Confronto di numeri per. Confronto tra numeri modulo

Quando si risolvono equazioni e disuguaglianze, nonché problemi con i moduli, è necessario posizionare le radici trovate sulla linea numerica. Come sai, le radici trovate potrebbero essere diverse. Possono essere così: , oppure possono essere così: , .

Di conseguenza, se i numeri non sono razionali ma irrazionali (se hai dimenticato cosa sono, guarda l'argomento) o sono espressioni matematiche complesse, posizionarli sulla linea numerica è molto problematico. Inoltre, durante l'esame non è possibile utilizzare calcolatrici e i calcoli approssimativi non garantiscono al 100% che un numero sia inferiore a un altro (e se ci fosse una differenza tra i numeri confrontati?).

Naturalmente, sai che i numeri positivi sono sempre più grandi di quelli negativi e che se immaginiamo un asse numerico, quando confrontiamo, i numeri più grandi saranno a destra del più piccolo: ; ; eccetera.

Ma è sempre tutto così facile? Dove sulla linea numerica segniamo, .

Come possono essere confrontati, ad esempio, con un numero? Questo è il problema...)

Innanzitutto, parliamo in termini generali di come e cosa confrontare.

Importante: è consigliabile effettuare trasformazioni tali che il segno della disuguaglianza non cambi! Cioè, durante le trasformazioni non è desiderabile moltiplicare per un numero negativo e è vietato quadrato se una delle parti è negativa.

Confronto di frazioni

Quindi, dobbiamo confrontare due frazioni: e.

Esistono diverse opzioni su come eseguire questa operazione.

Opzione 1. Ridurre le frazioni a un denominatore comune.

Scriviamolo sotto forma di frazione ordinaria:

- (come puoi vedere ho ridotto anche numeratore e denominatore).

Ora dobbiamo confrontare le frazioni:

Ora possiamo continuare a confrontare in due modi. Noi possiamo:

1. basta portare tutto a un denominatore comune, presentando entrambe le frazioni come improprie (il numeratore è maggiore del denominatore):

   Quale numero è maggiore? Esatto, quello con il numeratore più grande, cioè il primo.

2. "scartiamo" (consideriamo che abbiamo sottratto uno da ciascuna frazione e il rapporto tra le frazioni tra loro, di conseguenza, non è cambiato) e confrontiamo le frazioni:

   Li portiamo anche ad un denominatore comune:

   Abbiamo ottenuto esattamente lo stesso risultato del caso precedente: il primo numero è maggiore del secondo:

   Controlliamo anche se ne abbiamo sottratto uno correttamente? Calcoliamo la differenza del numeratore nel primo calcolo e nel secondo:
   1)
   2)

Quindi, abbiamo esaminato come confrontare le frazioni, portandole a un denominatore comune. Passiamo a un altro metodo: confrontare le frazioni, portandole a un comune... numeratore.

Opzione 2. Confrontare le frazioni riducendole a un numeratore comune.

Si si. Questo non è un errore di battitura. Questo metodo viene raramente insegnato a qualcuno a scuola, ma molto spesso è molto conveniente. Per comprenderne rapidamente l'essenza, ti farò solo una domanda: "in quali casi il valore di una frazione è maggiore?" Naturalmente dirai “quando il numeratore è il più grande possibile e il denominatore il più piccolo possibile”.

Ad esempio, puoi sicuramente dire che è vero? Cosa succede se dobbiamo confrontare le seguenti frazioni: ? Penso che metterai subito anche il segno correttamente, perché nel primo caso sono divisi in parti, e nel secondo in pezzi interi, il che significa che nel secondo caso i pezzi risultano essere molto piccoli, e di conseguenza: . Come puoi vedere, i denominatori qui sono diversi, ma i numeratori sono gli stessi. Tuttavia, per confrontare queste due frazioni, non è necessario cercare un denominatore comune. Anche se... trovalo e vedi se il segno di confronto è ancora sbagliato?

Ma il segno è lo stesso.

Torniamo al nostro compito originale: confrontiamo e... Confronteremo e... Riduciamo queste frazioni non a un denominatore comune, ma a un numeratore comune. Per farlo semplicemente numeratore e denominatore moltiplicare la prima frazione per. Noi abbiamo:

E. Quale frazione è più grande? Esatto, il primo.

Opzione 3: confrontare le frazioni utilizzando la sottrazione.

Come confrontare le frazioni usando la sottrazione? Sì, molto semplice. Sottraiamo un altro da una frazione. Se il risultato è positivo, la prima frazione (minuendo) è maggiore della seconda (sottraendo) e, se negativo, viceversa.

Nel nostro caso proviamo a sottrarre la prima frazione dalla seconda: .

Come hai già capito, convertiamo anche in una frazione ordinaria e otteniamo lo stesso risultato - . La nostra espressione assume la forma:

Successivamente, dovremo ancora ricorrere alla riduzione a un denominatore comune. La domanda è: nel primo modo, convertire le frazioni in frazioni improprie, o nel secondo modo, come se “rimuovesse” l'unità? A proposito, questa azione ha una giustificazione completamente matematica. Aspetto:

Mi piace di più la seconda opzione, poiché moltiplicare il numeratore ridotto a un denominatore comune diventa molto più semplice.

