के लिए कार्य पासे की संभावनासिक्का उछालने की समस्या से कम लोकप्रिय नहीं। ऐसी समस्या की स्थिति आमतौर पर इस तरह लगती है: एक या अधिक पासे (2 या 3) फेंकने पर, क्या संभावना है कि अंकों का योग 10 के बराबर होगा, या अंकों की संख्या 4 होगी, या अंकों की संख्या का गुणनफल, या अंकों की संख्या को 2 से विभाजित करने का गुणनफल आदि।

इस प्रकार की समस्याओं को हल करने के लिए शास्त्रीय संभाव्यता सूत्र का अनुप्रयोग मुख्य तरीका है।

एक मरना, संभावना.

किसी से निपटना काफी सरल है पासा. सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है: P=m/n, जहां m घटना के अनुकूल परिणामों की संख्या है, और n सभी प्रारंभिक परिणामों की संख्या है संभावित नतीजेपासे या पासे को उछालने का प्रयोग करें।

समस्या 1. पासा एक बार फेंका जाता है। सम संख्या में अंक प्राप्त करने की प्रायिकता क्या है?

चूँकि पासा एक घन है (या इसे नियमित पासा भी कहा जाता है, पासा सभी तरफ समान संभावना के साथ गिरेगा, क्योंकि यह संतुलित है), पासे की 6 भुजाएँ हैं (1 से 6 तक अंकों की संख्या, जो हैं) आमतौर पर बिंदुओं द्वारा दर्शाया जाता है), इसका मतलब है कि समस्या क्या है कुल गणनापरिणाम: n=6. घटना केवल उन परिणामों से अनुकूल होती है जिनमें सम बिंदु 2,4 और 6 वाला पक्ष दिखाई देता है: पासे में निम्नलिखित पक्ष होते हैं: m=3। अब हम पासे की वांछित संभावना निर्धारित कर सकते हैं: P=3/6=1/2=0.5.

कार्य 2. पासे एक बार फेंके जाते हैं। इसकी क्या प्रायिकता है कि आपको कम से कम 5 अंक मिलेंगे?

इस समस्या को ऊपर दिए गए उदाहरण के अनुरूप हल किया गया है। एक पासा फेंकते समय, समान रूप से संभावित परिणामों की कुल संख्या है: n=6, और केवल 2 परिणाम समस्या की स्थिति को संतुष्ट करते हैं (कम से कम 5 अंक लुढ़के, यानी 5 या 6 अंक लुढ़के), जिसका अर्थ है m =2. इसके बाद, हम आवश्यक संभाव्यता पाते हैं: P=2/6=1/3=0.333।

दो पासे, संभाव्यता.

2 पासे फेंकने से संबंधित समस्याओं को हल करते समय, एक विशेष स्कोरिंग तालिका का उपयोग करना बहुत सुविधाजनक होता है। इस पर, पहले पासे पर गिरे अंकों की संख्या क्षैतिज रूप से प्रदर्शित होती है, और दूसरे पासे पर गिरे अंकों की संख्या लंबवत रूप से प्रदर्शित होती है। वर्कपीस इस तरह दिखता है:

लेकिन सवाल यह उठता है कि टेबल के खाली सेल में क्या होगा? यह उस समस्या पर निर्भर करता है जिसे हल करने की आवश्यकता है। यदि समस्या में है हम बात कर रहे हैंअंकों के योग के बारे में, तो योग वहाँ लिखा जाता है, और यदि अंतर के बारे में है, तो अंतर लिखा जाता है, इत्यादि।

समस्या 3. 2 पासे एक ही समय में फेंके जाते हैं। 5 अंक से कम मिलने की प्रायिकता क्या है?

सबसे पहले, आपको यह पता लगाना होगा कि प्रयोग के परिणामों की कुल संख्या क्या होगी। एक पासा फेंकने पर सब कुछ स्पष्ट था, पासे की 6 भुजाएँ - प्रयोग के 6 परिणाम। लेकिन जब पहले से ही दो पासे हों, तो संभावित परिणामों को फॉर्म (x, y) की संख्याओं के क्रमित जोड़े के रूप में दर्शाया जा सकता है, जहां x दिखाता है कि पहले पासे (1 से 6 तक) पर कितने अंक फेंके गए थे, और y - दूसरे पासे पर कितने अंक फेंके गए (1 से 6 तक)। ऐसे कुल संख्या जोड़े होंगे: n=6*6=36 (परिणामों की तालिका में वे बिल्कुल 36 कोशिकाओं के अनुरूप हैं)।

अब आप तालिका भर सकते हैं; ऐसा करने के लिए, प्रत्येक कक्ष में पहले और दूसरे पासे पर गिरे अंकों की संख्या दर्ज की जाती है। पूर्ण तालिका इस प्रकार दिखती है:

तालिका का उपयोग करके, हम उन परिणामों की संख्या निर्धारित करेंगे जो घटना के पक्ष में होंगे "कुल मिलाकर 5 से कम अंक दिखाई देंगे।" आइए उन कक्षों की संख्या गिनें जिनमें योग मान संख्या 5 से कम होगा (ये 2, 3 और 4 हैं)। सुविधा के लिए, हम ऐसी कोशिकाओं पर पेंट करते हैं; उनमें से m=6 होंगे:

तालिका डेटा को ध्यान में रखते हुए, पासे की संभावनाबराबर: P=6/36=1/6.

समस्या 4. दो पासे फेंके गए। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि अंकों की संख्या का गुणनफल 3 से विभाज्य होगा।

समस्या को हल करने के लिए, आइए पहले और दूसरे पासे पर गिरे अंकों के गुणनफल की एक तालिका बनाएं। इसमें, हम तुरंत उन संख्याओं को उजागर करते हैं जो 3 के गुणज हैं:

हम प्रयोग के परिणामों की कुल संख्या n=36 (तर्क पिछली समस्या के समान है) और अनुकूल परिणामों की संख्या (तालिका में छायांकित कोशिकाओं की संख्या) m=20 लिखते हैं। घटना की प्रायिकता है: P=20/36=5/9.

समस्या 5. पासे दो बार फेंके जाते हैं। इसकी क्या प्रायिकता है कि पहले और दूसरे पासे पर अंकों की संख्या में अंतर 2 से 5 तक होगा?

इरादा करना पासे की संभावनाआइए बिंदु अंतरों की एक तालिका लिखें और उसमें उन कक्षों का चयन करें जिनका अंतर मान 2 और 5 के बीच होगा:

अनुकूल परिणामों की संख्या (तालिका में छायांकित कोशिकाओं की संख्या) m=10 है, समान रूप से संभावित प्रारंभिक परिणामों की कुल संख्या n=36 होगी। घटना की संभावना निर्धारित करता है: P=10/36=5/18.

एक साधारण घटना के मामले में और 2 पासे फेंकते समय, आपको एक तालिका बनाने की आवश्यकता है, फिर उसमें आवश्यक कोशिकाओं का चयन करें और उनकी संख्या को 36 से विभाजित करें, इसे एक संभावना माना जाएगा।

मेरे ब्लॉग में, गेम डिजाइनर जान श्रेइबर द्वारा पाठ्यक्रम "गेम बैलेंस के सिद्धांत" के अगले व्याख्यान का अनुवाद, जिन्होंने मार्वल ट्रेडिंग कार्ड गेम और प्लेबॉय: द मेंशन जैसी परियोजनाओं पर काम किया था।

अब तक, हमने लगभग हर चीज के बारे में बात की है जो नियतिवादी रही है, और पिछले सप्ताहहमने संक्रमणीय यांत्रिकी पर करीब से नज़र डाली, जितना मैं समझा सकता हूँ उतना विस्तार से बताया। लेकिन अब तक हमने कई खेलों के दूसरे पहलू पर ध्यान नहीं दिया है, अर्थात् गैर-नियतात्मक पहलू - दूसरे शब्दों में, यादृच्छिकता।

गेम डिजाइनरों के लिए यादृच्छिकता की प्रकृति को समझना बहुत महत्वपूर्ण है। हम ऐसे सिस्टम बनाते हैं जो किसी दिए गए गेम में उपयोगकर्ता के अनुभव को प्रभावित करते हैं, इसलिए हमें यह जानना होगा कि वे सिस्टम कैसे काम करते हैं। यदि किसी प्रणाली में यादृच्छिकता है, तो हमें इस यादृच्छिकता की प्रकृति को समझना होगा और यह जानना होगा कि हमें आवश्यक परिणाम प्राप्त करने के लिए इसे कैसे बदलना है।

पासा

आइए कुछ सरल से शुरुआत करें - पासा पलटना। जब अधिकांश लोग पासे के बारे में सोचते हैं, तो वे छह भुजाओं वाले पासे के बारे में सोचते हैं जिसे d6 के नाम से जाना जाता है। लेकिन अधिकांश गेमर्स ने कई अन्य पासे देखे हैं: टेट्राहेड्रल (डी4), अष्टकोणीय (डी8), बारह-पक्षीय (डी12), बीस-पक्षीय (डी20)। यदि आप वास्तव में गीक हैं, तो आपके पास कहीं न कहीं 30-पक्षीय या 100-पक्षीय पासे हो सकते हैं।

यदि आप शब्दावली से परिचित नहीं हैं, तो d का अर्थ पासा है, और इसके बाद की संख्या इसकी भुजाओं की संख्या है। यदि संख्या d से पहले आती है, तो यह फेंके जाने वाले पासों की संख्या को इंगित करती है। उदाहरण के लिए, मोनोपोली के खेल में आप 2d6 रोल करते हैं।

तो, इस मामले में, वाक्यांश "पासा" है प्रतीक. बड़ी संख्या में अन्य यादृच्छिक संख्या जनरेटर हैं जो प्लास्टिक के आंकड़ों की तरह नहीं दिखते हैं, लेकिन एक ही कार्य करते हैं - 1 से एन तक एक यादृच्छिक संख्या उत्पन्न करते हैं। नियमित सिक्काइसे डायहेड्रल डाई d2 के रूप में भी दर्शाया जा सकता है।

मैंने सात-तरफा पासों के दो डिज़ाइन देखे: उनमें से एक पासे जैसा दिखता था, और दूसरा सात-तरफा लकड़ी की पेंसिल जैसा दिखता था। टेट्राहेड्रल ड्रिडेल, जिसे टिटोटम भी कहा जाता है, टेट्राहेड्रल हड्डी के समान है। च्यूट्स एंड लैडर्स में घूमने वाला तीर बोर्ड, जहां स्कोर 1 से 6 तक हो सकता है, छह-तरफा पासे से मेल खाता है।

एक कंप्यूटर का यादृच्छिक संख्या जनरेटर 1 से 19 तक कोई भी संख्या बना सकता है यदि डिजाइनर इसे निर्दिष्ट करता है, भले ही कंप्यूटर में 19-पक्षीय पासा न हो (सामान्य तौर पर, मैं संख्याओं के आने की संभावना के बारे में अधिक बात करूंगा) कंप्यूटर अगले सप्ताह)। ये सभी चीजें अलग-अलग दिखती हैं, लेकिन वास्तव में वे समतुल्य हैं: आपके पास कई संभावित परिणामों में से प्रत्येक के लिए समान मौका है।

पासों में कुछ है दिलचस्प गुणजिसके बारे में हमें जानना जरूरी है. सबसे पहले, किसी भी चेहरे पर उतरने की संभावना समान है (मैं मान रहा हूं कि आप एक नियमित आकार का पासा घुमा रहे हैं)। यदि आप किसी रोल का औसत मूल्य जानना चाहते हैं (उन लोगों के लिए जो संभाव्यता में हैं, तो इसे अपेक्षित मूल्य के रूप में जाना जाता है), सभी किनारों पर मान जोड़ें और उस संख्या को किनारों की संख्या से विभाजित करें।

एक मानक छह-तरफा पासे के लिए सभी पक्षों के मूल्यों का योग 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 है। 21 को पक्षों की संख्या से विभाजित करें और रोल का औसत मूल्य प्राप्त करें: 21 / 6 = 3.5. यह एक विशेष मामला, क्योंकि हम मानते हैं कि सभी परिणाम समान रूप से संभावित हैं।

यदि आपके पास विशेष पासा हो तो क्या होगा? उदाहरण के लिए, मैंने किनारों पर विशेष स्टिकर के साथ एक छह-तरफा पासा गेम देखा: 1, 1, 1, 2, 2, 3, इसलिए यह एक अजीब तीन-तरफा पासे की तरह व्यवहार करता है जिसमें एक की तुलना में 1 को रोल करने की अधिक संभावना होती है। 2. और 3 की तुलना में 2 रोल करने की अधिक संभावना है। इस पासे के लिए औसत रोल क्या है? तो, 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 3 = 10, 6 से विभाजित करने पर 5/3, या लगभग 1.66 प्राप्त होता है। इसलिए, यदि आपके पास एक विशेष पासा है और खिलाड़ी तीन पासे फेंकते हैं और फिर परिणाम जोड़ते हैं - तो आप जानते हैं कि उनके रोल का योग लगभग 5 होगा, और आप उस धारणा के आधार पर खेल को संतुलित कर सकते हैं।

पासा और स्वतंत्रता

जैसा कि मैंने पहले ही कहा, हम इस धारणा से आगे बढ़ते हैं कि प्रत्येक पक्ष के असफल होने की समान संभावना है। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आपने कितने पासे फेंके। प्रत्येक पासा रोल स्वतंत्र है, जिसका अर्थ है कि पिछला रोल अगले के परिणामों को प्रभावित नहीं करता है। पर्याप्त परीक्षणों को देखते हुए, आप संख्याओं के एक पैटर्न को नोटिस करने के लिए बाध्य हैं - उदाहरण के लिए, अधिकतर उच्च या निम्न मानों को रोल करना - या अन्य विशेषताएं, लेकिन इसका मतलब यह नहीं है कि पासा "गर्म" या "ठंडा" है। हम इस बारे में बाद में बात करेंगे.

यदि आप एक मानक छह-तरफा पासा घुमाते हैं और संख्या 6 लगातार दो बार आती है, तो संभावना है कि अगली बार फेंकने पर 6 आएगा, संभावना बिल्कुल 1/6 है क्योंकि पासा "गर्म" हो गया है। . इसी समय, संभावना कम नहीं होती है: यह तर्क देना गलत है कि संख्या 6 पहले ही लगातार दो बार सामने आ चुकी है, जिसका अर्थ है कि अब एक और पक्ष सामने आना चाहिए।

निःसंदेह, यदि आप पासे को बीस बार घुमाते हैं और हर बार 6 प्राप्त करते हैं, तो इक्कीसवीं बार 6 आने की संभावना काफी अधिक है: शायद आपके पास गलत पासा है। लेकिन यदि पासा निष्पक्ष है, तो अन्य रोल के परिणामों की परवाह किए बिना, प्रत्येक पक्ष के उतरने की समान संभावना है। आप यह भी कल्पना कर सकते हैं कि हम हर बार पासे को बदल देते हैं: यदि संख्या 6 को लगातार दो बार घुमाया जाता है, तो खेल से "हॉट" पासे को हटा दें और इसे एक नए से बदल दें। अगर आपमें से किसी को इसके बारे में पहले से पता था तो मैं माफी चाहता हूं, लेकिन आगे बढ़ने से पहले मुझे इसे स्पष्ट करना होगा।

पासे को कम या ज्यादा यादृच्छिक कैसे घुमाया जाए

आइए इस बारे में बात करें कि अलग-अलग पासों पर अलग-अलग परिणाम कैसे प्राप्त करें। चाहे आप पासे को केवल एक बार घुमाएँ या कई बार, जब पासे के अधिक पहलू होंगे तो खेल अधिक यादृच्छिक लगेगा। जितनी अधिक बार आपको पासा पलटना होगा, और जितने अधिक पासे आप घुमाएंगे, उतने ही अधिक परिणाम औसत के करीब पहुंचेंगे।

उदाहरण के लिए, 1d6 + 4 के मामले में (अर्थात्, यदि आप एक मानक छह-पक्षीय पासे को एक बार घुमाते हैं और परिणाम में 4 जोड़ते हैं), तो औसत 5 और 10 के बीच की एक संख्या होगी। यदि आप 5d2 को घुमाते हैं, तो औसत 5 और 10 के बीच की एक संख्या भी होगी। 5डी2 को रोल करने के परिणाम मुख्य रूप से संख्या 7 और 8 होंगे, कम अक्सर अन्य मान। वही श्रृंखला, यहां तक ​​कि एक ही औसत मान (दोनों मामलों में 7.5), लेकिन यादृच्छिकता की प्रकृति अलग है।

ज़रा ठहरिये। क्या मैंने यह नहीं कहा कि पासा "गर्म" या "ठंडा" नहीं होता? अब मैं कहता हूं: यदि आप बहुत सारे पासे फेंकते हैं, तो रोल के परिणाम औसत के करीब पहुंच जाएंगे। क्यों?

मुझे समझाने दो। यदि आप एक पासा घुमाते हैं, तो प्रत्येक पक्ष के उतरने की संभावना समान होती है। इसका मतलब यह है कि यदि आप समय के साथ बहुत सारे पासे घुमाते हैं, तो प्रत्येक पक्ष लगभग समान संख्या में आएगा। आप जितने अधिक पासे घुमाएंगे, कुल परिणाम उतना ही औसत के करीब आएगा।

ऐसा इसलिए नहीं है क्योंकि निकाली गई संख्या किसी अन्य संख्या को निकालने के लिए "मजबूर" करती है जो अभी तक नहीं निकाली गई है। लेकिन क्योंकि अंत में संख्या 6 (या 20, या अन्य संख्या) को घुमाने की एक छोटी सी श्रृंखला परिणाम को इतना प्रभावित नहीं करेगी यदि आप पासे को दस हजार बार और घुमाते हैं और अधिकतर औसत संख्या ही आएगी। अब आपको कई मिलेंगे बड़ी संख्या, और बाद में कई छोटे - और समय के साथ वे औसत मूल्य के करीब पहुंच जाएंगे।

ऐसा इसलिए नहीं है क्योंकि पिछला रोल पासे को प्रभावित करता है (गंभीरता से, पासा प्लास्टिक से बना होता है, इसमें यह सोचने का दिमाग नहीं होता है, "ओह, आपको 2 रोल किए हुए काफी समय हो गया है"), बल्कि इसलिए कि आम तौर पर यही होता है ऐसा तब होता है जब आप बहुत सारे पासे घुमाते हैं

इस प्रकार, पासे के एक यादृच्छिक रोल के लिए गणना करना काफी आसान है - कम से कम रोल के औसत मूल्य की गणना करना। कोई चीज़ "कितनी यादृच्छिक" है इसकी गणना करने के भी तरीके हैं और कहें कि 1d6+4 को रोल करने के परिणाम 5d2 की तुलना में "अधिक यादृच्छिक" होंगे। 5d2 के लिए, रोल अधिक समान रूप से वितरित किए जाएंगे। ऐसा करने के लिए, आपको मानक विचलन की गणना करने की आवश्यकता है: मान जितना बड़ा होगा, परिणाम उतने ही अधिक यादृच्छिक होंगे। मैं आज इतनी सारी गणनाएँ नहीं देना चाहूँगा, इस विषय को बाद में समझाऊँगा।

एकमात्र बात जो मैं आपसे याद रखने के लिए कहूंगा वह यह है कि, एक सामान्य नियम के रूप में, आप जितने कम पासे फेंकेंगे, यादृच्छिकता उतनी ही अधिक होगी। और एक पासे में जितने अधिक पक्ष होंगे, यादृच्छिकता उतनी ही अधिक होगी, क्योंकि उतना ही अधिक संभावित विकल्पअर्थ.

