Nodarbība par tēmu: "Varu reizināšanas un dalīšanas noteikumi ar vienādiem un dažādiem eksponentiem. Piemēri"

Papildu materiāli
Cienījamie lietotāji, neaizmirstiet atstāt savus komentārus, atsauksmes, vēlmes. Visi materiāli ir pārbaudīti ar pretvīrusu programmu.

Mācību līdzekļi un simulatori Interneta veikalā Integral 7. klasei
Rokasgrāmata mācību grāmatai Yu.N. Makarycheva rokasgrāmata A.G. mācību grāmatai. Mordkovičs

Nodarbības mērķis: iemācīties veikt darbības ar skaitļu pakāpēm.

Pirmkārt, atcerēsimies jēdzienu "skaitļa spēks". Formas $\underbrace(a * a * \ldots * a )_(n)$ izteiksmi var attēlot kā $a^n$.

Pareizs ir arī pretējais: $a^n= \underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$.

Šo vienlīdzību sauc par “grāda reģistrēšanu kā produktu”. Tas mums palīdzēs noteikt, kā reizināt un sadalīt spēkus.
Atcerieties:
a– grāda pamats.
n– eksponents.
Ja n=1, kas nozīmē skaitli A paņēma vienu reizi un attiecīgi: $a^n= 1$.
Ja n = 0, tad $a^0= 1$.

Kāpēc tā notiek, varam uzzināt, iepazīstoties ar pilnvaru reizināšanas un dalīšanas noteikumiem.

Reizināšanas noteikumi

a) Ja pakāpes ar vienādu bāzi tiek reizinātas.
Lai iegūtu $a^n * a^m$, mēs ierakstām grādus kā reizinājumu: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( a * a * \ldots * a ) _(m )$.
Attēlā redzams, ka skaitlis A ir paņemts n+m reizes, tad $a^n * a^m = a^(n + m)$.

Piemērs.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.

Šo īpašību ir ērti izmantot, lai vienkāršotu darbu, paaugstinot skaitli uz lielāku jaudu.
Piemērs.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.

b) Ja tiek reizināti pakāpes ar dažādām bāzēm, bet vienādu eksponentu.
Lai iegūtu $a^n * b^n$, mēs ierakstām grādus kā reizinājumu: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( b * b * \ldots * b ) _(m )$.
Ja mēs samainām faktorus un saskaitām iegūtos pārus, mēs iegūstam: $\underbrace( (a * b) * (a * b) * \ldots * (a * b) )_(n)$.

Tātad $a^n * b^n= (a * b)^n$.

Piemērs.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.

Sadalīšanas noteikumi

a) Pakāpes pamats ir vienāds, rādītāji ir atšķirīgi.
Apsveriet pakāpes dalīšanu ar lielāku eksponentu, dalot pakāpi ar mazāku eksponentu.

Tātad, mums vajag $\frac(a^n)(a^m)$, Kur n>m.

Rakstīsim grādus kā daļskaitli:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(m))$.

Ērtības labad dalījumu rakstām kā vienkāršu daļskaitli.

Tagad samazināsim daļu.

Izrādās: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n-m)= a^(n-m)$.
nozīmē, $\frac(a^n)(a^m)=a^(n-m)$.

Šis īpašums palīdzēs izskaidrot situāciju ar skaitļa paaugstināšanu līdz nulles jaudai. Pieņemsim, ka n=m, tad $a^0= a^(n-n)=\frac(a^n)(a^n) =1$.

Piemēri.
$\frac(3^3)(3^2)=3^(3-2)=3^1=3$.

$\frac(2^2)(2^2)=2^(2-2)=2^0=1$.

b) Pakāpju bāzes ir dažādas, rādītāji ir vienādi.
Pieņemsim, ka ir nepieciešams $\frac(a^n)(b^n)$. Rakstīsim skaitļu pakāpes kā daļskaitļus:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( b * b * \ldots * b )_(n))$.

Ērtības labad iedomāsimies.

Izmantojot daļskaitļu īpašību, lielo frakciju sadalām mazo reizinājumā, iegūstam.
$\underbrace(\frac(a)(b) * \frac(a)(b) * \ldots * \frac(a)(b) )_(n)$.
Attiecīgi: $\frac(a^n)(b^n)=(\frac(a)(b))^n$.

Piemērs.
$\frac(4^3)( 2^3)= (\frac(4)(2))^3=2^3=8$.

Apskatīsim tēmu par izteiksmju pārveidošanu ar pakāpēm, bet vispirms pakavēsimies pie vairākām transformācijām, kuras var veikt ar jebkādām izteiksmēm, ieskaitot spēka izteiksmes. Mēs iemācīsimies atvērt iekavas, pievienot līdzīgus terminus, strādāt ar bāzēm un eksponentiem un izmantot pakāpju īpašības.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Kas ir spēka izpausmes?

IN skolas kurss Tikai daži cilvēki lieto frāzi “spēka izteiksmes”, taču šis termins pastāvīgi atrodams kolekcijās, kas paredzētas, lai sagatavotos vienotajam valsts eksāmenam. Vairumā gadījumu frāze apzīmē izteiksmes, kuru ierakstos ir grādi. Tas ir tas, ko mēs atspoguļosim savā definīcijā.

1. definīcija

Spēka izpausme ir izteiksme, kas satur grādus.

Sniegsim vairākus spēka izteiksmju piemērus, sākot ar pakāpju ar naturālo eksponentu un beidzot ar pakāpju ar reālo eksponentu.

Vienkāršākās pakāpju izteiksmes var uzskatīt par skaitļa pakāpēm ar naturālu eksponentu: 3 2, 7 5 + 1, (2 + 1) 5, (− 0, 1) 4, 2 2 3 3, 3 a 2 − a + a 2, x 3 − 1, (a 2) 3 . Un arī pakāpes ar nulles eksponentu: 5 0, (a + 1) 0, 3 + 5 2 − 3, 2 0. Un pakāpes ar negatīvu veselu skaitļu pakāpēm: (0, 5) 2 + (0, 5) - 2 2.

Ir nedaudz grūtāk strādāt ar grādu, kam ir racionāli un iracionāli eksponenti: 264 1 4 - 3 3 3 1 2, 2 3, 5 2 - 2 2 - 1, 5, 1 a 1 4 a 1 2 - 2 a - 1 6 · b 1 2 , x π · x 1 - π , 2 3 3 + 5 .

Indikators var būt mainīgais 3 x - 54 - 7 3 x - 58 vai logaritms x 2 · l g x − 5 · x l g x.

Mēs esam risinājuši jautājumu par to, kas ir varas izpausmes. Tagad sāksim tos pārveidot.

Spēka izteiksmju transformāciju pamatveidi

Vispirms apskatīsim izteiksmes pamata identitātes transformācijas, kuras var veikt ar spēka izteiksmēm.

1. piemērs

Aprēķiniet jaudas izteiksmes vērtību 2 3 (4 2–12).

Risinājums

Visas pārvērtības veiksim, ievērojot darbību secību. Šajā gadījumā mēs sāksim ar darbību veikšanu iekavās: aizstāsim grādu ar ciparu vērtību un aprēķināsim divu skaitļu starpību. Mums ir 2 3 (4 2–12) = 2 3 (16–12) = 2 3 4.