Portiamolo ad un denominatore comune:

La cosa principale qui è non confondersi su quale numero abbiamo sottratto e dove. Osserva attentamente l'avanzamento della soluzione e non confondere accidentalmente i segni. Abbiamo sottratto il primo numero dal secondo numero e abbiamo ottenuto una risposta negativa, quindi?... Esatto, il primo numero è maggiore del secondo.

Fatto? Prova a confrontare le frazioni:

Basta basta. Non affrettarti a ridurre a un denominatore comune o a sottrarre. Guarda: puoi facilmente convertirlo in una frazione decimale. Per quanto durerà? Giusto. Cosa c'è di più alla fine?

Questa è un'altra opzione: confrontare le frazioni convertendole in un decimale.

Opzione 4: confrontare le frazioni utilizzando la divisione.

Si si. E anche questo è possibile. La logica è semplice: quando dividiamo un numero più grande per un numero più piccolo, la risposta che otteniamo è un numero maggiore di uno, e se dividiamo un numero più piccolo per un numero più grande, la risposta cade nell'intervallo da a.

Per ricordare questa regola, prendiamo ad esempio due numeri primi qualsiasi per il confronto e. Sai cosa c'è di più? Ora dividiamo per. La nostra risposta è. Di conseguenza, la teoria è corretta. Se dividiamo per, otteniamo meno di uno, il che a sua volta conferma che in realtà è inferiore.

Proviamo ad applicare questa regola alle frazioni ordinarie. Confrontiamo:

Dividi la prima frazione per la seconda:

Accorciamo via via.

Il risultato ottenuto è less, il che significa che il dividendo è minore del divisore, ovvero:

Abbiamo esaminato tutte le possibili opzioni per confrontare le frazioni. Come li vedi 5:

• riduzione a un denominatore comune;
• riduzione a un numeratore comune;
• riduzione alla forma di frazione decimale;
• sottrazione;
• divisione.

Pronto per allenarti? Confronta le frazioni in modo ottimale:

Confrontiamo le risposte:

1. (- converti in decimale)
2. (dividi una frazione per un'altra e riduci per numeratore e denominatore)
3. (seleziona l'intera parte e confronta le frazioni in base al principio dello stesso numeratore)
4. (dividere una frazione per un'altra e ridurre per numeratore e denominatore).

2. Confronto dei titoli di studio

Ora immagina di dover confrontare non solo numeri, ma espressioni in cui è presente un grado ().

Certo, puoi facilmente appendere un cartello:

Dopotutto, se sostituiamo il grado con la moltiplicazione, otteniamo:

Da questo piccolo e primitivo esempio segue la regola:

Ora prova a confrontare quanto segue: . Puoi anche mettere facilmente un cartello:

Perché se sostituiamo l'elevamento con la moltiplicazione...

In generale, capisci tutto e non è affatto difficile.

Le difficoltà sorgono solo quando, messi a confronto, i titoli hanno basi e indicatori diversi. In questo caso è necessario cercare di raggiungere un terreno comune. Per esempio:

Naturalmente, sai che questa, di conseguenza, l'espressione assume la forma:

Apriamo le parentesi e confrontiamo ciò che otteniamo:

Un caso un po' particolare è quando la base del grado () è minore di uno.

Se, allora di due gradi e il maggiore è quello il cui indice è minore.

Proviamo a dimostrare questa regola. Lascia stare.

Introduciamo un numero naturale come differenza tra e.

Logico, no?

E ora prestiamo ancora una volta attenzione alla condizione - .

Rispettivamente: . Quindi, .

Per esempio:

Come capisci, abbiamo considerato il caso in cui le basi dei gradi sono uguali. Ora vediamo quando la base è nell'intervallo da a, ma gli esponenti sono uguali. Qui è tutto molto semplice.

Ricordiamo come confrontare questo utilizzando un esempio:

Ovviamente hai fatto velocemente i conti:

Pertanto, quando incontri problemi simili per il confronto, tieni a mente qualche semplice esempio simile che puoi calcolare rapidamente e, sulla base di questo esempio, inserisci i segni in uno più complesso.

Quando esegui le trasformazioni, ricorda che se moltiplichi, aggiungi, sottrai o dividi, tutte le azioni devono essere eseguite sia con il lato sinistro che con quello destro (se moltiplichi per, devi moltiplicare entrambi).

Inoltre, ci sono casi in cui qualsiasi manipolazione è semplicemente non redditizia. Ad esempio, devi confrontare. In questo caso non è così difficile elevare a potenza e disporre il segno in base a questo:

Facciamo un pò di pratica. Confronta i titoli di studio:

Pronti a confrontare le risposte? Ecco cosa ho ottenuto:

1. - lo stesso di
2. - lo stesso di
3. - lo stesso di
4. - lo stesso di

3. Confronto tra numeri e radici

Per prima cosa, ricordiamo cosa sono le radici? Ricordi questa registrazione?

