Come risolvere le equazioni quadratiche. Risoluzione di equazioni quadratiche complete

", cioè equazioni di primo grado. In questa lezione vedremo quella che viene chiamata equazione quadratica e come risolverlo.

Cos'è un'equazione quadratica?

Importante!

Il grado di un'equazione è determinato dal grado più alto in cui si trova l'incognita.

Se la potenza massima in cui l'incognita è “2”, allora hai un'equazione quadratica.

Esempi di equazioni quadratiche

• 5x2 − 14x + 17 = 0
• −x2+x+

  1

  3

  = 0
• x2 + 0,25x = 0
• x2-8 = 0

Importante! La forma generale di un'equazione quadratica è simile alla seguente:

Ax2 + bx + c = 0

Ad “a”, “b” e “c” vengono assegnati numeri.

• “a” è il primo o il coefficiente più alto;
• “b” è il secondo coefficiente;
• “c” è un termine libero.

Per trovare “a”, “b” e “c” devi confrontare la tua equazione con la forma generale dell’equazione quadratica “ax 2 + bx + c = 0”.

Esercitiamoci a determinare i coefficienti "a", "b" e "c" nelle equazioni quadratiche.

5x2 − 14x + 17 = 0 −7x2 − 13x + 8 = 0 −x2+x+

L'equazione	Probabilità
un = 5 b = −14 c = 17
un = −7 b = −13 c = 8

1

3

= 0

• un = −1
• b = 1
• c =

  1

  3

x2 + 0,25x = 0

• un = 1
• b = 0,25
• c = 0

x2-8 = 0

• un = 1
• b = 0
• c = −8

Come risolvere le equazioni quadratiche

A differenza delle equazioni lineari, per risolvere le equazioni quadratiche viene utilizzato un metodo speciale. formula per trovare le radici.

Ricordare!

Per risolvere un'equazione quadratica è necessario:

• portare l'equazione quadratica alla forma generale “ax 2 + bx + c = 0”. Cioè, solo lo “0” dovrebbe rimanere sul lato destro;
• usa la formula per le radici:

Diamo un'occhiata a un esempio di come utilizzare la formula per trovare le radici di un'equazione quadratica. Risolviamo un'equazione quadratica.

X2 − 3x − 4 = 0

L'equazione “x 2 − 3x − 4 = 0” è già stata ridotta alla forma generale “ax 2 + bx + c = 0” e non necessita di ulteriori semplificazioni. Per risolverlo, dobbiamo solo applicare formula per trovare le radici di un'equazione quadratica.

Determiniamo i coefficienti “a”, “b” e “c” per questa equazione.

x1;2 =
x1;2 =
x1;2 =
x1;2 =

Può essere utilizzato per risolvere qualsiasi equazione quadratica.

Nella formula “x 1;2 = ” l'espressione radicale viene spesso sostituita
“b 2 − 4ac” per la lettera “D” ed è detto discriminante. Il concetto di discriminante è discusso più in dettaglio nella lezione "Cos'è un discriminante".

Consideriamo un altro esempio di equazione quadratica.

x2 + 9 + x = 7x

In questa forma è abbastanza difficile determinare i coefficienti “a”, “b” e “c”. Riduciamo prima l'equazione alla forma generale “ax 2 + bx + c = 0”.

X2 + 9 + x = 7x
x2 + 9 + x − 7x = 0
x2 + 9 − 6x = 0
x2 − 6x + 9 = 0

Ora puoi usare la formula per le radici.

X1;2 =
x1;2 =
x1;2 =
x1;2 =
x =

6

2

x = 3
Risposta: x = 3

Ci sono momenti in cui le equazioni quadratiche non hanno radici. Questa situazione si verifica quando la formula contiene un numero negativo sotto la radice.

Continuando l'argomento "Risoluzione delle equazioni", il materiale in questo articolo ti introdurrà alle equazioni quadratiche.

Diamo un'occhiata a tutto in dettaglio: l'essenza e la notazione di un'equazione quadratica, definiamo i termini di accompagnamento, analizziamo lo schema per risolvere equazioni incomplete e complete, familiarizziamo con la formula delle radici e il discriminante, stabiliamo connessioni tra radici e coefficienti, e ovviamente daremo una soluzione visiva ad esempi pratici.

Equazione quadratica, suoi tipi

Definizione 1

Equazione quadrataè un'equazione scritta come ax2 + bx + c = 0, Dove X– variabile, a , b e C– alcuni numeri, mentre UN non è zero.

Spesso le equazioni quadratiche sono anche chiamate equazioni di secondo grado, poiché in sostanza un'equazione quadratica è un'equazione algebrica di secondo grado.

Facciamo un esempio per illustrare la definizione data: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0, ecc. Queste sono equazioni quadratiche.

Definizione 2

Numeri a, b e C sono i coefficienti dell'equazione quadratica ax2 + bx + c = 0, mentre il coefficiente UNè chiamato il primo, o senior, o coefficiente in x 2, b - il secondo coefficiente, o coefficiente in X, UN C chiamato membro gratuito.

Ad esempio, nell'equazione quadratica 6 x 2 − 2 x − 11 = 0 il coefficiente principale è 6, il secondo coefficiente è − 2 , e il termine libero è uguale a − 11 . Prestiamo attenzione al fatto che quando i coefficienti B e/o c sono negativi, viene utilizzata una forma abbreviata della forma 6 x 2 − 2 x − 11 = 0, ma no 6 x 2 + (- 2) x + (- 11) = 0.

Chiariamo anche questo aspetto: se i coefficienti UN e/o B pari 1 O − 1 , quindi potrebbero non prendere parte esplicita alla scrittura dell'equazione quadratica, il che è spiegato dalle peculiarità della scrittura dei coefficienti numerici indicati. Ad esempio, nell'equazione quadratica y2 − y+7 = 0 il coefficiente principale è 1 e il secondo coefficiente è − 1 .

Equazioni quadratiche ridotte e non ridotte

In base al valore del primo coefficiente, le equazioni quadratiche si dividono in ridotte e non ridotte.

Definizione 3

Equazione quadratica ridottaè un'equazione quadratica in cui il coefficiente principale è 1. Per altri valori del coefficiente principale, l'equazione quadratica non è ridotta.

Facciamo degli esempi: si riducono le equazioni quadratiche x 2 − 4 · x + 3 = 0, x 2 − x − 4 5 = 0, in ciascuna delle quali il coefficiente principale è 1.

9 x 2 − x − 2 = 0- equazione quadratica non ridotta, dove il primo coefficiente è diverso da 1 .

Qualsiasi equazione quadratica non ridotta può essere convertita in un'equazione ridotta dividendo entrambi i membri per il primo coefficiente (trasformazione equivalente). L'equazione trasformata avrà le stesse radici dell'equazione non ridotta data o non avrà alcuna radice.

La considerazione di un esempio specifico ci consentirà di dimostrare chiaramente la transizione da un'equazione quadratica non ridotta a una ridotta.

Esempio 1

Data l'equazione 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 . È necessario convertire l'equazione originale nella forma ridotta.

Soluzione

Secondo lo schema sopra, dividiamo entrambi i membri dell'equazione originale per il coefficiente principale 6. Quindi otteniamo: (6 x 2 + 18 x − 7) : 3 = 0: 3, e questo è lo stesso di: (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 − 7: 3 = 0 e inoltre: (6: 6) x 2 + (18: 6) x − 7: 6 = 0. Da qui: x2 + 3x - 1 1 6 = 0 . Si ottiene così un'equazione equivalente a quella data.

Risposta: x2 + 3x - 1 1 6 = 0 .

