इस समस्या के समाधान के लिए तीन विकल्प हैं। पहला यह है कि यदि समस्या की स्थितियों में यह दिया गया है कि पैर बराबर हैं (वास्तव में, हमारे पास एक समद्विबाहु त्रिभुज है)। दूसरा यह है कि यदि कुछ कोण अभी भी दिया गया है (45% कोण को छोड़कर, तो हमारे पास समान समद्विबाहु त्रिभुज है और हम पहले विकल्प पर लौटते हैं)। और तीसरा - जब एक पैर ज्ञात हो। आइए इन विकल्पों पर अधिक विस्तार से विचार करें।

ज्ञात कर्ण के साथ समान पाद कैसे ज्ञात करें

• पहला चरण (चलिए इसे "a" अक्षर से निरूपित करते हैं) दूसरे चरण के बराबर है ((चलिए इसे "b" अक्षर से निरूपित करते हैं): a=b;

• पैर का आकार;

इस संस्करण में, समस्या का समाधान पाइथागोरस प्रमेय के उपयोग पर आधारित है। इसे समकोण त्रिभुजों पर लागू किया जाता है और इसका मुख्य संस्करण इस प्रकार लगता है: “कर्ण का वर्ग योग के बराबरपैरों का वर्ग।" चूँकि हमारे पैर बराबर हैं, हम दोनों पैरों को एक ही प्रतीक से निरूपित कर सकते हैं: a=b, जिसका अर्थ है a=a।

1. हम अपना स्थानापन्न करते हैं प्रतीकप्रमेय में (उपरोक्त को ध्यान में रखते हुए):
   c^2=a^2+a^2,
2. इसके बाद, हम सूत्र को यथासंभव सरल बनाते हैं:
   с^2=2*(a^2) - समूह,
   с=√2*а - हम समीकरण के दोनों पक्षों को वर्गमूल पर लाते हैं,
   a=c/√2 - हम जो खोज रहे हैं उसे निकाल लेते हैं।
3. हम कर्ण के इस मान को प्रतिस्थापित करते हैं और समाधान प्राप्त करते हैं:
   a=x/√2

ज्ञात कर्ण और कोण को देखते हुए, पैर कैसे खोजें

• कर्ण (आइए इसे "c" अक्षर से निरूपित करें) x सेमी के बराबर है: c=x;
• कोण β q के बराबर: β=q;

• पैर का आकार;

इस समस्या को हल करने के लिए आपको इसका उपयोग करने की आवश्यकता है त्रिकोणमितीय कार्य. उनमें से सबसे लोकप्रिय दो हैं:

• साइन फ़ंक्शन - वांछित कोण की साइन विपरीत भुजा और कर्ण के अनुपात के बराबर है;
• कोज्या फलन - वांछित कोण की कोज्या आसन्न पैर और कर्ण के अनुपात के बराबर है;

आप किसी का भी उपयोग कर सकते हैं. मैं पहले वाले का उपयोग करके एक उदाहरण दूंगा। मान लें कि पैरों को "ए" (कोने के निकट) और "बी" (कोने के विपरीत) प्रतीकों द्वारा निर्दिष्ट किया गया है। तदनुसार, हमारा कोण पैर "ए" और कर्ण के बीच स्थित है।

1. हम चयनित प्रतीकों को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं:
   पापβ = बी/सी
2. हम पैर निकालते हैं:
   b=c*sinβ
3. हम अपना दिया हुआ स्थानापन्न करते हैं और हमारे पास एक पैर है।
   b=c*sinq

दूसरे त्रिकोणमिति फ़ंक्शन का उपयोग करके दूसरा चरण पाया जा सकता है, या तीसरे विकल्प पर जा सकते हैं।

यदि कर्ण और दूसरी भुजा ज्ञात हो तो एक भुजा कैसे ज्ञात करें?

• कर्ण (आइए इसे "c" अक्षर से निरूपित करें) x सेमी के बराबर है: c=x;
• पैर (आइए इसे "बी" अक्षर से निरूपित करें) वाई सेमी के बराबर है: बी=वाई;

• दूसरे पैर का आकार (आइए इसे "ए" अक्षर से निरूपित करें);

इस संस्करण में, समस्या का समाधान, पहले की तरह, पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करना है।

1. हम अपने प्रतीकों को प्रमेय में प्रतिस्थापित करते हैं:
   c^2=a^2+b^2,
2. हम आवश्यक पैर निकालते हैं:
   a^2=c^2-b^2
3. हम समीकरण के दोनों पक्षों को वर्गमूल में लेते हैं:
   a=√(c^2-b^2)
4. हम इन मूल्यों को प्रतिस्थापित करते हैं और हमारे पास समाधान है:
   a=√(x^2-y^2)

ज्यामिति कोई साधारण विज्ञान नहीं है। यह दोनों के लिए उपयोगी हो सकता है स्कूल के पाठ्यक्रम, और में वास्तविक जीवन. कई सूत्रों और प्रमेयों का ज्ञान ज्यामितीय गणनाओं को सरल बना देगा। ज्यामिति की सबसे सरल आकृतियों में से एक त्रिभुज है। त्रिभुजों की किस्मों में से एक, समबाहु, की अपनी विशेषताएं हैं।

समबाहु त्रिभुज की विशेषताएँ

परिभाषा के अनुसार, त्रिभुज एक बहुफलक है जिसमें तीन कोण और तीन भुजाएँ होती हैं। यह एक सपाट द्वि-आयामी आकृति है, इसमें इसके गुणों का अध्ययन किया जाता है हाई स्कूल. कोण के प्रकार के आधार पर, न्यून कोण, अधिक कोण और समकोण त्रिभुज होते हैं। समकोण त्रिभुज एक ज्यामितीय आकृति है जिसका एक कोण 90º होता है। ऐसे त्रिभुज के दो पैर होते हैं (वे एक समकोण बनाते हैं), और एक कर्ण होता है (यह विपरीत होता है)। समकोण). ज्ञात मात्राओं के आधार पर, वे तीन हैं सरल तरीकेकर्ण की गणना करें सही त्रिकोण.