La radice di una potenza di un numero reale è un numero per il quale vale l'uguaglianza.

Radici di grado dispari esistono per i numeri negativi e positivi, e anche le radici- solo per quelli positivi.

Il valore della radice è spesso un decimale infinito, il che rende difficile il calcolo accurato, quindi è importante poter confrontare le radici.

Se hai dimenticato cos'è e con cosa si mangia - . Se ricordi tutto, impariamo a confrontare le radici passo dopo passo.

Diciamo che dobbiamo confrontare:

Per confrontare queste due radici non è necessario fare alcun calcolo, basta analizzare il concetto stesso di “radice”. Capisci di cosa sto parlando? Sì, a questo proposito: altrimenti si può scrivere come la terza potenza di qualche numero, uguale all'espressione radicale.

Cosa c'è di più? O? Naturalmente puoi confrontarlo senza alcuna difficoltà. Maggiore è il numero che eleviamo a potenza, maggiore è il valore.

COSÌ. Deriviamo una regola.

Se gli esponenti delle radici sono gli stessi (nel nostro caso lo è), allora è necessario confrontare le espressioni radicali (e): maggiore è il numero radicale, maggiore è il valore della radice con esponenti uguali.

Difficile da ricordare? Allora tieni un esempio in testa e... Questo di più?

Gli esponenti delle radici sono gli stessi, poiché la radice è quadrata. L'espressione radicale di un numero () è maggiore di un altro (), il che significa che la regola è realmente vera.

E se le espressioni radicali fossero le stesse, ma i gradi delle radici fossero diversi? Per esempio: .

È anche abbastanza chiaro che estraendo una radice di grado maggiore, si otterrà un numero minore. Prendiamo ad esempio:

Indichiamo il valore della prima radice come e la seconda come, quindi:

Puoi facilmente vedere che ci deve essere di più in queste equazioni, quindi:

Se le espressioni radicali sono le stesse(nel nostro caso), e gli esponenti delle radici sono diversi(nel nostro caso questo è e), allora è necessario confrontare gli esponenti(E) - più alto è l'indicatore, più piccola è questa espressione.

Prova a confrontare le seguenti radici:

Confrontiamo i risultati?

Abbiamo risolto questo problema con successo :). Sorge un’altra domanda: e se fossimo tutti diversi? Sia grado che espressione radicale? Non tutto è così complicato, basta solo... “sbarazzarsi” della radice. Si si. Liberatene)

Se abbiamo gradi ed espressioni radicali diversi, dobbiamo trovare il minimo comune multiplo (leggi la sezione relativa) per gli esponenti delle radici ed elevare entrambe le espressioni a una potenza pari al minimo comune multiplo.

Che siamo tutti in parole e parole. Ecco un esempio:

1. Osserviamo gli indicatori delle radici - e. Il loro minimo comune multiplo è .
2. Eleviamo entrambe le espressioni a potenza:
3. Trasformiamo l'espressione e apriamo le parentesi (maggiori dettagli nel capitolo):
4. Contiamo quello che abbiamo fatto e mettiamo un cartello:

4. Confronto di logaritmi

Quindi, lentamente ma inesorabilmente, arriviamo alla questione di come confrontare i logaritmi. Se non ricordi di che tipo di animale si tratta, ti consiglio di leggere prima la teoria dalla sezione. Lo hai letto? Quindi rispondi ad alcune domande importanti:

1. Qual è l'argomento di un logaritmo e qual è la sua base?
2. Cosa determina se una funzione aumenta o diminuisce?

Se ricordi tutto e lo hai padroneggiato perfettamente, cominciamo!

Per confrontare i logaritmi tra loro, devi conoscere solo 3 tecniche:

• riduzione sulla stessa base;
• riduzione allo stesso argomento;
• confronto con il terzo numero.

Inizialmente, presta attenzione alla base del logaritmo. Ricordi che se è inferiore, la funzione diminuisce e se è maggiore, aumenta. Su questo si baseranno i nostri giudizi.

Consideriamo un confronto tra logaritmi che sono già stati ridotti alla stessa base, o argomento.

Per cominciare, semplifichiamo il problema: consideriamo i logaritmi confrontati pari motivi. Poi:

1. La funzione for aumenta nell'intervallo da, che significa, per definizione, quindi (“confronto diretto”).
2. Esempio:- i motivi sono gli stessi, confrontiamo le argomentazioni di conseguenza: , quindi:
3. La funzione for diminuisce nell'intervallo da, che significa, per definizione, quindi (“confronto inverso”). - le basi sono le stesse, confrontiamo gli argomenti di conseguenza: , però, il segno dei logaritmi sarà “inverso”, poiché la funzione è decrescente: .

Consideriamo ora i casi in cui le ragioni sono diverse, ma gli argomenti sono gli stessi.

