Matemātikā ir tāda lieta kā funkcijas robeža. Lai saprastu, kā atrast robežas, jums jāatceras funkcijas robežas definīcija: funkcijai f (x) ir robeža L punktā x = a, ja katrai x vērtību secībai, kas konverģē uz punktu. a, y vērtību secība tuvojas:

• L lim f(x) = L

Robežu jēdziens un īpašības

Kas ir robeža, var saprast no piemēra. Pieņemsim, ka mums ir funkcija y=1/x. Ja mēs konsekventi palielināsim x vērtību un skatīsimies, ar ko y ir vienāds, mēs iegūsim arvien mazākas vērtības: pie x=10000 y=1/10000; pie x=1000000 y=1/1000000. Tie. jo vairāk x, jo mazāk y. Ja x=∞, y būs tik mazs, ka to var uzskatīt par vienādu ar 0. Tādējādi funkcijas y=1/x robeža, kad x tiecas uz ∞, ir vienāda ar 0. To raksta šādi:

• lim1/х=0

Funkcijas ierobežojumam ir vairākas īpašības, kas jums jāatceras: tas ievērojami atvieglos ierobežojumu atrašanas problēmu risināšanu:

• Summas ierobežojums vienāds ar summu robežas: lim(x+y)=lim x+lim y
• Produkta ierobežojums vienāds ar produktu ierobežojumi: lim(xy)=lim x*lim y
• Koeficienta robeža ir vienāda ar robežu koeficientu: lim(x/y)=lim x/lim y
• Pastāvīgais koeficients tiek izņemts no robežzīmes: lim(Cx)=C lim x

Funkcijai y=1/x, kurā x →∞, ir vienāda ar nulli x→0 robeža ir vienāda ar ∞.

• lim (sin x)/x=1 x→0

Mēs izdomājām pamata elementārās funkcijas.

Pārejot uz funkcijām vairāk komplekss tips mēs noteikti saskarsimies ar tādu izteicienu parādīšanos, kuru nozīme nav definēta. Tādus izteicienus sauc neskaidrības.

Uzskaitīsim visu galvenie nenoteiktību veidi: nulle dalīta ar nulli (0 ar 0), bezgalība dalīta ar bezgalību, nulle reizināta ar bezgalību, bezgalība mīnus bezgalība, viens bezgalības pakāpē, nulle nulles pakāpei, bezgalība nulles pakāpei.

VISAS PĀRĒJĀS NENOTEIKTĪBAS IZTEIKŠANAS NAV UN UZŅEM PILNĪGI KONKRĒTU PILNĪGI VAI BEZGALĪGU VĒRTĪBU.

Atklājiet nenoteiktībuļauj:

• funkcijas formas vienkāršošana (izteiksmes pārveidošana, izmantojot saīsinātas reizināšanas formulas, trigonometriskās formulas, reizināšana ar konjugētām izteiksmēm, kam seko samazināšana utt.);
• ievērojamu ierobežojumu izmantošana;
• L'Hopital noteikuma piemērošana;
• izmantojot bezgalīgi mazas izteiksmes aizstāšanu ar tās ekvivalentu (izmantojot ekvivalentu bezgalīgi mazo vērtību tabulu).

Sagrupēsim neskaidrības grupās nenoteiktības tabula. Katram nenoteiktības veidam mēs saistām metodi tās izpaušanai (robežas noteikšanas metode).

Šī tabula kopā ar pamata elementāro funkciju ierobežojumu tabulu būs jūsu galvenie rīki jebkādu ierobežojumu atrašanā.

Minēsim pāris piemērus, kad viss izdodas uzreiz pēc vērtības aizstāšanas un nenoteiktība nerodas.

Piemērs.

Aprēķināt limitu

Risinājums.

Aizstāt vērtību:

Un uzreiz saņēmām atbildi.

Atbilde:

Piemērs.

Aprēķināt limitu

Risinājums.

