Come trovare l'area di un rombo a lato. Quattro formule che possono essere utilizzate per calcolare l'area di un rombo

è un parallelogramma in cui tutti i lati sono uguali, ad esso si applicano tutte le stesse formule del parallelogramma, compresa la formula per trovare l'area attraverso il prodotto tra altezza e lati.

L'area di un rombo si può trovare conoscendo anche le sue diagonali. Le diagonali dividono il rombo in quattro triangoli rettangoli assolutamente identici. Se li ordiniamo per ottenere un rettangolo, la sua lunghezza e larghezza saranno uguali a un'intera diagonale e metà della seconda diagonale. Pertanto, l'area di un rombo si trova moltiplicando le diagonali del rombo, ridotte di due (come l'area del rettangolo risultante).

Se hai a disposizione solo un angolo e un lato, puoi usare la diagonale come assistente e disegnarla di fronte all'angolo noto. Quindi dividerà il rombo in due triangoli congruenti, le cui aree si sommeranno per darci l'area del rombo. L'area di ciascuno dei triangoli sarà uguale alla metà del prodotto del quadrato del lato e del seno dell'angolo noto, come l'area di un triangolo isoscele. Poiché esistono due triangoli di questo tipo, i coefficienti vengono ridotti, lasciando solo il lato alla seconda potenza e il seno:

Se inscrivi un cerchio all'interno di un rombo, il suo raggio sarà correlato al lato che forma un angolo di 90°, il che significa che il doppio del raggio sarà uguale all'altezza del rombo. Sostituendo nella formula precedente invece dell'altezza h=2r, otteniamo l'area S=ha=2ra

Se insieme al raggio del cerchio inscritto non è dato un lato, ma un angolo, allora devi prima trovare il lato disegnando l'altezza in modo tale da ottenere un triangolo rettangolo con un dato angolo. Quindi il lato a può essere trovato dalle relazioni trigonometriche utilizzando la formula . Sostituendo questa espressione nella stessa formula standard per l'area di un rombo, otteniamo

è un parallelogramma in cui tutti i lati sono uguali.

Un rombo con angoli retti è chiamato quadrato ed è considerato un caso speciale di rombo. Puoi trovare l'area di un rombo in vari modi, utilizzando tutti i suoi elementi: lati, diagonali, altezza. La formula classica per calcolare l'area di un rombo è calcolarne il valore attraverso l'altezza.

Un esempio di calcolo dell'area di un rombo utilizzando questa formula è molto semplice. Devi solo sostituire i dati e calcolare l'area.

Area di un rombo passante per le diagonali

Le diagonali di un rombo si intersecano ad angolo retto e nel punto di intersezione si dividono a metà.

La formula per calcolare l'area di un rombo passante per le sue diagonali è il prodotto delle sue diagonali diviso per 2.

Diamo un'occhiata ad un esempio di calcolo dell'area di un rombo utilizzando le diagonali. Diamo un rombo con le diagonali
d1 =5 cm e d2 =4. Troviamo la zona.

La formula per l'area di un rombo attraverso i lati implica anche l'uso di altri elementi. Se un cerchio è inscritto in un rombo, l'area della figura può essere calcolata dai lati e dal suo raggio:

Anche un esempio di calcolo dell'area di un rombo attraverso i lati è molto semplice. Devi solo calcolare il raggio del cerchio inscritto. Può essere derivato dal teorema di Pitagora e utilizzando la formula.

Area di un rombo passante per lato e angolo

La formula per l'area di un rombo in termini di lato e angolo viene utilizzata molto spesso.

Consideriamo un esempio di calcolo dell'area di un rombo utilizzando un lato e un angolo.