गिनती का उपयोग करके संभाव्यता की गणना कैसे करें

आप सोच रहे होंगे: हम एक निश्चित परिणाम प्राप्त करने की सटीक संभावना की गणना कैसे कर सकते हैं? वास्तव में, यह कई खेलों के लिए काफी महत्वपूर्ण है: यदि आप शुरू में पासा पलटते हैं - तो सबसे अधिक संभावना है कि किसी प्रकार का इष्टतम परिणाम होगा। मेरा उत्तर है: हमें दो मानों की गणना करने की आवश्यकता है। सबसे पहले, पासा फेंकते समय परिणामों की कुल संख्या, और दूसरी, अनुकूल परिणामों की संख्या। दूसरे मान को पहले मान से विभाजित करने पर आपको वांछित संभावना प्राप्त होगी। प्रतिशत प्राप्त करने के लिए, परिणाम को 100 से गुणा करें।

उदाहरण

यहाँ एक बहुत ही सरल उदाहरण है. आप चाहते हैं कि संख्या 4 या उच्चतर छह-तरफा पासे को एक बार घुमाएँ और घुमाएँ। परिणामों की अधिकतम संख्या 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6) है। इनमें से 3 परिणाम (4, 5, 6) अनुकूल हैं। इसका मतलब है कि संभाव्यता की गणना करने के लिए, हम 3 को 6 से विभाजित करते हैं और 0.5 या 50% प्राप्त करते हैं।

यहां एक उदाहरण थोड़ा अधिक जटिल है। आप 2d6 रोल करना चाहते हैं सम संख्या. परिणामों की अधिकतम संख्या 36 है (प्रत्येक पासे के लिए 6 विकल्प, एक पासा दूसरे को प्रभावित नहीं करता है, इसलिए 6 को 6 से गुणा करें और 36 प्राप्त करें)। इस प्रकार के प्रश्न में कठिनाई यह है कि दो बार गिनना आसान होता है। उदाहरण के लिए, 2d6 को रोल करते समय 3 के दो संभावित परिणाम होते हैं: 1+2 और 2+1। वे एक जैसे दिखते हैं, लेकिन अंतर यह है कि पहले पासे पर कौन सी संख्या प्रदर्शित होती है और दूसरे पासे पर कौन सी संख्या प्रदर्शित होती है।

आप यह भी कल्पना कर सकते हैं कि पासा अलग - अलग रंग: तो, उदाहरण के लिए, इस मामले में एक पासा लाल है, दूसरा नीला है। फिर एक सम संख्या रोल करने के लिए विकल्पों की संख्या गिनें:

• 2 (1+1);
• 4 (1+3);
• 4 (2+2);
• 4 (3+1);
• 6 (1+5);
• 6 (2+4);
• 6 (3+3);
• 6 (4+2);
• 6 (5+1);
• 8 (2+6);
• 8 (3+5);
• 8 (4+4);
• 8 (5+3);
• 8 (6+2);
• 10 (4+6);
• 10 (5+5);
• 10 (6+4);
• 12 (6+6).

यह पता चला है कि 36 में से अनुकूल परिणाम के लिए 18 विकल्प हैं - जैसा कि पिछले मामले में था, संभावना 0.5 या 50% है। शायद अप्रत्याशित, लेकिन बिल्कुल सटीक.

मोंटे कार्लो सिमुलेशन

यदि आपके पास इस गणना के लिए बहुत सारे पासे हों तो क्या होगा? उदाहरण के लिए, आप जानना चाहते हैं कि 8d6 रोल करने पर कुल 15 या अधिक प्राप्त होने की संभावना क्या है। आठ पासों के लिए बहुत बड़ी विविधता है अलग परिणाम, और उन्हें मैन्युअल रूप से गिनने में बहुत लंबा समय लगेगा - भले ही हमें कुछ मिल भी जाए अच्छा निर्णयपासों के रोल की विभिन्न श्रृंखलाओं को समूहित करना।

इस मामले में, सबसे आसान तरीका मैन्युअल रूप से गिनती करना नहीं है, बल्कि कंप्यूटर का उपयोग करना है। कंप्यूटर पर संभाव्यता की गणना करने के दो तरीके हैं। पहली विधि आपको सटीक उत्तर दे सकती है, लेकिन इसमें थोड़ी प्रोग्रामिंग या स्क्रिप्टिंग शामिल होती है। कंप्यूटर प्रत्येक अवसर को देखेगा, मूल्यांकन करेगा और गिनती करेगा कुलपुनरावृत्तियाँ और पुनरावृत्तियों की संख्या जो वांछित परिणाम से मेल खाती हैं और फिर उत्तर प्रदान करती हैं। आपका कोड कुछ इस तरह दिख सकता है:

यदि आप प्रोग्रामिंग नहीं समझते हैं और आपको सटीक उत्तर के बजाय अनुमानित उत्तर की आवश्यकता है, तो आप एक्सेल में इस स्थिति का अनुकरण कर सकते हैं, जहां आप 8d6 को कई हजार बार रोल करते हैं और उत्तर प्राप्त करते हैं। Excel में 1d6 रोल करने के लिए, सूत्र का उपयोग करें =फर्श(रैंड()*6)+1.

उस स्थिति का एक नाम है जब आप उत्तर नहीं जानते हैं और बस कई बार प्रयास करते हैं - मोंटे कार्लो सिमुलेशन। जब संभाव्यता की गणना करना बहुत कठिन हो तो उपयोग करने के लिए यह एक बेहतरीन समाधान है। बड़ी बात यह है कि इस मामले में हमें यह समझने की ज़रूरत नहीं है कि गणित कैसे काम करता है, और हम जानते हैं कि उत्तर "बहुत अच्छा" होगा क्योंकि, जैसा कि हम पहले से ही जानते हैं, जितने अधिक रोल होंगे, परिणाम उतना ही करीब होगा औसत।

स्वतंत्र परीक्षणों को कैसे संयोजित करें

यदि आप कई बार दोहराए गए लेकिन स्वतंत्र परीक्षणों के बारे में पूछते हैं, तो एक रोल का परिणाम अन्य रोल के परिणामों को प्रभावित नहीं करता है। इस स्थिति के लिए एक और सरल व्याख्या है.

किसी चीज़ पर निर्भर और स्वतंत्र के बीच अंतर कैसे करें? मूल रूप से, यदि आप पासे के प्रत्येक थ्रो (या थ्रो की श्रृंखला) को एक अलग घटना के रूप में अलग कर सकते हैं, तो यह स्वतंत्र है। उदाहरण के लिए, हम 8d6 रोल करते हैं और कुल 15 चाहते हैं। इस घटना को कई स्वतंत्र पासा रोल में विभाजित नहीं किया जा सकता है। परिणाम प्राप्त करने के लिए, आप सभी मूल्यों के योग की गणना करते हैं, इसलिए एक पासे पर आने वाला परिणाम उन परिणामों को प्रभावित करता है जो दूसरों पर आने चाहिए।

यहां स्वतंत्र रोल का एक उदाहरण दिया गया है: आप एक पासा खेल खेल रहे हैं, और आप छह-तरफा पासा कई बार घुमा रहे हैं। गेम में बने रहने के लिए पहला रोल 2 या उससे अधिक का होना चाहिए। दूसरे थ्रो के लिए - 3 या अधिक। तीसरे के लिए 4 या अधिक की आवश्यकता है, चौथे के लिए 5 या अधिक की आवश्यकता है, और पांचवें के लिए 6 की आवश्यकता है। यदि सभी पांच रोल सफल होते हैं, तो आप जीत जाते हैं। इस मामले में, सभी थ्रो स्वतंत्र हैं। हां, यदि एक थ्रो असफल होता है, तो यह पूरे खेल के परिणाम को प्रभावित करेगा, लेकिन एक थ्रो दूसरे को प्रभावित नहीं करता है। उदाहरण के लिए, यदि आपका पासा पलटना बहुत सफल है, तो इसका मतलब यह नहीं है कि अगला पासा भी उतना ही अच्छा होगा। इसलिए, हम पासे के प्रत्येक रोल की संभावना पर अलग से विचार कर सकते हैं।

यदि आपके पास स्वतंत्र संभावनाएं हैं और आप जानना चाहते हैं कि सभी घटनाओं के घटित होने की क्या संभावना है, तो आप प्रत्येक व्यक्तिगत संभावना निर्धारित करते हैं और उन्हें एक साथ गुणा करते हैं। दूसरा तरीका: यदि आप कई स्थितियों का वर्णन करने के लिए संयोजन "और" का उपयोग करते हैं (उदाहरण के लिए, किसी यादृच्छिक घटना और किसी अन्य स्वतंत्र यादृच्छिक घटना के घटित होने की संभावना क्या है?) - व्यक्तिगत संभावनाओं की गणना करें और उन्हें गुणा करें।

इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप क्या सोचते हैं, कभी भी स्वतंत्र संभावनाएँ न जोड़ें। यह एक सामान्य गलती है. यह समझने के लिए कि यह गलत क्यों है, एक ऐसी स्थिति की कल्पना करें जहां आप एक सिक्का उछाल रहे हैं और जानना चाहते हैं कि लगातार दो बार हेड आने की संभावना क्या है। प्रत्येक पक्ष के गिरने की संभावना 50% है। यदि आप इन दोनों संभावनाओं को जोड़ते हैं, तो आपको चित आने की 100% संभावना मिलती है, लेकिन हम जानते हैं कि यह सच नहीं है क्योंकि यह लगातार दो बार पट हो सकता था। यदि आप इसके बजाय दोनों संभावनाओं को गुणा करते हैं, तो आपको 50% * 50% = 25% मिलता है - जो लगातार दो बार चित आने की संभावना की गणना के लिए सही उत्तर है।

उदाहरण

आइए छह-तरफा पासों के खेल पर लौटते हैं, जहां आपको पहले 2 से बड़ी संख्या को रोल करना होता है, फिर 3 से अधिक - और इसी तरह 6 तक। क्या संभावना है कि पांच रोल की दी गई श्रृंखला में सभी परिणाम अनुकूल होंगे ?

जैसा कि ऊपर कहा गया है, ये स्वतंत्र परीक्षण हैं, इसलिए हम प्रत्येक व्यक्तिगत रोल के लिए संभावना की गणना करते हैं और फिर उन्हें एक साथ गुणा करते हैं। प्रथम रोल का परिणाम अनुकूल होने की प्रायिकता 5/6 है। दूसरा - 4/6. तीसरा - 3/6. चौथा - 2/6, पाँचवाँ - 1/6। हम सभी परिणामों को एक-दूसरे से गुणा करते हैं और लगभग 1.5% प्राप्त करते हैं। इस गेम में जीत काफी दुर्लभ है, इसलिए यदि आप इस तत्व को अपने गेम में जोड़ते हैं, तो आपको काफी बड़े जैकपॉट की आवश्यकता होगी।

नकार

यहाँ एक और है उपयोगी संकेत: कभी-कभी किसी घटना के घटित होने की संभावना की गणना करना कठिन होता है, लेकिन उस घटना के घटित न होने की संभावना निर्धारित करना आसान होता है। उदाहरण के लिए, मान लें कि हमारे पास एक और गेम है: आप 6d6 रोल करते हैं और जीतते हैं यदि आप कम से कम एक बार 6 रोल करते हैं तो जीतने की संभावना क्या है?

इस मामले में, विचार करने के लिए कई विकल्प हैं। यह संभव है कि एक संख्या 6 को घुमाया जाएगा, अर्थात, एक पासे पर संख्या 6 दिखाई देगी, और अन्य पासों पर 1 से 5 तक की संख्याएँ दिखाई देंगी, तो 6 विकल्प हैं कि कौन सा पासा 6 दिखाएगा। आप दो पासों, या तीन, या इससे भी अधिक पर संख्या 6 प्राप्त कर सकते हैं, और हर बार आपको एक अलग गणना करने की आवश्यकता होगी, इसलिए यहां भ्रमित होना आसान है।

लेकिन आइए समस्या को दूसरी तरफ से देखें। यदि कोई भी पासा 6 नहीं फेंकता तो आप हार जाएंगे। इस मामले में हमारे पास 6 स्वतंत्र परीक्षण हैं। प्रत्येक पासे पर 6 के अलावा कोई अन्य संख्या आने की प्रायिकता 5/6 है। उन्हें गुणा करें और आपको लगभग 33% प्राप्त होता है। इस प्रकार, हारने की संभावना तीन में से एक है। इसलिए, जीतने की संभावना 67% (या दो से तीन) है।

इस उदाहरण से यह स्पष्ट है: यदि आप किसी घटना के घटित न होने की संभावना की गणना करते हैं, तो आपको परिणाम को 100% से घटाना होगा। यदि जीतने की संभावना 67% है, तो हारने की संभावना 100% शून्य से 67% या 33% है, और इसके विपरीत। यदि एक संभावना की गणना करना कठिन है लेकिन विपरीत की गणना करना आसान है, तो विपरीत की गणना करें और फिर उस संख्या को 100% से घटा दें।

हम एक स्वतंत्र परीक्षण के लिए शर्तों को जोड़ते हैं

मैंने ऊपर ही कहा था कि आपको कभी भी स्वतंत्र परीक्षणों में संभावनाएँ नहीं जोड़नी चाहिए। क्या ऐसे कोई मामले हैं जहां संभावनाओं का योग करना संभव है? हाँ, एक विशेष परिस्थिति में.

यदि आप एक ही परीक्षण पर कई असंबंधित अनुकूल परिणामों की संभावना की गणना करना चाहते हैं, तो प्रत्येक अनुकूल परिणाम की संभावनाओं का योग करें। उदाहरण के लिए, 1d6 पर संख्या 4, 5 या 6 के लुढ़कने की प्रायिकता, संख्या 4 के लुढ़कने की प्रायिकता, संख्या 5 की प्रायिकता और संख्या 6 की प्रायिकता के योग के बराबर है। इस स्थिति को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है इस प्रकार है: यदि आप संभाव्यता के बारे में किसी प्रश्न में संयोजन "या" का उपयोग करते हैं (उदाहरण के लिए, एक यादृच्छिक घटना के एक या दूसरे परिणाम की संभावना क्या है?) - व्यक्तिगत संभावनाओं की गणना करें और उनका योग करें।

कृपया ध्यान दें: जब आप किसी खेल के सभी संभावित परिणामों की गणना करते हैं, तो उनके घटित होने की संभावनाओं का योग 100% के बराबर होना चाहिए, अन्यथा आपकी गणना गलत तरीके से की गई थी। यह उत्तम विधिअपनी गणना दोबारा जांचें. उदाहरण के लिए, आपने पोकर में सभी संयोजनों की संभावना का विश्लेषण किया। यदि आप अपने सभी परिणाम जोड़ते हैं, तो आपको बिल्कुल 100% (या कम से कम 100% के करीब कुछ) मिलना चाहिए: यदि आप कैलकुलेटर का उपयोग करते हैं, तो एक छोटी गोलाई त्रुटि हो सकती है, लेकिन यदि आप जोड़ते हैं सटीक संख्यामैन्युअल रूप से, सब कुछ एक साथ आना चाहिए)। यदि योग एकत्रित नहीं होता है, तो इसका मतलब है कि आपने संभवतः कुछ संयोजनों को ध्यान में नहीं रखा है या कुछ संयोजनों की संभावनाओं की गलत गणना की है, और गणनाओं को दोबारा जांचने की आवश्यकता है।

असमान संभावनाएँ

अब तक हमने यह माना है कि पासे के प्रत्येक पहलू को एक ही आवृत्ति पर घुमाया जाता है, क्योंकि पासे इसी तरह काम करते प्रतीत होते हैं। लेकिन कभी-कभी आपको ऐसी स्थिति का सामना करना पड़ सकता है जहां अलग-अलग परिणाम संभव हैं और उनके सामने आने की संभावना भी अलग-अलग होती है।

उदाहरण के लिए, ऐड-ऑन में से एक में कार्ड खेलपरमाणु युद्ध में तीर के साथ खेल का मैदान होता है, जिस पर रॉकेट प्रक्षेपण का परिणाम निर्भर करता है। अक्सर यह सामान्य क्षति पहुंचाता है, मजबूत या कमजोर, लेकिन कभी-कभी क्षति दोगुनी या तिगुनी हो जाती है, या रॉकेट लॉन्च पैड पर फट जाता है और आपको नुकसान पहुंचाता है, या कोई अन्य घटना घटित होती है। भिन्न खेल का मैदानच्यूट्स एंड लैडर्स या ए गेम ऑफ लाइफ में एक तीर के साथ, परमाणु युद्ध में गेम बोर्ड के परिणाम असमान होते हैं। खेल के मैदान के कुछ खंड बड़े हैं और तीर उन पर अधिक बार रुकता है, जबकि अन्य खंड बहुत छोटे हैं और उन पर तीर कम ही रुकता है।

