2 पासे फेंके जाते हैं और प्रायिकता बराबर होती है। पासा फेंकने की समस्या का समाधान

संभाव्यता सिद्धांत में एक और लोकप्रिय समस्या (सिक्का उछालने की समस्या के साथ) है पासा उछालने की समस्या.

आमतौर पर कार्य इस तरह लगता है: एक या अधिक पासे फेंके जाते हैं (आमतौर पर 2, कम अक्सर 3)। आपको इसकी प्रायिकता ज्ञात करनी होगी कि अंकों की संख्या 4 है, या अंकों का योग 10 है, या अंकों की संख्या का गुणनफल 2 से विभाज्य है, या अंकों की संख्या में 3 का अंतर है, इत्यादि।

ऐसी समस्याओं को हल करने की मुख्य विधि शास्त्रीय संभाव्यता सूत्र का उपयोग करना है, जिसका विश्लेषण हम नीचे दिए गए उदाहरणों का उपयोग करके करेंगे।

समाधान विधियों से खुद को परिचित करने के बाद, आप 2 पासे फेंकने के लिए एक अति-उपयोगी समाधान डाउनलोड कर सकते हैं (तालिकाओं और उदाहरणों के साथ)।

एक पासा

एक पासे के साथ स्थिति बेहद सरल है। मैं आपको याद दिला दूं कि संभाव्यता सूत्र $P=m/n$ द्वारा पाई जाती है, जहां $n$ एक घन या पासा उछालने के प्रयोग के सभी समान रूप से संभव प्रारंभिक परिणामों की संख्या है, और $m$ संख्या है उन परिणामों में से जो घटना के पक्ष में हों।

उदाहरण 1। पासा एक बार फेंका जाता है। इसकी क्या संभावना है कि ऐसा हुआ सम संख्याचश्मा?

चूँकि पासा एक घन है (वे यह भी कहते हैं निष्पक्ष पासा, अर्थात्, घन संतुलित है, इसलिए यह समान संभावना के साथ सभी पक्षों पर उतरता है), घन की 6 भुजाएँ हैं (1 से 6 तक अंकों की संख्या के साथ, आमतौर पर बिंदुओं द्वारा इंगित किया जाता है), तो कुल गणनासमस्या में परिणाम $n=6$। घटना के पक्ष में एकमात्र परिणाम तब होते हैं जब 2, 4 या 6 अंक (केवल एक भी) वाला पक्ष बाहर हो जाता है, ऐसे पक्ष $m=3$ होते हैं; तब वांछित संभावना $P=3/6=1/2=0.5$ के बराबर है।

उदाहरण 2. पासे फेंके जाते हैं. कम से कम 5 अंक लुढ़कने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

हम पिछले उदाहरण की तरह ही तर्क करते हैं। कुल संख्या है संभावित नतीजेपासा फेंकते समय $n=6$, और शर्त "कम से कम 5 अंक लुढ़के", यानी, "या तो 5 या 6 अंक लुढ़के", 2 परिणाम संतुष्ट होते हैं, $m=2$। आवश्यक प्रायिकता $P=2/6=1/3=0.333$ है।

मुझे और उदाहरण देने का कोई मतलब नहीं दिखता, आइए दो पासों पर चलते हैं, जहां सब कुछ अधिक दिलचस्प और जटिल हो जाता है।

दो पासे

कब हम बात कर रहे हैं 2 पासे फेंकने में होने वाली समस्याओं के बारे में, उपयोग करने में बहुत सुविधाजनक अंक तालिका. आइए हम क्षैतिज रूप से पहले पासे पर गिरे अंकों की संख्या और दूसरे पासे पर गिरे अंकों की ऊर्ध्वाधर रूप से गणना करें। आइए कुछ इस तरह से प्राप्त करें (मैं आमतौर पर इसे एक्सेल में करता हूं, आप फ़ाइल डाउनलोड कर सकते हैं):

आप पूछते हैं, तालिका कक्षों में क्या है? और यह इस बात पर निर्भर करता है कि हम किस समस्या का समाधान करेंगे। अंकों के योग के बारे में एक कार्य होगा - हम वहां योग लिखेंगे, अंतर के बारे में - हम अंतर लिखेंगे इत्यादि। आएँ शुरू करें?

उदाहरण 3. एक ही समय में 2 पासे फेंके जाते हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि कुल 5 अंक से कम होगा।

सबसे पहले, आइए प्रयोग के परिणामों की कुल संख्या देखें। जब हमने एक पासा फेंका, तो सब कुछ स्पष्ट था, 6 पक्ष - 6 परिणाम। यहां पहले से ही दो पासे हैं, इसलिए परिणामों को $(x,y)$ के रूप की संख्याओं के क्रमित जोड़े के रूप में दर्शाया जा सकता है, जहां $x$ यह है कि पहले पासे पर कितने अंक गिरे (1 से 6 तक), $ y$ यह है कि दूसरे पासे पर कितने अंक गिरे (1 से 6 तक)। जाहिर है, संख्याओं के ऐसे जोड़े की कुल संख्या $n=6\cdot 6=36$ होगी (और वे परिणामों की तालिका में बिल्कुल 36 कोशिकाओं के अनुरूप हैं)।

अब तालिका भरने का समय आ गया है। प्रत्येक सेल में हम पहले और दूसरे पासे पर फेंके गए अंकों की संख्या का योग दर्ज करते हैं और हमें निम्नलिखित चित्र मिलता है:

अब यह तालिका हमें घटना के अनुकूल परिणामों की संख्या खोजने में मदद करेगी "कुल मिलाकर 5 से कम अंक दिखाई देंगे।" ऐसा करने के लिए, हम उन कोशिकाओं की संख्या की गणना करते हैं जिनमें योग मान 5 से कम है (अर्थात, 2, 3 या 4)। स्पष्टता के लिए, आइए इन कोशिकाओं को रंग दें, वहां $m=6$ होंगे:

तब प्रायिकता इसके बराबर है: $P=6/36=1/6$.

उदाहरण 4. दो पासे फेंके जाते हैं. प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि अंकों की संख्या का गुणनफल 3 से विभाज्य है।

हम पहले और दूसरे पासे पर फेंके गए अंकों के उत्पादों की एक तालिका बनाते हैं। हम तुरंत उन संख्याओं को उजागर करते हैं जो 3 के गुणज हैं:

जो कुछ बचता है वह यह लिखना है कि परिणामों की कुल संख्या $n=36$ है (पिछला उदाहरण देखें, तर्क समान है), और अनुकूल परिणामों की संख्या (उपरोक्त तालिका में छायांकित कोशिकाओं की संख्या) है $m=20$. तब घटना की प्रायिकता $P=20/36=5/9$ के बराबर होगी।

जैसा कि आप देख सकते हैं, इस प्रकार की समस्या, उचित तैयारी के साथ (आइए कुछ और समस्याओं पर गौर करें), जल्दी और आसानी से हल की जा सकती है। विविधता के लिए, आइए एक अलग तालिका के साथ एक और कार्य करें (सभी तालिकाएँ पृष्ठ के नीचे डाउनलोड की जा सकती हैं)।

उदाहरण 5. पासे दो बार फेंके जाते हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि पहले और दूसरे पासे पर अंकों की संख्या में अंतर 2 से 5 तक होगा।

आइए स्कोर अंतर की एक तालिका लिखें, इसमें उन कोशिकाओं को हाइलाइट करें जिनमें अंतर मान 2 और 5 के बीच होगा:

तो, समान रूप से संभावित प्रारंभिक परिणामों की कुल संख्या $n=36$ है, और अनुकूल परिणामों की संख्या (उपरोक्त तालिका में छायांकित कोशिकाओं की संख्या) $m=10$ है। तब घटना की प्रायिकता $P=10/36=5/18$ के बराबर होगी।

इसलिए, उस स्थिति में जब हम 2 पासे फेंकने और एक साधारण घटना के बारे में बात कर रहे हैं, आपको एक तालिका बनाने की ज़रूरत है, उसमें आवश्यक कोशिकाओं का चयन करें और उनकी संख्या को 36 से विभाजित करें, यह संभावना होगी। अंकों की संख्या के योग, गुणनफल और अंतर पर समस्याओं के अलावा, अंतर के मापांक, निकाले गए अंकों की सबसे छोटी और सबसे बड़ी संख्या पर भी समस्याएं हैं (आपको इसमें उपयुक्त तालिकाएं मिलेंगी)।

पासों और घनों के बारे में अन्य समस्याएँ

बेशक, मामला ऊपर चर्चा की गई पासा फेंकने की समस्याओं के दो वर्गों तक ही सीमित नहीं है (वे समस्या पुस्तकों और प्रशिक्षण मैनुअल में सबसे अधिक बार सामने आते हैं), अन्य भी हैं। अनुमानित समाधान विधि की विविधता और समझ के लिए, हम तीन और विशिष्ट उदाहरणों का विश्लेषण करेंगे: 3 पासे फेंकने के लिए, सशर्त संभाव्यता के लिए और बर्नौली के सूत्र के लिए।

उदाहरण 6. 3 पासे फेंके जाते हैं. कुल 15 अंक होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

3 पासों के मामले में, तालिकाएँ कम बार बनाई जाती हैं, क्योंकि आपको 6 टुकड़ों की आवश्यकता होगी (और एक नहीं, जैसा कि ऊपर बताया गया है), वे केवल आवश्यक संयोजनों के माध्यम से खोज कर प्राप्त कर लेते हैं।

आइए प्रयोग के परिणामों की कुल संख्या ज्ञात करें। परिणामों को $(x,y,z)$ के रूप की संख्याओं के क्रमबद्ध त्रिक के रूप में दर्शाया जा सकता है, जहां $x$ है कि पहले पासे पर कितने अंक गिरे (1 से 6 तक), $y$ है कि कितने अंक गिरे दूसरे पासे पर (1 से 6 तक), $z$ - तीसरे पासे पर कितने अंक लुढ़के (1 से 6 तक)। जाहिर है, संख्याओं के ऐसे त्रिगुणों की कुल संख्या $n=6\cdot 6\cdot 6=216$ होगी।

आइए अब उन परिणामों का चयन करें जो कुल 15 अंक देते हैं।

$$ (3,6,6), (6,3,6), (6,6,3),\\ (4,5,6), (4,6,5), (5,4,6), (6,5,4), (5,6,4), (6,4,5),\\ (5,5,5). $$

हमें $m=3+6+1=10$ परिणाम मिले। आवश्यक प्रायिकता $P=10/216=0.046$ है।

उदाहरण 7. 2 पासे फेंके जाते हैं. प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि पहला पासा 4 अंक से अधिक नहीं लुढ़केगा, बशर्ते कि अंकों की कुल संख्या सम हो।

इस समस्या को हल करने का सबसे आसान तरीका पहले की तरह फिर से तालिका का उपयोग करना है (सब कुछ स्पष्ट हो जाएगा)। हम अंकों के योग की एक तालिका लिखते हैं और केवल सम मान वाले कक्षों का चयन करते हैं:

हमने पाया कि प्रायोगिक स्थितियों के अनुसार, 36 नहीं, बल्कि $n=18$ परिणाम हैं (जब अंकों का योग सम है)।

अब इन कोशिकाओं सेआइए केवल उन लोगों का चयन करें जो घटना के अनुरूप हैं "पहले पासे पर 4 से अधिक अंक नहीं" - अर्थात, वास्तव में, तालिका की पहली 4 पंक्तियों में कोशिकाएं (नारंगी रंग में हाइलाइट की गई), $m= होंगी 12$.

आवश्यक प्रायिकता $P=12/18=2/3.$

वही कार्य हो सकता है अलग ढंग से निर्णय लेंसशर्त संभाव्यता सूत्र का उपयोग करना। आइए घटनाओं में प्रवेश करें:
ए = अंकों की संख्या का योग सम है
बी = पहले पासे पर 4 से अधिक अंक नहीं लुढ़के
एबी = अंकों की संख्या का योग सम है और पहले पासे पर 4 से अधिक अंक नहीं फेंके गए
फिर वांछित संभाव्यता के सूत्र का रूप इस प्रकार है: $$ P(B|A)=\frac(P(AB))(P(A)). $$ संभावनाएँ ढूँढना। परिणामों की कुल संख्या $n=36$ है, घटना A के लिए अनुकूल परिणामों की संख्या (ऊपर तालिकाएँ देखें) $m(A)=18$ है, और घटना AB के लिए - $m(AB)=12$ है। हमें मिलता है: $$ P(A)=\frac(m(A))(n)=\frac(18)(36)=\frac(1)(2); \quad P(AB)=\frac(m(AB))(n)=\frac(12)(36)=\frac(1)(3);\\ P(B|A)=\frac(P (AB))(P(A))=\frac(1/3)(1/2)=\frac(2)(3). $$ उत्तर वही थे।

उदाहरण 8. पासे को 4 बार फेंका जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि सम संख्या में अंक ठीक 3 बार आएंगे।

मामले में जब पासा कई बार फेंकता है, और घटना राशि, उत्पाद आदि के बारे में नहीं है। अभिन्न विशेषताएँ, लेकिन केवल के बारे में बूंदों की संख्या खास प्रकार का, का उपयोग संभाव्यता की गणना के लिए किया जा सकता है

शास्त्रीय परिभाषा के साथ, किसी घटना की संभावना समानता से निर्धारित होती है

कहां एम - घटना ए की घटना के अनुरूप प्रारंभिक परीक्षण परिणामों की संख्या;एन - संभावित प्रारंभिक परीक्षण परिणामों की कुल संख्या। यह माना जाता है कि प्राथमिक परिणाम ही एकमात्र संभव और समान रूप से संभव हैं।

घटना A की सापेक्ष आवृत्ति समानता द्वारा निर्धारित की जाती है

कहां एम - उन परीक्षणों की संख्या जिनमें घटना A घटित हुई;एन - किए गए परीक्षणों की कुल संख्या। सांख्यिकीय रूप से निर्धारण करते समय किसी घटना की प्रायिकता को उसकी सापेक्ष आवृत्ति माना जाता है।

उदाहरण 1.1. दो पासे फेंके जाते हैं. प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि फेंके गए पक्षों पर अंकों का योग सम है, और कम से कम एक पासे के किनारे पर छक्का दिखाई देता है।

समाधान।"पहले" के गिरे हुए किनारे पर पासाएक अंक, दो अंक,..., छह अंक प्रकट हो सकते हैं। इसी प्रकार, "दूसरा" पासा फेंकने पर छह प्राथमिक परिणाम संभव हैं। "पहला" पासा फेंकने के प्रत्येक परिणाम को "दूसरा" पासा फेंकने के प्रत्येक परिणाम के साथ जोड़ा जा सकता है। इस प्रकार, संभावित प्रारंभिक परीक्षण परिणामों की कुल संख्या 6∙6 = 36 है।

जिस घटना में हम रुचि रखते हैं उसके अनुकूल परिणाम (एक तरफ कम से कम छह दिखाई देंगे, लुढ़के अंकों का योग सम है) निम्नलिखित पांच परिणाम हैं (पहला "पहले" पासे पर गिरे अंकों की संख्या है) , दूसरा "दूसरे" पासे पर गिरे अंकों की संख्या है, फिर उनके अंकों का योग:

1.6, 2, 6 + 2 = 8,

2.6, 4, 6 + 4 = 10,

3.6, 6, 6 + 6 = 12.

