चीट शीट: प्राथमिक विद्यालय में बीजगणितीय सामग्री पढ़ाना। प्राथमिक विद्यालय में बीजगणितीय सामग्री का अध्ययन

व्याख्यान 8. बीजगणितीय सामग्री का अध्ययन करने की विधियाँ।

व्याख्यान 7. बहुभुज की परिधि की अवधारणा

1. बीजगणित के तत्वों पर विचार करने की पद्धति।

2. संख्यात्मक समानताएँ और असमानताएँ।

3. चर से परिचित होने की तैयारी। अक्षर चिन्हों के तत्व.

4. एक चर के साथ असमानताएँ।

5. समीकरण

1. प्रारंभिक गणित पाठ्यक्रम में बीजगणित तत्वों का परिचय, प्रशिक्षण की शुरुआत से ही, बच्चों में अभिव्यक्ति, समानता, असमानता, समीकरण जैसी महत्वपूर्ण गणितीय अवधारणाओं को विकसित करने के उद्देश्य से व्यवस्थित कार्य करने की अनुमति देता है। बच्चों को ज्ञात संख्याओं के क्षेत्र से किसी भी संख्या को दर्शाने वाले प्रतीक के रूप में एक अक्षर के उपयोग से परिचित होना कई को सामान्य बनाने के लिए स्थितियां बनाता है प्रारंभिक पाठ्यक्रमअंकगणित सिद्धांत के प्रश्न भविष्य में बच्चों को कार्यों के चर में अवधारणाओं से परिचित कराने के लिए एक अच्छी तैयारी है। उपयोग का पूर्व परिचय बीजगणितीय विधिसमस्या समाधान आपको विभिन्न प्रकार की शब्द समस्याओं को हल करने के लिए बच्चों को पढ़ाने की पूरी प्रणाली में गंभीर सुधार करने की अनुमति देता है।

कार्य: 1. विद्यार्थियों में पढ़ने, लिखने और संख्यात्मक अभिव्यक्तियों की तुलना करने की क्षमता विकसित करें।2. छात्रों को संख्यात्मक अभिव्यक्तियों में क्रियाओं के क्रम को निष्पादित करने के नियमों से परिचित कराएं और इन नियमों के अनुसार अभिव्यक्तियों के मूल्यों की गणना करने की क्षमता विकसित करें।3. विद्यार्थियों में पढ़ने-लिखने की क्षमता का विकास करना शाब्दिक अभिव्यक्तियाँऔर दिए गए अक्षर मानों के लिए उनके मानों की गणना करें।4. छात्रों को प्रथम डिग्री के समीकरणों से परिचित कराना, जिसमें पहले और दूसरे चरण की क्रियाएं शामिल हों, चयन विधि का उपयोग करके उन्हें हल करने की क्षमता विकसित करना, साथ ही एम/वाई घटकों और के बीच संबंधों के ज्ञान के आधार पर। अंकगणितीय संक्रियाओं का परिणाम.

कार्यक्रम प्राथमिक कक्षाएँछात्रों को अक्षर प्रतीकों के उपयोग, एक अज्ञात के साथ प्रथम डिग्री के प्राथमिक समीकरणों के समाधान और एक क्रिया में समस्याओं के लिए उनके अनुप्रयोग से परिचित कराना प्रदान करता है। इन प्रश्नों का अध्ययन अंकगणितीय सामग्री के साथ घनिष्ठ संबंध में किया जाता है, जो संख्याओं के निर्माण में योगदान देता है अंकगणितीय परिचालन.

प्रशिक्षण के पहले दिन से ही छात्रों में समानता की अवधारणा विकसित करने का काम शुरू हो जाता है। प्रारंभ में, बच्चे कई वस्तुओं की तुलना करना, असमान समूहों को बराबर करना और समान समूहों को असमान समूहों में बदलना सीखते हैं। पहले से ही एक दर्जन संख्याओं का अध्ययन करते समय, तुलना अभ्यास पेश किए जाते हैं। सबसे पहले, उन्हें वस्तुओं पर समर्थन के साथ निष्पादित किया जाता है।

अभिव्यक्ति की अवधारणा छोटे स्कूली बच्चों में अंकगणितीय संक्रियाओं की अवधारणाओं के साथ घनिष्ठ संबंध में बनती है। अभिव्यक्तियों पर काम करने की पद्धति में दो चरण शामिल हैं। 1 पर, सबसे सरल अभिव्यक्तियों (योग, अंतर, उत्पाद, दो संख्याओं का भागफल) की अवधारणा बनती है, और 2 पर, जटिल अभिव्यक्तियों (एक उत्पाद और एक संख्या का योग, दो भागफलों का अंतर, आदि) के बारे में। . शब्द "गणितीय अभिव्यक्ति" और "गणितीय अभिव्यक्ति का मूल्य" (परिभाषाओं के बिना) पेश किए गए हैं। एक गतिविधि में कई उदाहरण दर्ज करने के बाद, शिक्षक सूचित करता है कि इन उदाहरणों को अन्यथा मेटामैथमैटिकल अभिव्यक्ति कहा जाता है। अंकगणितीय संक्रियाओं का अध्ययन करते समय, भावों की तुलना करने के अभ्यासों को शामिल किया जाता है, उन्हें 3 समूहों में विभाजित किया जाता है; प्रक्रिया के नियमों का अध्ययन. इस स्तर पर लक्ष्य पर आधारित है व्यावहारिक कौशलछात्र अपना ध्यान ऐसे भावों में क्रिया करने के क्रम की ओर आकर्षित करें और तदनुरूप नियम बनाएं। छात्र स्वतंत्र रूप से शिक्षक द्वारा चुने गए उदाहरणों को हल करते हैं और उस क्रम को समझाते हैं जिसमें उन्होंने प्रत्येक उदाहरण में क्रियाएं कीं। इसके बाद, वे स्वयं निष्कर्ष निकालते हैं या इसे किसी पाठ्यपुस्तक से पढ़ते हैं। किसी अभिव्यक्ति का समरूप परिवर्तन किसी दिए गए अभिव्यक्ति का दूसरे के साथ प्रतिस्थापन है जिसका मूल्य दिए गए अभिव्यक्ति के मूल्य के बराबर है। छात्र अंकगणितीय संक्रियाओं के गुणों और उनसे उत्पन्न होने वाले परिणामों (किसी संख्या में योग कैसे जोड़ें, किसी संख्या को योग से कैसे घटाएं, किसी संख्या को उत्पाद से कैसे गुणा करें, आदि) पर भरोसा करते हुए, अभिव्यक्तियों के ऐसे परिवर्तन करते हैं। ). प्रत्येक गुण का अध्ययन करते समय, छात्रों को यह विश्वास हो जाता है कि एक निश्चित प्रकार की अभिव्यक्तियों में क्रियाएँ अलग-अलग तरीकों से की जा सकती हैं, लेकिन अभिव्यक्ति का अर्थ नहीं बदलता है।

2. संख्यात्मक अभिव्यक्तियाँशुरू से ही संख्यात्मक बराबर और असमान के साथ अविभाज्य संबंध में माना जाता है। संख्यात्मक समानताएं और असमानताएं "सही" और "गलत" में विभाजित हैं। कार्य: संख्याओं की तुलना करें, अंकगणितीय अभिव्यक्तियों की तुलना करें, एक अज्ञात के साथ सरल असमानताओं को हल करें, असमानता से समानता की ओर और समानता से असमानता की ओर बढ़ें

1. एक अभ्यास जिसका उद्देश्य छात्रों के अंकगणितीय संक्रियाओं और उनके अनुप्रयोग के ज्ञान को स्पष्ट करना है। विद्यार्थियों को अंकगणितीय संक्रियाओं से परिचित कराते समय, फॉर्म 5+3 और 5-3 के भावों की तुलना की जाती है; 8*2 और 8/2. अभिव्यक्तियों की तुलना पहले प्रत्येक के मान ज्ञात करके और परिणामी संख्याओं की तुलना करके की जाती है। भविष्य में, कार्य इस तथ्य के आधार पर किया जाता है कि दो संख्याओं का योग उनके अंतर से अधिक है, और उत्पाद उनके भागफल से अधिक है; गणना का उपयोग केवल परिणाम की जांच करने के लिए किया जाता है। जोड़ और गुणा के बीच संबंध के बारे में छात्रों के ज्ञान को मजबूत करने के लिए फॉर्म 7+7+7 और 7*3 के भावों की तुलना की जाती है।

तुलना प्रक्रिया के दौरान, छात्र अंकगणितीय संक्रियाओं को निष्पादित करने के क्रम से परिचित हो जाते हैं। सबसे पहले, हम फॉर्म 16 - (1+6) के कोष्ठक वाले भावों पर विचार करते हैं।

2. इसके बाद एक और दो डिग्री की क्रियाओं वाले कोष्ठक रहित भावों में क्रियाओं के क्रम पर विचार किया जाता है। उदाहरण पूरा करते समय छात्र इन अर्थों को सीखते हैं। सबसे पहले, एक स्तर की क्रियाओं वाले भावों में क्रियाओं के क्रम पर विचार किया जाता है, उदाहरण के लिए: 23 + 7 - 4, 70: 7 * 3। साथ ही, बच्चों को यह सीखना चाहिए कि यदि अभिव्यक्तियों में केवल जोड़ और घटाव या केवल गुणा होता है और विभाजन, फिर उन्हें उसी क्रम में क्रियान्वित किया जाता है जिस क्रम में वे लिखे गए हैं। इसके बाद, दोनों चरणों की क्रियाओं वाले भावों का परिचय दिया जाता है। छात्रों को सूचित किया जाता है कि ऐसे अभिव्यक्तियों में उन्हें पहले क्रम से गुणन और विभाजन संचालन करना होगा, और फिर जोड़ और घटाव करना होगा, उदाहरण के लिए: 21/3+4*2=7+8=15; 16+5*4=16+20=36. छात्रों को कार्यों के क्रम का पालन करने के अत्यधिक महत्व को समझाने के लिए, उन्हें एक ही अभिव्यक्ति में एक अलग क्रम में निष्पादित करना और परिणामों की तुलना करना उपयोगी होता है।

3. अभ्यास जिसमें छात्र अंकगणितीय संक्रियाओं के घटकों और परिणामों के बीच संबंधों को सीखते हैं और ज्ञान को समेकित करते हैं। दस की संख्या का अध्ययन करते समय Οʜᴎ को पहले से ही शामिल किया जाता है।

अभ्यास के इस समूह में, छात्र किसी एक घटक में परिवर्तन के आधार पर कार्यों के परिणामों में परिवर्तन के मामलों से परिचित हो जाते हैं। ऐसे भाव जिनमें किसी एक पद को बदला जाता है (6+3 और 6+4) या 8-2 और 9-2 आदि से कम किया जाता है, की तुलना की जाती है। तालिका गुणन और विभाजन का अध्ययन करते समय समान कार्य भी शामिल किए जाते हैं और गणना (5*3 और 6*3, 16:2 और 18:2), आदि का उपयोग करके किए जाते हैं। भविष्य में, आप गणनाओं पर भरोसा किए बिना इन अभिव्यक्तियों की तुलना कर सकते हैं।

विचार किए गए अभ्यास कार्यक्रम सामग्री से निकटता से संबंधित हैं और इसके आत्मसात में योगदान करते हैं। इसके साथ ही, संख्याओं और भावों की तुलना करने की प्रक्रिया में छात्रों को उनके पहले विचार प्राप्त होते हैं समानता और असमानता के बारे में.

इसलिए, पहली कक्षा में, जहां "समानता" और "असमानता" शब्दों का अभी तक उपयोग नहीं किया गया है, शिक्षक, बच्चों द्वारा की गई गणनाओं की शुद्धता की जांच करते समय, निम्नलिखित रूप में प्रश्न पूछ सकते हैं: "कोल्या ने आठ जोड़े छह और मिले 15. क्या यह समाधान सही है या गलत?", या बच्चों के लिए ऐसे अभ्यास सुझाएं जिनमें आपको दिए गए उदाहरणों के समाधान की जांच करनी है, सही प्रविष्टियां ढूंढनी हैं, आदि। इसी प्रकार, प्रपत्र 5 की संख्यात्मक असमानताओं पर विचार करते समय<6,8>4 और अधिक जटिल, शिक्षक निम्नलिखित रूप में एक प्रश्न पूछ सकते हैं: "क्या ये रिकॉर्ड सही हैं?", और एक असमानता पेश करने के बाद - "क्या ये असमानताएं सच हैं?"

पहली कक्षा से शुरू करके, बच्चे संख्यात्मक अभिव्यक्तियों के परिवर्तनों से परिचित हो जाते हैं, जो अंकगणित सिद्धांत के अध्ययन किए गए तत्वों (संख्या, क्रियाओं का अर्थ, आदि) के अनुप्रयोग के आधार पर किए जाते हैं। उदाहरण के लिए, संख्याओं के ज्ञान और संख्याओं के स्थानीय मान के आधार पर, छात्र किसी भी संख्या को उसके स्थानीय भागों के योग के रूप में प्रस्तुत कर सकते हैं। इस कौशल का उपयोग कई कम्प्यूटेशनल तकनीकों की अभिव्यक्ति के संबंध में अभिव्यक्ति परिवर्तनों पर विचार करते समय किया जाता है।

ऐसे परिवर्तनों के संबंध में, पहले से ही पहली कक्षा में, बच्चों को समानता की एक "श्रृंखला" का सामना करना पड़ता है।

व्याख्यान 8. बीजगणितीय सामग्री का अध्ययन करने की विधियाँ। - अवधारणा और प्रकार. "व्याख्यान 8. बीजगणितीय सामग्री का अध्ययन करने के तरीके" श्रेणी का वर्गीकरण और विशेषताएं। 2017, 2018.

के लिए प्रश्न और कार्य स्वतंत्र कार्य

1. उन ज्यामितीय अवधारणाओं के नाम बताइए जिनका अध्ययन प्राथमिक विद्यालय में किया जाता है। वे अध्ययन का विषय क्यों हैं?

2. क्या प्रारंभिक गणित पाठ्यक्रम में ज्यामितीय सामग्री एक स्वतंत्र अनुभाग का गठन करती है? क्यों?

3. छात्रों के बीच ज्यामितीय अवधारणाएँ बनाने की पद्धति का वर्णन करें: रेखा खंड, त्रिभुज, कोण, आयत।

4. विकास के अवसर क्या हैं? तर्कसम्मत सोचछात्र ज्यामितीय सामग्री का अध्ययन प्रदान करते हैं? उदाहरण दीजिए.

5. ज्यामितीय सामग्री का अध्ययन करते समय छात्र किन संबंधों से परिचित होते हैं?

6. प्राथमिक विद्यालय में निर्माण कार्य क्या कार्य करते हैं?

7. विशिष्ट उदाहरण दीजिए प्राथमिक स्कूलनिर्माण कार्य.

8. निर्माण समस्याओं को हल करने के चरण क्या हैं? दिखाएँ कि निर्माण समस्याओं को हल करने की सामान्य योजना का किस हद तक उपयोग किया जा सकता है प्राथमिक स्कूल.

व्याख्यान 14. बीजगणितीय सामग्री का अध्ययन करने की विधियाँ

1. गणित की बुनियादी अवधारणाएँ।

2. सामान्य प्रश्नप्राथमिक विद्यालय के गणित पाठ्यक्रमों में बीजगणितीय सामग्री का अध्ययन करने की विधियाँ।

3. संख्यात्मक भाव. अंकगणितीय संक्रियाओं को निष्पादित करने के क्रम के नियमों का अध्ययन करना।

4. एक चर के साथ अभिव्यक्ति.

5. समीकरणों के अध्ययन की विधियाँ।

6. संख्यात्मक समानता और संख्यात्मक असमानताओं का अध्ययन करने की पद्धति।

7. छात्रों को कार्यात्मक निर्भरता से परिचित कराना।

सन्दर्भ: (1) अध्याय 4; (2) § 27, 37, 52; (5)-(12).

गणित की बुनियादी अवधारणाएँ

में संख्यात्मक अभिव्यक्ति सामान्य रूप से देखेंइस प्रकार परिभाषित किया जा सकता है:

1) प्रत्येक संख्या एक संख्यात्मक अभिव्यक्ति है।

2) यदि ए और बी संख्यात्मक अभिव्यक्ति हैं, तो (ए) + (बी), (ए) - (बी), (ए) (बी), (ए): (बी); (ए)⁽ⁿ⁾ और एफ(ए), जहां एफ (एक्स) कुछ संख्यात्मक फ़ंक्शन है, संख्यात्मक अभिव्यक्ति भी हैं।

यदि इसमें निर्दिष्ट सभी क्रियाएं संख्यात्मक अभिव्यक्ति में की जा सकती हैं, तो परिणामी वास्तविक संख्या को इस संख्यात्मक अभिव्यक्ति का संख्यात्मक मान कहा जाता है, और संख्यात्मक अभिव्यक्ति को अर्थपूर्ण कहा जाता है। कभी-कभी किसी संख्यात्मक अभिव्यक्ति का कोई संख्यात्मक मान नहीं होता क्योंकि इसमें निर्दिष्ट सभी कार्य संभव नहीं हैं; ऐसा कहा जाता है कि ऐसी संख्यात्मक अभिव्यक्ति का कोई अर्थ नहीं है। तो, निम्नलिखित संख्यात्मक अभिव्यक्तियाँ (5 - 3): (2 - 8:4); √7 – 2 · 6 और (7 – 7)° का कोई मतलब नहीं है।

इस प्रकार, किसी भी संख्यात्मक अभिव्यक्ति में या तो एक होता है संख्यात्मक मान, या कोई मतलब नहीं है. -

संख्यात्मक अभिव्यक्ति के मान की गणना करते समय निम्नलिखित प्रक्रिया अपनाई जाती है:

1. कोष्ठक के अंदर सभी ऑपरेशन पहले किए जाते हैं। यदि कोष्ठकों के कई जोड़े हैं, तो गणना सबसे अंदर वाले कोष्ठकों से शुरू होती है।

2. कोष्ठक के अंदर, गणना का क्रम संचालन की प्राथमिकता से निर्धारित होता है: फ़ंक्शन मानों की गणना पहले की जाती है, फिर घातांक किया जाता है, फिर गुणा या भाग किया जाता है, और जोड़ और घटाव अंतिम में किया जाता है।

3. यदि समान प्राथमिकता के कई ऑपरेशन हैं, तो गणना बाएं से दाएं क्रमिक रूप से की जाती है।

संख्यात्मक समानता- दो संख्यात्मक अभिव्यक्ति ए और बी, एक समान चिह्न ("") से जुड़े हुए हैं।

संख्यात्मक असमानता - दो संख्यात्मक अभिव्यक्ति ए और बी, एक असमानता चिह्न से जुड़े हुए हैं ("<", ">", "≤" या "≥").

एक अभिव्यक्ति जिसमें एक चर होता है और जो चर को उसके मान से प्रतिस्थापित करने पर एक संख्या बन जाता है, कहलाता है चर के साथ अभिव्यक्तिया संख्यात्मक रूप.

एक चर वाला समीकरण(एक अज्ञात के साथ) - फॉर्म f₁(x) = f₂(x) का एक विधेय, जहां x ∊X, जहां f₁(x) और f₂(x) सेट X पर परिभाषित चर x के साथ अभिव्यक्ति हैं।

समुच्चय X से चर x का कोई भी मान जिसके लिए समीकरण वास्तविक संख्यात्मक समानता में बदल जाता है, कहलाता है जड़(समीकरण हल करना). प्रश्न हल करें- इसका मतलब है इसकी सभी जड़ों को ढूंढना या यह साबित करना कि उनका अस्तित्व नहीं है। समीकरण के सभी मूलों का समुच्चय (या विधेय f₁(x) = f₂(x) का सत्य समुच्चय T) को समीकरण के समाधानों का समुच्चय कहा जाता है

मानों का वह समूह जिस पर समीकरण के दोनों पक्षों को परिभाषित किया जाता है, चर x के अनुमेय मानों का क्षेत्र (ADV) और समीकरण की परिभाषा का क्षेत्र कहलाता है।

2. बीजगणितीय सामग्री के अध्ययन के लिए कार्यप्रणाली के सामान्य मुद्दे

प्रस्तुत गणित के प्रारंभिक पाठ्यक्रम में बुनियादी अंकगणितीय सामग्री के साथ-साथ बीजगणित के तत्व भी शामिल हैं निम्नलिखित अवधारणाएँ:

संख्यात्मक अभिव्यक्तियाँ;

एक चर के साथ अभिव्यक्तियाँ;

संख्यात्मक समानताएँ और असमानताएँ;

समीकरण.

प्राथमिक विद्यालय के गणित पाठ्यक्रम में बीजगणित तत्वों को शामिल करने का उद्देश्य है:

अंकगणितीय सामग्री पर अधिक पूर्णतः तथा गहराई से विचार करें;

विद्यार्थियों के सामान्यीकरणों को और अधिक आगे लाएँ उच्च स्तर;

अधिक के लिए पूर्व शर्ते बनाएँ सफल अध्ययनमिडिल और हाई स्कूल में बीजगणित।

कार्यक्रम में बीजगणितीय सामग्री को एक अलग विषय के रूप में हाइलाइट नहीं किया गया है। इसे प्राथमिक विद्यालय के गणित पाठ्यक्रम में वितरित किया जाता है अलग मुद्दे. बुनियादी अंकगणितीय सामग्री के अध्ययन के समानांतर, इन प्रश्नों का अध्ययन ग्रेड 1 से शुरू किया जाता है। कार्यक्रम द्वारा प्रस्तावित प्रश्नों पर विचार का क्रम पाठ्यपुस्तक द्वारा निर्धारित होता है।

प्रारंभिक ग्रेड में अध्ययन की गई बीजगणितीय अवधारणाओं में महारत हासिल करने में उचित शब्दावली का परिचय देना और औपचारिक तार्किक परिभाषाओं का निर्माण किए बिना सरलतम संचालन करना शामिल है।

1. बीजगणितीय सामग्री का अर्थ प्राथमिक शिक्षाअंक शास्त्र।

2. बीजगणितीय सामग्री के अध्ययन की समस्याएँ।

3. बीजगणितीय अवधारणाओं पर कार्य करने की पद्धति।

4. गणितीय व्यंजकों के अध्ययन की विधियाँ।

5. संख्यात्मक समानताओं और असमानताओं का अध्ययन करने की विधियाँ।

6. समीकरणों एवं समस्याओं को बीजगणितीय तरीके से हल करना सिखाने की विधियाँ।

7. चर के साथ असमानताओं पर काम करने की पद्धति।

8. प्राथमिक गणित शिक्षण में कार्यात्मक प्रोपेड्यूटिक्स।

1. प्राथमिक गणित शिक्षा में बीजगणितीय सामग्री का महत्व

क) गणितीय अभिव्यक्तियों के अर्थ ढूँढना;

बी) समीकरणों और असमानताओं को हल करना;

ए) कानून a×(b+c)=a×b+a×c;

बी) निर्भरताएं, नियम ए+बी=सी

4. तार्किक एवं सैद्धान्तिक सोच का विकास।

5. गणित के आगे के अध्ययन की तैयारी.

