Scomposizione di una matrice in elementi riga. Determinante della matrice online

Spesso nelle università ci imbattiamo in problemi di matematica superiore in cui è necessario calcolare il determinante di una matrice. A proposito, il determinante può essere solo in matrici quadrate. Di seguito esamineremo le definizioni di base, quali proprietà ha il determinante e come calcolarlo correttamente. Mostreremo anche una soluzione dettagliata utilizzando esempi.

Cos'è il determinante di una matrice: calcolare il determinante utilizzando la definizione

Determinante della matrice

Il secondo ordine è un numero.

Il determinante di una matrice è indicato con – (abbreviazione del nome latino dei determinanti), o .

Se:, allora risulta

Ricordiamo alcune altre definizioni ausiliarie:

Definizione

Un insieme ordinato di numeri composto da elementi è chiamato permutazione dell'ordine.

Per un insieme che contiene elementi esiste un fattoriale (n), che è sempre indicato con un punto esclamativo: . Le permutazioni differiscono l'una dall'altra solo nell'ordine in cui appaiono. Per renderlo più chiaro facciamo un esempio:

Consideriamo un insieme di tre elementi (3, 6, 7). Ci sono 6 permutazioni in totale, poiché .:

Definizione

Un'inversione in una permutazione d'ordine è un insieme ordinato di numeri (chiamato anche biiezione), dove due di essi formano una sorta di disordine. Questo accade quando il numero più grande in una data permutazione si trova a sinistra del numero più piccolo.

Sopra abbiamo visto un esempio con l'inversione di una permutazione, dove c'erano numeri . Quindi, prendiamo la seconda riga, dove a giudicare da questi numeri risulta che , a , poiché il secondo elemento è maggiore del terzo elemento . Prendiamo per confronto la sesta riga, dove si trovano i numeri: . Ci sono tre coppie qui: , e , poiché title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="13" width="42" style="vertical-align: 0px;">; , так как title="Resi da QuickLaTeX.com" height="13" width="42" style="vertical-align: 0px;">; , – title="Resi da QuickLaTeX.com" height="12" width="43" style="vertical-align: 0px;">.!}

Non studieremo l'inversione in sé, ma le permutazioni ci saranno molto utili nell'ulteriore considerazione dell'argomento.

Definizione

Determinante della matrice x – numero:

è una permutazione di numeri da 1 a un numero infinito ed è il numero di inversioni nella permutazione. Pertanto, il determinante include termini chiamati “termini del determinante”.

Puoi calcolare il determinante di una matrice di secondo, terzo e anche quarto ordine. Vale la pena menzionare anche:

Definizione

Il determinante di una matrice è il numero che equivale

Per comprendere questa formula, descriviamola più in dettaglio. Il determinante di una matrice quadrata x è una somma che contiene termini e ogni termine è il prodotto di un certo numero di elementi della matrice. Inoltre in ogni prodotto c'è un elemento di ogni riga e di ogni colonna della matrice.

Può apparire prima di un certo termine se gli elementi della matrice nel prodotto sono in ordine (per numero di riga) e il numero di inversioni nella permutazione di molti numeri di colonna è dispari.

È stato menzionato sopra che il determinante di una matrice è indicato con o, cioè, il determinante è spesso chiamato determinante.

Torniamo quindi alla formula:

Dalla formula è chiaro che il determinante di una matrice del primo ordine è un elemento della matrice stessa.

Calcolo del determinante di una matrice del secondo ordine

Molto spesso, nella pratica, il determinante di una matrice viene risolto utilizzando metodi del secondo, terzo e, meno spesso, quarto ordine. Diamo un'occhiata a come viene calcolato il determinante di una matrice del secondo ordine:

In una matrice del secondo ordine, ne consegue che il fattoriale è . Prima di applicare la formula

È necessario determinare quali dati otteniamo:

2. permutazioni degli insiemi: e ;

3. numero di inversioni nella permutazione : e , poiché title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="13" width="42" style="vertical-align: -1px;">;!}

4. opere corrispondenti: e.

Si scopre:

Sulla base di quanto sopra, otteniamo una formula per calcolare il determinante di una matrice quadrata del secondo ordine, ovvero x:

Diamo un'occhiata ad un esempio specifico di come calcolare il determinante di una matrice quadrata del secondo ordine:

Esempio

Compito

Calcolare il determinante della matrice x:

Soluzione

Quindi, otteniamo , , , .

Per risolvere è necessario utilizzare la formula discussa in precedenza:

Sostituiamo i numeri dell'esempio e troviamo:

Risposta

Determinante della matrice del secondo ordine = .

