Come risolvere un'equazione in Excel. Trovare una soluzione MS EXCEL

Il componente aggiuntivo Risolutore Excel è uno strumento analitico che ci consente di determinare rapidamente e facilmente quando e quale risultato otterremo in determinate condizioni. Le funzionalità dello strumento di ricerca di soluzioni sono molto più elevate di quanto può fornire la "selezione dei parametri" in Excel.

Le principali differenze tra trovare una soluzione e selezionare un parametro:

Selezione di diversi parametri in Excel.
Imporre condizioni per limitare le modifiche nelle celle che contengono valori variabili.
Possibilità di utilizzo nei casi in cui possono esserci molte soluzioni ad un problema.

Esempi e problemi per trovare soluzioni in Excel

Diamo un'occhiata alle capacità analitiche del componente aggiuntivo. Ad esempio, devi risparmiare $ 14.000 in 10 anni. Per 10 anni, vuoi versare $ 1.000 su un conto di deposito bancario ogni anno al 5% annuo. La figura seguente contiene una tabella in Excel, che mostra chiaramente il saldo dei fondi accumulati per ciascun anno. Come si può vedere, in tali condizioni di conto di deposito e contributi di risparmio, l'obiettivo non sarà raggiunto nemmeno dopo 10 anni. Quando risolvi questo problema, puoi procedere in due modi:

Trova una banca che offra un tasso di interesse più alto sui depositi.
Aumenta l'importo dei contributi di risparmio annuali sul tuo conto bancario.

Possiamo modificare i valori delle variabili nelle celle B1 e B2 in modo da selezionare le condizioni necessarie per accumulare la somma di denaro richiesta.

Il componente aggiuntivo "Ricerca soluzioni" ci consente di utilizzare contemporaneamente 2 di queste opzioni per simulare rapidamente le condizioni ottimali per raggiungere l'obiettivo. Per questo:

Come puoi vedere, il programma ha leggermente aumentato il tasso di interesse e l'importo dei contributi annuali.

Limitare i parametri durante la ricerca di soluzioni

Diciamo che vai in banca con questa tabella, ma la banca si rifiuta di aumentare il tuo tasso di interesse. In questi casi bisognerà scoprire quanto dovremo aumentare l’importo degli investimenti annuali. Dobbiamo impostare un vincolo di cella con un valore variabile. Ma prima di iniziare, modifica i valori nelle celle variabili con quelli originali: in B1 del 5% e in B2 di -$1000. Ora facciamo quanto segue.

In questo articolo imparerai come risolvere l'equazione quadratica inEccellere su un esempio specifico. Analizziamo in dettaglio la soluzione ad un semplice problema con le immagini.

Stato di avanzamento della decisione

Lanciamo Microsoft Office Excel. Sto usando la versione del 2007. Per prima cosa combiniamo le celle A1:A5 e scriviamo la formula quadratica nella forma ax2+bx+c=0 Successivamente, dobbiamo elevare al quadrato x, per fare ciò dobbiamo rendere il numero 2 un apice. Seleziona i due e fai clic con il pulsante destro del mouse.

Otteniamo una formula della forma ax 2 +bx+c=0

Nella cella A2 inseriamo rispettivamente il valore di testo a=, nella cella A3 b= e nella cella A4 c=. Questi valori verranno inseriti da tastiera nelle celle successive (B2,B3,B4).

Inseriamo il testo per i valori che verranno calcolati. Nella cella C2 d=, C3 x 1 = C4 x 2 =. Rendiamo la spaziatura sublineare per x simile alla spaziatura in apice in x 2

Passiamo all'inserimento delle formule per la soluzione

Il discriminante di un trinomio quadratico è b 2 -4ac

Nella cella D2, inserisci la formula appropriata per elevare un numero alla seconda potenza:

Un'equazione quadratica ha due radici se il discriminante è maggiore di zero. Nella cella C3, inserisci la formula per x 1

SE(D2>0;(-B3+ROOT(D2))/(2*B2);"Nessuna radice")

Per calcolare x2 introduciamo una formula simile, ma con un segno più

SE(D2>0;(-B3-ROOT(D2))/(2*B2);"Nessuna radice")

Di conseguenza, con i valori immessi a, b, c, viene prima calcolato il discriminante, se i suoi valori sono inferiori a zero, viene visualizzato il messaggio "Nessuna radice", altrimenti otteniamo i valori x 1 e x 2.