1. La base è più grande.
   • . In questo caso utilizziamo il “confronto inverso”. Ad esempio: - gli argomenti sono gli stessi, e. Confrontiamo le basi: però il segno dei logaritmi sarà “inverso”:
2. La base a è nello spazio vuoto.
   • . In questo caso utilizziamo il “confronto diretto”. Per esempio:
   • . In questo caso utilizziamo il “confronto inverso”. Per esempio:

Scriviamo tutto in una forma tabellare generale:

, in cui	, in cui

Di conseguenza, come hai già capito, quando confrontiamo i logaritmi, dobbiamo condurre alla stessa base, o argomento. Arriviamo alla stessa base utilizzando la formula per passare da una base all'altra.

Puoi anche confrontare i logaritmi con il terzo numero e, sulla base di ciò, trarre una conclusione su cosa è meno e cosa è di più. Ad esempio, pensa a come confrontare questi due logaritmi?

Un piccolo suggerimento: per fare un confronto, un logaritmo ti aiuterà molto, il cui argomento sarà uguale.

Pensiero? Decidiamo insieme.

Possiamo facilmente confrontare questi due logaritmi con te:

Non sai come? Vedi sopra. Abbiamo appena risolto il problema. Che segno ci sarà? Giusto:

Essere d'accordo?

Confrontiamo tra loro:

Dovresti ottenere quanto segue:

Ora combina tutte le nostre conclusioni in una sola. Accaduto?

5. Confronto di espressioni trigonometriche.

Cos'è seno, coseno, tangente e cotangente? Perché abbiamo bisogno di un cerchio unitario e come trovare il valore delle funzioni trigonometriche su di esso? Se non conosci le risposte a queste domande, ti consiglio vivamente di leggere la teoria su questo argomento. E se lo sai, confrontare le espressioni trigonometriche tra loro non è difficile per te!

Rinfreschiamoci un po' la memoria. Disegniamo un cerchio trigonometrico unitario e un triangolo inscritto in esso. Sei riuscito? Ora segna da quale lato tracciamo il coseno e da quale lato il seno, usando i lati del triangolo. (tu, ovviamente, ricordi che il seno è il rapporto tra il lato opposto e l'ipotenusa e il coseno è il lato adiacente?). L'hai disegnato tu? Grande! Il tocco finale è scrivere dove lo avremo, dove e così via. L'hai messo giù? Uff) Confrontiamo quello che è successo a te e me.

Uff! Ora iniziamo il confronto!

Diciamo che dobbiamo confrontare e. Disegna questi angoli utilizzando le istruzioni nelle caselle (dove abbiamo segnato dove), posizionando i punti sulla circonferenza unitaria. Sei riuscito? Ecco cosa ho ottenuto.

Ora trasciniamo sull'asse una perpendicolare dai punti che abbiamo segnato sul cerchio... Quale? Quale asse mostra il valore dei seni? Giusto, . Questo è ciò che dovresti ottenere:

Guardando questa foto, che è più grande: oppure? Naturalmente, perché il punto è al di sopra del punto.

In modo simile confrontiamo il valore dei coseni. Abbassiamo solo la perpendicolare all'asse... Esatto, . Di conseguenza, guardiamo quale punto è a destra (o più in alto, come nel caso dei seni), quindi il valore è maggiore.

Probabilmente sai già come confrontare le tangenti, giusto? Tutto quello che devi sapere è cos'è una tangente. Allora cos'è una tangente?) Esatto, il rapporto tra seno e coseno.

Per confrontare le tangenti, disegniamo un angolo come nel caso precedente. Diciamo che dobbiamo confrontare:

L'hai disegnato tu? Ora segniamo anche i valori del seno sull'asse delle coordinate. Hai notato? Ora indica i valori del coseno sulla linea delle coordinate. Accaduto? Confrontiamo:

Ora analizza ciò che hai scritto. - dividiamo un segmento grande in uno piccolo. La risposta conterrà un valore sicuramente maggiore di uno. Giusto?

E quando dividiamo il piccolo per il grande. La risposta sarà un numero esattamente inferiore a uno.

Quindi quale espressione trigonometrica ha il valore maggiore?

Giusto:

Come ora capisci, confrontare le cotangenti è la stessa cosa, solo al contrario: guardiamo come i segmenti che definiscono coseno e seno si relazionano tra loro.

Prova a confrontare tu stesso le seguenti espressioni trigonometriche:

Esempi.

Risposte.

CONFRONTO DI NUMERI. LIVELLO MEDIO.

Quale numero è maggiore: o? La risposta è ovvia. E ora: o? Non è più così ovvio, vero? Quindi: o?

Spesso è necessario sapere quale espressione numerica è maggiore. Ad esempio, per posizionare i punti sull'asse nell'ordine corretto quando si risolve una disuguaglianza.

Ora ti insegnerò come confrontare tali numeri.

Se devi confrontare numeri e, mettiamo un segno tra loro (derivato dalla parola latina Versus o abbreviato vs. - contro): . Questo segno sostituisce il segno di disuguaglianza sconosciuta (). Successivamente, eseguiremo trasformazioni identiche finché non sarà chiaro quale segno deve essere posizionato tra i numeri.