Viss, kas mums jādara, ir nomainīt grādu 2 3 tās nozīmi 8 un aprēķiniet produktu 8 4 = 32. Lūk, mūsu atbilde.

Atbilde: 2 3 · (4 2 - 12) = 32 .

2. piemērs

Vienkāršojiet izteiksmi ar pilnvarām 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7.

Risinājums

Izteiksme, kas mums dota problēmas paziņojumā, satur līdzīgus terminus, ko mēs varam dot: 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7 = 5 a 4 b − 7 − 1.

Atbilde: 3 · a 4 · b − 7 − 1 + 2 · a 4 · b − 7 = 5 · a 4 · b − 7 − 1.

3. piemērs

Izteikt izteiksmi ar pakāpēm 9 - b 3 · π - 1 2 kā reizinājumu.

Risinājums

Iedomāsimies skaitli 9 kā spēku 3 2 un izmantojiet saīsināto reizināšanas formulu:

9 - b 3 π - 1 2 = 3 2 - b 3 π - 1 2 = = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1

Atbilde: 9 - b 3 · π - 1 2 = 3 - b 3 · π - 1 3 + b 3 · π - 1 .

Tagad pāriesim pie identitātes transformāciju analīzes, kuras var īpaši attiecināt uz spēka izteiksmēm.

Darbs ar bāzi un eksponentu

Bāzes vai eksponenta pakāpei var būt skaitļi, mainīgie un dažas izteiksmes. Piemēram, (2 + 0, 3 7) 5 - 3, 7 Un . Darbs ar šādiem ierakstiem ir sarežģīts. Daudz vienkāršāk ir aizstāt izteiksmi pakāpes bāzē vai izteiksmi eksponentā ar identiski vienādu izteiksmi.

Pakāpju un eksponenta transformācijas tiek veiktas saskaņā ar mums zināmiem noteikumiem atsevišķi viens no otra. Vissvarīgākais ir tas, ka transformācijas rezultātā tiek iegūta izteiksme, kas ir identiska sākotnējam.

Transformāciju mērķis ir vienkāršot sākotnējo izteiksmi vai iegūt problēmas risinājumu. Piemēram, iepriekš sniegtajā piemērā (2 + 0, 3 7) 5 − 3, 7 varat veikt darbības, lai pārietu uz grādu 4 , 1 1 , 3 . Atverot iekavas, varam uzrādīt līdzīgus terminus spēka bāzei (a · (a + 1) − a 2) 2 · (x + 1) un iegūt vienkāršākas formas spēka izteiksmi a 2 (x + 1).

Grāda īpašību izmantošana

Spēku īpašības, kas rakstītas vienādības formā, ir viens no galvenajiem instrumentiem izteiksmju pārveidošanai ar pilnvarām. Šeit mēs piedāvājam galvenos, ņemot vērā to a Un b ir kādi pozitīvi skaitļi, un r Un s- patvaļīgi reālie skaitļi:

2. definīcija

• a r · a s = a r + s ;
• a r: a s = a r − s ;
• (a · b) r = a r · b r ;
• (a: b) r = a r: b r ;
• (a r) s = a r · s .

Gadījumos, kad mums ir darīšana ar naturāliem, veseliem skaitļiem, pozitīviem eksponentiem, ierobežojumi attiecībā uz skaitļiem a un b var būt daudz mazāk stingri. Tā, piemēram, ja ņemam vērā vienlīdzību a m · a n = a m + n, Kur m Un n ir naturāli skaitļi, tad tā būs taisnība jebkurai a vērtībai, gan pozitīvai, gan negatīvai, kā arī a = 0.

Pakāpju īpašības var lietot bez ierobežojumiem gadījumos, kad pakāpju bāzes ir pozitīvas vai satur mainīgos lielumus, laukumu pieņemamām vērtībām kas ir tāds, ka pamats uz to pieņem tikai pozitīvas vērtības. Patiesībā iekšā skolas mācību programma matemātikā skolēna uzdevums ir izvēlēties atbilstošu īpašību un pareizi to pielietot.

Gatavojoties stāties augstskolās, var rasties problēmas, kuru neprecīza rekvizītu piemērošana novedīs pie DL sašaurināšanās un citām risināšanas grūtībām. Šajā sadaļā mēs apskatīsim tikai divus šādus gadījumus. Vairāk informācijas par jautājumu var atrast tēmā “Izteiksmju konvertēšana, izmantojot spēku īpašības”.

4. piemērs

Iedomājieties izteiksmi a 2 , 5 (a 2) - 3: a - 5 , 5 spēka veidā ar pamatni a.

Risinājums

Pirmkārt, mēs izmantojam eksponēšanas īpašību un pārveidojam otro faktoru, izmantojot to (a 2)–3. Tad mēs izmantojam spēku reizināšanas un dalīšanas īpašības ar to pašu bāzi:

a 2 , 5 · a - 6: a - 5 , 5 = a 2 , 5 - 6: a - 5 , 5 = a - 3 , 5: a - 5 , 5 = a - 3 , 5 - ( - 5 , 5) = a 2 .

Atbilde: a 2, 5 · (a 2) - 3: a - 5, 5 = a 2.

Spēka izteiksmju transformāciju atbilstoši spēku īpašībām var veikt gan no kreisās puses uz labo, gan pretējā virzienā.

5. piemērs

Atrodiet jaudas izteiksmes vērtību 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 .

Risinājums

Ja piemērosim vienlīdzību (a · b) r = a r · b r, no labās puses uz kreiso, mēs iegūstam reizinājumu formā 3 · 7 1 3 · 21 2 3 un pēc tam 21 1 3 · 21 2 3 . Saskaitīsim eksponentus, reizinot pakāpes ar vienādām bāzēm: 21 1 3 · 21 2 3 = 21 1 3 + 2 3 = 21 1 = 21.

Ir vēl viens veids, kā veikt transformāciju:

3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 = 3 1 3 · 7 1 3 · (3 · 7) 2 3 = 3 1 3 · 7 1 3 · 3 2 3 · 7 2 3 = = 3 1 3 · 3 2 3 7 1 3 7 2 3 = 3 1 3 + 2 3 7 1 3 + 2 3 = 3 1 7 1 = 21

Atbilde: 3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 7 1 = 21

6. piemērs

Dota spēka izteiksme a 1, 5 - a 0, 5 - 6, ievadiet jaunu mainīgo t = a 0,5.

Risinājums

Iedomāsimies grādu a 1, 5 Kā a 0,5 3. Izmantojot īpašību no grādiem uz grādiem (a r) s = a r · s no labās puses uz kreiso un mēs iegūstam (a 0, 5) 3: a 1, 5 − a 0, 5 − 6 = (a 0, 5) 3 − a 0, 5 − 6. Jūs varat viegli ieviest jaunu mainīgo iegūtajā izteiksmē t = a 0,5: mēs saņemam t 3 - t - 6.

Atbilde: t 3 − t − 6 .

Pārvērš daļskaitļus, kas satur pakāpes

Mēs parasti strādājam ar divām pakāpju izteiksmju versijām ar daļskaitļiem: izteiksme apzīmē daļskaitli ar pakāpju vai satur šādu daļu. Šādām izteiksmēm bez ierobežojumiem ir piemērojamas visas daļskaitļu pamattransformācijas. Tos var samazināt, pievienot jaunam saucējam vai apstrādāt atsevišķi ar skaitītāju un saucēju. Ilustrēsim to ar piemēriem.

