkāršākais veids ir nevis manuāli skaitīt, bet gan izmantot datoru. Ir divi veidi, kā datorā aprēķināt varbūtību. Pirmā metode var sniegt jums precīzu atbildi, taču tā ir saistīta ar nelielu programmēšanu vai skriptēšanu. Dators izskatīs katru iespēju, novērtēs un saskaitīs Kopā iterācijas un atkārtojumu skaitu, kas atbilst vēlamajam rezultātam, un pēc tam sniegs atbildes. Jūsu kods varētu izskatīties apmēram šādi:

Ja jūs nesaprotat programmēšanu un jums ir nepieciešama aptuvena, nevis precīza atbilde, varat simulēt šo situāciju programmā Excel, kur jūs uzmetat 8d6 vairākus tūkstošus reižu un saņemat atbildi. Lai programmā Excel ritinātu 1d6, izmantojiet formulu =STĪVA(RAND()*6)+1.

Situācijai, kad nezini atbildi un vienkārši mēģini daudzas reizes, ir nosaukums – Montekarlo simulācija. Tas ir lielisks risinājums, ko izmantot, ja varbūtības aprēķināšana ir pārāk sarežģīta. Lieliski ir tas, ka šajā gadījumā mums nav jāsaprot, kā darbojas matemātika, un mēs zinām, ka atbilde būs "diezgan laba", jo, kā jau zinām, jo ​​vairāk metienu, jo tuvāk rezultāts ir vidēji.

Kā apvienot neatkarīgus izmēģinājumus

Ja jautājat par vairākiem atkārtotiem, bet neatkarīgiem izmēģinājumiem, viena metiena iznākums neietekmē citu metienu rezultātus. Šai situācijai ir vēl viens vienkāršāks izskaidrojums.

Kā atšķirt kaut ko atkarīgu un neatkarīgu? Būtībā, ja jūs varat izolēt katru kauliņa metienu (vai metienu sēriju) kā atsevišķu notikumu, tad tas ir neatkarīgs. Piemēram, mēs metam 8d6 un vēlamies kopā 15. Šo notikumu nevar sadalīt vairākos neatkarīgos kauliņu metienos. Lai iegūtu rezultātu, jums ir jāaprēķina visu vērtību summa, tāpēc rezultāts, kas tiek parādīts vienā kauliņā, ietekmē rezultātus, kuriem vajadzētu parādīties citiem.

Šeit ir neatkarīgu metienu piemērs: jūs spēlējat kauliņu spēli un vairākas reizes metāt sešpusējus kauliņus. Lai paliktu spēlē, pirmajam metienam ir jābūt 2 vai lielākam. Par otro metienu - 3 vai augstāk. Trešajam ir nepieciešams 4 vai lielāks, ceturtajam ir 5 vai lielāks, un piektajam ir 6. Ja visi pieci metieni ir veiksmīgi, jūs uzvarat. Šajā gadījumā visi metieni ir neatkarīgi. Jā, ja viens metiens ir neveiksmīgs, tas ietekmēs visas spēles iznākumu, bet viens metiens neietekmē otru. Piemēram, ja jūsu otrais kauliņa metiens ir ļoti veiksmīgs, tas nenozīmē, ka nākamie būs tikpat labi. Tāpēc mēs varam apsvērt katra kauliņa metiena varbūtību atsevišķi.

Ja jums ir neatkarīgas varbūtības un vēlaties zināt, kāda ir iespējamība, ka visi notikumi notiks, jūs nosakāt katru atsevišķu varbūtību un reiziniet tās kopā. Vēl viens veids: ja lietojat savienojumu “un”, lai aprakstītu vairākus nosacījumus (piemēram, kāda ir kāda nejauša notikuma un kāda cita neatkarīga nejauša notikuma iestāšanās varbūtība?) - saskaitiet individuālās varbūtības un reiziniet tās.

Neatkarīgi no tā, ko jūs domājat, nekad nesaskaitiet neatkarīgas varbūtības. Tā ir izplatīta kļūda. Lai saprastu, kāpēc tas ir nepareizi, iedomājieties situāciju, kurā jūs metat monētu un vēlaties uzzināt, kāda ir varbūtība, ka divas reizes pēc kārtas dabūsiet galvu. Katras puses izkrišanas iespējamība ir 50%. Ja jūs saskaitāt šīs divas varbūtības, jūs iegūstat 100% iespēju iegūt galvu, taču mēs zinām, ka tā nav taisnība, jo tas varēja būt astes divas reizes pēc kārtas. Ja tā vietā reizinat abas varbūtības, jūs saņemsiet 50% * 50% = 25% — tā ir pareizā atbilde, lai aprēķinātu varbūtību, ka tiks iegūtas divas reizes pēc kārtas.

Piemērs

Atgriezīsimies pie sešpusējo kauliņu spēles, kur vispirms jāmet skaitlis, kas ir lielāks par 2, pēc tam lielāks par 3 un tā tālāk līdz 6. Kāda ir iespēja, ka noteiktā piecu metienu sērijā visi iznākumi būs labvēlīgi ?

Kā minēts iepriekš, šie ir neatkarīgi izmēģinājumi, tāpēc mēs aprēķinām katra atsevišķa metiena varbūtību un reizinām tās kopā. Varbūtība, ka pirmā metiena iznākums būs labvēlīgs, ir 5/6. Otrais - 4/6. Trešais - 3/6. Ceturtais - 2/6, piektais - 1/6. Mēs reizinām visus rezultātus viens ar otru un iegūstam aptuveni 1,5%. Uzvaras šajā spēlē ir diezgan reti, tāpēc, ja pievienosit šo elementu savai spēlei, jums būs nepieciešams diezgan liels džekpots.

Negācija

Šeit ir vēl viens noderīgs padoms: Dažreiz ir grūti aprēķināt varbūtību, ka notikums notiks, bet ir vieglāk noteikt iespēju, ka notikums nenotiks. Piemēram, pieņemsim, ka mums ir cita spēle: tu met 6d6 un uzvar, ja vismaz vienu reizi meti 6. Kāda ir uzvaras iespējamība?

Šajā gadījumā ir jāņem vērā daudzas iespējas. Iespējams, ka tiks izmests viens cipars 6, tas ir, viens no kauliņiem rādīs ciparu 6, bet pārējie skaitļus no 1 līdz 5, tad ir 6 varianti, kuram no kauliņiem būs 6. Jūs varat iegūt skaitli 6 uz diviem kauliņiem vai trim, vai pat vairāk, un katru reizi jums būs jāveic atsevišķs aprēķins, tāpēc šeit ir viegli apjukt.

Bet paskatīsimies uz problēmu no citas puses. Jūs zaudēsiet, ja neviens no kauliņiem neiemetīs 6. Šajā gadījumā mums ir 6 neatkarīgi izmēģinājumi. Varbūtība, ka katrs kauliņš metīs skaitli, kas nav 6, ir 5/6. Reiziniet tos un iegūstiet apmēram 33%. Tādējādi varbūtība zaudēt ir viena pret trešo. Tāpēc varbūtība laimēt ir 67% (jeb divi pret trīs).

No šī piemēra ir skaidrs: ja aprēķina varbūtību, ka notikums nenotiks, rezultāts ir jāatņem no 100%. Ja varbūtība uzvarēt ir 67%, tad varbūtība zaudēt ir 100% mīnus 67% jeb 33% un otrādi. Ja ir grūti aprēķināt vienu varbūtību, bet viegli aprēķināt pretējo, aprēķiniet pretējo un pēc tam atņemiet šo skaitli no 100%.

Mēs apvienojam viena neatkarīga testa nosacījumus

Es teicu tieši iepriekš, ka nekad nevajadzētu pievienot varbūtības neatkarīgiem izmēģinājumiem. Vai ir kādi gadījumi, kad ir iespējams summēt varbūtības? Jā, vienā īpašā situācijā.

Ja vēlaties aprēķināt vairāku nesaistītu labvēlīgu iznākumu iespējamību vienā izmēģinājumā, summējiet katra labvēlīgā iznākuma varbūtības. Piemēram, skaitļu 4, 5 vai 6 ripināšanas varbūtība uz 1d6 ir vienāda ar skaitļa 4, skaitļa 5 varbūtības un skaitļa 6 iespējamības ripināšanas varbūtību. Šo situāciju var attēlot kā sekojoši: ja lietojat saikni “vai” jautājumā par varbūtību (piemēram, kāda ir viena nejauša notikuma tāda vai cita iznākuma iespējamība?) - aprēķiniet individuālās varbūtības un summējiet tās.

Lūdzu, ņemiet vērā: aprēķinot visus iespējamos spēles iznākumus, to rašanās varbūtību summai ir jābūt vienādai ar 100%, pretējā gadījumā jūsu aprēķins tika veikts nepareizi. Šis labs veids vēlreiz pārbaudiet aprēķinus. Piemēram, jūs analizējāt visu kombināciju iespējamību pokerā. Ja jūs saskaitāt visus rezultātus, jums vajadzētu iegūt tieši 100% (vai vismaz kaut ko diezgan tuvu 100%: ja izmantojat kalkulatoru, var būt neliela noapaļošanas kļūda, bet, ja jūs summējat precīzi skaitļi manuāli, visam vajadzētu sanākt kopā). Ja summa nesaplūst, tas nozīmē, ka jūs, visticamāk, neņēmāt vērā dažas kombinācijas vai nepareizi aprēķinājāt dažu kombināciju iespējamību, un aprēķini ir vēlreiz jāpārbauda.

Nevienlīdzīgas varbūtības

Līdz šim mēs esam pieņēmuši, ka katra kauliņa puse tiek ripināta ar tādu pašu frekvenci, jo šķiet, ka tā darbojas. Bet dažreiz jūs varat saskarties ar situāciju, kad ir iespējami dažādi rezultāti, un tiem ir dažādas izredzes tikt izlozētam.

Piemēram, vienā no papildinājumiem kāršu spēle Kodolkaram ir spēles laukums ar bultiņu, no kura atkarīgs raķetes palaišanas rezultāts. Visbiežāk tas nodara normālus bojājumus, stiprākus vai vājākus, bet dažkārt bojājumi dubultojas vai trīskāršojas, vai arī raķete uzsprāgst uz starta laukuma un nodara jums sāpes, vai notiek kāds cits notikums. Atšķirībā no spēles laukums ar bultiņu sadaļās Čutes & Ladders vai A Game of Life, spēles galda rezultāti kodolkarā ir nevienmērīgi. Dažas spēles laukuma sadaļas ir lielākas, un bultiņa uz tām apstājas daudz biežāk, savukārt citas sadaļas ir ļoti mazas un bultiņa uz tām apstājas reti.

Tātad, no pirmā acu uzmetiena, kauliņš izskatās apmēram šādi: 1, 1, 1, 2, 2, 3 - mēs jau par to runājām, tas ir kaut kas līdzīgs svērtajam 1d3. Tāpēc mums ir jāsadala visas šīs sadaļas vienādās daļās, jāatrod mazākā mērvienība, kuras dalītājs viss ir daudzkārtnis, un pēc tam jāattēlo situācija d522 (vai kāda cita) formā, kur kauliņu kopa sejas attēlo to pašu situāciju, degunu liela summa rezultātus. Tas ir viens no veidiem, kā atrisināt problēmu, un tas ir tehniski iespējams, taču ir vienkāršāka iespēja.

Atgriezīsimies pie mūsu standarta sešu malu kauliņiem. Mēs esam teikuši, ka, lai aprēķinātu vidējo metienu parastam kauliņam, jums ir jāsaskaita vērtības uz visām skaldnēm un jādala ar skaldņu skaitu, bet kā tieši notiek aprēķins? Ir vēl viens veids, kā to izteikt. Sešu malu kauliņam katras malas ripināšanas iespējamība ir tieši 1/6. Tagad mēs reizinām katras malas iznākumu ar šī iznākuma varbūtību (šajā gadījumā 1/6 katrai malai) un pēc tam saskaitām iegūtās vērtības. Tādējādi, summējot (1 * 1/6) + (2 * 1/6) + (3 * 1/6) + (4 * 1/6) + (5 * 1/6) + (6 * 1/6) ), iegūstam tādu pašu rezultātu (3.5) kā iepriekš minētajā aprēķinā. Faktiski mēs katru reizi rēķinām šādi: mēs reizinām katru rezultātu ar šī iznākuma varbūtību.