4.2, 6, 2 + 6 = 8,

5.4, 6, 4 + 6 = 10.

आवश्यक संभाव्यता घटना के अनुकूल परिणामों की संख्या और सभी संभावित प्रारंभिक परिणामों की संख्या के अनुपात के बराबर है:

समस्या 1.1दो पासे फेंके जाते हैं. प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि गिराए गए पक्षों पर अंकों का योग सात है।

समस्या 1.2.दो पासे फेंके जाते हैं. निम्नलिखित घटनाओं की प्रायिकता ज्ञात कीजिए: a) निकाले गए अंकों का योग आठ है और अंतर चार है, b) निकाले गए अंकों का योग आठ है यदि यह ज्ञात है कि उनका अंतर चार है।

समस्या 1.3.दो पासे फेंके जाते हैं. प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि गिराए गए पक्षों पर अंकों का योग पाँच है और गुणनफल चार है।

समस्या 1.4. सिक्के को दो बार उछाला जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि राज्य-चिह्न कम से कम एक बार दिखाई देगा।

इसके बाद, हम एक उदाहरण पर विचार करेंगे जब वस्तुओं की संख्या बढ़ जाती है और परिणामस्वरूप, प्राथमिक परिणामों की कुल संख्या और अनुकूल परिणाम दोनों बढ़ जाते हैं, और उनकी संख्या पहले से ही संयोजनों और प्लेसमेंट के सूत्रों द्वारा निर्धारित की जाएगी।

उदाहरण 1.2 बॉक्स में 10 समान भाग हैं, जिन पर संख्या 1, 2, ..., 10 अंकित हैं। 6 भाग यादृच्छिक रूप से निकाले गए हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि निकाले गए भागों में ये होंगे: a) भाग संख्या 1; बी) भाग संख्या 1 और संख्या 2।

समाधान।संभावित प्रारंभिक परीक्षण परिणामों की कुल संख्या उन तरीकों (संयोजनों) की संख्या के बराबर है जिनके द्वारा 10 में से 6 भाग निकाले जा सकते हैं, अर्थात। 6 10 से.

क) आइए हमारी रुचि की घटना के अनुकूल परिणामों की संख्या गिनें: चयनित छह भागों में से एक भाग संख्या 1 है और इसलिए, शेष 5 भागों की अलग-अलग संख्याएँ हैं। ऐसे परिणामों की संख्या स्पष्ट रूप से उन तरीकों की संख्या के बराबर है जिनसे शेष 9 में से 5 भागों का चयन किया जा सकता है, अर्थात। 5 9 से .

आवश्यक संभाव्यता घटना के अनुकूल परिणामों की संख्या और संभावित प्रारंभिक परिणामों की कुल संख्या के अनुपात के बराबर है:

बी) हमारे लिए रुचि की घटना के अनुकूल परिणामों की संख्या (चयनित छह भागों में भाग संख्या 1 और भाग संख्या 2 है, इसलिए, शेष 4 भागों में अलग-अलग संख्याएँ हैं) तरीकों की संख्या के बराबर है शेष 8 में से कौन से 4 भाग चुने जा सकते हैं, अर्थात् 4 8 से .

आवश्यक संभाव्यता

उदाहरण 1.3 . फ़ोन नंबर डायल करते समय, ग्राहक अंतिम तीन अंक भूल गया और, केवल यह याद रखते हुए कि वे अलग-अलग थे, उन्हें यादृच्छिक रूप से डायल किया। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि आवश्यक संख्याएँ डायल कर दी गई हैं।

समाधान।10 अंकों के संभावित प्राथमिक तीन-तत्व संयोजनों की कुल संख्या, जो संरचना और अंकों के क्रम दोनों में भिन्न होती है, 10 अंकों के प्लेसमेंट की संख्या 3 के बराबर होती है, यानी। ए 3 10.

अनुकूल परिणाम - एक.

आवश्यक संभाव्यता

उदाहरण 1.4. N भागों के एक बैच में n होते हैं मानक यादृच्छिक रूप से चयनितएम विवरण। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि चुने गए लोगों में से बिल्कुल सही हैक मानक भाग.

समाधान।परीक्षण के संभावित प्रारंभिक परिणामों की कुल संख्या उन तरीकों की संख्या के बराबर है जिनसे इसे निकालना संभव हैएन भागों से एम भागों, यानी। एम एन के साथ - के संयोजनों की संख्याएन द्वारा एम.

आइए हम जिस घटना में रुचि रखते हैं उसके अनुकूल परिणामों की संख्या गिनेंएम भाग बिल्कुल के मानक): के मानक हिस्से यहां से लिए जा सकते हैंएन मानक भाग सीके एन तौर तरीकों; जबकि बाकीएम-के हिस्से गैर-मानक होने चाहिए: इसे लेंएम-के से गैर मानक भागोंएन–एन गैर-मानक भागों से लिया जा सकता हैएम - के एन - एन तौर तरीकों। इसलिए, अनुकूल परिणामों की संख्या C हैके एन सी एम - के एन - एन।

अभीष्ट प्रायिकता बराबर है

समस्या 1.5.कार्यशाला में 6 पुरुष और 4 महिलाएँ कार्यरत हैं। 7 लोगों को उनके कर्मियों की संख्या का उपयोग करके यादृच्छिक रूप से चुना गया था। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि चयनित व्यक्तियों में 3 महिलाएँ होंगी।

ज्यामितीय संभावनाएँ

चलो खंड एलएक खंड का हिस्सा बनता है एल. एक खंड के लिए एलएक बिंदु यादृच्छिक रूप से बनाया गया था. यदि हम मान लें कि किसी खंड पर एक बिंदु गिरने की प्रायिकता हैएलयह इस खंड की लंबाई के समानुपाती है और खंड के सापेक्ष इसके स्थान पर निर्भर नहीं करता हैएल, तो खंड पर एक बिंदु गिरने की संभावनाएलसमानता से निर्धारित होता है

चलो सपाट आंकड़ाजी एक सपाट आकृति का हिस्सा बनता हैजी। जी आकृति के लिएजी एक बिंदु यादृच्छिक रूप से फेंका जाता है। यदि हम यह मान लें कि किसी फेंके गए बिंदु के किसी आकृति से टकराने की प्रायिकता हैयह इस आकृति के क्षेत्रफल के समानुपाती है और इसके सापेक्ष इसके स्थान पर निर्भर नहीं करता है जी, न तो फॉर्म जी से, तो एक बिंदु के अंक से टकराने की प्रायिकता समानता से निर्धारित होता है

जीएक बिंदु के स्थानिक आकृति में गिरने की संभावना इसी तरह निर्धारित की जाती है वी, जो चित्र का भाग बनता है

वी:उदाहरण 1.5 खंड एल के लिएलंबाई 20 सेमी. एक छोटा खंड रखा गया है एल

लंबाई 10 सेमी. प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि एक बड़े खंड पर यादृच्छिक रूप से रखा गया बिंदु भी एक छोटे खंड पर पड़ेगा।समाधान