7. piemērs

Vienkāršojiet jaudas izteiksmi 3 · 5 2 3 · 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 · x 2 - 3 - 3 · x 2 .

Risinājums

Mums ir darīšana ar daļskaitli, tāpēc veiksim transformācijas gan skaitītājā, gan saucējā:

3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = 3 5 2 3 5 1 3 - 3 5 2 3 5 - 2 3 - 2 - x 2 = = 3 5 2 3 + 1 3 - 3 5 2 3 + - 2 3 - 2 - x 2 = 3 5 1 - 3 5 0 - 2 - x 2

Ievietojiet mīnusa zīmi daļskaitļa priekšā, lai mainītu saucēja zīmi: 12 - 2 - x 2 = - 12 2 + x 2

Atbilde: 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = - 12 2 + x 2

Daļskaitļi, kas satur pakāpes, tiek reducēti līdz jaunam saucējam tāpat kā racionālās daļas. Lai to izdarītu, jums jāatrod papildu koeficients un jāreizina ar to daļskaitļa skaitītājs un saucējs. Papildu faktors ir jāizvēlas tā, lai tas nenonāktu līdz nullei nevienai mainīgo vērtībām no sākotnējās izteiksmes ODZ mainīgajiem.

8. piemērs

Samaziniet daļskaitļus līdz jaunam saucējam: a) a + 1 a 0, 7 līdz saucējam a, b) 1 x 2 3 - 2 · x 1 3 · y 1 6 + 4 · y 1 3 līdz saucējam x + 8 · y 1 2 .

Risinājums

a) Izvēlēsimies koeficientu, kas ļaus mums reducēt līdz jaunam saucējam. a 0, 7 a 0, 3 = a 0, 7 + 0, 3 = a, tāpēc kā papildu faktoru ņemsim vērā a 0, 3. Mainīgā lieluma a pieļaujamo vērtību diapazons ietver visu pozitīvo reālo skaitļu kopu. Grāds šajā jomā a 0, 3 neiet uz nulli.

Reizināsim daļskaitļa skaitītāju un saucēju ar a 0, 3:

a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a 0, 7 a 0, 3 = a + 1 a 0, 3 a

b) Pievērsīsim uzmanību saucējam:

x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 2 - x 1 3 2 y 1 6 + 2 y 1 6 2

Sareizināsim šo izteiksmi ar x 1 3 + 2 · y 1 6, iegūstam kubu x 1 3 un 2 · y 1 6 summu, t.i. x + 8 · y 1 2 . Šis ir mūsu jaunais saucējs, līdz kuram mums jāsamazina sākotnējā daļa.

Tādā veidā mēs atradām papildu koeficientu x 1 3 + 2 · y 1 6 . Par mainīgo lielumu pieļaujamo vērtību diapazonu x Un y izteiksme x 1 3 + 2 y 1 6 nepazūd, tāpēc ar to varam reizināt daļskaitļa skaitītāju un saucēju:
1 x 2 3 - 2 x 1 3 g 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 + 2 g 1 6 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 g 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 3 + 2 y 1 6 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2

Atbilde: a) a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 · g 1 2 .

9. piemērs

Samaziniet daļu: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3, b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2.

Risinājums

a) Mēs izmantojam lielāko kopsaucēju (GCD), ar kuru mēs varam samazināt skaitītāju un saucēju. Skaitļiem 30 un 45 tas ir 15. Mēs varam arī veikt samazinājumu par x0,5+1 un uz x + 2 · x 1 1 3 - 5 3 .

Mēs iegūstam:

30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 x 3 3 (x 0, 5 + 1)

b) Šeit identisku faktoru klātbūtne nav acīmredzama. Jums būs jāveic dažas transformācijas, lai skaitītājā un saucējā iegūtu vienādus faktorus. Lai to izdarītu, mēs paplašinām saucēju, izmantojot kvadrātu atšķirības formulu:

a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 2 - b 1 2 2 = = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 + b 1 4 a 1 4 - b 1 4 = 1 a 1 4 + b 1 4

Atbilde: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 · x 3 3 · (x 0 , 5 + 1) , b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = 1 a 1 4 + b 1 4 .

Pamatoperācijas ar daļskaitļiem ietver daļskaitļu pārvēršanu jaunā saucējā un daļskaitļu samazināšanu. Abas darbības tiek veiktas saskaņā ar vairākiem noteikumiem. Saskaitot un atņemot daļskaitļus, vispirms daļskaitļi tiek reducēti līdz kopsaucējam, pēc tam tiek veiktas darbības (saskaitīšana vai atņemšana) ar skaitītājiem. Saucējs paliek nemainīgs. Mūsu darbību rezultāts ir jauna daļa, kuras skaitītājs ir skaitītāju reizinājums, bet saucējs ir saucēju reizinājums.

10. piemērs

Veiciet darbības x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 .

Risinājums

Sāksim ar to daļskaitļu atņemšanu, kas ir iekavās. Savedīsim tos pie kopsaucēja:

x 1 2 - 1 x 1 2 + 1

Atņemsim skaitītājus:

x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 2 - x 1 2 - 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 2 + 2 x 1 2 + 1 - x 1 2 2 - 2 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2

Tagad mēs reizinām daļskaitļus:

4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2

Samazināsim par jaudu x 1 2, mēs iegūstam 4 x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1 .

Turklāt jūs varat vienkāršot jaudas izteiksmi saucējā, izmantojot kvadrātu starpības formulu: kvadrāti: 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 = 4 x 1 2 2 - 1 2 = 4 x - 1 .

Atbilde: x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = 4 x - 1

11. piemērs

Vienkāršojiet spēka likuma izteiksmi x 3 4 x 2, 7 + 1 2 x - 5 8 x 2, 7 + 1 3.
Risinājums

Mēs varam samazināt daļu par (x 2 , 7 + 1) 2. Mēs iegūstam daļu x 3 4 x - 5 8 x 2, 7 + 1.

Turpināsim pārveidot pakāpju x x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2, 7 + 1. Tagad jūs varat izmantot pakāpju dalīšanas īpašību ar vienādām bāzēm: x 3 4 x - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 3 4 - - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 1 1 8 1 x 2 , 7 + 1 .

Mēs pārceļamies no pēdējais darbs uz daļu x 1 3 8 x 2, 7 + 1.

Atbilde: x 3 4 x 2, 7 + 1 2 x - 5 8 x 2, 7 + 1 3 = x 1 3 8 x 2, 7 + 1.

Vairumā gadījumu ir ērtāk pārnest faktorus ar negatīviem eksponentiem no skaitītāja uz saucēju un atpakaļ, mainot eksponenta zīmi. Šī darbība ļauj vienkāršot turpmāko lēmumu. Dosim piemēru: jaudas izteiksmi (x + 1) - 0, 2 3 · x - 1 var aizstāt ar x 3 · (x + 1) 0, 2.