पहला तरीका एक समकोण त्रिभुज का कर्ण ज्ञात करना है। पाइथागोरस प्रमेय

पाइथागोरस प्रमेय - सबसे पुराना तरीकासमकोण त्रिभुज की किसी भी भुजा की गणना करें। यह इस तरह लगता है: "एक समकोण त्रिभुज में, कर्ण का वर्ग पैरों के वर्गों के योग के बराबर होता है।" इस प्रकार, कर्ण की गणना करने के लिए, किसी को दो पैरों के वर्ग के योग का वर्गमूल निकालना होगा। स्पष्टता के लिए, सूत्र और एक आरेख दिया गया है।

दूसरा तरीका. 2 ज्ञात मात्राओं का उपयोग करके कर्ण की गणना: पैर और आसन्न कोण

समकोण त्रिभुज के गुणों में से एक यह बताता है कि पैर की लंबाई और कर्ण की लंबाई का अनुपात इस पैर और कर्ण के बीच के कोण की कोज्या के बराबर है। आइए हम ज्ञात कोण को α कहते हैं। अब, प्रसिद्ध परिभाषा के लिए धन्यवाद, आप आसानी से कर्ण की गणना के लिए एक सूत्र तैयार कर सकते हैं: कर्ण = पैर/cos(α)

तीसरा तरीका. 2 ज्ञात मात्राओं का उपयोग करके कर्ण की गणना: पाद और विपरीत कोण

यदि विपरीत कोण ज्ञात है, तो समकोण त्रिभुज के गुणों का फिर से उपयोग करना संभव है। पैर की लंबाई और कर्ण का अनुपात विपरीत कोण की ज्या के बराबर होता है। आइए हम फिर से ज्ञात कोण को α कहते हैं। अब गणना के लिए हम थोड़ा अलग सूत्र का उपयोग करेंगे:
कर्ण = पैर/पाप (α)

सूत्रों को समझने में आपकी सहायता के लिए उदाहरण

प्रत्येक सूत्र की गहरी समझ के लिए, आपको विचार करना चाहिए उदाहरणात्मक उदाहरण. तो, मान लीजिए कि आपको एक समकोण त्रिभुज दिया गया है, जहां निम्नलिखित डेटा है:

• पैर - 8 सेमी.
• आसन्न कोण cosα1 0.8 है।
• विपरीत कोण synα2 0.8 है।

पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: कर्ण = (36+64) का वर्गमूल = 10 सेमी।
पैर के आकार और आसन्न कोण के अनुसार: 8/0.8 = 10 सेमी.
पैर के आकार और विपरीत कोण के अनुसार: 8/0.8 = 10 सेमी.

एक बार जब आप सूत्र को समझ लेते हैं, तो आप किसी भी डेटा के साथ कर्ण की गणना आसानी से कर सकते हैं।

वीडियो: पाइथागोरस प्रमेय

निर्देश

समकोण त्रिभुज का एक पाद ज्ञात कीजिए। मान लीजिए |बीसी| = बी. फिर हम पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग कर सकते हैं, जिसके अनुसार कर्ण पैरों के वर्गों के योग के बराबर है: a^2 + b^2 = c^2. इस समीकरण से हमें अज्ञात पक्ष |AB| मिलता है = ए = √ (सी^2 - बी^2).

मान लीजिए कि एक समकोण त्रिभुज का एक कोण ज्ञात है, मान लीजिए ∟α। फिर समकोण त्रिभुज ABC के AB और BC को त्रिकोणमितीय फलनों का उपयोग करके पाया जा सकता है। तो हम पाते हैं: साइन ∟α विपरीत पक्ष पाप α = बी / सी के अनुपात के बराबर है, कोसाइन ∟α कर्ण के आसन्न पक्ष के अनुपात के बराबर है क्योंकि α = ए / सी। यहां से हमें आवश्यक भुजाओं की लंबाई ज्ञात होती है: |AB| = ए = सी * कॉस α, |बीसी| = बी = सी * पाप α.

मान लीजिए कि पैरों का अनुपात k = a/b ज्ञात है। हम त्रिकोणमितीय फलनों का उपयोग करके भी समस्या का समाधान करते हैं। अनुपात a/b कोटैंजेंट ∟α से अधिक कुछ नहीं है: आसन्न पक्ष ctg α = a/b। इस मामले में, इस समानता से हम a = b * ctg α व्यक्त करते हैं। और हम पाइथागोरस प्रमेय में a^2 + b^2 = c^2 प्रतिस्थापित करते हैं:

b^2 * cotg^2 α + b^2 = c^2. कोष्ठक से b^2 निकालने पर, हमें b^2 * (ctg^2 α + 1) = c^2 प्राप्त होता है। और यहां से हम आसानी से पैर की लंबाई प्राप्त कर सकते हैं b = c / √(ctg^2 α + 1) = c / √(k^2 + 1), जहां k पैरों का दिया गया अनुपात है।

सादृश्य से, यदि पैरों का अनुपात b/a ज्ञात है, तो हम स्पर्शरेखा tan α = b/a का उपयोग करके समस्या का समाधान करते हैं। हम पाइथागोरस प्रमेय a^2 * tan^2 α + a^2 = c^2 में मान b = a * tan α प्रतिस्थापित करते हैं। इसलिए a = c / √(tg^2 α + 1) = c / √(k^2 + 1), जहां k पैरों का दिया गया अनुपात है।

आइए विशेष मामलों पर विचार करें.

