माध्य निरपेक्ष त्रुटि की गणना कैसे करें. प्रत्यक्ष माप की त्रुटियों की गणना

सटीक प्राकृतिक विज्ञान माप पर आधारित हैं। मापते समय, मात्राओं के मूल्यों को संख्याओं के रूप में व्यक्त किया जाता है जो इंगित करता है कि मापी गई मात्रा किसी अन्य मात्रा से कितनी बार अधिक या कम है, जिसका मान एक इकाई के रूप में लिया जाता है। माप के परिणामस्वरूप प्राप्त विभिन्न मात्राओं के संख्यात्मक मान एक दूसरे पर निर्भर हो सकते हैं। ऐसी मात्राओं के बीच संबंध सूत्रों के रूप में व्यक्त किया जाता है जो दर्शाता है कि कुछ मात्राओं के संख्यात्मक मान दूसरों के संख्यात्मक मानों से कैसे ज्ञात किए जा सकते हैं।

माप के दौरान त्रुटियाँ अनिवार्य रूप से होती हैं। माप से प्राप्त परिणामों को संसाधित करने में उपयोग की जाने वाली विधियों में महारत हासिल करना आवश्यक है। यह आपको यह सीखने की अनुमति देगा कि मापों के एक सेट से सच्चाई के सबसे करीब परिणाम कैसे प्राप्त करें, विसंगतियों और त्रुटियों को समय पर नोटिस करें, बुद्धिमानी से मापों को स्वयं व्यवस्थित करें और प्राप्त मूल्यों की सटीकता का सही आकलन करें।

यदि माप में एक इकाई के रूप में ली गई किसी अन्य सजातीय मात्रा के साथ दी गई मात्रा की तुलना करना शामिल है, तो इस मामले में माप को प्रत्यक्ष कहा जाता है।

प्रत्यक्ष (प्रत्यक्ष) माप- ये ऐसे माप हैं जिनमें हम मापी गई मात्रा का संख्यात्मक मान या तो किसी माप (मानक) के साथ सीधे तुलना करके या मापी गई मात्रा की इकाइयों में अंशांकित उपकरणों की सहायता से प्राप्त करते हैं।

हालाँकि, ऐसी तुलना हमेशा सीधे तौर पर नहीं की जाती है। ज्यादातर मामलों में, यह वह मात्रा नहीं है जो हमें रुचिकर लगती है जिसे मापा जाता है, बल्कि कुछ रिश्तों और पैटर्न द्वारा इसके साथ जुड़ी अन्य मात्राएँ होती हैं। इस स्थिति में, आवश्यक मात्रा को मापने के लिए पहले कई अन्य मात्राओं को मापना आवश्यक होता है, जिनके मूल्य की गणना करके वांछित मात्रा का मूल्य निर्धारित किया जाता है। इस माप को अप्रत्यक्ष कहा जाता है।

अप्रत्यक्ष मापइसमें मात्रात्मक निर्भरता द्वारा निर्धारित की जा रही मात्रा से जुड़ी एक या अधिक मात्राओं का प्रत्यक्ष माप और इन आंकड़ों से निर्धारित की जाने वाली मात्रा की गणना शामिल है।

माप में हमेशा मापने वाले उपकरण शामिल होते हैं, जो एक मान को उससे जुड़े दूसरे मान के साथ पत्राचार में रखते हैं, जो हमारी इंद्रियों की मदद से मात्रात्मक मूल्यांकन के लिए सुलभ होता है। उदाहरण के लिए, वर्तमान ताकत का मिलान स्नातक पैमाने पर तीर के विक्षेपण कोण से किया जाता है। इस मामले में, माप प्रक्रिया की दो मुख्य शर्तें पूरी होनी चाहिए: परिणाम की अस्पष्टता और प्रतिलिपि प्रस्तुत करने योग्यता। ये दोनों स्थितियाँ सदैव लगभग संतुष्ट होती हैं। इसीलिए माप प्रक्रिया में वांछित मूल्य खोजने के साथ-साथ माप की अशुद्धि का आकलन भी शामिल होता है.

एक आधुनिक इंजीनियर को आवश्यक विश्वसनीयता को ध्यान में रखते हुए माप परिणामों की त्रुटि का मूल्यांकन करने में सक्षम होना चाहिए। इसलिए, माप परिणामों के प्रसंस्करण पर अधिक ध्यान दिया जाता है। त्रुटियों की गणना की बुनियादी विधियों से परिचित होना प्रयोगशाला कार्यशाला के मुख्य कार्यों में से एक है।

त्रुटियाँ क्यों होती हैं?

माप त्रुटियाँ होने के कई कारण हैं। आइए उनमें से कुछ को सूचीबद्ध करें।

माप वस्तु के साथ डिवाइस की बातचीत के दौरान होने वाली प्रक्रियाएं अनिवार्य रूप से मापा मूल्य को बदल देती हैं। उदाहरण के लिए, कैलीपर का उपयोग करके किसी भाग के आयामों को मापने से भाग का संपीड़न होता है, अर्थात उसके आयामों में परिवर्तन होता है। कभी-कभी मापे गए मूल्य पर डिवाइस का प्रभाव अपेक्षाकृत छोटा किया जा सकता है, लेकिन कभी-कभी यह तुलनीय होता है या मापा मूल्य से भी अधिक होता है।

· किसी भी उपकरण में उसके डिज़ाइन की अपूर्णता के कारण मापे गए मान को स्पष्ट रूप से निर्धारित करने की क्षमता सीमित होती है। उदाहरण के लिए, एमीटर के पॉइंटर ब्लॉक में विभिन्न भागों के बीच घर्षण इस तथ्य की ओर ले जाता है कि धारा में कुछ छोटी, लेकिन सीमित मात्रा में परिवर्तन से पॉइंटर के विक्षेपण कोण में कोई बदलाव नहीं आएगा।

· डिवाइस और मापन वस्तु के बीच बातचीत की सभी प्रक्रियाओं में हमेशा भाग लेता है। बाहरी वातावरण, जिसके पैरामीटर बदल सकते हैं और, अक्सर, अप्रत्याशित तरीकों से। यह माप स्थितियों की प्रतिलिपि प्रस्तुत करने योग्यता और इसलिए माप परिणाम को सीमित करता है।

· उपकरण रीडिंग को दृष्टिगत रूप से लेते समय, उपकरण रीडिंग को पढ़ने में अस्पष्टता हो सकती है विकलांगहमारी आँख.

· अधिकांश मात्राएँ उपकरणों द्वारा सीधे मापी गई अन्य मात्राओं के साथ वांछित मात्रा के संबंध के हमारे ज्ञान के आधार पर अप्रत्यक्ष रूप से निर्धारित की जाती हैं। जाहिर है, अप्रत्यक्ष माप की त्रुटि सभी प्रत्यक्ष माप की त्रुटियों पर निर्भर करती है। इसके अलावा, मापी गई वस्तु के बारे में हमारे ज्ञान की सीमाएं, मात्राओं के बीच संबंधों के गणितीय विवरण का सरलीकरण, और उन मात्राओं के प्रभाव की अनदेखी करना, जिनका प्रभाव माप प्रक्रिया के दौरान महत्वहीन माना जाता है, अप्रत्यक्ष माप में त्रुटियों में योगदान करते हैं।

त्रुटि वर्गीकरण

त्रुटि मानएक निश्चित मात्रा का माप आमतौर पर निम्न द्वारा दर्शाया जाता है:

1. निरपेक्ष त्रुटि - प्रयोगात्मक रूप से पाए गए (मापे गए) और एक निश्चित मात्रा के सही मूल्य के बीच का अंतर

. (1)

निरपेक्ष त्रुटि दर्शाती है कि X के एक निश्चित मान को मापते समय हम कितनी गलतियाँ करते हैं।

2. अनुपात के बराबर सापेक्ष त्रुटि पूर्ण त्रुटिमापी गई मात्रा X के वास्तविक मान तक

सापेक्ष त्रुटि यह दर्शाती है कि X के वास्तविक मान के किस अंश से हम गलत हैं।

गुणवत्ताकुछ मात्रा के माप के परिणाम सापेक्ष त्रुटि की विशेषता रखते हैं। मान को प्रतिशत के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

सूत्र (1) और (2) से यह पता चलता है कि पूर्ण और सापेक्ष माप त्रुटियों को खोजने के लिए, हमें न केवल मापी गई मात्रा को जानना होगा, बल्कि उस मात्रा का सही मूल्य भी जानना होगा जिसमें हम रुचि रखते हैं। लेकिन अगर सही मूल्य ज्ञात हो तो माप करने की कोई आवश्यकता नहीं है। मापन का उद्देश्य हमेशा एक निश्चित मात्रा के अज्ञात मूल्य का पता लगाना होता है और यदि इसका वास्तविक मूल्य नहीं है, तो कम से कम एक ऐसा मूल्य ढूंढना है जो इससे काफी भिन्न हो। इसलिए, सूत्र (1) और (2), जो त्रुटियों की भयावहता निर्धारित करते हैं, व्यवहार में उपयुक्त नहीं हैं। व्यावहारिक माप में, त्रुटियों की गणना नहीं की जाती, बल्कि अनुमान लगाया जाता है। मूल्यांकन प्रयोगात्मक स्थितियों, कार्यप्रणाली की सटीकता, उपकरणों की गुणवत्ता और कई अन्य कारकों को ध्यान में रखता है। हमारा कार्य: यह सीखना कि प्रयोगात्मक पद्धति का निर्माण कैसे करें और मापी गई मात्राओं के मूल्यों को खोजने के लिए अनुभव से प्राप्त डेटा का सही ढंग से उपयोग करें जो वास्तविक मूल्यों के काफी करीब हैं, और माप त्रुटियों का उचित मूल्यांकन करें।