Izteicienu pārveidošana ar saknēm un pilnvarām

Problēmās ir pakāpju izteiksmes, kas satur ne tikai pakāpes ar daļskaitļa eksponentiem, bet arī saknes. Šādus izteicienus vēlams reducēt tikai līdz saknēm vai tikai pilnvarām. Vēlams iegūt grādus, jo ar tiem ir vieglāk strādāt. Šī pāreja ir īpaši vēlama, ja sākotnējās izteiksmes mainīgo lielumu ODZ ļauj aizstāt saknes ar pilnvarām bez nepieciešamības piekļūt modulim vai sadalīt ODZ vairākos intervālos.

12. piemērs

Izteikt izteiksmi x 1 9 · x · x 3 6 kā pakāpju.

Risinājums

Pieļaujamo mainīgo vērtību diapazons x ir definēts ar divām nevienādībām x ≥ 0 un x x 3 ≥ 0, kas nosaka kopu [ 0 , + ∞) .

Šajā komplektā mums ir tiesības pāriet no saknēm uz spējām:

x 1 9 · x · x 3 6 = x 1 9 · x · x 1 3 1 6

Izmantojot pakāpju īpašības, mēs vienkāršojam iegūto jaudas izteiksmi.

x 1 9 · x · x 1 3 1 6 = x 1 9 · x 1 6 · x 1 3 1 6 = x 1 9 · x 1 6 · x 1 · 1 3 · 6 = = x 1 9 · x 1 6 x 1 18 = x 1 9 + 1 6 + 1 18 = x 1 3

Atbilde: x 1 9 · x · x 3 6 = x 1 3 .

Pakāpju konvertēšana ar mainīgajiem eksponentā

Šīs pārvērtības ir diezgan viegli veikt, ja pareizi izmanto pakāpes īpašības. Piemēram, 5 2 x + 1 - 3 5 x 7 x - 14 7 2 x - 1 = 0.

Mēs varam aizstāt ar pakāpju reizinājumu, kuru eksponenti ir kāda mainīgā un skaitļa summa. Kreisajā pusē to var izdarīt ar izteiksmes kreisās puses pirmo un pēdējo vārdu:

5 2 x 5 1 - 3 5 x 7 x - 14 7 2 x 7 - 1 = 0, 5 5 2 x - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x = 0 .

Tagad sadalīsim abas vienādības puses ar 7 2 x. Šai izteiksmei mainīgajam x ir tikai pozitīvas vērtības:

5 5 - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 7 2 x , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 2 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0

Samazināsim daļskaitļus ar pakāpēm, iegūstam: 5 · 5 2 · x 7 2 · x - 3 · 5 x 7 x - 2 = 0.

Visbeidzot, pakāpju attiecība ar vienādiem eksponentiem tiek aizstāta ar attiecību pakāpēm, kā rezultātā tiek iegūts vienādojums 5 5 7 2 x - 3 5 7 x - 2 = 0, kas ir ekvivalents 5 5 7 x 2 - 3 5 7 x - 2 = 0 .

Ieviesīsim jaunu mainīgo t = 5 7 x, kas reducē sākotnējā eksponenciālā vienādojuma atrisinājumu līdz kvadrātvienādojuma 5 · t 2 − 3 · t − 2 = 0 atrisinājumam.

Izteiksmju konvertēšana ar pakāpēm un logaritmiem

Problēmās atrodamas arī izteiksmes, kas satur pakāpju un logaritmus. Šādu izteiksmju piemērs ir: 1 4 1 - 5 · log 2 3 vai log 3 27 9 + 5 (1 - log 3 5) · log 5 3. Šādu izteiksmju transformācija tiek veikta, izmantojot iepriekš apspriestās logaritmu pieejas un īpašības, kuras mēs detalizēti apspriedām tēmā “Logaritmisko izteiksmju transformācija”.

Ja tekstā pamanāt kļūdu, lūdzu, iezīmējiet to un nospiediet Ctrl+Enter

Ir skaidrs, ka skaitļus ar pakāpēm var pievienot tāpat kā citus lielumus , pievienojot tos vienu pēc otra ar to zīmēm.

Tātad a 3 un b 2 summa ir a 3 + b 2.
A 3 - b n un h 5 - d 4 summa ir a 3 - b n + h 5 - d 4.

Likmes vienādi identisku mainīgo lielumi var pievienot vai atņemt.

Tātad 2a 2 un 3a 2 summa ir vienāda ar 5a 2.

Ir arī skaidrs, ka, ja ņemat divus kvadrātus a, trīs kvadrātus a vai piecus kvadrātus a.

Bet grādi dažādi mainīgie Un dažādas pakāpes identiski mainīgie, jāsastāda, pievienojot tos ar to zīmēm.

Tātad 2 un 3 summa ir 2 + 3 summa.

Ir acīmredzams, ka a kvadrāts un a kubs nav vienāds ar divkāršu a kvadrātu, bet gan ar divkāršu a kubu.

A 3 b n un 3a 5 b 6 summa ir a 3 b n + 3a 5 b 6.

Atņemšana pilnvaras tiek veiktas tāpat kā pievienošana, izņemot to, ka attiecīgi jāmaina apakšrindu zīmes.

Vai:
2a 4 — (-6a 4) = 8a 4
3h 2b 6 - 4h 2b 6 = -h 2b 6
5(a-h) 6-2(a-h) 6 = 3(a-h) 6

Jaudas reizināšana

Skaitļus ar pakāpēm var reizināt, tāpat kā citus lielumus, ierakstot tos vienu pēc otra, ar vai bez reizināšanas zīmes starp tiem.

Tādējādi rezultāts, reizinot a 3 ar b 2, ir a 3 b 2 vai aaabb.

Vai:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 g

Rezultātu pēdējā piemērā var sakārtot, pievienojot identiskus mainīgos.
Izteiksme būs šādā formā: a 5 b 5 y 3.

Salīdzinot vairākus skaitļus (mainīgos) ar pakāpēm, mēs varam redzēt, ka, ja kādus divus no tiem reizina, tad rezultāts ir skaitlis (mainīgais) ar pakāpju, kas vienāds ar summa terminu pakāpes.

Tātad a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Šeit 5 ir reizināšanas rezultāta pakāpe, kas vienāda ar 2 + 3, terminu pakāpju summa.

Tātad a n .a m = a m+n .

Ja a n , a tiek ņemts par koeficientu tik reižu, cik n jauda;

Un m tiek ņemts par koeficientu tik reižu, cik grāds m ir vienāds ar;

Tāpēc, pilnvaras ar vienādām bāzēm var reizināt, saskaitot pakāpju eksponentus.

Tātad a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Un x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Vai:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Reiziniet (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Atbilde: x 4 - y 4.
Reiziniet (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Šis noteikums attiecas arī uz skaitļiem, kuru eksponenti ir negatīvs.

1. Tātad a -2 .a -3 = a -5 . To var uzrakstīt kā (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y -n .y -m = y -n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Ja a + b reizina ar a - b, rezultāts būs a 2 - b 2: tas ir

Rezultāts, reizinot divu skaitļu summu vai starpību vienāds ar summu vai to kvadrātu starpība.

Ja divu skaitļu summa un starpība, kas izvirzīta līdz kvadrāts, rezultāts būs vienāds ar šo skaitļu summu vai starpību ceturtais grādiem.