Calcolo del determinante di una matrice del terzo ordine: esempio e soluzione mediante la formula

Definizione

Il determinante di una matrice del terzo ordine è un numero ottenuto da nove numeri dati disposti in una tavola quadrata,

Il determinante del terzo ordine si trova quasi allo stesso modo del determinante del secondo ordine. L'unica differenza è nella formula. Pertanto, se capisci bene la formula, non ci saranno problemi con la soluzione.

Consideriamo una matrice quadrata del terzo ordine*:

Sulla base di questa matrice, comprendiamo che, di conseguenza, fattoriale = , il che significa che le permutazioni totali sono

Per applicare correttamente la formula, è necessario trovare i dati:

Quindi le permutazioni totali dell'insieme sono:

Il numero di inversioni nella permutazione e i prodotti corrispondenti =;

Numero di inversioni nella permutazione title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="18" width="65" style="vertical-align: -4px;">, соответствующие произведения = ;!}

Inversioni nella permutazione title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="18" width="65" style="vertical-align: -4px;"> ;!}

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Ora otteniamo:

Pertanto, abbiamo una formula per calcolare il determinante di una matrice di ordine x:

Trovare una matrice del terzo ordine utilizzando la regola del triangolo (regola di Sarrus)

Come accennato in precedenza, gli elementi del determinante del 3° ordine si trovano su tre righe e tre colonne. Se inserisci la designazione dell'elemento generale, il primo elemento denota il numero della riga e il secondo elemento degli indici indica il numero della colonna. Esiste una diagonale principale (elementi) e secondaria (elementi) del determinante. I termini sul lato destro sono chiamati termini del determinante).

Si può vedere che ogni termine del determinante è nel diagramma con un solo elemento in ogni riga e in ogni colonna.

Puoi calcolare il determinante utilizzando la regola del rettangolo, che è rappresentata sotto forma di diagramma. Sono evidenziati in rosso i termini del determinante degli elementi della diagonale principale, così come i termini degli elementi che stanno al vertice dei triangoli che hanno il lato parallelo alla diagonale principale (diagramma di sinistra), presi con il segno .

I termini con frecce blu provenienti da elementi della diagonale laterale, nonché da elementi che si trovano ai vertici di triangoli che hanno i lati paralleli alla diagonale laterale (diagramma di destra) si prendono con il segno.

Utilizzando l'esempio seguente, impareremo come calcolare il determinante di una matrice quadrata del terzo ordine.

Esempio

Compito

Calcolare il determinante di una matrice del terzo ordine:

Soluzione

In questo esempio:

Calcoliamo il determinante utilizzando la formula o lo schema discusso sopra:

Risposta

Determinante di una matrice del terzo ordine =

Proprietà fondamentali dei determinanti di una matrice del terzo ordine

Sulla base delle definizioni e delle formule precedenti, consideriamo il principale proprietà del determinante della matrice.

1. La dimensione del determinante non cambierà quando si sostituiscono le righe e le colonne corrispondenti (tale sostituzione è chiamata trasposizione).

Utilizzando un esempio, ci assicureremo che il determinante della matrice sia uguale al determinante della matrice trasposta:

Ricordiamo la formula per il calcolo del determinante:

Trasporre la matrice:

Calcoliamo il determinante della matrice trasposta:

Abbiamo verificato che il determinante della matrice trasportata è uguale alla matrice originale, il che indica la soluzione corretta.

2. Il segno del determinante cambierà al contrario se due delle sue colonne o due righe vengono scambiate.

Diamo un'occhiata ad un esempio:

Date due matrici del terzo ordine (x):

È necessario dimostrare che le determinanti di queste matrici sono opposte.

Soluzione

Le righe nella matrice e nella matrice sono cambiate (la terza dalla prima e dalla prima alla terza). Secondo la seconda proprietà i determinanti di due matrici devono avere segno diverso. Cioè, una matrice ha un segno positivo e la seconda ha un segno negativo. Controlliamo questa proprietà utilizzando la formula per calcolare il determinante.

La proprietà è vera perché .

3. Un determinante è uguale a zero se ha gli stessi elementi corrispondenti su due righe (colonne). Lascia che il determinante abbia elementi identici della prima e della seconda colonna:

Scambiando colonne identiche, secondo la Proprietà 2, otteniamo un nuovo determinante: = . D'altra parte il nuovo determinante coincide con quello originario, poiché gli elementi hanno le stesse risposte, cioè = . Da queste uguaglianze otteniamo: = .

4. Il determinante è uguale a zero se tutti gli elementi di una riga (colonna) sono zero. Questa affermazione emerge dal fatto che ogni termine del determinante secondo la formula (1) ha uno e solo un elemento da ogni riga (colonna), che ha solo zeri.

