Trova la derivata di una funzione complessa. Derivata di una funzione complessa

Nei “vecchi” libri di testo è chiamata anche regola della “catena”. Quindi se y = f (u) e u = φ (x), questo è

y = f (φ (x))

complesso - funzione composita (composizione di funzioni) quindi

Dove , dopo che il calcolo è considerato a u = φ (x).

Si noti che qui abbiamo preso composizioni “diverse” dalle stesse funzioni, e il risultato della differenziazione si è naturalmente rivelato dipendere dall'ordine di “miscelazione”.

La regola della catena si estende naturalmente alle composizioni di tre o più funzioni. In questo caso ci saranno tre o più “anelli” nella “catena” che costituisce il derivato. Ecco un'analogia con la moltiplicazione: “abbiamo” una tabella di derivate; “lì” - tavola pitagorica; “con noi” è la regola della catena e “là” è la regola della moltiplicazione “colonna”. Nel calcolare tali derivate “complesse”, ovviamente, non vengono introdotti argomenti ausiliari (u¸v, ecc.), ma, avendo notato personalmente il numero e la sequenza delle funzioni coinvolte nella composizione, i collegamenti corrispondenti vengono “infilati” nell'ordine indicato.

Qui, con la “x” per ottenere il valore della “y”, si eseguono cinque operazioni, cioè si ha una composizione di cinque funzioni: “esterna” (l'ultima) - esponenziale - e  ;

poi, in ordine inverso, il potere. (♦) 2 ;

peccato trigonometrico();

tranquillo. () 3 ed infine logaritmico ln.().

Ecco perché

Con i seguenti esempi “prenderemo un paio di piccioni con una fava”: ci eserciteremo a differenziare funzioni complesse e ad aggiungere alla tabella delle derivate di funzioni elementari. COSÌ:

4. Per una funzione di potenza - y = x α - riscrivendola utilizzando la nota “identità logaritmica di base” - b=e ln b - nella forma x α = x α ln x otteniamo

5. Per una funzione esponenziale arbitraria, utilizzando la stessa tecnica che avremo

6. Per una funzione logaritmica arbitraria, utilizzando la nota formula per la transizione a una nuova base, otteniamo costantemente
,

7. Per differenziare la tangente (cotangente), utilizziamo la regola di differenziazione dei quozienti:

Dopo la preparazione preliminare dell'artiglieria, gli esempi con 3-4-5 nidificazioni di funzioni faranno meno paura. I seguenti due esempi possono sembrare complicati ad alcuni, ma se li capisci (qualcuno soffrirà), quasi tutto il resto del calcolo differenziale sembrerà uno scherzo di un bambino.

Esempio 2

Trova la derivata di una funzione

Come già notato, quando si trova la derivata di una funzione complessa, prima di tutto è necessario Giusto COMPRENDI i tuoi investimenti. Nei casi in cui ci siano dubbi, ti ricordo una tecnica utile: prendiamo ad esempio il valore sperimentale di “x” e proviamo (mentalmente o in una bozza) a sostituire questo valore nell'“espressione terribile”.

1) Per prima cosa dobbiamo calcolare l'espressione, il che significa che la somma è l'incorporamento più profondo.

2) Quindi devi calcolare il logaritmo:

4) Quindi fai il cubo del coseno:

5) Al quinto passaggio la differenza:

6) E infine, la funzione più esterna è la radice quadrata:

Formula per differenziare una funzione complessa vengono applicati in ordine inverso, dalla funzione più esterna a quella più interna. Decidiamo:

Sembra senza errori:

1) Calcola la derivata della radice quadrata.

2) Calcola la derivata della differenza utilizzando la regola

3) La derivata di una tripla è zero. Nel secondo termine prendiamo la derivata del grado (cubo).

4) Prendi la derivata del coseno.

6) E infine, prendiamo la derivata dell'incorporamento più profondo.

Può sembrare troppo difficile, ma questo non è l’esempio più brutale. Prendi, ad esempio, la collezione di Kuznetsov e apprezzerai tutta la bellezza e la semplicità del derivato analizzato. Ho notato che a loro piace dare una cosa simile in un esame per verificare se uno studente capisce come trovare la derivata di una funzione complessa o non capisce.

L'esempio seguente deve essere risolto da solo.

Esempio 3

Trova la derivata di una funzione

Suggerimento: per prima cosa applichiamo le regole di linearità e la regola di differenziazione del prodotto

Soluzione completa e risposta alla fine della lezione.

