Teoria della probabilità e statistica matematica. Probabilmente combinazione

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1 1 Concetti base di calcolo combinatorio 1 Appendice Definizione Il prodotto di tutti i numeri naturali da 1 a n compreso è chiamato n-fattoriale e scritto Esempio Calcola 4! 3! N! 1 3 n 4!-3!= ! 5! Esempio Calcola! 7! 5! 5!! Si diano tre lettere di queste lettere: 7 1! Permutazioni 5 3 A, B, C Facciamo tutte le combinazioni possibili di ABC / ACB / BCA / CAB / CBA / BAC (combinazioni totali) Vediamo che differiscono tra loro solo nell'ordine delle lettere Definizione Combinazioni di n elementi che differiscono tra loro solo per l'ordine degli elementi, sono chiamate permutazioni Le permutazioni sono indicate con il simbolo n, dove n è il numero di elementi compresi in ciascuna permutazione 3 3! Il numero di permutazioni può essere calcolato utilizzando la formula n oppure utilizzando il fattoriale: n n 1 n 3 1 n n! Quindi, il numero di permutazioni di tre elementi secondo la formula è, che coincide con il risultato dell'esempio discusso sopra 5 0 Esempio Calcola,! ! !- 5! 5! -15! 5! 150! ! 1! Esempio Quanti numeri diversi di cinque cifre possono essere composti dalle cifre 1, 3, 4, 5, a condizione che nessuna cifra sia ripetuta nel numero?

2 5! Esempio Quattro squadre hanno partecipato al concorso Quante opzioni sono possibili per la distribuzione dei posti tra di loro? 4! Posizionamenti Lasciamo che ci siano quattro lettere A, B, C, D Componiamo tutte le combinazioni da sole due lettere, otteniamo: AB, AC, AD, BA, BC, BD, CA, CB, CD, DA, DB, DC Lo vediamo tutto ciò che le combinazioni risultanti differiscono o nelle lettere o nel loro ordine (le combinazioni BA e AB sono considerate diverse) Definizione Le combinazioni di m elementi di n elementi che differiscono tra loro o negli elementi stessi o nell'ordine degli elementi si chiamano posizionamenti. I posizionamenti sono designati da n A m n numero di elementi in ciascuna combinazione, dove m è il numero di tutti gli elementi disponibili, A n m m! (mn)! Esempio Quante opzioni ci sono per distribuire tre premi se 7 squadre partecipano all'estrazione? 3 7! 7! UN! 4! 10 Esempio Quanti numeri diversi di quattro cifre possono essere composti dalle cifre 0, 1, 8, 9? 4 10! 10! UN!! Esempio Quante opzioni di pianificazione possono essere create per un giorno se ce ne sono 8 in totale? materie educative, e solo tre di essi possono essere inclusi nel programma giornaliero? 3 8! 8! UN! 5! Esempio Quante opzioni per la distribuzione di tre buoni a sanatori di vari profili possono essere compilate per cinque richiedenti? 3 5! 5! UN!!

3 Combinazioni Definizione Le combinazioni sono tutte le possibili combinazioni di m elementi per n, che differiscono tra loro per almeno un elemento (qui m e n numeri naturali, e n

4 Un fenomeno casuale può essere caratterizzato dal rapporto tra il numero delle sue occorrenze e il numero di prove, in ciascuna delle quali, nelle stesse condizioni di tutte le prove, potrebbe verificarsi o non verificarsi. La teoria della probabilità è una branca della matematica quali fenomeni (eventi) casuali vengono studiati e i modelli vengono identificati durante la loro ripetizione di massa. Per registrare ed esplorare questi modelli, introdurremo alcuni concetti e definizioni di base. Definizione: qualsiasi azione, fenomeno, osservazione con diversi risultati diversi, realizzata un dato insieme di condizioni, sarà chiamato test. Ad esempio, il lancio ripetuto di una moneta, il processo di produzione di qualsiasi parte sono test. Definizione Il risultato di questa azione o osservazione sarà chiamato un evento casuale di un numero quando si lancia una moneta è un evento casuale, poiché può essere accaduto o meno Definizione Se siamo interessati a un evento specifico tra tutti gli eventi possibili, allora lo chiameremo evento desiderato (o risultato desiderato) Definizione. Tutti gli eventi presi in considerazione saranno considerati ugualmente possibili, quelli che hanno la stessa probabilità di verificarsi. Quindi, lanciando un dado, possono apparire 1 punto, 3, 4, 5 o punti e questi risultati del test sono ugualmente possibili , pari opportunità significa uguaglianza, simmetria dei risultati dei test individuali, soggetta a determinate condizioni Gli eventi sono solitamente indicati con le lettere maiuscole dell'alfabeto latino: A, B, C, D Definizione Gli eventi sono detti incompatibili se non possono verificarsi due di essi insieme. un dato esperimento Altrimenti gli eventi si dicono compatibili. Quindi, quando si lanciano monete, la comparsa del numero esclude la comparsa simultanea dello stemma; questo è un esempio di eventi incompatibili 4

5 Consideriamo un altro esempio. Si disegnano sul bersaglio un cerchio, un rombo e un triangolo. Viene sparato un colpo. L'evento A colpisce il cerchio, l'evento B colpisce il rombo, l'evento C colpisce il triangolo. Poi gli eventi A e B e C, C e B sono incoerenti Definizione Un evento è detto affidabile se si verifica necessariamente in un dato test Ad esempio, vincere un biglietto della lotteria win-win è un evento affidabile Gli eventi affidabili sono indicati con la lettera U Definizione Un evento è detto impossibile se non può accadere in un dato esperimento Ad esempio, lanciando un dado è impossibile ottenere 7 punti Evento impossibile indicato con la lettera V Definizione Un sistema completo di eventi A 1, A, A 3, A n è un insieme di eventi incompatibili , il verificarsi di almeno uno dei quali è obbligatorio durante una determinata prova. Pertanto, la perdita di uno, due, tre, quattro, cinque, sei punti quando si lancia un dado di gioco è un sistema completo di eventi, poiché tutti questi eventi sono. incompatibili e il verificarsi di almeno uno di essi è obbligatorio Definizione Se un sistema completo consiste di due eventi, allora tali eventi sono chiamati opposti e sono designati A e A Esempio C'è un biglietto della lotteria “b su 45” L'evento A è quello è un vincitore e l'evento B è che non è vincitore. Questi eventi sono incompatibili? Esempio Ci sono 30 palline numerate in una scatola Determinare quale dei seguenti eventi è impossibile, affidabile, opposto: è stata estratta una pallina numerata (; è stata estratta una pallina con un numero pari (è stata estratta una pallina con un numero dispari. (C); è stata eliminata una pallina senza numero (D) Quali di loro formano un gruppo completo Esempio È certo o impossibile che un singolo lancio di dadi dia: 5 punti da 1 a 5 punti?

