एक यादृच्छिक घटना की संभावना है. घटनाओं की स्वतंत्रता

अर्थशास्त्र में, मानव गतिविधि के अन्य क्षेत्रों की तरह या प्रकृति में, हमें लगातार उन घटनाओं से निपटना पड़ता है जिनकी सटीक भविष्यवाणी नहीं की जा सकती है। इस प्रकार, किसी उत्पाद की बिक्री की मात्रा मांग पर निर्भर करती है, जो काफी भिन्न हो सकती है, और कई अन्य कारकों पर भी निर्भर करती है जिन्हें ध्यान में रखना लगभग असंभव है। इसलिए, उत्पादन का आयोजन करते समय और बिक्री करते समय, आपको ऐसी गतिविधियों के परिणाम की भविष्यवाणी या तो अपने पिछले अनुभव, या अन्य लोगों के समान अनुभव, या अंतर्ज्ञान के आधार पर करनी होगी, जो काफी हद तक प्रयोगात्मक डेटा पर भी निर्भर करता है।

किसी भी तरह से विचाराधीन घटना का मूल्यांकन करने के लिए, उन स्थितियों को ध्यान में रखना या विशेष रूप से व्यवस्थित करना आवश्यक है जिनमें यह घटना दर्ज की गई है।

प्रश्नगत घटना की पहचान करने के लिए कुछ शर्तों या कार्यों के कार्यान्वयन को कहा जाता है अनुभवया प्रयोग.

इवेंट कहा जाता है यादृच्छिक, यदि अनुभव के परिणामस्वरूप यह घटित हो भी सकता है और नहीं भी।

इवेंट कहा जाता है भरोसेमंद, यदि यह आवश्यक रूप से किसी दिए गए अनुभव के परिणामस्वरूप प्रकट होता है, और असंभव, यदि यह इस अनुभव में प्रकट नहीं हो सकता है।

उदाहरण के लिए, 30 नवंबर को मॉस्को में बर्फबारी एक यादृच्छिक घटना है। दैनिक सूर्योदय को एक विश्वसनीय घटना माना जा सकता है। भूमध्य रेखा पर बर्फबारी एक असंभव घटना मानी जा सकती है।

संभाव्यता सिद्धांत में मुख्य कार्यों में से एक किसी घटना के घटित होने की संभावना का मात्रात्मक माप निर्धारित करने का कार्य है।

घटनाओं का बीजगणित

घटनाओं को असंगत कहा जाता है यदि उन्हें एक ही अनुभव में एक साथ नहीं देखा जा सकता है। इस प्रकार, एक ही समय में बिक्री के लिए एक दुकान में दो और तीन कारों की उपस्थिति दो असंगत घटनाएं हैं।

मात्राइवेंट एक ऐसी घटना है जिसमें इनमें से कम से कम एक घटना घटित होती है

घटनाओं के योग का एक उदाहरण स्टोर में दो उत्पादों में से कम से कम एक की उपस्थिति है।

कामघटनाएँ एक ऐसी घटना है जिसमें इन सभी घटनाओं का एक साथ घटित होना शामिल है

एक घटना जिसमें एक ही समय में एक स्टोर में दो वस्तुओं की उपस्थिति होती है, घटनाओं का एक उत्पाद है: - एक उत्पाद की उपस्थिति, - दूसरे उत्पाद की उपस्थिति।

घटनाएँ घटनाओं का एक पूरा समूह बनाती हैं यदि उनमें से कम से कम एक का अनुभव में घटित होना निश्चित है।

उदाहरण।जहाजों को प्राप्त करने के लिए बंदरगाह में दो बर्थ हैं। तीन घटनाओं पर विचार किया जा सकता है: - बर्थ पर जहाजों की अनुपस्थिति, - एक बर्थ पर एक जहाज की उपस्थिति, - दो बर्थ पर दो जहाजों की उपस्थिति। ये तीन घटनाएँ घटनाओं का एक पूरा समूह बनाती हैं।

विलोमदो अद्वितीय संभावित घटनाएँ जो एक पूर्ण समूह बनाती हैं, कहलाती हैं।

यदि विपरीत घटनाओं में से एक को द्वारा निरूपित किया जाता है, तो विपरीत घटना को आमतौर पर द्वारा निरूपित किया जाता है।

घटना संभाव्यता की शास्त्रीय और सांख्यिकीय परिभाषाएँ

परीक्षणों (प्रयोगों) के प्रत्येक समान रूप से संभावित परिणाम को प्रारंभिक परिणाम कहा जाता है। इन्हें आमतौर पर अक्षरों द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है। उदाहरण के लिए, एक पासा फेंका जाता है। पक्षों पर अंकों की संख्या के आधार पर कुल छह प्राथमिक परिणाम हो सकते हैं।

प्रारंभिक परिणामों से आप एक अधिक जटिल घटना बना सकते हैं। इस प्रकार, सम संख्या में अंकों की घटना तीन परिणामों द्वारा निर्धारित होती है: 2, 4, 6।

प्रश्नगत घटना के घटित होने की संभावना का एक मात्रात्मक माप संभाव्यता है।

किसी घटना की संभाव्यता की सबसे व्यापक रूप से उपयोग की जाने वाली परिभाषाएँ हैं: क्लासिकऔर सांख्यिकीय.

संभाव्यता की शास्त्रीय परिभाषा अनुकूल परिणाम की अवधारणा से जुड़ी है।

परिणाम कहा जाता है अनुकूलकिसी दी गई घटना के लिए यदि उसकी घटना इस घटना की घटना पर जोर देती है।

उपरोक्त उदाहरण में, विचाराधीन घटना - लुढ़के पक्ष पर सम संख्या में अंक - के तीन अनुकूल परिणाम हैं। इस मामले में, जनरल
संभावित परिणामों की संख्या. इसका मतलब यह है कि किसी घटना की संभावना की शास्त्रीय परिभाषा का उपयोग यहां किया जा सकता है।

क्लासिक परिभाषाअनुकूल परिणामों की संख्या और संभावित परिणामों की कुल संख्या के अनुपात के बराबर है

घटना की संभावना कहां है, घटना के अनुकूल परिणामों की संख्या है, संभावित परिणामों की कुल संख्या है।

सुविचारित उदाहरण में

संभाव्यता की सांख्यिकीय परिभाषा प्रयोगों में किसी घटना के घटित होने की सापेक्ष आवृत्ति की अवधारणा से जुड़ी है।

किसी घटना के घटित होने की सापेक्ष आवृत्ति की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है

प्रयोगों (परीक्षणों) की श्रृंखला में किसी घटना के घटित होने की संख्या कहाँ है?

सांख्यिकीय परिभाषा. किसी घटना की संभावना वह संख्या है जिसके चारों ओर सापेक्ष आवृत्ति प्रयोगों की संख्या में असीमित वृद्धि के साथ स्थिर (सेट) हो जाती है।

व्यावहारिक समस्याओं में, किसी घटना की संभावना को पर्याप्त रूप से बड़ी संख्या में परीक्षणों के लिए सापेक्ष आवृत्ति के रूप में लिया जाता है।

किसी घटना की संभाव्यता की इन परिभाषाओं से यह स्पष्ट है कि असमानता हमेशा संतुष्ट होती है

सूत्र (1.1) के आधार पर किसी घटना की संभावना निर्धारित करने के लिए, कॉम्बिनेटरिक्स सूत्रों का अक्सर उपयोग किया जाता है, जिनका उपयोग अनुकूल परिणामों की संख्या और संभावित परिणामों की कुल संख्या ज्ञात करने के लिए किया जाता है।