Tātad (a - y).(a + y) = a 2 - y 2.
(a 2 — y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 — y 4.
(a 4 — y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 — y 8.

Pakāpju dalījums

Skaitļus ar pakāpēm var dalīt tāpat kā citus skaitļus, atņemot no dividendes vai ievietojot tos daļskaitļu formā.

Tādējādi a 3 b 2 dalīts ar b 2 ir vienāds ar 3.

Vai:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

Rakstot 5, dalītu ar 3, izskatās šādi: $\frac(a^5)(a^3)$. Bet tas ir vienāds ar 2. Ciparu virknē
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
jebkuru skaitli var dalīt ar citu, un eksponents būs vienāds ar atšķirība dalāmo skaitļu rādītāji.

Dalot grādus ar vienu un to pašu bāzi, to eksponenti tiek atņemti..

Tātad, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1. Tas ir, $\frac(yyy)(yy) = y$.

Un a n+1:a = a n+1-1 = a n . Tas ir, $\frac(aa^n)(a) = a^n$.

Vai:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12 (b + y) n: 3 (b + y) 3 = 4 (b + y) n-3

Noteikums attiecas arī uz skaitļiem ar negatīvs grādu vērtības.
Rezultāts, dalot -5 ar -3, ir -2.
Tāpat $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 vai $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

Ir ļoti labi jāapgūst spēku reizināšana un dalīšana, jo šādas darbības algebrā tiek izmantotas ļoti plaši.

Piemēri piemēru risināšanai ar daļskaitļiem, kas satur skaitļus ar pakāpēm

1. Samaziniet eksponentus par $\frac(5a^4)(3a^2)$ Atbilde: $\frac(5a^2)(3)$.

2. Samaziniet eksponentus par $\frac(6x^6)(3x^5)$. Atbilde: $\frac(2x)(1)$ vai 2x.

3. Samaziniet eksponentus a 2 /a 3 un a -3 /a -4 un izveidojiet kopsaucēju.
a 2 .a -4 ir -2 pirmais skaitītājs.
a 3 .a -3 ir 0 = 1, otrais skaitītājs.
a 3 .a -4 ir -1 , kopējais skaitītājs.
Pēc vienkāršošanas: a -2 /a -1 un 1/a -1 .

4. Samaziniet eksponentus 2a 4 /5a 3 un 2 /a 4 un izveidojiet kopsaucēju.
Atbilde: 2a 3 /5a 7 un 5a 5 /5a 7 vai 2a 3 /5a 2 un 5/5a 2.

5. Reiziniet (a 3 + b)/b 4 ar (a - b)/3.

6. Reiziniet (a 5 + 1)/x 2 ar (b 2 - 1)/(x + a).

7. Reiziniet b 4 /a -2 ar h -3 /x un a n /y -3 .

8. Sadaliet 4 /y 3 ar 3 /y 2 . Atbilde: a/y.

9. Sadaliet (h 3 - 1)/d 4 ar (d n + 1)/h.

Izteiksmes, izteiksmju konvertēšana

Spēka izteiksmes (izteiksmes ar pilnvarām) un to transformācija

Šajā rakstā mēs runāsim par izteiksmju konvertēšanu ar pilnvarām. Pirmkārt, mēs pievērsīsimies transformācijām, kas tiek veiktas ar jebkāda veida izteiksmēm, tostarp spēka izteiksmēm, piemēram, atverot iekavas un ienesot līdzīgus terminus. Un tad mēs analizēsim transformācijas, kas īpaši raksturīgas izteiksmēm ar pakāpēm: strādājot ar bāzi un eksponentu, izmantojot grādu īpašības utt.

Lapas navigācija.

Kas ir spēka izpausmes?

Jēdziens “spēka izteiksmes” praktiski neparādās skolu matemātikas mācību grāmatās, taču diezgan bieži parādās uzdevumu krājumos, īpaši tajos, kas paredzēti, piemēram, gatavošanai vienotajam valsts eksāmenam un vienotajam valsts eksāmenam. Izanalizējot uzdevumus, kuros nepieciešams veikt jebkādas darbības ar spēka izteiksmēm, kļūst skaidrs, ka spēka izteiksmes tiek saprastas kā izteiksmes, kas savos ierakstos satur spēkus. Tāpēc jūs varat pieņemt šādu definīciju sev:

Definīcija.

Spēka izpausmes ir izteiksmes, kas satur grādus.

Dosim spēka izteiksmes piemēri. Turklāt mēs tos parādīsim atbilstoši tam, kā notiek uzskatu attīstība no pakāpes ar naturālo eksponentu līdz pakāpei ar reālu eksponentu.

Kā zināms, šajā posmā vispirms iepazīstas ar skaitļa pakāpēm ar naturālo eksponentu, pirmajām vienkāršākajām pakāpju izteiksmēm tipam 3 2, 7 5 +1, (2+1) 5, (−0,1); 4, 3 a 2 parādās −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 utt.

Nedaudz vēlāk tiek pētīta skaitļa pakāpe ar veselu eksponentu, kā rezultātā parādās jaudas izteiksmes ar negatīvu veselu skaitļu pakāpēm, piemēram: 3 −2, , a −2 +2 b −3 +c 2 .

Vidusskolā viņi atgriežas pie grādiem. Tur tiek ieviests grāds ar racionālu eksponentu, kas nozīmē atbilstošo jaudas izteiksmju parādīšanos: , , un tā tālāk. Visbeidzot tiek aplūkoti grādi ar iracionāliem eksponentiem un tos saturošas izteiksmes: , .

Lieta neaprobežojas tikai ar uzskaitītajām pakāpju izteiksmēm: tālāk mainīgais iekļūst eksponentā, un, piemēram, rodas šādas izteiksmes: 2 x 2 +1 vai . Un pēc iepazīšanās ar , sāk parādīties izteiksmes ar pakāpēm un logaritmiem, piemēram, x 2·lgx −5·x lgx.

Tātad, mēs esam izskatījuši jautājumu par to, ko pārstāv varas izpausmes. Tālāk mēs iemācīsimies tos pārveidot.

Spēka izteiksmju transformāciju pamatveidi

Izmantojot spēka izteiksmes, jūs varat veikt jebkuru no izteiksmju pamata identitātes pārveidojumiem. Piemēram, jūs varat paplašināt iekavas, aizstāt skaitliskās izteiksmes to vērtības, dot līdzīgus terminus utt. Protams, šajā gadījumā ir jāievēro pieņemtā darbību veikšanas kārtība. Sniegsim piemērus.

Piemērs.

Aprēķināt jaudas izteiksmes vērtību 2 3 ·(4 2 −12) .

Risinājums.

Atbilstoši darbību izpildes secībai vispirms veiciet darbības iekavās. Tur, pirmkārt, jaudu 4 2 aizstājam ar tās vērtību 16 (ja nepieciešams, skat.), otrkārt, aprēķinām starpību 16−12=4. Mums ir 2 3 · (4 2–12) = 2 3 · (16–12) = 2 3 ·4.

Iegūtajā izteiksmē jaudu 2 3 aizstājam ar tās vērtību 8, pēc kuras aprēķinām reizinājumu 8·4=32. Šī ir vēlamā vērtība.