6 Definizione La somma di più eventi è un evento costituito dal verificarsi di almeno uno di essi a seguito di una prova. La somma degli eventi A e B è indicata con (A+ e significa che l'evento A, o B, o A e B si sono verificati insieme Definizione Il prodotto di più eventi è un evento , consistente nel verificarsi congiunto di tutti questi eventi come risultato del test. Il prodotto degli eventi A e B denota: AB 3 Determinazione della probabilità di un evento Eventi casuali. si realizzano con diverse possibilità Alcuni si verificano più spesso, altri meno spesso Per quantificare le possibilità di realizzazione di un evento si introduce il concetto di probabilità dell'evento Definizione La probabilità dell'evento A è il rapporto tra il numero M di esiti favorevoli e il totale numero N di risultati ugualmente possibili, formando un gruppo completo: La probabilità di un evento affidabile è 1, impossibile 0, casuale: 0 (1 Questa è la definizione classica di probabilità Frequenza relativa di un evento A il rapporto tra il numero m di prove in cui si è verificato l'evento sul numero totale di n prove: M N * (Esempio Una lettera viene scelta a caso dalla parola “clinica”). Qual è la probabilità che sia una vocale? Qual è la lettera K? È una vocale o la lettera K? Totale lettere 11 Evento A come risultato dell'esperimento è apparsa una vocale Evento B è apparsa la lettera K L'evento A è favorito da cinque eventi (5 vocali), l'evento B due m 5 m (, n 11 n 11 m n 4 Teoremi fondamentali e formule della teoria della probabilità Teorema della somma delle probabilità La probabilità che si verifichi uno degli eventi incompatibili è uguale alla somma delle loro probabilità:

7 A A A A A 1 n 1 A n Probabilità della somma di due eventi congiunti A A Somma delle probabilità di eventi opposti (1 Definizione Siano A e B due eventi casuali della stessa prova. La probabilità condizionata dell'evento A o la probabilità dell'evento A A a condizione che si verifichi l'evento B è il numero Designazione: A B A Teorema della moltiplicazione delle probabilità La probabilità del verificarsi simultaneo di due eventi indipendenti è uguale al prodotto delle probabilità di questi eventi A 7

Matematica (BkPl-100) P.F. Kharlamov Anno accademico 2011/2012, 1° semestre Lezione 5. Argomento: Combinatoria, introduzione alla teoria della probabilità 1 Argomento: Combinatoria La combinatoria è una branca della matematica che studia

Dipartimento di Matematica e Informatica Matematica Complesso didattico e metodologico per gli studenti dell'istruzione professionale secondaria che studiano utilizzando le tecnologie a distanza Modulo 6 Elementi di teoria della probabilità e statistica matematica

ARGOMENTO. TEOREMI DI SOMMA E MOLTIPLICAZIONE DELLE PROBABILITÀ Operazioni su eventi aleatori. Algebra degli eventi. Il concetto di compatibilità degli eventi. Gruppo completo di eventi. Dipendenza e indipendenza da eventi casuali. Condizionale

Lezione Teoria della probabilità Concetti di base Esperimento Frequenza Probabilità La teoria della probabilità è una branca della matematica che studia gli schemi dei fenomeni casuali. Gli eventi casuali sono eventi che, quando

LEZIONE 3 INTRODUZIONE ALLA TEORIA DELLA PROBABILITÀ RACCOMANDAZIONI METODOLOGICHE MISS 2013 HO APPROVATO: D.E. Kaputkin Presidente della Commissione Educativa e Metodologica per l'attuazione dell'Accordo con il Dipartimento dell'Istruzione delle città.

1 PARTE I. TEORIA DELLA PROBABILITÀ CAPITOLO 1. 1. Elementi di calcolo combinatorio Definizione 1. Esempi: Definizione. -fattoriale è un numero indicato da!, e! = 1** * per tutti i numeri naturali 1, ; Oltretutto,

1) Quanti sono i numeri naturali di tre cifre che hanno solo due cifre inferiori a cinque? Ci sono solo cinque cifre inferiori a 5: ( 0; 1; 2; 3; 4 ) Le restanti cinque cifre sono almeno 5: ( ; ; ; ; ) 1° metodo di soluzione

Lezione 3 Argomento Teoremi e formule fondamentali della teoria della probabilità Contenuto dell'argomento Algebra degli eventi. Teoremi dell'addizione di probabilità. Probabilità condizionata. Teoremi sulla moltiplicazione delle probabilità. Formula della probabilità totale.

Argomento della conferenza: ALGEBRA DEGLI EVENTI TEOREMI FONDAMENTALI SULLA PROBABILITÀ Algebra degli eventi La somma degli eventi è l'evento S = +, che consiste nel verificarsi di almeno uno di essi Il prodotto degli eventi si chiama

Dipartimento di Matematica Superiore Sezione lezioni di teoria della probabilità e statistica matematica. Teoria della probabilità L'oggetto della teoria della probabilità è lo studio di modelli specifici in massa omogenea

INDICE ARGOMENTO III. INTRODUZIONE ALLA TEORIA DELLA PROBABILITÀ... 2 1. RIFERIMENTI... 2 1.1. CONCETTI E DEFINIZIONI FONDAMENTALI... 2 1.2. AZIONI SU EVENTI CASUALI... 4 1.3. DEFINIZIONE CLASSICA

Lezione 2. Teoremi di addizione e moltiplicazione delle probabilità Somma e prodotto di un evento La somma o unione di più eventi è un evento costituito dal verificarsi di almeno uno di questi

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PROBABILITÀ DI UN EVENTO CASUALE Gli assiomi di Kolmogorov Nel 1933, A. N. Kolmogorov nel suo libro “Concetti fondamentali della teoria della probabilità” diede una giustificazione assiomatica per la teoria della probabilità. "Ciò significa che dopo

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PROBABILITÀ COMBINATORIA Argomento 5 Traduzione effettuata con il supporto di IT Akadeemia Contenuto della lezione 1 Introduzione 2 3 4 Paragrafo successivo 1 Introduzione 2 3 4 Problema... Problema... Problema... ... e soluzione: Ragazza

LEZIONE LA DETERMINAZIONE DELLA PROBABILITÀ DI UN EVENTO La probabilità di un evento si riferisce ai concetti base della teoria della probabilità ed esprime la misura della possibilità oggettiva del verificarsi di un evento. È importante per le attività pratiche

I Definizione di probabilità e regole di base per il suo calcolo Esperimento di probabilità Oggetto della teoria della probabilità I risultati dell'esperimento dipendono in un modo o nell'altro da un insieme di condizioni alle quali

Libro dei problemi di Chudesenko, teoria della probabilità, opzione Si lanciano due dadi. Determinare la probabilità che: a la somma del numero di punti non superi N; b il prodotto del numero di punti non supera N; V

Compilato da: Professore Associato del Dipartimento di Fisica Medica e Biologica Romanova N.Yu. Teoria della probabilità 1 lezione Introduzione. La teoria della probabilità è una scienza matematica che studia i modelli dei fenomeni casuali.

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Lezione 3 Argomento Teoremi e formule fondamentali della teoria della probabilità Contenuto dell'argomento Algebra degli eventi. Teoremi dell'addizione delle probabilità. Probabilità condizionata. Teoremi sulla moltiplicazione delle probabilità. Categorie fondamentali dell'algebra

Lezione 1. Argomento: APPROCCI FONDAMENTALI ALLA DETERMINAZIONE DELLA PROBABILITÀ Oggetto della teoria della probabilità. Contesto storico L'oggetto della teoria della probabilità è lo studio dei modelli che si presentano in condizioni massicce e omogenee

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Teoria della probabilità Programma delle lezioni P Sulla teoria della probabilità come scienza P Definizioni di base della teoria della probabilità P Frequenza di un evento casuale Determinazione della probabilità P 4 Applicazione della combinatoria al conteggio

Elementi di teoria della probabilità Eventi casuali Processi deterministici Nella scienza e nella tecnologia vengono considerati i processi il cui esito può essere previsto con sicurezza: Se viene applicata una differenza alle estremità del conduttore

ARGOMENTO 1 Calcolo combinatorio delle probabilità Problema 1B 17 squadre partecipano alla coppa nazionale di calcio Quanti modi ci sono per distribuire le medaglie d'oro, d'argento e di bronzo? Perché

( σ-algebra - campo degli eventi casuali - primo gruppo di assiomi di Kolmogorov - secondo gruppo di assiomi di Kolmogorov - formule base della teoria della probabilità - teorema dell'addizione di probabilità - probabilità condizionata

