असमानताओं के मूल गुण। संख्यात्मक असमानताएँ और उनके गुण

निम्नलिखित गुण किसी भी संख्यात्मक अभिव्यक्ति के लिए सत्य हैं।

संपत्ति 1.यदि हम वास्तविक संख्यात्मक असमानता के दोनों पक्षों में एक ही बात जोड़ते हैं संख्यात्मक अभिव्यक्ति, तो हमें सही संख्यात्मक असमानता मिलती है, अर्थात निम्नलिखित सत्य है: ; .

सबूत।अगर । हमारे पास अतिरिक्त संक्रिया के क्रमविनिमेय, साहचर्य और वितरण गुणों का उपयोग करना है:।

इसलिए, संबंध की परिभाषा के अनुसार "से अधिक" .

संपत्ति 2. यदि हम एक वास्तविक संख्यात्मक असमानता के दोनों पक्षों से समान संख्यात्मक अभिव्यक्ति घटाते हैं, तो हमें एक वास्तविक संख्यात्मक असमानता प्राप्त होती है, अर्थात, निम्नलिखित सत्य है: ;

सबूत।शर्त से . पिछली संपत्ति का उपयोग करते हुए, हम इस असमानता के दोनों पक्षों में संख्यात्मक अभिव्यक्ति जोड़ते हैं, और हम प्राप्त करते हैं:।

जोड़ संक्रिया के साहचर्य गुण का उपयोग करते हुए, हमारे पास है: , इसलिए , इस तरह ।

परिणाम।किसी भी पद को संख्यात्मक असमानता के एक भाग से दूसरे भाग में स्थानांतरित किया जा सकता है विपरीत संकेत.

संपत्ति 3. यदि हम सही संख्यात्मक असमानताओं को पद दर पद जोड़ते हैं, तो हमें सही संख्यात्मक असमानता प्राप्त होती है, अर्थात सत्य:

सबूत।संपत्ति 1 से हमारे पास है: और, संबंध "अधिक" की परिवर्तनीयता संपत्ति का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं: .

संपत्ति 4.विपरीत अर्थ की सच्ची संख्यात्मक असमानताओं को पद दर पद घटाया जा सकता है, असमानता के संकेत को संरक्षित करते हुए जिससे हम घटा रहे हैं, वह है: ;

सबूत।वास्तविक संख्यात्मक असमानताओं की परिभाषा के अनुसार . संपत्ति 3 द्वारा, यदि . इस प्रमेय की संपत्ति 2 के परिणामस्वरूप, किसी भी पद को असमानता के एक भाग से दूसरे भाग में विपरीत चिह्न के साथ स्थानांतरित किया जा सकता है। इस तरह, . इस प्रकार, यदि .

इसी प्रकार संपत्ति सिद्ध होती है।

संपत्ति 5.यदि किसी वैध संख्यात्मक असमानता के दोनों पक्षों को एक ही संख्यात्मक अभिव्यक्ति से गुणा किया जाता है, जो लेता है सकारात्मक मूल्य, असमानता के चिह्न को बदले बिना, हम सही संख्यात्मक असमानता प्राप्त करते हैं, अर्थात:

सबूत।से क्या . हमारे पास है: तब . घटाव के सापेक्ष गुणन संक्रिया की वितरणशीलता का उपयोग करते हुए, हमारे पास है:।

तब परिभाषा के अनुसार संबंध "इससे भी बड़ा" है।

इसी प्रकार संपत्ति सिद्ध होती है।

संपत्ति 6.यदि किसी वैध संख्यात्मक असमानता के दोनों पक्षों को एक ही संख्यात्मक अभिव्यक्ति से गुणा किया जाता है, जो लेता है नकारात्मक मूल्य, असमानता चिह्न को विपरीत चिह्न में बदलने पर, हमें सही संख्यात्मक असमानता प्राप्त होती है, अर्थात: ;

संपत्ति 7.यदि वास्तविक संख्यात्मक असमानता के दोनों पक्षों को एक ही संख्यात्मक अभिव्यक्ति से विभाजित किया जाता है जो असमानता के संकेत को बदले बिना सकारात्मक मान लेता है, तो हमें एक वास्तविक संख्यात्मक असमानता प्राप्त होती है, वह है:


सबूत।हमारे पास है: . संपत्ति 5 से, हमें मिलता है:। गुणन संक्रिया की साहचर्यता का उपयोग करते हुए, हमारे पास है: इस तरह ।

इसी प्रकार संपत्ति सिद्ध होती है।

संपत्ति 8.यदि एक सही संख्यात्मक असमानता के दोनों हिस्सों को एक ही संख्यात्मक अभिव्यक्ति से विभाजित किया जाता है जो एक नकारात्मक मान लेता है, असमानता के संकेत को विपरीत में बदल देता है, तो हमें एक सही संख्यात्मक असमानता प्राप्त होती है, जो है: ;

हम इस संपत्ति का प्रमाण छोड़ देते हैं।

संपत्ति 9.यदि हम पद दर पद गुणा करते हैं, समान अर्थ की संख्यात्मक असमानताओं को नकारात्मक भागों के साथ सही करते हैं, असमानता के चिह्न को विपरीत में बदलते हैं, तो हमें एक सही संख्यात्मक असमानता प्राप्त होती है, जो है:

हम इस संपत्ति का प्रमाण छोड़ देते हैं।

संपत्ति 10.यदि हम पद दर पद गुणा करते हैं, असमानता के चिह्न को बदले बिना, सकारात्मक भागों के साथ समान अर्थ की संख्यात्मक असमानताओं को सही करते हैं, तो हमें एक सही संख्यात्मक असमानता प्राप्त होती है, जो है:

हम इस संपत्ति का प्रमाण छोड़ देते हैं।

संपत्ति 11.यदि हम विपरीत अर्थ वाली सही संख्यात्मक असमानता को सकारात्मक भागों वाले पदों से विभाजित करते हैं, तो पहली असमानता के संकेत को संरक्षित करते हुए, हमें एक सही संख्यात्मक असमानता प्राप्त होती है, जो है:

;

.

हम इस संपत्ति का प्रमाण छोड़ देते हैं।

उदाहरण 1.असमानताएं हैं और समकक्ष?