Compito: Dato un rombo le cui diagonali sono d1 = 4 cm, d2 = 6 cm L'angolo acuto è α = 30°. Trova l'area della figura utilizzando il lato e l'angolo.
Per prima cosa troviamo il lato del rombo. Usiamo per questo il teorema di Pitagora. Sappiamo che nel punto di intersezione le diagonali si bisecano e formano un angolo retto. Quindi:
Sostituiamo i valori:
Ora conosciamo il lato e l'angolo. Troviamo l'area:

Il rombo (dal greco antico ῥόμβος e dal latino rombus “tamburello”) è un parallelogramma, che si caratterizza per la presenza di lati di uguale lunghezza. Quando gli angoli sono di 90 gradi (o un angolo retto), tale figura geometrica è chiamata quadrato. Un rombo è una figura geometrica, un tipo di quadrilatero. Può essere sia un quadrato che un parallelogramma.

Origine di questo termine

Parliamo un po' della storia di questa figura, che ci aiuterà a scoprire un po' i misteriosi segreti del mondo antico. La parola a noi familiare, spesso trovata nella letteratura scolastica, “rombo”, deriva dall’antica parola greca “tamburello”. Nell'antica Grecia, questi strumenti musicali venivano prodotti a forma di diamante o quadrata (a differenza dei dispositivi moderni). Sicuramente hai notato che il seme della carta - quadri - ha una forma rombica. La formazione di questo abito risale ai tempi in cui i diamanti rotondi non venivano utilizzati nella vita di tutti i giorni. Di conseguenza, il rombo è la figura storica più antica inventata dall'umanità molto prima dell'avvento della ruota.

Per la prima volta, personaggi famosi come Heron e il Papa di Alessandria usarono una parola come "rombo".

Proprietà del rombo

1. Poiché i lati di un rombo sono opposti tra loro e sono paralleli a coppie, allora il rombo è senza dubbio un parallelogramma (AB || CD, AD || BC).
2. Le diagonali rombiche si intersecano ad angolo retto (AC ⊥ BD), e quindi sono perpendicolari. Pertanto, l'intersezione divide in due le diagonali.
3. Le bisettrici degli angoli rombici sono le diagonali del rombo (∠DCA = ∠BCA, ∠ABD = ∠CBD, ecc.).
4. Dall'identità dei parallelogrammi segue che la somma di tutti i quadrati delle diagonali di un rombo è il numero del quadrato del lato, che viene moltiplicato per 4.

Segni di un diamante

Un rombo è un parallelogramma quando soddisfa le seguenti condizioni:

1. Tutti i lati di un parallelogramma sono uguali.
2. Le diagonali di un rombo intersecano un angolo retto, cioè sono perpendicolari tra loro (AC⊥BD). Ciò dimostra la regola dei tre lati (i lati sono uguali e formano un angolo di 90 gradi).
3. Le diagonali di un parallelogramma dividono equamente gli angoli perché i lati sono uguali.

Area di un rombo

1. L'area di un rombo è uguale al numero che è la metà del prodotto di tutte le sue diagonali.
2. Poiché un rombo è una sorta di parallelogramma, l'area del rombo (S) è il prodotto del lato del parallelogramma e della sua altezza (h).
3. Inoltre, l'area del rombo può essere calcolata utilizzando la formula, che è il prodotto del lato quadrato del rombo e del seno dell'angolo. Il seno dell'angolo è alfa: l'angolo situato tra i lati del rombo originale.
4. Una formula che è il prodotto del doppio dell'angolo alfa e del raggio del cerchio inscritto (r) è considerata abbastanza accettabile per la soluzione corretta.

Nell'articolo considereremo formula dell'area del rombo e non solo uno! Ti mostreremo nelle immagini quanto è facile esserlo area di un rombo utilizzando formule semplici.

Esistono molti compiti per trovare l'una o l'altra quantità in un rombo e le formule che verranno discusse ci aiuteranno in questo.
Un rombo è un tipo separato di quadrilatero perché tutti i suoi lati sono uguali. Rappresenta anche un caso speciale di parallelogramma in cui i lati AB=BC=CD=AD sono uguali.

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Un rombo ha le seguenti proprietà:

Un rombo ha gli angoli paralleli uguali
- la somma di due angoli adiacenti è pari a 180 gradi,
- Intersezione delle diagonali con un angolo di 90 gradi,
- Le bisettrici di un rombo sono le sue diagonali,
- Quando si interseca, la diagonale viene divisa in parti uguali.