: चूँकि किसी खंड पर किसी बिंदु के गिरने की संभावना उसकी लंबाई के समानुपाती होती है और यह उसके स्थान पर निर्भर नहीं करती है, हम उपरोक्त संबंध का उपयोग करेंगे और पाएंगे:उदाहरण 1.6 त्रिज्या R के एक वृत्त मेंत्रिज्या का एक छोटा वृत्त रखा गया है आर

. प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि एक बड़े वृत्त में यादृच्छिक रूप से फेंका गया एक बिंदु भी एक छोटे वृत्त में गिरेगा। समाधान:

चूँकि किसी बिंदु के वृत्त में गिरने की संभावना वृत्त के क्षेत्रफल के समानुपाती होती है और उसके स्थान पर निर्भर नहीं करती है, हम उपरोक्त संबंध का उपयोग करते हैं और पाते हैं:समस्या 1.6.त्रिज्या वृत्त के अंदर आर

एक बिंदु यादृच्छिक रूप से फेंका जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि बिंदु अंकित वृत्त के अंदर होगा: a) एक वर्ग; बी) नियमित त्रिकोण. यह माना जाता है कि किसी बिंदु के वृत्त के एक भाग में गिरने की संभावना इस भाग के क्षेत्रफल के समानुपाती होती है और वृत्त के सापेक्ष उसके स्थान पर निर्भर नहीं करती है।तेजी से घूमने वाली डिस्क को समान संख्या में समान सेक्टरों में विभाजित किया गया है, जो बारी-बारी से सफेद और काले रंग में रंगे हुए हैं। डिस्क पर गोली चलाई गई. इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि गोली सफेद क्षेत्र में से किसी एक पर लगेगी। यह माना जाता है कि एक सपाट आकृति से टकराने की संभावना इस आकृति के क्षेत्रफल के समानुपाती होती है।

संभाव्यता जोड़ और गुणन प्रमेय

साथअसंगत घटनाओं की संभावनाओं की स्थिति. दो असंगत घटनाओं में से किसी एक के घटित होने की संभावना, चाहे कोई भी हो, इन घटनाओं की संभावनाओं के योग के बराबर है:

पी(ए + बी) = पी(ए) + पी(बी).

परिणाम। कई जोड़ीवार असंगत घटनाओं में से किसी एक के घटित होने की संभावना, चाहे कोई भी हो, इन घटनाओं की संभावनाओं के योग के बराबर है:

P(A1 + A2 +…+ An) = P(A1) + P(A2) +…+ P(An).

संयुक्त आयोजनों की संभावनाओं का योग।दो संयुक्त घटनाओं में से कम से कम एक के घटित होने की संभावना इन घटनाओं की संयुक्त घटित होने की संभावना के बिना उनकी संभावनाओं के योग के बराबर है:

पी(ए + बी) = पी(ए) + पी(बी) – पी(एबी).

प्रमेय को किसी भी सीमित संख्या में संयुक्त घटनाओं के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, तीन संयुक्त आयोजनों के लिए:

पी(ए + बी + सी) = पी(ए) + पी(बी) + पी(सी) - पी(एबी) - पी(एसी) - पी(बीसी) + पी(एबीसी)।

स्वतंत्र घटनाओं की संभावनाओं को गुणा करने के लिए प्रमेय।दो सह-घटना की संभावना स्वतंत्र घटनाएँइन घटनाओं की संभावनाओं के उत्पाद के बराबर:

पी(एबी) = पी(ए)*पी(बी).

परिणाम। कई घटनाओं के संयुक्त घटित होने की संभावना जो समग्र रूप से स्वतंत्र हैं, इन घटनाओं की संभावनाओं के उत्पाद के बराबर है:

P(A1A2…An) = P(A1)*P(A2)…P(An).

आश्रित घटनाओं की संभावनाओं को गुणा करने के लिए प्रमेय।दो आश्रित घटनाओं की संयुक्त घटना की संभावना उनमें से एक के उत्पाद और दूसरे की सशर्त संभावना के बराबर है:

पी(एबी) = पी(ए)*पीए(बी),

पी(एबी) = पी(बी)*पीबी(ए)।

परिणाम। कई आश्रित घटनाओं की संयुक्त घटना की संभावना अन्य सभी की सशर्त संभावनाओं द्वारा उनमें से एक के उत्पाद के बराबर है, और प्रत्येक बाद की संभावना की गणना इस धारणा के तहत की जाती है कि सभी पिछली घटनाओं की गणना इस धारणा के तहत की जाती है कि पिछली सभी घटनाएँ पहले ही घटित हो चुकी हैं:

P(A1A2…An) = P(A1)*PA1(A2)*PA1A2(A3)…PA1A2…An-1(An),

जहां RA1A2...An-1(An) घटना An की संभावना है, जिसकी गणना इस धारणा के तहत की जाती है कि घटनाएं A1A2...An-1 घटित हुई हैं।

उदाहरण 1.7. लाइब्रेरी शेल्फ पर 15 पाठ्यपुस्तकें बेतरतीब ढंग से व्यवस्थित हैं, जिनमें से 5 जिल्दबंद हैं। लाइब्रेरियन यादृच्छिक रूप से 3 पाठ्यपुस्तकें लेता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि ली गई पाठ्यपुस्तकों में से कम से कम एक को बाध्य किया जाएगा (घटना ए)।

समाधान. निम्नलिखित तीन असंगत घटनाओं में से कोई भी होने पर ली गई पाठ्यपुस्तकों में से कम से कम एक को बाध्य करने की आवश्यकता पूरी की जाएगी: बी - एक पाठ्यपुस्तक बाध्य, दो बिना बंधन के, सी - दो पाठ्यपुस्तकें बाध्य, एक बिना बंधन के, डी - तीन पाठ्यपुस्तकें अवश्यंभावी।

जिस घटना ए में हमारी रुचि है (कम से कम तीन बंधी हुई पाठ्यपुस्तकों में से एक) को तीन घटनाओं के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है:

ए = बी + सी + डी.

असंगत घटनाओं के योग के प्रमेय द्वारा

पी(ए) = पी(बी) + पी(सी) + पी(डी) (1).

आइए घटनाओं बी, सी और डी की संभावनाएं खोजें (उदाहरण 1.4 का समाधान देखें।):

इन संभावनाओं को समानता (1) में प्रतिस्थापित करने पर, हम अंततः प्राप्त करते हैं

पी(ए) = 45/91 + 20/91 + 2/91 = 67/91।

उदाहरण 1.8. कितने पासे फेंके जाने चाहिए ताकि, 0.3 से कम की संभावना के साथ, कोई यह उम्मीद कर सके कि किसी भी फेंके गए पक्ष पर 6 अंक दिखाई नहीं देंगे?

समाधान. आइए हम घटनाओं के पदनामों का परिचय दें: ए - 6 अंक किसी भी गिराए गए पक्ष पर दिखाई नहीं देंगे; एआई - 6 अंक आई-वें पासे के लुढ़के पक्ष पर दिखाई नहीं देंगे (आई = 1, 2, …एन)।

जिस घटना ए में हमारी रुचि है, उसमें घटनाओं का संयोजन शामिल है

A1, A2,…, An

अर्थात्, A = A1A2…An.

किसी भी गिराए गए पक्ष पर छह के बराबर संख्या दिखाई देने की संभावना बराबर है

पी(एआई) = 5/6.