∟α = 30°. फिर |एबी| = ए = सी * कॉस α = सी * √3/2; |बीसी| = बी = सी * पाप α = सी / 2.

∟α = 45°. फिर |एबी| = |बीसी| = ए = बी = सी * √2/2.

विषय पर वीडियो

कृपया ध्यान

वर्गमूल निकाले जाते हैं सकारात्मक संकेत, क्योंकि लंबाई ऋणात्मक नहीं हो सकती. यह स्पष्ट प्रतीत होता है, लेकिन यदि आप समस्या को स्वचालित रूप से हल करते हैं तो यह त्रुटि बहुत आम है।

उपयोगी सलाह

समकोण त्रिभुज के पाद ज्ञात करने के लिए, न्यूनीकरण सूत्रों का उपयोग करना सुविधाजनक है: पाप β = पाप (90° - α) = cos α; cos β = cos (90° - α) = पाप α।

स्रोत:

• त्रिकोणमितीय कार्यों के मान खोजने के लिए ब्रैडिस तालिकाएँ

समकोण त्रिभुज की भुजाओं और कोणों के बीच संबंधों की चर्चा गणित की त्रिकोणमिति नामक शाखा में की जाती है। एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं को खोजने के लिए, पाइथागोरस प्रमेय, त्रिकोणमितीय कार्यों की परिभाषाओं को जानना और त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों को खोजने के लिए कुछ साधन होना पर्याप्त है, उदाहरण के लिए, एक कैलकुलेटर या ब्रैडिस टेबल। आइए नीचे एक समकोण त्रिभुज की भुजाएँ ज्ञात करने की समस्याओं के मुख्य मामलों पर विचार करें।

आपको चाहिये होगा

• कैलकुलेटर, ब्रैडिस टेबल।

निर्देश

यदि आपसे इनमें से एक पूछा जाए तेज़ कोने, उदाहरण के लिए, ए, और कर्ण, तो पैरों को बुनियादी त्रिकोणमिति की परिभाषाओं से पाया जा सकता है:

a= c*sin(A), b= c*cos(A).

यदि तीव्र कोणों में से एक, उदाहरण के लिए, ए, और पैरों में से एक, उदाहरण के लिए, ए, दिया गया है, तो कर्ण और दूसरे पैर की गणना संबंधों से की जाती है: b=a*tg(A), c= ए*पाप(ए).

उपयोगी सलाह

इस घटना में कि आप गणना के लिए आवश्यक किसी भी कोण की ज्या या कोज्या का मान नहीं जानते हैं, आप ब्रैडिस तालिकाओं का उपयोग कर सकते हैं, वे त्रिकोणमितीय कार्यों के मान प्रदान करते हैं बड़ी संख्याकोने इसके अलावा, अधिकांश आधुनिक कैलकुलेटर कोणों की ज्या और कोज्या की गणना करने में सक्षम हैं।

स्रोत:

• 2019 में एक समकोण त्रिभुज की भुजा की गणना कैसे करें

युक्ति 3: यदि आप एक समकोण त्रिभुज की भुजाएँ जानते हैं तो कोण कैसे ज्ञात करें

ट्रे वर्ग, जिसका एक कोण समकोण (90° के बराबर) हो, आयताकार कहलाता है। इसकी सबसे लंबी भुजा हमेशा समकोण के विपरीत होती है और इसे कर्ण कहा जाता है, और अन्य दो भुजाएँ दोनों पक्षपैर कहलाते हैं. यदि इन तीनों भुजाओं की लंबाई ज्ञात हो तो तीनों के सभी कोणों का मान ज्ञात कीजिए वर्गऔर यह कठिन नहीं होगा, क्योंकि वास्तव में आपको केवल एक कोण की गणना करने की आवश्यकता है। इसे करने बहुत सारे तरीके हैं।

निर्देश

एक आयताकार त्रिभुज के माध्यम से त्रिकोणमितीय कार्यों की परिभाषाओं (α, β, γ) की गणना करने के लिए उपयोग करें। उदाहरण के लिए, एक न्यून कोण की ज्या के लिए विपरीत पैर की लंबाई और कर्ण की लंबाई का अनुपात। इसका मतलब यह है कि यदि पैरों की लंबाई (ए और बी) और कर्ण (सी) है, तो, उदाहरण के लिए, आप लंबाई को विभाजित करके पैर ए के विपरीत स्थित कोण α की ज्या पा सकते हैं दोनों पक्षऔर लंबाई के लिए दोनों पक्षसी (कर्ण): पाप(α)=ए/सी. इस कोण की ज्या का मान ज्ञात करने के बाद, आप ज्या के व्युत्क्रम फलन - आर्क्साइन का उपयोग करके इसका मान डिग्री में ज्ञात कर सकते हैं। अर्थात्, α=arcsin(sin(α))=arcsin(A/C)। इसी प्रकार आप किसी त्रिभुज में न्यूनकोण का आकार ज्ञात कर सकते हैं। वर्गहां, लेकिन ये जरूरी नहीं है. चूँकि सभी कोणों का योग तीन होता है वर्ग a 180° है, और तीन में वर्गयदि कोणों में से एक 90° है, तो तीसरे कोण के मान की गणना 90° और पाए गए कोण के मान के बीच के अंतर के रूप में की जा सकती है: β=180°-90°-α=90°-α.