Vai mēs varam veikt tādu pašu aprēķinu attiecībā uz bultiņu spēles laukumā kodolkarā? Protams, ka varam. Un, ja mēs summējam visus atrastos rezultātus, mēs iegūsim vidējo vērtību. Viss, kas mums jādara, ir jāaprēķina katra iznākuma iespējamība bultiņai spēles laukumā un jāreizina ar iznākuma vērtību.

Vēl viens piemērs

Šī vidējā aprēķināšanas metode ir piemērota arī tad, ja rezultāti ir vienlīdz ticami, bet tiem ir dažādas priekšrocības – piemēram, ja met kauliņu un vienās pusēs uzvar vairāk nekā citās. Piemēram, pieņemsim kazino spēli: jūs veicat likmi un metāt 2d6. Ja trīs skaitļus ripina ar zemākā vērtība(2, 3, 4) vai četri cipari ar augsta vērtība(9, 10, 11, 12) - jūs laimēsiet summu, kas vienāda ar jūsu likmi. Skaitļi ar zemāko un augstāko vērtību ir īpaši: ja jūs metat 2 vai 12, jūs laimējat divreiz lielāku likmi. Ja tiek izmests kāds cits skaitlis (5, 6, 7, 8), jūs zaudēsiet savu likmi. Šī ir diezgan vienkārša spēle. Bet kāda ir varbūtība laimēt?

Sāksim ar to, cik reizes jūs varat laimēt. Maksimālais iznākumu skaits, metot 2d6, ir 36. Kāds ir labvēlīgo iznākumu skaits?

• Ir 1 iespēja, ka tiks izmests 2, un 1 iespēja, ka tiks izmests 12.
• Ir 2 opcijas, no kurām 3 ripinās un 2 opcijas, kuras ripinās 11.
• Ir 3 iespējas, kuras ripinās 4, un 3 iespējas, ka 10.
• Ir 4 iespējas 9 ripināšanai.

Apkopojot visas iespējas, mēs iegūstam 16 labvēlīgus rezultātus no 36. Tādējādi ar normāli apstākļi jūs laimēsiet 16 reizes no 36 iespējamajiem - laimesta iespējamība ir nedaudz mazāka par 50%.

Bet divos gadījumos no šiem sešpadsmit jūs uzvarēsit divreiz vairāk – tas ir tāpat kā divreiz. Ja spēlējat šo spēli 36 reizes, katru reizi veicot likmi uz $1, un katrs no visiem iespējamajiem iznākumiem tiek sasniegts vienu reizi, jūs kopā laimēsiet $18 (jūs faktiski laimēsiet 16 reizes, bet divas no tām tiks uzskatītas par divām uzvarām). Ja tu spēlē 36 reizes un laimē 18$, vai tas nenozīmē, ka izredzes ir vienādas?

Nesteidzies. Ja saskaitīsiet, cik reižu varat zaudēt, jūs iegūsit 20, nevis 18. Ja spēlēsit 36 ​​reizes, katru reizi veicot likmi 1 dolāra apmērā, kopā laimēsiet $18, ja nositīsit visas labvēlīgās izvēles. Bet, ja saņemsit visus 20 nelabvēlīgos rezultātus, jūs zaudēsiet kopā 20 ASV dolārus. Rezultātā jūs nedaudz atpaliksit: jūs zaudējat vidēji 2 $ neto uz katrām 36 spēlēm (var arī teikt, ka zaudējat vidēji 1/18 dolāra dienā). Tagad jūs redzat, cik viegli šajā gadījumā ir kļūdīties un nepareizi aprēķināt varbūtību.

Pārkārtošanās

Līdz šim esam pieņēmuši, ka skaitļu secībai, metot kauliņus, nav nozīmes. Ritināšana 2 + 4 ir tāda pati kā ripināšana 4 + 2. Vairumā gadījumu mēs manuāli uzskaitām labvēlīgo iznākumu skaitu, bet dažreiz šī metode ir nepraktiski, un labāk ir izmantot matemātisko formulu.

Šīs situācijas piemērs ir no Farkle kauliņu spēles. Par katru jaunu kārtu tu met 6d6. Ja jums paveiksies un saņemsiet visus iespējamos rezultātus 1-2-3-4-5-6 (taisni), jūs saņemsiet lielu bonusu. Kāda ir iespējamība, ka tas notiks? Šajā gadījumā šīs kombinācijas iegūšanai ir daudz iespēju.

Risinājums ir šāds: vienam no kauliņiem (un tikai vienam) jābūt skaitlim 1. Cik daudzos veidos skaitlis 1 var parādīties uz viena kauliņa? Ir 6 iespējas, jo ir 6 kauliņi, un jebkurš no tiem var nokrist uz skaitļa 1. Attiecīgi paņemiet vienu kauliņu un nolieciet to malā. Tagad vienam no atlikušajiem kauliņiem vajadzētu izmest skaitli 2. Tam ir 5 iespējas. Paņemiet vēl vienu kauliņu un nolieciet to malā. Tad 4 no atlikušajiem kauliņiem var nonākt ar 3. numuru, 3 no atlikušajiem kauliņiem var iegūt skaitli 4, 2 no atlikušajiem kauliņiem var iegūt skaitli 5. Rezultātā jums paliek viens kauliņš, kuram vajadzētu iegūt skaitli. 6 (pēdējā gadījumā kauliņā ir tikai viens kauls, un nav izvēles).

Lai aprēķinātu taisnes trāpīšanai labvēlīgo iznākumu skaitu, mēs reizinām visas dažādās neatkarīgās iespējas: 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1=720 - izskatās, ka tādu ir diezgan daudz. liels skaits iespējas iegūt šo kombināciju.

Lai aprēķinātu taisnes iegūšanas varbūtību, mums ir jādala 720 ar visu iespējamo iznākumu skaitu ripināšanai 6d6. Kāds ir visu iespējamo rezultātu skaits? Katram kauliņam var būt 6 malas, tāpēc mēs reizinām 6 x 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 46656 (daudz lielāks skaitlis nekā iepriekšējais). Sadaliet 720 ar 46656 un iegūstam varbūtību aptuveni 1,5%. Ja jūs veidojat šo spēli, jums būtu noderīgi to zināt, lai jūs varētu izveidot atbilstošu vērtēšanas sistēmu. Tagad mēs saprotam, kāpēc Farkle jūs saņemat tik lielu bonusu, ja iegūstat taisni: šī ir diezgan reta situācija.

Rezultāts ir interesants arī cita iemesla dēļ. Piemērs parāda, cik reti īss periods parādās varbūtībai atbilstošs rezultāts. Protams, ja mēs mētātu vairākus tūkstošus kauliņu, dažādas sejas kauliņi parādās diezgan bieži. Bet, kad mēs metam tikai sešus kauliņus, gandrīz nekad nenotiek, ka katra seja parādās. Kļūst skaidrs, ka ir stulbi gaidīt, ka tagad parādīsies rinda, kas vēl nav notikusi, jo "mēs sen neesam ripinājuši ciparu 6". Klausieties, jūsu nejaušo skaitļu ģenerators ir bojāts.

Tas mūs noved pie izplatīta nepareiza priekšstata, ka visi rezultāti īsā laika periodā notiek vienā frekvencē. Ja metīsim kauliņus vairākas reizes, katras puses izkrišanas biežums nebūs vienāds.

Ja kādreiz esat strādājis pie tiešsaistes spēles ar kādu nejaušu skaitļu ģeneratoru, visticamāk, esat saskāries ar situāciju, kad spēlētājs raksta tehniskajam atbalstam, sūdzoties, ka nejaušo skaitļu ģenerators nerāda nejaušus skaitļus. Viņš nonāca pie šāda secinājuma, jo viņš nogalināja 4 monstrus pēc kārtas un saņēma 4 tieši tādas pašas balvas, un šīm balvām vajadzētu parādīties tikai 10% gadījumu, tāpēc tam acīmredzot gandrīz nekad nevajadzētu notikt.

Jūs veicat matemātisko aprēķinu. Varbūtība ir 1/10 * 1/10 * 1/10 * 1/10, tas ir, 1 iznākums no 10 tūkstošiem ir diezgan rets gadījums. Tas ir tas, ko spēlētājs mēģina jums pateikt. Vai šajā gadījumā ir kāda problēma?

Tas viss ir atkarīgs no apstākļiem. Cik spēlētāju pašlaik ir jūsu serverī? Pieņemsim, ka jums ir pietiekami daudz populāra spēle, un katru dienu to spēlē 100 tūkstoši cilvēku. Cik spēlētāju var nogalināt četrus monstrus pēc kārtas? Varbūt visas, vairākas reizes dienā, bet pieņemsim, ka puse no viņiem vienkārši apmainās ar dažādām mantām izsolēs, čato RP serveros vai veic citas spēles darbības – tātad tikai puse medī monstrus. Kāda ir iespējamība, ka kāds saņems tādu pašu atlīdzību? Šādā situācijā varat sagaidīt, ka tas notiks vismaz vairākas reizes dienā.

Starp citu, tieši tāpēc šķiet, ka ik pēc dažām nedēļām kāds uzvar loterijā, pat ja tas nekad nav bijis jūs vai kāds, ko pazīstat. Ja pietiekami daudz cilvēku spēlē regulāri, iespējams, ka kaut kur būs vismaz viens laimīgais spēlētājs. Bet, ja pats spēlēsi loteriju, tad diez vai laimēsi, bet drīzāk tiksi uzaicināts strādāt Infinity Ward.

Kartes un atkarība

Mēs esam apsprieduši neatkarīgus notikumus, piemēram, kauliņa mešanu, un tagad zinām daudz efektīvu rīku nejaušības analīzei daudzās spēlēs. Varbūtības aprēķināšana ir nedaudz sarežģītāka, ja runa ir par kāršu izvilkšanu no klāja, jo katra mūsu izvilktā kārts ietekmē tās, kas paliek klājā.

Ja jums ir standarta 52 kāršu kārts, jūs noņemat no tās 10 sirdis un vēlaties uzzināt varbūtību, ka nākamā kārts būs tāda paša masts - varbūtība ir mainījusies no sākotnējās, jo jūs jau esat noņēmis vienu masts kārti. siržu no klāja. Katra izņemtā kārts maina nākamās kārts parādīšanās iespējamību klājā. Šajā gadījumā iepriekšējais notikums ietekmē nākamo, tāpēc mēs to saucam par atkarīgu no varbūtības.

Lūdzu, ņemiet vērā, ka, sakot "kartes", es runāju par jebkuru spēļu mehāniķi, kur jums ir objektu kopa un jūs noņemat vienu no objektiem, to neaizstājot. “Kāršu kave” šajā gadījumā ir analoga čipsu maisam, no kura paņem vienu čipu, vai urnai, no kuras tiek ņemtas krāsainas bumbiņas (neesmu redzējis spēles ar urnu, no kuras tiek ņemtas krāsainas bumbiņas, bet skolotāji no varbūtības teorijas, pamatojoties uz kādu iemeslu, kāpēc šim piemēram tiek dota priekšroka).

Atkarības īpašības

Es vēlos precizēt, ka, runājot par kārtīm, es pieņemu, ka jūs izvelkat kārtis, apskatiet tās un noņemiet tās no klāja. Katra no šīm darbībām ir svarīgs īpašums. Ja man būtu, teiksim, sešu kāršu komplekts ar skaitļiem no 1 līdz 6, es tās sajauktu un izvilktu vienu kārti, pēc tam vēlreiz sajauktu visas sešas kārtis — tas būtu līdzīgi kā mest ar sešpusēju kauli, jo viens rezultāts ir nav ietekmes uz nākamajiem. Un, ja es izņemu kārtis un nenomainīšu tās, tad, izņemot 1. kartīti, es paaugstinu varbūtību, ka nākamreiz izvilkšu karti ar numuru 6. Varbūtība palielināsies, līdz es beidzot izņemšu šo karti vai sajauciet klāju.

Svarīgi ir arī tas, ka mēs skatāmies uz kārtīm. Ja es izņemšu kārti no klāja un neskatīšos uz to, man nebūs Papildus informācija un patiesībā varbūtība nemainīsies. Tas var izklausīties pretintuitīvi. Kā vienkārši kārts pagriešana var maģiski mainīt izredzes? Bet tas ir iespējams, jo jūs varat aprēķināt nezināmu vienumu varbūtību tikai no tā, ko zināt.

Piemēram, ja jūs sajaucat standarta kāršu klāju un atklājat 51 kārti, un neviena no tām nav nūju karaliene, varat būt 100% pārliecināts, ka atlikušā kārts ir nūju dāma. Ja jūs sajaucat standarta kāršu klāju un izņemat 51 kārti, tās neapskatot, varbūtība, ka atlikušā kārts ir nūju dāma, joprojām ir 1/52. Atverot katru karti, jūs saņemat vairāk informācijas.