È ora di passare a qualcosa di più piccolo e più carino.
Non è raro che un esempio mostri il prodotto non di due, ma di tre funzioni. Come trovare la derivata del prodotto di tre fattori?

Esempio 4

Trova la derivata di una funzione

Per prima cosa guardiamo, è possibile trasformare il prodotto di tre funzioni nel prodotto di due funzioni? Ad esempio, se nel prodotto avessimo due polinomi, potremmo aprire le parentesi. Ma nell'esempio in esame tutte le funzioni sono diverse: grado, esponente e logaritmo.

In questi casi è necessario in sequenza applicare la regola della differenziazione del prodotto due volte

Il trucco è che con “y” indichiamo il prodotto di due funzioni: , e con “ve” indichiamo il logaritmo: . Perché è possibile farlo? È davvero? - questo non è il prodotto di due fattori e la regola non funziona?! Non c'è niente di complicato:

Ora resta da applicare la norma una seconda volta tra parentesi:

Puoi anche distorcerti e mettere qualcosa tra parentesi, ma in questo caso è meglio lasciare la risposta esattamente in questo modulo: sarà più facile da controllare.

L’esempio considerato può essere risolto nel secondo modo:

Entrambe le soluzioni sono assolutamente equivalenti.

Esempio 5

Trova la derivata di una funzione

Questo è un esempio di soluzione indipendente; nell'esempio viene risolta utilizzando il primo metodo.

Diamo un'occhiata ad esempi simili con le frazioni.

Esempio 6

Trova la derivata di una funzione

Puoi andare qui in diversi modi:

O così:

Ma la soluzione sarà scritta in modo più compatto se utilizziamo prima la regola di differenziazione del quoziente , prendendo per l'intero numeratore:

In linea di principio l'esempio è risolto e, se lasciato così com'è, non sarà un errore. Ma se si ha tempo, è sempre consigliabile verificare una bozza per vedere se la risposta può essere semplificata?

Riduciamo l'espressione del numeratore a un denominatore comune e liberiamoci della struttura a tre piani della frazione:

Lo svantaggio di ulteriori semplificazioni è che c'è il rischio di commettere un errore non quando si trova la derivata, ma durante banali trasformazioni scolastiche. D'altra parte, gli insegnanti spesso rifiutano il compito e chiedono di “ricordargli” il derivato.

Un esempio più semplice da risolvere da solo:

Esempio 7

Trova la derivata di una funzione

Continuiamo a padroneggiare i metodi per trovare la derivata e ora considereremo un caso tipico in cui viene proposto un logaritmo “terribile” per la differenziazione

In questa lezione impareremo come trovare derivata di una funzione complessa. La lezione è una continuazione logica della lezione Come trovare la derivata?, in cui abbiamo esaminato i derivati più semplici e abbiamo anche conosciuto le regole di differenziazione e alcune tecniche tecniche per trovare i derivati. Pertanto, se non sei molto bravo con le derivate di funzioni o alcuni punti di questo articolo non ti sono del tutto chiari, leggi prima la lezione precedente. Per favore, mettetevi di umore serio: il materiale non è semplice, ma cercherò comunque di presentarlo in modo semplice e chiaro.

In pratica bisogna avere a che fare con la derivata di una funzione complessa molto spesso, direi addirittura quasi sempre, quando ti vengono affidati dei compiti per trovare le derivate.

Osserviamo la tabella sulla regola (n. 5) per differenziare una funzione complessa:

Scopriamolo. Prima di tutto prestiamo attenzione all'inserimento. Qui abbiamo due funzioni – e , e la funzione, in senso figurato, è annidata all'interno della funzione . Una funzione di questo tipo (quando una funzione è annidata all'interno di un'altra) è chiamata funzione complessa.

Chiamerò la funzione funzione esterna e la funzione – funzione interna (o annidata)..

! Queste definizioni non sono teoriche e non dovrebbero apparire nella progettazione finale degli incarichi. Utilizzo le espressioni informali “funzione esterna”, funzione “interna” solo per facilitare la comprensione del materiale.

