Nejauša notikuma varbūtība ir. Notikumu neatkarība

Ekonomikā, tāpat kā citās cilvēka darbības jomās vai dabā, mums pastāvīgi jāsaskaras ar notikumiem, kurus nevar precīzi paredzēt. Tādējādi preces pārdošanas apjoms ir atkarīgs no pieprasījuma, kas var būtiski atšķirties, un no vairākiem citiem faktoriem, kurus ir gandrīz neiespējami ņemt vērā. Tāpēc, organizējot ražošanu un veicot pārdošanu, šādu darbību iznākums ir jāprognozē, balstoties vai nu uz savu iepriekšējo pieredzi, vai līdzīgu citu cilvēku pieredzi, vai intuīciju, kas lielā mērā balstās arī uz eksperimentāliem datiem.

Lai kaut kā novērtētu attiecīgo notikumu, ir jāņem vērā vai speciāli jāorganizē apstākļi, kādos šis notikums tiek fiksēts.

Tiek saukta noteiktu nosacījumu vai darbību īstenošana, lai identificētu attiecīgo notikumu pieredze vai eksperiments.

Pasākums saucas nejauši, ja pieredzes rezultātā var rasties vai arī nenotikt.

Pasākums saucas uzticams, ja tas noteikti parādās noteiktas pieredzes rezultātā, un neiespējami, ja tas nevar parādīties šajā pieredzē.

Piemēram, sniegputenis Maskavā 30. novembrī ir nejaušs notikums. Ikdienas saullēktu var uzskatīt par uzticamu notikumu. Snigšanu pie ekvatora var uzskatīt par neiespējamu notikumu.

Viens no galvenajiem uzdevumiem varbūtību teorijā ir uzdevums noteikt notikuma iespējamības kvantitatīvu mēru.

Notikumu algebra

Notikumi tiek saukti par nesaderīgiem, ja tos nevar novērot kopā vienā pieredzē. Tādējādi divu un trīs automašīnu atrašanās vienlaikus vienā pārdošanā esošajā veikalā ir divi nesavienojami notikumi.

Summa notikumi ir notikums, kas sastāv no vismaz viena no šiem notikumiem

Notikumu summas piemērs ir vismaz viena no divām precēm klātbūtne veikalā.

Darbs notikumi ir notikums, kas sastāv no visu šo notikumu vienlaicīgas iestāšanās

Notikums, kas sastāv no divu preču parādīšanās veikalā vienlaikus, ir notikumu produkts: - vienas preces parādīšanās, - citas preces parādīšanās.

Notikumi veido pilnīgu notikumu grupu, ja vismaz viens no tiem noteikti notiek pieredzē.

Piemērs. Ostā ir divas piestātnes kuģu uzņemšanai. Var uzskatīt trīs notikumus: - kuģu neierašanos pie piestātnēm, - viena kuģa atrašanos vienā no piestātnēm, - divu kuģu atrašanos divās piestātnēs. Šie trīs notikumi veido pilnīgu notikumu grupu.

Pretēji tiek saukti divi unikāli iespējamie notikumi, kas veido pilnīgu grupu.

Ja vienu no notikumiem, kas ir pretējs, apzīmē ar , tad pretējo notikumu parasti apzīmē ar .

Klasiskās un statistiskās notikuma varbūtības definīcijas

Katrs no vienlīdz iespējamajiem testu (eksperimentu) rezultātiem tiek saukts par elementāru rezultātu. Tos parasti apzīmē ar burtiem. Piemēram, tiek mests kauliņš. Kopumā var būt seši elementāri rezultāti, pamatojoties uz punktu skaitu malās.

No elementāriem rezultātiem varat izveidot sarežģītāku notikumu. Tādējādi pāra punktu skaita notikumu nosaka trīs iznākumi: 2, 4, 6.

Attiecīgā notikuma iespējamības kvantitatīvais mērs ir varbūtība.

Visplašāk izmantotās notikuma varbūtības definīcijas ir: klasika Un statistikas.

Klasiskā varbūtības definīcija ir saistīta ar labvēlīga iznākuma jēdzienu.

Rezultāts tiek saukts labvēlīga konkrētam notikumam, ja tā iestāšanās ir saistīta ar šī notikuma iestāšanos.

Iepriekš minētajā piemērā attiecīgajam notikumam — pāra punktu skaitam izliktajā pusē — ir trīs labvēlīgi rezultāti. Šajā gadījumā ģenerālis
iespējamo rezultātu skaits. Tas nozīmē, ka šeit var izmantot klasisko notikuma varbūtības definīciju.

Klasiskā definīcija ir vienāds ar labvēlīgo iznākumu skaita attiecību pret kopējo iespējamo iznākumu skaitu

kur ir notikuma varbūtība, ir notikumam labvēlīgo iznākumu skaits, ir kopējais iespējamo iznākumu skaits.

Aplūkotajā piemērā

Statistiskā varbūtības definīcija ir saistīta ar jēdzienu par notikuma relatīvo rašanās biežumu eksperimentos.

Notikuma relatīvo biežumu aprēķina, izmantojot formulu

kur ir notikuma gadījumu skaits eksperimentu (testu) sērijā.

Statistiskā definīcija. Notikuma varbūtība ir skaitlis, ap kuru relatīvā frekvence stabilizējas (kopas) ar neierobežotu eksperimentu skaita pieaugumu.

Praktiskajās problēmās notikuma iespējamība tiek uzskatīta par relatīvo biežumu pietiekami lielam izmēģinājumu skaitam.

No šīm notikuma varbūtības definīcijām ir skaidrs, ka nevienlīdzība vienmēr ir izpildīta

Lai noteiktu notikuma iespējamību, pamatojoties uz formulu (1.1), bieži tiek izmantotas kombinatoriskās formulas, kuras izmanto, lai atrastu labvēlīgo iznākumu skaitu un kopējo iespējamo iznākumu skaitu.