ज्या को परिभाषित करने के बजाय, आप एक न्यून कोण की कोज्या की परिभाषा का उपयोग कर सकते हैं, जिसे वांछित कोण से सटे पैर की लंबाई और कर्ण की लंबाई के अनुपात के रूप में तैयार किया जाता है: cos(α)=B/ सी। और यहां, डिग्री में कोण खोजने के लिए व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन (आर्ककोसाइन) का उपयोग करें: α=arccos(cos(α))=arccos(B/C)। इसके बाद, पिछले चरण की तरह, जो कुछ बचा है वह लुप्त कोण का मान ज्ञात करना है: β=90°-α।

आप एक समान स्पर्शरेखा का उपयोग कर सकते हैं - यह वांछित कोण के विपरीत पैर की लंबाई और आसन्न पैर की लंबाई के अनुपात द्वारा व्यक्त किया जाता है: tan(α)=A/B। फिर से, व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन का उपयोग करके डिग्री में कोण निर्धारित करें -: α=arctg(tg(α))=arctg(A/B)। लुप्त कोण का सूत्र अपरिवर्तित रहेगा: β=90°-α.

विषय पर वीडियो

युक्ति 4: समकोण त्रिभुज की भुजा की लंबाई कैसे ज्ञात करें

एक त्रिभुज को समकोण माना जाता है यदि उसका एक कोण समकोण हो। ओर त्रिकोणसमकोण के विपरीत स्थित कर्ण कहलाता है, और अन्य दो दोनों पक्ष- पैर. एक आयताकार की भुजाओं की लंबाई ज्ञात करना त्रिकोण, आप कई तरीकों का उपयोग कर सकते हैं।

निर्देश

आप तीसरे का पता लगा सकते हैं दोनों पक्ष, अन्य दो भुजाओं की लंबाई जानना त्रिकोण. यह पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके किया जा सकता है, जो बताता है कि एक वर्ग एक आयताकार है त्रिकोणउसके पैरों के वर्गों का योग. (a² = b²+ c²). यहां से हम एक आयताकार की सभी भुजाओं की लंबाई व्यक्त कर सकते हैं त्रिकोण:
b² = a² - c²;
c² = a² - b²
उदाहरण के लिए, एक आयताकार के लिए त्रिकोणकर्ण a (18 सेमी) और एक पैर की लंबाई, उदाहरण के लिए c (14 सेमी), ज्ञात है। को लंबाईदूसरी ओर, आपको 2 बीजगणितीय संक्रियाएँ करने की आवश्यकता है:
c² = 18² - 14² = 324 - 196 = 128 सेमी
सी = √128 सेमी
उत्तर: पैर की लंबाई √128 सेमी या लगभग 11.3 सेमी है

यदि आप कर्ण की लंबाई और किसी दिए गए आयताकार के तीव्र बिंदुओं में से एक के आकार को जानते हैं तो आप इसका सहारा ले सकते हैं त्रिकोण. मान लीजिए लंबाई c है और न्यून कोणों में से एक α के बराबर है। इस मामले में, 2 अन्य खोजें दोनों पक्षआयताकार त्रिकोणयह निम्नलिखित सूत्रों का उपयोग करके संभव होगा:
ए = с*sinα;
बी = с*cosα.
आप दे सकते हैं: कर्ण की लंबाई 15 सेमी है, न्यून कोणों में से एक 30 डिग्री है। अन्य दो भुजाओं की लंबाई ज्ञात करने के लिए आपको 2 चरण पूरे करने होंगे:
ए = 15*sin30 = 15*0.5 = 7.5 सेमी
b = 15*cos30 = (15*√3)/2 = 13 सेमी (लगभग)

खोजने का सबसे गैर-तुच्छ तरीका लंबाई दोनों पक्षआयताकार त्रिकोण- इसे किसी दी गई आकृति की परिधि से व्यक्त करना है:
P = a + b + c, जहां P आयताकार का परिमाप है त्रिकोण. इस अभिव्यक्ति से अभिव्यक्त होना आसान है लंबाईकिसी आयताकार वस्तु का कोई भी किनारा त्रिकोण.

युक्ति 5: सभी भुजाओं को जानते हुए समकोण त्रिभुज का कोण कैसे ज्ञात करें

तीनों पक्षों का प्रत्यक्ष ज्ञान कोयलात्रिभुज अपने किसी भी कोण की गणना करने के लिए पर्याप्त से अधिक है। इतनी अधिक जानकारी है कि आपके पास यह चुनने का भी अवसर है कि आपके लिए सबसे उपयुक्त त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन का उपयोग करने के लिए गणना में किन पक्षों का उपयोग करना है।

निर्देश

यदि आप आर्कसाइन से निपटना पसंद करते हैं, तो कर्ण (सी) की लंबाई का उपयोग करें - सबसे लंबी दोनों पक्ष- और वह पैर (ए) जो वांछित कोण (α) के विपरीत स्थित है। इस पैर की लंबाई को कर्ण की लंबाई से विभाजित करने पर वांछित कोण की ज्या का मान मिलेगा, और परिणामी मान से ज्या का व्युत्क्रम फलन - आर्क्साइन - कोण के मान को पुनर्स्थापित करेगा। इसलिए, अपनी गणना में निम्नलिखित का उपयोग करें: α = आर्क्सिन(ए/सी)।

आर्कसाइन को आर्ककोसाइन से बदलने के लिए, गणना में उन पक्षों की लंबाई का उपयोग करें जो वांछित कोण (α) बनाते हैं। उनमें से एक कर्ण (सी) होगा, और दूसरा पैर (बी) होगा। परिभाषा के अनुसार, कोसाइन कर्ण की लंबाई के कोण से सटे पैर की लंबाई है, और कोसाइन मान से कोण आर्क कोसाइन फ़ंक्शन है। निम्नलिखित गणना सूत्र का उपयोग करें: α = आर्ककोस(बी/सी)।

गणना में उपयोग किया जा सकता है. ऐसा करने के लिए, आपको दो छोटी भुजाओं - पैरों की लंबाई की आवश्यकता होगी। एक सीधी रेखा में न्यून कोण (α) की स्पर्शरेखा कोयलात्रिभुज का निर्धारण इसके विपरीत स्थित पैर (ए) की लंबाई और आसन्न पैर (बी) की लंबाई के अनुपात से होता है। ऊपर वर्णित विकल्पों के अनुरूप, निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करें: α = आर्कटान(ए/बी)।

FORMULA

किस त्रिभुज को समकोण त्रिभुज कहा जाता है?