तो, पहली नज़र में, पासा कुछ इस तरह दिखता है: 1, 1, 1, 2, 2, 3 - हम पहले ही इसके बारे में बात कर चुके हैं, यह भारित 1डी3 जैसा कुछ है। इसलिए, हमें इन सभी अनुभागों को समान भागों में विभाजित करने की आवश्यकता है, माप की सबसे छोटी इकाई ढूंढें, जिसका विभाजक सब कुछ एक गुणक है, और फिर स्थिति को d522 (या किसी अन्य) के रूप में प्रस्तुत करें जहां पासों का सेट सामने आता है उसी स्थिति का प्रतिनिधित्व करेगा, नाक बड़ी राशिपरिणाम. यह समस्या को हल करने का एक तरीका है, और यह तकनीकी रूप से संभव है, लेकिन एक आसान विकल्प भी है।

आइए अपने मानक छह-तरफा पासे पर वापस जाएं। हमने कहा है कि एक सामान्य पासे के लिए औसत रोल की गणना करने के लिए आपको सभी फलकों पर मानों को जोड़ना होगा और फलकों की संख्या से विभाजित करना होगा, लेकिन गणना वास्तव में कैसे काम करती है? इसे व्यक्त करने का एक और तरीका है. छह-पक्षीय पासे के लिए, प्रत्येक पक्ष के लुढ़कने की संभावना बिल्कुल 1/6 है। अब हम प्रत्येक किनारे के परिणाम को उस परिणाम की संभावना से गुणा करते हैं (इस मामले में, प्रत्येक किनारे के लिए 1/6), और फिर परिणामी मानों को जोड़ते हैं। इस प्रकार, योग (1 * 1/6) + (2 * 1/6) + (3 * 1/6) + (4 * 1/6) + (5 * 1/6) + (6 * 1/6 ) , हमें उपरोक्त गणना के समान परिणाम (3.5) मिलता है। वास्तव में, हम हर बार इस तरह से गिनती करते हैं: हम प्रत्येक परिणाम को उस परिणाम की संभावना से गुणा करते हैं।

क्या हम परमाणु युद्ध में खेल के मैदान पर तीर के लिए भी यही गणना कर सकते हैं? बिलकुल हम कर सकते हैं। और यदि हम पाए गए सभी परिणामों को जोड़ दें, तो हमें औसत मूल्य मिलेगा। हमें बस खेल के मैदान पर तीर के प्रत्येक परिणाम की संभावना की गणना करनी है और परिणाम मान से गुणा करना है।

एक और उदाहरण

औसत की गणना करने की यह विधि भी उपयुक्त है यदि परिणाम समान रूप से संभावित हैं लेकिन उनके अलग-अलग फायदे हैं - उदाहरण के लिए, यदि आप एक पासा फेंकते हैं और कुछ पक्षों पर दूसरों की तुलना में अधिक जीतते हैं। उदाहरण के लिए, आइए एक कैसीनो गेम लें: आप एक दांव लगाते हैं और 2d6 रोल करते हैं। यदि तीन संख्याओं को एक साथ रोल किया जाए सबसे कम मूल्य(2, 3, 4) या चार संख्याओं के साथ उच्च मूल्य(9, 10, 11, 12) - आप अपनी शर्त के बराबर राशि जीतेंगे। न्यूनतम और उच्चतम मान वाली संख्याएँ विशेष होती हैं: यदि आप 2 या 12 को रोल करते हैं, तो आप अपनी शर्त से दोगुना जीत जाते हैं। यदि कोई अन्य संख्या (5, 6, 7, 8) लुढ़कती है, तो आप अपना दांव हार जाएंगे। यह काफी सरल गेम है. लेकिन जीतने की संभावना क्या है?

आइए गिनकर शुरुआत करें कि आप कितनी बार जीत सकते हैं। 2d6 को रोल करने पर परिणामों की अधिकतम संख्या 36 है। अनुकूल परिणामों की संख्या क्या है?

• 1 विकल्प है कि 2 को रोल किया जाएगा, और 1 विकल्प है कि 12 को रोल किया जाएगा।
• 2 विकल्प हैं जिनमें से 3 रोल करेंगे और 2 विकल्प हैं जिनमें 11 रोल करेंगे।
• 3 विकल्प हैं जिनके लिए 4 आएगा, और 3 विकल्प हैं जिनके लिए 10 आएगा।
• 9 को रोल करने के लिए 4 विकल्प हैं।

सभी विकल्पों को मिलाकर, हमें 36 में से 16 अनुकूल परिणाम मिलते हैं। इस प्रकार, साथ सामान्य स्थितियाँआप संभावित 36 में से 16 बार जीतेंगे - जीतने की संभावना 50% से थोड़ी कम है।

लेकिन इन सोलह में से दो मामलों में आप दोगुना जीतेंगे - यह दो बार जीतने जैसा है। यदि आप इस गेम को 36 बार खेलते हैं, हर बार $1 का दांव लगाते हैं, और सभी संभावित परिणामों में से प्रत्येक एक बार आता है, तो आप कुल $18 जीतेंगे (आप वास्तव में 16 बार जीतेंगे, लेकिन उनमें से दो को दो जीत के रूप में गिना जाएगा)। यदि आप 36 बार खेलते हैं और $18 जीतते हैं, तो क्या इसका मतलब यह नहीं है कि संभावनाएँ बराबर हैं?

पर्याप्त समय लो। यदि आप गिनते हैं कि आप कितनी बार हार सकते हैं, तो आप 18 नहीं, बल्कि 20 पर पहुँचेंगे। यदि आप 36 बार खेलते हैं, हर बार 1 डॉलर का दांव लगाते हैं, और यदि आप सभी जीतने वाली पिक्स मारते हैं, तो आप कुल 18 डॉलर जीतेंगे। लेकिन यदि आपको सभी 20 प्रतिकूल परिणाम मिलते हैं तो आपको कुल $20 का नुकसान होगा। परिणामस्वरूप, आप थोड़ा पीछे रह जाएंगे: आप प्रत्येक 36 खेलों के लिए औसतन $2 का नेट खो देते हैं (आप यह भी कह सकते हैं कि आप प्रति दिन औसतन 1/18 डॉलर का नुकसान करते हैं)। अब आप देखिए कि इस मामले में गलती करना और संभाव्यता की गलत गणना करना कितना आसान है।

विपर्यय

अब तक हम यही मानते आए हैं कि पासा फेंकते समय संख्याओं का क्रम कोई मायने नहीं रखता। 2 + 4 को रोल करना 4 + 2 को रोल करने के समान है। ज्यादातर मामलों में, हम मैन्युअल रूप से अनुकूल परिणामों की संख्या की गणना करते हैं, लेकिन कभी-कभी यह विधिअव्यावहारिक है और गणितीय सूत्र का उपयोग करना बेहतर है।

इस स्थिति का एक उदाहरण फ़ार्कल पासा खेल से है। प्रत्येक नए दौर के लिए, आप 6d6 रोल करते हैं। यदि आप भाग्यशाली हैं और सभी संभावित परिणाम 1-2-3-4-5-6 (सीधे) प्राप्त करते हैं, तो आपको एक बड़ा बोनस प्राप्त होगा। ऐसा होने की संभावना क्या है? ऐसे में इस कॉम्बिनेशन को पाने के लिए कई विकल्प मौजूद हैं.

समाधान इस प्रकार है: पासों में से एक (और केवल एक) का नंबर 1 होना चाहिए। एक पासे पर नंबर 1 कितने तरीकों से दिखाई दे सकता है? 6 विकल्प हैं, क्योंकि 6 पासे हैं, और उनमें से कोई भी संख्या 1 पर गिर सकता है। तदनुसार, एक पासा लें और उसे एक तरफ रख दें। अब बचे हुए पासों में से एक पासे पर 2 नंबर फेंकना चाहिए। इसके लिए 5 विकल्प हैं। दूसरा पासा लें और उसे एक तरफ रख दें। फिर बचे हुए पासों में से 4 नंबर 3 पर आ सकते हैं, बचे हुए पासों में से 3 नंबर 4 पर आ सकते हैं, और बचे हुए पासों में से 2 नंबर 5 पर आ सकते हैं। परिणामस्वरूप, आपके पास एक पासा बचता है, जिसे नंबर 5 पर लाना चाहिए। संख्या 6 (बाद वाले मामले में, पासे में केवल एक हड्डी है, और कोई विकल्प नहीं है)।

सीधे प्रहार के लिए अनुकूल परिणामों की संख्या की गणना करने के लिए, हम सभी अलग-अलग स्वतंत्र विकल्पों को गुणा करते हैं: 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1=720 - ऐसा लगता है कि काफी कुछ हैं एक बड़ी संख्या कीइस संयोजन को प्राप्त करने के लिए विकल्प.

सीधी रेखा प्राप्त करने की संभावना की गणना करने के लिए, हमें 6d6 को रोल करने के सभी संभावित परिणामों की संख्या से 720 को विभाजित करने की आवश्यकता है। सभी संभावित परिणामों की संख्या क्या है? प्रत्येक पासे की 6 भुजाएँ हो सकती हैं, इसलिए हम 6 x 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 46656 (पिछले वाले से बहुत बड़ी संख्या) गुणा करते हैं। 720 को 46656 से विभाजित करने पर हमें लगभग 1.5% की संभावना प्राप्त होती है। यदि आप इस गेम को डिज़ाइन कर रहे थे, तो यह जानना आपके लिए उपयोगी होगा ताकि आप तदनुसार स्कोरिंग प्रणाली बना सकें। अब हम समझ गए हैं कि फ़ार्कले में आपको स्ट्रेट मिलने पर इतना बड़ा बोनस क्यों मिलता है: यह काफी दुर्लभ स्थिति है।

नतीजा एक और वजह से भी दिलचस्प है. उदाहरण से पता चलता है कि यह कितना दुर्लभ है एक छोटी सी अवधि मेंसंभाव्यता के अनुरूप परिणाम प्रकट होता है। निःसंदेह, यदि हम कई हजार पासे उछाल रहे होते, अलग-अलग चेहरेपासे अक्सर आते रहते थे। लेकिन जब हम केवल छह पासे फेंकते हैं, तो ऐसा लगभग कभी नहीं होता कि हर चेहरा सामने आ जाए। यह स्पष्ट हो जाता है कि यह उम्मीद करना बेवकूफी है कि अब एक ऐसी रेखा दिखाई देगी जो अभी तक नहीं हुई है, क्योंकि "हमने लंबे समय से नंबर 6 को रोल नहीं किया है।" सुनो, तुम्हारा यादृच्छिक संख्या जनरेटर टूट गया है।

यह हमें इस आम ग़लतफ़हमी की ओर ले जाता है कि सभी परिणाम थोड़े समय में एक ही आवृत्ति पर घटित होते हैं। यदि हम पासे को कई बार फेंकें, तो प्रत्येक पक्ष के गिरने की आवृत्ति समान नहीं होगी।

यदि आपने पहले कभी किसी प्रकार के यादृच्छिक संख्या जनरेटर के साथ ऑनलाइन गेम पर काम किया है, तो आपने संभवतः ऐसी स्थिति का सामना किया होगा जहां एक खिलाड़ी तकनीकी सहायता को शिकायत करते हुए लिखता है कि यादृच्छिक संख्या जनरेटर यादृच्छिक संख्या नहीं दिखा रहा है। वह इस नतीजे पर इसलिए पहुंचा क्योंकि उसने लगातार 4 राक्षसों को मार डाला और 4 बिल्कुल एक जैसे पुरस्कार प्राप्त किए, और ये पुरस्कार केवल 10% बार ही दिखाई देने चाहिए, इसलिए यह स्पष्ट रूप से लगभग कभी नहीं होना चाहिए।

आप गणितीय गणना कर रहे हैं. संभावना 1/10 * 1/10 * 1/10 * 1/10 है, यानी 10 हजार में 1 परिणाम एक दुर्लभ मामला है। यह वही है जो खिलाड़ी आपको बताना चाह रहा है। क्या इस मामले में कोई समस्या है?

यह सब परिस्थितियों पर निर्भर करता है. आपके सर्वर पर वर्तमान में कितने खिलाड़ी हैं? चलिए मान लेते हैं कि आपके पास पर्याप्त है लोकप्रिय खेल, और प्रतिदिन 100 हजार लोग इसे खेलते हैं। कितने खिलाड़ी लगातार चार राक्षसों को मार सकते हैं? संभवतः सभी, दिन में कई बार, लेकिन मान लें कि उनमें से आधे बस नीलामी में विभिन्न वस्तुओं का व्यापार कर रहे हैं, आरपी सर्वर पर चैट कर रहे हैं, या अन्य इन-गेम गतिविधियां कर रहे हैं - तो उनमें से केवल आधे ही राक्षसों का शिकार कर रहे हैं। इसकी क्या संभावना है कि किसी को समान इनाम मिलेगा? इस स्थिति में, आप दिन में कम से कम कई बार ऐसा होने की उम्मीद कर सकते हैं।

वैसे, यही कारण है कि ऐसा लगता है कि हर कुछ हफ्तों में कोई न कोई लॉटरी जीत जाता है, भले ही वह व्यक्ति कभी आप या आपका कोई परिचित न रहा हो। यदि पर्याप्त लोग नियमित रूप से खेलते हैं, तो संभावना है कि कहीं न कहीं कम से कम एक भाग्यशाली खिलाड़ी होगा। लेकिन यदि आप स्वयं लॉटरी खेलते हैं, तो आपके जीतने की संभावना नहीं है, बल्कि आपको इन्फिनिटी वार्ड में काम करने के लिए आमंत्रित किया जाएगा।

कार्ड और लत

हमने स्वतंत्र घटनाओं पर चर्चा की है, जैसे पासा घुमाना, और अब कई खेलों में यादृच्छिकता का विश्लेषण करने के लिए कई शक्तिशाली उपकरण जानते हैं। जब डेक से कार्ड निकालने की बात आती है तो संभाव्यता की गणना करना थोड़ा अधिक जटिल होता है, क्योंकि हमारे द्वारा निकाला गया प्रत्येक कार्ड डेक में बचे हुए कार्डों को प्रभावित करता है।

यदि आपके पास एक मानक 52-कार्ड डेक है, तो आप उसमें से 10 दिल हटा देते हैं और संभावना जानना चाहते हैं कि अगला कार्ड उसी सूट का होगा - संभावना मूल से बदल गई है क्योंकि आपने पहले ही सूट का एक कार्ड हटा दिया है डेक से दिलों की. आपके द्वारा हटाया गया प्रत्येक कार्ड डेक में अगले कार्ड के प्रदर्शित होने की संभावना को बदल देता है। इस मामले में, पिछली घटना अगले को प्रभावित करती है, इसलिए हम इस संभावना को निर्भर कहते हैं।

कृपया ध्यान दें कि जब मैं "कार्ड" कहता हूं तो मैं किसी गेम मैकेनिक के बारे में बात कर रहा हूं जहां आपके पास वस्तुओं का एक सेट है और आप वस्तुओं में से एक को बिना बदले हटा देते हैं। इस मामले में "ताश के पत्तों का डेक" चिप्स के एक बैग के समान है जिसमें से आप एक चिप लेते हैं, या एक कलश जिसमें से रंगीन गेंदें ली जाती हैं (मैंने कभी भी ऐसे कलश वाले खेल नहीं देखे हैं जिनमें से रंगीन गेंदें ली जाती हैं, लेकिन शिक्षक संभाव्यता सिद्धांत के किस कारण से इस उदाहरण को प्राथमिकता दी जाती है)।

निर्भरता गुण

मैं यह स्पष्ट करना चाहूंगा कि जब कार्डों की बात आती है, तो मैं मान रहा हूं कि आप कार्ड बनाएं, उन्हें देखें और उन्हें डेक से हटा दें। इनमें से प्रत्येक क्रिया एक महत्वपूर्ण संपत्ति है। यदि मेरे पास 1 से 6 नंबर वाले छह कार्डों का एक डेक होता, तो मैं उन्हें फेंटता और एक कार्ड निकालता, फिर सभी छह कार्डों को फिर से फेंटता - यह छह-तरफा पासे को फेंकने के समान होगा, क्योंकि एक परिणाम होता है अगले पर कोई प्रभाव नहीं. और यदि मैं कार्ड निकालता हूं और उन्हें बदलता नहीं हूं, तो कार्ड 1 निकालकर, मैं इस बात की अधिक संभावना बनाता हूं कि मैं अगली बार 6 नंबर वाला कार्ड निकालूंगा, संभावना तब तक बढ़ती रहती है जब तक मैं अंततः कार्ड नहीं निकाल लेता वह कार्ड या डेक को फेरें।

यह तथ्य भी महत्वपूर्ण है कि हम कार्डों को देख रहे हैं। अगर मैं डेक से एक कार्ड निकालूं और उसे न देखूं, तो मेरे पास कार्ड नहीं होगा अतिरिक्त जानकारीऔर वास्तव में संभावना नहीं बदलेगी. यह उल्टा लग सकता है. केवल कार्ड उछालने से संभावनाएँ जादुई ढंग से कैसे बदल सकती हैं? लेकिन यह संभव है क्योंकि आप जो जानते हैं उसके आधार पर आप अज्ञात वस्तुओं की संभावना की गणना कर सकते हैं।

उदाहरण के लिए, यदि आप ताश के एक मानक डेक को फेंटते हैं और 51 पत्ते प्रकट करते हैं और उनमें से कोई भी क्लबों की रानी नहीं है, तो आप 100% आश्वस्त हो सकते हैं कि शेष कार्ड क्लबों की रानी है। यदि आप ताश के पत्तों के एक मानक डेक को फेरबदल करते हैं और उन्हें देखे बिना 51 पत्ते निकाल लेते हैं, तो शेष पत्ता क्लबों की रानी होने की संभावना अभी भी 1/52 है। जब आप प्रत्येक कार्ड खोलते हैं, तो आपको प्राप्त होता है अधिक जानकारी.