Per chiarire la situazione, considerare:

Esempio 1

Trova la derivata di una funzione

Sotto il seno non abbiamo solo la lettera “X”, ma un'intera espressione, quindi trovare la derivata direttamente dalla tabella non funzionerà. Notiamo anche che qui è impossibile applicare le prime quattro regole, sembra che ci sia una differenza, ma il fatto è che il seno non può essere “fatto a pezzi”:

In questo esempio, è già intuitivamente chiaro dalle mie spiegazioni che una funzione è una funzione complessa e che il polinomio è una funzione interna (incorporamento) e una funzione esterna.

Primo passo quello che devi fare per trovare la derivata di una funzione complessa è capire quale funzione è interna e quale è esterna.

Nel caso di esempi semplici, sembra chiaro che sotto il seno si trova un polinomio. Ma cosa succede se tutto non è ovvio? Come determinare con precisione quale funzione è esterna e quale è interna? Per fare ciò, suggerisco di utilizzare la seguente tecnica, che può essere eseguita mentalmente o in bozza.

Immaginiamo di dover utilizzare una calcolatrice per calcolare il valore dell'espressione at (invece di uno può esserci un numero qualsiasi).

Cosa calcoleremo per primo? Prima di tutto dovrai eseguire la seguente azione: , quindi il polinomio sarà una funzione interna:

In secondo luogo dovrà essere trovato, quindi seno – sarà una funzione esterna:

Dopo noi ESAURITO Con le funzioni interne ed esterne, è tempo di applicare la regola della differenziazione delle funzioni complesse.

Iniziamo a decidere. Dalla classe Come trovare la derivata? ricordiamo che il progetto di una soluzione a qualsiasi derivata inizia sempre così: racchiudiamo l'espressione tra parentesi e inseriamo un tratto in alto a destra:

All'inizio troviamo la derivata della funzione esterna (seno), guardiamo la tabella delle derivate delle funzioni elementari e notiamo che . Tutte le formule della tabella sono applicabili anche se "x" viene sostituito con un'espressione complessa, in questo caso:

Si prega di notare che la funzione interna non è cambiato, non lo tocchiamo.

Beh, è abbastanza ovvio

Il risultato finale dell'applicazione della formula è simile al seguente:

Il fattore costante è solitamente posto all'inizio dell'espressione:

In caso di malintesi, scrivere la soluzione su carta e leggere nuovamente le spiegazioni.

Esempio 2

Trova la derivata di una funzione

Esempio 3

Trova la derivata di una funzione

Come sempre scriviamo:

Scopriamo dove abbiamo una funzione esterna e dove ne abbiamo una interna. Per fare ciò, proviamo (mentalmente o in una bozza) a calcolare il valore dell'espressione a . Cosa dovresti fare prima? Innanzitutto bisogna calcolare a cosa equivale la base: quindi il polinomio è la funzione interna:

E solo allora viene eseguito l'elevamento a potenza, quindi la funzione di potenza è una funzione esterna:

Secondo la formula, devi prima trovare la derivata della funzione esterna, in questo caso il grado. Cerchiamo nella tabella la formula richiesta: . Ripetiamo ancora: qualsiasi formula tabulare è valida non solo per “X”, ma anche per un'espressione complessa. Pertanto, il risultato dell'applicazione della regola per differenziare una funzione complessa è il seguente:

Sottolineo ancora una volta che quando prendiamo la derivata della funzione esterna, la nostra funzione interna non cambia:

Ora non resta che trovare una derivata molto semplice della funzione interna e modificare leggermente il risultato:

Esempio 4

Trova la derivata di una funzione

Questo è un esempio che puoi risolvere da solo (risposta alla fine della lezione).

Per consolidare la tua comprensione della derivata di una funzione complessa, darò un esempio senza commenti, proverò a capirlo da solo, ragionando su dove si trova la funzione esterna e dove è interna, perché i compiti vengono risolti in questo modo?

Esempio 5

a) Trovare la derivata della funzione

b) Trovare la derivata della funzione

Esempio 6

Trova la derivata di una funzione

Qui abbiamo una radice e per differenziare la radice bisogna rappresentarla come una potenza. Pertanto, per prima cosa portiamo la funzione nella forma appropriata per la differenziazione:

Analizzando la funzione, arriviamo alla conclusione che la somma dei tre termini è una funzione interna, mentre l'elevazione a potenza è una funzione esterna. Applichiamo la regola di differenziazione delle funzioni complesse:

Rappresentiamo nuovamente il grado come radicale (radice) e per la derivata della funzione interna applichiamo una semplice regola per differenziare la somma:

Pronto. Puoi anche ridurre l'espressione a un denominatore comune tra parentesi e scrivere tutto come una frazione. È bello, ovviamente, ma quando ottieni derivate lunghe ingombranti, è meglio non farlo (è facile confondersi, commettere un errore non necessario e sarà scomodo per l'insegnante controllare).