माप त्रुटियों के बारे में बोलते हुए, हमें सबसे पहले उल्लेख करना चाहिए घोर त्रुटियाँ (चूकें)प्रयोगकर्ता की निगरानी या उपकरण की खराबी के कारण उत्पन्न होना। घोर गलतियों से बचना चाहिए. यदि यह निर्धारित किया जाता है कि वे घटित हुए हैं, तो संबंधित माप को छोड़ दिया जाना चाहिए।

प्रायोगिक त्रुटियाँ जो स्थूल त्रुटियों से जुड़ी नहीं हैं, उन्हें यादृच्छिक और व्यवस्थित में विभाजित किया गया है।

साथयादृच्छिक त्रुटियाँ.एक ही माप को कई बार दोहराते हुए, आप देख सकते हैं कि अक्सर उनके परिणाम एक-दूसरे के बिल्कुल बराबर नहीं होते हैं, लेकिन कुछ औसत के आसपास "नृत्य" करते हैं (चित्र 1)। वे त्रुटियाँ जो एक प्रयोग से दूसरे प्रयोग के बीच परिमाण और चिह्न बदलती हैं, यादृच्छिक कहलाती हैं। यादृच्छिक, इंद्रिय अंगों की अपूर्णता के कारण प्रयोगकर्ता द्वारा अनैच्छिक रूप से यादृच्छिक त्रुटियाँ पेश की जाती हैं बाह्य कारकआदि। यदि प्रत्येक व्यक्तिगत माप की त्रुटि मौलिक रूप से अप्रत्याशित है, तो वे मापी गई मात्रा के मूल्य को यादृच्छिक रूप से बदल देते हैं। इन त्रुटियों का मूल्यांकन केवल वांछित मात्रा के कई मापों के सांख्यिकीय प्रसंस्करण के माध्यम से किया जा सकता है।

व्यवस्थित त्रुटियाँयह उपकरण की त्रुटियों (गलत स्केल, असमान रूप से खिंचने वाले स्प्रिंग, असमान माइक्रोमीटर स्क्रू पिच, असमान संतुलन भुजाएँ, आदि) और स्वयं प्रयोग से जुड़ा हो सकता है। प्रयोग के दौरान वे अपना परिमाण (और संकेत!) बरकरार रखते हैं। व्यवस्थित त्रुटियों के परिणामस्वरूप, यादृच्छिक त्रुटियों के कारण बिखरे हुए प्रयोगात्मक परिणाम वास्तविक मूल्य के आसपास नहीं, बल्कि एक निश्चित पक्षपाती मूल्य (छवि 2) के आसपास उतार-चढ़ाव होते हैं। डिवाइस की विशेषताओं को जानकर, वांछित मात्रा के प्रत्येक माप की त्रुटि का पहले से अनुमान लगाया जा सकता है।

प्रत्यक्ष माप की त्रुटियों की गणना

व्यवस्थित त्रुटियाँ. व्यवस्थित त्रुटियाँ स्वाभाविक रूप से मापी गई मात्रा के मूल्यों को बदल देती हैं। उपकरणों द्वारा माप में पेश की गई त्रुटियों का आकलन सबसे आसानी से किया जाता है यदि वे संबंधित हों प्रारुप सुविधायेउपकरण स्वयं. इन त्रुटियों को उपकरणों के पासपोर्ट में दर्शाया गया है। डेटा शीट का संदर्भ लिए बिना कुछ उपकरणों की त्रुटियों का आकलन किया जा सकता है। कई विद्युत माप उपकरणों के लिए, उनकी सटीकता कक्षा सीधे पैमाने पर इंगित की जाती है।

उपकरण सटीकता वर्ग- यह डिवाइस की पूर्ण त्रुटि और मापी गई मात्रा के अधिकतम मूल्य का अनुपात है, जिसे इस डिवाइस का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है (यह इस डिवाइस की व्यवस्थित सापेक्ष त्रुटि है, जिसे स्केल रेटिंग के प्रतिशत के रूप में व्यक्त किया गया है)।

.

तब ऐसे उपकरण की पूर्ण त्रुटि संबंध द्वारा निर्धारित की जाती है:

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विद्युत माप उपकरणों के लिए, 8 सटीकता वर्ग पेश किए गए हैं: 0.05; 0.1; 0.5; 1.0; 1.5; 2.0; 2.5; 4.

मापा गया मान नाममात्र मान के जितना करीब होगा, माप परिणाम उतना ही अधिक सटीक होगा। किसी दिए गए उपकरण द्वारा प्रदान की जा सकने वाली अधिकतम सटीकता (यानी, सबसे छोटी सापेक्ष त्रुटि) सटीकता वर्ग के बराबर होती है। मल्टीस्केल उपकरणों का उपयोग करते समय इस परिस्थिति को ध्यान में रखा जाना चाहिए। पैमाने का चयन इस तरह से किया जाना चाहिए कि मापा मूल्य, पैमाने के भीतर रहते हुए, नाममात्र मूल्य के जितना संभव हो उतना करीब हो।

यदि डिवाइस के लिए सटीकता वर्ग निर्दिष्ट नहीं है, तो निम्नलिखित नियमों का पालन किया जाना चाहिए:

· वर्नियर वाले उपकरणों की पूर्ण त्रुटि वर्नियर की सटीकता के बराबर होती है।

· एक निश्चित तीर पिच वाले उपकरणों की पूर्ण त्रुटि विभाजन मान के बराबर है।

· डिजिटल उपकरणों की पूर्ण त्रुटि एक न्यूनतम अंक के बराबर है।

· अन्य सभी उपकरणों के लिए, पूर्ण त्रुटि आधे विभाजन मान के बराबर मानी जाती है।

यादृच्छिक त्रुटियाँ. ये त्रुटियाँ प्रकृति में सांख्यिकीय हैं और संभाव्यता सिद्धांत द्वारा वर्णित हैं। यह स्थापित किया गया है कि बहुत बड़ी संख्या में मापों के साथ, प्रत्येक व्यक्तिगत माप में एक या दूसरे परिणाम प्राप्त करने की संभावना गाऊसी सामान्य वितरण का उपयोग करके निर्धारित की जा सकती है। माप की एक छोटी संख्या के साथ, एक या दूसरे माप परिणाम प्राप्त करने की संभावना के गणितीय विवरण को छात्र वितरण कहा जाता है (आप इसके बारे में मैनुअल "भौतिक मात्राओं की माप त्रुटियों" में अधिक पढ़ सकते हैं)।

मापी गई मात्रा के सही मूल्य का मूल्यांकन कैसे करें?

मान लीजिए कि एक निश्चित मान मापते समय हमें N परिणाम प्राप्त हुए: . मापों की एक श्रृंखला का अंकगणितीय माध्य अधिकांश व्यक्तिगत मापों की तुलना में मापी गई मात्रा के वास्तविक मूल्य के करीब है। एक निश्चित मान को मापने का परिणाम प्राप्त करने के लिए, निम्नलिखित एल्गोरिदम का उपयोग किया जाता है।

1). परिकलित अंकगणित औसतएन प्रत्यक्ष माप की श्रृंखला:

2). परिकलित प्रत्येक माप की पूर्ण यादृच्छिक त्रुटिएन प्रत्यक्ष माप की एक श्रृंखला और इस माप के अंकगणितीय माध्य के बीच का अंतर है:

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3). परिकलित माध्य वर्ग निरपेक्ष त्रुटि:

.

4). परिकलित पूर्ण यादृच्छिक त्रुटि. यदि नहीं बड़ी संख्यामाप, पूर्ण यादृच्छिक त्रुटि की गणना माध्य वर्ग त्रुटि और एक निश्चित गुणांक के माध्यम से की जा सकती है जिसे छात्र गुणांक कहा जाता है:

,

छात्र गुणांक माप की संख्या एन और विश्वसनीयता गुणांक पर निर्भर करता है (तालिका 1 विश्वसनीयता गुणांक के एक निश्चित मूल्य पर माप की संख्या पर छात्र गुणांक की निर्भरता दिखाता है)।

विश्वसनीयता कारकवह संभावना है जिसके साथ मापे गए मूल्य का सही मूल्य विश्वास अंतराल के भीतर आता है।

विश्वास अंतराल एक संख्यात्मक अंतराल है जिसमें मापी गई मात्रा का वास्तविक मूल्य एक निश्चित संभावना के साथ आता है।

इस प्रकार, छात्र गुणांक वह संख्या है जिससे किसी दिए गए माप के परिणाम की निर्दिष्ट विश्वसनीयता सुनिश्चित करने के लिए माध्य वर्ग त्रुटि को गुणा किया जाना चाहिए।

माप की दी गई संख्या के लिए जितनी अधिक विश्वसनीयता की आवश्यकता होगी, छात्र गुणांक उतना ही अधिक होगा। दूसरी ओर, से बड़ी संख्यामाप, किसी दी गई विश्वसनीयता के लिए छात्र गुणांक उतना ही कम होगा। हमारी कार्यशाला के प्रयोगशाला कार्य में, हम मान लेंगे कि विश्वसनीयता दी गई है और 0.9 के बराबर है। इस विश्वसनीयता पर विद्यार्थी के गुणांकों का संख्यात्मक मान अलग-अलग नंबरमाप तालिका 1 में दिए गए हैं।

तालिका नंबर एक

माप की संख्या एन

विद्यार्थी का गुणांक

5). परिकलित कुल निरपेक्ष त्रुटि.किसी भी माप में यादृच्छिक और व्यवस्थित दोनों प्रकार की त्रुटियाँ होती हैं। कुल (कुल) निरपेक्ष माप त्रुटि की गणना करना कोई आसान काम नहीं है, क्योंकि ये त्रुटियाँ अलग-अलग प्रकृति की होती हैं।

इंजीनियरिंग माप के लिए, व्यवस्थित और यादृच्छिक निरपेक्ष त्रुटियों को संक्षेप में प्रस्तुत करना समझ में आता है

.

