त्रिभुज का कर्ण ज्ञात करने का सूत्र। यदि पैर ज्ञात हैं तो कर्ण कैसे ज्ञात करें

ग्रीक से अनुवादित, कर्ण का अर्थ है "तंग"। ठीक से समझने के लिए, एक धनुष डोरी की कल्पना करें जो एक लचीली छड़ी के दोनों सिरों को जोड़ती है। ये भी अंदर है सही त्रिकोण, सबसे लंबी भुजा, कर्ण है, जो समकोण के विपरीत स्थित है। यह अन्य दो पक्षों, जिन्हें पैर कहा जाता है, के लिए एक संयोजक के रूप में कार्य करता है। यह पता लगाने के लिए कि यह "स्ट्रिंग" कितनी लंबी है, आपको पैरों की लंबाई, या दो तीव्र कोणों के आकार की आवश्यकता है। इन आंकड़ों को मिलाकर, आप सूत्रों का उपयोग करके वांछित मूल्य की गणना कर सकते हैं।

पैरों द्वारा कर्ण का पता कैसे लगाएं

गणना करने का सबसे आसान तरीका यह है कि यदि आप दो पैरों का आकार जानते हैं (आइए एक को ए के रूप में, दूसरे को बी के रूप में निरूपित करें)। पाइथागोरस स्वयं और उनका विश्व प्रसिद्ध प्रमेय बचाव के लिए आते हैं। वह हमें बताती है कि यदि हम पैरों की लंबाई का वर्ग करें और गणना किए गए मानों को जोड़ें, तो परिणामस्वरूप हमें कर्ण की लंबाई का वर्ग मान ज्ञात होगा। उपरोक्त से, हम निष्कर्ष निकालते हैं: कर्ण का मान ज्ञात करने के लिए, पैरों के वर्गों के कुल योग का वर्गमूल निकालना आवश्यक है C = √ (A² + B²)। उदाहरण: भुजा A=10 सेमी, भुजा B=20 सेमी। कर्ण 22.36 सेमी के बराबर है: √(10²+20²)=√(100+400)= √500≈22.36।

किसी कोण से कर्ण का पता कैसे लगाएं

किसी दिए गए कोण से कर्ण की लंबाई की गणना करना थोड़ा अधिक कठिन है। यदि आप दो पैरों में से एक का आकार (ए द्वारा चिह्नित) और उसके विपरीत स्थित कोण (α द्वारा चिह्नित) का आकार जानते हैं, तो कर्ण का आकार त्रिकोणमिति और विशेष रूप से, साइन का उपयोग करके पाया जाता है। आपको बस ज्ञात पैर के मान को कोण की ज्या से विभाजित करना है। C=A/sin(α). उदाहरण: पैर A की लंबाई = 30 सेमी, इसके विपरीत कोण 45° है, कर्ण 42.25 सेमी होगा। गणना इस प्रकार है: 30/sin(45°) = 30/0.71 = 42.25।

दूसरा तरीका कोसाइन का उपयोग करके कर्ण का आकार ज्ञात करना है। इसका उपयोग तब किया जाता है जब आप पैर का आकार (बी द्वारा दर्शाया गया) और उसके निकट का न्यून कोण (α द्वारा दर्शाया जाता है) जानते हैं। आपको बस पैर के मान को कोण की ज्या से विभाजित करना है। С=В/ cos(α). उदाहरण: पैर B की लंबाई = 30 सेमी, इसके विपरीत कोण 45° है, कर्ण 42.25 सेमी होगा। गणना इस प्रकार है: 30/cos(45°) = 30/0.71 = 42.25।

समद्विबाहु समकोण त्रिभुज का कर्ण कैसे ज्ञात करें

कोई भी स्वाभिमानी स्कूली बच्चा जानता है कि एक त्रिभुज समद्विबाहु है, बशर्ते कि तीन में से दो भुजाएँ एक दूसरे के बराबर हों। इन पक्षों को पार्श्व कहा जाता है, और जो शेष रहता है उसे आधार कहा जाता है। यदि इनमें से एक कोण 90° है, तो आपके पास एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज है।

ऐसे त्रिभुज में कर्ण ढूँढना आसान है, क्योंकि इसमें कई गुण हैं जो मदद करेंगे। आधार से सटे कोणों का मान बराबर होता है, कोणों के मानों का कुल योग 180° होता है। इसका मतलब यह है कि समकोण आधार के विपरीत स्थित है, जिसका अर्थ है कि आधार कर्ण है, और भुजाएँ पैर हैं।

त्रिभुज एक ज्यामितीय संख्या है जिसमें तीन खंड होते हैं जो तीन बिंदुओं को जोड़ते हैं जो एक ही रेखा पर नहीं होते हैं। त्रिभुज बनाने वाले बिंदु इसके बिंदु कहलाते हैं, और खंड अगल-बगल होते हैं।

त्रिभुज के प्रकार (आयताकार, मोनोक्रोम, आदि) के आधार पर, आप इनपुट डेटा और समस्या की स्थितियों के आधार पर, विभिन्न तरीकों से त्रिभुज की भुजा की गणना कर सकते हैं।

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एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं की गणना करने के लिए पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग किया जाता है, जिसके अनुसार कर्ण का वर्ग योग के बराबरवर्ग फुट.

यदि हम पैरों को "ए" और "बी" के रूप में और कर्ण को "सी" के रूप में लेबल करते हैं, तो पृष्ठ निम्नलिखित सूत्रों के साथ पाए जा सकते हैं:

यदि किसी समकोण त्रिभुज (ए और बी) के न्यून कोण ज्ञात हों, तो इसकी भुजाएँ निम्नलिखित सूत्रों से ज्ञात की जा सकती हैं:

कटा हुआ त्रिकोण

समबाहु त्रिभुज उस त्रिभुज को कहते हैं जिसकी दोनों भुजाएँ समान होती हैं।

दो पैरों में कर्ण कैसे ज्ञात करें?