Novērtējot jebkura nejauša notikuma iestāšanās iespējamību, ir ļoti svarīgi labi saprast, vai mūs interesējošā notikuma iestāšanās varbūtība (notikuma iespējamība) ir atkarīga no tā, kā attīstīsies citi notikumi. Klasiskās shēmas gadījumā, kad visi iznākumi ir vienādi ticami, mēs jau varam atsevišķi novērtēt mūs interesējošā notikuma varbūtības vērtības. Mēs to varam izdarīt pat tad, ja pasākums ir sarežģīts vairāku elementāru iznākumu kopums. Ko darīt, ja vairāki nejauši notikumi notiek vienlaicīgi vai secīgi? Kā tas ietekmē mūs interesējošā notikuma iespējamību? Ja es vairākas reizes metu kauliņu un vēlos, lai parādās sešinieks, un man nepārtraukti nepaveicas, vai tas nozīmē, ka man jāpalielina likme, jo saskaņā ar varbūtības teoriju man drīz veiksies? Diemžēl varbūtības teorija neko tādu nenosaka. Ne kauliņi, ne kārtis, ne monētas nevar atcerēties, ko viņi mums rādīja pagājušajā reizē. Viņiem ir pilnīgi vienalga, vai tā ir pirmā vai desmitā reize, kad es šodien pārbaudu savu veiksmi. Katru reizi, kad atkārtoju ritināšanu, es zinu tikai vienu: un šoreiz varbūtība iegūt sešinieku atkal ir viena sestā daļa. Protams, tas nenozīmē, ka man vajadzīgais numurs nekad neatradīsies. Tas nozīmē tikai to, ka mans zaudējums pēc pirmā metiena un pēc jebkura cita metiena ir neatkarīgi notikumi. Notikumi A un B tiek saukti par neatkarīgiem, ja viena no tiem iestāšanās nekādā veidā neietekmē otra notikuma iespējamību. Piemēram, varbūtības trāpīt mērķī ar pirmo no diviem ieročiem nav atkarīgas no tā, vai mērķi trāpīja otrs ierocis, tāpēc notikumi “pirmais ierocis trāpīja mērķī” un “otrais ierocis trāpīja mērķī” ir neatkarīgs. Ja divi notikumi A un B ir neatkarīgi un ir zināma katra iespējamība, tad gan notikuma A, gan notikuma B (apzīmē AB) vienlaicīgas iestāšanās varbūtību var aprēķināt, izmantojot šādu teorēmu.

Varbūtības reizināšanas teorēma neatkarīgiem notikumiem

P(AB) = P(A)*P(B) divu neatkarīgu notikumu vienlaicīgas iestāšanās varbūtība ir vienāda ar šo notikumu varbūtību reizinājumu.

1. piemērs. Iespējas trāpīt mērķī, izšaujot pirmo un otro lielgabalu, ir attiecīgi vienādas: p 1 = 0,7; p 2 = 0,8. Atrodiet iespējamību, ka ar vienu salveti tiks trāpīts ar abiem ieročiem vienlaikus.

kā jau redzējām, notikumi A (trāpīt ar pirmo lielgabalu) un B (trāpīt ar otro lielgabalu) ir neatkarīgi, t.i. P(AB)=P(A)*P(B)=p1*p2=0,56.

Kas notiek ar mūsu aplēsēm, ja sākotnējie notikumi nav neatkarīgi? Nedaudz mainīsim iepriekšējo piemēru. 2. piemērs.

Divi šāvēji sacensībās šauj pa mērķiem, un, ja viens no viņiem šauj precīzi, pretinieks sāk nervozēt un viņa rezultāti pasliktinās. Kā šo ikdienas situāciju pārvērst matemātiskā uzdevumā un iezīmēt veidus, kā to atrisināt? Intuitīvi ir skaidrs, ka ir kaut kā jānodala abas notikumu attīstības iespējas, pēc būtības jāveido divi scenāriji, divi dažādi uzdevumi. Pirmajā gadījumā, ja pretinieks netrāpīs, scenārijs būs labvēlīgs nervozajam sportistam un viņa precizitāte būs augstāka. Otrajā gadījumā, ja pretinieks savu iespēju izmantoja pieklājīgi, otrā sportista iespēja trāpīt mērķī samazinās.

Lai atdalītu iespējamos notikumu attīstības scenārijus (bieži sauc par hipotēzēm), mēs bieži izmantosim “varbūtības koka” diagrammu. Šī diagramma pēc nozīmes ir līdzīga lēmumu kokam, ar kuru jūs, iespējams, jau esat nodarbojies. Katrs atzars attēlo atsevišķu notikumu attīstības scenāriju, tikai tagad tam ir sava tā sauktās nosacītās varbūtības vērtība (q 1, q 2, q 1 -1, q 2 -1).Šī shēma ir ļoti ērta, lai analizētu secīgus nejaušus notikumus. Vēl ir jānoskaidro vēl viens svarīgs jautājums: no kurienes rodas sākotnējās varbūtības reālās situācijās? Galu galā varbūtības teorija nedarbojas tikai ar monētām un kauliņiem? Parasti šīs aplēses tiek ņemtas no statistikas, un, ja statistikas informācija nav pieejama, mēs veicam paši savu izpēti. Un mums bieži jāsāk nevis ar datu vākšanu, bet gan ar jautājumu, kāda informācija mums patiesībā ir vajadzīga.

3. piemērs.

Teiksim, pilsētā ar simts tūkstošiem iedzīvotāju ir jānovērtē tirgus apjoms jaunam produktam, kas nav būtisks priekšmets, piemēram, balzāmam krāsotu matu kopšanai. Apskatīsim "varbūtības koka" diagrammu. Šajā gadījumā mums ir aptuveni jānovērtē katras “zaras” varbūtības vērtība. Tātad, mūsu aplēses par tirgus jaudu:

3) no tiem tikai 10% izmanto balzāmus krāsotiem matiem,

4) no tiem tikai 10% var savākt drosmi izmēģināt jaunu produktu,

5) 70% no viņiem parasti visu pērk nevis no mums, bet no mūsu konkurentiem.

Pēc varbūtību reizināšanas likuma mēs nosakām mūs interesējošā notikuma varbūtību A = (pilsētas iedzīvotājs pērk pie mums šo jauno balzāmu) = 0,00045. Sareizināsim šo varbūtības vērtību ar pilsētas iedzīvotāju skaitu. Rezultātā mums ir tikai 45 potenciālie klienti, un, ņemot vērā, ka viena šī produkta pudele pietiks vairākiem mēnešiem, tirdzniecība nav īpaši dzīva. Un tomēr no mūsu novērtējumiem ir kāds labums. Pirmkārt, mēs varam salīdzināt dažādu biznesa ideju prognozes diagrammās, un, protams, arī varbūtības vērtības būs atšķirīgas. Otrkārt, kā jau teicām, gadījuma lielumu nesauc par nejaušu, jo tas vispār no nekā nav atkarīgs. Tās precīza nozīme vienkārši nav zināma iepriekš. Mēs zinām, ka vidējo pircēju skaitu var palielināt (piemēram, reklamējot jaunu preci). Tāpēc ir jēga koncentrēt savus spēkus uz tām “dakšām”, kurās varbūtības sadalījums mums īpaši neder, uz tiem faktoriem, kurus spējam ietekmēt. Apskatīsim vēl vienu kvantitatīvu patērētāju uzvedības izpētes piemēru.