Equazioni quadratiche complete e incomplete

Passiamo alla definizione di equazione quadratica. In esso lo abbiamo specificato un ≠ 0. Una condizione simile è necessaria per l'equazione ax2 + bx + c = 0 era esattamente quadrato, poiché at un = 0 si trasforma essenzialmente in un'equazione lineare bx+c = 0.

Nel caso in cui i coefficienti B E C sono uguali a zero (cosa possibile, sia singolarmente che congiuntamente), l'equazione quadratica si dice incompleta.

Definizione 4

Equazione quadratica incompleta- una tale equazione quadratica ax2 + bx + c = 0, dove almeno uno dei coefficienti B E C(o entrambi) è zero.

Equazione quadratica completa– un'equazione quadratica in cui tutti i coefficienti numerici non sono uguali a zero.

Parliamo del motivo per cui ai tipi di equazioni quadratiche vengono dati esattamente questi nomi.

Quando b = 0, l'equazione quadratica assume la forma ax2 + 0x + c = 0, che è lo stesso di ax2 + c = 0. A c = 0 equazione quadratica scritta come ax2 + bx + 0 = 0, che è equivalente ax2 + bx = 0. A b = 0 E c = 0 l'equazione assumerà la forma ax2 = 0. Le equazioni che abbiamo ottenuto differiscono dall'equazione quadratica completa in quanto i loro lati di sinistra non contengono né un termine con la variabile x, né un termine libero, o entrambi. In realtà, questo fatto ha dato il nome a questo tipo di equazione – incompleta.

Ad esempio, x 2 + 3 x + 4 = 0 e − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 sono equazioni quadratiche complete; x2 = 0, -5 x2 = 0; 11 · x 2 + 2 = 0 , − x 2 − 6 · x = 0 – equazioni quadratiche incomplete.

Risoluzione di equazioni quadratiche incomplete

La definizione data sopra permette di distinguere i seguenti tipi di equazioni quadratiche incomplete:

• ax2 = 0, questa equazione corrisponde ai coefficienti b = 0 ec = 0;
• a · x 2 + c = 0 in b = 0 ;
• a · x 2 + b · x = 0 in c = 0.

Consideriamo in sequenza la soluzione di ciascun tipo di equazione quadratica incompleta.

Soluzione dell'equazione a x 2 =0

Come accennato in precedenza, questa equazione corrisponde ai coefficienti B E C, uguale a zero. L'equazione ax2 = 0 può essere convertito in un'equazione equivalente x2 = 0, che otteniamo dividendo entrambi i membri dell'equazione originale per il numero UN, non uguale a zero. Il fatto ovvio è che la radice dell'equazione x2 = 0 questo è zero perché 0 2 = 0 . Questa equazione non ha altre radici, il che può essere spiegato dalle proprietà del grado: per qualsiasi numero P, diverso da zero, la disuguaglianza è vera p2 > 0, da cui segue che quando p ≠ 0 uguaglianza p2 = 0 non sarà mai raggiunto.

Definizione 5

Pertanto, per l'equazione quadratica incompleta a x 2 = 0 esiste un'unica radice x = 0.

Esempio 2

Ad esempio, risolviamo un'equazione quadratica incompleta − 3×2 = 0. È equivalente all'equazione x2 = 0, la sua unica radice è x = 0, allora l'equazione originale ha un'unica radice - zero.

In breve, la soluzione è scritta come segue:

− 3x2 = 0, x2 = 0, x = 0.

Risolvere l'equazione a x 2 + c = 0

La prossima in linea è la soluzione delle equazioni quadratiche incomplete, dove b = 0, c ≠ 0, cioè equazioni della forma ax2 + c = 0. Trasformiamo questa equazione spostando un termine da un lato all'altro dell'equazione, cambiando il segno in quello opposto e dividendo entrambi i membri dell'equazione per un numero diverso da zero:

• trasferimento C a destra, che dà l'equazione unx2 = − c;
• dividi entrambi i membri dell'equazione per UN, alla fine avremo x = - c a .

Le nostre trasformazioni sono equivalenti; di conseguenza, l'equazione risultante è equivalente anche a quella originale, e questo fatto permette di trarre conclusioni sulle radici dell'equazione. Da quali sono i valori UN E C il valore dell'espressione - c a dipende: può avere un segno meno (ad esempio if un = 1 E c = 2, quindi - c a = - 2 1 = - 2) o un segno più (ad esempio, if un = −2 E c = 6, quindi - c a = - 6 - 2 = 3); non è zero perché c ≠ 0. Soffermiamoci più in dettaglio sulle situazioni in cui - c a< 0 и - c a > 0 .

Nel caso in cui - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа P l'uguaglianza p 2 = - c a non può essere vera.

Tutto è diverso quando - c a > 0: ricorda la radice quadrata, e diventerà ovvio che la radice dell'equazione x 2 = - c a sarà il numero - c a, poiché - c a 2 = - c a. Non è difficile comprendere che il numero - - c a è anche la radice dell'equazione x 2 = - c a: infatti, - - c a 2 = - c a.

L’equazione non avrà altre radici. Possiamo dimostrarlo utilizzando il metodo della contraddizione. Per cominciare, definiamo le notazioni per le radici trovate sopra come x1 E −x1. Supponiamo che anche l'equazione x 2 = - c a abbia una radice x2, che è diverso dalle radici x1 E −x1. Lo sappiamo sostituendo nell'equazione X sue radici, trasformiamo l'equazione in una giusta uguaglianza numerica.

Per x1 E −x1 scriviamo: x 1 2 = - c a , e for x2- x 2 2 = - c un . Sulla base delle proprietà delle uguaglianze numeriche, sottraiamo un termine di uguaglianza corretto da un altro termine, il che ci darà: x12 − x22 = 0. Usiamo le proprietà delle operazioni con i numeri per riscrivere l'ultima uguaglianza come (x 1 − x 2) · (x 1 + x 2) = 0. È noto che il prodotto di due numeri è zero se e solo se almeno uno dei numeri è zero. Da quanto sopra ne consegue che x1 − x2 = 0 e/o x1 + x2 = 0, che è lo stesso x2 = x1 e/o x2 = −x1. Ne è nata un'ovvia contraddizione, perché inizialmente si è convenuto che la radice dell'equazione x2 si differenzia da x1 E −x1. Quindi, abbiamo dimostrato che l'equazione non ha radici diverse da x = - c a e x = - - c a.

Riassumiamo tutti gli argomenti di cui sopra.

Definizione 6

Equazione quadratica incompleta ax2 + c = 0è equivalente all'equazione x 2 = - c a, che:

• non avrà radici in - c a< 0 ;
• avrà due radici x = - c a e x = - - c a per - c a > 0.

Diamo esempi di risoluzione delle equazioni ax2 + c = 0.

Esempio 3

Data un'equazione quadratica 9 x 2 + 7 = 0.È necessario trovare una soluzione.

Soluzione

Spostiamo il termine libero sul lato destro dell'equazione, quindi l'equazione assumerà la forma 9×2 = −7.
Dividiamo entrambi i membri dell'equazione risultante per 9 , arriviamo a x 2 = - 7 9 . Sul lato destro vediamo un numero con un segno meno, che significa: l'equazione data non ha radici. Quindi l'equazione quadratica incompleta originale 9 x 2 + 7 = 0 non avrà radici.

Risposta: l'equazione 9 x 2 + 7 = 0 non ha radici.

Esempio 4

L'equazione deve essere risolta −x2+36 = 0.

Soluzione

Spostiamo 36 sul lato destro: −x2 = −36.
Dividiamo entrambe le parti per − 1 , noi abbiamo x2 = 36. Sul lato destro c'è un numero positivo, da cui possiamo concludere x = 36 o x = - 36 .
Estraiamo la radice e scriviamo il risultato finale: equazione quadratica incompleta −x2+36 = 0 ha due radici x=6 O x = −6.