किसी भी यादृच्छिक घटना के घटित होने की संभावना का आकलन करते समय, इस बात की अच्छी समझ होना बहुत महत्वपूर्ण है कि क्या हमारे लिए रुचि की घटना के घटित होने की संभावना (किसी घटना की संभावना) इस बात पर निर्भर करती है कि अन्य घटनाएं कैसे विकसित होती हैं। शास्त्रीय योजना के मामले में, जब सभी परिणाम समान रूप से संभावित होते हैं, तो हम पहले से ही हमारे लिए रुचि की व्यक्तिगत घटना के संभाव्यता मूल्यों का स्वतंत्र रूप से अनुमान लगा सकते हैं। हम ऐसा तब भी कर सकते हैं, जब घटना कई प्राथमिक परिणामों का एक जटिल संग्रह हो। यदि कई यादृच्छिक घटनाएँ एक साथ या क्रमिक रूप से घटित हों तो क्या होगा? यह उस घटना की संभावना को कैसे प्रभावित करता है जिसके घटित होने में हम रुचि रखते हैं? अगर मैं पासे को कई बार घुमाता हूं और चाहता हूं कि छक्का आए, और मैं बदकिस्मत होता जा रहा हूं, तो क्या इसका मतलब यह है कि मुझे अपना दांव बढ़ाना चाहिए, क्योंकि संभाव्यता सिद्धांत के अनुसार, मैं भाग्यशाली होने वाला हूं? अफ़सोस, संभाव्यता सिद्धांत ऐसा कुछ नहीं बताता। न तो पासे, न ताश, न ही सिक्के यह याद रख सकते हैं कि पिछली बार उन्होंने हमें क्या दिखाया था। इससे उन्हें बिल्कुल भी फर्क नहीं पड़ता कि मैं आज अपनी किस्मत का परीक्षण पहली बार कर रहा हूं या दसवीं बार। हर बार जब मैं रोल दोहराता हूं, तो मुझे केवल एक ही बात पता होती है: और इस बार छक्का लगने की संभावना फिर से एक छठा है। बेशक, इसका मतलब यह नहीं है कि मुझे जो नंबर चाहिए वह कभी नहीं आएगा। इसका मतलब केवल यह है कि पहली थ्रो के बाद और किसी अन्य थ्रो के बाद मेरी हार स्वतंत्र घटनाएँ हैं। घटनाएँ A और B स्वतंत्र कहलाती हैं यदि उनमें से किसी एक की घटना किसी भी तरह से दूसरी घटना की संभावना को प्रभावित नहीं करती है। उदाहरण के लिए, दो हथियारों में से पहले हथियार से किसी लक्ष्य पर हमला करने की संभावनाएं इस पर निर्भर नहीं करती हैं कि लक्ष्य पर दूसरे हथियार से हमला किया गया था या नहीं, इसलिए "पहला हथियार लक्ष्य पर लगा" और "दूसरा हथियार लक्ष्य पर लगा" घटनाएं हैं स्वतंत्र। यदि दो घटनाएं ए और बी स्वतंत्र हैं, और उनमें से प्रत्येक की संभावना ज्ञात है, तो घटना ए और घटना बी (एबी द्वारा दर्शाया गया) दोनों की एक साथ घटित होने की संभावना की गणना निम्नलिखित प्रमेय का उपयोग करके की जा सकती है।

स्वतंत्र घटनाओं के लिए संभाव्यता गुणन प्रमेय

पी(एबी) = पी(ए)*पी(बी) दो स्वतंत्र घटनाओं के एक साथ घटित होने की संभावना इन घटनाओं की संभावनाओं के उत्पाद के बराबर है।

उदाहरण 1. पहली और दूसरी बंदूक से फायरिंग करते समय लक्ष्य पर प्रहार करने की संभावनाएँ क्रमशः बराबर होती हैं: पी 1 = 0.7; पी 2 = 0.8. दोनों बंदूकों द्वारा एक साथ एक प्रहार की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

जैसा कि हम पहले ही देख चुके हैं, घटनाएँ A (पहली बंदूक से मारा गया) और B (दूसरी बंदूक से मारा गया) स्वतंत्र हैं, यानी। P(AB)=P(A)*P(B)=p1*p2=0.56. यदि प्रारंभिक घटनाएँ स्वतंत्र नहीं हैं तो हमारे अनुमानों का क्या होगा? आइए पिछले उदाहरण को थोड़ा बदलें।

उदाहरण 2.एक प्रतियोगिता में दो निशानेबाज लक्ष्य पर गोली चलाते हैं और यदि उनमें से एक सटीक निशाना लगाता है, तो प्रतिद्वंद्वी घबराने लगता है और उसके परिणाम खराब हो जाते हैं। इस रोजमर्रा की स्थिति को गणितीय समस्या में कैसे बदलें और इसे हल करने के तरीकों की रूपरेखा कैसे बनाएं? यह सहज रूप से स्पष्ट है कि घटनाओं के विकास के लिए दो विकल्पों को किसी तरह अलग करना, अनिवार्य रूप से दो परिदृश्य, दो अलग-अलग कार्य बनाना आवश्यक है। पहले मामले में, यदि प्रतिद्वंद्वी चूक गया, तो नर्वस एथलीट के लिए परिदृश्य अनुकूल होगा और उसकी सटीकता अधिक होगी। दूसरे मामले में, यदि प्रतिद्वंद्वी ने अपना मौका शालीनता से लिया, तो दूसरे एथलीट के लिए लक्ष्य को भेदने की संभावना कम हो जाती है। घटनाओं के विकास के लिए संभावित परिदृश्यों (जिन्हें अक्सर परिकल्पना कहा जाता है) को अलग करने के लिए, हम अक्सर "संभावना वृक्ष" आरेख का उपयोग करेंगे। यह आरेख उस निर्णय वृक्ष के अर्थ में समान है जिसे आप संभवतः पहले ही निपटा चुके हैं। प्रत्येक शाखा घटनाओं के विकास के लिए एक अलग परिदृश्य का प्रतिनिधित्व करती है, केवल अब इसमें तथाकथित सशर्त संभाव्यता (क्यू 1, क्यू 2, क्यू 1 -1, क्यू 2 -1) का अपना मूल्य है।

अनुक्रमिक यादृच्छिक घटनाओं का विश्लेषण करने के लिए यह योजना बहुत सुविधाजनक है। एक और महत्वपूर्ण प्रश्न स्पष्ट किया जाना बाकी है: वास्तविक स्थितियों में प्रारंभिक संभावनाएँ कहाँ से आती हैं? आख़िरकार, संभाव्यता सिद्धांत केवल सिक्कों और पासों के साथ काम नहीं करता है? आमतौर पर ये अनुमान आंकड़ों से लिए जाते हैं, और जब सांख्यिकीय जानकारी उपलब्ध नहीं होती है, तो हम अपना स्वयं का शोध करते हैं। और हमें अक्सर डेटा एकत्र करने से नहीं, बल्कि इस सवाल से शुरुआत करनी होती है कि हमें वास्तव में किस जानकारी की आवश्यकता है।

उदाहरण 3.मान लीजिए कि हमें एक लाख निवासियों की आबादी वाले शहर में एक नए उत्पाद के लिए बाजार की मात्रा का अनुमान लगाने की ज़रूरत है जो एक आवश्यक वस्तु नहीं है, उदाहरण के लिए, रंगीन बालों की देखभाल के लिए बाम के लिए। आइए "संभावना वृक्ष" आरेख पर विचार करें। इस मामले में, हमें प्रत्येक "शाखा" पर संभाव्यता मान का लगभग अनुमान लगाने की आवश्यकता है। तो, बाज़ार क्षमता का हमारा अनुमान:

1) शहर के सभी निवासियों में से 50% महिलाएँ हैं,

2) सभी महिलाओं में से केवल 30% ही अक्सर अपने बालों को रंगती हैं,

3) उनमें से केवल 10% रंगीन बालों के लिए बाम का उपयोग करते हैं,

4) उनमें से केवल 10% ही किसी नए उत्पाद को आज़माने का साहस जुटा पाते हैं,

5) उनमें से 70% आमतौर पर सब कुछ हमसे नहीं, बल्कि हमारे प्रतिस्पर्धियों से खरीदते हैं।

संभावनाओं के गुणन के नियम के अनुसार, हम उस घटना की संभावना निर्धारित करते हैं जिसमें हम रुचि रखते हैं ए = (एक शहर निवासी हमसे यह नया बाम खरीदता है) = 0.00045। आइए इस संभाव्यता मान को शहर के निवासियों की संख्या से गुणा करें। परिणामस्वरूप, हमारे पास केवल 45 संभावित ग्राहक हैं, और यह देखते हुए कि इस उत्पाद की एक बोतल कई महीनों तक चलती है, व्यापार बहुत जीवंत नहीं है। और फिर भी हमारे आकलन से कुछ लाभ है। सबसे पहले, हम विभिन्न व्यावसायिक विचारों के पूर्वानुमानों की तुलना कर सकते हैं; उनके आरेखों में अलग-अलग "कांटे" होंगे, और निश्चित रूप से, संभाव्यता मान भी भिन्न होंगे। दूसरे, जैसा कि हम पहले ही कह चुके हैं, एक यादृच्छिक चर को यादृच्छिक नहीं कहा जाता है क्योंकि यह किसी भी चीज़ पर निर्भर नहीं करता है। इसका सटीक अर्थ पहले से ज्ञात नहीं है। हम जानते हैं कि खरीदारों की औसत संख्या बढ़ाई जा सकती है (उदाहरण के लिए, किसी नए उत्पाद का विज्ञापन करके)। इसलिए हमारे प्रयासों को उन "कांटों" पर केंद्रित करना समझ में आता है जहां संभाव्यता वितरण विशेष रूप से हमारे लिए उपयुक्त नहीं है, उन कारकों पर जिन्हें हम प्रभावित करने में सक्षम हैं। आइए उपभोक्ता व्यवहार अनुसंधान का एक और मात्रात्मक उदाहरण देखें।

उदाहरण 3.प्रतिदिन औसतन 10,000 लोग खाद्य बाज़ार में आते हैं। किसी बाज़ार आगंतुक के डेयरी उत्पाद मंडप में प्रवेश करने की प्रायिकता 1/2 है। यह ज्ञात है कि यह मंडप प्रतिदिन औसतन 500 किलोग्राम विभिन्न उत्पाद बेचता है। क्या हम कह सकते हैं कि मंडप में औसत खरीद का वज़न केवल 100 ग्राम है?