Diamo un'occhiata ad un esempio:

Mostriamo che il determinante della matrice è uguale a zero:

La nostra matrice ha due colonne identiche (seconda e terza), quindi, in base a questa proprietà, il determinante deve essere uguale a zero. Controlliamo:

Infatti, il determinante di una matrice con due colonne identiche è uguale a zero.

5. Dal segno determinante si può togliere il divisore comune degli elementi della prima riga (colonna):

6. Se gli elementi di una riga o di una colonna di un determinante sono proporzionali agli elementi corrispondenti della seconda riga (colonna), allora tale determinante è uguale a zero.

Infatti, seguendo la proprietà 5, si può togliere il coefficiente di proporzionalità dal segno del determinante, e quindi utilizzare la proprietà 3.

7. Se ciascuno degli elementi delle righe (colonne) del determinante è la somma di due termini, allora questo determinante può essere presentato come la somma dei determinanti corrispondenti:

Per verificare è sufficiente scrivere in forma estesa secondo (1) il determinante che si trova a sinistra dell'uguaglianza, quindi raggruppare separatamente i termini che contengono gli elementi e Ciascuno dei gruppi di termini risultanti sarà, rispettivamente , il primo e il secondo determinante sul lato destro dell'uguaglianza.

8. I valori della definizione non cambieranno se ad un elemento di una riga o colonna vengono aggiunti gli elementi corrispondenti della seconda riga (colonna), moltiplicati per lo stesso numero:

Questa uguaglianza si ottiene in base alle proprietà 6 e 7.

9. Il determinante della matrice, , è uguale alla somma dei prodotti degli elementi di qualsiasi riga o colonna e dei loro complementi algebrici.

Qui per complemento algebrico di un elemento di matrice. Usando questa proprietà, puoi calcolare non solo matrici del terzo ordine, ma anche matrici di ordine superiore (x o x). In altre parole, questa è una formula ricorrente necessaria per calcolare il determinante di una matrice di qualsiasi ordine . Ricordatelo, poiché viene spesso utilizzato nella pratica.

Vale la pena dire che utilizzando la nona proprietà si possono calcolare i determinanti di matrici non solo del quarto ordine, ma anche di ordini superiori. Tuttavia, in questo caso è necessario eseguire molte operazioni di calcolo e fare attenzione, poiché il minimo errore nei segni porterà a una decisione errata. È più conveniente risolvere matrici di ordine superiore utilizzando il metodo gaussiano e ne parleremo più avanti.

10. Il determinante del prodotto di matrici dello stesso ordine è uguale al prodotto dei loro determinanti.

Diamo un'occhiata ad un esempio:

Esempio

Compito

Assicurati che il determinante di due matrici e sia uguale al prodotto dei loro determinanti. Sono date due matrici:

Soluzione

Innanzitutto, troviamo il prodotto dei determinanti di due matrici e .

Ora moltiplichiamo entrambe le matrici e calcoliamo così il determinante:

Risposta

Ce ne siamo assicurati

Calcolo del determinante di una matrice utilizzando il metodo gaussiano

Determinante della matrice aggiornato: 22 novembre 2019 da: Articoli scientifici.Ru

Ulteriori proprietà sono legate ai concetti di complemento minore e algebrico

Minore L'elemento è chiamato determinante, composto dagli elementi rimasti dopo aver cancellato la riga e la colonna all'intersezione delle quali si trova questo elemento. L'elemento minore del determinante dell'ordine ha order . Lo indicheremo con .

Esempio 1. Permettere , Poi .

Questo minore si ottiene da A cancellando la seconda riga e la terza colonna.

Complemento algebrico l'elemento è chiamato il minore corrispondente moltiplicato per , cioè , dove è il numero della riga e della colonna all'intersezione delle quali si trova questo elemento.

VIII.(Scomposizione del determinante in elementi di una determinata stringa). Il determinante è uguale alla somma dei prodotti degli elementi di una certa riga e dei loro corrispondenti complementi algebrici.

Esempio 2. Permettere , Poi

Esempio 3. Troviamo il determinante della matrice , scomponendolo negli elementi della prima riga.

Formalmente, questo teorema e altre proprietà dei determinanti sono applicabili solo per determinanti di matrici di ordine non superiore al terzo, poiché non abbiamo considerato altri determinanti. La seguente definizione ci permetterà di estendere queste proprietà a determinanti di qualsiasi ordine.

Determinante della matrice ordineè un numero calcolato mediante l'applicazione sequenziale del teorema di espansione e di altre proprietà dei determinanti.

Puoi verificare che il risultato dei calcoli non dipenda dall'ordine in cui vengono applicate le proprietà di cui sopra e per quali righe e colonne. Utilizzando questa definizione, il determinante viene trovato in modo univoco.