वह। बीजगणितीय सामग्री अंकगणितीय सामग्री के अध्ययन में सहायक कार्य करती है।

यद्यपि बीजगणितीय सामग्री अंकगणितीय सामग्री के अधीनस्थ स्थान रखती है, इसमें कुछ स्वतंत्रता भी होती है, जो सबसे पहले, बीजगणितीय तत्वों के परिचय के अनुक्रम में प्रकट होती है।

प्रारंभिक गणित पाठ्यक्रम में कौन सी बीजगणितीय अवधारणाएँ पेश की जाती हैं? उन्हें गणित में कैसे परिभाषित किया जाता है? (ओएस नंबर 22 देखें)

गणित के प्रारंभिक पाठ्यक्रम में, उनमें से किसी को भी औपचारिक परिभाषा के स्तर पर नहीं लाया जाता है। अतः कोई यह प्रश्न नहीं पूछ सकता कि "किसको कहते हैं..?"

छात्रों को चाहिए: शब्द को सही ढंग से समझें और व्यावहारिक गतिविधियों में इसका सही ढंग से उपयोग करें।

समझना

शब्द वस्तु

आवेदन करना

बीजगणितीय अवधारणाओं के निर्माण पर कार्य चरणों में किया जाता है:

1. प्रारंभिक कार्य.

2. अवधारणा का परिचय (शब्द)।

3. व्यावहारिक गतिविधियों में समेकन.

प्रारंभिक कार्यइसमें शब्दों का उपयोग किए बिना संबंधित वस्तुओं के साथ संचालन शामिल है। उदाहरण के लिए:

ए) 2+1, 5-1, 3+1+1, 20+8+30+1, 12:2?5; (51-48):(27:9) और इसी तरह→"गणितीय अभिव्यक्ति" की अवधारणा को पेश करने के लिए।

बी) 1=1, 1<2, 8+2+3=13, 8?7=56 и т.п.→понятий “ равенство”, “ неравенство ”.

वी) ? +4=6, a+4=6, x+4=12→eq.

इस प्रकार, तैयारी के चरण में, विशिष्ट विचार जमा हो जाते हैं, जिन्हें अगले चरण में सामान्यीकृत किया जाता है।

बीजगणितीय अवधारणाएँ प्रस्तुत की गई हैं:

a) प्रासंगिक रूप से, अर्थात्, नए शब्द का अर्थ पाठ्यांश के अर्थ से निर्धारित होता है। उदाहरण के लिए: “अक्षर x (x) एक अज्ञात संख्या को दर्शाता है। x+2=5 समीकरण है. किसी समीकरण को हल करने का अर्थ है एक अज्ञात संख्या ज्ञात करना।”

बी) दिखावटी, जब वस्तु को केवल नाम दिया जाता है और प्रदर्शित किया जाता है। उदाहरण के लिए: "संख्यात्मक गणितीय अभिव्यक्तियाँ।"

इस मामले में, तुलना, विश्लेषण, संश्लेषण, वर्गीकरण का उपयोग करना आवश्यक है। उदाहरण के लिए: "समानता असमानता है।"

आत्मसात्करणबीजीय अवधारणाओं को उनके विशिष्ट प्रतिनिधियों के साथ व्यावहारिक गतिविधियों में क्रियान्वित किया जाता है।

छात्र उचित शब्दों-शब्दों को सही ढंग से समझना और लागू करना सीखते हैं।

गणितीय अभिव्यक्तियों का अध्ययन करने का क्या मतलब है? (ओएस एन22 देखें)

- श्रुतलेखन या पाठ्यपुस्तक से पढ़ना और लिखना सीखना;

- कार्य करने की प्रक्रिया के नियमों से परिचित होना;

- योजनाओं के अनुसार कार्यों के लिए अभिव्यक्ति तैयार करना;

- अभिव्यक्ति मूल्यों की गणना;

- भावों के परिवर्तनों (समान) से परिचित होना;

- भावों की तुलना.

काफी लंबे समय तक, मनोविज्ञान में प्रचलित राय यह थी कि बीजगणित के तत्वों का अध्ययन प्राथमिक कक्षाओं में नहीं, बल्कि वरिष्ठ कक्षाओं में किया जाना चाहिए, क्योंकि एक जूनियर स्कूली बच्चे की सोच की ख़ासियतें और उसका अमूर्त रूप बनाने में असमर्थता उच्च स्तर. हालाँकि, पी.वाई.ए. गैल्परिन, वी.वी. डेविडॉव, डी.बी. एल्कोनिन, आदि जैसे प्रमुख मनोवैज्ञानिकों और शिक्षकों - ए.आई. मर्कुशेविच, ए.एम. पिश्कलो, आदि ने पाया कि 6-10 वर्ष के बच्चे, प्रशिक्षण के एक निश्चित संगठन के साथ कुछ बीजगणितीय अवधारणाओं की सामग्री में पूरी तरह से महारत हासिल करें। इसके आधार पर, बीजगणितीय सामग्री को 1969 में प्राथमिक विद्यालय के गणित पाठ्यक्रम में शामिल किया गया था।

बीजगणित के तत्वों का अध्ययन करते समय, छोटे स्कूली बच्चों को संख्यात्मक अभिव्यक्ति, संख्यात्मक समानताएं और असमानताएं, एक चर के साथ असमानताएं, एक चर के साथ अभिव्यक्ति, दो चर और समीकरणों के बारे में प्रारंभिक जानकारी प्राप्त होती है।

बीजगणितीय सामग्री का अध्ययन पहली कक्षा से किया जाता है। अंकगणित और ज्यामितीय के साथ घनिष्ठ संबंध में। बीजगणित तत्वों का परिचय संख्या, अंकगणितीय संचालन और गणितीय संबंधों के बारे में अवधारणाओं के सामान्यीकरण में योगदान देता है, और साथ ही बच्चों को निम्नलिखित ग्रेड में बीजगणित का अध्ययन करने के लिए तैयार करता है।

अध्ययन के मुख्य चरण और बीजगणितीय सामग्री की सामग्री

1. संख्यात्मक अभिव्यक्तियों के अध्ययन की पद्धति

संख्यात्मक अभिव्यक्ति -

1. प्रत्येक संख्या एक संख्यात्मक अभिव्यक्ति है।

2. यदि a और b संख्यात्मक अभिव्यक्ति हैं, तो उनका योग a+b, अंतर a-b, गुणनफल a∙b और भागफल a:b भी संख्यात्मक अभिव्यक्ति हैं।

संख्यात्मक अभिव्यक्ति मूल्य- यह सभी कार्यों को करने के परिणामस्वरूप प्राप्त संख्या है। संख्यात्मक रूप से दर्शाया गया है।

गणित कार्यक्रम प्रदान करता है:

कार्यों के क्रम के नियमों का परिचय दें और उन्हें गणना में उनका उपयोग करना सिखाएं,

विद्यार्थियों को भावों के समान परिवर्तनों से परिचित कराएं।

सीवी से परिचित होने की पद्धति को 3 चरणों में विभाजित किया जा सकता है:

प्रथम चरण. एक क्रिया वाले भावों से परिचित होना (दो संख्याओं का योग, अंतर, गुणनफल, भागफल)।

पहली अभिव्यक्ति - योग - से परिचित होना पहली कक्षा में होता है। एकाग्रता "10" का अध्ययन करते समय।

1. सेट पर ऑपरेशन करते समय, बच्चे सबसे पहले जोड़ और घटाव का विशिष्ट अर्थ सीखते हैं, इसलिए, फॉर्म 5 + 1,6-2 के नोटेशन में, वे क्रियाओं के संकेतों को "जोड़" शब्दों के संक्षिप्त पदनाम के रूप में समझते हैं। , "घटाना" (पढ़ना: 1 में 5 जोड़ें, आपको 6 मिलता है, 6 में से 2 घटाएँ, आपको मिलता है 4).

2. भविष्य में इन क्रियाओं की अवधारणा और गहरी होती जाती है। छात्र सीखते हैं कि कुछ इकाइयों को जोड़ने से एक संख्या में इकाइयों की समान संख्या बढ़ जाती है, और किसी संख्या को घटाने पर इकाइयों की समान संख्या कम हो जाती है।

(पढ़ना: 5 में 1 से वृद्धि, 6 में 2 से कमी).

3. फिर बच्चे क्रिया चिन्हों का नाम सीखते हैं: "प्लस", "माइनस"

(पढ़ना: 5 प्लस 1,6 माइनस 1).

4. बच्चे सीवी के घटकों के नाम सीखते हैं।

(पढ़ें: 1 पद 5, 2 पद 1, योग 6 के बराबर)।

लगभग इसी तरह, निम्नलिखित अभिव्यक्तियों पर काम चल रहा है: अंतर (प्रथम श्रेणी), उत्पाद और भागफल (द्वितीय श्रेणी)।

चरण 2. एक चरण की गतिविधियों वाले सीवी से परिचित होना .

कोष्ठक वाले भावों का अध्ययन करने से पहले, छात्रों को फॉर्म 8+1-7 10-5+4 के भाव दिए जाते हैं

इन मामलों में, पहले अंडाकार में संलग्न अभिव्यक्ति का मान पाया जाता है, फिर परिणामी परिणाम से वर्ग में संख्या घटा दी जाती है। इस मामले में, छात्र अंतर्निहित रूप में कार्यों के निष्पादन के क्रम के लिए नियम का उपयोग करते हैं और पहले समान परिवर्तन (8+1-7=9-7=2) करते हैं।

बाद में कोष्ठक 6+4-1=(6+4)-1 पेश किये गये।

नियम बनता है: कोष्ठक में लिखी क्रिया पहले की जाती है.

शुरू किए गए नियम में महारत हासिल करने के लिए, विभिन्न प्रशिक्षण अभ्यास शामिल किए गए हैं। साथ ही, बच्चे इन अभिव्यक्तियों को सही ढंग से पढ़ना और लिखना सीखते हैं:

लिखें और गणना करें: .

1. संख्या 9 और 7 के योग में से 10 घटाएं।

2. 10 में संख्या 9 और 7 के बीच का अंतर जोड़ें।

इसके बाद, एक संख्यात्मक अभिव्यक्ति की अवधारणाएं (दिखावटी, दिखाकर) और एक संख्यात्मक अभिव्यक्ति का अर्थ पेश किया जाता है। 2 वर्ग साथ। 68

इसके बाद बच्चे भावों को पढ़ते या लिखते हैं, उनके अर्थ ढूंढते हैं और स्वयं भाव बनाते हैं।

नए शब्दों में महारत हासिल करने से उन्हें अभिव्यक्तियों को नए तरीकों से पढ़ने की अनुमति मिलती है ( अभिव्यक्तियाँ लिखें, अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें, अभिव्यक्तियों की तुलना करेंआदि) द्वितीय श्रेणी पृष्ठ 58 क्रमांक 1,2, 6; पृष्ठ 69 क्रमांक 2.

जटिल अभिव्यक्तियों में, अभिव्यक्तियों को जोड़ने वाले क्रिया चिन्हों का दोहरा अर्थ होता है, जो छात्रों को पता चलता है।

परिचय................................................. ....... ................................................... ............... ....... 2

अध्याय I. प्राथमिक विद्यालय में बीजगणितीय सामग्री के अध्ययन के सामान्य सैद्धांतिक पहलू................................... ............... ................................... .................. .................. 7

1.1 प्राथमिक विद्यालय में बीजगणित तत्वों को शुरू करने का अनुभव..................................7

1.2 बीजगणितीय अवधारणाओं के परिचय के लिए मनोवैज्ञानिक आधार

प्राथमिक विद्यालय में............................................... .................................................. 12

1.3 बीजगणितीय अवधारणाओं की उत्पत्ति की समस्या और उसका महत्व

एक शैक्षिक विषय के निर्माण के लिए................................................... ............ .......20

2.1 प्राथमिक विद्यालय में आवश्यकताओं के परिप्रेक्ष्य से सीखना

हाई स्कूल................................................ ........ ....................................... 33

2.1 गणित पाठों में अवधारणाओं की तुलना (विपरीतता)...38

2.3 जोड़-घटाव, गुणा-भाग का संयुक्त अध्ययन 48

अध्याय III. रिल्स्क में माध्यमिक विद्यालय संख्या 4 के प्राथमिक ग्रेड में गणित के पाठों में बीजगणितीय सामग्री का अध्ययन करने का अभ्यास............................ ...................... ...55

3.1 नवीन प्रौद्योगिकियों (प्रौद्योगिकियों) के उपयोग का औचित्य

उपदेशात्मक इकाइयों का समेकन)...................................................... ...... ....... 55

3.2 ग्रेड I में बीजगणितीय अवधारणाओं से परिचित होने के अनुभव के बारे में... 61

3.3 पिंडों की गति से संबंधित समस्याओं को हल करना सीखना..................................72

निष्कर्ष................................................. .................................................. ...... .76

ग्रंथ सूची................................................. ............... ................................... 79

परिचय

सामान्य शिक्षा की किसी भी आधुनिक प्रणाली में, गणित केंद्रीय स्थानों में से एक है, जो निस्संदेह ज्ञान के इस क्षेत्र की विशिष्टता की बात करता है।

आधुनिक गणित क्या है? इसकी आवश्यकता क्यों है? ये और इसी तरह के प्रश्न अक्सर बच्चे शिक्षकों से पूछते हैं। और हर बार उत्तर बच्चे के विकास के स्तर और उसकी शैक्षिक आवश्यकताओं के आधार पर अलग होगा।

अक्सर कहा जाता है कि गणित आधुनिक विज्ञान की भाषा है। हालाँकि, इस कथन में एक महत्वपूर्ण दोष प्रतीत होता है। गणित की भाषा इतनी व्यापक और इतनी प्रभावी इसलिए है क्योंकि गणित को केवल इसी तक सीमित नहीं किया जा सकता है।

उत्कृष्ट रूसी गणितज्ञ ए.एन. कोलमोगोरोव ने लिखा: "गणित सिर्फ भाषाओं में से एक नहीं है। गणित भाषा और तर्क की तरह है। गणित कई लोगों की सटीक सोच के परिणामों को केंद्रित करता है।" एक तर्क को दूसरे से जोड़ें... प्रकृति की स्पष्ट जटिलताएँ इसके अजीब कानूनों और नियमों के साथ, जिनमें से प्रत्येक एक अलग बहुत विस्तृत व्याख्या की अनुमति देता है, वास्तव में निकटता से संबंधित हैं, हालांकि, यदि आप गणित का उपयोग नहीं करना चाहते हैं, तो तथ्यों की यह विशाल विविधता आप नहीं देख पाएंगे कि तर्क आपको एक से दूसरे की ओर बढ़ने की अनुमति देता है" (पृ. 44)।

इस प्रकार, गणित हमें अपने आस-पास की दुनिया का अध्ययन करने के लिए आवश्यक कुछ प्रकार की सोच बनाने की अनुमति देता है।

वर्तमान में, प्रकृति के बारे में हमारे ज्ञान की डिग्री और मनुष्य, उसके मानस और सोच प्रक्रियाओं के बारे में हमारी समझ के बीच असमानता तेजी से ध्यान देने योग्य होती जा रही है। डब्ल्यू. डब्ल्यू. सॉयर ने अपनी पुस्तक "प्रील्यूड टू मैथमेटिक्स" (पृष्ठ 7) में लिखा है: "हम छात्रों को कई प्रकार की समस्याओं को हल करना सिखा सकते हैं, लेकिन सच्ची संतुष्टि तभी मिलेगी जब हम अपने छात्रों को न केवल ज्ञान, बल्कि लचीलापन प्रदान करने में सक्षम होंगे।" मन की", जो उन्हें भविष्य में न केवल स्वतंत्र रूप से हल करने का अवसर देगा, बल्कि अपने लिए नए कार्य निर्धारित करने का भी अवसर देगा।

बेशक, यहां कुछ सीमाएं हैं जिन्हें नहीं भूलना चाहिए: बहुत कुछ जन्मजात क्षमताओं और प्रतिभा से निर्धारित होता है। हालाँकि, हम शिक्षा और पालन-पोषण के आधार पर कारकों के एक पूरे सेट को नोट कर सकते हैं। इससे सामान्य रूप से शिक्षा और विशेष रूप से गणित शिक्षा की विशाल अप्रयुक्त क्षमता का सही आकलन करना बेहद महत्वपूर्ण हो जाता है।

हाल के वर्षों में, इतिहास, भाषाविज्ञान, भाषाविज्ञान और मनोविज्ञान जैसे विज्ञानों में गणितीय तरीकों के प्रवेश की एक स्थिर प्रवृत्ति रही है। इसलिए, ऐसे लोगों का दायरा बढ़ रहा है जो अपनी भविष्य की व्यावसायिक गतिविधियों में गणित का उपयोग कर सकते हैं।

हमारी शिक्षा प्रणाली इस तरह से डिज़ाइन की गई है कि कई लोगों के लिए, स्कूल जीवन में गणितीय संस्कृति से जुड़ने और गणित में निहित मूल्यों में महारत हासिल करने का एकमात्र अवसर प्रदान करता है।

एक रचनात्मक व्यक्तित्व की शिक्षा पर सामान्य रूप से गणित और विशेष रूप से स्कूली गणित का क्या प्रभाव पड़ता है? गणित के पाठों में समस्याओं को हल करने की कला सिखाने से हमें छात्रों में एक निश्चित मानसिकता विकसित करने का अत्यंत अनुकूल अवसर मिलता है। अनुसंधान गतिविधियों की आवश्यकता पैटर्न में रुचि विकसित करती है और हमें मानव विचार की सुंदरता और सद्भाव को देखना सिखाती है। यह सब, हमारी राय में, सामान्य संस्कृति का सबसे महत्वपूर्ण तत्व है। गणित पाठ्यक्रम का सोच के विभिन्न रूपों के निर्माण पर महत्वपूर्ण प्रभाव पड़ता है: तार्किक, स्थानिक-ज्यामितीय, एल्गोरिथम। कोई भी रचनात्मक प्रक्रिया एक परिकल्पना के निर्माण से शुरू होती है। गणित, शिक्षा के उचित संगठन के साथ, परिकल्पनाओं के निर्माण और परीक्षण के लिए एक अच्छा विद्यालय होने के नाते, आपको विभिन्न परिकल्पनाओं की तुलना करना, सर्वोत्तम विकल्प ढूंढना, नई समस्याएं उत्पन्न करना और उन्हें हल करने के तरीकों की तलाश करना सिखाता है। अन्य बातों के अलावा, वह व्यवस्थित ढंग से काम करने की आदत भी विकसित करती है, जिसके बिना किसी भी रचनात्मक प्रक्रिया की कल्पना नहीं की जा सकती। मानव सोच की संभावनाओं को अधिकतम करके गणित उसकी सर्वोच्च उपलब्धि है। यह व्यक्ति को खुद को समझने और अपना चरित्र बनाने में मदद करता है।

यह उन कारणों की एक छोटी सूची है कि क्यों गणितीय ज्ञान सामान्य संस्कृति का एक अभिन्न अंग और बच्चे के पालन-पोषण और शिक्षा में एक अनिवार्य तत्व बनना चाहिए।

हमारे 10-वर्षीय स्कूल में गणित पाठ्यक्रम (ज्यामिति के बिना) वास्तव में तीन मुख्य भागों में विभाजित है: अंकगणित (कक्षा I - V), बीजगणित (कक्षा VI - VIII) और विश्लेषण के तत्व (कक्षा IX - X)। ऐसे विभाजन का आधार क्या है?

निःसंदेह, इनमें से प्रत्येक भाग की अपनी विशेष "प्रौद्योगिकी" है। इस प्रकार, अंकगणित में यह जुड़ा हुआ है, उदाहरण के लिए, बहु-अंकीय संख्याओं पर की गई गणनाओं के साथ, बीजगणित में - समान परिवर्तनों के साथ, लघुगणकीकरण के साथ, विश्लेषण में - विभेदन के साथ, आदि। लेकिन प्रत्येक भाग की वैचारिक सामग्री से जुड़े गहरे कारण क्या हैं?