आश्रित घटनाओं के लिए संभाव्यता की गणना स्वतंत्र घटनाओं के लिए समान सिद्धांतों का पालन करती है, सिवाय इसके कि यह थोड़ा अधिक जटिल है क्योंकि जैसे ही आप कार्ड प्रकट करते हैं संभावनाएं बदल जाती हैं। इसलिए आपको बहुत अधिक गुणा करने की आवश्यकता है विभिन्न अर्थ, समान मान को गुणा करने के बजाय। इसका वास्तव में मतलब यह है कि हमें अपने द्वारा की गई सभी गणनाओं को एक संयोजन में संयोजित करने की आवश्यकता है।

उदाहरण

आप एक मानक 52-कार्ड डेक को फेरबदल करते हैं और दो कार्ड निकालते हैं। इसकी क्या प्रायिकता है कि आप एक जोड़ा निकालेंगे? इस संभावना की गणना करने के कई तरीके हैं, लेकिन शायद सबसे सरल यह है: क्या संभावना है कि यदि आप एक कार्ड निकालते हैं, तो आप एक जोड़ी नहीं निकाल पाएंगे? यह संभावना शून्य है, इसलिए इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप कौन सा पहला कार्ड निकालते हैं, जब तक कि वह दूसरे से मेल खाता हो। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि हम पहले कौन सा कार्ड निकालते हैं, हमारे पास अभी भी एक जोड़ी निकालने का मौका है। इसलिए, पहला कार्ड निकलने के बाद एक जोड़ी निकलने की संभावना 100% है।

इसकी क्या प्रायिकता है कि दूसरा कार्ड पहले से मेल खाता है? डेक में 51 कार्ड बचे हैं, और उनमें से 3 पहले कार्ड से मेल खाते हैं (वास्तव में 52 में से 4 होंगे, लेकिन जब आपने पहला कार्ड निकाला तो आपने पहले ही मेल खाने वाले कार्डों में से एक को हटा दिया था), इसलिए संभावना 1/ है 17. तो अगली बार जब आप टेक्सास होल्डम खेल रहे हों, तो आपके सामने टेबल पर बैठा व्यक्ति कहता है, “अच्छा है, एक और जोड़ी? मैं आज भाग्यशाली महसूस कर रहा हूं,'' आपको पता चल जाएगा कि इस बात की बहुत अधिक संभावना है कि वह झांसा दे रहा है।

क्या होगा यदि हम दो जोकर जोड़ दें ताकि हमारे पास डेक में 54 कार्ड हों और जानना चाहें कि एक जोड़ी निकलने की संभावना क्या है? पहला कार्ड जोकर हो सकता है, और फिर डेक में केवल एक कार्ड होगा जो मेल खाता है, तीन नहीं। इस मामले में प्रायिकता कैसे ज्ञात करें? हम संभावनाओं को विभाजित करेंगे और प्रत्येक संभावना को गुणा करेंगे।

हमारा पहला कार्ड जोकर या कोई अन्य कार्ड हो सकता है। एक जोकर निकालने की प्रायिकता 2/54 है, कोई अन्य कार्ड निकालने की प्रायिकता 52/54 है। यदि पहला कार्ड जोकर (2/54) है, तो दूसरे कार्ड के पहले से मेल खाने की प्रायिकता 1/53 है। हम मूल्यों को गुणा करते हैं (हम उन्हें गुणा कर सकते हैं क्योंकि वे अलग-अलग घटनाएँ हैं और हम चाहते हैं कि दोनों घटनाएँ घटित हों) और हमें 1/1431 मिलता है - एक प्रतिशत के दसवें हिस्से से भी कम।

यदि आप पहले कोई अन्य कार्ड निकालते हैं (52/54), तो दूसरे कार्ड के मिलान की संभावना 3/53 है। हम मानों को गुणा करते हैं और 78/1431 (5.5% से थोड़ा अधिक) प्राप्त करते हैं। हम इन दो परिणामों के साथ क्या करेंगे? वे प्रतिच्छेद नहीं करते हैं, और हम उनमें से प्रत्येक की संभावना जानना चाहते हैं, इसलिए हम मान जोड़ते हैं। हमें अंतिम परिणाम 79/1431 (अभी भी लगभग 5.5%) मिलता है।

यदि हम उत्तर की सटीकता के बारे में आश्वस्त होना चाहते हैं, तो हम अन्य सभी संभावित परिणामों की संभावना की गणना कर सकते हैं: एक जोकर बनाना और दूसरे कार्ड से मेल नहीं खाना, या कोई अन्य कार्ड बनाना और दूसरे कार्ड से मेल नहीं खाना। इन संभावनाओं और जीतने की संभावना को जोड़ने पर, हमें बिल्कुल 100% मिलेगा। मैं यहां गणित नहीं बताऊंगा, लेकिन दोबारा जांच करने के लिए आप गणित का प्रयास कर सकते हैं।

मोंटी हॉल विरोधाभास

यह हमें एक प्रसिद्ध विरोधाभास की ओर ले जाता है जो अक्सर कई लोगों को भ्रमित करता है - मोंटी हॉल विरोधाभास। इस विरोधाभास का नाम टीवी शो लेट्स मेक अ डील के होस्ट के नाम पर रखा गया है। उन लोगों के लिए जिन्होंने यह टीवी शो कभी नहीं देखा है, यह द प्राइस इज़ राइट के विपरीत था।

द प्राइस इज़ राइट पर, मेज़बान (बॉब बार्कर मेज़बान हुआ करते थे; अब कौन हैं, ड्रू कैरी? कोई बात नहीं) आपका मित्र है। वह चाहता है कि आप पैसे या आकर्षक पुरस्कार जीतें। यह आपको जीतने का हर मौका देने की कोशिश करता है, जब तक आप अनुमान लगा सकते हैं कि प्रायोजकों द्वारा खरीदी गई वस्तुओं का वास्तव में मूल्य कितना है।

मोंटी हॉल ने अलग व्यवहार किया। वह बॉब बार्कर के दुष्ट जुड़वां की तरह था। उनका लक्ष्य आपको राष्ट्रीय टेलीविजन पर एक बेवकूफ की तरह दिखाना था। यदि आप शो में थे, तो वह आपका प्रतिद्वंद्वी था, आप उसके खिलाफ खेले, और हालात उसके पक्ष में थे। शायद मैं बहुत कठोर हो रहा हूं, लेकिन शो को देखते हुए कि यदि आप हास्यास्पद पोशाक पहनते हैं तो आपके इसमें शामिल होने की अधिक संभावना है, मैं बिल्कुल उसी स्थिति में हूं।

शो के सबसे प्रसिद्ध मीम्स में से एक यह था: आपके सामने तीन दरवाजे हैं, दरवाजा नंबर 1, दरवाजा नंबर 2 और दरवाजा नंबर 3. आप मुफ्त में एक दरवाजा चुन सकते हैं। उनमें से एक के पीछे एक शानदार पुरस्कार है - उदाहरण के लिए, एक नई कार। अन्य दो दरवाजों के पीछे कोई पुरस्कार नहीं हैं, दोनों का कोई मूल्य नहीं है। वे आपको अपमानित करने वाले हैं, इसलिए उनके पीछे कुछ भी नहीं है, बल्कि कुछ बेवकूफी है, उदाहरण के लिए, एक बकरी या टूथपेस्ट की एक बड़ी ट्यूब - एक नई कार के अलावा कुछ भी।

आप इनमें से एक दरवाज़ा चुनें, मोंटी उसे खोलने वाला है ताकि आपको पता चल सके कि आप जीते या नहीं... लेकिन रुकिए। इससे पहले कि हम जानें, आइए उन दरवाजों में से एक पर नज़र डालें जिन्हें आपने नहीं चुना है। मोंटी जानता है कि पुरस्कार किस दरवाजे के पीछे है, और वह हमेशा वह दरवाजा खोल सकता है जिसके पीछे पुरस्कार नहीं है। “क्या आप दरवाज़ा नंबर 3 चुन रहे हैं? तो चलिए दरवाजा नंबर 1 खोलें यह दिखाने के लिए कि इसके पीछे कोई पुरस्कार नहीं था।" और अब, उदारता के कारण, वह आपको चयनित द्वार संख्या 3 को द्वार संख्या 2 के पीछे वाले स्थान से बदलने का अवसर प्रदान करता है।

इस बिंदु पर, संभाव्यता का प्रश्न उठता है: क्या यह अवसर आपके जीतने की संभावना को बढ़ाता है, या घटाता है, या क्या यह अपरिवर्तित रहता है? आप क्या सोचते है?

सही उत्तर: दूसरा दरवाजा चुनने की क्षमता जीतने की संभावना 1/3 से 2/3 तक बढ़ा देती है। यह अतार्किक है. यदि आपने पहले इस विरोधाभास का सामना नहीं किया है, तो संभवतः आप सोच रहे होंगे: रुको, ऐसा कैसे हुआ कि एक दरवाजा खोलकर, हमने जादुई तरीके से संभावना को बदल दिया? जैसा कि हम मानचित्रों के साथ पहले ही देख चुके हैं, जब हमें अधिक जानकारी मिलती है तो ठीक यही होता है। जाहिर है, जब आप पहली बार चुनते हैं, तो जीतने की संभावना 1/3 होती है। जब एक दरवाजा खुलता है, तो इससे पहली पसंद के जीतने की संभावना बिल्कुल भी नहीं बदलती है: संभावना अभी भी 1/3 है। लेकिन दूसरे दरवाजे के सही होने की संभावना अब 2/3 है।

आइए इस उदाहरण को एक अलग दृष्टिकोण से देखें। आप एक दरवाजा चुनें. जीतने की संभावना 1/3 है. मेरा सुझाव है कि आप अन्य दो दरवाजे बदल दें, जो मोंटी हॉल करता है। ज़रूर, वह यह बताने के लिए एक दरवाज़ा खोलता है कि इसके पीछे कोई पुरस्कार नहीं है, लेकिन वह हमेशा ऐसा कर सकता है, इसलिए यह वास्तव में कुछ भी नहीं बदलता है। बेशक, आप एक अलग दरवाजा चुनना चाहेंगे।

यदि आप प्रश्न को ठीक से नहीं समझते हैं और अधिक ठोस स्पष्टीकरण की आवश्यकता है, तो एक बेहतरीन छोटे फ्लैश एप्लिकेशन पर जाने के लिए इस लिंक पर क्लिक करें जो आपको इस विरोधाभास को और अधिक विस्तार से जानने की अनुमति देगा। आप लगभग 10 दरवाजों से शुरुआत करके खेल सकते हैं और फिर धीरे-धीरे तीन दरवाजों वाले खेल तक पहुंच सकते हैं। यहां एक सिम्युलेटर भी है जहां आप 3 से 50 तक किसी भी संख्या में दरवाजे के साथ खेल सकते हैं, या कई हजार सिमुलेशन चला सकते हैं और देख सकते हैं कि यदि आप खेलते हैं तो आप कितनी बार जीतेंगे।

तीन दरवाजों में से एक चुनें - जीतने की संभावना 1/3 है। अब आपके पास दो रणनीतियाँ हैं: गलत दरवाजा खोलने के बाद अपनी पसंद बदलें या नहीं। यदि आप अपनी पसंद नहीं बदलते हैं, तो संभावना 1/3 रहेगी, क्योंकि चुनाव केवल पहले चरण में होता है, और आपको तुरंत अनुमान लगाना चाहिए। यदि आप बदलते हैं, तो आप जीत सकते हैं यदि आप पहले गलत दरवाजा चुनते हैं (फिर वे एक और गलत दरवाजा खोलते हैं, सही रहता है - अपना निर्णय बदलकर, आप इसे ले लेते हैं)। शुरुआत में गलत दरवाजा चुनने की संभावना 2/3 है - इसलिए यह पता चलता है कि अपना निर्णय बदलकर, आप जीतने की संभावना दोगुनी कर देते हैं।

उच्च गणित शिक्षक और खेल संतुलन विशेषज्ञ मैक्सिम सोल्तोव की एक टिप्पणी - बेशक, श्रेइबर के पास यह नहीं था, लेकिन इसके बिना इस जादुई परिवर्तन को समझना काफी मुश्किल है

और फिर से मोंटी हॉल विरोधाभास के बारे में

जहां तक ​​शो की बात है: भले ही मोंटी हॉल के प्रतिद्वंद्वी गणित में अच्छे नहीं थे, वह इसमें अच्छे थे। यहाँ उन्होंने खेल को थोड़ा बदलने के लिए क्या किया। यदि आपने ऐसा दरवाज़ा चुना है जिसके पीछे पुरस्कार है, जिसके घटित होने की 1/3 संभावना है, तो यह आपको हमेशा दूसरा दरवाज़ा चुनने का विकल्प देगा। आप एक कार चुनेंगे और फिर उसे एक बकरी से बदल देंगे और आप बहुत बेवकूफ दिखेंगे - यह वही है जो आप चाहते हैं क्योंकि हॉल एक दुष्ट आदमी है।

लेकिन यदि आप ऐसा दरवाज़ा चुनते हैं जिसके पीछे कोई पुरस्कार नहीं है, तो वह आपसे केवल आधे समय के लिए दूसरा दरवाज़ा चुनने के लिए कहेगा, या वह आपको बस आपका नया बकरा दिखाएगा और आप मंच छोड़ देंगे। आइए इसका विश्लेषण करें नया खेल, जिसमें मोंटी हॉल यह तय कर सकता है कि आपको दूसरा दरवाजा चुनने का मौका दिया जाए या नहीं।

मान लीजिए कि वह इस एल्गोरिदम का पालन करता है: यदि आप पुरस्कार के साथ एक दरवाजा चुनते हैं, तो वह आपको हमेशा एक और दरवाजा चुनने का अवसर प्रदान करता है, अन्यथा वह आपको एक और दरवाजा चुनने या आपको एक बकरी देने की समान संभावना रखता है। आपके जीतने की संभावना क्या है?

तीन विकल्पों में से एक में, आप तुरंत वह दरवाज़ा चुनते हैं जिसके पीछे पुरस्कार स्थित है, और प्रस्तुतकर्ता आपको दूसरा दरवाज़ा चुनने के लिए आमंत्रित करता है।

तीन में से शेष दो विकल्पों में से (आप शुरू में पुरस्कार के बिना एक दरवाजा चुनते हैं), आधे मामलों में प्रस्तुतकर्ता आपको अपना निर्णय बदलने की पेशकश करेगा, और दूसरे आधे मामलों में - नहीं।

2/3 का आधा 1/3 है, यानी एक मामले में आपको तीन में से एक बकरी मिलेगी, तीन में से एक मामले में आप गलत दरवाजा चुनेंगे और मेज़बान आपसे दूसरा चुनने के लिए कहेगा, और एक में तीन में से एक मामले में आप सही दरवाज़ा चुनेंगे, लेकिन वह फिर से एक और दरवाज़ा पेश करेगा।

यदि प्रस्तुतकर्ता दूसरा दरवाजा चुनने की पेशकश करता है, तो हम पहले से ही जानते हैं कि तीन में से एक मामला, जब वह हमें एक बकरी देता है और हम चले जाते हैं, ऐसा नहीं हुआ। यह उपयोगी जानकारी: इसका मतलब है कि हमारे जीतने की संभावना बदल गई है। तीन में से दो मामले जब हमें चुनने का अवसर मिलता है: एक मामले में इसका मतलब है कि हमने सही अनुमान लगाया है, और दूसरे में हमने गलत अनुमान लगाया है, इसलिए यदि हमें चुनने का अवसर दिया गया, तो हमारे जीतने की संभावना है 1/2 है, और गणितीय दृष्टिकोण से, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप अपनी पसंद के साथ रहें या कोई अन्य दरवाजा चुनें।

पोकर की तरह, यह एक मनोवैज्ञानिक खेल है, गणितीय नहीं। मोंटी ने तुम्हें विकल्प क्यों दिया? वह सोचता है कि आप एक साधारण व्यक्ति हैं जो नहीं जानता कि दूसरा दरवाजा चुनना "सही" निर्णय है और वह हठपूर्वक अपनी पसंद पर कायम रहेगा (आखिरकार, मनोवैज्ञानिक रूप से) स्थिति अधिक जटिल है, जब आपने एक कार चुनी और फिर उसे खो दिया)?

या क्या वह यह तय करते हुए कि आप होशियार हैं और दूसरा दरवाजा चुनेंगे, आपको यह मौका देता है क्योंकि वह जानता है कि आपने पहली बार में सही अनुमान लगाया था और फंस जाएंगे? या हो सकता है कि वह अस्वाभाविक रूप से दयालु हो और आपको कुछ ऐसा करने के लिए प्रेरित कर रहा हो जो आपके लिए फायदेमंद हो क्योंकि उसने कुछ समय से कारें नहीं दी हैं और निर्माताओं का कहना है कि दर्शक ऊब रहे हैं और ऐसा करने के लिए जल्द ही एक बड़ा पुरस्कार देना बेहतर होगा रेटिंग गिर गई?