Nozioni di base sulla teoria della probabilità Lezione 2 Contenuti 1. Probabilità condizionata 2. Probabilità di un prodotto di eventi 3. Probabilità di una somma di eventi 4. Formula della probabilità totale Eventi dipendenti e indipendenti Definizione

N. G. TAKTAROV TEORIA DELLA PROBABILITÀ E STATISTICA MATEMATICA: UN BREVE CORSO CON ESEMPI E SOLUZIONI Il testo è stato corretto e integrato ABSTRACT Il libro è un libro di testo in cui è brevemente semplice e accessibile

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Problemi di teoria della probabilità e statistica matematica. Compito di eventi casuali. In un lotto di prodotti N, i prodotti presentano un difetto nascosto. Qual è la probabilità che su k prodotti siano presi a caso

TEORIA DELLA PROBABILITÀ. COMPITI. Indice (per argomento) 1. Formula per la determinazione classica della probabilità. Elementi di combinatoria. Probabilità geometrica 4. Operazioni sugli eventi. Teoremi di addizione e moltiplicazione

Formule combinatorie Sia un insieme formato da n elementi. Lo denotiamo U n. Una permutazione di n elementi è un dato ordine nell'insieme U n. Esempi di permutazioni: 1) distribuzione

CAPITOLO 5 ELEMENTI DI TEORIA DELLA PROBABILITÀ 5 Assiomi della teoria della probabilità Vari eventi possono essere classificati come segue:) Evento impossibile, evento che non può accadere) Evento certo

PRATICO Formule di base della combinatoria Tipi di eventi Azioni sugli eventi Probabilità classica Probabilità geometrica Formule di base della combinatoria La combinatoria studia i numeri delle combinazioni,

Formula della probabilità totale. Sia un gruppo di eventi H 1, H 2,..., H n, che ha le seguenti proprietà: 1) Tutti gli eventi sono incompatibili a coppie: H i H j =; io, j=1,2,...,n; ij 2) Le loro forme di unione

MINISTERO DELL'ISTRUZIONE DELLA FEDERAZIONE RUSSA UNIVERSITÀ STATALE DELL'ENERGIA DI IVANOVSK DIPARTIMENTO DI MATEMATICA SUPERIORE ISTRUZIONI METODICHE SULLA TEORIA DELLA PROBABILITÀ Compilato da:

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Teoria della probabilità e statistica matematica Dottore in Fisica e Matematica. Il professore di scienze Mikhail Pavlovich Kharlamov “Pagina” con materiale didattico http://inter.vags.ru/hmp Filiale di Volgograd della RANEPA (FGOU

Vorobiev V.V. "Liceo" di Kalachinsk, regione di Omsk Workshop sulla risoluzione di problemi di teoria della probabilità e statistica matematica. Un ruolo importante nello studio di argomenti di teoria e statistica della probabilità è svolto da

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TEORIA DELLA PROBABILITÀ. DISTRIBUZIONE DI VARIABILI CASUALI Assegnazione. Scegli la risposta corretta:. La frequenza relativa di un evento casuale A è un valore pari a... a) il rapporto tra il numero di casi favorevoli

CONCETTI FONDAMENTALI DELLA TEORIA DELLA PROBABILITÀ. 3.1. Eventi casuali. Ogni scienza, quando studia i fenomeni del mondo materiale, opera con determinati concetti, tra i quali ce ne sono necessariamente fondamentali;

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INDICE SEZIONE I. TEORIA DELLA PROBABILITÀ Prefazione.............................................. ........ ..6 PARTE I. EVENTI CASUALI............................. ........ 7 CAPITOLO 1. Analisi combinatoria degli elementi.................

Teoria della probabilità e statistica matematica Dottore in Fisica e Matematica. Professore di scienze Mikhail Pavlovich Kharlamov Risorsa Internet con materiale didattico http://www.vlgr.ranepa.ru/pp/hmp Filiale di Volgograd

In termini di S, l'evento che il sistema non è chiuso può essere scritto: S = A 1 A 2 +B = (A 1 + A 2)+B. 2.18. Analogamente alla risoluzione dei problemi 2.5, 2.6, otteniamo S = A(B 1 +B 2) C D; S = A+B1B2+C

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Lezione Eventi casuali Definizione. Un risultato elementare (o un evento elementare) è qualsiasi risultato più semplice (cioè indivisibile nell'ambito di una data esperienza) di un'esperienza. L'insieme di tutti i risultati elementari

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4. Teoria della probabilità Il test su questo argomento comprende quattro compiti. Presentiamo i concetti di base della teoria della probabilità necessari per la loro implementazione. Per risolvere i problemi 50 50 è necessaria la conoscenza dell'argomento

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Problema 1. Ci sono 40 palline in un'urna. La probabilità che 2 palline estratte siano bianche è 7 60. Quante palline bianche ci sono nell'urna? Il numero di modi in cui k elementi possono essere selezionati da n è C k

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Definizione del determinante di una matrice Una matrice quadrata è costituita da un elemento A = (a). Il determinante di tale matrice è pari a A = det(a) = a. () a a Una matrice quadrata 2 2 è composta da quattro elementi A =

TECNICA TOMSK DEL TRASPORTO FERROVIARIO RAMO DI SGUPS RACCOLTA DI COMPITI INDIVIDUALI “Elementi di combinatoria. Fondamenti di teoria della probabilità" disciplina Teoria della probabilità e statistica matematica

À. Ì. Ïîïîâ, Â. Í. Ñîòíèêîâ ÒÅÎÐÈß ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÅÉ È ÌÀÒÅÌÀÒÈ ÅÑÊÀß ÑÒÀÒÈÑÒÈÊÀ Âûñøàÿ ìàòåìàòèêà äëÿ ýêîíîìèñòîâ Ó ÅÁÍÈÊ ÄËß ÁÀÊÀËÀÂÐÎÂ Ïîä ðåäàêöèåé À. Ì. Ïîïîâà Ðåêîìåíäîâàíî Ó åáíî-ìåòîäè åñêèì öåíòðîì

MINISTERO DELL'ISTRUZIONE E DELLA SCIENZA DELLA RUSSIA Istituto di istruzione di bilancio dello Stato federale di istruzione professionale superiore "Università tecnica statale di Ukhta" (USTU) Workshop sulla disciplina

MVDubatovskaya Teoria della probabilità e statistica matematica Lezione 4 Teoremi di addizione e moltiplicazione delle probabilità Formula della probabilità totale Formula di Bayes Siano e B eventi e probabilità incompatibili

COMPITI: 1. Usando le parentesi graffe, annota l'insieme dei numeri naturali situati sul raggio compreso tra i numeri 10 e 15. Quali dei numeri sono 0; 10; 11; 12; 15; 50 appartiene a questo set? 2. Annotare il set

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Lezione 5 Argomento Schema di Bernoulli. Contenuto dell'argomento Schema di Bernoulli. La formula di Bernoulli. Il numero più probabile di successi nello schema di Bernoulli. Variabile casuale binomiale. Categorie fondamentali del binomio di Newton, diagramma

Problema 12. Degli studenti che frequentano il club di matematica, in cui ci sono 5 ragazze e 3 ragazzi, due devono essere mandati alle Olimpiadi: una ragazza e un ragazzo. Quante coppie diverse ci sono che possono essere inviate alle Olimpiadi?

Soluzione: Una ragazza del cerchio può essere selezionata in cinque modi e un ragazzo in tre. Una coppia (una ragazza con un ragazzo) può essere selezionata in quindici modi diversi

5 3 = 15 modi.

Risposta: 15 modi.

Problema 13. Alla competizione partecipano 12 squadre. Quante opzioni ci sono per la distribuzione dei posti premio (1, 2, 3)?

Soluzione: UN 12 3 = 12 11 10 = 1320 opzioni per la distribuzione dei premi.