Mēs aizstājam vērtību x=0 mūsu eksponenciālās jaudas funkcijas bāzē:

Tas ir, robežu var pārrakstīt kā

Tagad apskatīsim indikatoru. Šī ir jaudas funkcija. Apskatīsim ierobežojumu tabulu jaudas funkcijas ar negatīvu rādītāju. No turienes mums ir Un , tāpēc mēs varam rakstīt .

Pamatojoties uz to, mūsu ierobežojums tiks uzrakstīts šādi:

Atkal pievēršamies limitu tabulai, bet par eksponenciālās funkcijas ar bāzi, kas lielāka par vienu, no kurienes mums ir:

Atbilde:

Apskatīsim piemērus ar detalizētiem risinājumiem Nenoteiktības atklāšana, pārveidojot izteiksmes.

Ļoti bieži izteiksme zem ierobežojuma zīmes ir nedaudz jāpārveido, lai atbrīvotos no neskaidrībām.

Piemērs.

Aprēķināt limitu

Risinājums.

Aizstāt vērtību:

Mēs esam nonākuši pie nenoteiktības. Mēs skatāmies uz nenoteiktības tabulu, lai izvēlētos risinājuma metodi. Mēģināsim vienkāršot izteiksmi.

Atbilde:

Piemērs.

Aprēķināt limitu

Risinājums.

Aizstāt vērtību:

Nonācām pie nenoteiktības (0 pret 0). Mēs skatāmies uz nenoteiktības tabulu, lai izvēlētos risinājuma metodi, un mēģinām vienkāršot izteiksmi. Reizināsim gan skaitītāju, gan saucēju ar izteiksmi, kas konjugēta ar saucēju.

Saucējam konjugāta izteiksme būs

Sareizinājām saucēju, lai varētu pielietot saīsināto reizināšanas formulu - kvadrātu starpība un pēc tam samazināt iegūto izteiksmi.

Pēc virknes pārvērtību nenoteiktība pazuda.

Atbilde:

KOMENTĀRS:Šāda veida ierobežojumiem tipiska ir reizināšanas metode ar konjugētām izteiksmēm, tāpēc izmantojiet to.

Piemērs.

Aprēķināt limitu

Risinājums.

Aizstāt vērtību:

Mēs esam nonākuši pie nenoteiktības. Mēs skatāmies uz nenoteiktības tabulu, lai izvēlētos risinājuma metodi, un mēģinām vienkāršot izteiksmi. Tā kā pie x = 1 izzūd gan skaitītājs, gan saucējs, tad, izmantojot šīs izteiksmes, būs iespējams samazināt (x-1) un nenoteiktība izzudīs.

Faktorizēsim skaitītāju:

Faktorizēsim saucēju:

Mūsu ierobežojums būs šāds:

Pēc pārvērtībām atklājās nenoteiktība.

Atbilde:

Apskatīsim robežas bezgalībā no spēka izteiksmēm. Ja jaudas izteiksmes eksponenti ir pozitīvi, tad robeža bezgalībā ir bezgalīga. Turklāt lielākajai pakāpei ir galvenā nozīme; pārējo var izmest.

Piemērs.

Piemērs.

Ja izteiksme zem ierobežojuma zīmes ir daļdaļa un gan skaitītājs, gan saucējs ir pakāpju izteiksmes (m ir skaitītāja pakāpe, un n ir saucēja pakāpe), tad, ja formas nenoteiktība ir bezgalība līdz bezgalībai rodas, šajā gadījumā atklājas nenoteiktība dalot gan skaitītāju, gan saucēju ar

Piemērs.

Aprēķināt limitu

Šis tiešsaistes matemātikas kalkulators jums palīdzēs, ja jums tas būs nepieciešams aprēķināt funkcijas robežu. Programma risinājumu robežas ne tikai sniedz atbildi uz problēmu, bet arī noved detalizēts risinājums ar paskaidrojumiem, t.i. parāda limita aprēķināšanas procesu.

