Trova il lato s della piramide. Come calcolare l'area di una piramide: base, lato e totale? La connessione tra la piramide e la sfera

Mantenere la tua privacy è importante per noi. Per questo motivo, abbiamo sviluppato un'Informativa sulla privacy che descrive come utilizziamo e archiviamo le tue informazioni. Si prega di rivedere le nostre pratiche sulla privacy e di farci sapere se avete domande.

Raccolta e utilizzo delle informazioni personali

Le informazioni personali si riferiscono ai dati che possono essere utilizzati per identificare o contattare una persona specifica.

Ti potrebbe essere chiesto di fornire le tue informazioni personali in qualsiasi momento quando ci contatti.

Di seguito sono riportati alcuni esempi dei tipi di informazioni personali che potremmo raccogliere e di come potremmo utilizzare tali informazioni.

Quali informazioni personali raccogliamo:

Quando invii una richiesta sul sito, potremmo raccogliere varie informazioni, tra cui nome, numero di telefono, indirizzo email, ecc.

Come utilizziamo le tue informazioni personali:

Le informazioni personali che raccogliamo ci consentono di contattarti con offerte uniche, promozioni e altri eventi ed eventi imminenti.
Di tanto in tanto, potremmo utilizzare le tue informazioni personali per inviare avvisi e comunicazioni importanti.
Potremmo anche utilizzare le informazioni personali per scopi interni, come condurre audit, analisi dei dati e varie ricerche al fine di migliorare i servizi che forniamo e fornirti consigli sui nostri servizi.
Se partecipi a un'estrazione a premi, a un concorso o a una promozione simile, potremmo utilizzare le informazioni fornite per amministrare tali programmi.

Divulgazione di informazioni a terzi

Non divulghiamo le informazioni ricevute da te a terzi.

Eccezioni:

Se necessario - in conformità alla legge, alla procedura giudiziaria, in procedimenti legali e/o sulla base di richieste pubbliche o richieste da parte delle autorità governative nel territorio della Federazione Russa - di divulgare i tuoi dati personali. Potremmo anche divulgare informazioni su di te se stabiliamo che tale divulgazione è necessaria o appropriata per scopi di sicurezza, applicazione della legge o altri scopi di importanza pubblica.
In caso di riorganizzazione, fusione o vendita, potremmo trasferire le informazioni personali che raccogliamo alla terza parte successore applicabile.

Protezione delle informazioni personali

Prendiamo precauzioni, comprese quelle amministrative, tecniche e fisiche, per proteggere le tue informazioni personali da perdita, furto e uso improprio, nonché da accesso non autorizzato, divulgazione, alterazione e distruzione.

Rispettare la tua privacy a livello aziendale

Per garantire che le tue informazioni personali siano sicure, comunichiamo gli standard di privacy e sicurezza ai nostri dipendenti e applichiamo rigorosamente le pratiche sulla privacy.

Tipici problemi geometrici nel piano e nello spazio tridimensionale sono i problemi di determinazione delle aree superficiali di diverse figure. In questo articolo presentiamo la formula per calcolare l'area della superficie laterale di una piramide quadrangolare regolare.

Cos'è una piramide?

Diamo una definizione geometrica rigorosa di piramide. Supponiamo di avere un poligono con n lati e n angoli. Scegliamo un punto arbitrario nello spazio che non si troverà nel piano dell'n-gono specificato e colleghiamolo a ciascun vertice del poligono. Otterremo una figura con un certo volume, chiamata piramide n-gonale. Ad esempio, mostriamo nella figura sotto come appare una piramide pentagonale.

I due elementi importanti di ogni piramide sono la base (n-gon) e il suo apice. Questi elementi sono collegati tra loro da n triangoli, che in generale non sono uguali tra loro. La perpendicolare che scende dall'alto alla base si chiama altezza della figura. Se interseca la base nel centro geometrico (coincide con il centro di massa del poligono), tale piramide viene chiamata linea retta. Se, oltre a questa condizione, la base è un poligono regolare, allora l'intera piramide si dice regolare. L'immagine qui sotto mostra come appaiono le piramidi regolari con basi triangolari, quadrangolari, pentagonali ed esagonali.

Superficie della piramide

Prima di passare alla questione della superficie laterale di una piramide quadrangolare regolare, è opportuno soffermarsi più in dettaglio sul concetto di superficie stessa.

Come accennato in precedenza e mostrato nelle figure, qualsiasi piramide è formata da un insieme di facce o lati. Un lato è la base e n lati sono i triangoli. La superficie dell'intera figura è la somma delle aree di ciascuno dei suoi lati.