Risposta: 1320 opzioni.

Problema 14. Alla gara di atletica leggera la nostra scuola era rappresentata da una squadra di 10 atleti. In quanti modi un allenatore può determinare chi di loro correrà nella staffetta dei 4100 m nella prima, seconda, terza e quarta tappa?

Soluzione: Scelta da 10 a 4, tenendo conto dell'ordine: metodi.

Risposta: 5040 modi.

Problema 15. In quanti modi si possono mettere in fila le palline rosse, nere, blu e verdi?

Soluzione: Puoi posizionare una qualsiasi delle quattro palline al primo posto (4 vie), una qualsiasi delle restanti tre palline al secondo posto (3 vie), una qualsiasi delle restanti due palline al terzo posto (2 vie) e l'ultima palla rimanente al quarto posto. Totale 4 · 3 · 2 · 1 = 24 modi.

R 4 = 4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24.

Risposta: 24 modi.

Problema 16 . Agli studenti è stata consegnata una lista di 10 libri da leggere durante le vacanze. In quanti modi uno studente può scegliere 6 libri tra loro?

Soluzione: selezionare 6 su 10 senza tenere conto dell'ordine: metodi.

Risposta: 210 modi.

Problema 17 . Volodya va alla festa di compleanno dei suoi compagni di classe, i gemelli Yulia e Ira. Vuole dare a ciascuno di loro una palla. Sono rimasti solo 3 palloni in vendita nel negozio di diversi colori: bianco, nero e rigato. In quanti modi Volodya può fare regali alle sue sorelle acquistando 2 palloni?

Soluzione: in base alle condizioni del problema, vengono fornite due scelte sequenziali: prima Volodya sceglie 2 palline su tre disponibili nel negozio, quindi decide a quale dei fratelli gemelli regalare ciascuna delle palline acquistate. Due palline su tre possono essere selezionate in tre modi. Successivamente, ogni paio selezionato può essere regalato in due modi (metodi) (l'ordine è importante). Quindi, secondo la regola della moltiplicazione, il numero di vie richiesto è uguale alle vie.

Risposta: 6 modi.

Problema 18 . Ci sono 7 studenti nel 9° anno, 9 studenti nel 10° anno e 8 studenti nell'11° anno. Per lavorare nel sito della scuola, devono essere selezionati due studenti del grado 9, tre del grado 10 e uno del grado 11. Quanti modi ci sono per selezionare gli studenti per lavorare nel sito della scuola?

Soluzione: Scelta tra tre insiemi senza tener conto dell'ordine, ogni scelta del primo insieme (C 7 2) può essere combinata con ogni scelta del secondo (C 9 3) e con ogni scelta del terzo (C 8 1) utilizzando la regola della moltiplicazione otteniamo:

S 7 2 · S 9 3 · S 8 1 =------ · -------- · ---- = 14.112 modi tra cui gli studenti possono scegliere.

Risposta: 14.112 modi.

Problema 19. Gli alunni della nona elementare Zhenya, Seryozha, Kolya, Natasha e Olya corsero durante la ricreazione al tavolo da ping pong, dove era già iniziata la partita. In quanti modi cinque bambini di prima media che corrono al tavolo possono fare il turno per giocare a ping pong?

Soluzione: Qualsiasi studente della nona elementare potrebbe essere il primo della fila, il secondo uno qualsiasi dei tre rimanenti, il terzo uno qualsiasi dei due rimanenti e il quarto l'alunno della nona che è arrivato penultimo e il quinto-scorso. Secondo la regola della moltiplicazione, cinque studenti hanno

5· 4321=120 modi per mettersi in fila.

Risposta: 120 modi.

COMPITI PRATICI PER L'AUTOCONTROLLO
Combinatoria
Quanti numeri diversi di cinque cifre possono essere composti dalle cifre 1, 3, 5, 7, 9, a condizione che nessuna cifra sia ripetuta nel numero?

Quante possibilità ci sono per distribuire tre premi se all'estrazione partecipano 7 squadre?

In quanti modi si possono selezionare due studenti per una conferenza se ci sono 33 persone nel gruppo?

Risolvere equazioni
a) 13 EMBED Equazione.3 1415. b) 13 EMBED Equazione.3 1415.
Quanti numeri di quattro cifre divisibili per 5 si possono formare dalle cifre 0, 1, 2, 5, 7, se ciascun numero non deve contenere le stesse cifre?

Da un gruppo di 15 persone, dovrebbero essere selezionati un caposquadra e 4 membri del team. In quanti modi è possibile farlo?

Le lettere del codice Morse sono composte da simboli (punti e trattini). Quante lettere si possono disegnare se si richiede che ciascuna lettera contenga non più di cinque caratteri?

In quanti modi si possono realizzare nastri quadricolori da sette nastri di colori diversi?

In quanti modi si possono selezionare quattro persone tra nove candidati per quattro posizioni diverse?

In quanti modi puoi scegliere 3 carte su 6?

Prima della laurea, un gruppo di 30 studenti si è scambiato le foto. Quante cartoline fotografiche sono state distribuite?

In quanti modi possono sedersi 10 ospiti in dieci posti su una tavola festiva?

Quante partite dovrebbero giocare 20 squadre di calcio in un campionato a turno unico?

In quanti modi possono essere distribuite 12 persone tra le squadre se ciascuna squadra è composta da 6 persone?

Teoria della probabilità
L'urna contiene 7 palline rosse e 6 blu. Si estraggono due palline contemporaneamente dall'urna. Qual è la probabilità che entrambe le palline siano rosse (evento A)?

Nove libri diversi sono disposti in modo casuale su uno scaffale. Trova la probabilità che quattro libri specifici vengano posizionati uno accanto all'altro (evento C).

Su 10 biglietti, 2 sono vincenti Determina la probabilità che tra 5 biglietti presi a caso, uno sia vincente.

Si estraggono a caso 3 carte da un mazzo di carte (52 carte). Trova la probabilità che sia un tre, un sette, un asso.

Un bambino gioca con le cinque lettere dell'alfabeto diviso A, K, R, Sh, Y. Qual è la probabilità che, se le lettere sono disposte casualmente in fila, otterrà la parola "Tetto".

Nella scatola ci sono 6 palline bianche e 4 rosse. Si prendono a caso due palline. Qual è la probabilità che siano dello stesso colore?

La prima urna contiene 6 palline nere e 4 bianche, la seconda urna contiene 5 palline nere e 7 bianche. Da ogni urna si estrae una pallina. Qual è la probabilità che entrambe le palline siano bianche?

Variabile casuale, aspettativa matematica e varianza di una variabile casuale
Elabora una legge di distribuzione per il numero di colpi su un bersaglio con sei colpi, se la probabilità di un colpo con un colpo è 0,4.

La probabilità che uno studente trovi in ​​biblioteca il libro di cui ha bisogno è 0,3. Elaborare una legge di distribuzione per il numero di biblioteche che visiterà se in città ce ne sono quattro.

Il cacciatore spara alla selvaggina fino al primo colpo, ma riesce a sparare non più di quattro colpi. Trova la varianza del numero di colpi mancati se la probabilità di colpire il bersaglio con un colpo è 0,7.