यदि अक्षर "ए" उसी पृष्ठ के समान है, "बी" आधार है, "बी" आधार के विपरीत कोण है, "ए" आसन्न कोण है तो पृष्ठों की गणना करने के लिए निम्नलिखित सूत्रों का उपयोग किया जा सकता है:

दो कोने और एक भुजा

यदि किसी त्रिभुज का एक पृष्ठ (सी) और दो कोण (ए और बी) ज्ञात हैं, तो शेष पृष्ठों की गणना के लिए साइन सूत्र का उपयोग किया जाता है:

आपको तीसरा मान y = 180 - (a + b) खोजना होगा क्योंकि

एक त्रिभुज के सभी कोणों का योग 180° होता है;

दो भुजाएँ और एक कोण

यदि किसी त्रिभुज की दो भुजाएँ (a और b) और उनके बीच का कोण (y) ज्ञात हो, तो तीसरी भुजा की गणना के लिए कोसाइन प्रमेय का उपयोग किया जा सकता है।

समकोण त्रिभुज का परिमाप कैसे ज्ञात करें

त्रिभुजाकार त्रिभुज एक त्रिभुज होता है, जिसमें से एक 90 डिग्री का होता है और अन्य दो न्यूनकोण होते हैं। गणना परिधिऐसा त्रिकोणइसके बारे में ज्ञात जानकारी की मात्रा पर निर्भर करता है।

आपको इसकी आवश्यकता होगी

• मामले के आधार पर, त्रिभुज की तीन भुजाओं के साथ-साथ इसके न्यून कोणों में से एक को कौशल करें।

निर्देश

पहलाविधि 1. यदि तीनों पृष्ठ ज्ञात हों त्रिकोणफिर, चाहे लंबवत हो या गैर-त्रिकोणीय, परिधि की गणना इस प्रकार की जाती है: पी = ए + बी + सी, जहां संभव हो, सी कर्ण है; ए और बी पैर हैं।

दूसराविधि 2.

यदि एक आयत में केवल दो भुजाएँ हैं, तो पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हुए, त्रिकोणसूत्र का उपयोग करके गणना की जा सकती है: P = v (a2 + b2) + a + b या P = v (c2 - b2) + b + c।

तीसराविधि 3. माना कर्ण c और है तीव्र कोण? एक समकोण त्रिभुज दिया गया है, तो परिधि इस प्रकार ज्ञात करना संभव होगा: पी = (1 + पाप?

चौथीविधि 4. वे कहते हैं कि समकोण त्रिभुज में एक पैर की लंबाई a के बराबर होती है और, इसके विपरीत, एक न्यून कोण होता है। फिर गणना करें परिधियह त्रिकोणसूत्र के अनुसार किया जाएगा: P = a * (1 / tg?

1/बेटा? + 1)

जागीरोंविधि 5.

ऑनलाइन त्रिकोण गणना

हमारे पैर को आगे बढ़ने दें और उसमें शामिल हो जाएं, फिर सीमा की गणना इस प्रकार की जाएगी: पी = ए * (1 / सीटीजी + 1 / + 1 कॉस?)

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पाइथागोरस प्रमेय सभी गणित का आधार है। एक सच्चे त्रिभुज की भुजाओं के बीच संबंध निर्धारित करता है। इस प्रमेय के अब 367 प्रमाण हैं।

निर्देश

पहलापाइथागोरस प्रमेय का क्लासिक स्कूल सूत्रीकरण इस तरह लगता है: कर्ण का वर्ग पैरों के वर्गों के योग के बराबर है।

दो कैटेट के समकोण त्रिभुज में कर्ण ज्ञात करने के लिए, आपको पैरों की लंबाई का वर्ग करने का सहारा लेना होगा, उन्हें एकत्रित करना होगा और योग का वर्गमूल निकालना होगा। उनके कथन के मूल सूत्रीकरण में, बाजार कर्ण पर आधारित है, जो केटेटे द्वारा निर्मित 2 वर्गों के योग के बराबर है। हालाँकि, आधुनिक बीजगणितीय सूत्रीकरण के लिए डोमेन प्रतिनिधित्व की शुरूआत की आवश्यकता नहीं होती है।

दूसराउदाहरण के लिए, एक समकोण त्रिभुज जिसके पैर 7 सेमी और 8 सेमी हैं।

फिर, पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, वर्ग कर्ण R + S = 49 + 64 = 113 सेमी के बराबर है वर्गमूलक्रमांक 113 से.

समकोण त्रिभुज के कोण

परिणाम एक निराधार संख्या थी.

तीसरायदि त्रिभुज के पैर 3 और 4 हैं, तो कर्ण = 25 = 5। जब आप वर्गमूल लेते हैं, तो आपको मिलता है प्राकृतिक संख्या. संख्याएँ 3, 4, 5 एक पायगागोरियन त्रिक बनाती हैं, क्योंकि वे संबंध x को संतुष्ट करती हैं? +य? = Z, जो प्राकृतिक है.

पाइथागोरस त्रिक के अन्य उदाहरण हैं: 6, 8, 10; 5, 12, 13; 15, 20, 25; 9, 40, 41.

चौथीइस मामले में, यदि पैर एक-दूसरे के समान हैं, तो पाइथागोरस प्रमेय अधिक आदिम समीकरण में बदल जाता है। उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि ऐसा हाथ संख्या ए के बराबर है और कर्ण को सी के लिए परिभाषित किया गया है, और फिर सी? = एपी + एपी, सी = 2ए2, सी = ए? 2. इस मामले में आपको A की आवश्यकता नहीं है.