अगला प्रश्न स्कूल अंकगणित और बीजगणित (अर्थात पाठ्यक्रम के पहले और दूसरे भाग) के बीच अंतर करने के आधार से संबंधित है। अंकगणित में प्राकृतिक संख्याओं (धनात्मक पूर्णांक) और भिन्नों (अभाज्य और दशमलव) का अध्ययन शामिल है। हालाँकि, एक विशेष विश्लेषण से पता चलता है कि इस प्रकार की संख्याओं को एक स्कूल विषय में जोड़ना गैरकानूनी है।

तथ्य यह है कि इन संख्याओं के अलग-अलग कार्य हैं: पहला वस्तुओं की गिनती से जुड़ा है, दूसरा मात्राओं को मापने से। यह परिस्थिति इस तथ्य को समझने के लिए बहुत महत्वपूर्ण है कि भिन्नात्मक (तर्कसंगत) संख्याएँ वास्तविक संख्याओं का केवल एक विशेष मामला है।

मात्राओं को मापने के दृष्टिकोण से, जैसा कि ए.एन. ने नोट किया है। कोलमोगोरोव के अनुसार, “परिमेय और अपरिमेय वास्तविक संख्याओं के बीच इतना गहरा अंतर नहीं है, शैक्षणिक कारणों से, वे तर्कसंगत संख्याओं पर लंबे समय तक टिके रहते हैं, क्योंकि उन्हें भिन्न के रूप में लिखना आसान होता है, हालांकि, जो उपयोग दिया जाता है; उन्हें शुरू से ही तुरंत अपनी संपूर्णता में वास्तविक संख्याओं तक ले जाना चाहिए" (), पृष्ठ 9)।

एक। कोलमोगोरोव ने गणित के विकास के इतिहास और संक्षेप में प्राकृतिक संख्याओं के बाद शिक्षण में सीधे वास्तविक संख्याओं की उत्पत्ति और तार्किक प्रकृति की ओर बढ़ने के ए. लेब्सग्यू के प्रस्ताव को उचित माना। उसी समय, जैसा कि ए.एन. ने उल्लेख किया है। कोलमोगोरोव के अनुसार, "मात्राओं को मापने के दृष्टिकोण से तर्कसंगत और वास्तविक संख्याओं के निर्माण का दृष्टिकोण किसी भी तरह से कम वैज्ञानिक नहीं है, उदाहरण के लिए, स्कूल के लिए "जोड़े" के रूप में तर्कसंगत संख्याओं की शुरूआत निस्संदेह है लाभ” (पृ. 10)।

इस प्रकार, प्राकृतिक (पूर्णांक) संख्याओं के आधार पर, तुरंत "संख्या की सबसे सामान्य अवधारणा" (ए. लेब्सग्यू की शब्दावली में), एक वास्तविक संख्या की अवधारणा बनाने की वास्तविक संभावना है। लेकिन कार्यक्रम निर्माण के दृष्टिकोण से, इसका स्कूली व्याख्या में अंश अंकगणित के उन्मूलन से अधिक या कम कुछ भी नहीं है। पूर्णांकों से वास्तविक संख्याओं में संक्रमण अंकगणित से "बीजगणित" तक, विश्लेषण के लिए एक आधार के निर्माण का संक्रमण है।

20 साल से भी पहले व्यक्त किए गए ये विचार आज भी प्रासंगिक हैं। क्या इस दिशा में प्राथमिक विद्यालय में गणित पढ़ाने की संरचना को बदलना संभव है? प्राथमिक गणित शिक्षण को "बीजगणित" करने के क्या फायदे और नुकसान हैं? इस कार्य का उद्देश्य पूछे गए प्रश्नों के उत्तर देने का प्रयास करना है।

इस लक्ष्य की प्राप्ति के लिए निम्नलिखित कार्यों को हल करने की आवश्यकता है:

प्राथमिक विद्यालय में परिमाण और संख्या की बीजीय अवधारणाओं को पेश करने के सामान्य सैद्धांतिक पहलुओं पर विचार। यह कार्य कार्य के पहले अध्याय में प्रस्तुत किया गया है;

प्राथमिक विद्यालय में इन अवधारणाओं को पढ़ाने के लिए विशिष्ट तरीकों का अध्ययन। यहां, विशेष रूप से, उपदेशात्मक इकाइयों के विस्तार के तथाकथित सिद्धांत (यूडीई) पर विचार करने का इरादा है, जिस पर नीचे चर्चा की जाएगी;

प्राथमिक विद्यालय में स्कूली गणित के पाठों में विचाराधीन प्रावधानों की व्यावहारिक प्रयोज्यता दिखाएं (पाठ लेखक द्वारा रिल्स्क में माध्यमिक विद्यालय संख्या 4 में पढ़ाया गया था)। कार्य का तीसरा अध्याय इसी को समर्पित है।

इस मुद्दे पर समर्पित ग्रंथ सूची के संबंध में, निम्नलिखित पर ध्यान दिया जा सकता है। इस तथ्य के बावजूद कि हाल ही में गणित में प्रकाशित पद्धति संबंधी साहित्य की कुल मात्रा बेहद कम है, काम लिखते समय जानकारी की कोई कमी नहीं थी। दरअसल, 1960 (जिस समय समस्या उत्पन्न हुई थी) से 1990 तक। हमारे देश में, प्राथमिक विद्यालयों के लिए गणित पाठ्यक्रमों में बीजगणितीय अवधारणाओं को पेश करने की समस्या पर किसी न किसी हद तक शैक्षिक, वैज्ञानिक और पद्धति संबंधी साहित्य की एक बड़ी मात्रा प्रकाशित हुई है। इसके अलावा, इन मुद्दों को नियमित रूप से विशेष पत्रिकाओं में शामिल किया जाता है। इस प्रकार, काम लिखते समय, "पेडागॉजी", "स्कूल में गणित पढ़ाना" और "प्राथमिक विद्यालय" पत्रिकाओं में प्रकाशनों का बड़े पैमाने पर उपयोग किया गया था।

अध्याय I. प्राथमिक विद्यालय में बीजगणितीय सामग्री के अध्ययन के सामान्य सैद्धांतिक पहलू 1.1 प्राथमिक विद्यालय में बीजगणित तत्वों को पेश करने का अनुभव

एक शैक्षणिक विषय की सामग्री, जैसा कि ज्ञात है, कई कारकों पर निर्भर करती है - छात्रों के ज्ञान पर जीवन की मांगों पर, प्रासंगिक विज्ञान के स्तर पर, बच्चों की मानसिक और शारीरिक आयु क्षमताओं पर, आदि। स्कूली बच्चों की सबसे प्रभावी शिक्षा और उनकी संज्ञानात्मक क्षमताओं के विस्तार के लिए इन कारकों पर सही विचार एक आवश्यक शर्त है। लेकिन कभी-कभी यह शर्त किसी न किसी कारण से पूरी नहीं हो पाती। इस मामले में, शिक्षण बच्चों के आवश्यक ज्ञान की सीमा के अधिग्रहण और उनकी बुद्धि के विकास दोनों के संदर्भ में वांछित प्रभाव नहीं देता है।

ऐसा लगता है कि वर्तमान में कुछ शैक्षणिक विषयों, विशेष रूप से गणित, के शिक्षण कार्यक्रम जीवन की नई आवश्यकताओं, आधुनिक विज्ञान के विकास के स्तर (उदाहरण के लिए, गणित) और विकासात्मक मनोविज्ञान और तर्क के नए डेटा के अनुरूप नहीं हैं। यह परिस्थिति शैक्षिक विषयों की नई सामग्री के लिए संभावित परियोजनाओं के व्यापक सैद्धांतिक और प्रयोगात्मक परीक्षण की आवश्यकता को निर्धारित करती है।

गणितीय ज्ञान की नींव प्राथमिक विद्यालय में रखी जाती है। लेकिन, दुर्भाग्य से, स्वयं गणितज्ञ और पद्धतिविज्ञानी और मनोवैज्ञानिक दोनों ही प्रारंभिक गणित की सामग्री पर बहुत कम ध्यान देते हैं। यह कहना पर्याप्त है कि प्राथमिक विद्यालय (कक्षा I - IV) में गणित का कार्यक्रम अपनी मुख्य विशेषताओं में 50 - 60 साल पहले बनाया गया था और स्वाभाविक रूप से उस समय के गणितीय, पद्धतिगत और मनोवैज्ञानिक विचारों की प्रणाली को दर्शाता है।

आइए प्राथमिक विद्यालय में गणित के राज्य मानक की विशिष्ट विशेषताओं पर विचार करें। इसकी मुख्य सामग्री पूर्णांक और उन पर संचालन है, जिसका एक निश्चित क्रम में अध्ययन किया जाता है। सबसे पहले 10 और 20 की सीमा में चार संक्रियाओं का अध्ययन किया जाता है, फिर 100 की सीमा में मौखिक गणना, 1000 की सीमा में मौखिक और लिखित गणना और अंत में लाखों और अरबों की सीमा में अध्ययन किया जाता है। ग्रेड IV में, डेटा और अंकगणितीय परिचालनों के परिणामों के साथ-साथ सरल अंशों के बीच कुछ संबंधों का अध्ययन किया जाता है। इसके साथ ही, कार्यक्रम में मीट्रिक माप और समय माप का अध्ययन, माप के लिए उनका उपयोग करने की क्षमता में महारत हासिल करना, दृश्य ज्यामिति के कुछ तत्वों का ज्ञान - एक आयत और वर्ग बनाना, खंडों को मापना, एक आयत और वर्ग के क्षेत्रों को मापना, गणना करना शामिल है। वॉल्यूम.

छात्रों को अर्जित ज्ञान और कौशल को समस्याओं को हल करने और सरल गणना करने में लागू करना चाहिए। पूरे पाठ्यक्रम के दौरान, संख्याओं और संक्रियाओं के अध्ययन के समानांतर समस्या समाधान किया जाता है - इसके लिए उपयुक्त समय का आधा हिस्सा आवंटित किया जाता है। समस्याओं को हल करने से छात्रों को क्रियाओं के विशिष्ट अर्थ को समझने, उनके अनुप्रयोग के विभिन्न मामलों को समझने, मात्राओं के बीच संबंध स्थापित करने और विश्लेषण और संश्लेषण के बुनियादी कौशल हासिल करने में मदद मिलती है। ग्रेड I से IV तक, बच्चे निम्नलिखित मुख्य प्रकार की समस्याओं (सरल और समग्र) को हल करते हैं: योग और शेष, उत्पाद और भागफल, दी गई संख्याओं को बढ़ाना और घटाना, अंतर और एकाधिक तुलना, सरल त्रिक नियम, आनुपातिक विभाजन, एक खोजना दो अंतरों से अज्ञात, अंकगणितीय माध्य की गणना और कुछ अन्य प्रकार की समस्याएं।

समस्याओं को हल करते समय बच्चों को विभिन्न प्रकार की मात्रा निर्भरता का सामना करना पड़ता है। लेकिन यह बहुत सामान्य बात है कि विद्यार्थियों को संख्याओं का अध्ययन करने के बाद और जैसे ही समस्याएँ शुरू होती हैं; हल करते समय मुख्य बात संख्यात्मक उत्तर ढूंढना है। बच्चों को विशिष्ट, विशिष्ट स्थितियों में मात्रात्मक संबंधों के गुणों की पहचान करने में बहुत कठिनाई होती है, जिन्हें आमतौर पर अंकगणितीय समस्याएं माना जाता है। अभ्यास से पता चलता है कि संख्याओं का हेरफेर अक्सर वास्तविक मात्राओं की निर्भरता के दृष्टिकोण से समस्या की स्थितियों के वास्तविक विश्लेषण को प्रतिस्थापित कर देता है। इसके अलावा, पाठ्यपुस्तकों में पेश की गई समस्याएं ऐसी प्रणाली का प्रतिनिधित्व नहीं करती हैं जिसमें अधिक "जटिल" स्थितियाँ मात्रात्मक संबंधों की "गहरी" परतों से जुड़ी होंगी। समान कठिनाई की समस्याएँ पाठ्यपुस्तक के आरंभ और अंत दोनों में पाई जा सकती हैं। वे कथानक की जटिलता (कार्यों की संख्या बढ़ जाती है), संख्याओं की श्रेणी (दस से एक अरब तक), भौतिक निर्भरता की जटिलता (वितरण समस्याओं से लेकर आंदोलन तक) के संदर्भ में अनुभाग से अनुभाग और वर्ग से वर्ग में भिन्न होते हैं। समस्याएं) और अन्य पैरामीटर। केवल एक पैरामीटर - गणितीय कानूनों की प्रणाली में गहराई से जाना - उनमें कमजोर और अस्पष्ट रूप से प्रकट होता है। इसलिए, किसी विशेष समस्या की गणितीय कठिनाई के लिए एक मानदंड स्थापित करना बहुत कठिन है। दो अंतरों से अज्ञात खोजने और अंकगणितीय माध्य (III ग्रेड) निकालने की समस्याएं अंतर और एकाधिक तुलना (II ग्रेड) की समस्याओं से अधिक कठिन क्यों हैं? कार्यप्रणाली इस प्रश्न का कोई ठोस और तार्किक उत्तर प्रदान नहीं करती है।

इस प्रकार, प्राथमिक विद्यालय के छात्रों को मात्राओं की निर्भरता के बारे में पर्याप्त, पूर्ण ज्ञान प्राप्त नहीं होता है सामान्य गुणएएच मात्राएँ न तो संख्या सिद्धांत के तत्वों का अध्ययन करते समय, क्योंकि स्कूली पाठ्यक्रम में वे मुख्य रूप से गणना की तकनीक से जुड़ी होती हैं, न ही समस्याओं को हल करते समय, क्योंकि बाद वाले के पास संबंधित रूप नहीं होता है और आवश्यक प्रणाली नहीं होती है। शिक्षण विधियों में सुधार के लिए पद्धतिविदों के प्रयास, हालांकि वे आंशिक सफलता की ओर ले जाते हैं, मामलों की सामान्य स्थिति को नहीं बदलते हैं, क्योंकि वे स्वीकृत सामग्री के ढांचे द्वारा पहले से ही सीमित हैं।

ऐसा लगता है कि अपनाए गए अंकगणितीय कार्यक्रम का आलोचनात्मक विश्लेषण निम्नलिखित प्रावधानों पर आधारित होना चाहिए:

संख्या की अवधारणा वस्तुओं की मात्रात्मक विशेषताओं की अवधारणा के समान नहीं है;

संख्या मात्रात्मक संबंधों को व्यक्त करने का मूल रूप नहीं है।

आइए हम इन प्रावधानों के लिए तर्क प्रदान करें।

यह सर्वविदित है कि आधुनिक गणित (विशेष रूप से, बीजगणित) मात्रात्मक संबंधों के उन पहलुओं का अध्ययन करता है जिनमें कोई संख्यात्मक कोश नहीं होता है। यह भी सर्वविदित है कि कुछ मात्रात्मक संबंध संख्याओं के बिना और संख्याओं से पहले काफी स्पष्ट होते हैं, उदाहरण के लिए, खंडों, आयतनों आदि में। (संबंध "अधिक", "कम", "बराबर")। आधुनिक मैनुअल में मूल सामान्य गणितीय अवधारणाओं की प्रस्तुति ऐसे प्रतीकवाद में की जाती है जो आवश्यक रूप से संख्याओं द्वारा वस्तुओं की अभिव्यक्ति का संकेत नहीं देती है। तो, ई.जी. की पुस्तक में। गोनिन के "सैद्धांतिक अंकगणित" में बुनियादी गणितीय वस्तुओं को शुरुआत से ही अक्षरों और विशेष संकेतों (, पृष्ठ 12 - 15) द्वारा निर्दिष्ट किया गया है। यह विशेषता है कि कुछ प्रकार की संख्याएँ और संख्यात्मक निर्भरताएँ केवल उदाहरणों, सेटों के गुणों के चित्रण के रूप में दी जाती हैं, न कि उनकी अभिव्यक्ति के एकमात्र संभावित और एकमात्र मौजूदा रूप के रूप में। इसके अलावा, यह उल्लेखनीय है कि व्यक्तिगत गणितीय परिभाषाओं के कई उदाहरण खंडों और क्षेत्रों के अनुपात के माध्यम से ग्राफिकल रूप में दिए गए हैं (पृ. 14-19)। संख्यात्मक प्रणालियों को शामिल किए बिना सेट और मात्राओं के सभी बुनियादी गुणों का अनुमान लगाया और उचित ठहराया जा सकता है; इसके अलावा, उत्तरार्द्ध स्वयं सामान्य गणितीय अवधारणाओं के आधार पर औचित्य प्राप्त करते हैं।

बदले में, मनोवैज्ञानिकों और शिक्षकों की कई टिप्पणियों से पता चलता है कि बच्चों में मात्रात्मक विचार संख्याओं के बारे में ज्ञान और उन्हें संचालित करने के तरीके के बारे में ज्ञान प्राप्त करने से बहुत पहले ही पैदा हो जाते हैं। सच है, इन विचारों को "पूर्व-गणितीय संरचनाओं" के रूप में वर्गीकृत करने की प्रवृत्ति है (जो पारंपरिक तरीकों के लिए काफी स्वाभाविक है जो किसी संख्या के साथ किसी वस्तु की मात्रात्मक विशेषताओं की पहचान करते हैं), लेकिन इससे बच्चे के सामान्य में उनके आवश्यक कार्य में कोई बदलाव नहीं आता है। चीजों के गुणों में अभिविन्यास। और कभी-कभी ऐसा होता है कि इन कथित "पूर्व-गणितीय संरचनाओं" की गहराई कंप्यूटर प्रौद्योगिकी की जटिलताओं के ज्ञान और विशुद्ध रूप से संख्यात्मक निर्भरता खोजने की क्षमता की तुलना में बच्चे की अपनी गणितीय सोच के विकास के लिए अधिक महत्वपूर्ण है। उल्लेखनीय है कि शिक्षाविद् मो एक। कोलमोगोरोव, गणितीय रचनात्मकता की विशेषताओं का वर्णन करते हुए, विशेष रूप से निम्नलिखित परिस्थिति पर ध्यान देते हैं: "अधिकांश गणितीय खोजों का आधार कुछ सरल विचार है: एक दृश्य ज्यामितीय निर्माण, एक नई प्राथमिक असमानता, आदि। इस सरल विचार को ठीक से लागू करना आवश्यक है समस्या का समाधान जो पहली नज़र में दुर्गम लगता है" (, पृष्ठ 17)।

वर्तमान में, एक नए कार्यक्रम की संरचना और निर्माण के तरीकों के संबंध में विभिन्न प्रकार के विचार उपयुक्त हैं। इसके निर्माण कार्य में गणितज्ञों, मनोवैज्ञानिकों, तर्कशास्त्रियों और पद्धतिविदों को शामिल करना आवश्यक है। लेकिन इसके सभी विशिष्ट प्रकारों में, ऐसा लगता है कि इसे निम्नलिखित बुनियादी आवश्यकताओं को पूरा करना होगा:

प्राथमिक और माध्यमिक विद्यालयों में गणित की सामग्री के बीच मौजूदा अंतर को दूर करना;

वस्तुनिष्ठ जगत के मात्रात्मक संबंधों के बुनियादी नियमों के बारे में ज्ञान की एक प्रणाली प्रदान करना; इस मामले में, संख्याओं के गुण, मात्रा को व्यक्त करने के एक विशेष रूप के रूप में, एक विशेष बनना चाहिए, लेकिन कार्यक्रम का मुख्य भाग नहीं;

बच्चों में गणितीय सोच के तरीकों को विकसित करें, न कि केवल गणना कौशल: इसमें वास्तविक मात्राओं की निर्भरता के क्षेत्र में गहराई से जाने के आधार पर समस्याओं की एक प्रणाली का निर्माण शामिल है (भौतिकी, रसायन विज्ञान, जीव विज्ञान और विशिष्ट अध्ययन करने वाले अन्य विज्ञानों के साथ गणित का संबंध) मात्रा);

सभी गणना तकनीकों को निर्णायक रूप से सरल बनाएं, उस कार्य को कम करें जो उपयुक्त तालिकाओं, संदर्भ पुस्तकों और अन्य सहायक (विशेष रूप से, इलेक्ट्रॉनिक) साधनों के बिना नहीं किया जा सकता है।

इन आवश्यकताओं का अर्थ स्पष्ट है: प्राथमिक विद्यालय में गणित को मात्रात्मक संबंधों के नियमों, मात्राओं की निर्भरता के विज्ञान के रूप में पढ़ाना काफी संभव है; कंप्यूटिंग तकनीक और संख्या सिद्धांत के तत्व कार्यक्रम का एक विशेष और निजी खंड बनना चाहिए।

1960 के दशक के उत्तरार्ध से गणित में एक नए कार्यक्रम के निर्माण और उसके प्रायोगिक परीक्षण का अनुभव, अब हमें पहली कक्षा से शुरू होने वाले स्कूल में एक व्यवस्थित गणित पाठ्यक्रम शुरू करने की संभावना के बारे में बात करने की अनुमति देता है, जो मात्रात्मक संबंधों और निर्भरता के बारे में ज्ञान प्रदान करता है। बीजगणितीय रूप में मात्राओं का.