Lai atdalītu iespējamos notikumu attīstības scenārijus (bieži sauc par hipotēzēm), mēs bieži izmantosim “varbūtības koka” diagrammu. Šī diagramma pēc nozīmes ir līdzīga lēmumu kokam, ar kuru jūs, iespējams, jau esat nodarbojies. Katrs atzars attēlo atsevišķu notikumu attīstības scenāriju, tikai tagad tam ir sava tā sauktās nosacītās varbūtības vērtība (q 1, q 2, q 1 -1, q 2 -1). Vidēji dienā pārtikas tirgu apmeklē 10 000 cilvēku. Varbūtība, ka tirgus apmeklētājs nonāk piena produktu paviljonā, ir 1/2. Zināms, ka šajā paviljonā vidēji dienā tiek realizēti 500 kg dažādu produktu. Vai varam teikt, ka vidējais pirkums paviljonā sver tikai 100 g?

Diskusija.

Protams, ka nē. Skaidrs, ka ne visi, kas iekļuva paviljonā, nonāca tur kaut ko nopirkuši.

Kā redzams diagrammā, lai atbildētu uz jautājumu par pirkuma vidējo svaru, jāatrod atbilde uz jautājumu, kāda ir iespējamība, ka paviljonā ienākošais cilvēks tur kaut ko iegādāsies. Ja šādu datu mūsu rīcībā nav, bet tie ir nepieciešami, tie būs jāiegūst pašiem, kādu laiku vērojot paviljona apmeklētājus. Teiksim, mūsu novērojumi liecināja, ka tikai piektā daļa paviljona apmeklētāju kaut ko pērk.

Kad esam ieguvuši šīs aplēses, uzdevums kļūst vienkāršs. No 10 000 cilvēku, kas ieradīsies tirgū, 5000 dosies uz piena produktu paviljonu, būs tikai 1000 pirkumu vidējais svars ir 500 grami. Interesanti atzīmēt, ka, lai izveidotu pilnīgu priekšstatu par notiekošo, nosacītās “sazarošanas” loģika katrā mūsu spriešanas posmā ir jādefinē tik skaidri, it kā mēs strādātu ar “konkrētu” situāciju, nevis ar varbūtībām.

Pašpārbaudes uzdevumi.

1. Lai ir elektriskā ķēde, kas sastāv no n virknē savienotiem elementiem, no kuriem katrs darbojas neatkarīgi no pārējiem. Katra elementa atteices varbūtība p ir zināma. Nosakiet visas ķēdes sadaļas pareizas darbības varbūtību (notikums A).

2. Students zina 20 no 25 eksāmena jautājumiem. Atrodiet varbūtību, ka students zina trīs jautājumus, ko viņam uzdevis eksaminētājs.

3. Ražošana sastāv no četriem secīgiem posmiem, katrā no kuriem darbojas iekārtas, kurām atteices varbūtības nākamā mēneša laikā ir attiecīgi vienādas ar p 1, p 2, p 3 un p 4. Atrodiet varbūtību, ka mēneša laikā nebūs ražošanas pārtraukumu iekārtu atteices dēļ.

Sākotnēji, būdama tikai informācijas un empīrisku novērojumu apkopojums par kauliņu spēli, varbūtības teorija kļuva par pamatīgu zinātni. Pirmie, kas tam piešķīra matemātisko ietvaru, bija Fermā un Paskāls.

No domāšanas par mūžīgo līdz varbūtības teorijai

Pateicoties Chevalier de Mere kaislībai, kurš bija vienlīdz azartisks un pret zinātni vienaldzīgs cilvēks, Paskāls bija spiests atrast veidu, kā aprēķināt varbūtību. De Mēru interesēja šāds jautājums: "Cik reižu ir jāmet divi kauliņi pa pāriem, lai varbūtība iegūt 12 punktus pārsniegtu 50%?" Otrs jautājums, kas kungu ļoti ieinteresēja: “Kā sadalīt likmi starp nepabeigtās spēles dalībniekiem?” Protams, Paskāls sekmīgi atbildēja uz abiem de Meres jautājumiem, kurš nejauši kļuva par varbūtību teorijas izstrādes iniciatoru. Interesanti, ka de Meres persona palika zināma šajā jomā, nevis literatūrā.

Iepriekš neviens matemātiķis nekad nebija mēģinājis aprēķināt notikumu varbūtības, jo tika uzskatīts, ka tas ir tikai minējošs risinājums. Blēzs Paskāls sniedza pirmo notikuma varbūtības definīciju un parādīja, ka tas ir konkrēts skaitlis, ko var matemātiski pamatot. Varbūtību teorija ir kļuvusi par statistikas pamatu un tiek plaši izmantota mūsdienu zinātnē.

Kas ir nejaušība

Ja mēs uzskatām testu, kuru var atkārtot bezgalīgi daudz reižu, tad mēs varam definēt nejaušu notikumu. Tas ir viens no iespējamiem eksperimenta rezultātiem.

Pieredze ir konkrētu darbību īstenošana nemainīgos apstākļos.

Lai varētu strādāt ar eksperimenta rezultātiem, notikumus parasti apzīmē ar burtiem A, B, C, D, E...

Nejauša notikuma varbūtība

Lai sāktu varbūtības matemātisko daļu, ir jādefinē visas tās sastāvdaļas.

Notikuma varbūtība ir kāda notikuma (A vai B) iespējamības skaitlisks mērs pieredzes rezultātā. Varbūtība ir apzīmēta kā P(A) vai P(B).

Varbūtības teorijā viņi izšķir:

• uzticams notikums tiek garantēts pieredzes rezultātā P(Ω) = 1;
• neiespējami notikums nekad nevar notikt P(Ø) = 0;
• nejauši notikums atrodas starp ticamu un neiespējamu, tas ir, tā iestāšanās varbūtība ir iespējama, bet nav garantēta (gadījuma notikuma varbūtība vienmēr ir diapazonā 0≤Р(А)≤ 1).

Attiecības starp notikumiem

Tiek uzskatīts gan viens, gan notikumu A+B summa, kad notikums tiek skaitīts, kad ir izpildīts vismaz viens no komponentiem A vai B, vai abi, A un B.

Savstarpēji notikumi var būt:

• Tikpat iespējams.
• Saderīgs.
• Nesaderīgs.
• Pretēji (savstarpēji izslēdzoši).
• Atkarīgs.

Ja divi notikumi var notikt ar vienādu varbūtību, tad tie vienlīdz iespējams.

Ja notikuma A iestāšanās nesamazina līdz nullei notikuma B iestāšanās iespējamību, tad tie saderīgi.

Ja notikumi A un B nekad nenotiek vienlaicīgi vienā pieredzē, tad tos sauc nesaderīgi. Labs piemērs ir monētas mešana: galviņu parādīšanās automātiski nozīmē galvas neparādīšanos.