समाधान।दूसरी असमानता पहली असमानता से उसके दोनों भागों में एक ही अभिव्यक्ति जोड़कर प्राप्त की जाती है, जिसे परिभाषित नहीं किया गया है। इसका मतलब यह है कि संख्या पहली असमानता का समाधान नहीं हो सकती। हालाँकि, यह दूसरी असमानता का समाधान है। तो दूसरी असमानता का एक समाधान है जो पहली असमानता का समाधान नहीं है। इसलिए, ये असमानताएँ समतुल्य नहीं हैं। दूसरी असमानता पहली असमानता का परिणाम है, क्योंकि पहली असमानता का कोई भी समाधान दूसरी असमानता का समाधान होता है।

विषय पर पाठ और प्रस्तुति: "संख्यात्मक असमानताओं के मूल गुण और उन्हें हल करने के तरीके।"

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संख्यात्मक असमानताओं का परिचय

दोस्तों, हम पहले ही असमानताओं का सामना कर चुके हैं, उदाहरण के लिए, जब हमने वर्गमूल की अवधारणा से परिचित होना शुरू किया। सहजता से, असमानताओं का उपयोग करके आप अनुमान लगा सकते हैं कि दी गई संख्याओं में से कौन सी संख्या अधिक या कम है। गणितीय विवरण के लिए, एक विशेष प्रतीक जोड़ना पर्याप्त है जिसका अर्थ या तो अधिक या कम होगा।

व्यंजक $a>b$ को लिखना गणितीय भाषाइसका मतलब है कि संख्या $a$ अधिक संख्या$बी$. बदले में, इसका मतलब है कि $a-b$ एक सकारात्मक संख्या है।
व्यंजक $a लिखना ऋणात्मक संख्या.

लगभग सभी गणितीय वस्तुओं की तरह, असमानताओं में भी कुछ गुण होते हैं। हम इस पाठ में इन गुणों का अध्ययन करेंगे।

संपत्ति 1.
यदि $a>b$ और $b>c$, तो $a>c$।

सबूत।
जाहिर है, $10>5$, और $5>2$, और निश्चित रूप से $10>2$। लेकिन गणित को सबसे सामान्य मामले के लिए कठोर प्रमाण पसंद हैं।
यदि $a>b$, तो $a-b$ एक धनात्मक संख्या है। यदि $b>c$, तो $b-c$ एक धनात्मक संख्या है। आइए दो परिणामी सकारात्मक संख्याओं को जोड़ें।
$a-b+b-c=a-c$.
दो धनात्मक संख्याओं का योग एक धनात्मक संख्या है, लेकिन फिर $a-c$ भी एक धनात्मक संख्या है। जिससे यह निष्कर्ष निकलता है कि $a>c$. संपत्ति सिद्ध हो चुकी है.

इस गुण को संख्या रेखा का उपयोग करके अधिक स्पष्ट रूप से दिखाया जा सकता है। यदि $a>b$, तो संख्या रेखा पर संख्या $a$ $b$ के दाईं ओर स्थित होगी। तदनुसार, यदि $b>c$, तो संख्या $b$ संख्या $c$ के दाईं ओर स्थित होगी।
जैसा कि चित्र से देखा जा सकता है, हमारे मामले में बिंदु $a$ स्थित है बिंदु के दाईं ओर$c$, जिसका अर्थ है कि $a>c$।

संपत्ति 2.
यदि $a>b$, तो $a+c>b+c$।
दूसरे शब्दों में, यदि संख्या $a$, संख्या $b$ से बड़ी है, तो चाहे हम इन संख्याओं में कोई भी संख्या (सकारात्मक या नकारात्मक) जोड़ें, असमानता चिह्न भी संरक्षित रहेगा। इस संपत्ति को साबित करना बहुत आसान है. आपको घटाव करना होगा. जो चर जोड़ा गया था वह गायब हो जाएगा और मूल असमानता सही हो जाएगी।

संपत्ति 3.
a) यदि असमानता के दोनों पक्षों को एक धनात्मक संख्या से गुणा किया जाता है, तो असमानता का चिह्न संरक्षित रहता है।
यदि $a>b$ और $c>0$, तो $ac>bc$।
ख) यदि असमानता के दोनों पक्षों को ऋणात्मक संख्या से गुणा किया जाता है, तो असमानता का चिह्न उलटा होना चाहिए।
यदि $a>b$ और $c यदि $a बीसी$.
विभाजित करते समय, आपको उसी तरह आगे बढ़ना चाहिए (एक सकारात्मक संख्या से विभाजित करें - चिह्न वही रहता है, एक ऋणात्मक संख्या से विभाजित करें - चिह्न बदल जाता है)।

संपत्ति 4.
यदि $a>b$ और $c>d$, तो $a+c>b+d$।

सबूत।
शर्त से: $a-b$ एक धनात्मक संख्या है और $c-d$ एक धनात्मक संख्या है।
फिर योग $(a-b)+(c-d)$ भी एक धनात्मक संख्या है।
आइए कुछ शब्दों की अदला-बदली करें $(a+c)-(b+d)$.
पदों के स्थान बदलने से योग नहीं बदलता है।
इसका मतलब है कि $(a+c)-(b+d)$ एक धनात्मक संख्या है और $a+c>b+d$ है।
संपत्ति सिद्ध हो चुकी है.

संपत्ति 5.
यदि $a, b ,c, d$ - सकारात्मक संख्याऔर $a>b$, $c>d$, फिर $ac>bd$।

सबूत।
चूँकि $a>b$ और $c>0$, तो, संपत्ति 3 का उपयोग करते हुए, हमारे पास $ac>bc$ है।
चूँकि $c>d$ और $b>0$, तो, संपत्ति 3 का उपयोग करते हुए, हमारे पास $cb>bd$ है।
तो, $ac>bc$ और $bc >bd$।
फिर, संपत्ति 1 का उपयोग करके, हम $ac>bd$ प्राप्त करते हैं। क्यू.ई.डी.