Atkarīgo notikumu varbūtības aprēķināšana notiek pēc tiem pašiem principiem kā neatkarīgiem notikumiem, izņemot to, ka tas ir nedaudz sarežģītāk, jo varbūtības mainās, atklājot kārtis. Tātad jums ir jāreizina daudz dažādas nozīmes, nevis reizināt to pašu vērtību. Tas patiesībā nozīmē, ka mums ir jāapvieno visi veiktie aprēķini vienā kombinācijā.

Piemērs

Jūs sajaucat standarta 52 kāršu klāju un izvelk divas kārtis. Kāda ir varbūtība, ka izlozēsiet pāri? Ir vairāki veidi, kā aprēķināt šo varbūtību, bet, iespējams, vienkāršākais ir šāds: kāda ir varbūtība, ka, izvelkot vienu kārti, nevarēsit izvilkt pāri? Šī varbūtība ir nulle, tāpēc nav nozīmes, kuru pirmo kārti izvelk, ja vien tā sakrīt ar otro. Nav svarīgi, kuru kārti izvelkam pirmo, mums joprojām ir iespēja izvilkt pāri. Tāpēc pāra izvilkšanas varbūtība pēc pirmās kārts izvilkšanas ir 100%.

Kāda ir varbūtība, ka otrā kārts sakrīt ar pirmo? Klājā ir palikusi 51 kārts, un 3 no tām sakrīt ar pirmo kārti (faktiski būtu 4 no 52, bet jūs jau noņēmāt vienu no atbilstošajām kārtīm, kad izvilcāt pirmo kārti), tāpēc varbūtība ir 1/ 17. Tātad nākamreiz, kad jūs spēlējat Texas Hold'em, puisis, kas atrodas pretī galdam, saka: "Vēl, vēl viens pāris? Man šodien ir paveicies,” jūs zināt, ka pastāv liela varbūtība, ka viņš blefo.

Ko darīt, ja mēs pievienojam divus džokerus, lai mums būtu 54 kārtis un mēs vēlamies zināt, kāda ir pāra izvilkšanas iespējamība? Pirmā kārts var būt džokers, un tad klājā būs tikai viena atbilstošā kārts, nevis trīs. Kā šajā gadījumā atrast varbūtību? Mēs sadalīsim varbūtības un reizinām katru iespēju.

Mūsu pirmā kārts varētu būt džokeris vai kāda cita karte. Jokera izvilkšanas iespējamība ir 2/54, varbūtība izvilkt kādu citu kārti ir 52/54. Ja pirmā kārts ir džokers (2/54), tad varbūtība, ka otrā kārts sakritīs ar pirmo, ir 1/53. Mēs reizinām vērtības (mēs varam tās reizināt, jo tie ir atsevišķi notikumi un mēs vēlamies, lai notiek abi) un iegūstam 1/1431 - mazāk par vienu desmito daļu.

Ja vispirms izvelk kādu citu kārti (52/54), otrās kārts atbilstības varbūtība ir 3/53. Mēs reizinām vērtības un iegūstam 78/1431 (nedaudz vairāk par 5,5%). Ko mēs darām ar šiem diviem rezultātiem? Tie nekrustojas, un mēs vēlamies zināt katra iespējamību, tāpēc mēs pievienojam vērtības. Mēs iegūstam gala rezultātu 79/1431 (joprojām aptuveni 5,5%).

Ja vēlamies būt pārliecināti par atbildes precizitāti, mēs varētu aprēķināt visu pārējo iespējamo iznākumu varbūtību: džokera uzzīmēšana un otrās kārts nesakritība vai kādas citas kārts izvilkšana un otrās kartes nesakritība. Summējot šīs varbūtības un laimesta iespējamību, mēs iegūtu tieši 100%. Es šeit nesniegšu matemātiku, bet jūs varat izmēģināt matemātiku, lai vēlreiz pārbaudītu.

Monty Hall paradokss

Tas mūs noved pie diezgan slavena paradoksa, kas bieži mulsina daudzus cilvēkus - Monty Hall paradoksu. Paradokss ir nosaukts televīzijas raidījuma “Slēgsim darījumu” vadītāja vārdā.

Programmas The Price Is Right vadītājs (agrāk Bobs Bārkers bija vadītājs; kurš tagad ir Drū Kerija? Nekad nedomā) ir jūsu draugs. Viņš vēlas, lai jūs laimētu naudu vai lieliskas balvas. Tā cenšas sniegt jums visas iespējas laimēt, ja vien varat uzminēt, cik patiesībā ir sponsoru iegādātās preces.

Monty Hols uzvedās savādāk. Viņš bija kā Boba Bārkera ļaunais dvīnis. Viņa mērķis bija likt tev izskatīties kā idiotam nacionālajā televīzijā. Ja jūs piedalījāties šovā, viņš bija jūsu pretinieks, jūs spēlējāt pret viņu, un izredzes bija viņam labvēlīgas. Varbūt es esmu pārāk skarbs, bet, skatoties uz izrādi, kurā jūs, visticamāk, iesaistīsities, ja valkāsit smieklīgu kostīmu, es nonāku tieši pie tā.

Viena no slavenākajām izrādes mēmiem bija šāda: jūsu priekšā ir trīs durvis, durvis numurs 1, durvis numurs 2 un durvis numurs 3. Jūs varat izvēlēties vienas durvis bez maksas. Aiz viena no tām atrodas krāšņa balva - piemēram, jauna automašīna. Aiz pārējām divām durvīm nav nevienas balvas, kurām abām nav nekādas vērtības. Viņiem ir paredzēts tevi pazemot, tāpēc aiz viņiem ir ne tikai nekas, bet gan kaut kas stulbs, piemēram, kaza vai milzīga zobu pastas tūbiņa - jebkas, izņemot jaunu automašīnu.

Jūs izvēlaties vienas no durvīm, Montijs gatavojas tās atvērt, lai paziņotu, vai uzvarējāt vai nē... bet pagaidiet. Pirms mēs to uzzinām, apskatīsim vienu no tām durvīm, kuras jūs neizvēlējāties. Montijs zina, aiz kurām durvīm ir balva, un viņš vienmēr var atvērt durvis, aiz kurām nav balvas. “Vai jūs izvēlaties durvis ar numuru 3? Tad atvērsim durvis numur 1, lai parādītu, ka aiz tām nav balvas." Un tagad, aiz dāsnuma, viņš piedāvā iespēju samainīt izvēlētās durvis ar numuru 3 pret tām, kas atrodas aiz 2. durvīm.

Šajā brīdī rodas jautājums par varbūtību: vai šī iespēja palielina vai samazina iespēju laimēt, vai arī tā paliek nemainīga? Kā jūs domājat?

Pareizā atbilde: iespēja izvēlēties citas durvis palielina laimesta iespējamību no 1/3 līdz 2/3. Tas ir neloģiski. Ja iepriekš neesat saskāries ar šo paradoksu, tad visticamāk domājat: pagaidiet, kā tas nākas, ka, atverot vienas durvis, mēs maģiski mainījām varbūtību? Kā mēs jau esam redzējuši ar kartēm, tieši tas notiek, kad iegūstam vairāk informācijas. Acīmredzot, izvēloties pirmo reizi, laimesta iespējamība ir 1/3. Kad atveras vienas durvis, tas nemaz nemaina iespējamību laimēt par pirmo izvēli: varbūtība joprojām ir 1/3. Bet varbūtība, ka otras durvis ir pareizas, tagad ir 2/3.

Apskatīsim šo piemēru no cita skatu punkta. Jūs izvēlaties durvis. Uzvaras iespējamība ir 1/3. Es iesaku nomainīt pārējās divas durvis, ko Monty Hall arī dara. Protams, viņš atver vienas no durvīm, lai atklātu, ka aiz tā nav balvas, taču viņš vienmēr to var izdarīt, tāpēc tas neko nemaina. Protams, jūs vēlaties izvēlēties citas durvis.

Ja jūs īsti nesaprotat jautājumu un jums ir nepieciešams pārliecinošāks skaidrojums, noklikšķiniet uz šīs saites, lai nokļūtu lieliskā mazajā Flash lietojumprogrammā, kas ļaus jums izpētīt šo paradoksu sīkāk. Varat spēlēt, sākot ar aptuveni 10 durvīm un pēc tam pakāpeniski pāriet uz spēli ar trīs durvīm. Ir arī simulators, kurā varat spēlēt ar jebkuru durvju skaitu no 3 līdz 50 vai palaist vairākus tūkstošus simulāciju un redzēt, cik reižu jūs uzvarētu, ja spēlētu.

Izvēlieties vienu no trim durvīm – laimesta iespējamība ir 1/3. Tagad jums ir divas stratēģijas: mainiet savu izvēli pēc nepareizo durvju atvēršanas vai nē. Ja jūs nemaināt savu izvēli, tad varbūtība paliks 1/3, jo izvēle notiek tikai pirmajā posmā, un jums ir jāuzmin uzreiz. Ja mainīsi, tad vari uzvarēt, ja vispirms izvēlies nepareizās durvis (tad atver citas nepareizās, paliek īstās - mainot savu lēmumu, tu to pieņem). Varbūtība, ka sākumā izvēlēsies nepareizās durvis, ir 2/3 – tātad sanāk, ka, mainot savu lēmumu, tu dubulto varbūtību laimēt.

Augstākās matemātikas skolotāja un spēļu bilances speciālista Maksima Soldatova piezīme - protams, Šreiberam nebija, bet bez tā ir diezgan grūti saprast šo maģisko pārvērtību

Un atkal par Monty Hall paradoksu

Kas attiecas uz pašu izrādi: pat ja Montija Hola pretiniekiem nebija labi matemātika, viņam tā padevās. Lūk, ko viņš izdarīja, lai nedaudz mainītu spēli. Ja jūs izvēlētos durvis, aiz kurām ir balva, kuras iespējamība ir 1/3, tas vienmēr dotu jums iespēju izvēlēties citas durvis. Jūs izvēlēsieties automašīnu un pēc tam nomainīsiet to pret kazu, un jūs izskatīsieties diezgan stulbi — tas ir tieši tas, ko vēlaties, jo Hols ir ļauns puisis.

Bet, ja izvēlaties durvis, aiz kurām nav balvas, viņš tikai pusi no laika lūgs jums izvēlēties citas, vai arī viņš vienkārši parādīs jūsu jauno kazu, un jūs pametīsit skatuvi. Analizēsim šo jauna spēle, kurā Monty Hall var izlemt, vai piedāvāt jums iespēju izvēlēties citas durvis vai nē.

Pieņemsim, ka viņš vadās pēc šāda algoritma: ja izvēlaties durvis ar balvu, viņš vienmēr piedāvā iespēju izvēlēties citas durvis, pretējā gadījumā viņš, visticamāk, piedāvās izvēlēties citas durvis vai uzdāvinās kazu. Kāda ir tava iespēja uzvarēt?

Vienā no trim iespējām jūs uzreiz izvēlaties durvis, aiz kurām atrodas balva, un prezentētājs aicina izvēlēties citas.

No atlikušajām divām iespējām no trim (sākotnēji izvēlaties durvis bez balvas) pusē gadījumu prezentētājs piedāvās mainīt lēmumu, bet otrā pusē – nē.

Puse no 2/3 ir 1/3, tas ir, vienā gadījumā no trim iegūsi kazu, vienā gadījumā no trim izvēlēsies nepareizās durvis un saimnieks lūgs izvēlēties citas, un vienā gadījumā no trim jūs izvēlēsieties pareizās durvis, bet viņš atkal piedāvās citas.

Ja vadītājs piedāvā izvēlēties citas durvis, mēs jau zinām, ka tas viens gadījums no trim, kad viņš mums iedod kazu un mēs aizbraucam, nav noticis. Šis noderīga informācija: tas nozīmē, ka mūsu izredzes uzvarēt ir mainījušās. Divi gadījumi no trim, kad mums ir iespēja izvēlēties: vienā gadījumā tas nozīmē, ka uzminējām pareizi, bet otrā, ka uzminējām nepareizi, tātad, ja mums vispār piedāvātu iespēju izvēlēties, tad mūsu laimesta varbūtība ir 1/2, un no matemātiskā viedokļa nav nozīmes tam, vai paliekat pie savas izvēles vai izvēlaties citas durvis.