Trova l'aspettativa matematica di una variabile casuale X se la legge della sua distribuzione è data dalla tabella:

X
1
2
3
4

R
0,3
0,1
0,2
0,4

L'impianto gestisce quattro linee automatiche. La probabilità che durante il turno di lavoro la prima riga non richieda aggiustamenti è 0,9, la seconda – 0,8, la terza – 0,75, la quarta – 0,7. trovare l'aspettativa matematica del numero di linee che non richiederanno aggiustamenti durante un turno di lavoro.
Trova la varianza della variabile casuale X, conoscendo la legge della sua distribuzione:

X
0
1
2
3
4

R
0,2
0,4
0,3
0,08
0,02

V. RISPOSTE

Combinatoria
1. 13 Equazione EMBED.3 1415. 2. 13 Equazione EMBED.3 1415. 3. 13 Equazione EMBED.3 1415. 4. a) 13 Equazione EMBED.3 1415, 5; b) 13 Equazione EMBED.3 1415. 5. 13 Equazione EMBED.3 1415. 6.13 Equazione EMBED.3 1415. 7. 13 Equazione EMBED.3 1415. 8. 13 Equazione EMBED.3 1415. 9.13 Equazione EMBED.3 1415. 10.13 Equazione EMBED.3 1415. 11. 13 Equazione EMBED.3 1415. 12. 13 Equazione EMBED.3 1415. 13. 190. 14. 924.

Teoria della probabilità
1. 13 Equazione EMBED.3 1415 2.13 Equazione EMBED.3 1415 3. 13 Equazione EMBED.3 1415 4. 13 Equazione EMBED.3 14155. 13 Equazione EMBED.3 14156.13 Equazione EMBED.3 1415 7. 13 Equazione EMBED. 3 1415

Variabile casuale, aspettativa matematica e varianza di una variabile casuale.
1.
0
1
2
3
4
5
6

0,046656
0,186624
0,311040
0,276480
0,138240
0,036864
0,004096

2.
1
2
3
4

0,3
0,21
0,147
0,343

3. 13 Equazione EMBED.3 1415 4. 13 Equazione EMBED.3 1415 5.13 Equazione EMBED.3 1415 6.13 Equazione EMBED.3 1415.

Voce radiceEquazione nativaEquazione nativaEquazione nativaEquazione nativaEquazione nativaEquazione nativaEquazione nativaEquazione nativaEquazione nativaEquazione nativaEquazione nativaEquazione nativaEquazione nativaEquazione nativaEquazione nativaEquazione nativaEquazione nativaEquazione nativaEquazione nativaEquazione nativaEquazione nativaEquazione nativaEquazione nativa

SVILUPPO METODOLOGICO DI UNA LEZIONE PRATICA nella disciplina: “MATEMATICA”

Argomento: “FONDAMENTI DI TEORIA DELLA PROBABILITÀ E STATISTICA MATEMATICA”

Esempio 1 . Calcolare: a) ; B) ; V).

Soluzione. UN) .

b) Da allora , allora possiamo metterlo tra parentesi

Allora otteniamo

V) .

Esempio 2 . In quanti modi si possono disporre sei libri diversi su uno scaffale?

Soluzione. Il numero di modi richiesto è pari al numero di permutazioni di 6 elementi, ovvero

Esempio 3. Quante opzioni per la distribuzione di tre buoni a sanatori di vari profili possono essere compilate per cinque richiedenti?

Soluzione. Il numero di opzioni richiesto è pari al numero di posizionamenti di 5 elementi su 3 elementi, ad es.

.

Esempio 4 . In un team di 25 persone, è necessario assegnarne quattro per lavorare in una determinata area. In quanti modi è possibile farlo?

Soluzione. Poiché l'ordine delle quattro persone selezionate non ha importanza, ciò può essere fattomodi.

Troviamo utilizzando la prima formula

.

Inoltre, quando si risolvono i problemi, vengono utilizzate le seguenti formule, che esprimono le proprietà di base delle combinazioni:

(per definizione assumono e);

.

1.2. Risoluzione di problemi combinatori

Compito 1. La facoltà studia 16 materie. Devi inserire 3 materie nel tuo programma per lunedì. In quanti modi è possibile farlo?

Soluzione. Esistono tanti modi per programmare tre elementi su 16 quanti sono i modi in cui puoi organizzare il posizionamento di 16 elementi in 3.

Compito 2. Su 15 oggetti, è necessario selezionare 10 oggetti. In quanti modi è possibile farlo?

Soluzione.

Compito 3. Alla competizione hanno preso parte quattro squadre. Quante opzioni sono possibili per la distribuzione dei posti tra loro?

Soluzione.

.

Compito 4. In quanti modi una pattuglia può essere composta da tre soldati e un ufficiale se ci sono 80 soldati e 3 ufficiali?

Soluzione. Puoi scegliere un soldato di pattuglia

modi e ufficiali in modi. Dato che qualsiasi ufficiale può accompagnare ciascuna squadra di soldati, ci sono solo un certo numero di modi.

Compito 5. Scopri se è noto che .

Soluzione.

Da allora, otteniamo

,

,

, .

Per definizione di combinazione ne consegue che , . Quello. .

Risposta: 9

1.3. Il concetto di evento casuale. Tipi di eventi. Probabilità dell'evento

Esempio. La scatola contiene 30 palline numerate. Determina quale dei seguenti eventi è impossibile, affidabile o contrario:

tirò fuori una pallina numerata(UN);

ha ricevuto una pallina con un numero pari(IN);

ha ricevuto una pallina con un numero dispari(CON);

ho ricevuto una pallina senza numero(D).

Chi di loro forma un gruppo completo?

Soluzione. UN - evento attendibile;D - evento impossibile;

IN ECON - eventi opposti.

Il gruppo completo di eventi è composto daUN ED, V ECON .

Probabilità dell'evento , è considerato una misura della possibilità oggettiva del verificarsi di un evento casuale.

1.4. Definizione classica di probabilità

Compito 1. In una lotteria di 1000 biglietti, ce ne sono 200 vincenti. Viene estratto un biglietto a caso. Qual è la probabilità che questo biglietto sia vincente?

Soluzione. Il numero totale di risultati diversi èN =1000. Il numero di risultati favorevoli alla vincita èM=200. Secondo la formula, otteniamo

.

Compito 2. In un lotto di 18 pezzi ce ne sono 4 difettosi. 5 parti sono selezionate a caso. Trova la probabilità che due di queste 5 parti siano difettose.

Soluzione. Numero di tutti i risultati indipendenti ugualmente possibiliN uguale al numero di combinazioni di 18 per 5 cioè

Contiamo il numeroM, favorevole all'evento A. Su 5 pezzi presi a caso, dovrebbero essercene 3 di buona qualità e 2 difettosi. Il numero di modi per selezionare due parti difettose tra 4 difettose esistenti è pari al numero di combinazioni di 4 per 2:

Il numero di modi per selezionare tre parti di qualità tra 14 parti di qualità disponibili è uguale a

.

Qualsiasi gruppo di parti buone può essere combinato con qualsiasi gruppo di parti difettose, quindi il numero totale di combinazioniM ammonta a

La probabilità desiderata dell'evento A è uguale al rapporto tra il numero di risultatiM, favorevole a questo evento, al numeroNtutti i risultati indipendenti ugualmente possibili:

.

1.5. Teorema per la somma delle probabilità di eventi incompatibili

Quantità di un numero finito di eventi è un evento costituito dal verificarsi di almeno uno di essi.

La somma di due eventi è indicata dal simbolo A+B e dalla sommaN simbolo degli eventi A 1 +A 2 +…+A N .

Teorema dell'addizione di probabilità.

Compito 1. Ci sono 100 biglietti della lotteria. È noto che 5 biglietti vincono 20.000 rubli ciascuno, 10 biglietti vincono 15.000 rubli, 15 biglietti vincono 10.000 rubli, 25 biglietti vincono 2.000 rubli. e niente per il resto. Trova la probabilità che il biglietto acquistato riceva una vincita di almeno 10.000 rubli.