L'essenza del confronto dei numeri è questa: trattiamo il segno come se fosse una sorta di segno di disuguaglianza. E con l’espressione possiamo fare tutto ciò che solitamente facciamo con le disuguaglianze:

• aggiungi qualsiasi numero a entrambi i membri (e, ovviamente, possiamo anche sottrarre)
• “spostare tutto da una parte”, cioè sottrarre da entrambe le parti una delle espressioni confrontate. Al posto dell'espressione sottratta rimarrà: .
• moltiplicare o dividere per lo stesso numero. Se questo numero è negativo, il segno di disuguaglianza è invertito: .
• elevare entrambe le parti alla stessa potenza. Se questa potenza è pari, bisogna assicurarsi che entrambe le parti abbiano lo stesso segno; se entrambe le parti sono positive, il segno non cambia quando elevato a una potenza, ma se sono negative, cambia al contrario.
• estrarre la radice dello stesso grado da entrambe le parti. Se stiamo estraendo una radice di grado pari, dobbiamo prima assicurarci che entrambe le espressioni siano non negative.
• eventuali altre trasformazioni equivalenti.

Importante: è consigliabile effettuare trasformazioni tali che il segno della disuguaglianza non cambi! Cioè, durante le trasformazioni, non è desiderabile moltiplicare per un numero negativo e non è possibile elevarlo al quadrato se una delle parti è negativa.

Consideriamo alcune situazioni tipiche.

1. Esponenziazione.

Esempio.

Che è di più: o?

Soluzione.

Poiché entrambi i lati della disuguaglianza sono positivi, possiamo elevarla al quadrato per eliminare la radice:

Esempio.

Che è di più: o?

Soluzione.

Qui possiamo anche elevarlo al quadrato, ma questo ci aiuterà solo a sbarazzarci della radice quadrata. Qui è necessario elevarlo a tal punto che entrambe le radici scompaiono. Ciò significa che l'esponente di questo grado deve essere divisibile sia per (grado della prima radice) che per. Questo numero viene quindi elevato all'esima potenza:

2. Moltiplicazione per il suo coniugato.

Esempio.

Che è di più: o?

Soluzione.

Moltiplichiamo e dividiamo ciascuna differenza per la somma coniugata:

Ovviamente, il denominatore a destra è maggiore del denominatore a sinistra. Pertanto la frazione di destra è minore di quella di sinistra:

3. Sottrazione

Ricordiamolo.

Esempio.

Che è di più: o?

Soluzione.

Naturalmente potremmo far quadrare tutto, riorganizzarci e quadrare di nuovo. Ma puoi fare qualcosa di più intelligente:

Si può vedere che sul lato sinistro ogni termine è minore di ogni termine sul lato destro.

Di conseguenza, la somma di tutti i termini del lato sinistro è inferiore alla somma di tutti i termini del lato destro.

Ma fa attenzione! Ci è stato chiesto cosa altro...

Il lato destro è più grande.

Esempio.

Confronta i numeri e...

Soluzione.

Ricordiamo le formule della trigonometria:

Controlliamo in quali quarti del cerchio trigonometrico si trovano i punti e la menzogna.

4. Divisione.

Anche qui usiamo una semplice regola: .

A o, cioè.

Quando il segno cambia: .

Esempio.

Confrontare: .

Soluzione.

5. Confronta i numeri con il terzo numero

Se e, allora (legge di transitività).

Esempio.

Confrontare.

Soluzione.

Confrontiamo i numeri non tra loro, ma con il numero.

E' ovvio.

Dall'altro lato, .

Esempio.

Che è di più: o?

Soluzione.

Entrambi i numeri sono più grandi, ma più piccoli. Selezioniamo un numero tale che sia maggiore di uno, ma minore dell'altro. Per esempio, . Controlliamo:

6. Cosa fare con i logaritmi?

Niente di speciale. Come sbarazzarsi dei logaritmi è descritto in dettaglio nell'argomento. Le regole di base sono:

\[(\log _a)x \vee b(\rm( )) \Leftrightarrow (\rm( ))\left[ (\begin(array)(*(20)(l))(x \vee (a^ b)\;(\rm(at))\;a > 1)\\(x \cuneo (a^b)\;(\rm(at))\;0< a < 1}\end{array}} \right.\] или \[{\log _a}x \vee {\log _a}y{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \vee y\;{\rm{при}}\;a >1)\\(x \cuneo y\;(\rm(at))\;0< a < 1}\end{array}} \right.\]

Possiamo anche aggiungere una regola sui logaritmi con basi diverse e lo stesso argomento:

Si può spiegare così: più grande è la base, minore sarà il grado di innalzamento per ottenere la stessa cosa. Se la base è più piccola è vero il contrario, poiché la funzione corrispondente è monotonicamente decrescente.

Esempio.

Confronta i numeri: e.

Soluzione.

