कंपनी में 10 लोग कार्यरत हैं। तालिका 2 उनके कार्य अनुभव पर डेटा दिखाती है और

मासिक वेतन.

इन डेटा का उपयोग करके गणना करें

• - नमूना सहप्रसरण अनुमान का मूल्य;
• - नमूना पियर्सन सहसंबंध गुणांक का मूल्य;
• - प्राप्त मूल्यों से कनेक्शन की दिशा और ताकत का अनुमान लगाएं;
• - निर्धारित करें कि यह कहना कितना वैध है कि यह कंपनी जापानी प्रबंधन मॉडल का उपयोग करती है, जो मानती है कि कोई कर्मचारी किसी कंपनी में जितना अधिक समय बिताएगा, उसका वेतन उतना ही अधिक होना चाहिए।

सहसंबंध क्षेत्र के आधार पर, हम (जनसंख्या के लिए) परिकल्पना कर सकते हैं कि X और Y के सभी संभावित मूल्यों के बीच संबंध रैखिक है।

प्रतिगमन मापदंडों की गणना करने के लिए, हम एक गणना तालिका बनाएंगे।

नमूना का मतलब है.

नमूना भिन्नताएँ:

अनुमानित प्रतिगमन समीकरण होगा

वाई = बीएक्स + ए + ई,

जहां ईआई क्रमशः त्रुटियों ईआई, ए और बी के देखे गए मान (अनुमान) हैं, पैरामीटर बी के अनुमान और प्रतिगमन मॉडल में पाया जाना चाहिए।

पैरामीटर बी और सी का अनुमान लगाने के लिए, न्यूनतम वर्ग विधि (न्यूनतम वर्ग विधि) का उपयोग किया जाता है।

सामान्य समीकरणों की प्रणाली.

a?x + b?x2 = ?y*x

हमारे डेटा के लिए, समीकरणों की प्रणाली का रूप है

• 10ए + 307 बी = 33300
• 307 ए + 10857 बी = 1127700

आइए सिस्टम के समीकरण (1) को (-30.7) से गुणा करें, हमें एक सिस्टम मिलता है जिसे हम बीजगणितीय जोड़ की विधि से हल करते हैं।

• -307ए -9424.9 बी = -1022310
• 307 ए + 10857 बी = 1127700

हम पाते हैं:

1432.1 बी = 105390

बी = 73.5912 कहाँ से आता है?

आइए अब समीकरण (1) से गुणांक "ए" ज्ञात करें:

• 10ए + 307 बी = 33300
• 10ए + 307 * 73.5912 = 33300
• 10ए = 10707.49

हम अनुभवजन्य प्रतिगमन गुणांक प्राप्त करते हैं: बी = 73.5912, ए = 1070.7492

प्रतिगमन समीकरण (अनुभवजन्य प्रतिगमन समीकरण):

y = 73.5912 x + 1070.7492

सहप्रसरण.

हमारे उदाहरण में, गुण Y और कारक X के बीच संबंध उच्च और प्रत्यक्ष है।

इसलिए, हम सुरक्षित रूप से कह सकते हैं कि कोई कर्मचारी किसी कंपनी में जितना अधिक समय काम करेगा, उसका वेतन उतना ही अधिक होगा।

4. सांख्यिकीय परिकल्पनाओं का परीक्षण। इस समस्या को हल करते समय, पहला कदम एक परीक्षण योग्य परिकल्पना और एक वैकल्पिक परिकल्पना तैयार करना है।

सामान्य शेयरों की समानता की जाँच करना।

दो संकायों में छात्रों के प्रदर्शन पर एक अध्ययन आयोजित किया गया था। विकल्पों के परिणाम तालिका 3 में दिए गए हैं। क्या यह कहना संभव है कि दोनों संकायों में उत्कृष्ट छात्रों का प्रतिशत समान है?

सरल अंकगणित औसत

हम सामान्य शेयरों की समानता के बारे में परिकल्पना का परीक्षण करते हैं:

आइए छात्र की कसौटी का प्रायोगिक मूल्य ज्ञात करें:

स्वतंत्रता की कोटियों की संख्या

एफ = एनх + एनयू - 2 = 2 + 2 - 2 = 2

छात्र वितरण तालिका का उपयोग करके tkp मान निर्धारित करें

विद्यार्थी तालिका का उपयोग करके हम पाते हैं:

टीटेबल(एफ;बी/2) = टीटेबल(2;0.025) = 4.303

महत्व स्तर बी = 0.05 और स्वतंत्रता की डिग्री की दी गई संख्या पर छात्र वितरण के महत्वपूर्ण बिंदुओं की तालिका का उपयोग करते हुए, हम टीसीआर = 4.303 पाते हैं