गणना की सरलता के लिए, कुल निरपेक्ष त्रुटि का अनुमान पूर्ण यादृच्छिक और पूर्ण व्यवस्थित (वाद्य) त्रुटियों के योग के रूप में लगाने की प्रथा है, यदि त्रुटियाँ परिमाण के समान क्रम की हैं, और यदि त्रुटियाँ हैं तो उनमें से किसी एक की उपेक्षा करना प्रथागत है। परिमाण के एक क्रम से अधिक (10 गुना) दूसरे से कम।

6). त्रुटि और परिणाम पूर्णांकित हैं. चूँकि माप परिणाम को मानों के अंतराल के रूप में प्रस्तुत किया जाता है, जिसका मान कुल निरपेक्ष त्रुटि से निर्धारित होता है, परिणाम और त्रुटि का सही पूर्णांकन महत्वपूर्ण है।

पूर्णांकन पूर्ण त्रुटि से प्रारंभ होता है!!!त्रुटि मान में छोड़े गए महत्वपूर्ण अंकों की संख्या, आम तौर पर बोलना, विश्वसनीयता गुणांक और माप की संख्या पर निर्भर करती है। हालाँकि, बहुत के लिए भी सटीक माप(उदाहरण के लिए, खगोलीय), जिसमें त्रुटि का सटीक मान महत्वपूर्ण है, दो से अधिक महत्वपूर्ण अंक न छोड़ें। बड़ी संख्या में संख्याओं का कोई मतलब नहीं है, क्योंकि त्रुटि की परिभाषा की अपनी त्रुटि होती है। हमारी कार्यशाला में अपेक्षाकृत कम विश्वसनीयता गुणांक और कम संख्या में माप हैं। इसलिए, जब (अतिरिक्त के साथ) पूर्णांकन किया जाता है, तो कुल पूर्ण त्रुटि एक महत्वपूर्ण अंक पर छोड़ दी जाती है।

पूर्ण त्रुटि के महत्वपूर्ण अंक का अंक परिणाम मान में पहले संदिग्ध अंक का अंक निर्धारित करता है। नतीजतन, परिणाम का मान स्वयं उस महत्वपूर्ण अंक तक पूर्णांकित किया जाना चाहिए (सुधार के साथ) जिसका अंक त्रुटि के महत्वपूर्ण अंक के अंक से मेल खाता है। तैयार किया गया नियम उन मामलों में भी लागू किया जाना चाहिए जहां कुछ संख्याएं शून्य हैं।

यदि शरीर का वजन मापते समय प्राप्त परिणाम है, तो संख्या 0.900 के अंत में शून्य लिखना आवश्यक है। रिकॉर्डिंग का मतलब यह होगा कि अगले महत्वपूर्ण आंकड़ों के बारे में कुछ भी नहीं पता था, जबकि माप से पता चला कि वे शून्य थे।

7). परिकलित सापेक्ष त्रुटि.

सापेक्ष त्रुटि को पूर्णांकित करते समय, दो महत्वपूर्ण अंक छोड़ना पर्याप्त है।

आरएक निश्चित भौतिक मात्रा के माप की एक श्रृंखला का परिणाम मूल्यों के अंतराल के रूप में प्रस्तुत किया जाता है, जो इस अंतराल में आने वाले वास्तविक मूल्य की संभावना को दर्शाता है, अर्थात, परिणाम को इस रूप में लिखा जाना चाहिए:

यहां कुल निरपेक्ष त्रुटि है, जिसे पहले महत्वपूर्ण अंक तक पूर्णांकित किया गया है, और मापा मूल्य का औसत मूल्य है, जिसे पहले से ही पूर्णांकित त्रुटि को ध्यान में रखते हुए पूर्णांकित किया गया है। माप परिणाम रिकॉर्ड करते समय, आपको मूल्य की माप की इकाई का संकेत देना होगा।

आइए कुछ उदाहरण देखें:

1. मान लीजिए कि किसी खंड की लंबाई मापते समय, हमें निम्नलिखित परिणाम प्राप्त हुए: सेमी और सेमी। किसी खंड की लंबाई मापने के परिणाम को सही ढंग से कैसे लिखें? सबसे पहले, हम पूर्ण त्रुटि को आधिक्य के साथ पूर्णांकित करते हैं, एक महत्वपूर्ण अंक छोड़ते हैं, त्रुटि का महत्वपूर्ण अंक सौवें स्थान पर देखते हैं। फिर, सुधार के साथ, हम औसत मान को निकटतम सौवें तक पूर्णांकित करते हैं, अर्थात, उस महत्वपूर्ण अंक तक जिसका अंक त्रुटि के महत्वपूर्ण अंक के अंक से मेल खाता है सापेक्ष त्रुटि की गणना करें देखें

.

सेमी; ; .

2. आइए मान लें कि कंडक्टर प्रतिरोध की गणना करते समय हमें निम्नलिखित परिणाम प्राप्त हुआ: और . सबसे पहले, हम एक महत्वपूर्ण अंक छोड़कर, पूर्ण त्रुटि को पूर्णांकित करते हैं। फिर हम औसत को निकटतम पूर्णांक तक पूर्णांकित करते हैं। सापेक्ष त्रुटि की गणना करें

.

हम माप परिणाम इस प्रकार लिखते हैं:

; ; .

3. मान लीजिए कि भार के द्रव्यमान की गणना करते समय हमें निम्नलिखित परिणाम प्राप्त हुआ: किलो और किलो. सबसे पहले, हम एक महत्वपूर्ण अंक छोड़कर, पूर्ण त्रुटि को पूर्णांकित करते हैं किग्रा. फिर हम औसत को निकटतम दहाई तक पूर्णांकित करते हैं किग्रा. सापेक्ष त्रुटि की गणना करें

.

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त्रुटियों के सिद्धांत पर प्रश्न और कार्य

1. किसी भौतिक राशि को मापने का क्या मतलब है? उदाहरण दीजिए.

2. माप त्रुटियाँ क्यों होती हैं?

3. पूर्ण त्रुटि क्या है?

4. सापेक्ष त्रुटि क्या है?

5. कौन सी त्रुटि माप की गुणवत्ता को दर्शाती है? उदाहरण दीजिए.

6. कॉन्फिडेंस इंटरवल क्या है?

7. "व्यवस्थित त्रुटि" की अवधारणा को परिभाषित करें।

8. व्यवस्थित त्रुटियों के क्या कारण हैं?

9. सटीकता वर्ग क्या है उपकरण को मापना?

10. विभिन्न भौतिक उपकरणों की पूर्ण त्रुटियाँ कैसे निर्धारित की जाती हैं?

11. किन त्रुटियों को यादृच्छिक कहा जाता है और वे कैसे उत्पन्न होती हैं?

12. माध्य वर्ग त्रुटि की गणना करने की प्रक्रिया का वर्णन करें।

13. प्रत्यक्ष माप की पूर्ण यादृच्छिक त्रुटि की गणना करने की प्रक्रिया का वर्णन करें।

14. "विश्वसनीयता कारक" क्या है?

15. छात्र गुणांक किस पैरामीटर पर और कैसे निर्भर करता है?

16. प्रत्यक्ष माप की कुल निरपेक्ष त्रुटि की गणना कैसे की जाती है?

17. अप्रत्यक्ष माप की सापेक्ष और निरपेक्ष त्रुटियों को निर्धारित करने के लिए सूत्र लिखें।

18. किसी त्रुटि के साथ परिणाम को पूर्णांकित करने के नियम बनाएं।

19. 0.5 सेमी के विभाजन मान वाले टेप माप का उपयोग करके दीवार की लंबाई मापने में सापेक्ष त्रुटि ज्ञात करें। मापा गया मान 4.66 मीटर था।

20. आयत की भुजाओं A और B की लंबाई मापते समय, क्रमशः निरपेक्ष त्रुटियाँ ΔA और ΔB बनीं। इन मापों के परिणामों से क्षेत्र का निर्धारण करते समय प्राप्त पूर्ण त्रुटि ΔS की गणना करने के लिए एक सूत्र लिखें।

21. घन किनारे की लंबाई L की माप में त्रुटि ΔL थी। इन मापों के परिणामों के आधार पर घन के आयतन की सापेक्ष त्रुटि निर्धारित करने के लिए एक सूत्र लिखें।

22. एक पिंड आराम की अवस्था से समान रूप से त्वरित गति से आगे बढ़ा। त्वरण की गणना करने के लिए, हमने पिंड द्वारा तय किए गए पथ S और उसकी गति के समय t को मापा। इन प्रत्यक्ष मापों की पूर्ण त्रुटियाँ क्रमशः ΔS और Δt थीं। इन आंकड़ों से सापेक्ष त्वरण त्रुटि की गणना करने के लिए एक सूत्र प्राप्त करें।

23. माप डेटा के अनुसार हीटिंग डिवाइस की शक्ति की गणना करते समय, पाव = 2361.7893735 डब्ल्यू और ΔР = 35.4822 डब्ल्यू मान प्राप्त किए गए थे। परिणाम को विश्वास अंतराल के रूप में रिकॉर्ड करें, आवश्यकतानुसार पूर्णांकन करें।

24. माप डेटा के आधार पर प्रतिरोध मान की गणना करते समय, निम्नलिखित मान प्राप्त हुए: राव = 123.7893735 ओम, ΔR = 0.348 ओम। परिणाम को विश्वास अंतराल के रूप में रिकॉर्ड करें, आवश्यकतानुसार पूर्णांकन करें।

25. माप डेटा के आधार पर घर्षण गुणांक की गणना करते समय, मान μav = 0.7823735 और Δμ = 0.03348 प्राप्त हुए। परिणाम को विश्वास अंतराल के रूप में रिकॉर्ड करें, आवश्यकतानुसार पूर्णांकन करें।

26. 1.5 की सटीकता वर्ग और 50 ए की स्केल रेटिंग वाले एक उपकरण का उपयोग करके 16.6 ए की धारा निर्धारित की गई थी। इस माप की पूर्ण वाद्य और सापेक्ष त्रुटियां खोजें।