Un rombo ha le seguenti caratteristiche:

Se è un parallelogramma in cui le diagonali si incontrano con un angolo di 90 gradi, si chiama rombo.
- Se un parallelogramma la cui bisettrice è una diagonale, allora si chiama rombo.
- Se un parallelogramma ha i lati uguali è un rombo.
- Se un quadrilatero ha i lati uguali è un rombo.
- Se un quadrilatero in cui la bisettrice è una diagonale e le diagonali si incontrano formando un angolo di 90 gradi, allora è un rombo.
- Se un parallelogramma ha le stesse altezze è un rombo.

Dai segni di cui sopra possiamo concludere che sono necessari per imparare a separare un rombo da altre figure simili ad esso.

Perché in un rombo tutti i lati sono uguali il perimetro è secondo la seguente formula:
P=4a
Formula dell'area del rombo

Esistono diverse formule. Il più semplice si risolve sommando l'area di 2 triangoli, ottenuti dividendo le diagonali.

Usando la seconda formula, puoi risolvere problemi con le diagonali note di un rombo. In questo caso l'area del rombo sarà: la somma delle diagonali divisa per due.

È molto facile da risolvere e non sarà dimenticato.

La terza formula può essere utilizzata quando conosci l'angolo tra i lati. Conoscendolo, puoi trovare l'area di un rombo: sarà uguale al quadrato dei lati moltiplicato per il seno dell'angolo; Non fa differenza quale angolo. poiché il seno di un angolo ha lo stesso valore.

È importante ricordare che l'area è misurata in quadrati e il perimetro è misurato in unità. Queste formule sono molto facili da applicare nella pratica.

Potresti anche incontrare problemi nel trovare il raggio di un cerchio inscritto in un rombo.

Ci sono anche diverse formule per questo:

Utilizzando la prima formula, il raggio si trova come il prodotto delle diagonali diviso per il numero ottenuto dalla somma di tutti i lati. o pari alla metà dell'altezza (r=h/2).

La seconda formula riprende il principio della prima e si applica alle diagonali e ai lati di un rombo che conosciamo.

Nella terza formula il raggio deriva dall'altezza del triangolo più piccolo risultante dall'intersezione.

Definizione di diamante

Romboè un parallelogramma in cui tutti i lati sono uguali tra loro.

Calcolatore in linea

Se i lati di un rombo formano un angolo retto, otteniamo piazza.

Le diagonali di un rombo si intersecano ad angolo retto.
Le diagonali di un rombo sono le bisettrici dei suoi angoli.

L'area di un rombo, come le aree della maggior parte delle forme geometriche, può essere trovata in diversi modi. Comprendiamo la loro essenza e consideriamo esempi di soluzioni.

Formula per l'area di un rombo di lato e altezza

Diamo un rombo con un lato aa UN e altezza h h H, attratto da questa parte. Poiché il rombo è un parallelogramma, troviamo la sua area allo stesso modo dell'area di un parallelogramma.

S = a ⋅ h S=a\cdot h S=un ⋅H

Aa UN- lato;
h h H- altezza ribassata lateralmente aa UN.

Risolviamo un semplice esempio.

Esempio

Il lato di un rombo è 5 (cm). L'altezza abbassata su questo lato ha una lunghezza di 2 (cm). Trova l'area di un rombo S.S S.

Soluzione

A = 5 a = 5 un =5
h = 2 h = 2 h =2

Usiamo la nostra formula e calcoliamo:
S = a ⋅ h = 5 ⋅ 2 = 10 S=a\cdot h=5\cdot 2=10S=un ⋅h =5 ⋅ 2 = 1 0 (vedi mq.)

Risposta: 10 cmq.

Formula per l'area di un rombo utilizzando le diagonali

Qui tutto è altrettanto semplice. Devi solo prendere la metà del prodotto delle diagonali e ottenere l'area.

S = 1 2 ⋅ d 1 ⋅ d 2 S=\frac(1)(2)\cdot d_1\cdot d_2S=2 1 ​ ⋅ D 1 ​ ⋅ D 2 ​

D1, d2 d_1, d_2 D 1 ​ , D 2 ​ - diagonali di un rombo.