Esempio 7

Trova la derivata di una funzione

Questo è un esempio che puoi risolvere da solo (risposta alla fine della lezione).

È interessante notare che a volte invece della regola per differenziare una funzione complessa, si può usare la regola per differenziare un quoziente , ma una soluzione del genere sembrerà una divertente perversione. Ecco un tipico esempio:

Esempio 8

Trova la derivata di una funzione

Qui puoi usare la regola di differenziazione del quoziente , ma è molto più vantaggioso trovare la derivata attraverso la regola di derivazione di una funzione complessa:

Prepariamo la funzione per la differenziazione: spostiamo il meno fuori dal segno della derivata e innalziamo il coseno al numeratore:

Il coseno è una funzione interna, l'elevamento a potenza è una funzione esterna.
Usiamo la nostra regola:

Troviamo la derivata della funzione interna e ripristiniamo il coseno:

Pronto. Nell'esempio considerato è importante non confondersi nei segni. A proposito, prova a risolverlo usando la regola , le risposte devono corrispondere.

Esempio 9

Trova la derivata di una funzione

Questo è un esempio che puoi risolvere da solo (risposta alla fine della lezione).

Finora abbiamo esaminato i casi in cui avevamo un solo annidamento in una funzione complessa. Nelle attività pratiche, puoi spesso trovare derivati, dove, come le bambole che nidificano, una dentro l'altra, vengono annidate 3 o anche 4-5 funzioni contemporaneamente.

Esempio 10

Trova la derivata di una funzione

Comprendiamo gli allegati di questa funzione. Proviamo a calcolare l'espressione utilizzando il valore sperimentale. Come potremmo contare su una calcolatrice?

Per prima cosa devi trovare , il che significa che l'arcoseno è l'incorporamento più profondo:

Questo arcoseno di uno dovrebbe quindi essere quadrato:

E infine eleviamo sette a potenza:

Cioè, in questo esempio abbiamo tre funzioni diverse e due incorporamenti, mentre la funzione più interna è l'arcoseno e la funzione più esterna è la funzione esponenziale.

Iniziamo a decidere

Secondo la regola, devi prima prendere la derivata della funzione esterna. Guardiamo la tabella delle derivate e troviamo la derivata della funzione esponenziale: L'unica differenza è che al posto di “x” abbiamo un'espressione complessa, che non nega la validità di questa formula. Pertanto, il risultato dell'applicazione della regola per differenziare una funzione complessa è il seguente:

Sotto il tratto abbiamo di nuovo una funzione complessa! Ma è già più semplice. È facile verificare che la funzione interna è l'arcoseno, quella esterna è il grado. Secondo la regola per differenziare una funzione complessa, devi prima calcolare la derivata della potenza.

Molto facile da ricordare.

Ebbene, non andiamo lontano, consideriamo subito la funzione inversa. Quale funzione è l'inverso della funzione esponenziale? Logaritmo:

Nel nostro caso, la base è il numero:

Un logaritmo di questo tipo (cioè un logaritmo con base) si chiama “naturale” e per questo usiamo una notazione speciale: scriviamo invece.

A cosa è uguale? Ovviamente.

Anche la derivata del logaritmo naturale è molto semplice:

Esempi:

Trova la derivata della funzione.
Qual è la derivata della funzione?

Risposte: Il logaritmo esponenziale e naturale sono funzioni unicamente semplici dal punto di vista derivato. Le funzioni esponenziali e logaritmiche con qualsiasi altra base avranno una derivata diversa, che analizzeremo più avanti, dopo aver esaminato le regole di differenziazione.

Regole di differenziazione

Regole di cosa? Ancora un nuovo mandato, ancora?!...

Differenziazioneè il processo per trovare la derivata.

Questo è tutto. Cos'altro puoi chiamare questo processo in una parola? Non derivato... I matematici chiamano il differenziale lo stesso incremento di una funzione a. Questo termine deriva dal latino differentia – differenza. Qui.

Nel derivare tutte queste regole, utilizzeremo due funzioni, ad esempio, e. Avremo anche bisogno di formule per i loro incrementi:

Ci sono 5 regole in totale.