बहस।

बिल्कुल नहीं। यह स्पष्ट है कि मंडप में प्रवेश करने वाले प्रत्येक व्यक्ति ने वहां कुछ न कुछ खरीदा।

जैसा कि चित्र में दिखाया गया है, खरीदारी के औसत वजन के बारे में प्रश्न का उत्तर देने के लिए, हमें इस प्रश्न का उत्तर ढूंढना होगा कि क्या संभावना है कि मंडप में प्रवेश करने वाला व्यक्ति वहां कुछ खरीदेगा। यदि हमारे पास ऐसा कोई डेटा नहीं है, लेकिन हमें इसकी आवश्यकता है, तो हमें कुछ समय के लिए मंडप में आने वाले आगंतुकों का अवलोकन करके इसे स्वयं प्राप्त करना होगा। मान लीजिए कि हमारी टिप्पणियों से पता चला है कि मंडप के केवल पांचवें आगंतुक ही कुछ खरीदते हैं। एक बार जब हम ये अनुमान प्राप्त कर लेते हैं, तो कार्य सरल हो जाता है। बाजार में आने वाले 10,000 लोगों में से 5,000 डेयरी उत्पाद मंडप में जाएंगे; औसत खरीद वजन 500 ग्राम होगा। यह ध्यान रखना दिलचस्प है कि जो कुछ हो रहा है उसकी पूरी तस्वीर बनाने के लिए, सशर्त "शाखा" के तर्क को हमारे तर्क के प्रत्येक चरण में स्पष्ट रूप से परिभाषित किया जाना चाहिए जैसे कि हम "विशिष्ट" स्थिति के साथ काम कर रहे थे, न कि संभावनाओं के साथ.

स्व-परीक्षण कार्य।

1. मान लीजिए कि एक विद्युत परिपथ है जिसमें n तत्व श्रृंखला में जुड़े हुए हैं, जिनमें से प्रत्येक तत्व दूसरे से स्वतंत्र रूप से संचालित होता है। प्रत्येक तत्व की विफलता की प्रायिकता p ज्ञात है। सर्किट के पूरे अनुभाग (घटना ए) के उचित संचालन की संभावना निर्धारित करें।

2. विद्यार्थी परीक्षा के 25 प्रश्नों में से 20 जानता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि छात्र परीक्षक द्वारा दिए गए तीन प्रश्नों को जानता है।

3. उत्पादन में चार क्रमिक चरण होते हैं, जिनमें से प्रत्येक पर उपकरण संचालित होता है, जिसके लिए अगले महीने में विफलता की संभावनाएं क्रमशः पी 1, पी 2, पी 3 और पी 4 के बराबर होती हैं। इस बात की प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि एक महीने में उपकरण की विफलता के कारण कोई उत्पादन नहीं रुकेगा।

प्रारंभ में, पासे के खेल के बारे में जानकारी और अनुभवजन्य टिप्पणियों का एक संग्रह होने के कारण, संभाव्यता का सिद्धांत एक संपूर्ण विज्ञान बन गया। इसे गणितीय ढाँचा देने वाले पहले व्यक्ति फ़र्मेट और पास्कल थे।

शाश्वत के बारे में सोचने से लेकर संभाव्यता के सिद्धांत तक

दो व्यक्ति जिनके लिए संभाव्यता सिद्धांत अपने कई मौलिक सूत्रों का श्रेय देता है, ब्लेज़ पास्कल और थॉमस बेयस, गहरे धार्मिक लोगों के रूप में जाने जाते हैं, बाद वाला एक प्रेस्बिटेरियन मंत्री है। जाहिरा तौर पर, इन दोनों वैज्ञानिकों की एक निश्चित फॉर्च्यून द्वारा अपने पसंदीदा को शुभकामनाएं देने के बारे में राय की भ्रांति को साबित करने की इच्छा ने इस क्षेत्र में शोध को प्रोत्साहन दिया। आख़िरकार, वास्तव में, कोई भी जुआ खेल अपनी जीत और हार के साथ गणितीय सिद्धांतों की एक सिम्फनी मात्र है।

शेवेलियर डी मेरे के जुनून के लिए धन्यवाद, जो समान रूप से एक जुआरी और विज्ञान के प्रति उदासीन नहीं था, पास्कल को संभाव्यता की गणना करने का एक तरीका खोजने के लिए मजबूर होना पड़ा। डी मेरे को निम्नलिखित प्रश्न में रुचि थी: "आपको कितनी बार दो पासों को जोड़े में फेंकने की आवश्यकता है ताकि 12 अंक प्राप्त करने की संभावना 50% से अधिक हो जाए?" दूसरा प्रश्न, जो सज्जन के लिए बहुत दिलचस्प था: "अधूरे खेल में प्रतिभागियों के बीच शर्त कैसे विभाजित करें?" निस्संदेह, पास्कल ने डे मेरे के दोनों प्रश्नों का सफलतापूर्वक उत्तर दिया, जो संभाव्यता सिद्धांत के विकास के अनजाने सर्जक बन गए। दिलचस्प बात यह है कि डे मेरे का व्यक्तित्व साहित्य में नहीं, बल्कि इसी क्षेत्र में जाना जाता रहा।

पहले, किसी भी गणितज्ञ ने कभी भी घटनाओं की संभावनाओं की गणना करने का प्रयास नहीं किया था, क्योंकि ऐसा माना जाता था कि यह केवल एक अनुमान लगाने वाला समाधान था। ब्लेज़ पास्कल ने किसी घटना की संभाव्यता की पहली परिभाषा दी और दिखाया कि यह एक विशिष्ट आंकड़ा है जिसे गणितीय रूप से उचित ठहराया जा सकता है। संभाव्यता सिद्धांत सांख्यिकी का आधार बन गया है और आधुनिक विज्ञान में इसका व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

यादृच्छिकता क्या है

यदि हम एक ऐसे परीक्षण पर विचार करें जिसे अनंत बार दोहराया जा सकता है, तो हम एक यादृच्छिक घटना को परिभाषित कर सकते हैं। यह प्रयोग के संभावित परिणामों में से एक है।

अनुभव निरंतर परिस्थितियों में विशिष्ट कार्यों का कार्यान्वयन है।

प्रयोग के परिणामों के साथ काम करने में सक्षम होने के लिए, घटनाओं को आमतौर पर ए, बी, सी, डी, ई... अक्षरों द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है।

एक यादृच्छिक घटना की संभावना

संभाव्यता के गणितीय भाग को शुरू करने के लिए, इसके सभी घटकों को परिभाषित करना आवश्यक है।

किसी घटना की संभावना किसी अनुभव के परिणामस्वरूप होने वाली किसी घटना (ए या बी) की संभावना का एक संख्यात्मक माप है। प्रायिकता को P(A) या P(B) के रूप में दर्शाया जाता है।

संभाव्यता सिद्धांत में वे भेद करते हैं:

• भरोसेमंदअनुभव P(Ω) = 1 के परिणामस्वरूप घटना घटित होने की गारंटी है;
• असंभवघटना कभी घटित नहीं हो सकती P(Ø) = 0;
• यादृच्छिकएक घटना विश्वसनीय और असंभव के बीच होती है, अर्थात, इसके घटित होने की संभावना संभव है, लेकिन इसकी गारंटी नहीं है (एक यादृच्छिक घटना की संभावना हमेशा 0≤Р(А)≤ 1 की सीमा के भीतर होती है)।

घटनाओं के बीच संबंध

घटनाओं के एक और योग ए+बी दोनों पर विचार किया जाता है, जब घटना की गणना तब की जाती है जब कम से कम एक घटक, ए या बी, या दोनों, ए और बी, पूरा हो जाता है।

एक दूसरे के संबंध में, घटनाएँ हो सकती हैं:

• उतना ही संभव है.
• अनुकूल।
• असंगत.
• विपरीत (परस्पर अनन्य)।
• आश्रित।

यदि दो घटनाएँ समान संभावना के साथ घटित हो सकती हैं, तो वे समान रूप से संभव.