इस तरह, मोंटी कभी-कभार एक विकल्प पेश करने में सफल हो जाता है और फिर भी जीतने की कुल संभावना 1/3 पर बनाए रखता है। याद रखें कि आपके सीधे तौर पर हारने की संभावना 1/3 है। आपके तुरंत सही अनुमान लगाने की संभावना 1/3 है, और 50% बार आप जीतेंगे (1/3 x 1/2 = 1/6)।

पहले आपके गलत अनुमान लगाने और फिर दूसरा दरवाज़ा चुनने का मौका मिलने की संभावना 1/3 है, और उनमें से आधी बार आप जीतेंगे (1/6 भी)। दो स्वतंत्र जीतने की संभावनाओं को जोड़ें और आपको 1/3 की संभावना मिलती है, इसलिए इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप अपनी पसंद पर टिके रहते हैं या कोई अन्य दरवाजा चुनते हैं - पूरे खेल में जीतने की आपकी कुल संभावना 1/3 है।

संभावना उस स्थिति से अधिक नहीं हो जाती है जब आपने दरवाजे का अनुमान लगाया था और प्रस्तुतकर्ता ने आपको केवल यह दिखाया था कि इसके पीछे क्या था, किसी अन्य को चुनने की पेशकश किए बिना। प्रस्ताव का उद्देश्य संभावना को बदलना नहीं है, बल्कि निर्णय लेने की प्रक्रिया को टेलीविजन पर देखने के लिए और अधिक मज़ेदार बनाना है।

वैसे, यह एक कारण है कि पोकर इतना दिलचस्प हो सकता है: अधिकांश प्रारूपों में, राउंड के बीच जब दांव लगाए जाते हैं (उदाहरण के लिए, टेक्सास होल्डम में फ्लॉप, टर्न और रिवर), कार्ड धीरे-धीरे सामने आते हैं, और यदि खेल की शुरुआत में आपके पास जीतने का एक मौका है, तो सट्टेबाजी के प्रत्येक दौर के बाद, जब अधिक कार्ड खुलते हैं, तो यह संभावना बदल जाती है।

लड़का और लड़की विरोधाभास

यह हमें एक और प्रसिद्ध विरोधाभास की ओर ले जाता है, जो एक नियम के रूप में, हर किसी को हैरान करता है - लड़का और लड़की का विरोधाभास। आज मैं जिस एकमात्र चीज़ के बारे में लिख रहा हूं वह सीधे तौर पर गेम से संबंधित नहीं है (हालांकि मुझे लगता है कि मैं आपको उचित गेम मैकेनिक्स बनाने के लिए प्रोत्साहित करना चाहता हूं)। यह एक पहेली है, लेकिन दिलचस्प है, और इसे हल करने के लिए, आपको सशर्त संभाव्यता को समझने की आवश्यकता है, जिसके बारे में हमने ऊपर बात की थी।

समस्या: मेरे एक मित्र के दो बच्चे हैं, उनमें से कम से कम एक लड़की है। इसकी क्या प्रायिकता है कि दूसरा बच्चा भी लड़की हो? आइए मान लें कि किसी भी परिवार में एक लड़की और एक लड़का होने की संभावना 50/50 है, और यह हर बच्चे के लिए सच है।

वास्तव में, कुछ पुरुषों के शुक्राणु में X गुणसूत्र या Y गुणसूत्र के साथ अधिक शुक्राणु होते हैं, इसलिए संभावनाएँ थोड़ी बदल जाती हैं। यदि आप जानते हैं कि एक बच्चा लड़की है, तो दूसरी लड़की होने की संभावना थोड़ी अधिक है, और अन्य स्थितियां भी हैं, जैसे उभयलिंगीपन। लेकिन इस समस्या के समाधान के लिए हम इस पर ध्यान नहीं देंगे और यह मान लेंगे कि बच्चे का जन्म होता है स्वतंत्र घटनाऔर एक लड़के और एक लड़की के जन्म की संभावना समान है।

चूँकि हम 1/2 की संभावना के बारे में बात कर रहे हैं, सहज रूप से हम उम्मीद करते हैं कि उत्तर संभवतः 1/2 या 1/4, या कोई अन्य संख्या होगी जो हर में दो का गुणज हो। लेकिन उत्तर 1/3 है. क्यों?

यहां कठिनाई यह है कि हमारे पास जो जानकारी है वह संभावनाओं की संख्या को कम कर देती है। मान लीजिए कि माता-पिता सेसम स्ट्रीट के प्रशंसक हैं और उन्होंने बच्चों के लिंग की परवाह किए बिना उनका नाम ए और बी रखा है। सामान्य परिस्थितियों में, चार समान रूप से संभावित संभावनाएं हैं: ए और बी दो लड़के हैं, ए और बी दो लड़कियां हैं, ए एक लड़का है और B एक लड़की है, A एक लड़की है और B एक लड़का है। चूँकि हम जानते हैं कि कम से कम एक बच्चा लड़की है, हम इस संभावना से इंकार कर सकते हैं कि A और B दो लड़के हैं। इससे हमारे सामने तीन संभावनाएं बचती हैं - फिर भी समान रूप से संभावित। यदि सभी संभावनाएँ समान रूप से संभावित हैं और उनमें से तीन हैं, तो उनमें से प्रत्येक की संभावना 1/3 है। इन तीन विकल्पों में से केवल एक में दोनों बच्चे लड़कियाँ हैं, इसलिए उत्तर 1/3 है।

और फिर एक लड़के और एक लड़की के विरोधाभास के बारे में

समस्या का समाधान और भी अतार्किक हो जाता है। कल्पना कीजिए कि मेरे दोस्त के दो बच्चे हैं और उनमें से एक लड़की है जिसका जन्म मंगलवार को हुआ था। आइए मान लें कि सामान्य परिस्थितियों में समान संभावना के साथ सप्ताह के सातों दिनों में से प्रत्येक दिन एक बच्चे का जन्म हो सकता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि दूसरा बच्चा भी लड़की हो?

आप सोच सकते हैं कि उत्तर अभी भी 1/3 होगा: मंगलवार का क्या महत्व है? लेकिन इस मामले में भी, हमारा अंतर्ज्ञान हमें विफल कर देता है। उत्तर 13/27 है, जो न केवल अकल्पनीय है, बल्कि बहुत अजीब भी है। इस मामले में क्या मामला है?

वास्तव में, मंगलवार संभावना को बदल देता है क्योंकि हम नहीं जानते कि कौन सा बच्चा मंगलवार को पैदा हुआ था, या शायद दोनों का जन्म मंगलवार को हुआ था। इस मामले में, हम उसी तर्क का उपयोग करते हैं: हम सभी संभावित संयोजनों को गिनते हैं जब कम से कम एक बच्चा मंगलवार को पैदा हुआ लड़की हो। पिछले उदाहरण की तरह, मान लें कि बच्चों के नाम ए और बी हैं। संयोजन इस तरह दिखते हैं:

• A एक लड़की है जिसका जन्म मंगलवार को हुआ था, B एक लड़का है (इस स्थिति में 7 संभावनाएँ हैं, सप्ताह के प्रत्येक दिन के लिए एक जब लड़का पैदा हो सकता था)।
• B एक लड़की है जिसका जन्म मंगलवार को हुआ है, A एक लड़का है (7 संभावनाएं भी)।
• ए - एक लड़की जिसका जन्म मंगलवार को हुआ, बी - एक लड़की जिसका जन्म सप्ताह के किसी अन्य दिन हुआ (6 संभावनाएँ)।
• B वह लड़की है जिसका जन्म मंगलवार को हुआ था, A वह लड़की है जिसका जन्म मंगलवार को नहीं हुआ था (6 संभावनाएँ भी)।
• ए और बी दो लड़कियां हैं जिनका जन्म मंगलवार को हुआ था (1 संभावना, आपको इस पर ध्यान देने की जरूरत है ताकि दो बार गिनती न करनी पड़े)।

हम जोड़ते हैं और मंगलवार को लड़की के जन्म की कम से कम एक संभावना के साथ बच्चों और दिनों के जन्म के 27 अलग-अलग समान रूप से संभावित संयोजन प्राप्त करते हैं। इनमें से 13 संभावनाएं तब होती हैं जब दो लड़कियां पैदा होती हैं। यह भी पूरी तरह से अतार्किक लगता है - ऐसा लगता है जैसे इस कार्य का आविष्कार केवल सिरदर्द पैदा करने के लिए किया गया था। यदि आप अभी भी उलझन में हैं, तो गेम सिद्धांतकार जेस्पर जुहल की वेबसाइट पर इस मुद्दे की अच्छी व्याख्या है।

यदि आप वर्तमान में किसी गेम पर काम कर रहे हैं

यदि आप जिस गेम को डिज़ाइन कर रहे हैं उसमें कोई यादृच्छिकता है, तो इसका विश्लेषण करने का यह एक अच्छा समय है। कुछ तत्व चुनें जिसका आप विश्लेषण करना चाहते हैं। सबसे पहले अपने आप से पूछें कि आप क्या संभावना होने की उम्मीद करते हैं इस तत्व का, खेल के संदर्भ में यह क्या होना चाहिए।

उदाहरण के लिए, यदि आप एक आरपीजी बना रहे हैं और सोच रहे हैं कि क्या संभावना होनी चाहिए कि खिलाड़ी युद्ध में एक राक्षस को हरा देगा, तो अपने आप से पूछें कि जीत का प्रतिशत आपको क्या सही लगता है। आमतौर पर कंसोल आरपीजी में, खिलाड़ी हारने पर बहुत परेशान हो जाते हैं, इसलिए बेहतर होगा कि वे कभी-कभार ही हारें - 10% या उससे कम समय में। यदि आप एक आरपीजी डिजाइनर हैं, तो आप शायद मुझसे बेहतर जानते हैं, लेकिन आपको यह जानने की जरूरत है मूल विचार, प्रायिकता क्या होनी चाहिए।

फिर अपने आप से पूछें कि क्या आपकी संभावनाएँ निर्भर हैं (जैसे कार्ड के साथ) या स्वतंत्र (जैसे पासे के साथ)। सभी संभावित परिणामों और उनकी संभावनाओं का विश्लेषण करें। सुनिश्चित करें कि सभी संभावनाओं का योग 100% है। और, निःसंदेह, प्राप्त परिणामों की तुलना अपनी अपेक्षाओं से करें। क्या आप अपनी इच्छानुसार पासा पलटने या कार्ड बनाने में सक्षम हैं, या क्या यह स्पष्ट है कि मूल्यों को समायोजित करने की आवश्यकता है। और हां, यदि आपको कोई कमी दिखती है, तो आप उसी गणना का उपयोग करके यह निर्धारित कर सकते हैं कि मूल्यों को कितना बदलना है।

होमवर्क असाइनमेंट

आपका अपना गृहकार्य“यह सप्ताह आपको अपनी संभाव्यता कौशल को निखारने में मदद करेगा। यहां दो पासा गेम और एक कार्ड गेम है जिसका आप संभाव्यता का उपयोग करके विश्लेषण करेंगे, साथ ही एक अजीब गेम मैकेनिक भी है जिसे मैंने एक बार विकसित किया था जो मोंटे कार्लो पद्धति का परीक्षण करेगा।

गेम #1 - ड्रैगन बोन्स

यह एक पासा खेल है जिसे मैंने और मेरे सहकर्मियों ने एक बार खोजा था (जेब हेवेन्स और जेसी किंग को धन्यवाद) - यह विशेष रूप से अपनी संभावनाओं से लोगों के दिमाग को चकित कर देता है। यह ड्रैगन डाइस नामक एक साधारण कैसीनो गेम है, और यह खिलाड़ी और घर के बीच जुआ पासा प्रतियोगिता है।

आपको एक सामान्य 1d6 पासा दिया जाता है। खेल का लक्ष्य घर से अधिक संख्या में रोल करना है। टॉम को एक गैर-मानक 1d6 दिया गया है - आपके जैसा ही, लेकिन इसके एक चेहरे पर एक इकाई के बजाय एक ड्रैगन की छवि है (इस प्रकार, कैसीनो में एक ड्रैगन क्यूब है - 2-3-4-5-6 ). यदि घर में ड्रैगन आ जाए तो वह स्वतः ही जीत जाता है और आप हार जाते हैं। यदि दोनों को समान संख्या मिलती है, तो यह ड्रा है और आप फिर से पासा पलटते हैं। जो सबसे अधिक संख्या में आता है वह जीतता है।

बेशक, सब कुछ पूरी तरह से खिलाड़ी के पक्ष में नहीं होता है, क्योंकि कैसीनो में ड्रैगन की बढ़त के रूप में एक फायदा होता है। लेकिन क्या यह वास्तव में सच है? आपको यही हिसाब लगाना है. लेकिन पहले अपने अंतर्ज्ञान की जाँच करें।

मान लीजिए कि ऑड्स 2 से 1 हैं। इसलिए यदि आप जीतते हैं, तो आप अपना दांव बरकरार रखते हैं और अपने दांव से दोगुना प्राप्त करते हैं। उदाहरण के लिए, यदि आप 1 डॉलर का दांव लगाते हैं और जीतते हैं, तो आप उस डॉलर को रखते हैं और शीर्ष पर 2 डॉलर और प्राप्त करते हैं, कुल 3 डॉलर के लिए। यदि आप हारते हैं, तो आप केवल अपना दांव हारते हैं। क्या आप खेलेंगे? क्या आप सहज रूप से महसूस करते हैं कि संभावना 2 से 1 से अधिक है, या क्या आप अभी भी सोचते हैं कि यह कम है? दूसरे शब्दों में, औसतन 3 से अधिक खेलों में, क्या आप एक से अधिक, या कम, या एक बार जीतने की उम्मीद करते हैं?

एक बार जब आप अपने अंतर्ज्ञान का पता लगा लें, तो गणित का उपयोग करें। दोनों पासों के लिए केवल 36 संभावित स्थितियाँ हैं, इसलिए आप उन सभी को बिना किसी समस्या के गिन सकते हैं। यदि आप उस 2-फॉर-1 ऑफर के बारे में निश्चित नहीं हैं, तो इस पर विचार करें: मान लें कि आपने गेम 36 बार खेला है (हर बार $1 का दांव लगाया)। प्रत्येक जीत के लिए आपको 2 डॉलर मिलते हैं, प्रत्येक हार के लिए 1 डॉलर मिलता है, और ड्रॉ से कुछ भी नहीं बदलता है। अपनी सभी संभावित जीत और हानि की गणना करें और तय करें कि आपको कुछ डॉलर का नुकसान होगा या लाभ होगा। फिर अपने आप से पूछें कि आपका अंतर्ज्ञान कितना सही था। और तब एहसास हुआ कि मैं कितना खलनायक हूं।

और हां, यदि आपने पहले से ही इस प्रश्न के बारे में सोचा है - तो मैं जानबूझकर पासा खेल के वास्तविक यांत्रिकी को गलत तरीके से प्रस्तुत करके आपको भ्रमित कर रहा हूं, लेकिन मुझे यकीन है कि आप थोड़े से विचार से इस बाधा को दूर कर सकते हैं। इस समस्या को स्वयं सुलझाने का प्रयास करें.

गेम नंबर 2 - भाग्य के लिए फेंकें

यह संयोग का एक पासा खेल है जिसे "रोल फॉर लक" कहा जाता है (जिसे "बर्डकेज" भी कहा जाता है क्योंकि कभी-कभी पासे फेंके नहीं जाते हैं, बल्कि एक बड़े तार के पिंजरे में रखे जाते हैं, जो बिंगो के पिंजरे की याद दिलाता है)। गेम सरल है और मूल रूप से इस तक सीमित है: 1 से 6 तक की संख्या पर $1 का दांव लगाएं। फिर आप 3डी6 रोल करते हैं। प्रत्येक पासे पर आपका नंबर आने पर आपको $1 मिलता है (और अपना मूल दांव बरकरार रखें)। यदि आपका नंबर किसी भी पासे पर नहीं आता है, तो कैसीनो को आपका डॉलर मिल जाता है और आपको कुछ नहीं मिलता है। इसलिए यदि आप 1 पर दांव लगाते हैं और आपको तीन बार किनारे पर 1 मिलता है, तो आपको $3 मिलते हैं।

सहज रूप से, ऐसा लगता है कि इस खेल में समान संभावनाएँ हैं। प्रत्येक पासे में जीतने की व्यक्तिगत 6 में से 1 संभावना होती है, इसलिए तीन रोलों के योग पर, आपके जीतने की संभावना 6 में से 3 होती है। हालाँकि, निश्चित रूप से, याद रखें कि आप तीन अलग-अलग पासे जोड़ रहे हैं, और आपको केवल इसकी अनुमति है अगर हम एक ही पासे के अलग-अलग विजेता संयोजनों के बारे में बात कर रहे हैं तो जोड़ें। कुछ ऐसा जिसे आपको गुणा करने की आवश्यकता होगी।

एक बार जब आप सभी संभावित परिणामों की गणना कर लेते हैं (संभवतः एक्सेल में हाथ से करना आसान होता है, क्योंकि उनमें से 216 हैं), तो गेम अभी भी पहली नज़र में विषम-सम दिखता है। वास्तव में, कैसीनो में अभी भी जीतने की बेहतर संभावना है - और कितना? विशेष रूप से, आप खेल के प्रत्येक दौर में औसतन कितना पैसा खोने की उम्मीद करते हैं?

आपको बस सभी 216 परिणामों की जीत और हार को जोड़ना है और फिर 216 से विभाजित करना है, जो बहुत आसान होना चाहिए। लेकिन, जैसा कि आप देख सकते हैं, यहां कई कमियां हैं, इसलिए मैं कहता हूं: यदि आपको लगता है कि इस गेम में जीतने की समान संभावना है, तो यह सब गलत है।

गेम #3 - 5 कार्ड स्टड पोकर

यदि आप पहले से ही पिछले खेलों से परिचित हो चुके हैं, तो आइए उदाहरण के तौर पर इस कार्ड गेम का उपयोग करके देखें कि हम सशर्त संभाव्यता के बारे में क्या जानते हैं। आइए 52-कार्ड डेक वाले पोकर गेम की कल्पना करें। आइए 5 कार्ड स्टड की भी कल्पना करें, जहां प्रत्येक खिलाड़ी को केवल 5 कार्ड मिलते हैं। आप एक कार्ड को त्याग नहीं सकते, आप एक नया कार्ड नहीं निकाल सकते, कोई साझा डेक नहीं है - आपको केवल 5 कार्ड मिलते हैं।

एक रॉयल फ्लश एक हाथ में 10-J-Q-K-A है, कुल मिलाकर चार हैं, इसलिए चार हैं संभावित तरीकेएक शाही फ्लश प्राप्त करें. इस संभावना की गणना करें कि आपको ऐसा एक संयोजन मिलेगा।

मुझे आपको एक बात के बारे में चेतावनी देनी चाहिए: याद रखें कि आप इन पांच कार्डों को किसी भी क्रम में निकाल सकते हैं। यानी, पहले आप इक्का या दस निकाल सकते हैं, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता। इसलिए जब आप गणित करते हैं, तो ध्यान रखें कि रॉयल फ्लश प्राप्त करने के वास्तव में चार से अधिक तरीके हैं, यह मानते हुए कि कार्ड क्रम में बांटे गए थे।

गेम नंबर 4 - आईएमएफ लॉटरी

चौथी समस्या को उन तरीकों का उपयोग करके इतनी आसानी से हल नहीं किया जा सकता है जिनके बारे में हमने आज बात की है, लेकिन आप प्रोग्रामिंग या एक्सेल का उपयोग करके स्थिति का आसानी से अनुकरण कर सकते हैं। इस समस्या के उदाहरण पर आप मोंटे कार्लो पद्धति पर काम कर सकते हैं।

मैंने पहले गेम क्रॉन एक्स का उल्लेख किया था, जिस पर मैंने एक बार काम किया था, और उनमें से एक बहुत ही था दिलचस्प नक्शा- आईएमएफ लॉटरी। यहां बताया गया है कि यह कैसे काम करता है: आपने गेम में इसका उपयोग किया। राउंड समाप्त होने के बाद, कार्ड फिर से वितरित किए गए, और 10% संभावना थी कि कार्ड खेल से बाहर हो जाएगा और एक यादृच्छिक खिलाड़ी को प्रत्येक प्रकार के संसाधन की 5 इकाइयाँ प्राप्त होंगी जिनका टोकन उस कार्ड पर मौजूद था। कार्ड को एक भी चिप के बिना खेल में शामिल किया गया था, लेकिन हर बार जब यह अगले राउंड की शुरुआत में खेल में रहता था, तो इसे एक चिप प्राप्त होती थी।

तो 10% संभावना थी कि यदि आप इसे खेल में डालते हैं, तो राउंड समाप्त हो जाएगा, कार्ड खेल छोड़ देगा, और किसी को कुछ भी नहीं मिलेगा। यदि ऐसा नहीं होता है (90% संभावना), तो 10% संभावना है (वास्तव में 9%, क्योंकि यह 90% का 10% है) कि अगले दौर में वह खेल छोड़ देगी और किसी को 5 यूनिट संसाधन प्राप्त होंगे। यदि कार्ड एक राउंड के बाद खेल छोड़ देता है (उपलब्ध 81% में से 10%, तो संभावना 8.1% है), किसी को 10 इकाइयाँ प्राप्त होंगी, दूसरे राउंड में - 15, दूसरे को - 20, और इसी तरह। प्रश्न: इस कार्ड के अंततः खेल छोड़ने पर आपको इससे प्राप्त होने वाले संसाधनों की संख्या का सामान्य अपेक्षित मूल्य क्या है?