27. पेंडुलम के दोलन की अवधि के 5 मापों की श्रृंखला में, निम्नलिखित मान प्राप्त हुए: 2.12 s, 2.10 s, 2.11 s, 2.14 s, 2.13 s. इन आंकड़ों से अवधि निर्धारित करने में पूर्ण यादृच्छिक त्रुटि ज्ञात कीजिए।

28. एक निश्चित ऊँचाई से भार गिराने का प्रयोग 6 बार दोहराया गया। इस मामले में, लोड गिरने के समय के निम्नलिखित मान प्राप्त हुए: 38.0 सेकेंड, 37.6 सेकेंड, 37.9 सेकेंड, 37.4 सेकेंड, 37.5 सेकेंड, 37.7 सेकेंड। पतझड़ का समय निर्धारित करने में सापेक्ष त्रुटि ज्ञात कीजिए।

विभाजन मान एक मापा गया मान है जिसके कारण सूचक एक विभाजन से विचलित हो जाता है। विभाजन मान को डिवाइस की माप की ऊपरी सीमा और स्केल डिवीजनों की संख्या के अनुपात के रूप में निर्धारित किया जाता है।

माप उपकरण में निहित त्रुटियों के कारण, चुनी गई विधि और माप प्रक्रिया में अंतर होता है बाहरी स्थितियाँ, जिसमें माप किया जाता है, स्थापित और अन्य कारणों से, लगभग हर माप का परिणाम त्रुटि से भरा होता है। इस त्रुटि की गणना या अनुमान लगाया जाता है और प्राप्त परिणाम को सौंपा जाता है।

माप परिणाम त्रुटि(संक्षेप में - माप त्रुटि) - मापे गए मान के वास्तविक मान से माप परिणाम का विचलन।

त्रुटियों की उपस्थिति के कारण मात्रा का सही मूल्य अज्ञात रहता है। इसका उपयोग मेट्रोलॉजी की सैद्धांतिक समस्याओं को हल करने में किया जाता है। व्यवहार में, मात्रा के वास्तविक मूल्य का उपयोग किया जाता है, जो वास्तविक मूल्य को प्रतिस्थापित कर देता है।

माप त्रुटि (Δx) सूत्र का उपयोग करके पाई जाती है:

x = x माप. - एक्स वैध (1.3)

जहां x माप. - माप के आधार पर प्राप्त मात्रा का मूल्य; x वैध - मात्रा का वास्तविक मान लिया गया।

एकल माप के लिए, वास्तविक मान को अक्सर एक मानक माप उपकरण का उपयोग करके प्राप्त मूल्य के रूप में लिया जाता है, कई मापों के लिए, किसी दिए गए श्रृंखला में शामिल व्यक्तिगत माप के मूल्यों का अंकगणितीय माध्य।

मापन त्रुटियों को निम्नलिखित मानदंडों के अनुसार वर्गीकृत किया जा सकता है:

अभिव्यक्तियों की प्रकृति से - व्यवस्थित और यादृच्छिक;

अभिव्यक्ति की विधि के अनुसार - निरपेक्ष एवं सापेक्ष;

मापा मूल्य में परिवर्तन की शर्तों के अनुसार - स्थिर और गतिशील;

कई मापों को संसाधित करने की विधि के अनुसार - अंकगणितीय औसत और मूल माध्य वर्ग;

माप कार्य के कवरेज की पूर्णता के अनुसार - आंशिक और पूर्ण;

भौतिक मात्रा की एक इकाई के संबंध में - इकाई को पुन: प्रस्तुत करने, इकाई को संग्रहीत करने और इकाई के आकार को प्रसारित करने में त्रुटियां।

व्यवस्थित माप त्रुटि(संक्षेप में - व्यवस्थित त्रुटि) - माप परिणाम की त्रुटि का एक घटक जो माप की किसी श्रृंखला के लिए स्थिर रहता है या एक ही भौतिक मात्रा के बार-बार माप के साथ स्वाभाविक रूप से बदलता है।

उनकी अभिव्यक्ति की प्रकृति के अनुसार, व्यवस्थित त्रुटियों को स्थायी, प्रगतिशील और आवधिक में विभाजित किया गया है। लगातार व्यवस्थित त्रुटियाँ(संक्षेप में - निरंतर त्रुटियाँ) - त्रुटियाँ, लंबे समय तकउनके मूल्य को बनाए रखना (उदाहरण के लिए, माप की पूरी श्रृंखला के दौरान)। यह त्रुटि का सबसे सामान्य प्रकार है.

प्रगतिशील व्यवस्थित त्रुटियाँ(संक्षेप में - प्रगतिशील त्रुटियां) - लगातार बढ़ती या घटती त्रुटियां (उदाहरण के लिए, सक्रिय नियंत्रण उपकरण के साथ निगरानी करते समय पीसने की प्रक्रिया के दौरान भाग के संपर्क में आने वाली मापने वाली युक्तियों के पहनने से त्रुटियां)।

आवधिक व्यवस्थित त्रुटि(संक्षेप में - आवधिक त्रुटि) - एक त्रुटि, जिसका मान समय का एक कार्य या मापने वाले उपकरण के सूचक की गति का एक कार्य है (उदाहरण के लिए, एक गोलाकार पैमाने के साथ गोनियोमीटर उपकरणों में विलक्षणता की उपस्थिति एक व्यवस्थित कारण बनती है) त्रुटि जो एक आवधिक कानून के अनुसार भिन्न होती है)।

व्यवस्थित त्रुटियों के प्रकट होने के कारणों के आधार पर, वाद्य त्रुटियों, विधि त्रुटियों, व्यक्तिपरक त्रुटियों और विधियों द्वारा स्थापित बाहरी माप स्थितियों के विचलन के कारण त्रुटियों के बीच अंतर किया जाता है।

वाद्य माप त्रुटि(संक्षेप में - वाद्य त्रुटि) कई कारणों का परिणाम है: उपकरण भागों का घिसाव, उपकरण तंत्र में अत्यधिक घर्षण, पैमाने पर स्ट्रोक का गलत अंकन, माप के वास्तविक और नाममात्र मूल्यों के बीच विसंगति, आदि।

मापन विधि त्रुटि(संक्षेप में - विधि त्रुटि) माप पद्धति की अपूर्णता या माप पद्धति द्वारा स्थापित इसके सरलीकरण के कारण उत्पन्न हो सकती है। उदाहरण के लिए, ऐसी त्रुटि तेज प्रक्रियाओं के मापदंडों को मापते समय उपयोग किए जाने वाले माप उपकरणों के अपर्याप्त प्रदर्शन या किसी पदार्थ के द्रव्यमान और आयतन को मापने के परिणामों के आधार पर उसके घनत्व का निर्धारण करते समय अशुद्धियों के लिए बेहिसाब प्रदर्शन के कारण हो सकती है।

व्यक्तिपरक माप त्रुटि(संक्षेप में - व्यक्तिपरक त्रुटि) ऑपरेटर की व्यक्तिगत त्रुटियों के कारण होती है। इस त्रुटि को कभी-कभी व्यक्तिगत अंतर भी कहा जाता है। उदाहरण के लिए, यह ऑपरेटर द्वारा सिग्नल स्वीकार करने में देरी या पहले से होने के कारण होता है।

विचलन के कारण त्रुटि(एक दिशा में) माप तकनीक द्वारा स्थापित बाहरी माप स्थितियों से माप त्रुटि के एक व्यवस्थित घटक का उद्भव होता है।

व्यवस्थित त्रुटियाँ माप परिणाम को विकृत करती हैं, इसलिए व्यवस्थित त्रुटियों को स्वीकार्य न्यूनतम पर लाने के लिए सुधार शुरू करके या डिवाइस को समायोजित करके उन्हें यथासंभव समाप्त किया जाना चाहिए।

बहिष्कृत व्यवस्थित त्रुटि(संक्षेप में - गैर-बहिष्कृत त्रुटि) माप परिणाम की त्रुटि है, गणना में त्रुटि के कारण और एक व्यवस्थित त्रुटि की कार्रवाई के लिए सुधार की शुरूआत, या एक छोटी व्यवस्थित त्रुटि, जिसके लिए सुधार पेश नहीं किया गया है इसके छोटेपन के लिए.

कभी-कभी इस प्रकार की त्रुटि कहलाती है व्यवस्थित त्रुटि के गैर-बहिष्कृत अवशेष(संक्षेप में - गैर-बहिष्कृत शेष)। उदाहरण के लिए, संदर्भ विकिरण की तरंग दैर्ध्य में एक लाइन मीटर की लंबाई मापते समय, कई गैर-बहिष्कृत व्यवस्थित त्रुटियों की पहचान की गई (i): गलत तापमान माप के कारण - 1; हवा के अपवर्तनांक के गलत निर्धारण के कारण - 2, गलत तरंग दैर्ध्य के कारण - 3।

आमतौर पर गैर-बहिष्कृत व्यवस्थित त्रुटियों के योग को ध्यान में रखा जाता है (उनकी सीमाएँ निर्धारित की जाती हैं)। जब पदों की संख्या N ≤ 3 है, तो गैर-बहिष्कृत व्यवस्थित त्रुटियों की सीमा की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है

जब पदों की संख्या N ≥ 4 होती है, तो गणना के लिए सूत्र का उपयोग किया जाता है

(1.5)

जहां k चयनित आत्मविश्वास संभावना P पर गैर-बहिष्कृत व्यवस्थित त्रुटियों की निर्भरता का गुणांक है जब वे समान रूप से वितरित होते हैं। P = 0.99 पर, k = 1.4, P = 0.95 पर, k = 1.1.