क्योंकि tob > tcr, तो शून्य परिकल्पना खारिज कर दी जाती है, दो नमूनों के सामान्य शेयर बराबर नहीं हैं।

सामान्य वितरण की एकरूपता की जाँच करना।

विश्वविद्यालय के अधिकारी यह पता लगाना चाहते हैं कि समय के साथ मानविकी विभाग की लोकप्रियता कैसे बदल गई है। इस संकाय में आवेदन करने वाले आवेदकों की संख्या का विश्लेषण संबंधित वर्ष में आवेदकों की कुल संख्या के संबंध में किया गया था। (डेटा तालिका 4 में दिया गया है)। यदि हम आवेदकों की संख्या को वर्ष के स्कूल स्नातकों की कुल संख्या का प्रतिनिधि नमूना मानते हैं, तो क्या हम कह सकते हैं कि इस संकाय की विशिष्टताओं में स्कूली बच्चों की रुचि समय के साथ नहीं बदलती है?

विकल्प 4

समाधान: संकेतकों की गणना के लिए तालिका।

	अंतराल के मध्य, xi			संचित आवृत्ति, एस			आवृत्ति, फाई/एन

वितरण श्रृंखला का मूल्यांकन करने के लिए, हमें निम्नलिखित संकेतक मिलते हैं:

भारित औसत

भिन्नता की सीमा प्राथमिक श्रृंखला विशेषता के अधिकतम और न्यूनतम मूल्यों के बीच का अंतर है।

आर = 2008 - 1988 = 20 फैलाव - इसके औसत मूल्य के आसपास फैलाव के माप को दर्शाता है (फैलाव का एक माप, यानी औसत से विचलन)।

मानक विचलन (औसत नमूनाकरण त्रुटि)।

श्रृंखला का प्रत्येक मान औसत मान 2002.66 से 6.32 के औसत से भिन्न है

जनसंख्या के समान वितरण की परिकल्पना का परीक्षण करना।

एक्स के समान वितरण के बारे में परिकल्पना का परीक्षण करने के लिए, अर्थात। कानून के अनुसार: f(x) = 1/(b-a) अंतराल (a,b) में यह आवश्यक है:

पैरामीटर ए और बी का अनुमान लगाएं - अंतराल के अंत जिसमें एक्स के संभावित मान देखे गए थे, सूत्रों का उपयोग करके (* चिह्न पैरामीटर अनुमान को दर्शाता है):

अपेक्षित वितरण की संभाव्यता घनत्व ज्ञात करें f(x) = 1/(b* - a*)

सैद्धांतिक आवृत्तियाँ खोजें:

n1 = nP1 = n = n*1/(b* - a*)*(x1 - a*)

n2 = n3 = ... = ns-1 = n*1/(b* - a*)*(xi - xi-1)

एनएस = एन*1/(बी* - ए*)*(बी* - एक्सएस-1)

पियर्सन मानदंड का उपयोग करके अनुभवजन्य और सैद्धांतिक आवृत्तियों की तुलना करें, स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या k = s-3 लें, जहां s प्रारंभिक नमूना अंतराल की संख्या है; यदि छोटी आवृत्तियों का संयोजन, और इसलिए स्वयं अंतराल, किया गया था, तो s संयोजन के बाद शेष अंतरालों की संख्या है। आइए हम सूत्रों का उपयोग करके समान वितरण के मापदंडों a* और b* के लिए अनुमान खोजें:

आइए अनुमानित समान वितरण का घनत्व ज्ञात करें:

एफ(एक्स) = 1/(बी* - ए*) = 1/(2013.62 - 1991.71) = 0.0456

आइए सैद्धांतिक आवृत्तियाँ खोजें:

n1 = n*f(x)(x1 - a*) = 0.77 * 0.0456(1992-1991.71) = 0.0102

n5 = n*f(x)(b* - x4) = 0.77 * 0.0456(2013.62-2008) = 0.2

एनएस = एन*एफ(एक्स)(xi - xi-1)

चूंकि पियर्सन आँकड़ा अनुभवजन्य और सैद्धांतिक वितरण के बीच अंतर को मापता है, इसका मनाया गया कोब मूल्य जितना अधिक होगा, मुख्य परिकल्पना के खिलाफ तर्क उतना ही मजबूत होगा।

इसलिए, इस आँकड़े के लिए महत्वपूर्ण क्षेत्र हमेशा दाएँ हाथ का होता है:। स्वतंत्र यादृच्छिक चर के लिए, सहसंबंध गुणांक शून्य है, लेकिन यदि ऐसा है, तो यह चर के बीच एक रैखिक कार्यात्मक संबंध की उपस्थिति को इंगित करता है।