जागीरोंपाइथागोरस प्रमेय - विशेष मामला, जो सामान्य कोसाइन प्रमेय से बड़ा है, जो त्रिभुज की तीन भुजाओं के बीच के किसी भी कोण के बीच संबंध स्थापित करता है।

टिप 2: पैरों और कोणों के लिए कर्ण का निर्धारण कैसे करें

कर्ण एक समकोण त्रिभुज की वह भुजा है जो 90 डिग्री के कोण के विपरीत होती है।

निर्देश

पहलाज्ञात कैथेटर के मामले में, साथ ही एक समकोण त्रिभुज के तीव्र कोण के मामले में, कर्ण का आकार इस कोण के कोसाइन / साइन के पैर के अनुपात के बराबर हो सकता है, यदि कोण विपरीत था / ई में शामिल हैं: एच = सी1 (या सी2) / पाप, एच = सी1 (या सी2?) / कॉस? उदाहरण: मान लीजिए ABC को कर्ण AB और समकोण C वाला एक अनियमित त्रिभुज दिया गया है।

माना B 60 डिग्री और A 30 डिग्री है। तने BC की लंबाई 8 सेमी है, कर्ण AB की लंबाई ज्ञात की जानी चाहिए। ऐसा करने के लिए, आप उपरोक्त विधियों में से एक का उपयोग कर सकते हैं: AB = BC / cos60 = 8 सेमी।

कर्ण एक आयत की सबसे लंबी भुजा है त्रिकोण. यह समकोण पर स्थित है। आयत का कर्ण ज्ञात करने की विधि त्रिकोणस्रोत डेटा के आधार पर।

निर्देश

पहलायदि आपके पैर लंबवत हैं त्रिकोण, फिर आयत के कर्ण की लंबाई त्रिकोणपायथागॉरियन एनालॉग द्वारा खोजा जा सकता है - कर्ण की लंबाई का वर्ग पैरों की लंबाई के वर्गों के योग के बराबर है: c2 = a2 + b2, जहां a और b दाहिनी ओर के पैरों की लंबाई हैं त्रिकोण .

दूसरायदि पैरों में से एक ज्ञात है और तीव्र कोण पर है, तो कर्ण खोजने का सूत्र ज्ञात पैर के संबंध में एक निश्चित कोण पर उपस्थिति या अनुपस्थिति पर निर्भर करेगा - आसन्न (पैर करीब स्थित है), या इसके विपरीत ( विपरीत स्थिति स्थित है निर्दिष्ट कोण का nego.V कोसाइन कोण में पैर के अंश कर्ण के बराबर है: ए = ए / कॉस ई, दूसरी ओर, कर्ण साइन कोणों के अनुपात के समान है: दा = ए / पाप.

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उपयोगी सुझाव
एक कोणीय त्रिभुज जिसकी भुजाएँ 3:4:5 से संबंधित हैं, को मिस्र का डेल्टा कहा जाता है क्योंकि इन आकृतियों का प्राचीन मिस्र के वास्तुकारों द्वारा व्यापक रूप से उपयोग किया जाता था।

यह जीरो के त्रिकोण का सबसे सरल उदाहरण भी है, जिसमें पृष्ठ और क्षेत्रफल को पूर्णांकों द्वारा दर्शाया जाता है।

त्रिभुज उस आयत को कहते हैं जिसका कोण 90° होता है। दाहिने कोने के विपरीत वाले हिस्से को कर्ण कहा जाता है, दूसरे को पैर कहा जाता है।

यदि आप यह जानना चाहते हैं कि नियमित त्रिभुजों के कुछ गुणों से एक समकोण त्रिभुज कैसे बनता है, अर्थात् यह तथ्य कि न्यून कोणों का योग 90° है, जिसका उपयोग किया जाता है, और यह तथ्य कि विपरीत पैर की लंबाई कर्ण की आधी है 30° है.

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कटा हुआ त्रिकोण

समबाहु त्रिभुज का एक गुण यह है कि इसके दोनों कोण बराबर होते हैं।

समकोण त्रिभुज के कोण की गणना करने के लिए, आपको यह जानना होगा:

• यह 90° से अधिक बुरा नहीं है।
• न्यून कोणों का मान सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है: (180 ° -90 °) / 2 = 45 °, अर्थात।

  कोण α और β 45° के बराबर हैं।

अगर ज्ञात मूल्यन्यून कोणों में से एक ज्ञात है, दूसरा सूत्र का उपयोग करके पाया जा सकता है: β = 180º-90º-α या α = 180º-90º-β।

यदि कोणों में से एक 60° या 30° है तो इस अनुपात का सबसे अधिक उपयोग किया जाता है।

महत्वपूर्ण अवधारणाएं

एक त्रिभुज के आंतरिक कोणों का योग 180° होता है।

क्योंकि यह एक स्तर है, दो तीव्र रहते हैं।

त्रिकोण की गणना ऑनलाइन करें

यदि आप उन्हें ढूंढना चाहते हैं, तो आपको यह जानना होगा:

अन्य तरीके

एक समकोण त्रिभुज के न्यून कोणों के मान की गणना औसत से की जा सकती है - त्रिभुज के विपरीत दिशा में एक बिंदु से एक रेखा के साथ, और ऊँचाई - रेखा एक समकोण पर कर्ण से खींची गई एक लंब है .