यदि घटना A के घटित होने से घटना B के घटित होने की संभावना शून्य नहीं हो जाती है, तो वे अनुकूल।

यदि घटनाएँ A और B कभी भी एक ही अनुभव में एक साथ घटित नहीं होती हैं, तो उन्हें कहा जाता है असंगत. सिक्का उछालना इसका एक अच्छा उदाहरण है: सिर का आना स्वत: ही सिर के न आने का मतलब है।

ऐसी असंगत घटनाओं के योग की संभावना में प्रत्येक घटना की संभावनाओं का योग शामिल होता है:

पी(ए+बी)=पी(ए)+पी(बी)

यदि एक घटना का घटित होना दूसरी घटना के घटित होने को असंभव बना देता है, तो उन्हें विपरीत कहा जाता है। फिर उनमें से एक को ए के रूप में नामित किया गया है, और दूसरे को - Ā ("ए नहीं" के रूप में पढ़ें)। घटना A के घटित होने का अर्थ है कि Ā घटित नहीं हुआ। ये दो घटनाएँ 1 के बराबर संभावनाओं के योग के साथ एक पूर्ण समूह बनाती हैं।

आश्रित घटनाएँ परस्पर प्रभाव डालती हैं, एक-दूसरे की संभावना को घटाती या बढ़ाती हैं।

घटनाओं के बीच संबंध. उदाहरण

उदाहरणों का उपयोग करके संभाव्यता सिद्धांत और घटनाओं के संयोजन के सिद्धांतों को समझना बहुत आसान है।

जो प्रयोग किया जाएगा उसमें एक बॉक्स से गेंदें निकालना शामिल है, और प्रत्येक प्रयोग का परिणाम एक प्रारंभिक परिणाम है।

एक घटना एक प्रयोग के संभावित परिणामों में से एक है - एक लाल गेंद, एक नीली गेंद, छह नंबर वाली एक गेंद, आदि।

टेस्ट नंबर 1. इसमें 6 गेंदें शामिल हैं, जिनमें से तीन नीली हैं और उन पर विषम संख्याएं हैं, और अन्य तीन लाल हैं और उन पर सम संख्याएं हैं।

टेस्ट नंबर 2. एक से छह तक संख्याओं वाली 6 नीली गेंदें हैं।

इस उदाहरण के आधार पर, हम संयोजनों को नाम दे सकते हैं:

• विश्वसनीय घटना.स्पेनिश में नंबर 2 घटना "नीली गेंद प्राप्त करें" विश्वसनीय है, क्योंकि इसके घटित होने की संभावना 1 के बराबर है, क्योंकि सभी गेंदें नीली हैं और कोई चूक नहीं हो सकती। जबकि घटना "नंबर 1 के साथ गेंद प्राप्त करें" यादृच्छिक है।
• असंभव घटना.स्पेनिश में नीली और लाल गेंदों के साथ नंबर 1, घटना "बैंगनी गेंद प्राप्त करना" असंभव है, क्योंकि इसके घटित होने की संभावना 0 है।
• समान रूप से संभव घटनाएँ.स्पेनिश में नंबर 1, घटनाएँ "नंबर 2 के साथ गेंद प्राप्त करें" और "नंबर 3 के साथ गेंद प्राप्त करें" समान रूप से संभव हैं, और घटनाएँ "सम संख्या के साथ गेंद प्राप्त करें" और "नंबर 2 के साथ गेंद प्राप्त करें" "अलग-अलग संभावनाएँ हैं।
• संगत घटनाएँ.पासा फेंकते समय लगातार दो बार छक्का प्राप्त करना एक सुसंगत घटना है।
• असंगत घटनाएँ.उसी स्पैनिश में नंबर 1, घटनाओं "एक लाल गेंद प्राप्त करें" और "एक विषम संख्या वाली गेंद प्राप्त करें" को एक ही अनुभव में नहीं जोड़ा जा सकता है।
• विपरीत घटनाएँ.इसका सबसे उल्लेखनीय उदाहरण सिक्का उछालना है, जहां चित निकालना, पट न निकालने के बराबर है, और उनकी संभावनाओं का योग हमेशा 1 (पूर्ण समूह) होता है।
• आश्रित घटनाएँ. तो, स्पैनिश में नंबर 1, आप लगातार दो बार लाल गेंद निकालने का लक्ष्य निर्धारित कर सकते हैं। इसे पहली बार पुनर्प्राप्त किया गया है या नहीं, दूसरी बार पुनर्प्राप्त होने की संभावना प्रभावित होती है।

यह देखा जा सकता है कि पहली घटना दूसरे (40% और 60%) की संभावना को महत्वपूर्ण रूप से प्रभावित करती है।

घटना संभाव्यता सूत्र

भाग्य-बताने से लेकर सटीक डेटा तक का परिवर्तन विषय के गणितीय स्तर पर अनुवाद के माध्यम से होता है। अर्थात्, किसी यादृच्छिक घटना जैसे "उच्च संभावना" या "न्यूनतम संभावना" के बारे में निर्णय को विशिष्ट संख्यात्मक डेटा में अनुवादित किया जा सकता है। ऐसी सामग्री का मूल्यांकन, तुलना और अधिक जटिल गणनाओं में प्रवेश करना पहले से ही अनुमत है।

गणना के दृष्टिकोण से, किसी घटना की संभावना का निर्धारण किसी निश्चित घटना के संबंध में अनुभव के सभी संभावित परिणामों की संख्या के लिए प्राथमिक सकारात्मक परिणामों की संख्या का अनुपात है। संभाव्यता को पी (ए) द्वारा दर्शाया जाता है, जहां पी का अर्थ "संभाव्यता" शब्द है, जिसका फ्रेंच से अनुवाद "संभावना" के रूप में किया जाता है।

तो, किसी घटना की संभावना का सूत्र है:

जहां m घटना A के लिए अनुकूल परिणामों की संख्या है, n इस अनुभव के लिए संभव सभी परिणामों का योग है। इस मामले में, किसी घटना की संभावना हमेशा 0 और 1 के बीच होती है:

0 ≤ पी(ए)≤ 1.

किसी घटना की संभाव्यता की गणना. उदाहरण

आइए स्पैनिश लें। गेंदों के साथ नंबर 1, जिसका वर्णन पहले किया गया था: 1/3/5 नंबर वाली 3 नीली गेंदें और 2/4/6 नंबर वाली 3 लाल गेंदें।

इस परीक्षण के आधार पर, कई अलग-अलग समस्याओं पर विचार किया जा सकता है:

• ए - लाल गेंद बाहर गिर रही है। 3 लाल गेंदें हैं, और कुल 6 विकल्प हैं। यह सबसे सरल उदाहरण है जिसमें किसी घटना की संभावना P(A)=3/6=0.5 है।
• बी - एक सम संख्या को रोल करना। 3 सम संख्याएँ (2,4,6) हैं, और संभावित संख्यात्मक विकल्पों की कुल संख्या 6 है। इस घटना की संभावना P(B)=3/6=0.5 है।
• सी - 2 से बड़ी संख्या की घटना। 6 के संभावित परिणामों की कुल संख्या में से 4 ऐसे विकल्प (3,4,5,6) हैं। घटना सी की संभावना पी (सी) = 4 के बराबर है /6=0.67.