1.2 प्राथमिक विद्यालय में बीजगणितीय अवधारणाओं की शुरूआत के लिए मनोवैज्ञानिक नींव

हाल ही में, कार्यक्रमों का आधुनिकीकरण करते समय, स्कूल पाठ्यक्रम के लिए एक सेट-सैद्धांतिक नींव रखने को विशेष महत्व दिया गया है (यह प्रवृत्ति यहां और विदेश दोनों में स्पष्ट रूप से प्रकट होती है)। शिक्षण में इस प्रवृत्ति का कार्यान्वयन (विशेष रूप से प्राथमिक ग्रेड में, जैसा कि देखा गया है, उदाहरण के लिए, एक अमेरिकी स्कूल में) अनिवार्य रूप से बच्चों और शैक्षिक मनोविज्ञान और उपदेशों के लिए कई कठिन प्रश्न खड़े करेगा, क्योंकि अब लगभग कोई भी अध्ययन खुलासा नहीं कर रहा है सेट की अवधारणा के अर्थ को बच्चे द्वारा आत्मसात करने की विशेषताएं (गिनती और संख्या के अधिग्रहण से भिन्न, जिसका बहुत व्यापक अध्ययन किया गया है)।

हाल के वर्षों में तार्किक और मनोवैज्ञानिक शोध (विशेषकर जे. पियागेट के काम) ने बच्चों की सोच के कुछ "तंत्र" और सामान्य गणितीय अवधारणाओं के बीच संबंध का खुलासा किया है। नीचे हम विशेष रूप से इस संबंध की विशेषताओं और एक शैक्षणिक विषय के रूप में गणित के निर्माण के लिए उनके महत्व पर चर्चा करते हैं (हम मामले के सैद्धांतिक पक्ष के बारे में बात करेंगे, न कि कार्यक्रम के किसी विशेष संस्करण के बारे में)।

गणित के पूरे इतिहास में प्राकृतिक संख्या एक मौलिक अवधारणा रही है; यह उत्पादन, प्रौद्योगिकी और रोजमर्रा की जिंदगी के सभी क्षेत्रों में बहुत महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। यह सैद्धांतिक गणितज्ञों को गणित की अन्य अवधारणाओं के बीच इसे एक विशेष स्थान देने की अनुमति देता है। विभिन्न रूपों में, यह कथन दिया जाता है कि प्राकृतिक संख्या की अवधारणा गणितीय अमूर्तता का प्रारंभिक चरण है, कि यह अधिकांश गणितीय विषयों के निर्माण का आधार है।

एक शैक्षणिक विषय के रूप में गणित के प्रारंभिक तत्वों का चुनाव अनिवार्य रूप से इन सामान्य प्रावधानों को लागू करता है। यह माना जाता है कि, संख्याओं से परिचित होने के साथ-साथ, बच्चा अपने लिए मात्रात्मक संबंधों की प्रारंभिक विशेषताओं की खोज करता है। गिनती और संख्या स्कूल में गणित की बाद की सभी शिक्षाओं का आधार हैं।

हालाँकि, यह मानने का कारण है कि ये प्रावधान, संख्या के विशेष और मौलिक अर्थ को सही ढंग से उजागर करते हुए, साथ ही अन्य गणितीय अवधारणाओं के साथ इसके संबंध को अपर्याप्त रूप से व्यक्त करते हैं, और गणित में महारत हासिल करने की प्रक्रिया में संख्या की जगह और भूमिका का गलत आकलन करते हैं। . इस परिस्थिति के कारण, विशेष रूप से, गणित में अपनाए गए कार्यक्रमों, विधियों और पाठ्यपुस्तकों की कुछ महत्वपूर्ण कमियाँ उत्पन्न होती हैं। अन्य अवधारणाओं के साथ संख्या की अवधारणा के वास्तविक संबंध पर विशेष रूप से विचार करना आवश्यक है।

कई सामान्य गणितीय अवधारणाओं, और विशेष रूप से तुल्यता संबंधों और क्रम की अवधारणाओं को संख्यात्मक रूप की परवाह किए बिना गणित में व्यवस्थित रूप से माना जाता है। ये अवधारणाएँ अपना स्वतंत्र चरित्र नहीं खोती हैं; उनके आधार पर, किसी विशेष विषय का वर्णन और अध्ययन करना संभव है - विभिन्न संख्यात्मक प्रणालियाँ, जिनकी अवधारणाएँ स्वयं मूल परिभाषाओं के अर्थ और अर्थ को कवर नहीं करती हैं। इसके अलावा, गणितीय विज्ञान के इतिहास में, सामान्य अवधारणाएँ इस हद तक सटीक रूप से विकसित हुईं कि "बीजगणितीय संचालन", जिसका एक प्रसिद्ध उदाहरण अंकगणित के चार संचालन हैं, पूरी तरह से गैर-संख्यात्मक प्रकृति के तत्वों पर लागू होने लगे।

हाल ही में, शिक्षण में बच्चे को गणित से परिचित कराने के चरण का विस्तार करने का प्रयास किया गया है। यह प्रवृत्ति कार्यप्रणाली नियमावली के साथ-साथ कुछ प्रयोगात्मक पाठ्यपुस्तकों में भी अभिव्यक्त होती है। इस प्रकार, 6-7 साल के बच्चों को पढ़ाने के लिए बनाई गई एक अमेरिकी पाठ्यपुस्तक में, पहले पन्नों पर कार्य और अभ्यास पेश किए गए हैं जो विशेष रूप से बच्चों को विषय समूहों की पहचान स्थापित करने में प्रशिक्षित करते हैं। बच्चों को सेटों को जोड़ने की तकनीक दिखाई जाती है, और संबंधित गणितीय प्रतीकवाद से परिचित कराया जाता है। संख्याओं के साथ काम करना सेट के बारे में बुनियादी ज्ञान पर आधारित है।

इस प्रवृत्ति को लागू करने के विशिष्ट प्रयासों की सामग्री का अलग-अलग मूल्यांकन किया जा सकता है, लेकिन हमारी राय में, यह स्वयं काफी वैध और आशाजनक है।

पहली नज़र में, "रवैया", "संरचना", "रचना के नियम" आदि की अवधारणाएँ, जिनकी जटिल गणितीय परिभाषाएँ हैं, छोटे बच्चों में गणितीय अवधारणाओं के निर्माण से जुड़ी नहीं हो सकती हैं। बेशक, इन अवधारणाओं का संपूर्ण सच्चा और अमूर्त अर्थ और एक विज्ञान के रूप में गणित की स्वयंसिद्ध संरचना में उनका स्थान एक ऐसे व्यक्ति के लिए आत्मसात करने की वस्तु है जो पहले से ही गणित में अच्छी तरह से विकसित और "प्रशिक्षित" है। हालाँकि, इन अवधारणाओं द्वारा तय की गई चीजों के कुछ गुण, किसी न किसी तरह, बच्चे को अपेक्षाकृत जल्दी दिखाई देते हैं: इसके लिए विशिष्ट मनोवैज्ञानिक प्रमाण हैं।

सबसे पहले, यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि जन्म के क्षण से लेकर 7-10 वर्ष तक, एक बच्चा अपने आस-पास की दुनिया के बारे में सामान्य विचारों की जटिल प्रणाली विकसित करता है और सार्थक और वस्तुनिष्ठ सोच की नींव रखता है। इसके अलावा, अपेक्षाकृत संकीर्ण अनुभवजन्य सामग्री के आधार पर, बच्चे चीजों की अनुपात-अस्थायी और कारण-और-प्रभाव निर्भरता में अभिविन्यास के सामान्य पैटर्न की पहचान करते हैं। ये चित्र "समन्वय प्रणाली" के लिए एक प्रकार की रूपरेखा के रूप में काम करते हैं जिसके भीतर बच्चा विविध दुनिया के विभिन्न गुणों में तेजी से महारत हासिल करना शुरू कर देता है। निःसंदेह, इन सामान्य पैटर्न को बहुत कम महसूस किया जाता है और कुछ हद तक बच्चे द्वारा स्वयं एक अमूर्त निर्णय के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। वे, लाक्षणिक रूप से बोलते हुए, बच्चे के व्यवहार को व्यवस्थित करने का एक सहज रूप हैं (हालांकि, निश्चित रूप से, वे तेजी से निर्णयों में परिलक्षित होते हैं)।

हाल के दशकों में, बच्चों की बुद्धि के गठन और वास्तविकता, समय और स्थान के बारे में उनके सामान्य विचारों के उद्भव के मुद्दों का प्रसिद्ध स्विस मनोवैज्ञानिक जे. पियागेट और उनके सहयोगियों द्वारा विशेष रूप से गहन अध्ययन किया गया है। उनके कुछ कार्य सीधे तौर पर बच्चे की गणितीय सोच को विकसित करने की समस्याओं से संबंधित हैं, और इसलिए हमारे लिए पाठ्यक्रम डिजाइन के मुद्दों के संबंध में उन पर विचार करना महत्वपूर्ण है।

अपनी नवीनतम पुस्तकों में से एक () में, जे. पियागेट वर्गीकरण और क्रमबद्धता जैसी प्राथमिक तार्किक संरचनाओं के बच्चों (12-14 वर्ष तक) में उत्पत्ति और गठन पर प्रयोगात्मक डेटा प्रदान करता है। वर्गीकरण में एक समावेशन ऑपरेशन (उदाहरण के लिए, ए + ए" = बी) और इसका उलटा ऑपरेशन (बी - ए" = ए) करना शामिल है। क्रमबद्धता वस्तुओं को व्यवस्थित पंक्तियों में व्यवस्थित करना है (उदाहरण के लिए, विभिन्न लंबाई की छड़ियों को एक पंक्ति में व्यवस्थित किया जा सकता है, जिनमें से प्रत्येक सदस्य पिछले सभी से बड़ा और बाद के सभी से छोटा होता है)।

वर्गीकरण के गठन का विश्लेषण करते हुए, जे. पियागेट दिखाते हैं कि कैसे अपने प्रारंभिक रूप से, केवल वस्तुओं की स्थानिक निकटता के आधार पर "आलंकारिक समुच्चय" के निर्माण से, बच्चे समानता के संबंध ("गैर-") के आधार पर वर्गीकरण की ओर बढ़ते हैं आलंकारिक समुच्चय"), और फिर वर्गीकरण के लिए ही जटिल रूप - अवधारणा की मात्रा और सामग्री के बीच संबंध द्वारा निर्धारित वर्गों का समावेश। लेखक विशेष रूप से न केवल एक के अनुसार, बल्कि दो या तीन मानदंडों के अनुसार वर्गीकरण बनाने और नए तत्वों को जोड़ते समय बच्चों में वर्गीकरण के आधार को बदलने की क्षमता विकसित करने के मुद्दे पर विचार करता है। लेखक श्रृंखला निर्माण की प्रक्रिया में समान चरण पाते हैं।

इन अध्ययनों ने एक बहुत ही विशिष्ट लक्ष्य का पीछा किया - मन की संचालक संरचनाओं के गठन के पैटर्न की पहचान करना और, सबसे पहले, उनकी ऐसी संवैधानिक संपत्ति जैसे कि प्रतिवर्तीता, यानी। मन की आगे और पीछे जाने की क्षमता। उत्क्रमण तब होता है जब "संचालन और क्रियाएं दो दिशाओं में प्रकट हो सकती हैं, और इन दिशाओं में से एक की समझ वास्तव में [तथ्य के आधार पर] दूसरे की समझ का कारण बनती है" (, पृष्ठ 15)।

जे. पियाजे के अनुसार, उत्क्रमणीयता, मन में निहित रचना के मौलिक नियम का प्रतिनिधित्व करती है। इसके दो पूरक और अपरिवर्तनीय रूप हैं: उत्क्रमण (उलटा या निषेध) और पारस्परिकता। उत्क्रमण तब होता है, उदाहरण के लिए, उस स्थिति में जब ए से बी तक किसी वस्तु की स्थानिक गति को वस्तु को बी से ए में वापस स्थानांतरित करके रद्द किया जा सकता है, जो अंततः शून्य परिवर्तन (एक ऑपरेशन का उत्पाद और इसका व्युत्क्रम) के बराबर है एक समान ऑपरेशन है, या शून्य परिवर्तन)।

पारस्परिकता (या मुआवज़ा) में वह मामला शामिल होता है जब, उदाहरण के लिए, जब किसी वस्तु को ए से बी की ओर ले जाया जाता है, तो वस्तु बी में रहती है, लेकिन बच्चा स्वयं ए से बी की ओर बढ़ता है और प्रारंभिक स्थिति को पुन: उत्पन्न करता है जब वस्तु उसके शरीर के खिलाफ होती है . यहां वस्तु की गति को रद्द नहीं किया गया था, बल्कि इसकी भरपाई स्वयं के शरीर की संबंधित गति से की गई थी - और यह परिसंचरण की तुलना में परिवर्तन का एक अलग रूप है (, पृष्ठ 16)।

अपने कार्यों में, जे. पियागेट ने दिखाया कि ये परिवर्तन सबसे पहले सेंसरिमोटर सर्किट (10 से 12 महीने तक) के रूप में दिखाई देते हैं। संवेदी-मोटर सर्किट, कार्यात्मक प्रतीकवाद और भाषाई प्रदर्शन का क्रमिक समन्वय इस तथ्य की ओर ले जाता है कि कई चरणों के माध्यम से, परिसंचरण और पारस्परिकता बौद्धिक क्रियाओं (संचालन) के गुण बन जाते हैं और एक एकल ऑपरेटर संरचना में संश्लेषित होते हैं (7 से अवधि में) से 11 और 12 से 15 वर्ष तक) . अब बच्चा एक साथ दो संदर्भ प्रणालियों के अनुसार सभी गतिविधियों का समन्वय कर सकता है - एक मोबाइल, दूसरा स्थिर।

जे. पियागेट का मानना ​​है कि बच्चे के दिमाग में अंकगणित और ज्यामितीय संचालन के विकास में मनोवैज्ञानिक अनुसंधान (विशेष रूप से उन तार्किक संचालन जो उनमें पूर्व शर्त रखते हैं) बीजगणितीय संरचनाओं, आदेश संरचनाओं और टोपोलॉजिकल के साथ सोच के ऑपरेटर संरचनाओं को सटीक रूप से सहसंबंधित करना संभव बनाता है वाले (पृ. 13). इस प्रकार, बीजगणितीय संरचना ("समूह") मन के ऑपरेटर तंत्र से मेल खाती है, जो प्रतिवर्तीता के रूपों में से एक के अधीन है - व्युत्क्रम (नकार)। एक समूह में चार प्राथमिक गुण होते हैं: एक समूह के दो तत्वों का उत्पाद भी समूह का एक तत्व देता है; एक प्रत्यक्ष संक्रिया एक और केवल एक व्युत्क्रम संक्रिया से मेल खाती है; एक पहचान ऑपरेशन है; क्रमिक रचनाएँ साहचर्यात्मक होती हैं। बौद्धिक क्रियाओं की भाषा में इसका अर्थ है:

कार्रवाई की दो प्रणालियों का समन्वय पिछले वाले से जुड़ी एक नई योजना का गठन करता है;

ऑपरेशन दो दिशाओं में विकसित हो सकता है;

जब हम प्रारंभिक बिंदु पर लौटते हैं तो हम इसे अपरिवर्तित पाते हैं;

एक ही बिंदु तक विभिन्न तरीकों से पहुंचा जा सकता है, और बिंदु स्वयं अपरिवर्तित रहता है।

एक बच्चे के "स्वतंत्र" विकास के तथ्य (यानी, स्कूली शिक्षा के प्रत्यक्ष प्रभाव से स्वतंत्र विकास) एक बच्चे में ज्यामिति के चरणों के क्रम और ज्यामितीय अवधारणाओं के गठन के चरणों के बीच एक विसंगति दिखाते हैं। उत्तरार्द्ध मुख्य समूहों के उत्तराधिकार के क्रम का अनुमान लगाता है, जहां टोपोलॉजी पहले आती है। जे. पियागेट के अनुसार, एक बच्चा पहले टोपोलॉजिकल अंतर्ज्ञान विकसित करता है, और फिर वह खुद को प्रोजेक्टिव और मीट्रिक संरचनाओं की दिशा में उन्मुख करता है। इसलिए, विशेष रूप से, जैसा कि जे. पियागेट ने नोट किया है, ड्राइंग के पहले प्रयासों के दौरान, बच्चा वर्गों, वृत्तों, त्रिकोणों और अन्य मीट्रिक आंकड़ों के बीच अंतर नहीं करता है, लेकिन खुले और बंद आंकड़ों, "बाहर" या "अंदर" की स्थिति को पूरी तरह से अलग करता है। ” सीमा, विभाजन और निकटता के संबंध में (फिलहाल दूरियों में अंतर किए बिना), आदि। (, पृ. 23)।

आइए पाठ्यक्रम निर्माण के मुद्दों के संबंध में जे. पियाजे द्वारा तैयार किए गए मुख्य प्रावधानों पर विचार करें। सबसे पहले, जे. पियागेट के शोध से पता चलता है कि पूर्वस्कूली और स्कूली बचपन के दौरान, एक बच्चा सोच की ऐसी संचालक संरचना विकसित करता है जो उसे वस्तुओं के वर्गों और उनके संबंधों की मूलभूत विशेषताओं का मूल्यांकन करने की अनुमति देता है। इसके अलावा, पहले से ही विशिष्ट संचालन के चरण में (7 से 8 वर्ष की आयु तक), बच्चे की बुद्धि प्रतिवर्तीता की संपत्ति प्राप्त कर लेती है, जो विशेष रूप से गणित में शैक्षिक विषयों की सैद्धांतिक सामग्री को समझने के लिए बेहद महत्वपूर्ण है।

इन आंकड़ों से संकेत मिलता है कि पारंपरिक मनोविज्ञान और शिक्षाशास्त्र ने बच्चे के मानसिक विकास के उन चरणों की जटिल और व्यापक प्रकृति को पर्याप्त रूप से ध्यान में नहीं रखा है जो 2 से 7 और 7 से 11 वर्ष की अवधि से जुड़े हैं।

जे. पियागेट द्वारा प्राप्त परिणामों पर विचार करने से हमें गणित पाठ्यक्रम के डिजाइन के संबंध में कई महत्वपूर्ण निष्कर्ष निकालने की अनुमति मिलती है। सबसे पहले, 2 से 11 वर्ष की आयु के बच्चे की बुद्धि के निर्माण पर तथ्यात्मक आंकड़े बताते हैं कि इस समय "संबंध - संरचना" की गणितीय अवधारणाओं के माध्यम से वर्णित वस्तुओं के गुण न केवल उसके लिए "विदेशी" नहीं हैं, बल्कि उत्तरार्द्ध स्वयं बच्चे की सोच में स्वाभाविक रूप से प्रवेश करते हैं।

पारंपरिक कार्यक्रम इस पर ध्यान नहीं देते। इसलिए, उन्हें बच्चे के बौद्धिक विकास की प्रक्रिया में छिपे कई अवसरों का एहसास नहीं होता है।

आधुनिक बाल मनोविज्ञान में उपलब्ध सामग्रियां हमें एक शैक्षिक विषय के निर्माण के सामान्य विचार का सकारात्मक मूल्यांकन करने की अनुमति देती हैं जो प्रारंभिक गणितीय संरचनाओं की अवधारणाओं पर आधारित होगा। बेशक, इस रास्ते पर बड़ी कठिनाइयाँ आती हैं, क्योंकि इस तरह के शैक्षिक विषय के निर्माण में अभी तक कोई अनुभव नहीं है। विशेष रूप से, उनमें से एक आयु "सीमा" निर्धारित करने से संबंधित है जिससे नए कार्यक्रम के तहत प्रशिक्षण संभव है। यदि हम जे. पियागेट के तर्क का पालन करें, तो, जाहिरा तौर पर, इन कार्यक्रमों को केवल तभी सिखाया जा सकता है जब बच्चों ने पहले से ही पूरी तरह से ऑपरेटर संरचनाएं (14 से 15 साल की उम्र तक) बनाई हों। लेकिन अगर हम यह मान लें कि बच्चे की वास्तविक गणितीय सोच ठीक उसी प्रक्रिया के भीतर बनती है जिसे जे. पियागेट ने फोल्डिंग ऑपरेटर संरचनाओं की प्रक्रिया के रूप में नामित किया है, तो इन कार्यक्रमों को बहुत पहले पेश किया जा सकता है (उदाहरण के लिए, 7 से 8 साल की उम्र में) , जब बच्चे उच्चतम स्तर की उत्क्रमणीयता के साथ विशिष्ट संचालन करना शुरू करते हैं। "प्राकृतिक" परिस्थितियों में, पारंपरिक कार्यक्रमों के अनुसार अध्ययन करते समय, औपचारिक संचालन केवल 13-15 वर्ष की आयु तक ही हो सकता है। लेकिन क्या ऐसी शैक्षिक सामग्री को पहले से पेश करके उनके गठन में "तेजी" लाना संभव नहीं है, जिसके आत्मसात करने के लिए गणितीय संरचनाओं के प्रत्यक्ष विश्लेषण की आवश्यकता होती है?

ऐसा लगता है कि ऐसी संभावनाएं मौजूद हैं. 7-8 वर्ष की आयु तक, बच्चों ने पहले से ही मानसिक कार्यों के लिए एक योजना पर्याप्त रूप से विकसित कर ली है, और एक उपयुक्त कार्यक्रम में प्रशिक्षण द्वारा, जिसमें गणितीय संरचनाओं के गुणों को "स्पष्ट रूप से" दिया जाता है और बच्चों को उनका विश्लेषण करने के साधन दिए जाते हैं, यह इन संपत्तियों की "स्वतंत्र" खोज के दौरान जिस समय सीमा में यह किया जाता है, उसकी तुलना में बच्चों को "औपचारिक" संचालन के स्तर पर जल्दी लाना संभव है।

निम्नलिखित परिस्थिति को ध्यान में रखना महत्वपूर्ण है। यह विश्वास करने का कारण है कि विशिष्ट संचालन के स्तर पर सोच की विशिष्टताएं, जे. पियागेट द्वारा 7-11 वर्ष की आयु में दिनांकित, स्वयं पारंपरिक प्राथमिक विद्यालय की विशेषता सीखने के संगठन के रूपों के साथ अटूट रूप से जुड़ी हुई हैं। यह प्रशिक्षण (यहां और विदेश दोनों में) अत्यंत अनुभवजन्य सामग्री के आधार पर आयोजित किया जाता है, जो अक्सर वस्तु के प्रति वैचारिक (सैद्धांतिक) दृष्टिकोण से बिल्कुल भी जुड़ा नहीं होता है। इस तरह का प्रशिक्षण बच्चों की सोच को समर्थन और मजबूत करता है, जो बाहरी, प्रत्यक्ष धारणा, चीजों के बोधगम्य संकेतों पर आधारित होती है।

इस प्रकार, वर्तमान में, बच्चों की सोच की संरचनाओं और सामान्य बीजगणितीय संरचनाओं के बीच घनिष्ठ संबंध दिखाने वाले तथ्यात्मक डेटा मौजूद हैं, हालांकि इस संबंध का "तंत्र" स्पष्ट और लगभग अज्ञात है। इस संबंध की उपस्थिति एक शैक्षिक विषय के निर्माण के लिए मूलभूत संभावनाओं (अभी केवल संभावनाओं!) को खोलती है जो "सरल संरचनाओं से उनके जटिल संयोजनों तक" योजना के अनुसार विकसित होती है। इन संभावनाओं की प्राप्ति के लिए शर्तों में से एक मध्यस्थता सोच और उसके आयु मानकों में संक्रमण का अध्ययन है। गणित को एक शैक्षणिक विषय के रूप में बनाने की यह पद्धति बच्चों में ऐसी सोच विकसित करने के लिए एक शक्तिशाली लीवर हो सकती है जो काफी मजबूत वैचारिक आधार पर आधारित है।

1.3 बीजगणितीय अवधारणाओं की उत्पत्ति की समस्या और एक शैक्षिक विषय के निर्माण के लिए इसका महत्व

स्कूली गणित पाठ्यक्रम का बीजगणित और अंकगणित में विभाजन निस्संदेह सशर्त है। एक से दूसरे में संक्रमण धीरे-धीरे होता है। स्कूल अभ्यास में, इस परिवर्तन का अर्थ इस तथ्य से छिपा हुआ है कि अंशों का अध्ययन वास्तव में मात्राओं को मापने के लिए व्यापक समर्थन के बिना होता है - अंशों को संख्याओं के जोड़े के अनुपात के रूप में दिया जाता है (हालांकि औपचारिक रूप से मात्राओं को मापने के महत्व को पद्धति संबंधी मैनुअल में मान्यता दी जाती है) ). मात्राओं की माप के आधार पर भिन्नात्मक संख्याओं का व्यापक परिचय अनिवार्य रूप से एक वास्तविक संख्या की अवधारणा की ओर ले जाता है। लेकिन उत्तरार्द्ध आमतौर पर नहीं होता है, क्योंकि छात्रों को लंबे समय तक तर्कसंगत संख्याओं के साथ काम करना पड़ता है, और इस तरह "बीजगणित" में उनके संक्रमण में देरी होती है।

दूसरे शब्दों में, स्कूल बीजगणित ठीक उसी समय शुरू होता है जब माप के परिणाम को अंश (सरल और दशमलव - परिमित, और फिर अनंत) के रूप में व्यक्त करने के लिए पूर्णांक से वास्तविक संख्याओं में संक्रमण के लिए स्थितियां बनाई जाती हैं।