Tāpat kā pokers, tā ir psiholoģiska spēle, nevis matemātiska. Kāpēc Montijs tev deva izvēli? Viņš domā, ka tu esi vienkāršs, kurš nezina, ka citu durvju izvēle ir “pareizais” lēmums un spītīgi turēsies pie savas izvēles (galu galā psiholoģiski situācija ir sarežģītāka, kad izvēlējāties automašīnu un pēc tam to pazaudējāt)?

Vai arī viņš, nolemjot, ka esat gudrs un izvēlēsities citas durvis, piedāvā jums šo iespēju, jo viņš zina, ka jūs vispirms uzminējāt pareizi un aizķersies? Vai varbūt viņš ir neraksturīgi laipns un mudina jūs darīt kaut ko, kas jums nāks par labu, jo viņš kādu laiku nav atdevis automašīnas, un producenti saka, ka skatītājiem kļūst garlaicīgi, un labāk būtu drīz piešķirt lielu balvu reitingi krītas?

Tādā veidā Montijam izdodas laiku pa laikam piedāvāt izvēli un tomēr saglabāt kopējo laimesta iespējamību 1/3 līmenī. Atcerieties, ka varbūtība, ka jūs tieši zaudēsit, ir 1/3. Iespēja, ka jūs uzreiz uzminēsit pareizi, ir 1/3, un 50% gadījumu jūs uzvarēsit (1/3 x 1/2 = 1/6).

Iespēja, ka sākumā uzminēsi nepareizi, bet pēc tam varēsi izvēlēties citas durvis, ir 1/3, un pusi no šīm reizēm tu uzvarēsi (arī 1/6). Saskaitiet divas neatkarīgas laimesta iespējas, un jūs iegūstat varbūtību 1/3, tāpēc nav svarīgi, vai paliksit pie savas izvēles vai izvēlaties citas durvis – jūsu kopējā laimesta iespējamība spēles laikā ir 1/3.

Varbūtība nekļūst lielāka kā situācijā, kad tu uzminēji durvis un vadītājs vienkārši parādīja, kas aiz tām slēpjas, nepiedāvājot izvēlēties citas. Priekšlikuma mērķis ir nevis mainīt varbūtību, bet gan padarīt lēmumu pieņemšanas procesu patīkamāku televīzijā.

Starp citu, tas ir viens no iemesliem, kāpēc pokers var būt tik interesants: vairumā formātu starp raundiem, kad tiek veiktas likmes (piemēram, flops, turns un rivers Texas Hold'em), kārtis tiek atklātas pakāpeniski un ja spēles sākumā tev ir viena iespēja laimēt , tad pēc katra likmju apļa, kad tiek atklātas vairāk kārtis, šī varbūtība mainās.

Zēna un meitenes paradokss

Tas mūs noved pie cita labi zināma paradoksa, kas, kā likums, mulsina visus - zēna un meitenes paradoksu. Vienīgais, par ko es šodien rakstu, kas nav tieši saistīts ar spēlēm (lai gan es domāju, ka man tikai vajadzētu mudināt jūs izveidot atbilstošu spēļu mehāniku). Šī ir vairāk mīkla, taču interesanta, un, lai to atrisinātu, jums ir jāsaprot nosacītā varbūtība, par kuru mēs runājām iepriekš.

Problēma: man ir draugs ar diviem bērniem, vismaz viens no viņiem ir meitene. Kāda ir varbūtība, ka arī otrs bērns ir meitene? Pieņemsim, ka jebkurā ģimenē iespēja piedzimt meitenei un zēnam ir 50/50, un tas attiecas uz katru bērnu.

Faktiski dažiem vīriešiem ir vairāk spermatozoīdu ar X hromosomu vai Y hromosomu spermā, tāpēc izredzes nedaudz mainās. Ja zināt, ka viens bērns ir meitene, otrās meitenes iespējamība ir nedaudz lielāka, un ir arī citi apstākļi, piemēram, hermafrodītisms. Bet, lai atrisinātu šo problēmu, mēs to neņemsim vērā un pieņemsim, ka bērna piedzimšana ir neatkarīgs pasākums un zēna un meitenes piedzimšana ir vienlīdz iespējama.

Tā kā mēs runājam par iespēju 1/2, intuitīvi mēs sagaidām, ka atbilde, visticamāk, būs 1/2 vai 1/4, vai kāds cits skaitlis, kas saucējā ir divkārtējs. Bet atbilde ir 1/3. Kāpēc?

Grūtības šeit ir tādas, ka mūsu rīcībā esošā informācija samazina iespēju skaitu. Pieņemsim, ka vecāki ir Sezama ielas cienītāji un neatkarīgi no bērnu dzimuma nosauca viņus par A un B. Normālos apstākļos ir četras vienlīdz iespējamas iespējas: A un B ir divi zēni, A un B ir divas meitenes, A ir zēns un B ir meitene, A ir meitene un B ir zēns. Tā kā mēs zinām, ka vismaz viens bērns ir meitene, mēs varam izslēgt iespēju, ka A un B ir divi zēni. Tas mums atstāj trīs iespējas — joprojām vienlīdz iespējamas. Ja visas iespējas ir vienādi iespējamas un tās ir trīs, tad katras iespējamība ir 1/3. Tikai vienā no šiem trim variantiem abas bērni ir meitenes, tāpēc atbilde ir 1/3.

Un atkal par zēna un meitenes paradoksu

Problēmas risinājums kļūst vēl neloģiskāks. Iedomājieties, ka manam draugam ir divi bērni un viens no tiem ir otrdien dzimusi meitene. Pieņemsim, ka normālos apstākļos bērns ar vienādu varbūtību var piedzimt katrā no septiņām nedēļas dienām. Kāda ir varbūtība, ka arī otrs bērns ir meitene?

Jūs varētu domāt, ka atbilde joprojām būtu 1/3: kāda nozīme otrdienai? Bet pat šajā gadījumā mūsu intuīcija mūs pieviļ. Atbilde ir 13/27, kas ir ne tikai neintuitīvi, bet arī ļoti dīvaini. Kas par lietu šajā gadījumā?

Faktiski otrdiena maina varbūtību, jo mēs nezinām, kurš bērns dzimis otrdien, vai varbūt abi ir dzimuši otrdien. Šajā gadījumā mēs izmantojam to pašu loģiku: mēs saskaitām visas iespējamās kombinācijas, kad vismaz viens bērns ir otrdien dzimusi meitene. Tāpat kā iepriekšējā piemērā, pieņemsim, ka bērni ir nosaukti A un B. Kombinācijas izskatās šādi:

• A ir meitene, kura dzimusi otrdien, B ir puika (šajā situācijā ir 7 iespējas, katrai nedēļas dienai, kad varēja piedzimt puika).
• B ir otrdien dzimusi meitene, A ir puika (arī 7 iespējas).
• A - meitene, kas dzimusi otrdien, B - meitene, kas dzimusi citā nedēļas dienā (6 iespējas).
• B ir meitene, kas dzimusi otrdien, A ir meitene, kas nav dzimusi otrdien (arī 6 varbūtības).
• A un B ir divas meitenes, kas dzimušas otrdien (1 iespēja, jums jāpievērš uzmanība tam, lai neskaitītu divreiz).

Saskaitām un iegūstam 27 dažādas vienādi iespējamas bērnu piedzimšanas un dienu kombinācijas ar vismaz vienu iespēju, ka meitiņa piedzims otrdien. No tām ir 13 iespējas, kad piedzimst divas meitenes. Tas arī šķiet pilnīgi neloģiski – šķiet, ka šis uzdevums ir izdomāts, lai tikai radītu galvassāpes. Ja jūs joprojām esat neizpratnē, spēļu teorētiķa Jespera Juhl vietnē ir labs šīs problēmas skaidrojums.

Ja pašlaik strādājat pie spēles

Ja jūsu veidotajā spēlē ir nejaušība, šis ir lielisks laiks, lai to analizētu. Atlasiet kādu elementu, kuru vēlaties analizēt. Vispirms pajautājiet sev, kāda ir varbūtība šī elementa, kādam tam vajadzētu būt spēles kontekstā.

Piemēram, ja veidojat RPG un domājat, kādai jābūt iespējai, ka spēlētājs kaujā uzvarēs briesmoni, pajautājiet sev, kāds laimesta procents jums šķiet piemērots. Parasti konsoļu RPG spēlēs spēlētāji kļūst ļoti satraukti, kad viņi zaudē, tāpēc vislabāk ir, ja viņi zaudē reti – 10% gadījumu vai mazāk. Ja esat RPG dizaineris, jūs droši vien zināt labāk nekā es, bet jums tas ir nepieciešams pamatideja, kādai jābūt varbūtībai.

Pēc tam pajautājiet sev, vai jūsu varbūtības ir atkarīgas (piemēram, ar kārtīm) vai neatkarīgas (piemēram, ar kauliņiem). Analizējiet visus iespējamos rezultātus un to varbūtības. Pārliecinieties, vai visu varbūtību summa ir 100%. Un, protams, salīdziniet iegūtos rezultātus ar jūsu cerībām. Vai jūs varat mest kauliņus vai zīmēt kārtis tā, kā to plānojāt, vai ir skaidrs, ka vērtības ir jāpielāgo. Un, protams, ja atrodat kādus trūkumus, varat izmantot tos pašus aprēķinus, lai noteiktu, cik daudz jāmaina vērtības.

Mājas darba uzdevums

Jūsu mājasdarbs” šī nedēļa palīdzēs tev noslīpēt savas varbūtības prasmes. Šeit ir divas kauliņu spēles un kāršu spēle, ko jūs analizēsit, izmantojot varbūtību, kā arī dīvains spēļu mehāniķis, ko savulaik izstrādāju un kas pārbaudīs Montekarlo metodi.

Spēle #1 - Pūķa kauli

Šī ir kauliņu spēle, ko mēs ar kolēģiem reiz izdomājām (pateicoties Džebam Heavensam un Džesijai Kingam) – tā īpaši satriec cilvēku prātus ar savām varbūtībām. Tā ir vienkārša kazino spēle ar nosaukumu Dragon Dice, un tā ir azartspēļu kauliņu sacensības starp spēlētāju un māju.

Jums tiek dots parasts 1d6 kauliņš. Spēles mērķis ir uzmest skaitli, kas ir lielāks par mājas numuru. Tomam tiek iedots nestandarta 1d6 - tāds pats kā tavējais, bet vienā no tā sejām vienības vietā ir pūķa attēls (tātad kazino ir pūķa kubs - 2-3-4-5-6 ). Ja māja iegūst pūķi, tā automātiski uzvar un jūs zaudējat. Ja abi saņem vienādu numuru, tas ir neizšķirts, un jūs atkal metat kauliņus. Uzvar tas, kurš izmet lielāko skaitu.

Protams, viss nenotiek pilnībā spēlētāja labā, jo kazino ir priekšrocība pūķa malas veidā. Bet vai tā tiešām ir taisnība? Tas ir tas, kas jums jāaprēķina. Bet vispirms pārbaudiet savu intuīciju.

Pieņemsim, ka izredzes ir 2 pret 1. Tātad, ja jūs uzvarat, jūs paturat savu likmi un saņemat dubulto likmi. Piemēram, ja jūs veicat likmi uz 1 dolāru un laimējat, jūs paturat šo dolāru un saņemat vēl 2 dolārus, kas kopā veido 3 dolārus. Ja jūs zaudējat, jūs zaudējat tikai savu likmi. Vai tu spēlētu? Vai jūs intuitīvi jūtat, ka varbūtība ir lielāka par 2 pret 1, vai tomēr domājat, ka tā ir mazāka? Citiem vārdiem sakot, vai vidēji vairāk nekā 3 spēlēs jūs plānojat uzvarēt vairāk nekā vienu vai mazāk, vai vienu reizi?

Kad esat izdomājis savu intuīciju, izmantojiet matemātiku. Abiem kauliņiem ir tikai 36 iespējamās pozīcijas, tāpēc jūs varat tās visas bez problēmām saskaitīt. Ja neesat pārliecināts par šo piedāvājumu 2 pret 1, apsveriet šo: Pieņemsim, ka esat spēlējis spēli 36 reizes (katru reizi likmi 1 $). Par katru uzvaru jūs saņemat 2 dolārus, par katru zaudējumu jūs zaudējat 1, un neizšķirts neko nemaina. Aprēķiniet visus iespējamos laimestus un zaudējumus un izlemiet, vai zaudēsiet vai iegūsit dažus dolārus. Pēc tam pajautājiet sev, cik pareiza bija jūsu intuīcija. Un tad saproti, kāds es esmu nelietis.