Soluzione. Siano A, B e C eventi consistenti nel fatto che il biglietto acquistato riceva una vincita pari rispettivamente a 20.000, 15.000 e 10.000 rubli. poiché gli eventi A, B e C sono incompatibili, allora

Compito 2. Il dipartimento di corrispondenza della scuola tecnica riceve test di matematica dalle cittàA, B ECON . Probabilità di ricevere un test dalla cittàUN pari a 0,6, dalla cittàIN - 0,1. Trova la probabilità che il prossimo test provenga dalla cittàCON .

Soluzione. Eventi “la prova è arrivata dalla cittàUN ", "il test è venuto dalla città B" e "il test è venuto dalla città C" formano un sistema completo, quindi la somma delle loro probabilità è uguale a uno:

, cioè. .

Compito 3. La probabilità che la giornata sia serena è . Trova la probabilità che la giornata sia nuvolosa.

Soluzione. Gli eventi “giornata limpida” e “giornata nuvolosa” sono quindi opposti

Questo è

1.6. Teorema per la moltiplicazione delle probabilità di eventi indipendenti

Compito 1. Calcola la probabilità che in una famiglia in cui c'è un figlio, un maschio, nasca un secondo maschio.

Soluzione. Lasciamo che l'eventoUN è che ci sono due maschi in famiglia, e l'eventoIN - quel ragazzo.

Considera tutti i possibili risultati: ragazzo e ragazzo; ragazzo e ragazza; ragazza e ragazzo; ragazza e ragazza.

Quindi, e utilizzando la formula che troviamo

.

Compito 2. La prima urna contiene 6 palline nere e 4 bianche, la seconda urna contiene 5 palline nere e 7 bianche. Da ogni urna si estrae una pallina. Qual è la probabilità che entrambe le palline siano bianche?

Soluzione. Sia: dalla prima urna si estrae una pallina bianca; - Dalla seconda urna si estrae una pallina bianca. È ovvio che gli eventi sono indipendenti.

Perché , , quindi utilizzando la formula che troviamo

.

Compito 3. Il dispositivo è composto da due elementi che funzionano in modo indipendente. La probabilità di guasto del primo elemento è 0,2; la probabilità di guasto del secondo elemento è 0,3. Trovare la probabilità che: a) entrambi gli elementi falliscano; b) entrambi gli elementi funzioneranno.

Soluzione. Lasciamo che l'eventoUN - fallimento del primo elemento, eventoIN - l'output della loro struttura del secondo elemento. Questi eventi sono indipendenti (per condizione).

a) Apparizione simultaneaUN EIN c'è un eventoAB . Quindi,

b) Se il primo elemento funziona, allora si verifica un evento (opposto all'eventoUN - guasto di questo elemento); se il secondo elemento funziona - eventoIN. Troviamo le probabilità degli eventi e:

Allora l'evento in cui entrambi gli elementi funzioneranno è e, quindi,

II . VARIABILE CASUALE, SUA FUNZIONE DI DISTRIBUZIONE

2.1. Variabile casuale, metodi per specificarla

Casuale è una quantità che, a seguito di test, può assumere l'uno o l'altro valore numerico, e non si sa in anticipo quale.

Se per una qualsiasi quantità la sua misurazione viene ripetuta più volte in condizioni quasi identiche, scoprirete che ogni volta si ottengono risultati leggermente diversi. Questa è l'influenza di due tipi di cause: 1) fondamentali, che determinano il significato principale del risultato; 2) secondari, causandone la divergenza.

Con l'azione combinata di queste cause, i concetti di necessità e caso sono strettamente legati tra loro, ma il necessario prevale sul caso.

Pertanto, i possibili valori delle variabili casuali appartengono ad alcuni insiemi numerici.

Ciò che è casuale è che su questi insiemi le quantità possono assumere qualsiasi valore, ma ciò non può essere detto a priori.

Una variabile casuale è associata ad un evento casuale.

Se un evento casuale -caratteristica di qualità tests, allora la variabile casuale è la suacaratteristica quantitativa .

Le variabili casuali sono indicate con lettere latine maiuscole e il loro significato con lettere maiuscole - .

La probabilità che una variabile casuale assuma un valore è indicata da:

ecc.

Le variabili casuali sono specificate dalle leggi di distribuzione.

Legge di distribuzione di una variabile casuale è la corrispondenza stabilita tra i possibili valori di una variabile casuale e le loro probabilità.

Le leggi di distribuzione possono essere specificate in tre modi: tabellare, grafico, analitico. Il metodo di impostazione dipende dal tipo di variabile casuale.

Esistono due tipi principali di variabili casuali:Variabili casuali discrete e distribuite con continuità.

2.2. Variabili aleatorie discrete e continue

Se i valori che una data variabile casuale può assumere formano una serie discreta (finita o infinita) di numeri, allora la variabile casuale stessa viene chiamatadiscreto.

Se i valori che può assumere una determinata variabile casuale riempiono un intervallo finito o infinito (a, b) dell'asse dei numeriOH, quindi viene chiamata la variabile casualecontinuo.

Ad ogni valore di una variabile casuale di tipo discreto corrisponde una certa probabilità; Ad ogni intervallo (a, b) dell'intervallo di valori di una variabile casuale di tipo continuo corrisponde anche una certa probabilità che il valore assunto dalla variabile casuale rientri in tale intervallo.

2.3. Legge di distribuzione di una variabile casuale

Viene chiamata una relazione che stabilisce in un modo o nell'altro una connessione tra i possibili valori di una variabile casuale e le loro probabilitàlegge di distribuzione variabile casuale.

Di solito viene fornita la legge di distribuzione di una variabile casuale discretaprossima distribuzione:

Allo stesso tempo, dove la sommatoria si estende all'intero insieme (finito o infinito) dei possibili valori di una data variabile casuale.

È conveniente specificare la legge di distribuzione di una variabile casuale continua utilizzandofunzione di densità di probabilità .

La probabilità che il valore assunto dalla variabile casuale rientri nell'intervallo (a, b) è determinata dall'uguaglianza

.

Viene chiamato il grafico della funzionecurva di distribuzione . Dal punto di vista geometrico, la probabilità che una variabile casuale rientri nell'intervallo (a, b) è uguale all'area del corrispondente trapezio curvilineo delimitato dalla curva di distribuzione, l'asseOH e drittox=a, x=b.

Compito 1. Vengono fornite le probabilità dei valori delle variabili casuali: il valore 10 ha una probabilità di 0,3; valore 2 – probabilità 0,4; valore 8 – probabilità 0,1; valore 4 – probabilità 0,2. Costruire una serie di distribuzioni di una variabile casuale.

Soluzione. Disponendo i valori della variabile casuale in ordine crescente, otteniamo la serie di distribuzione:

Portiamolo su un aereocoro punti (2; 0,4), (4; 0,2), (8; 0,1) e (10; 0,3). Collegando punti successivi con segmenti di retta otteniamopoligono (Opoligono ) distribuzione di una variabile casuale

X

Compito 2. In palio ci sono due oggetti del valore di 5.000 rubli ciascuno e un oggetto del valore di 30.000 rubli. Elabora una legge di distribuzione delle vincite per una persona che ha acquistato un biglietto su 50.

Soluzione. La variabile casuale desiderata è un guadagno e può assumere tre valori: 0, 5000 e 30000 rubli. Il primo risultato è favorito da 47 casi, il secondo da due casi e il terzo da un caso. Troviamo le loro probabilità:

; ; .

La legge di distribuzione di una variabile casuale ha la forma:

Come controllo troveremo

Compito 3. La variabile casuale è soggetta ad una legge di distribuzione con densità , e

Richiesto: 1) Trovare il coefficiente a; 2) costruire un grafico della distribuzione della densità; 3) trovare la probabilità di cadere nell'intervallo (1; 2).

Soluzione. 1) Poiché tutti i valori di una data variabile casuale sono contenuti nel segmento , allora

, Dove

, O

Quelli. .