Tātad, 2 3 · (4 2 -12) = 2 3 · (16 - 12) = 2 3 · 4 = 8 · 4 = 32.

Atbilde:

2 3 · (4 2 -12)=32.

Piemērs.

Vienkāršojiet izteicienus ar spējām 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.

Risinājums.

Acīmredzot šī izteiksme satur līdzīgus terminus 3·a 4 ·b −7 un 2·a 4 ·b −7 , un mēs varam tos uzrādīt: .

Atbilde:

3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.

Piemērs.

Izsakiet izteiksmi ar pilnvarām kā produktu.

Risinājums.

Ar uzdevumu varat tikt galā, attēlojot skaitli 9 kā pakāpju 3 2 un pēc tam izmantojot formulu saīsinātai reizināšanai - kvadrātu starpība:

Atbilde:

Ir arī vairākas identiskas transformācijas, kas īpaši raksturīgas spēka izteiksmēm. Mēs tos analizēsim sīkāk.

Darbs ar bāzi un eksponentu

Ir grādi, kuru bāze un/vai eksponents nav tikai skaitļi vai mainīgie, bet gan dažas izteiksmes. Kā piemēru dodam ierakstus (2+0.3·7) 5−3.7 un (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) .

Strādājot ar šādām izteiksmēm, jūs varat aizstāt gan izteiksmi pakāpes bāzē, gan izteiksmi eksponentā ar identiski vienādu izteiksmi tās mainīgo ODZ. Citiem vārdiem sakot, saskaņā ar mums zināmajiem noteikumiem mēs varam atsevišķi pārveidot pakāpes bāzi un atsevišķi eksponentu. Ir skaidrs, ka šīs transformācijas rezultātā tiks iegūta izteiksme, kas ir identiski vienāda ar sākotnējo.

Šādas transformācijas ļauj mums vienkāršot izteicienus ar spēku vai sasniegt citus mums vajadzīgos mērķus. Piemēram, augstāk minētajā pakāpju izteiksmē (2+0.3 7) 5−3.7 var veikt darbības ar skaitļiem bāzē un eksponentā, kas ļaus pāriet uz pakāpju 4.1 1.3. Un pēc iekavas atvēršanas un līdzīgu terminu pievilkšanas pakāpes (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) bāzei mēs iegūstam vienkāršākas formas pakāpju izteiksmi a 2·(x+ 1) .

Grāda īpašību izmantošana

Viens no galvenajiem instrumentiem izteiksmju pārveidošanai ar pilnvarām ir vienādības, kas atspoguļo . Atgādināsim galvenos. Jebkuram pozitīvi skaitļi a un b un patvaļīgiem reāliem skaitļiem r un s, pastāv šādas pakāpju īpašības:

• a r ·a s =a r+s ;
• a r:a s =a r−s ;
• (a·b) r =a r ·b r ;
• (a:b) r =a r:b r ;
• (a r) s =a r·s .

Ņemiet vērā, ka naturālajiem, veseliem skaitļiem un pozitīviem eksponentiem ierobežojumi attiecībā uz skaitļiem a un b var nebūt tik stingri. Piemēram, priekš naturālie skaitļi m un n vienādība a m ·a n =a m+n ir patiesa ne tikai pozitīvajam a, bet arī negatīvajam a un a=0.

Skolā galvenā uzmanība, transformējot spēka izpausmes, tiek likta uz spēju izvēlēties atbilstošu īpašību un pareizi to pielietot. Šajā gadījumā grādu bāzes parasti ir pozitīvas, kas ļauj bez ierobežojumiem izmantot grādu īpašības. Tas pats attiecas uz izteiksmju pārveidošanu, kas satur mainīgos pakāpju bāzēs - mainīgo lielumu pieļaujamo vērtību diapazons parasti ir tāds, ka bāzes ņem tikai pozitīvas vērtības, kas ļauj brīvi izmantot pakāpju īpašības . Kopumā jums pastāvīgi jājautā sev, vai šajā gadījumā ir iespējams izmantot kādu grādu īpašību, jo neprecīza īpašību izmantošana var izraisīt izglītojošās vērtības samazināšanos un citas nepatikšanas. Šie punkti ir detalizēti un ar piemēriem apskatīti rakstā izteiksmju transformācija, izmantojot pakāpes īpašības. Šeit mēs aprobežosimies ar dažu vienkāršu piemēru apsvēršanu.

Piemērs.

Izteikt izteiksmi a 2.5 ·(a 2) −3:a −5.5 kā pakāpju ar bāzi a.

Risinājums.

Pirmkārt, mēs pārveidojam otro koeficientu (a 2) -3, izmantojot īpašību palielināt jaudu par jaudu: (a 2) −3 =a 2·(−3) =a −6. Sākotnējā jaudas izteiksme būs 2.5 ·a −6:a −5.5. Acīmredzot atliek izmantot pilnvaru reizināšanas un dalīšanas īpašības ar to pašu bāzi, kas mums ir
a 2,5 ·a -6:a -5,5 =
a 2,5-6:a -5,5 =a -3,5:a -5,5 =
a −3,5−(−5,5) =a 2 .

Atbilde:

a 2,5 · (a 2) -3:a -5,5 =a 2.

Pakāpju īpašības, transformējot pakāpju izteiksmes, tiek izmantotas gan no kreisās uz labo, gan no labās uz kreiso.

Piemērs.

Atrodiet jaudas izteiksmes vērtību.

Risinājums.

Vienādība (a·b) r =a r ·b r, kas piemērota no labās puses uz kreiso pusi, ļauj pāriet no sākotnējās izteiksmes uz formas produktu un tālāk. Un, reizinot jaudas ar tām pašām bāzēm, eksponenti summējas: .

Sākotnējo izteiksmi bija iespējams pārveidot citā veidā:

Atbilde:

.

Piemērs.

Ņemot vērā jaudas izteiksmi a 1,5 −a 0,5 −6 , ievadiet jaunu mainīgo t=a 0,5 .

Risinājums.

Pakāpi a 1,5 var attēlot kā 0,5 3 un pēc tam, pamatojoties uz pakāpes īpašību pakāpei (a r) s =a r s, piemērojot no labās uz kreiso pusi, pārveidot to formā (a 0,5) 3. Tādējādi a 1,5 -a 0,5 -6 = (a 0,5) 3 -a 0,5 -6. Tagad ir viegli ieviest jaunu mainīgo t=a 0,5, mēs iegūstam t 3 −t−6.

Atbilde:

t 3 −t−6 .

Pārvērš daļskaitļus, kas satur pakāpes

Spēka izteiksmes var saturēt vai attēlot daļskaitļus ar pakāpēm. Jebkurš no daļskaitļu pamatpārveidojumiem, kas ir raksturīgs jebkura veida frakcijām, ir pilnībā piemērojams šādām daļām. Tas ir, daļskaitļus, kas satur pakāpes, var samazināt, reducēt līdz jaunam saucējam, apstrādāt atsevišķi ar to skaitītāju un atsevišķi ar saucēju utt. Lai ilustrētu šos vārdus, apsveriet risinājumus vairākiem piemēriem.

Piemērs.

Vienkāršojiet spēka izteiksmi .

Risinājums.