Esempio

Una delle diagonali di un rombo è 7 (cm), e l'altra è 2 volte più grande della prima. Trova l'area della figura.

Soluzione

D1 = 7d_1=7 D 1 ​ = 7
d 2 = 2 ⋅ d 1 d_2=2\cdot d_1D 2 ​ = 2 ⋅ D 1 ​

Troviamo la seconda diagonale:
d 2 = 2 ⋅ d 1 = 2 ⋅ 7 = 14 d_2=2\cdot d_1=2\cdot 7=14D 2 ​ = 2 ⋅ D 1 ​ = 2 ⋅ 7 = 1 4
Quindi la zona:
S = 1 2 ⋅ 7 ⋅ 14 = 49 S=\frac(1)(2)\cdot7\cdot14=49S=2 1 ​ ⋅ 7 ⋅ 1 4 = 4 9 (vedi mq.)

Risposta: 49 cmq.

Formula per l'area di un rombo utilizzando due lati e l'angolo compreso tra loro

S = a 2 ⋅ peccato ⁡ (α) S=a^2\cdot\sin(\alpha)S=UN 2 ⋅ peccato(α)

Aa UN- lato del rombo;
α\alfa α - qualsiasi angolo del rombo.

Esempio

Trova l'area di un rombo se ciascuno dei suoi lati misura 10 cm e l'angolo tra due lati adiacenti è di 30 gradi.

Soluzione

A = 10 a = 10 un =1 0
α = 3 0 ∘ \alpha=30^(\circ)α = 3 0 ∘

Usando la formula otteniamo:
S = a 2 ⋅ peccato ⁡ (α) = 100 ⋅ peccato ⁡ (3 0 ∘) = 50 S=a^2\cdot\sin(\alpha)=100\cdot\sin(30^(\circ))= 50S=UN 2 ⋅ peccato(α) =1 0 0 ⋅ peccato(3 0 ∘ ) = 5 0 (vedi mq.)

Risposta: 50 cmq.

Formula per l'area di un rombo in base al raggio del cerchio inscritto e dell'angolo

S = 4 ⋅ r 2 sin ⁡ (α) S=\frac(4\cdot r^2)(\sin(\alpha))S=peccato(α)4 ⋅ R 2 ​

Rr R- raggio del cerchio inscritto in un rombo;
α\alfa α - qualsiasi angolo del rombo.

Esempio

Trova l'area di un rombo se l'angolo compreso tra le basi è di 60 gradi e il raggio del cerchio inscritto è 4 (cm).

Soluzione

R = 4 r = 4 r =4
α = 6 0 ∘ \alpha=60^(\circ)α = 6 0 ∘

S = 4 ⋅ r 2 sin ⁡ (α) = 4 ⋅ 16 sin ⁡ (6 0 ∘) ≈ 73,9 S=\frac(4\cdot r^2)(\sin(\alpha))=\frac(4\ cdot 16)(\sin(60^(\circ)))\circa73,9S=peccato(α)4 ⋅ R 2 ​ = peccato (6 0 ∘ ) 4 ⋅ 1 6 ​ ≈ 7 3 . 9 (vedi mq.)

Risposta: 73,9 cmq.

Formula per l'area di un rombo in base al raggio del cerchio e del lato inscritto

S = 2 ⋅ a ⋅ r S=2\cdot a\cdot rS=2 ⋅ un ⋅R

Aa UN-lato del rombo;
r r R- raggio del cerchio inscritto in un rombo.

Esempio

Prendiamo la condizione del problema precedente, ma conosciamo invece dell'angolo il lato del rombo pari a 5 cm.

Soluzione

A = 5 a = 5 un =5
r = 4 r = 4 r =4

S = 2 ⋅ a ⋅ r = 2 ⋅ 5 ⋅ 4 = 40 S=2\cdot a\cdot r=2\cdot5\cdot4=40S=2 ⋅ un ⋅r =2 ⋅ 5 ⋅ 4 = 4 0 (vedi mq.)

Risposta: 40 cmq.