आम तौर पर हम प्रत्येक परिणाम की संभावना की गणना करके और सभी परिणामों की संख्या से गुणा करके इस समस्या को हल करने का प्रयास करेंगे। 10% संभावना है कि आपको 0 (0.1 * 0 = 0) मिलेगा। 9% कि आपको संसाधनों की 5 इकाइयाँ प्राप्त होंगी (9% * 5 = 0.45 संसाधन)। आपको जो मिलेगा उसका 8.1% 10 (8.1%*10=0.81 संसाधन - समग्र अपेक्षित मूल्य) है। और इसी तरह। और फिर हम इसका पूरा सारांश निकालेंगे।

और अब समस्या आपके लिए स्पष्ट है: हमेशा एक मौका होता है कि कार्ड गेम नहीं छोड़ेगा, यह अनंत राउंड तक गेम में हमेशा के लिए बना रह सकता है, इसलिए हर संभावना की गणना करने का कोई तरीका नहीं है। आज हमने जो विधियाँ सीखी हैं वे हमें अनंत पुनरावृत्ति की गणना करने की अनुमति नहीं देती हैं, इसलिए हमें इसे कृत्रिम रूप से बनाना होगा।

यदि आप प्रोग्रामिंग में काफी अच्छे हैं, तो एक प्रोग्राम लिखें जो इस मानचित्र का अनुकरण करेगा। आपके पास एक टाइम लूप होना चाहिए जो वेरिएबल को शून्य की शुरुआती स्थिति में लाता है, एक यादृच्छिक संख्या दिखाता है और 10% संभावना के साथ वेरिएबल लूप से बाहर निकलता है। अन्यथा, यह वेरिएबल में 5 जोड़ता है और लूप दोहराता है। जब यह अंततः लूप से बाहर निकलता है, तो ट्रायल रन की कुल संख्या 1 और संसाधनों की कुल संख्या (कितनी इस पर निर्भर करती है कि चर कहां समाप्त होता है) बढ़ा दें। फिर वेरिएबल को रीसेट करें और फिर से शुरू करें।

प्रोग्राम को कई हजार बार चलाएँ। अंत में, संसाधनों की कुल संख्या को रनों की कुल संख्या से विभाजित करें - यह आपका अपेक्षित मोंटे कार्लो मूल्य होगा। यह सुनिश्चित करने के लिए प्रोग्राम को कई बार चलाएँ कि आपको प्राप्त संख्याएँ लगभग समान हैं। यदि बिखराव अभी भी बड़ा है, तो बाहरी लूप में दोहराव की संख्या तब तक बढ़ाएं जब तक आपको मिलान मिलना शुरू न हो जाए। आप निश्चिंत हो सकते हैं कि आपको जो भी संख्याएँ मिलेंगी वे लगभग सही होंगी।

यदि आप प्रोग्रामिंग में नए हैं (भले ही आप हों), तो यहां आपके एक्सेल कौशल का परीक्षण करने के लिए एक त्वरित अभ्यास है। यदि आप एक गेम डिज़ाइनर हैं, तो ये कौशल कभी भी अतिश्योक्तिपूर्ण नहीं होंगे।

अब if और rand फ़ंक्शन आपके बहुत उपयोगी होंगे। रैंड को मूल्यों की आवश्यकता नहीं है, यह सिर्फ एक यादृच्छिक मान उत्पन्न करता है दशमलव संख्या 0 से 1 तक। हम आम तौर पर पासा रोल का अनुकरण करने के लिए इसे फर्श और प्लस और माइनस के साथ जोड़ते हैं जिसका मैंने पहले उल्लेख किया था। हालाँकि, इस मामले में हम केवल 10% संभावना छोड़ रहे हैं कि कार्ड गेम छोड़ देगा, इसलिए हम केवल यह देखने के लिए जांच कर सकते हैं कि रैंड मान 0.1 से कम है या नहीं और इसके बारे में अब चिंता न करें।

यदि के तीन अर्थ हैं. क्रम में: एक शर्त जो या तो सत्य या गलत है, फिर एक मान जो शर्त सत्य होने पर लौटाया जाता है, और एक मान जो शर्त गलत होने पर लौटाया जाता है। तो निम्नलिखित फ़ंक्शन 5% समय लौटाएगा, और 0 अन्य 90% समय लौटाएगा: =आईएफ(रैंड()<0.1,5,0) .

इस कमांड को सेट करने के कई तरीके हैं, लेकिन मैं इस फॉर्मूले का उपयोग उस सेल के लिए करूंगा जो पहले राउंड का प्रतिनिधित्व करता है, मान लें कि यह सेल A1 है: =आईएफ(रैंड()<0.1,0,-1) .

यहां मैं एक नकारात्मक चर का उपयोग कर रहा हूं जिसका अर्थ है "इस कार्ड ने गेम नहीं छोड़ा है और अभी तक कोई संसाधन नहीं छोड़ा है।" इसलिए यदि पहला राउंड ख़त्म हो गया है और कार्ड खेलना बंद कर देता है, तो A1 0 है; अन्यथा यह -1 है।

दूसरे दौर का प्रतिनिधित्व करने वाले अगले सेल के लिए: =IF(A1>-1, A1, IF(RAND())<0.1,5,-1)) . इसलिए यदि पहला राउंड समाप्त हो गया और कार्ड ने तुरंत गेम छोड़ दिया, तो A1 0 (संसाधनों की संख्या) है और यह सेल बस उस मान को कॉपी कर लेगा। अन्यथा, A1 -1 है (कार्ड ने अभी तक खेल नहीं छोड़ा है), और यह सेल बेतरतीब ढंग से चलता रहता है: 10% समय यह संसाधनों की 5 इकाइयाँ लौटाएगा, बाकी समय इसका मूल्य अभी भी बराबर रहेगा -1. यदि हम इस सूत्र को अतिरिक्त कोशिकाओं पर लागू करते हैं, तो हमें अतिरिक्त राउंड मिलते हैं, और जो भी सेल आपके पास होगा वह आपको अंतिम परिणाम देगा (या -1 यदि आपके द्वारा खेले गए सभी राउंड के बाद कार्ड ने गेम कभी नहीं छोड़ा)।

कोशिकाओं की वह पंक्ति लें, जो उस कार्ड के साथ एकमात्र राउंड का प्रतिनिधित्व करती है, और कई सौ (या हजार) पंक्तियों को कॉपी और पेस्ट करें। हम एक्सेल के लिए अनंत परीक्षण करने में सक्षम नहीं हो सकते हैं (एक तालिका में सीमित संख्या में सेल होते हैं), लेकिन कम से कम हम अधिकांश मामलों को कवर कर सकते हैं। फिर एक सेल का चयन करें जिसमें आप सभी राउंड के परिणामों का औसत डालेंगे - एक्सेल इसके लिए एक औसत () फ़ंक्शन प्रदान करता है।

विंडोज़ पर, आप सभी यादृच्छिक संख्याओं की पुनर्गणना करने के लिए कम से कम F9 दबा सकते हैं। पहले की तरह, इसे कई बार करें और देखें कि क्या आपको वही मान मिलते हैं। यदि फैलाव बहुत बड़ा है, तो रनों की संख्या दोगुनी करें और पुनः प्रयास करें।

अनसुलझी समस्याएं

यदि आपके पास संभाव्यता सिद्धांत में डिग्री है और उपरोक्त समस्याएं आपको बहुत आसान लगती हैं, तो यहां दो समस्याएं हैं जिन पर मैं वर्षों से अपना सिर खुजला रहा हूं, लेकिन दुर्भाग्य से मैं गणित में इतना अच्छा नहीं हूं कि उन्हें हल कर सकूं।

अनसुलझी समस्या #1: आईएमएफ लॉटरी

पहली अनसुलझी समस्या पिछला होमवर्क असाइनमेंट है। मैं आसानी से मोंटे कार्लो विधि (सी++ या एक्सेल का उपयोग करके) लागू कर सकता हूं और इस प्रश्न के उत्तर में आश्वस्त रह सकता हूं कि "खिलाड़ी को कितने संसाधन प्राप्त होंगे", लेकिन मुझे नहीं पता कि गणितीय रूप से सटीक सिद्ध उत्तर कैसे प्रदान किया जाए (यह है) एक अनंत शृंखला)।

अनसुलझी समस्या #2: आकृतियों का क्रम

यह समस्या (यह इस ब्लॉग में हल किए गए कार्यों से भी कहीं आगे जाती है) मुझे एक गेमर मित्र ने दस साल से भी अधिक समय पहले दी थी। वेगास में ब्लैकजैक खेलते समय, उन्होंने एक दिलचस्प बात देखी: जब उन्होंने 8-डेक जूते से कार्ड निकाले, तो उन्हें एक पंक्ति में दस आकृतियाँ दिखाई दीं (एक आकृति या चेहरा कार्ड - 10, जोकर, राजा या रानी, ​​इसलिए इसमें 16 हैं) मानक 52-डेक कार्ड में कुल या 416 कार्ड शू में 128)।

इसकी क्या प्रायिकता है कि इस जूते में दस या अधिक आकृतियों का कम से कम एक क्रम हो? आइए मान लें कि उन्हें यादृच्छिक क्रम में निष्पक्ष रूप से फेरबदल किया गया था। या, यदि आप चाहें, तो इसकी क्या प्रायिकता है कि दस या अधिक अंकों का अनुक्रम कहीं भी घटित नहीं होगा?

हम कार्य को सरल बना सकते हैं. यहां 416 भागों का क्रम है। प्रत्येक भाग 0 या 1 है। पूरे अनुक्रम में 128 एक और 288 शून्य बेतरतीब ढंग से बिखरे हुए हैं। 128 शून्यों को 288 शून्यों के साथ बेतरतीब ढंग से जोड़ने के कितने तरीके हैं, और इन तरीकों में कितनी बार कम से कम दस या अधिक शून्यों का एक समूह आएगा?

हर बार जब मैं इस समस्या को हल करने के बारे में सोचता था, तो यह मुझे आसान और स्पष्ट लगता था, लेकिन जैसे ही मैंने विवरण में प्रवेश किया, यह अचानक टूट गया और असंभव लगने लगा।

इसलिए उत्तर को अस्पष्ट करने में जल्दबाजी न करें: बैठ जाएं, ध्यान से सोचें, स्थितियों का अध्ययन करें, वास्तविक संख्याओं को जोड़ने का प्रयास करें, क्योंकि जिन लोगों से मैंने इस समस्या के बारे में बात की (जिनमें इस क्षेत्र में काम करने वाले कई स्नातक छात्र भी शामिल हैं) ने इस बारे में प्रतिक्रिया व्यक्त की। वही: "यह पूरी तरह से स्पष्ट है... ओह, नहीं, रुको, यह बिल्कुल भी स्पष्ट नहीं है।" यह वह स्थिति है जब मेरे पास सभी विकल्पों की गणना करने की कोई विधि नहीं है। बेशक, मैं कंप्यूटर एल्गोरिदम के माध्यम से समस्या को बलपूर्वक लागू कर सकता हूं, लेकिन गणितीय समाधान जानना अधिक दिलचस्प होगा।

फिर उसने तीन पासों के साथ वही प्रयोग किया। कागज के एक टुकड़े पर, मैंने एक कॉलम में 3 से 18 तक की संख्याएँ लिखीं। ये वे राशियाँ हैं जो तीन पासे फेंकने पर दिखाई दे सकती हैं। मैंने 400 थ्रो किये. मैंने परिणाम की गणना की और उसे तालिका में दर्ज किया। (परिशिष्ट 3 और 4) योग 10 और 11 अधिक बार आते हैं।

मैंने चार पासों के साथ एक और प्रयोग किया। कॉलम में 4 से 24 तक संख्याएँ थीं। ये वे राशियाँ हैं जो चार पासे फेंकने पर दिखाई दे सकती हैं। मैंने फिर से 400 शॉट मारे। मैंने परिणाम की गणना की और उसे तालिका में दर्ज किया। (परिशिष्ट 5 और 6) योग 14 को अधिक बार रोल किया जाता है।

फिर मैंने गणित करने का फैसला किया। मैंने दो पासों के लिए एक तालिका बनाई और उसे भर दिया। (परिशिष्ट 7) मुझे परिणाम मिल गया - सात का योग अधिक बार आता है। (परिशिष्ट 8). छत्तीस मामलों में से छह बार। मैंने सबसे पहले तीन पासों के लिए वही गणितीय गणनाएँ कीं। (परिशिष्ट 9) जो योग सबसे अधिक बार आते हैं वे 10 और 11 हैं। यह 216 में से 27 मामले हैं। और सबसे कम संभावित संख्याएँ जो आती हैं वे 3 और 18 हैं, 216 में से केवल 1 मामला है। (परिशिष्ट 10) और फिर चार पासों के लिए. (परिशिष्ट 11) कुल 1296 मामले हैं। सबसे सामान्य योग 14 है, जो 1296 में से 146 मामले हैं। और सबसे कम सामान्य योग 4 है और 24, 1296 में से केवल 1 मामला है। (परिशिष्ट 12)

मुझे पासे से युक्तियों का विवरण मिला। मैं कुछ तरकीबों की सरलता और मौलिकता से आश्चर्यचकित था। पासे के किनारों पर चिह्नों का स्वीकृत क्रम पासे के साथ कई चालों का आधार है। और मैंने कई तरकीबें अपनाने की कोशिश की। मैं कामयाब। लेकिन उन्हें सफलतापूर्वक पूरा करने के लिए, आपको जल्दी और अच्छी तरह से गिनती करने की आवश्यकता है।

चाल चतुराई और त्वरित तकनीकों की मदद से आंखों को धोखा देने पर आधारित एक कुशल चाल है। चाल हमेशा दर्शकों से आधी छिपी रहती है: वे जानते हैं कि एक रहस्य है, लेकिन वे इसे कुछ अवास्तविक, समझ से बाहर के रूप में कल्पना करते हैं। गणितीय तरकीबें गणितीय नियमों का एक प्रकार का प्रदर्शन हैं।

प्रत्येक ट्रिक की सफलता अच्छी तैयारी और प्रशिक्षण, प्रत्येक संख्या को निष्पादित करने में आसानी, सटीक गणना और ट्रिक को निष्पादित करने के लिए आवश्यक तकनीकों के कुशल उपयोग पर निर्भर करती है। इस तरह की तरकीबें दर्शकों पर बहुत अच्छा प्रभाव डालती हैं और उन्हें मोहित कर लेती हैं।

फोकस 1. "राशि का अनुमान लगाना"

प्रदर्शन करने वाला व्यक्ति दर्शकों की ओर पीठ कर लेता है और इस समय उनमें से एक मेज पर तीन पासे फेंकता है। फिर दर्शक को खींची गई तीन संख्याओं को जोड़ने, कोई भी पासा लेने और नीचे की तरफ की संख्या को प्राप्त कुल संख्या में जोड़ने के लिए कहा जाता है। फिर उसी पासे को दोबारा घुमाएं और जो संख्या निकले उसे फिर से योग में जोड़ें। प्रदर्शनकारी दर्शकों का ध्यान इस तथ्य की ओर आकर्षित करता है कि वह किसी भी तरह से नहीं जान सकता कि तीन पासों में से कौन सा पासा दो बार फेंका गया था, फिर पासे इकट्ठा करता है, उन्हें अपने हाथ में हिलाता है और तुरंत अंतिम राशि का सही नाम बताता है।

स्पष्टीकरण। पासों को इकट्ठा करने से पहले, दिखाने वाला व्यक्ति ऊपर की ओर मुख करके संख्याओं को जोड़ता है। परिणामी योग में सात जोड़कर, वह अंतिम योग ज्ञात करता है।

यह युक्ति विपरीत फलकों पर संख्याओं के योग के गुण पर निर्भर करती है - यह हमेशा सात के बराबर होती है।

अध्याय 2. पासे का रहस्य

2.1. परिणाम की गणना करें

यह पता लगाने के लिए कि दो, तीन, चार आदि पासे फेंकने पर कौन सी राशि अधिक आती है, मैंने कई प्रयोग किए।

काम शुरू करने से पहले, मैंने डेटा दर्ज करने के लिए एक तालिका संकलित की। कॉलम में 2 से 12 तक संख्याएँ हैं। ये वे राशियाँ हैं जो दो पासे फेंकने पर दिखाई दे सकती हैं। मेज की चिकनी सतह पर, ताकि कोई बाहरी हस्तक्षेप न हो, उसने पासे फेंकना शुरू कर दिया। प्रत्येक प्रयास को गिराई गई राशि की संख्या के विपरीत - एक ऊर्ध्वाधर डैश के साथ चिह्नित किया गया था।

प्रयोग 1:

1) मैं दो पासे और एक गिलास लेता हूँ।

मैं प्रयोग को 400 बार दोहराता हूं।

प्रयोग से यह पता लगाने में मदद मिली कि दो पासे फेंकने पर कौन सा योग अधिक बार आता है। (परिशिष्ट 1 और 2)

मैंने यह पता लगाने के लिए तीन पासों के साथ प्रयोग 2 चलाया कि कौन सी राशि अब अधिक बार दिखाई देगी।