Šādu nesavienojamu notikumu summas varbūtība sastāv no katra notikuma varbūtību summas:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Ja viena notikuma iestāšanās padara neiespējamu cita iestāšanos, tad tos sauc par pretējiem. Tad viens no tiem tiek apzīmēts ar A, bet otrs - Ā (lasīt kā “ne A”). Notikuma A iestāšanās nozīmē, ka Ā nenotika. Šie divi notikumi veido pilnīgu grupu ar varbūtību summu, kas vienāda ar 1.

Atkarīgiem notikumiem ir savstarpēja ietekme, samazinot vai palielinot viens otra iespējamību.

Attiecības starp notikumiem. Piemēri

Izmantojot piemērus, ir daudz vieglāk izprast varbūtību teorijas principus un notikumu kombinācijas.

Eksperiments, kas tiks veikts, sastāv no bumbiņu izņemšanas no kastes, un katra eksperimenta rezultāts ir elementārs rezultāts.

Notikums ir viens no iespējamiem eksperimenta iznākumiem – sarkana bumbiņa, zila bumbiņa, bumba ar numuru seši utt.

Pārbaudījums Nr.1. Ir iesaistītas 6 bumbiņas, no kurām trīs ir zilas ar nepāra skaitļiem, bet pārējās trīs ir sarkanas ar pāra skaitļiem.

Pārbaudījums Nr.2. Ir 6 zilas bumbiņas ar cipariem no viena līdz sešiem.

Pamatojoties uz šo piemēru, mēs varam nosaukt kombinācijas:

• Uzticams pasākums. Spāņu valodā Nr.2 notikums “dabū zilo bumbu” ir ticams, jo tā rašanās varbūtība ir vienāda ar 1, jo visas bumbiņas ir zilas un garām nevar būt. Savukārt notikums “dabū bumbiņu ar skaitli 1” ir nejaušs.
• Neiespējams pasākums. Spāņu valodā Nr.1 ar zilām un sarkanām bumbiņām notikums “violetās bumbas iegūšana” nav iespējams, jo tā rašanās varbūtība ir 0.
• Tikpat iespējami notikumi. Spāņu valodā Nr.1, vienlīdz iespējami notikumi “dabū bumbu ar numuru 2” un “dabū bumbu ar numuru 3”, un notikumi “dabū bumbu ar pāra skaitli” un “dabū bumbu ar numuru 2” ” ir dažādas varbūtības.
• Saderīgi notikumi. Divreiz pēc kārtas iegūt sešinieku, metot kauliņu, ir saderīgs notikums.
• Nesaderīgi notikumi. Tajā pašā spāņu valodā Nr.1, notikumus “dabū sarkano bumbu” un “dabū bumbiņu ar nepāra skaitli” nevar apvienot vienā pieredzē.
• Pretēji notikumi. Visspilgtākais piemērs tam ir monētu mešana, kur galviņu zīmēšana ir līdzvērtīga astes nezīmēšanai, un to varbūtību summa vienmēr ir 1 (pilna grupa).
• Atkarīgi notikumi. Tātad, spāņu valodā Nr.1, jūs varat uzstādīt mērķi divas reizes pēc kārtas izvilkt sarkano bumbu. Tas, vai tas tiek izgūts pirmo reizi, ietekmē varbūtību, ka tas tiks izgūts otrajā reizē.

Redzams, ka pirmais notikums būtiski ietekmē otrā iespējamību (40% un 60%).

Notikuma varbūtības formula

Pāreja no zīlēšanas uz precīziem datiem notiek, pārvēršot tēmu matemātiskā plaknē. Tas ir, spriedumus par nejaušiem notikumiem, piemēram, “liela varbūtība” vai “minimālā varbūtība”, var pārvērst konkrētos skaitliskos datos. Jau tagad ir pieļaujams šādu materiālu vērtēt, salīdzināt un ievadīt sarežģītākos aprēķinos.

No aprēķina viedokļa notikuma varbūtības noteikšana ir elementāri pozitīvo iznākumu skaita attiecība pret visu iespējamo pieredzes iznākumu skaitu attiecībā uz konkrētu notikumu. Varbūtību apzīmē ar P(A), kur P apzīmē vārdu “varbūtība”, kas no franču valodas tiek tulkots kā “varbūtība”.

Tātad notikuma varbūtības formula ir šāda:

Kur m ir labvēlīgo iznākumu skaits notikumam A, n ir visu šai pieredzei iespējamo iznākumu summa. Šajā gadījumā notikuma varbūtība vienmēr ir no 0 līdz 1:

0 ≤ P(A) ≤ 1.

Notikuma varbūtības aprēķins. Piemērs

Ņemsim spāņu valodu. Nr.1 ar bumbiņām, kas tika aprakstīts iepriekš: 3 zilas bumbiņas ar cipariem 1/3/5 un 3 sarkanas bumbiņas ar cipariem 2/4/6.

Pamatojoties uz šo testu, var apsvērt vairākas dažādas problēmas:

• A - izkrīt sarkana bumbiņa. Ir 3 sarkanas bumbiņas, un kopā ir 6 iespējas. Šis ir vienkāršākais piemērs, kurā notikuma iespējamība ir vienāda ar P(A) = 3/6 = 0,5.
• B - pāra skaitļa ripināšana. Ir 3 pāra skaitļi (2,4,6), un kopējais iespējamo skaitlisko variantu skaits ir 6. Šī notikuma varbūtība ir P(B)=3/6=0,5.
• C - skaitļa, kas lielāks par 2, rašanās. Ir 4 šādas iespējas (3,4,5,6) no kopējā iespējamo iznākumu skaita 6. Notikuma C varbūtība ir vienāda ar P(C)=4 /6=0,67.

Kā redzams no aprēķiniem, notikumam C ir lielāka iespējamība, jo iespējamo pozitīvo iznākumu skaits ir lielāks nekā A un B gadījumā.

Nesaderīgi notikumi

Šādi notikumi nevar parādīties vienlaicīgi vienā pieredzē. Kā spāņu valodā Nr.1 nav iespējams dabūt zilu un sarkanu bumbiņu vienlaicīgi. Tas ir, jūs varat iegūt zilu vai sarkanu bumbiņu. Tādā pašā veidā kauliņā nevar parādīties pāra un nepāra skaitlis vienlaikus.

Divu notikumu varbūtība tiek uzskatīta par to summas vai reizinājuma varbūtību. Šādu notikumu summu A+B uzskata par notikumu, kas sastāv no notikuma A vai B iestāšanās, un to reizinājums AB ir abu iestāšanās. Piemēram, divu sešinieku parādīšanās uzreiz uz divu kauliņu sejām vienā metienā.

Vairāku notikumu summa ir notikums, kas paredz vismaz viena no tiem iestāšanos. Vairāku notikumu radīšana ir to visu kopīga norise.