यादृच्छिक माप त्रुटि(संक्षेप में - यादृच्छिक त्रुटि) - माप परिणाम की त्रुटि का एक घटक जो भौतिक मात्रा के समान आकार के माप की श्रृंखला में यादृच्छिक रूप से (चिह्न और मूल्य में) बदलता है। यादृच्छिक त्रुटियों के कारण: रीडिंग लेते समय पूर्णांकन त्रुटियाँ, रीडिंग में भिन्नता, माप स्थितियों में परिवर्तन यादृच्छिकवगैरह।

यादृच्छिक त्रुटियाँ एक श्रृंखला में माप परिणामों के बिखराव का कारण बनती हैं।

त्रुटियों का सिद्धांत अभ्यास द्वारा पुष्टि किए गए दो सिद्धांतों पर आधारित है:

1. बड़ी संख्या में मापों के साथ, उसी की यादृच्छिक त्रुटियाँ संख्यात्मक मान, लेकिन अलग संकेत, समान रूप से अक्सर घटित होता है;

2. बड़ी (निरपेक्ष मूल्य में) त्रुटियाँ छोटी त्रुटियों की तुलना में कम आम हैं।

पहली स्थिति से अभ्यास के लिए एक महत्वपूर्ण निष्कर्ष निकलता है: जैसे-जैसे माप की संख्या बढ़ती है, माप की एक श्रृंखला से प्राप्त परिणाम की यादृच्छिक त्रुटि कम हो जाती है, क्योंकि किसी दी गई श्रृंखला के व्यक्तिगत माप की त्रुटियों का योग शून्य हो जाता है, अर्थात।

(1.6)

उदाहरण के लिए, माप के परिणामस्वरूप, कई मान प्राप्त हुए विद्युत प्रतिरोध(व्यवस्थित त्रुटियों के लिए सही): आर 1 = 15.5 ओम, आर 2 = 15.6 ओम, आर 3 = 15.4 ओम, आर 4 = 15.6 ओम और आर 5 = 15.4 ओम। अत: आर = 15.5 ओम। आर (आर 1 = 0.0; आर 2 = +0.1 ओम, आर 3 = -0.1 ओम, आर 4 = +0.1 ओम और आर 5 = -0.1 ओम) से विचलन इस श्रृंखला में व्यक्तिगत माप की यादृच्छिक त्रुटियां हैं। यह सत्यापित करना आसान है कि योग R i = 0.0 है। यह इंगित करता है कि इस श्रृंखला के व्यक्तिगत मापों में त्रुटियों की गणना सही ढंग से की गई थी।

इस तथ्य के बावजूद कि जैसे-जैसे माप की संख्या बढ़ती है, यादृच्छिक त्रुटियों का योग शून्य (इंच) हो जाता है इस उदाहरण मेंयह गलती से शून्य के बराबर निकला), माप परिणाम की यादृच्छिक त्रुटि का आकलन किया जाना चाहिए। यादृच्छिक चर के सिद्धांत में मूल्यों के प्रकीर्णन की विशेषता है अनियमित परिवर्तनशील वस्तुफैलाव o2 के रूप में कार्य करता है। "|/o2 = a को जनसंख्या का माध्य वर्ग विचलन या मानक विचलन कहा जाता है।

यह फैलाव की तुलना में अधिक सुविधाजनक है, क्योंकि इसका आयाम मापी गई मात्रा के आयाम से मेल खाता है (उदाहरण के लिए, मात्रा का मान वोल्ट में प्राप्त होता है, मानक विचलन भी वोल्ट में होगा)। चूंकि माप अभ्यास में हम "त्रुटि" शब्द से निपटते हैं, इसलिए व्युत्पन्न शब्द "माध्य वर्ग त्रुटि" का उपयोग कई मापों को चिह्नित करने के लिए किया जाना चाहिए। मापों की एक श्रृंखला की एक विशेषता अंकगणितीय माध्य त्रुटि या माप परिणामों की सीमा हो सकती है।

माप परिणामों की सीमा (संक्षेप में अवधि) - बीजगणितीय अंतर n मापों की श्रृंखला (या नमूना) बनाने वाले व्यक्तिगत मापों के सबसे बड़े और सबसे छोटे परिणाम:

आर एन = एक्स अधिकतम - एक्स मिनट (1.7)

जहां R n रेंज है; एक्स अधिकतम और एक्स मिनट - सबसे बड़ा और सबसे छोटा मूल्यमाप की दी गई श्रृंखला में मान।

उदाहरण के लिए, छेद व्यास डी के पांच मापों में से, मान आर 5 = 25.56 मिमी और आर 1 = 25.51 मिमी इसके अधिकतम और न्यूनतम मान निकले। इस स्थिति में, आर एन = डी 5 - डी 1 = 25.56 मिमी - 25.51 मिमी = 0.05 मिमी। इसका मतलब यह है कि इस श्रृंखला में शेष त्रुटियाँ 0.05 मिमी से कम हैं।

किसी शृंखला में किसी व्यक्तिगत माप की अंकगणित माध्य त्रुटि(संक्षेप में - अंकगणित माध्य त्रुटि) - सूत्र द्वारा गणना की गई एन समान-सटीक स्वतंत्र माप की श्रृंखला में शामिल व्यक्तिगत माप परिणामों (समान मात्रा के) के बिखरने (यादृच्छिक कारणों के कारण) की एक सामान्यीकृत विशेषता

(1.8)

जहां X i श्रृंखला में शामिल i-वें माप का परिणाम है; x, n मानों का अंकगणितीय माध्य है: |Х і - X| — i-वें माप की त्रुटि का पूर्ण मान; r अंकगणित माध्य त्रुटि है.

औसत अंकगणितीय त्रुटि p का सही मान संबंध से निर्धारित होता है

पी = लिमआर, (1.9)

अंकगणित माध्य (आर) और मूल माध्य वर्ग के बीच माप की संख्या n > 30 के साथ (एस)त्रुटियों के बीच सहसंबंध हैं

एस = 1.25 आर; आर और= 0.80 एस. (1.10)

अंकगणित माध्य त्रुटि का लाभ इसकी गणना की सरलता है। लेकिन फिर भी, माध्य वर्ग त्रुटि अधिक बार निर्धारित की जाती है।

माध्य वर्ग त्रुटिएक श्रृंखला में व्यक्तिगत माप (संक्षेप में - औसत वर्ग त्रुटि) - एक श्रृंखला में शामिल व्यक्तिगत माप परिणामों (समान मूल्य के) के बिखरने (यादृच्छिक कारणों के कारण) की एक सामान्यीकृत विशेषता एनसमान-सटीकता स्वतंत्र माप, सूत्र द्वारा गणना की गई

(1.11)

के लिए माध्य वर्ग त्रुटि सामान्य नमूनाओ, जो एस की सांख्यिकीय सीमा है, सूत्र का उपयोग करके /i-mx > पर गणना की जा सकती है:

Σ = लिम एस (1.12)

वास्तव में, मापों की संख्या हमेशा सीमित होती है, इसलिए यह σ नहीं है , और इसका अनुमानित मूल्य (या अनुमान), जो एस है। अधिक पी, s अपनी सीमा σ के जितना करीब है .

पर सामान्य कानूनवितरण, संभावना है कि एक श्रृंखला में एक व्यक्तिगत माप की त्रुटि गणना की गई औसत वर्ग त्रुटि से अधिक नहीं होगी छोटी है: 0.68। इसलिए, 100 में से 32 मामलों में या 10 में से 3 मामलों में, वास्तविक त्रुटि गणना की गई त्रुटि से अधिक हो सकती है।

चित्र 1.2 एक श्रृंखला में मापों की संख्या में वृद्धि के साथ एकाधिक मापों के परिणाम की यादृच्छिक त्रुटि के मूल्य में कमी

मापों की एक श्रृंखला में, किसी व्यक्तिगत माप के मूल माध्य वर्ग त्रुटि और अंकगणितीय माध्य S x के मूल माध्य वर्ग त्रुटि के बीच एक संबंध होता है:

जिसे अक्सर "यूएन नियम" कहा जाता है। इस नियम से यह निष्कर्ष निकलता है कि यादृच्छिक कारणों से होने वाली माप त्रुटि को n गुना तक कम किया जा सकता है यदि किसी भी मात्रा के समान आकार के n माप किए जाते हैं, और अंकगणितीय माध्य को अंतिम परिणाम के रूप में लिया जाता है (चित्र 1.2)।

एक श्रृंखला में कम से कम 5 माप करने से यादृच्छिक त्रुटियों के प्रभाव को 2 गुना से अधिक कम करना संभव हो जाता है। 10 मापों के साथ, यादृच्छिक त्रुटि का प्रभाव 3 गुना कम हो जाता है। मापों की संख्या में और वृद्धि हमेशा आर्थिक रूप से संभव नहीं होती है और, एक नियम के रूप में, केवल महत्वपूर्ण मापों के लिए ही की जाती है जिनके लिए उच्च सटीकता की आवश्यकता होती है।

कई सजातीय दोहरे मापों से एकल माप की मूल माध्य वर्ग त्रुटि S α की गणना सूत्र द्वारा की जाती है

(1.14)

जहां x" i और x"" i एक माप उपकरण के साथ आगे और पीछे की दिशाओं में समान आकार की मात्रा के माप के i-वें परिणाम हैं।

असमान माप के मामले में, श्रृंखला में अंकगणितीय औसत का मूल माध्य वर्ग त्रुटि सूत्र द्वारा निर्धारित की जाती है

(1.15)

जहाँ p i असमान मापों की श्रृंखला में i-वें माप का भार है।

मान Y के अप्रत्यक्ष माप के परिणाम की मूल माध्य वर्ग त्रुटि, जो Y = F (X 1, X 2, X n) का एक फ़ंक्शन है, की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है

(1.16)

जहां S 1, S 2, S n मात्राओं X 1, X 2, X n के माप परिणामों की मूल माध्य वर्ग त्रुटियां हैं।

यदि, संतोषजनक परिणाम प्राप्त करने में अधिक विश्वसनीयता के लिए, माप की कई श्रृंखलाएं की जाती हैं, तो एम श्रृंखला (एस एम) से व्यक्तिगत माप की मूल माध्य वर्ग त्रुटि सूत्र का उपयोग करके पाई जाती है

(1.17)

जहाँ n श्रृंखला में मापों की संख्या है; एन- कुल गणनासभी श्रृंखलाओं में माप; मी श्रृंखला की संख्या है.