प्रयोग 2:

1) मैं तीन पासे और एक गिलास लेता हूँ।

2) मैं पासे से गिलास हिलाता हूँ।

3) मैं पासे को मेज पर फेंकता हूं।

4) मैं राशि की गणना करता हूं और इसे तालिका में अंकित करता हूं।

मैं प्रयोग को 400 बार दोहराता हूं।

प्रयोग से यह पता लगाने में मदद मिली कि तीन पासे फेंकने पर कौन सा योग अधिक बार आता है। (परिशिष्ट 3 और 4)

प्रयोग से मुझे यह सुनिश्चित करने में मदद मिली कि तीन पासे फेंकने पर जो राशि निकले वह दो पासे फेंकने से अलग हो।

परिवर्तनों की गतिशीलता को देखने के लिए मैंने चार पासों के साथ प्रयोग 3 चलाया।

काम शुरू करने से पहले, मैंने डेटा दर्ज करने के लिए फिर से एक तालिका संकलित की।

प्रयोग 3:

1) मैं चार पासे और एक गिलास लेता हूँ।

2) मैं पासे से गिलास हिलाता हूँ।

3) मैं पासे को मेज पर फेंकता हूं।

4) मैं राशि की गणना करता हूं और इसे तालिका में अंकित करता हूं।

मैं प्रयोग को 400 बार दोहराता हूं।

प्रयोग से मुझे यह सुनिश्चित करने में मदद मिली कि जब चार पासे फेंके जाते हैं, तो जो राशि आती है वह फिर से अलग होती है। (परिशिष्ट 5 और 6)

प्रयोगों के परिणामों की जांच करने के बाद, मुझे यह स्पष्ट हो गया कि तालिका के मध्य के करीब की राशियाँ अधिक बार क्यों दिखाई देती हैं। आख़िरकार, विपरीत पक्षों की संख्याओं का योग हमेशा सात के बराबर होता है। इसलिए, पासा फेंकते समय, इस बात की अधिक संभावना है कि इस मध्य के करीब एक राशि दिखाई देगी।

2.2. परिणामों की तुलना करना

पासे के साथ प्रयोगों के परिणामों (परिशिष्ट 1 - 6) और गणितीय गणनाओं के परिणामों (परिशिष्ट 7 - 12) की तुलना करने पर, मैंने देखा कि जो राशि मध्य के करीब होती है वह अधिक बार गिरती है। इसलिए, मुझे पासे के किनारों पर संख्याओं के योग का अंकगणितीय माध्य मिला। (1+2+3+4+5+6) : 6 = 3.5. नतीजा 3.5 रहा. फिर मैंने इस संख्या को पासों की संख्या से गुणा कर दिया। यदि आप दो पासे लेते हैं, तो गुणनफल 3.5 · 2 = 7 होता है। संख्या सात वह संख्या है जो दो पासे फेंकने पर अधिक बार आती है। यदि हम तीन पासे लेते हैं, तो हमें 3.5 · 3 = 10.5 प्राप्त होता है। और चूँकि संख्या एक पूर्णांक होनी चाहिए, तो दो आसन्न संख्याएँ ली जाती हैं। ये संख्याएँ 10 और 11 हैं, ये तीन पासे फेंकने पर अधिक बार दिखाई देती हैं। पासों की किसी भी संख्या के लिए, आप सूत्र का उपयोग करके सबसे अधिक बार आने वाली संख्या की गणना कर सकते हैं 3.5 एन , (कहाँ एन- पासों की संख्या)। इसके अलावा, यदि एनयदि संख्या विषम है, तो पासा फेंकने पर अधिक बार दिखाई देने वाली संख्या निर्धारित करने के लिए दो आसन्न संख्याओं को लिया जाता है।

मैंने बाइबिल के चित्र की जांच की और एक विसंगति पाई। दो पासों पर गलत अंकन है। चूँकि विपरीत पक्षों की संख्याओं का योग सात के बराबर होना चाहिए। और एक पासे में ऊपर की तरफ तीन और किनारे पर चार हैं, हालाँकि नीचे की तरफ चार होने चाहिए। दूसरे पासे में, ऊपर की तरफ पाँच हैं, और दूसरी तरफ दो हैं। या शायद इसका कारण यह है कि उस क्षेत्र में पासों पर एक अलग अंकन अपनाया गया था।

निष्कर्ष

अपने काम में मैंने पासे का रहस्य सीखा। यह रहस्य पासों की सतह पर ही छिपा है। रहस्य चिह्नों के लेआउट में है. विपरीत दिशाओं की संख्याओं का योग सदैव सात होता है। प्रयोगों और गणितीय गणनाओं के माध्यम से, मैंने वह राशि ज्ञात की जो पासा फेंकने पर अधिक बार आती है, और जो पासों की संख्या पर निर्भर करती है। इस राशि को एक सूत्र के रूप में लिखा जा सकता है 3,5 · एन, कहाँ एनपासों की संख्या. इस विषय पर शोध करते समय मुझे पता चला कि पासे की उत्पत्ति लगभग 3000 ईसा पूर्व हुई थी। वे स्थान जहां पुरातत्वविदों को सबसे प्राचीन खेल वस्तुएं मिलीं वे मिस्र, ईरान, इराक और भारत हैं। पासों की विभिन्न आकृतियों और प्रकारों के बारे में सीखा। और यह भी कि पासों का उपयोग कहाँ किया जाता है और उनमें क्या गुण हैं। मैंने समस्या समाधान के विषय पर बिल्कुल भी विचार नहीं किया है। बात सिर्फ इतनी है कि संभाव्यता का सिद्धांत मेरे लिए अभी भी कठिन है। लेकिन मुझे उम्मीद है कि मैं फिर से इसमें वापसी करूंगा।

कई महान गणितज्ञों ने अलग-अलग समय पर पासों से समस्याएं हल कीं। लेकिन मैं पासा फेंकते समय सबसे बड़ा योग ज्ञात करने के सूत्र के लेखक को ढूंढने में असमर्थ था। शायद मैंने काफी देर तक खोज नहीं की। लेकिन मैं खोज जारी रखूंगा. मुझे यह जानने में दिलचस्पी है कि सबसे पहले यह फॉर्मूला किसने पेश किया।

ग्रन्थसूची

1. अज़ारिएव विश्वकोश शब्दकोश [इलेक्ट्रॉनिक संसाधन] http://www. स्लोवेरस. ru/?di=72219

2. खेलों में संभाव्यता पर सुवोरोव। ग्रेड 8-11 के छात्रों के लिए संभाव्यता सिद्धांत का परिचय। - यारोस्लाव: विकास अकादमी, 2006.-192 पी.

3. फ़्रीबस समस्याएँ। - एम.: शिक्षा, 1994. - 128 पी.

4. विकिपीडिया मुक्त विश्वकोश [इलेक्ट्रॉनिक संसाधन] https://ru. विकिपीडिया. संगठन/विकी/पासा

5. जुए का कारोबार. प्रति. अंग्रेज़ी से और fr. /एनईसी "बिब्लियोमार्केट"; एड.-कॉम्प. . - एम. ​​1994. - 208 पी.

6. हड्डियाँ, ज़री, क्यूब्स [इलेक्ट्रॉनिक संसाधन] http://www. /ru/articles/igralnye_kosti-34

7. संभाव्यता के सिद्धांत पर ल्यूटिकास। - एम.: शिक्षा, 1983. - 127 पी.

8. निकिफोरोव्स्की गणितज्ञ बर्नौली। - एम.: नौका, 1984. - 180 पी.

9. बीजगणित की पाठ्यपुस्तक के पन्नों के पीछे। किताब 7-9वीं कक्षा के छात्रों के लिए। सामान्य शिक्षा संस्थाएँ। - एम.: शिक्षा, 1999. - 237 पी.

10. 100 महान वैज्ञानिक. - एम.: वेचे, 2000. - 592 पी.

11. विदेशी शब्दों का व्याख्यात्मक शब्दकोश [इलेक्ट्रॉनिक संसाधन] http:///search

12. उशाकोव का व्याख्यात्मक शब्दकोश [इलेक्ट्रॉनिक संसाधन] http://www. /3/193/772800.html

13. शेन ए. संभाव्यता: उदाहरण और कार्य। - एम.: पब्लिशिंग हाउस एमटीएसएनएमओ, 2008. - 64 पी।

14. संभाव्यता सिद्धांत [इलेक्ट्रॉनिक संसाधन] http://festival.1september के तत्वों के अध्ययन में पासे के साथ याकोवलेव की समस्याएं। आरयू/लेख/517883/

15. याकोवलेवा और पासे के साथ मजेदार चालें [इलेक्ट्रॉनिक संसाधन] http://festival.1september। आरयू/लेख/624782/

परिशिष्ट 1. 2 पासे फेंकने के परिणाम

परिशिष्ट 2. 2 पासे फेंकने के परिणाम

पीछे की ओर आगे की ओर

ध्यान! स्लाइड पूर्वावलोकन केवल सूचनात्मक उद्देश्यों के लिए हैं और प्रस्तुति की सभी विशेषताओं का प्रतिनिधित्व नहीं कर सकते हैं। यदि आप इस कार्य में रुचि रखते हैं, तो कृपया पूर्ण संस्करण डाउनलोड करें।

शैक्षिक प्रौद्योगिकियाँ: व्याख्यात्मक और सचित्र शिक्षण की प्रौद्योगिकी, कंप्यूटर प्रौद्योगिकी, सीखने के लिए व्यक्ति-केंद्रित दृष्टिकोण, स्वास्थ्य-बचत प्रौद्योगिकियां।

पाठ का प्रकार: नया ज्ञान प्राप्त करने का पाठ।

अवधि: 1 पाठ.

ग्रेड: आठवीं कक्षा.

पाठ मकसद:

शैक्षिक:

• किसी घटना की प्रायिकता ज्ञात करने के लिए सूत्र का उपयोग करने के कौशल को दोहराएँ और पासे की समस्याओं में इसका उपयोग करना सिखाएँ;
• समस्याओं को हल करते समय प्रदर्शनात्मक तर्क का संचालन करें, तर्क की तार्किक शुद्धता का मूल्यांकन करें, तार्किक रूप से गलत तर्क को पहचानें।

शैक्षिक:

• जानकारी खोजने, संसाधित करने और प्रस्तुत करने में कौशल विकसित करना;
• तुलना करने, विश्लेषण करने और निष्कर्ष निकालने की क्षमता विकसित करना;
• अवलोकन और संचार कौशल विकसित करें।

शैक्षिक:

• सावधानी और दृढ़ता विकसित करें;
• हमारे आसपास की दुनिया को समझने के एक तरीके के रूप में गणित के महत्व की समझ बनाना।

पाठ उपकरण: कंप्यूटर, मल्टीमीडिया, मार्कर, मिमियो कॉपी डिवाइस (या इंटरैक्टिव व्हाइटबोर्ड), लिफाफा (इसमें व्यावहारिक कार्य, होमवर्क, तीन कार्ड: पीला, हरा, लाल), पासा मॉडल के लिए एक असाइनमेंट होता है।

शिक्षण योजना

आयोजन का समय.

पिछले पाठ में हमने शास्त्रीय संभाव्यता सूत्र के बारे में सीखा।

एक यादृच्छिक घटना A के घटित होने की संभावना P, m से n का अनुपात है, जहाँ n प्रयोग के सभी संभावित परिणामों की संख्या है, और m सभी अनुकूल परिणामों की संख्या है.

यह सूत्र लाप्लास के अनुसार संभाव्यता की तथाकथित शास्त्रीय परिभाषा है, जो जुए के क्षेत्र से आया है, जहां जीतने की संभावना निर्धारित करने के लिए संभाव्यता सिद्धांत का उपयोग किया जाता था। इस सूत्र का उपयोग समान रूप से संभावित परिणामों की सीमित संख्या वाले प्रयोगों के लिए किया जाता है।

किसी घटना की प्रायिकता = अनुकूल परिणामों की संख्या / सभी समान रूप से संभावित परिणामों की संख्या

अतः प्रायिकता 0 और 1 के बीच की एक संख्या है।

यदि घटना असंभव है तो संभावना 0 है।

यदि घटना निश्चित है तो प्रायिकता 1 है।

आइए समस्या को मौखिक रूप से हल करें: एक बुकशेल्फ़ पर 20 पुस्तकें हैं, जिनमें से 3 संदर्भ पुस्तकें हैं। इसकी क्या प्रायिकता है कि शेल्फ से ली गई पुस्तक संदर्भ पुस्तक नहीं होगी?

समाधान:

समान रूप से संभावित परिणामों की कुल संख्या 20 है

अनुकूल परिणामों की संख्या – 20 – 3 = 17

उत्तर: 0.85.

2. नया ज्ञान प्राप्त करना।

अब हम अपने पाठ के विषय पर वापस आते हैं: "घटनाओं की संभावनाएँ", आइए इसे अपनी नोटबुक में हस्ताक्षरित करें।

पाठ का उद्देश्य: एक पासा या दो पासा फेंकने पर प्रायिकता ज्ञात करके समस्याओं को हल करना सीखें।

आज का हमारा विषय पासे से संबंधित है या इसे पासा भी कहा जाता है। पासे को प्राचीन काल से जाना जाता है। पासे का खेल सबसे पुराने खेलों में से एक है; पासे के पहले प्रोटोटाइप मिस्र में पाए गए थे, और वे 20वीं शताब्दी ईसा पूर्व के हैं। इ। कई किस्में हैं, सरल से (जो सबसे अधिक अंक फेंकता है वह जीतता है) से लेकर जटिल तक, जिसमें आप विभिन्न गेम रणनीति का उपयोग कर सकते हैं।

सबसे पुरानी हड्डियाँ 20वीं शताब्दी ईसा पूर्व की हैं। ई., थेब्स में खोजा गया। प्रारंभ में, हड्डियाँ भाग्य बताने के उपकरण के रूप में काम करती थीं। पुरातात्विक खुदाई के अनुसार, पासे विश्व के सभी कोनों में हर जगह खेले जाते थे। यह नाम मूल सामग्री - जानवरों की हड्डियों से आया है।

प्राचीन यूनानियों का मानना ​​था कि लिडियन ने भूख से बचने के लिए हड्डियों का आविष्कार किया था, ताकि कम से कम अपने दिमाग को किसी चीज़ में व्यस्त रखा जा सके।

पासे का खेल प्राचीन मिस्र, ग्रीको-रोमन और वैदिक पौराणिक कथाओं में परिलक्षित होता था। बाइबिल में उल्लेखित, "इलियड", "ओडिसी", "महाभारत", वैदिक भजनों का संग्रह "ऋग्वेद"। देवताओं के देवताओं में, कम से कम एक देवता एक अभिन्न गुण के रूप में पासों का स्वामी था http://ru.wikipedia.org/wiki/%CA%EE%F1%F2%E8_%28%E8%E3%F0%E0%29 - cite_note-2 .

रोमन साम्राज्य के पतन के बाद, यह खेल पूरे यूरोप में फैल गया, और मध्य युग के दौरान विशेष रूप से लोकप्रिय था। चूँकि पासों का उपयोग न केवल जुआ खेलने के लिए किया जाता था, बल्कि भाग्य बताने के लिए भी किया जाता था, चर्च ने बार-बार खेल पर प्रतिबंध लगाने की कोशिश की, इस उद्देश्य के लिए सबसे परिष्कृत दंडों का आविष्कार किया गया, लेकिन सभी प्रयास विफलता में समाप्त हुए;

पुरातात्विक आंकड़ों के अनुसार, बुतपरस्त रूस में भी पासे खेले जाते थे। बपतिस्मा के बाद, रूढ़िवादी चर्च ने खेल को खत्म करने की कोशिश की, लेकिन आम लोगों के बीच यह लोकप्रिय बना रहा, यूरोप के विपरीत, जहां उच्चतम कुलीन और यहां तक ​​कि पादरी भी पासा खेलने के दोषी थे।

पासे के खेल में विभिन्न देशों के अधिकारियों द्वारा घोषित युद्ध ने कई अलग-अलग धोखाधड़ी की चालों को जन्म दिया।

ज्ञानोदय के युग में, पासा खेलने का शौक धीरे-धीरे कम होने लगा, लोगों ने नए शौक विकसित किए और साहित्य, संगीत और चित्रकला में अधिक रुचि लेने लगे। आजकल, पासा खेलना इतना व्यापक नहीं है।

सही पासा एक तरफ उतरने का समान मौका प्रदान करता है। ऐसा करने के लिए, सभी किनारे समान होने चाहिए: चिकने, सपाट, समान क्षेत्र, गोलाई (यदि कोई हो), छेद समान गहराई तक ड्रिल किए जाने चाहिए। विपरीत पक्षों पर अंकों का योग 7 है।

एक गणितीय पासा, जिसका उपयोग संभाव्यता सिद्धांत में किया जाता है, एक नियमित पासे की गणितीय छवि है। गणितीयहड्डी का कोई आकार, कोई रंग, कोई वजन आदि नहीं होता।

फेंकते समय खेलना हड्डियाँ(घनक्षेत्र) इसके छह चेहरों में से कोई भी गिर सकता है, यानी। का कोई भी आयोजन- 1 से 6 अंक (अंक) तक की हानि। लेकिन कोई नहीं दोऔर अधिक चेहरे एक साथ प्रकट नहीं हो सकते. ऐसा आयोजनअसंगत कहलाते हैं.