Conviene studiare una superficie utilizzando l'esempio dello sviluppo di una figura. Lo sviluppo di una piramide quadrangolare regolare è mostrato nelle figure seguenti.

Vediamo che la sua superficie è pari alla somma di quattro aree di triangoli isosceli identici e l'area di un quadrato.

L'area totale di tutti i triangoli che formano i lati di una figura è solitamente chiamata area della superficie laterale. Successivamente mostreremo come calcolarlo per una piramide quadrangolare regolare.

Superficie laterale di una piramide regolare quadrangolare

Per calcolare la superficie laterale della figura indicata, torniamo nuovamente allo sviluppo di cui sopra. Supponiamo di conoscere il lato della base quadrata. Indichiamolo con il simbolo a. Si può vedere che ciascuno dei quattro triangoli identici ha una base di lunghezza a. Per calcolare la loro area totale, devi conoscere questo valore per un triangolo. Dal corso di geometria sappiamo che l'area S t di un triangolo è uguale al prodotto della base per l'altezza, che va divisa a metà. Questo è:

Dove h b è l'altezza di un triangolo isoscele disegnato con la base a. Per una piramide, questa altezza è un apotema. Resta ora da moltiplicare l'espressione risultante per 4 per ottenere l'area S b della superficie laterale della piramide in questione:

S b = 4*S t = 2*h b *a.

Questa formula contiene due parametri: l'apotema e il lato della base. Se quest'ultima è nota nella maggior parte delle condizioni problematiche, la prima deve essere calcolata conoscendo altre quantità. Ecco le formule per calcolare l'apotema h b per due casi:

quando è nota la lunghezza della nervatura laterale;
quando si conosce l'altezza della piramide.

Se indichiamo la lunghezza del bordo laterale (lato di un triangolo isoscele) con il simbolo L, allora l'apotema h b è determinato dalla formula:

h b = √(L 2 - a 2 /4).

Questa espressione è il risultato dell'applicazione del teorema di Pitagora al triangolo della superficie laterale.

Se si conosce l'altezza h della piramide, l'apotema h b può essere calcolato come segue:

h b = √(h 2 + a 2 /4).
Non è difficile ottenere questa espressione anche se consideriamo all'interno della piramide un triangolo rettangolo formato dai cateti h e a/2 e dall'ipotenusa h b.
Mostriamo come applicare queste formule risolvendo due problemi interessanti.

Problema con l'area superficiale nota

È noto che l'area della superficie laterale del quadrangolare è di 108 cm 2. È necessario calcolare la lunghezza del suo apotema h b se l'altezza della piramide è di 7 cm.
Scriviamo la formula per l'area S b della superficie laterale in termini di altezza. Abbiamo:

S b = 2*√(h 2 + a 2 /4) *a.

Qui abbiamo semplicemente sostituito la formula dell'apotema appropriata nell'espressione per S b. Facciamo il quadrato di entrambi i lati dell'equazione:

Sb2 = 4*a2 *h2 + a4.

Per trovare il valore di a, effettuiamo un cambio di variabili:

t2 + 4*h2 *t - Sb2 = 0.

Ora sostituiamo i valori noti e risolviamo l'equazione quadratica:

t2 + 196*t - 11664 = 0.

Abbiamo scritto solo la radice positiva di questa equazione. Quindi i lati della base della piramide saranno uguali a:

a = √t = √47,8355 ≈ 6,916 cm.

Per ottenere la lunghezza dell'apotema basta usare la formula:

h b = √(h 2 + a 2 /4) = √(7 2 + 6,916 2 /4) ≈ 7,808 cm.

Superficie laterale della piramide di Cheope

Determiniamo il valore del lato della piramide egizia più grande. È noto che alla sua base si trova un quadrato con il lato lungo 230,363 metri. L'altezza della struttura era originariamente di 146,5 metri. Sostituiamo questi numeri nella formula corrispondente per S b, otteniamo:

S b = 2*√(h 2 + a 2 /4) *a = 2*√(146,5 2 +230,363 2 /4)*230,363 ≈ 85860 m 2.

Il valore riscontrato è leggermente più grande dell’area di 17 campi da calcio.

Nella preparazione all'Esame di Stato Unificato di matematica, gli studenti devono sistematizzare le loro conoscenze di algebra e geometria. Vorrei combinare tutte le informazioni conosciute, ad esempio, su come calcolare l'area di una piramide. Inoltre, partendo dalla base e dai bordi laterali fino a tutta la superficie. Se la situazione con le facce laterali è chiara, poiché sono triangoli, allora la base è sempre diversa.

Come trovare l'area della base della piramide?