परिभाषा।
$a>b$ और $c>d$ ($a) रूप की असमानताएँ $a>b$ और $c रूप की असमानताएँ d$) विपरीत अर्थ वाली असमानताएँ कहलाती हैं।

फिर संपत्ति 5 को दोबारा दोहराया जा सकता है। एक ही अर्थ की असमानताओं को, जिनके बाएँ और दाएँ पक्ष धनात्मक हों, गुणा करने पर समान अर्थ की असमानता प्राप्त होती है।

संपत्ति 6.
यदि $a>b$ ($a>0$, $b>0$), तो $a^n>b^n$, जहां $n$ कोई प्राकृतिक संख्या है।
यदि असमानता के दोनों पक्ष सकारात्मक संख्याएँ हैं और उन्हें एक ही प्राकृतिक शक्ति तक बढ़ा दिया गया है, तो समान अर्थ वाली असमानता प्राप्त होगी।
ध्यान दें: यदि $n$ – विषम संख्या, तो किसी भी चिह्न के $a$ और $b$ के लिए, संपत्ति 6 ​​संतुष्ट है।

संपत्ति 7.
यदि $a>b$ ($a>0$, $b>0$), तो $\frac(1)(a)

सबूत।
इस गुण को सिद्ध करने के लिए, ऋणात्मक संख्या प्राप्त करने के लिए $\frac(1)(a)-\frac(1)(b)$ को घटाना आवश्यक है।
$\frac(1)(a)-\frac(1)(b)=\frac(b-a)(ab)=\frac(-(a-b))(ab)$.

हम जानते हैं कि $a-b$ एक धनात्मक संख्या है, और दो धनात्मक संख्याओं का गुणनफल भी एक धनात्मक संख्या है, अर्थात। $ab>0$.
फिर $\frac(-(a-b))(ab)$ एक ऋणात्मक संख्या है। संपत्ति सिद्ध हो चुकी है.

संपत्ति 8.
यदि $a>0$, तो असमानता इस प्रकार है: $a+\frac(1)(a)≥2$.

सबूत।
आइए अंतर पर विचार करें.
$a+\frac(1)(a)-2=\frac(a^2-2a+1)(a)=\frac((a-1)^2)(a)$ एक गैर-ऋणात्मक संख्या है।
संपत्ति सिद्ध हो चुकी है.

संपत्ति 9.कॉची की असमानता (अंकगणितीय माध्य ज्यामितीय माध्य से अधिक या उसके बराबर है)।
यदि $a$ और $b$ गैर-ऋणात्मक संख्याएं हैं, तो असमानता इस प्रकार है: $\frac(a+b)(2)≥\sqrt(ab)$.

सबूत।
आइए अंतर पर विचार करें:
$\frac(a+b)(2)-\sqrt(ab)=\frac(a-2\sqrt(ab)+b)(2)=\frac((\sqrt(a)-\sqrt(b) ))^2)(2)$ एक गैर-ऋणात्मक संख्या है।
संपत्ति सिद्ध हो चुकी है.

असमानताओं को हल करने के उदाहरण

उदाहरण 1.
ज्ञातव्य है कि $-1.5 ए) $3ए$।
बी) $-2बी$।
ग) $ए+बी$।
घ) $ए-बी$।
ई) $बी^2$।
ई) $a^3$।
जी) $\frac(1)(बी)$.

समाधान।
ए) आइए संपत्ति 3 का उपयोग करें। एक सकारात्मक संख्या से गुणा करें, जिसका अर्थ है कि असमानता का चिह्न नहीं बदलता है।
$-1.5*3 $-4.5<3a<6.3$.

बी) आइए संपत्ति 3 का उपयोग करें। एक ऋणात्मक संख्या से गुणा करें, जिसका अर्थ है कि असमानता का संकेत बदल जाता है।
$-2*3.1>-2*b>-2*5.3$.
$-10.3
ग) समान अर्थ की असमानताओं को जोड़ने पर, हमें समान अर्थ की असमानता प्राप्त होती है।
$-1.5+3.1 $1.6

डी) असमानता के सभी भागों को $3.1 से गुणा करें $-5.3<-b<-3.1$.
अब जोड़ की कार्रवाई करते हैं।
$-1.5-5.3 $-6.8

डी) असमानता के सभी भाग सकारात्मक हैं, उनका वर्ग करने पर हमें समान अर्थ की असमानता प्राप्त होती है।
${3.1}^2 $9.61

ई) असमानता की डिग्री विषम है, तो आप इसे सुरक्षित रूप से एक घात तक बढ़ा सकते हैं और संकेत नहीं बदल सकते।
${(-1.5)}^3 $-3.375

जी) आइए संपत्ति 7 का उपयोग करें।
$\frac(1)(5.3)<\frac{1}{b}<\frac{1}{3.1}$.
$\frac(10)(53)<\frac{1}{b}<\frac{10}{31}$.

उदाहरण 2.
संख्याओं की तुलना करें:
a) $\sqrt(5)+\sqrt(7)$ और $2+\sqrt(8)$.
बी) $π+\sqrt(8)$ और $4+\sqrt(10)$.

समाधान।
क) आइए प्रत्येक संख्या का वर्ग करें।
$(\sqrt(5)+\sqrt(7))^2=5+2\sqrt(35)+7=12+\sqrt(140)$.
$(2+\sqrt(8))^2=4+4\sqrt(8)+8=12+\sqrt(128)$.
आइए इन वर्गों के वर्गों के बीच अंतर की गणना करें।
$(\sqrt(5)+\sqrt(7))^2-(2+\sqrt(8))^2=12+\sqrt(140)-12-\sqrt(128)=\sqrt(140) -\sqrt(128)$.
जाहिर है, हमें एक सकारात्मक संख्या मिली, जिसका अर्थ है:
$(\sqrt(5)+\sqrt(7))^2>(2+\sqrt(8))^2$.
चूँकि दोनों संख्याएँ धनात्मक हैं, तो:
$\sqrt(5)+\sqrt(7)>2+\sqrt(8)$.

स्वतंत्र रूप से हल करने योग्य समस्याएं

1. यह ज्ञात है कि $-2.2 संख्याओं का अनुमान लगाएं.
ए) $4ए$।
बी) $-3बी$।
ग) $ए+बी$।
घ) $ए-बी$।
ई) $बी^4$।
ई) $a^3$।
जी) $\frac(1)(बी)$.
2. संख्याओं की तुलना करें:
a) $\sqrt(6)+\sqrt(10)$ और $3+\sqrt(7)$.
बी) $π+\sqrt(5)$ और $2+\sqrt(3)$.

वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र में क्रम देने का गुण होता है (धारा 6, पृष्ठ 35): किसी भी संख्या के लिए ए, बी, एक और केवल तीन संबंधों में से एक धारण करता है: या। इस मामले में, प्रविष्टि a > b का अर्थ है कि अंतर सकारात्मक है, और प्रविष्टि अंतर नकारात्मक है। वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र के विपरीत, जटिल संख्याओं का क्षेत्र क्रमबद्ध नहीं है: जटिल संख्याओं के लिए "अधिक" और "कम" की अवधारणाओं को परिभाषित नहीं किया गया है; इसलिए, यह अध्याय केवल वास्तविक संख्याओं से संबंधित है।

हम संबंधों को असमानताएँ कहते हैं, संख्याएँ a और b असमानता के पद (या भाग) हैं, चिह्न > (से अधिक) और असमानताएँ a > b और c > d समान (या समान) अर्थ वाली असमानताएँ कहलाती हैं; असमानताएँ a > b और c असमानता की परिभाषा से यह तुरंत अनुसरण करता है

1) शून्य से बड़ी कोई धनात्मक संख्या;

2) कोई भी ऋणात्मक संख्या शून्य से कम होती है;

3) कोई भी धनात्मक संख्या किसी भी ऋणात्मक संख्या से बड़ी होती है;

4) दो ऋणात्मक संख्याओं में से, जिसका निरपेक्ष मान छोटा है, वह बड़ी है।

ये सभी कथन एक सरल ज्यामितीय व्याख्या को स्वीकार करते हैं। मान लें कि संख्या अक्ष की सकारात्मक दिशा प्रारंभिक बिंदु के दाईं ओर जाती है; फिर, संख्याओं के चिह्न जो भी हों, उनमें से बड़ी संख्या को छोटी संख्या को दर्शाने वाले बिंदु के दाईं ओर स्थित एक बिंदु द्वारा दर्शाया जाता है।

असमानताओं में निम्नलिखित मूल गुण होते हैं।

1. विषमता (अपरिवर्तनीयता): यदि, तो, और इसके विपरीत।

वास्तव में, यदि अंतर सकारात्मक है, तो अंतर नकारात्मक है। वे कहते हैं कि असमानता की शर्तों को पुनर्व्यवस्थित करते समय, असमानता का अर्थ विपरीत में बदलना चाहिए।

2. परिवर्तनशीलता: यदि , तो . दरअसल, मतभेदों की सकारात्मकता से यह पता चलता है

असमानता चिह्नों के अलावा, असमानता चिह्नों का भी उपयोग किया जाता है, इन्हें इस प्रकार परिभाषित किया जाता है: प्रविष्टि का अर्थ है कि या तो, उदाहरण के लिए, आप लिख सकते हैं, और भी। आमतौर पर, संकेतों का उपयोग करके लिखी गई असमानताओं को सख्त असमानताएं कहा जाता है, और संकेतों का उपयोग करके लिखी गई असमानताओं को गैर-सख्त असमानताएं कहा जाता है। तदनुसार, संकेतों को स्वयं सख्त या गैर-सख्त असमानता के संकेत कहा जाता है। ऊपर चर्चा की गई गुण 1 और 2 गैर-सख्त असमानताओं के लिए भी सत्य हैं।

आइए अब उन क्रियाओं पर विचार करें जो एक या अधिक असमानताओं पर की जा सकती हैं।

3. असमानता के पदों में समान संख्या जोड़ने से असमानता का अर्थ नहीं बदलता है।

सबूत। मान लीजिए कि एक असमानता और एक मनमाना संख्या दी गई है। परिभाषा के अनुसार, अंतर सकारात्मक है. आइए इस संख्या में दो विपरीत संख्याएँ जोड़ें, जिससे इसमें कोई बदलाव नहीं आएगा, अर्थात।

इस समानता को इस प्रकार पुनः लिखा जा सकता है:

इससे यह पता चलता है कि अंतर सकारात्मक है, अर्थात्

और यही सिद्ध करना था।

यह असमानता के किसी भी सदस्य के एक भाग से दूसरे भाग में विपरीत चिन्ह के साथ तिरछे होने की संभावना का आधार है। उदाहरण के लिए, असमानता से

यह उसका अनुसरण करता है

4. किसी असमानता के पदों को उसी धनात्मक संख्या से गुणा करने पर असमानता का अर्थ नहीं बदलता है; जब किसी असमानता के पदों को उसी ऋणात्मक संख्या से गुणा किया जाता है, तो असमानता का अर्थ विपरीत में बदल जाता है।

सबूत। मान लीजिए यदि तब चूँकि धनात्मक संख्याओं का गुणनफल धनात्मक है। अंतिम असमानता के बाईं ओर कोष्ठक खोलने पर, हम प्राप्त करते हैं, अर्थात। मामले पर इसी तरह विचार किया जा रहा है.

ठीक यही निष्कर्ष असमानता के भागों को शून्य के अलावा किसी अन्य संख्या से विभाजित करने के संबंध में भी निकाला जा सकता है, क्योंकि किसी संख्या से भाग करना किसी संख्या से गुणा करने के बराबर होता है और संख्याओं के चिह्न समान होते हैं।

5. मान लीजिए कि असमानता की शर्तें सकारात्मक हैं। फिर, जब इसकी शर्तों को उसी सकारात्मक शक्ति तक बढ़ा दिया जाता है, तो असमानता का अर्थ नहीं बदलता है।

सबूत। इस मामले में, परिवर्तनशीलता संपत्ति द्वारा, और दें। फिर, पावर फ़ंक्शन की मोनोटोनिक वृद्धि के कारण और सकारात्मक, हमारे पास होगा

विशेषकर, यदि कोई प्राकृत संख्या कहां है, तो हमें प्राप्त होती है

अर्थात् किसी असमानता के दोनों पक्षों से सकारात्मक पदों के साथ मूल निकालने पर असमानता का अर्थ नहीं बदलता है।

मान लीजिए कि असमानता की शर्तें नकारात्मक हैं। तब यह सिद्ध करना कठिन नहीं है कि जब इसकी शर्तों को एक विषम प्राकृतिक शक्ति तक बढ़ाया जाता है, तो असमानता का अर्थ नहीं बदलता है, लेकिन जब एक सम प्राकृतिक शक्ति तक उठाया जाता है, तो यह विपरीत में बदल जाता है। नकारात्मक पदों वाली असमानताओं से विषम डिग्री का मूल भी निकाला जा सकता है।

मान लीजिए, इसके अलावा, असमानता की शर्तों के अलग-अलग संकेत हैं। फिर, इसे एक विषम घात तक बढ़ाने पर, असमानता का अर्थ नहीं बदलता है, लेकिन इसे एक सम घात तक बढ़ाने पर, सामान्य स्थिति में, परिणामी असमानता के अर्थ के बारे में कुछ भी निश्चित नहीं कहा जा सकता है। वास्तव में, जब किसी संख्या को विषम घात तक बढ़ाया जाता है, तो संख्या का चिह्न संरक्षित रहता है और इसलिए असमानता का अर्थ नहीं बदलता है। जब एक असमानता को एक सम घात तक बढ़ा दिया जाता है, तो सकारात्मक पदों वाली एक असमानता बनती है, और इसका अर्थ मूल असमानता की शर्तों के पूर्ण मूल्यों पर निर्भर करेगा, एक असमानता जिसका अर्थ मूल असमानता है; विपरीत अर्थ का, और समानता भी प्राप्त की जा सकती है!