La costante viene tolta dal segno della derivata.

Se - un numero costante (costante), allora.

Ovviamente questa regola vale anche per la differenza: .

Dimostriamolo. Lascia che sia, o più semplice.

Esempi.

Trova le derivate delle funzioni:

ad un certo punto;
ad un certo punto;
ad un certo punto;
al punto.

Soluzioni:

(la derivata è la stessa in tutti i punti, poiché è una funzione lineare, ricordate?);

Derivato del prodotto

Qui è tutto simile: introduciamo una nuova funzione e troviamo il suo incremento:

Derivato:

Esempi:

Trova le derivate delle funzioni e;
Trova la derivata della funzione in un punto.

Soluzioni:

Derivata di una funzione esponenziale

Ora le tue conoscenze sono sufficienti per imparare a trovare la derivata di qualsiasi funzione esponenziale, e non solo degli esponenti (hai già dimenticato di cosa si tratta?).

Allora, dov'è qualche numero?

Conosciamo già la derivata della funzione, quindi proviamo a ridurre la nostra funzione ad una nuova base:

Per fare ciò utilizzeremo una semplice regola: . Poi:

Bene, ha funzionato. Ora prova a trovare la derivata e non dimenticare che questa funzione è complessa.

Ha funzionato?

Ecco, controlla tu stesso:

La formula si è rivelata molto simile alla derivata di un esponente: così com'era, rimane la stessa, è apparso solo un fattore, che è solo un numero, ma non una variabile.

Esempi:
Trova le derivate delle funzioni:

Risposte:

Questo è solo un numero che non può essere calcolato senza una calcolatrice, cioè non può essere scritto in una forma più semplice. Pertanto, lo lasciamo in questa forma nella risposta.

Nota che qui è il quoziente di due funzioni, quindi applichiamo la regola di differenziazione corrispondente:

In questo esempio, il prodotto di due funzioni:

Derivata di una funzione logaritmica

Qui è simile: conosci già la derivata del logaritmo naturale:

Pertanto, per trovare un logaritmo arbitrario con una base diversa, ad esempio:

Dobbiamo ridurre questo logaritmo alla base. Come si cambia la base di un logaritmo? Spero che ricordi questa formula:

Solo adesso scriveremo invece:

Il denominatore è semplicemente una costante (un numero costante, senza variabile). La derivata si ottiene molto semplicemente:

I derivati delle funzioni esponenziali e logaritmiche non si trovano quasi mai nell'Esame di Stato Unificato, ma non sarà superfluo conoscerli.

Derivata di una funzione complessa.

Cos'è una "funzione complessa"? No, questo non è un logaritmo e nemmeno un arcotangente. Queste funzioni possono essere difficili da capire (anche se trovi difficile il logaritmo, leggi l'argomento “Logaritmi” e starai bene), ma da un punto di vista matematico la parola “complesso” non significa “difficile”.

Immagina un piccolo nastro trasportatore: due persone sono sedute e eseguono alcune azioni con alcuni oggetti. Ad esempio, il primo avvolge una barretta di cioccolato in un involucro e il secondo la lega con un nastro. Il risultato è un oggetto composito: una tavoletta di cioccolato avvolta e legata con un nastro. Per mangiare una barretta di cioccolato, devi eseguire i passaggi inversi in ordine inverso.

Creiamo una procedura matematica simile: prima troveremo il coseno di un numero, quindi eleveremo il numero risultante al quadrato. Quindi, ci viene dato un numero (cioccolato), trovo il suo coseno (involucro), e poi quadra quello che ho ottenuto (legalo con un nastro). Quello che è successo? Funzione. Questo è un esempio di funzione complessa: quando, per trovarne il valore, eseguiamo la prima azione direttamente con la variabile, e poi una seconda azione con ciò che risulta dalla prima.

In altre parole, una funzione complessa è una funzione il cui argomento è un'altra funzione: .

Per il nostro esempio, .

Possiamo facilmente eseguire gli stessi passaggi in ordine inverso: prima lo eleva al quadrato e poi cerco il coseno del numero risultante: . È facile intuire che il risultato sarà quasi sempre diverso. Una caratteristica importante delle funzioni complesse: quando cambia l'ordine delle azioni, cambia la funzione.

Secondo esempio: (stessa cosa). .