Sebbene questa definizione non contenga una formula esplicita per trovare il determinante, permette di trovarlo riducendolo ai determinanti di matrici di ordine inferiore. Tali definizioni sono chiamate ricorrente.

Esempio 4. Calcola il determinante:

Sebbene il teorema di fattorizzazione possa essere applicato a qualsiasi riga o colonna di una determinata matrice, si ottengono meno calcoli fattorizzando lungo la colonna che contiene il maggior numero possibile di zeri.

Poiché la matrice non ha zero elementi, li otteniamo utilizzando la proprietà VII. Moltiplica la prima riga in sequenza per i numeri e aggiungilo alle righe e ottieni:

Espandiamo il determinante risultante lungo la prima colonna e otteniamo:

poiché il determinante contiene due colonne proporzionali.

Alcuni tipi di matrici e loro determinanti

Viene chiamata una matrice quadrata che ha zero elementi sotto o sopra la diagonale principale (). triangolare.

La loro struttura schematica si presenta pertanto come segue: O

.

Le matrici vengono utilizzate in matematica per scrivere in modo compatto sistemi di equazioni algebriche lineari o differenziali. In questo caso, il numero di righe della matrice corrisponde al numero di equazioni e il numero di colonne corrisponde al numero di incognite. Di conseguenza, la risoluzione di sistemi di equazioni lineari si riduce a operazioni su matrici.

La matrice è scritta come una tabella rettangolare di elementi di un anello o di un campo (ad esempio numeri interi, complessi o reali). È una raccolta di righe e colonne all'intersezione delle quali si trovano i suoi elementi. La dimensione della matrice è determinata dal numero di righe e colonne.

Un valore importante di qualsiasi matrice è il suo determinante, che viene calcolato utilizzando una determinata formula.

È necessario eseguire manualmente una serie di operazioni sulla matrice per calcolarne il determinante. Il determinante può essere positivo o negativo o uguale a zero.

Per verificare i calcoli del determinante della matrice, puoi utilizzare il nostro calcolatore online. Il calcolatore online calcolerà immediatamente il determinante della matrice e fornirà il valore esatto.

Il determinante di una matrice è una sorta di caratteristica di una matrice, o meglio, può essere utilizzato per determinare se il corrispondente sistema di equazioni ha una soluzione. Il determinante di una matrice è ampiamente utilizzato nella scienza, come nella fisica, con l'aiuto della quale viene calcolato il significato fisico di molte quantità.

Risoluzione di sistemi di equazioni algebriche lineari

Inoltre, utilizzando la nostra calcolatrice puoi risolvere un sistema di equazioni algebriche lineari (SLAE).

Risolvere sistemi di equazioni algebriche lineari è uno dei problemi più comuni di algebra lineare. Gli SLAE e i metodi per la loro soluzione sono alla base di molte aree di applicazione, tra cui l’econometria e la programmazione lineare.

Calcolatore online gratuito

Il nostro risolutore gratuito ti consentirà di risolvere equazioni online di qualsiasi complessità in pochi secondi. Tutto quello che devi fare è semplicemente inserire i tuoi dati nella calcolatrice. Puoi anche guardare le istruzioni video e imparare come risolvere l'equazione sul nostro sito web. E se hai ancora domande, puoi farle nel nostro gruppo VKontakte http://vk.com/pocketteacher.

Successivamente passiamo alle proprietà del determinante, che formuleremo sotto forma di teoremi senza dimostrazione. Qui otterremo un metodo per calcolare il determinante attraverso la sua espansione negli elementi di una riga o di una colonna. Questo metodo consente di ridurre il calcolo del determinante di una matrice di ordine n per n al calcolo dei determinanti di matrici di ordine 3 per 3 o meno. Mostreremo sicuramente le soluzioni a diversi esempi.

In conclusione, ci concentreremo sul calcolo del determinante utilizzando il metodo gaussiano. Questo metodo è utile per trovare i valori dei determinanti di matrici di ordine superiore a 3 per 3, poiché richiede meno sforzo computazionale. Vedremo anche le soluzioni degli esempi.

Navigazione della pagina.

Determinazione del determinante di una matrice, calcolo del determinante di una matrice per definizione.

Ricordiamo alcuni concetti ausiliari.

Definizione.

Permutazione dell'ordinanza n Si dice un insieme ordinato di numeri composto da n elementi.

Per un insieme contenente n elementi, ci sono n!

(n fattoriali) permutazioni di ordine n. Le permutazioni differiscono l'una dall'altra solo nell'ordine in cui appaiono gli elementi. ):

Definizione.

Ad esempio, considera un insieme composto da tre numeri: . Scriviamo tutte le permutazioni (ce ne sono sei in totale, poiché Per inversione in una permutazione dell'ordine n

Viene chiamata qualsiasi coppia di indici p e q per cui l'elemento p-esimo della permutazione è maggiore del q-esimo.