Šī programma var būt noderīga vidusskolēniem vidusskolas gatavojoties testiem un eksāmeni, pārbaudot zināšanas pirms Vienotā valsts eksāmena, vecākiem, lai kontrolētu daudzu matemātikas un algebras uzdevumu risināšanu. Vai varbūt jums ir pārāk dārgi algot pasniedzēju vai iegādāties jaunas mācību grāmatas? Vai arī vēlaties to paveikt pēc iespējas ātrāk? mājasdarbs

matemātikā vai algebrā? Šajā gadījumā varat izmantot arī mūsu programmas ar detalizētiem risinājumiem. Tādā veidā jūs varat vadīt savu un/vai savu apmācību. jaunākie brāļi

vai māsas, savukārt izglītības līmenis risināmo problēmu jomā paaugstinās.

Ievadiet funkcijas izteiksmi

Aprēķināt limitu
Tika atklāts, ka daži šīs problēmas risināšanai nepieciešamie skripti netika ielādēti un programma var nedarboties.
Iespējams, jums ir iespējots AdBlock.

Šādā gadījumā atspējojiet to un atsvaidziniet lapu.
JavaScript jūsu pārlūkprogrammā ir atspējots.
Lai risinājums tiktu parādīts, jums ir jāiespējo JavaScript.

Šeit ir sniegti norādījumi par to, kā pārlūkprogrammā iespējot JavaScript.
Jo Ir daudz cilvēku, kas vēlas atrisināt problēmu, jūsu pieprasījums ir ievietots rindā.
Pēc dažām sekundēm zemāk parādīsies risinājums. Lūdzu, uzgaidiet

sek... Ja jūs pamanīja kļūdu risinājumā
, tad par to varat rakstīt atsauksmju veidlapā. Neaizmirsti norādiet, kurš uzdevums tu izlem ko.

ievadiet laukos

Mūsu spēles, puzles, emulatori:

Nedaudz teorijas.

Funkcijas robeža pie x->x 0

Ļaujiet funkcijai f(x) definēt kādu kopu X un punktu \(x_0 \in X\) vai \(x_0 \notin X\)
Ņemsim no X punktu secību, kas atšķiras no x 0:
x 1 , x 2 , x 3 , ..., x n , ... (1)
saplūst ar x*. Funkciju vērtības šīs secības punktos arī veido skaitlisku secību
f(x 1), f(x 2), f(x 3), ..., f(x n), ... (2)

un var uzdot jautājumu par tās robežas esamību.. Skaitli A sauc par funkcijas f(x) robežu punktā x = x 0 (vai pie x -> x 0), ja jebkurai argumenta x vērtību secībai (1) atšķiras no x 0 konverģējot uz x 0, atbilstošā vērtību secības (2) funkcija konverģē uz skaitli A.

$$ \lim_(x\to x_0)( f(x)) = A $$

Funkcijai f(x) punktā x 0 var būt tikai viena robeža. Tas izriet no tā, ka secība
(f(x n)) ir tikai viens ierobežojums.

Ir vēl viena funkcijas robežas definīcija.

un var uzdot jautājumu par tās robežas esamību. Skaitli A sauc par funkcijas f(x) robežu punktā x = x 0, ja jebkuram skaitlim \(\varepsilon > 0\) ir tāds skaitlis \(\delta > 0\), ka visiem \ (x \in X, \; x \neq x_0 \), apmierinot nevienādību \(|x-x_0| Izmantojot loģiskos simbolus, šo definīciju var uzrakstīt kā
\((\forall \varepsilon > 0) (\exists \delta > 0) (\forall x \in X, \; x \neq x_0, \; |x-x_0| Ņemiet vērā, ka nevienādības \(x \neq x_0) , \; |x-x_0| \(\varepsilon - \delta \)”.
Šīs divas funkcijas ierobežojumu definīcijas ir līdzvērtīgas, un jūs varat izmantot jebkuru no tām atkarībā no tā, kura ir ērtāka konkrētas problēmas risināšanai.