माध्यिका को दाएँ कोने से कर्ण के मध्य तक विस्तारित होने दें और h ऊँचाई होने दें। इस मामले में यह पता चलता है कि:

• पाप α = बी / (2 * एस); पाप β = ए / (2 * एस)।
• cos α = a / (2 * s); cos β = b / (2 * s)।
• पाप α = एच/बी; पाप β = एच/ए.

दो पन्ने

यदि किसी समकोण त्रिभुज में या दोनों तरफ कर्ण और एक पैर की लंबाई ज्ञात हो, तो न्यून कोणों के मान निर्धारित करने के लिए त्रिकोणमितीय पहचान का उपयोग किया जाता है:

• α = आर्क्सिन (ए/सी), β = आर्क्सिन (बी/सी)।
• α = आर्कोस (बी/सी), β = आर्कोस (ए/सी)।
• α = आर्कटन (ए/बी), β = आर्कटन (बी/ए)।

एक समकोण त्रिभुज की लंबाई

त्रिभुज का क्षेत्रफल और क्षेत्रफल

परिधि

किसी भी त्रिभुज की परिधि उसकी तीनों भुजाओं की लंबाई के योग के बराबर होती है। सामान्य सूत्रत्रिभुजाकार त्रिभुज खोजने के लिए:

जहाँ P त्रिभुज की परिधि है, a, b और c इसकी भुजाएँ हैं।

एक समान त्रिभुज का परिमापइसकी भुजाओं की लंबाई को क्रमिक रूप से जोड़कर या भुजाओं की लंबाई को 2 से गुणा करके और आधार लंबाई को उत्पाद में जोड़कर पाया जा सकता है।

एक संतुलन त्रिभुज खोजने का सामान्य सूत्र इस प्रकार दिखेगा:

जहाँ P एक समान त्रिभुज का परिमाप है, लेकिन b, b आधार है।

एक समबाहु त्रिभुज का परिमापइसकी भुजाओं की लंबाई को क्रमिक रूप से जोड़कर या किसी पृष्ठ की लंबाई को 3 से गुणा करके पाया जा सकता है।

समबाहु त्रिभुजों का किनारा ज्ञात करने का सामान्य सूत्र इस प्रकार होगा:

जहाँ P एक समबाहु त्रिभुज का परिमाप है, a उसकी कोई भुजा है।

क्षेत्र

यदि आप किसी त्रिभुज का क्षेत्रफल मापना चाहते हैं, तो आप इसकी तुलना समांतर चतुर्भुज से कर सकते हैं। त्रिभुज ABC पर विचार करें:

यदि हम वही त्रिभुज लेते हैं और उसे इस प्रकार स्थिर करते हैं कि हमें एक समांतर चतुर्भुज प्राप्त होता है, तो हमें इस त्रिभुज के समान ऊँचाई और आधार वाला एक समांतर चतुर्भुज प्राप्त होता है:

इस मामले में, त्रिभुजों की उभयनिष्ठ भुजा को ढाले गए समांतर चतुर्भुज के विकर्ण के साथ एक साथ मोड़ा जाता है।

समांतर चतुर्भुज के गुणों से. यह ज्ञात है कि समांतर चतुर्भुज के विकर्ण सदैव दो से विभाज्य होते हैं। समान त्रिकोण, तो प्रत्येक त्रिभुज की सतह समांतर चतुर्भुज की आधी सीमा के बराबर है।

चूँकि एक समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल उसकी आधार ऊँचाई के गुणनफल के समान होता है, त्रिभुज का क्षेत्रफल इस गुणनफल के आधे के बराबर होगा। इस प्रकार, ΔABC के लिए क्षेत्रफल समान होगा

अब एक समकोण त्रिभुज पर विचार करें:

दो समान समकोण त्रिभुजों को एक आयत में मोड़ा जा सकता है यदि यह उनके विरुद्ध झुकता है, जो एक दूसरे का कर्ण है।

चूँकि आयत की सतह आसन्न भुजाओं की सतह से मेल खाती है, इस त्रिभुज का क्षेत्रफल समान है:

इससे हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि किसी भी समकोण त्रिभुज की सतह 2 से विभाजित पैरों के गुणनफल के बराबर होती है।

इन उदाहरणों से यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि प्रत्येक त्रिभुज की सतह लंबाई के उत्पाद के समान है, और ऊंचाई 2 से विभाजित सब्सट्रेट तक कम हो जाती है।

त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सामान्य सूत्र इस प्रकार होगा:

जहां S त्रिभुज का क्षेत्रफल है, लेकिन इसका आधार है, लेकिन ऊंचाई नीचे a तक गिरती है।

त्रिभुज कई प्रकार के होते हैं: धनात्मक, समद्विबाहु, न्यून कोण, इत्यादि। उन सभी में ऐसे गुण हैं जो केवल उनके लिए शास्त्रीय हैं, और प्रत्येक के पास मात्राएँ खोजने के अपने नियम हैं, चाहे वह एक पक्ष हो या आधार पर एक कोण हो। लेकिन इनमें से प्रत्येक किस्म से ज्यामितीय आकारवी अलग समूहआप समकोण वाला त्रिभुज चुन सकते हैं.