इसके अलावा, प्रारंभिक बिंदु माप संचालन से परिचित होना, परिमित दशमलव अंश प्राप्त करना और उन पर काम करना सीखना हो सकता है। यदि छात्र माप के परिणाम लिखने के इस रूप को पहले से ही जानते हैं, तो यह इस विचार को "त्यागने" के लिए एक शर्त के रूप में कार्य करता है कि एक संख्या को अनंत अंश के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है। और यह सलाह दी जाती है कि प्राथमिक विद्यालय के भीतर ही यह शर्त पहले से ही बना ली जाए।

यदि भिन्नात्मक (तर्कसंगत) संख्या की अवधारणा को स्कूल अंकगणित के दायरे से हटा दिया जाता है, तो इसके और "बीजगणित" के बीच की सीमा पूर्णांक और वास्तविक संख्याओं के बीच अंतर की रेखा के साथ गुजर जाएगी। यह वह है जो गणित पाठ्यक्रम को दो भागों में "काटता" है। यह कोई साधारण अंतर नहीं है, बल्कि स्रोतों का एक मौलिक "द्वैतवाद" है - गिनती और माप।

"संख्या की सामान्य अवधारणा" के संबंध में लेबेस्ग के विचारों का पालन करते हुए, गणित के शिक्षण में पूर्ण एकता सुनिश्चित करना संभव है, लेकिन केवल उसी क्षण से और बच्चों को गिनती और पूर्णांक (प्राकृतिक) संख्याओं से परिचित कराने के बाद ही। बेशक, इस प्रारंभिक परिचय का समय अलग हो सकता है (प्राथमिक विद्यालयों के लिए पारंपरिक कार्यक्रमों में उन्हें स्पष्ट रूप से विलंबित किया जाता है); व्यावहारिक माप के तत्वों को प्रारंभिक अंकगणित के पाठ्यक्रम में भी पेश किया जा सकता है (जो कार्यक्रम में होता है) - हालाँकि, यह सब शैक्षिक विषयों के रूप में अंकगणित और "बीजगणित" की नींव में अंतर को समाप्त नहीं करता है। प्रारंभिक बिंदुओं का "द्वैतवाद" मात्राओं के मापन और वास्तविक भिन्नों में संक्रमण से संबंधित अनुभागों को अंकगणितीय पाठ्यक्रम में वास्तव में "जड़ लेने" से रोकता है। कार्यक्रमों के लेखक और पद्धतिविज्ञानी एक स्कूली विषय के रूप में अंकगणित की स्थिरता और "शुद्धता" बनाए रखने का प्रयास करते हैं। सूत्रों में यह अंतर गणित को योजना के अनुसार पढ़ाने का मुख्य कारण है - पहले अंकगणित (पूर्णांक), फिर "बीजगणित" (वास्तविक संख्या)।

यह योजना काफी स्वाभाविक और अटल लगती है, इसके अलावा, यह गणित पढ़ाने में कई वर्षों के अभ्यास से उचित है। लेकिन ऐसी परिस्थितियाँ हैं, जिनमें तार्किक और मनोवैज्ञानिक दृष्टिकोण से, इस कठोर शिक्षण योजना की वैधता के अधिक गहन विश्लेषण की आवश्यकता होती है।

तथ्य यह है कि, इस प्रकार की संख्याओं के बीच सभी अंतरों के बावजूद, वे विशेष रूप से संख्याओं को संदर्भित करते हैं, अर्थात। मात्रात्मक संबंधों को प्रदर्शित करने का एक विशेष रूप। यह तथ्य कि पूर्णांक और वास्तविक संख्याएँ "संख्याओं" से संबंधित हैं, गिनती और माप के बीच बहुत अंतर के आनुवंशिक व्युत्पन्न की धारणा के आधार के रूप में कार्य करता है: उनके पास संख्या के बहुत रूप के अनुरूप एक विशेष और एकल स्रोत होता है। गिनती और माप के इस एकीकृत आधार की विशेषताओं का ज्ञान एक तरफ उनकी उत्पत्ति की स्थितियों और दूसरी तरफ रिश्ते की अधिक स्पष्ट रूप से कल्पना करना संभव बना देगा।

संख्याओं के शाखा वृक्ष की सामान्य जड़ को खोजने के लिए हमें किसकी ओर रुख करना चाहिए? ऐसा लगता है कि सबसे पहले मात्रा की अवधारणा की सामग्री का विश्लेषण करना आवश्यक है। सच है, यह शब्द तुरंत दूसरे आयाम से जुड़ा है। हालाँकि, ऐसे संबंध की वैधता "परिमाण" के अर्थ की एक निश्चित स्वतंत्रता को बाहर नहीं करती है। इस पहलू पर विचार करने से हमें ऐसे निष्कर्ष निकालने की अनुमति मिलती है जो एक ओर माप और गिनती को एक साथ लाते हैं, और दूसरी ओर, कुछ सामान्य गणितीय संबंधों और पैटर्न के साथ संख्याओं में हेरफेर करते हैं।

तो, "मात्रा" क्या है और स्कूली गणित के प्रारंभिक खंडों के निर्माण में इसकी क्या रुचि है?

सामान्य उपयोग में, "परिमाण" शब्द "बराबर", "अधिक", "कम" अवधारणाओं से जुड़ा है, जो विभिन्न प्रकार के गुणों (लंबाई और घनत्व, तापमान और सफेदी) का वर्णन करता है। वी.एफ. कगन सवाल उठाते हैं कि इन अवधारणाओं में क्या सामान्य गुण हैं। इससे पता चलता है कि वे समुच्चय से संबंधित हैं - सजातीय वस्तुओं के सेट, जिनमें से तत्वों की तुलना हमें "अधिक", "बराबर", "कम" (उदाहरण के लिए, सभी सीधी रेखा खंडों, भारों की समग्रता के लिए) शब्दों को लागू करने की अनुमति देती है। , वेग, आदि)।

वस्तुओं का एक सेट केवल तभी परिमाण में परिवर्तित होता है जब मानदंड स्थापित किए जाते हैं जो इसके किसी भी तत्व ए और बी के संबंध में यह स्थापित करना संभव बनाता है कि क्या ए, बी के बराबर होगा, बी से बड़ा होगा या बी से कम होगा। इसके अलावा, कोई भी दो तत्व A और B, एक और केवल एक अनुपात: A=B, A>B, A<В.

ये वाक्य एक पूर्ण विच्छेद का गठन करते हैं (कम से कम एक मानता है, लेकिन प्रत्येक अन्य सभी को बाहर कर देता है)।

वी.एफ. कगन "समान", "अधिक", "कम" अवधारणाओं के निम्नलिखित आठ बुनियादी गुणों की पहचान करते हैं: (, पृष्ठ 17-31)।

1) कम से कम एक रिश्ता कायम है: A=B, A>B, A<В.

2) यदि संबंध A = B कायम है, तो संबंध A कायम नहीं है<В.

3) यदि संबंध A=B कायम है, तो संबंध A>B कायम नहीं है।

4) यदि A=B और B=C, तो A=C।

5) यदि ए>बी और बी>सी, तो ए>सी।

6) यदि ए<В и В<С, то А<С.

7) समानता एक प्रतिवर्ती संबंध है: संबंध A=B से संबंध B=A हमेशा अनुसरण करता है।

8) समानता एक पारस्परिक संबंध है: विचाराधीन सेट का तत्व ए जो भी हो, ए = ए।

पहले तीन वाक्य बुनियादी संबंधों के विच्छेदन की विशेषता दर्शाते हैं "=", ">", "<". Предложения 4 - 6 - их транзитивность при любых трех элементах А, В и С. Следующие предложения 7 - 8 характеризуют только равенство - его обратимость и возвратность (или рефлексивность). Эти восемь основных положений В.Ф.Каган называет поcтулатами сравнения, на базе которых можно вывести ряд других свойств величины.

वी.एफ. के ये अनुमानात्मक गुण कागन आठ प्रमेयों के रूप में वर्णन करता है:

I. अनुपात A>B में अनुपात B>A (A) शामिल नहीं है<В исключает В<А).

द्वितीय. यदि A>B, तो B<А (если А<В, то В>ए)।

तृतीय. यदि A>B धारण करता है, तो A धारण नहीं करता है।

चतुर्थ. यदि A1=A2, A2=A3,.., An-1=A1, तो A1=An.

V. यदि A1>A2, A2>A3,.., An-1>An, तो A1>An।

VI. यदि A1<А2, А2<А3,.., Аn-1<Аn, то А1<Аn.

सातवीं. यदि A=C और B=C, तो A=B.

आठवीं. यदि समानता या असमानता है तो A=B, या A>B, या A<В, то оно не нарушится, когда мы один из его элементов заменим равным ему элементом (здесь имеет место соотношение типа:

यदि A=B और A=C, तो C=B;

यदि A>B और A=C, तो C>B, आदि)।

तुलनात्मक अभिधारणाएँ और प्रमेय, वी.एफ. बताते हैं। कगन के अनुसार, "बराबर", "अधिक" और "कम" अवधारणाओं के वे सभी गुण समाप्त हो गए हैं, जो गणित में उनके साथ जुड़े हुए हैं और सेट के व्यक्तिगत गुणों की परवाह किए बिना उन तत्वों पर लागू होते हैं जिनमें हम उन्हें लागू करते हैं विभिन्न विशेष मामले” (, पृष्ठ 31)।

अभिधारणाओं और प्रमेयों में निर्दिष्ट गुण न केवल वस्तुओं की उन तात्कालिक विशेषताओं को चिह्नित कर सकते हैं जिन्हें हम "बराबर", "अधिक", "कम" के साथ जोड़ने के आदी हैं, बल्कि कई अन्य विशेषताओं के साथ भी जोड़ सकते हैं (उदाहरण के लिए, वे संबंध को चिह्नित कर सकते हैं) "पूर्वज - वंशज") यह हमें उनका वर्णन करते समय एक सामान्य दृष्टिकोण लेने और उदाहरण के लिए, इन अभिधारणाओं और प्रमेयों के दृष्टिकोण से किन्हीं तीन प्रकार के संबंधों "अल्फा", "बीटा", "गामा" पर विचार करने की अनुमति देता है (इस मामले में यह यह स्थापित करना संभव है कि क्या ये संबंध अभिधारणाओं और प्रमेयों को संतुष्ट करते हैं और किन शर्तों के तहत)।

इस दृष्टिकोण से, उदाहरण के लिए, कोई चीजों की ऐसी संपत्ति पर विचार कर सकता है जैसे कठोरता (कठोर, नरम, समान कठोरता), समय में घटनाओं का क्रम (निम्नलिखित, पूर्ववर्ती, एक साथ), आदि। इन सभी मामलों में, अनुपात "अल्फा", "बीटा", "गामा" को अपनी विशिष्ट व्याख्या प्राप्त होती है। निकायों के ऐसे समूह के चयन से जुड़ा कार्य जिसमें ये संबंध हों, साथ ही उन संकेतों की पहचान करना जिनके द्वारा कोई "अल्फा", "बीटा", "गामा" को चिह्नित कर सकता है - यह तुलना मानदंड निर्धारित करने का कार्य है निकायों के दिए गए सेट में (व्यवहार में, कुछ मामलों में इसे हल करना आसान नहीं है)। "तुलना मानदंड स्थापित करके, हम भीड़ को परिमाण में बदल देते हैं," वी.एफ. ने लिखा। कगन (, पृष्ठ 41)।

वास्तविक वस्तुओं को विभिन्न मापदण्डों के परिप्रेक्ष्य से देखा जा सकता है। इस प्रकार, लोगों के एक समूह को उसके प्रत्येक सदस्य के जन्म के क्षणों के क्रम जैसे मानदंड के अनुसार माना जा सकता है। एक अन्य मानदंड वह सापेक्ष स्थिति है जो इन लोगों के सिर लेंगे यदि उन्हें एक ही क्षैतिज विमान पर एक साथ रखा जाए। प्रत्येक मामले में, समूह को एक मात्रा में बदल दिया जाएगा जिसका संबंधित नाम होगा - आयु, ऊंचाई। व्यवहार में, एक मात्रा आमतौर पर तत्वों के समूह को नहीं दर्शाती है, बल्कि तुलना मानदंड (मात्रा का नाम) को अलग करने के लिए शुरू की गई एक नई अवधारणा है। इस प्रकार "आयतन", "वजन", "विद्युत वोल्टेज" आदि की अवधारणाएँ उत्पन्न होती हैं। "उसी समय, एक गणितज्ञ के लिए, मूल्य पूरी तरह से परिभाषित होता है जब कई तत्व और तुलना मानदंड इंगित किए जाते हैं," वी.एफ. ने कहा। कगन (, पृष्ठ 47)।

यह लेखक संख्याओं की प्राकृतिक श्रृंखला को गणितीय मात्रा का सबसे महत्वपूर्ण उदाहरण मानता है। ऐसे तुलनात्मक मानदंड के दृष्टिकोण से जैसे कि किसी श्रृंखला में संख्याओं द्वारा कब्जा की गई स्थिति (वे एक ही स्थान पर कब्जा कर लेते हैं, अनुसरण करते हैं ..., पहले), यह श्रृंखला अभिधारणाओं को संतुष्ट करती है और इसलिए एक मात्रा का प्रतिनिधित्व करती है। संगत तुलना मानदंड के अनुसार, भिन्नों का एक सेट भी एक मात्रा में परिवर्तित हो जाता है।

यह वी.एफ. के अनुसार है। कगन, मात्रा के सिद्धांत की सामग्री, जो सभी गणित की नींव में महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है।

मात्राओं के साथ काम करना (उनके व्यक्तिगत मूल्यों को अक्षरों में दर्ज करना उचित है), आप परिवर्तनों की एक जटिल प्रणाली कर सकते हैं, उनके गुणों की निर्भरता स्थापित कर सकते हैं, समानता से असमानता की ओर बढ़ सकते हैं, जोड़ (और घटाव) कर सकते हैं, और जोड़ते समय आपको क्रमविनिमेय और साहचर्य गुणों द्वारा निर्देशित किया जा सकता है। इसलिए, यदि संबंध ए = बी दिया गया है, तो समस्याओं को "समाधान" करते समय आपको संबंध बी = ए द्वारा निर्देशित किया जा सकता है। दूसरे मामले में, यदि संबंध A>B, B=C हैं, तो हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि A>C। चूँकि a>b के लिए एक c है जैसे कि a=b+c, ​​तो हम a और b (a-b=c), आदि के बीच अंतर पा सकते हैं। ये सभी परिवर्तन किये जा सकते हैं भौतिक शरीरऔर अन्य वस्तुएं, तुलना मानदंड स्थापित करना और तुलना के अभिधारणाओं के साथ चयनित संबंधों का अनुपालन करना।

उपरोक्त सामग्री हमें यह निष्कर्ष निकालने की अनुमति देती है कि प्राकृतिक और वास्तविक दोनों संख्याएँ समान रूप से मात्राओं और उनकी कुछ आवश्यक विशेषताओं से दृढ़ता से जुड़ी हुई हैं। क्या मात्राओं के अनुपात का वर्णन करने का संख्यात्मक रूप शुरू होने से पहले ही इन और अन्य गुणों को बच्चे के लिए विशेष अध्ययन का विषय बनाना संभव है? वे संख्या और उसके बाद के विस्तृत परिचय के लिए पूर्व शर्त के रूप में काम कर सकते हैं अलग - अलग प्रकार, विशेष रूप से भिन्नों के प्रोपेड्यूटिक्स, निर्देशांक की अवधारणाओं, कार्यों और पहले से ही जूनियर ग्रेड में मौजूद अन्य अवधारणाओं के लिए।

इस प्रारंभिक अनुभाग की सामग्री क्या हो सकती है? यह भौतिक वस्तुओं से परिचित होना, उनकी तुलना के लिए मानदंड, गणितीय विचार के विषय के रूप में एक मात्रा को उजागर करना, तुलना के तरीकों और इसके परिणामों को रिकॉर्ड करने के प्रतीकात्मक साधनों से परिचित होना, मात्राओं के सामान्य गुणों का विश्लेषण करने की तकनीकों से परिचित होना है। इस सामग्री को एक अपेक्षाकृत विस्तृत शिक्षण कार्यक्रम के रूप में विकसित करने की आवश्यकता है और सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि इसे बच्चे के उन कार्यों से जोड़ा जाए जिसके माध्यम से वह इस सामग्री में महारत हासिल कर सके (बेशक, उचित रूप में)। साथ ही, प्रयोगात्मक रूप से यह स्थापित करना आवश्यक है कि क्या 7 वर्षीय बच्चे इस कार्यक्रम में महारत हासिल कर सकते हैं, और अंकगणित और प्राथमिक बीजगणित को करीब लाने की दिशा में प्राथमिक कक्षाओं में गणित के बाद के शिक्षण के लिए इसे शुरू करने की व्यवहार्यता क्या है। एक साथ।

अब तक, हमारा तर्क प्रकृति में सैद्धांतिक रहा है और इसका उद्देश्य पाठ्यक्रम के ऐसे प्रारंभिक खंड के निर्माण के लिए गणितीय पूर्वापेक्षाओं को स्पष्ट करना है जो बच्चों को बुनियादी बीजगणितीय अवधारणाओं (संख्याओं के विशेष परिचय से पहले) से परिचित कराएगा।

मात्राओं को दर्शाने वाले मुख्य गुणों का वर्णन ऊपर किया गया था। स्वाभाविक रूप से, 7 साल के बच्चों के लिए इन गुणों के बारे में "व्याख्यान" देने का कोई मतलब नहीं है। बच्चों के लिए इस प्रकार का कार्य खोजना आवश्यक था उपदेशात्मक सामग्री, जिसके माध्यम से, एक ओर, वे अपने आस-पास की चीज़ों में इन गुणों की पहचान कर सकते हैं, दूसरी ओर, वे उन्हें कुछ प्रतीकात्मकता के साथ ठीक करना और प्राथमिक कार्य करना सीखेंगे। गणितीय विश्लेषणआवंटित रिश्ते.

इस संबंध में, कार्यक्रम में, सबसे पहले, विषय के उन गुणों का संकेत होना चाहिए जिन पर महारत हासिल की जानी है, दूसरे, उपदेशात्मक सामग्रियों का विवरण, तीसरा - और मनोवैज्ञानिक दृष्टिकोण से यह मुख्य बात है - विशेषताएँ उन क्रियाओं का जिनके माध्यम से बच्चा किसी वस्तु के कुछ गुणों की पहचान करता है और उन पर महारत हासिल करता है। ये "घटक" शब्द के उचित अर्थ में शिक्षण कार्यक्रम बनाते हैं।

सीखने की प्रक्रिया और उसके परिणामों का वर्णन करते समय इस काल्पनिक कार्यक्रम और इसके "घटकों" की विशिष्ट विशेषताओं को प्रस्तुत करना समझ में आता है। यहां इस कार्यक्रम की रूपरेखा और इसके प्रमुख विषय दिए गए हैं।

विषय I. वस्तुओं को समतल करना और पूरा करना (लंबाई, आयतन, वजन, भागों की संरचना और अन्य मापदंडों के अनुसार)।

समतलन एवं अधिग्रहण पर व्यावहारिक कार्य। विशेषताओं (मानदंड) की पहचान जिसके द्वारा समान वस्तुओं को बराबर या पूरा किया जा सकता है। इन विशेषताओं का मौखिक पदनाम ("लंबाई से", वजन से", आदि)।

इन कार्यों को उपदेशात्मक सामग्री (बार, बाट, आदि) के साथ काम करने की प्रक्रिया में हल किया जाता है:

"वही" आइटम चुनना,

चयनित (निर्दिष्ट) पैरामीटर के अनुसार "समान" वस्तु का पुनरुत्पादन (निर्माण)।

विषय II. समानता-असमानता सूत्र का उपयोग करके वस्तुओं की तुलना करना और उसके परिणाम तय करना।

1. वस्तुओं की तुलना करने और इस क्रिया के परिणामों को प्रतीकात्मक रूप से नामित करने का कार्य।

2. तुलना परिणामों की मौखिक रिकॉर्डिंग (शब्द "अधिक", "कम", "बराबर")। लिखित अक्षर ">", "<", "=".

3. एक ड्राइंग ("कॉपी करना" और फिर "सार" - लाइनें) के साथ तुलना परिणाम का संकेत।

4. अक्षरों से तुलना की गई वस्तुओं का पदनाम। सूत्रों का उपयोग करके तुलना परिणाम रिकॉर्ड करना: ए=बी; ए<Б, А>बी।

एक संकेत के रूप में एक अक्षर जो चयनित पैरामीटर (वजन, आयतन, आदि) के अनुसार किसी वस्तु के सीधे दिए गए, विशेष मूल्य को ठीक करता है।

5. विभिन्न सूत्रों का उपयोग करके तुलना परिणाम को ठीक करने की असंभवता। किसी दिए गए परिणाम के लिए एक विशिष्ट सूत्र चुनना (अधिक - कम - बराबर संबंधों का पूर्ण विच्छेदन)।

विषय III. समानता और असमानता के गुण.

1. समानता की उत्क्रमणीयता और प्रतिवर्तीता (यदि A=B, तो B=A; A=A)।

2. तुलनात्मक पक्षों के "क्रमपरिवर्तन" के दौरान असमानताओं में "अधिक" और "कम" संबंधों के बीच संबंध (यदि ए>बी, तो बी)<А и т.п.).

3. समानता और असमानता की संपत्ति के रूप में परिवर्तनशीलता:

यदि A=B, यदि A>B, यदि A<Б,

ए बी=बी, ए बी>बी, ए बी<В,

फिर ए=बी; फिर ए>बी; फिर ए<В.

4. केवल शाब्दिक सूत्रों की उपस्थिति में समानता और असमानता के गुणों का आकलन करने के लिए विषय उपदेशात्मक सामग्री के साथ काम करने से संक्रमण। विभिन्न समस्याओं को हल करने के लिए इन गुणों के ज्ञान की आवश्यकता होती है (उदाहरण के लिए, प्रकार के संबंधों के संबंध से संबंधित समस्याओं को हल करना: यह देखते हुए कि A>B, और B=C; A और C के बीच संबंध का पता लगाएं)।

विषय IV. जोड़ (घटाना) संक्रिया.

1. एक या दूसरे पैरामीटर (आयतन, वजन, अवधि, आदि) के अनुसार वस्तुओं में परिवर्तन का अवलोकन। "+" और "-" (प्लस और माइनस) चिह्नों के साथ बढ़ने और घटने का चित्रण।

2. इसके एक या दूसरे पक्ष में तदनुरूप परिवर्तन के साथ पहले से स्थापित समानता का उल्लंघन। समानता से असमानता की ओर संक्रमण. सूत्र लिखना जैसे:

यदि A=B, यदि A=B,

फिर A+K>B; फिर ए-के<Б.