Un, jā, ja jūs jau esat domājis par šo jautājumu, es jūs apzināti mulsinu, nepareizi attēlojot kauliņu spēļu faktisko mehāniku, taču esmu pārliecināts, ka jūs varat pārvarēt šo šķērsli, tikai nedaudz padomājot. Mēģiniet pats atrisināt šo problēmu.

Spēle Nr.2 - Metiens uz veiksmi

Tā ir azartspēle ar kauliņiem, ko sauc par "Laimes ripināšanu" (saukta arī par "Putnu būri", jo dažreiz kauliņus nemet, bet gan ievieto lielā stiepļu būrī, kas atgādina būru no Bingo). Spēle ir vienkārša, un būtībā tā ir: veiciet likmi, teiksim, $ 1 uz skaitli no 1 līdz 6. Pēc tam jūs metat 3d6. Par katru kauliņu, kas iegūst jūsu numuru, jūs saņemat 1 $ (un paturat savu sākotnējo likmi). Ja jūsu numurs neparādās nevienā no kauliņiem, kazino saņem jūsu dolāru, bet jūs neko. Tātad, ja jūs veicat likmi uz 1 un trīs reizes saņemat 1 uz pusēm, jūs saņemsiet 3 USD.

Intuitīvi šķiet, ka šai spēlei ir vienādas iespējas. Katrs kauliņš ir indivīds 1 pret 6 iespēja uzvarēt, tāpēc, pārsniedzot trīs metienu summu, jūsu iespēja laimēt ir 3 pret 6. Tomēr, protams, atcerieties, ka jūs pievienojat trīs atsevišķus kauliņus un jums ir atļauts tikai pievienojiet, ja mēs runājam par atsevišķām viena un tā paša kauliņa laimestu kombinācijām. Kaut kas jums būs jāpavairo.

Kad esat aprēķinājis visus iespējamos rezultātus (iespējams, vieglāk izdarāms programmā Excel, nevis ar roku, jo to ir 216), spēle joprojām izskatās dīvaini un pat no pirmā acu uzmetiena. Patiesībā kazino joprojām ir lielākas izredzes laimēt – cik daudz vairāk? Konkrēti, cik daudz naudas jūs plānojat zaudēt vidēji katrā spēles kārtā?

Viss, kas jums jādara, ir saskaitīt visu 216 rezultātu uzvaras un zaudējumus un pēc tam dalīt ar 216, kam vajadzētu būt diezgan vienkārši. Bet, kā redzat, šeit ir vairākas nepilnības, tāpēc es saku: ja jūs domājat, ka šai spēlei ir vienmērīgas iespējas uzvarēt, jums tas viss ir nepareizi.

3. spēle — 5 Card Stud pokers

Ja esat jau iesildījies ar iepriekšējām spēlēm, pārbaudīsim, ko mēs zinām par nosacīto varbūtību, izmantojot šo kāršu spēli kā piemēru. Iedomāsimies pokera spēli ar 52 kāršu klāju. Iedomāsimies arī 5 card stud, kur katrs spēlētājs saņem tikai 5 kārtis. Jūs nevarat izmest kārti, nevarat izvilkt jaunu, nav dalīta kāršu klāja - jūs saņemat tikai 5 kārtis.

Royal Flush vienā rokā ir 10-J-Q-K-A, kopā ir četri, tātad ir četri iespējamie veidi iegūt karalisko flush. Aprēķiniet varbūtību, ka iegūsit vienu šādu kombināciju.

Man jūs jābrīdina par vienu lietu: atcerieties, ka jūs varat izvilkt šīs piecas kārtis jebkurā secībā. Tas ir, vispirms jūs varat izvilkt dūzi vai desmitnieku, tam nav nozīmes. Tāpēc, veicot matemātiku, paturiet prātā, ka patiesībā ir vairāk nekā četri veidi, kā iegūt karalisko flush, pieņemot, ka kārtis tika izdalītas kārtībā.

Spēle Nr.4 – SVF loterija

Ceturto problēmu nevar tik vienkārši atrisināt, izmantojot metodes, par kurām mēs šodien runājām, taču jūs varat viegli simulēt situāciju, izmantojot programmēšanu vai Excel. Uz šīs problēmas piemēra var izstrādāt Montekarlo metodi.

Iepriekš pieminēju spēli Chron X, pie kuras strādāju vienu reizi, un tur bija viena ļoti interesanta karte- SVF loterija. Lūk, kā tas darbojās: jūs to izmantojāt spēlē. Pēc kārtas beigām kārtis tika sadalītas, un pastāvēja 10% iespēja, ka kārts izies no spēles un nejaušs spēlētājs saņems 5 vienības no katra veida resursiem, kuru žetons bija uz šīs kartes. Karte tika ievadīta spēlē bez neviena žetona, bet katru reizi, kad tā palika spēlē nākamās kārtas sākumā, tā saņēma vienu žetonu.

Tātad pastāvēja 10% iespēja, ka, ja jūs to laižat spēlē, raunds beigsies, kārts pametīs spēli un neviens neko neiegūs. Ja tas nenotiks (90% iespējamība), pastāv 10% iespēja (faktiski 9%, jo tas ir 10% no 90%), ka nākamajā kārtā viņa pametīs spēli un kāds saņems 5 resursu vienības. Ja karte pamet spēli pēc viena apļa (10% no 81% pieejamā, tātad varbūtība ir 8,1%), kāds saņems 10 vienības, vēl viens raunds - 15, cits - 20 utt. Jautājums: kāda ir kopējā paredzamā resursu skaita vērtība, ko iegūsit no šīs kartes, kad tā beidzot pametīs spēli?

Parasti mēs mēģinātu atrisināt šo problēmu, aprēķinot katra iznākuma iespējamību un reizinot ar visu iznākumu skaitu. Pastāv 10% iespēja, ka jūs saņemsiet 0 (0,1 * 0 = 0). 9%, ka saņemsiet 5 resursu vienības (9% * 5 = 0,45 resursi). 8,1% no tā, ko jūs iegūsit, ir 10 (8,1%*10=0,81 resurss — kopējā paredzamā vērtība). Un tā tālāk. Un tad mēs to visu apkopotu.

Un tagad problēma jums ir acīmredzama: vienmēr pastāv iespēja, ka karte nepametīs spēli, tā var palikt spēlē mūžīgi, bezgalīgi daudz kārtu, tāpēc nav iespējams aprēķināt katru varbūtību. Šodien apgūtās metodes neļauj mums aprēķināt bezgalīgu rekursiju, tāpēc mums tā būs jāveido mākslīgi.

Ja jums ir pietiekami labi programmēšana, uzrakstiet programmu, kas simulēs šo karti. Jums vajadzētu būt laika cilpai, kas novirza mainīgo nulles sākuma pozīcijā, parāda nejaušu skaitli un ar 10% iespējamību, ka mainīgais iziet no cilpas. Pretējā gadījumā tas pievieno 5 mainīgajam un cilpa atkārtojas. Kad tas beidzot iziet no cilpas, palieliniet kopējo izmēģinājuma darbību skaitu par 1 un kopējo resursu skaitu (par cik tas ir atkarīgs no tā, kur nonāk mainīgais). Pēc tam atiestatiet mainīgo un sāciet no jauna.

Palaidiet programmu vairākus tūkstošus reižu. Beigās sadaliet kopējo resursu skaitu ar kopējo skrējienu skaitu — tā būs jūsu paredzamā Montekarlo vērtība. Palaidiet programmu vairākas reizes, lai pārliecinātos, ka iegūtie skaitļi ir aptuveni vienādi. Ja izkliede joprojām ir liela, palieliniet atkārtojumu skaitu ārējā cilpā, līdz sākat iegūt sērkociņus. Varat būt pārliecināts, ka neatkarīgi no tā, kādi skaitļi nonāks pie jums, būs aptuveni pareizi.

Ja esat iesācējs programmēšanas jomā (pat ja esat), šeit ir ātrs uzdevums, lai pārbaudītu savas Excel prasmes. Ja esat spēļu dizainers, šīs prasmes nekad nebūs liekas.

Tagad if un rand funkcijas jums būs ļoti noderīgas. Rand neprasa vērtības, tas tikai rada nejaušu vērtību decimālskaitlis no 0 līdz 1. Mēs parasti to apvienojam ar grīdu un plusiem un mīnusiem, lai simulētu kauliņu metienu, ko es minēju iepriekš. Tomēr šajā gadījumā mēs tikai atstājam 10% iespēju, ka karte pametīs spēli, tāpēc varam vienkārši pārbaudīt, vai randu vērtība ir mazāka par 0,1, un vairs par to neuztraukties.

Ja ir trīs nozīmes. Kārtībā: nosacījums, kas ir patiess vai nepatiess, pēc tam vērtība, kas tiek atgriezta, ja nosacījums ir patiess, un vērtība, kas tiek atgriezta, ja nosacījums ir nepatiess. Tātad šī funkcija atgriezīs 5% laika, bet 0 pārējos 90% laika: =IF(RAND()<0.1,5,0) .

Ir daudz veidu, kā iestatīt šo komandu, taču es izmantotu šo formulu šūnai, kas apzīmē pirmo kārtu, pieņemsim, ka tā ir šūna A1: =IF(RAND()<0.1,0,-1) .

Šeit es izmantoju negatīvu mainīgo, kas nozīmē "šī karte nav pametusi spēli un vēl nav atteikusies no resursiem." Tātad, ja pirmā kārta ir beigusies un kārts atstāj spēli, A1 ir 0; pretējā gadījumā tas ir -1.

Nākamajai šūnai, kas pārstāv otro kārtu: =IF(A1>-1, A1, IF(RAND()<0.1,5,-1)) . Tātad, ja pirmā kārta beidzās un karte nekavējoties atstāja spēli, A1 ir 0 (resursu skaits), un šī šūna vienkārši kopēs šo vērtību. Pretējā gadījumā A1 ir -1 (karte vēl nav pametusi spēli), un šī šūna turpina nejauši pārvietoties: 10% gadījumu tā atgriezīs 5 resursu vienības, pārējā laikā tās vērtība joprojām būs vienāda ar -1. Ja mēs piemērojam šo formulu papildu šūnām, mēs iegūstam papildu raundus, un tā, kura šūna beigsies, dos jums gala rezultātu (vai -1, ja kārts nekad neizgāja no spēles pēc visiem jūsu spēlētajiem raundiem).

Paņemiet šo šūnu rindu, kas ir vienīgā kārta ar šo karti, un kopējiet un ielīmējiet vairākus simtus (vai tūkstošus) rindu. Mēs, iespējams, nevarēsim veikt bezgalīgu Excel testu (tabulā ir ierobežots šūnu skaits), taču mēs vismaz varam aptvert lielāko daļu gadījumu. Pēc tam atlasiet vienu šūnu, kurā ievietosit visu kārtu rezultātu vidējos rādītājus - Excel šim nolūkam nodrošina vidējo () funkciju.

Operētājsistēmā Windows varat vismaz nospiest taustiņu F9, lai pārrēķinātu visus nejaušos skaitļus. Tāpat kā iepriekš, dariet to vairākas reizes un pārbaudiet, vai iegūstat tādas pašas vērtības. Ja starpība ir pārāk liela, dubultojiet skrējienu skaitu un mēģiniet vēlreiz.

Neatrisinātas problēmas

Ja jums ir iespējamības teorijas grāds un iepriekš minētās problēmas jums šķiet pārāk vienkāršas, šeit ir divas problēmas, par kurām es raustu galvu gadiem ilgi, bet diemžēl es neesmu pietiekami labs matemātikā, lai tās atrisinātu.

Neatrisināta problēma Nr. 1: SVF loterija

Pirmā neatrisinātā problēma ir iepriekšējais mājasdarbs. Es varu viegli pielietot Montekarlo metodi (izmantojot C++ vai Excel) un būt pārliecināts par atbildi uz jautājumu “cik resursus spēlētājs saņems”, bet precīzi nezinu, kā matemātiski sniegt precīzu pierādāmu atbildi (tā ir bezgalīga sērija).

Neatrisināta problēma #2: figūru secības

Šo problēmu (tā arī sniedzas daudz tālāk par uzdevumiem, kas tiek risināti šajā blogā) man pirms vairāk nekā desmit gadiem uzdeva draugs spēlētājs. Spēlējot blekdžeku Vegasā, viņš pamanīja vienu interesantu lietu: kad viņš izņēma kārtis no 8 klāju kurpes, viņš ieraudzīja desmit figūras pēc kārtas (figūras vai sejas kārts ir 10, Džokers, karalis vai karaliene, tātad ir 16 kopā standarta 52 kāršu kārtīs vai 128 416 kāršu kārbās).