घटनाएँ Ai सामूहिक रूप से स्वतंत्र हैं, इसलिए गुणन प्रमेय लागू होता है:

р(А) = р(А1А2…Аn) = р(А1)*р(А2)*…р(Аn) = (5/6)n.

शर्त के अनुसार (5/6)एन< 0,3. Следовательно n*log(5/6) < log0,3, отсюда найдем n >6.6. इस प्रकार, पासों की आवश्यक संख्या n ≥ 7 है।

उदाहरण 1.9. वाचनालय में संभाव्यता सिद्धांत पर 6 पाठ्यपुस्तकें हैं, जिनमें से 3 जिल्दबंद हैं। लाइब्रेरियन ने यादृच्छिक रूप से दो पाठ्यपुस्तकें लीं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि दोनों पाठ्यपुस्तकें बाध्य होंगी।

समाधान. आइए हम घटनाओं के पदनामों का परिचय दें: ए - ली गई पहली पाठ्यपुस्तक बंधी हुई है, बी - दूसरी पाठ्यपुस्तक बंधी हुई है।

प्रायिकता यह है कि पहली पाठ्यपुस्तक बंधी हुई है

पी(ए) = 3/6 = 1/2.

संभावना है कि दूसरी पाठ्यपुस्तक बाध्य है, बशर्ते कि ली गई पहली पाठ्यपुस्तक बाध्य थी, यानी, घटना बी की सशर्त संभावना बराबर है:

पीए(बी) = 2/5.

आश्रित घटनाओं की संभावनाओं के गुणन के प्रमेय के अनुसार, दोनों पाठ्यपुस्तकों के बंधे होने की वांछित संभावना बराबर है

पी(एबी) = पी(ए)*पीए(बी) = 1/2*2/5 = 0.2.

समस्या 1.8 दो निशानेबाज एक लक्ष्य पर निशाना साध रहे हैं. एक शॉट से लक्ष्य को भेदने की संभावना पहले शिकारी के लिए 0.7 और दूसरे के लिए 0.8 है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि एक वॉली से शिकारियों में से केवल एक ही लक्ष्य पर प्रहार करेगा।

समस्या 1.9. छात्र तीन संदर्भ पुस्तकों में अपने लिए आवश्यक फ़ॉर्मूले की तलाश करता है। पहले, दूसरे, तीसरे संदर्भ पुस्तक में सूत्र शामिल होने की संभावनाएँ क्रमशः 0.6 के बराबर हैं; 0.7; 0.8. प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि सूत्र निम्नलिखित है: क) केवल एक संदर्भ पुस्तक में; बी) केवल दो निर्देशिकाओं में; ग) सभी संदर्भ पुस्तकों में।

समस्या 1.10 . कार्यशाला में 7 पुरुष और 3 महिलाएँ कार्यरत हैं। 3 लोगों को उनके कर्मियों की संख्या का उपयोग करके यादृच्छिक रूप से चुना गया था। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि सभी चयनित व्यक्ति पुरुष होंगे।

फिर उसने तीन पासों के साथ वही प्रयोग किया। कागज के एक टुकड़े पर, मैंने एक कॉलम में 3 से 18 तक की संख्याएँ लिखीं। ये वे राशियाँ हैं जो तीन पासे फेंकने पर दिखाई दे सकती हैं। मैंने 400 थ्रो किये. मैंने परिणाम की गणना की और उसे तालिका में दर्ज किया। (परिशिष्ट 3 और 4) योग 10 और 11 अधिक बार आते हैं।

मैंने चार पासों के साथ एक और प्रयोग किया। कॉलम में 4 से 24 तक संख्याएँ थीं। ये वे राशियाँ हैं जो चार पासे फेंकने पर दिखाई दे सकती हैं। मैंने फिर से 400 शॉट मारे। मैंने परिणाम की गणना की और उसे तालिका में दर्ज किया। (परिशिष्ट 5 और 6) योग 14 को अधिक बार रोल किया जाता है।

फिर मैंने गणित करने का फैसला किया। मैंने दो पासों के लिए एक तालिका बनाई और उसे भर दिया। (परिशिष्ट 7) मुझे परिणाम मिल गया - सात का योग अधिक बार आता है। (परिशिष्ट 8). छत्तीस मामलों में से छह बार। मैंने सबसे पहले तीन पासों के लिए वही गणितीय गणनाएँ कीं। (परिशिष्ट 9) जो योग सबसे अधिक बार आते हैं वे 10 और 11 हैं। यह 216 में से 27 मामले हैं। और सबसे कम संभावित संख्याएँ जो आती हैं वे 3 और 18 हैं, 216 में से केवल 1 मामला है। (परिशिष्ट 10) और फिर चार पासों के लिए. (परिशिष्ट 11) कुल मिलाकर 1296 मामले हैं। सबसे सामान्य योग 14 है, जो 1296 में से 146 मामले हैं। और सबसे कम सामान्य योग 4 है और 24, 1296 में से केवल 1 मामला है। (परिशिष्ट 12)

मुझे पासे से युक्तियों का विवरण मिला। मैं कुछ तरकीबों की सरलता और मौलिकता से आश्चर्यचकित था। पासे के किनारों पर चिह्नों का पारंपरिक क्रम कई पासों की चालों का आधार है। और मैंने कई तरकीबें अपनाने की कोशिश की। मैं कामयाब। लेकिन उन्हें सफलतापूर्वक पूरा करने के लिए, आपको जल्दी और अच्छी तरह से गिनती करने की आवश्यकता है।

चाल चतुराई और त्वरित तकनीकों की मदद से आंखों को धोखा देने पर आधारित एक कुशल चाल है। चाल हमेशा दर्शकों से आधी छिपी रहती है: वे जानते हैं कि एक रहस्य है, लेकिन वे इसे कुछ अवास्तविक, समझ से बाहर के रूप में कल्पना करते हैं। गणितीय तरकीबें गणितीय नियमों का एक प्रकार का प्रदर्शन हैं।

प्रत्येक ट्रिक की सफलता अच्छी तैयारी और प्रशिक्षण, प्रत्येक संख्या को निष्पादित करने में आसानी, सटीक गणना और ट्रिक को निष्पादित करने के लिए आवश्यक तकनीकों के कुशल उपयोग पर निर्भर करती है। इस तरह की तरकीबें दर्शकों पर बहुत अच्छा प्रभाव डालती हैं और उन्हें मोहित कर लेती हैं।

फोकस 1. "राशि का अनुमान लगाना"

प्रदर्शन करने वाला व्यक्ति दर्शकों की ओर पीठ कर लेता है और इस समय उनमें से एक मेज पर तीन पासे फेंकता है। फिर दर्शक को खींची गई तीन संख्याओं को जोड़ने, कोई भी पासा लेने और नीचे की तरफ की संख्या को प्राप्त कुल संख्या में जोड़ने के लिए कहा जाता है। फिर उसी पासे को दोबारा घुमाएं और जो संख्या निकले उसे फिर से योग में जोड़ें। प्रदर्शनकारी दर्शकों का ध्यान इस तथ्य की ओर आकर्षित करता है कि वह किसी भी तरह से नहीं जान सकता कि तीन पासों में से कौन सा पासा दो बार फेंका गया था, फिर पासे इकट्ठा करता है, उन्हें अपने हाथ में हिलाता है और तुरंत अंतिम राशि का सही नाम बताता है।

स्पष्टीकरण। पासों को इकट्ठा करने से पहले, दिखाने वाला व्यक्ति ऊपर की ओर मुख करके संख्याओं को जोड़ता है। परिणामी योग में सात जोड़कर, वह अंतिम योग ज्ञात करता है।