आपको चाहिये होगा

• त्रिभुज के योजनाबद्ध प्रतिनिधित्व के लिए खाली शीट, पेंसिल और रूलर।

निर्देश

1. एक त्रिभुज आयताकार कहलाता है यदि उसका एक कोण 90 डिग्री का हो। इसमें 2 पैर और एक कर्ण होता है। कर्ण इस त्रिभुज की सबसे बड़ी भुजा है। यह समकोण के विपरीत स्थित है। तदनुसार, पैरों को इसकी छोटी भुजाएँ कहा जाता है। वे या तो एक-दूसरे के बराबर हो सकते हैं या अलग-अलग आकार के हो सकते हैं। पैरों की समानता का मतलब है कि आप एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज के साथ काम कर रहे हैं। इसकी सुंदरता यह है कि यह दो आकृतियों के गुणों को जोड़ती है: एक समकोण त्रिभुज और एक समद्विबाहु त्रिभुज। यदि पैर समान नहीं हैं, तो त्रिभुज मनमाना है और मूल नियम का पालन करता है: कोण जितना बड़ा होगा, उसके विपरीत स्थित कोण उतना ही बड़ा होगा।

2. पैर और कोण द्वारा कर्ण ज्ञात करने की कई विधियाँ हैं। लेकिन उनमें से किसी एक का उपयोग करने से पहले, आपको यह निर्धारित करना चाहिए कि कौन सा पैर और कोण ज्ञात है। यदि एक कोण और उसके समीप एक पाद दिया गया है, तो कोण की कोज्या को देखकर कर्ण का पता लगाना आसान हो जाता है। एक समकोण त्रिभुज में न्यून कोण (cos a) की कोज्या आसन्न पाद और कर्ण का अनुपात है। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि कर्ण (सी) आसन्न पैर (बी) और कोण ए (कॉस ए) के कोसाइन के अनुपात के बराबर होगा। इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: cos a=b/c => c=b/cos a.

3. यदि एक कोण और एक विपरीत पैर दिया गया है, तो आपको साइन के साथ काम करना चाहिए। एक समकोण त्रिभुज में न्यून कोण (sin a) की ज्या विपरीत भुजा (a) और कर्ण (c) का अनुपात है। यहां थीसिस पिछले उदाहरण की तरह काम करती है, केवल कोसाइन फ़ंक्शन के बजाय, साइन लिया जाता है। पाप ए=ए/सी => सी=ए/पाप ए।

4. आप भी इसका इस्तेमाल कर सकते हैं त्रिकोणमितीय फलन, एक स्पर्श रेखा की तरह. लेकिन वांछित मूल्य ढूँढना थोड़ा और कठिन हो जाएगा। एक समकोण त्रिभुज में न्यून कोण (tg a) की स्पर्शरेखा विपरीत पाद (a) और आसन्न पाद (b) का अनुपात है। दोनों पैरों की खोज करने के बाद, पाइथागोरस प्रमेय लागू करें (कर्ण का वर्ग पैरों के वर्गों के योग के बराबर है) और त्रिभुज की विशाल भुजा की खोज की जाएगी।

कर्ण एक समकोण त्रिभुज की वह भुजा है जो 90 डिग्री के कोण के विपरीत होती है। इसकी लंबाई की गणना करने के लिए, त्रिभुज के एक पैर की लंबाई और एक न्यून कोण का आकार जानना पर्याप्त है।

निर्देश

1. एक समकोण त्रिभुज के अनुगामी पैर और न्यून कोण के साथ, कर्ण का आकार इस कोण के पैर और कोज्या/ज्या के अनुपात के बराबर हो सकता है, यदि यह कोण इसके विपरीत/आसन्न है: h = C1 ( या C2)/sin?; h = C1 (या C2 )/cos? उदाहरण: मान लीजिए कि एक समकोण AB और एक समकोण C दिया गया है। कोण B 60 डिग्री और कोण A 30 डिग्री है पैर BC की लंबाई 8 सेमी है। हमें कर्ण AB की लंबाई ज्ञात करनी है। ऐसा करने के लिए, आप ऊपर प्रस्तावित किसी भी विधि का उपयोग कर सकते हैं: AB = BC/cos60 = 8 सेमी।

शब्द " टांग"ग्रीक शब्द "लंबवत" या "साहुल" से आया है - यह बताता है कि एक समकोण त्रिभुज की दोनों भुजाओं, जो इसके नब्बे-डिग्री कोण का निर्माण करती हैं, को इस तरह क्यों नामित किया गया था। प्रत्येक की लंबाई ज्ञात कीजिए टांगयदि आप इसके निकटवर्ती कोण का मान और कुछ अन्य पैरामीटर जानते हैं तो यह मुश्किल नहीं है, क्योंकि इस स्थिति में सभी 3 कोणों का मान वास्तव में ज्ञात हो जाएगा।

निर्देश

1. यदि, आसन्न कोण (β) के मान के अतिरिक्त, दूसरे की लंबाई टांगए (बी), फिर लंबाई टांगऔर (ए) को प्रसिद्ध की लंबाई के भागफल के रूप में परिभाषित किया जा सकता है टांगऔर वांछित कोण की स्पर्श रेखा के लिए: a=b/tg(β)। यह इस त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन की परिभाषा से अनुसरण करता है। यदि आप ज्या प्रमेय का उपयोग करते हैं तो आप स्पर्शरेखा के बिना भी काम कर सकते हैं। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि वांछित भुजा की लंबाई और विपरीत कोण की ज्या का अनुपात वांछित भुजा की लंबाई के अनुपात के बराबर है टांगऔर प्रसिद्ध कोण की ज्या तक। जो चाहा जाता है उसके विपरीत टांग y न्यून कोण को प्रसिद्ध कोण के माध्यम से 180°-90°-β = 90°-β के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, क्योंकि किसी भी त्रिभुज के सभी कोणों का योग 180° होना चाहिए, और एक समकोण त्रिभुज की परिभाषा के अनुसार, इसके कोण 90° है. इसका मतलब वांछित लंबाई है टांगऔर सूत्र a=sin(90°-β)∗b/sin(β) का उपयोग करके गणना की जा सकती है।

2. यदि आसन्न कोण (β) का मान और कर्ण (c) की लंबाई ज्ञात हो, तो लंबाई टांगऔर (ए) की गणना कर्ण की लंबाई और प्रसिद्ध कोण के कोसाइन के उत्पाद के रूप में की जा सकती है: a=c∗cos(β)। यह त्रिकोणमितीय फलन के रूप में कोसाइन की परिभाषा का अनुसरण करता है। लेकिन आप पिछले चरण की तरह, ज्या प्रमेय और फिर वांछित लंबाई का उपयोग कर सकते हैं टांग a 90° और संदर्भ कोण के बीच के अंतर की ज्या के गुणनफल और कर्ण की लंबाई और समकोण की ज्या के अनुपात के बराबर होगा। और चूँकि 90° की ज्या एक के बराबर है, सूत्र इस प्रकार लिखा जा सकता है: a=sin(90°-β)∗c.