Risposta: x=6 O x = −6.

Soluzione dell'equazione a x 2 +b x=0

Analizziamo il terzo tipo di equazioni quadratiche incomplete, quando c = 0. Trovare la soluzione di un'equazione quadratica incompleta ax2 + bx = 0, utilizzeremo il metodo della fattorizzazione. Fattorizziamo il polinomio che si trova sul lato sinistro dell'equazione, togliendo il fattore comune tra parentesi X. Questo passaggio consentirà di trasformare l'equazione quadratica incompleta originale nel suo equivalente x (a x + b) = 0. E questa equazione, a sua volta, equivale a un insieme di equazioni x = 0 E ax+b = 0. L'equazione ax+b = 0 lineare e la sua radice: x = − b un.

Definizione 7

Pertanto, l'equazione quadratica incompleta ax2 + bx = 0 avrà due radici x = 0 E x = − b un.

Rafforziamo il materiale con un esempio.

Esempio 5

È necessario trovare una soluzione all'equazione 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0.

Soluzione

Lo tireremo fuori X fuori dalle parentesi otteniamo l'equazione x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 . Questa equazione è equivalente alle equazioni x = 0 e 2 3 x - 2 2 7 = 0. Ora dovresti risolvere l'equazione lineare risultante: 2 3 · x = 2 2 7, x = 2 2 7 2 3.

Scrivi brevemente la soluzione dell'equazione come segue:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 oppure 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 oppure x = 3 3 7

Risposta: x = 0, x = 3 3 7.

Discriminante, formula per le radici di un'equazione quadratica

Per trovare soluzioni alle equazioni quadratiche, esiste una formula radice:

Definizione 8

x = - b ± D 2 · a, dove D = b 2 − 4 a c– il cosiddetto discriminante di un’equazione quadratica.

Scrivere x = - b ± D 2 · a significa essenzialmente che x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a.

Sarebbe utile capire come è stata ricavata questa formula e come applicarla.

Derivazione della formula per le radici di un'equazione quadratica

Affrontiamo il compito di risolvere un'equazione quadratica ax2 + bx + c = 0. Eseguiamo una serie di trasformazioni equivalenti:

• dividere entrambi i membri dell'equazione per un numero UN, diversa da zero, si ottiene la seguente equazione quadratica: x 2 + b a · x + c a = 0 ;
• Selezioniamo un quadrato completo sul lato sinistro dell'equazione risultante:
  x 2 + b a · x + c a = x 2 + 2 · b 2 · a · x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = = x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + circa
  Successivamente l'equazione assumerà la forma: x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = 0;
• Ora è possibile trasferire gli ultimi due termini a destra, cambiando il segno nel contrario, dopodiché otteniamo: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
• Infine trasformiamo l'espressione scritta a destra dell'ultima uguaglianza:
  b 2 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 .

Arriviamo così all'equazione x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , equivalente all'equazione originale ax2 + bx + c = 0.

Abbiamo esaminato la soluzione di tali equazioni nei paragrafi precedenti (risoluzione di equazioni quadratiche incomplete). L'esperienza già acquisita permette di trarre una conclusione riguardo alle radici dell'equazione x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2:

• con b 2 - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• quando b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0 l'equazione è x + b 2 · a 2 = 0, allora x + b 2 · a = 0.

Da qui risulta evidente l'unica radice x = - b 2 · a;

• per b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 > 0, sarà vero quanto segue: x + b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 oppure x = b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , che è uguale a x + - b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 oppure x = - b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , cioè. l'equazione ha due radici.

È possibile concludere che la presenza o assenza di radici dell'equazione x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 (e quindi dell'equazione originaria) dipende dal segno dell'espressione b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 scritto sul lato destro. E il segno di questa espressione è dato dal segno del numeratore, (denominatore 4 a 2 sarà sempre positivo), cioè il segno dell'espressione b2-4ac. Questa espressione b2-4ac viene dato il nome: il discriminante dell'equazione quadratica e la lettera D è definita come sua designazione. Qui puoi scrivere l'essenza del discriminante: in base al suo valore e segno, puoi concludere se l'equazione quadratica avrà radici reali e, in tal caso, qual è il numero di radici: una o due.

Torniamo all'equazione x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 . Riscrivilo usando la notazione discriminante: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

Formuliamo nuovamente le nostre conclusioni:

Definizione 9

• A D< 0 l'equazione non ha radici reali;
• A D=0 l'equazione ha un'unica radice x = - b 2 · a ;
• A D > 0 l'equazione ha due radici: x = - b 2 · a + D 4 · a 2 oppure x = - b 2 · a - D 4 · a 2. In base alle proprietà dei radicali, queste radici possono essere scritte nella forma: x = - b 2 · a + D 2 · a oppure - b 2 · a - D 2 · a. E, quando apriamo i moduli e portiamo le frazioni a un denominatore comune, otteniamo: x = - b + D 2 · a, x = - b - D 2 · a.

Quindi, il risultato del nostro ragionamento è stata la derivazione della formula per le radici di un'equazione quadratica:

x = - b + D 2 a, x = - b - D 2 a, discriminante D calcolato dalla formula D = b 2 − 4 a c.

Queste formule permettono di determinare entrambe le radici reali quando il discriminante è maggiore di zero. Quando il discriminante è zero, l'applicazione di entrambe le formule darà la stessa radice come unica soluzione dell'equazione quadratica. Nel caso in cui il discriminante sia negativo, se proviamo a utilizzare la formula della radice quadratica, ci troveremo di fronte alla necessità di prendere la radice quadrata di un numero negativo, il che ci porterà oltre l'ambito dei numeri reali. Con un discriminante negativo, l'equazione quadratica non avrà radici reali, ma è possibile una coppia di radici coniugate complesse, determinate dalle stesse formule di radice che abbiamo ottenuto.

Algoritmo per la risoluzione di equazioni quadratiche utilizzando formule di radice

È possibile risolvere un'equazione quadratica utilizzando immediatamente la formula della radice, ma in genere ciò viene fatto quando è necessario trovare radici complesse.

Nella maggior parte dei casi, di solito significa cercare non le radici complesse, ma quelle reali di un'equazione quadratica. Allora è ottimale, prima di utilizzare le formule per le radici di un'equazione quadratica, determinare prima il discriminante e assicurarsi che non sia negativo (altrimenti concluderemo che l'equazione non ha radici reali), e poi procedere a calcolare il valore delle radici.

Il ragionamento di cui sopra consente di formulare un algoritmo per risolvere un'equazione quadratica.

Definizione 10

Risolvere un'equazione quadratica ax2 + bx + c = 0, necessario:

• secondo la formula D = b 2 − 4 a c trovare il valore discriminante;
• a D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• per D = 0, trova l'unica radice dell'equazione utilizzando la formula x = - b 2 · a ;
• per D > 0, determinare due radici reali dell'equazione quadratica utilizzando la formula x = - b ± D 2 · a.

Nota che quando il discriminante è zero, puoi usare la formula x = - b ± D 2 · a, darà lo stesso risultato della formula x = - b 2 · a.

Diamo un'occhiata agli esempi.

Esempi di risoluzione di equazioni quadratiche

Diamo soluzioni ad esempi per diversi valori del discriminante.

Esempio 6

Dobbiamo trovare le radici dell'equazione x2 + 2x-6 = 0.

Soluzione

Scriviamo i coefficienti numerici dell'equazione quadratica: a = 1, b = 2 e c = −6. Successivamente procediamo secondo l'algoritmo, cioè Cominciamo a calcolare il discriminante, al quale sostituiamo i coefficienti a, b E C nella formula discriminante: D = b 2 − 4 · a · c = 2 2 − 4 · 1 · (− 6) = 4 + 24 = 28 .