Può essere assolutamente qualsiasi figura: da un triangolo arbitrario a un n-gon. E questa base, oltre alla differenza nel numero degli angoli, può essere una figura regolare o irregolare. Nei compiti dell'Esame di Stato Unificato che interessano gli scolari, ci sono solo compiti con le cifre corrette alla base. Pertanto, parleremo solo di loro.

Triangolo regolare

Cioè, equilatero. Quello in cui tutti i lati sono uguali e sono contrassegnati dalla lettera “a”. In questo caso, l'area della base della piramide viene calcolata con la formula:

S = (a 2 * √3) / 4.

Piazza

La formula per calcolare la sua area è la più semplice, anche qui “a” è il lato:

N-gon regolare arbitrario

Il lato di un poligono ha la stessa notazione. Per il numero degli angoli si usa la lettera latina n.

S = (n * a 2) / (4 * tg (180º/n)).

Cosa fare quando si calcola la superficie laterale e totale?

Poiché la base è una figura regolare, tutte le facce della piramide sono uguali. Inoltre ciascuno di essi è un triangolo isoscele, poiché i bordi laterali sono uguali. Quindi, per calcolare l'area laterale della piramide, avrai bisogno di una formula composta dalla somma di monomi identici. Il numero di termini è determinato dal numero di lati della base.

L'area di un triangolo isoscele si calcola con la formula in cui la metà del prodotto della base viene moltiplicata per l'altezza. Questa altezza nella piramide è chiamata apotema. La sua designazione è "A". La formula generale per la superficie laterale è:

S = ½ P*A, dove P è il perimetro della base della piramide.

Ci sono situazioni in cui non si conoscono i lati della base, ma si danno i bordi laterali (c) e l'angolo piatto al suo apice (α). Quindi è necessario utilizzare la seguente formula per calcolare l'area laterale della piramide:

S = n/2 * in 2 sin α .

Compito n. 1

Condizione. Trova l'area totale della piramide se la sua base ha un lato di 4 cm e l'apotema ha un valore di √3 cm.

Soluzione. Devi iniziare calcolando il perimetro della base. Poiché questo è un triangolo regolare, allora P = 3*4 = 12 cm Poiché l'apotema è noto, possiamo immediatamente calcolare l'area dell'intera superficie laterale: ½*12*√3 = 6√3 cm 2.

Per il triangolo alla base, ottieni il seguente valore dell'area: (4 2 *√3) / 4 = 4√3 cm 2.

Per determinare l'intera area, dovrai sommare i due valori risultanti: 6√3 + 4√3 = 10√3 cm 2.

Risposta. 10√3 cm2.

Problema n.2

Condizione. C'è una piramide quadrangolare regolare. La lunghezza del lato base è di 7 mm, il bordo laterale è di 16 mm. È necessario scoprire la sua superficie.

Soluzione. Poiché il poliedro è quadrangolare e regolare, la sua base è quadrata. Una volta conosciuta l'area della base e delle facce laterali, sarai in grado di calcolare l'area della piramide. La formula per il quadrato è riportata sopra. E per le facce laterali si conoscono tutti i lati del triangolo. Pertanto, puoi utilizzare la formula di Erone per calcolare le loro aree.

I primi calcoli sono semplici e portano al seguente numero: 49 mm 2. Per il secondo valore dovrai calcolare il semiperimetro: (7 + 16*2): 2 = 19,5 mm. Ora puoi calcolare l'area di un triangolo isoscele: √(19,5*(19,5-7)*(19,5-16) 2) = √2985,9375 = 54,644 mm 2. Esistono solo quattro triangoli di questo tipo, quindi quando calcoli il numero finale dovrai moltiplicarlo per 4.

Risulta: 49 + 4 * 54.644 = 267.576 mm 2.

Risposta. Il valore desiderato è 267,576 mm 2.

Problema n.3

Condizione. Per una piramide quadrangolare regolare, è necessario calcolare l'area. Come sappiamo, il lato del quadrato è 6 cm e l'altezza è 4 cm.

Soluzione. Il modo più semplice è utilizzare la formula con il prodotto tra perimetro e apotema. Il primo valore è facile da trovare. La seconda è un po’ più complicata.

Dovremo ricordare il teorema di Pitagora e considerare che è formato dall'altezza della piramide e dall'apotema, che è l'ipotenusa. La seconda gamba è uguale alla metà del lato del quadrato, poiché l'altezza del poliedro cade nel suo centro.

L'apotema richiesto (ipotenusa di un triangolo rettangolo) è pari a √(3 2 + 4 2) = 5 (cm).