त्रिभुज कई प्रकार के होते हैं. कुछ में सभी न्यूनकोण होते हैं, अन्य में एक अधिककोण और दो न्यूनकोण होते हैं, और अन्य में दो न्यूनकोण और एक सीधा होता है। इस विशेषता के अनुसार इनमें से प्रत्येक प्रकार ज्यामितीय आकारऔर नाम प्राप्त किया: न्यून कोण, अधिक कोण और आयताकार। अर्थात् जिस त्रिभुज का एक कोण 90° का हो, वह समकोण त्रिभुज कहलाता है। पहली जैसी ही एक और चीज़ है. वह त्रिभुज जिसकी दो भुजाएँ लंबवत हों, समकोण त्रिभुज कहलाता है।

कर्ण और पैर

न्यूनकोण और कुंठित त्रिकोणकोणों के शीर्षों को जोड़ने वाले खंडों को केवल भुजाएँ कहा जाता है। पक्ष के अन्य नाम भी हैं। समकोण से सटे हुए पैर कहलाते हैं। समकोण के विपरीत भुजा कर्ण कहलाती है। ग्रीक से अनुवादित, शब्द "कर्ण" का अर्थ है "तंग", और "कैथेटस" का अर्थ है "लंबवत"।

कर्ण और पैरों के बीच संबंध

एक समकोण त्रिभुज की भुजाएँ कुछ संबंधों से जुड़ी होती हैं, जो गणना को बहुत सुविधाजनक बनाती हैं। उदाहरण के लिए, पैरों के आयामों को जानकर, आप कर्ण की लंबाई की गणना कर सकते हैं। इस संबंध को, इसकी खोज करने वाले व्यक्ति के नाम पर, पाइथागोरस प्रमेय कहा जाता है और यह इस तरह दिखता है:

c2=a2+b2, जहां c कर्ण है, a और b पैर हैं। अर्थात् कर्ण बराबर होगा वर्गमूलपैरों के वर्गों के योग से. किसी भी पैर को खोजने के लिए, कर्ण के वर्ग से दूसरे पैर के वर्ग को घटाना और परिणामी अंतर से वर्गमूल निकालना पर्याप्त है।

आसन्न और विपरीत पैर

एक समकोण त्रिभुज DIA बनाएं। अक्षर C आमतौर पर समकोण के शीर्ष को दर्शाता है, A और B न्यून कोण के शीर्ष को दर्शाते हैं। प्रत्येक कोण की सम्मुख भुजाओं को उनके सम्मुख कोणों के नाम पर a, b और c कहना सुविधाजनक होता है। कोण A पर विचार करें। भुजा a इसके विपरीत होगी, भुजा b आसन्न होगी। कर्ण के विपरीत भुजा का अनुपात कहलाता है। इस त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन की गणना सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है: synA=a/c। निकटवर्ती पाद और कर्ण का अनुपात कोज्या कहलाता है। इसकी गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है: cosA=b/c।

इस प्रकार, कोण और एक भुजा को जानकर, आप दूसरी भुजा की गणना करने के लिए इन सूत्रों का उपयोग कर सकते हैं। दोनों पक्ष त्रिकोणमितीय संबंधों से भी जुड़े हुए हैं। आसन्न के विपरीत के अनुपात को स्पर्शरेखा कहा जाता है, और विपरीत के आसन्न के अनुपात को कोटैंजेंट कहा जाता है। इन संबंधों को सूत्र tgA=a/b या ctgA=b/a द्वारा व्यक्त किया जा सकता है।

"और वे हमें बताते हैं कि पैर कर्ण से छोटा है..." ये पंक्तियाँ एक प्रसिद्ध गीत से हैं जो इसमें बजता था फीचर फिल्मइलेक्ट्रॉनिक्स का रोमांच वास्तव में यूक्लिड की ज्यामिति के अनुरूप है। आख़िरकार, पैर दो भुजाएँ हैं जो एक कोण बनाती हैं, डिग्री मापजो 90 डिग्री के बराबर है. और कर्ण सबसे लंबी "विस्तारित" भुजा है जो दो पैरों को एक दूसरे से लंबवत जोड़ती है, और समकोण के विपरीत स्थित होती है। इसीलिए केवल समकोण त्रिभुज में पैरों द्वारा कर्ण ज्ञात करना संभव है, और यदि पैर कर्ण से अधिक लंबा होता, तो ऐसे त्रिभुज का अस्तित्व ही नहीं होता।

यदि दोनों पक्ष ज्ञात हों तो पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके कर्ण कैसे ज्ञात करें

प्रमेय बताता है कि कर्ण का वर्ग पैरों के वर्गों के योग से अधिक कुछ नहीं है: x^2+y^2=z^2, जहां:

• एक्स - पहला चरण;
• y - दूसरा पैर;
• z - कर्ण.

लेकिन आपको केवल कर्ण ज्ञात करना है, उसका वर्ग नहीं। ऐसा करने के लिए, जड़ निकालें.