Nell'esempio precedente, l'inverso della permutazione 4, 9, 7 è la coppia p=2, q=3, poiché il secondo elemento della permutazione è uguale a 9 ed è maggiore del terzo, pari a 7. L'inversione della permutazione 9, 7, 4 sarà di tre coppie: p=1, q=2 (9>7); p=1, q=3 (9>4) e p=2, q=3 (7>4).

Saremo più interessati al numero di inversioni nella permutazione, piuttosto che all'inversione stessa.

Definizione.

Determinante della matrice Sia una matrice quadrata di ordine n per n sul campo dei numeri reali (o complessi). Sia l'insieme di tutte le permutazioni di ordine n dell'insieme . Il set contiene n! .

permutazioni. Indichiamo la k-esima permutazione dell'insieme come , e il numero di inversioni nella k-esima permutazione come .

Il determinante della matrice A è solitamente indicato come , e viene utilizzato anche det(A). Potresti anche sentire il determinante chiamato determinante.

COSÌ, .

Da ciò è chiaro che il determinante di una matrice del primo ordine è l'elemento di questa matrice.

Calcolo del determinante di una matrice quadrata del secondo ordine: formula ed esempio.

circa 2 per 2 in generale.

In questo caso n=2 , quindi n!=2!=2 .

.

Abbiamo

Pertanto, abbiamo ottenuto una formula per calcolare il determinante di una matrice di ordine 2 per 2, ha la forma .

Esempio.

ordine .

Soluzione.

Nel nostro esempio. Applichiamo la formula risultante :

Calcolo del determinante di una matrice quadrata del terzo ordine - formula ed esempio.

Troviamo il determinante di una matrice quadrata circa 3 per 3 in generale.

In questo caso n=3, quindi n!=3!=6.

Organizziamo sotto forma di tabella i dati necessari per applicare la formula .

Abbiamo

Pertanto, abbiamo ottenuto una formula per calcolare il determinante di una matrice di ordine 3 per 3, ha la forma

Allo stesso modo, è possibile ottenere formule per il calcolo dei determinanti delle matrici di ordine 4 per 4, 5 per 5 e superiori. Sembreranno molto voluminosi.

Esempio.

Calcolare il determinante di una matrice quadrata circa 3 per 3.

Soluzione.

Nel nostro esempio

Applichiamo la formula risultante per calcolare il determinante di una matrice del terzo ordine:

Le formule per il calcolo dei determinanti delle matrici quadrate del secondo e terzo ordine vengono utilizzate molto spesso, quindi ti consigliamo di ricordarle.

Proprietà del determinante di una matrice, calcolo del determinante di una matrice utilizzando le proprietà.

Sulla base della definizione data, è vero quanto segue: proprietà del determinante della matrice.

Il determinante della matrice A è uguale al determinante della matrice trasposta A T, cioè .

Esempio.

Assicurati del determinante della matrice è uguale al determinante della matrice trasposta.

Soluzione.

Usiamo la formula per calcolare il determinante di una matrice di ordine 3 per 3:



Traspone la matrice A:


Calcoliamo il determinante della matrice trasposta:



Infatti, il determinante della matrice trasposta è uguale al determinante della matrice originale.

Se in una matrice quadrata tutti gli elementi di almeno una delle righe (una delle colonne) sono zero, il determinante di tale matrice è uguale a zero.

Esempio.

Verificare che il determinante della matrice l'ordine 3 per 3 è zero.

Soluzione.




Infatti, il determinante di una matrice con una colonna zero è uguale a zero.

Se riorganizzi due righe (colonne) qualsiasi in una matrice quadrata, il determinante della matrice risultante sarà opposto a quello originale (ovvero, il segno cambierà).

Esempio.

Date due matrici quadrate di ordine 3 per 3 E . Mostrare che i loro determinanti sono opposti.

Soluzione.

Matrice B si ottiene dalla matrice A sostituendo la terza riga con la prima e la prima con la terza. A seconda della proprietà considerata, i determinanti di tali matrici devono differire di segno. Verifichiamolo calcolando i determinanti utilizzando la formula ben nota.



Veramente, .

Se in una matrice quadrata almeno due righe (due colonne) sono uguali, il suo determinante è uguale a zero.

Esempio.

Dimostrare che il determinante della matrice uguale a zero.

Soluzione.

In questa matrice la seconda e la terza colonna sono uguali, quindi secondo la proprietà considerata il suo determinante deve essere uguale a zero. Diamo un'occhiata.



Infatti, il determinante di una matrice con due colonne identiche è zero.