Quindi otteniamo D > 0, il che significa che l'equazione originale avrà due radici reali.
Per trovarli usiamo la formula radice x = - b ± D 2 · a e, sostituendo i valori corrispondenti, otteniamo: x = - 2 ± 28 2 · 1. Semplifichiamo l'espressione risultante togliendo il fattore dal segno della radice e quindi riducendo la frazione:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 oppure x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 oppure x = - 1 - 7

Risposta: x = - 1 + 7 ​​​​​​, x = - 1 - 7 .

Esempio 7

Necessità di risolvere un'equazione quadratica − 4×2 + 28×−49 = 0.

Soluzione

Definiamo il discriminante: D = 28 2 − 4 · (− 4) · (− 49) = 784 − 784 = 0. Con questo valore del discriminante l'equazione originale avrà una sola radice, determinata dalla formula x = - b 2 · a.

x = - 28 2 (- 4) x = 3,5

Risposta: x = 3,5.

Esempio 8

L'equazione deve essere risolta 5 e 2 + 6 e + 2 = 0

Soluzione

I coefficienti numerici di questa equazione saranno: a = 5, b = 6 e c = 2. Usiamo questi valori per trovare il discriminante: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . Il discriminante calcolato è negativo, quindi l'equazione quadratica originale non ha radici reali.

Nel caso in cui il compito sia indicare radici complesse, applichiamo la formula della radice, eseguendo azioni con numeri complessi:

x = - 6 ± - 4 2 5,

x = - 6 + 2 i 10 oppure x = - 6 - 2 i 10,

x = - 3 5 + 1 5 · i oppure x = - 3 5 - 1 5 · i.

Risposta: non ci sono vere radici; le radici complesse sono le seguenti: - 3 5 + 1 5 · i, - 3 5 - 1 5 · i.

Nel curriculum scolastico non esiste l'obbligo standard di cercare radici complesse, quindi, se durante la soluzione il discriminante viene determinato come negativo, si scrive subito la risposta che non esistono radici vere e proprie.

Formula di radice per coefficienti secondi pari

La formula radice x = - b ± D 2 · a (D = b 2 − 4 · a · c) permette di ottenere un'altra formula, più compatta, che permette di trovare soluzioni ad equazioni quadratiche con coefficiente pari per x ( o con un coefficiente della forma 2 · n, ad esempio 2 3 o 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Mostriamo come si ricava questa formula.

Affrontiamo il compito di trovare una soluzione all'equazione quadratica a · x 2 + 2 · n · x + c = 0 . Procediamo secondo l'algoritmo: determiniamo il discriminante D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c), e quindi utilizziamo la formula della radice:

x = - 2 n ± D 2 a, x = - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x = - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · c a .

Lascia che l'espressione n 2 − a · c sia indicata come D 1 (a volte è indicata D "). Quindi la formula per le radici dell'equazione quadratica in esame con il secondo coefficiente 2 · n assumerà la forma:

x = - n ± D 1 a, dove D 1 = n 2 − a · c.

È facile vedere che D = 4 · D 1, ovvero D 1 = D 4. In altre parole, D 1 è un quarto del discriminante. Ovviamente, il segno di D 1 è uguale al segno di D, il che significa che il segno di D 1 può anche servire come indicatore della presenza o dell'assenza di radici di un'equazione quadratica.

Definizione 11

Pertanto, per trovare la soluzione di un'equazione quadratica con secondo coefficiente pari a 2 n, è necessario:

• trovare D 1 = n 2 − a · c ;
• in D1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• quando D 1 = 0, determinare l'unica radice dell'equazione utilizzando la formula x = - n a;
• per D 1 > 0, determinare due radici reali utilizzando la formula x = - n ± D 1 a.

Esempio 9

È necessario risolvere l'equazione quadratica 5 x 2 − 6 x − 32 = 0.

Soluzione

Possiamo rappresentare il secondo coefficiente dell'equazione data come 2 · (− 3) . Quindi riscriviamo l'equazione quadratica data come 5 x 2 + 2 (− 3) x − 32 = 0, dove a = 5, n = − 3 e c = − 32.

Calcoliamo la quarta parte del discriminante: D 1 = n 2 − a · c = (− 3) 2 − 5 · (− 32) = 9 + 160 = 169. Il valore risultante è positivo, il che significa che l'equazione ha due radici reali. Determiniamoli utilizzando la formula radice corrispondente:

x = - n ± D 1 a, x = - - 3 ± 169 5, x = 3 ± 13 5,

x = 3 + 13 5 oppure x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 oppure x = - 2

Sarebbe possibile eseguire i calcoli utilizzando la solita formula per le radici di un'equazione quadratica, ma in questo caso la soluzione sarebbe più complicata.

Risposta: x = 3 1 5 oppure x = - 2 .

Semplificazione della forma delle equazioni quadratiche

A volte è possibile ottimizzare la forma dell'equazione originale, il che semplificherà il processo di calcolo delle radici.

Ad esempio, l’equazione quadratica 12 x 2 − 4 x − 7 = 0 è chiaramente più conveniente da risolvere rispetto a 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0.

Più spesso, la semplificazione della forma di un'equazione quadratica viene effettuata moltiplicando o dividendo entrambi i lati per un certo numero. Ad esempio, sopra abbiamo mostrato una rappresentazione semplificata dell'equazione 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0, ottenuta dividendo entrambi i membri per 100.

Tale trasformazione è possibile quando i coefficienti dell'equazione quadratica non sono numeri coprimi. Quindi di solito dividiamo entrambi i lati dell'equazione per il massimo comun divisore dei valori assoluti dei suoi coefficienti.

Ad esempio, utilizziamo l'equazione quadratica 12 x 2 − 42 x + 48 = 0. Determiniamo il MCD dei valori assoluti dei suoi coefficienti: MCD (12, 42, 48) = MCD(MCD (12, 42), 48) = MCD (6, 48) = 6. Dividiamo entrambi i lati dell'equazione quadratica originale per 6 e otteniamo l'equazione quadratica equivalente 2 x 2 − 7 x + 8 = 0.

Moltiplicando entrambi i lati di un'equazione quadratica, di solito si eliminano i coefficienti frazionari. In questo caso si moltiplicano per il minimo comune multiplo dei denominatori dei suoi coefficienti. Ad esempio, se ciascuna parte dell'equazione quadratica 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 = 0 viene moltiplicata per MCM (6, 3, 1) = 6, verrà scritta nella forma più semplice x 2 + 4 x −18 = 0 .

Infine, notiamo che quasi sempre eliminiamo il meno nel primo coefficiente di un'equazione quadratica cambiando i segni di ciascun termine dell'equazione, cosa che si ottiene moltiplicando (o dividendo) entrambi i membri per − 1. Ad esempio, dall'equazione quadratica − 2 x 2 − 3 x + 7 = 0, puoi passare alla sua versione semplificata 2 x 2 + 3 x − 7 = 0.

Relazione tra radici e coefficienti

La formula per le radici delle equazioni quadratiche, a noi già nota, x = - b ± D 2 · a, esprime le radici dell'equazione attraverso i suoi coefficienti numerici. Sulla base di questa formula, abbiamo l'opportunità di specificare altre dipendenze tra radici e coefficienti.

Le formule più famose e applicabili sono il teorema di Vieta:

x 1 + x 2 = - b a e x 2 = c a.