दो का उपयोग करके कर्ण ज्ञात करने के लिए एल्गोरिदम सुप्रसिद्ध पक्ष:

• स्वयं बताएं कि पैर कहां हैं और कर्ण कहां है।
• पहले पैर को चौकोर करें।
• दूसरे पैर को चौकोर करें।
• परिणामी मान जोड़ें.
• चरण 4 में प्राप्त संख्या का मूल निकालें।

यदि पाद और उसके विपरीत न्यून कोण ज्ञात हो तो ज्या के माध्यम से कर्ण का पता कैसे लगाएं

किसी ज्ञात पैर का उसके विपरीत स्थित न्यून कोण से अनुपात कर्ण के मान के बराबर होता है: a/sin A = c। यह साइन की परिभाषा का परिणाम है:

कर्ण के विपरीत भुजा का अनुपात: पाप ए = ए/सी, जहां:

• ए - पहला चरण;
• ए - पैर के विपरीत तीव्र कोण;
• सी- कर्ण.

साइन प्रमेय का उपयोग करके कर्ण खोजने के लिए एल्गोरिदम:

• अपने लिए एक ज्ञात पैर और उसके विपरीत कोण को इंगित करें।
• पैर को विपरीत कोने में बाँट लें।
• कर्ण प्राप्त करें.

यदि पाद और उससे सटे न्यून कोण ज्ञात हों तो कोज्या के माध्यम से कर्ण कैसे ज्ञात करें

ज्ञात पाद और न्यून आसन्न कोण का अनुपात कर्ण a/cos B = c के मान के बराबर है। यह कोसाइन की परिभाषा का परिणाम है: आसन्न पैर का कर्ण से अनुपात: कॉस बी = ए/सी, जहां:

• ए - दूसरा पैर;
• बी - दूसरे पैर से सटे तीव्र कोण;
• सी- कर्ण.

कोसाइन प्रमेय का उपयोग करके कर्ण ज्ञात करने के लिए एल्गोरिदम:

• अपने लिए एक ज्ञात पैर और एक आसन्न कोण इंगित करें।
• पैर को आसन्न कोण से विभाजित करें।
• कर्ण प्राप्त करें.

मिस्र के त्रिभुज का उपयोग करके कर्ण कैसे ज्ञात करें

"मिस्र का त्रिकोण" संख्याओं की एक तिकड़ी है, जिसे जानकर आप कर्ण या किसी अन्य अज्ञात पैर को खोजने में समय बचा सकते हैं। त्रिभुज का यह नाम इसलिए है क्योंकि मिस्र में कुछ संख्याएँ देवताओं का प्रतीक थीं और पिरामिडों और अन्य विभिन्न संरचनाओं के निर्माण का आधार थीं।

• पहले तीन नंबर: 3-4-5. यहां पैर 3 और 4 के बराबर हैं। फिर कर्ण निश्चित रूप से 5 के बराबर होगा। जांचें: (9+16=25)।
• संख्याओं का दूसरा त्रिक: 5-12-13. यहां भी, पैर 5 और 12 के बराबर हैं। इसलिए, कर्ण 13 के बराबर होगा। जांचें: (25+144=169)।

ऐसी संख्याएँ तब भी मदद करती हैं जब उन्हें किसी एक संख्या से विभाजित या गुणा किया जाता है। यदि पैर 3 और 4 हैं, तो कर्ण 5 के बराबर होगा। यदि आप इन संख्याओं को 2 से गुणा करते हैं, तो कर्ण भी 2 से गुणा होगा। उदाहरण के लिए, संख्या 6-8-10 का त्रिक भी फिट होगा पाइथागोरस प्रमेय और यदि आपको संख्याओं के ये त्रिक याद हैं तो आपको कर्ण की गणना करने की आवश्यकता नहीं है।



इस प्रकार, ज्ञात पैरों का उपयोग करके कर्ण ज्ञात करने के 4 तरीके हैं। सबसे अच्छा विकल्प पाइथागोरस प्रमेय है, लेकिन "मिस्र के त्रिकोण" को बनाने वाली संख्याओं के त्रिक को याद करने में भी कोई दिक्कत नहीं होगी, क्योंकि यदि आप ऐसे मूल्यों का सामना करते हैं तो आप बहुत समय बचा सकते हैं।

त्रिभुज कई प्रकार के होते हैं: धनात्मक, समद्विबाहु, न्यून कोण, इत्यादि। उन सभी में ऐसे गुण हैं जो केवल उनके लिए शास्त्रीय हैं, और मात्राएँ ज्ञात करने के लिए प्रत्येक के अपने नियम हैं, चाहे वह कोई भुजा हो या आधार पर कोई कोण। लेकिन इन ज्यामितीय आकृतियों की प्रत्येक विविधता से अलग समूहआप समकोण वाला त्रिभुज चुन सकते हैं.

आपको चाहिये होगा

• त्रिभुज के योजनाबद्ध प्रतिनिधित्व के लिए खाली शीट, पेंसिल और रूलर।

निर्देश

1. एक त्रिभुज आयताकार कहलाता है यदि उसका एक कोण 90 डिग्री का हो। इसमें 2 पैर और एक कर्ण होता है। कर्ण इस त्रिभुज की सबसे बड़ी भुजा है। यह समकोण के विपरीत स्थित है। तदनुसार, पैरों को इसकी छोटी भुजाएँ कहा जाता है। वे या तो एक दूसरे के बराबर हो सकते हैं या अलग-अलग आकार के हो सकते हैं। पैरों की समानता का मतलब है कि आप एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज के साथ काम कर रहे हैं। इसकी सुंदरता यह है कि यह दो आकृतियों के गुणों को जोड़ती है: आयताकार और समद्विबाहु त्रिभुज. यदि पैर समान नहीं हैं, तो त्रिभुज मनमाना है और मूल नियम का पालन करता है: कोण जितना बड़ा होगा, उसके विपरीत स्थित कोण उतना ही बड़ा होगा।

2. पैर और कोण द्वारा कर्ण ज्ञात करने की कई विधियाँ हैं। लेकिन उनमें से किसी एक का उपयोग करने से पहले, आपको यह निर्धारित करना चाहिए कि कौन सा पैर और कोण ज्ञात है। यदि एक कोण और उसके समीप एक पाद दिया गया है, तो कोण की कोज्या को देखकर कर्ण का पता लगाना आसान हो जाता है। एक समकोण त्रिभुज में न्यून कोण (cos a) की कोज्या आसन्न पाद और कर्ण का अनुपात है। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि कर्ण (सी) आसन्न पैर (बी) और कोण ए (कॉस ए) के कोसाइन के अनुपात के बराबर होगा। इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: cos a=b/c => c=b/cos a.