Proteggere un foglio in Excel

Dobbiamo proteggere il foglio su cui abbiamo effettuato i calcoli. Senza protezione, devi lasciare le celle in cui puoi inserire i valori a, b, c, ovvero le celle B2 B3 B4. Per fare ciò, seleziona questo intervallo e vai al formato cella, vai alla scheda Recensioni, Proteggi foglio e deseleziona la casella Cella protetta. Fare clic su OK per confermare le modifiche apportate.

Questo intervallo di celle non verrà protetto quando il foglio di lavoro è protetto. Proteggiamo il foglio; per farlo andiamo nella scheda Revisione e selezioniamo Protezione del foglio. Inseriamo la password 1234. Fare clic su OK.

Ora possiamo modificare i valori delle celle B2,B3,B4. Quando proviamo a modificare altre celle, riceveremo il seguente messaggio: “La cella o il grafico è protetto dalle modifiche. E anche consigli su come rimuovere la protezione.

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Excel dispone di un'ampia gamma di strumenti per risolvere diversi tipi di equazioni utilizzando metodi diversi.

Diamo un'occhiata ad alcune soluzioni utilizzando esempi.

Risolvere equazioni selezionando i parametri di Excel

Lo strumento Selezione parametri viene utilizzato in una situazione in cui il risultato è noto, ma gli argomenti sono sconosciuti. Excel regola i valori finché il calcolo non fornisce il totale desiderato.

Percorso del comando: "Dati" - "Lavorare con i dati" - "Analisi what-if" - "Selezione parametri".

Diamo un'occhiata all'esempio di risoluzione dell'equazione quadratica x 2 + 3x + 2 = 0. La procedura per trovare la radice utilizzando Excel:

Il programma utilizza un processo ciclico per selezionare un parametro. Per modificare il numero di iterazioni ed errori, è necessario accedere alle opzioni di Excel. Nella scheda “Formule” impostare il numero massimo di iterazioni e relativo errore. Seleziona la casella di controllo "abilita calcoli iterativi".

Come risolvere un sistema di equazioni utilizzando il metodo della matrice in Excel

Il sistema di equazioni è dato:

Si ottengono le radici delle equazioni.

Risolvere un sistema di equazioni utilizzando il metodo Cramer in Excel

Prendiamo il sistema di equazioni dell'esempio precedente:

Per risolverli utilizzando il metodo di Cramer, calcoliamo i determinanti delle matrici ottenute sostituendo una colonna della matrice A con la matrice-colonna B.

Per calcolare i determinanti, utilizziamo la funzione MOPRED. L'argomento è un intervallo con la matrice corrispondente.

Calcoliamo anche il determinante della matrice A (array - intervallo della matrice A).

Il determinante del sistema è maggiore di 0 – la soluzione può essere trovata utilizzando la formula di Cramer (D x / |A|).

Per calcolare X 1: =U2/$U$1, dove U2 – D1. Per calcolare X 2: =U3/$U$1. Eccetera. Prendiamo le radici delle equazioni:

Risoluzione di sistemi di equazioni utilizzando il metodo gaussiano in Excel

Ad esempio, prendiamo il sistema di equazioni più semplice:

3a + 2b – 5c = -1
2a – b – 3c = 13
a + 2b – c = 9

Scriviamo i coefficienti nella matrice A. Termini liberi - nella matrice B.

Per chiarezza, evidenziamo i termini gratuiti compilando. Se la prima cella della matrice A contiene 0, è necessario invertire le righe in modo che qui appaia un valore diverso da 0.

Esempi di risoluzione di equazioni utilizzando il metodo di iterazione in Excel

I calcoli nella cartella di lavoro devono essere impostati come segue:

Questo viene fatto nella scheda "Formule" in "Opzioni Excel". Troviamo la radice dell'equazione x – x 3 + 1 = 0 (a = 1, b = 2) mediante iterazione utilizzando riferimenti ciclici. Formula:

Х n+1 = X n – F (X n) / M, n = 0, 1, 2, … .

M – valore massimo della derivata modulo. Per trovare M, eseguiamo i seguenti calcoli:

f’ (1) = -2 * f’ (2) = -11.

Il valore risultante è inferiore a 0. Pertanto la funzione avrà il segno opposto: f (x) = -x + x 3 – 1. M = 11.

Nella cella A3 inseriamo il valore: a = 1. Precisione – tre cifre decimali. Per calcolare il valore corrente di x nella cella adiacente (B3), immettere la formula: =SE(B3=0;A3;B3-(-B3+POTENZA(B3;3)-1/11)).

