La risultante di due forze. Qual è la risultante delle forze F1 e F2 che agiscono sul carrello A cosa corrispondono le forze f1 e f2?

Per rispondere a questa domanda è necessario trarre alcune conclusioni dalle condizioni problematiche:

1. La direzione di queste forze;
2. Valore modulare delle forze F1 e F2;
3. Possono queste forze creare una forza risultante tale da spostare il carro dalla sua posizione?

Direzione delle forze

Per determinare le principali caratteristiche del movimento di un carro sotto l'influenza di due forze, è necessario conoscerne la direzione. Ad esempio, se un carrello viene tirato verso destra da una forza pari a 5 N e la stessa forza tira il carrello verso sinistra, è logico supporre che il carrello rimarrà fermo. Se le forze sono codirezionali, per trovare la forza risultante è sufficiente trovarne la somma. Se una forza qualsiasi è diretta ad angolo rispetto al piano di movimento del carrello, il valore di questa forza deve essere moltiplicato per il coseno dell'angolo tra la direzione della forza e il piano. Matematicamente sarebbe simile a questo:

F = F1 * cosa; Dove

F – forza diretta parallelamente alla superficie di movimento.

Il teorema del coseno per trovare il vettore delle forze risultante

Se due forze hanno origine in un punto e tra le loro direzioni c'è un certo angolo, allora è necessario completare il triangolo con il vettore risultante (cioè quello che collega le estremità dei vettori F1 e F2). Troviamo la forza risultante utilizzando il teorema del coseno, che afferma che il quadrato di qualsiasi lato di un triangolo pari alla somma i quadrati degli altri due lati del triangolo meno il doppio del prodotto di questi lati e del coseno dell'angolo compreso tra loro. Scriviamolo in forma matematica:

Fa = Fa 1 2 + Fa 2 2 - 2 * Fa 1 * Fa 2 * cosa.

Sostituendo tutte le quantità note, puoi determinare l'entità della forza risultante.

Risultante. Sai già che due forze si equilibrano quando sono di uguale grandezza e dirette in direzioni opposte. Tali, ad esempio, sono la forza di gravità e la forza di reazione normale che agisce su un libro appoggiato su un tavolo. In questo caso la risultante delle due forze è nulla. In generale, la risultante di due o più forze è una forza che produce su un corpo lo stesso effetto dell'azione simultanea di queste forze.

Consideriamo sperimentalmente come trovare la risultante di due forze dirette lungo una retta.

Mettiamo l'esperienza

Posizioniamo un blocco leggero su una superficie orizzontale liscia del tavolo (in modo che l'attrito tra il blocco e la superficie del tavolo possa essere trascurato). Tiraremo il blocco a destra usando un dinamometro e a sinistra usando due dinamometri, come mostrato in Fig. 16.3. Si noti che i dinamometri a sinistra sono fissati al blocco in modo che le forze di tensione delle molle di questi dinamometri siano diverse.

Riso. 16.3. Come si trova la risultante di due forze?

Vedremo che il blocco è fermo se l'intensità della forza che lo tira verso destra è uguale alla somma delle intensità delle forze che lo tirano verso sinistra. Lo schema di questo esperimento è mostrato in Fig. 16.4.

Riso. 16.4. Rappresentazione schematica delle forze agenti sul blocco

La forza F 3 bilancia la risultante delle forze F 1 e F 2, cioè è uguale ad essa in grandezza e opposta in direzione. Ciò significa che la risultante delle forze F 1 e F 2 è diretta verso sinistra (come queste forze) e il suo modulo è uguale a F 1 + F 2. Pertanto, se due forze sono dirette nello stesso modo, la loro risultante è diretta nello stesso modo di queste forze, e il modulo della risultante è uguale alla somma dei moduli delle forze componenti.

Consideriamo la forza F 1. Equilibra le forze risultanti F 2 e F 3, dirette in direzioni opposte. Ciò significa che la risultante delle forze F 2 e F 3 è diretta verso destra (cioè verso la maggiore di queste forze) e il suo modulo è uguale a F 3 - F 2. Pertanto, se due forze di intensità diversa sono dirette in modo opposto, la loro risultante sarà diretta come la maggiore di queste forze e il modulo della risultante sarà uguale alla differenza tra i moduli della forza maggiore e di quella minore.

Trovare la risultante di più forze si chiama somma di queste forze.

Due forze sono dirette lungo una linea retta. Il modulo di una forza è uguale a 1 N e il modulo dell'altra forza è uguale a 2 N. Il modulo della risultante di queste forze può essere uguale a: a) zero; b) 1 N; c) 2 N; d) 3N?