3. यदि एक कोण और एक विपरीत पैर दिया गया है, तो आपको साइन के साथ काम करना चाहिए। एक समकोण त्रिभुज में न्यून कोण (sin a) की ज्या विपरीत भुजा (a) और कर्ण (c) का अनुपात है। यहां थीसिस पिछले उदाहरण की तरह काम करती है, केवल कोसाइन फ़ंक्शन के बजाय, साइन लिया जाता है। पाप ए=ए/सी => सी=ए/पाप ए।

4. आप स्पर्शरेखा जैसे त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन का भी उपयोग कर सकते हैं। लेकिन वांछित मूल्य ढूँढना थोड़ा और कठिन हो जाएगा। एक समकोण त्रिभुज में न्यून कोण (tg a) की स्पर्शरेखा विपरीत पाद (a) और आसन्न पाद (b) का अनुपात है। दोनों पैरों की खोज करने के बाद, पाइथागोरस प्रमेय लागू करें (कर्ण का वर्ग पैरों के वर्गों के योग के बराबर है) और त्रिभुज की विशाल भुजा की खोज की जाएगी।

कर्ण एक समकोण त्रिभुज की वह भुजा है जो 90 डिग्री के कोण के विपरीत होती है। इसकी लंबाई की गणना करने के लिए, किसी एक पैर की लंबाई और त्रिभुज के न्यून कोणों में से एक का आकार जानना पर्याप्त है।

निर्देश

1. एक समकोण त्रिभुज के अग्रणी पाद और न्यून कोण के साथ, कर्ण का आकार इस कोण के पाद और कोज्या/ज्या के अनुपात के बराबर हो सकता है, यदि यह कोण इसके विपरीत/आसन्न हो: h = C1 ( या C2)/sin?; h = C1 (या C2 )/cos? उदाहरण: मान लीजिए कि एक समकोण AB और एक समकोण C दिया गया है। कोण B 60 डिग्री और कोण A 30 डिग्री है पैर BC की लंबाई 8 सेमी है। हमें कर्ण AB की लंबाई ज्ञात करनी है। ऐसा करने के लिए, आप ऊपर प्रस्तावित किसी भी विधि का उपयोग कर सकते हैं: AB = BC/cos60 = 8 सेमी।

शब्द " टांग"ग्रीक शब्द "लंबवत" या "साहुल" से आया है - यह बताता है कि एक समकोण त्रिभुज की दोनों भुजाओं, जो इसके नब्बे-डिग्री कोण का निर्माण करती हैं, को इस तरह क्यों नामित किया गया था। प्रत्येक की लंबाई ज्ञात कीजिए टांगयदि आप इसके निकटवर्ती कोण का मान और कुछ अन्य पैरामीटर जानते हैं तो यह मुश्किल नहीं है, क्योंकि इस स्थिति में सभी 3 कोणों का मान वास्तव में ज्ञात हो जाएगा।

निर्देश

1. यदि, आसन्न कोण (β) के मान के अतिरिक्त, दूसरे की लंबाई टांगए (बी), फिर लंबाई टांगऔर (ए) को प्रसिद्ध की लंबाई के भागफल के रूप में परिभाषित किया जा सकता है टांगऔर वांछित कोण की स्पर्श रेखा के लिए: a=b/tg(β)। यह इस त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन की परिभाषा से अनुसरण करता है। यदि आप ज्या प्रमेय का उपयोग करते हैं तो आप स्पर्शरेखा के बिना भी काम कर सकते हैं। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि वांछित भुजा की लंबाई और विपरीत कोण की ज्या का अनुपात वांछित भुजा की लंबाई के अनुपात के बराबर है टांगऔर प्रसिद्ध कोण की ज्या तक। जो चाहा जाता है उसके विपरीत टांग y न्यून कोण को प्रसिद्ध कोण के माध्यम से 180°-90°-β = 90°-β के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, क्योंकि किसी भी त्रिभुज के सभी कोणों का योग 180° होना चाहिए, और एक समकोण त्रिभुज की परिभाषा के अनुसार, इसके कोण 90° है. इसका मतलब है वांछित लंबाई टांगऔर सूत्र a=sin(90°-β)∗b/sin(β) का उपयोग करके गणना की जा सकती है।

2. यदि आसन्न कोण (β) का मान और कर्ण (c) की लंबाई ज्ञात हो, तो लंबाई टांगऔर (ए) की गणना कर्ण की लंबाई और प्रसिद्ध कोण के कोसाइन के उत्पाद के रूप में की जा सकती है: a=c∗cos(β)। यह त्रिकोणमितीय फलन के रूप में कोसाइन की परिभाषा का अनुसरण करता है। लेकिन आप पिछले चरण की तरह, ज्या प्रमेय और फिर वांछित लंबाई का उपयोग कर सकते हैं टांग a 90° और संदर्भ कोण के बीच के अंतर की ज्या के गुणनफल और कर्ण की लंबाई और समकोण की ज्या के अनुपात के बराबर होगा। और चूँकि 90° की ज्या एक के बराबर है, सूत्र इस प्रकार लिखा जा सकता है: a=sin(90°-β)∗c.