Secondo le regole di cui sopra:

E ora la formula per l'avanzato.

La regola per confrontare i logaritmi può essere scritta più brevemente:

Esempio.

Che è di più: o?

Soluzione.

Esempio.

Confronta quale numero è maggiore: .

Soluzione.

CONFRONTO DI NUMERI. BREVEMENTE SULLE COSE PRINCIPALI

1. Esponenziazione

Se entrambi i lati della disuguaglianza sono positivi, possono essere elevati al quadrato per eliminare la radice

2. Moltiplicazione per il suo coniugato

Un coniugato è un fattore che completa l'espressione con la formula della differenza dei quadrati: - coniugato per e viceversa, perché .

3. Sottrazione

4. Divisione

Quando o quello è

Quando il segno cambia:

5. Confronto con il terzo numero

Se e poi

6. Confronto di logaritmi

Regole di base:

Logaritmi con basi diverse e lo stesso argomento:

Bene, l'argomento è finito. Se stai leggendo queste righe significa che sei molto figo.

Perché solo il 5% delle persone è in grado di padroneggiare qualcosa da solo. E se leggi fino alla fine, allora sei in questo 5%!

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Per due numeri interi X E A Introduciamo una relazione di comparabilità per parità se la loro differenza è un numero pari. È facile verificare che tutte e tre le condizioni di equivalenza precedentemente introdotte siano soddisfatte. La relazione di equivalenza così introdotta divide l'intero insieme degli interi in due sottoinsiemi disgiunti: il sottoinsieme dei numeri pari e il sottoinsieme dei numeri dispari.

Generalizzando questo caso, diremo che due numeri interi che differiscono per un multiplo di un determinato numero naturale sono equivalenti. Questa è la base del concetto di comparabilità del modulo, introdotto da Gauss.

Numero UN, comparabile a B modulo M, se la loro differenza è divisibile per un numero naturale fisso M, questo è un-b diviso per M. Simbolicamente questo è scritto come:

a ≡ b(mod m),

e si legge così: UN comparabile a B modulo M.

La relazione così introdotta, grazie alla profonda analogia tra confronti e uguaglianze, semplifica i calcoli in cui numeri che differiscono di un multiplo M, non differiscono effettivamente (poiché il confronto è uguaglianza fino a qualche multiplo di m).

Ad esempio, i numeri 7 e 19 sono comparabili modulo 4, ma non comparabili modulo 5, perché 19-7=12 è divisibile per 4 e non divisibile per 5.

Si può anche dire che il numero X modulo M uguale al resto della divisione per un numero intero X SU M, Perché

x=km+r, r = 0, 1, 2, ... , m-1.

È facile verificare che la comparabilità dei numeri secondo un dato modulo possiede tutte le proprietà di equivalenza. Pertanto, l'insieme degli interi è suddiviso in classi di numeri comparabili in modulo M. Il numero di tali classi è uguale M e tutti i numeri della stessa classe quando divisi per M dare lo stesso resto. Ad esempio, se M= 3, allora otteniamo tre classi: la classe dei numeri che sono multipli di 3 (che danno resto 0 quando diviso per 3), la classe dei numeri che lasciano un resto 1 quando diviso per 3, e la classe dei numeri che lasciano il resto è 2 se diviso per 3.

Esempi dell'uso dei confronti sono forniti dai noti criteri di divisibilità. Rappresentazione dei numeri comuni N i numeri nel sistema decimale hanno la forma:

n = c102 + b101 + a100,

Dove a, b, c,- cifre di un numero scritte da destra a sinistra, quindi UN- numero di unità, B- numero di decine, ecc. Dalle 10k ≡ 1(mod9) per ogni k≥0, allora da quanto scritto segue che

n ≡ c + b + a(mod9),

da cui segue il test di divisibilità per 9: Nè divisibile per 9 se e solo se la somma delle sue cifre è divisibile per 9. Questo ragionamento si applica anche quando si sostituisce 9 con 3.

Otteniamo il test di divisibilità per 11. I confronti avvengono:

10≡- 1(mod11), 10 2 ≡ 1(mod11)10 3 ≡- 1(mod11) e così via. Ecco perché n ≡ c - b + a - ….(mod11).

Quindi, Nè divisibile per 11 se e solo se la somma alternata delle sue cifre a - b + c -... è divisibile per 11.

Ad esempio, la somma alternata delle cifre del numero 9581 è 1 - 8 + 5 - 9 = -11, è divisibile per 11, il che significa che il numero 9581 è divisibile per 11.

Se ci sono confronti: , allora possono essere aggiunti, sottratti e moltiplicati termine per termine allo stesso modo delle uguaglianze:

Un confronto può sempre essere moltiplicato per un numero intero:

se poi

Tuttavia, ridurre un confronto con qualsiasi fattore non è sempre possibile. Ad esempio, ma è impossibile ridurlo del fattore comune 6 per i numeri 42 e 12; tale riduzione porta ad un risultato errato, poiché .