निम्नलिखित उदाहरण का उपयोग करके शक्तियों में असमानताएँ बढ़ाने के बारे में कही गई हर बात की जाँच करना उपयोगी है।

उदाहरण 1. यदि आवश्यक हो, तो असमानता चिह्न को विपरीत या समान चिह्न में बदलते हुए, निम्नलिखित असमानताओं को संकेतित घात तक बढ़ाएँ।

ए) 3 > 2 से 4 की घात; बी) डिग्री 3 तक;

ग) डिग्री 3 तक; घ) डिग्री 2 तक;

ई) 5 की घात तक; ई) डिग्री 4 तक;

छ) 2 > -3 से 2 की घात; ज) 2 की घात तक,

6. एक असमानता से हम एक असमानता की ओर बढ़ सकते हैं यदि असमानता के दोनों पद सकारात्मक या दोनों नकारात्मक हैं, तो उनके व्युत्क्रमों के बीच विपरीत अर्थ वाली असमानता होती है:

सबूत। यदि a और b एक ही चिन्ह के हों तो उनका गुणनफल धनात्मक होता है। असमानता से विभाजित करें

यानी, जो प्राप्त करना आवश्यक था।

यदि किसी असमानता के पदों के विपरीत चिह्न हों, तो उनके व्युत्क्रमों के बीच असमानता का एक ही अर्थ होता है, क्योंकि व्युत्क्रमों के चिह्न स्वयं मात्राओं के चिह्नों के समान होते हैं।

उदाहरण 2. निम्नलिखित असमानताओं का उपयोग करके अंतिम संपत्ति 6 ​​की जाँच करें:

7. असमानताओं का लघुगणक तभी किया जा सकता है जब असमानताओं के पद धनात्मक हों (नकारात्मक संख्याएँ और शून्य लघुगणक नहीं होते)।

होने देना । फिर होगा

और जब होगा

इन कथनों की शुद्धता लॉगरिदमिक फ़ंक्शन की एकरसता पर आधारित है, जो आधार के साथ बढ़ती है और घटती जाती है

अत: जब किसी असमानता के लघुगणक को सकारात्मक पदों से युक्त आधार पर एक से बड़े आधार पर ले जाते हैं, तो दिए गए अर्थ के समान अर्थ वाली असमानता बन जाती है, और जब लघुगणक को एक से कम सकारात्मक आधार पर ले जाते हैं, तो एक असमानता बन जाती है विपरीत अर्थ बनता है.

8. यदि, तब यदि, परन्तु, तब।

यह तुरंत घातीय फलन (धारा 42) के एकरसता गुणों का अनुसरण करता है, जो मामले में बढ़ता है और घटता है यदि

समान अर्थ की पदवार असमानताओं को जोड़ने पर डेटा के समान अर्थ की असमानता बनती है।

सबूत। आइए हम इस कथन को दो असमानताओं के लिए सिद्ध करें, हालाँकि यह किसी भी संख्या में जोड़ी गई असमानताओं के लिए सत्य है। असमानताएं दी जाएं

परिभाषा के अनुसार, संख्याएँ सकारात्मक होंगी; तो उनका योग भी धनात्मक हो जाता है, अर्थात

पदों को अलग-अलग समूहीकृत करने पर, हमें प्राप्त होता है

और इसलिए

और यही सिद्ध करना था।

विभिन्न अर्थों की दो या दो से अधिक असमानताओं को जोड़कर प्राप्त असमानता के अर्थ के बारे में सामान्य स्थिति में कुछ भी निश्चित कहना असंभव है।

10. यदि एक असमानता से हम पद दर पद घटाते हैं, विपरीत अर्थ वाली दूसरी असमानता, तो पहले के समान अर्थ वाली एक असमानता बनती है।

सबूत। अलग-अलग अर्थों वाली दो असमानताएँ दी गई हैं। उनमें से दूसरे को, अपरिवर्तनीयता के गुण के अनुसार, निम्नानुसार फिर से लिखा जा सकता है: d > c. आइए अब हम समान अर्थ वाली दो असमानताओं को जोड़ें और असमानता प्राप्त करें

वही अर्थ. उत्तरार्द्ध से हम पाते हैं

और यही सिद्ध करना था।

एक असमानता में से उसी अर्थ की दूसरी असमानता घटाने पर प्राप्त असमानता के अर्थ के बारे में सामान्य स्थिति में कुछ भी निश्चित कहना असंभव है।

संख्यात्मक असमानताएँ और उनके गुण

प्रस्तुति संख्यात्मक असमानताओं और संख्यात्मक असमानताओं के गुण विषयों की सामग्री का विवरण देती है, और संख्यात्मक असमानताओं को साबित करने के उदाहरण प्रदान करती है। (बीजगणित 8वीं कक्षा, लेखक मकारिचेव यू.एन.)

दस्तावेज़ सामग्री देखें
"संख्यात्मक असमानताएँ और उनके गुण"

संख्यात्मक असमानताएँ

और उनके गुण

नगरपालिका शैक्षणिक संस्थान "उपशिंस्काया माध्यमिक विद्यालय" में गणित शिक्षक

मैरी एल गणराज्य का ओरशा जिला

(यू.ए. मकारिचेव बीजगणित 8 की पाठ्यपुस्तक के लिए


संख्यात्मक असमानताएँ

दो या दो से अधिक संख्याओं की तुलना करने का परिणाम चिन्हों का प्रयोग करके असमानताओं के रूप में लिखा जाता है , , =

हम संख्याओं की तुलना का उपयोग करके करते हैं विभिन्ननियम (तरीके)। सामान्यीकरण करना सुविधाजनक हैतुलना की एक विधि जो सभी मामलों को कवर करती है।


परिभाषा:

संख्या ए यदि अंतर ( ए – बी) एक सकारात्मक संख्या है.