3. वास्तविक गणनाएँ, मान लीजिए, विंडोज़ ओएस में शामिल सॉफ़्टवेयर कैलकुलेटर का उपयोग करके की जा सकती हैं। इसे लॉन्च करने के लिए, आप "स्टार्ट" बटन पर मुख्य मेनू में "रन" आइटम का चयन कर सकते हैं, कैल्क कमांड टाइप करें और "ओके" बटन पर क्लिक करें। डिफ़ॉल्ट रूप से खुलने वाले इस प्रोग्राम के इंटरफ़ेस के सबसे सरल संस्करण में, त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन प्रदान नहीं किए जाते हैं, इसलिए, इसे लॉन्च करने के बाद, आपको मेनू में "देखें" अनुभाग पर क्लिक करना होगा और "वैज्ञानिक" या "इंजीनियर" लाइन का चयन करना होगा; (प्रयुक्त ऑपरेटिंग सिस्टम के संस्करण के आधार पर)।

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"कैथेट" शब्द ग्रीक से रूसी भाषा में आया है। सटीक अनुवाद में, इसका अर्थ है एक साहुल रेखा, यानी पृथ्वी की सतह से लंबवत। गणित में, पैर वे भुजाएँ हैं जो एक समकोण त्रिभुज का समकोण बनाती हैं। इस कोण के सम्मुख की भुजा कर्ण कहलाती है। "कैथेट" शब्द का प्रयोग वास्तुकला और विशेष प्रौद्योगिकी में भी किया जाता है वेल्डिंग का काम.

एक समकोण त्रिभुज DIA बनाएं। इसके पैरों को ए और बी के रूप में लेबल करें, और इसके कर्ण को सी के रूप में लेबल करें। एक समकोण त्रिभुज की सभी भुजाएँ और कोण कुछ संबंधों द्वारा परस्पर जुड़े होते हैं। न्यून कोणों में से किसी एक के विपरीत पैर का कर्ण से अनुपात इस कोण की ज्या कहलाता है। में दिया गया त्रिकोणपापकैब=ए/सी. कोसाइन आसन्न पैर के कर्ण का अनुपात है, अर्थात, cosCAB=b/c। व्युत्क्रम संबंधों को सेकेंट और कोसेकेंट कहा जाता है। किसी दिए गए कोण का सेकेंट कर्ण को आसन्न पैर से विभाजित करके प्राप्त किया जाता है, अर्थात, secCAB = c/b। परिणाम कोज्या का व्युत्क्रम है, अर्थात, इसे सूत्र secCAB=1/cosSAB का उपयोग करके व्यक्त किया जा सकता है। सहसंयोजक विपरीत भुजा से विभाजित कर्ण के भागफल के बराबर होता है और ज्या का व्युत्क्रम होता है। इसकी गणना सूत्र cosecCAB = 1/sinCAB का उपयोग करके की जा सकती है। दोनों पैर स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट द्वारा एक दूसरे से संबंधित हैं। इस मामले में, स्पर्शरेखा भुजा a और भुजा b का अनुपात होगा, अर्थात, आसन्न भुजा के विपरीत भुजा। इस संबंध को सूत्र tgCAB=a/b द्वारा व्यक्त किया जा सकता है। तदनुसार, व्युत्क्रम अनुपात कोटैंजेंट होगा: ctgCAB=b/a। कर्ण और दोनों पैरों के आकार के बीच का संबंध प्राचीन यूनानी गणितज्ञ पाइथागोरस द्वारा निर्धारित किया गया था। उनके नाम पर बनी प्रमेय का प्रयोग आज भी लोग करते हैं। इसमें कहा गया है कि कर्ण का वर्ग पैरों के वर्गों के योग के बराबर है, अर्थात c2 = a2 + b2। तदनुसार, प्रत्येक पैर कर्ण और दूसरे पैर के वर्गों के बीच के अंतर के वर्गमूल के बराबर होगा। इस सूत्र को b=?(c2-a2) के रूप में लिखा जा सकता है। पैर की लंबाई को प्रसिद्ध संबंधों के माध्यम से भी व्यक्त किया जा सकता है। साइन और कोसाइन के प्रमेय के अनुसार, पैर उत्पाद के बराबरइन कार्यों में से किसी एक का कर्ण। इसे स्पर्शरेखा या कोटैंजेंट के माध्यम से भी व्यक्त किया जा सकता है। लेग ए को सूत्र ए = बी*टैन सीएबी का उपयोग करके पाया जा सकता है। उसी तरह, दिए गए स्पर्शरेखा या कोटैंजेंट के आधार पर, दूसरा पैर निर्धारित किया जाता है। "पैर" शब्द का उपयोग वास्तुकला में भी किया जाता है। इसका उपयोग आयनिक पूंजी के संबंध में किया जाता है और यह इसके पीछे के मध्य से होकर एक साहुल रेखा को दर्शाता है। अर्थात्, इस मामले में, यह शब्द किसी दी गई रेखा पर लंबवत को दर्शाता है। विशेष वेल्डिंग तकनीक में "फ़िलेट वेल्ड लेग" की अवधारणा है। अन्य मामलों की तरह, यह सबसे कम दूरी है। यहाँ हम बात कर रहे हैंवेल्ड किए जा रहे भागों में से एक के दूसरे भाग की सतह पर स्थित सीम की सीमा के बीच के अंतराल के बारे में।