Varbūtību teorijā, kā likums, savienojuma “un” lietošana apzīmē summu, bet savienojuma “vai” lietošana - reizināšanu. Formulas ar piemēriem palīdzēs izprast saskaitīšanas un reizināšanas loģiku varbūtību teorijā.

Nesaderīgu notikumu summas varbūtība

Ja ņem vērā nesaderīgu notikumu varbūtību, tad notikumu summas varbūtība ir vienāda ar to varbūtību saskaitīšanu:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Piemēram: aprēķināsim varbūtību, ka spāņu valodā. Nr.1 ar zilām un sarkanām bumbiņām parādīsies skaitlis no 1 līdz 4 Mēs aprēķināsim nevis vienā darbībā, bet gan elementāro komponentu varbūtību summas. Tātad šādā eksperimentā ir tikai 6 bumbiņas vai 6 no visiem iespējamiem rezultātiem. Skaitļi, kas apmierina nosacījumu, ir 2 un 3. Varbūtība iegūt skaitli 2 ir 1/6, varbūtība iegūt skaitli 3 arī ir 1/6. Varbūtība iegūt skaitli no 1 līdz 4 ir:

Pilnas grupas nesaderīgo notikumu summas varbūtība ir 1.

Tātad, ja eksperimentā ar kubu mēs saskaitām visu skaitļu parādīšanās varbūtības, rezultāts būs viens.

Tas attiecas arī uz pretējiem notikumiem, piemēram, eksperimentā ar monētu, kur viena puse ir notikums A, bet otra ir pretējs notikums Ā, kā zināms,

P(A) + P(Ā) = 1

Nesaderīgu notikumu rašanās varbūtība

Varbūtības reizināšanu izmanto, apsverot divu vai vairāku nesaderīgu notikumu rašanos vienā novērojumā. Varbūtība, ka notikumi A un B tajā parādīsies vienlaikus, ir vienāda ar to varbūtību reizinājumu vai:

P(A*B)=P(A)*P(B)

Piemēram, varbūtība, ka spāņu valodā Nr.1, divu mēģinājumu rezultātā divreiz parādīsies zila bumbiņa, kas vienāda ar

Tas nozīmē, ka notikuma iespējamība, kad divu bumbiņu izvilkšanas mēģinājumu rezultātā tiek izvilktas tikai zilās bumbiņas, ir 25%. Ir ļoti viegli veikt praktiskus eksperimentus par šo problēmu un noskaidrot, vai tas tā ir.

Kopīgi pasākumi

Notikumi tiek uzskatīti par kopīgiem, ja viens no tiem var sakrist ar cita rašanos. Neskatoties uz to, ka tie ir kopīgi, tiek ņemta vērā neatkarīgu notikumu iespējamība. Piemēram, divu kauliņu mešana var dot rezultātu, kad uz abiem parādās cipars 6. Lai gan notikumi sakrita un parādījās vienlaikus, tie ir neatkarīgi viens no otra – var izkrist tikai viens sešnieks, otrajam kauliņam nav. ietekme uz to.

Kopīgu notikumu varbūtība tiek uzskatīta par to summas varbūtību.

Kopīgo notikumu summas varbūtība. Piemērs

Notikumu A un B summas varbūtība, kas ir kopīgi attiecībā pret otru, ir vienāda ar notikuma varbūtību summu, no kuras atņemta to iestāšanās varbūtība (tas ir, to kopīgā iestāšanās):

R locītava (A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

Pieņemsim, ka varbūtība trāpīt mērķī ar vienu šāvienu ir 0,4. Tad notikums A trāpa mērķī pirmajā mēģinājumā, B - otrajā. Šie notikumi ir kopīgi, jo ir iespējams, ka jūs varat sasniegt mērķi gan ar pirmo, gan otro šāvienu. Bet notikumi nav atkarīgi. Kāda ir varbūtība, ka ar diviem šāvieniem (vismaz ar vienu) tiks sasniegts mērķis? Pēc formulas:

0,4+0,4-0,4*0,4=0,64

Atbilde uz jautājumu ir: “Iespējamība, ka ar diviem šāvieniem trāpīs mērķī, ir 64%.

Šo notikuma varbūtības formulu var attiecināt arī uz nesaderīgiem notikumiem, kur notikuma kopīgas iestāšanās varbūtība P(AB) = 0. Tas nozīmē, ka nesavienojamo notikumu summas varbūtību var uzskatīt par īpašu gadījumu. no piedāvātās formulas.

Varbūtības ģeometrija skaidrības labad

Interesanti, ka kopīgu notikumu summas varbūtību var attēlot kā divus apgabalus A un B, kas krustojas viens ar otru. Kā redzams no attēla, viņu savienības laukums ir vienāds ar kopējo platību, no kuras atņemta to krustojuma laukums. Šis ģeometriskais skaidrojums šķietami neloģisko formulu padara saprotamāku. Ņemiet vērā, ka ģeometriskie risinājumi varbūtību teorijā nav nekas neparasts.

Daudzu (vairāk nekā divu) kopīgu notikumu summas varbūtības noteikšana ir diezgan apgrūtinoša. Lai to aprēķinātu, jums jāizmanto formulas, kas ir paredzētas šiem gadījumiem.

Atkarīgi notikumi

Notikumi tiek saukti par atkarīgiem, ja viena (A) no tiem iestāšanās ietekmē cita (B) iestāšanās iespējamību. Turklāt tiek ņemta vērā gan notikuma A iestāšanās, gan tā nenotikšanas ietekme. Lai gan notikumus pēc definīcijas sauc par atkarīgiem, tikai viens no tiem ir atkarīgs (B). Parastā varbūtība tika apzīmēta kā P(B) vai neatkarīgu notikumu varbūtība. Atkarīgo notikumu gadījumā tiek ieviests jauns jēdziens - nosacītā varbūtība P A (B), kas ir atkarīgā notikuma B varbūtība, kas ir pakļauta notikuma A iestāšanās brīdim (hipotēze), no kuras tā ir atkarīga.

Bet notikums A arī ir nejaušs, tāpēc arī tam ir iespējamība, kas nepieciešama un var tikt ņemta vērā veiktajos aprēķinos. Šis piemērs parādīs, kā strādāt ar atkarīgiem notikumiem un hipotēzi.

Atkarīgo notikumu varbūtības aprēķināšanas piemērs

Labs piemērs atkarīgo notikumu aprēķināšanai būtu standarta kāršu komplekts.

Izmantojot 36 kāršu klāju kā piemēru, apskatīsim atkarīgos notikumus. Mums ir jānosaka varbūtība, ka otrā no klāja izvilktā kārts būs no rombiem, ja pirmā izvilktā kārts ir:

1. Bubnovaja.
2. Citāda krāsa.

Acīmredzot otrā notikuma B varbūtība ir atkarīga no pirmā A. Tātad, ja pirmais variants ir patiess, ka kavā ir par 1 kārti (35) un 1 rombiņu (8) mazāk, notikuma B varbūtība:

RA (B) = 8/35 = 0,23

Ja otrā iespēja ir patiesa, tad klājā ir 35 kārtis un joprojām tiek saglabāts pilns dimantu skaits (9), tad šāda notikuma B varbūtība:

RA (B) = 9/35 = 0,26.