Il contenuto dell'articolo

STATICA, branca della meccanica, il cui oggetto è corpi materiali, che sono a riposo quando esposti a forze esterne. Nel senso più ampio del termine, la statica è la teoria dell'equilibrio di qualsiasi corpo: solido, liquido o gassoso. In senso più stretto, questo termine si riferisce allo studio dell'equilibrio dei corpi solidi, nonché dei corpi flessibili non allungabili: cavi, cinghie e catene. L'equilibrio dei solidi deformabili è considerato nella teoria dell'elasticità e l'equilibrio dei liquidi e dei gas è considerato nell'idroaeromeccanica.
Cm. IDROAEROMECCANICA.

Riferimento storico.

La statica è la sezione più antica della meccanica; alcuni dei suoi principi erano già noti agli antichi Egizi e Babilonesi, come testimoniano le piramidi e i templi da loro costruiti. Tra i primi creatori della statica teorica ci fu Archimede (287–212 aC circa), che sviluppò la teoria della leva e formulò la legge fondamentale dell'idrostatica. Il fondatore della statica moderna fu l'olandese S. Stevin (1548–1620), che nel 1586 formulò la legge dell'addizione delle forze, o regola del parallelogramma, e la applicò per risolvere una serie di problemi.

Leggi fondamentali.

Ne conseguono le leggi della statica leggi generali agli oratori piace caso speciale, quando le velocità dei corpi solidi tendono a zero, ma ragioni storiche e considerazioni pedagogiche, la statica viene spesso presentata indipendentemente dalla dinamica, costruendola sulle seguenti leggi e principi postulati: a) la legge di addizione delle forze, b) il principio di equilibrio ec) il principio di azione e reazione. Nel caso dei solidi (più precisamente, idealmente corpi solidi che non si deformano sotto l'influenza delle forze), viene introdotto un altro principio, basato sulla definizione di corpo rigido. Questo è il principio del trasferimento della forza: lo stato di un corpo solido non cambia quando il punto di applicazione della forza si sposta lungo la linea della sua azione.

La forza come vettore.

In statica, la forza può essere considerata come una forza di trazione o di spinta che ha una certa direzione, grandezza e punto di applicazione. Da un punto di vista matematico è un vettore e quindi può essere rappresentato da un segmento diretto di una retta, la cui lunghezza è proporzionale all'entità della forza. (Le quantità vettoriali, a differenza delle altre quantità che non hanno una direzione, sono indicate con lettere in grassetto.)

Parallelogramma delle forze.

Consideriamo il corpo (Fig. 1, UN), su cui agiscono le forze F 1 e F 2 applicato nel punto O e rappresentato in figura da segmenti orientati O.A. E O.B.. Come dimostra l'esperienza, l'azione delle forze F 1 e F 2 equivale ad una forza R, rappresentato dal segmento O.C.. Entità della forza R uguale alla lunghezza della diagonale di un parallelogramma costruito su vettori O.A. E O.B. come i suoi lati; la sua direzione è mostrata in Fig. 1, UN. Forza R chiamata forza risultante F 1 e F 2. Matematicamente questo è scritto come R = F 1 + F 2, dove per addizione si intende senso geometrico parole sopra menzionate. Questa è la prima legge della statica, chiamata regola del parallelogramma delle forze.

Forza risultante.

Invece di costruire un parallelogramma OACB, per determinare la direzione e la grandezza della risultante R puoi costruire il triangolo OAC spostando il vettore F 2 parallelo a se stesso finché il suo punto iniziale (ex punto O) coincide con la fine (punto A) del vettore O.A.. Il lato finale del triangolo OAC avrà ovviamente la stessa grandezza e la stessa direzione del vettore R(Fig. 1, B). Questo metodo per trovare la risultante può essere generalizzato a un sistema di molte forze F 1 , F 2 ,..., F n applicato nello stesso punto O del corpo in esame. Quindi, se il sistema è composto da quattro forze (Fig. 1, V), allora possiamo trovare la forza risultante F 1 e F 2, piegalo con forza F 3, quindi somma con forza la nuova risultante F 4 e di conseguenza ottenere la risultante completa R. Risultante R, trovato da tale costruzione grafica, è rappresentato dal lato di chiusura del poligono delle forze OABCD (Fig. 1, G).