Dalla definizione di comparabilità modulo segue che la riduzione di un fattore è ammissibile se questo fattore è coprimo rispetto al modulo.

È stato già notato sopra che qualsiasi numero intero è paragonabile a mod M con uno dei seguenti numeri: 0, 1, 2,... , m-1.

Oltre a questa serie esistono altre serie di numeri che hanno la stessa proprietà; quindi, ad esempio, qualsiasi numero è paragonabile mod 5 con uno dei seguenti numeri: 0, 1, 2, 3, 4, ma anche confrontabile con uno dei seguenti numeri: 0, -4, -3, -2, - 1 o 0, 1, -1, 2, -2. Qualsiasi serie di numeri di questo tipo è chiamata sistema completo di residui modulo 5.

Così il sistema completo di residui mod Mè una serie qualsiasi di M numeri, nessuno dei quali è paragonabile tra loro. Di solito viene utilizzato un sistema completo di detrazioni, composto da numeri: 0, 1, 2, ..., M-1. Sottrarre il numero N modulo Mè il resto della divisione N SU M, che consegue dalla rappresentazione n = km + r, 0<R<M- 1.

Definizione 1. Se due numeri sono 1) UN E B quando diviso per P dare lo stesso resto R, allora tali numeri sono chiamati equiresto o paragonabile in modulo P.

Dichiarazione 1. Permettere P qualche numero positivo. Poi ogni numero UN sempre e, per di più, nell'unico modo può essere rappresentato nella forma

Ma questi numeri possono essere ottenuti impostando R uguale a 0, 1, 2,..., P−1. Quindi sp+r=a otterrà tutti i possibili valori interi.

Mostriamo che questa rappresentazione è unica. Facciamo finta che P può essere rappresentato in due modi a=sp+r E a=s 1 P+R 1 . Poi

(2)

Perché R 1 accetta uno dei numeri 0,1, ..., P−1, quindi il valore assoluto R 1 −R meno P. Ma da (2) ne consegue che R 1 −R multiplo P. Quindi R 1 =R E S 1 =S.

Numero R chiamato meno numeri UN modulo P(in altre parole, il numero R chiamato il resto di un numero UN SU P).

Dichiarazione 2. Se due numeri UN E B paragonabile in modulo P, Quello a−b diviso per P.

Veramente. Se due numeri UN E B paragonabile in modulo P, quindi quando diviso per P hanno lo stesso resto P. Poi

diviso per P, Perché il lato destro dell'equazione (3) è diviso per P.

Dichiarazione 3. Se la differenza di due numeri è divisibile per P, allora questi numeri sono comparabili in modulo P.

Prova. Indichiamo con R E R Resto di 1 divisione UN E B SU P. Poi

Esempi 25≡39 (mod 7), −18≡14 (mod 4).

Dal primo esempio segue che 25 diviso per 7 dà lo stesso resto di 39. Infatti, 25 = 3·7+4 (resto 4). 39=3·7+4 (resto 4). Nel considerare il secondo esempio, è necessario tenere conto del fatto che il resto deve essere un numero non negativo inferiore al modulo (ovvero 4). Allora possiamo scrivere: −18=−5·4+2 (resto 2), 14=3·4+2 (resto 2). Pertanto, −18 diviso per 4 lascia un resto di 2, mentre 14 diviso per 4 lascia un resto di 2.

Proprietà dei confronti tra moduli

Proprietà 1. Per chiunque UN E P Sempre

non sempre c'è un confronto

Dove λ è il massimo comun divisore di numeri M E P.

Prova. Permettere λ massimo comun divisore di numeri M E P. Poi

Perché m(a−b) diviso per K, Quello

Il valore assoluto di un numero

Modulo del numero a denotiamo $|a|$. I trattini verticali a destra e a sinistra del numero formano il segno del modulo.

Ad esempio, il modulo di qualsiasi numero (naturale, intero, razionale o irrazionale) si scrive come segue: $|5|$, $|-11|$, $|2,345|$, $|\sqrt(45)|$ .

Definizione 1

Modulo del numero a uguale al numero $a$ stesso se $a$ è positivo, al numero $−a$ se $a$ è negativo, o $0$ se $a=0$.

Questa definizione del modulo di un numero può essere scritta come segue:

$|a|= \begin(cases) a, & a > 0, \\ 0, & a=0,\\ -a, &a

Puoi usare una notazione più breve:

$|a|=\begin(cases) a, & a \geq 0 \\ -a, & a

Esempio 1

Calcola il modulo dei numeri $23$ e $-3,45$.

Soluzione.

Troviamo il modulo del numero $23$.

Il numero $23$ è positivo, quindi, per definizione, il modulo di un numero positivo è uguale a questo numero:

Troviamo il modulo del numero $–3,45$.

Il numero $–3,45$ è un numero negativo, quindi, secondo la definizione, il modulo di un numero negativo è uguale al numero opposto di quello dato:

Risposta: $|23|=23$, $|-3,45|=3,45$.

Definizione 2

Il modulo di un numero è il valore assoluto di un numero.