Nella cella C3 controlliamo il valore di f (x): utilizzando la formula =B3-POTENZA(B3,3)+1.

La radice dell'equazione è 1.179. Inseriamo il valore 2 nella cella A3. Otteniamo lo stesso risultato:

C'è solo una radice su un dato intervallo.

Esistono molti problemi che possono essere notevolmente più semplici da risolvere utilizzando lo strumento Solution Finder. Ma per fare questo è necessario iniziare organizzando il foglio di lavoro secondo un modello adatto alla ricerca di soluzioni, che presuppone una buona comprensione delle relazioni tra variabili e formule. Sebbene la formulazione del problema presenti solitamente la difficoltà principale, il tempo e gli sforzi spesi per la preparazione del modello sono pienamente giustificati, poiché i risultati ottenuti possono proteggere da inutili sprechi di risorse, in caso di pianificazione errata, contribuire ad aumentare i profitti attraverso una gestione finanziaria ottimale oppure identificare il miglior rapporto tra volumi di produzione, scorte e nomi di prodotti.

Dietro la tua essenza problema di ottimizzazioneè un modello matematico di un determinato processo di produzione del prodotto, distribuzione, stoccaggio, lavorazione, trasporto, acquisto o vendita, prestazione di una serie di servizi, ecc. Questo è un problema matematico comune del tipo Dato/Trova/Condizione, ma che ha molte soluzioni possibili. Pertanto, il problema di ottimizzazione è il compito di scegliere tra un insieme di possibili opzioni quella migliore e ottimale. La soluzione a tale problema si chiama piano O programma, ad esempio, dicono: un piano di produzione o un programma di ricostruzione. In altre parole, queste sono le incognite di cui abbiamo bisogno per trovare, ad esempio, la quantità di produzione che darà il massimo profitto. Il problema di ottimizzazione è la ricerca di un estremo, cioè del valore massimo o minimo di una determinata funzione, che si chiama funzione bersaglio Ad esempio, questa potrebbe essere una funzione di profitto: ricavi meno costi. Poiché tutto nel mondo è limitato (tempo, denaro, risorse naturali e umane), i problemi di ottimizzazione sono sempre determinati restrizioni, ad esempio, la quantità di metallo, lavoratori e macchine in un'impresa per la produzione di componenti. Quello che segue è un esempio di progettazione di un problema di ottimizzazione molto semplice, ma con il suo aiuto puoi facilmente comprendere l'organizzazione sulla costruzione di una tabella per l'efficacia delle soluzioni a problemi pratici di ottimizzazione.

Abbiamo un problema classico quando un'azienda produce due tipi di prodotti (prodotto A e prodotto B) ad un certo prezzo, la loro produzione richiede 4 tipi di risorse (risorsa 1, risorsa 2, risorsa 3, risorsa 4), che sono disponibili su l'azienda in una certa quantità (Inventario), ci sono anche informazioni su quanta di ciascuna risorsa è necessaria per produrre un'unità di output, rispettivamente, prodotto A e prodotto B. Dobbiamo trovare la quantità di prodotto A e prodotto B che massimizza il reddito (entrate) (vedi figura).

Successivamente, dobbiamo creare relazioni tra i vincoli, il piano e la funzione obiettivo. Per fare ciò, creiamo una colonna aggiuntiva (Usato), in cui inseriamo la formula SUMPRODOTTO(Norma; Piano). La norma è il costo di una determinata risorsa per la produzione di un'unità di produzione dei beni A e B, e il Piano è la quantità di produzione che stiamo cercando. Nelle celle Reddito, inserisci la formula SUMPRODOTTO(Prezzo; Piano). Pertanto, abbiamo compilato la colonna Utilizzato e la cella Reddito con delle formule. Poiché il piano è la variabile da cui dipendono la quantità di risorse utilizzate e il reddito, le celle con le formule dipendono direttamente dai dati che appaiono lì come risultato della ricerca di soluzioni. Da quanto sopra, possiamo trarre le seguenti conclusioni secondo cui ogni problema di ottimizzazione deve avere tre componenti:

sconosciuto(cosa cerchiamo, cioè un piano);

limitazione per incognite (area di ricerca);

funzione obiettivo(l'obiettivo per il quale stiamo cercando un estremo).