La definizione precedente della risultante può essere generalizzata a un sistema di forze F 1 , F 2 ,..., F n applicato nei punti O 1, O 2,..., O n del corpo solido. Viene selezionato un punto O, chiamato punto di riduzione, e in esso viene costruito un sistema di forze parallele trasferite uguali in grandezza e direzione alle forze F 1 , F 2 ,..., F N. Risultante R di questi vettori trasferiti paralleli, cioè il vettore rappresentato dal lato di chiusura del poligono delle forze è chiamato risultante delle forze agenti sul corpo (Fig. 2). È chiaro che il vettore R non dipende dal punto di riferimento selezionato. Se la grandezza del vettore R(segmento ON) non è uguale a zero, allora il corpo non può essere fermo: secondo la legge di Newton, qualsiasi corpo su cui agisce una forza deve muoversi con accelerazione. Quindi un corpo può essere in equilibrio solo se la risultante di tutte le forze ad esso applicate è uguale a zero. Tuttavia, questa condizione necessaria non può essere considerata sufficiente: un corpo può muoversi quando la risultante di tutte le forze ad esso applicate è pari a zero.

Come esempio semplice ma importante per spiegare questo, consideriamo una sottile asta rigida di lunghezza l, il cui peso è trascurabile rispetto all'entità delle forze ad esso applicate. Supponiamo che sulla barra agiscano due forze F E -F, applicato alle sue estremità, uguali in grandezza, ma dirette in senso opposto, come mostrato in Fig. 3, UN. In questo caso, la risultante R uguale a F – F= 0, ma l'asta non sarà in equilibrio; ovviamente ruoterà attorno al suo punto medio O. Un sistema di due forze uguali ma dirette in senso opposto che agiscono su più di una linea retta è una “coppia di forze”, che può essere caratterizzata dal prodotto dell'intensità della forza F sulla spalla" l. L'importanza di un tale prodotto può essere mostrata dal seguente ragionamento, che illustra la regola della leva finanziaria derivata da Archimede e porta alla conclusione sulla condizione di equilibrio rotazionale. Consideriamo un'asta rigida omogenea leggera capace di ruotare attorno ad un asse nel punto O, su cui agisce una forza F 1 applicato a distanza l 1 dall'asse, come mostrato in Fig. 3, B. Sotto forza F 1 asta ruoterà attorno al punto O. Come puoi facilmente vedere dall'esperienza, la rotazione di tale asta può essere impedita applicando una certa forza F 2 a questa distanza l 2 in modo che valga l'uguaglianza F 2 l 2 = F 1 l 1 .

Pertanto, la rotazione può essere impedita in innumerevoli modi. È importante solo scegliere la forza e il punto della sua applicazione in modo che il prodotto della forza per la spalla sia uguale a F 1 l 1 . Questa è la regola della leva finanziaria.

Non è difficile ricavare le condizioni di equilibrio del sistema. Azione delle forze F 1 e F 2 sull'asse provoca una reazione sotto forma di forza di reazione R, applicato nel punto O e diretto in senso opposto alle forze F 1 e F 2. Secondo la legge della meccanica sull'azione e sulla reazione, l'entità della reazione R uguale alla somma delle forze F 1 + F 2. Pertanto, la risultante di tutte le forze agenti sul sistema è uguale a F 1 + F 2 + R= 0, quindi la condizione di equilibrio necessaria sopra menzionata è soddisfatta. Forza F 1 crea una coppia che agisce in senso orario, cioè momento di potere F 1 l 1 rispetto al punto O, che è bilanciato da una coppia antioraria F 2 l 2 poteri F 2. Ovviamente la condizione per l'equilibrio di un corpo è l'uguaglianza a zero somma algebrica momenti, eliminando la possibilità di rotazione. Se la forza F agisce sull'asta ad angolo Q, come mostrato in Fig. 4, UN, allora questa forza può essere rappresentata come la somma di due componenti, una delle quali ( F p), valore F cos Q, agisce parallelamente allo stelo ed è bilanciato dalla reazione del supporto - F p e l'altro ( F n), dimensione F peccato Q, diretto ad angolo retto rispetto alla leva. In questo caso la coppia è pari a Fl peccato Q; può essere bilanciato da qualsiasi forza che crei una coppia uguale agendo in senso antiorario.