Ņemiet vērā, ka funkcijas robežas definīcija “sekvenču valodā” tiek saukta arī par funkcijas robežas definīciju saskaņā ar Heine, bet funkcijas robežas definīcija “valodā \(\varepsilon - \delta \)” sauc arī par funkcijas robežas definīciju saskaņā ar Košī.

Funkcijas robeža pie x->x 0 - un pie x->x 0 +

Tālāk mēs izmantosim funkcijas vienpusējo ierobežojumu jēdzienus, kas ir definēti šādi.

un var uzdot jautājumu par tās robežas esamību. Skaitli A sauc par funkcijas f(x) labo (kreiso) robežu punktā x 0, ja jebkurai secībai (1), kas konverģē uz x 0, kuras elementi x n ir lielāki (mazāki par) x 0, atbilstošā secība (2) saplūst ar A.

Simboliski tas ir rakstīts šādi:
$$ \lim_(x \to x_0+) f(x) = A \; \left(\lim_(x \to x_0-) f(x) = A \right) $$

Mēs varam sniegt līdzvērtīgu funkcijas vienpusēju ierobežojumu definīciju “valodā \(\varepsilon - \delta \)”:

un var uzdot jautājumu par tās robežas esamību. skaitli A sauc par funkcijas f(x) labo (kreiso) robežu punktā x 0, ja jebkuram \(\varepsilon > 0\) eksistē \(\delta > 0\) tā, ka visiem x atbilst nevienādības \(x_0 simboliski ieraksti:

\((\forall \varepsilon > 0) (\exists \delta > 0) (\forall x, \; x_0

Funkcijas robeža bezgalībā:
|f(x) - a|< ε при |x| >N

Košī robežas noteikšana
Ļaujiet funkcijai f (x) ir definēts noteiktā bezgalības punkta apkārtnē ar |x| > Skaitli a sauc par funkcijas robežu f (x) ar x tiecas uz bezgalību (), ja tāda ir, tomēr maza pozitīvs skaitlis ε > 0 , ir skaitlis N ε > K, atkarībā no ε, kas visiem x, |x| > N ε, funkcijas vērtības pieder punkta a ε apkārtnei:
|f (x)-a|< ε .
Funkcijas robežu bezgalībā apzīmē šādi:
.
Vai plkst.

Bieži tiek izmantots arī šāds apzīmējums:
.

Rakstīsim šo definīciju, izmantojot loģiskos esamības un universāluma simbolus:
.
Tas pieņem, ka vērtības pieder funkcijas domēnam.

Vienpusēji ierobežojumi

Funkcijas kreisā robeža bezgalībā:
|f(x) - a|< ε при x < -N

Bieži vien ir gadījumi, kad funkcija ir definēta tikai pozitīvai vai negatīvas vērtības mainīgais x (precīzāk punkta vai tuvumā). Arī x pozitīvo un negatīvo vērtību bezgalības robežas var būt dažādas nozīmes. Tad tiek izmantoti vienpusēji ierobežojumi.

Kreisā robeža bezgalībā vai robeža, kā x tiecas uz mīnus bezgalību (), tiek definēta šādi:
.
Tiesības ierobežojums bezgalībā vai robeža kā x mēdz plus bezgalība ():
.
Vienpusējās robežas bezgalībā bieži tiek apzīmētas šādi:
; .

Funkcijas bezgalīga robeža bezgalībā

Funkcijas bezgalīgā robeža bezgalībā:
|f(x)| > M — |x| >N

Bezgalīgās robežas definīcija saskaņā ar Košī
Ļaujiet funkcijai f (x) ir definēts noteiktā bezgalības punkta apkārtnē ar |x| > K, kur K ir pozitīvs skaitlis. Funkcijas f. robeža (x) kā x tiecas uz bezgalību (), ir vienāds ar bezgalību, ja kādam, patvaļīgi liels skaits M > 0 , ir tāds skaitlis N M > K, atkarībā no M, kas visiem x, |x| > N M , funkcijas vērtības pieder bezgalības punkta apkārtnei:
|f (x) | > M.
Bezgalīgo robežu, kad x tiecas uz bezgalību, apzīmē šādi:
.
Vai plkst.