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ध्यान देना!
पाइथागोरस प्रमेय के साथ काम करते समय, याद रखें कि आप एक डिग्री के साथ काम कर रहे हैं। अंतिम परिणाम प्राप्त करने के लिए, पैरों के वर्गों का योग ज्ञात करने के बाद, आपको वर्गमूल निकालना होगा।

इस समस्या के समाधान के लिए तीन विकल्प हैं। पहला यह है कि यदि समस्या की स्थितियों में यह दिया गया है कि पैर बराबर हैं (वास्तव में, हमारे पास एक आयताकार है समद्विबाहु त्रिभुज). दूसरा यह है कि यदि कुछ कोण अभी भी दिया गया है (45% कोण को छोड़कर, तो हमारे पास समान समद्विबाहु त्रिभुज है और हम पहले विकल्प पर लौटते हैं)। और तीसरा - जब एक पैर ज्ञात हो। आइए इन विकल्पों पर अधिक विस्तार से विचार करें।

ज्ञात कर्ण के साथ समान पाद कैसे ज्ञात करें

• पहला चरण (आइए इसे "ए" अक्षर से निरूपित करें) दूसरे चरण के बराबर है ((आइए इसे "बी" अक्षर से निरूपित करें): a=b;

• पैर का आकार;

इस संस्करण में, समस्या का समाधान पाइथागोरस प्रमेय के उपयोग पर आधारित है। इसे समकोण त्रिभुजों पर लागू किया जाता है और इसका मुख्य संस्करण इस प्रकार लगता है: "कर्ण का वर्ग पैरों के वर्गों के योग के बराबर है।" चूँकि हमारे पैर बराबर हैं, हम दोनों पैरों को एक ही प्रतीक से निरूपित कर सकते हैं: a=b, जिसका अर्थ है a=a।

1. हम अपना स्थानापन्न करते हैं प्रतीकप्रमेय में (उपरोक्त को ध्यान में रखते हुए):
   c^2=a^2+a^2,
2. इसके बाद, हम सूत्र को यथासंभव सरल बनाते हैं:
   с^2=2*(a^2) - समूह,
   с=√2*а - हम समीकरण के दोनों पक्षों को वर्गमूल पर लाते हैं,
   a=c/√2 - हम जो खोज रहे हैं उसे निकाल लेते हैं।
3. हम कर्ण के इस मान को प्रतिस्थापित करते हैं और समाधान प्राप्त करते हैं:
   a=x/√2

ज्ञात कर्ण और कोण को देखते हुए, पैर कैसे खोजें

• कर्ण (आइए इसे "c" अक्षर से निरूपित करें) x सेमी के बराबर है: c=x;
• कोण β q के बराबर: β=q;

• पैर का आकार;

इस समस्या को हल करने के लिए आपको त्रिकोणमितीय फ़ंक्शंस का उपयोग करने की आवश्यकता है। उनमें से सबसे लोकप्रिय दो हैं:

• साइन फ़ंक्शन - वांछित कोण की साइन विपरीत भुजा और कर्ण के अनुपात के बराबर है;
• कोसाइन फ़ंक्शन - वांछित कोण का कोसाइन आसन्न पैर और कर्ण के अनुपात के बराबर है;

आप किसी का भी उपयोग कर सकते हैं. मैं पहले वाले का उपयोग करके एक उदाहरण दूंगा। मान लें कि पैरों को "ए" (कोने के निकट) और "बी" (कोने के विपरीत) प्रतीकों द्वारा निर्दिष्ट किया गया है। तदनुसार, हमारा कोण पैर "ए" और कर्ण के बीच स्थित है।

1. हम चयनित प्रतीकों को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं:
   पापβ = बी/सी
2. हम पैर निकालते हैं:
   b=c*sinβ
3. हम अपना दिया हुआ स्थानापन्न करते हैं और हमारे पास एक पैर है।
   b=c*sinq

दूसरे त्रिकोणमिति फ़ंक्शन का उपयोग करके दूसरा चरण पाया जा सकता है, या तीसरे विकल्प पर जा सकते हैं।

यदि कर्ण और दूसरी भुजा ज्ञात हो तो एक भुजा कैसे ज्ञात करें?

• कर्ण (आइए इसे "c" अक्षर से निरूपित करें) x सेमी के बराबर है: c=x;
• पैर (आइए इसे "बी" अक्षर से निरूपित करें) वाई सेमी के बराबर है: बी=वाई;

• दूसरे पैर का आकार (आइए इसे "ए" अक्षर से निरूपित करें);

इस संस्करण में, समस्या का समाधान, पहले की तरह, पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करना है।

1. हम अपने प्रतीकों को प्रमेय में प्रतिस्थापित करते हैं:
   c^2=a^2+b^2,
2. हम आवश्यक पैर निकालते हैं:
   a^2=c^2-b^2
3. हम समीकरण के दोनों पक्षों को वर्गमूल में लेते हैं:
   a=√(c^2-b^2)
4. हम इन मूल्यों को प्रतिस्थापित करते हैं और हमारे पास समाधान है:
   a=√(x^2-y^2)