Se in una matrice quadrata tutti gli elementi di qualsiasi riga (colonna) vengono moltiplicati per un certo numero k, allora il determinante della matrice risultante sarà uguale al determinante della matrice originale moltiplicato per k. Per esempio,



Esempio.

Dimostrare che il determinante della matrice pari al triplo del determinante della matrice .

Soluzione.

Gli elementi della prima colonna della matrice B si ottengono dai corrispondenti elementi della prima colonna della matrice A moltiplicando per 3. Allora, data la proprietà considerata, deve valere l’uguaglianza. Verifichiamolo calcolando i determinanti delle matrici A e B.



Pertanto, questo è ciò che doveva essere dimostrato.

NOTARE CHE.

Non confondere o mescolare i concetti di matrice e determinante! La proprietà considerata del determinante di una matrice e l'operazione di moltiplicare una matrice per un numero non sono la stessa cosa.
, Ma .

Se tutti gli elementi di qualsiasi riga (colonna) di una matrice quadrata rappresentano la somma di s termini (s è un numero naturale maggiore di uno), allora il determinante di tale matrice sarà uguale alla somma di s determinanti delle matrici ottenute da quello originale, se gli elementi della riga (colonna) sono: lasciare un termine alla volta. Per esempio,


Esempio.

Dimostrare che il determinante di una matrice è uguale alla somma dei determinanti delle matrici .

Soluzione.

Nel nostro esempio , quindi, a causa della proprietà considerata del determinante della matrice, l'uguaglianza deve essere soddisfatta . Controlliamolo calcolando i determinanti corrispondenti delle matrici di ordine 2 per 2 utilizzando la formula .


Dai risultati ottenuti è chiaro che . Questo completa la dimostrazione.

Se agli elementi di una certa riga (colonna) di una matrice vengono aggiunti gli elementi corrispondenti di un'altra riga (colonna) moltiplicati per un numero arbitrario k, il determinante della matrice risultante sarà uguale al determinante della matrice originale .

Esempio.

Assicurati che sia agli elementi della terza colonna della matrice aggiungi gli elementi corrispondenti della seconda colonna di questa matrice, moltiplicati per (-2), e aggiungi gli elementi corrispondenti della prima colonna della matrice, moltiplicati per un numero reale arbitrario, quindi il determinante della matrice risultante sarà uguale a il determinante della matrice originaria.

Soluzione.

Se partiamo dalla proprietà considerata del determinante, allora il determinante della matrice ottenuto dopo tutte le trasformazioni specificate nel problema sarà uguale al determinante della matrice A.

Innanzitutto, calcoliamo il determinante della matrice originale A:



Eseguiamo ora le trasformazioni necessarie della matrice A.

Aggiungiamo agli elementi della terza colonna della matrice i corrispondenti elementi della seconda colonna della matrice, dopo averli precedentemente moltiplicati per (-2). Successivamente la matrice assumerà la forma:


Agli elementi della terza colonna della matrice risultante aggiungiamo i corrispondenti elementi della prima colonna, moltiplicati per:


Calcoliamo il determinante della matrice risultante e assicuriamoci che sia uguale al determinante della matrice A, ovvero -24:



Il determinante di una matrice quadrata è uguale alla somma dei prodotti degli elementi di qualsiasi riga (colonna) per i loro addizioni algebriche.



Ecco il complemento algebrico dell'elemento di matrice , .

Questa proprietà permette di calcolare i determinanti di matrici di ordine superiore a 3 per 3 riducendoli alla somma di più determinanti di matrici di ordine inferiore. In altre parole, questa è una formula ricorrente per calcolare il determinante di una matrice quadrata di qualsiasi ordine. Ti consigliamo di ricordarlo per la sua applicabilità abbastanza frequente.

Diamo un'occhiata ad alcuni esempi.

Esempio.

circa 4 per 4, espandendolo

• da elementi della 3a riga,
• dagli elementi della 2a colonna.

Soluzione.

Usiamo la formula per decomporre il determinante negli elementi della 3a riga



Abbiamo



Quindi il problema di trovare il determinante di una matrice di ordine 4 per 4 è stato ridotto al calcolo di tre determinanti di matrici di ordine 3 per 3:



Sostituendo i valori ottenuti arriviamo al risultato:


Usiamo la formula per scomporre il determinante negli elementi della 2a colonna


e noi agiamo allo stesso modo.

Non descriveremo in dettaglio il calcolo dei determinanti delle matrici del terzo ordine.



Esempio.

Calcolare il determinante della matrice circa 4 per 4.

Soluzione.

Puoi espandere il determinante di una matrice negli elementi di qualsiasi colonna o riga, ma è più vantaggioso scegliere la riga o la colonna che contiene il maggior numero di elementi zero, poiché ciò aiuterà a evitare calcoli non necessari. Espandiamo il determinante negli elementi della prima riga:



Calcoliamo i determinanti risultanti delle matrici di ordine 3 per 3 utilizzando la formula a noi nota:



Sostituisci i risultati e ottieni il valore desiderato


Esempio.