संख्या ए b से कम है यदि अंतर ( ए – बी) एक ऋणात्मक संख्या है.

संख्या ए यदि अंतर ( ए – बी) – शून्य के बराबर


संख्याओं की तुलना करने का एक सामान्य तरीका

उदाहरण 1.


असमानताओं को सिद्ध करने के लिए संख्याओं की तुलना करने की सामान्यीकृत विधि का अनुप्रयोग

उदाहरण 2. सिद्ध करें कि दो धनात्मक संख्याओं का अंकगणितीय माध्य इन संख्याओं के ज्यामितीय माध्य से कम नहीं है।





यदि वास्तविक असमानता के दोनों पक्षों को एक ही धनात्मक संख्या से गुणा या विभाजित किया जाता है, तो आपको वास्तविक असमानता प्राप्त होती है।

यदि वास्तविक असमानता के दोनों पक्षों को एक ही ऋणात्मक संख्या से गुणा या विभाजित किया जाता है और असमानता का चिह्न उलट दिया जाता है, तो आपको वास्तविक असमानता प्राप्त होती है।





पी = 3ए

प्रत्येक असमानता के दोनों पक्षों को 3 से गुणा करें

54.2 ∙ 3 ​​ए ∙ 3

162,6

संख्यात्मक असमानताओं के गुणों को लागू करना

हमने स्कूल में असमानताओं के बारे में सीखा, जहां हम संख्यात्मक असमानताओं का उपयोग करते हैं। इस लेख में हम संख्यात्मक असमानताओं के गुणों पर विचार करेंगे, जिनसे उनके साथ काम करने के सिद्धांत निर्मित होते हैं।

असमानताओं के गुण संख्यात्मक असमानताओं के गुणों के समान होते हैं। गुणों, उसके औचित्य पर विचार किया जायेगा तथा उदाहरण दिये जायेंगे।

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संख्यात्मक असमानताएँ: परिभाषा, उदाहरण

असमानताओं की अवधारणा को प्रस्तुत करते समय, हमारे पास यह है कि उनकी परिभाषा रिकॉर्ड के प्रकार से बनाई गई है। ऐसे बीजगणितीय व्यंजक हैं जिनमें चिह्न ≠ होते हैं,< , >, ≤ , ≥ . आइए एक परिभाषा दें।

परिभाषा 1

संख्यात्मक असमानताऐसी असमानता कहलाती है जिसमें दोनों पक्षों में संख्याएँ और संख्यात्मक अभिव्यक्तियाँ होती हैं।

हम प्राकृतिक संख्याओं का अध्ययन करने के बाद स्कूल में संख्यात्मक असमानताओं पर विचार करते हैं। ऐसे तुलनात्मक परिचालनों का चरण दर चरण अध्ययन किया जाता है। शुरुआती वाले 1 जैसे दिखते हैं< 5 , 5 + 7 >3. जिसके बाद नियम पूरक हो जाते हैं, और असमानताएं अधिक जटिल हो जाती हैं, फिर हमें 5 2 3 > 5, 1 (2), ln 0 के रूप की असमानताएं प्राप्त होती हैं। 73 - 17 2< 0 .

संख्यात्मक असमानताओं के गुण

असमानताओं के साथ सही ढंग से काम करने के लिए, आपको संख्यात्मक असमानताओं के गुणों का उपयोग करना होगा। वे असमानता की अवधारणा से आते हैं। इस अवधारणा को एक कथन का उपयोग करके परिभाषित किया गया है, जिसे "अधिक" या "कम" के रूप में नामित किया गया है।

परिभाषा 2

  • संख्या a, b से बड़ी है जब अंतर a - b एक धनात्मक संख्या है;
  • संख्या a, b से कम है जब अंतर a - b एक ऋणात्मक संख्या है;
  • जब a - b का अंतर शून्य हो तो संख्या a, b के बराबर होती है।

परिभाषा का उपयोग "इससे कम या इसके बराबर," "से अधिक या इसके बराबर" संबंधों के साथ असमानताओं को हल करते समय किया जाता है। हमें वह मिल गया

परिभाषा 3

  • जब a - b एक गैर-ऋणात्मक संख्या हो तो a, b से बड़ा या उसके बराबर होता है;
  • जब a - b एक गैर-धनात्मक संख्या है तो a, b से कम या उसके बराबर है।

परिभाषाओं का उपयोग संख्यात्मक असमानताओं के गुणों को सिद्ध करने के लिए किया जाएगा।

बुनियादी गुण

आइए 3 मुख्य असमानताओं पर नजर डालें। चिन्हों का प्रयोग< и >निम्नलिखित गुणों की विशेषता:

परिभाषा 4

  • विरोधी-प्रतिक्रियाशीलता, जो कहता है कि असमानताओं में से कोई भी संख्या a< a и a >a को गलत माना जाता है। यह ज्ञात है कि किसी भी a के लिए समानता a - a = 0 है, इसलिए हम पाते हैं कि a = a। तो ए< a и a >ए ग़लत है. उदाहरण के लिए, 3< 3 и - 4 14 15 >- 4 14 15 गलत हैं।
  • विषमता. जब संख्याएँ a और b ऐसी हों कि a< b , то b >ए, और यदि ए > बी, तो बी< a . Используя определение отношений «больше», «меньше» обоснуем его. Так как в первой части имеем, что a < b , тогда a − b является отрицательным числом. А b − a = − (a − b) положительное число, потому как число противоположно отрицательному числу a − b . Отсюда следует, что b >एक। इसका दूसरा भाग भी इसी प्रकार सिद्ध होता है।

उदाहरण 1

उदाहरण के लिए, असमानता 5 दी गई है< 11 имеем, что 11 >5, जिसका अर्थ है कि इसकी संख्यात्मक असमानता - 0, 27 > - 1, 3 को - 1, 3 के रूप में फिर से लिखा जाएगा< − 0 , 27 .