Verrà richiamata l'azione eseguita per ultima funzione "esterna". e l'azione viene eseguita per prima, di conseguenza funzione "interna".(questi sono nomi informali, li uso solo per spiegare il materiale in un linguaggio semplice).

Prova a determinare da solo quale funzione è esterna e quale interna:

Risposte: La separazione delle funzioni interne ed esterne è molto simile alla modifica delle variabili: ad esempio, in una funzione

Quale azione eseguiremo per prima? Per prima cosa calcoliamo il seno e solo dopo lo cubiamo. Ciò significa che è una funzione interna, ma esterna.
E la funzione originaria è la loro composizione: .
Interno: ; esterno: .
Esame: .
Interno: ; esterno: .
Esame: .
Interno: ; esterno: .
Esame: .
Interno: ; esterno: .
Esame: .

Cambiamo le variabili e otteniamo una funzione.

Bene, ora estraiamo la nostra tavoletta di cioccolato e cerchiamo il derivato. Il procedimento è sempre inverso: prima cerchiamo la derivata della funzione esterna, poi moltiplichiamo il risultato per la derivata della funzione interna. In relazione all'esempio originale, assomiglia a questo:

Un altro esempio:

Quindi, formuliamo finalmente la regola ufficiale:

Algoritmo per trovare la derivata di una funzione complessa:

Sembra semplice, vero?

Verifichiamo con degli esempi:

Soluzioni:

1) Interno: ;

Esterno: ;

2) Interno: ;

(Per ora non provare a tagliarlo! Non esce niente da sotto il coseno, ricordi?)

3) Interno: ;

Esterno: ;

È subito chiaro che si tratta di una funzione complessa a tre livelli: in fondo questa è già di per sé una funzione complessa, e da essa estraiamo anche la radice, cioè eseguiamo la terza azione (mettere il cioccolato in un involucro e con un nastro nella valigetta). Ma non c'è motivo di aver paura: “spaccheremo” comunque questa funzione nello stesso ordine di sempre: dalla fine.

Cioè, prima differenziamo la radice, poi il coseno e solo dopo l'espressione tra parentesi. E poi moltiplichiamo il tutto.

In questi casi è conveniente numerare le azioni. Cioè, immaginiamo quello che sappiamo. In quale ordine eseguiremo le azioni per calcolare il valore di questa espressione? Diamo un'occhiata ad un esempio:

Più tardi viene eseguita l'azione, più “esterna” risulterà la funzione corrispondente. La sequenza delle azioni è la stessa di prima:

Qui la nidificazione è generalmente su 4 livelli. Determiniamo la linea d'azione.

1. Espressione radicale. .

2. Radice. .

3. Seno. .

4. Quadrato. .

5. Mettendo tutto insieme:

DERIVATO. BREVEMENTE SULLE COSE PRINCIPALI

Derivata di una funzione- il rapporto tra l'incremento della funzione e l'incremento dell'argomento per un incremento infinitesimo dell'argomento:

Derivati di base:

Regole di differenziazione:

La costante viene tolta dal segno della derivata:

Derivata della somma:

Derivata del prodotto:

Derivata del quoziente:

Derivata di una funzione complessa:

Algoritmo per trovare la derivata di una funzione complessa:

Definiamo la funzione “interna” e troviamo la sua derivata.
Definiamo la funzione “esterna” e troviamo la sua derivata.
Moltiplichiamo i risultati del primo e del secondo punto.

Se segui la definizione, la derivata di una funzione in un punto è il limite del rapporto tra l'incremento della funzione Δ sì all'argomento incremento Δ X:

Tutto sembra essere chiaro. Ma prova a usare questa formula per calcolare, ad esempio, la derivata della funzione F(X) = X 2 + (2X+3) · e X peccato X. Se fai tutto per definizione, dopo un paio di pagine di calcoli ti addormenterai semplicemente. Pertanto, ci sono modi più semplici ed efficaci.

Per cominciare, notiamo che dall'intera varietà di funzioni possiamo distinguere le cosiddette funzioni elementari. Si tratta di espressioni relativamente semplici, le cui derivate sono state a lungo calcolate e tabulate. Tali funzioni sono abbastanza facili da ricordare, insieme ai loro derivati.

Derivate di funzioni elementari

Le funzioni elementari sono tutte quelle elencate di seguito. Le derivate di queste funzioni devono essere conosciute a memoria. Inoltre, non è affatto difficile memorizzarli, ecco perché sono elementari.