Kāda ir varbūtība, ka šajā kurpē ir vismaz viena desmit vai vairāk figūru secība? Pieņemsim, ka tie tika sajaukti godīgi, nejaušā secībā. Vai arī, ja vēlaties, kāda ir varbūtība, ka desmit vai vairāk skaitļu secība nekur nenotiek?

Mēs varam vienkāršot uzdevumu. Šeit ir 416 daļu secība. Katra daļa ir 0 vai 1. Visā secībā ir nejauši izkaisīti 128 vieninieki un 288 nulles. Cik daudz veidu ir, lai nejauši sajauktu 128 vieniniekus ar 288 nullēm, un cik reizes šajos veidos būs vismaz viena desmit vai vairāk vieninieku grupa?

Katru reizi, kad ķēros pie šīs problēmas risināšanas, man tas šķita viegli un pašsaprotami, taču, tiklīdz iedziļinājos detaļās, tā pēkšņi izjuka un šķita vienkārši neiespējama.

Tāpēc nesteidzieties izpludināt atbildi: apsēdieties, rūpīgi padomājiet, izpētiet apstākļus, mēģiniet pieslēgt reālus skaitļus, jo visi cilvēki, ar kuriem es runāju par šo problēmu (tostarp vairāki maģistranti, kas strādā šajā jomā), reaģēja par to. tas pats: "Tas ir pilnīgi acīmredzams... ak, nē, pagaidiet, tas vispār nav acīmredzams." Tas ir gadījumā, ja man nav metodes visu iespēju aprēķināšanai. Es, protams, varētu rupji atrisināt problēmu, izmantojot datora algoritmu, taču būtu daudz interesantāk uzzināt matemātisko risinājumu.

Tad viņš veica to pašu eksperimentu ar trim kauliņiem. Uz papīra lapas ailē pierakstīju skaitļus no 3 līdz 18. Tās ir summas, kas var parādīties, metot trīs kauliņus. Es izdarīju 400 metienus. Es aprēķināju rezultātu un ievadīju to tabulā. (3. un 4. pielikums) Summas 10 un 11 parādās biežāk.

Es veicu vēl vienu eksperimentu ar četriem kauliņiem. Kolonnā bija skaitļi no 4 līdz 24. Šīs ir summas, kas var parādīties, metot četrus kauliņus. Atkal trāpu 400 metienu. Es aprēķināju rezultātu un ievadīju to tabulā. (5. un 6. pielikums) Summa 14 tiek ripināta biežāk.

Tad es nolēmu veikt matemātiku. Uztaisīju tabulu diviem kauliņiem un aizpildīju. (7.pielikums) Saņēmu rezultātu - summa septiņi sanāk biežāk. (8. pielikums). Sešas reizes no trīsdesmit sešiem gadījumiem. Vispirms es veicu tos pašus matemātiskos aprēķinus trim kauliņiem. (9.pielikums) Visbiežāk norādītās summas ir 10 un 11. Tas ir 27 gadījumi no 216. Un visretāk sastopamie skaitļi ir 3 un 18, tikai 1 gadījums no 216. (10.pielikums) Un tad četriem kauliņiem. (11.pielikums) Kopā ir 1296 gadījumi Biežākā summa ir 14, kas ir 146 gadījumi no 1296. Un vismazākā summa ir 4 un 24, tikai 1 gadījums no 1296. (12.pielikums)

Atradu aprakstu par trikiem ar kauliņiem. Mani pārsteidza dažu triku vienkāršība un oriģinalitāte. Parastā atzīmju secība kauliņu malās ir daudzu kauliņu triku pamatā. Un es mēģināju izdarīt vairākus trikus. Man izdevās. Bet, lai tos veiksmīgi īstenotu, ir jāskaita ātri un labi.

Triks ir izveicīgs triks, kura pamatā ir acs maldināšana ar veiklu un ātru paņēmienu palīdzību. Triks vienmēr ir pa pusei slēpts no skatītājiem: viņi zina, ka ir noslēpums, bet viņi to iztēlojas kā kaut ko nereālu, nesaprotamu. Matemātiskie triki ir sava veida matemātisko likumu demonstrācija.

Katra trika veiksme ir atkarīga no labas sagatavošanās un apmācības, katra skaitļa izpildes viegluma, precīza aprēķina un trika izpildei nepieciešamo paņēmienu prasmīgas izmantošanas. Šādi triki atstāj lielu iespaidu uz auditoriju un aizrauj viņus.

Fokuss 1. “Summas uzminēšana”

Demonstrējošais pagriež skatītājiem muguru, un šajā laikā viens no viņiem met uz galda trīs kauliņus. Pēc tam skatītājam tiek lūgts saskaitīt trīs izlozētos skaitļus, paņemt jebkuru kauliņu un pievienot apakšpusē esošo skaitli tikko iegūtajam kopsummai. Pēc tam vēlreiz metiet to pašu kauliņu un vēlreiz pievienojiet skaitlim, kas iegūts. Demonstrētājs vērš skatītāju uzmanību uz to, ka viņš nekādi nevar zināt, kurš no trim kauliņiem mests divreiz, pēc tam savāc kauliņus, pakrata tos rokā un uzreiz pareizi nosauc galīgo summu.

Paskaidrojums. Pirms kauliņu savākšanas persona, kas parāda, saskaita skaitļus, kas ir vērsti uz augšu. Iegūtajai summai pievienojot septiņus, viņš atrod galīgo summu.

Šis triks balstās uz pretējo seju skaitļu summas īpašību - tas vienmēr ir vienāds ar septiņiem.

2. nodaļa. Kauliņu noslēpums

2.1. Aprēķiniet rezultātu

Lai noskaidrotu, kāda summa biežāk sanāk, metot divus, trīs, četrus utt. kauliņus, veicu vairākus eksperimentus.

Pirms darba uzsākšanas sastādīju tabulu datu ievadīšanai. Kolonnā ir skaitļi no 2 līdz 12. Tās ir summas, kas var parādīties, metot divus kauliņus. Uz galda gludās virsmas, lai nebūtu ārējas iejaukšanās, viņš sāka mest kauliņus. Katrs mēģinājums tika atzīmēts pretī nomestās summas ciparam – ar vertikālu domuzīmi.

1. eksperiments:

1) Es ņemu divus kauliņus un glāzi.

Es atkārtoju eksperimentu 400 reizes.

Eksperiments palīdzēja noskaidrot, kura summa rodas biežāk, metot divus kauliņus. (1. un 2. pielikums)

Es veicu 2. eksperimentu ar trim kauliņiem, lai noskaidrotu, kura summa tagad parādīsies biežāk.

2. eksperiments:

1) Es ņemu trīs kauliņus un glāzi.

2) Es krata glāzi ar kauliņiem.

3) Es metu kauliņus uz galda.

4) Aprēķinu summu un atzīmēju tabulā.

Es atkārtoju eksperimentu 400 reizes.

Eksperiments palīdzēja noskaidrot, kura summa sanāk biežāk, metot trīs kauliņus. (3. un 4. pielikums)

Eksperiments man palīdzēja pārliecināties, ka, metot trīs kauliņus, iznācis daudzums bija citādāks nekā metot divus kauliņus.

Es veicu 3. eksperimentu ar četriem kauliņiem, lai redzētu izmaiņu dinamiku.

Pirms darba uzsākšanas atkal sastādīju tabulu datu ievadīšanai.

3. eksperiments:

1) Es ņemu četrus kauliņus un glāzi.

2) Es krata glāzi ar kauliņiem.

3) Es metu kauliņus uz galda.

4) Aprēķinu summu un atzīmēju tabulā.

Es atkārtoju eksperimentu 400 reizes.

Eksperiments man palīdzēja pārliecināties, ka, izmetot četrus kauliņus, iegūtā summa atkal ir atšķirīga. (5. un 6. pielikums)

Izpētot eksperimentu rezultātus, man kļuva skaidrs, kāpēc biežāk parādās summas, kas tuvāk tabulas vidum. Galu galā skaitļu summa pretējās pusēs vienmēr ir vienāda ar septiņiem. Tāpēc, metot kauliņus, visticamāk, parādīsies summa, kas ir tuvu šim vidum.

2.2. Rezultātu salīdzināšana

Salīdzinot eksperimentu rezultātus ar kauliņiem (1. - 6. pielikums) un matemātisko aprēķinu rezultātus (7. - 12. pielikums), novēroju, ka biežāk izkrīt summa, kas ir tuvāk vidum. Tāpēc es atradu vidējo aritmētisko kauliņu malās esošo skaitļu summai. (1+2+3+4+5+6) : 6 = 3,5. Rezultāts bija 3,5. Pēc tam es šo skaitli reizināju ar kauliņu skaitu. Ja ņem divus kauliņus, tad reizinājums ir 3,5 · 2 = 7. Skaitlis septiņi ir skaitlis, kas parādās biežāk, metot divus kauliņus. Ja ņemam trīs kauliņus, iegūstam 3,5 · 3 = 10,5. Un tā kā skaitlim ir jābūt veselam skaitlim, tiek ņemti divi blakus esošie skaitļi. Šie skaitļi ir 10 un 11, tie parādās biežāk, metot trīs kauliņus. Jebkuram kauliņu skaitam varat aprēķināt visbiežāk redzamo skaitli, izmantojot formulu 3.5 n , (kur n- kauliņu skaits). Turklāt, ja n Ja skaitlis ir nepāra, tad tiek ņemti divi blakus esošie skaitļi, lai noteiktu skaitli, kas biežāk parādās, metot kauliņus.

Es pārbaudīju Bībeles zīmējumu un atklāju neatbilstību. Diviem kauliņiem ir nepareizs marķējums. Tā kā skaitļu summai pretējās pusēs jābūt vienādai ar septiņiem. Un uz viena no kauliņiem ir trīs augšējā pusē un četri sānos, lai gan četriem vajadzētu būt apakšējā pusē. Uz otra kauliņa augšējā pusē ir pieci, bet sānos divi. Vai varbūt tas ir tāpēc, ka šajā apgabalā tika pieņemts cits kauliņa marķējums.

Secinājums

Savā darbā es uzzināju kauliņu noslēpumu. Šis noslēpums slēpjas pašu kauliņu virspusē. Noslēpums ir marķējumu izkārtojumā. Pretējās pusēs esošo skaitļu summa vienmēr ir septiņi. Veicot eksperimentus un matemātiskus aprēķinus, es atklāju summu, kas biežāk parādās, metot kauliņus un kas ir atkarīga no kauliņu skaita. Šo summu var uzrakstīt kā formulu 3,5 · n, Kur n kauliņu skaits. Pētot šo tēmu, uzzināju, ka kauliņi radušies ap 3000. gadu pirms mūsu ēras. Vietas, kur arheologi atrada senākos spēļu priekšmetus, ir Ēģipte, Irāna, Irāka un Indija. Uzzināja par kauliņu formu un veidu dažādību. Un arī to, kur tiek izmantoti kauliņi un to īpašības. Problēmu risināšanas tēmu nemaz neesmu apsvērusi. Vienkārši varbūtības teorija man joprojām ir grūta. Bet es ceru pie tā atgriezties vēlreiz.

Daudzi lieliski matemātiķi dažādos laikos risināja problēmas ar kauliņiem. Bet man neizdevās atrast formulas autoru lielākās summas atrašanai, metot kauliņus. Varbūt es nemeklēju pietiekami ilgi. Bet es turpināšu meklēt. Mani interesē, kurš pirmais izdomāja šo formulu.

Bibliogrāfija

1. Azarijeva enciklopēdiskā vārdnīca [Elektroniskais resurss] http://www. slovarus. ru/?di=72219

2. Suvorovs par varbūtību spēlēs. Ievads varbūtību teorijā 8.-11.klašu skolēniem. – Jaroslavļa: Attīstības akadēmija, 2006. –192 lpp.

3. Fribus problēmas. – M.: Izglītība, 1994. – 128 lpp.

4. Wikipedia bezmaksas enciklopēdija [Elektroniskais resurss] https://ru. wikipedia. org/wiki/Dice

5. Azartspēļu bizness. Per. no angļu valodas un fr. /NEC "Bibliomarket"; Ed.-komp. . - M. 1994. - 208 lpp.

6. Kauli, zari, kubi [Elektroniskais resurss] http://www. /ru/articles/igralnye_kosti-34

7. Ļutikas par varbūtības teoriju. – M.: Izglītība, 1983. – 127 lpp.

8. Ņikiforovskis matemātiķi Bernulli. – M.: Nauka, 1984. – 180 lpp.