अगली संपत्ति पर जाने से पहले, ध्यान दें कि विषमता की मदद से आप असमानता को दाएं से बाएं और इसके विपरीत पढ़ सकते हैं। इस तरह, संख्यात्मक असमानताओं को संशोधित और बदला जा सकता है।

परिभाषा 5

  • संक्रामिता. जब संख्याएँ a, b, c शर्त a को संतुष्ट करती हैं< b и b < c , тогда a < c , и если a >b और b > c , फिर a > c .

प्रमाण 1

पहला कथन सिद्ध किया जा सकता है। शर्त ए< b и b < c означает, что a − b и b − c являются отрицательными, а разность а - с представляется в виде (a − b) + (b − c) , что является отрицательным числом, потому как имеем сумму двух отрицательных a − b и b − c . Отсюда получаем, что а - с является отрицательным числом, а значит, что a < c . Что и требовалось доказать.

संक्रमणीयता गुण वाला दूसरा भाग भी इसी प्रकार सिद्ध होता है।

उदाहरण 2

हम असमानताओं के उदाहरण का उपयोग करके विश्लेषित संपत्ति पर विचार करते हैं - 1< 5 и 5 < 8 . Отсюда имеем, что − 1 < 8 . Аналогичным образом из неравенств 1 2 >1 8 और 1 8 > 1 32 यह इस प्रकार है कि 1 2 > 1 32।

संख्यात्मक असमानताएँ, जो कमजोर असमानता संकेतों का उपयोग करके लिखी जाती हैं, उनमें प्रतिवर्तीता का गुण होता है, क्योंकि a ≤ a और a ≥ a में समानता का मामला a = a हो सकता है। वे विषमता और परिवर्तनशीलता की विशेषता रखते हैं।

परिभाषा 6

जिन असमानताओं के लेखन में ≤ और ≥ चिह्न होते हैं उनमें निम्नलिखित गुण होते हैं:

  • रिफ्लेक्सिविटी ए ≥ ए और ए ≤ ए को सच्ची असमानताएं माना जाता है;
  • एंटीसिममेट्री, जब a ≤ b, तब b ≥ a, और यदि a ≥ b, तो b ≤ a।
  • परिवर्तनशीलता, जब a ≤ b और b ≤ c, तो a ≤ c, और साथ ही, यदि a ≥ b और b ≥ c, तो a ≥ c।

प्रमाण इसी प्रकार से किया जाता है।

संख्यात्मक असमानताओं के अन्य महत्वपूर्ण गुण

असमानताओं के मूल गुणों को पूरक करने के लिए, व्यावहारिक महत्व के परिणामों का उपयोग किया जाता है। विधि के सिद्धांत का उपयोग अभिव्यक्तियों के मूल्यों का अनुमान लगाने के लिए किया जाता है, जिस पर असमानताओं को हल करने के सिद्धांत आधारित होते हैं।

यह पैराग्राफ सख्त असमानता के एक संकेत के लिए असमानताओं के गुणों को प्रकट करता है। गैर-सख्त लोगों के लिए भी यही किया जाता है। आइए एक उदाहरण देखें, असमानता का सूत्रीकरण यदि ए< b и c являются любыми числами, то a + c < b + c . Справедливыми окажутся свойства:

  • यदि a > b, तो a + c > b + c;
  • यदि a ≤ b, तो a + c ≤ b + c;
  • यदि a ≥ b, तो a + c ≥ b + c.

एक सुविधाजनक प्रस्तुति के लिए, हम संबंधित कथन देते हैं, जिसे लिखा जाता है और साक्ष्य दिए जाते हैं, उपयोग के उदाहरण दिखाए जाते हैं।

परिभाषा 7

किसी संख्या को दोनों ओर से जोड़ना या गणना करना। दूसरे शब्दों में, जब a और b असमानता a के अनुरूप हों< b , тогда для любого такого числа имеет смысл неравенство вида a + c < b + c .

प्रमाण 2

इसे सिद्ध करने के लिए, समीकरण को शर्त a को पूरा करना होगा< b . Тогда (a + c) − (b + c) = a + c − b − c = a − b . Из условия a < b получим, что a − b < 0 . Значит, (a + c) − (b + c) < 0 , откуда a + c < b + c . Множество действительных числе могут быть изменены с помощью прибавления противоположного числа – с.

उदाहरण 3

उदाहरण के लिए, यदि हम असमानता 7 > 3 के दोनों पक्षों को 15 से बढ़ा दें, तो हमें 7 + 15 > 3 + 15 प्राप्त होता है। यह 22 > 18 के बराबर है.

परिभाषा 8

जब असमानता के दोनों पक्षों को एक ही संख्या c से गुणा या विभाजित किया जाता है, तो हमें एक वास्तविक असमानता प्राप्त होती है। यदि आप ऋणात्मक संख्या लेते हैं, तो चिह्न विपरीत में बदल जाएगा। अन्यथा यह इस तरह दिखता है: ए और बी के लिए असमानता तब कायम रहती है जब ए< b и c являются положительными числами, то a· c < b · c , а если v является отрицательным числом, тогда a · c >बी·सी.

प्रमाण 3

जब कोई मामला c > 0 हो, तो असमानता के बाएं और दाएं पक्षों के बीच अंतर बनाना आवश्यक है। तब हम पाते हैं कि a · c − b · c = (a − b) · c . शर्त से ए< b , то a − b < 0 , а c >0, तो गुणनफल (a − b) c ऋणात्मक होगा। यह इस प्रकार है कि ए · सी - बी · सी< 0 , где a · c < b · c . Другая часть доказывается аналогичным образом.

सिद्ध करते समय, किसी पूर्णांक से विभाजन को दिए गए पूर्णांक के व्युत्क्रम से गुणन द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है, अर्थात 1 सी। आइए कुछ संख्याओं पर किसी संपत्ति का एक उदाहरण देखें।

उदाहरण 4

असमानता 4 के दोनों पक्षों की अनुमति है< 6 умножаем на положительное 0 , 5 , тогда получим неравенство вида − 4 · 0 , 5 < 6 · 0 , 5 , где − 2 < 3 . Когда обе части делим на - 4 , то необходимо изменить знак неравенства на противоположный. отсюда имеем, что неравенство примет вид − 8: (− 4) ≥ 12: (− 4) , где 2 ≥ − 3 .

