Perimetro e area di un parallelogramma. Come trovare l'area di un parallelogramma

Un parallelogramma è una figura quadrangolare i cui lati opposti sono paralleli e uguali a coppie. Anche i suoi angoli opposti sono uguali, e il punto di intersezione delle diagonali del parallelogramma le divide a metà, essendo il centro di simmetria della figura. Casi speciali di parallelogramma sono forme geometriche come quadrato, rettangolo e rombo. È possibile trovare l'area di un parallelogramma diversi modi, a seconda di quali dati iniziali accompagnano la formulazione del problema.

La caratteristica fondamentale di un parallelogramma, utilizzata molto spesso per trovare la sua area, è la sua altezza. L'altezza di un parallelogramma è solitamente chiamata perpendicolare tracciata da un punto arbitrario sul lato opposto a un segmento diritto che forma quel lato.

Nel caso più semplice, l'area di un parallelogramma è definita come il prodotto della sua base e della sua altezza.
S = DC ∙ h

dove S è l'area del parallelogramma;
una base;
h è l'altezza raggiunta dalla base data.
Questa formula è molto facile da capire e da ricordare se guardi la figura seguente.
Come puoi vedere da questa immagine, se tagliamo un triangolo immaginario a sinistra del parallelogramma e lo attacchiamo a destra, il risultato sarà un rettangolo. Come sai, l'area di un rettangolo si trova moltiplicando la sua lunghezza per la sua altezza. Solo nel caso del parallelogramma la lunghezza sarà la base, e l'altezza del rettangolo sarà l'altezza del parallelogramma abbassato ad un lato dato.
L'area di un parallelogramma può essere trovata anche moltiplicando le lunghezze di due basi adiacenti per il seno dell'angolo compreso tra loro:
S = AD∙AB∙senα

dove AD, AB sono basi adiacenti che formano tra loro un punto di intersezione e un angolo a;
α è l'angolo formato dalle basi AD e AB.
Puoi anche trovare l'area di un parallelogramma dividendo a metà il prodotto delle lunghezze delle diagonali del parallelogramma per il seno dell'angolo compreso tra loro.
S = ½∙AC∙BD∙sinβ

dove AC, BD sono le diagonali del parallelogramma;
β è l'angolo tra le diagonali.
Esiste anche una formula per trovare l'area di un parallelogramma attraverso il raggio del cerchio in esso inscritto. È scritto come segue:

Area di un parallelogramma. In molti problemi di geometria relativi al calcolo delle aree, compresi i compiti dell'Esame di Stato Unificato, vengono utilizzate formule per l'area di un parallelogramma e di un triangolo. Ce ne sono diversi, li vedremo qui.

Sarebbe troppo semplice elencare queste formule; ce n'è già abbastanza nei libri di consultazione e su vari siti web. Vorrei trasmettere l'essenza, in modo che tu non li riempia, ma li capisca e possa ricordarli facilmente in qualsiasi momento. Dopo aver studiato il materiale nell'articolo, capirai che non è affatto necessario imparare queste formule. Oggettivamente parlando, ricorrono così spesso nelle decisioni che rimangono a lungo nella memoria.

1. Consideriamo quindi un parallelogramma. La definizione recita:

Perché? È semplice! Per mostrare chiaramente qual è il significato della formula, eseguiamo alcune costruzioni aggiuntive, vale a dire, costruiamo le altezze:

L'area del triangolo (2) è uguale all'area del triangolo (1) - il secondo segno di uguaglianza triangoli rettangoli"lungo la gamba e l'ipotenusa." Ora "tagliamo" mentalmente il secondo e spostiamolo sovrapponendolo al primo: otteniamo un rettangolo, la cui area sarà uguale all'area del parallelogramma originale:

È noto che l'area di un rettangolo è uguale al prodotto dei lati adiacenti. Come si può vedere dallo schizzo, un lato del rettangolo risultante è uguale al lato del parallelogramma e l'altro è uguale all'altezza del parallelogramma. Pertanto, otteniamo la formula per l'area di un parallelogramma S = a∙h UN

2. Continuiamo, un'altra formula per la sua zona. Abbiamo:

Area di una formula del parallelogramma

Indichiamo i lati come aeb, l'angolo tra loro è γ "gamma", l'altezza è h a. Consideriamo un triangolo rettangolo:

Piazza figura geometrica - una caratteristica numerica di una figura geometrica che mostra la dimensione di questa figura (parte della superficie limitata dal contorno chiuso di questa figura). La dimensione dell'area è espressa dal numero di unità quadrate in essa contenute.