जैसा कि गणना से देखा जा सकता है, घटना सी की संभावना अधिक है, क्योंकि संभावित सकारात्मक परिणामों की संख्या ए और बी की तुलना में अधिक है।

असंगत घटनाएँ

ऐसी घटनाएँ एक ही अनुभव में एक साथ प्रकट नहीं हो सकतीं। जैसा कि स्पेनिश में है नंबर 1 एक ही समय में नीली और लाल गेंद प्राप्त करना असंभव है। यानी आपको नीली या लाल गेंद मिल सकती है. उसी प्रकार, एक पासे में एक सम और एक विषम संख्या एक ही समय में नहीं आ सकती।

दो घटनाओं की प्रायिकता को उनके योग या गुणनफल की प्रायिकता माना जाता है। ऐसी घटनाओं का योग A+B एक ऐसी घटना मानी जाती है जिसमें घटना A या B का घटित होना शामिल होता है और उनका गुणनफल AB दोनों का घटित होना होता है। उदाहरण के लिए, एक ही बार में दो पासों के फलक पर एक साथ दो छक्कों का दिखना।

कई घटनाओं का योग एक ऐसी घटना है जो उनमें से कम से कम एक के घटित होने का अनुमान लगाती है। कई घटनाओं का उत्पादन उन सभी की संयुक्त घटना है।

संभाव्यता सिद्धांत में, एक नियम के रूप में, संयोजन "और" का उपयोग एक योग को दर्शाता है, और संयोजन "या" - गुणन को दर्शाता है। उदाहरणों के साथ सूत्र आपको संभाव्यता सिद्धांत में जोड़ और गुणा के तर्क को समझने में मदद करेंगे।

असंगत घटनाओं के योग की प्रायिकता

यदि असंगत घटनाओं की संभावना पर विचार किया जाता है, तो घटनाओं के योग की संभावना उनकी संभावनाओं के योग के बराबर होती है:

पी(ए+बी)=पी(ए)+पी(बी)

उदाहरण के लिए: आइए स्पैनिश में इसकी संभावना की गणना करें। नंबर 1 नीली और लाल गेंदों के साथ, 1 और 4 के बीच की एक संख्या दिखाई देगी, हम एक क्रिया में नहीं, बल्कि प्राथमिक घटकों की संभावनाओं के योग से गणना करेंगे। तो, ऐसे प्रयोग में केवल 6 गेंदें या सभी संभावित परिणामों में से 6 हैं। शर्त को पूरा करने वाली संख्याएँ 2 और 3 हैं। संख्या 2 प्राप्त करने की संभावना 1/6 है, संख्या 3 प्राप्त करने की संभावना भी 1/6 है। 1 और 4 के बीच एक संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता है:

एक पूर्ण समूह की असंगत घटनाओं के योग की प्रायिकता 1 है।

इसलिए, यदि घन के साथ एक प्रयोग में हम आने वाली सभी संख्याओं की संभावनाओं को जोड़ते हैं, तो परिणाम एक होगा।

यह विपरीत घटनाओं के लिए भी सच है, उदाहरण के लिए एक सिक्के के साथ प्रयोग में, जहां एक तरफ घटना ए है, और दूसरा विपरीत घटना ए है, जैसा कि ज्ञात है,

पी(ए) + पी(Ā) = 1

असंगत घटनाओं के घटित होने की संभावना

एक अवलोकन में दो या दो से अधिक असंगत घटनाओं की घटना पर विचार करते समय संभाव्यता गुणन का उपयोग किया जाता है। इसमें घटनाएँ A और B के एक साथ प्रकट होने की प्रायिकता उनकी संभावनाओं के गुणनफल के बराबर है, या:

पी(ए*बी)=पी(ए)*पी(बी)

उदाहरण के लिए, संभावना है कि स्पेनिश में नंबर 1, दो प्रयासों के परिणामस्वरूप, एक नीली गेंद दो बार, बराबर दिखाई देगी

अर्थात्, किसी घटना के घटित होने की संभावना, जब गेंदों को निकालने के दो प्रयासों के परिणामस्वरूप, केवल नीली गेंदें निकाली जाती हैं, 25% है। इस समस्या पर व्यावहारिक प्रयोग करना और देखना बहुत आसान है कि क्या वास्तव में ऐसा है।

संयुक्त आयोजन

घटनाओं को संयुक्त माना जाता है जब उनमें से एक की घटना दूसरे की घटना के साथ मेल खा सकती है। इस तथ्य के बावजूद कि वे संयुक्त हैं, स्वतंत्र घटनाओं की संभावना पर विचार किया जाता है। उदाहरण के लिए, दो पासे फेंकने पर एक परिणाम मिल सकता है जब दोनों पर संख्या 6 दिखाई देती है, हालांकि घटनाएँ एक ही समय में मेल खाती हैं और दिखाई देती हैं, वे एक-दूसरे से स्वतंत्र हैं - केवल एक ही छक्का गिर सकता है, दूसरे पासे में कोई अंक नहीं है। उस पर प्रभाव.

संयुक्त घटनाओं की प्रायिकता को उनके योग की प्रायिकता माना जाता है।

संयुक्त आयोजनों के योग की संभावना. उदाहरण

घटनाओं ए और बी के योग की संभावना, जो एक-दूसरे के संबंध में संयुक्त हैं, घटना की संभावनाओं के योग के बराबर है जिसमें उनकी घटना की संभावना घटा दी गई है (अर्थात, उनकी संयुक्त घटना):

आर जोड़ (ए+बी)=पी(ए)+पी(बी)- पी(एबी)

आइए मान लें कि एक शॉट से लक्ष्य को भेदने की संभावना 0.4 है। तब घटना ए पहले प्रयास में लक्ष्य को मार रही है, बी - दूसरे में। ये घटनाएँ संयुक्त हैं, क्योंकि यह संभव है कि आप पहले और दूसरे दोनों शॉट से लक्ष्य पर निशाना साध सकें। लेकिन घटनाएँ निर्भर नहीं होतीं. दो शॉट (कम से कम एक) से लक्ष्य को भेदने की घटना की प्रायिकता क्या है? सूत्र के अनुसार:

0,4+0,4-0,4*0,4=0,64

प्रश्न का उत्तर है: "दो शॉट से लक्ष्य को भेदने की संभावना 64% है।"

किसी घटना की संभावना के लिए यह सूत्र असंगत घटनाओं पर भी लागू किया जा सकता है, जहां किसी घटना की संयुक्त घटना की संभावना पी (एबी) = 0. इसका मतलब है कि असंगत घटनाओं के योग की संभावना को एक विशेष मामला माना जा सकता है प्रस्तावित फार्मूले का.

स्पष्टता के लिए संभाव्यता की ज्यामिति

दिलचस्प बात यह है कि संयुक्त घटनाओं के योग की संभावना को दो क्षेत्रों ए और बी के रूप में दर्शाया जा सकता है, जो एक दूसरे के साथ प्रतिच्छेद करते हैं। जैसा कि चित्र से देखा जा सकता है, उनके मिलन का क्षेत्रफल उनके प्रतिच्छेदन के क्षेत्रफल को घटाकर कुल क्षेत्रफल के बराबर है। यह ज्यामितीय व्याख्या प्रतीत होने वाले अतार्किक सूत्र को और अधिक समझने योग्य बनाती है। ध्यान दें कि संभाव्यता सिद्धांत में ज्यामितीय समाधान असामान्य नहीं हैं।

कई (दो से अधिक) संयुक्त घटनाओं के योग की संभावना निर्धारित करना काफी बोझिल है। इसकी गणना करने के लिए, आपको उन सूत्रों का उपयोग करने की आवश्यकता है जो इन मामलों के लिए प्रदान किए गए हैं।

आश्रित घटनाएँ

घटनाओं को आश्रित कहा जाता है यदि उनमें से एक (ए) की घटना दूसरे (बी) की घटना की संभावना को प्रभावित करती है। इसके अलावा, घटना ए के घटित होने और उसके घटित न होने दोनों के प्रभाव को ध्यान में रखा जाता है। हालाँकि परिभाषा के अनुसार घटनाओं को आश्रित कहा जाता है, उनमें से केवल एक ही आश्रित है (बी)। साधारण संभाव्यता को P(B) या स्वतंत्र घटनाओं की संभाव्यता के रूप में दर्शाया गया था। आश्रित घटनाओं के मामले में, एक नई अवधारणा पेश की गई है - सशर्त संभाव्यता पी ए (बी), जो एक आश्रित घटना बी की संभावना है, जो घटना ए (परिकल्पना) की घटना के अधीन है, जिस पर यह निर्भर करता है।

लेकिन घटना ए भी यादृच्छिक है, इसलिए इसकी भी संभावना है कि गणना की आवश्यकता है और इसे ध्यान में रखा जा सकता है। निम्नलिखित उदाहरण दिखाएगा कि आश्रित घटनाओं और एक परिकल्पना के साथ कैसे काम किया जाए।

आश्रित घटनाओं की संभावना की गणना का एक उदाहरण

आश्रित घटनाओं की गणना के लिए एक अच्छा उदाहरण कार्डों का एक मानक डेक होगा।

उदाहरण के तौर पर 36 कार्डों के डेक का उपयोग करते हुए, आइए निर्भर घटनाओं को देखें। हमें इस संभावना को निर्धारित करने की आवश्यकता है कि डेक से निकाला गया दूसरा कार्ड हीरे का होगा यदि पहला कार्ड निकाला गया है:

1. बुब्नोवाया।
2. एक अलग रंग.