Potente strumento di analisi dei dati Eccellereè una sovrastruttura Risolutore (cerca una soluzione). Con il suo aiuto, puoi determinare a quali valori delle celle d'influenza specificate la formula nella cella di destinazione assume il valore desiderato (minimo, massimo o uguale a un valore). È possibile impostare vincoli per la procedura di ricerca della soluzione e non è necessario che vengano utilizzate le stesse celle influenzanti. Per calcolare un dato valore vengono utilizzati vari metodi di ricerca matematici. È possibile impostare una modalità in cui i valori delle variabili ottenuti vengono automaticamente inseriti nella tabella. Inoltre, i risultati del programma possono essere presentati sotto forma di relazione. Il programma Cerca soluzioni (nel Risolutore Excel originale) è un componente aggiuntivo aggiuntivo per il processore di fogli di calcolo MS Excel, progettato per risolvere determinati sistemi di equazioni e problemi di ottimizzazione lineare e non lineare, utilizzato dal 1991. La dimensione del problema che può essere risolto utilizzando la versione base di questo programma è limitata dai seguenti limiti:

numero di incognite (variabile decisionale) – 200;

numero di vincoli formali sulle incognite – 100;

il numero di condizioni limite (vincolo semplice) per le incognite è 400.

Lo sviluppatore del programma Risolutore, Frontline System, è da tempo specializzato nello sviluppo di metodi di ottimizzazione potenti e convenienti integrati nell'ambiente dei popolari processori di fogli di calcolo di vari produttori (MS Excel Solver, Adobe Quattro Pro, Lotus 1-2-3). L'elevata efficienza del loro utilizzo è spiegata dall'integrazione del programma di ottimizzazione e del documento aziendale del foglio di calcolo. Grazie alla popolarità mondiale del processore di fogli di calcolo MS Excel, il programma Risolutore integrato nel suo ambiente è lo strumento più comune per trovare soluzioni ottimali nel business moderno. Per impostazione predefinita, il componente aggiuntivo Trova soluzione è disabilitato in Excel. Per attivarlo in Excel 2007, fare clic sull'icona Pulsante Microsoft Office, fare clic Opzioni di Excel e poi seleziona una categoria Componenti aggiuntivi. Nel campo Controllo selezionare il valore Componenti aggiuntivi di Excel e premere il pulsante Andare. Nel campo Componenti aggiuntivi disponibili seleziona la casella accanto all'articolo Trovare una soluzione e premere il pulsante OK.

IN Excel2003 e seleziona il comando qui sotto Servizi/Componenti aggiuntivi , nella finestra di dialogo Componenti aggiuntivi visualizzata, seleziona la casella di controllo Trovare una soluzione e fare clic sul pulsante OK. Se viene visualizzata una finestra di dialogo che ti chiede di confermare le tue intenzioni, fai clic su Sì. (Potrebbe essere necessario un CD di installazione di Office.)

Procedura di ricerca della soluzione 1. Crea una tabella con formule che stabiliscono relazioni tra celle.

2. Selezionare la cella obiettivo che deve assumere il valore richiesto e selezionare il comando: - In Excel 2007 Analisi dei dati/Trovare una soluzione;

IN Excel2003 e sotto Strumenti > Risolutore (Strumenti > Cerca una soluzione). Il campo Imposta cella di destinazione nella finestra di dialogo del componente aggiuntivo Risolutore che si apre conterrà l'indirizzo della cella di destinazione. 3. Imposta gli interruttori Uguale a per impostare il valore della cella di destinazione su Max (valore massimo), Min (valore minimo) o Valore di (valore). In quest'ultimo caso, inserisci il valore nel campo a destra. 4. Specificare nel campo Modificando le celle quali celle il programma dovrà modificare i valori alla ricerca del risultato ottimale. 5. Creare vincoli nell'elenco Soggetto ai vincoli. A tale scopo, fare clic sul pulsante Aggiungi e definire il vincolo nella finestra di dialogo Aggiungi vincolo.

6. Clicca sul pulsante Opzioni e, nella finestra che appare, seleziona il pulsante di opzione Valori non negativi (se le variabili devono essere numeri positivi), Modello lineare (se il problema che stai risolvendo riguarda i numeri lineari Modelli)

7. Fare clic sul pulsante Risolutore per avviare il processo di ricerca della soluzione.

8. Quando viene visualizzata la finestra di dialogo Risultati del risolutore, selezionare il pulsante di opzione Mantieni soluzione di soluzione o Ripristina valori originali. 9. Fare clic su OK.