9. Aiz algebras mācību grāmatas lapām. Grāmata 7-9 klašu skolēniem. vispārējā izglītība Iestādes. – M.: Izglītība, 1999. – 237 lpp.

10. 100 izcili zinātnieki. – M.: Veče, 2000. – 592 lpp.

11. Svešvārdu skaidrojošā vārdnīca [Elektroniskais resurss] http:///search

12. Ušakova skaidrojošā vārdnīca [Elektroniskais resurss] http://www. /3/193/772800.html

13. Shen A. Varbūtība: piemēri un uzdevumi. - M.: Izdevniecība MTsNMO, 2008. – 64 lpp.

14. Jakovļeva problēmas ar kauliņiem varbūtību teorijas elementu izpētē [Elektroniskais resurss] http://festival.1september. ru/articles/517883/

15. Jakovļeva un smieklīgi triki ar kauliņiem [Elektroniskais resurss] http://festival.1september. ru/articles/624782/

Pielikums 1. 2 kauliņu mešanas rezultāti

Pielikums 2. 2 kauliņu mešanas rezultāti

Atpakaļ uz priekšu

Uzmanību! Slaidu priekšskatījumi ir paredzēti tikai informatīviem nolūkiem, un tie var neatspoguļot visas prezentācijas funkcijas. Ja jūs interesē šis darbs, lūdzu, lejupielādējiet pilno versiju.

Izglītības tehnoloģijas: skaidrojošās un ilustrētās mācīšanas tehnoloģija, datortehnoloģijas, uz cilvēku vērsta pieeja mācībām, veselību saudzējošas tehnoloģijas.

Nodarbības veids: nodarbība jaunu zināšanu apguvē.

Ilgums: 1 nodarbība.

Klase: 8. klase.

Nodarbības mērķi:

Izglītojoši:

• atkārtojiet formulas lietošanas prasmes, lai atrastu notikuma iespējamību un iemācītu to izmantot uzdevumos ar kauliņiem;
• veikt demonstratīvu spriešanu, risinot problēmas, novērtēt argumentācijas loģisko pareizību, atpazīt loģiski nepareizu argumentāciju.

Izglītojoši:

• attīstīt prasmes informācijas meklēšanā, apstrādē un pasniegšanā;
• attīstīt spēju salīdzināt, analizēt un izdarīt secinājumus;
• attīstīt novērošanas un komunikācijas prasmes.

Izglītojoši:

• audzināt uzmanību un neatlaidību;
• veidot izpratni par matemātikas kā apkārtējās pasaules izpratnes veida nozīmi.

Nodarbības aprīkojums: dators, multivide, marķieri, mimio kopēšanas iekārta (vai interaktīvā tāfele), aploksne (tajā ir praktiskā darba uzdevums, mājas darbs, trīs kartītes: dzeltena, zaļa, sarkana), kauliņu modeļi.

Nodarbības plāns

Laika organizēšana.

Iepriekšējā nodarbībā mēs uzzinājām par klasisko varbūtības formulu.

Nejauša notikuma A iestāšanās varbūtība P ir attiecība m pret n, kur n ir visu iespējamo eksperimenta iznākumu skaits, un m ir visu labvēlīgo iznākumu skaits..

Formula ir tā sauktā klasiskā varbūtības definīcija pēc Laplasa, kas nākusi no azartspēļu jomas, kur laimesta izredzes noteikšanai tika izmantota varbūtības teorija. Šo formulu izmanto eksperimentiem ar ierobežotu skaitu vienādi iespējamo rezultātu.

Notikuma varbūtība = labvēlīgo iznākumu skaits / visu vienādi iespējamo iznākumu skaits

Tātad varbūtība ir skaitlis no 0 līdz 1.

Varbūtība ir 0, ja notikums nav iespējams.

Ja notikums ir skaidrs, varbūtība ir 1.

Atrisināsim problēmu mutiski: Grāmatu plauktā ir 20 grāmatas, no kurām 3 ir uzziņu grāmatas. Kāda ir varbūtība, ka no plaukta paņemta grāmata nebūs uzziņu grāmata?

Risinājums:

Kopējais vienādi iespējamo rezultātu skaits ir 20

Labvēlīgo iznākumu skaits – 20 – 3 = 17

Atbilde: 0,85.

2. Jaunu zināšanu iegūšana.

Tagad atgriezīsimies pie mūsu nodarbības tēmas: “Notikumu varbūtības”, pierakstīsim to savās piezīmju grāmatiņās.

Nodarbības mērķis: iemācīties risināt problēmas, meklējot varbūtību, metot kauliņus vai 2 kauliņus.

Mūsu šodienas tēma ir saistīta ar kauliņiem vai arī to sauc par kauliņiem. Kauliņi ir zināmi kopš seniem laikiem. Kauliņu spēle ir viena no vecākajām, pirmie kauliņu prototipi tika atrasti Ēģiptē, un tie ir datēti ar 20. gadsimtu pirms mūsu ēras. e. Ir daudz šķirņu, sākot no vienkāršām (uzvar tas, kurš iemet visvairāk punktu) līdz sarežģītām, kurās var izmantot dažādas spēles taktikas.

Vecākie kauli ir datēti ar 20. gadsimtu pirms mūsu ēras. e., atklāts Tēbās. Sākotnēji kauli kalpoja kā zīlēšanas instrumenti. Saskaņā ar arheoloģiskajiem izrakumiem, kauliņus spēlēja visur un visos pasaules malās. Nosaukums cēlies no oriģinālā materiāla – dzīvnieku kauliem.

Senie grieķi uzskatīja, ka līdieši izgudroja kaulus, glābjoties no bada, lai vismaz ar kaut ko nodarbotu savu prātu.

Kauliņu spēle tika atspoguļota seno ēģiptiešu, grieķu-romiešu un vēdiskajā mitoloģijā. Bībelē minēti “Iliāda”, “Odiseja”, “Mahabharata”, Vēdu himnu krājumā “Rigvēda”. Dievu panteonos vismaz viens dievs bija kauliņu kā neatņemama atribūta īpašnieks http://ru.wikipedia.org/wiki/%CA%EE%F1%F2%E8_%28%E8%E3%F0%E0%29 - cite_note-2 .

Pēc Romas impērijas sabrukuma spēle izplatījās visā Eiropā un bija īpaši populāra viduslaikos. Tā kā kauliņi tika izmantoti ne tikai spēlēšanai, bet arī zīlēšanai, baznīca vairākkārt mēģināja aizliegt spēli šim nolūkam, taču visi mēģinājumi beidzās ar neveiksmi.

Pēc arheoloģiskajiem datiem, kauliņus spēlēja arī pagānu Krievijā. Pēc kristīšanas pareizticīgā baznīca mēģināja šo spēli izskaust, taču vienkāršo cilvēku vidū tā palika populāra atšķirībā no Eiropas, kur kauliņu spēlēšanā vainojama augstākā muižniecība un pat garīdznieki.

Karš, ko dažādu valstu varas iestādes pieteica kauliņu spēlei, radīja daudz dažādu krāpšanās triku.

Apgaismības laikmetā aizraušanās ar kauliņu spēlēšanu pamazām sāka sarukt, cilvēkiem radās jauni vaļasprieki, viņi sāka interesēties par literatūru, mūziku un glezniecību. Mūsdienās kauliņu spēlēšana nav tik izplatīta.

Pareizi kauliņi nodrošina vienādas izredzes nokļūt malā. Lai to izdarītu, visām malām jābūt vienādām: gludām, plakanām, ar vienādu laukumu, noapaļojumiem (ja tādi ir), urbumiem jābūt urbtiem līdz tādam pašam dziļumam. Punktu summa pretējās pusēs ir 7.

Matemātiskais kauliņš, ko izmanto varbūtību teorijā, ir parastā kauliņa matemātisks attēls. Matemātiskā kaulam nav izmēra, krāsas, svara utt.

Kad met spēlējot kauli(kubs) var izkrist jebkura no tā sešām sejām, t.i. kāds no notikumiem- zaudējums no 1 līdz 6 punktiem (punkti). Bet neviens divi un vienlaikus nevar parādīties vairākas sejas. Tādas notikumiem tiek saukti par nesaderīgiem.

Apsveriet gadījumu, kad tiek izmests 1 kauliņš. Izdarīsim numuru 2 tabulas veidā.

Tagad apsveriet gadījumu, kad tiek izmesti 2 kauliņi.

Ja pirmais kauliņš rāda vienu punktu, tad otrais kauliņš var uzripot 1, 2, 3, 4, 5, 6. Iegūstam pārus (1;1), (1;2), (1;3), ( 1;4), (1;5), (1;6) un tā tālāk ar katru seju. Visus gadījumus var attēlot tabulas veidā ar 6 rindām un 6 kolonnām:

Elementāro notikumu tabula

Uz jūsu rakstāmgalda ir aploksne.

Paņemiet no aploksnes lapu ar uzdevumiem.

Tagad jūs izpildīsit praktisku uzdevumu, izmantojot elementāru notikumu tabulu.

Rādīt ar ēnojumu notikumiem labvēlīgos notikumus:

Uzdevums 1. “Tāpat punktu skaits krita”;

1; 1	2; 1	3; 1	4; 1	5; 1	6; 1
1; 2	2; 2	3; 2	4; 2	5; 2	6; 2
1; 3	2; 3	3; 3	4; 3	5; 3	6; 3
1; 4	2; 4	3; 4	4; 4	5; 4	6; 4
1; 5	2; 5	3; 5	4; 5	5; 5	6; 5
1; 6	2; 6	3; 6	4; 6	5; 6	6; 6

Uzdevums 2. “Punktu summa ir 7”;

1; 1	2; 1	3; 1	4; 1	5; 1	6; 1
1; 2	2; 2	3; 2	4; 2	5; 2	6; 2
1; 3	2; 3	3; 3	4; 3	5; 3	6; 3
1; 4	2; 4	3; 4	4; 4	5; 4	6; 4
1; 5	2; 5	3; 5	4; 5	5; 5	6; 5
1; 6	2; 6	3; 6	4; 6	5; 6	6; 6

3. uzdevums "Punktu summa nav mazāka par 7."

Ko nozīmē “ne mazāk”? (Atbilde ir "lielāka par vai vienāda ar")

1; 1	2; 1	3; 1	4; 1	5; 1	6; 1
1; 2	2; 2	3; 2	4; 2	5; 2	6; 2
1; 3	2; 3	3; 3	4; 3	5; 3	6; 3
1; 4	2; 4	3; 4	4; 4	5; 4	6; 4
1; 5	2; 5	3; 5	4; 5	5; 5	6; 5
1; 6	2; 6	3; 6	4; 6	5; 6	6; 6

Tagad noskaidrosim to notikumu varbūtības, kuriem praktiskajā darbā tika iekrāsoti labvēlīgi notikumi.

Pierakstīsim burtnīcās Nr.3

1. vingrinājums.

Kopējais rezultātu skaits - 36

Atbilde: 1/6.

2. uzdevums.

Kopējais rezultātu skaits - 36

Labvēlīgo iznākumu skaits - 6

Atbilde: 1/6.

3. uzdevums.

Kopējais rezultātu skaits - 36

Labvēlīgo iznākumu skaits - 21

P = 21/36 = 7/12.

Atbilde: 12.07.

№4. Saša un Vlads spēlē kauliņus. Katrs met kauliņu divreiz. Uzvar tas, kuram ir vislielākais punktu skaits. Ja punkti ir vienādi, spēle beidzas neizšķirti. Pirmais meta kauliņu Saša, kuram 5 punkti un 3 punkti. Tagad Vlads met kauliņus.

a) Elementāro notikumu tabulā norādiet (ēnot) elementāros notikumus, kas dod priekšroku notikumam “Vlads uzvarēs”.

b) Atrodiet notikuma “Vlads uzvarēs” varbūtību.

3. Fiziskās audzināšanas minūte.

Ja pasākums ir uzticams, mēs visi kopā aplaudējam,

Ja notikums nav iespējams, mēs visi kopā stutējam,

Ja notikums ir nejaušs, pakratiet galvu / pa kreisi un pa labi

“Grozā ir 3 āboli (2 sarkani, 1 zaļi).

No groza tika izvilkti 3 sarkani - (neiespējami)

No groza tika izvilkts sarkans ābols - (nejauši)

No groza tika izvilkts zaļš ābols - (nejauši)

No groza tika izvilkti 2 sarkani un 1 zaļi - (uzticami)

Atrisināsim nākamo skaitli.