जाहिर है, दूसरी घटना बी की संभावना पहले ए पर निर्भर करती है। इसलिए, यदि पहला विकल्प सत्य है, कि डेक में 1 कार्ड (35) और 1 हीरा (8) कम है, तो घटना बी की संभावना:

आर ए (बी) =8/35=0.23

यदि दूसरा विकल्प सत्य है, तो डेक में 35 कार्ड हैं, और हीरों की पूरी संख्या (9) अभी भी बरकरार है, तो निम्नलिखित घटना बी की संभावना:

आर ए (बी) =9/35=0.26.

यह देखा जा सकता है कि यदि घटना ए इस तथ्य पर आधारित है कि पहला कार्ड हीरा है, तो घटना बी की संभावना कम हो जाती है, और इसके विपरीत।

आश्रित घटनाओं को गुणा करना

पिछले अध्याय से प्रेरित होकर, हम पहली घटना (ए) को एक तथ्य के रूप में स्वीकार करते हैं, लेकिन संक्षेप में, यह एक यादृच्छिक प्रकृति का है। इस घटना की प्रायिकता, अर्थात् ताश की गड्डी से हीरा निकालने की, बराबर है:

पी(ए) = 9/36=1/4

चूँकि सिद्धांत अपने आप में अस्तित्व में नहीं है, लेकिन इसका उद्देश्य व्यावहारिक उद्देश्यों की पूर्ति करना है, यह ध्यान रखना उचित है कि जिस चीज़ की सबसे अधिक आवश्यकता होती है वह निर्भर घटनाओं के उत्पादन की संभावना है।

आश्रित घटनाओं की संभावनाओं के उत्पाद पर प्रमेय के अनुसार, संयुक्त रूप से निर्भर घटनाओं ए और बी की घटना की संभावना एक घटना ए की संभावना के बराबर है, घटना बी की सशर्त संभावना से गुणा (ए पर निर्भर):

पी(एबी) = पी(ए) *पी ए(बी)

फिर, डेक उदाहरण में, हीरे के सूट के साथ दो कार्ड निकालने की संभावना है:

9/36*8/35=0.0571, या 5.7%

और पहले हीरे नहीं, और फिर हीरे निकालने की संभावना बराबर है:

27/36*9/35=0.19, या 19%

यह देखा जा सकता है कि घटना बी के घटित होने की संभावना अधिक है, बशर्ते कि निकाला गया पहला कार्ड हीरे के अलावा किसी अन्य सूट का हो। यह परिणाम काफी तार्किक और समझने योग्य है।

किसी घटना की कुल संभावना

जब सशर्त संभावनाओं वाली कोई समस्या बहुआयामी हो जाती है, तो पारंपरिक तरीकों का उपयोग करके इसकी गणना नहीं की जा सकती है। जब दो से अधिक परिकल्पनाएँ होती हैं, अर्थात् A1, A2,…, A n, .. तो घटनाओं का एक पूरा समूह बनता है:

• P(A i)>0, i=1,2,…
• ए आई ∩ ए जे =Ø,आई≠जे.
• Σ क ए क =Ω.

तो, यादृच्छिक घटनाओं A1, A2,..., A n के पूर्ण समूह के साथ घटना B की कुल संभाव्यता का सूत्र इसके बराबर है:

भविष्य पर एक नजर

विज्ञान के कई क्षेत्रों में एक यादृच्छिक घटना की संभावना अत्यंत आवश्यक है: अर्थमिति, सांख्यिकी, भौतिकी, आदि। चूंकि कुछ प्रक्रियाओं को नियतात्मक रूप से वर्णित नहीं किया जा सकता है, क्योंकि वे स्वयं प्रकृति में संभाव्य हैं, इसलिए विशेष कार्य विधियों की आवश्यकता होती है। घटना संभाव्यता के सिद्धांत का उपयोग किसी भी तकनीकी क्षेत्र में किसी त्रुटि या खराबी की संभावना को निर्धारित करने के तरीके के रूप में किया जा सकता है।

हम कह सकते हैं कि संभाव्यता को पहचानकर, हम किसी तरह भविष्य में एक सैद्धांतिक कदम उठाते हैं, इसे सूत्रों के चश्मे से देखते हैं।

1. मुख्य प्रमेय और संभाव्यता सूत्रों की प्रस्तुति: जोड़ प्रमेय, सशर्त संभाव्यता, गुणन प्रमेय, घटनाओं की स्वतंत्रता, कुल संभाव्यता सूत्र।

लक्ष्य:किसी घटना की संभाव्यता की अवधारणा को पेश करने के लिए अनुकूल परिस्थितियों का निर्माण करना; संभाव्यता सिद्धांत के बुनियादी प्रमेयों और सूत्रों से परिचित होना; कुल संभाव्यता सूत्र का परिचय दें।

पाठ की प्रगति:

यादृच्छिक प्रयोग (अनुभव)एक ऐसी प्रक्रिया है जिसमें विभिन्न परिणाम संभव हैं, और पहले से भविष्यवाणी करना असंभव है कि परिणाम क्या होगा। किसी प्रयोग के संभावित परस्पर अनन्य परिणामों को उसका कहा जाता है प्राथमिक घटनाएँ . हम प्रारंभिक घटनाओं के समुच्चय को W से निरूपित करते हैं।

यादृच्छिक घटनाएक ऐसी घटना है जिसके बारे में पहले से यह कहना असंभव है कि यह अनुभव के परिणामस्वरूप घटित होगी या नहीं। किसी प्रयोग के परिणामस्वरूप घटित प्रत्येक यादृच्छिक घटना A को W की प्रारंभिक घटनाओं के समूह से जोड़ा जा सकता है। इस समूह में शामिल प्रारंभिक घटनाओं को कहा जाता है घटना ए के घटित होने के लिए अनुकूल।

समुच्चय W को एक यादृच्छिक घटना भी माना जा सकता है। चूँकि इसमें सभी प्राथमिक घटनाएँ शामिल हैं, यह निश्चित रूप से अनुभव के परिणामस्वरूप घटित होगी। ऐसी घटना कहलाती है भरोसेमंद .

यदि किसी दी गई घटना के लिए W से कोई अनुकूल प्राथमिक घटनाएँ नहीं हैं, तो यह प्रयोग के परिणामस्वरूप घटित नहीं हो सकती है। ऐसी घटना कहलाती है असंभव।

घटनाएँ कहलाती हैं समान रूप से संभव , यदि परीक्षण के परिणामस्वरूप इन घटनाओं के घटित होने का समान अवसर मिलता है। दो यादृच्छिक घटनाएँ कहलाती हैं विलोम , यदि प्रयोग के परिणामस्वरूप उनमें से एक घटित होता है, यदि और केवल यदि दूसरा घटित नहीं होता है। घटना A के विपरीत घटना को द्वारा निरूपित किया जाता है।

घटनाएँ A और B कहलाती हैं असंगत , यदि उनमें से एक की उपस्थिति दूसरे की उपस्थिति को बाहर कर देती है। घटनाएँ A 1, A 2, ..., A n कहलाती हैं जोड़ीवार असंगत, यदि उनमें से कोई दो असंगत हैं। घटनाएँ ए 1, ए 2, ..., एक रूप जोड़ीवार असंगत घटनाओं की एक पूरी प्रणाली , यदि परीक्षण के परिणामस्वरूप उनमें से एक और केवल एक का घटित होना निश्चित है।

घटनाओं का योग (संघ)। A 1, A 2, ..., A n ऐसी घटना C कहलाती है, जिसमें यह तथ्य शामिल होता है कि A 1, A 2, ..., A n में से कम से कम एक घटना घटित होती है इस प्रकार दर्शाया गया है:

सी = ए 1 +ए 2 +…+ए एन।

घटनाओं का उत्पाद (प्रतिच्छेदन)। A 1, A 2, ..., A n ऐसी घटना P कहलाती है, जिसमें यह तथ्य शामिल होता है कि सभी घटनाएँ A 1, A 2, ..., A n एक साथ घटित हुईं। घटनाओं के उत्पादन का संकेत दिया गया है

संभाव्यता सिद्धांत में संभाव्यता पी(ए) किसी विशिष्ट यादृच्छिक घटना ए के घटित होने की संभावना की डिग्री की एक संख्यात्मक विशेषता के रूप में कार्य करती है जब परीक्षण कई बार दोहराए जाते हैं।

मान लीजिए कि पासे की 1000 बार फेंकने पर संख्या 4 160 बार आती है। अनुपात 160/1000 = 0.16 परीक्षणों की दी गई श्रृंखला में संख्या 4 की सापेक्ष आवृत्ति को दर्शाता है। अधिक सामान्य मामले में किसी यादृच्छिक घटना की आवृत्ति और प्रयोगों की एक श्रृंखला आयोजित करते समय, उन प्रयोगों की संख्या का अनुपात जिसमें एक दी गई घटना घटित हुई प्रयोगों की कुल संख्या से अनुपात कहलाता है:

जहां P*(A) घटना A की आवृत्ति है; m उन प्रयोगों की संख्या है जिनमें घटना A घटित हुई; n प्रयोगों की कुल संख्या है.