मापों की सीमित संख्या के साथ, मूल माध्य वर्ग त्रुटि जानना अक्सर आवश्यक होता है। सूत्र (2.7) द्वारा गणना की गई त्रुटि एस, और सूत्र (2.12) द्वारा गणना की गई त्रुटि एस एम निर्धारित करने के लिए, आप निम्नलिखित अभिव्यक्तियों का उपयोग कर सकते हैं

(1.18)

(1.19)

जहां S और S m क्रमशः S और S m की माध्य वर्ग त्रुटियां हैं।

उदाहरण के लिए, लंबाई x के कई मापों के परिणामों को संसाधित करते समय, हमें प्राप्त हुआ

= 86 मिमी 2 पर एन = 10,

= 3.1 मिमी

= 0.7 मिमी या एस = ±0.7 मिमी

मान S = ±0.7 मिमी का अर्थ है कि गणना त्रुटि के कारण, s 2.4 से 3.8 मिमी की सीमा में है, इसलिए एक मिलीमीटर का दसवां हिस्सा यहां अविश्वसनीय है। विचाराधीन मामले में, हमें लिखना होगा: S = ±3 मिमी।

माप परिणाम की त्रुटि का आकलन करने में अधिक आत्मविश्वास रखने के लिए, त्रुटि की आत्मविश्वास त्रुटि या आत्मविश्वास सीमा की गणना करें। सामान्य वितरण कानून के तहत, त्रुटि की आत्मविश्वास सीमा की गणना ±t-s या ±t-s x के रूप में की जाती है, जहां s और s x क्रमशः श्रृंखला में एक व्यक्तिगत माप और अंकगणित माध्य की माध्य वर्ग त्रुटियां हैं; t एक संख्या है जो विश्वास संभाव्यता P और माप n की संख्या पर निर्भर करती है।

एक महत्वपूर्ण अवधारणा माप परिणाम (α) की विश्वसनीयता है, अर्थात। संभावना है कि मापी गई मात्रा का वांछित मान किसी दिए गए विश्वास अंतराल के भीतर आएगा।

उदाहरण के लिए, जब एक स्थिर तकनीकी मोड में मशीन टूल्स पर भागों को संसाधित किया जाता है, तो त्रुटियों का वितरण सामान्य कानून का पालन करता है। आइए मान लें कि भाग की लंबाई सहनशीलता 2a पर सेट है। इस मामले में, विश्वास अंतराल जिसमें भाग की लंबाई का वांछित मान स्थित है (ए - ए, ए + ए) होगा।

यदि 2a = ±3s, तो परिणाम की विश्वसनीयता a = 0.68 है, यानी 100 में से 32 मामलों में किसी को भाग का आकार सहनशीलता 2a से अधिक होने की उम्मीद करनी चाहिए। 2a = ±3s की सहनशीलता के अनुसार किसी भाग की गुणवत्ता का आकलन करते समय, परिणाम की विश्वसनीयता 0.997 होगी। इस मामले में, हम 1000 में से केवल तीन भागों के स्थापित सहनशीलता से अधिक होने की उम्मीद कर सकते हैं, हालाँकि, विश्वसनीयता में वृद्धि केवल भाग की लंबाई में त्रुटि को कम करके ही संभव है। इस प्रकार, विश्वसनीयता को a = 0.68 से a = 0.997 तक बढ़ाने के लिए, भाग की लंबाई में त्रुटि को तीन गुना कम करना होगा।

में हाल ही में"माप विश्वसनीयता" शब्द व्यापक हो गया है। कुछ मामलों में, इसे "माप सटीकता" शब्द के स्थान पर अनुचित रूप से उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, कुछ स्रोतों में आप "देश में माप की एकता और विश्वसनीयता स्थापित करना" अभिव्यक्ति पा सकते हैं। जबकि यह कहना अधिक सही होगा कि "माप की एकता और आवश्यक सटीकता स्थापित करना।" हम विश्वसनीयता को एक गुणात्मक विशेषता मानते हैं जो यादृच्छिक त्रुटियों के शून्य की निकटता को दर्शाती है। इसे माप की अविश्वसनीयता के माध्यम से मात्रात्मक रूप से निर्धारित किया जा सकता है।

माप की अविश्वसनीयता(संक्षेप में - अविश्वसनीयता) - यादृच्छिक त्रुटियों (सांख्यिकीय और गैर-सांख्यिकीय तरीकों द्वारा निर्धारित) के कुल प्रभाव के प्रभाव के कारण माप की एक श्रृंखला में परिणामों के बीच विसंगति का आकलन, मूल्यों की सीमा द्वारा विशेषता जिसमें मापे गए मूल्य का सही मूल्य स्थित है।

अंतर्राष्ट्रीय वजन और माप ब्यूरो की सिफारिशों के अनुसार, अविश्वसनीयता को कुल माध्य वर्ग माप त्रुटि - सु के रूप में व्यक्त किया जाता है, जिसमें माध्य वर्ग त्रुटि एस (सांख्यिकीय विधियों द्वारा निर्धारित) और माध्य वर्ग त्रुटि यू (निर्धारित) शामिल है गैर-सांख्यिकीय तरीकों से), यानी

(1.20)

अधिकतम माप त्रुटि(संक्षेप में - अधिकतम त्रुटि) - अधिकतम माप त्रुटि (प्लस, माइनस), जिसकी संभावना मान P से अधिक नहीं है, जबकि अंतर 1 - P महत्वहीन है।

उदाहरण के लिए, सामान्य वितरण कानून के साथ, ±3s के बराबर यादृच्छिक त्रुटि की संभावना 0.997 है, और अंतर 1-पी = 0.003 नगण्य है। इसलिए, कई मामलों में, ±3s की आत्मविश्वास त्रुटि को अधिकतम माना जाता है, अर्थात। पीआर = ±3s. यदि आवश्यक हो, तो पर्याप्त बड़े P (2s, 2.5s, 4s, आदि) पर pr के s के साथ अन्य संबंध हो सकते हैं।

इस तथ्य के कारण कि जीएसआई मानकों में, "माध्य वर्ग त्रुटि" शब्द के बजाय, "माध्य वर्ग विचलन" शब्द का उपयोग किया जाता है, आगे की चर्चा में हम इसी शब्द का पालन करेंगे।

पूर्ण माप त्रुटि(संक्षेप में - पूर्ण त्रुटि) - मापी गई मान की इकाइयों में व्यक्त माप त्रुटि। इस प्रकार, भाग X की लंबाई मापने में त्रुटि X, माइक्रोमीटर में व्यक्त, एक पूर्ण त्रुटि का प्रतिनिधित्व करती है।

शब्दों "पूर्ण त्रुटि" और "त्रुटि का पूर्ण मूल्य" को भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए, जिसे संकेत को ध्यान में रखे बिना त्रुटि के मूल्य के रूप में समझा जाता है। इसलिए, यदि पूर्ण माप त्रुटि ±2 μV है, तो त्रुटि का पूर्ण मान 0.2 μV होगा।

सापेक्ष माप त्रुटि(संक्षेप में - सापेक्ष त्रुटि) - माप त्रुटि, मापे गए मूल्य के अंशों में या प्रतिशत के रूप में व्यक्त की जाती है। सापेक्ष त्रुटि δ संबंधों से पाई जाती है:

(1.21)

उदाहरण के लिए, भाग की लंबाई का वास्तविक मान x = 10.00 मिमी और त्रुटि का निरपेक्ष मान x = 0.01 मिमी है। सापेक्ष त्रुटि होगी

स्थैतिक त्रुटि— स्थैतिक माप की स्थितियों के कारण माप परिणाम में त्रुटि।

गतिशील त्रुटि— गतिशील माप की स्थितियों के कारण माप परिणाम में त्रुटि।

इकाई पुनरुत्पादन त्रुटि- भौतिक मात्रा की एक इकाई को पुन: प्रस्तुत करते समय किए गए माप के परिणाम में त्रुटि। इस प्रकार, एक राज्य मानक का उपयोग करके एक इकाई को पुन: प्रस्तुत करने में त्रुटि को उसके घटकों के रूप में दर्शाया गया है: गैर-बहिष्कृत व्यवस्थित त्रुटि, इसकी सीमा द्वारा विशेषता; वर्ष भर में मानक विचलन और अस्थिरता द्वारा विशेषता यादृच्छिक त्रुटि ν।

इकाई आकार संचरण त्रुटि— किसी इकाई का आकार संचारित करते समय किए गए माप के परिणाम में त्रुटि। इकाई आकार को संचारित करने में त्रुटि में इकाई आकार को संचारित करने की विधि और साधनों में गैर-बहिष्कृत व्यवस्थित त्रुटियां और यादृच्छिक त्रुटियां शामिल हैं (उदाहरण के लिए, एक तुलनित्र)।

इस विषय में मैं त्रुटियों पर एक संक्षिप्त चीट शीट जैसा कुछ लिखूंगा। फिर, यह पाठ किसी भी तरह से आधिकारिक नहीं है और इसका संदर्भ अस्वीकार्य है। मैं इस पाठ में होने वाली किसी भी त्रुटि या अशुद्धि के सुधार के लिए आभारी रहूंगा।

त्रुटि क्या है?

किसी प्रयोग के परिणाम को () रूप में रिकॉर्ड करने का अर्थ है कि यदि हम बहुत सारे समान प्रयोग करते हैं, तो 70% में प्राप्त परिणाम अंतराल में होंगे, और 30% में नहीं।

या, जो एक ही बात है, यदि हम प्रयोग को दोहराते हैं, तो नया परिणामविश्वास संभावना के बराबर संभावना के साथ विश्वास अंतराल के भीतर आ जाएगा।

त्रुटि और परिणाम को कैसे पूर्णांकित करें?