2) Il grafico di una funzione nell'intervallo è una parabola, e al di fuori di questo intervallo l'asse x stesso funge da grafico.

X

) Dall'uguaglianza si può ricavare la probabilità che una variabile casuale rientri nell'intervallo (1; 2).

2.4. Distribuzione binomiale

Lasciamo che ne venga prodotto un certo numeroN esperimenti indipendenti, e in ciascuno di essi qualche evento può verificarsi con la stessa probabilitàR . Consideriamo una variabile casuale che rappresenta il numero di occorrenze di eventiUN VN esperimenti. La legge della sua distribuzione ha la forma

Dove, si calcola utilizzando la formula di Bernoulli.

La legge di distribuzione, caratterizzata da tale tabella, si chiamabinomiale .

Compito. La moneta viene lanciata 5 volte. Elabora una legge di distribuzione di una variabile casuale: il numero dello stemma.

Soluzione. Sono possibili i seguenti valori della variabile casuale: 0, 1, 2, 3, 4, 5. Sapendo che la probabilità che uno stemma cada in una prova è pari a , troveremo le probabilità dei valori ​​della variabile casuale utilizzando la formula di Bernoulli:

La legge di distribuzione ha la forma

Controlliamo:

III . ASPETTATIVA MATEMATICA E VARIANZA DI UNA VARIABILE CASUALE

3.1. Aspettativa di una variabile casuale discreta

Esempio 1 . Trova l'aspettativa matematica di una variabile casuale, conoscendo la legge della sua distribuzione

Soluzione.

Proprietà dell'aspettativa matematica.

1. Il fattore costante può essere estratto dal segno dell'aspettativa matematica:

2. Aspettativa matematica di un valore costanteCON uguale a questo valore stesso:

3. L'aspettativa matematica della somma di due variabili casuali è uguale alla somma delle loro aspettative matematiche:

4. L'aspettativa matematica del prodotto di variabili casuali indipendenti è uguale al prodotto delle aspettative matematiche di queste variabili:

3.2. Deviazione standard e varianza di una variabile casuale.

Esempio 2. Troviamo l'aspettativa matematica delle variabili casuali e , conoscendo le leggi della loro distribuzione

2)

Soluzione:

P

Abbiamo ottenuto un risultato interessante: le leggi della distribuzione delle quantità sono diverse, ma le loro aspettative matematiche sono le stesse.

B)

Dal disegnoB è chiaro che il valore della quantità è più concentrato attorno all'aspettativa matematica rispetto ai valori della quantità che sono sparsi (sparsi) rispetto alla sua aspettativa matematica (FiguraUN ).

La principale caratteristica numerica del grado di dispersione dei valori di una variabile casuale rispetto alla sua aspettativa matematica è la dispersione, che è indicata con .

In quanti modi si possono selezionare due studenti per una conferenza se ci sono 33 persone nel gruppo?

Risolvere equazioni

UN) . B) .

Quanti numeri di quattro cifre divisibili per 5 si possono formare dalle cifre 0, 1, 2, 5, 7, se ciascun numero non deve contenere le stesse cifre?

Da un gruppo di 15 persone, dovrebbero essere selezionati un caposquadra e 4 membri del team. In quanti modi è possibile farlo?

Le lettere del codice Morse sono composte da simboli (punti e trattini). Quante lettere si possono disegnare se si richiede che ciascuna lettera contenga non più di cinque caratteri?

In quanti modi si possono realizzare nastri quadricolori da sette nastri di colori diversi?

In quanti modi si possono selezionare quattro persone per quattro posizioni diverse tra nove candidati?

In quanti modi puoi scegliere 3 carte su 6?

Prima della laurea, un gruppo di 30 studenti si è scambiato le foto. Quante cartoline fotografiche sono state distribuite?

In quanti modi possono sedersi 10 ospiti in dieci posti su una tavola festiva?

Quante partite dovrebbero giocare 20 squadre di calcio in un campionato a turno unico?

In quanti modi possono essere distribuite 12 persone tra le squadre se ciascuna squadra è composta da 6 persone?

Teoria della probabilità

L'urna contiene 7 palline rosse e 6 blu. Si estraggono due palline contemporaneamente dall'urna. Qual è la probabilità che entrambe le palline siano rosse (evento A)?

Nove libri diversi sono disposti in modo casuale su uno scaffale. Trova la probabilità che quattro libri specifici vengano posizionati uno accanto all'altro (evento C).

Su 10 biglietti, 2 sono vincenti Determina la probabilità che tra 5 biglietti presi a caso, uno sia vincente.

Si estraggono a caso 3 carte da un mazzo di carte (52 carte). Trova la probabilità che sia un tre, un sette, un asso.

Un bambino gioca con le cinque lettere dell'alfabeto diviso A, K, R, Sh, Y. Qual è la probabilità che, se le lettere sono disposte casualmente in fila, otterrà la parola "Tetto".

Nella scatola ci sono 6 palline bianche e 4 rosse. Si prendono a caso due palline. Qual è la probabilità che siano dello stesso colore?

La prima urna contiene 6 palline nere e 4 bianche, la seconda urna contiene 5 palline nere e 7 bianche. Da ogni urna si estrae una pallina. Qual è la probabilità che entrambe le palline siano bianche?

Variabile casuale, aspettativa matematica e varianza di una variabile casuale

Elabora una legge di distribuzione per il numero di colpi su un bersaglio con sei colpi, se la probabilità di un colpo con un colpo è 0,4.

La probabilità che uno studente trovi in ​​biblioteca il libro di cui ha bisogno è 0,3. Elaborare una legge di distribuzione per il numero di biblioteche che visiterà se in città ce ne sono quattro.

Il cacciatore spara alla selvaggina fino al primo colpo, ma riesce a sparare non più di quattro colpi. Trova la varianza del numero di colpi mancati se la probabilità di colpire il bersaglio con un colpo è 0,7.

Trova l'aspettativa matematica di una variabile casualeX, se la legge della sua distribuzione è data dalla tabella:

L'impianto gestisce quattro linee automatiche. La probabilità che durante il turno di lavoro la prima riga non richieda aggiustamenti è 0,9, la seconda – 0,8, la terza – 0,75, la quarta – 0,7. trovare l'aspettativa matematica del numero di linee che non richiederanno aggiustamenti durante un turno di lavoro.

Trova la varianza della variabile casuale X, conoscendo la legge della sua distribuzione: 5. RIFERIMENTI

Principale:

1. Bogomolov N.V. Lezioni pratiche di matematica. – M.: Scuola superiore, 1990. – 495 p.

   Soloveychik I.L. Raccolta di problemi di matematica per le scuole tecniche / I.L. Soloveychik, V.T. Lisichkin. – M.: Onice XXI secolo, 2003. – 464 p.

   Valutse I.I. Matematica per le scuole tecniche / I.I. Valuta, G.D. Diligul. - M.: Nauka, 1989. – 575 pag.

   Danko P.E. Matematica superiore in esercizi e problemi. In due parti. ParteII/PE Danko, A.G. Popov, T.Ya. Kozhevnikova. – M.: Scuola superiore, 1986. – 415 p.

   Vygodsky M.Ya. Manuale di matematica superiore. – M.: Nauka, 1975. – 872 pag.

Ulteriori:

Griguletsky V.G. Matematica per studenti di specialità economiche. Parte 2 / V.G. Griguletsky, I.V. Lukyanova, I.A. Petunina. – Krasnodar, 2002. – 348 pag.

Malykhin V.I. Matematica in Economia. – M.: Infra-M, 1999. – 356 p.

Gusak A.A. Matematica superiore. In 2 volumi, T.2. – un libro di testo per gli studenti universitari. – M.: TetraSystems, 1988. – 448 pag.