Quindi, derivate di funzioni elementari:

Nome	Funzione	Derivato
Costante	F(X) = C, C ∈ R	0 (sì, zero!)
Potenza con esponente razionale	F(X) = X N	N · X N − 1
Seno	F(X) = peccato X	cos X
Coseno	F(X) = cos X	− peccato X(meno seno)
Tangente	F(X) = tg X	1/cos2 X
Cotangente	F(X) = ctg X	− 1/peccato 2 X
Logaritmo naturale	F(X) = logaritmo X	1/X
Logaritmo arbitrario	F(X) = logaritmo UN X	1/(X ln UN)
Funzione esponenziale	F(X) = e X	e X(non è cambiato nulla)

Se una funzione elementare viene moltiplicata per una costante arbitraria, si calcola facilmente anche la derivata della nuova funzione:

(C · F)’ = C · F ’.

In generale, le costanti possono essere tolte dal segno della derivata. Per esempio:

(2X 3)’ = 2 · ( X 3)’ = 2 3 X 2 = 6X 2 .

Ovviamente le funzioni elementari possono essere sommate tra loro, moltiplicate, divise e molto altro ancora. Appariranno così nuove funzionalità, non più particolarmente elementari, ma anche differenziate secondo determinate regole. Queste regole sono discusse di seguito.

Derivata della somma e della differenza

Si diano le funzioni F(X) E G(X), i cui derivati ci sono noti. Ad esempio, puoi prendere le funzioni elementari discusse sopra. Quindi puoi trovare la derivata della somma e della differenza di queste funzioni:

(F + G)’ = F ’ + G ’
(F − G)’ = F ’ − G ’

Quindi, la derivata della somma (differenza) di due funzioni è uguale alla somma (differenza) delle derivate. Potrebbero esserci più termini. Per esempio, ( F + G + H)’ = F ’ + G ’ + H ’.

A rigor di termini, in algebra non esiste il concetto di “sottrazione”. Esiste il concetto di “elemento negativo”. Quindi la differenza F − G può essere riscritto come una somma F+ (-1) G, e quindi rimane solo una formula: la derivata della somma.

F(X) = X 2 + peccato x; G(X) = X 4 + 2X 2 − 3.

Funzione F(X) è la somma di due funzioni elementari, quindi:

F ’(X) = (X 2 + peccato X)’ = (X 2)’ + (peccato X)’ = 2X+ cosx;

Ragioniamo allo stesso modo per la funzione G(X). Solo che ci sono già tre termini (dal punto di vista dell'algebra):

G ’(X) = (X 4 + 2X 2 − 3)’ = (X 4 + 2X 2 + (−3))’ = (X 4)’ + (2X 2)’ + (−3)’ = 4X 3 + 4X + 0 = 4X · ( X 2 + 1).

Risposta:
F ’(X) = 2X+ cosx;
G ’(X) = 4X · ( X 2 + 1).

Derivato del prodotto

La matematica è una scienza logica, quindi molte persone credono che se la derivata di una somma è uguale alla somma delle derivate, allora la derivata del prodotto sciopero">uguale al prodotto delle derivate. Ma vaffanculo! La derivata di un prodotto si calcola utilizzando una formula completamente diversa. Vale a dire:

(F · G) ’ = F ’ · G + F · G ’

La formula è semplice, ma spesso viene dimenticata. E non solo gli scolari, ma anche gli studenti. Il risultato sono problemi risolti in modo errato.

Compito. Trova le derivate delle funzioni: F(X) = X 3cosx; G(X) = (X 2 + 7X−7) · e X .

Funzione F(X) è il prodotto di due funzioni elementari, quindi tutto è semplice:

F ’(X) = (X 3 cos X)’ = (X 3)’ cos X + X 3 (cos X)’ = 3X 2 cos X + X 3 (−peccato X) = X 2 (3cos X − X peccato X)

Funzione G(X) il primo moltiplicatore è un po' più complicato, ma lo schema generale non cambia. Ovviamente, il primo fattore della funzione G(X) è un polinomio e la sua derivata è la derivata della somma. Abbiamo:

G ’(X) = ((X 2 + 7X−7) · e X)’ = (X 2 + 7X− 7)’ · e X + (X 2 + 7X−7) ( e X)’ = (2X+7) · e X + (X 2 + 7X−7) · e X = e X· (2 X + 7 + X 2 + 7X −7) = (X 2 + 9X) · e X = X(X+9) · e X .