Godīgs kauliņš tiek mests divreiz. Kurš notikums ir ticamāks:

A: “Abas reizes rezultāts bija 5”;

J: “Pirmo reizi saņēmu 2 punktus, otrajā reizē ieguvu 5 punktus”;

S: “Vienu reizi bija 2 punkti, vienu reizi 5 punkti”?

Analizēsim notikumu A: kopējais iznākumu skaits ir 36, labvēlīgo iznākumu skaits ir 1 (5;5)

Analizēsim notikumu B: kopējais iznākumu skaits ir 36, labvēlīgo iznākumu skaits ir 1 (2;5)

Analizēsim notikumu C: kopējais iznākumu skaits ir 36, labvēlīgo iznākumu skaits ir 2 (2;5 un 5;2)

Atbilde: notikums C.

4. Mājas darbu iestatīšana.

1. Izgrieziet attīstīšanu, pielīmējiet kubiņus. Atnesiet to uz nākamo nodarbību.

2. Izpildi 25 metienus. Ierakstiet rezultātus tabulā: (nākamajā nodarbībā varat iepazīstināt ar biežuma jēdzienu)

3. Atrisiniet uzdevumu: tiek izmesti divi kauliņi. Aprēķiniet varbūtību:

a) “Punktu summa ir 6”;

b) “Punktu summa ne mazāka par 5”;

c) "Pirmajam kauliņam ir vairāk punktu nekā otrajam."

Vēl viena populāra problēma varbūtību teorijā (kopā ar monētu mešanas problēmu) ir kauliņu mešanas problēma.

Parasti uzdevums izklausās šādi: tiek izmests viens vai vairāki kauliņi (parasti 2, retāk 3). Jāatrod iespējamība, ka punktu skaits ir 4 vai punktu summa ir 10, vai punktu skaita reizinājums dalās ar 2, vai punktu skaits atšķiras ar 3 utt.

Galvenā šādu problēmu risināšanas metode ir klasiskās varbūtības formulas izmantošana, kuru mēs analizēsim, izmantojot tālāk sniegtos piemērus.

Iepazīstoties ar risināšanas metodēm, varat lejupielādēt īpaši noderīgu risinājumu 2 kauliņu mešanai (ar tabulām un piemēriem).

Viens kauliņš

Ar vienu kauliņu situācija ir nepieklājīgi vienkārša. Atgādināšu, ka varbūtību nosaka pēc formulas $P=m/n$, kur $n$ ir visu vienādi iespējamo elementāro iznākumu skaits eksperimentam ar kuba vai kauliņa mešanu, un $m$ ir skaitlis no tiem rezultātiem, kas labvēlīgi ietekmē notikumu.

1. piemērs. Kauliņš tiek izmests vienu reizi. Kāda ir varbūtība, ka tiek izmests pāra punktu skaits?

Tā kā kauliņš ir kubs (viņi arī saka godīgi kauliņi, tas ir, kubs ir līdzsvarots, tāpēc tas nolaižas uz visām pusēm ar vienādu varbūtību), kubam ir 6 malas (ar punktu skaitu no 1 līdz 6, parasti tiek apzīmēti punkti), tad kopējais rezultātu skaits problēma ir $n=6$. Vienīgie rezultāti, kas ir labvēlīgi notikumam, ir tie, kur parādās puse ar 2, 4 vai 6 punktiem (tikai vienādās) ir $m=3$. Tad vēlamā varbūtība ir vienāda ar $P=3/6=1/2=0,5$.

2. piemērs. Kauliņi tiek izmesti. Atrodiet vismaz 5 punktu ripināšanas varbūtību.

Mēs domājam tāpat kā iepriekšējā piemērā. Kopējais vienādi iespējamo iznākumu skaits, metot kauliņu, ir $n=6$, un nosacījums “vismaz 5 punkti, tas ir, “izripoti 5 vai 6 punkti” ir izpildīts ar 2 rezultātiem, $m = 2 USD. Nepieciešamā varbūtība ir $P=2/6=1/3=0,333 $.

Es pat neredzu jēgu sniegt vairāk piemēru, pāriesim pie diviem kauliņiem, kur viss kļūst interesantāk un sarežģītāk.

Divi kauliņi

Ja runa ir par problēmām, kas saistītas ar 2 kauliņu ripināšanu, tas ir ļoti ērti lietojams punktu tabula. Uzzīmēsim horizontāli punktu skaitu, kas krita uz pirmā kauliņa, un vertikāli to punktu skaitu, kas krita uz otrā kauliņa. Iegūsim kaut ko līdzīgu (es parasti to daru programmā Excel, jūs varat lejupielādēt failu):

Kas ir tabulas šūnās, jūs jautāsiet? Un tas ir atkarīgs no tā, kādu problēmu mēs atrisināsim. Būs uzdevums par punktu summu - tur rakstīsim summu, par starpību - rakstīsim starpību un tā tālāk. Sāksim?

3. piemērs. Vienlaicīgi tiek izmesti 2 kauliņi. Atrodiet varbūtību, ka kopsumma būs mazāka par 5 punktiem.

Vispirms apskatīsim kopējo eksperimenta rezultātu skaitu. kad iemetām vienu kauliņu, viss bija skaidrs, 6 puses - 6 iznākumi. Šeit jau ir divi kauliņi, tāpēc rezultātus var attēlot kā sakārtotus skaitļu pārus formā $(x,y)$, kur $x$ ir tas, cik punktu krita uz pirmo kauliņu (no 1 līdz 6), $ y$ ir tas, cik punktu krita uz otro kauliņu (no 1 līdz 6). Acīmredzot šādu skaitļu pāru kopējais skaits būs $n=6\cdot 6=36$ (un tie atbilst tieši 36 šūnām rezultātu tabulā).

Tagad ir pienācis laiks aizpildīt tabulu. Katrā šūnā ievadām uz pirmā un otrā kauliņa izmesto punktu summu un iegūstam šādu attēlu:

Tagad šī tabula palīdzēs mums atrast notikumam labvēlīgo iznākumu skaitu "kopā parādīsies mazāk par 5 punktiem". Lai to izdarītu, mēs saskaitām to šūnu skaitu, kurās summa ir mazāka par 5 (tas ir, 2, 3 vai 4). Skaidrības labad iekrāsosim šīs šūnas, būs $m=6$:

Tad varbūtība ir vienāda ar: $P=6/36=1/6$.

4. piemērs. Tiek izmesti divi kauliņi. Atrodiet varbūtību, ka punktu skaita reizinājums dalās ar 3.

Izveidojam tabulu par pirmo un otro kauliņu izmesto punktu produkciju. Mēs nekavējoties izceļam tos skaitļus, kas ir 3 reizes:

Atliek tikai pierakstīt, ka kopējais iznākumu skaits ir $n=36$ (skat. iepriekšējo piemēru, argumentācija ir tāda pati), un labvēlīgo iznākumu skaits (iekrāsoto šūnu skaits augstāk esošajā tabulā) ir $ m = 20 $. Tad notikuma varbūtība būs vienāda ar $P=20/36=5/9$.

Kā redzat, šāda veida problēmas ar pienācīgu sagatavošanos (apskatīsim vēl dažas problēmas) var ātri un vienkārši atrisināt. Dažādības labad izpildīsim vēl vienu uzdevumu ar citu tabulu (visas tabulas var lejupielādēt lapas apakšā).

5. piemērs. Kauliņi tiek izmesti divreiz. Atrodiet varbūtību, ka punktu skaita starpība pirmajā un otrajā kauliņā būs no 2 līdz 5.

Pierakstīsim punktu atšķirību tabulu, iezīmēsim tajā šūnas, kurās starpības vērtība būs no 2 līdz 5:

Tātad kopējais vienlīdz iespējamo elementāro rezultātu skaits ir $n=36$, un labvēlīgo iznākumu skaits (iekrāsoto šūnu skaits augstāk esošajā tabulā) ir $m=10$. Tad notikuma varbūtība būs vienāda ar $P=10/36=5/18$.

Tātad gadījumā, ja mēs runājam par 2 kauliņu mešanu un vienkāršu notikumu, jums ir jāizveido tabula, jāizvēlas tajā nepieciešamās šūnas un jāsadala to skaits ar 36, tā būs varbūtība. Papildus problēmām par punktu skaitu, reizinājumu un starpību, ir arī problēmas par starpības moduli, mazāko un lielāko izlozēto punktu skaitu (piemērotas tabulas atradīsiet).

Citas problēmas saistībā ar kauliņiem un kubiņiem

Protams, šī problēma neaprobežojas tikai ar divām iepriekš apspriestajām problēmu kategorijām par kauliņu mešanu (tās vienkārši ir visbiežāk sastopamās problēmu grāmatās un apmācības rokasgrāmatās), ir arī citas. Aptuvenā risinājuma metodes dažādībai un izpratnei analizēsim vēl trīs tipiskus piemērus: 3 kauliņu mešanai, nosacītās varbūtības noteikšanai un Bernulli formulai.

6. piemērs. Tiek izmesti 3 kauliņi. Atrodiet varbūtību, ka kopā ir 15 punkti.

3 kauliņu gadījumā tabulas tiek sastādītas retāk, jo jums būs nepieciešami pat 6 gabali (un nevis viens, kā iepriekš), tie tiek galā, vienkārši pārmeklējot nepieciešamās kombinācijas.

Noskaidrosim kopējo eksperimenta rezultātu skaitu. Rezultātus var attēlot kā sakārtotus skaitļu trīskāršus formā $(x,y,z)$, kur $x$ ir ar pirmo kauliņu izmesto punktu skaits (no 1 līdz 6), $y$ ir izmesto punktu skaits. uz otrā kauliņa (no 1 līdz 6), $z$ - cik punktu tika izmests uz trešā kauliņa (no 1 līdz 6). Acīmredzot šādu skaitļu trīskāršu kopējais skaits būs $n=6\cdot 6\cdot 6=216$ .

Tagad atlasīsim rezultātus, kas kopā dod 15 punktus.

$$ (3,6,6), (6,3,6), (6,6,3),\\ (4,5,6), (4,6,5), (5,4,6), (6,5,4), (5,6,4), (6,4,5),\\ (5,5,5). $$

Mēs saņēmām $m=3+6+1=10$ rezultātus. Vēlamā varbūtība ir $P=10/216=0,046$.

7. piemērs. Tiek izmesti 2 kauliņi. Atrodiet varbūtību, ka pirmais kauliņš met ne vairāk kā 4 punktus, ja kopējais punktu skaits ir pāra.

Vienkāršākais veids, kā atrisināt šo problēmu, ir vēlreiz izmantot tabulu (viss būs skaidrs), tāpat kā iepriekš. Mēs izrakstām punktu summu tabulu un atlasām tikai šūnas ar pāra vērtībām:

Iegūstam, ka saskaņā ar eksperimenta nosacījumiem ir nevis 36, bet $n=18$ rezultāti (kad punktu summa ir pāra).

Tagad no šīm šūnām Atlasīsim tikai tos, kas atbilst notikumam “pirmā kauliņa izmesti ne vairāk kā 4 punkti” – tas ir, faktiski tabulas pirmajās 4 rindās esošās šūnas (izceltas oranžā krāsā), būs $m= 12 $.

Nepieciešamā varbūtība $P=12/18=2/3.$

To pašu uzdevumu var veikt lemt savādāk izmantojot nosacītās varbūtības formulu. Ievadīsim notikumus:
A = punktu skaita summa ir pāra
B = ne vairāk kā 4 punkti ar pirmo kauliņu
AB = punktu summa ir pāra un uz pirmā kauliņa tika mests ne vairāk kā 4 punkti
Tad vēlamās varbūtības formulai ir šāda forma: $$ P(B|A)=\frac(P(AB))(P(A)). $$ Varbūtību atrašana. Kopējais iznākumu skaits ir $n=36$, notikumam A labvēlīgo iznākumu skaits (skat. tabulas iepriekš) ir $m(A)=18$, un notikumam AB - $m(AB)=12$. Iegūstam: $$ P(A)=\frac(m(A))(n)=\frac(18)(36)=\frac(1)(2); \quad P(AB)=\frac(m(AB))(n)=\frac(12)(36)=\frac(1)(3);\\ P(B|A)=\frac(P (AB))(P(A))=\frac(1/3)(1/2)=\frac(2)(3). $$ Atbildes bija vienādas.

8. piemērs. Kauliņš tiek izmests 4 reizes. Atrodiet varbūtību, ka pāra punktu skaits parādīsies tieši 3 reizes.

Gadījumā, ja kauliņš met vairākas reizes, un pasākums nav par summu, preci utt. neatņemamas īpašības, bet tikai par pilienu skaits noteikta veida, varat to izmantot, lai aprēķinātu varbūtību