3. नई समानता में संक्रमण के तरीके (इसकी "बहाली" सिद्धांत के अनुसार: "बराबर" में "बराबर" जोड़ने से "बराबर" मिलता है)।

जैसे सूत्रों के साथ कार्य करना:

फिर A+K>B,

लेकिन A+K=B+K.

4. विभिन्न समस्याओं को हल करना जिनमें समानता से असमानता और वापस जाने पर जोड़ (घटाव) के उपयोग की आवश्यकता होती है।

विषय V. प्रकार A असमानता से संक्रमण<Б к равенству через операцию сложения (вычитания).

1. ऐसे परिवर्तन की आवश्यकता वाले कार्य। उस मात्रा का मूल्य निर्धारित करने की आवश्यकता जिससे तुलना की गई वस्तुएँ भिन्न होती हैं। इस मात्रा का विशिष्ट मान अज्ञात होने पर समानता लिखने की क्षमता। एक्स (x) का प्रयोग करने की विधि.

सूत्र लिखना जैसे:

यदि एक<Б, если А>बी,

फिर A+x=B; फिर A-x=B.

2. x का मान ज्ञात करना। इस मान को सूत्र में प्रतिस्थापित करना (कोष्ठकों का परिचय)। सूत्र टाइप करें

3. समस्याओं को हल करना ("प्लॉट-टेक्स्टुअल" सहित) जिनके लिए निर्दिष्ट संचालन करने की आवश्यकता होती है।

थीम वी.एल. समानता-असमानता का जोड़-घटाव. प्रतिस्थापन.

1. समानता-असमानता का जोड़-घटाव:

यदि A=B यदि A>B यदि A>B

और एम=डी, और के>ई, और बी=जी,

फिर A+M=B+D; फिर A+K>B+E; फिर A+-B>C+-G.

2. किसी मात्रा के मूल्य को कई मूल्यों के योग के रूप में प्रस्तुत करने की क्षमता। प्रकार प्रतिस्थापन:

3. विभिन्न समस्याओं को हल करने के लिए उन संबंधों के गुणों को ध्यान में रखना आवश्यक है जिनसे बच्चे काम की प्रक्रिया में परिचित हुए (कई कार्यों में कई गुणों पर एक साथ विचार करने की आवश्यकता होती है, सूत्रों के अर्थ का आकलन करने में बुद्धिमत्ता; समस्याओं और समाधानों का विवरण नीचे दिया गया है) ).

यह 3.5 - 4 महीने के लिए डिज़ाइन किया गया कार्यक्रम है। साल की पहली छमाही. जैसा कि प्रायोगिक शिक्षण के अनुभव से पता चलता है, पाठों की उचित योजना, शिक्षण विधियों में सुधार और उपदेशात्मक सहायता के सफल विकल्प के साथ, कार्यक्रम में प्रस्तुत सभी सामग्री को बच्चे कम समय में (3 महीने में) पूरी तरह से आत्मसात कर सकते हैं। .

हमारा कार्यक्रम आगे कैसा चल रहा है? सबसे पहले, बच्चे एक संख्या प्राप्त करने की विधि से परिचित हो जाते हैं जो किसी वस्तु के संपूर्ण भाग (एक निरंतर या असतत वस्तु द्वारा दर्शाई गई समान मात्रा) के संबंध को व्यक्त करती है। यह अनुपात स्वयं और इसके विशिष्ट मान को सूत्र ए/के = एन द्वारा दर्शाया गया है, जहां एन कोई पूर्णांक है, जो अक्सर निकटतम "इकाई" के अनुपात को व्यक्त करता है (केवल सामग्री के विशेष चयन के साथ या केवल "गुणात्मक रूप से" गिनती करके) अलग-अलग चीज़ों से बिल्कुल सटीक पूर्णांक प्राप्त किया जा सकता है)। शुरू से ही, बच्चों को यह ध्यान रखने के लिए "मजबूर" किया जाता है कि मापते या गिनते समय शेष रह सकता है, जिसकी उपस्थिति विशेष रूप से निर्धारित की जानी चाहिए। यह भिन्नों के साथ आगामी कार्य का पहला चरण है।

संख्या प्राप्त करने के इस तरीके के साथ, बच्चों को A = 5k (यदि अनुपात "5" के बराबर था) जैसे सूत्र के साथ किसी वस्तु का वर्णन करना मुश्किल नहीं है। पहले सूत्र के साथ, यह वस्तु, आधार (माप) और गिनती (माप) के परिणाम के बीच निर्भरता के विशेष अध्ययन के अवसर खोलता है, जो भिन्नात्मक संख्याओं (विशेष रूप से) में संक्रमण के लिए एक प्रोपेडेयूटिक के रूप में भी कार्य करता है , भिन्न के मूल गुण को समझने के लिए)।

कार्यक्रम विकास की एक और पंक्ति, जो पहले से ही पहली कक्षा में लागू की गई है, मात्रा के मूल गुणों (समानता-असमानता, परिवर्तनशीलता, परिवर्तनशीलता का विच्छेदन) और जोड़ के संचालन (कम्यूटेटिविटी, एसोसिएटिविटी, मोनोटोनिसिटी) को संख्याओं (पूर्णांक) में स्थानांतरित करना है। घटाव की संभावना)। विशेष रूप से, संख्या रेखा पर काम करके, बच्चे संख्याओं के अनुक्रम को जल्दी से एक मूल्य में बदल सकते हैं (उदाहरण के लिए, टाइप 3 नोटेशन करके उनकी परिवर्तनशीलता का स्पष्ट रूप से आकलन करें)<5<8, одновременно связывая отношения "меньше-больше": 5<8, но 5<3, и т.д.).

समानता की कुछ तथाकथित "संरचनात्मक" विशेषताओं से परिचित होने से बच्चों को जोड़ और घटाव के बीच संबंध को अलग ढंग से समझने की अनुमति मिलती है। इस प्रकार, असमानता से समानता की ओर बढ़ने पर, निम्नलिखित परिवर्तन होते हैं: 7<11; 7+х=11; x=11-7; х=4. В другом случае дети складывают и вычитают элементы равенств и неравенств, выполняя при этом работу, связанную с устными вычислениями. Например, дано 8+1=6+3 и 4>2; 8+1-4...6+3-2 के सूत्र के बाएँ और दाएँ पक्षों के बीच संबंध खोजें; असमानता के मामले में, इस अभिव्यक्ति को समानता में लाएँ (पहले आपको "इससे कम" चिह्न लगाना होगा और फिर बाईं ओर "दो" जोड़ना होगा)।

इस प्रकार, किसी संख्या श्रृंखला को एक मात्रा मानने से आप जोड़ और घटाव (और फिर गुणा और भाग) के कौशल को एक नए तरीके से विकसित कर सकते हैं।

अध्याय II. प्राथमिक विद्यालय में बीजगणितीय सामग्री के अध्ययन के लिए पद्धति संबंधी सिफारिशें 2.1 माध्यमिक विद्यालय की आवश्यकताओं के दृष्टिकोण से प्राथमिक विद्यालय में शिक्षण

जैसा कि आप जानते हैं, 5वीं कक्षा में गणित पढ़ते समय, समय का एक महत्वपूर्ण हिस्सा बच्चों को प्राथमिक विद्यालय में जो सीखना चाहिए था उसे दोहराने में समर्पित होता है। लगभग सभी मौजूदा पाठ्यपुस्तकों में इस पुनरावृत्ति में 1.5 शैक्षणिक तिमाही का समय लगता है। यह स्थिति अनायास उत्पन्न नहीं हुई. इसका कारण प्राथमिक विद्यालय के स्नातकों की तैयारी से माध्यमिक विद्यालय के गणित शिक्षकों का असंतोष है। इस स्थिति का कारण क्या है? इस उद्देश्य के लिए, आज की पांच सबसे प्रसिद्ध प्राथमिक विद्यालय गणित पाठ्यपुस्तकों का विश्लेषण किया गया। ये एम.आई. की पाठ्यपुस्तकें हैं। मोरो, आई.आई. अर्गिंस्काया, एन.बी. इस्तोमिना, एल.जी. पीटरसन और वी.वी. डेविडोवा (, , , ,)।

इन पाठ्यपुस्तकों के विश्लेषण से कई नकारात्मक पहलू सामने आए, जो उनमें से प्रत्येक में अधिक या कम हद तक मौजूद थे और आगे की शिक्षा को नकारात्मक रूप से प्रभावित कर रहे थे। सबसे पहले, उनमें सामग्री का आत्मसात काफी हद तक याद रखने पर आधारित है। इसका स्पष्ट उदाहरण गुणन सारणी को याद करना है। प्राथमिक विद्यालय में इसे याद करने में बहुत प्रयास और समय लगता है। लेकिन गर्मी की छुट्टियों में बच्चे उसे भूल जाते हैं. इतनी तेजी से भूलने का कारण रटना है। एल.एस. द्वारा अनुसंधान वायगोत्स्की ने दिखाया कि सार्थक संस्मरण यांत्रिक संस्मरण की तुलना में कहीं अधिक प्रभावी है, और बाद के प्रयोगों ने दृढ़ता से साबित किया है कि सामग्री दीर्घकालिक स्मृति में तभी प्रवेश करती है जब इसे इस सामग्री के अनुरूप कार्य के परिणामस्वरूप याद किया जाता है।

गुणन सारणी में प्रभावी ढंग से महारत हासिल करने की एक विधि 50 के दशक में पाई गई थी। इसमें अभ्यासों की एक निश्चित प्रणाली का आयोजन शामिल है, जिसे निष्पादित करके बच्चे स्वयं गुणन सारणी का निर्माण करते हैं। हालाँकि, यह पद्धति समीक्षा की गई किसी भी पाठ्यपुस्तक में लागू नहीं की गई है।

एक और नकारात्मक बिंदु जो आगे की शिक्षा को प्रभावित करता है वह यह है कि कई मामलों में प्राथमिक विद्यालय की गणित पाठ्यपुस्तकों में सामग्री की प्रस्तुति इस तरह से संरचित की जाती है कि भविष्य में बच्चों को फिर से प्रशिक्षित करना होगा, और जैसा कि हम जानते हैं, यह उससे कहीं अधिक कठिन है शिक्षण. बीजगणितीय सामग्री के अध्ययन के संबंध में, प्राथमिक विद्यालय में समीकरणों को हल करना एक उदाहरण होगा। सभी पाठ्यपुस्तकों में, समीकरणों को हल करना क्रियाओं के अज्ञात घटकों को खोजने के नियमों पर आधारित होता है।

यह केवल एल.जी. की पाठ्यपुस्तक में कुछ अलग ढंग से किया गया है। पीटरसन, जहां, उदाहरण के लिए, गुणा और भाग समीकरणों को हल करना एक आयत की भुजाओं और क्षेत्रफल के साथ समीकरण के घटकों को सहसंबंधित करने पर आधारित है और अंततः नियमों पर भी आता है, लेकिन ये भुजा या क्षेत्रफल ज्ञात करने के नियम हैं एक आयत. इस बीच, छठी कक्षा से शुरू करके, बच्चों को समान परिवर्तनों के उपयोग के आधार पर समीकरणों को हल करने के लिए एक पूरी तरह से अलग सिद्धांत सिखाया जाता है। पुनः सीखने की यह आवश्यकता इस तथ्य की ओर ले जाती है कि समीकरणों को हल करना अधिकांश बच्चों के लिए एक कठिन कार्य है।

पाठ्यपुस्तकों का विश्लेषण करते समय हमें इस तथ्य का भी सामना करना पड़ा कि उनमें सामग्री प्रस्तुत करते समय अक्सर अवधारणाओं में विकृति आ जाती है। उदाहरण के लिए, कई परिभाषाओं का सूत्रीकरण निहितार्थ के रूप में दिया गया है, जबकि गणितीय तर्क से ज्ञात होता है कि कोई भी परिभाषा एक तुल्यता है। उदाहरण के तौर पर, हम आई.आई. की पाठ्यपुस्तक से गुणन की परिभाषा उद्धृत कर सकते हैं। अर्गिंस्काया: "यदि योग में सभी पद एक-दूसरे के बराबर हैं, तो जोड़ को किसी अन्य क्रिया - गुणन द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है।" (योग में सभी पद एक दूसरे के बराबर हैं। इसलिए, जोड़ को गुणा द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है।) जैसा कि आप देख सकते हैं, यह अपने शुद्ध रूप में एक निहितार्थ है। यह सूत्रीकरण न केवल गणित की दृष्टि से निरक्षर है, न केवल यह बच्चों में परिभाषा क्या है इसका ग़लत अंदाज़ा बनाता है, बल्कि यह बहुत हानिकारक भी है क्योंकि भविष्य में, उदाहरण के लिए, निर्माण करते समय एक गुणन सारणी में, पाठ्यपुस्तक लेखक समान शब्दों के योग के साथ उत्पाद के प्रतिस्थापन का उपयोग करते हैं, जिसे प्रस्तुत सूत्रीकरण अनुमति नहीं देता है। निहितार्थ के रूप में लिखे गए कथनों के साथ इस तरह का गलत काम बच्चों में एक गलत रूढ़िवादिता का निर्माण करता है, जिसे ज्यामिति पाठों में बड़ी कठिनाई से दूर किया जाएगा, जब बच्चे सीधे और विपरीत कथन के बीच, किसी आकृति के संकेत के बीच अंतर महसूस नहीं करेंगे। इसकी संपत्ति. समस्याओं को हल करते समय व्युत्क्रम प्रमेय का उपयोग करने की गलती, जबकि केवल प्रत्यक्ष प्रमेय सिद्ध हो चुका है, बहुत आम है।

गलत अवधारणा निर्माण का एक और उदाहरण शाब्दिक समानता संबंध के साथ काम करना है। उदाहरण के लिए, सभी पाठ्यपुस्तकों में किसी संख्या को एक से और किसी संख्या को शून्य से गुणा करने के नियम अक्षर रूप में दिए गए हैं: a x 1 = a, a x 0 = 0. समानता संबंध, जैसा कि ज्ञात है, सममित है, और इसलिए, ऐसा एक नोटेशन न केवल यह प्रदान करता है कि जब 1 से गुणा किया जाता है, तो वही संख्या प्राप्त होती है, बल्कि यह भी कि किसी भी संख्या को इस संख्या और एक के उत्पाद के रूप में दर्शाया जा सकता है। हालाँकि, पाठ्यपुस्तकों में अक्षर प्रविष्टि के बाद प्रस्तावित मौखिक सूत्रीकरण केवल पहली संभावना की बात करता है। इस विषय पर अभ्यास का उद्देश्य केवल एक संख्या और एक के गुणनफल को इस संख्या से बदलने का अभ्यास करना है। यह सब न केवल इस तथ्य की ओर ले जाता है कि एक बहुत ही महत्वपूर्ण बिंदु बच्चों की चेतना का विषय नहीं बनता है: किसी भी संख्या को उत्पाद के रूप में लिखा जा सकता है, जो बीजगणित में बहुपदों के साथ काम करते समय संबंधित कठिनाइयों का कारण बनेगा, बल्कि इसके लिए भी। तथ्य यह है कि बच्चे, सिद्धांत रूप में, समानता के संबंध के साथ सही ढंग से काम करना नहीं जानते हैं। उदाहरण के लिए, वर्गों के अंतर के सूत्र के साथ काम करते समय, बच्चे, एक नियम के रूप में, वर्गों के अंतर को गुणनखंडित करने के कार्य का सामना करते हैं। हालाँकि, जिन कार्यों में विपरीत कार्रवाई की आवश्यकता होती है, वे कई मामलों में कठिनाइयों का कारण बनते हैं। इस विचार का एक और उल्लेखनीय उदाहरण जोड़ के सापेक्ष गुणन के वितरणात्मक नियम पर काम करना है। यहां भी, कानून के अक्षरशः लिखने के बावजूद, इसके मौखिक सूत्रीकरण और अभ्यास की प्रणाली दोनों ही केवल कोष्ठक खोलने की क्षमता को प्रशिक्षित करते हैं। परिणामस्वरूप, सामान्य कारक को कोष्ठक से बाहर रखने से भविष्य में महत्वपूर्ण कठिनाइयाँ पैदा होंगी।

अक्सर प्राथमिक विद्यालय में, भले ही कोई परिभाषा या नियम सही ढंग से तैयार किया गया हो, सीखने को उन पर भरोसा करके नहीं, बल्कि पूरी तरह से अलग चीज़ पर भरोसा करके प्रेरित किया जाता है। उदाहरण के लिए, 2 से गुणन तालिका का अध्ययन करते समय, समीक्षा की गई सभी पाठ्यपुस्तकें बताती हैं कि इसे कैसे बनाया जाए। पाठ्यपुस्तक में एम.आई. मोरो ने इसे इस प्रकार किया:

2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2

कार्य की इस पद्धति से, बच्चे परिणामी संख्या श्रृंखला के पैटर्न को बहुत जल्दी नोटिस कर लेंगे।

3-4 समानताओं के बाद, वे दो जोड़ना बंद कर देंगे और उनके द्वारा देखे गए पैटर्न के आधार पर परिणाम लिखना शुरू कर देंगे। इस प्रकार, गुणन सारणी के निर्माण की विधि उनकी चेतना का विषय नहीं बन पाएगी, जिसके परिणामस्वरूप इसका नाजुक आत्मसात हो जाएगा।

प्राथमिक विद्यालय में सामग्री का अध्ययन करते समय, वस्तुनिष्ठ क्रियाओं और उदाहरणात्मक स्पष्टता पर निर्भरता रखी जाती है, जिससे अनुभवजन्य सोच का निर्माण होता है। निःसंदेह, प्राथमिक विद्यालय में ऐसी दृश्यता के बिना ऐसा करना शायद ही संभव है। लेकिन इसे केवल इस या उस तथ्य के चित्रण के रूप में काम करना चाहिए, न कि किसी अवधारणा के निर्माण के आधार के रूप में। पाठ्यपुस्तकों में उदाहरणात्मक स्पष्टता और वास्तविक क्रियाओं के उपयोग से अक्सर अवधारणा ही "धुंधली" हो जाती है। उदाहरण के लिए, ग्रेड 1-3 के लिए गणित के तरीकों में, एम.आई. मोरो का कहना है कि बच्चों को 30 पाठों के लिए वस्तुओं को ढेर में व्यवस्थित करके या चित्र बनाकर विभाजन करना होता है। ऐसी क्रियाएं गुणन की व्युत्क्रम क्रिया के रूप में विभाजन संक्रिया का सार खो देती हैं। परिणामस्वरूप, विभाजन को सबसे बड़ी कठिनाई से सीखा जाता है और यह अन्य अंकगणितीय संक्रियाओं की तुलना में बहुत खराब है।

प्राथमिक विद्यालय में गणित पढ़ाते समय किसी भी कथन को सिद्ध करने की बात नहीं की जाती है। इस बीच, यह याद करते हुए कि हाई स्कूल में प्रूफ़ पढ़ाना कितना कठिन होगा, आपको प्रारंभिक कक्षाओं में ही इसके लिए तैयारी शुरू कर देनी होगी। इसके अलावा, यह उस सामग्री पर किया जा सकता है जो प्राथमिक स्कूली बच्चों के लिए काफी सुलभ है। उदाहरण के लिए, ऐसी सामग्री किसी संख्या को 1 से, शून्य को किसी संख्या से और किसी संख्या को स्वयं से विभाजित करने के नियम हो सकती है। बच्चे भाग की परिभाषा और संबंधित गुणन नियमों का उपयोग करके उन्हें साबित करने में काफी सक्षम हैं।

प्राथमिक विद्यालय की सामग्री बीजगणित प्रोपेड्यूटिक्स की भी अनुमति देती है - अक्षरों और अक्षर अभिव्यक्तियों के साथ काम करना। अधिकांश पाठ्यपुस्तकें अक्षरों के प्रयोग से बचती हैं। परिणामस्वरूप, बच्चे चार साल तक लगभग विशेष रूप से संख्याओं के साथ काम करते हैं, जिसके बाद, निश्चित रूप से, उन्हें अक्षरों के साथ काम करने का आदी बनाना बहुत मुश्किल होता है। हालाँकि, इस तरह के काम के लिए प्रोपेड्यूटिक्स प्रदान करना संभव है, प्राथमिक विद्यालय में पहले से ही बच्चों को एक अक्षर अभिव्यक्ति में एक अक्षर के बजाय एक संख्या को प्रतिस्थापित करना सिखाया जाए। उदाहरण के लिए, यह एल.जी. की पाठ्यपुस्तक में किया गया था। पीटरसन.