Redzams, ka, ja notikums A ir nosacīts no tā, ka pirmā kārts ir dimants, tad notikuma B varbūtība samazinās un otrādi.

Atkarīgo notikumu pavairošana

Vadoties pēc iepriekšējās nodaļas, mēs pieņemam pirmo notikumu (A) kā faktu, bet pēc būtības tas ir nejauša rakstura. Šī notikuma iespējamība, proti, dimanta izvilkšana no kāršu klāja, ir vienāda ar:

P(A) = 9/36 = 1/4

Tā kā teorija neeksistē pati par sevi, bet ir paredzēta praktiskiem mērķiem, ir godīgi atzīmēt, ka visbiežāk ir nepieciešama atkarīgu notikumu radīšanas varbūtība.

Saskaņā ar teorēmu par atkarīgo notikumu varbūtību reizinājumu, kopīgi atkarīgo notikumu A un B iestāšanās varbūtība ir vienāda ar viena notikuma A varbūtību, kas reizināta ar notikuma B nosacīto varbūtību (atkarīga no A):

P(AB) = P(A) *P A(B)

Tad klāja piemērā varbūtība izvilkt divas kārtis ar dimantu uzvalku ir:

9/36*8/35=0,0571 jeb 5,7%

Un varbūtība vispirms iegūt nevis dimantus, bet pēc tam dimantus ir vienāda ar:

27/36*9/35=0,19 jeb 19%

Var redzēt, ka notikuma B iespējamība ir lielāka, ja tiek izvilkta pirmā kārts, kas nav dimants. Šis rezultāts ir diezgan loģisks un saprotams.

Kopējā notikuma varbūtība

Ja problēma ar nosacītajām varbūtībām kļūst daudzpusīga, to nevar aprēķināt, izmantojot parastās metodes. Ja ir vairāk nekā divas hipotēzes, proti, A1, A2,…, A n, ..veido pilnīgu notikumu grupu ar nosacījumu:

• P(A i)>0, i=1,2,…
• A i ∩ A j =Ø,i≠j.
• Σ k A k =Ω.

Tātad notikuma B kopējās varbūtības formula ar pilnu nejaušu notikumu grupu A1, A2,..., A n ir vienāda ar:

Skatoties nākotnē

Nejauša notikuma iespējamība ir ārkārtīgi nepieciešama daudzās zinātnes jomās: ekonometrikā, statistikā, fizikā utt. Tā kā dažus procesus nevar aprakstīt deterministiski, jo tiem pašiem ir iespējamības raksturs, ir nepieciešamas īpašas darba metodes. Notikuma varbūtības teoriju var izmantot jebkurā tehnoloģiju jomā, lai noteiktu kļūdas vai darbības traucējumu iespējamību.

Var teikt, ka, apzinoties varbūtību, mēs kaut kādā veidā speram teorētisku soli nākotnē, skatoties uz to caur formulu prizmu.

1. Galveno teorēmu un varbūtību formulu izklāsts: saskaitīšanas teorēma, nosacītā varbūtība, reizināšanas teorēma, notikumu neatkarība, kopējās varbūtības formula.

Mērķi: labvēlīgu apstākļu radīšana notikuma varbūtības jēdziena ieviešanai; pārzināt varbūtības teorijas pamatteorēmas un formulas; ieviest kopējās varbūtības formulu.

Nodarbības gaita:

Nejaušs eksperiments (pieredze) ir process, kurā ir iespējami dažādi rezultāti, un nav iespējams iepriekš paredzēt, kāds būs rezultāts. Eksperimenta iespējamos savstarpēji izslēdzošos rezultātus sauc par eksperimenta rezultātiem elementāri notikumi . Elementāro notikumu kopu apzīmējam ar W.

Nejaušs notikums ir notikums, par kuru nav iespējams iepriekš pateikt, vai tas notiks pieredzes rezultātā vai nē. Katru nejaušu notikumu A, kas notika eksperimenta rezultātā, var saistīt ar elementāru notikumu grupu no W. Šajā grupā iekļautie elementārie notikumi tiek saukti labvēlīgs notikumam A.

Kopu W var uzskatīt arī par nejaušu notikumu. Tā kā tas ietver visus elementāros notikumus, tas noteikti notiks pieredzes rezultātā. Tādu pasākumu sauc uzticams .

Ja konkrētam notikumam nav labvēlīgu elementāru notikumu no W, tad tas nevar notikt eksperimenta rezultātā. Tādu pasākumu sauc neiespējami.

Pasākumi tiek saukti vienlīdz iespējams , ja testa rezultāts ir vienādas iespējas šiem notikumiem notikt. Tiek izsaukti divi nejauši notikumi pretī , ja eksperimenta rezultātā viens no tiem rodas tad un tikai tad, ja otrs nenotiek. Notikumam A pretējo notikumu apzīmē ar .

Tiek izsaukti notikumi A un B nesaderīgi , ja viena no tām izskats izslēdz otra izskatu. Tiek izsaukti notikumi A 1, A 2, ..., A n pāri nesaderīgi, ja kādi divi no tiem ir pretrunīgi. Notikumi A 1, A 2, ..., Forma pilnīga pāru nesaderīgu notikumu sistēma , ja pārbaudes rezultātā noteikti radīsies viens un tikai viens no tiem.

Notikumu summa (savienība). A 1, A 2, ..., A n sauc tādu notikumu C, kas sastāv no tā, ka notiek vismaz viens no notikumiem A 1, A 2, ..., A n Notikumu summa ir apzīmē šādi:

C = A 1 +A 2 +…+A n.

Notikumu produkts (krustpunkts). A 1, A 2, ..., A n sauc tādu notikumu P, kas sastāv no tā, ka visi notikumi A 1, A 2, ..., A n notika vienlaicīgi. Norādīta pasākumu producēšana

Varbūtība P(A) varbūtību teorijā darbojas kā skaitlisks raksturlielums jebkura konkrēta nejauša notikuma A iestāšanās iespējamības pakāpei, ja pārbaudes tiek atkārtotas daudzas reizes.

Pieņemsim, ka 1000 metienos ar kauliņu skaitlis 4 parādās 160 reizes. Attiecība 160/1000 = 0,16 parāda skaitļa 4 relatīvo biežumu noteiktā testu sērijā. Vispārīgākā gadījumā nejauša notikuma biežums Un, veicot eksperimentu sēriju, to eksperimentu skaita attiecību, kuros noticis konkrēts notikums, sauc par kopējo eksperimentu skaitu:

kur P*(A) ir notikuma A biežums; m ir eksperimentu skaits, kuros notika notikums A; n ir kopējais eksperimentu skaits.