Ora puoi calcolare il valore richiesto: ½*(4*6)*5+6 2 = 96 (cm 2).

Risposta. 96 cm2.

Problema n.4

Condizione. Viene fornito il lato corretto. I lati della sua base sono 22 mm, i bordi laterali sono 61 mm. Qual è l'area della superficie laterale di questo poliedro?

Soluzione. Il ragionamento in esso contenuto è lo stesso descritto nell'attività n. 2. Solo che è stata data una piramide con un quadrato alla base, e ora è un esagono.

Innanzitutto, la superficie di base viene calcolata utilizzando la formula sopra: (6*22 2) / (4*tg (180º/6)) = 726/(tg30º) = 726√3 cm 2.

Ora devi trovare il semiperimetro di un triangolo isoscele, che è la faccia laterale. (22+61*2):2 = 72 cm Non resta che calcolare l'area di ciascuno di questi triangoli con la formula di Erone, quindi moltiplicarla per sei e aggiungerla a quella ottenuta per la base.

Calcoli utilizzando la formula di Erone: √(72*(72-22)*(72-61) 2)=√435600=660 cm 2. Calcoli che daranno la superficie laterale: 660 * 6 = 3960 cm 2. Resta da sommarli per scoprire l'intera superficie: 5217,47≈5217 cm 2.

Risposta. La base è 726√3 cm 2, la superficie laterale è 3960 cm 2, l'area totale è 5217 cm 2.

L'area della superficie laterale di una piramide arbitraria è uguale alla somma delle aree delle sue facce laterali. Ha senso fornire una formula speciale per esprimere quest'area nel caso di una piramide regolare. Diamo quindi una piramide regolare, alla base della quale si trova un n-gono regolare con lato uguale ad a. Sia h l'altezza della faccia laterale, detta anche apotema piramidi. L'area di una faccia laterale è pari a 1/2ah, e l'intera superficie laterale della piramide ha un'area pari a n/2ha Poiché na è il perimetro della base della piramide, possiamo scrivere la formula trovata Nella forma:

Superficie laterale di una piramide regolare è uguale al prodotto del suo apotema per metà del perimetro di base.

Riguardo superficie totale, quindi aggiungiamo semplicemente l'area della base a quella laterale.

Sfera e sfera inscritta e circoscritta. Va notato che il centro della sfera inscritta nella piramide si trova all'intersezione dei piani bisettoriali degli angoli diedri interni della piramide. Il centro della sfera descritta vicino alla piramide si trova all'intersezione dei piani passanti per i punti medi degli spigoli della piramide e perpendicolari ad essi.

Piramide tronca. Se una piramide è tagliata da un piano parallelo alla sua base, allora si chiama la parte racchiusa tra il piano di taglio e la base piramide tronca. La figura mostra una piramide; scartando la sua parte sovrastante il piano di taglio, si ottiene una piramide tronca; È chiaro che la piccola piramide scartata è omotetica alla grande piramide con il centro di omotetismo al vertice. Il coefficiente di somiglianza è uguale al rapporto tra le altezze: k=h 2 /h 1, o i bordi laterali, o altre dimensioni lineari corrispondenti di entrambe le piramidi. Sappiamo che le aree di figure simili sono legate come quadrati di dimensioni lineari; quindi le aree delle basi di entrambe le piramidi (cioè l'area delle basi della piramide tronca) sono correlate come

Qui S 1 è l'area della base inferiore e S 2 è l'area della base superiore del tronco di piramide. Le superfici laterali delle piramidi sono nella stessa relazione. Una regola simile esiste per i volumi.

Volumi di corpi simili sono legati come i cubi delle loro dimensioni lineari; ad esempio i volumi delle piramidi sono rapportati come il prodotto delle loro altezze per l'area delle basi, da cui si ricava immediatamente la nostra regola. È di carattere del tutto generale e deriva direttamente dal fatto che il volume ha sempre una dimensione pari alla terza potenza della lunghezza. Usando questa regola, ricaviamo una formula che esprime il volume di una piramide tronca attraverso l'altezza e l'area delle basi.