उस स्थिति पर विचार करें जब 1 पासा फेंका जाता है। चलिए नंबर 2 को एक तालिका के रूप में बनाते हैं।

अब उस मामले पर विचार करें जहां 2 पासे फेंके गए।

यदि पहला पासा एक बिंदु पर लुढ़कता है, तो दूसरा पासा 1, 2, 3, 4, 5, 6 पर लुढ़क सकता है। हमें जोड़े मिलते हैं (1;1), (1;2), (1;3), (1 ;4) , (1;5), (1;6) इत्यादि प्रत्येक चेहरे के साथ। सभी मामलों को 6 पंक्तियों और 6 स्तंभों की तालिका के रूप में प्रस्तुत किया जा सकता है:

प्राथमिक घटनाएँ तालिका

आपकी मेज पर एक लिफाफा है।

लिफाफे से असाइनमेंट की एक शीट लें।

अब आप प्रारंभिक घटनाओं की तालिका का उपयोग करके एक व्यावहारिक कार्य पूरा करेंगे।

उन घटनाओं को छायांकित करके दिखाएँ जो घटनाओं के अनुकूल हों:

कार्य 1. "समान संख्या में अंक गिरे";

1; 1	2; 1	3; 1	4; 1	5; 1	6; 1
1; 2	2; 2	3; 2	4; 2	5; 2	6; 2
1; 3	2; 3	3; 3	4; 3	5; 3	6; 3
1; 4	2; 4	3; 4	4; 4	5; 4	6; 4
1; 5	2; 5	3; 5	4; 5	5; 5	6; 5
1; 6	2; 6	3; 6	4; 6	5; 6	6; 6

कार्य 2. "अंकों का योग 7 है";

1; 1	2; 1	3; 1	4; 1	5; 1	6; 1
1; 2	2; 2	3; 2	4; 2	5; 2	6; 2
1; 3	2; 3	3; 3	4; 3	5; 3	6; 3
1; 4	2; 4	3; 4	4; 4	5; 4	6; 4
1; 5	2; 5	3; 5	4; 5	5; 5	6; 5
1; 6	2; 6	3; 6	4; 6	5; 6	6; 6

टास्क 3. "अंकों का योग 7 से कम नहीं है।"

"कोई कम नहीं" का क्या मतलब है? (उत्तर है "इससे बड़ा या इसके बराबर")

1; 1	2; 1	3; 1	4; 1	5; 1	6; 1
1; 2	2; 2	3; 2	4; 2	5; 2	6; 2
1; 3	2; 3	3; 3	4; 3	5; 3	6; 3
1; 4	2; 4	3; 4	4; 4	5; 4	6; 4
1; 5	2; 5	3; 5	4; 5	5; 5	6; 5
1; 6	2; 6	3; 6	4; 6	5; 6	6; 6

आइए अब उन घटनाओं की संभावनाओं को खोजें जिनके लिए व्यावहारिक कार्य में अनुकूल घटनाओं को छायांकित किया गया था।

आइए इसे नोटबुक नंबर 3 में लिखें

अभ्यास 1।

परिणामों की कुल संख्या - 36

उत्तर: 1/6.

कार्य 2.

परिणामों की कुल संख्या - 36

अनुकूल परिणामों की संख्या - 6

उत्तर: 1/6.

कार्य 3.

परिणामों की कुल संख्या - 36

अनुकूल परिणामों की संख्या - 21

पी = 21/36=7/12.

उत्तर: 7/12.

№4. साशा और व्लाद पासा खेल रहे हैं। हर कोई पासे को दो बार घुमाता है। सबसे अधिक अंक वाला व्यक्ति जीतता है। यदि अंक बराबर हैं, तो खेल ड्रा पर समाप्त होता है। साशा ने सबसे पहले पासा फेंका और उसे 5 अंक और 3 अंक मिले। अब व्लाद ने पासा फेंका.

ए) प्रारंभिक घटनाओं की तालिका में, उन प्राथमिक घटनाओं को इंगित करें (छायांकन द्वारा) जो "व्लाद जीतेंगे" घटना का पक्ष लेते हैं।

बी) "व्लाद जीतेगा" घटना की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

3. शारीरिक शिक्षा मिनट.

यदि घटना विश्वसनीय हो तो हम सब मिलकर ताली बजाते हैं,

यदि घटना असंभव है, तो हम सब एक साथ प्रयास करते हैं,

यदि घटना यादृच्छिक है, तो अपना सिर / बाएँ और दाएँ हिलाएँ

“टोकरी में 3 सेब हैं (2 लाल, 1 हरा)।

टोकरी से 3 लाल निकाले गए - (असंभव)

टोकरी से एक लाल सेब निकाला गया - (यादृच्छिक)

टोकरी से एक हरा सेब निकाला गया - (यादृच्छिक)

टोकरी से 2 लाल और 1 हरा निकाला गया - (विश्वसनीय)

आइए अगला नंबर हल करें।

एक निष्पक्ष पासे को दो बार घुमाया जाता है। किस घटना की अधिक संभावना है:

ए: "दोनों बार स्कोर 5 था";

प्रश्न: "पहली बार मुझे 2 अंक मिले, दूसरी बार मुझे 5 अंक मिले";

एस: "एक बार यह 2 अंक था, एक बार यह 5 अंक था"?

आइए घटना ए का विश्लेषण करें: परिणामों की कुल संख्या 36 है, अनुकूल परिणामों की संख्या 1 है (5;5)

आइए घटना बी का विश्लेषण करें: परिणामों की कुल संख्या 36 है, अनुकूल परिणामों की संख्या 1 है (2;5)

आइए घटना सी का विश्लेषण करें: परिणामों की कुल संख्या 36 है, अनुकूल परिणामों की संख्या 2 है (2;5 और 5;2)

उत्तर: घटना सी.

4. होमवर्क सेट करना.

1. विकास को काटें, क्यूब्स को गोंद दें। इसे अपने अगले पाठ में लाएँ।

2. 25 थ्रो करें। परिणामों को तालिका में लिखें: (अगले पाठ में आप आवृत्ति की अवधारणा का परिचय दे सकते हैं)

3. समस्या का समाधान करें: दो पासे फेंके जाते हैं। संभाव्यता की गणना करें:

ए) "अंकों का योग 6 है";

बी) "अंकों का योग 5 से कम नहीं";

ग) "पहले पासे में दूसरे की तुलना में अधिक अंक हैं।"

संभाव्यता सिद्धांत में एक और लोकप्रिय समस्या (सिक्का उछालने की समस्या के साथ) है पासा उछालने की समस्या.

आमतौर पर कार्य इस तरह लगता है: एक या अधिक पासे फेंके जाते हैं (आमतौर पर 2, कम अक्सर 3)। आपको इसकी प्रायिकता ज्ञात करनी होगी कि अंकों की संख्या 4 है, या अंकों का योग 10 है, या अंकों की संख्या का गुणनफल 2 से विभाज्य है, या अंकों की संख्या में 3 का अंतर है, इत्यादि।

ऐसी समस्याओं को हल करने की मुख्य विधि शास्त्रीय संभाव्यता सूत्र का उपयोग करना है, जिसका विश्लेषण हम नीचे दिए गए उदाहरणों का उपयोग करके करेंगे।

समाधान विधियों से खुद को परिचित करने के बाद, आप 2 पासे फेंकने के लिए एक अति-उपयोगी समाधान डाउनलोड कर सकते हैं (तालिकाओं और उदाहरणों के साथ)।

एक पासा

एक पासे के साथ स्थिति बेहद सरल है। मैं आपको याद दिला दूं कि संभाव्यता सूत्र $P=m/n$ द्वारा पाई जाती है, जहां $n$ एक घन या पासा उछालने के प्रयोग के सभी समान रूप से संभव प्रारंभिक परिणामों की संख्या है, और $m$ संख्या है उन परिणामों में से जो घटना के पक्ष में हों।

उदाहरण 1। पासा एक बार फेंका जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि सम संख्या में अंक प्राप्त हो जाएँ?

चूँकि पासा एक घन है (वे यह भी कहते हैं निष्पक्ष पासा, अर्थात्, घन संतुलित है, इसलिए यह समान संभावना के साथ सभी पक्षों पर उतरता है), घन की 6 भुजाएँ हैं (1 से 6 तक अंकों की संख्या के साथ, आमतौर पर निर्दिष्ट बिंदु), तो परिणामों की कुल संख्या समस्या $n=6$ है। घटना के पक्ष में एकमात्र परिणाम तब होते हैं जब 2, 4 या 6 अंक (केवल एक भी) वाला पक्ष बाहर हो जाता है, ऐसे पक्ष $m=3$ होते हैं; तब वांछित संभावना $P=3/6=1/2=0.5$ के बराबर है।

उदाहरण 2. पासे फेंके जाते हैं. कम से कम 5 अंक लुढ़कने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

हम पिछले उदाहरण की तरह ही तर्क करते हैं। एक पासा फेंकने पर समान रूप से संभावित परिणामों की कुल संख्या $n=6$ है, और शर्त "कम से कम 5 अंक लुढ़के", यानी, "या तो 5 या 6 अंक लुढ़के" 2 परिणामों से संतुष्ट हैं, $m =2$. आवश्यक प्रायिकता $P=2/6=1/3=0.333$ है।

मुझे और उदाहरण देने का कोई मतलब नहीं दिखता, आइए दो पासों पर चलते हैं, जहां सब कुछ अधिक दिलचस्प और जटिल हो जाता है।

दो पासे

जब 2 पासे पलटने से जुड़ी समस्याओं की बात आती है, तो इसका उपयोग करना बहुत सुविधाजनक है अंक तालिका. आइए हम क्षैतिज रूप से पहले पासे पर गिरे अंकों की संख्या और दूसरे पासे पर गिरे अंकों की ऊर्ध्वाधर रूप से गणना करें। आइए कुछ इस तरह से प्राप्त करें (मैं इसे आमतौर पर एक्सेल में करता हूं, आप फ़ाइल डाउनलोड कर सकते हैं):

आप पूछते हैं, तालिका कक्षों में क्या है? और यह इस बात पर निर्भर करता है कि हम किस समस्या का समाधान करेंगे। अंकों के योग के बारे में एक कार्य होगा - हम वहां योग लिखेंगे, अंतर के बारे में - हम अंतर लिखेंगे इत्यादि। आएँ शुरू करें?

उदाहरण 3. एक ही समय में 2 पासे फेंके जाते हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि कुल 5 अंक से कम होगा।

सबसे पहले, आइए प्रयोग के परिणामों की कुल संख्या देखें। जब हमने एक पासा फेंका, तो सब कुछ स्पष्ट था, 6 पक्ष - 6 परिणाम। यहां पहले से ही दो पासे हैं, इसलिए परिणामों को $(x,y)$ के रूप की संख्याओं के क्रमित जोड़े के रूप में दर्शाया जा सकता है, जहां $x$ यह है कि पहले पासे पर कितने अंक गिरे (1 से 6 तक), $ y$ यह है कि दूसरे पासे पर कितने अंक गिरे (1 से 6 तक)। जाहिर है, संख्याओं के ऐसे जोड़े की कुल संख्या $n=6\cdot 6=36$ होगी (और वे परिणामों की तालिका में बिल्कुल 36 कोशिकाओं के अनुरूप हैं)।

अब तालिका भरने का समय आ गया है। प्रत्येक सेल में हम पहले और दूसरे पासे पर फेंके गए अंकों की संख्या का योग दर्ज करते हैं और हमें निम्नलिखित चित्र मिलता है:

अब यह तालिका हमें घटना के अनुकूल परिणामों की संख्या खोजने में मदद करेगी "कुल मिलाकर 5 से कम अंक दिखाई देंगे।" ऐसा करने के लिए, हम उन कोशिकाओं की संख्या की गणना करते हैं जिनमें योग मान 5 से कम है (अर्थात, 2, 3 या 4)। स्पष्टता के लिए, आइए इन कोशिकाओं को रंग दें, वहां $m=6$ होंगे:

तब प्रायिकता इसके बराबर है: $P=6/36=1/6$.

उदाहरण 4. दो पासे फेंके जाते हैं. प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि अंकों की संख्या का गुणनफल 3 से विभाज्य है।

हम पहले और दूसरे पासे पर फेंके गए अंकों के उत्पादों की एक तालिका बनाते हैं। हम तुरंत उन संख्याओं को उजागर करते हैं जो 3 के गुणज हैं:

जो कुछ बचता है वह यह लिखना है कि परिणामों की कुल संख्या $n=36$ है (पिछला उदाहरण देखें, तर्क समान है), और अनुकूल परिणामों की संख्या (उपरोक्त तालिका में छायांकित कोशिकाओं की संख्या) है $m=20$. तब घटना की प्रायिकता $P=20/36=5/9$ के बराबर होगी।

जैसा कि आप देख सकते हैं, इस प्रकार की समस्या, उचित तैयारी के साथ (आइए कुछ और समस्याओं पर गौर करें), जल्दी और आसानी से हल की जा सकती है। विविधता के लिए, आइए एक अलग तालिका के साथ एक और कार्य करें (सभी तालिकाएँ पृष्ठ के नीचे डाउनलोड की जा सकती हैं)।

उदाहरण 5. पासे दो बार फेंके जाते हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि पहले और दूसरे पासे पर अंकों की संख्या में अंतर 2 से 5 तक होगा।

आइए स्कोर अंतर की एक तालिका लिखें, इसमें उन कोशिकाओं को हाइलाइट करें जिनमें अंतर मान 2 और 5 के बीच होगा:

तो, समान रूप से संभावित प्रारंभिक परिणामों की कुल संख्या $n=36$ है, और अनुकूल परिणामों की संख्या (उपरोक्त तालिका में छायांकित कोशिकाओं की संख्या) $m=10$ है। तब घटना की प्रायिकता $P=10/36=5/18$ के बराबर होगी।

इसलिए, उस स्थिति में जब हम 2 पासे फेंकने और एक साधारण घटना के बारे में बात कर रहे हैं, आपको एक तालिका बनाने की ज़रूरत है, उसमें आवश्यक कोशिकाओं का चयन करें और उनकी संख्या को 36 से विभाजित करें, यह संभावना होगी। अंकों की संख्या के योग, गुणनफल और अंतर पर समस्याओं के अलावा, अंतर के मापांक, निकाले गए अंकों की सबसे छोटी और सबसे बड़ी संख्या पर भी समस्याएं हैं (आपको इसमें उपयुक्त तालिकाएं मिलेंगी)।

पासों और घनों के बारे में अन्य समस्याएँ

बेशक, मामला ऊपर चर्चा की गई पासा फेंकने की समस्याओं के दो वर्गों तक ही सीमित नहीं है (वे समस्या पुस्तकों और प्रशिक्षण मैनुअल में सबसे अधिक बार सामने आते हैं), अन्य भी हैं। अनुमानित समाधान विधि की विविधता और समझ के लिए, हम तीन और विशिष्ट उदाहरणों का विश्लेषण करेंगे: 3 पासे फेंकने के लिए, सशर्त संभाव्यता के लिए और बर्नौली के सूत्र के लिए।

उदाहरण 6. 3 पासे फेंके जाते हैं. कुल 15 अंक होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

3 पासों के मामले में, तालिकाएँ कम बार बनाई जाती हैं, क्योंकि आपको 6 टुकड़ों की आवश्यकता होगी (और एक नहीं, जैसा कि ऊपर बताया गया है), वे केवल आवश्यक संयोजनों के माध्यम से खोज कर प्राप्त कर लेते हैं।

आइए प्रयोग के परिणामों की कुल संख्या ज्ञात करें। परिणामों को $(x,y,z)$ के रूप की संख्याओं के क्रमबद्ध त्रिक के रूप में दर्शाया जा सकता है, जहां $x$ है कि पहले पासे पर कितने अंक गिरे (1 से 6 तक), $y$ है कि कितने अंक गिरे दूसरे पासे पर (1 से 6 तक), $z$ - तीसरे पासे पर कितने अंक लुढ़के (1 से 6 तक)। जाहिर है, संख्याओं के ऐसे त्रिगुणों की कुल संख्या $n=6\cdot 6\cdot 6=216$ होगी।

आइए अब उन परिणामों का चयन करें जो कुल 15 अंक देते हैं।

$$ (3,6,6), (6,3,6), (6,6,3),\\ (4,5,6), (4,6,5), (5,4,6), (6,5,4), (5,6,4), (6,4,5),\\ (5,5,5). $$

हमें $m=3+6+1=10$ परिणाम मिले। आवश्यक प्रायिकता $P=10/216=0.046$ है।

उदाहरण 7. 2 पासे फेंके जाते हैं. प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि पहला पासा 4 अंक से अधिक नहीं लुढ़केगा, बशर्ते कि अंकों की कुल संख्या सम हो।

इस समस्या को हल करने का सबसे आसान तरीका पहले की तरह फिर से तालिका का उपयोग करना है (सबकुछ स्पष्ट हो जाएगा)। हम अंकों के योग की एक तालिका लिखते हैं और केवल सम मान वाले कक्षों का चयन करते हैं:

हमने पाया कि प्रायोगिक स्थितियों के अनुसार, 36 नहीं, बल्कि $n=18$ परिणाम हैं (जब अंकों का योग सम है)।

अब इन कोशिकाओं सेआइए केवल उन लोगों का चयन करें जो घटना के अनुरूप हैं "पहले पासे पर 4 से अधिक अंक नहीं" - अर्थात, वास्तव में, तालिका की पहली 4 पंक्तियों में कोशिकाएं (नारंगी रंग में हाइलाइट की गई), $m= होंगी 12$.

आवश्यक प्रायिकता $P=12/18=2/3.$

वही कार्य हो सकता है अलग ढंग से निर्णय लेंसशर्त संभाव्यता सूत्र का उपयोग करना। आइए घटनाओं में प्रवेश करें:
ए = अंकों की संख्या का योग सम है
बी = पहले पासे पर 4 से अधिक अंक नहीं लुढ़के
एबी = अंकों की संख्या का योग सम है और पहले पासे पर 4 से अधिक अंक नहीं फेंके गए
फिर वांछित संभाव्यता के सूत्र का रूप इस प्रकार है: $$ P(B|A)=\frac(P(AB))(P(A)). $$ संभावनाएँ ढूँढना। परिणामों की कुल संख्या $n=36$ है, घटना A के लिए अनुकूल परिणामों की संख्या (ऊपर तालिकाएँ देखें) $m(A)=18$ है, और घटना AB के लिए - $m(AB)=12$ है। हमें मिलता है: $$ P(A)=\frac(m(A))(n)=\frac(18)(36)=\frac(1)(2); \quad P(AB)=\frac(m(AB))(n)=\frac(12)(36)=\frac(1)(3);\\ P(B|A)=\frac(P (AB))(P(A))=\frac(1/3)(1/2)=\frac(2)(3). $$ उत्तर वही थे।

उदाहरण 8. पासे को 4 बार फेंका जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि सम संख्या में अंक ठीक 3 बार आएंगे।

मामले में जब पासा कई बार फेंकता है, और घटना राशि, उत्पाद आदि के बारे में नहीं है। अभिन्न विशेषताएँ, लेकिन केवल के बारे में बूंदों की संख्याएक निश्चित प्रकार का, आप इसका उपयोग संभाव्यता की गणना करने के लिए कर सकते हैं