Pertanto, il modulo di un numero è un numero sotto il segno del modulo senza tener conto del suo segno.

Modulo di un numero come distanza

Valore geometrico del modulo di un numero: Il modulo di un numero è la distanza.

Definizione 3

Modulo del numero a– questa è la distanza dal punto di riferimento (zero) sulla linea numerica al punto che corrisponde al numero $a$.

Esempio 2

Per esempio, il modulo del numero $12$ è uguale a $12$, perché la distanza dal punto di riferimento al punto con coordinata $12$ è dodici:

Il punto di coordinata $−8.46$ si trova a distanza $8.46$ dall'origine, quindi $|-8.46|=8.46$.

Modulo di un numero come radice quadrata aritmetica

Definizione 4

Modulo del numero aè la radice quadrata aritmetica di $a^2$:

$|a|=\sqrt(a^2)$.

Esempio 3

Calcola il modulo del numero $–14$ utilizzando la definizione del modulo di un numero attraverso la radice quadrata.

Soluzione.

$|-14|=\sqrt(((-14)^2)=\sqrt((-14) \cdot (-14))=\sqrt(14 \cdot 14)=\sqrt((14)^2 )=14$.

Risposta: $|-14|=14$.

Confronto di numeri negativi

Il confronto dei numeri negativi si basa sul confronto dei moduli di questi numeri.

Nota 1

Regola per confrontare i numeri negativi:

• Se il modulo di uno dei numeri negativi è maggiore, quel numero è minore;
• se il modulo di uno dei numeri negativi è inferiore, tale numero è grande;
• se i moduli dei numeri sono uguali, allora i numeri negativi sono uguali.

Nota 2

Sulla linea numerica, il numero negativo più piccolo si trova a sinistra del numero negativo più grande.

Esempio 4

Confronta i numeri negativi $−27$ e $−4$.

Soluzione.

Secondo la regola per il confronto dei numeri negativi, troveremo prima i valori assoluti dei numeri $–27$ e $–4$, quindi confronteremo i numeri positivi risultanti.

Quindi, otteniamo $–27 |-4|$.

Risposta: $–27

Quando si confrontano numeri razionali negativi, è necessario convertire entrambi i numeri in frazioni o decimali.

Indichiamo due punti sulla linea delle coordinate che corrispondono ai numeri −4 e 2.

Il punto A, corrispondente al numero −4, si trova a una distanza di 4 segmenti unitari dal punto 0 (l'origine), cioè la lunghezza del segmento OA è pari a 4 unità.

Il numero 4 (la lunghezza del segmento OA) è chiamato modulo del numero −4.

Designare il valore assoluto di un numero in questo modo: |−4| = 4

I simboli sopra si leggono come segue: “il modulo del numero meno quattro è uguale a quattro”.

Il punto B, corrispondente al numero +2, si trova a una distanza di due segmenti unitari dall'origine, cioè la lunghezza del segmento OB è pari a due unità.

Il numero 2 si chiama modulo del numero +2 e si scrive: |+2| = 2 oppure |2| = 2.

Se prendiamo un certo numero "a" e lo rappresentiamo come punto A sulla linea delle coordinate, la distanza dal punto A all'origine (in altre parole, la lunghezza del segmento OA) sarà chiamata modulo del numero " UN".

Ricordare

Modulo di un numero razionale Chiamano la distanza dall'origine al punto sulla linea delle coordinate corrispondente a questo numero.

Poiché la distanza (lunghezza di un segmento) può essere espressa solo come numero positivo o zero, possiamo dire che il modulo di un numero non può essere negativo.

Ricordare

Scriviamo le proprietà del modulo utilizzando espressioni letterali, considerando

tutti i casi possibili.

1. Il modulo di un numero positivo è uguale al numero stesso. |a| = a, se a > 0;

2. Il modulo di un numero negativo è uguale al numero opposto. |−a| = a se a< 0;

3. Il modulo di zero è zero. |0| = 0 se a = 0;

4. I numeri opposti hanno moduli uguali.

Esempi di moduli di numeri razionali:

· |−4.8| = 4,8

· |0| = 0

· |−3/8| = |3/8|

Di due numeri su una linea coordinata, quello situato a destra è maggiore e quello situato a sinistra è minore.

Ricordare

qualsiasi numero positivo maggiore di zero e maggiore di qualsiasi

numero negativo;

· qualsiasi numero negativo è inferiore a zero e inferiore a qualsiasi

numero positivo.

Esempio.

È conveniente confrontare i numeri razionali utilizzando il concetto di modulo.

Il maggiore tra due numeri positivi è rappresentato da un punto situato sulla linea coordinata a destra, cioè più lontano dall'origine. Ciò significa che questo numero ha un modulo più grande.

Ricordare

Di due numeri positivi è maggiore quello il cui modulo è maggiore.

Quando si confrontano due numeri negativi, quello più grande si troverà a destra, cioè più vicino all'origine. Ciò significa che il suo modulo (la lunghezza del segmento da zero a un numero) sarà più piccolo.