Griguletsky V.G. Matematica superiore / V.G. Griguletskij, Z.V. Yashchenko. – Krasnodar, 1998.-186 pag.

Gmurman V.E. Una guida per risolvere problemi di teoria della probabilità e statistica matematica. – M.: Scuola Superiore, 2000. – 400 p.

Metodi per la risoluzione di problemi combinatori

Enumerazione delle possibili opzioni

I problemi semplici vengono risolti con una normale ricerca esaustiva delle possibili opzioni senza elaborare varie tabelle e diagrammi.

Compito 1.
Quali numeri a due cifre si possono ricavare dai numeri 1, 2, 3, 4, 5?

Risposta: 11, 12, 13, 14, 15, 21, 22, 23, 24, 25, 31, 32, 33, 34, 35, 41, 42, 43, 44, 45, 51, 52, 53, 54, 55.

Compito 2.
Ivanov, Gromov e Orlov partecipano alla corsa finale dei 100 m. Nominare le possibili opzioni per la distribuzione dei premi.

Risposta:
Opzione 1: 1) Ivanov, 2) Gromov, 3) Orlov.
Opzione2: 1) Ivanov, 2) Orlov, 3) Gromov.
Opzione 3: 1) Orlov, 2) Ivanov, 3) Gromov.
Opzione 4: 1) Orlov, 2) Gromov, 3) Ivanov.
Opzione 5: 1) Gromov, 2) Orlov, 3) Ivanov.
Opzione 6: 1) Gromov, 2) Ivanov, 3) Orlov.

Compito 3.
Petya, Kolya, Vitya, Oleg, Tanya, Olya, Natasha, Sveta si sono iscritti alla discoteca da ballo. Quali coppie di ballo possono formare una ragazza e un ragazzo?

Risposta:
1) Tanya - Petya, 2) Tanya - Kolya, 3) Tanya - Vitya, 4) Tanya - Oleg, 5) Olya - Petya, 6) Olya - Kolya, 7) Olya - Vitya, 8) Olya - Oleg, 9) Natasha - Petya, 10) Natasha - Kolya, 11) Natasha - Vitya, 12) Natasha - Oleg, 13) Sveta - Petya, 14) Sveta - Kolya, 15) Sveta - Vitya, 16) Sveta - Oleg.

Albero delle opzioni possibili

Una varietà di problemi combinatori vengono risolti disegnando circuiti speciali. Esternamente, questo schema ricorda un albero, da cui il nome del metodo: albero delle possibili opzioni.

Compito 4.
Quali numeri di tre cifre si possono ricavare dai numeri 0, 2, 4?

Soluzione.Costruiamo un albero di possibili opzioni, tenendo conto che 0 non può essere la prima cifra del numero.

Risposta: 200, 202, 204, 220, 222, 224, 240, 242, 244, 400, 402, 404, 420, 422, 424, 440, 442, 444.

Compito 5.
I turisti scolastici hanno deciso di fare una gita al lago di montagna. La prima tappa del viaggio può essere percorsa in treno o in autobus. La seconda tappa è in kayak, in bicicletta oa piedi. E la terza tappa del viaggio è a piedi o con la funivia. Quali possibili opzioni di viaggio hanno i turisti scolastici?

Soluzione.Costruiamo un albero delle possibili opzioni, indicando il viaggio in treno P, in autobus - A, in kayak - B, in bicicletta - B, a piedi - X, in funivia - K.

Risposta:La figura elenca tutte le 12 possibili soluzioni di viaggio per i turisti scolastici.

Compito 6.
Annota tutte le opzioni possibili per programmare cinque lezioni al giorno dalle materie: matematica, russo, storia, inglese, educazione fisica e la matematica dovrebbe essere la seconda lezione.

Soluzione.Costruiamo un albero di possibili opzioni, che denota M - matematica, R - russo, I - storia, A - inglese, F - educazione fisica.

Risposta:Ci sono 24 opzioni possibili in totale:

R M E UN F

R M E F UN

R M UN E F

R M UN F E

R M F E UN

R M F UN E

E M R UN F

E M R F UN

E M UN R F

E M UN F R

E M F R UN

E M F UN R

UN M R E F

UN M R F E

UN M E R F

UN M E F R

UN M F R E

UN M F E R

F M R E UN

F M R UN E

F M E R UN

F M E UN R

F M UN R E

F M UN E R

Compito 7.
Sasha va a scuola in pantaloni o jeans; indossa con loro camicie grigie, blu, verdi o a quadretti e prende scarpe o scarpe da ginnastica come cambio di scarpe.
a) Per quanti giorni Sasha potrà sembrare nuova?
b) Per quanti giorni indosserà le scarpe da ginnastica?
c) Per quanti giorni indosserà una camicia a quadri e dei jeans?

Soluzione.Costruiamo un albero di possibili opzioni, indicando B - pantaloni, D - jeans, C - camicia grigia, G - camicia blu, Z - camicia verde, P - camicia a quadri, T - scarpe, K - scarpe da ginnastica.

Risposta:a) 16 giorni; b) 8 giorni; c) 2 giorni.

Compilazione di tabelle

Puoi risolvere problemi combinatori utilizzando le tabelle. Loro, come l'albero delle possibili opzioni, rappresentano chiaramente la soluzione a tali problemi.

Compito 8.
Quanti numeri dispari di due cifre si possono ricavare dalle cifre 1, 3, 4, 6, 7, 8, 9?

Soluzione.Facciamo una tabella: la prima colonna a sinistra sono le prime cifre dei numeri richiesti, la prima riga in alto sono le seconde cifre.

Risposta: 28.

Compito 9.
Masha, Olya, Vera, Ira, Andrey, Misha e Igor si stavano preparando a diventare presentatori durante le vacanze di Capodanno. Nomina le possibili opzioni se solo una ragazza e un ragazzo possono guidare.

Soluzione.Facciamo una tabella: la prima colonna a sinistra sono i nomi delle ragazze, la prima riga in alto sono i nomi dei ragazzi.

Risposta:Tutte le opzioni possibili sono elencate nelle righe e nelle colonne della tabella.

Regola di moltiplicazione

Questo metodo per risolvere i problemi combinatori viene utilizzato quando non è necessario elencare tutte le opzioni possibili, ma è necessario rispondere alla domanda: quante di esse esistono.

Problema 10.
Al torneo di calcio partecipano diverse squadre. Si è scoperto che tutti usavano i colori bianco, rosso, blu e verde per le mutande e le magliette e sono state presentate tutte le opzioni possibili. Quante squadre hanno partecipato al torneo?

Soluzione.
Gli slip possono essere bianchi, rossi, blu o verdi, ad es. ci sono 4 opzioni. Ognuna di queste opzioni ha 4 opzioni di colore della maglia.

4 x 4 = 16.

Risposta: 16 squadre.

Problema 11.
6 studenti sostengono un test di matematica. In quanti modi possono essere disposti nell'elenco?

Soluzione.
Il primo della lista può essere uno qualsiasi dei 6 studenti,
il secondo nell'elenco può essere uno qualsiasi dei restanti 5 studenti,
terzo - uno qualsiasi dei restanti 4 studenti,
quarto: uno qualsiasi dei restanti 3 studenti,
quinto - uno qualsiasi dei restanti 2 studenti,
sesto: l'ultimo 1 studente.

6x5x4x3x2x1 = 720.

Risposta: 720 modi.

Problema 12.
Quanti numeri pari a due cifre si possono ricavare dalle cifre 0, 2, 3, 4, 6, 7?

Soluzione.
La prima di un numero a due cifre può essere di 5 cifre (la cifra 0 non può essere la prima del numero), la seconda di un numero a due cifre può essere di 4 cifre (0, 2, 4, 6, poiché il numero deve essere Anche).
5 x 4 = 20.

Risposta: 20 numeri.