Izmantojot eksistences un universāluma loģiskos simbolus, funkcijas bezgalīgās robežas definīciju var uzrakstīt šādi:
.

Līdzīgi tiek ieviestas noteiktu zīmju bezgalīgo robežu definīcijas, kas vienādas ar un:
.
.

Bezgalības vienpusējo ierobežojumu definīcijas.
Kreisās robežas.
.
.
.
Pareizās robežas.
.
.
.

Funkcijas robežas noteikšana pēc Heines

Ļaujiet funkcijai f (x) definēts dažos bezgalības punkta apkārtne x 0 , kur vai vai .
Skaitli a (galīgs vai bezgalībā) sauc par funkcijas f robežu (x) punktā x 0 :
,
ja kādai secībai (xn), kas saplūst ar x 0 : ,
kuras elementi pieder apkārtnei, secībai (f(xn)) saplūst ar:
.

Ja par apkaimi ņemam bezgalības punkta bezgalības apkārtni: , tad iegūstam funkcijas robežas definīciju kā x tiecas uz bezgalību, . 0 Ja ņemam bezgalības punkta x kreisās vai labās puses apkārtni

: vai , tad mēs iegūstam robežas definīciju, jo x tiecas attiecīgi uz mīnus bezgalību un plus bezgalību. Robežu definīcijas saskaņā ar Heine un Cauchy.

ekvivalents

Piemēri

1. piemērs
.

Izmantojot Košī definīciju, lai to parādītu
.
Ieviesīsim šādu apzīmējumu: Atradīsim funkcijas definīcijas apgabalu.. ;
.
Tā kā frakcijas skaitītājs un saucējs ir polinomi, funkcija ir definēta visiem x, izņemot punktus, kuros saucējs pazūd. Atradīsim šos punktus. Izlemsim
; .
kvadrātvienādojums
Vienādojuma saknes:

Kopš , tad un .
.
Tāpēc funkcija ir definēta .
.
Mēs to izmantosim vēlāk. -1 :
.

Pierakstīsim funkcijas galīgās robežas definīciju bezgalībā saskaņā ar Košī:
Pārveidosim atšķirību:
;
;
;
.

Daliet skaitītāju un saucēju ar un reiziniet ar
.
.
Ļaujiet .
Tad

Tātad, mēs atklājām, ka tad, kad
No tā izriet
pie , un .

Tā kā jūs vienmēr varat to palielināt, pieņemsim .

Pierakstīsim funkcijas galīgās robežas definīciju bezgalībā saskaņā ar Košī:
Tad jebkuram,
1) ;
2) .

plkst.

Tas nozīmē, ka.
2. piemērs
.

Izmantojot Košī robežas definīciju, parādiet, ka:
;
.

Daliet skaitītāju un saucēju ar un reiziniet ar
.
1) Risinājums kā x tiecas uz mīnus bezgalību
.
Kopš , funkcija ir definēta visiem x.
.

Pierakstīsim funkcijas robežas definīciju, kas vienāda ar mīnus bezgalību:

Ļaujiet .

Tad
.
Ievadiet pozitīvus skaitļus un:

.
No tā izriet, ka jebkuram pozitīvam skaitlim M ir skaitlis, lai ,
.

Tas nozīmē, ka.
Tāpēc funkcija ir definēta .
.
2) Risinājums kā x tiecas uz plus bezgalību
.

Pārveidosim sākotnējo funkciju. Reiziniet daļskaitļa skaitītāju un saucēju un izmantojiet kvadrātu starpības formulu:
.
Pārveidosim atšķirību:
;
.

Daliet skaitītāju un saucēju ar un reiziniet ar
.
1) Risinājums kā x tiecas uz mīnus bezgalību
.
Ļaujiet .
Mums ir:

Pierakstīsim funkcijas labās robežas definīciju:
.

Ieviesīsim apzīmējumu: .
Reiziniet skaitītāju un saucēju ar: Ļaujiet un .