Risposta:
F ’(X) = X 2 (3cos X − X peccato X);
G ’(X) = X(X+9) · e X .

Si noti che nell'ultimo passaggio la derivata viene fattorizzata. Formalmente non è necessario farlo, ma la maggior parte dei derivati non vengono calcolati da soli, ma per esaminare la funzione. Ciò significa che inoltre la derivata sarà equiparata a zero, i suoi segni verranno determinati e così via. In tal caso, è meglio fattorizzare l'espressione.

Se ci sono due funzioni F(X) E G(X), E G(X) ≠ 0 sull'insieme che ci interessa, possiamo definire una nuova funzione H(X) = F(X)/G(X). Per tale funzione puoi anche trovare la derivata:

Non debole, eh? Da dove viene il meno? Perché G 2? E così! Questa è una delle formule più complesse: non puoi capirla senza una bottiglia. Pertanto, è meglio studiarlo con esempi specifici.

Compito. Trova le derivate delle funzioni:

Il numeratore e il denominatore di ciascuna frazione contengono funzioni elementari, quindi tutto ciò di cui abbiamo bisogno è la formula per la derivata del quoziente:

Secondo la tradizione, fattorizziamo il numeratore: questo semplificherà notevolmente la risposta:

Una funzione complessa non è necessariamente una formula lunga mezzo chilometro. Ad esempio, è sufficiente prendere la funzione F(X) = peccato X e sostituire la variabile X, diciamo, su X 2 + ln X. Funzionerà F(X) = peccato ( X 2 + ln X) - questa è una funzione complessa. Ha anche un derivato, ma non sarà possibile trovarlo utilizzando le regole discusse sopra.

Cosa dovrei fare? In questi casi, sostituire una variabile e una formula per la derivata di una funzione complessa aiuta:

F ’(X) = F ’(T) · T', Se Xè sostituito da T(X).

Di norma, la situazione con la comprensione di questa formula è ancora più triste che con la derivata del quoziente. Meglio quindi spiegarlo anche con esempi specifici, descrivendo dettagliatamente ogni passaggio.

Compito. Trova le derivate delle funzioni: F(X) = e 2X + 3 ; G(X) = peccato ( X 2 + ln X)

Tieni presente che se nella funzione F(X) invece dell'espressione 2 X+ 3 sarà facile X, allora otteniamo una funzione elementare F(X) = e X. Pertanto, effettuiamo una sostituzione: sia 2 X + 3 = T, F(X) = F(T) = e T. Cerchiamo la derivata di una funzione complessa utilizzando la formula:

F ’(X) = F ’(T) · T ’ = (e T)’ · T ’ = e T · T ’

E ora - attenzione! Eseguiamo la sostituzione inversa: T = 2X+ 3. Otteniamo:

F ’(X) = e T · T ’ = e 2X+3 (2 X + 3)’ = e 2X+ 3 2 = 2 e 2X + 3

Ora diamo un'occhiata alla funzione G(X). Ovviamente è da sostituire X 2 + ln X = T. Abbiamo:

G ’(X) = G ’(T) · T' = (peccato T)’ · T' = cos T · T ’

Sostituzione inversa: T = X 2 + ln X. Poi:

G ’(X) = cos ( X 2 + ln X) · ( X 2 + ln X)’ = cos ( X 2 + ln X) · (2 X + 1/X).

Questo è tutto! Come si può vedere dall'ultima espressione, l'intero problema è stato ridotto al calcolo della somma delle derivate.

Risposta:
F ’(X) = 2 · e 2X + 3 ;
G ’(X) = (2X + 1/X) cos ( X 2 + ln X).

Molto spesso nelle mie lezioni, invece del termine “derivato”, utilizzo la parola “primo”. Ad esempio, il tratto della somma è uguale alla somma dei tratti. E' più chiaro? Bene, va bene.

Pertanto, il calcolo della derivata si riduce all'eliminazione di questi stessi tratti secondo le regole discusse sopra. Come ultimo esempio, torniamo alla potenza derivativa con esponente razionale:

(X N)’ = N · X N − 1

Poche persone lo sanno nel ruolo N potrebbe anche essere un numero frazionario. Ad esempio, la radice è X 0,5. E se sotto la radice ci fosse qualcosa di speciale? Ancora una volta, il risultato sarà una funzione complessa: a loro piace fornire tali costruzioni nei test e negli esami.