एक यादृच्छिक घटना की संभावनाऔर वे एक स्थिर संख्या कहते हैं जिसके चारों ओर प्रयोगों की संख्या बढ़ने पर किसी दिए गए घटना की आवृत्तियों को समूहीकृत किया जाता है ( किसी घटना की संभाव्यता का सांख्यिकीय निर्धारण ). किसी यादृच्छिक घटना की प्रायिकता को P(A) द्वारा दर्शाया जाता है।

स्वाभाविक रूप से, संभावना निर्धारित करने के लिए कोई भी कभी भी असीमित संख्या में परीक्षण करने में सक्षम नहीं होगा। इसकी कोई जरूरत नहीं है. व्यवहार में, बड़ी संख्या में परीक्षणों में किसी घटना की आवृत्ति को संभाव्यता के रूप में लिया जा सकता है। उदाहरण के लिए, कई वर्षों के अवलोकन के बाद स्थापित जन्म के सांख्यिकीय पैटर्न से, इस घटना की संभावना कि नवजात शिशु लड़का होगा, 0.515 अनुमानित है।

यदि परीक्षण के दौरान कोई कारण नहीं है जिसके कारण एक यादृच्छिक घटना दूसरों की तुलना में अधिक बार सामने आएगी ( समान रूप से संभव घटनाएँ), सैद्धांतिक विचारों के आधार पर संभाव्यता निर्धारित की जा सकती है। उदाहरण के लिए, आइए एक सिक्का उछालने की स्थिति में हथियारों के कोट के गिरने की आवृत्ति (घटना ए) का पता लगाएं। कई हजार परीक्षणों से अधिक विभिन्न प्रयोगकर्ताओं ने दिखाया है कि ऐसी घटना की सापेक्ष आवृत्ति 0.5 के करीब मान लेती है। यह मानते हुए कि यदि सिक्का सममित है तो हथियारों के कोट की उपस्थिति और सिक्के के विपरीत पक्ष (घटना बी) समान रूप से संभव घटनाएं हैं, आवृत्ति निर्धारित किए बिना निर्णय पी (ए) = पी (बी) = 0.5 किया जा सकता है इन घटनाओं का. घटनाओं की "समान संभावना" की अवधारणा के आधार पर, संभाव्यता की एक और परिभाषा तैयार की गई है।

मान लीजिए कि विचाराधीन घटना A, m मामलों में घटित होती है, जिन्हें A के लिए अनुकूल कहा जाता है, और शेष n-m में घटित नहीं होती, जो A के लिए प्रतिकूल होती हैं।

तब घटना ए की संभावना उसके अनुकूल प्रारंभिक घटनाओं की संख्या और उनकी कुल संख्या के अनुपात के बराबर होती है(किसी घटना की संभाव्यता की शास्त्रीय परिभाषा):

जहाँ m घटना A के अनुकूल प्राथमिक घटनाओं की संख्या है; n - प्रारंभिक घटनाओं की कुल संख्या।

आइए कुछ उदाहरण देखें:

उदाहरण 1:एक कलश में 40 गेंदें हैं: 10 काली और 30 सफेद। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि यादृच्छिक रूप से चुनी गई गेंद काली होगी।

अनुकूल मामलों की संख्या कलश में काली गेंदों की संख्या के बराबर है: एम = 10। समान रूप से संभावित घटनाओं की कुल संख्या (एक गेंद को बाहर निकालना) कलश में गेंदों की कुल संख्या के बराबर है: एन = 40। ये घटनाएँ असंगत हैं, क्योंकि एक और केवल एक ही गेंद निकाली जाती है। पी(ए) = 10/40 = 0.25

उदाहरण #2:पासा फेंकने पर सम संख्या प्राप्त होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

एक पासा फेंकते समय, छह समान रूप से संभव असंगत घटनाएं घटित होती हैं: एक संख्या की उपस्थिति: 1,2,3,4,5 या 6, अर्थात। n = 6. अनुकूल मामले संख्या 2,4 या 6 में से किसी एक की घटना हैं: m = 3. वांछित संभावना P(A) = m/N = 3/6 = ½।

जैसा कि हम किसी घटना की संभाव्यता की परिभाषा से देखते हैं, सभी घटनाओं के लिए

0 < Р(А) < 1.

जाहिर है, एक विश्वसनीय घटना की संभावना 1 है, एक असंभव घटना की संभावना 0 है।

संभावनाओं के योग का प्रमेय: कई असंगत घटनाओं में से एक (कोई फर्क नहीं पड़ता) घटना के घटित होने की संभावना उनकी संभावनाओं के योग के बराबर है।

दो असंगत घटनाओं A और B के लिए, इन घटनाओं की संभावनाएँ उनकी संभावनाओं के योग के बराबर हैं:

पी(ए या बी) = पी(ए) + पी(बी).

उदाहरण #3:पासा फेंकने पर 1 या 6 आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

घटनाएँ A (रोलिंग 1) और B (रोलिंग 6) समान रूप से संभव हैं: P(A) = P(B) = 1/6, इसलिए P(A या B) = 1/6 + 1/6 = 1/3

संभावनाओं का जोड़ न केवल दो के लिए, बल्कि किसी भी संख्या में असंगत घटनाओं के लिए भी मान्य है।

उदाहरण #4:कलश में 50 गेंदें हैं: 10 सफेद, 20 काली, 5 लाल और 15 नीली। कलश से एक गेंद को निकालने के एक ही ऑपरेशन के दौरान एक सफेद, या काली, या लाल गेंद के दिखाई देने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

सफेद गेंद (घटना A) निकालने की प्रायिकता P(A) = 10/50 = 1/5 है, काली गेंद (घटना B) निकालने की प्रायिकता P(B) = 20/50 = 2/5 है और लाल गेंद ( घटना सी) पी (सी) = 5/50 = 1/10 है। यहां से, संभावनाओं को जोड़ने के सूत्र का उपयोग करके, हमें P(A या B या C) = P(A) + P(B) = P(C) = 1/5 + 2/5 + 1/10 = 7/ मिलता है। 10

संभावनाओं के योग के प्रमेय के अनुसार, दो विपरीत घटनाओं की संभावनाओं का योग एक के बराबर है:

पी(ए) + पी() = 1

उपरोक्त उदाहरण में, एक सफेद, काली और लाल गेंद निकालने पर घटना A 1, P(A 1) = 7/10 होगी। 1 की विपरीत घटना नीली गेंद निकालना है। चूँकि 15 नीली गेंदें हैं, और गेंदों की कुल संख्या 50 है, हमें P(1) = 15/50 = 3/10 और P(A) + P() = 7/10 +3/10 = 1 मिलता है।

यदि घटनाएँ A 1, A 2, ..., A n जोड़ीवार असंगत घटनाओं की एक पूरी प्रणाली बनाती हैं, तो उनकी संभावनाओं का योग 1 के बराबर होता है।

सामान्य तौर पर, दो घटनाओं ए और बी के योग की संभावना की गणना इस प्रकार की जाती है

पी(ए+बी) = पी(ए) + पी(बी) - पी(एबी)।

संभाव्यता गुणन प्रमेय:

घटनाएँ A और B कहलाती हैं स्वतंत्र , यदि घटना A के घटित होने की संभावना इस बात पर निर्भर नहीं करती है कि घटना B घटित हुई है या नहीं, और इसके विपरीत, घटना B के घटित होने की संभावना इस बात पर निर्भर नहीं करती है कि घटना A घटित हुई है या नहीं।

स्वतंत्र घटनाओं के संयुक्त घटित होने की प्रायिकता उनकी संभावनाओं के गुणनफल के बराबर होती है. दो घटनाओं के लिए पी(ए और बी)=पी(ए)·पी(बी).