Per facilitare la presa in considerazione dei segni dei momenti nei casi in cui sul corpo agiscono molte forze, il momento della forza F rispetto a qualsiasi punto O del corpo (Fig. 4, B) può essere considerato come un vettore l, uguale al prodotto vettoriale R ґ F vettore di posizione R a forza F. Così, l = Rґ F. Non è difficile dimostrarlo se solido esiste un sistema di forze applicate nei punti O 1, O 2,..., O n (Fig. 5), quindi questo sistema può essere sostituito dalla risultante R forza F 1 , F 2 ,..., F n applicato in qualsiasi punto Oў del corpo e una coppia di forze l, il cui momento è pari alla somma [ R 1 ґ F 1 ] + [R 2 ґ F 2 ] +... + [R n̑ F N]. Per verificarlo è sufficiente applicare mentalmente nel punto Oў un sistema di coppie di forze uguali ma dirette in modo opposto F 1 e - F 1 ; F 2 e - F 2 ;...; F n e - F n, che ovviamente non modificherà lo stato del solido.

Portato F 1 applicato al punto O 1 e forza – F 1 applicato al punto Oў forma una coppia di forze, il cui momento relativo al punto Oў è uguale a R 1 ґ F 1 . Allo stesso modo la forza F 2 e - F 2 applicati rispettivamente nei punti O 2 e Oў formano una coppia con un momento R 2 ґ F 2, ecc. Momento totale l di tutte queste coppie rispetto al punto Oў è data dall'uguaglianza del vettore l = [R 1 ґ F 1 ] + [R 2 ґ F 2 ] +... + [R n̑ F N]. Altre forze F 1 , F 2 ,..., F n applicati al punto Oў, in totale danno la risultante R. Ma il sistema non può essere in equilibrio se le quantità R E l sono diversi da zero. Di conseguenza, la condizione affinché i valori siano contemporaneamente uguali a zero R E lÈ una condizione necessaria bilancia. Si può dimostrare che è sufficiente anche che il corpo sia inizialmente a riposo. Quindi, il problema dell’equilibrio si riduce a due condizioni analitiche: R= 0 e l= 0. Queste due equazioni rappresentano una rappresentazione matematica del principio di equilibrio.

I principi teorici della statica sono ampiamente utilizzati nell'analisi delle forze che agiscono su strutture e strutture. Nel caso di una distribuzione continua delle forze, le somme che danno il momento risultante l e risultante R, sono sostituiti da integrali e secondo i consueti metodi di calcolo integrale.

Problema 3.2.1

Determina la risultante di due forze F 1 =50N e F 2 =30N, che formano tra loro un angolo di 30° (Fig. 3.2a).

Figura 3.2

Spostiamo i vettori forza F 1 e F 2 nel punto di intersezione delle linee d'azione e sommiamoli secondo la regola del parallelogramma (Fig. 2.2b). Il punto di applicazione e la direzione della risultante sono mostrati in figura. Il modulo della risultante risultante è determinato dalla formula:

Risposta: R=77,44N

Problema 3.2.2

Determinare la risultante del sistema di forze convergenti F 1 =10N, F 2 =15N, F 3 =20N, se sono noti gli angoli formati dai vettori di tali forze con l'asse Ox: α 1 =30 °, α 2 = 45° e α 3 =60° (Fig.3.3a)

Figura 3.3

Proiettiamo le forze sugli assi Ox e Oy:

Modulo risultante

Sulla base delle proiezioni ottenute, determiniamo la direzione della risultante (Fig. 3.3b)

Risposta: R=44.04N

Problema 3.2.3

Nel punto di connessione di due fili viene applicata una forza verticale P = 100 N (Fig. 3.4a). Determinare le forze nelle filettature se, in equilibrio, gli angoli formati dalle filettature con l'asse OY sono pari a α=30°, β=75°.

Figura 3.4

Le forze di tensione dei fili saranno dirette lungo i fili dal punto di connessione (Fig. 3.4b). Il sistema di forze T 1, T 2, P è un sistema di forze convergenti, perché le linee d'azione delle forze si intersecano nel punto in cui i fili si uniscono. La condizione di equilibrio per questo sistema:

Componiamo equazioni analitiche di equilibrio per un sistema di forze convergenti e proiettiamo l'equazione vettoriale sugli assi.

Risolviamo il sistema di equazioni ottenuto. Dal primo esprimiamo T 2.

Sostituiamo l'espressione risultante nella seconda e determiniamo T 1 e T 2 .

N,

Controlliamo la soluzione a partire dalla condizione che il modulo P della somma delle forze T 1 e T 2 deve essere uguale a P (Fig. 3.4c).

Risposta: T1 =100N, T2 =51,76N.