In particolare, per la data equazione quadratica, la somma delle radici è il secondo coefficiente di segno opposto, e il prodotto delle radici è uguale al termine libero. Ad esempio, osservando la forma dell'equazione quadratica 3 x 2 − 7 x + 22 = 0, è possibile determinare immediatamente che la somma delle sue radici è 7 3 e il prodotto delle radici è 22 3.

Puoi anche trovare una serie di altre connessioni tra le radici e i coefficienti di un'equazione quadratica. Ad esempio, la somma dei quadrati delle radici di un'equazione quadratica può essere espressa in termini di coefficienti:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.

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Yakupova M.I. 1

Smirnova Yu.V. 1

1 Scuola secondaria dell'istituto scolastico di bilancio comunale n. 11

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Storia delle equazioni quadratiche

Babilonia

La necessità di risolvere equazioni non solo di primo grado, ma anche di secondo, nell'antichità era causata dalla necessità di risolvere problemi legati alla ricerca delle aree dei terreni, con lo sviluppo dell'astronomia e della matematica stessa. Le equazioni quadratiche potrebbero essere risolte intorno al 2000 a.C. e. Babilonesi. Le regole per risolvere queste equazioni stabilite nei testi babilonesi sono essenzialmente le stesse di quelli moderni, ma in questi testi mancano il concetto di numero negativo e metodi generali per risolvere le equazioni quadratiche.

Grecia antica

Nell'antica Grecia, scienziati come Diofanto, Euclide ed Erone lavorarono anche alla risoluzione di equazioni quadratiche. Diofanto Diofanto di Alessandria è un antico matematico greco vissuto presumibilmente nel III secolo d.C. L'opera principale di Diofanto è "Aritmetica" in 13 libri. Euclide. Euclide è un matematico greco antico, autore del primo trattato teorico di matematica giunto fino a noi, Erone. Airone - Matematico e ingegnere greco arrivato per la prima volta in Grecia nel I secolo d.C. fornisce un modo puramente algebrico per risolvere un'equazione quadratica

India

Problemi sulle equazioni quadratiche si trovano già nel trattato astronomico “Aryabhattiam”, compilato nel 499 dal matematico e astronomo indiano Aryabhatta. Un altro scienziato indiano, Brahmagupta (VII secolo), delineò la regola generale per risolvere le equazioni quadratiche ridotte ad un'unica forma canonica: ax2 + bx = c, a> 0. (1) Nell'equazione (1) i coefficienti possono essere negativi. La regola di Brahmagupta è essenzialmente la stessa della nostra. I concorsi pubblici per risolvere problemi difficili erano comuni in India. Uno degli antichi libri indiani dice quanto segue riguardo a tali competizioni: “Come il sole eclissa le stelle con il suo splendore, così un uomo colto eclisserà la sua gloria nelle assemblee pubbliche proponendo e risolvendo problemi algebrici”. I problemi venivano spesso presentati in forma poetica.

Questo è uno dei problemi del famoso matematico indiano del XII secolo. Bhaskars.

“Uno stormo di scimmie vivaci

E dodici lungo le vigne, dopo aver mangiato a sazietà, si sono divertiti

Cominciarono a saltare, impiccandosi

La parte otto è quadrata

Quante scimmie c'erano?

Mi stavo divertendo nella radura

Dimmi, in questo pacchetto?

La soluzione di Bhaskara indica che l'autore sapeva che le radici delle equazioni quadratiche hanno due valori. Bhaskar scrive l'equazione corrispondente al problema come x2 - 64x = - 768 e, per completare il lato sinistro di questa equazione in un quadrato, somma 322 ad entrambi i lati, ottenendo quindi: x2 - b4x + 322 = -768 + 1024 , (x - 32)2 = 256, x - 32= ±16, x1 = 16, x2 = 48.

Equazioni quadratiche nell'Europa del XVII secolo

Le formule per risolvere equazioni quadratiche sulla falsariga di Al-Khorezmi in Europa furono esposte per la prima volta nel Libro dell'Abaco, scritto nel 1202 dal matematico italiano Leonardo Fibonacci. Questa voluminosa opera, che riflette l'influenza della matematica, sia dei paesi dell'Islam che dell'antica Grecia, si distingue per la sua completezza e chiarezza di presentazione. L'autore ha sviluppato in modo indipendente alcuni nuovi esempi algebrici di risoluzione dei problemi ed è stato il primo in Europa ad avvicinarsi all'introduzione dei numeri negativi. Il suo libro contribuì alla diffusione della conoscenza algebrica non solo in Italia, ma anche in Germania, Francia e altri paesi europei. Molti problemi del Libro dell'Abaco furono utilizzati in quasi tutti i libri di testo europei dei secoli XVI-XVII. e in parte XVIII. La derivazione della formula per risolvere un'equazione quadratica in forma generale è disponibile da Vieth, ma Vieth riconosceva solo radici positive. I matematici italiani Tartaglia, Cardano, Bombelli furono tra i primi nel XVI secolo. Oltre a quelle positive, vengono prese in considerazione anche le radici negative. Solo nel XVII secolo. Grazie al lavoro di Girard, Cartesio, Newton e altri scienziati, il metodo per risolvere le equazioni quadratiche assume una forma moderna.

Definizione di equazione quadratica

Un'equazione della forma ax 2 + bx + c = 0, dove a, b, c sono numeri, è detta quadratica.

Coefficienti dell'equazione quadratica

I numeri a, b, c sono i coefficienti dell'equazione quadratica. a è il primo coefficiente (prima di x²), a ≠ 0; b è il secondo coefficiente (prima di x c è il termine libero (senza x);

Quale di queste equazioni non è quadratica??

1.4x² + 4x + 1 = 0;2. 5x - 7 = 0;3. - x² - 5x - 1 = 0;4. 2/x² + 3x + 4 = 0;5. ¼ x² - 6x + 1 = 0;6. 2x² = 0;

7.4x²+1 = 0;8. x² - 1/x = 0;9. 2x² - x = 0;10. x²-16 = 0;11. 7x² + 5x = 0;12. -8x²= 0;13. 5x³ +6x -8= 0.

Tipi di equazioni quadratiche

Nome	Forma generale dell'equazione	Caratteristica (quali sono i coefficienti)	Esempi di equazioni
	ax2 + bx + c = 0	a, b, c - numeri diversi da 0	1/3x2 + 5x - 1 = 0
Incompleto
			x2 - 1/5x = 0
Dato	x2 + bx + c = 0		x2 - 3x + 5 = 0

Ridotto è un'equazione quadratica in cui il coefficiente principale è uguale a uno. Tale equazione può essere ottenuta dividendo l'intera espressione per il coefficiente principale UN:

X 2 + px + q =0, p = b/a, q = c/a

Un'equazione quadratica si dice completa se tutti i suoi coefficienti sono diversi da zero.

Si dice incompleta un'equazione quadratica in cui almeno uno dei coefficienti, eccetto quello principale (il secondo coefficiente o il termine libero), è uguale a zero.

Metodi per risolvere equazioni quadratiche

Metodo I Formula generale per il calcolo delle radici

Trovare le radici di un'equazione quadratica ascia 2 + b + c = 0 In generale, dovresti utilizzare l'algoritmo seguente:

Calcolare il valore del discriminante di un'equazione quadratica: questa ne è l'espressione D= B 2 - 4ac

Derivazione della formula:

Nota:È ovvio che la formula per una radice di molteplicità 2 è un caso speciale della formula generale, ottenuta sostituendo in essa l'uguaglianza D=0 e la conclusione sull'assenza di radici reali in D0, e (displaystyle (sqrt ( -1))=i) = i.

Il metodo presentato è universale, ma non è l'unico. La risoluzione di una singola equazione può essere affrontata in vari modi, con preferenze che solitamente dipendono dal risolutore. Inoltre, spesso per questo scopo alcuni metodi risultano essere molto più eleganti, semplici e meno laboriosi di quello standard.