Sia data una piramide tronca con altezza h e aree di base S 1 e S 2. Se immaginiamo che sia estesa ad una piramide intera, allora il coefficiente di somiglianza tra la piramide intera e la piramide piccola può essere facilmente trovato come radice del rapporto S 2 /S 1 . L'altezza di una piramide tronca è espressa come h = h 1 - h 2 = h 1 (1 - k). Ora abbiamo il volume di una piramide tronca (V 1 e V 2 indicano i volumi delle piramidi piene e piccole)

formula per il volume di una piramide tronca

Deriviamo la formula per l'area S della superficie laterale di una piramide regolare tronca attraverso i perimetri P 1 e P 2 delle basi e la lunghezza dell'apotema a. Ragioniamo esattamente allo stesso modo di quando ricaviamo la formula del volume. Integriamo la piramide con la parte superiore, abbiamo P 2 = kP 1, S 2 = k 2 S 1, dove k è il coefficiente di somiglianza, P 1 e P 2 sono i perimetri delle basi, e S 1 e S 2 sono le aree delle superfici laterali dell'intera piramide risultante e di conseguenza la sua parte superiore. Per la superficie laterale troviamo (a 1 e a 2 sono apotemi delle piramidi, a = a 1 - a 2 = a 1 (1-k))

formula per la superficie laterale di una piramide regolare tronca

In questa lezione:

Problema 1. Trova la superficie totale della piramide
Problema 2. Trova la superficie laterale di una piramide triangolare regolare

Vedi anche i materiali correlati:
.

Nota . Se hai bisogno di risolvere un problema di geometria che non è qui, scrivilo nel forum. Nei problemi, invece del simbolo della "radice quadrata", viene utilizzata la funzione sqrt(), in cui sqrt è il simbolo della radice quadrata e l'espressione radicale è indicata tra parentesi. Per le espressioni radicali semplici si può usare il segno "√"..

Problema 1. Trova la superficie totale di una piramide regolare

L'altezza della base di una piramide triangolare regolare è di 3 cm e l'angolo tra la faccia laterale e la base della piramide è di 45 gradi.
Trova la superficie totale della piramide

Soluzione.

Alla base di una piramide triangolare regolare si trova un triangolo equilatero.
Pertanto, per risolvere il problema, utilizzeremo le proprietà di un triangolo regolare:

Conosciamo l'altezza del triangolo, da dove possiamo trovare la sua area.
h = √3/2a
a = h/(√3/2)
a = 3 / (√3/2)
a = 6 / √3

Da dove l'area della base sarà uguale a:
S = √3/4 un 2
S = √3/4 (6 / √3) 2
S = 3√3

Per trovare l'area della faccia laterale calcoliamo l'altezza KM. Secondo il problema, l'angolo OKM è di 45 gradi.
Così:
OK/MK = cos 45
Usiamo la tabella dei valori delle funzioni trigonometriche e sostituiamo i valori noti.

OK/MK = √2/2

Teniamo presente che OK è uguale al raggio del cerchio inscritto. Poi
OK = √3/6a
OK = √3/6 * 6/√3 = 1

Poi
OK/MK = √2/2
1/MK = √2/2
MK = 2/√2

L'area della faccia laterale è quindi pari alla metà del prodotto dell'altezza e della base del triangolo.
Slato = 1/2 (6 / √3) (2/√2) = 6/√6

Pertanto, la superficie totale della piramide sarà uguale a
S = 3√3 + 3 * 6/√6
S = 3√3 + 18/√6

Risposta: 3√3 + 18/√6

Problema 2. Trova l'area della superficie laterale di una piramide regolare

In una piramide triangolare regolare l'altezza è 10 cm e il lato di base è 16 cm . Trova l'area della superficie laterale .

Soluzione.

Poiché la base di una piramide triangolare regolare è un triangolo equilatero, AO è il raggio del cerchio circoscritto alla base.
(Questo segue da)

Troviamo il raggio di un cerchio circoscritto attorno a un triangolo equilatero dalle sue proprietà

Pertanto la lunghezza degli spigoli di una piramide triangolare regolare sarà pari a:
AM2 = MO2 + AO2
l'altezza della piramide è nota per condizione (10 cm), AO = 16√3/3
AM 2 = 100 + 256/3
AM = √(556/3)

Ogni lato della piramide è un triangolo isoscele. Troviamo l'area di un triangolo isoscele dalla prima formula presentata di seguito

S = 1/2 * 16 quadrati((√(556/3) + 8) (√(556/3) - 8))
S = 8 quadrato((556/3) - 64)
S = 8 mq(364/3)
S = 16 quadrati (91/3)

Poiché tutte e tre le facce di una piramide regolare sono uguali, la superficie laterale sarà uguale a
3S = 48 √(91/3)

Risposta: 48 √(91/3)

Problema 3. Trova la superficie totale di una piramide regolare

Il lato di una piramide triangolare regolare è di 3 cm e l'angolo tra la faccia laterale e la base della piramide è di 45 gradi. Trova la superficie totale della piramide.

Soluzione.
Poiché la piramide è regolare, alla sua base c'è un triangolo equilatero. Pertanto l'area della base è

Quindi = 9 * √3/4