Formule dell'area del triangolo

Formula per l'area di un triangolo per lato e altezza
Area di un triangolo pari alla metà del prodotto della lunghezza di un lato di un triangolo e della lunghezza dell'altezza tracciata su questo lato
Formula per l'area di un triangolo basata su tre lati e il raggio della circonferenza circoscritta
Formula per l'area di un triangolo basata su tre lati e il raggio del cerchio inscritto
Area di un triangoloè uguale al prodotto del semiperimetro del triangolo per il raggio del cerchio inscritto.

Formule per l'area quadrata

Formula per l'area di un quadrato per lunghezza del lato
Zona quadrata uguale al quadrato della lunghezza del suo lato.
Formula per l'area di un quadrato lungo la diagonale
Zona quadrata pari alla metà del quadrato della lunghezza della sua diagonale.
S= 1 2
2

Formula dell'area del rettangolo

Area di un rettangolo

Formule per l'area del parallelogramma

Formula per l'area di un parallelogramma in base alla lunghezza del lato e all'altezza
Area di un parallelogramma
Formula per l'area di un parallelogramma basata su due lati e l'angolo compreso tra loro
Area di un parallelogrammaè uguale al prodotto delle lunghezze dei suoi lati moltiplicato per il seno dell'angolo compreso tra loro.
a b peccato α

Formule per l'area di un rombo

Formula per l'area di un rombo in base alla lunghezza del lato e all'altezza
Area di un rombo uguale al prodotto della lunghezza del suo lato e della lunghezza dell'altezza abbassata su questo lato.
Formula per l'area di un rombo in base alla lunghezza del lato e all'angolo
Area di un romboè uguale al prodotto del quadrato della lunghezza del suo lato e del seno dell'angolo formato dai lati del rombo.
Formula per l'area di un rombo in base alle lunghezze delle sue diagonali
Area di un rombo pari alla metà del prodotto delle lunghezze delle sue diagonali.

Formule dell'area del trapezio

Formula di Erone per il trapezio
Dove S è l'area del trapezio,
- lunghezze delle basi del trapezio,
- lunghezze dei lati del trapezio,

Parallelogrammaè un quadrilatero i cui lati sono paralleli a coppie.

In questa figura i lati e gli angoli opposti sono uguali tra loro. Le diagonali di un parallelogramma si intersecano in un punto e lo dividono in due. Le formule per l'area di un parallelogramma ti consentono di trovare il valore utilizzando i lati, l'altezza e le diagonali. In casi particolari può essere presentato anche un parallelogramma. Sono considerati un rettangolo, un quadrato e un rombo.
Innanzitutto, consideriamo un esempio di calcolo dell'area di un parallelogramma in base all'altezza e al lato su cui è abbassato.

Questo caso è considerato un classico e non richiede ulteriori indagini. È meglio considerare la formula per calcolare l'area attraverso due lati e l'angolo tra di loro. Lo stesso metodo viene utilizzato nei calcoli. Se vengono forniti i lati e l'angolo compreso tra loro, l'area viene calcolata come segue:

Supponiamo di avere un parallelogramma con i lati a = 4 cm, b = 6 cm. L'angolo compreso tra loro è α = 30°. Troviamo l'area:

Area di un parallelogramma passante per le diagonali

La formula per l'area di un parallelogramma utilizzando le diagonali consente di trovare rapidamente il valore.
Per i calcoli avrai bisogno della dimensione dell'angolo situato tra le diagonali.

Consideriamo un esempio di calcolo dell'area di un parallelogramma utilizzando le diagonali. Sia dato un parallelogramma con le diagonali D = 7 cm, d = 5 cm. L'angolo compreso tra loro è α = 30°. Sostituiamo i dati nella formula:

Un esempio di calcolo dell'area di un parallelogramma attraverso la diagonale ci ha dato un risultato eccellente: 8,75.

Conoscendo la formula per l'area di un parallelogramma attraverso la diagonale, puoi risolvere molti problemi interessanti. Diamo un'occhiata a uno di loro.

Compito: Dato un parallelogramma con area di 92 mq. vedi Il punto F si trova a metà del suo lato BC. Troviamo l'area del trapezio ADFB, che si troverà nel nostro parallelogramma. Per prima cosa disegniamo tutto ciò che abbiamo ricevuto in base alle condizioni.
Arriviamo alla soluzione:

Secondo le nostre condizioni, ah =92 e, di conseguenza, l'area del nostro trapezio sarà uguale a