Metodo II. Radici di un'equazione quadratica con coefficiente pari B III metodo. Risoluzione di equazioni quadratiche incomplete

Metodo IV. Utilizzo di rapporti parziali di coefficienti

Esistono casi speciali di equazioni quadratiche in cui i coefficienti sono in relazione tra loro, il che li rende molto più facili da risolvere.

Radici di un'equazione quadratica in cui la somma del coefficiente principale e del termine libero è uguale al secondo coefficiente

Se in un'equazione quadratica ascia 2 + bx + c = 0 la somma del primo coefficiente e del termine libero è uguale al secondo coefficiente: a+b=c, quindi le sue radici sono -1 e il numero opposto al rapporto tra il termine libero e il coefficiente principale ( -circa).

Quindi, prima di risolvere qualsiasi equazione quadratica, dovresti verificare la possibilità di applicarvi questo teorema: confronta la somma del coefficiente principale e del termine libero con il secondo coefficiente.

Radici di un'equazione quadratica la cui somma di tutti i coefficienti è zero

Se in un'equazione quadratica la somma di tutti i suoi coefficienti è zero, allora le radici di tale equazione sono 1 e il rapporto tra il termine libero e il coefficiente principale ( circa).

Quindi, prima di risolvere un'equazione usando metodi standard, dovresti verificare l'applicabilità di questo teorema ad essa: somma tutti i coefficienti di questa equazione e vedi se questa somma non è uguale a zero.

Metodo V. Fattorizzazione di un trinomio quadratico in fattori lineari

Se il trinomio è della forma (displaystyle ax^(2)+bx+c(anot =0))ax 2 + bx + c(a ≠ 0) può in qualche modo essere rappresentato come un prodotto di fattori lineari (displaystyle (kx+m)(lx+n)=0)(kx + m)(lx + n), quindi possiamo trovare le radici dell'equazione ascia 2 + bx + c = 0- dopotutto saranno -m/k e n/l (stile display (kx+m)(lx+n)=0Freccia lungasinistradestra kx+m=0tazza lx+n=0)(kx + m)(lx + n) = 0 kx + mUlx + n, e avendo risolto le equazioni lineari indicate, otteniamo quanto sopra. Si noti che un trinomio quadratico non sempre si scompone in fattori lineari a coefficienti reali: ciò è possibile se l'equazione corrispondente ha radici reali.

Consideriamo alcuni casi particolari

Utilizzando la formula della somma quadrata (differenza).

Se il trinomio quadratico ha la forma (displaystyle (ax)^(2)+2abx+b^(2))ax 2 + 2abx + b 2 , quindi applicandogli la formula precedente, possiamo scomporlo in fattori lineari e , quindi, trova le radici:

(ax) 2 + 2abx + b 2 = (ax + b) 2

Isolando il quadrato intero della somma (differenza)

La formula di cui sopra viene utilizzata anche utilizzando un metodo chiamato “selezione del quadrato intero della somma (differenza)”. In relazione all'equazione quadratica sopra con la notazione precedentemente introdotta, ciò significa quanto segue:

Nota: Se notate, questa formula coincide con quella proposta nella sezione “Radici dell'equazione quadratica ridotta”, che a sua volta può essere ottenuta dalla formula generale (1) sostituendo l'uguaglianza a=1. Questo fatto non è solo una coincidenza: utilizzando il metodo descritto, sia pure con qualche ragionamento aggiuntivo, si può ricavare una formula generale e dimostrare anche le proprietà del discriminante.

Metodo VI. Utilizzando il teorema di Vieta diretta e inversa

Il teorema diretto di Vieta (vedi sotto nella sezione con lo stesso nome) e il suo teorema inverso consentono di risolvere oralmente le equazioni quadratiche di cui sopra, senza ricorrere a calcoli piuttosto complicati utilizzando la formula (1).

Secondo il teorema inverso, ogni coppia di numeri (numero) (displaystyle x_(1),x_(2))x 1, x 2, essendo una soluzione al sistema di equazioni riportato di seguito, sono le radici dell'equazione

Nel caso generale, cioè per un'equazione quadratica non ridotta ax 2 + bx + c = 0

x1 + x2 = -b/a, x1 * x2 = c/a

Un teorema diretto ti aiuterà a trovare i numeri che soddisfano queste equazioni oralmente. Con il suo aiuto, puoi determinare i segni delle radici senza conoscere le radici stesse. Per fare ciò, dovresti seguire la regola:

1) se il termine libero è negativo, allora le radici hanno segni diversi e la più grande in valore assoluto delle radici ha segno opposto al segno del secondo coefficiente dell'equazione;

2) se il termine libero è positivo, allora entrambe le radici hanno lo stesso segno, e questo è il segno opposto al segno del secondo coefficiente.

Metodo VII. Metodo di trasferimento

Il cosiddetto metodo di “trasferimento” consente di ridurre la soluzione di equazioni non ridotte e irriducibili alla forma di equazioni ridotte con coefficienti interi dividendole per il coefficiente principale alla soluzione di equazioni ridotte con coefficienti interi. È il seguente:

Successivamente, l'equazione viene risolta oralmente nel modo descritto sopra, quindi si torna alla variabile originale e si trovano le radici delle equazioni (displaystyle y_(1)=ax_(1)) sì 1 =ascia 1 E sì 2 =ascia 2 .(stile display y_(2)=ax_(2))

Significato geometrico

Il grafico di una funzione quadratica è una parabola. Le soluzioni (radici) di un'equazione quadratica sono le ascisse dei punti di intersezione della parabola con l'asse delle ascisse. Se la parabola descritta da una funzione quadratica non interseca l'asse x, l'equazione non ha radici reali. Se una parabola interseca l'asse x in un punto (al vertice della parabola), l'equazione ha una radice reale (si dice anche che l'equazione abbia due radici coincidenti). Se la parabola interseca l'asse x in due punti, l'equazione ha due radici reali (vedi immagine a destra.)

Se coefficiente (stile di visualizzazione a) UN positivo, i rami della parabola sono diretti verso l'alto e viceversa. Se il coefficiente (stile di visualizzazione b) bpositivo (se positivo (displaystyle a) UN, se negativo, viceversa), allora il vertice della parabola giace nel semipiano sinistro e viceversa.

Applicazione delle equazioni quadratiche nella vita

L'equazione quadratica è ampiamente utilizzata. Viene utilizzato in molti calcoli, strutture, sport e anche intorno a noi.

Consideriamo e forniamo alcuni esempi di applicazione dell'equazione quadratica.

Sport. Salti alti: durante la rincorsa del saltatore, vengono utilizzati i calcoli relativi alla parabola per ottenere l'impatto più chiaro possibile sulla barra di stacco e sul volo alto.

Inoltre, sono necessari calcoli simili nel lancio. La portata di volo di un oggetto dipende dall'equazione quadratica.

Astronomia. La traiettoria dei pianeti può essere trovata utilizzando un'equazione quadratica.

Volo in aereo. Il decollo dell'aereo è la componente principale del volo. Qui prendiamo il calcolo per la bassa resistenza e l'accelerazione del decollo.

Le equazioni quadratiche vengono utilizzate anche in varie discipline economiche, nei programmi per l'elaborazione di grafica audio, video, vettoriale e raster.