Nejauša notikuma varbūtība Un viņi izsauc nemainīgu skaitli, ap kuru tiek grupētas noteiktā notikuma frekvences, palielinoties eksperimentu skaitam ( notikuma varbūtības statistiskā noteikšana ). Nejauša notikuma varbūtību apzīmē ar P(A).

Protams, neviens nekad nevarēs veikt neierobežotu skaitu testu, lai noteiktu varbūtību. Tas nav vajadzīgs. Praksē notikuma biežumu daudzos izmēģinājumos var uzskatīt par iespējamību. Piemēram, no statistiskajiem dzimšanas modeļiem, kas izveidoti daudzu gadu novērojumu laikā, notikuma iespējamība, ka jaundzimušais būs zēns, tiek lēsta 0,515.

Ja testa laikā nav iemeslu, kuru dēļ viens nejaušs notikums parādītos biežāk nekā citi ( vienlīdz iespējami notikumi), varbūtību var noteikt, pamatojoties uz teorētiskiem apsvērumiem. Piemēram, noskaidrosim monētas mešanas gadījumā ģerboņa izkrišanas biežumu (notikums A). dažādi eksperimentētāji vairāku tūkstošu testu laikā ir parādījuši, ka šāda notikuma relatīvais biežums ir tuvu 0,5. Ņemot vērā, ka ģerboņa izskats un monētas pretējā puse (notikums B) ir vienlīdz iespējami notikumi, ja monēta ir simetriska, spriedumu P(A) = P(B) = 0,5 varētu izdarīt, nenosakot biežumu. no šiem notikumiem. Balstoties uz notikumu “vienādas iespējamības” jēdzienu, tiek formulēta cita varbūtības definīcija.

Lai apskatāmais notikums A notiek m gadījumos, kurus sauc par labvēlīgiem A, un nenotiek atlikušajos n-m, kas ir nelabvēlīgi A.

Tad notikuma A varbūtība ir vienāda ar tam labvēlīgo elementāro notikumu skaita attiecību pret to kopējo skaitu(Klasiskā notikuma varbūtības definīcija):

kur m ir notikumam A labvēlīgo elementāru notikumu skaits; n — kopējais elementāro notikumu skaits.

Apskatīsim dažus piemērus:

1. piemērs:Urnā ir 40 bumbiņas: 10 melnas un 30 baltas. Atrodiet varbūtību, ka nejauši izvēlēta bumbiņa būs melna.

Labvēlīgo gadījumu skaits ir vienāds ar melno bumbiņu skaitu urnā: m = 10. Kopējais tikpat iespējamo notikumu skaits (vienas bumbas izņemšana) ir vienāds ar kopējo bumbiņu skaitu urnā: n = 40. Šie notikumi ir nekonsekventi, jo tiek izņemta viena un tikai viena bumbiņa. P(A) = 10/40 = 0,25

2. piemērs:Atrodiet varbūtību iegūt pāra skaitli, metot kauliņu.

Metot kauliņus, notiek seši vienlīdz iespējami nesaderīgi notikumi: viena skaitļa parādīšanās: 1,2,3,4,5 vai 6, t.i. n = 6. labvēlīgi gadījumi ir viena no skaitļiem 2,4 vai 6 rašanās: m = 3. vēlamā varbūtība P(A) = m/N = 3/6 = ½.

Kā redzam no notikuma varbūtības definīcijas, visiem notikumiem

0 < Р(А) < 1.

Acīmredzot ticama notikuma varbūtība ir 1, neiespējama notikuma varbūtība ir 0.

Varbūtību saskaitīšanas teorēma: viena (vienalga kura) notikuma iestāšanās varbūtība no vairākiem nesaderīgiem notikumiem ir vienāda ar to varbūtību summu.

Diviem nesaderīgiem notikumiem A un B šo notikumu varbūtības ir vienādas ar to varbūtību summu:

P(A vai B) = P(A) + P(B).

3. piemērs:atrodiet varbūtību iegūt 1 vai 6, metot kauliņu.

Notikumi A (ripošana 1) un B (ripošana 6) ir vienlīdz iespējami: P(A) = P(B) = 1/6, tāpēc P(A vai B) = 1/6 + 1/6 = 1/3

Varbūtību saskaitīšana ir derīga ne tikai diviem, bet arī jebkuram nesaderīgu notikumu skaitam.

4. piemērs:Urnā ir 50 bumbiņas: 10 baltas, 20 melnas, 5 sarkanas un 15 zilas. Atrodiet varbūtību, ka vienas bumbas izņemšanas no urnas laikā parādīsies balta, melna vai sarkana bumbiņa.

Baltās bumbiņas izvilkšanas iespējamība (notikums A) ir P(A) = 10/50 = 1/5, melnā bumbiņa (notikums B) ir P(B) = 20/50 = 2/5 un sarkanā bumbiņa ( notikums C) ir P (C) = 5/50 = 1/10. No šejienes, izmantojot varbūtību saskaitīšanas formulu, mēs iegūstam P(A vai B vai C) = P(A) + P(B) = P(C) = 1/5 + 2/5 + 1/10 = 7/ 10

Divu pretēju notikumu varbūtību summa, kā izriet no varbūtību saskaitīšanas teorēmas, ir vienāda ar vienu:

P(A) + P() = 1

Iepriekš minētajā piemērā baltas, melnas un sarkanas bumbiņas izņemšana būs notikums A 1, P(A 1) = 7/10. Pretējs notikums 1 ir zilās bumbiņas vilkšana. Tā kā ir 15 zilas bumbiņas un kopējais bumbiņu skaits ir 50, mēs iegūstam P(1) = 15/50 = 3/10 un P(A) + P() = 7/10 +3/10 = 1.

Ja notikumi A 1, A 2, ..., A n veido pilnīgu pāru nesaderīgu notikumu sistēmu, tad to varbūtību summa ir vienāda ar 1.

Kopumā divu notikumu A un B summas varbūtību aprēķina kā

P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB).

Varbūtības reizināšanas teorēma:

Tiek izsaukti notikumi A un B neatkarīgs , ja notikuma A iestāšanās varbūtība nav atkarīga no tā, vai notikums B ir noticis vai nē, un otrādi, notikuma B iestāšanās varbūtība nav atkarīga no tā, vai notikums A ir noticis vai nē.

Neatkarīgu notikumu kopīgas rašanās varbūtība ir vienāda ar to varbūtību reizinājumu. Uz diviem pasākumiem P(A un B)=P(A)·P(B).