यह युक्ति विपरीत फलकों पर संख्याओं के योग के गुण पर निर्भर करती है - यह हमेशा सात के बराबर होती है।

अध्याय 2. पासे का रहस्य

2.1. परिणाम की गणना करें

यह पता लगाने के लिए कि दो, तीन, चार आदि पासे फेंकने पर कौन सी राशि अधिक आती है, मैंने कई प्रयोग किए।

काम शुरू करने से पहले, मैंने डेटा दर्ज करने के लिए एक तालिका संकलित की। कॉलम में 2 से 12 तक संख्याएँ हैं। ये वे राशियाँ हैं जो दो पासे फेंकने पर दिखाई दे सकती हैं। मेज की चिकनी सतह पर, ताकि कोई बाहरी हस्तक्षेप न हो, उसने पासे फेंकना शुरू कर दिया। प्रत्येक प्रयास को गिराई गई राशि की संख्या के विपरीत - एक ऊर्ध्वाधर रेखा के साथ चिह्नित किया गया था।

प्रयोग 1:

1) मैं दो पासे और एक गिलास लेता हूँ।

मैं प्रयोग को 400 बार दोहराता हूं।

प्रयोग से यह पता लगाने में मदद मिली कि दो पासे फेंकने पर कौन सा योग अधिक बार आता है। (परिशिष्ट 1 और 2)

मैंने यह पता लगाने के लिए तीन पासों के साथ प्रयोग 2 चलाया कि कौन सी राशि अब अधिक बार दिखाई देगी।

प्रयोग 2:

1) मैं तीन पासे और एक गिलास लेता हूँ।

2) मैं पासे से गिलास हिलाता हूँ।

3) मैं पासे को मेज पर फेंकता हूं।

4) मैं राशि की गणना करता हूं और इसे तालिका में अंकित करता हूं।

मैं प्रयोग को 400 बार दोहराता हूं।

प्रयोग से यह पता लगाने में मदद मिली कि तीन पासे फेंकने पर कौन सा योग अधिक बार आता है। (परिशिष्ट 3 और 4)

प्रयोग से मुझे यह सुनिश्चित करने में मदद मिली कि तीन पासे फेंकने पर जो राशि निकले वह दो पासे फेंकने से अलग हो।

परिवर्तनों की गतिशीलता को देखने के लिए मैंने चार पासों के साथ प्रयोग 3 चलाया।

काम शुरू करने से पहले, मैंने डेटा दर्ज करने के लिए फिर से एक तालिका संकलित की।

प्रयोग 3:

1) मैं चार पासे और एक गिलास लेता हूँ।

2) मैं पासे से गिलास हिलाता हूँ।

3) मैं पासे को मेज पर फेंकता हूं।

4) मैं राशि की गणना करता हूं और इसे तालिका में अंकित करता हूं।

मैं प्रयोग को 400 बार दोहराता हूं।

प्रयोग से मुझे यह सुनिश्चित करने में मदद मिली कि जब चार पासे फेंके जाते हैं, तो जो राशि आती है वह फिर से अलग होती है। (परिशिष्ट 5 और 6)

प्रयोगों के परिणामों की जांच करने के बाद, मुझे यह स्पष्ट हो गया कि तालिका के मध्य के करीब की राशियाँ अधिक बार क्यों दिखाई देती हैं। आख़िरकार, विपरीत पक्षों की संख्याओं का योग हमेशा सात के बराबर होता है। इसलिए, पासा फेंकते समय इस बात की अधिक संभावना है कि इस मध्य के करीब एक राशि दिखाई देगी।

2.2. परिणामों की तुलना करना

पासे के साथ प्रयोगों के परिणामों (परिशिष्ट 1 - 6) और गणितीय गणनाओं के परिणामों (परिशिष्ट 7 - 12) की तुलना करने पर, मैंने देखा कि जो राशि मध्य के करीब होती है वह अधिक बार गिरती है। तो मुझे औसत मिला अंकगणितीय योगपासे के किनारों पर संख्याएँ। (1+2+3+4+5+6) : 6 = 3.5. नतीजा 3.5 रहा. फिर मैंने इस संख्या को पासों की संख्या से गुणा कर दिया। यदि आप दो पासे लेते हैं, तो गुणनफल 3.5 · 2 = 7 होता है। संख्या सात वह संख्या है जो दो पासे फेंकने पर अधिक बार आती है। यदि हम तीन पासे लेते हैं, तो हमें 3.5 · 3 = 10.5 प्राप्त होता है। और चूँकि संख्या एक पूर्णांक होनी चाहिए, इसलिए दो आसन्न संख्याएँ ली जाती हैं। ये संख्याएँ 10 और 11 हैं, ये तीन पासे फेंकने पर अधिक बार दिखाई देती हैं। पासों की किसी भी संख्या के लिए, आप सूत्र का उपयोग करके सबसे अधिक बार आने वाली संख्या की गणना कर सकते हैं 3.5 एन , (कहाँ एन- पासों की संख्या)। इसके अलावा, यदि एन विषम संख्या, फिर पासा फेंकते समय अधिक बार दिखाई देने वाली संख्या निर्धारित करने के लिए दो आसन्न संख्याओं को लिया जाता है।

मैंने समीक्षा की है बाइबिलड्राइंग की गई और एक विसंगति पाई गई। दो पासों पर गलत अंकन है। चूँकि विपरीत पक्षों की संख्याओं का योग सात के बराबर होना चाहिए। और एक पासे में ऊपर की तरफ तीन और किनारे पर चार हैं, हालाँकि नीचे की तरफ चार होने चाहिए। दूसरे पासे में, ऊपर की तरफ पाँच हैं, और दूसरी तरफ दो हैं। या शायद इसका कारण यह है कि उस क्षेत्र में पासों पर एक अलग अंकन अपनाया गया था।

निष्कर्ष

अपने काम में मैंने पासे का रहस्य सीखा। यह रहस्य पासों की सतह पर ही छिपा है। रहस्य चिह्नों के लेआउट में है. विपरीत दिशाओं की संख्याओं का योग सदैव सात होता है। प्रयोगों और गणितीय गणनाओं के माध्यम से, मैंने वह राशि ज्ञात की जो पासा फेंकने पर अधिक बार आती है, और जो पासों की संख्या पर निर्भर करती है। इस राशि को एक सूत्र के रूप में लिखा जा सकता है 3,5 · एन, कहाँ एनपासों की संख्या. इस विषय पर शोध करते समय मुझे पता चला कि पासे की उत्पत्ति लगभग 3000 ईसा पूर्व हुई थी। वे स्थान जहां वे पाए गए थे पुरातत्ववेत्ताखेल के सबसे प्राचीन विषय मिस्र, ईरान, इराक और भारत हैं। पासों की विभिन्न आकृतियों और प्रकारों के बारे में सीखा। और यह भी कि पासों का उपयोग कहाँ किया जाता है और उनमें क्या गुण हैं। मैंने समस्या समाधान के विषय पर बिल्कुल भी विचार नहीं किया है। बात सिर्फ इतनी है कि संभाव्यता का सिद्धांत मेरे लिए अभी भी कठिन है। लेकिन मुझे उम्मीद है कि मैं फिर से इसमें वापसी करूंगा।

कई महान गणितज्ञ अलग - अलग समयपासे से समस्याएँ हल कीं। लेकिन मैं पासा फेंकते समय सबसे बड़ा योग ज्ञात करने के सूत्र के लेखक को ढूंढने में असमर्थ था। शायद मैंने काफी देर तक खोज नहीं की। लेकिन मैं खोज जारी रखूंगा. मुझे यह जानने में दिलचस्पी है कि सबसे पहले यह फॉर्मूला किसने पेश किया।

ग्रन्थसूची

1. अज़ारिएव विश्वकोश शब्दकोश [इलेक्ट्रॉनिक संसाधन] http://www. स्लोवेरस. ru/?di=72219

2. खेलों में संभाव्यता पर सुवोरोव। ग्रेड 8-11 के छात्रों के लिए संभाव्यता सिद्धांत का परिचय। - यारोस्लाव: विकास अकादमी, 2006.-192 पी.