त्रुटि पूर्णांकित है पहले महत्वपूर्ण अंक तक, यदि यह एक नहीं है। यदि एक - तो दो तक। एक ही समय पर महत्वपूर्ण आंकड़ाअग्रणी शून्य को छोड़कर परिणाम के किसी भी अंक को कहा जाता है।

राउंड टू या या बट किसी भी परिस्थिति में नहीं या, चूंकि दोनों के बाद 2 महत्वपूर्ण अंक हैं - 2 और 0।

या तक पूर्णांकित करें

या तक पूर्णांकित करें या

हम परिणाम को इस प्रकार पूर्णांकित करते हैं कि अंतिम महत्वपूर्ण आंकड़ापरिणाम त्रुटि के अंतिम महत्वपूर्ण अंक के अनुरूप है।

उदाहरण सही प्रविष्टि:

मिमी

उम्म, आइए यहां त्रुटि को 2 सार्थक अंकों तक रखें क्योंकि त्रुटि में पहला सार्थक अंक एक है।

मिमी

उदाहरण ग़लत प्रविष्टि:

मम. यहाँ परिणामस्वरूप अतिरिक्त चिह्न. मिमी सही होगा.

मिमी. यहाँ अतिरिक्त चिह्नगलती से भी और परिणाम स्वरूप भी। मिमी सही होगा.

मैं अपने काम में मुझे दिए गए मान को केवल एक संख्या के रूप में उपयोग करता हूं। उदाहरण के लिए, वज़न का एक समूह। इसकी त्रुटि की संभावना क्या है?

यदि त्रुटि स्पष्ट रूप से इंगित नहीं की गई है, तो आप अंतिम अंक में से एक ले सकते हैं। अर्थात यदि m = 1.35 g लिखा है तो त्रुटि 0.01 g माननी चाहिए।

कई मात्राओं का एक कार्य होता है इनमें से प्रत्येक मात्रा की अपनी त्रुटि होती है। फ़ंक्शन की त्रुटि ढूंढने के लिए आपको निम्नलिखित कार्य करने होंगे:

प्रतीक का अर्थ x के संबंध में f का आंशिक व्युत्पन्न है। आंशिक डेरिवेटिव के बारे में और पढ़ें।

मान लीजिए आपने वही मात्रा मापी एक्सकई (एन) बार. हमें मूल्यों का एक सेट प्राप्त हुआ। . आपको स्कैटर त्रुटि की गणना करने, उपकरण त्रुटि की गणना करने और उन्हें एक साथ जोड़ने की आवश्यकता है।

बिंदु दर बिंदु.

1. हम प्रसार त्रुटि की गणना करते हैं

यदि सभी मान मेल खाते हैं, तो आपके पास कोई प्रसार नहीं है। अन्यथा, एक स्कैटर त्रुटि है जिसकी गणना करने की आवश्यकता है। आरंभ करने के लिए, औसत के मूल माध्य वर्ग त्रुटि की गणना की जाती है:

यहां मतलब कुल मिलाकर औसत से है.
स्कैटर त्रुटि माध्य के मूल माध्य वर्ग त्रुटि को छात्र गुणांक से गुणा करके प्राप्त की जाती है, जो आपके द्वारा चुनी गई आत्मविश्वास संभावना और माप की संख्या पर निर्भर करती है। एन:

हम नीचे दी गई तालिका से छात्र के गुणांक लेते हैं। आत्मविश्वास की संभावना मनमाने ढंग से उत्पन्न होती है, माप की संख्या एनहम भी जानते हैं.

2. हम औसत की उपकरण त्रुटि पर विचार करते हैं

यदि अलग-अलग बिंदुओं की त्रुटियां अलग-अलग हों तो सूत्र के अनुसार

स्वाभाविक रूप से, हर किसी के आत्मविश्वास की संभावना समान होनी चाहिए।

3. स्प्रेड के साथ औसत जोड़ें

त्रुटियाँ हमेशा वर्गों के मूल के रूप में जुड़ती हैं:

इस मामले में, आपको यह सुनिश्चित करने की ज़रूरत है कि जिन विश्वास संभावनाओं के साथ गणना की गई थी और वे मेल खाती हैं।

ग्राफ़ से औसत की उपकरण त्रुटि कैसे निर्धारित करें? खैर, यानी युग्मित बिंदुओं की विधि या विधि का उपयोग करना कम से कम वर्गों, हम औसत प्रतिरोध के प्रसार में त्रुटि पाएंगे। औसत प्रतिरोध की उपकरण त्रुटि कैसे ज्ञात करें?

न्यूनतम वर्ग विधि और युग्मित बिंदु विधि दोनों ही इस प्रश्न का सख्त उत्तर दे सकते हैं। स्वेतोज़ारोव में एमएलएस फोरम के लिए ("मूल बातें...", न्यूनतम वर्ग विधि के बारे में एक अनुभाग) है, और युग्मित बिंदुओं के लिए पहली बात जो दिमाग में आती है (माथे में, जैसा कि वे कहते हैं) वाद्य यंत्र की गणना करना है प्रत्येक की त्रुटि ढलान. खैर, सभी बिंदुओं पर आगे...

यदि आप कष्ट नहीं उठाना चाहते, तो प्रयोगशाला की किताबों में इसका एक सरल तरीका है अनुमानकोणीय गुणांक की उपकरण त्रुटि, अर्थात् निम्नलिखित एमएनसी से (उदाहरण के लिए, प्रयोगशाला पुस्तक "विद्युत माप उपकरण..." पद्धति संबंधी अनुशंसाओं के अंतिम पृष्ठ में कार्य 1 से पहले)।

खींची गई सीधी रेखा से त्रुटि वाले बिंदु के Y अक्ष के साथ अधिकतम विचलन कहां है, और हर Y अक्ष के साथ हमारे ग्राफ के क्षेत्र की चौड़ाई है, इसी तरह X अक्ष के लिए।

प्रतिरोध पत्रिका पर सटीकता वर्ग लिखा है: 0.05/4*10^-6? इससे यंत्र की त्रुटि कैसे ज्ञात करें?

इसका मतलब है कि डिवाइस की अधिकतम सापेक्ष त्रुटि (प्रतिशत में) इस प्रकार है:
, कहाँ
- उच्चतम मूल्यस्टोर प्रतिरोध, ए शामिल प्रतिरोध का नाममात्र मूल्य है।
यह देखना आसान है कि जब हम बहुत कम प्रतिरोध पर काम कर रहे होते हैं तो दूसरा पद महत्वपूर्ण होता है।

अधिक विवरण हमेशा डिवाइस पासपोर्ट में पाया जा सकता है। Google में डिवाइस का ब्रांड टाइप करके पासपोर्ट इंटरनेट पर पाया जा सकता है।

त्रुटियों के बारे में साहित्य

अधिकता अधिक जानकारीइस विषय पर नए छात्रों के लिए अनुशंसित पुस्तक में पाया जा सकता है:
वी.वी. स्वेतोज़ारोव "माप परिणामों का प्राथमिक प्रसंस्करण"

अतिरिक्त (नए छात्रों के लिए अतिरिक्त) साहित्य के रूप में हम अनुशंसा कर सकते हैं:
वी.वी. स्वेतोज़ारोव "माप परिणामों के सांख्यिकीय प्रसंस्करण के मूल सिद्धांत"

और जो लोग अंततः सब कुछ समझना चाहते हैं उन्हें निश्चित रूप से यहां देखना चाहिए:
जे. टेलर. "त्रुटि सिद्धांत का परिचय"

इन अद्भुत पुस्तकों को अपनी साइट पर ढूंढने और पोस्ट करने के लिए धन्यवाद।

1 परिचय

रसायनज्ञों, भौतिकविदों और अन्य प्राकृतिक विज्ञान व्यवसायों के प्रतिनिधियों के काम में अक्सर विभिन्न मात्राओं का मात्रात्मक माप करना शामिल होता है। इस मामले में, प्राप्त मूल्यों की विश्वसनीयता का विश्लेषण करने, प्रत्यक्ष माप के परिणामों को संसाधित करने और गणना की त्रुटियों का आकलन करने का सवाल उठता है जो सीधे मापा विशेषताओं के मूल्यों का उपयोग करते हैं (बाद की प्रक्रिया को परिणामों का प्रसंस्करण भी कहा जाता है) अप्रत्यक्षमाप)। कई वस्तुनिष्ठ कारणों से, त्रुटियों की गणना के बारे में मॉस्को स्टेट यूनिवर्सिटी के रसायन विज्ञान संकाय के स्नातकों का ज्ञान प्राप्त डेटा के सही प्रसंस्करण के लिए हमेशा पर्याप्त नहीं होता है। इनमें से एक कारण संकाय पाठ्यक्रम में माप परिणामों के सांख्यिकीय प्रसंस्करण पर एक पाठ्यक्रम की अनुपस्थिति है।

को इस पलनिस्संदेह, त्रुटियों की गणना के मुद्दे का विस्तृत अध्ययन किया गया है। मौजूद है बड़ी संख्या पद्धतिगत विकास, पाठ्यपुस्तकें आदि, जिनमें आप त्रुटियों की गणना के बारे में जानकारी पा सकते हैं। दुर्भाग्यवश, इनमें से अधिकतर कार्य अतिरिक्त कार्यों से भरे होते हैं और हमेशा नहीं आवश्यक जानकारी. विशेष रूप से, छात्र कार्यशालाओं के अधिकांश कार्यों में नमूनों की तुलना करना, अभिसरण का आकलन करना आदि जैसे कार्यों की आवश्यकता नहीं होती है। इसलिए, एक संक्षिप्त विकास बनाना उचित लगता है जो सबसे अधिक उपयोग की जाने वाली गणनाओं के लिए एल्गोरिदम की रूपरेखा तैयार करता है, जो कि यह विकास है को समर्पित है।