प्राथमिक विद्यालय में गणित पढ़ाने की कमियों के बारे में बोलते हुए, जो आगे की शिक्षा में बाधा उत्पन्न करती हैं, इस तथ्य पर विशेष रूप से जोर देना आवश्यक है कि अक्सर पाठ्यपुस्तकों में सामग्री इस बात पर ध्यान दिए बिना प्रस्तुत की जाती है कि यह भविष्य में कैसे काम करेगी। इसका एक बहुत ही उल्लेखनीय उदाहरण 10, 100, 1000, आदि से गुणा सीखने का संगठन है। समीक्षा की गई सभी पाठ्यपुस्तकों में, इस सामग्री की प्रस्तुति इस तरह से संरचित की गई है कि यह अनिवार्य रूप से बच्चों के दिमाग में नियम का निर्माण करती है: "किसी संख्या को 10, 100, 1000, आदि से गुणा करने के लिए, आपको इसकी आवश्यकता है दाईं ओर उतने ही शून्य जोड़ें जितने 10, 100, 1000 आदि में होते हैं।" यह नियम उनमें से एक है जिसे प्राथमिक विद्यालय में बहुत अच्छी तरह से सीखा जाता है। और इससे दशमलव भिन्नों को पूर्णांक इकाइयों से गुणा करने पर बड़ी संख्या में त्रुटियाँ होती हैं। नए नियम को याद रखने के बाद भी, बच्चे अक्सर 10 से गुणा करने पर दशमलव के दाईं ओर स्वचालित रूप से शून्य जोड़ देते हैं। इसके अलावा, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि किसी प्राकृतिक संख्या को गुणा करते समय और दशमलव अंश को पूर्ण अंक इकाइयों से गुणा करते समय, अनिवार्य रूप से एक ही बात होती है: संख्या के प्रत्येक अंक को अंकों की संबंधित संख्या द्वारा दाईं ओर स्थानांतरित कर दिया जाता है। इसलिए, बच्चों को दो अलग-अलग और पूरी तरह से औपचारिक नियम सिखाने का कोई मतलब नहीं है। समान समस्याओं को हल करते समय उन्हें आगे बढ़ने का सामान्य तरीका सिखाना अधिक उपयोगी होता है।

2.1 गणित पाठों में अवधारणाओं की तुलना (विपरीतता)।

वर्तमान कार्यक्रम ग्रेड I में प्रथम स्तर की केवल दो संक्रियाओं - जोड़ और घटाव - के अध्ययन का प्रावधान करता है। अध्ययन के पहले वर्ष को केवल दो संक्रियाओं तक सीमित करना, संक्षेप में, वर्तमान पाठ्य पुस्तकों से पहले की पाठ्यपुस्तकों में जो हासिल किया गया था, उससे विचलन है: तब एक भी शिक्षक ने कभी शिकायत नहीं की कि गुणा और भाग, मान लीजिए, 20 के भीतर, परे था प्रथम श्रेणी के विद्यार्थियों की क्षमताएँ। यह भी ध्यान देने योग्य है कि अन्य देशों के स्कूलों में, जहां शिक्षा 6 साल की उम्र में शुरू होती है, पहले स्कूल वर्ष में अंकगणित की सभी चार संक्रियाओं का प्रारंभिक परिचय शामिल होता है। गणित मुख्य रूप से चार क्रियाओं पर निर्भर करता है, और जितनी जल्दी उन्हें छात्र के सोच अभ्यास में शामिल किया जाएगा, गणित पाठ्यक्रम का आगामी विकास उतना ही अधिक स्थिर और विश्वसनीय होगा।

निष्पक्षता के लिए, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि ग्रेड I के लिए एम.आई. मोरो की पाठ्यपुस्तकों के पहले संस्करणों में, गुणा और भाग प्रदान किए गए थे। हालाँकि, एक दुर्घटना ने मामले को रोक दिया: नए कार्यक्रमों के लेखक लगातार एक "नवीनता" से चिपके रहे - 100 (37+58 और 95-58, आदि) के भीतर जोड़ और घटाव के सभी मामलों की पहली कक्षा में कवरेज। लेकिन, चूंकि जानकारी की इतनी विस्तारित मात्रा का अध्ययन करने के लिए पर्याप्त समय नहीं था, इसलिए गुणा और भाग को पूरी तरह से अध्ययन के अगले वर्ष में स्थानांतरित करने का निर्णय लिया गया।

तो, कार्यक्रम की रैखिकता के प्रति आकर्षण, यानी, ज्ञान का विशुद्ध रूप से मात्रात्मक विस्तार (समान क्रियाएं, लेकिन बड़ी संख्या के साथ), उस समय को ले लिया जो पहले ज्ञान की गुणात्मक गहनता (सभी चार क्रियाओं का अध्ययन) के लिए आवंटित किया गया था दो दर्जन)। पहली कक्षा में पहले से ही गुणा और भाग का अध्ययन करने का मतलब सोच में गुणात्मक छलांग है, क्योंकि यह आपको सघन विचार प्रक्रियाओं में महारत हासिल करने की अनुमति देता है।

परंपरा के अनुसार, 20 के भीतर जोड़ और घटाव का अध्ययन एक विशेष विषय हुआ करता था, ज्ञान को व्यवस्थित करने में इस दृष्टिकोण की आवश्यकता प्रश्न के तार्किक विश्लेषण से भी दिखाई देती है: तथ्य यह है कि एकल-अंक जोड़ने की पूरी तालिका। संख्याएँ दो दहाई (0+1= 1, ...,9+9=18) के भीतर विकसित होती हैं। इस प्रकार, 20 के भीतर की संख्याएँ अपने आंतरिक संबंधों में संबंधों की एक पूरी प्रणाली बनाती हैं; इसलिए "बीस" को दूसरे समग्र विषय के रूप में संरक्षित करने की समीचीनता स्पष्ट है (ऐसा पहला विषय पहले दस के भीतर की गतिविधियाँ हैं)।

चर्चा का मामला वास्तव में वह है जहां एकाग्रता (दूसरे दस को एक विशेष विषय के रूप में संरक्षित करना) रैखिकता (दूसरे दस को "सौ" थीम में "विघटित करना") से अधिक फायदेमंद साबित होता है।

एम.आई. मोरो की पाठ्यपुस्तक में, पहले दस के अध्ययन को दो अलग-अलग खंडों में विभाजित किया गया है: पहले, पहले दस की संख्याओं की संरचना का अध्ययन किया जाता है, और अगले विषय में, प्रयोगात्मक पाठ्यपुस्तक में 10 के भीतर की क्रियाओं पर विचार किया जाता है पी.एम. द्वारा इसके विपरीत, एर्डनीवा ने एक खंड में एक बार में 10 के भीतर संख्याओं, संख्याओं की संरचना और संचालन (जोड़ और घटाव) का संयुक्त अध्ययन किया। इस दृष्टिकोण के साथ, संख्याओं के एक मोनोग्राफिक अध्ययन का उपयोग किया जाता है, अर्थात्: विचाराधीन संख्या के भीतर (उदाहरण के लिए, 3), सभी "नकद गणित" तुरंत समझ में आ जाते हैं: 1 + 2 = 3; 2 + 1 = 3; 3 – 1 = 2; 3 – 2 = 1.

यदि, वर्तमान कार्यक्रमों के अनुसार, पहले दस के अध्ययन के लिए 70 घंटे आवंटित किए गए थे, तो प्रयोगात्मक प्रशिक्षण के मामले में, इस सभी सामग्री का अध्ययन 50 घंटों में किया गया था (और कार्यक्रम के अलावा, कुछ अतिरिक्त अवधारणाओं पर विचार किया गया था जो इसमें नहीं थे स्थिर पाठ्यपुस्तक, लेकिन संरचनात्मक रूप से मुख्य सामग्री से संबंधित थीं)।

प्रारंभिक प्रशिक्षण की पद्धति में कार्यों को वर्गीकृत करने और उनके प्रकारों के नामों के प्रश्न पर विशेष ध्यान देने की आवश्यकता है। पद्धतिविदों की पीढ़ियों ने स्कूल के कार्यों की प्रणाली को सुव्यवस्थित करने, उनके प्रभावी प्रकार और किस्मों को बनाने, स्कूल में अध्ययन के लिए इच्छित कार्यों के नामों के लिए सफल शब्दों के चयन तक काम किया। यह ज्ञात है कि गणित के पाठों में शिक्षण का कम से कम आधा समय उन्हें हल करने में व्यतीत होता है। स्कूल के कार्यों को निश्चित रूप से व्यवस्थितकरण और वर्गीकरण की आवश्यकता है। किस प्रकार के (प्रकार) कार्यों का अध्ययन करना है, कब अध्ययन करना है, किसी विशेष खंड के पारित होने के संबंध में किस प्रकार की समस्याओं का अध्ययन करना है - यह कार्यप्रणाली और कार्यक्रमों की केंद्रीय सामग्री के अध्ययन का एक वैध उद्देश्य है। इस परिस्थिति का महत्व गणित पद्धति के इतिहास से स्पष्ट है।

लेखक की प्रायोगिक शिक्षण सामग्री में कार्यों के वर्गीकरण और किसी विशेष कक्षा में शिक्षण के लिए उनके आवश्यक प्रकारों और किस्मों के वितरण पर विशेष ध्यान दिया जाता है। वर्तमान में, समस्याओं के प्रकारों के क्लासिक नाम (योग, एक अज्ञात शब्द आदि खोजने के लिए) एक स्थिर प्रथम श्रेणी की पाठ्यपुस्तक की सामग्री की तालिका से भी गायब हो गए हैं। परीक्षण पाठ्यपुस्तक में पी.एम. एर्डनीव के अनुसार, ये नाम "काम" करते हैं: वे न केवल छात्र के लिए, बल्कि शिक्षक के लिए भी उपदेशात्मक मील के पत्थर के रूप में उपयोगी हैं। आइए हम परीक्षण गणित पाठ्यपुस्तक के पहले विषय की सामग्री प्रस्तुत करें, जो अवधारणाओं की तार्किक पूर्णता की विशेषता है।

पहले दस

उच्चतर - निचला, बाएँ - दाएँ, बीच, छोटा - लंबा, चौड़ा - संकरा, मोटा - पतला, पुराना - छोटा, आगे - करीब, धीमा - तेज़, हल्का - भारी, थोड़ा - बहुत की अवधारणाओं की तुलना करना।

पहले दस की संख्याओं का मोनोग्राफिक अध्ययन: नाम, पदनाम, तुलना, अबेकस पर संख्याएँ डालना और संख्या रेखा पर संख्याओं को निर्दिष्ट करना; चिह्न: बराबर (=), बराबर नहीं (¹), से अधिक (>), से कम (<).

सीधी और घुमावदार रेखाएँ; वृत्त और अंडाकार.

बिंदु, सीधी रेखा, खंड, अक्षरों द्वारा उनका पदनाम; एक खंड की लंबाई मापना और दी गई लंबाई के खंड बिछाना; पदनाम, नामकरण, निर्माण, समान त्रिभुज, समान बहुभुज काटना। बहुभुज के तत्व: शीर्ष, भुजाएँ, विकर्ण (अक्षरों द्वारा निरूपित)।

प्रश्नाधीन संख्या के भीतर संख्याओं का मोनोग्राफिक अध्ययन:

संख्याओं की संरचना, जोड़ और घटाव।

जोड़ और घटाव के घटकों के नाम.

जोड़ और घटाव के चार उदाहरण:

3 + 2 = 5, 5 - 2 = 3, 2 + 3 = 5, 5 - 3 = 2.

विकृत उदाहरण (गायब संख्याओं और चिह्नों के साथ):

एक्स + 5 = 7; 6 - एक्स = 4; 6 = 3ए2.

योग और जोड़, अंतर, मीनूएंड और घटाव खोजने पर समस्याओं का समाधान। परस्पर विपरीत समस्याओं का संकलन एवं समाधान।

तीन कार्य: किसी संख्या को कई इकाइयों तक बढ़ाना और घटाना और अंतर तुलना करना। लंबाई के आधार पर खंडों की तुलना।

जोड़ का क्रमविनिमेय नियम. एक पद में परिवर्तन के आधार पर किसी राशि में परिवर्तन। वह स्थिति जब राशि नहीं बदलती. सबसे सरल अक्षर अभिव्यक्ति: ए + बी = बी + ए, ए + 0 = ए, ए - ए = 0।

अभिव्यक्ति समस्याओं का संकलन एवं समाधान करना।

निम्नलिखित प्रस्तुति में, हम स्कूली गणित के इस प्रारंभिक खंड को प्रस्तुत करने की पद्धति के मुख्य मुद्दों पर विचार करेंगे, यह ध्यान में रखते हुए कि बाद के खंडों को प्रस्तुत करने की पद्धति कई मायनों में पहले विषय की सामग्री में महारत हासिल करने की प्रक्रिया के समान होनी चाहिए। .

पहले पाठ में, शिक्षक को छात्र को अवधारणाओं के जोड़े का उपयोग करना सिखाने का लक्ष्य निर्धारित करना चाहिए, जिसकी सामग्री इन शब्दों के साथ संबंधित वाक्यों की रचना करने की प्रक्रिया में प्रकट होती है। (सबसे पहले, हम संख्याओं का उपयोग किए बिना, गुणात्मक स्तर पर तुलना में महारत हासिल करते हैं।)

यहां अवधारणाओं के सबसे सामान्य जोड़े के उदाहरण दिए गए हैं जिनका उपयोग न केवल गणित के पाठों में, बल्कि भाषण विकास में भी किया जाना चाहिए:

अधिक - कम, लंबा - छोटा, ऊंचा - निचला, भारी - हल्का, चौड़ा - संकरा, मोटा - पतला, दाएं - बाएं, आगे - करीब, पुराना - छोटा, तेज - धीमा, आदि।

ऐसी अवधारणा जोड़ियों पर काम करते समय, पाठ्यपुस्तक में न केवल चित्रों का उपयोग करना महत्वपूर्ण है, बल्कि बच्चों की टिप्पणियों का भी उपयोग करना महत्वपूर्ण है; इसलिए, उदाहरण के लिए, कक्षा की खिड़की से वे देखते हैं कि नदी के पार एक घर है, और वे वाक्यांश बनाते हैं: "नदी घर की तुलना में स्कूल के करीब है, और घर नदी की तुलना में स्कूल से अधिक दूर है" ।”

विद्यार्थी को अपने हाथ में बारी-बारी से एक किताब और एक नोटबुक पकड़ने दें। शिक्षक पूछता है: क्या भारी है - किताब या नोटबुक? क्या आसान है? "एक किताब एक नोटबुक से भारी होती है, और एक नोटबुक एक किताब से हल्की होती है।"

कक्षा के सबसे लंबे और सबसे छोटे छात्र को कक्षा के सामने एक साथ खड़ा करके, हम तुरंत दो वाक्यांश बनाते हैं: "मिशा कोल्या से लंबी है, और कोल्या मिशा से छोटी है।"

इन अभ्यासों में, एक निर्णय को दोहरे निर्णय के साथ व्याकरणिक रूप से सही प्रतिस्थापन प्राप्त करना महत्वपूर्ण है: "एक पत्थर का घर लकड़ी के घर से ऊंचा होता है, जिसका अर्थ है कि लकड़ी का घर पत्थर के घर से निचला होता है।"

जब आप "लंबे - छोटे" की अवधारणा से परिचित हो जाते हैं, तो आप एक को दूसरे के ऊपर रखकर (कौन सा लंबा है: एक पेन या एक पेंसिल केस?) लंबाई में वस्तुओं की तुलना दिखा सकते हैं।

अंकगणित और भाषण विकास पाठों में, विपरीत अवधारणाओं का उपयोग सिखाने के लक्ष्य के साथ तार्किक समस्याओं को हल करना उपयोगी है: "कौन बड़ा है: पिता या पुत्र?" कौन छोटा है: पिता या पुत्र? सबसे पहले किसका जन्म हुआ? बाद में कौन है?

“एक किताब और एक ब्रीफकेस की चौड़ाई की तुलना करें। व्यापक क्या है: एक किताब या एक ब्रीफ़केस? पहले से ही एक किताब या ब्रीफ़केस क्या है? भारी क्या है: किताब या ब्रीफकेस?

तथाकथित मैट्रिक्स (सारणीबद्ध) अभ्यास शुरू करके तुलना प्रक्रिया को सीखना अधिक दिलचस्प बनाया जा सकता है। बोर्ड पर चार कोशिकाओं की एक तालिका बनाई गई है और "स्तंभ" और "पंक्ति" की अवधारणाओं का अर्थ समझाया गया है। हम "बाएँ स्तंभ" और "दाएँ स्तंभ", "शीर्ष पंक्ति" और "निचली पंक्ति" की अवधारणाओं का परिचय देते हैं।

छात्रों के साथ मिलकर हम इन अवधारणाओं की अर्थपूर्ण व्याख्या दिखाते हैं (अनुकरण करते हैं)।

कॉलम दिखाएँ (बच्चे अपना हाथ ऊपर से नीचे की ओर घुमाते हैं)।

बायां कॉलम, दायां कॉलम दिखाएं (बच्चे अपनी बाहों को ऊपर से नीचे तक दो बार घुमाते हैं)।

रेखा दिखाएँ (अपने हाथ को बाएँ से दाएँ घुमाएँ)।

शीर्ष रेखा, निचली रेखा दिखाएं (दो हाथों की तरंगें शीर्ष रेखा, निचली रेखा दिखाती हैं)।

यह सुनिश्चित करना आवश्यक है कि छात्र सेल की स्थिति को सटीक रूप से इंगित करें: "ऊपरी बाएँ सेल", "निचला दायाँ सेल", आदि। उलटा समस्या तुरंत हल हो जाती है, अर्थात्: शिक्षक तालिका के कुछ सेल (मैट्रिक्स) की ओर इशारा करता है , छात्र इस सेल के लिए उचित नाम देता है। इसलिए, यदि कोई सेल उस ओर इंगित किया गया है जो शीर्ष पंक्ति और बाएं कॉलम के चौराहे पर स्थित है, तो छात्र को नाम देना चाहिए: "शीर्ष बाएं सेल।" इस तरह के अभ्यास धीरे-धीरे बच्चों को स्थानिक अभिविन्यास के आदी बनाते हैं और बाद में गणित की समन्वय पद्धति का अध्ययन करते समय महत्वपूर्ण होते हैं।

प्रारंभिक गणित के पहले पाठों के लिए संख्या श्रृंखला पर काम करना बहुत महत्वपूर्ण है।

संख्या रेखा के साथ दाईं ओर जाकर एक-एक करके संख्या श्रृंखला की वृद्धि को चित्रित करना सुविधाजनक है।

यदि चिह्न (+) एक संख्या रेखा के साथ एक-एक करके दाईं ओर जाने से जुड़ा है, तो चिह्न (-) एक-एक करके बाईं ओर वापस जाने से जुड़ा है, आदि। (इसलिए, हम दोनों चिह्नों को एक साथ एक ही समय में दिखाते हैं) पाठ।)

संख्या श्रृंखला के साथ काम करते हुए, हम निम्नलिखित अवधारणाओं का परिचय देते हैं: संख्या श्रृंखला की शुरुआत (संख्या शून्य) किरण के बाएं छोर को दर्शाती है; संख्या 1 एक इकाई खंड से मेल खाती है, जिसे संख्या श्रृंखला से अलग दर्शाया जाना चाहिए।

विद्यार्थियों से तीन के भीतर एक संख्या रेखा पर काम करने को कहें।

हम किन्हीं दो पड़ोसी संख्याओं का चयन करते हैं, उदाहरण के लिए 2 और 3। संख्या 2 से संख्या 3 की ओर बढ़ते हुए, बच्चे इस तरह तर्क करते हैं: "संख्या 2 के बाद संख्या 3 आती है।" नंबर 3 से नंबर 2 की ओर बढ़ते हुए वे कहते हैं:

"नंबर 3, नंबर 2 से पहले आता है" या: "नंबर 2, नंबर 3 से पहले आता है।"

यह विधि आपको पिछली और बाद की दोनों संख्याओं के संबंध में किसी दिए गए नंबर का स्थान निर्धारित करने की अनुमति देती है; संख्या की स्थिति की सापेक्षता पर तुरंत ध्यान देना उचित है, उदाहरण के लिए: संख्या 3 एक साथ बाद वाली (संख्या 2 के पीछे) और पिछली (संख्या 4 से पहले) दोनों है।

संख्या श्रृंखला के साथ संकेतित परिवर्तन संबंधित अंकगणितीय परिचालनों से जुड़े होने चाहिए।

उदाहरण के लिए, वाक्यांश "संख्या 2 के बाद संख्या 3 आती है" को प्रतीकात्मक रूप से इस प्रकार दर्शाया गया है: 2 + 1 = 3; हालाँकि, इसके तुरंत बाद विचारों का विपरीत संबंध बनाना मनोवैज्ञानिक रूप से फायदेमंद है, अर्थात्: अभिव्यक्ति "नंबर 3 से पहले नंबर 2 आता है" प्रविष्टि द्वारा समर्थित है: 3 - 1 = 2।

किसी संख्या श्रृंखला में किसी संख्या के स्थान की समझ हासिल करने के लिए युग्मित प्रश्न पूछे जाने चाहिए:

1. कौन सी संख्या के बाद संख्या 3 आती है? (अंक 3, अंक 2 के बाद आता है।) अंक 2 किस अंक से पहले आता है? (संख्या 2, संख्या 3 से पहले आती है।)

2. अंक 2 के बाद कौन सा अंक आता है? (संख्या 2 के बाद संख्या 3 आती है।) संख्या 3 से पहले कौन सी संख्या आती है? (संख्या 3, संख्या 2 से पहले आती है।)

3. अंक 2 किन संख्याओं के बीच स्थित है? (संख्या 2, संख्या 1 और संख्या 3 के बीच है।) संख्या 1 और 3 के बीच कौन सी संख्या है? (संख्या 1 और 3 के बीच संख्या 2 है।)

इन अभ्यासों में, गणितीय जानकारी फ़ंक्शन शब्दों में निहित होती है: पहले, पीछे, बीच में।

परिमाण के आधार पर संख्याओं की तुलना करने के साथ-साथ संख्या रेखा पर संख्याओं की स्थिति की तुलना करने के साथ संख्या श्रृंखला के साथ काम करना सुविधाजनक है। ज्यामितीय प्रकृति के निर्णयों के संबंध धीरे-धीरे विकसित होते हैं: संख्या 4 संख्या रेखा पर संख्या 3 के दाईं ओर है; इसका मतलब है कि 4, 3 से बड़ा है। और इसके विपरीत: संख्या 3, संख्या 4 के बाईं ओर की संख्या रेखा पर है; इसका मतलब है कि संख्या 3 संख्या 4 से कम है। इस प्रकार अवधारणाओं के जोड़े के बीच एक संबंध स्थापित होता है: दाईं ओर - अधिक, बाईं ओर - कम।

ऊपर से, हम ज्ञान के एकीकृत आत्मसात की एक विशिष्ट विशेषता देखते हैं: जोड़ और घटाव से जुड़ी अवधारणाओं का पूरा सेट एक दूसरे में उनके निरंतर संक्रमण (रीकोडिंग) में एक साथ पेश किया जाता है।

हमारी पाठ्यपुस्तक में संख्यात्मक संबंधों में महारत हासिल करने का मुख्य साधन रंगीन पट्टियाँ हैं; लंबाई के आधार पर उनकी तुलना करना सुविधाजनक है, जिससे यह पता चलता है कि ऊपरी या निचली पट्टी में कितनी कोशिकाएँ उनसे बड़ी या छोटी हैं। दूसरे शब्दों में, हम "खंडों की अंतर तुलना" की अवधारणा को एक विशेष विषय के रूप में पेश नहीं करते हैं, लेकिन छात्र पहले दस नंबरों के अध्ययन की शुरुआत में ही इससे परिचित हो जाते हैं। पहले दस के अध्ययन के लिए समर्पित पाठों में, रंगीन पट्टियों का उपयोग करना सुविधाजनक होता है, जो आपको पहले चरण के कार्यों के लिए मुख्य प्रकार के कार्यों के प्रोपेड्यूटिक्स को पूरा करने की अनुमति देता है।

आइए एक उदाहरण देखें.