Calcolare il determinante della matrice circa 5 per 5.

Soluzione.

La quarta riga della matrice ha il maggior numero di elementi zero tra tutte le righe e colonne, quindi è consigliabile espandere il determinante della matrice proprio in base agli elementi della quarta riga, poiché in questo caso avremo bisogno di meno calcoli.



I determinanti risultanti delle matrici di ordine 4 per 4 sono stati trovati negli esempi precedenti, quindi utilizziamo i risultati già pronti:



Esempio.

Calcolare il determinante della matrice circa 7 per 7.

Soluzione.

Non dovresti affrettarti immediatamente a ordinare il determinante negli elementi di qualsiasi riga o colonna. Se osservi attentamente la matrice, noterai che gli elementi della sesta riga della matrice possono essere ottenuti moltiplicando per due gli elementi corrispondenti della seconda riga. Cioè, se gli elementi corrispondenti della seconda riga vengono aggiunti agli elementi della sesta riga, moltiplicati per (-2), il determinante non cambierà a causa della settima proprietà e la sesta riga della matrice risultante sarà costituita di zeri. Il determinante di tale matrice è uguale a zero per la seconda proprietà.

Risposta:

Va notato che la proprietà considerata consente di calcolare i determinanti di matrici di qualsiasi ordine, ma è necessario eseguire molte operazioni computazionali. Nella maggior parte dei casi, è più vantaggioso trovare il determinante delle matrici di ordine superiore al terzo utilizzando il metodo gaussiano, che considereremo di seguito.

La somma dei prodotti degli elementi di una qualsiasi riga (colonna) di una matrice quadrata per i complementi algebrici degli elementi corrispondenti di un'altra riga (colonna) è uguale a zero.


Esempio.

Mostra che la somma dei prodotti degli elementi della terza colonna della matrice sui complementi algebrici dei corrispondenti elementi della prima colonna è uguale a zero.

Soluzione.




Il determinante del prodotto di matrici quadrate dello stesso ordine è uguale al prodotto dei loro determinanti, cioè , dove m è un numero naturale maggiore di uno, A k, k=1,2,...,m sono matrici quadrate dello stesso ordine.

Esempio.

Verificare che il determinante del prodotto di due matrici ed è uguale al prodotto dei loro determinanti.

Soluzione.

Troviamo innanzitutto il prodotto dei determinanti delle matrici A e B:


Ora effettuiamo la moltiplicazione di matrici e calcoliamo il determinante della matrice risultante:



Così, , che è ciò che doveva essere mostrato.

Calcolo del determinante di una matrice utilizzando il metodo gaussiano.

Descriviamo l'essenza di questo metodo. Utilizzando trasformazioni elementari, la matrice A viene ridotta a una forma tale che nella prima colonna tutti gli elementi tranne quelli diventano zero (questo può sempre essere fatto se il determinante della matrice A è diverso da zero). Descriveremo questa procedura un po 'più tardi, ma ora spiegheremo perché ciò viene fatto. Si ottengono elementi zero per ottenere l'espansione più semplice del determinante sugli elementi della prima colonna. Dopo tale trasformazione della matrice A, tenendo conto dell'ottava proprietà e, otteniamo

Dove - ordine minore (n-1)., ottenuto dalla matrice A eliminando gli elementi della sua prima riga e prima colonna.

Con la matrice a cui corrisponde minor si esegue lo stesso procedimento per ottenere zero elementi nella prima colonna. E così via fino al calcolo finale del determinante.

Ora resta da rispondere alla domanda: "Come ottenere zero elementi nella prima colonna"?

Descriviamo l'algoritmo delle azioni.

Se , allora gli elementi corrispondenti della kesima riga vengono sommati agli elementi della prima riga della matrice, in cui . (Se tutti gli elementi della prima colonna della matrice A, senza eccezione, sono zero, allora il suo determinante è uguale a zero per la seconda proprietà e non è necessario alcun metodo gaussiano). Dopo tale trasformazione, il “nuovo” elemento sarà diverso da zero. Il determinante della “nuova” matrice sarà uguale al determinante della matrice originaria per via della settima proprietà.

Ora abbiamo una matrice con . Quando agli elementi della seconda riga aggiungiamo gli elementi corrispondenti della prima riga, moltiplicati per , agli elementi della terza riga - i corrispondenti elementi della prima riga, moltiplicati per . E così via. Infine, agli elementi dell'ennesima riga aggiungiamo i corrispondenti elementi della prima riga, moltiplicati per . Ciò si tradurrà in una matrice trasformata A, tutti gli elementi della prima colonna della quale, tranne , saranno zero. Il determinante della matrice risultante sarà uguale al determinante della matrice originale a causa della settima proprietà.