2. इस कार्य में अपनाया गया संकेतन

मापा मूल्य, - मापा मूल्य का औसत मूल्य, - मापा मूल्य के औसत मूल्य की पूर्ण त्रुटि, - मापा मूल्य के औसत मूल्य की सापेक्ष त्रुटि।

3. प्रत्यक्ष माप की त्रुटियों की गणना

तो, चलिए मान लेते हैं कि उन्हें अंजाम दिया गयाएन समान परिस्थितियों में समान मात्रा का माप। इस मामले में, आप लिए गए मापों में इस मान के औसत मूल्य की गणना कर सकते हैं:

(1)

त्रुटि की गणना कैसे करें? निम्नलिखित सूत्र के अनुसार:

(2)

यह सूत्र छात्र गुणांक का उपयोग करता है। अलग-अलग आत्मविश्वास संभावनाओं और मूल्यों पर इसके मूल्य दिए गए हैं।

3.1. प्रत्यक्ष माप की त्रुटियों की गणना का एक उदाहरण:

काम।

धातु की छड़ की लंबाई मापी गई। 10 माप किए गए और निम्नलिखित मान प्राप्त हुए: 10 मिमी, 11 मिमी, 12 मिमी, 13 मिमी, 10 मिमी, 10 मिमी, 11 मिमी, 10 मिमी, 10 मिमी, 11 मिमी। मापी गई मात्रा (बार की लंबाई) का औसत मान और उसकी त्रुटि ज्ञात करना आवश्यक है।

समाधान।

सूत्र (1) का उपयोग करके हम पाते हैं:

मिमी

अब, सूत्र (2) का उपयोग करके, हम आत्मविश्वास की संभावना और स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या के साथ औसत मूल्य की पूर्ण त्रुटि पाते हैं (हम मान = 2.262 का उपयोग करते हैं, से लिया गया है):

आइए परिणाम लिखें:

10.8±0.7 0.95 मिमी

4. अप्रत्यक्ष माप की त्रुटियों की गणना

आइए मान लें कि प्रयोग के दौरान मात्राएँ मापी जाती हैं और तबसी प्राप्त मूल्यों का उपयोग करके, सूत्र का उपयोग करके मूल्य की गणना की जाती है .

इस मामले में, सीधे मापी गई मात्राओं की त्रुटियों की गणना पैराग्राफ 3 में वर्णित अनुसार की जाती है।

किसी मात्रा के औसत मूल्य की गणना तर्कों के औसत मूल्यों का उपयोग करके निर्भरता के अनुसार की जाती है।

,(3)

त्रुटि मान की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

तर्कों की संख्या कहां है, तर्कों के संबंध में फ़ंक्शन का आंशिक व्युत्पन्न है, तर्क के औसत मूल्य की पूर्ण त्रुटि है।

प्रत्यक्ष माप के मामले में, पूर्ण त्रुटि की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है।

काम।

4.1. प्रत्यक्ष माप की त्रुटियों की गणना का एक उदाहरण:

मात्राओं का 5 प्रत्यक्ष मापन किया गया। मान के लिए निम्नलिखित मान प्राप्त किए गए: 50, 51, 52, 50, 47; मात्रा के लिए निम्नलिखित मान प्राप्त हुए: 500, 510, 476, 354, 520। सूत्र द्वारा निर्धारित मात्रा के मूल्य की गणना करना और प्राप्त मूल्य की त्रुटि का पता लगाना आवश्यक है।

हमारे युग में, मनुष्य ने सभी प्रकार के माप उपकरणों की एक विशाल विविधता का आविष्कार और उपयोग किया है। लेकिन इनके निर्माण की तकनीक चाहे कितनी भी उत्तम क्यों न हो, उन सभी में कम या ज्यादा त्रुटि होती है। यह पैरामीटर, एक नियम के रूप में, उपकरण पर ही इंगित किया जाता है, और निर्धारित किए जा रहे मूल्य की सटीकता का आकलन करने के लिए, आपको यह समझने में सक्षम होना चाहिए कि अंकन पर इंगित संख्याओं का क्या मतलब है। इसके अलावा, जटिल गणितीय गणनाओं के दौरान सापेक्ष और पूर्ण त्रुटियां अनिवार्य रूप से उत्पन्न होती हैं। इसका व्यापक रूप से सांख्यिकी, उद्योग (गुणवत्ता नियंत्रण) और कई अन्य क्षेत्रों में उपयोग किया जाता है। इस मूल्य की गणना कैसे की जाती है और इसके मूल्य की व्याख्या कैसे की जाती है - इस लेख में ठीक इसी पर चर्चा की जाएगी।

पूर्ण त्रुटि आइए, उदाहरण के लिए, एकल माप से प्राप्त किसी मात्रा के अनुमानित मान को x से और उसके सटीक मान को x 0 से निरूपित करें। आइए अब इन दोनों संख्याओं के बीच अंतर के परिमाण की गणना करें। पूर्ण त्रुटि बिल्कुल वही मान है जो हमें इस सरल ऑपरेशन के परिणामस्वरूप मिला। सूत्रों की भाषा में,यह परिभाषा

इस रूप में लिखा जा सकता है: Δ x = | एक्स - एक्स 0 |.

पूर्ण विचलन में एक महत्वपूर्ण कमी है - यह त्रुटि के महत्व की डिग्री का आकलन करने की अनुमति नहीं देता है। उदाहरण के लिए, हम बाजार में 5 किलो आलू खरीदते हैं, और एक बेईमान विक्रेता ने वजन मापते समय उसके पक्ष में 50 ग्राम की गलती कर दी। यानी पूर्ण त्रुटि 50 ग्राम थी. हमारे लिए इस तरह की अनदेखी मामूली बात होगी और हम इस पर ध्यान भी नहीं देंगे। क्या आप सोच सकते हैं कि अगर ऐसी ही गलती दवा बनाते वक्त हो जाए तो क्या होगा? यहां सब कुछ बहुत अधिक गंभीर होगा. और मालवाहक गाड़ी लोड करते समय, विचलन इस मूल्य से कहीं अधिक होने की संभावना है। इसलिए, पूर्ण त्रुटि स्वयं बहुत जानकारीपूर्ण नहीं है। इसके अतिरिक्त, अक्सर वे पूर्ण त्रुटि के अनुपात के बराबर सापेक्ष विचलन की अतिरिक्त गणना करते हैं सही मूल्यनंबर. इसे निम्नलिखित सूत्र द्वारा लिखा गया है: δ = Δ x / x 0।

त्रुटि गुण

मान लीजिए हमारे पास दो स्वतंत्र मात्राएँ हैं: x और y। हमें उनके योग के अनुमानित मूल्य के विचलन की गणना करने की आवश्यकता है। इस मामले में, हम उनमें से प्रत्येक के पूर्व-गणना किए गए पूर्ण विचलन के योग के रूप में पूर्ण त्रुटि की गणना कर सकते हैं। कुछ मापों में, ऐसा हो सकता है कि x और y मानों के निर्धारण में त्रुटियाँ एक दूसरे को रद्द कर दें। या ऐसा भी हो सकता है कि जोड़ के परिणामस्वरूप विचलन अधिकतम तीव्र हो जाए। इसलिए, जब कुल निरपेक्ष त्रुटि की गणना की जाती है, तो सबसे खराब स्थिति पर विचार किया जाना चाहिए। यही बात कई मात्राओं की त्रुटियों के बीच अंतर के लिए भी सत्य है। यह संपत्तियह केवल पूर्ण त्रुटि की विशेषता है, और इसे सापेक्ष विचलन पर लागू नहीं किया जा सकता है, क्योंकि यह अनिवार्य रूप से गलत परिणाम देगा। आइए निम्नलिखित उदाहरण का उपयोग करके इस स्थिति को देखें।

मान लीजिए कि सिलेंडर के अंदर के माप से पता चला कि आंतरिक त्रिज्या (आर 1) 97 मिमी है, और बाहरी त्रिज्या (आर 2) 100 मिमी है। इसकी दीवार की मोटाई निर्धारित करना आवश्यक है। सबसे पहले, आइए अंतर ज्ञात करें: h = R 2 - R 1 = 3 मिमी। यदि समस्या यह नहीं बताती है कि पूर्ण त्रुटि क्या है, तो इसे मापने वाले उपकरण के आधे पैमाने के विभाजन के रूप में लिया जाता है। इस प्रकार, Δ(R 2) = Δ(R 1) = 0.5 मिमी. कुल निरपेक्ष त्रुटि है: Δ(h) = Δ(R 2) + Δ(R 1) = 1 मिमी. आइए अब सभी मानों के सापेक्ष विचलन की गणना करें:

δ(आर 1) = 0.5/100 = 0.005,

δ(आर 1) = 0.5/97 ≈ 0.0052,

δ(h) = Δ(h)/h = 1/3 ≈ 0.3333>> δ(R 1).

जैसा कि आप देख सकते हैं, दोनों त्रिज्याओं को मापने में त्रुटि 5.2% से अधिक नहीं है, और उनके अंतर की गणना करने में त्रुटि - सिलेंडर की दीवार की मोटाई - 33.(3)% तक थी!

निम्नलिखित संपत्ति बताती है: कई संख्याओं के उत्पाद का सापेक्ष विचलन व्यक्तिगत कारकों के सापेक्ष विचलन के योग के लगभग बराबर है:

δ(xy) ≈ δ(x) + δ(y).

इसके अतिरिक्त यह नियममूल्यांकन किए जा रहे मानों की संख्या की परवाह किए बिना सत्य है। सापेक्ष त्रुटि का तीसरा और अंतिम गुण सापेक्ष अनुमान है केथ नंबरडिग्री लगभग | के | मूल संख्या की सापेक्ष त्रुटि का गुना।