Piemērs: Vienā urnā ir 5 melnas un 10 baltas bumbiņas, otrā ir 3 melnas un 17 baltas bumbiņas. Atrodiet varbūtību, ka, pirmo reizi izvelkot bumbiņas no katras urnas, abas bumbiņas būs melnas.

Risinājums: varbūtība izvilkt melnu bumbiņu no pirmās urnas (notikums A) ir P(A) = 5/15 = 1/3, melnā bumbiņa no otrās urnas (notikums B) ir P(B) = 3/ 20

P(A un B)=P(A)·P(B) = (1/3) (3/20) = 3/60 = 1/20.

Praksē notikuma B varbūtība bieži ir atkarīga no tā, vai ir noticis kāds cits notikums A vai nē. Šajā gadījumā viņi runā par nosacītā varbūtība , t.i. notikuma B varbūtība, ja notiek notikums A. Nosacītā varbūtība tiek apzīmēta ar P(B/A).

Lai kvantitatīvi salīdzinātu notikumus savā starpā pēc to iespējamības pakāpes, acīmredzot, ir nepieciešams ar katru notikumu saistīt noteiktu skaitli, kurš ir lielāks, jo notikums ir iespējams. Mēs šo skaitli sauksim par notikuma varbūtību. Tādējādi notikuma varbūtība ir šī notikuma objektīvās iespējamības pakāpes skaitlisks mērs.

Pirmā varbūtības definīcija ir jāuzskata par klasisko, kas radās azartspēļu analīzes rezultātā un sākotnēji tika piemērota intuitīvi.

Klasiskā varbūtības noteikšanas metode balstās uz vienlīdz iespējamo un nesavienojamo notikumu jēdzienu, kas ir dotās pieredzes rezultāti un veido pilnīgu nesavienojamu notikumu grupu.

Vienkāršākais piemērs vienlīdz iespējamiem un nesavienojamiem notikumiem, kas veido pilnīgu grupu, ir vienas vai otras bumbas parādīšanās no urnas, kurā ir vairākas vienāda izmēra, svara un citu taustāmu īpašību bumbiņas, kas atšķiras tikai pēc krāsas, pirms izņemšanas rūpīgi sajauktas.

Tāpēc tiek uzskatīts, ka tests, kura rezultāti veido pilnīgu nesaderīgu un vienlīdz iespējamu notikumu grupu, ir reducējams līdz urnu modelim vai gadījumu modelim vai iekļaujas klasiskajā modelī.

Tikpat iespējami un nesaderīgi notikumi, kas veido pilnīgu grupu, tiks saukti vienkārši par gadījumiem vai izredzēm. Turklāt katrā eksperimentā kopā ar gadījumiem var rasties sarežģītāki notikumi.

Piemērs: Metot kauliņu, kopā ar gadījumiem A i - i-punktu zaudēšana augšējā pusē, mēs varam uzskatīt tādus notikumus kā B - pāra punktu skaita zaudēšana, C - vairāku punktu skaita zaudēšana. punkti, kas ir trīs reizes...

Attiecībā uz katru notikumu, kas var notikt eksperimenta laikā, gadījumi tiek sadalīti labvēlīga, kurā šis notikums notiek, un nelabvēlīgs, kurā notikums nenotiek. Iepriekšējā piemērā notikumam B priekšroka tiek dota gadījumiem A 2, A 4, A 6; notikums C — gadījumi A 3, A 6.

Klasiskā varbūtība noteikta notikuma iestāšanos sauc par šī notikuma rašanās labvēlīgo gadījumu skaita attiecību pret kopējo vienādi iespējamo, nesaderīgo gadījumu skaitu, kas veido pilnu grupu konkrētajā eksperimentā:

Kur P(A)- notikuma A iestāšanās varbūtība; m- notikumam A labvēlīgo gadījumu skaits; n- kopējais lietu skaits.

Piemēri:

1) (skatiet piemēru iepriekš) P(B)= , P(C) =.

2) Urnā ir 9 sarkanas un 6 zilas bumbiņas. Atrodiet varbūtību, ka viena vai divas nejauši izvilktas bumbiņas izrādīsies sarkanas.

A- nejauši izvilkta sarkana bumbiņa:

m= 9, n= 9 + 6 = 15, P(A)=

B- divas sarkanas bumbiņas, kas izvilktas pēc nejaušības principa:

No klasiskās varbūtības definīcijas izriet šādas īpašības (parādiet sevi):

1) Neiespējama notikuma varbūtība ir 0;

2) ticama notikuma varbūtība ir 1;

3) jebkura notikuma varbūtība ir no 0 līdz 1;

4) notikumam A pretēja notikuma varbūtība,

Klasiskā varbūtības definīcija pieņem, ka izmēģinājuma rezultātu skaits ir ierobežots. Praksē ļoti bieži ir testi, kuru iespējamo gadījumu skaits ir bezgalīgs. Turklāt klasiskās definīcijas vājums ir tāds, ka ļoti bieži nav iespējams attēlot testa rezultātu elementāru notikumu kopas veidā. Vēl grūtāk ir norādīt iemeslus, kādēļ testa elementārie rezultāti tiek uzskatīti par vienlīdz iespējamiem. Parasti elementāro testu rezultātu līdzvērtība tiek secināta no simetrijas apsvērumiem. Tomēr praksē šādi uzdevumi ir ļoti reti. Šo iemeslu dēļ kopā ar klasisko varbūtības definīciju tiek izmantotas arī citas varbūtības definīcijas.

Statistiskā varbūtība notikums A ir šī notikuma relatīvais biežums veiktajos testos:

kur ir notikuma A iestāšanās varbūtība;

Notikuma A relatīvais biežums;

To izmēģinājumu skaits, kuros parādījās notikums A;

Kopējais izmēģinājumu skaits.

Atšķirībā no klasiskās varbūtības, statistiskā varbūtība ir eksperimentāls raksturlielums.

Piemērs: Lai kontrolētu produktu kvalitāti no partijas, nejauši tika atlasīti 100 produkti, no kuriem 3 produkti izrādījās bojāti. Nosakiet laulības iespējamību.

Statistiskā varbūtības noteikšanas metode ir piemērojama tikai tiem notikumiem, kuriem ir šādas īpašības:

Apsveramajiem notikumiem vajadzētu būt tikai to testu rezultātiem, kurus var reproducēt neierobežotu skaitu reižu vienā un tajā pašā nosacījumu kopumā.

Notikumiem ir jābūt statistiskai stabilitātei (vai relatīvo biežumu stabilitātei). Tas nozīmē, ka dažādās testu sērijās notikuma relatīvais biežums mainās maz.

Mēģinājumu skaitam, kas izraisa notikumu A, jābūt diezgan lielam.

Ir viegli pārbaudīt, vai varbūtības īpašības, kas izriet no klasiskās definīcijas, ir saglabātas arī varbūtības statistiskajā definīcijā.