"और वे हमें बताते हैं कि पैर कर्ण से छोटा है..." ये पंक्तियाँ एक प्रसिद्ध गीत से हैं जो इसमें बजता था फीचर फिल्मइलेक्ट्रॉनिक्स का रोमांच वास्तव में यूक्लिड की ज्यामिति के अनुरूप है। आख़िरकार, पैर दो भुजाएँ हैं जो एक कोण बनाती हैं, डिग्री मापजो 90 डिग्री के बराबर है. और कर्ण सबसे लंबा "विस्तारित" पक्ष है जो दो पैरों को एक दूसरे से लंबवत जोड़ता है, और विपरीत स्थित होता है समकोण. इसीलिए केवल समकोण त्रिभुज में पैरों द्वारा कर्ण ज्ञात करना संभव है, और यदि पैर कर्ण से अधिक लंबा होता, तो ऐसे त्रिभुज का अस्तित्व ही नहीं होता।

यदि दोनों पक्ष ज्ञात हों तो पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके कर्ण कैसे ज्ञात करें

प्रमेय बताता है कि कर्ण का वर्ग पैरों के वर्गों के योग से अधिक कुछ नहीं है: x^2+y^2=z^2, जहां:

• एक्स - पहला चरण;
• y - दूसरा पैर;
• z - कर्ण.

लेकिन आपको केवल कर्ण ज्ञात करना है, उसका वर्ग नहीं। ऐसा करने के लिए, जड़ निकालें.

दो का उपयोग करके कर्ण ज्ञात करने के लिए एल्गोरिदम सुप्रसिद्ध पक्ष:

• स्वयं बताएं कि पैर कहां हैं और कर्ण कहां है।
• पहले पैर को चौकोर करें।
• दूसरे पैर को चौकोर करें।
• परिणामी मान जोड़ें.
• चरण 4 में प्राप्त संख्या का मूल निकालें।

यदि पाद और उसके विपरीत न्यून कोण ज्ञात हो तो ज्या के माध्यम से कर्ण का पता कैसे लगाएं

किसी ज्ञात पैर का उसके विपरीत स्थित न्यून कोण से अनुपात कर्ण के मान के बराबर होता है: a/sin A = c। यह साइन की परिभाषा का परिणाम है:

कर्ण के विपरीत भुजा का अनुपात: पाप ए = ए/सी, जहां:

• ए - पहला चरण;
• ए - पैर के विपरीत तीव्र कोण;
• सी- कर्ण.

साइन प्रमेय का उपयोग करके कर्ण खोजने के लिए एल्गोरिदम:

• अपने लिए एक ज्ञात पैर और उसके विपरीत कोण को इंगित करें।
• पैर को विपरीत कोने में बाँट लें।
• कर्ण प्राप्त करें.

यदि पाद और उससे सटे न्यून कोण ज्ञात हों तो कोज्या के माध्यम से कर्ण कैसे ज्ञात करें

ज्ञात पाद और न्यून आसन्न कोण का अनुपात कर्ण a/cos B = c के मान के बराबर है। यह कोसाइन की परिभाषा का परिणाम है: आसन्न पैर का कर्ण से अनुपात: कॉस बी = ए/सी, जहां:

• ए - दूसरा पैर;
• बी - दूसरे पैर से सटे तीव्र कोण;
• सी- कर्ण.

कोसाइन प्रमेय का उपयोग करके कर्ण ज्ञात करने के लिए एल्गोरिदम:

• अपने लिए एक ज्ञात पैर और एक आसन्न कोण इंगित करें।
• पैर को आसन्न कोण से विभाजित करें।
• कर्ण प्राप्त करें.

मिस्र के त्रिभुज का उपयोग करके कर्ण कैसे ज्ञात करें

"मिस्र का त्रिकोण" संख्याओं की एक तिकड़ी है, जिसे जानकर आप कर्ण या किसी अन्य अज्ञात पैर को खोजने में समय बचा सकते हैं। त्रिभुज का यह नाम इसलिए है क्योंकि मिस्र में कुछ संख्याएँ देवताओं का प्रतीक थीं और पिरामिडों और अन्य विभिन्न संरचनाओं के निर्माण का आधार थीं।

• पहले तीन नंबर: 3-4-5. यहां पैर 3 और 4 के बराबर हैं। फिर कर्ण निश्चित रूप से 5 के बराबर होगा। जांचें: (9+16=25)।
• संख्याओं का दूसरा त्रिक: 5-12-13. यहां भी, पैर 5 और 12 के बराबर हैं। इसलिए, कर्ण 13 के बराबर होगा। जांचें: (25+144=169)।

ऐसी संख्याएँ तब भी मदद करती हैं जब उन्हें किसी एक संख्या से विभाजित या गुणा किया जाता है। यदि पैर 3 और 4 हैं, तो कर्ण 5 के बराबर होगा। यदि आप इन संख्याओं को 2 से गुणा करते हैं, तो कर्ण भी 2 से गुणा होगा। उदाहरण के लिए, संख्या 6-8-10 का त्रिक भी फिट होगा पाइथागोरस प्रमेय और यदि आपको संख्याओं के ये त्रिक याद हैं तो आपको कर्ण की गणना करने की आवश्यकता नहीं है।



इस प्रकार, ज्ञात पैरों का उपयोग करके कर्ण ज्ञात करने के 4 तरीके हैं। सबसे अच्छा विकल्प पाइथागोरस प्रमेय है, लेकिन "मिस्र के त्रिकोण" को बनाने वाली संख्याओं के त्रिक को याद करने में भी कोई दिक्कत नहीं होगी, क्योंकि यदि आप ऐसे मूल्यों का सामना करते हैं तो आप बहुत समय बचा सकते हैं।