Opzioni dello strumento di soluzione Tempo massimo- serve a limitare il tempo a disposizione per la ricerca di una soluzione a un problema. In questo campo è possibile inserire un tempo in secondi fino a 32.767 (circa nove ore); Il valore predefinito di 100 va bene per le attività più semplici.

Limita il numero di iterazioni- controlla il tempo necessario per risolvere un problema limitando il numero di cicli computazionali (iterazioni). Errore relativo- determina l'accuratezza dei calcoli. Minore è il valore di questo parametro, maggiore è la precisione dei calcoli. Tolleranza- ha lo scopo di impostare la tolleranza per la deviazione dalla soluzione ottimale se l'insieme di valori della cella influenzante è limitato da un insieme di numeri interi. Maggiore è il valore di tolleranza, minore è il tempo necessario per trovare una soluzione. Convergenza- si applica solo a problemi non lineari. Quando la variazione relativa del valore nella cella obiettivo nelle ultime cinque iterazioni diventa inferiore al numero specificato nel campo Convergenza, la ricerca si interrompe. Modello lineare- serve ad accelerare la ricerca di una soluzione applicando un modello lineare al problema di ottimizzazione. I modelli non lineari implicano l'uso di funzioni non lineari, un fattore di crescita e un livellamento esponenziale, che rallenta i calcoli. Valori non negativi- consente di impostare un limite inferiore pari a zero per quelle celle che influenzano per le quali il limite corrispondente non è stato impostato nella finestra di dialogo Aggiungi vincolo. Ridimensionamento automatico- utilizzato quando i numeri nelle celle da modificare e nella cella di destinazione sono significativamente diversi. Mostra i risultati dell'iterazione- mette in pausa la ricerca di una soluzione per visualizzare i risultati delle singole iterazioni. Scarica il modello- Dopo aver fatto clic su questo pulsante, si apre una finestra di dialogo con lo stesso nome, in cui è possibile inserire un collegamento all'intervallo di celle contenente il modello di ottimizzazione. Salva modello- serve per visualizzare sullo schermo una finestra di dialogo con lo stesso nome, in cui è possibile inserire un collegamento all'intervallo di celle destinate alla memorizzazione del modello di ottimizzazione. Valutazione lineare- seleziona questo interruttore per lavorare con un modello lineare. Stima quadratica- seleziona questo interruttore per lavorare con un modello non lineare. Differenze dirette- utilizzato nella maggior parte dei problemi in cui il tasso di variazione dei vincoli è relativamente basso. Aumenta la velocità dello strumento di ricerca della soluzione. Differenze centrali- utilizzato per funzioni che hanno una derivata discontinua. Questo metodo richiede più calcoli, ma il suo utilizzo può essere giustificato se viene emesso un messaggio che non è possibile ottenere una soluzione più accurata. Metodo di ricerca di Newton - richiede più memoria, ma esegue meno iterazioni rispetto al metodo del gradiente coniugato. Metodo per trovare i gradienti coniugati- implementa il metodo del gradiente coniugato, che richiede meno memoria ma esegue più iterazioni rispetto al metodo di Newton. Questo metodo dovrebbe essere utilizzato se il problema è abbastanza grande da risparmiare memoria o se le iterazioni producono una differenza troppo piccola nelle approssimazioni successive.

Risoluzione di equazioni e sistemi non lineari"

Obiettivo del lavoro: Studio delle capacità del pacchetto Ms Excel 2007 nella risoluzione di equazioni e sistemi non lineari. Acquisizione di competenze nella risoluzione di equazioni e sistemi non lineari utilizzando il pacchetto.

Esercizio 1. Trova le radici del polinomio x 3 - 0,01x 2 - 0,7044x + 0,139104 = 0.

Per prima cosa, risolviamo graficamente l'equazione. È noto che la soluzione grafica dell'equazione f(x)=0 è il punto di intersezione del grafico della funzione f(x) con l'asse delle ascisse, cioè il valore di x al quale la funzione svanisce.

Tabuliamo il nostro polinomio sull'intervallo da -1 a 1 con un passo di 0,2. I risultati del calcolo sono mostrati in Fig., dove la formula è stata inserita nella cella B2: = A2^3 - 0,01*A2^2 - 0,7044*A2 + 0,139104. Dal grafico si vede che la funzione interseca tre volte l'asse Ox, e poiché un polinomio di terzo grado non ha più di tre radici reali, è stata trovata una soluzione grafica al problema. In altre parole, le radici erano localizzate, cioè vengono determinati gli intervalli in cui si trovano le radici di questo polinomio: [-1,-0.8], e .