कोशिकाओं में विभाजित दो रंगीन पट्टियों को एक दूसरे पर आरोपित होने दें:

निचले एक में - 3 कोशिकाएँ, ऊपरी एक में - 2 कोशिकाएँ (चित्र देखें)।

ऊपरी और निचली पट्टियों में कोशिकाओं की संख्या की तुलना करते हुए, शिक्षक परस्पर विपरीत क्रियाओं के दो उदाहरण बनाता है (2 + 1 = 3, 3 - 1 = 2), और इन उदाहरणों के समाधान सभी संभावित तरीकों से जोड़े में पढ़े जाते हैं:

2 + 1 = 3 3 – 1 = 2

ए) 1 में 2 जोड़ें - आपको 3 मिलता है; ए) 3 में से 1 घटाएं - आपको 2 मिलता है;

बी) 2 को 1 से बढ़ाएं - आपको 3 मिलता है; बी) 3 को 1 से कम करें - आपको 2 मिलता है;

ग) 3, 2 बटा 1 से अधिक है; ग) 2, 3 बटा 1 से कम है;

घ) 2 हाँ 1 3 होगा; घ) 1 के बिना 3 2 होंगे;

ई) संख्या 2 को संख्या 1 के साथ जोड़ें - ई) संख्या 1 को संख्या 3 से घटाएं -

यह निकला 3. यह निकला 2.

अध्यापक। यदि 2 को 1 से गुणा किया जाये तो कितना होगा?

विद्यार्थी। यदि आप 2 को 1 से बढ़ाते हैं, तो आपको 3 मिलता है।

अध्यापक। अब मुझे बताएं कि 2 पाने के लिए नंबर 3 के साथ क्या करना होगा?

विद्यार्थी। 2 प्राप्त करने के लिए 3 को 1 से कम करें।

आइए हम इस संवाद में विपक्ष के संचालन के व्यवस्थित रूप से सक्षम कार्यान्वयन की आवश्यकता पर ध्यान आकर्षित करें। ,

युग्मित अवधारणाओं (जोड़ें - घटाएँ, बढ़ाएँ - घटाएँ, अधिक - कम, हाँ - बिना, जोड़ें - घटाएँ) के अर्थ में बच्चों की आत्मविश्वासपूर्ण महारत उन्हें संख्याओं के समान त्रिगुण के आधार पर एक पाठ में उपयोग करके प्राप्त की जाती है (उदाहरण के लिए, 2 + 1 = =3, 3-1=2), एक प्रदर्शन पर आधारित - दो पट्टियों की लंबाई की तुलना।

यह आत्मसात की इकाइयों को समेकित करने की पद्धतिगत प्रणाली और इन बुनियादी अवधारणाओं के अलग-अलग अध्ययन की प्रणाली के बीच मूलभूत अंतर है, जिसमें गणित की विपरीत अवधारणाओं को, एक नियम के रूप में, छात्रों के भाषण अभ्यास में अलग से पेश किया जाता है।

सीखने का अनुभव अंकगणित के पहले पाठ से शुरू करके परस्पर विपरीत अवधारणाओं की जोड़ियों को एक साथ पेश करने के फायदे दिखाता है।

इसलिए, उदाहरण के लिए, तीन क्रियाओं का एक साथ उपयोग: "जोड़ें" (1 से 2 जोड़ें), "जोड़ें" (संख्या 1 के साथ संख्या 2 जोड़ें), "बढ़ाएँ" (1 से 2 वृद्धि), जिन्हें प्रतीकात्मक रूप से दर्शाया गया है समान रूप से (2+1=3), बच्चों को अर्थ में इन शब्दों की समानता और निकटता सीखने में मदद करता है (इसी तरह का तर्क "घटाना", "घटाना", "कम करना" शब्दों के संबंध में किया जा सकता है)।

उसी तरह, अंतर तुलना का सार प्रशिक्षण की शुरुआत से ही संख्याओं के जोड़े की तुलना के बार-बार उपयोग के माध्यम से सीखा जाता है, और पाठ में संवाद के प्रत्येक भाग में हल किए गए उदाहरण की व्याख्या के सभी संभावित मौखिक रूपों का उपयोग किया जाता है: “बड़ा क्या है: 2 या 3? 3, 2 से कितना अधिक है? 3 प्राप्त करने के लिए आपको 2 में कितना जोड़ने की आवश्यकता है? आदि। इन अवधारणाओं के अर्थ में महारत हासिल करने के लिए व्याकरणिक रूपों को बदलना और प्रश्नवाचक रूपों का लगातार उपयोग बहुत महत्वपूर्ण है।

दीर्घकालिक परीक्षणों ने पहले दस अंकों के मोनोग्राफिक अध्ययन के फायदे दिखाए हैं। प्रत्येक क्रमिक संख्या को बहुपक्षीय विश्लेषण के अधीन किया जाता है, इसके गठन के लिए सभी संभावित विकल्पों की गणना की जाती है; इस संख्या के भीतर, सभी संभावित क्रियाएं की जाती हैं, "सभी उपलब्ध गणित" को दोहराया जाता है, संख्याओं के बीच संबंध व्यक्त करने के सभी स्वीकार्य व्याकरणिक रूपों का उपयोग किया जाता है। बेशक, अध्ययन की इस प्रणाली के साथ, बाद की संख्याओं के कवरेज के संबंध में, पहले से अध्ययन किए गए उदाहरण दोहराए जाते हैं, अर्थात, संख्या श्रृंखला का विस्तार संख्याओं के पहले से माने गए संयोजनों और सरल समस्याओं की किस्मों की निरंतर पुनरावृत्ति के साथ किया जाता है। .

2.3 जोड़-घटाव, गुणा-भाग का संयुक्त अध्ययन

प्रारंभिक गणित की पद्धति में, इन दोनों संक्रियाओं पर अभ्यास आमतौर पर अलग-अलग माना जाता है। इस बीच, ऐसा लगता है कि दोहरे ऑपरेशन "जोड़ - शब्दों में अपघटन" का एक साथ अध्ययन अधिक बेहतर है।

छात्रों को अतिरिक्त समस्या हल करने दें: "तीन छड़ियों में 1 छड़ी जोड़ें - आपको 4 छड़ें मिलेंगी।" इस कार्य के बाद, तुरंत प्रश्न पूछा जाना चाहिए: "संख्या 4 में कौन सी संख्याएँ शामिल हैं?" 4 छड़ियों में 3 छड़ें (बच्चा 3 छड़ें गिनता है) और 1 छड़ी (1 और छड़ी अलग करती है) होती हैं।

प्रारंभिक अभ्यास किसी संख्या का अपघटन हो सकता है। शिक्षक पूछता है: "संख्या 5 में कौन सी संख्याएँ शामिल हैं?" (संख्या 5 में 3 और 2 शामिल हैं।) और तुरंत उन्हीं संख्याओं के बारे में एक प्रश्न पूछा जाता है: "यदि आप 2 से 3 जोड़ते हैं तो आपको कितना मिलेगा?" (2 में 3 जोड़ें - आपको 5 मिलता है।)

इसी उद्देश्य के लिए, उदाहरणों को दो दिशाओं में पढ़ने का अभ्यास करना उपयोगी है: 5+2=7। 2 को 5 में जोड़ें, आपको 7 मिलता है (बाएं से दाएं पढ़ें)। 7 में पद 2 और 5 शामिल हैं (दाएं से बाएं पढ़ें)।

कक्षा के अबेकस पर ऐसे अभ्यासों के साथ मौखिक विरोध को शामिल करना उपयोगी है, जो आपको संबंधित संचालन की विशिष्ट सामग्री को देखने की अनुमति देता है। संख्याओं पर क्रियाओं को देखने के साधन के रूप में एबेकस पर गणना अपरिहार्य है, और 10 के भीतर संख्याओं का आकार यहां एक तार पर स्थित हड्डियों के एक सेट की लंबाई से जुड़ा हुआ है (यह लंबाई छात्र द्वारा दृष्टि से देखी जाती है)। ऐसे "नवाचार" से सहमत होना असंभव है जब वर्तमान पाठ्यपुस्तकों और कार्यक्रमों ने पाठों में रूसी अबेकस के उपयोग को पूरी तरह से छोड़ दिया है।

इसलिए, जोड़ (5+2=7) के उदाहरण को हल करते समय, छात्र ने पहले अबेकस पर 5 टाइलें गिनीं, फिर उनमें 2 जोड़ दीं और उसके बाद योग की घोषणा की: "2 में 5 जोड़ें - आपको 7 मिलता है" ( परिणामी संख्या 7 का नाम, छात्र नई समग्रता की पुनर्गणना करके स्थापित करता है: "एक - दो - तीन - चार - पांच - छह - सात")।

विद्यार्थी। 2 में 5 जोड़ें और आपको 7 प्राप्त होगा।

अध्यापक। अब दिखाएँ कि संख्या 7 किन पदों से मिलकर बनी है।

विद्यार्थी (पहले दाईं ओर की दो हड्डियों को अलग करता है, फिर बोलता है)। अंक 7, 2 और 5 से मिलकर बना है।

इन अभ्यासों को करते समय, शुरुआत से ही "प्रथम पद" (5), "दूसरा पद" (2), और "योग" अवधारणाओं का उपयोग करने की सलाह दी जाती है।

निम्नलिखित प्रकार के कार्य प्रस्तावित हैं: क) दो पदों का योग 7 है; शर्तें खोजें; बी) संख्या 7 किन घटकों से बनी है?; ग) योग 7 को 2 पदों (3 पदों में) में विघटित करें। वगैरह।

जोड़ के क्रमविनिमेय नियम जैसी महत्वपूर्ण बीजगणितीय अवधारणा में महारत हासिल करने के लिए विभिन्न प्रकार के अभ्यासों की आवश्यकता होती है, जो शुरू में वस्तुओं के साथ व्यावहारिक जोड़-तोड़ पर आधारित होते हैं।

अध्यापक। अपने बाएँ हाथ में 3 छड़ियाँ और अपने दाहिने हाथ में 2 छड़ियाँ लें। कुल मिलाकर कितनी छड़ियाँ हैं?

विद्यार्थी। कुल मिलाकर 5 छड़ियाँ हैं।

अध्यापक। मैं इस बारे में और अधिक कैसे कह सकता हूँ?

विद्यार्थी। 3 छड़ियों में 2 छड़ें जोड़ें - 5 छड़ें होंगी।

अध्यापक। इस उदाहरण को कटी हुई संख्याओं से बनाएं। (छात्र एक उदाहरण बनाता है: 3+2=5।)

अध्यापक। अब चॉपस्टिक्स को स्वैप करें: अपने बाएं हाथ में चॉपस्टिक्स को अपने दाईं ओर स्थानांतरित करें, और चॉपस्टिक्स को अपने दाहिने हाथ से अपने बाईं ओर स्थानांतरित करें। अब दोनों हाथों में कितनी लाठियाँ हैं?

विद्यार्थी। कुल मिलाकर दोनों हाथों में 5 लाठियाँ थीं और अब फिर 5 लाठियाँ हैं।

अध्यापक। ऐसा क्यों हुआ?

विद्यार्थी। क्योंकि हमने कुछ भी अलग नहीं रखा और जितनी लाठियाँ थीं, उतनी ही रह गईं।

अध्यापक। कटी हुई संख्याओं से हल किए गए उदाहरण लिखें।

विद्यार्थी (एक तरफ रख देता है: 3+2=5, 2+3=5)। यहां नंबर 3 था, और अब नंबर 2 है। और यहां नंबर 2 था, और अब नंबर 3 है।

अध्यापक। हमने संख्या 2 और 3 की अदला-बदली की, लेकिन परिणाम वही रहा:

5. (विभाजित संख्याओं से एक उदाहरण बनता है: 3+2=2+3.)

क्रमविनिमेय नियम किसी संख्या को पदों में विघटित करने के अभ्यास में भी सीखा जाता है।

जोड़ का क्रमविनिमेय नियम कब लागू किया जाए?

जोड़ सिखाने का मुख्य लक्ष्य - पहले दस के भीतर ही - अभ्यासों में क्रमविनिमेय नियम की भूमिका पर लगातार जोर देना है।

बच्चों को पहले 6 छड़ियाँ गिनने दें; फिर हम उनमें तीन छड़ियाँ जोड़ते हैं और पुनर्गणना ("सात - आठ - नौ") द्वारा हम योग स्थापित करते हैं: 6 हाँ 3 - 9 होगा। तुरंत एक नया उदाहरण प्रस्तुत करना आवश्यक है: 3 + 6; नई राशि को शुरू में पुनर्गणना द्वारा फिर से स्थापित किया जा सकता है (अर्थात सबसे आदिम तरीके से), लेकिन धीरे-धीरे और उद्देश्यपूर्ण ढंग से किसी को उच्च कोड में एक समाधान विधि तैयार करनी चाहिए, यानी तार्किक रूप से, पुनर्गणना के बिना।

यदि 6 और 3 9 होंगे (उत्तर पुनर्गणना द्वारा स्थापित किया गया है), तो 3 और 6 (पुनर्गणना के बिना!) भी 9 होंगे!

संक्षेप में, जोड़ के क्रमविनिमेय गुण को अलग-अलग शब्दों को जोड़ने के अभ्यास की शुरुआत से ही पेश किया जाना चाहिए, ताकि चार उदाहरणों के लिए समाधान लिखना (उच्चारण करना) एक आदत बन जाए:

6 + 3 = 9, 9 - 3 = 6, 3 + 6 = 9, 9 – 6 = 3.

चार उदाहरण संकलित करना बच्चों के लिए सुलभ ज्ञान का विस्तार करने का एक साधन है।

हम देखते हैं कि अतिरिक्त ऑपरेशन की ऐसी महत्वपूर्ण विशेषता जैसे कि इसकी परिवर्तनशीलता कभी-कभी नहीं होनी चाहिए, बल्कि सही संख्यात्मक संघों को मजबूत करने का मुख्य तार्किक साधन बनना चाहिए। जोड़ की मुख्य संपत्ति - शब्दों की क्रमपरिवर्तनशीलता - को स्मृति में नए सारणीबद्ध परिणामों के संचय के संबंध में लगातार विचार किया जाना चाहिए।

हम देखते हैं: अधिक जटिल कम्प्यूटेशनल या तार्किक संचालन का संबंध प्राथमिक संचालन के समान जोड़ीदार संबंध (निकटता) पर आधारित होता है जिसके माध्यम से "जटिल" संचालन की एक जोड़ी निष्पादित की जाती है। दूसरे शब्दों में, जटिल अवधारणाओं का स्पष्ट विरोध सरल अवधारणाओं के निहित (अवचेतन) विरोध पर आधारित है।

गुणा और भाग का प्रारंभिक अध्ययन समस्याओं के तीन चक्रों (प्रत्येक चक्र में तीन कार्य) के निम्नलिखित अनुक्रम में करने की सलाह दी जाती है:

मैं चक्र करता हूं: ए, बी) निरंतर गुणन के साथ गुणा और सामग्री द्वारा विभाजन (एक साथ); ग) बराबर भागों में विभाजन।

चक्र II: ए, बी) संख्या में कई बार कमी और वृद्धि (एक साथ); ग) एकाधिक तुलना।

चक्र III: ए, बी) किसी संख्या का एक भाग और उसके एक भाग के आकार के आधार पर एक संख्या (एक साथ) खोजना; ग) समस्या का समाधान: "एक संख्या दूसरी संख्या का कौन सा भाग है?"

इन समस्याओं के अध्ययन की पद्धति प्रणाली पहले चरण (जोड़ और घटाव) की सरल समस्याओं के लिए ऊपर वर्णित प्रणाली के समान है।

सामग्री में गुणा और भाग का एक साथ अध्ययन। गुणन के लिए समर्पित दो या तीन पाठों में (और नहीं!), समान पदों के संक्षिप्त जोड़ के रूप में गुणन की अवधारणा का अर्थ स्पष्ट किया गया है (इन पाठों में विभाजन की क्रिया पर अभी तक चर्चा नहीं की गई है)। यह समय एकल-अंकीय संख्याओं द्वारा संख्या 2 के गुणन की तालिका का अध्ययन करने के लिए पर्याप्त है।

आमतौर पर, छात्रों को जोड़ को गुणा से बदलने का रिकॉर्ड दिखाया जाता है: 2+2+2+2=8; 2*4=8. यहां जोड़ और गुणा के बीच का संबंध जोड़-गुणा की दिशा में जाता है। छात्रों को तुरंत "गुणा-जोड़" (समान पद) के रूप में प्रतिक्रिया उत्पन्न करने के लिए डिज़ाइन किया गया एक अभ्यास प्रदान करना उचित है: इस प्रविष्टि को देखते हुए, छात्र को यह समझना चाहिए कि संख्या 2 को परिशिष्ट के रूप में जितनी बार दोहराया जाना चाहिए उदाहरण में गुणक (2*4= 8) दिखाता है।

दोनों प्रकार के व्यायामों का संयोजन उन महत्वपूर्ण स्थितियों में से एक है जो "गुणा" की अवधारणा के सचेतन आत्मसात को सुनिश्चित करता है, जिसका अर्थ है संक्षिप्त जोड़।

तीसरे पाठ में (या चौथे, वर्ग के आधार पर), गुणन के प्रत्येक ज्ञात मामले के लिए, विभाजन का एक संबंधित मामला दिया गया है। भविष्य में एक ही पाठ में गुणन और भाग पर एक साथ विचार करना लाभकारी होगा।

विभाजन की अवधारणा को प्रस्तुत करते समय, गुणन के विपरीत एक नई क्रिया की अवधारणा बनाने के लिए, उनसे शुरू करके गुणन के संबंधित मामलों को याद करना आवश्यक है।

इसलिए, "गुणा" की अवधारणा एक समृद्ध सामग्री प्राप्त करती है: यह न केवल समान पदों ("जोड़ का सामान्यीकरण") के योग का परिणाम है, बल्कि आधार, विभाजन का प्रारंभिक क्षण भी है, जो बदले में, प्रतिनिधित्व करता है "संक्षिप्त घटाव", अनुक्रमिक "घटाव को 2" से प्रतिस्थापित करना:

गुणन का अर्थ गुणन के माध्यम से नहीं, बल्कि गुणन और भाग के बीच निरंतर परिवर्तन के माध्यम से समझा जाता है, क्योंकि विभाजन एक छिपा हुआ, "संशोधित" गुणन है। यह बताता है कि हमेशा एक ही समय में गुणा और भाग का अध्ययन करना क्यों फायदेमंद है (सारणीबद्ध और अतिरिक्त-सारणीबद्ध दोनों; मौखिक और लिखित दोनों)।

गुणा और भाग के एक साथ अध्ययन पर पहला पाठ तार्किक संचालन के पांडित्यपूर्ण प्रसंस्करण के लिए समर्पित होना चाहिए, जो विभिन्न वस्तुओं (क्यूब्स, मशरूम, स्टिक, आदि) को इकट्ठा करने और वितरित करने में व्यापक व्यावहारिक गतिविधियों द्वारा हर संभव तरीके से समर्थित होना चाहिए। लेकिन विस्तृत कार्रवाइयों का क्रम वही रहना चाहिए.

इस कार्य का परिणाम साथ-साथ लिखी गई गुणा और भाग सारणी होगी:

2*2=4, 4:2=2,

2*3=6, 6: 2=3,

2*4=8, 8: 2=4,

2*5 = 10, 10: 2 = 5, आदि।

इस प्रकार, गुणन तालिका एक स्थिर गुणक का उपयोग करके बनाई जाती है, और विभाजन तालिका एक स्थिर भाजक का उपयोग करके बनाई जाती है।

इस कार्य के साथ छात्रों को समान उपप्रकारों के विभाजन से घटाव में संक्रमण पर एक संरचनात्मक रूप से विपरीत अभ्यास की पेशकश करना भी उपयोगी है।

दोहराव अभ्यास में, इस प्रकार के कार्यों की पेशकश करना उपयोगी है: 14:2==।

बराबर भागों में बाँटने का अध्ययन। संख्या 2 को गुणा करने और 2 से विभाजित करने के बाद एक साथ अध्ययन या दोहराया गया है, "समान भागों में विभाजन" (पहले चक्र की तीसरी प्रकार की समस्या) की अवधारणा को एक पाठ में पेश किया गया है।

समस्या पर विचार करें: “चार छात्र 2 नोटबुक लाए। आप कितनी नोटबुक लाए?”

शिक्षक समझाते हैं: 2 को 4 बार लीजिए - आपको 8 मिलेगा। (प्रविष्टि प्रकट होती है: 2*4 = 8.) व्युत्क्रम समस्या कौन लिखेगा?

और इस विषय पर गणित का पाठ संचालित करते समय शिक्षकों के अनुभव का सामान्यीकरण। पाठ्यक्रम कार्य में एक परिचय, दो अध्याय, एक निष्कर्ष और संदर्भों की एक सूची शामिल है। अध्याय I. प्राथमिक विद्यालय में गणित के पाठों में ज्यामितीय आकृतियों के क्षेत्र और इसकी माप की इकाइयों का अध्ययन करने की पद्धति संबंधी विशेषताएं 1.1 ज्यामितीय अवधारणाओं के निर्माण के चरण में प्राथमिक स्कूली बच्चों के विकास की आयु-संबंधित विशेषताएं...

फिर भी समस्याओं पर प्रकाश नहीं डालता. चूँकि कार्यों को बदलने के लिए शिक्षण विधियों के मुद्दे को कम से कम सीमा तक कवर किया गया है, हम इसका अध्ययन करना जारी रखेंगे। अध्याय II. समस्या परिवर्तन सिखाने की पद्धति। 2.1. प्राथमिक विद्यालय में गणित के पाठों में परिवर्तन संबंधी समस्याएं। चूँकि कार्यों के परिवर्तन के संबंध में बहुत कम विशिष्ट साहित्य है, इसलिए हमने शिक्षकों के बीच एक सर्वेक्षण करने का निर्णय लिया...

नई सामग्री सीखते समय, पाठ को इस तरह से संरचित करने की सिफारिश की जाती है कि कार्य शिक्षक या छात्र द्वारा किए गए विभिन्न प्रकार के प्रदर्शनों से शुरू हो। ज्यामितीय सामग्री का अध्ययन करते समय गणित के पाठों में दृश्य सहायता का उपयोग बच्चों को दृढ़ता से और सचेत रूप से सभी कार्यक्रम मुद्दों पर महारत हासिल करने की अनुमति देता है। गणित की भाषा प्रतीकों, पारंपरिक चिन्हों, रेखाचित्रों, ज्यामितीय... की भाषा है।