उदाहरण:एक कलश में 5 काली और 10 सफेद गेंदें हैं, दूसरे में 3 काली और 17 सफेद गेंदें हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि जब प्रत्येक कलश से पहली बार गेंदें निकाली जाएंगी, तो दोनों गेंदें काली होंगी।

समाधान: पहले कलश (घटना A) से काली गेंद निकालने की प्रायिकता P(A) = 5/15 = 1/3 है, दूसरे कलश (घटना B) से काली गेंद निकालने की प्रायिकता P(B) = 3/ है 20

पी(ए और बी)=पी(ए)·पी(बी) = (1/3)(3/20) = 3/60 = 1/20।

व्यवहार में, घटना बी की संभावना अक्सर इस बात पर निर्भर करती है कि कोई अन्य घटना ए घटित हुई है या नहीं। ऐसे में वे बात करते हैं सशर्त संभाव्यता , अर्थात। घटना बी की संभावना, बशर्ते कि घटना ए घटित हो। सशर्त संभाव्यता को P(B/A) द्वारा दर्शाया जाता है।

घटनाओं की उनकी संभावना की डिग्री के अनुसार एक दूसरे के साथ मात्रात्मक रूप से तुलना करने के लिए, जाहिर है, प्रत्येक घटना के साथ एक निश्चित संख्या को जोड़ना आवश्यक है, जो जितनी अधिक होगी, घटना उतनी ही अधिक संभव होगी। इस संख्या को हम किसी घटना की प्रायिकता कहेंगे। इस प्रकार, किसी घटना की संभावनाइस घटना की वस्तुनिष्ठ संभावना की डिग्री का एक संख्यात्मक माप है।

संभाव्यता की पहली परिभाषा को शास्त्रीय माना जाना चाहिए, जो जुए के विश्लेषण से उत्पन्न हुई थी और शुरू में सहज रूप से लागू की गई थी।

संभाव्यता निर्धारित करने की शास्त्रीय विधि समान रूप से संभव और असंगत घटनाओं की अवधारणा पर आधारित है, जो किसी दिए गए अनुभव के परिणाम हैं और असंगत घटनाओं का एक पूरा समूह बनाते हैं।

पूर्ण समूह बनाने वाली समान रूप से संभव और असंगत घटनाओं का सबसे सरल उदाहरण एक कलश से एक या दूसरी गेंद की उपस्थिति है जिसमें समान आकार, वजन और अन्य मूर्त विशेषताओं की कई गेंदें होती हैं, जो केवल रंग में भिन्न होती हैं, हटाए जाने से पहले अच्छी तरह से मिश्रित होती हैं।

इसलिए, एक परीक्षण जिसके परिणाम असंगत और समान रूप से संभव घटनाओं का एक पूरा समूह बनाते हैं, उसे कलशों के एक पैटर्न, या मामलों के एक पैटर्न के लिए कम करने योग्य कहा जाता है, या शास्त्रीय पैटर्न में फिट बैठता है।

समान रूप से संभव और असंगत घटनाएँ जो एक संपूर्ण समूह बनाती हैं, उन्हें केवल मामले या संभावनाएँ कहा जाएगा। इसके अलावा, प्रत्येक प्रयोग में, मामलों के साथ-साथ, अधिक जटिल घटनाएँ भी घटित हो सकती हैं।

उदाहरण: पासा फेंकते समय, ए आई - ऊपरी तरफ आई-अंकों की हानि के साथ, हम ऐसी घटनाओं पर विचार कर सकते हैं जैसे बी - सम संख्या में अंकों की हानि, सी - कई अंकों की हानि वे बिंदु जो तीन का गुणज हैं...

प्रयोग के दौरान घटित होने वाली प्रत्येक घटना के संबंध में मामलों को विभाजित किया गया है अनुकूल, जिसमें यह घटना घटित होती है, और प्रतिकूल, जिसमें यह घटना घटित नहीं होती है। पिछले उदाहरण में, घटना बी को मामलों ए 2, ए 4, ए 6 द्वारा समर्थन दिया गया है; घटना सी - मामले ए 3, ए 6।

शास्त्रीय संभाव्यताकिसी निश्चित घटना के घटित होने को इस घटना के घटित होने के लिए अनुकूल मामलों की संख्या और समान रूप से संभव, असंगत मामलों की कुल संख्या का अनुपात कहा जाता है जो किसी दिए गए प्रयोग में पूरा समूह बनाते हैं:

कहाँ पी(ए)- घटना ए के घटित होने की संभावना; एम- घटना ए के अनुकूल मामलों की संख्या; एन- मामलों की कुल संख्या.

उदाहरण:

1) (ऊपर उदाहरण देखें) पी(बी)= , पी(सी)=.

2) कलश में 9 लाल और 6 नीली गेंदें हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि यादृच्छिक रूप से निकाली गई एक या दो गेंदें लाल निकलेंगी।

ए- यादृच्छिक रूप से निकाली गई एक लाल गेंद:

एम= 9, एन= 9 + 6 = 15, पी(ए)=

बी- दो लाल गेंदें यादृच्छिक रूप से निकाली गईं:

निम्नलिखित गुण संभाव्यता की शास्त्रीय परिभाषा से अनुसरण करते हैं (स्वयं को दिखाएं):

1) एक असंभव घटना की संभावना 0 है;

2) किसी विश्वसनीय घटना की प्रायिकता 1 है;

3) किसी भी घटना की संभावना 0 और 1 के बीच होती है;

4) घटना A के विपरीत घटना की प्रायिकता,

संभाव्यता की क्लासिक परिभाषा मानती है कि किसी परीक्षण के परिणामों की संख्या सीमित है। व्यवहार में, अक्सर परीक्षण होते हैं, जिनमें से संभावित मामलों की संख्या अनंत होती है। इसके अलावा, शास्त्रीय परिभाषा की कमजोरी यह है कि अक्सर किसी परीक्षण के परिणाम को प्राथमिक घटनाओं के सेट के रूप में प्रस्तुत करना असंभव होता है। किसी परीक्षण के प्रारंभिक परिणामों को समान रूप से संभव मानने के कारणों को इंगित करना और भी कठिन है। आमतौर पर, प्रारंभिक परीक्षण परिणामों की समसंभावना का निष्कर्ष समरूपता के विचार से निकाला जाता है। हालाँकि, व्यवहार में ऐसे कार्य बहुत कम होते हैं। इन्हीं कारणों से संभाव्यता की शास्त्रीय परिभाषा के साथ-साथ संभाव्यता की अन्य परिभाषाओं का भी प्रयोग किया जाता है।

सांख्यिकीय संभाव्यताघटना ए, किए गए परीक्षणों में इस घटना के घटित होने की सापेक्ष आवृत्ति है:

घटना ए के घटित होने की संभावना कहां है;

घटना ए की घटना की सापेक्ष आवृत्ति;

उन परीक्षणों की संख्या जिनमें घटना A उपस्थित हुई;

परीक्षणों की कुल संख्या.

शास्त्रीय संभाव्यता के विपरीत, सांख्यिकीय संभाव्यता प्रयोगात्मक संभाव्यता की एक विशेषता है।

उदाहरण: एक बैच से उत्पादों की गुणवत्ता को नियंत्रित करने के लिए, यादृच्छिक रूप से 100 उत्पादों का चयन किया गया, जिनमें से 3 उत्पाद दोषपूर्ण निकले। विवाह की संभावना ज्ञात कीजिए।

संभाव्यता निर्धारित करने की सांख्यिकीय विधि केवल उन घटनाओं पर लागू होती है जिनमें निम्नलिखित गुण होते हैं:

विचाराधीन घटनाएँ केवल उन परीक्षणों के परिणाम होनी चाहिए जिन्हें समान परिस्थितियों में असीमित संख्या में दोहराया जा सकता है।

घटनाओं में सांख्यिकीय स्थिरता (या सापेक्ष आवृत्तियों की स्थिरता) होनी चाहिए। इसका मतलब यह है कि परीक्षणों की विभिन्न श्रृंखलाओं में घटना की सापेक्ष आवृत्ति में थोड़ा बदलाव होता है।

घटना A के परिणामस्वरूप होने वाले परीक्षणों की संख्या काफी बड़ी होनी चाहिए।

यह सत्यापित करना आसान है कि शास्त्रीय परिभाषा से उत्पन्न होने वाली संभाव्यता के गुण संभाव्यता की सांख्यिकीय परिभाषा में भी संरक्षित हैं।