3. वास्तविक गणनाएँ, मान लीजिए, विंडोज़ ओएस में शामिल सॉफ़्टवेयर कैलकुलेटर का उपयोग करके की जा सकती हैं। इसे लॉन्च करने के लिए, आप "स्टार्ट" बटन पर मुख्य मेनू में "रन" आइटम का चयन कर सकते हैं, कैल्क कमांड टाइप करें और "ओके" बटन पर क्लिक करें। डिफ़ॉल्ट रूप से खुलने वाले इस प्रोग्राम के इंटरफ़ेस के सबसे सरल संस्करण में, त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन प्रदान नहीं किए जाते हैं, इसलिए, इसे लॉन्च करने के बाद, आपको मेनू में "देखें" अनुभाग पर क्लिक करना होगा और "वैज्ञानिक" या "इंजीनियर" लाइन का चयन करना होगा; (प्रयुक्त ऑपरेटिंग सिस्टम के संस्करण के आधार पर)।

विषय पर वीडियो

"कैथेट" शब्द ग्रीक से रूसी भाषा में आया है। सटीक अनुवाद में, इसका अर्थ है एक साहुल रेखा, यानी पृथ्वी की सतह से लंबवत। गणित में, पैर वे भुजाएँ हैं जो एक समकोण त्रिभुज का समकोण बनाती हैं। इस कोण के सम्मुख की भुजा कर्ण कहलाती है। "कैथेट" शब्द का प्रयोग वास्तुकला और विशेष प्रौद्योगिकी में भी किया जाता है वेल्डिंग का काम.

एक समकोण त्रिभुज DIA बनाएं। इसके पैरों को ए और बी के रूप में लेबल करें, और इसके कर्ण को सी के रूप में लेबल करें। एक समकोण त्रिभुज की सभी भुजाएँ और कोण कुछ संबंधों द्वारा परस्पर जुड़े होते हैं। न्यून कोणों में से किसी एक के विपरीत पैर का कर्ण से अनुपात इस कोण की ज्या कहलाता है। इस त्रिभुज में synCAB=a/c. कोसाइन आसन्न पैर के कर्ण का अनुपात है, अर्थात, cosCAB=b/c। व्युत्क्रम संबंधों को सेकेंट और कोसेकेंट कहा जाता है। किसी दिए गए कोण का सेकेंट कर्ण को आसन्न पैर से विभाजित करके प्राप्त किया जाता है, अर्थात, secCAB = c/b। परिणाम कोज्या का व्युत्क्रम है, अर्थात, इसे सूत्र secCAB=1/cosSAB का उपयोग करके व्यक्त किया जा सकता है। सहसंयोजक विपरीत भुजा से विभाजित कर्ण के भागफल के बराबर होता है और ज्या का व्युत्क्रम होता है। इसकी गणना सूत्र cosecCAB = 1/sinCAB का उपयोग करके की जा सकती है। दोनों पैर स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट द्वारा एक दूसरे से संबंधित हैं। इस मामले में, स्पर्शरेखा भुजा a और भुजा b का अनुपात होगा, अर्थात, आसन्न भुजा के विपरीत भुजा। इस संबंध को सूत्र tgCAB=a/b द्वारा व्यक्त किया जा सकता है। तदनुसार, व्युत्क्रम अनुपात कोटैंजेंट होगा: ctgCAB=b/a। कर्ण और दोनों पैरों के आकार के बीच का संबंध प्राचीन यूनानी गणितज्ञ पाइथागोरस द्वारा निर्धारित किया गया था। उनके नाम पर बनी प्रमेय का प्रयोग आज भी लोग करते हैं। इसमें कहा गया है कि कर्ण का वर्ग पैरों के वर्गों के योग के बराबर है, अर्थात c2 = a2 + b2। तदनुसार, प्रत्येक पैर कर्ण और दूसरे पैर के वर्गों के बीच के अंतर के वर्गमूल के बराबर होगा। इस सूत्र को b=?(c2-a2) के रूप में लिखा जा सकता है। पैर की लंबाई को प्रसिद्ध संबंधों के माध्यम से भी व्यक्त किया जा सकता है। साइन और कोसाइन के प्रमेय के अनुसार, पैर उत्पाद के बराबरइन कार्यों में से किसी एक का कर्ण। इसे स्पर्शरेखा या कोटैंजेंट के माध्यम से भी व्यक्त किया जा सकता है। लेग ए को सूत्र ए = बी*टैन सीएबी का उपयोग करके पाया जा सकता है। उसी तरह, दिए गए स्पर्शरेखा या कोटैंजेंट के आधार पर, दूसरा पैर निर्धारित किया जाता है, वास्तुकला में, "पैर" शब्द का भी उपयोग किया जाता है। इसका उपयोग आयनिक पूंजी के संबंध में किया जाता है और यह इसके पीछे के मध्य से होकर एक साहुल रेखा को दर्शाता है। अर्थात्, इस मामले में, यह शब्द किसी दी गई रेखा पर लंबवत को दर्शाता है। विशेष वेल्डिंग तकनीक में "फ़िलेट वेल्ड लेग" की अवधारणा है। अन्य मामलों की तरह, यह सबसे कम दूरी है। यहाँ हम बात कर रहे हैंवेल्ड किए जा रहे भागों में से एक के दूसरे भाग की सतह पर स्थित सीम की सीमा के बीच के अंतराल के बारे में।

विषय पर वीडियो

ध्यान देना!
पाइथागोरस प्रमेय के साथ काम करते समय, याद रखें कि आप एक डिग्री के साथ काम कर रहे हैं। पैरों के वर्गों का योग ज्ञात करने के बाद, अंतिम परिणाम प्राप्त करने के लिए, व्यक्ति को वर्गमूल निकालना होगा।