Conclusione

Come risultato del lavoro svolto, si è scoperto che le equazioni quadratiche attiravano gli scienziati nei tempi antichi, le avevano già incontrate durante la risoluzione di alcuni problemi e avevano cercato di risolverli; Osservando diversi modi per risolvere le equazioni quadratiche, sono giunto alla conclusione che non tutti sono semplici. Secondo me, il modo migliore per risolvere le equazioni quadratiche è risolverle utilizzando le formule. Le formule sono facili da ricordare, questo metodo è universale. L'ipotesi che le equazioni siano ampiamente utilizzate nella vita e nella matematica è stata confermata. Dopo aver studiato l'argomento, ho appreso molti fatti interessanti sulle equazioni quadratiche, il loro utilizzo, applicazione, tipi, soluzioni. E sarò felice di continuare a studiarli. Spero che questo mi aiuterà a fare bene gli esami.

Elenco della letteratura usata

Materiali del sito:

Wikipedia

Apri lezione.rf

Manuale di matematica elementare Vygodsky M. Ya.

Equazioni quadratiche. Informazioni generali.

IN equazione quadrata ci deve essere una x al quadrato (ecco perché si chiama

"piazza") Oltre a ciò, l'equazione può (o non può!) contenere semplicemente X (alla prima potenza) e

solo un numero (membro gratuito). E non dovrebbero esserci X fino al grado due.

Equazione algebrica di forma generale.

Dove X- variabile libera, UN, B, C— coefficienti, e UN≠0 .

Per esempio:

Espressione chiamato trinomio quadratico.

Gli elementi di un'equazione quadratica hanno i loro nomi:

chiamato il primo o il coefficiente più alto,

· chiamato il secondo o coefficiente a ,

· chiamato membro gratuito.

Equazione quadratica completa.

Queste equazioni quadratiche hanno una serie completa di termini sulla sinistra. X quadrato c

coefficiente UN, x alla prima potenza con coefficiente B E gratuito membroCon. IN tutti i coefficienti

deve essere diverso da zero.

Incompletoè un'equazione quadratica in cui almeno uno dei coefficienti, eccetto

il termine guida (o il secondo coefficiente o il termine libero) è uguale a zero.

Facciamo finta che B= 0, - X alla prima potenza scomparirà. Si scopre, ad esempio:

2x2 -6x=0,

E così via. E se entrambi i coefficienti B E C sono pari a zero, allora tutto è ancora più semplice, Per esempio:

2x2 =0,

Nota che x al quadrato appare in tutte le equazioni.

Perché UN non può essere uguale a zero? Quindi x al quadrato scomparirà e l'equazione diventerà lineare .

E la soluzione è completamente diversa...

Nella società moderna, la capacità di eseguire operazioni con equazioni contenenti una variabile al quadrato può essere utile in molte aree di attività ed è ampiamente utilizzata nella pratica negli sviluppi scientifici e tecnici. La prova di ciò può essere trovata nella progettazione di navi marittime e fluviali, aerei e razzi. Utilizzando tali calcoli, vengono determinate le traiettorie di movimento di un'ampia varietà di corpi, compresi gli oggetti spaziali. Gli esempi con la soluzione di equazioni quadratiche vengono utilizzati non solo nelle previsioni economiche, nella progettazione e costruzione di edifici, ma anche nelle circostanze quotidiane più ordinarie. Potrebbero essere necessari durante le escursioni, in occasione di eventi sportivi, nei negozi per fare acquisti e in altre situazioni molto comuni.

Suddividiamo l'espressione nei suoi fattori che la compongono

Il grado di un'equazione è determinato dal valore massimo del grado della variabile contenuta nell'espressione. Se è uguale a 2, tale equazione è chiamata quadratica.

Se parliamo nel linguaggio delle formule, le espressioni indicate, non importa come appaiono, possono sempre essere riportate nella forma quando il lato sinistro dell'espressione è composto da tre termini. Tra questi: ax 2 (cioè una variabile al quadrato con il suo coefficiente), bx (un'incognita senza quadrato con il suo coefficiente) e c (una componente libera, cioè un numero ordinario). Tutto questo sul lato destro è uguale a 0. Nel caso in cui tale polinomio manchi di uno dei suoi termini costitutivi, ad eccezione dell'asse 2, si parla di equazione quadratica incompleta. Per prima cosa dovrebbero essere considerati esempi con la soluzione di tali problemi, i valori delle variabili in cui sono facili da trovare.

Se l'espressione sembra avere due termini sul lato destro, più precisamente ax 2 e bx, il modo più semplice per trovare x è mettere la variabile tra parentesi. Ora la nostra equazione sarà simile a questa: x(ax+b). Successivamente diventa ovvio che x=0, oppure il problema si riduce a trovare una variabile dalla seguente espressione: ax+b=0. Ciò è dettato da una delle proprietà della moltiplicazione. La regola afferma che il prodotto di due fattori dà come risultato 0 solo se uno dei due è zero.

Esempio

x=0 oppure 8x - 3 = 0

Di conseguenza, otteniamo due radici dell'equazione: 0 e 0,375.

Equazioni di questo tipo possono descrivere il movimento dei corpi sotto l'influenza della gravità, che hanno iniziato a muoversi da un certo punto, preso come origine delle coordinate. Qui la notazione matematica assume la forma seguente: y = v 0 t + gt 2 /2. Sostituendo i valori necessari, equiparando il lato destro a 0 e trovando le possibili incognite, si può scoprire il tempo che passa dal momento in cui il corpo si alza al momento in cui cade, oltre a tante altre quantità. Ma di questo parleremo più tardi.

Fattorizzazione di un'espressione

La regola sopra descritta permette di risolvere questi problemi nei casi più complessi. Diamo un'occhiata ad esempi di risoluzione di equazioni quadratiche di questo tipo.

X2 - 33x + 200 = 0

Questo trinomio quadratico è completo. Innanzitutto, trasformiamo l'espressione e la fattorizziamo. Ce ne sono due: (x-8) e (x-25) = 0. Di conseguenza, abbiamo due radici 8 e 25.

Esempi con la risoluzione di equazioni quadratiche di grado 9 consentono a questo metodo di trovare una variabile nelle espressioni non solo del secondo, ma anche del terzo e del quarto ordine.

Ad esempio: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Quando si fattorizza il lato destro in fattori con una variabile, ce ne sono tre, cioè (x+1), (x-3) e (x+ 3).

Di conseguenza, diventa ovvio che questa equazione ha tre radici: -3; -1; 3.

Radice quadrata

Un altro caso di equazione del secondo ordine incompleta è un'espressione rappresentata nel linguaggio delle lettere in modo tale che il membro destro sia costruito dalle componenti ax 2 e c. Qui, per ottenere il valore della variabile, il termine libero viene trasferito a destra, quindi si estrae la radice quadrata da entrambi i lati dell'uguaglianza. Va notato che in questo caso di solito ci sono due radici dell'equazione. Le uniche eccezioni possono essere le uguaglianze che non contengono affatto un termine con, dove la variabile è uguale a zero, così come le varianti di espressioni quando il lato destro è negativo. In quest'ultimo caso non esiste alcuna soluzione poiché le azioni di cui sopra non possono essere eseguite con root. Dovrebbero essere considerati esempi di soluzioni di equazioni quadratiche di questo tipo.

In questo caso, le radici dell'equazione saranno i numeri -4 e 4.

Calcolo della superficie terrestre

La necessità di questo tipo di calcoli è apparsa nei tempi antichi, perché lo sviluppo della matematica in quei tempi lontani era in gran parte determinato dalla necessità di determinare con la massima precisione le aree e i perimetri dei terreni.

Dovremmo anche considerare esempi di risoluzione di equazioni quadratiche basate su problemi di questo tipo.

Quindi, diciamo che c'è un appezzamento di terreno rettangolare, la cui lunghezza è 16 metri maggiore della larghezza. Dovresti trovare la lunghezza, la larghezza e il perimetro del sito se sai che la sua superficie è di 612 m2.