यादृच्छिक चर के अनुरूप, एक यादृच्छिक वेक्टर के लिए मात्रात्मक विशेषताओं को भी पेश किया जाता है। ऐसी दो विशेषताएं हैं:

1) अपेक्षित घटक मूल्यों का वेक्टर

यहां एक यादृच्छिक वेक्टर है; एक यादृच्छिक वेक्टर के घटकों की गणितीय अपेक्षाएं हैं;

2) सहप्रसरण मैट्रिक्स

(3.15)

सहप्रसरण मैट्रिक्स में एक साथ यादृच्छिक वेक्टर घटकों की अनिश्चितता की डिग्री और वेक्टर घटकों की प्रत्येक जोड़ी के अंतर्संबंध की डिग्री के बारे में जानकारी दोनों शामिल हैं।

अर्थशास्त्र में, एक यादृच्छिक वेक्टर की अवधारणा और इसकी विशेषताओं ने, विशेष रूप से, शेयर बाजार पर लेनदेन के विश्लेषण में आवेदन पाया है। प्रसिद्ध अमेरिकी अर्थशास्त्री हैरी मार्कोविट्ज़ ने निम्नलिखित दृष्टिकोण प्रस्तावित किया। शेयर बाजार में जोखिम भरी संपत्तियों का कारोबार किया जाए। एक निश्चित अवधि में प्रत्येक परिसंपत्ति का रिटर्न एक यादृच्छिक चर होता है। रिटर्न का वेक्टर और अपेक्षित रिटर्न का संबंधित वेक्टर पेश किया गया है। मार्कोवेट्स ने अपेक्षित रिटर्न के वेक्टर को एक विशेष परिसंपत्ति के आकर्षण के संकेतक के रूप में और सहप्रसरण मैट्रिक्स के मुख्य विकर्ण के तत्वों को प्रत्येक परिसंपत्ति के लिए जोखिम की मात्रा के रूप में विचार करने का प्रस्ताव दिया। विकर्ण तत्व वेक्टर में शामिल रिटर्न के संबंधित जोड़े के संबंध मूल्यों को दर्शाते हैं। शेयर बाज़ार के पैरामीट्रिक मार्कोविट्ज़ मॉडल ने रूप ले लिया

यह मॉडल इष्टतम प्रतिभूति पोर्टफोलियो के सिद्धांत का आधार बनता है।

यादृच्छिक चर की मात्रात्मक विशेषताओं की गणना के लिए संचालन के गुण

आइए हम यादृच्छिक चर और एक यादृच्छिक वेक्टर की मात्रात्मक विशेषताओं की गणना के संचालन के मूल गुणों पर विचार करें।

गणितीय अपेक्षा की गणना के लिए संचालन:

1) यदि एक यादृच्छिक चर एक्स = साथ,कहाँ साथतो, एक स्थिरांक है

2) यदि एक्स और य -यादृच्छिक चर, एआई मनमाना स्थिरांक हैं

3) यदि एक्सऔर परस्वतंत्र यादृच्छिक चर, फिर

विचरण गणना संचालन:

1) यदि एक यादृच्छिक चर एक्स = सी,जहाँ c एक मनमाना स्थिरांक है

2) यदि एक्स

3) यदि एक्सतो, एक यादृच्छिक चर है, और c एक मनमाना स्थिरांक है

4) यदि एक्सऔर यतो, यादृच्छिक चर हैं, एआई मनमाना स्थिरांक हैं

सह - संबंध-दो या दो से अधिक यादृच्छिक चरों के बीच सांख्यिकीय संबंध।

आंशिक सहसंबंध गुणांक दो मात्राओं के बीच रैखिक निर्भरता की डिग्री को दर्शाता है और इसमें एक जोड़ी के सभी गुण होते हैं, अर्थात। -1 से +1 तक भिन्न होता है। यदि आंशिक सहसंबंध गुणांक ±1 के बराबर है, तो दो मात्राओं के बीच संबंध कार्यात्मक है, और इसकी शून्य की समानता इन मात्राओं की रैखिक स्वतंत्रता को इंगित करती है।

एकाधिक सहसंबंध गुणांक, जो मान x1 और मॉडल में शामिल अन्य चर (x2, x3) के बीच रैखिक निर्भरता की डिग्री को दर्शाता है, 0 से 1 तक भिन्न होता है।

एक क्रमसूचक (क्रमिक) चर सांख्यिकीय रूप से अध्ययन की गई वस्तुओं को उस डिग्री के अनुसार क्रमबद्ध करने में मदद करता है जिस हद तक विश्लेषण की गई संपत्ति उनमें प्रकट होती है

रैंक सहसंबंध क्रमिक चर के बीच एक सांख्यिकीय संबंध है (वस्तुओं ओ 1, ओ 2, ..., ओ पी के समान परिमित सेट की दो या दो से अधिक रैंकिंग के बीच सांख्यिकीय संबंध का माप)

श्रेणी- यह उनमें अध्ययन किए जा रहे kth गुण की अभिव्यक्ति की डिग्री के अवरोही क्रम में वस्तुओं की व्यवस्था है। इस मामले में, x(k) को k-th विशेषता के अनुसार i-th ऑब्जेक्ट की रैंक कहा जाता है। क्रोध उस क्रमिक स्थान की विशेषता बताता है जो वस्तु O i n वस्तुओं की श्रृंखला में व्याप्त है।

39. सहसंबंध का गुणांक, निर्धारण.