आइए अब हम निम्नलिखित दो परिणाम तैयार करें, जिनका उपयोग असमानताओं को हल करने में किया जाता है:

  • परिणाम 1. संख्यात्मक असमानता के भागों के संकेतों को बदलते समय, असमानता का संकेत स्वयं विपरीत में बदल जाता है, जैसे कि< b , как − a >− बी . यह दोनों पक्षों को - 1 से गुणा करने के नियम का पालन करता है। यह संक्रमण के लिए लागू है. उदाहरणार्थ, − 6< − 2 , то 6 > 2 .
  • परिणाम 2. प्रतिस्थापित करते समय पारस्परिक संख्याएँसंख्यात्मक असमानता के कुछ हिस्सों के विपरीत होने पर, इसका चिह्न भी बदल जाता है और असमानता सत्य बनी रहती है। इससे हमें पता चलता है कि ए और बी सकारात्मक संख्याएं हैं, ए< b , 1 a >1 बी .

असमानता के दोनों पक्षों को विभाजित करते समय ए< b разрешается на число a · b . यह संपत्तिइसका उपयोग तब किया जाता है जब असमानता 5 > 3 2 सत्य है, हमारे पास वह 1 5 है< 2 3 . При отрицательных a и b c условием, что a < b , неравенство 1 a >1 बी ग़लत हो सकता है.

उदाहरण 5

उदाहरणार्थ - 2< 3 , однако, - 1 2 >1 3 एक ग़लत समीकरण है.

सभी बिंदु इस तथ्य से एकजुट हैं कि असमानता के कुछ हिस्सों पर कार्रवाई आउटपुट पर सही असमानता देती है। आइए उन गुणों पर विचार करें जहां प्रारंभ में कई संख्यात्मक असमानताएं हैं, और इसका परिणाम इसके भागों को जोड़ने या गुणा करने पर प्राप्त होता है।

परिभाषा 9

जब संख्याएँ a, b, c, d असमानताओं के लिए मान्य हों< b и c < d , тогда верным считается a + c < b + d . Свойство можно формировать таким образом: почленно складывать числа частей неравенства.

प्रमाण 4

आइए सिद्ध करें कि (a + c) - (b + d) एक ऋणात्मक संख्या है, तो हमें यह मिलता है कि a + c< b + d . Из условия имеем, что a < b и c < d . Выше доказанное свойство позволяет прибавлять к обеим частям одинаковое число. Тогда увеличим неравенство a < b на число b , при c < d , получим неравенства вида a + c < b + c и b + c < b + d . Полученное неравенство говорит о том, что ему присуще свойство транзитивности.

संपत्ति का उपयोग तीन, चार या अधिक संख्यात्मक असमानताओं को अवधि-दर-अवधि जोड़ने के लिए किया जाता है। संख्याएँ a 1 , a 2 , … , a n और b 1 , b 2 , … , b n असमानताओं को संतुष्ट करती हैं a 1< b 1 , a 2 < b 2 , … , a n < b n , можно доказать метод математической индукции, получив a 1 + a 2 + … + a n < b 1 + b 2 + … + b n .

उदाहरण 6

उदाहरण के लिए, एक ही चिह्न की तीन संख्यात्मक असमानताएँ दी गई हैं - 5< − 2 , − 1 < 12 и 3 < 4 . Свойство позволяет определять то, что − 5 + (− 1) + 3 < − 2 + 12 + 4 является верным.

परिभाषा 10

दोनों पक्षों को पदवार गुणा करने पर एक धनात्मक संख्या प्राप्त होती है। जब ए< b и c < d , где a , b , c и d являются положительными числами, тогда неравенство вида a · c < b · d считается справедливым.

प्रमाण 5

इसे सिद्ध करने के लिए, हमें असमानता के दोनों पक्षों की आवश्यकता है< b умножить на число с, а обе части c < d на b . В итоге получим, что неравенства a · c < b · c и b · c < b · d верные, откуда получим свойство транизитивности a · c < b · d .

यह गुण उन संख्याओं के लिए मान्य माना जाता है जिनसे असमानता के दोनों पक्षों को गुणा किया जाना चाहिए। तब ए 1 , ए 2 , … , ए एनऔर बी 1, बी 2, …, बी एनधनात्मक संख्याएँ हैं, जहाँ 1< b 1 , a 2 < b 2 , … , a n < b n , то ए 1 · ए 2 · … · ए एन< b 1 · b 2 · … · b n .

ध्यान दें कि असमानताएँ लिखते समय गैर-धनात्मक संख्याएँ होती हैं, फिर उनके पद-दर-पद गुणन से ग़लत असमानताएँ उत्पन्न होती हैं।

उदाहरण 7

उदाहरण के लिए, असमानता 1< 3 и − 5 < − 4 являются верными, а почленное их умножение даст результат в виде 1 · (− 5) < 3 · (− 4) , считается, что − 5 < − 12 это является неверным неравенством.

परिणाम: असमानताओं का पदवार गुणन a< b с положительными с a и b , причем получается a n < b n .

संख्यात्मक असमानताओं के गुण

आइए संख्यात्मक असमानताओं के निम्नलिखित गुणों पर विचार करें।

  1. ए< a , a >ए - गलत असमानताएँ,
    a ≤ a, a ≥ a सच्ची असमानताएँ हैं।
  2. यदि एक< b , то b >ए - एंटीसिममेट्री।
  3. यदि एक< b и b < c то a < c - транзитивность.
  4. यदि एक< b и c - любоое число, то a + b < b + c .
  5. यदि एक< b и c - положительное число, то a · c < b · c ,
    यदि एक< b и c - отрицательное число, то a · c >बी·सी.

परिणाम 1: यदि एक< b , то - a >-बी।

परिणाम 2: यदि a और b धनात्मक संख्याएँ हैं और a< b , то 1 a >1 बी .

  1. यदि 1< b 1 , a 2 < b 2 , . . . , a n < b n , то a 1 + a 2 + . . . + a n < b 1 + b 2 + . . . + b n .
  2. यदि ए 1 , ए 2 , . . . , ए एन , बी 1 , बी 2 , . . . , b n धनात्मक संख्याएँ हैं और a 1< b 1 , a 2 < b 2 , . . . , a n < b n , то a 1 · a 2 · . . . · a n < b 1 · b 2 · . . . b n .

परिणाम 1: अगर ए< b , a और बी धनात्मक संख्याएँ हैं, तो a n< b n .

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