Per iniziare, creiamo prima l'equazione necessaria. Indichiamo con x la larghezza dell'area, quindi la sua lunghezza sarà (x+16). Da quanto scritto segue che l'area è determinata dall'espressione x(x+16), che, secondo le condizioni del nostro problema, è 612. Ciò significa che x(x+16) = 612.

Risolvere equazioni quadratiche complete, e questa espressione è esattamente quella, non può essere fatta allo stesso modo. Perché? Sebbene il lato sinistro contenga ancora due fattori, il loro prodotto non è affatto uguale a 0, quindi qui vengono utilizzati metodi diversi.

Discriminante

Prima di tutto, effettueremo le trasformazioni necessarie, quindi l'aspetto di questa espressione sarà simile a questo: x 2 + 16x - 612 = 0. Ciò significa che abbiamo ricevuto l'espressione in una forma corrispondente allo standard precedentemente specificato, dove a=1, b=16, c= -612.

Questo potrebbe essere un esempio di risoluzione di equazioni quadratiche utilizzando un discriminante. Qui i calcoli necessari vengono effettuati secondo lo schema: D = b 2 - 4ac. Questa quantità ausiliaria non solo consente di trovare le quantità richieste in un'equazione del secondo ordine, ma determina il numero di opzioni possibili. Se D>0 ce ne sono due; per D=0 c'è una radice. Nel caso D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

A proposito delle radici e della loro formula

Nel nostro caso il discriminante è pari a: 256 - 4(-612) = 2704. Ciò suggerisce che il nostro problema ha una risposta. Se conosci k, la soluzione delle equazioni quadratiche deve essere continuata utilizzando la formula seguente. Ti permette di calcolare le radici.

Ciò significa che nel caso presentato: x 1 =18, x 2 =-34. La seconda opzione di questo dilemma non può essere una soluzione, perché le dimensioni del terreno non possono essere misurate in quantità negative, il che significa che x (cioè la larghezza del terreno) è 18 m. Da qui calcoliamo la lunghezza: 18 +16=34, e il perimetro 2(34+ 18)=104(m2).

Esempi e compiti

Continuiamo il nostro studio delle equazioni quadratiche. Di seguito verranno forniti esempi e soluzioni dettagliate di molti di essi.

1) 15x2 + 20x + 5 = 12x2 + 27x + 1

Spostiamo tutto a sinistra dell'uguaglianza, facciamo una trasformazione, cioè otteniamo il tipo di equazione che di solito viene chiamata standard e la equiparamo a zero.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Aggiungendo quelli simili, determiniamo il discriminante: D = 49 - 48 = 1. Ciò significa che la nostra equazione avrà due radici. Calcoliamoli secondo la formula sopra, il che significa che il primo sarà uguale a 4/3 e il secondo a 1.

2) Ora risolviamo misteri di tipo diverso.

Scopriamo se ci sono radici qui x 2 - 4x + 5 = 1? Per ottenere una risposta esauriente riduciamo il polinomio alla corrispondente forma usuale e calcoliamo il discriminante. Nell'esempio sopra non è necessario risolvere l'equazione quadratica, perché questa non è affatto l'essenza del problema. In questo caso D = 16 - 20 = -4, il che significa che in realtà non ci sono radici.

Il teorema di Vieta

È conveniente risolvere le equazioni quadratiche utilizzando le formule precedenti e il discriminante, quando la radice quadrata viene ricavata dal valore di quest'ultimo. Ma questo non sempre accade. Tuttavia, in questo caso esistono molti modi per ottenere i valori delle variabili. Esempio: risoluzione di equazioni quadratiche utilizzando il teorema di Vieta. Prende il nome da colui che visse nel XVI secolo in Francia e fece una brillante carriera grazie al suo talento matematico e ai contatti a corte. Il suo ritratto può essere visto nell'articolo.

Lo schema notato dal famoso francese era il seguente. Dimostrò che la somma delle radici dell'equazione numericamente dà -p=b/a, e il loro prodotto corrisponde a q=c/a.

Ora diamo un'occhiata ai compiti specifici.

3x2 + 21x - 54 = 0

Per semplicità trasformiamo l'espressione:

x2 + 7x - 18 = 0

Usiamo il teorema di Vieta, questo ci darà quanto segue: la somma delle radici è -7 e il loro prodotto è -18. Da qui otteniamo che le radici dell'equazione sono i numeri -9 e 2. Dopo aver verificato, ci assicureremo che questi valori variabili si adattino effettivamente all'espressione.

Grafico ed equazione della parabola

I concetti di funzione quadratica ed equazioni quadratiche sono strettamente correlati. Esempi di ciò sono già stati forniti in precedenza. Ora diamo un'occhiata ad alcuni enigmi matematici un po' più in dettaglio. Qualsiasi equazione del tipo descritto può essere rappresentata visivamente. Tale relazione, rappresentata come grafico, è chiamata parabola. I suoi vari tipi sono presentati nella figura seguente.

Ogni parabola ha un vertice, cioè un punto da cui escono i suoi rami. Se a>0 vanno alti all'infinito, e quando a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Le rappresentazioni visive delle funzioni aiutano a risolvere qualsiasi equazione, comprese quelle quadratiche. Questo metodo è chiamato grafico. E il valore della variabile x è la coordinata dell'ascissa nei punti in cui la linea del grafico si interseca con 0x. Le coordinate del vertice si possono trovare utilizzando la formula appena data x 0 = -b/2a. E sostituendo il valore risultante nell'equazione originale della funzione, puoi scoprire y 0, cioè la seconda coordinata del vertice della parabola, che appartiene all'asse delle ordinate.

L'intersezione dei rami di una parabola con l'asse delle ascisse

Esistono molti esempi di risoluzione di equazioni quadratiche, ma esistono anche modelli generali. Diamo un'occhiata a loro. È chiaro che l'intersezione del grafico con l'asse 0x per a>0 è possibile solo se 0 assume valori negativi. E per a<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Altrimenti D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Dal grafico della parabola puoi anche determinare le radici. È vero anche il contrario. Cioè, se non è facile ottenere una rappresentazione visiva di una funzione quadratica, puoi equiparare il lato destro dell'espressione a 0 e risolvere l'equazione risultante. E conoscendo i punti di intersezione con l'asse 0x, è più semplice costruire un grafico.

Dalla storia

Usando equazioni contenenti una variabile quadrata, ai vecchi tempi non solo facevano calcoli matematici e determinavano le aree delle figure geometriche. Gli antichi avevano bisogno di tali calcoli per grandi scoperte nel campo della fisica e dell'astronomia, nonché per fare previsioni astrologiche.

Come suggeriscono gli scienziati moderni, gli abitanti di Babilonia furono tra i primi a risolvere equazioni quadratiche. Ciò è accaduto quattro secoli prima della nostra era. Naturalmente, i loro calcoli erano radicalmente diversi da quelli attualmente accettati e si rivelarono molto più primitivi. Ad esempio, i matematici mesopotamici non avevano idea dell’esistenza dei numeri negativi. Inoltre non avevano familiarità con altre sottigliezze che ogni scolaretto moderno conosce.

Forse anche prima degli scienziati di Babilonia, il saggio indiano Baudhayama iniziò a risolvere le equazioni quadratiche. Ciò accadde circa otto secoli prima dell'era di Cristo. È vero, le equazioni del secondo ordine, i metodi per risolverli da lui forniti, erano i più semplici. Oltre a lui, anche i matematici cinesi in passato si interessavano a questioni simili. In Europa, le equazioni quadratiche iniziarono a essere risolte solo all'inizio del XIII secolo, ma in seguito furono utilizzate nelle loro opere da grandi scienziati come Newton, Cartesio e molti altri.