Diamo un'occhiata al metodo quando risolviamo un esempio, sarà più chiaro.

Esempio.

Calcolare il determinante di una matrice di ordine 5 per 5 .

Soluzione.

Usiamo il metodo gaussiano. Trasformiamo la matrice A in modo che tutti gli elementi della sua prima colonna, tranne , diventino zero.

Poiché l'elemento è inizialmente , aggiungiamo agli elementi della prima riga della matrice i corrispondenti elementi, ad esempio, della seconda riga, poiché:

Il segno "~" indica l'equivalenza.

Ora aggiungiamo agli elementi della seconda riga i corrispondenti elementi della prima riga, moltiplicati per , agli elementi della terza riga – i corrispondenti elementi della prima riga, moltiplicati per , e procedere allo stesso modo fino alla sesta riga:

Otteniamo

Con matrice Eseguiamo la stessa procedura per ottenere zero elementi nella prima colonna:

Quindi,

Ora eseguiamo trasformazioni con la matrice :

Commento.

Ad un certo punto della trasformazione della matrice utilizzando il metodo gaussiano, può verificarsi una situazione in cui tutti gli elementi delle ultime righe della matrice diventano zero. Ciò indicherà che il determinante è uguale a zero.

Riassumiamo.

Il determinante di una matrice quadrata i cui elementi sono numeri è un numero. Abbiamo esaminato tre modi per calcolare il determinante:

1. attraverso la somma di prodotti di combinazioni di elementi di matrice;
2. attraverso la scomposizione del determinante negli elementi di una riga o colonna della matrice;
3. riducendo la matrice ad una matrice triangolare superiore (metodo gaussiano).

Sono state ottenute formule per il calcolo dei determinanti delle matrici di ordine 2 per 2 e 3 per 3.

Abbiamo esaminato le proprietà del determinante di una matrice. Alcuni di essi ti permettono di capire rapidamente che il determinante è zero.

Quando si calcolano i determinanti di matrici di ordine superiore a 3 per 3, è consigliabile utilizzare il metodo gaussiano: eseguire trasformazioni elementari della matrice e ridurla a una triangolare superiore. Il determinante di tale matrice è uguale al prodotto di tutti gli elementi sulla diagonale principale.

Ricordiamo il teorema di Laplace:
Teorema di Laplace:

Siano scelte arbitrariamente k righe (o k colonne) nel determinante d di ordine n. Allora la somma dei prodotti di tutti i minori di ordine kesimo contenuti nelle righe selezionate e dei loro complementi algebrici è uguale al determinante d.

Per calcolare i determinanti, nel caso generale, k è considerato uguale a 1. Cioè, nel determinante d di ordine n viene scelta arbitrariamente una riga (o colonna). Allora la somma dei prodotti di tutti gli elementi contenuti nella riga (o colonna) selezionata e dei loro complementi algebrici è uguale al determinante d.

Esempio:
Determinante del calcolo

Soluzione:

Selezioniamo una riga o colonna arbitraria. Per una ragione che sarà evidente tra breve, limiteremo la nostra scelta alla terza riga o alla quarta colonna. E fermiamoci alla terza riga.

Usiamo il teorema di Laplace.

Il primo elemento della riga selezionata è 10, appare nella terza riga e nella prima colonna. Calcoliamo il suo complemento algebrico, cioè Troviamo il determinante ottenuto cancellando la colonna e la riga su cui si trova questo elemento (10) e troviamo il segno.

"più se la somma dei numeri di tutte le righe e colonne in cui si trova la M minore è pari, e meno se questa somma è dispari."
E abbiamo preso il minore, costituito da un unico elemento 10, che si trova nella prima colonna della terza riga.

COSÌ:


Il quarto termine di questa somma è 0, motivo per cui vale la pena scegliere righe o colonne con il numero massimo di elementi pari a zero.

Risposta: -1228

Esempio:
Calcola il determinante:

Soluzione:
Selezioniamo la prima colonna, perché... due elementi in esso contenuti sono uguali a 0. Espandiamo il determinante lungo la prima colonna.


Espandiamo ciascuno dei determinanti del terzo ordine lungo la prima seconda riga


Espandiamo ciascuno dei determinanti del secondo ordine lungo la prima colonna


Risposta: 48
Commento: durante la risoluzione di questo problema, non sono state utilizzate formule per il calcolo dei determinanti del 2o e 3o ordine. È stata utilizzata solo la scomposizione di righe o colonne. Il che porta ad una diminuzione dell’ordine dei determinanti.