3. फ़्रीबस समस्याएँ। - एम.: शिक्षा, 1994. - 128 पी.

4. विकिपीडिया मुक्त विश्वकोश [इलेक्ट्रॉनिक संसाधन] https://ru. विकिपीडिया. संगठन/विकी/पासा

5. जुए का कारोबार. प्रति. अंग्रेज़ी से और fr. /एनईसी "बिब्लियोमार्केट"; एड.-कॉम्प. . - एम. 1994. - 208 पी.

6. हड्डियाँ, ज़री, क्यूब्स [इलेक्ट्रॉनिक संसाधन] http://www. /ru/articles/igralnye_kosti-34

7. संभाव्यता के सिद्धांत पर ल्यूटिकास। - एम.: शिक्षा, 1983. - 127 पी.

8. निकिफोरोव्स्की गणितज्ञ बर्नौली। - एम.: नौका, 1984. - 180 पी.

9. बीजगणित की पाठ्यपुस्तक के पन्नों के पीछे। किताब 7-9वीं कक्षा के छात्रों के लिए। सामान्य शिक्षा संस्थाएँ। - एम.: शिक्षा, 1999. - 237 पी.

10. 100 महान वैज्ञानिक. - एम.: वेचे, 2000. - 592 पी.

11. शब्दकोष विदेशी शब्द[इलेक्ट्रॉनिक संसाधन] http:///खोज

12. उशाकोव का व्याख्यात्मक शब्दकोश [इलेक्ट्रॉनिक संसाधन] http://www. /3/193/772800.html

13. शेन ए. संभाव्यता: उदाहरण और कार्य। - एम.: पब्लिशिंग हाउस एमटीएसएनएमओ, 2008. - 64 पी।

14. संभाव्यता सिद्धांत [इलेक्ट्रॉनिक संसाधन] http://festival.1september के तत्वों के अध्ययन में पासे के साथ याकोवलेव की समस्याएं। आरयू/लेख/517883/

15. याकोवलेवा और पासे के साथ मजेदार चालें [इलेक्ट्रॉनिक संसाधन] http://festival.1september। आरयू/लेख/624782/

परिशिष्ट 1. 2 पासे फेंकने के परिणाम

परिशिष्ट 2. 2 पासे फेंकने के परिणाम

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पाठ का प्रकार: नया ज्ञान प्राप्त करने का पाठ।

अवधि: 1 पाठ.

ग्रेड: आठवीं कक्षा.

पाठ मकसद:

शैक्षिक:

किसी घटना की प्रायिकता ज्ञात करने के लिए सूत्र का उपयोग करने के कौशल को दोहराएँ और पासे की समस्याओं में इसका उपयोग करना सिखाएँ;
समस्याओं को हल करते समय प्रदर्शनात्मक तर्क का संचालन करें, तर्क की तार्किक शुद्धता का मूल्यांकन करें, तार्किक रूप से गलत तर्क को पहचानें।

शैक्षिक:

जानकारी खोजने, संसाधित करने और प्रस्तुत करने में कौशल विकसित करना;
तुलना करने, विश्लेषण करने और निष्कर्ष निकालने की क्षमता विकसित करना;
अवलोकन और संचार कौशल विकसित करें।

शैक्षिक:

सावधानी और दृढ़ता विकसित करें;
हमारे आसपास की दुनिया को समझने के एक तरीके के रूप में गणित के महत्व की समझ बनाना।

पाठ उपकरण: कंप्यूटर, मल्टीमीडिया, मार्कर, मिमियो कॉपी डिवाइस (या इंटरैक्टिव व्हाइटबोर्ड), लिफाफा (व्यावहारिक कार्य के लिए एक कार्य शामिल है, गृहकार्य, तीन कार्ड: पीला, हरा, लाल), पासे के मॉडल।

शिक्षण योजना

आयोजन का समय.

पिछले पाठ में हमने शास्त्रीय संभाव्यता सूत्र के बारे में सीखा।

एक यादृच्छिक घटना A के घटित होने की संभावना P, m से n का अनुपात है, जहाँ n प्रयोग के सभी संभावित परिणामों की संख्या है, और m सभी अनुकूल परिणामों की संख्या है.

यह सूत्र लाप्लास के अनुसार संभाव्यता की तथाकथित शास्त्रीय परिभाषा है, जो जुए के क्षेत्र से आया है, जहां जीतने की संभावना निर्धारित करने के लिए संभाव्यता के सिद्धांत का उपयोग किया जाता था। इस सूत्र का उपयोग समान रूप से संभावित परिणामों की सीमित संख्या वाले प्रयोगों के लिए किया जाता है।

किसी घटना की प्रायिकता = अनुकूल परिणामों की संख्या / सभी समान रूप से संभावित परिणामों की संख्या

अतः प्रायिकता 0 और 1 के बीच की एक संख्या है।

यदि घटना असंभव है तो संभावना 0 है।

यदि घटना निश्चित है तो प्रायिकता 1 है।

आइए समस्या को मौखिक रूप से हल करें: एक बुकशेल्फ़ पर 20 पुस्तकें हैं, जिनमें से 3 संदर्भ पुस्तकें हैं। इसकी क्या प्रायिकता है कि शेल्फ से ली गई पुस्तक संदर्भ पुस्तक नहीं होगी?

समाधान:

समान रूप से संभावित परिणामों की कुल संख्या 20 है

अनुकूल परिणामों की संख्या – 20 – 3 = 17

उत्तर: 0.85.

2. नया ज्ञान प्राप्त करना।

अब हम अपने पाठ के विषय पर वापस आते हैं: "घटनाओं की संभावनाएँ", आइए इसे अपनी नोटबुक में हस्ताक्षरित करें।

पाठ का उद्देश्य: एक पासा या दो पासा फेंकने पर प्रायिकता ज्ञात करके समस्याओं को हल करना सीखें।

आज का हमारा विषय पासे से संबंधित है या इसे पासा भी कहा जाता है। पासे को प्राचीन काल से जाना जाता है। पासे का खेल सबसे पुराने खेलों में से एक है; पासे के पहले प्रोटोटाइप मिस्र में पाए गए थे, और वे 20वीं शताब्दी ईसा पूर्व के हैं। इ। साधारण (फेंकने वाला जीतता है) से लेकर कई किस्में हैं बड़ी मात्राअंक) से लेकर जटिल तक, जिसमें आप विभिन्न खेल युक्तियों का उपयोग कर सकते हैं।

सबसे पुरानी हड्डियाँ 20वीं शताब्दी ईसा पूर्व की हैं। ई., थेब्स में खोजा गया। प्रारंभ में, हड्डियाँ भाग्य बताने के उपकरण के रूप में काम करती थीं। पुरातात्विक खुदाई के अनुसार, पासे विश्व के सभी कोनों में हर जगह खेले जाते थे। यह नाम मूल सामग्री - जानवरों की हड्डियों से आया है।

प्राचीन यूनानियों का मानना था कि लिडियन ने भूख से बचने के लिए हड्डियों का आविष्कार किया था, ताकि कम से कम अपने दिमाग को किसी चीज़ में व्यस्त रखा जा सके।

पासे का खेल प्राचीन मिस्र, ग्रीको-रोमन और वैदिक पौराणिक कथाओं में परिलक्षित होता था। बाइबिल में उल्लेखित, "इलियड", "ओडिसी", "महाभारत", वैदिक भजनों का संग्रह "ऋग्वेद"। देवताओं के देवताओं में, कम से कम एक देवता एक अभिन्न गुण के रूप में पासों का स्वामी था http://ru.wikipedia.org/wiki/%CA%EE%F1%F2%E8_%28%E8%E3%F0%E0%29 - cite_note-2 .