Šī jaudas izteiksme ir daļa. Strādāsim ar tā skaitītāju un saucēju. Skaitītājā mēs atveram iekavas un vienkāršojam iegūto izteiksmi, izmantojot pakāpju īpašības, un saucējā mēs parādām līdzīgus terminus:

Un mainīsim arī saucēja zīmi, daļskaitļa priekšā ievietojot mīnusu: .

Atbilde:

.

Pakāpju daļskaitļu samazināšana līdz jaunam saucējam tiek veikta līdzīgi kā racionālu daļskaitļu samazināšana līdz jaunam saucējam. Šajā gadījumā tiek atrasts arī papildu koeficients un ar to tiek reizināts daļskaitļa skaitītājs un saucējs. Veicot šo darbību, ir vērts atcerēties, ka samazināšana līdz jaunam saucējam var izraisīt VA sašaurināšanos. Lai tas nenotiktu, ir nepieciešams, lai papildu faktors nenonāktu līdz nullei nevienai mainīgo vērtībām no sākotnējās izteiksmes ODZ mainīgajiem.

Piemērs.

Samaziniet daļskaitļus līdz jaunam saucējam: a) līdz saucējam a, b) uz saucēju.

Risinājums.

a) Šajā gadījumā ir diezgan viegli izdomāt, kurš papildu reizinātājs palīdz sasniegt vēlamo rezultātu. Tas ir reizinātājs ar 0,3, jo 0,7 ·a 0,3 =a 0,7+0,3 =a. Ņemiet vērā, ka mainīgā a pieļaujamo vērtību diapazonā (tā ir visu pozitīvo reālo skaitļu kopa) 0,3 jauda nepazūd, tāpēc mums ir tiesības reizināt dotā skaitītāju un saucēju. daļa ar šo papildu koeficientu:

b) Apskatot saucēju tuvāk, jūs to atradīsit

un reizinot šo izteiksmi ar, tiks iegūta kubu summa un , tas ir, . Un tas ir jaunais saucējs, līdz kuram mums jāsamazina sākotnējā daļa.

Tādā veidā mēs atradām papildu faktoru. Mainīgo x un y pieļaujamo vērtību diapazonā izteiksme nepazūd, tāpēc ar to varam reizināt daļskaitļa skaitītāju un saucēju:

Atbilde:

A) , b) .

Arī pakāpju daļskaitļu samazināšanā nav nekā jauna: skaitītājs un saucējs tiek attēloti kā vairāki faktori, un tie paši skaitītāja un saucēja faktori tiek samazināti.

Piemērs.

Samaziniet daļu: a) , b) .

Risinājums.

a) Pirmkārt, skaitītāju un saucēju var samazināt par skaitļiem 30 un 45, kas ir vienāds ar 15. Acīmredzot ir arī iespējams veikt samazināšanu par x 0,5 +1 un par . Lūk, kas mums ir:

b) Šajā gadījumā identiski faktori skaitītājā un saucējā nav uzreiz redzami. Lai tos iegūtu, jums būs jāveic iepriekšējas pārvērtības. Šajā gadījumā tie sastāv no saucēja faktorēšanas, izmantojot kvadrātu starpības formulu:

Atbilde:

A)

b) .

Daļskaitļu pārvēršana jaunā saucējā un daļskaitļu samazināšana galvenokārt tiek izmantota, lai veiktu darbības ar daļskaitļiem. Darbības tiek veiktas saskaņā ar zināmi noteikumi. Saskaitot (atņemot) daļskaitļus, tās tiek reducētas līdz kopsaucējam, pēc kā tiek saskaitīti (atņemti) skaitītāji, bet saucējs paliek nemainīgs. Rezultātā tiek iegūta daļa, kuras skaitītājs ir skaitītāju reizinājums, bet saucējs ir saucēju reizinājums. Dalīšana ar daļskaitli ir reizināšana ar apgriezto.

Piemērs.

Izpildiet norādītās darbības .

Risinājums.

Pirmkārt, mēs atņemam iekavās esošās daļas. Lai to izdarītu, mēs tos apvienojam ar kopsaucēju, kas ir , pēc kura mēs atņemam skaitītājus:

Tagad mēs reizinām daļskaitļus:

Acīmredzot ir iespējams samazināt ar jaudu x 1/2, pēc kura mums ir .

Varat arī vienkāršot jaudas izteiksmi saucējā, izmantojot kvadrātu atšķirības formulu: .

Atbilde:

Piemērs.

Vienkāršojiet spēka izteiksmi .

Risinājums.

Acīmredzot šo daļu var samazināt par (x 2,7 +1) 2, tas dod daļu . Ir skaidrs, ka ar X pilnvarām ir jādara kaut kas cits. Lai to izdarītu, mēs pārveidojam iegūto frakciju produktā. Tas dod mums iespēju izmantot iespēju sadalīt pilnvaras ar vienādām bāzēm: . Un procesa beigās mēs pārejam no pēdējā produkta uz frakciju.

Atbilde:

.

Un vēl piebildīsim, ka ir iespējams un daudzos gadījumos vēlams pārnest faktorus ar negatīviem eksponentiem no skaitītāja uz saucēju vai no saucēja uz skaitītāju, mainot eksponenta zīmi. Šādas pārvērtības bieži vien vienkāršo turpmākās darbības. Piemēram, jaudas izteiksmi var aizstāt ar .

Izteicienu pārveidošana ar saknēm un pilnvarām

Bieži vien izteiksmēs, kurās nepieciešamas dažas transformācijas, kopā ar pakāpēm ir arī saknes ar daļskaitļiem. Lai pārvērstu šādu izteiksmi par pareizais tips, vairumā gadījumu pietiek iet tikai pie saknēm vai tikai pie spējām. Bet, tā kā ir ērtāk strādāt ar pilnvarām, tie parasti pāriet no saknēm uz pilnvarām. Tomēr ir ieteicams veikt šādu pāreju, ja sākotnējās izteiksmes mainīgo ODZ ļauj aizstāt saknes ar pilnvarām bez nepieciešamības atsaukties uz moduli vai sadalīt ODZ vairākos intervālos (mēs to detalizēti apspriedām raksta pāreja no saknēm uz pakāpēm un atpakaļ Pēc iepazīšanās ar pakāpi ar racionālo eksponentu tiek ieviests grāds ar iracionālu eksponentu, kas ļauj runāt par pakāpi ar patvaļīgu reālo eksponentu Šajā posmā tas sāk būt mācījies skolā. eksponenciālā funkcija , ko analītiski dod pakāpē, kuras bāze ir skaitlis, bet eksponents ir mainīgais. Tātad mēs saskaramies ar pakāpju izteiksmēm, kas satur skaitļus pakāpju bāzē, bet eksponentā - izteiksmes ar mainīgajiem, un dabiski rodas nepieciešamība veikt šādu izteiksmju transformācijas.