सहसंबंध गुणांक दर्शाता है दो संख्यात्मक चरों के बीच सांख्यिकीय संबंध की डिग्री। इसकी गणना इस प्रकार की जाती है:

कहाँ एन– अवलोकनों की संख्या,

एक्स- इनपुट चर,

y आउटपुट वेरिएबल है। सहसंबंध गुणांक मान हमेशा -1 से 1 तक होते हैं और इनकी व्याख्या इस प्रकार की जाती है:

यदि गुणांक सहसंबंध 1 के करीब है, तो चरों के बीच एक सकारात्मक सहसंबंध होता है।

यदि गुणांक सहसंबंध -1 के करीब है, जिसका अर्थ है कि चरों के बीच नकारात्मक सहसंबंध है

0 के करीब मध्यवर्ती मान चर के बीच कमजोर सहसंबंध और तदनुसार, कम निर्भरता का संकेत देंगे।

निर्धारण गुणांक(आर 2 )- यह आश्रित चर के माध्य से विचलन में स्पष्ट भिन्नता का अनुपात है।

निर्धारण के गुणांक की गणना के लिए सूत्र:

आर 2 = 1 - ∑ आई (वाई आई -एफ आई) 2 : ∑ i (y i -y( prime )) 2

जहां y i आश्रित चर का प्रेक्षित मान है, और f i प्रतिगमन समीकरण द्वारा अनुमानित आश्रित चर का मान है, y (प्राइम) आश्रित चर का अंकगणितीय माध्य है।

प्रश्न 16: वायव्य कोण विधि

इस पद्धति के अनुसार, अगले आपूर्तिकर्ता के भंडार का उपयोग अगले उपभोक्ताओं के अनुरोधों को पूरा करने के लिए किया जाता है जब तक कि वे पूरी तरह से समाप्त न हो जाएं। जिसके बाद नंबर के हिसाब से अगले सप्लायर के स्टॉक का उपयोग किया जाता है।

परिवहन कार्य तालिका को भरना ऊपरी बाएँ कोने से शुरू होता है और इसमें कई समान चरण होते हैं। प्रत्येक चरण में, अगले आपूर्तिकर्ता के स्टॉक और अगले उपभोक्ता के अनुरोधों के आधार पर, केवल एक सेल भरा जाता है और, तदनुसार, एक आपूर्तिकर्ता या उपभोक्ता को विचार से बाहर रखा जाता है।

त्रुटियों से बचने के लिए, प्रारंभिक बुनियादी (संदर्भ) समाधान का निर्माण करने के बाद, यह जांचना आवश्यक है कि व्याप्त कोशिकाओं की संख्या m+n-1 के बराबर है।

सैद्धांतिक प्रतिगमन रेखा के समीकरण को निर्धारित करने के बाद, अवलोकनों की दो श्रृंखलाओं के बीच संबंधों की निकटता को मापना आवश्यक है। चित्र में खींची गई प्रतिगमन रेखाएँ। 4.1, बी, सी, समान हैं, लेकिन चित्र में। 4.1, बी बिंदु चित्र की तुलना में प्रतिगमन रेखा के बहुत करीब (करीब) हैं। 4.1, सी.

सहसंबंध विश्लेषण में, यह माना जाता है कि कारक और प्रतिक्रियाएं प्रकृति में यादृच्छिक हैं और सामान्य वितरण कानून का पालन करते हैं।

यादृच्छिक चरों के बीच संबंध की निकटता सहसंबंध अनुपात pxy द्वारा विशेषता है। आइए हम इस सूचक के भौतिक अर्थ पर अधिक विस्तार से ध्यान दें। ऐसा करने के लिए, हम नई अवधारणाएँ प्रस्तुत करते हैं।

अवशिष्ट फैलाव 5^रेस प्रयोगात्मक रूप से बिखराव की विशेषता बताता है

प्रतिगमन रेखा के सापेक्ष देखे गए बिंदु और प्रतिगमन समीकरण (छवि 4.6) के अनुसार पैरामीटर y की भविष्यवाणी करने में त्रुटि के संकेतक का प्रतिनिधित्व करते हैं:

एस2 =एफ)