Ora puoi trovare le radici di un polinomio utilizzando il metodo delle approssimazioni successive utilizzando il comando Dati→Lavorare con i dati→Analisi what-if →Selezione dei parametri.

Dopo aver immesso le approssimazioni iniziali e i valori della funzione, è possibile utilizzare il comando Dati→Lavorare con i dati→Analisi what-if →Selezione dei parametri e compilare la finestra di dialogo come segue.

Nel campo Imposta su cella viene fornito un collegamento alla cella in cui viene inserita una formula che calcola il valore del lato sinistro dell'equazione (l'equazione deve essere scritta in modo che il suo lato destro non contenga variabili). Nel campo Senso immettere la parte destra dell'equazione e nel campo Modifica dei valori delle celle viene fornito un collegamento alla cella allocata per la variabile. Tieni presente che inserendo i riferimenti di cella nei campi della finestra di dialogo Selezione dei parametriÈ più conveniente non dalla tastiera, ma facendo clic sulla cella corrispondente.

Dopo aver fatto clic sul pulsante OK, verrà visualizzata la finestra di dialogo Risultato della selezione dei parametri con un messaggio relativo al completamento con successo della ricerca di una soluzione, il valore approssimativo della radice verrà inserito nella cella A14.

Troviamo le restanti due radici allo stesso modo. I risultati del calcolo verranno inseriti nelle celle A15 e A16.

Attività 2. Risolvi l'equazione e X - (2x-1) 2 = 0.

Localizziamo le radici dell'equazione non lineare.

Per fare ciò, rappresentiamolo nella forma f(x) = g(x), cioè e x = (2x - 1) 2 oppure f(x) = e x , g(x) = (2x - 1) 2 e risolvi graficamente.

La soluzione grafica dell'equazione f(x) = g(x) sarà il punto di intersezione delle linee f(x) e g(x).

Costruiamo i grafici di f(x) e g(x). Per fare ciò, inseriamo i valori degli argomenti nell'intervallo A3:A18. Nella cella B3 inseriamo una formula per calcolare i valori della funzione f(x): = EXP(A3), e in C3 per calcolare g(x): = (2*A3-1)^2.

Risultati del calcolo e grafico di f(x) e g(x):

Il grafico mostra che le linee f(x) e g(x) si intersecano due volte, cioè Questa equazione ha due soluzioni. Uno di questi è banale e può essere calcolato esattamente:

Per il secondo è possibile determinare l'intervallo di isolamento della radice: 1.5< x < 2.

Ora puoi trovare la radice dell'equazione su un segmento utilizzando il metodo delle approssimazioni successive.

Inseriamo l'approssimazione iniziale nella cella H17 = 1.5 e l'equazione stessa, con riferimento all'approssimazione iniziale, nella cella I17 = EXP(H17) - (2*H17-1)^2.

e compilare la finestra di dialogo Selezione dei parametri.

Il risultato della ricerca di una soluzione verrà visualizzato nella cella H17.

Esercizio3 . Risolvi il sistema di equazioni:

Prima di utilizzare i metodi sopra descritti per risolvere i sistemi di equazioni, troviamo una soluzione grafica a questo sistema. Si noti che entrambe le equazioni del sistema sono specificate implicitamente e per costruire grafici di funzioni corrispondenti a queste equazioni è necessario risolvere le equazioni date rispetto alla variabile y.

Per la prima equazione del sistema abbiamo:

Scopriamo l'OD della funzione risultante:

La seconda equazione di questo sistema descrive un cerchio.

Un frammento di un foglio di lavoro MS Excel con le formule che devono essere inserite nelle celle per costruire le linee descritte dalle equazioni del sistema. I punti di intersezione delle linee mostrate sono una soluzione grafica a un sistema di equazioni non lineari.

Non è difficile notare che il sistema dato ha due soluzioni. Pertanto, la procedura per la ricerca delle soluzioni del sistema deve essere eseguita due volte, avendo precedentemente determinato l'intervallo di isolamento delle radici lungo gli assi Ox e Oy. Nel nostro caso, la prima radice si trova negli intervalli (-0,5;0) x e (0,5;1) y, e la seconda - (0;0,5) x e (-0,5;-1) y. Successivamente procederemo come segue. Introduciamo i valori iniziali delle variabili xey, formule che rappresentano le equazioni del sistema e la funzione obiettivo.