रोमन साम्राज्य के पतन के बाद, यह खेल पूरे यूरोप में फैल गया, और मध्य युग के दौरान विशेष रूप से लोकप्रिय था। चूँकि पासों का उपयोग न केवल जुआ खेलने के लिए किया जाता था, बल्कि भाग्य बताने के लिए भी किया जाता था, चर्च ने बार-बार खेल पर प्रतिबंध लगाने की कोशिश की, इस उद्देश्य के लिए सबसे परिष्कृत दंडों का आविष्कार किया गया, लेकिन सभी प्रयास विफलता में समाप्त हुए;

पुरातात्विक आंकड़ों के अनुसार, बुतपरस्त रूस में भी पासे खेले जाते थे। बपतिस्मा के बाद, रूढ़िवादी चर्च ने खेल को खत्म करने की कोशिश की, लेकिन आम लोगों के बीच यह लोकप्रिय बना रहा, यूरोप के विपरीत, जहां उच्चतम कुलीन और यहां तक कि पादरी भी पासा खेलने के दोषी थे।

अधिकारियों द्वारा युद्ध की घोषणा विभिन्न देशपासे के खेल ने धोखाधड़ी की कई अलग-अलग युक्तियों को जन्म दिया है।

ज्ञानोदय के युग में, पासा खेलने का शौक धीरे-धीरे कम होने लगा, लोगों ने नए शौक विकसित किए और साहित्य, संगीत और चित्रकला में अधिक रुचि लेने लगे। आजकल, पासा खेलना इतना व्यापक नहीं है।

सही पासा एक तरफ उतरने की समान संभावना प्रदान करता है। ऐसा करने के लिए, सभी किनारे समान होने चाहिए: चिकने, सपाट, समान क्षेत्र, गोलाई (यदि कोई हो), छेद समान गहराई तक ड्रिल किए जाने चाहिए। विपरीत पक्षों पर अंकों का योग 7 है।

एक गणितीय पासा, जिसका उपयोग संभाव्यता सिद्धांत में किया जाता है, एक नियमित पासे की गणितीय छवि है। गणितीयहड्डी का कोई आकार, कोई रंग, कोई वजन आदि नहीं होता।

फेंकते समय खेलना हड्डियाँ(घनक्षेत्र) इसके छह चेहरों में से कोई भी गिर सकता है, यानी। का कोई भी आयोजन- 1 से 6 अंक (अंक) तक की हानि। लेकिन कोई नहीं दोऔर अधिक चेहरे एक साथ प्रकट नहीं हो सकते. ऐसा आयोजनअसंगत कहलाते हैं.

उस स्थिति पर विचार करें जब 1 पासा फेंका जाता है। चलिए नंबर 2 को एक तालिका के रूप में बनाते हैं।

अब उस मामले पर विचार करें जहां 2 पासे फेंके गए।

यदि पहला पासा एक बिंदु पर लुढ़कता है, तो दूसरा पासा 1, 2, 3, 4, 5, 6 पर लुढ़क सकता है। हमें जोड़े मिलते हैं (1;1), (1;2), (1;3), (1 ;4) , (1;5), (1;6) इत्यादि प्रत्येक चेहरे के साथ। सभी मामलों को 6 पंक्तियों और 6 स्तंभों की तालिका के रूप में प्रस्तुत किया जा सकता है:

प्राथमिक घटनाएँ तालिका

आपकी मेज पर एक लिफाफा है।

लिफाफे से कार्यों की शीट निकाल लें।

अब आप प्रारंभिक घटनाओं की तालिका का उपयोग करके एक व्यावहारिक कार्य पूरा करेंगे।

उन घटनाओं को छायांकित करके दिखाएँ जो घटनाओं के अनुकूल हों:

कार्य 1. "समान संख्या में अंक गिरे";

1; 1	2; 1	3; 1	4; 1	5; 1	6; 1
1; 2	2; 2	3; 2	4; 2	5; 2	6; 2
1; 3	2; 3	3; 3	4; 3	5; 3	6; 3
1; 4	2; 4	3; 4	4; 4	5; 4	6; 4
1; 5	2; 5	3; 5	4; 5	5; 5	6; 5
1; 6	2; 6	3; 6	4; 6	5; 6	6; 6

कार्य 2. "अंकों का योग 7 है";

1; 1	2; 1	3; 1	4; 1	5; 1	6; 1
1; 2	2; 2	3; 2	4; 2	5; 2	6; 2
1; 3	2; 3	3; 3	4; 3	5; 3	6; 3
1; 4	2; 4	3; 4	4; 4	5; 4	6; 4
1; 5	2; 5	3; 5	4; 5	5; 5	6; 5
1; 6	2; 6	3; 6	4; 6	5; 6	6; 6

टास्क 3. "अंकों का योग 7 से कम नहीं है।"

"कोई कम नहीं" का क्या मतलब है? (उत्तर है "इससे बड़ा या इसके बराबर")

1; 1	2; 1	3; 1	4; 1	5; 1	6; 1
1; 2	2; 2	3; 2	4; 2	5; 2	6; 2
1; 3	2; 3	3; 3	4; 3	5; 3	6; 3
1; 4	2; 4	3; 4	4; 4	5; 4	6; 4
1; 5	2; 5	3; 5	4; 5	5; 5	6; 5
1; 6	2; 6	3; 6	4; 6	5; 6	6; 6

आइए अब उन घटनाओं की प्रायिकताएँ ज्ञात करें जिनके लिए व्यावहारिक कार्यअनुकूल घटनाओं की छाया पड़ी।

आइए इसे नोटबुक नंबर 3 में लिखें

अभ्यास 1।

परिणामों की कुल संख्या - 36

उत्तर: 1/6.

कार्य 2.

परिणामों की कुल संख्या - 36

अनुकूल परिणामों की संख्या - 6

उत्तर: 1/6.

कार्य 3.

परिणामों की कुल संख्या - 36

अनुकूल परिणामों की संख्या - 21

पी = 21/36=7/12.

उत्तर: 7/12.

№4. साशा और व्लाद पासा खेल रहे हैं। हर कोई पासे को दो बार घुमाता है। सबसे अधिक अंक वाला व्यक्ति जीतता है। यदि अंक बराबर हैं, तो खेल ड्रा पर समाप्त होता है। साशा ने सबसे पहले पासा फेंका और उसे 5 अंक और 3 अंक मिले। अब व्लाद ने पासा फेंका.

ए) प्रारंभिक घटनाओं की तालिका में, उन प्राथमिक घटनाओं को इंगित करें (छायांकन द्वारा) जो "व्लाद जीतेंगे" घटना का पक्ष लेते हैं।

बी) "व्लाद जीतेगा" घटना की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।