Jāteic, ka norādītā tipa izteiksmju transformācija parasti ir jāveic risinot eksponenciālie vienādojumi Un eksponenciālās nevienlīdzības , un šie reklāmguvumi ir diezgan vienkārši. Lielākajā daļā gadījumu tie ir balstīti uz grāda īpašībām un lielākoties ir vērsti uz jauna mainīgā ieviešanu nākotnē. Vienādojums ļaus mums tos parādīt 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

Pirmkārt, pakāpes, kuru eksponentos ir noteikta mainīgā lieluma (vai izteiksmes ar mainīgajiem) un skaitļa summa, tiek aizstāti ar reizinājumiem. Tas attiecas uz izteiksmes pirmo un pēdējo vārdu kreisajā pusē:
5 2 x 5 1 -3 5 x 7 x -14 7 2 x 7 -1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

Tālāk abas vienādības puses tiek dalītas ar izteiksmi 7 2 x, kas mainīgā x ODZ sākotnējam vienādojumam ņem tikai pozitīvas vērtības (šī ir standarta tehnika šāda veida vienādojumu risināšanai, mēs neesam runājot par to tagad, tāpēc koncentrējieties uz nākamajām izteicienu transformācijām ar pilnvarām ):

Tagad mēs varam atcelt daļskaitļus ar pakāpēm, kas dod .

Visbeidzot, pakāpju attiecība ar vienādiem eksponentiem tiek aizstāta ar attiecību pakāpēm, kā rezultātā tiek iegūts vienādojums , kas ir līdzvērtīgs . Veiktās transformācijas ļauj ieviest jaunu mainīgo, kas reducē sākotnējā eksponenciālā vienādojuma atrisinājumu līdz kvadrātvienādojuma atrisinājumam

I. V. Bojkovs, L. D. Romanova Uzdevumu krājums, lai sagatavotos vienotajam valsts eksāmenam. 1. daļa. Penza 2003. gads.

Dodieties uz mūsu vietnes youtube kanālu, lai būtu informēts par visām jaunajām video nodarbībām.

Vispirms atcerēsimies pilnvaru pamatformulas un to īpašības.

Skaitļa reizinājums a notiek uz sevi n reizes, mēs varam rakstīt šo izteiksmi kā a a … a=a n

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n / a m = a n - m

Jauda vai eksponenciālie vienādojumi – tie ir vienādojumi, kuros mainīgie ir pakāpēs (vai eksponentos), un bāze ir skaitlis.

Eksponenciālo vienādojumu piemēri:

IN šajā piemērā skaitlis 6 ir bāze, tas vienmēr atrodas apakšā un mainīgais x grāds vai rādītājs.

Sniegsim vairāk eksponenciālo vienādojumu piemēru.
2 x *5=10
16 x - 4 x - 6 = 0

Tagad apskatīsim, kā tiek atrisināti eksponenciālie vienādojumi?

Ņemsim vienkāršu vienādojumu:

2 x = 2 3

Šo piemēru var atrisināt pat jūsu galvā. Var redzēt, ka x=3. Galu galā, lai kreisā un labā puse būtu vienādas, x vietā jāievieto skaitlis 3.
Tagad apskatīsim, kā formalizēt šo lēmumu:

2 x = 2 3
x = 3

Lai atrisinātu šādu vienādojumu, mēs noņēmām identisks pamatojums(tas ir, divnieki) un pierakstīja, kas bija palicis, tie ir grādi. Mēs saņēmām atbildi, ko meklējām.

Tagad apkoposim savu lēmumu.

Algoritms eksponenciālā vienādojuma risināšanai:
1. Nepieciešams pārbaudīt tas pats vai vienādojumam ir pamati labajā un kreisajā pusē. Ja iemesli nav vienādi, mēs meklējam iespējas, kā atrisināt šo piemēru.
2. Pēc tam, kad bāzes kļūst vienādas, pielīdzināt grādiem un atrisiniet iegūto jauno vienādojumu.

Tagad apskatīsim dažus piemērus:

Sāksim ar kaut ko vienkāršu.

Kreisajā un labajā pusē esošās bāzes ir vienādas ar skaitli 2, kas nozīmē, ka mēs varam atmest pamatni un pielīdzināt to spēkus.

x+2=4 Iegūst vienkāršāko vienādojumu.
x=4–2
x=2
Atbilde: x=2

Nākamajā piemērā var redzēt, ka bāzes atšķiras: 3 un 9.

3 3 x — 9 x+8 = 0

Pirmkārt, pārvietojiet deviņus uz labo pusi, mēs iegūstam:

Tagad jums ir jāizveido tās pašas pamatnes. Mēs zinām, ka 9 = 3 2. Izmantosim jaudas formulu (a n) m = a nm.

3 3x = (3 2) x+8

Mēs iegūstam 9 x+8 =(3 2) x+8 =3 2x+16

3 3x = 3 2x+16 Tagad ir skaidrs, ka kreisajā un labajā pusē bāzes ir vienādas un vienādas ar trīs, kas nozīmē, ka mēs varam tās atmest un vienādot grādus.

3x=2x+16 iegūstam vienkāršāko vienādojumu
3x - 2x = 16
x=16
Atbilde: x=16.

Apskatīsim šādu piemēru:

2 2 x+4 — 10 4 x = 2 4

Vispirms aplūkojam pamatus, otro un ceturto bāzi. Un mums vajag, lai tie būtu vienādi. Mēs pārveidojam četrus, izmantojot formulu (a n) m = a nm.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Un mēs arī izmantojam vienu formulu a n a m = a n + m:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Pievienojiet vienādojumam:

2 2 x 2 4 — 10 2 2 x = 24

To pašu iemeslu dēļ mēs sniedzām piemēru. Bet citi skaitļi 10 un 24 mūs traucē, ko ar tiem darīt? Ja paskatās vērīgi, var redzēt, ka kreisajā pusē mums ir 2 2x atkārtojumi, un šeit ir atbilde - mēs varam likt 2 2x no iekavām:

2 2 x (2 4–10) = 24

Aprēķināsim izteiksmi iekavās:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Mēs dalām visu vienādojumu ar 6:

Iedomāsimies 4=2 2:

2 2x = 2 2 bāzes ir vienādas, mēs tās atmetam un vienādojam pakāpes.
2x = 2 ir vienkāršākais vienādojums. Sadaliet to ar 2 un iegūstam
x = 1
Atbilde: x = 1.

Atrisināsim vienādojumu:

9 x – 12*3 x +27= 0

Pārveidosim:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Mēs iegūstam vienādojumu:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

Mūsu bāzes ir vienādas, vienādas ar trīs. Šajā piemērā var redzēt, ka pirmajiem trim ir grāds divreiz (2x) nekā otrajam (tikai x). Šajā gadījumā jūs varat atrisināt aizstāšanas metode. Skaitli aizstājam ar mazāko pakāpi:

Tad 3 2x = (3 x) 2 = t 2

Mēs aizstājam visus x spēkus vienādojumā ar t:

t 2 — 12t+27 = 0
Mēs saņemam kvadrātvienādojums. Atrisinot, izmantojot diskriminantu, mēs iegūstam:
D=144-108=36
t 1 = 9
t2 = 3

Atgriežoties pie mainīgā x.

Ņem t 1:
t 1 = 9 = 3 x

Tas ir,

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

Tika atrasta viena sakne. Meklējam otro no t 2:
t 2 = 3 = 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Atbilde: x 1 = 2; x 2 = 1.

Mājas lapā Jūs varat uzdot interesējošos jautājumus sadaļā PALĪDZĪBA LĒMĒT, mēs Jums noteikti atbildēsim.

Pievienojies grupai