Problema 3.2.4

Determina la risultante del sistema di forze convergenti se i loro moduli sono dati: F 1 =12N, F 2 =10N, F 3 =15N e angolo α = 60 ° (Fig. 3.5a).

Figura 3.5

Determiniamo le proiezioni della risultante

Modulo risultante:

Sulla base delle proiezioni ottenute, determiniamo la direzione della risultante (Fig. 3.5b)

Risposta: R=27,17N

Problema 3.2.6

Tre aste AC, BC, DC sono collegate a cerniera nel punto C. Determina le forze nelle aste se sono dati la forza F=50N, l'angolo α=60° e l'angolo β=75°. La forza F è nel piano Oyz. (Fig. 3.6)

Figura 3.6

Inizialmente, assumiamo che tutte le aste siano allungate e di conseguenza dirigiamo le reazioni nelle aste dal nodo C. Il sistema risultante N 1, N 2, N 3, F è un sistema di forze convergenti. Condizione di equilibrio per questo sistema.

Spesso non una, ma diverse forze agiscono contemporaneamente sul corpo. Consideriamo il caso in cui il corpo è influenzato da due forze ( e ). Ad esempio, un corpo appoggiato su una superficie orizzontale è influenzato dalla forza di gravità () e dalla reazione della superficie di appoggio () (Fig. 1).

Queste due forze possono essere sostituite da una sola, chiamata forza risultante (). Trovalo come somma vettoriale delle forze e:

Determinazione della risultante di due forze

DEFINIZIONE

Risultante di due forze chiamata forza che produce su un corpo un effetto simile all'azione di due forze separate.

Si noti che l'azione di ciascuna forza non dipende dal fatto che esistano o meno altre forze.

Seconda legge di Newton per la risultante di due forze

Se su un corpo agiscono due forze, allora scriviamo la seconda legge di Newton come:

La direzione della risultante coincide sempre in direzione con la direzione di accelerazione del corpo.

Ciò significa che se un corpo è influenzato da due forze () nello stesso momento nel tempo, allora l'accelerazione () di questo corpo sarà direttamente proporzionale alla somma vettoriale di queste forze (o proporzionale alle forze risultanti):

M è la massa del corpo in questione. L'essenza della seconda legge di Newton è che le forze che agiscono su un corpo determinano come cambia la velocità del corpo e non solo l'entità della velocità del corpo. Si noti che la seconda legge di Newton è soddisfatta esclusivamente nei sistemi di riferimento inerziali.

La risultante di due forze può essere uguale a zero se le forze che agiscono sul corpo sono dirette verso l'interno lati diversi e sono uguali in modulo.

Trovare l'intensità della risultante di due forze

Per trovare la risultante, dovresti rappresentare nel disegno tutte le forze che devono essere prese in considerazione nel problema che agisce sul corpo. Le forze dovrebbero essere aggiunte secondo le regole della somma vettoriale.

Supponiamo che sul corpo agiscano due forze dirette lungo la stessa retta (Fig. 1). Dalla figura si può vedere che sono diretti in direzioni diverse.

Le forze risultanti () applicate al corpo saranno pari a:

Per trovare il modulo delle forze risultanti, selezioniamo un asse, lo denotiamo X e lo dirigiamo lungo la direzione di azione delle forze. Quindi, proiettando l'espressione (4) sull'asse X, otteniamo che il modulo (modulo) della risultante (F) è pari a:

dove sono i moduli delle forze corrispondenti.

Immaginiamo che due forze e agiscano sul corpo, dirette ad un certo angolo l'una rispetto all'altra (Fig. 2). Troviamo la risultante di queste forze usando la regola del parallelogramma. La grandezza della risultante sarà uguale alla lunghezza della diagonale di questo parallelogramma.

Esempi di risoluzione dei problemi

ESEMPIO 1

Esercizio	Un corpo con una massa di 2 kg viene mosso verticalmente verso l'alto mediante un filo, mentre la sua accelerazione è pari a 1. Qual è l'intensità e la direzione della forza risultante? Quali forze vengono applicate al corpo?
Soluzione	Sul corpo vengono applicate la forza di gravità () e la forza di reazione del filo () (Fig. 3). La risultante delle forze sopra indicate può essere trovata utilizzando la seconda legge di Newton: Nella proiezione sull'asse X, l'equazione (1.1) assume la forma: Calcoliamo l'entità della forza risultante:
Risposta	H, la forza risultante è diretta nello stesso modo dell'accelerazione del corpo, cioè verticalmente verso l'alto. Ci sono due forze che agiscono sul corpo e .